Optimizavimas ekonomikoje. Optimizavimas ekonomikoje 1 / 121

Transcription

1 Optimizavimas ekonomikoje Optimizavimas ekonomikoje 1 / 121

2 Literat ura (1) K. Sydsæter, P. Hammond, A. Seierstad, A. Strøm Further Mathematics for Economic Analysis, FT Prentice Hall, M. D. Intriligator Mathematical Optimization and Economic Theory, V. ƒio ys, R. Jasilionis Matematinis programavimas, N. Batarlien e, M. Maz ura Tiesinio programavimo modeliai transporte, Optimizavimas ekonomikoje 2 / 121

3 Literat ura (2) A. K. Dixit Optimization in Economic Theory, M. Luptácik Mathematical Optimization and Economic Analysis, I. Ekeland, R. Témam Convex Analysis and Variational Problems, Optimizavimas ekonomikoje 3 / 121

4 Pagrindin es t emos Transporto uždaviniai Iškilusis programavimas. Ekonominė interpretacija. Netiesinis programavimas. Kuno-Takerio sąlygos. Ekonominė interpretacija. Dinaminis programavimas. Stochastinis programavimas. Tinklinis planavimas. Optimizavimas ekonomikoje 4 / 121

5 Vertinimo tvarka (1) Optimizavimas ekonomikoje 5 / 121

6 Vertinimo tvarka (2) Optimizavimas ekonomikoje 6 / 121

7 Ivadas: geriausias sprendimas Nuo senoves žmonės ieško geriausių sprendimų: kuo daugiau maisto, kuo daugiau naudos bei kuo mažiau išlaidų ar pastangų. Optimizavimas ekonomikoje 7 / 121

8 Matematiniu metodu ir modeliu tipai: 4 pagrindines grupes (1) Normatyvinio ir balansinio planavimo metodai (2) Matematinio programavimimo (optimizavimo) metodai (3) Tikimybių ir statistiniai metodai (4) Kibernetiniai metodai Optimizavimas ekonomikoje 8 / 121

9 (1) Normatyvinio ir balansinio planavimo metodai Normatyvinio ir balansinio planavimo metodų pamatą sudaro normatyvų matrica. Pati normatyvų matrica ir yra matematinis modelis. Nustatomi svarbiausi ekonominiai parametrai (plėtros tempai, rentabilumo normatyvai). Šio modelio detalizacija, naudojant specialius tiesinio programavimo metodus, leidžia parinkti optimalų direktyvų įvykdymo variantą. Optimizavimas ekonomikoje 9 / 121

10 (2) Matematinio programavimimo (optimizavimo) metodai Matematinis programavimas yra matematinė disciplina, nagrinėjanti sąlyginių ekstremalių uždavinių sprendimo teoriją ir metodus. Analitiniai matematiniai programavimo metodai skirstomi į šakas: tiesini programavim kai apribojimai ir tikslo funkcija išreikšti tiesinėmis lygtimis ir nelygybėmis; netiesini programavim kai nors vienas apribojimas (ar tikslo funkcija) išreikštas netiesinėmis lygtimi ar nelygybe. Optimizavimas ekonomikoje 10 / 121

11 (2) Netiesinis programavimas Skirstomas į iškilųjį ir neiškilųjį programavimą. I²kilusis programavimas tiria maksimumo radimo problemą, kai kintamųjų ryšius išreiškia funkcijos, iškilosios aukštyn (arba minimumo problemą - kai funkcija išgaubta žemyn). Iš iškilojo programavimo metodų plačiausiai yra išnagrinėti kvadratinio programavimo metodai, kur ryšius tarp kintamųjų išreiškianti iškiloji funkcija yra kvadratinė. Nei²kilojo programavimo bendrųjų sprendimo metodų nėra sukurta; yra nemažai apytikslių metodų, naudojamų tik kai kurių uždavinių sprendimo atvejais (pvz., gradientiniai metodai, kintamos metrikos metodai). Optimizavimas ekonomikoje 11 / 121

12 (2) Matematinio programavimimo (optimizavimo) metodai Stochastinis programavimas Uždavinio sąlygų apibūdinimo parametrai nėra konkrečiai apibrėžti skaičiai, o atsitiktiniai dydžiai. Sveikaskaitis programavimas Šio tipo uždavinių nemažai pasitaiko sprendžiant tiesnio programavimo uždavinius, kai kintamieji yra transporto priemonės, technologiniai įrenginiai, žmonės. Dinaminis programavimas Ieškomas optimalus sprendinys ne vienam laikotarpiui, bet keletui. Lo²imu teorija Nagrinėja optimizavimo problemas, kai yra keli nepalyginami optimnalumo kriterijai, arba sąveika kelių asmenų ar oorganizacijų, iš kurių kiekviena turi savo optimalumo kriterijų (konkurencija, arbitražas, kooperacija ir t.t.). Tai teorija, nagrinėjanti konfliktines situacijas. Optimizavimas ekonomikoje 12 / 121

