Iracionalieji skaičiai

Transcription

1 Iracionalieji skaičiai Rimas Norvaiša 2018 m. balandžio mėn. 2 d. Abstract Dalomoji medžiaga paskaitoms Matematika ir filosofija". Iracionaliaisiais skaičiais vadinami tie realiųjų skaičių aibės elementai, kurie nėra racionaliaisiais skaičiais. Kitaip kalbant, realusis skaičius vadinamas iracionaliuoju, jei jis nėra išreiškiamas trupmena. Šiuolaikinė iracionaliųjų skaičių samprata atsirado XIX amžiuje R. Dedekindo, G. Cantoro ir kitų matematikų darbuose kaip matematinės analizės pagrindimo dalis. Iracionaliųjų skaičių priešistorija laikoma dydžio (angl. magnitude) sąvoka atsiradusi Antikinės Graikijos matematikoje gerokai anksčiau, maždaug tarp 500 ir 300 metų prieš Kristaus gimimą. 1 Iracionaliųjų skaičių priešistorija 1.1 Nebendramačiai dydžiai Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad geometrinių dydžių santykius galima išreikšti natūraliųjų skaičių santykiais. 1.1 apibrėžtis. Atkarpos A ir B yra bendramatės, jei egzistuoja atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m, n) tokie, kad A = mv ir B = nv, čia = žymi atkarpų kongruentumą (sutampa kai perkeliama viena ant kitos). Priešingu atveju atkarpos A ir B yra nebendramatės, t.y. jei kiekvienai atkarpai V ir kiekvienai natūraliųjų skaičių porai (m, n) galioja teiginys A = mv arba B = nv. Nebendramačių atkarpų (ne)egzistavimo klausimas iškilo bandant dalinti muzikinius intervalus, t.y. pitagoriečių muzikos teorijoje. Šio klausimo išspręsti empiriniu būdu neįmanoma, nes vienetinę atkarpą galima imti kaip norimai mažą. Tiesioginis samprotavimas taip pat atrodo reikalavo begalinio skaičiaus veiksmų. Todėl nebendramačių atkarpų įrodymas remiantis prieštaros būdu" tapo nepaprastai svarbus. Teigiama, kad šio metodo panaudojimas žymi šiuolaikinės matematikos atsiradimą. 1

2 1.2 teorema. Tegul A yra bet kuri atkarpa ir tegul B yra kvadrato su kraštine A įstrižainė. Atkarpos A ir B yra nebendramatės. Įrodymas. Tarkime priešingai, kad nurodytos atkarpos A ir B yra bendramatės, t.y. egzistuoja trečia atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m, n) tokie, kad A = mv ir B = nv. Pažymėję A ir B atkarpų A ir B ilgius, pagal Pitagoro teoremą ir prielaidą turime lygybes B 2 = 2 A 2 ir A / B = m/n. Apjungę ir suprastinę gauname lygybę: m 2 = 2n 2. (1) Suprastinę jei reikia, gauname, kad m ir n abu kartu nėra lyginiai. Parodysime, kad teisingas priešingas teiginys. Teisinga implikacija: jei m 2 yra lyginis, tai m yra lyginis (daugiau detalių yra žemiau įrodant 2.3 teoremą). Šis faktas kartu su (1) lygybe rodo, kad m yra lyginis, t.y. m = 2k. Todėl (1) lygybę galime perrašyti taip: Padalinę iš dviejų, gauname (2k) 2 = 4k 2 = 2n 2. 2k 2 = n 2. Pastaroji lygybė rodo, kad n yra lyginis. Gavome, kad abu skaičiai m ir n yra lyginiai prieštara tam, kad abu kartu nėra lyginiai. Prieštara įrodo, kad prielaida klaidinga. Todėl atkarpos A ir B yra nebendramatės, ką ir reikėjo įrodyti. Senovės graikų požiūriu, dydžiai ir jų santykiai yra realaus pasaulio daiktų (things) reprezentacijos mąstyme. Jie nėra siejami su skaičiais, nes skaičiai negali išreikšti realaus pasaulio daiktų esmės. Nebendramačių dydžių egzistavimo faktas matyt paskatino graikus (Eudoxus of Cnidus, m. Pr. Kr. g.) sukurti dydžių santykių arba proporcijų teoriją. Šis senovės graikų požiūris į skaičius ir dydžius vėliau, XIX amžiuje, apsivertė aukštyn kojomis. Tačiau iki tol iracionaliųjų skaičių sampratos evoliucija nuėjo ilgą kelią. 1.2 Skaičiai, dydžiai ir santykiai pagal Euklidą Senovės graikų matematikos šaknys yra dar senesnės - babiloniečių ir egiptiečių matematika. Graikų visuomenėje susiklostė dviejų rūšių matematika - praktinė ir teorinė. Praktinė matematika naudojama komercijoje, statyboje ir kitokioje praktinėje veikloje. Ji buvo vadinama logistika. Teorinė matematika, kaip ir filosofija, buvo žinoma tik labai nedideliai visuomenės daliai. Senovės graikų (teorinės) matematikos šaltiniais yra kelios dešimtys darbų, kurie sudaro labai mažą dalį to, kas tada buvo žinoma. Be to, daugumą šių darbų rašyti (perrašyti rankraščiai ir jų komentarai) daug vėliau, apie 9 2

