Magnetne lastnosti kvazikristalov

Transcription

1 Magnetne lastnosti kvazikristalov Jure Prizmič Mentor: Dr. Zvonko Jagličić

2 1 KVAZIKRISTALI Trdna snov in periodičnost Odkritje kvazikristalov Kvaziperiodičnost Atomska zgradba kvazikristalov Lastnosti kvazikristalov in njihova uporaba 7 2 MAGNETNE LASTNOSTI KVAZIKRISTALOV Spinska stekla Frustracija in naključnost Magnetna interakcija med spini Prehod v spinsko stekleno fazo in njene značilnosti Magnetizacija spinskih stekel Termoremanentna magnetizacija Kvazikristali spinska stekla? 13 3 ZAKLJUČEK 15 4 LITERATURA 16 Povzetek Kvazikristali so trdne snovi, za katere je značilno, da v njih obstaja strukturna urejenost dolgega dosega, ni pa periodičnosti kot jo poznamo pri klasičnih kristalih. Ena od posebnosti nekaterih kvazikristalov so njihove magnetne lastnosti, saj lahko opazimo obnašanje, tipično za spinska stekla. To se kaže pri razliki med field-cooled in zero field-cooled susceptibilnostjo pod kritično temperaturo in pri opazovanju razpada termoremanentne magnetizacije, ki je pri običajnih para- in diamagnetih ni. 2

3 1 Kvazikristali 1.1 Trdna snov in periodičnost V naravi lahko snov obstaja v treh agregatnih stanjih, plinastem, kapljevinastem in trdnem. Trdne snovi, ki imajo atome razporejene v pravilno mrežo, imenujemo kristali. Zgrajeni so iz osnovnih celic, ki se periodično ponavljajo. V kristalu obstaja red dolgega dosega, saj je lega vsakega atoma v prostoru natančno določena. Teorija kristalnih mrež [1] pove, da lahko prazen prostor v celoti zapolnimo le z osnovnimi celicami, ki imajo določeno simetrijo glede na vrtenje. Periodične kristalne mreže so lahko zgrajene le iz celic, ki so simetrične glede na zasuk za 180, 120, 90 ali 60 stopinj. Takšne celice imajo simetrijo dvo-, tri-, štiri- ali šest-števne osi, kar so v kristalografiji dovoljene simetrije. Definiramo lahko tudi osnovne celice z drugačnimi simetrijami na primer peterokotnik, ki ima simetrijo petštevne osi, saj pri vrtenju skozi središče preide sam vase pri zasuku za petino osi. S sestavljanjem peterokotnikov pa prostora ne moremo zapolniti v celoti, saj med njimi ostajajo prazne vrzeli. Prav tako prostora ne moremo v celoti zapolniti z osnovnimi celicami s simetrijo višjo od simetrije šesterokotnika (s sedmerokotniki, osmerokotniki ). Petštevno simetrijo in višje od šestštevne zato imenujemo prepovedane simetrije. 2 π/6 2 π/4 2 π/3 Slika 1. 2-D Prostor lahko popolnoma zapolnimi le z liki, katerih notranji koti so 2π/n. To so trikotnik, štirikotnik in šestkotnik. Kot pri petkotniku je 2π/3.33, pri sedemkotniku pa 2π/2.8, zato s temi liki prostora ne moremo zapolniti. 3

4 1.2 Odkritje kvazikristalov Stoletja je med znanstveniki veljalo prepričanje, da vse kristalne strukture vsebujejo le dovoljene simetrije, medtem ko struktur s prepovedanimi simetrijami v naravi ni. Ta slika je bila zelo uspešna, z odkritjem uklona rentgenskih žarkov v kristalih leta 1912 in razvojem kristalografije se je vedno znova potrjevala. V naslednjih sedemdesetih letih so se vse izmerjene uklonske slike ujemale s teorijo. Zato je veliko presenečenje povzročilo odkritje Dana Shechtmana [2], ki je aprila leta 1982 med opazovanjem uklona na zlitini aluminija in mangana dobil uklonsko sliko podobno sliki 2. Slika 2. a) Tipična uklonska slika kvazikristala s simetrijo ikozaedra. b) Ikozaeder Z vrtenjem vzorca je ugotovil, da ima simetrijo ikozaedra in vsebuje šest 5-števnih, 10 3-števnih in 15 2-števnih osi. Shechtman je odkritje objavil šele dve leti pozneje. Kasneje so poleg kvazikristalov z ikozaedrično simetrijo odkrili še vzorce s pentagonalno (petštevna os), dodekagonalno (dvanajstštevna os), dekagonalno (desetštevna os) in oktagonalno (osemštevna os) simetrijo (slika 3). Slika 3. Tipične uklonske slike za a) oktagonalno, b) dekagonalno in c) dodekagonalno simetrijo. 4