13 (3) Tikimybiu ir statistiniai metodai Tikimybiu ir statistiniai metodai Tikimybių ir statistiniams metodams priklauso nemažai ekonometrinių metodų: regresijos metodai (tiesinė, daugialypė, logistinė); dispersinė analizė; klasterinė analizė; diskriminantinė analizė; faktorinė analizė. Galima dar paminėti masinio aptarnavimo (laukimo arba eilių) teorijos metodus. Optimizavimas ekonomikoje 13 / 121

14 (4) Kibernetiniai metodai Tinklinio planavimo metodai Tinklinio planavimo metodai naudojami didžiuliams transporto gamybos, mokslinio tyrimo, ūkinių ir finansinių operacijų kompleksams kontroliuoti ir koordinuoti. Imitaciniai metodai Imitaciniai metodai leidžia tirti įvairius ekonominius bei techninius reiškinius ne natūraliomis sąlygomis, bet dirbtinai sukurtose, kai imituojams nagrinėjamas reiškinys ar procesas. Modeliuojami įvairūs gamybinių sistemųvariantai dar prieš juos realizuojant, ir parenkamas geriausias sprendinys. Imitacijos procesas kompiuteriu trunka keleta miničių, per kurias apskaičiuojami duomenys apie procesus, trunkančius visus metus. Optimizavimas ekonomikoje 14 / 121

15 Matematiniu metodu ir modeliu schema Optimizavimas ekonomikoje 15 / 121

16 Transporto uºdavinys Praktikoje daugelio tiesinio programavimo uždavinių apribojimų matrica yra specialios struktūros. Tokiems uždaviniams spręsti sukurti paprastesni ir efektyvesni negu simplekso metodai. Pavyzdžiui, transporto uždavinys, kai ieškoma vienalyčio produkto ekonomiškiausio pervežimo plano iš siūntimo į paskirties punktus, sprendžiamas potencialų, paskyrstymo ir kt. metodais. Optimizavimas ekonomikoje 16 / 121

17 Transporto uºdavinio formulavimas Tegu m siuntimo punktuose A 1,..., A m atitinkami yra a 1,..., a n vienetų kokio nors vienalyčio krovinio. Tą krovinį reikia pervežti į n paskirties punktus B 1,..., B n, kuriems jo reikia atitinkamai b 1,..., b n vienetų. Krovinio vieneto pervežimo kaina iš siuntimo punkto A i į paskirties punktą B j lygi c ij. Be to, krovinio pervežimo kaina tiesiai proporcinga pervežamo krovinio kiekiui. Reikia sudaryti tokį krovinio pervežimo planą, pagal kurį visi kroviniai iš siuntimo punktų bus išvežti, visų vartotojų poreikiai bus patenkinti, o bendroji pervežimo kaina bus mažiausia. Optimizavimas ekonomikoje 17 / 121

18 Transporto uºdavinio lentele (1) Optimizavimas ekonomikoje 18 / 121

19 Transporto uºdavinio lentele (2) Optimizavimas ekonomikoje 19 / 121

20 Matematinio modelio sudarymo schema Įvedami kintamieji (nežinomieji) Užrašomi apribojimai kintamiesiems Užrašoma tikslo funkcija ir nurodoma min ar max jos reikšmė yra ieškoma Užrašomas uždavinio matematinis modelis Optimizavimas ekonomikoje 20 / 121

21 Transporto uºdavinio matematinis modelis Optimizavimas ekonomikoje 21 / 121

22 Transporto uºdavinio savybes (1) 1 savybe Transporto uždavinys turi optimajųjį pervežimo planą tada ir tik tada, kai tenkinama balanso sąlyga a i = b j. 1 apibr eºimas Jeigu teisinga lygybė a i = b j, tai transporto uždavinys vadinamas subalansuotu. 2 apibr eºimas Jei teisinga nelygybė a i > b j arba a i < b j, tai transporto uždavinys vadinamas nesubalansuotu. Optimizavimas ekonomikoje 22 / 121

23 Transporto uºdavinio matricine forma Reikia rasti min c, x, kai Ax = b, x 0. Čia Vektoriaus a ij i-oji ir m-oji koordinatės yra vienetai, o kitos - nuliai. Optimizavimas ekonomikoje 23 / 121

24 Transporto uºdavinio savybes (2) 2 savybe Transporto uždavinio apribojimų matricos A rangas lygus m + n 1. Vadinasi, bazinių kintamųjų yra m + n 1, o laisvųjų kintamųjų skaičius mn (m + n 1). 3 savybe Tegu ištekliai a i ir poreikiai b j yra sveikieji skaičiai. Tada egzistuoja bent vienas transporto uždavinio optimalusis bazinis sprendinys su sveikosiomis bazinių kintamųjų reikšmemis. Optimizavimas ekonomikoje 24 / 121

25 Baziniai ir laisvieji langeliai Transporto uždavinio lentelės langelį, kuris yra eiluės A i ir stulpelio B j sankirtoje, žymėsime (i, j). 3 apibr eºimas Langelį, kuriame įrašytas bazinio sprendinio bazinis kintamasis, vadinsime baziniu, arba užpildytu langeliu. 4 apibr eºimas Langelį, kuris atitinka bazinio sprendinio laisvąjį kintamąjį, vadinsime laisvuoju, arba neužpildytu langeliu. Optimizavimas ekonomikoje 25 / 121