3 amžių po Kristaus gimimo. Pagrindinis graikų matematikos šaltinis yra Euklido Pradmenys, kuriuos sudaro 13 knygų (internetinis šio veikalo variantas D.E. Joyce [5] toliau naudojamas citavimui). Manoma, kad Pradmenys buvo parašyti Aleksandrijos mieste apie 300-uosius m. pr. Kr. g. Sprendžiant pagal Euklido Pradmenis, graikų matematikos nagrinėjimo (mąstymo) objektais buvo diskretieji dydžiai ir tolydieji dydžiai. Pastarieji buvo realių daiktų (angl. things) idealizacijomis ir mąstymo objektais. Matematikoje nagrinėti penkių rūšių tolydieji dydžiai: tiesės atkarpos, plokštumos sritys, erdvinių figūrų paviršiai ir tūriai, bei kampai (detaliau I. Grattan-Guinness [3]). Diskrečiuosius dydžius Euklido Pradmenyse atstovavo tik viena jų rūšis natūralieji skaičiai: 2,3,4,.... Kaip ir šiais laikais, tolydžiuosius dydžius tirianti matematikos sritis buvo vadinama geometrija, o skaičių ir jų savybių sąvadas vadinamas aritmetika. Skirtingai nuo šiuolaikinės matematikos, senovės graikų matematikoje tolydieji dydžiai nebuvo siejami su skaičiais. Euklido veikale nerasime nei atkarpos ilgio" sąvokos, nei kitų mums įprastų geometrinių figūrų didumo matavimo būdų. Pavyzdžiui, Pitagoro teorema Euklido Pradmenų" I knygoje formuluojama taip: 47 teiginys. Kvadratas, nubraižytas ant stačiojo trikampio įžambinės, yra lygiaplotis su figūra, sudaryta iš dviejų ant trikampio statinių nubraižytų kvadratų. (V. Stakėno vertimas, [9], 50 pusl.) Teorema įrodoma parodant, kad kvadratas ant įstrižainės BC yra lygiaplotis su figūra, sudaryta iš dviejų kvadratų ant statinių BA ir AC. Maždaug 50 metų iki Euklido Pradmenų" pasirodymo, Aristotelis suklasifikavo tai, ką jis vadino kategorijomis. Viena iš jų, vadinama kiekybe (angl.quantity), savo savybėmis visiškai atitiko Pradmenų dydžius. Pagal savo vaidmenį graikų matematikoje, tolydieji dydžiai buvo fundamentali ir tiesiogiai neapibrėžiama sąvoka. Šių dienų matematikos istorikas R. Thiele taip apibūdina tolydžiuosius dydžius ([11, 6 pusl.]): There is no definition of the concept of magnitude (Greek µ ɛγɛθoζ, megethos) because there is no superior concept for this fundamental concept. Nevertheless, Euclid is dealing with magnitudes throughout the Elements; the general concept of magnitudes is mentioned in Book V, Def. 3, also in Book VI and several times in later books. Magnitudes are generally characterized by the property of being able to increase and decrease. The concept of magnitude allows a twofold interpretation: a mathematical object is a magnitude (extensive entity) and such an object can be measured and the result of such a measurement is a magnitude (mensuration). 3

4 Figure 1: Pitagoro teorema Euklido Pradmenyse, be jokios nuorodos į skaičius, su tos pačios rūšies dydžiais atliekami kai kurie veiksmai. Tos pačios rūšies dydžius A ir B galima palyginti pagal dydį, sudėti (jungti) tarpusavyje ir jų kopijas, gaunant dydžius na, iš didesnio atimti mažesnį. Ypatingą vietą tarp veiksmų su dydžiais užima tos pačios rūšies dydžių A ir B santykis ir tokių santykių lyginimas. Problema ta, kad egzistuoja atkarpos A ir B, kurių santykis nėra išreiškiamas natūraliųjų skaičių santykiu. Apie tai kalbėsime netrukus. Šios problemos sprendimą sugalvojo Eudoxus of Cnidus. Pagal Pradmenų V knygą: Definition 3. A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind. Definition 4. Magnitudes are said to have a ratio to one another which are capable, when multiplied, of exceeding one another. Dydžių A ir B santykis, žymimas A:B, nusakomas dydžių na ir mb rinkiniu su bet kuriais skaičiais n ir m. Santykiai graikų matematikoje nėra reiškiami trupmenomis. Naudojant šiuolaikinės matematikos kalbą, dydžių A ir B santykis A:B apibrėžiamas aibe {(n, m) N N: na mb}. (2) 4

5 Ketvirtoji apibrėžtis išreiškia dydžių santykio pamatuojamumo sąlygą: pirmasis dydis na gali būti viršijamas pakankamai dideliu antro dydžio kopijų junginiu mb. Analogiška savybė skaičiams šiuolaikinėje aritmetikoje siejama su Archimedo vardu. Euklido Pradmenyse apibrėžtas vienos rūšies dydžių santykio A:B palyginimas su galimai kitos rūšies dydžių santykiu a:b. Pagal Pradmenų V knygą: Definition 5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are like equal, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order. Naudojant šiuolaikinės matematikos kalbą, apibrėžtis išreiškiama taip: dydžių poros (a, b) ir (A, B) turi tuos pačius santykius a:b ir A:B, tai žymint a:b :: A:B, jei bet kuriai natūraliųjų skaičių porai m ir n teisingos implikacijos jei ma > nb, tai ma > nb, jei ma = nb, tai ma = nb, jei ma < nb, tai ma < nb. Pagal Pradmenų" V knygos šeštą apibrėžimą, tuos pačius santykius turinčios dydžių poros (a, b) ir (A, B) vadinamos proporcingomis. Tarkime, kad tą pačią aukštinę h turinčių trikampių BCA ir EF D pagrindai yra BC ir EF. Remiantis Euklido Pradmenų" VI knygos 1 teiginiu, poros (BC, EF ) ir (BCA, EF D) yra proporcingos. Figure 2: Proporcingi trikampiai ir jų pagrindai Šioje iliustracijoje vienos rūšies (atkarpų) dydžių poros santykis yra tas pats kaip kitos rūšies (trikampių) dydžių poros santykis. Kaip minėta, greta aritmetikos, Antikinėje Graikijoje egzistavo logistika arba, kitaip kalbant, praktinė aritmetika. Abi šios sritys gerokai skyrėsi. Skirtingai nuo logistikos, skaičius aritmetikoje buvo ne tik mąstymo priemonė, bet ir mąstymo objektas. Pavyzdžiui, buvo skiriami lyginiai ir nelyginiai, 5

