Prof. Ali Hassan Mohammed

Transcription

1 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات طريقح عذديح لحساب التكامالخ الثنائيح راخ المكامالخ المعتلح والمعتلح المشتقح تاستخذام قاعذج النقطح الوسطى عنذما تكون اعذاد الفتراخ الجسئيح على الثعذيه غير متساويح. Numercal method for evaluaton double ntegrals ts ntegrands contnuous wth sngulart n partal dervatves b usng md pont rule when the numbers of subntervals at the two dmensons are not equal Prof. Al Hassan Mohammed علي حسه محمذ Zanab flah Hassan زينة فليح حسه Sarmad Rahman hussen سرمذ رحمه حسيه المستخلص ا ذف ا شئ ١ غ زا ا ثؽس اشرماق غش ٠ مح ؽغاب ا رىا الخ ا ص ائ ١ ح ا ثؼذ ػذد ٠ ا ػ ذ ا ذى ىا الذ ا ؼر ح ا شرماخ ا عضئ ١ ح أ ؼر ح ف مطح اؼذج ا اوصش طمح ا رىا تاعرخذا لاػذج ا مطح ا عط ػ ا ثؼذ ٠ )ا ذاخ ا خاسظ ) و ١ ف ١ ح ا ٠ عاد ؼذ د ا رصؽ ١ ػ ا )ص ١ غح ا خطأ( غ ذؽغ ١ ا رائط تاعرخذا ذؼع ١ س ثشن [],[5] تاالػر اد ػ ؼذ د ا رصؽ ١ ػ ا ر ظذ ا ا ػ ذ ا ذى اػذاد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح (n) ا ر ذعضأ ا ١ ا فرشج ا رىا ػ ا ثؼذ ا ذاخ غ ١ ش غا ٠ ح ؼذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح (m) ػ ا ثؼذ ا خاسظ, أ ا (h ( h ؼ ١ س ا ذؼ ا غافاخ ت ١ االؼذاش ١ اخ ا غ ١ ١ ح ا غافاخ ت ١ االؼذاش ١ اخ ا صاد ٠ ح ع ف ش ض ز ا طش ٠ مح تا ش ض) ) ار ٠ ى االػر اد ػ ١ ا ف ؼغاب ا رىا الخ ا ص ائ ١ ح ؼ ١ س اػطد دلح ػا ١ ح ف ا رائط تفرشاخ ظضئ ١ ح ل ١ ح غث ١ ا ) ع أخز ؼا ح خاصح ػ ذ ا ) n m زا ٠ ؼ ا h) ( h ر ى ذطث ١ ك ذؼع ١ س ثشن ػ ا رىا الخ ا ر طشؼ ا ( ذسع ا.) Abstract The man am of ths search s to derve method to fnd the values of the double ntegrals numercall ts ntegrands have sngulart at partal dervatves or the ntegrands are sngular n one pont or more of regon of the ntegrals b usng mdpont rule on the two dmensons (nteror and eteror ) and how to fnd the general form of the errors (correcton terms) wth mprove the result b usng Romberg acceleraton[],[5]b dependng on the correcton terms that we found t when the number of subntervals (n) that dvded ntegral nterval on the nteror dmenson not equal to the number of subntervals (m) on the eteror dmenson, that s mean ( h h) when means the dstances between the ordnates on the as and s the dstances between the ordnates on the as and we denote to ths method b and we can depend 8