26 Grandines 5 apibr eºimas Sutvarkytas langelių rinkinys, kuriame gretimi du langeliai yra transporto uždavinio lentelės toje pačioje eilutėje arba tame pačiame stulpelyje, tačiau jokie trys langeliai nėra vienoje eilutėje arba viename stulpelyje, vadinamas grandine. Pvz., grandine (i 1, j 1 ), (i 1, j 2 ), (i 2, j 2 ),..., (i k 1, j k ), (i k, j k ) jungia siuntimo punktą A i1 su paskirties punktu B jk. Vieno langelio grandinė (i r, j r ) jungia punktą A ir su punktu B jr. Optimizavimas ekonomikoje 26 / 121

27 Ciklai (1) 6 apibr eºimas Grandinė, kurioje pirmasis ir paskutinis langeliai yra toje pačioje transporto uždavinio lentelės eilutėjė, arba tame pačiame stulpelyje, vadinama ciklu. Grafiškai ciklą galima vaižduoti uždara laužte, kurios viršūnės yra ciklo langeliuose. Kiekvienoje viršūnėje susiduria dvi laužtės atkarpos, kurių viena eina eilute, o kita stulpeliu. Optimizavimas ekonomikoje 27 / 121

28 Galimu ciklu pavyzdºiai Optimizavimas ekonomikoje 28 / 121

29 Transporto uºdavinio savybes (3) 4 savybe Sakykime, kad transporto uždavinio lentelėje, kurioje yra m eilučių ir n stulpelių, laisvai pažymėta m + n langelių. Jei mn m + n, tai egzistuoja ciklas, kurio viršūnės yra pažymėtuose langeliuose. 5 savybe Sakykime, kad transporto uždavinio lentele aprašytas pervežimo planas. Jis yra bazinis tada ir tik tada, kai iš užimtųjų langelių negalima sudaryti ciklo. 6 savybe Sakykime, kad transporto uždavinio lentele aprašytas pervežimo planas. Tada kiekvieną laisvąjį langelį atitinka vienas ir tik vienas ciklas, kurio pradžia yra tame langelyje, o visi kiti langeliai yra baziniai (užimtieji). Optimizavimas ekonomikoje 29 / 121

30 Pradinio plano radimo metodai Transporto uždavinys sprendžiamas remiantis simplekso metodo idėja. Todėl turi būti patenkintos 3 salygos: Uždavinys duotas forma K max. Apribojimų sistemos laisvieji nariai yra neneigiami. Žinomas aprobojimų sistemos neneigiamas bazinis sprendinys. Susipažinsime su dviem pradinio neneigiamo bazinio sprendinio radimo metodais: šiaurės vakarų kampo (įstrižainės) metodu, mažiausios kainos (mažiausio elemento) metodu. Optimizavimas ekonomikoje 30 / 121

31 iaures vakaru kampo metodas Imkime subalansuotą transporto uždavinį: Optimizavimas ekonomikoje 31 / 121

32 iaures vakaru kampo metodas (1) Iš pradžių pildomas (1, 1) - šiaurės vakarų kampo langelis: įrašomas x 0 11 = min {a 1, b 1 }. Jeigu a 1 > b 1, tai x 0 11 = b 1. Vadinasi, gavėjo B 1 poreikiai visiškai patenkinti, o siūntimo punkte A 1 liko a 1 b 1 vienetų krovinio. Kadangi gavėjui B 1 iš kitų siuntimo punktų krovinio vežti nereikia, tai lentelėje išbraukiamas pirmas stulpelis. Jeigu a 1 < b 1, tai x 0 11 = a 1. Iš A 1 išvežtas visas krovinys, tačiau gavėjo B 1 poreikiai ne visiškai patenkinti. Lentelėje išbraukiama pirmoji eilutė. Jeigu a 1 = b 1, tai x 0 11 = a 1 = b 1. Iš A 1 išvežtas visas krovinys ir visiškai patenkinti gavėjo B 1 poreikiai ne visiškai patenkinti. Lentelėje išbraukiama pirmoji eilutė. Optimizavimas ekonomikoje 32 / 121

33 iaures vakaru kampo metodas (2) Toliau lentelė nagrinėjama be išbrauktos eilutės arba stulpelio. Tagal tas pačias taisykles užpildomas naujas šiaurės vakarų kampas. Kiekvienu žingsniu užpildomas vienas langelis ir lentelėje išbraukiama viena eilutė, arba stulpelis. Procesas tęsiamas, kol užpildomas paskutinis (m, n) langelis. Paskutiniame žingsnyje kartu išbraukiama eilutė ir stulpelis. Gauname m + n 1 užpildytą langelį. Neužpildytus langelius atitinkančias kintamųjų reikšmes prilyginę nuliui x 0 ij, gauname pradinį pervežimo planą. Šiaurės vakarų kampo metodu rastas pervežimo planas yra bazinis. Optimizavimas ekonomikoje 33 / 121