6 pirminiai ir sudėtiniai skaičiai ir panašiai. Aritmetikoje skaičiumi vadinamas vienetų daugis (angl. multitude). Vienetas paprastai nebuvo laikomas skačiumi. Nedalomumas buvo vieneto esmine savybe. Euklido Pradmenų VII knyga pradedama apibrėžtimis: Definition 1. A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one. Definition 2. A number is a multitude composed of units. Su skaičiais galima atlikti aritmetikos veiksmus: sudėti, dauginti ir atimti (mažesnį iš didesnio). Tarpusavyje skaičiai gali būti: lygūs, vienas didesnis už kitą arba atvirkščiai. Trupmenos, kaip vieneto dalys, (teorinėje) aritmetikoje neturėjo skaičiaus statuso, su jomis nebuvo atliekami aritmetikos veiksmai. Tačiau trupmenos 1 2, 2 3, 3 4 ir t.t. turėjo prasmę reikšdamos vieną vienetą iš dviejų, du vienetus iš trijų, tris vienetus iš keturių ir t.t. Apibendrinant, dydžių santykis graikų matematikoje nėra nei skaičius, nei trupmena. Šią aplinkybę galima paaiškinti naudojant toliau aptariamą nebendramačių dydžių sampratą. 1.3 Skaičių, dydžių ir santykių sąvokų evoliucija Realiųjų skaičių atsiradimas Vakarų kultūroje siejamas su flamandų matematiku ir inžinieriumi Simonu Stevinu ( ). Jis pirmasis tarp matematikų atvirai neigė kai kuriuos Euklido Pradmenų" principus ir apibrėžimus. Stevino nuomone, skaičius yra tai, kas išreiškia ko nors kiekį, pavyzdžiui, dydžio matavimo rezultatas. Pagal [10]: Nombres est cela, par lequel s explique la quantite de chacune chose. Tai yra pirmoji apibrėžtis jo Arithmétique, grindžiama įvairiomis pastabomis ir komentarais. Pavyzdžiui, naudojama vandens ir drėgnumo" metafora ([10]): Number is in magnitude like wetness in water, since it happens with number as it does with wetness, that as wetness pervades all and every part of the water, so the number assigned (destiné) to any magnitude pervades all and every part of its magnitude. Tokiu būdu Stevinas neigia diskrečiųjų ir tolydžiųjų dydžių dichotomiją, skaičius tapatinant tik su diskretumu. Jis nuosekliai siekė nutrinti iracionaliųjų skaičių stigmą, kurie tuo metu buvo apibūdinami kaip absurdas", mažiau tobuli" ar kitaip besiskiriantys nuo tikrųjų" skaičių. Kitose savo knygose La Thiende (The Tenth) ir La Disme (The Decimal) Stevinas populiarina dešimtainių trupmenų naudojimą kasdieniniame gyvenime. Toks reikšmingas pasikeitimas požiūryje į skaičius vargu ar galėjo atsirasti vien tik asmeninio patyrimo dėka. A. Maletas [6] ir J. Naetsas [7] 6

7 atskleidžia priežastis ir aplinkybes galimai padėjusias požiūrio į skaičių perversmui. Tam galėjo turėti įtakos matematiniai tekstai atėję iš arabų ir indų, bei praktinės matematikos svarbos iškilimas atsispindintis tuo metu pasirodžiusiuose Euklido Pradmenų" naujuose vertimuose ir komentaruose. Be kitų aplinkybių, A. Maletas apžvelgia Tartaglia, Claviuso ir Billingsley pasiūlytas Euklido teksto interpretacijas. Praėjus šimtmečiui po Stevino darbų, Newtono laikais skaičius jau naudojamas išreikšti bet kokių dydžių santykiui metais publikuotame I. Newtono konspekte Universal Arithmetic rašoma: By Number we understand, not so much a Multitude of Unities, as the abstracted Ratio of any Quantity, to another Quantity of the same Kind, which we take for Unity. And this is threefold; integer, fracted, and surd: An Integer, is what is measured by Unity; a Fraction, that which a submultiple Part of unity measures; and a Surd, to which Unity is incommensurable. (Universal Arithmetic, translated from the Latin by Ralphson, London 1769, page 2.) Skirtumo tarp diskrečių ir tolydžių dydžių nykimą skatino G. Galileo, I. Newtono, G.F. Leibnizo ir kitų matematikų darbai, kuriais buvo siekiama matematiškai išreikšti judėjimą. To meto matematinių rezultatų pagrįstumas skyrėsi nuo senovės graikų matematikams būdingo loginio pagrįstumo. Šiems matematikams buvo svarbu, kad jų rezultatai dera su tuo, kas stebima realiame pasaulyje. Matematikos istorikas H.J.M Bosas rašo ([1, p. 8]): The relaxation of the classical Greek rigor of proof in mathematics has long been recognized as a characteristic of seventeenthand eighteenth-century mathematics. It may be less generally realized that this attitude did not imply a lack of interest in exactness. Mathematicians were concerned about the foundation of their science, but they regarded the question about construction, or in general about procedures to make objects known, as more critical than rigor of proof. Tačiau intuityvus samprotavimas matematikoje matyt kėlė nepasitenkinimą. Tą rodo faktas, kad 1784 metais Berlyno Akademija, kurios prezidentu tuo metu buvo J.-L. Lagrange, pripažindama nepatenkinamą analizės pagrindų padėtį, įsteigė prizą tam, kas pasiūlys aiškų ir tikslų begalybės" sąvokos pagrindimą. Be kita ko ši sąvoka buvo siejama su kintamo dydžio" sąvokos ir ribos sampratos neaiškumais. Po dviejų metų prizas buvo paskirtas nepaisant to, kad siūlomi sprendimai netenkino matematikų. 19 amžiaus pradžioje, B. Bolzano, A.-L. Cauchy, N.H. Abelio ir kitų matematikų darbų dėka, pradėjo ryškėti nauji analizės pagrindų kontūrai. Jais tapo 7