5 1.3 Kvaziperiodičnost Za kvazikristale je značilno, da imajo popoln red dolgega dosega kar pomeni, da je lega vsakega atoma v mreži natanko določena zaradi prepovedanih simetrij pa nimajo prostorske periodičnosti mreže in ne moremo definirati osnovne celice. Sama ideja o obstoju reda dolgega dosega brez periodičnosti ni nova in je obstajala pred odkritjem kvazikristalov [2]. Za osnovno predstavo je najbolj enostavna 1-D mreža z enakomerno razporejenimi točkami z razdaljo a. Če temu dodamo podmrežo novih točk z razmikom b, dobimo strukturo, ki je predstavljena na sliki 4. a b Slika 4. Enodimenzionalna mreža z redom dolgega dosega in brez periodičnosti. Takšna mreža očitno ima popoln red dolgega dosega položaj vsake točke v mreži je natančno določen. Vendar pa ni periodična, če a/b ni racionalno število, saj se potem nobena struktura v mreži ne ponovi. To je t.i. inkomenzurabilni sistem. Kvaziperiodičnost lahko obravnavamo tudi kot projekcijo strukture, ki je periodična v višji dimenziji, v nižjo dimenzijo, kjer se periodičnost izgubi [9]. Najenostavnejši primer je projekcija iz periodične 2-D strukture v kvaziperiodično 1-D (slika 5). Slika 5. Projekcija periodične 2-D strukture v 1-D. 2-D mreža ima enostavno simetrijo, osnovna celica je kvadrat. S projekcijo mrežnih točk na podprostor Ve dobimo kvaziperiodično 1-D strukturo pod pogojem, da je naklon Ve glede na kvadratno mrežo iracionalen (v zgornjem primeru α = ) Kvazikristali v realnem prostoru so projekcije periodičnih struktur iz 5,6 -D prostora. V teh prostorih simetrije pet-, sedem- in več-števnih osi niso prepovedane kot v treh dimenzijah. V večdimenzionalnem prostoru se kvaziperiodične mreže lahko opišejo kot periodične. 5

6 Kvazikristalom v 3-D ne moremo določiti klasične osnovne celice kot kristalom, temveč za njihov opis potrebujemo vsaj pet vektorjev. 1.4 Atomska zgradba kvazikristalov Ugotavljanje natančne atomske strukture kvazikristalov še vedno predstavlja precejšen izziv. Za razliko od navadnih kristalov, kjer lahko natančno strukturo dobimo iz uklonskih slik vzorca, se pri kvazikristalih to večinoma ne da, saj ima lahko več modelov z različno lokalno atomsko strukturo enako porazdelitev uklonske intenzitete. Za natančo določitev je zato bistveno direktno opazovanje [8]. Pri tem je v pomoč elektronska mikroskopija (atomic-resolution transmission electron microscopy) (slika 6). Slika 6. S TEM pridobljene slike a) Al 72 Ni 20 Co 8 z dekagonalno in b) Zn 6 Mg 3 Ho z ikozaedrično simetrijo. Eden od novejših poskusov opisa zgradbe kvazikristalov je z uvedbo t.i. kvazi-osnovnih celic [10], ki nadomestijo osnovno celico pri običajnih kristalih. Takšne kvazi-osnovne celice se ne ponavljajo na enostaven način kot celice pri kristalih, saj zaradi prepovedanih simetrij na tak način ne morejo pokriti vsega prostora, temveč se po določenih pravilih prekrivajo in s pomočjo delnih prekrivanj zapolnijo prostor. Kvazi-osnovne celice vsebujejo prepovedane simetrije kvazikristala, tako je npr. kvazi-osnovna celica kvazikristala z dekagonalno simetrijo pravilen deseterokotnik. Na sliki 7 je model celice za Al 72Ni 20Co 8. Slika 7. a) Kvazi-osnovna celica za dodekagonalni Al 72 Ni 20 Co 8 je deseterokotnik. b) Posamezne celice se prekrivajo na dva načina tako, da se prekrivajo enako obarvana območja. c) Po enakem vzorcu se lahko zapolni celoten prostor. Takšen urejeni vzorec je brez translacijske simetrije in periodičnosti. 6