34 Rasti bazini sprendini ²iaures vakaru kampo metodu Optimizavimas ekonomikoje 34 / 121

35 Rasti bazini sprendini ²iaures vakaru kampo metodu (ats.) Optimizavimas ekonomikoje 35 / 121

36 Maºiausios kainos (maºiausio elemento) metodas Sudarydami pradinį bazinį pervežimų planą šiaurės vakarų kampo metodu, neatsižvelgiama į krovimio pervežimo kainą. Dažnai toks planas labai nutolęs nuo optimaliojo. Todėl ieškant optimaliojo plano, reikia atlikti daug iteracijų. Iteracijų skaičius būna mažesnis, kai pradinis planas randamas mažiausio elemento metodu. Taikant šį metodą, kiekviename žingsnyje pildomas langelis, kurį atitinka mažiausia pervežimo kaina tarp neužpildytų langelių. Po to išbraukiama eilutė arba stulpelis (pagal šiaurės vakarų kampo metodo schemą). Optimizavimas ekonomikoje 36 / 121

37 Rasti bazini sprendini maºiausio elemento metodu Optimizavimas ekonomikoje 37 / 121

38 Rasti bazini sprendini maºiausio elemento metodu (ats.) Optimizavimas ekonomikoje 38 / 121

39 Ciklai (2) Pervežimų lentelės duoto laisvojo (neužpildyto) langelio ciklu vadinama uždara stačiakampė laužtinė linija, tenkinanti sąlygas: laužtės pradžia ir pabaiga yra laisvame langelyje, o kitos viršunės yra baziniuose langeliuose (nebūtinai visuose); kiekvienoje laužtės viršunėje sueina tik dvi grandys, kurių viena eina eilutę, o kita - stulpeliu (ciklas gali save kirsti, bet susikirtimo taškas nėra ciklo viršunė); ciklo viršunėms pakaitomis priskiriami + ir, pradedant nuo viršunės laisvame langelyje, kuriai priskiriamas +. Kiekvienam laisvam langeliui egzistuoja ciklas ir tik vienas. Pervežimų lentelėje yra mn (m + n 1) laisvų langelių, todėl galima nubrėžti tiek ciklų. Optimizavimas ekonomikoje 39 / 121

40 Galimu ciklu pavyzdºiai Optimizavimas ekonomikoje 40 / 121

41 Poslinkis 7 apibr eºimas Poslinkis ciklu per skaičiu x - tai veiksmas, kada prie skaičių, esančių teigiamose ciklo viršūnėse, pridedamas skaičius x, iš skaičių, esančių neigiamose viršūnėse, atimamas x, o skaičiai nesantys ciklo viršūnėse nekeičiami. Lentelėje L3 pavaizduotas langelio x 32 ciklas, o L4 - poslinkio x 32 ciklu per 5 rezultatas Optimizavimas ekonomikoje 41 / 121

42 Transporto uºdavinio sprendimas paskirstymo metodu (1) Tarkime, kad žinomas subalansuoto transporto uždavinio bazinis planas x 0. Tikslo funkcija taške x 0 įgyja reikšme f (x 0 ) = m n c ij xij 0. i=1 j=1 Imkime bet kurį laisvąjį langelį (i 0, j 0 ) ir, priskyrę jam +, sudarykime ženklintą ciklą. Apskaičiavę Θ = min (i,j) x 0 ij ir atlikę poslinkį cikle skaičiumi Θ, gauname kitą atraminį planą x 1. Tikslo funkcija taške x 1 įgyja reikšme f (x 1 ) = m n c ij xij 1. i=1 j=1 Optimizavimas ekonomikoje 42 / 121

43 Transporto uºdavinio sprendimas paskirstymo metodu (2) Pokytį galima išreikšti kur f = f (x 1 ) f (x 0 ) = γ i0 j 0 Θ, γ i0 j 0 = (i,j) + c ij (i,j) c ij yra laisvojo langelio (i 0, j 0 ) skaitinė charakteristika. Čia c ij, (i,j) + (i,j) c ij sumos pervežimo kainų, esančių atitinkamai pliuso ir minuso ženklais pažymėtuose ciklo langeliuose. Optimizavimas ekonomikoje 43 / 121

44 Paskirstymo metodo realizavimo schema 1 Šiaurės vakarų kampo ar mažiausio elemanto metodu randamas pradinis bazinis planas x 0. 2 Kiekvienam laisvajam langeliui (i, j) sudaromas ženklintas ciklas ir apskaičiuojama skaitmeninė charakteristika γ ij. Jeigu visos γ ij 0, tai bazinis planas x 0 yra optimalus. 3 Randama mažiausia neigiama charakteristika γ i0,j 0 = min γ ij < 0. Langelio (i 0, j 0 ) ženklinto ciklo pagalba randamas Θ = min (i,j) x 0 ij. Atlikę poslinkį šiame cikle skaičiumi Θ, gauname kitą lentelę ir ją atitinkantį atraminį planą x 1, it t.t. Optimizavimas ekonomikoje 44 / 121

45 I²spr sti paskirstymo metodu Optimizavimas ekonomikoje 45 / 121

46 I²spr sti paskirstymo metodu (ats.) Optimizavimas ekonomikoje 46 / 121

47 Potencialu metodas (1) Tiesioginis transporto uždavinys: min m i=1 j=1 n c ij x ij x 11 + x x 1n = a 1 x 21 + x x 2n = a x m1 + x m x mn = a m x 11 + x x m1 = b 1 x 12 + x x m2 = b x 1n + x 2n x mn = b n x ij 0. u 1 u 2... u m v 1 v 2... v n Optimizavimas ekonomikoje 47 / 121