8 tuo, kas vadinama analizės aritmetizacija". Jos pagrindą sudarė loginis realiojo skaičiaus sampratos pagrindimas, kuris senovės graikų suformuotą aritmetikos ir geometrijos svarbos santykį apvertė aukštyn kojomis. Pagrindinė aritmetizacijos" sprendžiama problema buvo klausimas kaip skaičių pagalba išreikšti intuityviai suprantama (geometrinio) dydžio tolydumą. Nebendramačių atkarpų egzistavimo faktas rodo, kad racionalieji skaičiai, identifikuoti kaip taškai ant geometrinės tiesės, palieka be galo daug plyšių". Klausimas, ar racionaliuosius skaičius papildantys iracionalieji skaičiai sudarys kuria nors prasme tolydų objektą? 19 amžiaus antroje pusėje buvo pasiūlyta keletas logiškai nepriekaištingų iracionaliųjų skaičių apibrėžimų. Visų jų rezultatas ta pati matematinė struktūra vadinama realiųjų skaičių sistema. Čia aptarsime tik Dedekindo apibrėžimą, nes išliko jo konstrukcijos motyvacija sprendžiant tolydumo problemą [2]. Deja, su nedidelėmis išimtimis (B. Riemann, G. Cantor ir D. Hilbert), matematikai turi tradiciją viešai neskelbti savo filosofinės motyvacijos. Dedekindo apibrėžtis formuluojama naudojant aibių teorijos kalbą ir darant prielaidą, kad turime racionaliųjų skaičių aibę Q. 1.3 apibrėžtis. Racionaliųjų skaičių aibės Q poaibis D vadinamas pjūviu, jei jis turi tris savybes: 1. jei r D, q Q ir q < r, tai q D, t.y. visi racionalieji skaičiai mažesni už bet kurį D elementą taip pat yra D elementais; 2. aibė Q\D netuščia, t.y. egzistuoja racionalusis skaičius nepriklausantis aibei D; 3. aibė D neturi didžiausio elemento, t.y. kiekvienam D elementui yra didesnis D elementas. Pjūvių pavyzdžiai: 1. jei q Q, tai {r Q: r < q} yra pjūvis; 2. aibė {r Q: r 2 < 2} {r Q: r < 0} yra pjūvis. Senovės graikų santykį iliustruojančią (2) aibę pakeisime aibe { n m : n Z, m N, n m < B }, A kuri tampa pjūviu. Jei B/A yra racionalusis skaičius, tai ši aibė sutampa su pirmu pavyzdžiu. Racionaliuosius skaičius vaizduojant geometrinės tiesės taškais, pjūvis yra (atviras) intervalas, kurio dešinysis galas gali būti racionalusis skaičiaus arba plyšys. Šis plyšys ir turėtų būti iracionalaus skaičiaus vieta ant geometrinės tiesės. Tolesnė konstrukcija grindžiama idėja racionaliuosius taškus ir plyšius tapatinti su pjūviais. Galima įrodyti, kad pjūviai turi visas reikalingas realiųjų skaičių ir jų aritmetikos savybes. 8

9 1.4 apibrėžtis. Visų pjūvių aibę žymėsime R, o jos elementus vadinsime realiaisiais skaičiais. Kodėl turėtume manyti, kad ši realiųjų skaičių aibė yra Euklido Pradmenyse" naudojamo tolydaus dydžio adekvatus analogas? Dedekindas mano, kad aibė R yra tolydi, jei ji turi šią tiesės savybę ([2, p.5]): If all points of the straight line fall into two classes such that every point of the first class lies to the left of every point of the second class, then there exists one and only one point which produces this division of all points into two classes, this severing of the straight line into two portions. Dedekindas pripažįsta, kad šios tiesės savybės neįmanoma įrodyti. Ši prielaida yra aksioma, kuria išreiškiama tiesės tolydumo savybė. Toliau Dedekindas įrodė tokį teiginį ([2, p.9]). 1.5 teorema. If the system R of all real numbers breaks up into two classes D 1, D 2 such that every number r 1 of the class D 1 is less than every number r 2 of the class D 2 then there exists one and only one number r by which this separation is produced. Dedekindas taip pat parodo, kad šios teoremos teiginys ekvivalentus kai kuriems fundamentaliems šiuolaikinės analizės faktams. Pavyzdžiui, monotoninė aprėžta seka (kintamasis dydis) turi ribą. Matematinėje analizėje ši tolydumo savybė vadinama realiųjų skaičių aibės pilnumu, o pati aibė R vadinama aritmetiniu kontinuumu. Tai ką gi mes turime galiausiai? 1.6 aksioma (Dedekindo-Cantoro aksioma). Tarp realiųjų skaičių sistemos R (aritmetinio kontinuumo) ir geometrinės tiesės (geometrinio kontinuumo) egzistuoja tvarką išsauganti abipus vienareikšmė atitiktis. Tolesnis tekstas atspindi šiuolaikinį (R. Dedekindo ir kitų matematikų) požiūrį į iracionaliuosius skaičius. 2 Skaičių tiesėje egzistuoja bent vienas neracionalusis skaičius Parodysime, kad teigiamų skaičių pustiesėje yra taškų, kurie neišreiškiami jokia trupmena. Pirmiausia tokiu tašku parodysime esant tašką, kurio kvadratas yra 2. Prisiminkime, kad iki šiol mes apibrėžėme tik racionaliųjų skaičių sandaugą ([8]). Bet šį apibrėžimą nesunku apibendrinti. Dėl paprastumo apsiribosime kėlimo kvadratu sąvoka. 2.1 apibrėžtis. Sakysime, kad teigiamo skaičiaus a kvadratas, žymimas a 2, yra plotas kvadrato, kurio kraštinė yra atkarpa [0, a]. 9

