VILNIAUS UNIVERSITETAS. Dmitrij Celov LAIKO EILUČIŲ AGREGAVIMAS, DEAGREGAVIMAS IR TOLIMA PRIKLAUSOMYBĖ.

Transcription

1 VILNIAUS UNIVERSITETAS Dmitrij Celov LAIKO EILUČIŲ AGREGAVIMAS, DEAGREGAVIMAS IR TOLIMA PRIKLAUSOMYBĖ. Daktaro disertacijos santrauka Fiziniai mokslai, matematika (01 P) Vilnius, 2008

2 Disertacija rengta metais Vilniaus universitete. Mokslinis vadovas: Prof. habil. dr. Remigijus Leipus (Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Disertacija ginama Vilniaus universiteto Matematikos mokslo krypties taryboje: Pirmininkas: Prof. habil. dr. Vygantas Paulauskas (Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Nariai: Prof. habil. dr. Vydas Čekanavičius (Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Prof. habil. dr. Donatas Surgailis (Matematikos ir informatikos institutas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Doc. dr. Marijus Radavičius (Matematikos ir informatikos institutas, fiziniai mokslai, matematika 01 P); Dr. Marijus Vaičiulis (Šiaulių universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01P); Oponentai: Prof. habil. dr. Liudas Giraitis (Queen Mary koledžas, Londono universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Prof. habil. dr. Alfredas Račkauskas (Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, matematika 01 P) Disertacija bus ginama viešame Matematikos mokslo krypties tarybos posėdyje 2008 m. spalio 10 d. 15 val., Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto 103 auditorijoje. Adresas: Naugarduko g. 24, LT-03225, Vilnius, Lietuva. Disertacijos santrauka išsiuntinėta 2008 m. rugsėjo mėn. d. Su disertacija galima susipažinti Vilniaus universiteto bibliotekoje.

3 VILNIUS UNIVERSITY Dmitrij Celov TIME SERIES AGGREGATION, DISAGGREGATION AND LONG MEMORY. Summary of Doctoral Dissertation Physical Sciences, Mathematics (01 P) Vilnius, 2008

4 The scientific work was carried out during at Vilnius University. Scientific supervisor: Prof. Dr. Habil. Remigijus Leipus (Vilnius University, Physical Sciences, Mathematics 01 P) The Council: Chairman: Prof. Dr. Habil. Vygantas Paulauskas (Vilnius University, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Members: Prof. Dr. Habil. Vydas Čekanavičius (Vilnius University, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Prof. Dr. Habil. Donatas Surgailis (Institute of Mathematics and Informatics, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Doc. Dr. Marijus Radavičius (Institute of Mathematics and Informatics, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Dr. Marijus Vaičiulis (Siauliai University, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Opponents: Prof. Dr. Habil. Liudas Giraitis (Queen Mary College, University of London, Physical Sciences, Mathematics 01 P) Prof. Dr. Habil. Alfredas Račkauskas (Vilnius University, Physical Sciences, Mathematics 01 P) The dissertation will be defended at the public meeting of the Council on October 10, 2008, in Vilnius University, Department of Mathematics and Informatics at Address: Naugarduko Str. 24, LT-03225, Vilnius, Lithuania. The summary of the dissertation was distributed on September, The dissertation is available at the library of Vilnius University.

5 Disertacinio darbo aprašymas Mokslinė problema ir jos aktualumas Su laiko eilučių agregavimu, agreguotais duomenimis nuolat susiduriama įvairiose srityse, įskaitant taikomuosius uždavinius sociologijoje, hidrologijoje, statistikoje, makroekonomikoje, ekonometrijoje. Praktiškai sprendžiamų agregavimo uždavinių spektras yra labai platus. Agregavimo tematikoje išskiriami tiesinis ir netiesinis, didelio ir mažo kiekio laiko eilučių agregavimas, agregavimas erdvėje ir laike, taip pat sutinkamas agregavimas kartu erdvėje ir laike. Praktiškai galima nagrinėti bet kurio vienamačio ar daugiamačio laiko eilučių modelio agregavimą. Pavyzdžiui, pastaruoju metu populiarėja aktualių finansų matematikoje sąlyginio heteroskedastiškumo modelių agregavimas (Zaffaroni (2006), Giraitis ir kt. (2008)), nagrinėjami sudėtingesnės erdvinės koreliacijos modeliai (Giacomini ir Granger (2004)). Istoriškai (Gorman (1953), Klein (1954), Theil (1954), Grunfeld ir Griliches (1960), Ando (1970)) agregavimo problematika suskyla į du atskirus, tačiau glaudžiai susijusius agregavimo bei modelio parinkimo uždavinius. Pirmasis uždavinys tyrinėja atvejus, kuomet makro lygmens modeliai gali suteikti interpretuotiną informaciją apie mikro lygmens procesų savybes. Kita šios problematikos kryptis yra agreguotų laiko eilučių modelių savybių analizė, kai pastarosios gaunamos, pavyzdžiui, iš daugelio atskirų modelių su žinoma struktūra (Granger (1980)). Antrasis, modelio parinkimo, uždavinys susiveda į mikro ar makro lygmens modelio specifikacijos parinkimo dilemą, kurios esmė gauti optimalias (pavyzdžiui, vidutinio kvadratinio nuokrypio prasme) agreguotų duomenų prognozes. Naujas susidomėjimo agregavimo problematika etapas prasidėjo Robinson o (1978) bei Granger io (1980) darbais, kuriuose buvo parodyta, kad begalinio kiekio pirmos eilės autoregresijos (žymima AR(1)) artimos priklausomybės (procesų su eksponentiškai gęstančiomis autokovariacijomis) modelių su atsitiktinių parametrų pasiskirsčiusių pagal Beta skirstinį vienalaikis agregavimas gali generuoti tolimos priklausomybės (modelis su absoliučiai nesumuojamomis autokovariacijomis) Gauso stacionarų procesą. Vėliau ši agregavimo schema buvo apibendrinta tiek diskretaus laiko atveju (Oppenheim ir Viano (2004), Zaffaroni (2004) bei kiti darbai) tiek ir tolydaus laiko atveju (Anh ir kt. (2004), Barndorff-Nielsen (2001), Oppenheim ir Viano (2004)). 5

6 Tokiu būdu, agregavimas viena vertus supaprastina, bet kartu ir komplikuoja agreguotų procesų struktūrą agreguojamų procesų atžvilgiu: netiesinius sąryšius paverčia tiesiniais, eliminuoja erdvines agreguojamų procesų tarpusavio koreliacijas, agregavimas laike veikia modelio parametrus, sudėtingiau susieja paklaidas per didesnės eilės slenkamojo vidurkio procesą ir pan. Visa tai lemia agreguotų procesų charakteristikas: autokovariacinę struktūrą, kointegruotumą, priežastingumą, gali atsirasti minėtas tolimos priklausomybės efektas. Taip pat iš pateiktų pavyzdžių seka, kad agreguoto proceso savybės bendrai skiriasi nuo agreguojamų procesų savybių, o tai savo ruožtu ir sudaro (de)agregavimo problematikos esmę. Siekiant surišti makro stebėjimus ir mikro lygmens modelius, išspręsti agregavimo sąlygotus sunkumus, aktualu nustatyti atvejus, kuomet egzistuoja atvirkštinio, deagregavimo uždavinio sprendinys. Pastarąjį išspręsti pavyksta prie tam tikrų modelinių prielaidų, pavyzdžiui, tai įmanoma padaryti tiesiškai agreguojant disertacijoje nagrinėjamus AR(1) modelius. Pažymėtina, kad AR(1) (de)agregavimo schema iš tiesų yra gana paplitęs ekonomikos taikymų atvejis. Taip yra todėl, kad dažnai mikroekonominius elgsenos sąryšius pavyksta gana tiksliai aproksimuoti modeliais su paskirstytais pavėlinimais (angl., autoregressive distributed lags models, žymima ARDL), kuriuos, dėl Koyck (1954) tipo transformacijos (adaptyvieji lūkesčiai, dalinio prisitaikymo modeliai, paklaidų korekcijos ir t.t.), galima pateikti AR(1) formoje, su gal būt egzogeniniais veiksniais. Be to, AR(1) modelis gana dažnai empiriškai pagrįstas kaip tinkama mikro lygmens atsitiktinių procesų stacionarios dalies aproksimacija. Tačiau net ir šiuo, paprasčiausiu atveju, egzistuoja keletas priklausančių nuo daromų mikro lygmens prielaidų būdų išspręsti deagregavimo uždavinį. Kadangi a priori sudėtinga ką nors teigti apie šių metodų empirinį adekvatumą, aktualu palyginti juos, esant skirtingoms modelinėms situacijoms, ištirti jų stabilumą (robastiškumą) kai agregavimo prielaidos yra pažeidžiamos. Bet iš pradžių svarbu nusakyti priemones, kurių pagalba nagrinėjami deagregavimo uždaviniai. Disertacijoje analizuojamo AR(1) deagregavimo uždavinio mikro lygmens laiko eilutes patogu nusakyti dvigubu stochastiniu procesu, kuriame ir triukšmo (inovacijų) komponentė, ir proceso parametrai yra atsitiktiniai. Sprendžiamo uždavinio esmė stebint tik agreguotus duomenis, įvertinti atsitiktinių parametrų bendrą skirstinį (tankį). Tokia uždavinio 6