48 Potencialu metodas (2) Dualusis transporto uždavinys: m n max a i u i + b j v j i=1 j=1 u 1 + v 1 c 11 u 1 + v 2 c u 1 + v n c 1n u 2 + v 1 c u m + v n c mn u i R, v j R. Optimizavimas ekonomikoje 48 / 121

49 Potencialu metodas (3) Nagrinėkime sistemą (ū 1 + v 1 c 11 ) x 11 = 0 (ū 1 + v 2 c 12 ) x 12 = (ū m + v n c mn ) x mn = 0 Čia x kl yra bazinių kintamųjų reikšmės turimame sprendinyje. Nagrinėjamų lygčių bus m + n 1, nes tiek yra bazinių kintamųjų. Optimizavimas ekonomikoje 49 / 121

50 Potencialai (1) Tarkime, kad x kl > 0. Tada gauname m + n 1 lygčių sistemą su m + n nežinomaisiais: ū 1 + v 1 = c 11 ū 1 + v 2 = c ū m + v n = c mn Ši sistema turi be galo daug sprendinių. Norėdami gauti konkretų sprendinį, pasirenkame laisvai kurio nors kintamojo reikšmę, pvz., ū 1 = 0. Tuomet kitų nežinomųjų reikšmes surasime vienareikšmiškai. Rastos reikšmės vadinamos punktų potencialais: ū k - siūntimo punktų potencialai, v l - gavimo punktų potencialai. Optimizavimas ekonomikoje 50 / 121

51 Potencialai (2) Langelio i, j charakteristika (įvertinimas) apskaičiuojamas pagal formulę γ i,j = ū i + v j c ij. Jeigu visi įvertinimai yra neteigiami, tai bazinis planas yra optimalus. Priešingu atveju parenkame didžiausią teigiamą įvertinimą: γ i0,j 0 = max γ i,j = max {ū i + v j c ij }. γ i,j >0 Optimizavimas ekonomikoje 51 / 121

52 Potencialu metodo realizavimo schema 1 Šiaurės vakarų kampo ar mažiausio elemanto metodu randamas pradinis bazinis planas x 0. 2 Išsprendę sistemą, randame potencialų reikšmes. Kiekvienam laisvajam langeliui (i, j) apskaičiuojamas įvertinimas: γ i,j = ū i + v j c ij. Jeigu γ i,j 0, tai bazinis planas x 0 yra optimalus. 3 Pagal didžiausią teigiamą įvertinimą γ i0,j 0 = max γ ij > 0 parenkame laisvąjį langelį. Priskyrę langeliui (i 0, j 0 ) pliuso ženklą, randame Θ = min (i,j) x 0 ij. Atlikę poslinkį šiame cikle skaičiumi Θ, gauname kitą lentelę ir ją atitinkantį atraminį planą x 1, it t.t. Optimizavimas ekonomikoje 52 / 121

53 I²spr sti potencialu metodu Optimizavimas ekonomikoje 53 / 121

54 I²spr sti potencialu metodu (ats.) Optimizavimas ekonomikoje 54 / 121

55 I²sigimusio transporto uºdavinio sprendimas Transporto uždavinys yra išsigimęs, jeigu bent vieno jo bazinio plano bazinio kintamojo reikšmė lygi nuliui. Sprendžiant išsigimusį uždavinį, gali būti pradinis bazinis planas jau išsigimęs arba neišsigimęs, tačiau kitoje iteracijoje gaunamas išsigimęs bazinis planas. Kaip kiekvienam išsigimusiam baziniam planui parinkti papildomus užimtuosius langeliuis, kad jų skaičius būtų lygus m + n 1? Optimizavimas ekonomikoje 55 / 121

56 (1) Pradinis bazinis planas yra i²sigim s Išsigimęs bazinis pradinis planas gaunamas tada, kai užpildant eilinį langelį, jį atitinkančio siuntimo punkto krovinio ištekliai ir paskirties punkto poreikiai lygūs nuliui. Tada į tą langelį įrašome nulį, t.y. laukome jį užimtu, ir išbraukiame eilutę, kurioje jis yra. Taip parinkdami užimtuosius langelius, gausime pradinį bazinį planą, kurį atitinkančioje lentelėje yra m + n 1 užimtas langelis. Optimizavimas ekonomikoje 56 / 121

57 (2) Pradinis bazinis planas nera i²sigim s Antrąjį atvejį gauname, kai ženklinto ciklo minuso ženklu pažymėtuose langeliuose yra dvi arba daugiau mažiausios (vienodos) bazinių kintamųjų reikšmės. Atlikę poslinkį tokiu ciklu, gauname du arba daugiau langelių, kuriuose atsiranda nuliui, t.y. langeliai tampa laisvi. Vieną iš tų langelių paliekame laisvų, o į kitus įrašome nulius ir juos laikome užimtaisiais. Optimizavimas ekonomikoje 57 / 121

58 I²spr sti potencialu metodu (z min = 1900) Optimizavimas ekonomikoje 58 / 121

59 Nesubalansuotas transporto uºdavinys (1) Apibr eºimas Jeigu transporto uždavinio bendrieji ištekliai a i viršyja bendruosius poreikius b j, arba atvirkščiai, tai transporto uždavinys vadinamas nesubalansuotu. Optimizavimas ekonomikoje 59 / 121