2 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه on t to calculate the double ntegrals because t gave hgh accurac n results b few subntervals (we wll take partcular case when n m, that s mean ( h h) to able us to use Romberg acceleraton on the ntegrals that we stud t ). الكلماخ المفتاحيح, ا رىا ا ص ائ Romberg acceleraton, Mdpont, ouble ntegral ذؼع ١ س ثشن,ا مطح ا عط Ke words - المقذمح ٠ ر ١ ض ظ ع ا رؽ ١ ا ؼذد ف اترىاس غشائك ر ػح إل ٠ عاد ؼ ي ذمش ٠ ث ١ ح غائ س ٠ اظاذ ١ ح ؼ ١ ح تأع ب فؼاي. ذؼر ذ وفاءج ز ا طشائك ػ و ا ذلح ا غ ح ا ر ٠ ى ت ا أ ذ عض. فا رؽ ١ ا ؼذد ا ؽذ ٠ س ا اظ ح ا ؼذد ٠ ح عاي ا اعغ رؽ ١ ا رطث ١ م. ذ ص دساعح ا خطأ شوض ٠ ح ف ا رؽ ١ ا ؼذد أل ا رائط ا ر ؽص ػ ١ ا ذطث ١ ك ؼظ ا طشائك ا ؼذد ٠ ح ا إال ذمش ٠ ة ؽ ا ؽم ١ م ا ط ب إ ٠ عاد ا ؼشفح ا خطأ ا اذط و ١ ف ١ ح ذمذ ٠ ش ػثش ع ػح ؼغاتاخ. ا ؼش ف ذ ا ذاسع ١ ظ ع ا رؽ ١ ا ؼذد أ ا ؽ ي ا ؼذد ٠ ح رىا الخ ذشى ظضءا ا زا ا ظ ع, إر إ ز األ ١ ح ذى اظؽح أوصش ف ا رطث ١ ماخ ا ؼ ١ ح ا ر ٠ اسع ا ا ذع ا ف ١ ض ٠ ائ ١. إ إ ٠ عاد ا م ١ ح ا رمش ٠ ث ١ ح )ا ؼذد ٠ ح( رىا ظاءخ ر ١ عح صؼ تاخ وص ١ شج ا: ل ١ ح ا رىا ذؽ ١ ١ ا إرا وا ا ؽاي إ ٠ عاد..)Analtcall) ػ ذ ا ذى ػ ١ ح إ ٠ عاد ا م ١ ح ا عث غح رىا. ٠ ى ؼمذا لذ ا ىا ى ح ى ت شمح ال )Complcated) ذؽراض ػ ١ ح ا ؽغاب إ ص غ ٠ إل ٠ عاد ل ١ ح ا رىا. لذ ذى غأ ر ا إ ٠ عاد غاؼح ذؽد ؽ. ؼش ف تعذ ي ل ١ )أ أ ا ذا ح ؼش فح ف ماغ ف فرشج ا رىا ( و ا )screte( ؼذ دج ا ؽاي ػ ذ ذؽ ١ رائط ا رعاسب. ل ١ ح ا رىا ا رؽ ١ ١ ح ذمش ٠ ث ١ ح أعاعا لذ ذى. الؼر ائ ا ػ ؼذ د ذأخز ل ١ ا ا عذا ي ) ص ا غاسذ ا ؼى ط ا ظ (. داف ١١ ض سات ١ ذض ][. أ ػ ١ ح إ ٠ عاد ل ١ ح رىا ا ص ائ ( ouble ذشى غأ ح أػمذ تىص ١ ش شى ح ) Integral إ ٠ عاد ل ١ ح ا رىا األؼاد ال ا ىا ا ٠ ؼر ذ ػ رغ ١ ش ٠ أ غا ح االعر شاس ٠ ح االػرالي ا ىا االػرالي ف ا شرماخ ا عضئ ١ ح ف ىا ذشى صؼ تاخ سئ ١ غح وث ١ شج وز ه فإ ا رؼا ا غ اغك ا رىا )Regons( أ عط غ )Surfaces( ١ ظ غ فرشاخ ذىا و ا ف ؼا ح ا رىا األؼاد. ذى أ ١ ح ا رىا الخ ا ص ائ ١ ح ف إ ٠ عاد غاؼح ا غط غ إ ٠ عاد ا شاوض ا ر عطح ػض ا مص س ا زاذ غط غ ا غر ٠ ح إ ٠ عاد ا ؽع ا الغ ذؽد عطػ ا رىا ا ص ائ. لذ ػ ا ىص ١ ش ا ثاؼص ١ ف عاي ا رىا الخ ا ص ائ ١ ح راخ ا ىا الخ ا غر شج تا ص ١ غح ا ظ ظاس ظاو تغ [] ػا 97.ػا ط ؽ ذ ]6[ ف ػا 98 ا رىا الخ راخ ا ىا الخ ا غر شج أ ا ؼر ح ف ا شرمح أ ا ؼر ح وا دأت ا رخ ص االػرالي ػ ا ثؼذ ا ذاخ ا رىا )ع اء وا د ا ىا الخ راخ اػرالي ظزس أ غاسذ أ و ١ ا( ر ه تاعرخذا غشائك شوثح ا س ثشن )وا ط( ا ر اعرخذ ف ١ ا ذؼع ١ س ثشن غ ا مطح ا عط ػ ا ثؼذ ا خاسظ وا ط ػ ا ثؼذ ا ذاخ أ ٠ عا وا ط )س ثشن( ا ر اعرخذ ف ١ ا وا ط ػ ا ثؼذ ا خاسظ ذؼع ١ س ثشن غ ا مطح ا عط ػ ا ثؼذ ا ذاخ وز ه