7 formuluotė skiriasi, pavyzdžiui, nuo Robinson (1978), kur deagregavimas vyksta panelinių (mikro lygmens) duomenų kontekste. Atsižvelgiant į tai, kad paneliniai duomenys dažnai nėra prieinami, darbas su makro lygmens duomenimis lieka vienintelė empirinė alternatyva. Įvairius šio, ir jo atskiro atvejo AR(1) (de)agregavimo schemos uždavinio aspektus tarp kitų nagrinėjo Dacunha-Castelle, Oppenheim (2001), Dacunha- Castelle, Fermin (2006), Leipus ir kt. (2006), Chong (2006). Disertacijoje tirinėti uždaviniai iš esmės pratęsia ir papildo šiuos palyginus naujus deagregavimo tematikoje rezultatus. Tyrimo objektai Disertacijoje nagrinėjami du AR(1) modelio tiesinio agregavimo atvejai: modeliai su ir be bendrų inovacijų. Analizuojami trys alternatyvūs deagregavimo būdai: parametrinis Chong metodas, paremtas polinominio tankio prielaida; semiparametrinis LOPV metodas, paremtas maišančiojo tankio išdėstymu Gegenbauer io polinomais; ir disertacijoje siūlomas šių metodų idėjomis pagrįstas hibridinis plėtinys. Kartu nagrinėjamos kai kurios LOPV įvertinio statistinės savybės. Tikslas ir uždaviniai Pagrindinis disertacinio darbo tikslas yra dar nenagrinėtų LOPV įvertinio statistinių savybių tyrimas bei jo empirinis pritaikymas realiems makroekonominiams duomenims. Darbo atlikimo metu buvo suformuluoti uždaviniai susiję su maišančiojo tankio konstravimu iš elementarių tankių; LOPV įvertinio asimptotinio normališkumo įrodymu; LOPV įvertinio tyrimu, esant agregavimo schemos prielaidų pažeidimams. Kartu su teoriniais rezultatais taikomieji uždaviniai apima LOPV įvertinio ir jo alternatyvų imitacinius eksperimentus, visuminio vartojimo deagregavimą G7 šalims, maišančiųjų tankių konstravimo pavyzdžius. 7

8 Naujumas Mokslinių darbų originalumas ir naujumas yra susijęs su formuluojamomis užduotimis: sprendžiami uždaviniai yra aktualus dar nenagrinėti laiko eilučių agregavimo, deagregavimo ir tolimos priklausomybės kontekste, be to darbo rezultatai yra naudingi ir realiuose taikymuose. Tyrimų metodika Asimptotiniam normališkumui (žymima a.n.) įrodyti naudojami fundamentalūs Bhansali ir kt. (2006) tiesinių procesų kvadratinėms formų a.n. rezultatai. Disertacijoje taikomi įvairūs laiko eilučių analizės, bendros tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodai. Empirinėje dalyje esminiai teoriniai faktai tikrinami Monte Carlo imitacinių eksperimentų pagalba. Darbo struktūra Disertacinis darbas sudarytas iš įvado, apžvalginio skyriaus, kurių paskirtis supažindinti skaitytojus su nagrinėjama problematika. Toliau eina trys skyriai su pagrindiniais rezultatais, išvados ir publikacijų sąrašas. Disertacija parašyta anglų kalba. Bendra darbo apimtis 107 puslapiai. Darbo apžvalga ir svarbiausi rezultatai Darbo įvadas trumpai supažindina su laiko eilučių agregavimo bei deagregavimo problematika, pagrindžia atskiro (tiesinio didelio kiekio autoregresijos pirmos eilės (žymima AR(1))) laiko eilučių agregavimo uždavinio praktinę bei teorinę svarbą bei aktualumą. Teorinė darbo nauda seka iš naujų rezultatų susijusių su deagregavimo į AR(1) Leipaus ir kt. (2006, toliau LOPV) įvertinio statistinėmis savybėmis, atsitiktinio autoregresijos parametro maišančiojo tankio išreikštinio pavidalo radimu bei jo analize. Praktiniai poreikiai matyti deagregavimo uždavinius taikant realiems (makroekonominiams) duomenims. Pirmame, Agregavimo ir deagregavimo uždavinių apžvalgos, skyriuje pateikiami įvairūs (de)agregavimo uždavinių aspektai. Pati apžvalga susideda iš trijų dalių, kuriose akcentuojama po vieną iš disertacijos pavadinime atspindėtų temų. Pirmoje apžvalgos dalyje nagrinėjami įvairūs 8

9 agregavimo klausimai: klasifikavimas, tipai, individualių procesų prielaidos, agreguoto proceso apibrėžimai. Schematiškai agregavimo klausimų įvairovė iliustruojma 1 paveiksle. Mažo kiekio Laike Erdvinis Tipas Didelio kiekio Laike ir erdvėje Tiesiniai Tiesinis Netiesiniai Heterogen. šaltiniai Įvestys Individ. procesai Sąl. heterosk. Funkcionalai Initial DCC Agregavimas formulation E H t = D DCC t R t D t E Dvigubai stoch. Agregav. funkcionalas Netiesinis Parametrai Metodai Deterministinis Prognozavimo Stochastinis 1 pav.: Pagrindiniai agregavimo aspektai. Apžvalgoje pažymėta, jog bet kuri agregavimo schema prasideda nuo mikro lygmens procesų ekonometrinio modelio specifikacijos, kurią patogu nagrinėti gana abstrakčiame vektoriniame pavidale, čia toliau visur y žymi realių skaičių vektorių iš R s. Tiesioginis agregavimo uždavinys iškyla mikrolygio elgsenos (idiosinkratinėse) lygtyse y it = f i (x it, u it, θ i ), i = 1, 2,..., N, t = 1, 2,..., T ; esant duomenų heteroskedastiškumo šaltiniams: veiksnių (x it ) bei inovacijų (u it ) įvestyse, modelio parametruose (θ i ) arba funkcinėje formoje (f it ). Agregavimas šiame kontekste suprantamas kaip nurodytų laiko eilučių y it sumavimas arba (dažniausiai) vidurkinimas. Tegul Y t = N 1 N i=1 y it žymi individualių procesų populiacijos vidurkį. 9