7 1.5 Lastnosti kvazikristalov in njihova uporaba Doslej je znanih že preko osemdeset različnih snovi s kvazikristalno strukturo, večina jih ima ikozaedrično simetrijo. Te snovi v naravi še niso bile opažene, vzgojene so le v laboratorijih. Kvazikristali so zlitine kovinskih elementov, kot npr. aluminij-paladij-mangan, aluminij-bakerželezo ali krom-nikelj. Kvaziperiodične strukture se tvorijo le v ozkem pasu koncentracijskih razmerij v zlitini pri aluminij-paladij-mangan se ikozaedrična faza tvori pri razmerju 70% Al, 22% Pd, 8% Mn. Pri odstopanju za več kot 2% od teh vrednosti pa dobimo običajno periodično strukturo [2]. Čeprav so na kvazikristale v začetku gledali kot na akademsko zanimivost brez uporabne vrednosti, se je izkazalo, da imajo zelo zanimive fizikalne lastnosti, ki kažejo na možnost njihove široke uporabe v tehnologiji [7]. So izredno trdi (trši od najtrših jekel), kemijsko neaktivni - ne korodirajo, in imajo majhen količnik trenja. Kljub temu, da so zlitine kovin, so transportni pojavi v kvazikristalih omejeni, saj se prevodniški elektroni zaradi drugačne konfiguracije pasov ne gibljejo tako prosto kot v kovinskih kristalih. Posledica tega je, da so slabi električni in toplotni prevodniki. Začetna ovira pri njihov uporabi v industrija je bilo dejstvo, da so pri temperaturah pod nekaj sto stopinj Celzija zelo krhki. Rešitev tega problema je v uporabi kvazikristalov kot prevlek ali dodatkov drugim materialom, saj ob tem obdržijo zaželene lastnosti, ni pa težav s krhkostjo. Možna uporaba so trde prevleke, plasti s termično zaporo (prevleke delov, ki se močno grejejo), materiale kot so kroglični ležaji Zanimiva uporaba kvazikristalov je tudi kot prevleka kuhinjskih posod in ponev. Zaradi trdote je ne opraskamo pri čiščenju, zaradi kemijske neaktivnosti ohrani sijaj. Cena ponve s kvazikristalno prevleko je precej višja od ponve s teflonsko prevleko, vendar ima praktično neomejen rok trajanja. Nekateri kvazikristali, kot Ti-Zr-Ni, imajo veliko sposobnost vezave vodika, saj lahko reverzibilno vežejo do dva atoma vodika na en kovinski, kar je več kot kovinski hidridi (LaNi 5), ki se uporabljajo za visoko-zmogljive baterije pri prenosnih računalnikih. Odkritja na področju kvazikristalov so povzročila, da je Mednarodna zveza za kristalografijo (International Union of Crystallography, IUCr) leta 1991 spremenila definicijo kristala, ki je sedaj vsaka snov z diskretno uklonsko sliko. Periodičnost ni več nujen pogoj, tudi kvazikristali so torej kristali. 7