60 Nesubalansuotas transporto uºdavinys (2) Jeigu a i > b j ir nesvarbu, iš kurių siuntimo punktų nebus išvežtas krovinys, tai papildę transporto uždavinį fiktyviu gavėjų B n+1, kurio poreikiai yra m n b n+1 = a i i=1 vienetu krovinio, ir laikydami pervežimo kainą iš bet kurio siuntimo punkto į fiktyvų paskirties punktą B n+1 lygia nuliui, gauname subalansuotą transporto uždavinį. j=1 b j Optimizavimas ekonomikoje 60 / 121

61 Nesubalansuotas transporto uºdavinys (3) Jeigu a i < b j ir nesvarbu, kurio paskirties punkto poreikiai nebus visiškai patenkinti, tai papildę transporto uždavinį fiktyviu siuntėju A m+1, kurio ištekliai yra a m+1 = n b j m j=1 i=1 a i vienetu krovinio, ir laikydami pervežimo kainą iš fiktyvaus siūntėjo į bet kurį paskirties punktą lygia nuliui, gauname subalansuotą transporto uždavinį. Optimizavimas ekonomikoje 61 / 121

62 Nesubalansuotas transporto uºdavinys (4) Nesubalansuotų ir juos atitinkančių subalansuotų uždavinių tikslo funkcijos yra vienodos. Pradinį bazinį planą sudarant mažiausio elemento metodu, iš pradžių reikia pildyti langelius su teigiamomis kainomis. Paskiausiai pildomi langeliai, esantys papildomoje eilutėje arba stulpelyje. Tada subalansuotą uždavinį sprendžaint potencialų metodu, reikia atlikti mažiau iteracijų. Optimizavimas ekonomikoje 62 / 121

63 Nesubalansuotas transporto uºdavinys (5) Radę subalansuoto uždavinio optimalųjį pervežimo planą, galime užrašyti atitinkamo nesubalansuoto uždavinio optimalųjį planą. Krovinio kiekis, kurį pagal subalansuoto uždavinio optimalųjį planą reikia nuvežti iš fiktyvaus punkto A m+1 į paskirties punktus B j, reiškia, kiek vienetų krovinio nebus atvežta šiam gavėjui. Krovinio kiekis, kurį pagal optimalųjį pervežimo planą reikia nuvežti iš siuntimo punkto A i į fiktyvų paskirties punktą B n+1, reiškia, kiek vientų krovinio nebus išvežta iš siuntimo puinkto A i. Optimizavimas ekonomikoje 63 / 121

64 I²spr sti potencialu metodu (z min = 193) Optimizavimas ekonomikoje 64 / 121

65 Tinklinis planavimas Tinkliniu planavimu vadinamas susijusių darbų (operacijų) komplekso realizavimo tyrimo metodas. Taikant šį metodą, darbų kompleksas vaizduojamas schema, vadinama tinkliniu grafiku. Remiantis tuo grafiku, sudaroma darbų atlikimo eilė, apskaičiuojamas projekto realizavomo laikas, sprendžiami su projekto įgyvendinimu susiję uždaviniai. Optimizavimas ekonomikoje 65 / 121

66 Grafai ir tinklai Grafą galima apibrėžti kaip aibių porą (S, U), kur S - viršūnių aibė, U - briaunų aibė. Toliau naginėsime tik orientuotus grafus. Kelias (grandin e) Grafo briaunų seka { (P i1, P i2 ), (P i2, P i3 ),..., (P ik, P ik+1 ) }, kurioje kiekvienos paskesnės briaunos pradžia sutampa su ankstesnės pabaiga, vadinama keliu, jungiančiu viršūnę P i1 su viršūne P ik+1. Ciklas Kelias, kuris prasideda ir baigiasi toje pačioje viršūnėje, vadinamas ciklu. Vienos braiunos ciklas vadinamas kilpa. Tinklas Grafas, kurio elementams (dažniausiai briaunoms) priskiriami skaičiai, vadinamas tinklu. Optimizavimas ekonomikoje 66 / 121

67 Tinklinis grakas Sudetingame darbų komplekse daug darbų, susijusių technologiniais ryšiais. Vieną darbą negalima pradėti, nebaigus kitų. Sudarant tokio darbų komplekso realizavimo projektą, patogu tą darbų kompleksą vaizduoti grafu, kuris vadinamas tinkliniu grafiku. Norint sudaryti tinklinį grafiką, reikia žinoti visus darbus, jų atlikimo eilę ir kiekvieno darbo trukmę. Pradinė informacija gali būti pateikta įvairiai. Optimizavimas ekonomikoje 67 / 121