10 Skirtingi reikalavimai (iki)ribiniam agreguotam procesui, kai N arba N yra baigtinis, duoda tris pagrindinius agreguoto proceso apibrėžimus (žr. Pesaran (2002)): 1. griežtasis arba deterministinis (Gorman (1953), Klein (1954), Theil (1954)), kai agregavimo funkcija bet kuriai realizacijai tiksliai atitinka agregavimo rezultatą, kitaip sakant F (X t, U t, θ a ) N 1 N f it (x it, u it, θ i ) = 0, i=1 čia X t = N 1 N i=1 x it, U t = N 1 N i=1 u it, o a b yra atitinkamas atstumo tarp a ir b matas. Šis reikalavimas yra labai griežtas, jis negalioja jau netiesiniams kintamuosiuose, bet gal būt tiesiniams parametruose, modeliams (tokiems kaip, pavyzdžiui, log log regresijos); 2. statistinis arba stochastinis (Kelejan (1980), Stocker (1984), Lippi (1988), Lewbel (1994)) išsprendžia deterministinio metodo nelogiškumą, kuomet atstumo sąlyga turi būti išpildyta kiekvienai realizacijai, nepaisant jos tikimybės įvykti. Pagal šį apibrėžimą agreguotas procesas seka iš bendro mikro lygmens procesų skirstinio P (x t, u t, θ; φ t ) ir atitinkamo sąryšio tarp empirinių vidurkių (µ y (t) ir µ x (t)). Nors stochastinis agreguoto proceso apibrėžimas yra pranašesnis nei deterministinis, jis vis tiek gana griežtas, kad tiktų daugumai ekonominės analizės uždavinių; 3. silpnasis arba optimalios prognozės (Garderen ir kt. (2000), Pesaran (2002)) metodas išsprendžia ir stochastinio metodo neadekvatumo problemą. Iš tikrųjų pakanka, kad bet kuriai realizacijai agregavimo funkcija minimizuotų atitinkamą atstumą (sąlyginio vidurkio prasme, informacijos Ω t atžvilgiu) iki agreguojamų procesų vidurkio, kitaip sakant agreguotas procesas būtų optimali prognozė. Svarbu, kad šis metodas reikalauja mažiausiai iš individualių procesų, pavyzdžiui, jis bendrai tinkamas ir priklausomų, ir netiesinių procesų agregavimui. Kita reikšminga apžvalgos dalis skiriama agregavimo tipų aptarimui ir pavyzdžiams. Pagrindiniai agregavimo tipai: mažo ir didelio kiekio agregavimas erdvėje, agregavimas laike, bei agregavimas kartu laike ir erdvėje. Disertacijoje akcentuojamas tiesinis didelio kiekio agregavimas 10

11 erdvėje, kuris yra pristatomas atskirai, iš pradžių trumpai aprašomi kiti agregavimo tipai. Mažo kiekio agregavimo analizė leidžia geriau suvokti, kas darosi su atskirų, nebūtinai vienodos struktūros, procesų suma (vidurkiu). Svarbus laiko eilučių kontekste autoregresijos slenkamų vidurkių (ARMA) procesų agregavimo pavyzdys seka iš Granger ir Morris (1976) teoremos, pagal kurią dviejų ARMA(p j, q j ), j = 1, 2 suma sąlygoja ARMA(m, n) su m p 1 +p 2 ir n max{p 1 +q 1, p 2 +q 1 }. Panašiai agreguojant N AR(1) procesų galime gauti ARMA(n, n 1), n N. Tam tikrais atvejais, kai N tolsta begalybėn, tai gali reikšti daug sudėtingesnę modelio struktūrą ir savybes skirtingas nei agreguojamų laiko eilučių savybės. Agregavimas laike. Kitas agregavimo tipas agregavimas laike sutelkia dėmesį į sąryšius tarp aukšto dažnio (deagreguoto), žymimo y t, ir žemo dažnio (agreguoto), žymimo yt ir stebimo laiko momentais (k, 2k, 3k...) kažkokiam sveikam k; laiko eilučių modelių ir agregavimo poveikį agreguoto proceso savybėms: kointegravimui, priežastingumui Granger io prasme, modelio struktūrai (žr., Granger (1990), Silvestrini ir Veridas (2008) tarp kitų). Aukšto dažnio modelio parametrus galima įvertinti tiksliau, nes įvertinimai remiasi platesne informacijos aibe, todėl svarbu gebėti iš aukšto dažnio modelio išskaičiuoti žemo dažnio modelio parametrus. Agregavimo uždavinio sprendimas remiasi specifinio transformacijos operatoriaus T (L) paieška (Lx t = x t 1 žymi pavėlinimo operatorių). Pažymėtina, kad atvirkštinis uždavinys (kaip iš žemo dažnio modelio parametrų atkurti aukšto dažnio) nėra dar plačiai nagrinėtas. Sprendimas apsunkinamas tuo, kad reikia dirbti su trupmeniniais pavėlinimais (k yra racionalusis), bet pradinė transformacijos operatoriaus T (L) paieškos idėja liktų ir šiuo atveju. Agregavimas kartu laike ir erdvėje iš esmės yra didelio kiekio agregavimo erdvėje ir laike derinys. Disertacijoje pateikiamas subtilesnės erdvinės (angl. spatial) koreliacijos pavyzdys, kuomet tam tikrą atskirą procesą gali veikti ne tik jo praeitis, bet ir artimų kaimynų reikšmės (Giacomini ir Granger, 2004). Apžvalgoje pateiktas erdvinių AR(1,1) modelių agregavimas, kuomet agreguotas procesas, ignoruojant krašto efektus, gaunamas jau be erdvinės koreliacijos. Vadinasi agregavimas, šiuo atveju, supaprastina agreguojamų sąryšių savybes. Sąlyginio heteroskedastiškumo modelių agregavimas. Empiriniai portfe- 11

12 lių grąžų tyrimai finansuose parodė, jog grąžų kvadratai taip pat pasižymi tolimos priklausomybės (nesumuojamų autokovariacijų prasme) savybe. Kadangi iki galo nėra aišku kas yra tolimos priklausomybės priežastis, pastarąją paaiškinti buvo bandoma modeliais su režimų kaita bei tiesiniu sąlyginio heteroskedastiškumo (SH) modelių agregavimu. Pirmi rezultatai, nagrinėjantys ARCH/GARCH modelių agregavimą, atskleidė, kad grąžų kvadratai nepasižymi tolimos priklausomybės savybe (Giraitis ir kt. (2000, 2007), Kazakevičius ir kt. (2004), Zaffaroni (2006)). Kadangi SH modelių aibė yra labai plati, tolesnė paieška leido įrodyti tolimos priklausomybės savybę šiems dviem modeliams: netiesiniam slenkamojo vidurkio modeliui (Robinson ir Zaffaroni (1998)) ir tiesiniam ARCH (LARCH) modeliui (Giraitis ir kt. (2008)). Sekanti apžvalgos dalis bendrame lygyje nagrinėja didelio kiekio tiesinį agregavimą erdvėje, dvigubai stochastinius agreguojamus procesus ir tankių mišinius. Apžvalga remiasi metodais ir apibrėžimais pateiktais Dacunha- Castelle ir kt. (2001, 2006) darbuose. Tegul Y (j) = {Y (j) t (A (j) (ω), ω ), t T }, j N žymi centruotų antros eilės dvigubai stochastinių individualių atsitiktinių procesų aibę, kurios struktūra nusakoma atsitiktiniais parametrais A = {A (j), j N} (ergodinis procesas su tankio funkcija ν), nepriklausomas nuo kito atsitiktinumo šaltinio (modelio inovacijų). Tegul X (N) (A) = {X (N) t, t T } yra procesų {Y (j) } dalinių sumų seka X (N) t (A) = 1 N Y (j) t (A (i) ), BN i=1 čia B N normuojanti realių skaičių seka: B N, kai N. Tuomet agreguotas procesas yra toks, kad bet kokiai Y realizacijai, dalinių sumų seka {X (N) t (A)} konverguoja ν beveik tikrai į procesą X. Pažymėtina, kad agregavimo ir deagregavimo užduotys praktiškai sprendžiama tik specifinėse procesų klasėse. Žinomi pavyzdžiai yra p-os eilės autoregresinių procesų AR(p) ir jų tolydieji analogai p-os eilės Ornstein- Ulenbeck OU(p) procesai (žr. Oppenheim ir Viano (1999, 2004)). Analizuojant šiuos atvejus išskiriamos dvi situacijos: nepriklausomi individualūs procesai atvejis be bendru inovacijų (B N = O(N)); su bendromis inovacijomis η = {η t, t T } nepriklausomomis nuo atsitiktinių parametrų (B N = O(N 2 )). Pagrindinis dvigubų stochastinių procesų analizės įrankis yra tankių mišiniai. Tegul g(λ, y), λ [ π, π], y R s yra spektrinių tankių šeima ir 12