8 2 Magnetne lastnosti kvazikristalov Med bolj zanimive lastnosti kvazikristalov sodijo magnetne. Večina kvazikristalov ne kaže izrazite urejenost magnetnih momentov in spinov in ima šibke dia- ali paramagnetne lastnosti. Pri nekaterih kvazikristalih pa opazimo obnašanje, ki je tipično za spinska stekla. 2.1 Spinska stekla Spinska stekla so snovi, pri katerih spini in magnetni momenti v osnovnem stanju pod temperaturo prehoda T f niso urejeni kot pri konvencionalnih magnetnih snoveh, ampak so v neurejenem, metastabilnem stanju [3]. Tipični predstavniki spinskih stekel so zlitine med žlahtno kovino (Cu, Ag, Au) in nečistočo, ki je nosilec magnetnih momentov (Fe, Mn). Te nečistoče so naključno porazdeljene v snovi. To so kanonična spinska stekla. Za nastanek kanoničnega spinskega stekla sta potrebna dva pogoja: frustracija: ne obstaja konfiguracija spinov, ki bi zadovoljila vsem interakcijam. Zato nekateri spini ostanejo 'frustrirani'. naključnost: položaj magnetnih momentov in vrsta interakcij med njimi morata biti naključna. 2.2 Frustracija in naključnost Del Hamiltoniana, ki opisuje magnetno energijo med dvema spinoma, lahko opišemo z Isingovim modelom [1], E = J S S, = ± 1 i j S ali, kjer je J konstanta, odvisna od interakcije med spinoma. Če je J > 0, imamo feromagnet. Energija je najmanjša, ko so sosednji spini poravnani, ali. Za J < 0 dobimo antiferomagnet. Energija je najmanjša, ko so sosednji spini usmerjeni nasprotno, ali. Pri frustrirani spinski mreži spini ne morejo ustreči vsem vezem za dosego minimalne energije. Primer takšne mreže je sliki 8. Interakcija med spini naj bo antiferomagnetna. Ob izbrani smeri sredinskega spina obstaja popolna zmeda med sosednjimi spini, saj je z energijskega stališča vseeno, v katero smer kažejo. V vsakem trikotniku obstaja šestkratna degeneracija in ena nezadovoljena vez. 8

9 _ Slika 8. Trikotna mreža z antiferomagnetnimi interakcijami med sosednjimi spini je popolnoma frustrirana. Popolnoma frustrirana in izključno antiferomagnetna mreža ne bo imela potrebnih lastnosti. Potreben pogoj je še naključnost magnetni momenti naj bodo čimbolj naključno posejani po mreži, poleg antiferomagnetnih pa naj bodo prisotne tudi feromagnetne interakcije (slika 9). Slika 9. Enostaven model spinskega stekla [3]. Interakcija naj bo feromagnetna (J 1 ) med najbližjimi sosedi in antiferomagnetna (J 2 ) med drugimi najbližjimi. Smer spina zgoraj desno naj bo izbrana. Večina spinov je svobodnih in lahko ustreže vsem okoliškim vezem, nekateri spini pa ne morejo zadovoljiti vseh sosedov (rdeča črta). V posebnem položaju je spodnji spin, saj je v primeru J 1 =2 J 2 frustriran z energijskega stališča je vseeno, v katero smer je obrnjen. 9

10 2.3 Magnetna interakcija med spini Interakcija med nosilci magnetnih momentov spinskem steklu poteka preko prevodnih elektronov [3]. Takšna indirektna sklopitev je znana kot interakcija Rudel-Kittel-Kasida-Yosida (RKKY), njeno odvisnost od razdalje lahko opišemo kot J ( r ij r r cos( k F ij ) ) r, 3 ij v v v kjer je rij = ri rj, krajevni vektor med spinoma i in j, k v F pa je valovni vektor prevodnih elektronov. Zaradi kosinusnega člena v števcu je ta interakcija lahko feromagnetna ali antiferomagnetna, odvisno od razdalje med spinoma (slika 10). Slika 10. Sklopitev RKKY v odvisnosti od razdalje med dvema spinoma. Pozitivne vrednosti J predstavljajo feromagnetno, negativne pa anitferomagnetno sklopitev. 2.4 Prehod v spinsko stekleno fazo in njene značilnosti Pri T ni nobene urejenosti, spini se prosto in neodvisno vrtijo. Ko temperatura pada in se približuje temperaturi prehoda T f, interakcije med magnetnimi momenti prevladajo nad termično energijo, sistem išče osnovno stanje in spini se pričnejo urejati. Vendar zaradi frustracije pride do degeneriranosti stanj in sistem se lahko ujame v eno od metastabilnih stanj (lokalni minimum proste energije) pri višji energiji. Močno degeneriran prostor energijskih stanj in ultrametrična ureditev proste energije (slika 11) sta glavni značilnosti spinskih stekel [3]. Degeneriranost stanj se z nižanjem temperature veča in energijske ovire med metastabilnimi stanji se višajo. 10