وا ط )وا ط( ػ ا ثؼذ ٠ ا خاسظ ا ذاخ وز ه غش ٠ مح شوثح اع ا ا س ثشن )س ثشن( ف ػا 9 لذ د ظ ١ اء ]8[ أستغ غشائك شوثح غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ لاػذج ا مطح ا عط غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ لاػذج ع ثغ ) RS, RM ( RM ), RM ( ) RM, RS ( RS ) RS ( لذ أػطد رائط ظ ١ ذج ؼ ١ س ا ذلح ػذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح ا غرخذ ح, لذ أشثرد ا ا طشائك األستغ أػطد ا ذلح فغ ا تؼذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح فغ ا تا غثح رىا الخ ا ص ائ ١ ح ا ر ىا الذ ا غر شج ف طمح ا رىا, أ ا تا غثح رىا الخ ا ؼر ح ف مطح أ أوصش طمح ا رىا فمذ أشثرد أفع ١ ح ا طش ٠ مر ١ ) RS RM ( ) RM. RM ( لذ أشثرد خالي األ ص ح ا خراسج رىا الخ ا ؼر ح ا شرمح أ غش ٠ مح ) RS RM ( األفع وز ه ا رىا الخ ا ؼر ح ا ى إ غاء االػرالي ف ١ ا, أ ا تا غثح رىا الخ ا ؼر ح ا ر ال ٠ ى إ غاء االػرالي ف ١ ا فمذ أشثرد أ غش ٠ مح ) RM RM ( األفع ؼ ١ س ا ذلح عشػح االلرشاب إ ا م ١ ا عث غح. ا ر اعرخذ ف ١ ا ذؼع ١ س ثشن غ ا مطح ا عط ػ ا ثؼذ ٠ ا خاسظ ا ذاخ لذ اشثد خالي ا ماس ح ت ١ ا طشائك ا شوثح أػال ػ أ ص ح رؼذدج تا ا طش ٠ مح ا شوثح وا ط )وا ط( األفع تم ١ ح ا طشائك تا غثح رىا الخ ا ر ىا الذ ا غر شج ػ ا ثؼذ ٠ اشثد ت فظ ا لد إ ا طش ٠ مح ا شوثح س ثشن )وا ط( األفع ف ؼغاب ا رىا الخ ا ر ىا الذ ا ؼر ح ا شرمح أ ؼر ح ا ر ٠ ى إ غاء اػرال ا ػ ا ثؼذ ا ذاخ

3 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات f n, f n, h 7h d c b a , h f n, h f n d c b a 6, 7, h f n d c b a h f n ؼ ١ س.,,..., n,, n, c, d a, b زا إرا وا ا ىا دا ح غر شج شرماذ ا ا عضئ ١ ح ظ دج ف و مطح ماغ طمح ا رىا a, b c, d ؼ ١ س ا ذلح عشػح االلرشاب ػذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح. - حساب التكامالت الثنائية ذات المكامالت المعتلة المشتقة و المعتلة باستخدام قاعدة النقطة الوسطى Evalute double Integrals ts Integrands have sngulart dervatves and sngulart b usng mdpont rule d b فشض إ ا رىا I ؼشف وا ٢ ذ : I f (, ) dd...() c a I تا ص سج ا ٢ ذ ١ ح : d b تشى ػا ٠ ى وراتح ا رىا I f, dd M ( h ) E ( h )...() c a f, ؼ ١ س ا نقاط منطقة التكامل مكامل مستمر في كل نقطة من c, a, b ؼ ١ س ا d ) h M ( ذ ص ا م ١ ح ا رمش ٠ ث ١ ح رىا تاعرخذا لاػذج ا مطح ا عط ػ وال ا ثؼذ ٠ )ا ذاخ E h ) ا خاسظ ا ع غ ح ؼذ د ا رصؽ ١ ػ terms) correcton )ا ى إظافر ا إ ل ١. M h ع ف مغ فرشج ا رىا ػ ا ثؼذ ا ذاخ ], ab [ مغ فرشج ا رىا ػ ؼذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح (m ( فا ٠ ى وراتح ص ١ غح ا خطأ وا ٢ ذ : E h I M h A h B h C h... A h 6 B h 6 Ch......