68 1.1 = 1.2 Optimizavimas ekonomikoje 68 / 121

69 Ivykiai Optimizavimas ekonomikoje 69 / 121

70 Tinklinio grako sudarymo schema (1) Optimizavimas ekonomikoje 70 / 121

71 Tinklinio grako sudarymo schema (2) Optimizavimas ekonomikoje 71 / 121

72 Sudaryti 1.1 lnt. darbu komplekso tinklini grak (1) Optimizavimas ekonomikoje 72 / 121

73 Sudaryti 1.1 lnt. darbu komplekso tinklini grak (2) Optimizavimas ekonomikoje 73 / 121

74 Sudaryti 1.1 lnt. darbu komplekso tinklini grak (3) Optimizavimas ekonomikoje 74 / 121

75 1.1 lnt. darbu komplekso tinklinis grakas Optimizavimas ekonomikoje 75 / 121

76 1.1 lnt. darbu komplekso tinklinis grakas: daug ktyviu darbu Optimizavimas ekonomikoje 76 / 121

77 1.1 lnt. darbu komplekso tinklinis grakas (alternatyva) Fiktyvių darbų galėtų būti mažiau sudarant tinklinį grafiką kitu būdu: Optimizavimas ekonomikoje 77 / 121

78 Tinklinio grako sudarymo taisykles Optimizavimas ekonomikoje 78 / 121

79 Metodai ivykiams numeruoti Optimizavimas ekonomikoje 79 / 121

80 Numeravimo schema (1) Optimizavimas ekonomikoje 80 / 121

81 Numeravimo schema (2) Optimizavimas ekonomikoje 81 / 121

82 Fordo algoritmas (1) Optimizavimas ekonomikoje 82 / 121

83 Fordo algoritmas (2) Optimizavimas ekonomikoje 83 / 121

84 Fordo algoritmo pritaikymo 1.4 lnt. rezultatas Optimizavimas ekonomikoje 84 / 121

85 Uºdaviniai 1. Sudarykite darbų kompleksų tinklinius grafikus 2. Nauduodamiesi Fordo algorimtu, išsluoksniuokite sudarytus tinklinius grafikus. Optimizavimas ekonomikoje 85 / 121

86 Tinklinio grako parametrai: kritinis kelias ir kritinis laikas Optimizavimas ekonomikoje 86 / 121

87 Kritinis kelias ir kritinis laikas (1) Optimizavimas ekonomikoje 87 / 121

88 Kritinis kelias ir kritinis laikas (2) Optimizavimas ekonomikoje 88 / 121

89 Algoritmas parametrams T 0 j apskai iuoti Optimizavimas ekonomikoje 89 / 121

90 Algoritmas parametrams T 1 j apskai iuoti Optimizavimas ekonomikoje 90 / 121

91 Uºd. Tinkliniu graku rasti parametrus Tj 0, T j 1 ir kritini keli Optimizavimas ekonomikoje 91 / 121

92 Ats.: T 0 j Optimizavimas ekonomikoje 92 / 121

93 Ats.: T 1 j Optimizavimas ekonomikoje 93 / 121

94 Ats.: Kritinis kelias Optimizavimas ekonomikoje 94 / 121

95 Laiko rezervai (1) Analizuojant projekto realizavimą, reikia žinoti įvairius laiko rezervus. Jie apibrėžiami remiantis parametrais Tj 0 ir Tj 1. Laisv es intervalas [ ] Laiko tarpas Tj 0, T j 1 vadinamas įvykio P j laisvės intervalu, arba rezerviniu intervalu. Pilnasis laiko rezervas Darbo (P i, P j ) pilnuoju laiko rezervu vadinamas skaičius p ij = Tj 1 Tj 0 t ij. Pilnasis laiko rezervas nusako, kiek darbą (P i, P j ) galima užtęsti (vėliau pradėti) nedidinant kritinio laiko. Išnaudojus pilnąjį (P i, P j ) laiko rezervą, vėlesni darbai (P j, P k ) pradedami tik vėlaiusiuoju laiku T 1 j. Optimizavimas ekonomikoje 95 / 121

96 Nagrinejaimo tinklinio grako (p.91) parametrai Tj 0, T [ ] j 1 bei intervalai T 0 j, Tj 1 Optimizavimas ekonomikoje 96 / 121

97 Laiko rezervai (2) Laisvasis laiko rezervas Darbo (P i, P j ) laisvuoju laiko rezervu vadinamas skaičius l ij = T 0 j T 0 j t ij. Laisvasis laiko rezervas nurodo, kiek darbą (P i, P j ) galima užtęsti (vėliau pradėti), netrukdant anksčiausiuoju laiku Tj 0 pradėti vėlesnių darbų. Naudojantis darbo (P i, P j ) laisvuoju laiko rezervu, gali sumažėti ankstesniųjų darbų (P k, P i ) pilnieji laiko rezervai, tačiau vėlesnijųjų darbų pilnieji laiko rezervai nesikeičia. Optimizavimas ekonomikoje 97 / 121

98 Laiko rezervai (3) Nepriklausomasis laiko rezervas Darbo (P i, P j ) nepriklausomuoju laiko rezervu vadinamas skaičius } m ij = max {0, Tj 0 Tj 0 t ij Išnaudojus šį rezervą, P i įvyksta vėliausiuoju laiku Ti 1, o P j - anksčiausiuoju laiku Tj 0. Nepriklausomasis laiko rezervas nepriklauso nuo kitų darbų laiko rezervų panaudojimo. Uºd. Raskite nagrinejaimo tinklinio grako (p.91) laiko rezervus Optimizavimas ekonomikoje 98 / 121