11 Slika 11. Ultrametrična ureditev proste energije. Ko nižamo T, iz metastabilnih stanj nastajajo novi lokalni minimumi. Med njimi so energijske ovire, ki se z nižanjem T višajo. 2.5 Magnetizacija spinskih stekel Na makroskopski ravni je prehod dobro viden pri merjenju magnetizacije spinskega stekla v prisotnosti šibkega zunanjega polja [5], kjer velja linearna zveza za susceptibilnost, χ=m/h. Magnetizacijo lahko merimo na dva načina. Pri prvem načinu polje vklopimo visoko nad temperaturo prehoda T f in vzorec ohladimo pod T f (»field cooling«, FC). Pri drugem načinu vzorec brez prisotnosti zunanjega polja ohladimo pod temperaturo T f in šele nato vklopimo polje. Nato vzorec grejemo nazaj proti T f in naprej pri vklopljenem polju ter ob tem merimo magnetizacijo (»zero-field cooling«, ZFC). Temperaturna odvisnost M(T) za obe meritvi je prikazana na sliki 12. Nad T f se krivulji ujemata, pri T f pa pride do očitne razlike. Susceptibilnost χ FC je pod T f konstantna in tudi neodvisna od časa, proces FC pa je reverzibilen. Če vzorec pri konstantnem polju segrevamo in ohlajamo, bo χ FC vselej sledila isti krivulji. Po drugi strani je susceptibilnost χ ZFC enaka nič, dokler ne vklopimo polja. Ob vklopu χ ZFC skoči na neko vrednost (nižjo od χ FC), vendar ni neodvisna od časa in zelo počasi raste. Zato ta proces ni reverzibilen - če vzorec segrejemo in ga ponovno ohladimo, susceptibilnost ne sledi isti krivulji. Temperaturo prehoda T f lahko definiramo kot maksimum krivulje χ ZFC. Razlika med krivuljama priča o posebnem stanju sistema pod temperaturo T f, kjer so spini zamrznjeni in ne morejo slediti zunanjemu polju. 11

12 Slika 12. Razlika med fc in zfc krivuljama pod temperaturo prehoda v spinsko stekleno fazo. Puščici nakazujeta reverzibilnost procesov. Dodatne krivulje pri zfc predstavljajo primer, ko vzorec po začetnem ohlajanju segrejemo nazaj do različnih T'<T f in ponovno ohladimo. 2.6 Termoremanentna magnetizacija Pojav, tipičen za spinska stekla, je tudi počasen razpad termoremanentne magnetizacije (TRM) [4]. Meritev TRM poteka tako, da vzorec v zunanjem polju z temperature T>T f ohladimo na temperaturo meritve T m<t f, kjer pustimo vzorec stati za čas t w. V tem času spinski sistem preskakuje ovire med različnimi metastabilnimi stanji. Najvišja ovira max, ki jo sistem premaga v času t w (ob termičnem gibanju) je podana z max(t w, T m) = k BT m ln(t w/τ), kjer je τ karakteristični čas med poskusi energijskih prehodov. Del faznega prostora, ki ga sistem razišče, je omejen z max. Po preteku časa t w izklopimo zunanje polje in merimo magnetizacijo kot funkcijo časa. Del magnetizacije razpade zelo hitro, del ki predstavlja TRM pa razpada po krivulji, ki jo lahko dobro aproksimiramo s funkcijo M ( t) = M e 0 β ( t /τ ) Amplituda TRM je močno odvisna od časa t w, ki ga snov preživi pri temperaturi T m pred izklopom polja. Daljši časi omogočajo sistemu, da preskoči višje ovire in zasede večji del faznega prostora, zato z daljšanjem časa t w amplituda TRM raste in razpad se upočasni. 12