() C,... A, B, ش اتد,,...) ( ؼ ١ س ذؼر ذ ػ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح فمػ ال ذؼر ذ ػ. زا ٠ ى وراتح ص ١ غح = ت ا ا ا ع أخز ا خطأ تاالذ : 6 E h I M h h h h ؼ ١ س ا,,, ش اتد. اوال :- التكامالخ الثنائيح لمكامالخ معتلح المشتقح فشض اال ا دا ح ا رىا f, ؼشفح ف و مطح ماغ طمح ا رىا a, bc, d ١ ظ ا اػرالي ى شرماذ ا ا عضئ ١ ح غ ١ ش ؼشفح ف مطح اؼذج أ أوصش طمح ا رىا ع الش و ١ ف ١ ح ؼغاب ل ١ ح ا رىا اػال تا ؽاالخ االذ ١ ح الحالة األولى :- ؼذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح( n ( ا ثؼذ ا خاسظ [, cd [ d c b a,) h ع أخز ؼا ح, h, ؼ ١ س m n ػ ذ ا h h خاصح ف ١ ا ػ ذ ا ) n m ا ا ا ص ١ غح ا ؼا ح ماػذج ) h M ( m n j M ( h ) hh f h, h j, 7h, h f n f n E h h b a m

4 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه f a, b c, d, مثرهنح: )) رى ا ذا ح ماغ طمح ا رىا غر شج ف و مطح ى ػ االل اؼذ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ا غ ١ ش ؼشفح ػ ذ I فا ا م ١ ح ا رمش ٠ ث ١ ح رىا ا ص ائ ac ا مطح, ٠ ى ؼغات ا ا ماػذج االذ ١ ح : d b I f, dd M ( h ) E ( h ) c a m n j M ( h ) hh f h, h j h h hh h h h h E ( h ) 8 8 hh * * *... f (, ) A h A h A h 8 * Ah... * A ؼ ١ س ش اتد ذؼر ذ ػ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح.,,... فمػ ى f f, a, b c, d, ا ثش ا :- ت ا إ دا ح ا رىا ماغ طمح ا رىا ؼشفح ف و مطح ١ ظ ا اػرالي ى ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح غ ١ ش ؼشفح ػ ذ ا مطح, ac زا ٠ ؼ إ رغ غ ح ذا ٠ ش ذ اي راخ ا رغ ١ ش ٠ Talor's seres for a functon of two, varable عغرش [5] [] ظ دج ف و مطح ماغ طمح ا رىا ػذا ا مطح, ac. غرط ١ غ d b I تا شى ا ٢ ذ : m n أ ىرة ا رىا ا ص ائ ػىاس[ 7 ]. تا غثح رىا األ ي ف ا طمح ا عضئ ١ ح,, غرؼ رغ غ ح ذا ٠ ش إ, f, ؼ ي ا مطح أ أ, f ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )!!! ( )( ) ( ) ( )...!!! f (, )... 7 f, ػ فشض إ ظ ١ غ ا شرماخ ا عضئ ١ ح, ظ دج ػ ذ ا مطح ص ١ غح ف أػال ف,, ؽص ػ : تأخز ا رىا ا ص ائ ا طمح h h hh h h f (, ) dd hh 6 h h hh h h 6 h h h h hh 5 5 h h hh... f (, )... 8 )7( ؽص ػ h f ( h, h ) h h 8 h h h h hh hh h h h... f (, ) hh تعشب ا ؼاد ح 9 ت ؽص ػ hhf ( h, h ) hh h h hh hh h h h h h h 8 8 6,, I f dd f dd M h E h c a m n n r I f, dd f, dd f, dd r r m s m n f, dd f, dd...(6) s s