99 Nagrinejaimo tinklinio grako (p.91) laiko rezervai Optimizavimas ekonomikoje 99 / 121

100 Tiesine projekto diagrama (1) Tinklinis grafikas nurodo darbų eilę, tačiau jis nenusako, kokie darbai turi būti vykdomi kiekvienu laiko momentu. Kai projektai nedideli, patogu naudotis vadinamąja tiesine diagrama. Optimizavimas ekonomikoje 100 / 121

101 Tiesine projekto diagrama (2) Optimizavimas ekonomikoje 101 / 121

102 Nagrinejaimo tinklinio grako (p.91) tiesine diagrama Optimizavimas ekonomikoje 102 / 121

103 Tiesine projekto diagrama (3) Remiantis diagrama, galima rasti tinklinio grafiko parametrus. Kritinis laikas Kritinis laikas T n lygus paskutinio diagramos taško P 6 laikui. Kritinis kelias Kritinis kelias brėžinyje pažymėtas punktyrine linija. Jį randame šitaip. Imame darbą (P 3, P 6 ), kurio pabaiga sutampa su kritiniu laiku. Šios atkarpos kairysis taškas P 3 pagal laiką sutampa su darbo (P 2, P 3 ) dešiniuoju tašku P 3. Atkarpos (P 2, P 3 ) kairysis taškas sutampa su darbo (P 1, P 2 ) dešiniuoju tašku P 1 ir t.t. Optimizavimas ekonomikoje 103 / 121

104 Tiesine projekto diagrama (4) Optimizavimas ekonomikoje 104 / 121

105 Tiesine projekto diagrama (5) Optimizavimas ekonomikoje 105 / 121

106 Raskite tinkliniu graku kritini keli, laiko rezervus ir nubraiºykite tiesines diagramas Optimizavimas ekonomikoje 106 / 121

107 Tinklinio planavimo uºdaviniai. Resursu paskirstymas. Realizuojant projektą, reikalingi įvairūs resursai: darbo jėga, įrengimai, finansai. Kadangi resusrai riboti, tai iškyla įvairūs jų paskirstymo uždaviniai. Pagrindiniai uždaviniai yra šitokie: 1. Kaip skirstyti resursus, kad visą darbų kompleksą būtų galima atlikti per trumpiausią laiką? 2. Reikia rasti mažiausią resursų kiekį, reikalingą visiems darbams atlikti per tam tikrą laiką. Bendrųjų metodų tokiems uždaviniams spręsti nėra. Optimizavimas ekonomikoje 107 / 121

108 Projekto realizavimo kainos minimizavimas (1) Paprastai, darbų kainos (iškaidos atliekant darbus) priklauso nuo darbų trukmės. Dažnai trukmei didėjant kaina mažėja. Tačiau būna atvėjų, kai didėjant trukmei didėja ir išlaidos. Optimizavimas ekonomikoje 108 / 121

109 Projekto realizavimo kainos minimizavimas (2) Nagrinėsime projektą, kai nustatyta kiekvieno darbo (P i, P j ) minimali trukmė d ij. Darbo kaina c ij apskaičiuojama pagal formulę c ij = a ij t ij + b ij, a ij 0, b ij > 0, čia t ij - darbo (P i, P j ) trukmė. Reikia rasti projekto realizavimo planą, pagal kurį darbų kompleksas būtų atliktas per trumpiausią laiką su mažiausiomis sąnaudomis. Iš formulės išplaukia, kad, didinant darbo trukmę, jo kaina mažėja. Vadinasi, kiekvieno darbo trukmė turi būti kiek galima didesnė. Kita vertus, trumpiausias laikas lygus kritiniam laikui, imant t ij = d ij. Vadinasi. galima užtęsti tik nekritinius darbus iki jie taps kritiniais. Optimizavimas ekonomikoje 109 / 121

110 Projekto realizavimo kainos minimizavimas (3) Optimizavimas ekonomikoje 110 / 121

111 Uºdavinio matematinis modelis (1) Reikia rasti T j, j = 0, 1,..., n reikšmes, tenkinančias (3.2) sąlygas, su kuriosmis (3.3) funkcija įgyja mažiausią reikšmę: Optimizavimas ekonomikoje 111 / 121

112 Uºdavinio matematinis modelis (2) Optimizavimas ekonomikoje 112 / 121

113 Uºdavinio matematinis modelis (3) Optimizavimas ekonomikoje 113 / 121

114 Pavyzdys. Nagrinekime projekt Optimizavimas ekonomikoje 114 / 121

115 Pavyzdys (1) Optimizavimas ekonomikoje 115 / 121

116 Nagrinejaimo tinklinio grako parametrai Tj 0 ir Tj 1 Optimizavimas ekonomikoje 116 / 121

117 Nagrinejaimo tinklinio grako tiesine diagrama Optimizavimas ekonomikoje 117 / 121

118 Pavyzdys (2) Optimizavimas ekonomikoje 118 / 121

119 Pavyzdys (3) Optimizavimas ekonomikoje 119 / 121

120 Uºdaviniai (1) Optimizavimas ekonomikoje 120 / 121

121 Uºdaviniai (2) Optimizavimas ekonomikoje 121 / 121