10 Nagrinėkime teiginius T := [skaičių tiesėje egzistuoja taškas, kurio kvadratas yra 2] ir S := [skaičių tiesės taškas, kurio kvadratas yra 2, nėra išreiškiamas trupmena]. Įrodysime, kad teisingas teiginys T ir teisinga implikacija T S. Remiantis tuo, kas logikoje vadinama modus ponens, gausime norimą išvadą, t.y. teisingas teiginys S. 2.2 teorema. Teisingas teiginys T, t.y. skaičių tiesėje egzistuoja taškas, kurio kvadratas yra 2. Įrodymas. Imkime statųjį trikampį, kurio statiniai yra vienetinės atkarpos. Remiantis Pitagoro teorema, šio trikampio įžambinės kvadrato plotas yra lygus dviejų vienetinių kvadratų sumai: = 2. Taigi turime atkarpą, kurios kvadratas yra 2. Skaičių tiesėje nuo nulio atidėtos (pavyzdžiui, naudojant skriestuvą) šios atkarpos dešinysis galas žymi tašką. Šį tašką atitinkančio skaičiaus kvadratas yra 2, ką ir reikėjo įrodyti. Implikaciją T S įrodysime samprotavimu, kuris matematikoje vadinamas įrodymu prieštaros būdu. Būtent, tarsime, kad implikacija T S nėra teisinga, t.y. teisingas jos neiginys [T S]. Šis neiginys yra ekvivalentus sudėtiniam teiginiui [T S] (žr. [VK] 99 pusl.). Parodysime, kad iš šio sudėtinio teiginio išplaukia prieštaravimas, įrodantis implikaciją T S. 2.3 teorema. Jei skaičių tiesėje egzistuoja taškas a, kurio kvadratas yra 2, tai a nėra išreiškiamas trupmena. Įrodymas. Tarkime, kad implikacija T S nėra teisinga. Tada teisingi teiginiai T ir S, t.y. taškas a yra toks racionalusis skaičius, kurio kvadratas yra 2. Be to, egzistuoja tokie natūralieji skaičiai m ir n, kad n 0 ir a = m n. Jei m ir n yra lyginiai, tai prastinant (1 teorema [8]) galima tarti, kad m ir n abu kartu nėra lyginiai, t.y. teisingas teiginys Kadangi a kvadratas yra 2, tai A := [bent vienas iš m ir n yra nelyginis]. m 2 = 2n 2. Dešinioji šios lygybės pusė yra lyginis skaičius, todėl kairioji pusė taip pat privalo būti lyginiu skaičiumi. 2.4 lema. Jei natūralusis skaičius k yra nelyginis (teiginys U), tai jo kvadratas k 2 taip pat yra nelyginis (teiginys V ). 10

11 Remiantis tuo, kad [U V ] [ V U] ir tuo, kad m 2 lyginis gauname, kad m yra lyginis, t.y. m = 2 k su kuriuo nors natūraliuoju skaičiumi k. Tada gauname lygybę 2k 2 = n 2. Pastaroji lygybė rodo, kad n privalo būti lyginiu skaičiumi. Bet tada, abu m ir n yra lyginiai skaičiai, t.y. teiginys A neteisingas. Tai yra prieštara tam, kad A teisingas. Ši prieštara įrodo implikacijos T S teisingumą, ką ir reikėjo įrodyti. 2.5 išvada. Nėra racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas yra 2. Šiame skyrelyje parodėme, kad skaičių tiesėje yra taškas, kuris neatitinka jokio racionaliojo skaičiaus. Šį tašką atitinkančio skaičiaus kvadratas yra 2 ir tą tašką pažymėjome simboliu 2. Tokį tašką natūralu vadinti plyšiu racionaliųjų skaičių aibėje. 19-ame amžiuje buvo sukonstruota" realiųjų skaičių sistema, kurią sudaro dviejų rūšių skaičiai: racionalieji ir iracionalieji (tie, kurie nėra racionaliaisiais). Realiųjų skaičių sistemos elementai nėra geometrinės tiesės taškais. Remiantis Dedekindo-Cantoro aksioma (1.6 aksioma), tarp realiųjų skaičių sistemos ir geometrinės tiesės taškų egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis. Todėl galima sakyti, kad iracionaliųjų skaičių atitikmenys geometrinėje tiesėje užpildo plyšius tarp trupmenomis išreiškiamų taškų. 2 yra vienas iš tokių iracionaliųjų skaičių. 5 skyrelyje parodysime, kad racionaliųjų skaičių aibėje yra be galo daug plyšių. Prieš tai verta susipažinti su dviem naudingais faktais: dalyba su liekana ir fundamentalioji aritmetikos teorema. 3 Dalyba su liekana Įrodysime elementariosios matematikos faktą, vadinamą dalyba su liekana. Jis naudingas kalbant apie skaičių daliklius, bei lyginius ir nelyginius skaičius. 3.1 teorema. Tarkime, kad m ir n yra sveikųjų skaičių pora, be to, n yra teigiamas. Egzistuoja tokia vienintelė sveikųjų skaičių pora d ir l, kad m = d n + l ir 0 l < n. (3) Įrodymas. Reikia įrodyti du dalykus. Pirma, reikia įrodyti, kad visada galima rasti skaičių porą d ir l su nurodytomis savybėmis (3). Antra, reikia įrodyti, kad tokia skaičių pora yra vienintelė. Skaičių d ieškosime tarp tokių sveikųjų skaičių k, kuriems reiškinys m k n 0. Bent vienas toks k yra m. Iš tikro, remiantis prielaida n 1 ir modulio m apibrėžtimi, gauname { } m + m, jei m 0 m k n = m + m n m + m = 0. m m, jei m 0 Tarp visų neneigiamų skaičių m k n yra mažiausias, kurį pažymėsime l (faktas: kiekviena netuščia natūraliųjų skaičių aibė turi mažiausią elementą). Turint l, d bus toks k, kad m d n = l. Reikia įrodyti, kad l < n. 11