13 µ(dy) kuris nors teigiamas matas, tuomet f ir g mišinys µ atžvilgiu yra f(λ) = g(λ, y)µ(dy) Rs tada ir tik tada, kai f(λ) yra integruojama Lebego prasme funkcija. Svarbus taikomasis rezultatas yra tai, kad, anot Dacunha-Castelle ir kt.: bet kuris tankių mišinys gali būti interpretuojamas kaip kurio nors agregavimo rezultatas. Tokiu būdu, agreguoto proceso X deagregavimo uždavinio sprendimas glaudžiai susijęs su tankių mišinių egzistavimu. Šis tvirtinimas yra centrinis deagregavimo apžvalgos dalyje, o bendrasis X deagregavimo į kurią nors klasę uždavinys ekvivalentus tam ar gali agreguoto proceso spektrinis tankis f būti išreiktas per tam tikrą mišinį. Paminėtina, kad jei modelis turi bendras inovacijas, tai už bendras inovacijas atsakingos spektrinio tankio dalies dekompozicija yra kiek kitokia: F c (λ) = R s h(λ, y)µ(dy) Toliau agregavimo, deagregavimo apžvalga iliustruojama autoregresinių pasiskirsčiusių pavėlinimų (ARDL) modelių su Koyck (1954) pavėlinimų struktūra agregavimo pavyzdžiu. Individualūs procesai aprašomi lygtimis 2. Y (j) t = a (j) Y (j) t 1 + b (j) X (j) t + u (j) t, j N, t Z, čia ir toliau Y (j) t j-ojo individo charakteristika; u (j) t 0; η t individualiems procesams bendros inovacijos, ε (j) t = ρ (j) η t +ε (j) t, ρ (j) individualios mikro lygmens inovacijos, sudarančios stipriąją balto triukšmo seką 1, (a (j), b (j) ) absoliučiai tolydūs atsitiktiniai (bendrai priklausomi) parametrai, nepriklausomos atsitiktinio vektoriaus (a, b) kopijos, a < 1. Laikoma, kad atsitiktiniai dydžiai (a, b), ε (j) t ir η t yra nepriklausomi. Atskiras ARDL atvejis yra disertacijoje nagrinėjamos AR(1) (de)agregavimo schemos (b (j) 0). Svarbi ARDL agregavimo išvada yra, kad jei a ir b nepriklausomi, o agreguotas procesas apgręžiamas, tai autoregresinio parametro a momentai gaunami iš AR( ) reprezentacijos per atitinkamus rekurentinius sąryšius E(a s ) = s 1 r=0 E(a r )c s r. Disertacijos analizuojami deagregavimo metodai taip pat pasinaudoja šia momentų rekurentine išraiška. Paskutinioji apžvalgos dalis supažindina su stacionarių procesų tolimos 1 Stipriuoju baltu triukšmu disertacijoje vadinama vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių seka ε t, t Z su vidurkiu Eε t = 0 ir dispersija Eε 2 t = 1. 13

14 priklausomybės esminiais aspektais. Pirmiausiai, pastebėta, kad tolima priklausomybė (angl. long memory, žymėsime LM) nusakoma įvairiais, bendrai neekvivalenčiais apibrėžimais: absoliučiai nesumuojama autokovariacija ( h= σ(h) = ); hiperboliškai gęstančios autokovariacijos (σ(h) h 2d 1 l 1 (h)); spektrinio tankio elgsena nulio aplinkoje (f(λ) λ 2d l 2 (1/ λ )); Wold o išdėstymo koeficientų elgsena (ψ j j d 1 l 3 (j)). Čia visur l ( ) yra lėtai kintanti funkcija ( c > 0, l (cx)/l (x) 1, kai x ), o už priklausomybės tipą atsakingas parametras d (0, 1/2), esant tolimai priklausomybei. Apžvalga baigiama trupmeniniais FARIMA ir ARUMA modeliais. Pastarasis modelis iš esmės yra FARIMA modelio apibendrinimas, kuomet leidžiamos bet kokios autoregresinio polinomo šaknys vienetiniame apskritime (Giraitis ir Leipus (1995), Oppenheim ir Viano (1995)). Tarp kitų įrodytų faktų darbuose parodyta, jog trupmeninio ARUMA modelio autokovariacijos elgiasi hiperboliškai: σ(h) h 2d 1 β(h), čia β(h) sinusoidų suma, d < 1/2. Tokiu būdu, trupmeninis ARUMA gali pasižymėti tolimos priklausomybės savybe. Antrajame, AR(1) procesų agregavimas ir deagregavimas, skyriuje išsamiau analizuojamos AR(1) agregavimo schemos, pristatomi deagregavimo metodai, išnagrinėtas maišančiųjų tankių konstravimo metodas. Jei ARDL lygtyse reakcijos į bendrų inovacijų pasikeitimus yra homogeniškos (ρ (j) 1, j N), ir nėra egzogeninių veiksnių (b (j) 0, j N), tai AR(1) dinamika nusakoma sekančiomis lygtimis Y (j) t = a (j) Y (j) t 1 + η t + ε (j) t, t Z, j N. Toliau nagrinėjami trys deagregavimo alternatyvos, kurių agregavimo schemų prielaidos papildomos reikalavimais autoregresinio parametro a tankiui ϕ(x). Pirmasis Chong (2006) siūlomas ϕ(x) vertinimo metodas remiasi prielaida, jog ieškoma tankio funkcija nusakoma m-os eilės polinomu ϕ(x) = m c s x s 1 x [0,1), ϕ(x) 0, s=0 1 0 ϕ(x)dx = m s=0 c s s + 1 = 1, 14

15 todėl vertinimui galima panaudoti baigtinį skaičių polinominio tankio empirinių momentų (E(a r ) = m c s s=0 s+r+1, r = 0,..., m, su c s AR( ) išdėstymo autoregresijos parametrais). Iš teigiamų metodo savybių išskirtinas jo realizavimo paprastumas (pasinaudojama AR( ) išdėstymo koeficientų ir a momentų rekurentiniais sąryšiais), multimodalumo savybė; tarp neigiamų prastesnė aproksimacija už tolimą priklausomybę atsakingų tankio taškų aplinkose. Antroji siūloma deagregavimo schema, Leipaus ir kt. (2006) darbo atvejis be bendrų inovacijų (η t 0), remiasi AR(1) parametro skirstinio tankio aproksimavimu ortogonaliaisiais Gegenbauerio (ultrasferiniais) polinomais. Leipaus ir kt. (2006, žymėsime LOPV) darbe nagrinėjama individualių procesų lygtis, nusakoma AR(1) procesu su atsitiktiniu parametru a (j), kurio (maišantysis, angl. mixture) tankis ϕ(x) turi semiparametrinį pavidalą ϕ(x) = (1 x) 1 2d 1 (1 + x) 1 2d 2 ψ(x), 0 < d 1, d 2 < 1/2, čia ψ(x) neneigiama ir tolydi taškuose ±1 funkcija, tokia kad ψ(±1) 0, o ϕ(x) yra tikimybinis tankis. Be to įvedama papildoma sąlyga, kad E[1/(1 a 2 )] <. Iš viso sąlygų komplekto išplaukia, kad AR(1) lygtys turi stacionarų sprendinį. Be to, remiantis Oppenheim ir Viano (2004), dalinių sumų seka X (N) t = 1 Nj=1 N Y (j) t, t Z silpnai konverguoja į Gauso (agreguotą) procesą {X t, t Z}, kai N. Remiantis ϕ(x) apibrėžimu, nesunku rasti agreguoto proceso X t kovariacinę funkciją ir spektrinį tankį, kurie sutampa su Y (j) t kovariacine funkcija bei spektriniu tankiu ir yra lygūs atitinkamai: σ(h) = σ 2 ε 1 f(λ) = σ2 ε 1 2π 1 1 x h ϕ(x) dx, h Z; 1 x2 ϕ(x) dx, λ [ π, π]. 1 xe iλ 2 Pastebėtina, kad agreguotas procesas turi tolimos priklausomybės savybę ( h= σ(h) = prasme) tada ir tik tada, kai 1 ϕ(x) 1 (1 x 2 ) dx =, 2 kas ekvivalentu tam kad bent vienas iš ϕ(x) parametrų d 1 arba d 2 yra iš intervalo (0, 1/2). Nežinomam (maišančiajam) tankiui ϕ(x) įvertinti, kai stebimi agreguoti dydžiai X 1,..., X N, o individualūs procesai AR(1) nestebimi, LOPV 15