5 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات 5 5 h h hh h h hh,,,... f (, ) ا ص ١ غر ١ )8(, )( ؽص ػ..., f (, ) dd h hf ( h, h ) ؼا ح خاصح ػ ذ ا = ؽص ػ ف h h hh h h h h h h m n I f, dd M h h ( a a ) 5 5 hh h h h h 5... f (, )... h ( a a a5 a6 ) أ ا تا غثح رىا ا صا ا صا س ا شاتغ ف الؼظ إ دا ح ا رىا غر شج ف و مطح ماغ طمح h ( a7 a8 ) h ( a9 a )... f (, ) ذىا الذ ا زا فا gh g h......(6) ؼ ١ س a, g ش اتد ى,,.... f, n r n,.5,.5 f dd h h f h h r r r r A h h A h h ( ) ( )......() m s m,.5,.5 f dd h h f h h s s s s B h h B h h ( ) ( )......() n m n n c, a, b ى ػ ماغ طمح ا رىا d j f, dd hh f h, h اؼذ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ا غ ١ ش ؼشفح ػ ذ االل j I فا ا م ١ ح ا رمش ٠ ث ١ ح رىا ا ص ائ bd ا مطح, C ( h h ) C ( h h )......() ٠ ى ؼغات ا ا ماػذج االذ ١ ح : ؼ ١ س... C A, B, ش اتد ذؼر ذ ػ ا شرماخ, h f, ا عضئ ١ ح ذا ح فمػ ال ذؼر ذ ػ ا ؽا ح ا صا ١ ح :- مثرهنح: )) رى ا ذا ح غر شج ف و مطح d b I f, dd M ( h ) E ( h ) c a m n j M ( h ) hh f h, h j 5 E ( h ) h h h h h h h h h h * * * *.. f ( n, m) B h B h Bh B h... ؼ ١ س ش اتد ذؼر ذ ػ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح.,,... فمػ ى f * B, تع غ,,..., h ا ص ١ غ) (,) ( )(, )( ؽص ػ :- m n m n j I f, dd hh f h, h j h h hh h h h h 8 8 h h hh * *... f (, ) A h Ah 8 8 * * A h Ah (5) I ا ثش ا :- * A ؼ ١ س ش اتد ذؼر ذ ػ ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح ى فمػ...,,, ا ا رىا ا ص ائ ا ؼشف تا ص ١ غحاد ا ٠ ى وراتر : f,

6 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه m h d b n h h h hh I f, dd f, dd M h E h 5 5 c a h h hh... f ( n, m )... 9 ت ا إ f, ؼشفح ف و مطح ماغ ١ ظ, ا ا ص ١ غح )8( ؽص ػ n, طمح ا رىا m h f ( اػرالي ى ا شرماخ ا عضئ ١ ح ذا ح غ ١ ش ؼشفح ػ ذ n h, m h ) h h زا ٠ ؼ إ رغ غ ح ذا ٠ ش 8 n, ا مطح m h ذ اي راخ ا رغ ١ ش ٠ ظ دج ف و مطح ماغ h hh 8 8. n, طمح ا رىا ػذا ا مطح m h h hh h غرط ١ غ أ ىرة : m n m n m r n h h... f ( n, m )... I f, dd f, dd f, dd 8 8 r r n m n s m h ؽص ػ n h تعشب ؼاد ح ت f, dd f, dd s m s m h n hf ( n h, m h ) hh h h تا غثح رىا ا شاتغ ف ا طمح ا عضئ ١ ح n, غرؼ رغ غ ح ذا ٠ ش n m, h h hh m h h h h 8 8 أ إ n, m ؼ ي ا مطح f, h h h h h hh ( n ) 5 5 f (, ) ( n ) ( m ) h h hh!... f ( n, m ) ( m ) ( n )( m ) ا ص ١ غر ١ )9(, )( ؽص ػ! m n hh ( n ) ( n ) ( m ) f (, ) dd hhf ( n h, m h )!! m n h ( n )( m ) ( m ) h h h h h 8 8!! 5 h ( n) ( m) h hh h h... f ( n, m )...(8) !! 5 ػ فشض إ ظ ١ غ ا شرماخ ا عضئ ١ ح hh f,... f (, n m ) تأخز ا رىا ا ص ائ أ ا تا غثح رىا الخ ا صالشح األ ا ر راخ n, ظ دج ػ ذ m ص ١ غح )8( ف ا طمح شرماخ ظضئ ١ ح غر شج تا غثح ذا ح f, ف ظ ١ غ ماغ طمح ا رىا الؼظ إ : m, ؽص ػ -: m n, n m n m n j f, dd hh f h, h j A ( h h ) A ( h h )......() m r n m,.5,.5 f dd h h f h h n r r r r n m n h h hh f (, ) dd hh m n h h h h h h h h 6 6