12 Tarkime, kad taip nėra, t.y. l n. Tada m (d + 1) n = m d n n = l n 0. Gavome, kad reiškinys m k n yra neneigiamas, kai k = d + 1. Be to, m (d + 1) < m d n = l. Taigi, l nėra mažiausias, kaip turėtų būti. Ši prieštara įrodo, kad l < n. Taigi, visada galima rasti skaičių porą d ir l su nurodytomis savybėmis (3). Liko įrodyti, kad tokia skaičių pora yra vienintelė. Tarkime, kad galima rasti skaičių porą k ir l, bei skaičių porą k ir l, kurioms teisinga m = d n + l = d n + l, 0 l < n ir 0 l < n, (4) t.y. abiem skaičių poroms teisingos savybės (3). Įrodysime, kad d = d ir l = l. Pertvarkę (4) išnašos antrąją lygybę, gauname naują lygybę l l = (d d ) n. Ši lygybė teisinga ne tik patiems skaičiams, bet ir jų moduliams, t.y. gauname lygybę l l = d d n. (5) Pertvarkę (4) išnašos pirmąsias dvi nelygybes, gauname nelygybes n < l 0 ir 0 l < n. Šių dviejų nelygybių dėka gauname naują nelygybę: n < l l < n, arba l l < n. Tada, remiantis (5), gauname d d n < n. Suprastinę iš n, gauname d d < 1. Bet tai yra įmanoma tik tuo atveju, kai d = d. Dar kartą panaudoję (5), gauname l = l. Teoremos įrodymas baigtas. Tegul m ir n yra tokie kaip 3.1 teoremoje. Sakoma, kad m dalosi iš n su liekana, jei galima rasti tokią sveikųjų skaičių porą d ir l, kuriai teisingos (3) savybės. Tokiu atveju, skaičius m vadinamas daliniu, skaičius n vadinamas dalikliu, skaičius d vadinamas nepilnu dalmeniu, o l vadinamas liekana. Jei liekana l = 0, tai d vadinamas dalmeniu ir sakoma, kad m dalosi iš n. 3.1 teorema teigia, kad bet kuris sveikasis skaičius m dalosi iš n su liekana vieninteliu būdu. Bet ši teorema nepasako, kaip rasti nepilną dalmenį d ir liekaną l. Tam reikalui naudojamas dalybos kampu algoritmas. Koks yra ryšys tarp dalybos kampu algoritmo ir 3.1 teoremos? Dalybos kampu algoritmas įgalina rasti nepilną dalmenį ir liekaną kiekvieną kartą, kai duoti konkretūs dalinys ir daliklis. Pavyzdžiui, jei m = 586 ir n = 3, tai dalybos kampu algoritmas duoda skaičių porą 195 ir 1, kuriai 12

13 teisinga (3) su d = 195 ir l = 1. Todėl, dalindami 586 iš 3, gauname, kad 195 yra nepilnas dalmuo ir liekana yra 1. Tačiau dalybos kampu algoritmas negarantuoja, kad tokiu būdu gauta skaičių pora visada yra nepilnas dalmuo ir daliklis, net jei skaičiavimai atlikti be klaidų. Gali būti algoritmų, kurie atskirais atvejais duoda teisingą rezultatą, bet bendru atveju nėra teisingi. Pavyzdžiui, trupmenoje prastindami šešetus skaitiklyje ir vardiklyje gauname ekvivalenią trupmeną 1 4, nors algoritmas klaidingas. Dalinant kampu, neįmanoma patikrinti visas galimas skaičių poras, nes jų yra be galo daug. Tačiau, naudojant 3.1 teoremą, galima pagrįsti, kad dalybos kampu algoritmo rezultatu visada bus nepilnas dalmuo ir liekana. Naudojant dalybos su liekana faktą, galima parodyti, kad visą sveikųjų skaičių aibę galima padalinti į dvi nesikertančias dalis. Tam naudosime 3.1 teoremą su n = 2. Pagal šią teoremą kiekvienas sveikasis skaičius dalosi iš dviejų su liekana l, lygia nuliui arba vienam. Jei sveikąjį skaičių m dalant iš dviejų liekana yra nulis, tai toks skaičius vadinamas lyginiu skaičiumi. Priešingu atveju, sveikąjį skaičių m dalant iš dviejų liekana yra vienetas, o pats m vadinamas nelyginiu skaičiumi. 4 Pirminiai skaičiai Vieno natūraliojo skaičiaus dalyba iš kito gali būti neapibrėžta aibėje N. Tačiau bendru atveju dalinį m dalindami iš daliklio n gauname dalmenį d ir liekaną l, t.y. galioja sąryšiai m = d n + l ir 0 l < n. (6) Šis dalybos su liekana faktas yra anksčiau įrodyta 3.1 teorema. Jei (6) išraiškoje liekana l = 0, tai sakome, kad n dalo m. Aišku, kad m = m 1 + 0, t.y. 1 dalo bet kurį m ir kiekvienas m dalo save. 4.1 apibrėžtis. Natūralusis skaičius didesnis už 1 vadinamas pirminiu, jei jis dalosi tik iš 1 ir iš savęs. Visi kiti didesni už 1 natūralieji skaičiai vadinami sudėtiniais. Pirminių skaičių pavyzdžiai: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Visi kiti skaičiai (sudėtiniai) yra pirminių skaičių sandaugos. Tikslesnis yra kitas teiginys, kuris vadinamas fundamentaliąja aritmetikos teorema. 4.2 teorema. Kiekvienas didesnis už 1 natūralusis skaičius n yra išreiškiamas pirminių skaičių sandauga: n = p k 1 1 pk 2 2 pk l l. (7) Tokia skaičiaus išraiška yra vienintelė, kai neatsižvelgiama į daugiklių tvarką. 13