16 pasiūlė pasinaudoti pagalbine funkcija ζ(x) := esant išpildytai sąlygai ϕ(x) (1 x 2 ) α, α > 1, kuri, 1 1 ϕ 2 (x) dx <, (1) (1 x 2 ) α priklauso klasei L 2 (ω (α) ), kur ω (α) (x) = (1 x 2 ) α ir todėl gali būti išskleista standartizuotais α-gegenbauerio (ultrasferiniais) polinomais, t.y. ζ(x) = k=0 ζ k G (α) k (x) su koeficientais ζ k = k j=0 g (α) 1 1 k,j ϕ(x)x j dx = kj=0 g (α) k,j (σ(j) σ(j + 2)), k 0. Čia g (α) k,j yra α-gegenbauerio daugianario G (α) k (x) = k j=0 g (α) k,j x j koeficientai. Tuomet maišantįjį tankį ϕ(x) natūralu vertinti σ(j) kovariacijas pakeičiant jų empiriniais analogais ( σ n (j) = n 1 n j i=1 X i X i+j ): ϕ n (x) = (1 x 2 ) α K n k=0 G α k(x) k j=0 g (α) k,j ( σ n (j) σ n (j + 2)). Praktiniam maišančiojo tankio vertinimui taip pat svarbu tinkamai parinkti Gegenbauerio daugianarių skaičių K n, kuris, anot Leipaus ir kt. (2006), neturėtų viršyti (2 log(1 + 2)) 1 log n. Be to vertinimo kokybė priklauso nuo Gegenbauerio parametro α parinkimo. Disertacijoje postuluojama, kad α = min{1 2d 1, 1 2d 2 }, o tolimos priklausomybės parametrus (d 1, d 2 ) galima rasti iš periodogramos. Pastebėtina, kad lyginant su polinomine tankio funkcija, ϕ(x) yra tinkamesnė nagrinėti spektrinio tankio ypatingų taškų aplinką. Tankio vertinimas remiasi tuo, kad individualių procesų bei agreguotos laiko eilutės autokovariacinės struktūros sutampa. Taigi, momentų metodu vertinant tankį momentus galima išreikšti per atitinkamas autokovariacijas. Pažymėtina, kad esant bendroms inovacijoms autokovariacinės struktūros skiriasi, todėl LOPV įvertinys bendrai nėra tinkamas. Galų gale, preliminariais tyrimais buvo parodyta, kad šie du metodai nevienodai gerai tinka įvairioms generuotoms situacijoms, nes Chong o metodas geriau veikia polinominių tankių atveju, o LOPV yra jautrus bendrų inovacijų įtraukimui, disertacijoje siūloma apjungti abiejų metodų idėjas ir nagrinėti šių įvertinių plėtinį toliau vadinamų hibridiniu įvertiniu. Įvertinio konstrukcija remiasi maišančiojo tankio aproksimacija Gegenbauerio polinomais, bet reikalingi a momentai gaunami iš AR( ), kaip Chong o deagregavimo schemoje. 16

17 Antroji šio skyriaus dalis skirta maišančiojo tankio asocijuoto su agreguotų procesų spektrinių tankių sandauga nagrinėjimui. Tegul LOPV agregavimo schemoje turime du agreguotus procesus X 1, X 2 su maišančiais tankiais ϕ 1 ir ϕ 2 asocijuotais su atitinkamais spektriniais tankiais f 1 ir f 2 atitinkamai. Pirmame rezultate (žr. 1 teoremą), kad jei ϕ 1 ir ϕ 2 atramos yra [0,1] ir [-1,0], tai stacionarus Gauso procesas su spektriniu tankiu f(λ) = f 1 (λ)f 2 (λ) taip pat gali būti gautas agreguojant AR(1) su maišančiųjų tankių ϕ ir inovacijų seka ε. 1 teorema Tegul ϕ 1 ir ϕ 2 yra maišantieji tankiai asocijuoti su atitinkamais spektriniais tankiais f 1 ir f 2. Tegul be to supp(ϕ 1 ) [0, 1], supp(ϕ 2 ) [ 1, 0] ir f(λ) = f 1 (λ)f 2 (λ). Tada maišantysis tankis ϕ(x), x [ 1, 1], asocijuotas su f, yra lygus ϕ(x) = 1 0 ϕ 2 (y) ϕ 1 (x) C 1 (1 xy)(1 y/x) dy 1 ϕ 1 (y) + ϕ 2 (x) 0 (1 xy)(1 y/x) dy, (2) čia C := ( ϕ 1 (x)ϕ 2 (y)(1 xy) 1 ) dy dx, o triukšmo dispersija σε 2 = σ2 1,εσ2,εC 2. 2π Kadangi pagrindinis dėmesys sutelkiamas į tankio formą ypatingų taškų aplinkose, reikalingas rezultatas, analizuojantis asocijuoto spektrinio tankio elgseną, kai λ 0 ir kai λ ±π. 2 teiginys Tegul maišantysis tankis ϕ(x) iš LOPV agregavimo schemos, ψ(x) neneigiama [ 1, 1], tolydi taškuose x = ±1, ψ(±1) 0 funkcija. Tada asocijuotam su ϕ(x) spektriniam tankiui f(λ) teisinga: f(λ) f(λ) σεψ(1) 2 2 2d 2+1 sin(πd 1 ) λ 2d 1, λ 0, (3) σεψ( 1) 2 2 2d 1+1 sin(πd 2 ) π λ 2d 2, λ ±π. (4) Pastebėtina, kad šis tvirtinimas nebereikalauja, kad ψ(x) būtų aprėžta intervale [ 1, 1] (Oppenheim ir Viano (2004)), bet leidžia turėti singu- 17

18 liarumo taškus intervalo ( 1, 1) viduje. Gautas rezultatas buvo pritaikytas trupmeninio integruoto proceso (FI(d 1 )) ir sezoninio trupmeninio integruoto proceso (SFI(d 2 )) spektrinių tankių ϕ 1 ir ϕ 2 asocijuotų su atitinkamais spektriniais tankiais f 1 ir f 2 sandaugai. Paminėtina, kad gautoji maišančiojo tankio ϕ(x; d 1, d 2 ) forma išreiškiama per hipergeometrines funkcijas F (a, b, c; x) = Γ(c) 1 Γ(b)Γ(c b) 0 tb 1 (1 t) c b 1 (1 tx) a dt, čia c > b > 0 jei x < 1, be to c a b > 0, jei x = 1. 3 teiginys Maišantysis tankis asocijuotas su f(λ; d 1, d 2 ) = f(λ; d 1 )f(λ; d 2 ) 1 = (2π) 1 2 eiλ 2d e iλ 2d 2, 0 < d 1, d 2 < 1/2 (5) apibrėžtas lygybe ϕ(x; d 1, d 2 ) = C(d 1, d 2 )x d 1 1 (1 x) 1 2d 1 G( x; d 2 )1 [0,1] (x) +C(d 2, d 1 ) x d 2 1 (1 + x) 1 2d 2 G(x; d 1 )1 [ 1,0] (x), (6) čia ( G(x; d) := F 1, d, 2 d; 1 ) xf (1, d, 2 d; x) x ir C(d 1, d 2 ) = (C ) 1Γ(d 2)Γ(2 2d 2 ), Γ(2 d 2 ) C = 1 0 xd 1 1 (1 x) 1 2d 1 (1 + x) 1 0 y d2 1 (1 y) 1 2d 2 (1 + y) 1 + xy dy dx. Triukšmo dispersija yra σ 2 ε = (2π) 1 C C(d 1 )C(d 2 )σ 2 1,εσ 2 2,ε = sin(πd 1) sin(πd 2 )C 2π 3. (7) Dar vienas skyrelio tvirtinimas skirtas ϕ(x; d 1, d 2 ) asimptotio elgesio taškų 0 ir ±1 aplinkoje aprašymui. Iš jo seka, kad lyginant sandaugos ir jos elementų riboje gaunamas išraiškas matyti, kad prie taškų ±1 jos artėja prie atitinkamų FI(d 1 ) ir SFI(d 2 ) maišančiųjų tankių, tačiau 18