13 2.7 Kvazikristali spinska stekla? Obnašanje, podobno spinskim steklom, je bilo doslej opaženo pri dveh skupinah kvazikristalov [4]. Prvi so ikozaedrični kvazikristali tipa i-alpdmn, i-alcufe, kjer so nosilci magnetnih momentov atomi Mn in Fe. Vendar je le majhen del Mn in Fe atomov magnetiziranih in njihovi položaji na kvazikristalni mreži niso dobro določeni. Zaradi tega niso dober model za primerjavo s kanoničnimi spinskimi stekli, saj ni jasno, ali v teh sistemih obstaja naključnost ali ne. Druga skupina so prav tako ikozaedrični kvazikristali oblike i-re-mg-zn in i-re-mg-cd (RE - redke zemlje = Gd, Tb, Dy, Ho, Er), kjer so magnetni momenti redkih zemelj razmeroma veliki in dobro lokalizirani. Tako enega od pogojev za kanonična spinska stekla naključnosti ni, saj se nosilci magnetnih momentov nahajajo na urejeni kvaziperiodični mreži. Vendar tudi pri teh snoveh opazimo pojave, značilne za spinska stekla, npr. veliko razliko med χ ZFC in χ FC pod določeno temperaturo v majhnem zunanjem polju. Drugi pogoj, frustracija, je pri prisoten, saj je interakcija med spini je tudi tukaj RKKY, ki ob kombinaciji z aperiodičnostjo mreže povzroči frustracijo. Vprašanje je, ali te snovi spadajo v enak razred kot kanonična spinska stekla, ali pa je narava magnetnih interakcij v kvazikristalih drugačna. Opazovanje razpada termoremanentne magnetizacije pri i-re-mg-zn ter primerjava njenega obnašanja s teoretičnimi napovedmi in obnašanjem kanoničnih spiskih stekel lahko pomaga odgovoriti na to vprašanje, saj pove precej o obliki proste enegije v faznem prostoru in s tem o naravi spinskega sistema teh kvazikristalov Meritve razpada TRM kot funkcije časa t w in polja H so bil narejene na Tb 9Mg 34Zn 57 kot predstavniku skupine i-re-mg-zn [4]. Vzorec je bil v zunanjem polju jakosti H = 125 G ohlajen s sobne temperature (s hitrostjo 5 K/min) preko temperature prehoda (T f = 5,8 K) do temperature meritve T m = 4,2 K. Čas t w, ki ga je vzorec preživel pri temperaturi T m, je segal od 1 min do 5 h. Čas merjenja razpada magnetizacije je 120 min. slika 13. Potek razpada TRM za različne čase t w pri polju H = 125 G s pripadajočimi eksponentnimi fiti. Parametri funkcije so od τ=1, min, β=0,077 za t w = 1 min, do τ= min, β=0,037 za t w = 5 h. 13

14 slika 14. Amplituda TRM kot funkcija časa t w. Izmerjene vrednosti so po času t=120 min. Po hitrem začetnem vzponu se M(t w ) nasiči za daljše čase. Večanje amplitude TRM z daljšanjem t w je skladno z obnašanjem spinskih stekel. 14

15 3 Zaključek Kljub temu, da mnogi kvazikristali kažejo precej podobnosti s kanoničnimi spinskimi stekli, pa obstaja nekaj pomembnih razlik, ki nakazujejo, da se spinsko steklena faza v kvazikristalih razlikuje od tiste pri kanončnih spinskih steklih. Odvisnost amplitude TRM od jakosti polja je namreč drugačna od krivulje, opažene pri kanoničnih spinskih steklih, kjer amplituda z naraščajočim poljem pada. Tako na vprašanje, ali se kvazikristali uvrščajo med kanonična spinska stekla ali pa predstavljajo nek nov razred spinskih sistemov, še ni jasnega odgovora. Obnašanje krivulje M(T) in obstoj TRM pričata, da tudi pri i-re-mg-zn obstaja fazni prehod z določeno temperaturo prehoda T f, pod katero so spini v zmrznjenem, frustriranem stanju. Možno je, da ti kvazikristali s frustracijo brez naključnosti ustvarjajo nov razred spinskih stekel, kar bo potrebno še ugotoviti. 15

16 4 Literatura [1] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin: Solid State Physics, Saunders College Publishing, 1976 [2] C. Janot: Quasicrystals - a primer, Clarendon Press, Oxford, 1994 [3] J.A. Mydosh: Spin Glasses - an experimental introduction, Taylor & Francis, London, 1993 [4] J. Dolinšek, Z. Jagličič, M.A. Chernikov, I.R. Fisher: Unusual spin behavior of icosahedral Tb- Mg-Zn quasicrystals, 2000 [5] M. Lederman, R. Orbach: Dynamics in spin glasses, Physical Review B 44, , 1991 [6] I.R. Fisher, K.O. Cheon, A.F. Panchula, P.C. Canfield, M. Chernikov, H.R. Ott, K. Dennis: Magnetic and transport properties of single-grain R-Mg-Zn icosahedral quasicrystals, Physical Review B 59, [7] D. Lutz: Putting quasicrystals to work, The Industrial Physicist, volume 2; issue 4, 26-31, 1996 [8] Structure of quasicrystlas studied by atomic-resolution electron microscopy ( [9] Introduction to quasicrystals ( [10] 16