14 Įrodymas. Tarkime, kad egzistuoja didesnis už 1 natūralusis skaičius, kurio negalima išskaidyti pirminių skaičių sandauga. Tada egzistuoja mažiausias toks natūralusis skaičius n (faktas: kiekviena netuščia natūraliųjų skaičių aibė turi mažiausią elementą). Kadangi n negali būti pirminiu skaičiumi, tai jis yra dviejų didesnių už 1 natūraliųjų skaičių k ir l sandauga: n = k l. Kadangi k < n ir l < n, dėl n minimalumo, k ir l yra išskaidomi pirminiais daugikliais. Todėl jų sandauga n = k l taip pat išskaidoma pirminiais daugikliais, o tai prieštarauja n parinkimui. Ši prieštara įrodo pirmąją teoremos dalį. Tarkime, kad M yra tokia didesnių už 1 natūraliųjų skaičių aibė, kurios elementai turi daugiau negu vieną išraišką pirminių skaičių sandauga. Liko įrodyti, kad aibė M yra tuščia. Tarkime, kad ši aibė nėra tuščia. Tada ji turi mažiausią elementą m (anksčiau minėtas faktas apie mažiausią elementą) ir m = p 0 p 1 p k = q 0 q 1 q l. Šioje išraiškoje pirminiai skaičiai p i q j visiems i ir j, nes esant bent vienai lygybei, suprastinus iš bendro daugiklio gautume mažesnį už m natūralųjį skaičių priklausantį aibei M. Tegul P := p 1 p k ir Q := q 1 q l. Tada m = p 0 P = q 0 Q. Kadangi p 0 ir q 0 skirtingi, tai galime tarti, kad vienas iš jų yra mažesnis už kitą, pavyzdžiui, p 0 < q 0. Remiantis 3.1 teorema egzistuoja tokie natūralieji skaičiai r ir s, kad q 0 = rp 0 + s ir 0 < s < p 0, čia s 0, nes q 0 yra pirminis skaičius. Apibrėžkime skaičių m := m p 0 rq. Kaip ir m, jis turi dvi išraiškas pirminių skaičių sandauga: m = p 0 (P rq) = sq. Pirmosios išraiškos daugiklis p 0 nėra tarp antrosios išraiškos daugiklių (kodėl?). Kadangi 1 < m < m ir m turi dvi skirtingas išraiškas pirminių skaičių sandauga, tai m M. Tai prieštarauja m minimalumui ir įrodo, kad M yra tuščioji aibė. Teorema įrodyta. (7) skaidinys vadinamas skaičiaus n kanoniniu skaidiniu. Pavyzdžiui, skaičiaus 440 kanoninis skaidinys: 440 = = Racionaliųjų skaičių aibėje yra be galo daug plyšių Kaip buvo žadėta 2 skyrelio gale, dabar parodysime, kad racionaliųjų skaičių aibėje yra be galo daug plyšių. Tiksliau, parodysime, kad nėra racionaliojo skaičiaus r, kurio kvadratas r nėra lygus kurio nors natūraliojo skai2iaus kvadratui. 14

15 parodėme, kad skaičių tiesėje yra taškas, kuris neatitinka jokio racionaliojo skaičiaus. Šį tašką atitinkančio skaičiaus kvadratas yra 2 ir tą tašką pažymėjome simboliu 2. Tokį tašką natūralu vadinti plyšiu racionaliųjų skaičių aibėje. 19-ame amžiuje buvo sukonstruota" realiųjų skaičių sistema, kurią sudaro dviejų rūšių skaičiai: racionalieji ir iracionalieji (tie, kurie nėra racionaliaisiais). Iracionalieji skaičiai užpildo plyšius racionaliųjų skaičių aibėje. 5.1 apibrėžtis. Natūralusis skaičius vadinamas tobulu kvadratu, jei jis yra kito naturaliojo skaičiaus kvadratas. Pavyzdžiui, 25 yra tobulas kvadratas, nes 25 = lema. Natūralusis skaičius yra tobulas kvadratas tada ir tik tada, kai kiekvienas pirminis skaičius jo kanoniniame skaidinyje pasirodo lyginį skaičių kartų. 5.3 teorema. Jei p yra pirminis skaičius, tai nėra racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas yra p. Įrodymas. Teoremą įrodysime prieštaros būdu kai p = 3. Tarkime, kad 3 yra racionalusis skaičius, t.y. egzistuoja tokie natūralieji skaičiai m ir n, kad n 0 ir 3 = m n. Pakėlę abi lygybės puses kvadratu ir padauginę iš n 2, gauname 3n 2 = m 2. (8) Kairioji lygybės pusė dalosi iš 3, todėl dešinioji lygybės pusė, t.y. m 2, taip pat dalosi iš 3. Įrodysime, kad iš 3 dalosi ir m. 5.4 lema. Tarkime, kad a yra sveikasis skaičius. Teisinga implikacija: jei 3 dalo a 2, tai 3 dalo a. Įrodymas. Tegul U yra teiginys [3 dalo a 2 ] ir V yra teiginys [3 dalo a]. Naudosime kontrapoziciją: [U V ] [ V U]. Tarkime, kad teisingas teiginys V, t.y. 3 nedalo a. Remiantis dalybos su liekana faktu (3.1 teorema), egzistuoja tokia vienintelė sveikųjų skaičių pora d ir l, kad a = 3 d + l ir 0 < l < 3 Čia l 0, nes 3 nedalo a. Todėl a = 3 d + 1 arba a = 3 d + 2. keldami kvadratu, gauname (3 d + 1) 2 = 9 d d + 1 = 3 (3d 2 + 2d) + 1, (3 d + 2) 2 = 9 d d + 4 = 3 (3d 2 + 4d + 1) + 1. Abiem atvejais 3 nedalo a 2, t.y. teisingas teiginys U. Dėl kontrapozicijos, teisinga implikacija U V. Lema įrodyta. 15