19 nulio aplinkoje ϕ(x; d 1, d 2 ) x d 1+d 2 1, abiejų daugiklių parametrai yra svarbūs. Pažymėtina, kad 1 teorema taip pat leidžia sukonstruoti maišantįjį tankį, kai jos spektrinis tankis yra f(λ) = 1 2π (2 sin λ ) 2dg(λ), 0 < d < 1/2, 2 čia g(λ) analizinis spektrinis tankis intervale [ π, π]. Darbas su subtilesniais, nehomogeniniais parametruose AR(1) procesais, tai yra kai a yra konstanta iš intervalo ( 1, 1) nėra toks paprastas, nes maišantysis tankis tuomet išsigimsta į Dirako delta funkciją δ(a). Taigi spektrinių tankių sandaugos maišančiojo tankio konstrukcija, kai vienas iš maišančiųjų tankių daugiklių yra Dirako funkcija kol kas lieka atviru klausimu. Grįžtant prie analizinių funkcijų gauname, kad 4 teiginys Maišantysis tankis ϕ g yra asocijuotas su kažkokiu spektriniu tankiu tada ir tik tada egzistuoja toks 0 < a < 1 kad supp(ϕ) [ a, a ]. Iš šio tvirtinimo ir pirmos teoremos seka agreguotų procesų aibė, kuriems įmanoma įrodyti asimptotinį normališkumą. 5 išvada Tegul with ϕ 1 (x; d) = C(d)x d 1 (1 x) 1 2d (1 + x)1 [0,1] (x) C(d) = 2 2d 2sin(πd) π Γ(3 d) Γ((3/2) d) ir ϕ g (x) yra maišantieji tankiai asocijuoti atitinkamai su FI(d) f(λ; d) = 1 2π 1 eiλ 2d ir analiziniu g(λ) spektriniais tankiais. Tarkime, kad supp(ϕ g ) [ a, 0], 0 < a < 1, ir f(λ) = 1 (2 sin λ ) 2dg(λ). 2π 2 Tada maišantysis tankis ϕ(x), x [ a, 1] yra asocijuotas su f yra 19

20 apibrėžiamas lygybe ϕ(x) = C 1 0 ϕ g (y) ϕ 1 (x; d)) a (1 xy)(1 y/x) dy 1 ϕ 1 (y; d) + ϕ g (x) 0 (1 xy)(1 y/x) dy, (8) čia C := a ϕ 1 (x; d)ϕ g (y) 1 xy dy dx. Trečiame disertacijos skyriuje, LOPV įvertinio asimptotinis normališkumas, pateikti anksčiau įrodytų LOPV įvertinio statistinių savybių apžvalga (konvergavimas erdvėje L 2 (ω (α) ) ir tolygusis konvergavimas) ir pataškinio asimptotinio normališkumo rezultatai. Pastarasis iš esmės remiasi asimptotiniais Bhansali ir kt. (2007) rezultatais tiesinių atsitiktinių procesų kvadratinėms formoms. Norint suformuluoti pagrindinį LOPV įvertinio ˆϕ n (x) asimptotinio normališkumo rezultatą, pirmiausiai tariama, kad X t, t Z turi tokią tiesinę reprezentaciją A prielaida X t, t Z yra tiesinis procesas X t = ψ j Z t j, (9) j=0 čia Z t yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę (n.v.p.) nulinio vidurkio atsitiktiniai didžiai su ketvirtu baigtiniu momentu ir koeficientai ψ j tenkina ψ j cj d 1, ψ j ψ j+1 = O(j d 2 ), 0 < d < 1/2 (10) su kažkokia konstanta c 0. Sekanti prielaida nusako, tuos maišančiuosius tankius ϕ(x), kuriems galima įrodyti asimptotinį normališkumą. B prielaida ϕ yra apibrėžtas ϕ(x) = (1 x) 1 2d ψ(x), 0 < d < 1/2, (11) čia ψ(x) neneigiama funkcija supp(ψ) [ 1, 1], tolydi taške x = 1, ψ(1) 0. Iš pastarosios prielaidos seka, jog galima nagrinėti maišančiuosius tankius, 20

21 kurių asocijuoti spektriniai tankiai turi singuliarumo tašką nulyje, bet ne sezoniniuose taškuose ±π. Pagrindinis skyriaus rezultatas yra 6 teorema Tegul X t, t Z yra agreguotas procesas tenkinantis A prielaidą ir turintis maišantįjį tankį atitinkantį B prielaidą. Tarkime kad tenkinama sąlyga (1), be to d ir α tenkina 1/2 < α < 5 2 4d. (12) Tegul K n = [γ log n] su γ tenkinančia 0 < γ < (2 log(1 + 2)) 1( 1 max {α + 4d 3 2, 0 }). (13) Tuomet kiekvienam x ( 1, 1), tokiam, kad ϕ(x) 0, teisinga ˆϕ n (x) E ˆϕ n (x) Var( ˆϕn (x)) d N(0, 1). (14) Svarbi pastaba yra tai, kad vien tik FARIMA(0, d, 0) proceso maišančiojo tankio neužtenka, nes nulio aplinkoje nebebus tenkinama sąlyga (1). Tokiu būdu reikalinga kompensuojanti nulio aplinkoje funkcija, kurios vaidmenį vaidina analizinės funkcijos maišantysis tankis ϕ g (x; κ). Analizuojant teoremos prielaidas matyti, jog viena svarbiausių prielaidų yra agreguoto proceso begalinės eilės slenkamojo vidurkio (MA( )) reprezentacija ir jos koeficientų asimptotinis elgesys. Visų pirma, iš AR(1) agregavimo schemos seka, kad agreguotas procesas turi absoliučiai tolydų spektrinį tankį. Jei kartu jo spektrinis tankis f(λ) tenkina π log f(λ)dλ >, (15) tuomet funkcija π { 1 π h(z) = exp 4π π e iλ } + z e iλ z log f(λ)dλ, z < 1, yra funkcija iš Hardy erdvės H 2, neišsigimusi, kai z < 1 ir f(λ) = h(e iλ ) 2. Tokiu būdu, iš Wold o išdėstymo teoremos išplaukia, kad X t yra grynai nedeterminuotas (reguliarus) atsitiktinis procesas, turintis MA( ) 21

22 reprezentaciją (žr. Anderson (1971, Sk )) X t = ψ j Z t j, (16) j=0 čia koeficientai ψ j gaunami iš normalizuotos funkcijos h(z)/h(0), be to j=0 ψj 2 <, ψ 0 = 1, ir Z t = X t X t, t = 0, 1,... (čia X t yra optimali tiesinė prognozė X t ) yra nulinio vidurkio nekoreliuotas inovacijų procesas su dispersija σ 2 { 1 π } = 2π exp 2π log f(λ)dλ. (17) π Agreguotas procesas yra Gauso, jei inovacijos Z t yra n.v.p. N(0, σ 2 ) atsitiktiniai didžiai. Sekantys du rezultatai skiriami prielaidos B atvejo analizei: pirmajame nurodomos prielaidos prie kurių egzistuoja slenkamojo vidurkio reprezentacija, antrame pateiktas išdėstymo koeficientų asimptotinis elgesys. 7 teiginys Tegul maišantysis tankis ϕ(x) tenkina B prielaidą. Tarkime kad vienas iš dviejų teisinga: arba (i) supp(ψ) = [ 1, 1], ψ(x) ψ(x)(1+x) 2 d 1 tolydi taške 1 ir ψ( 1) 0 su kažkokiu 0 < d < 1/2, arba (ii) supp(ψ) [ a, 1] su kažkokiu 0 < a < 1. Tuomet agreguotas procesas turi slenkamojo vidurkio reprezentaciją (16), kurioje Z t yra Gauso n.v.p. atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu ir dispersija (17). 8 teiginys Tegul X t, t Z yra agreguotas procesas su spektriniu tankiu f(λ) = f(λ; d)g(λ), (18) čia f(λ; d) yra FARIMA spektrinis tankis arba g(λ) yra analizinio daugiklio spektrinis tankis. Tuomet: (i) jeigu ϕ g (x) asocijuotas su g(λ) tenkina supp(ϕ g ) [ a, 0] su kažkokiu 0 < a < 1, tuomet ϕ(x), asocijuotas su f(λ), tenkina B prielaidą. (ii) X t turi slenkamojo vidurkio reprezentaciją (16), čia Z t yra Gauso 22

23 n.v.p. nulinio vidurkio atsitiktiniai didžiai su dispersija σ 2 { 1 π } { = 2π exp 2π log f(λ)dλ 1 π } = exp π 2π log g(λ)dλ = σ2 g π 2π ir koeficientais ψ j tenkinančiais ψ j k=0 g k Γ(d) j d 1, ψ j ψ j+1 = O(j d 2 ), (19) čia ψ 0 = 1 (g k yra analizinės funkcijos Wold o išdėstymo koeficientai). Tam, kad įrodyti teoremą 6, pasinaudojama Bhansali ir kt. (2007) rezultatu, kuriame nagrinėtos kvadratinės formos Q n,x = n t,s=1 d n (t s)x t X s, čia X t yra tiesiniai procesai tenkinantys A prielaidą, o funkcijos d n (k) tenkina prielaidą: C prielaida Tarkime, kad d n (k) = π π η n(λ)e ikλ dλ su kažkokia lygine funkcija η n (λ), tokia, kad kažkokiam 1 < β < 1 ir skaičių sekai m n 0, teisinga η n (λ) m n λ β, λ [ π, π]. (20) Įveskime matricą E n := (e n (t s)) t,s=1,...,n, kurioje e n (t s) = 2π ir E n 2 = n t,s=1 e 2 n(t s). π π η n(λ)f(λ)e iλ(t s) dλ (21) 9 teorema (Bhansali ir kt. (2007)) Tarkime, kad patenkintos A ir C prielaidos. Jeigu 2d + β < 1/2 ir r n = o( E n ), (22) 23

24 čia r n = tuomet, kai n, teisinga m n n max(0,2d+β), kai 2d + β 0, m n log n, kai 2d + β = 0, (23) Var(Q n,x ) E n 2 ir Q n,x EQ n,x Var(Qn,X ) d N(0, 1). (Čia, jei a n, b n 0, a n b n reiškia, kad C 6 b n a n C 7 b n kažkokioms C 6, C 7 > 0.) Pasinaudojus šiuo kertiniu rezultatu bei keliomis techninėmis lemomis yra įrodomas pagrindinis skyriaus rezultatas 6 teorema. Paskutiniame skyriuje, Imitaciniai eksperimentai ir empiriniai taikymai, teoriniai rezultatai pirmiausiai palyginami Monte Carlo imitacinių eksperimentų pagalba. Atliekami du eksperimentai: modeliuoti asimptotinio normališkumo atvejai ir kelios situacijos su alternatyviais deagregavimo metodais. Paskutiniame skyrelyje pateikiama visuminio vartojimo alternatyvių deagregavimo metodų palyginimo analizė G7 šalims. Pirmame imitaciniame eksperimente yra analizuojamos sekančios dvi maišančiųjų tankių šeimos ϕ(x) = wϕ 1 (x) + (1 w)ϕ 2 (x), 0 < w < 1 : Beta-tipo maišantieji tankiai ϕ 1 (x) x p 1 1 (1 x) q [0,1] (x), p 1 > 0, q 1 > 0, ϕ 2 (x) x p 2 1 (a + x) q [ a,0](x), p 2 > 0, q 2 > 0, 0 < a < 1; (Beta ir tolygaus)-tipo maišančiųjų tankių deriniai ϕ 1 (x) x p 3 1 (1 x) q [0,1] (x), p 3 > 0, q 3 > 0, ϕ 2 (x) = a 1 1 [ a,0](x), 0 < a < 1. Trys disertacijoje nagrinėti atvejai rodo, kad ˆϕ n pakankamai tiksliai aproksimuoja nežinomą tankį, ypač jei (laiko eilutės ilgis) yra gana didelis. 24

25 Tačiau mažoms n reikšmėms sudėtingiau įvertinti tankį nulio aplinkoje. Kita vertus, nulio aplinkos reikšmės neveikia tolimos priklausomybės savybės, todėl svarbu, jog gana gerai aproksimuotos sritys aplink taškus x = ±1. Tai leidžia iš log-log regresijos periodogramos taškams vieneto aplinkoje įvertinti nežinomą realiuose taikymuose parametrą d (įvertiniai, pavyzdžiui, gali būti Geweke ir Porter-Hudak (1983), Reisen (1994) arba Whittle-tipo). Disertacijoje pateikti atitinkamų taškų kvantilių-kvantilių grafikai, histogramos, formalūs normališkumo hipotezės testai nepaneigia pataškinio normališkumo hipotezės. Papildomoje analizėje parodyta, kad D( ˆϕ n (x)) mažėjimo greitis n γ su γ 1, kas sutapo su išankstiniais samprotavimais. Kitas Monte-Carlo imitacinis eksperimentas lygina kaip nagrinėjami deagregavimo metodai geba atkurti atsitiktinio parametro tankį, esant skirtingoms prielaidoms bei skirtingiems agregavimo modeliams (su ir be bendrų inovacijų). Eksperimentų tankiai parinkti remiantis šiais požymiais: tankio parametrine forma polinomine arba Beta tipo; atrama [0, 1) arba ( 1, 1); modalumas unimodalus arba bimodalus; AR(1) proceso forma su arba be bendrų inovacijų. Polinominių tankių (Poly3 bei Poly4) pavidalas parinktas pagal Chong (2006) straipsnio Kanados vartojimo išlaidų duomenims gautą įvertinimą, motyvuojant tai tinkamesne tankio forma, nei Chong darytuose MC eksperimentuose. 2 Beta tipo tankiai paimti analogiški Leipaus ir kt. (2006) straipsniui. Vertinant daroma prielaida, jog maišančiojo tankio parametrai bei polinominio tankio eilė m yra žinomi. Tuomet α parenkamas kaip min{1 2d 1, 1 2d 2 }. Polinominio tankio parametras m = 6 Beta tipo eksperimentuose ir polinomo maksimaliam laipsniui polinominiuose eksperimentuose. Bandyti eksperimentai ir su Chong (2006) siūlomu automatiniu eilės m parinkimu. Nupjovimo parametras H = [0.5 n 0.75 ] = 52. Imitaciniai eksperimentai atlikti su N =5000 unimodaliu ir N =10000 bimodaliu atveju, o n=500. Kiekvienam eksperimentui generuojama 100 tiesei. 2 Chong MC eksperimentams taiko polinomus iki trečios eilės su atrama [0, 1) tačiau labai artimus 25

26 Atvejis ϕ(x) MISE Chong(m) LOPV(α) Hibridinis(α) Beta1 0.6(1 x) 0.25 (1 + x) (6) 0.033(0.25) 0.007(0.25) Beta2* 0.6(1 x) 0.75 (1 + x) (6) 0.032(0.25) 0.028(0.25) Beta3 2.21x 2 (1 x) 0.25 (1 + x) (6) 0.131(0.25) 0.073(0.25) Beta4* 2.74x 2 (1 x) 0.5 (1 + x) (6) 0.174(0.25) 0.024(0.25) Poly1 6x 6x (2) 0.107(0) 0.105(0) Poly2* 6x 6x (2) 0.303(0) 0.117(0) Poly3 1.27x x x (3) 0.171(0) 0.086(0) Poly4* 1.27x x x (3) 0.277(0) 0.123(0) 1 lentelė: Monte-Carlo imitaciniai eksperimentai, trejų deagregavimo metodų palyginimas 2 pav.: Beta-tipo skirstiniai nepriklausomų kopijų. Visur laikoma, kad ε t ir η t yra nepriklausomi standartiniai normalieji dydžiai. Pastebėtina, kad įvertinto tankio reikšmės yra nebūtinai teigiamos, todėl daroma papildoma korekcija, imant arba ϕ + n (x) arba ϕ n (x) min( ϕ n (x)), normuotus iš atitinkamos Riemann o sumos. Skirtingų metodų tikslumui palyginti naudojamas integralinės vidutinės kvadratinės paklaidos (MISE) kriterijus: 1 1 E(ϕ(x) ϕ n (x)) 2 dx. Jo reikšmės, teorinį vidurkį pakeitus empiriniu, pateiktos 1 lentelėje. Iš pateiktos 1 lentelės ir 2 3 paveikslų matyti, kad LOPV įvertinys gana tiksliai aproksimuoja Beta-tipo skirstinius, nors prasčiau veikia esant bendroms inovacijoms. Polinominis Chong o įvertinys atrodo visiškai nebetinka Beta-tipo tankių atpažinimui, gana gerai aproksimuoja polinominius tankius, išskyrus parabolės formos su atrama [0, 1]. Hibridinis metodas atrodo yra robastiškas agregavimo prielaidų pažeidimams, dar daugiau, jis dažniausiai davė mažiausias MISE arba artimas joms reikšmes. 26