16 Tarkime, kad n 2 kanoninis skaidinys yra p 1 p 2 p l. Kadangi 3 yra pirminis skaičius, tai 3p 1 p 2 p l yra skaičiaus 3n 2 kanoninis skaidinys. Tvirtiname, kad šiame skaidinyje skaičius 3 pasirodo nelyginį skaičių kartų. Galimi lygiai du atvejai: 3 {p 1, p 2,..., p l } arba 3 {p 1, p 2,..., p l }. Remiantis 5.2 lema, abiem atvejais (8) lygybės kairiosios pusės kanoniniame skaidinyje skaičius 3 pasirodo nelyginį skaičių kartų. Tuo tarpu tos pačios lygybės dešiniosios pusės kanoniniame skaidinyje skaičius 3 pasirodo lyginį skaičių kartų remiantis ta pačia 5.2 lema. Ši prieštara įrodo teoremą atveju p = 3. Skaitytojui siūlome teoremą įrodyti bendru atveju (6.3 užduotis). Apibendrinsime pastarąją teoremą. 5.5 teorema. Jei natūralusis skaičius n nėra tobulas kvadratas, tai n yra iracionalusis skaičius. Įrodymas. Vėlgi, teoremą įrodysime vienam konkrečiam skaičiui, siūlydami pačiam skaitytojui įrodyti teoremą bendru atveju. Tarkime, kad n = 45 ir 45 = m n su kuriais nors natūraliaisiais m ir n. Pakėlę abi pastarosios lygybės puses kvadratu, padauginę iš n 2 ir pasinaudoję išraiška 45 = 3 2 5, gauname m 2 = 45n 2 = 5(2n) 2. (9) Pirminis skaičius 5 yra pirmuoju laipsniu, nes 45 nėra tobulas kvadratas (žr. 5.2 lemą). Be to, skaičių m 2 ir (2n) 2 kanoniniai skaidiniai privalo turėti pirminius daugiklius su lyginiais laipsniais. Įstatę šiuo skaidinius į (9) lygybių kraštinius narius, dešinėje pusėje gauname daugiklį 5 su nelyginiu laipsniu. Tai prieštarauja m 2 kanoninio skaidinio vienatinumui. Kitas teiginys yra Euklido Pradmenų" IX knygos Proposition 20 (verta palyginti). 5.6 teorema. Pirminių skaičių yra be galo daug. Įrodymas. Tegul Π yra pirminių skaičių aibė. Tarkime, kad teoremos teiginys yra klaidingas. Remiantis negalimo trečiojo dėsniu teisingas jam priešingas teiginys, t.y. egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kad Π = {p 1,..., p n }. Skaičius N = p 1 p 2 p n + 1. yra natūralusis ir didesnis už kiekvieną aibės Π elementą. Todėl N nėra pirminis, t.y. N Π. Remiantis fundamentaliąja aritmetikos teorema (4.2), N dalosi be liekanos iš pirminio skaičiaus. Kadangi visi pirminiai skaičiai yra aibės Π elementais, tai vienas iš jų, tarkime p k, 1 k n, dalo N. Todėl p k dalo N p 1 p 2 p n = 1. Bet tai yra neįmanoma pirminio skaičiaus savybė, rodanti, kad p k nėra pirminis. Tai yra prieštara įrodanti, kad teisingas teoremos teiginys. 16

17 6 Pratimai 6.1 užduotis. Įrodyti teiginius: 1. dviejų nelyginių skaičių sandauga yra nelyginis skaičius; 2. dviejų lyginių skaičių sandauga yra lyginis skaičius; 3. nelyginio ir lyginio skaičių sandauga yra nelyginis skaičius. 6.2 užduotis. Įrodyti 5.2 lemą. 6.3 užduotis. Įrodyti 5.3 teoremą. 6.4 užduotis. Įrodyti, kad nėra racionaliojo skaičiaus, kurio kubas yra 2. (Kaip apibrėžtumėte kėlimą trečiuoju laipsniu arba kubu?) References [1] H.J.M. Bos, Redefining Geometrical Exactness: Descartes Transformation of the Early Modern Concept of Construction. Springer, [2] R. Dedekind, Continuity and irrational numbers. Transl. to English by W.W. Beman, [3] I. Grattan-Guinness, Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid s Elements: How Did He Handle Them?. Historia Mathematica 23 (1996), [4] K. von Fritz, The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum. Annals of Mathematics, 46 (1945), [5] D.E. Joyce, Euclid s Elements. java/elements/elements.html [6] A. Malet, Renaissance notions of number and magnitude. Historia Mathematica 33 (2006), no. 1, [7] J. Naets, How to Define a Number? A General Epistemological Account of Simon Stevin s Art of Defining. Topoi (2010) 29: [8] R. Norvaiša, Trupmenos samprata aritmetikoje. Paskaitų Matematika ir filosofija dalomoji medžiaga, 2016 pavasaris. http//klevas.mif.vu.lt/ rimasn [9] V. Stakėnas, Matematikos istorijos skiautiniai. Tikros istorijos apie matematikus ir jų mokslą. Žara, [10] S. Stevin, L Arithmetique. In: A. Girard. (ED.), Les Oeuvres Mathematiques de Simon Stevin (Leyde, 1634), part I, pp

18 [11] R. Thiele, Antiquity. In: Ed. H.N. Jahnke, A History of Analysis, AMS and LMS, [12] H.-H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. AMS,