27 3 pav.: Polinominiai skirstiniai Papildomas mažų imčių tyrimas taip pat parodo metodu tinkamumą, kai laiko eilutės ilgis n yra tarp 50 ir 200, tai rišasi su ankstesne išvada, apie dispersijos mažėjimą, kai n. Paskutiniame empiriniame pavyzdyje nagrinėjamas G7 šalių visuminio vartojimo deagregavimo uždavinys (duomenų šaltinis OECD statistiniai leidiniai ir duomenų bazės). Nemaža dalimi rezultatas papildo Lippi ir Zaffaroni (1998), bei Chong (2006) darbus. Ši studija analizuoja trijų alternatyvių metodų gebėjimus iš makroekonominių duomenų atstatyti maišantįjį tankį. Skyrelyje pirmiausiai nusakomas modeliavimo kontekstas. Tegul c (j) t žymi individo j pirmą realaus bendro vartojimo skirtumą. Tarkime, kad racionalus vartotojas (namų ūkis) pasižymi vartojimo trajektorija, kurią galima aproksimuoti atsitiktiniu klaidžiojimu ir/arba turi deterministinį tiesinį trendą, todėl individualus modelis gali būti nusakytas sekančia lygtimi c (j) t = α j c (j) t 1 + η t + ε (j) t. (24) Tam, kad galima būtų palyginti rezultatus ir išvengtume sezoninių efektų, naudojami G7 šalių metiniai duomenys. Analizuojant disertacijoje pateiktus grafikus, daromos kelios įdomios išvados 1. Lyginant LOPV ir hibridinių metodų įvertinius, matyti reikšmingi 27

28 skirtumai Kanadai, Prancūzijai, Italijai, JAV. Kadangi LOPV švertinio silpnoji vieta yra bendros inovacijos, atrodo galima sukonstruoti testą lyginant LOPV ir hibridinio įvertinių panašumą. 2. Tolimos priklausomybės parametrų d 1 ir d 2 (arba ekvivalenčiai α) įvertiniai rodo, jog yra tolimos priklausomybės efektas visur išskyrus Italijos duomenys. 3. Lyginant gautus įvertinimus tarp šalių, matome, jog JAV ir Didžioji Britanija, taip pat kaip Prancūzija ir Vokietija turi panašią maišančiojo tankio formą. Be to, Italijos ir Japonijos tankiai yra unimodalūs, labiau koncentruoti apie nulį, kitoms šalims nustatytas bimodalumo atvejis. 4. Nors didžiausia tankio masė yra teigiamoje dalyje, nemažos populiacijų dalys rodo į osciliuojančią namų ūkių vartojimo dinamiką, JAV ir Didžioji Britanija bando visgi labiau palaikyti vartojimo augimo tendencijas, atitinkamos osciliuojančios dalys yra beveik nereikšmingos. Išvados Pagrindiniai disertacinio darbo tikslas ir uždaviniai yra susiję su deagregavimo metodų statistinių savybių tyrimu bei jų empiriniu pritaikymu realiems makroekonominiams duomenims. Darbe nagrinėjama aktuali didelio kiekio laiko eilučių agregavimo ir deagregavimo tematika, plačiau pristatomas AR(1) agregavimo atvejis. Moksliniais tyrimais išnagrinėtos AR(1) individualių procesų atsitiktinio parametro maišančiojo tankio LOPV įvertinio, besiremiančio aproksimacija Gegenbauerio ortogonaliais polinomais, statistinės savybės. Kartu patikrintas LOPV įvertinio jautrumas daromų agregavimo prielaidų pažeidimams, pastarasis metodas palygintas su alternatyviais maišančiojo tankio įvertiniais, išryškintas salytis su tolimos priklausomybės tematika, pademonstruota deagregavimo metodų taikomoji nauda (rezultatai sėkmingai pritaikyti visuminio vartojimo deagregavimo uždaviniui spręsti). Darbo metu taip pat buvo išspęsti uždaviniai susiję su maišančiojo tankio konstravimu, robastiškesnio AR(1) agregavimo schemos prielaidoms įvertinio paieška, pateiktos prielaidos LOPV įvertinio asimptotiniam normališkumui įrodyti. Taigi, buvo įvykdytos visos darbo pradžioje numatytos užduotys. 28

29 Darbo metu buvo pažymėta, kad nagrinėjama tematika turi dar nemažai neišspęstų vystymosi krypčių. Disertantas tikisi pratęsti (de)agregavimo ir tolimos priklausomybės tematikos nagrinėjimą tolesnėje mokslinėje veikloje. Publikuoti darbai Pagrindiniai rezultatai publikuoti šiuose straipsniuose: 1. Celov D., Leipus R. and Philippe A. Asymptotic normality of mixture density estimator in a disaggregation scheme. Journal of Nonparametric Statistics (submitted), (2008). 2. Celov D., Leipus R. and Philippe A. Time series aggregation, disaggregation and long memory. Lithuanian Mathematical Journal 47, 4, , (2007). Konferencijų medžiaga publikuota šiuose darbuose: 1. D. Celov, V. Kvedaras, R. Leipus. Agreguotų AR(1) procesų autoregresijos parametro tankio vertinimo metodų palyginimas. Lietuvos matematikos rinkinys 47, (spec. issue) (2007)(in Lith.). 2. D. Celov, R. Leipus Laiko eilučių agregavimo, deagregavimo uždaviniai ir tolima priklausomybė. Lietuvos matematikos rinkinys 46, (spec. issue) (2006) (in Lith.). Taip pat daryti keli pranešimai disertacijos tematika konferencijose: Lietuvos matematikos draugijos konferencijose, 22nd Nordic Conference on Mathematical Statistics (NORDSTAT), taip pat pranešimai skaityti Vilniaus universiteto matematikos ir informatikos fakulteto ekonometrinės analizės katedros seminaruose, seminaruose mokslinio vizito Nante (Prancūzija) ir Oberwolfache (Vokietija) metu, Druskininkų vasaros mokykloje. 29

30 Summary In the tiesis, different aspects of time series aggregation, disaggregation problems and their relationships with long memory phenomena were investigated. A particular attention was paid to the disaggregation problems related to a general AR(1) aggregation scheme with and without common innovations. Below we summarize main results of the thesis. In the first part of the thesis, a wide yet brief survey of key aggregation, disaggregation topics were presented. It was explained that AR(1) is indeed a crucial case in real applications, especially concerning the problems in economics. A general framework to study the aggregation problems and basic notions were analyzed. It could be concluded that the forecasting notion to the aggregation problem suggested by Pesaran (2002) is the most flexible definition in spite of very mild assumptions put on the DGP of individual processes. Concerning the problems of disaggregation, a doubly-stochastic approach and mixtures were found to be crucial to solve fundamental questions of disaggregation. It was proved in Dacunha- Castelle and Oppenheim (2001) that a wide range of long-memory processes are obtained through the aggregation of doubly-stochastic short memory processes with densities in C( ). For the disaggregation of AR(1) dynamics the method to extract the moments of random parameter from AR( ) representation was chosen to improve the preceding estimators suggested in Chong (2006) and Leipus et al. (2006). In the second and in empirical part of the thesis we analyzed these three alternative approaches to the disaggregation problem in AR(1) aggregation scheme. A simulation study as well as empirical application to G7 aggregated consumption data revealed that the proposed augmentaition of LOPV and Chong s method (a hybrid approach) is found to be more robust to any violation of the assumptions which were crucial for the preceding estimators. However a more careful theoretical investigation of the hybrid estimator has yet to be considered. The sufficient conditions for the construction of mixture densities by the products of elementary densities were established. The results are then applied to derive the mixture density form for the seasonal case. Although it is important to mention that the result is proved only for the case of disjoint supports of the elementary processes being involved. Another major part of the thesis was devoted to the study of asymptotic 30