7 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات B ( h h ) B ( h h )......() m n s n,.5,.5 f dd h h f h h s n s s m s C h h C h h ( ) ( )......(5) ( ) صاي -: dd I sn ( ) A, B, C ش اتد ذؼر ذ ػ ا شرماخ ؼ ١ س ا عضئ ١ ح ذا ح f, فمػ,,,... تع غ ل ١ ر ا رؽ ١ ١ ح مشتح الستغ ػششج شذثح ػشش ٠ ح,ا رىا ا راخ ىا غر ش ف ا ص ١ غ )(,)(,)(, )5( ؽص ػ -: طمح ا رىا ى ؼر ا شرماخ ا عضئ ١ ح ف ا مطح (, ) (,) m ا ث ١ دا ر ف ا شى () ز ه n m n j f, dd hh f فا I ص ١ غح ؼذ د ا رصؽ ١ ػ ؼغة ا ص ١ غح (7) h, h j E... h Rh ah ah Rh ah Rh * * * *..., B h Bh Bh Bh ؼ ١ س, ش اتد,...,,, الؼظ h h hh h h h h ا عذ ي () ػ ذ ذطث ١ ك ا ماػذج ( ( ؼص ا ػ عثغ شاذة ػشش ٠ ح صؽ ١ ؽح ػ ذ ا 56=m, 8 8 5=n ػ ذ اعرخذا ذؼع ١ س ثشن غ ا ماػذج 5 5 hh h ؼص ا ػ شالز ػشش شذثح ػشش ٠ ح صؽ ١ ؽح ت h h h فرشج ظضئ ١ ح... f ( n, m)... 6 صاي -: * B ش اتد. ؼ ١ س I dd ا ث ١ دا ر ف ا شى.5.5 زا فا ص ١ غح ا خطأ تاعرؼ اي لاػذج ا مطح ا عط () ل ١ ر ا رؽ ١ ١ ح مشتح h h صالشح ػشش شذثح ػشش ٠ ح ا ا رىا ؼر ا ىا ػ وال ا ثؼذ ٠ ػ ذ ا n m ػ ذ (,) (, ( ع االػرالي ظزس زا فا ذىرة n, n أ, ف ؼا ح االػرالي ف ؼذ د ا رصؽ ١ ػ تاعرؼ اي ا ص ١ غح (7) ذى E h a h R h a h a h R h a h تا شى ا ٢ ذ :-... Rh I M h q f h q f h R h ش اتد,, a q, R,... إر إ f د اي ذؼر ذ ػ ا I., dd االمثلح :- صاي :- ل ١ ر ا رؽ ١ ١ ح مشتح ا استؼح ػشش شذثح ػشش ٠ ح ا رىا راخ ىا ؼر ا شرماخ ا عضئ ١ ح ػ ذ (,) (, ( ع االػرالي ظزس ا ظػ تا ر ص ١ ا ذع () زا فا ص ١ غح ؼذ د ا رصؽ ١ ػ رىا تاعرخذا ا ص ١ غح (6) E h R h a h R h R h 5/ 6... ؼ ١ س, ش اتد,...,,,ؼص ا ػ ا رائط ا ذ ح ف ا عذ ي () ػ ذ ذطث ١ ك ا ماػذج ( (.ؼص ا ػ خ ظ شاذة ػشش ٠ ح صؽ ١ ؽح ػ ذ ا 6=m,8=n ت ١ ا ا ا م ١ ح تطش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ ا ماػذج ا شاس ا ١ ا ذى صؽ ١ ؽح ا شالز ػشش شذثح ػشش ٠ ح ت فرشج ظضئ ١ ح. / 5/ 7/ 9/... ؼ ١ س, ش اتد,...,,,ا عذ ي () ٠ ث ١ ا رائط ا ؽص ػ ١ ا تاعرؼ اي ا طش ٠ مح ( ( ػ ذ ا 56=m,5=n ؼص ا ػ ل ١ ح صؽ ١ ؽح الستغ شاذة ػشش ٠ ح ف ؼ ١ ؼص ا تاعرخذا غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ ا ماػذج ( ( ػ ل ١ ح طاتمح الش ا ػشش شذثح ػشش ٠ ح ت فرشج ظضئ ١ ح صاي -: dd I ل ١ ر ا رؽ ١ ١ ح مشتح ألستغ ػششج شذثح ػشش ٠ ح ا ىا ا غر ش ف طمح ا رىا ػذا ا مطح (,) (, ( ف ؼر ع االػرالي ظزس و ا ث ١ ف ا شى ( ), فما ص ١ غح (6) ؼص ا ػ ؼذ د ا رصؽ ١ ػ )ص ١ غح ا خطأ( E h R h a h R h R h ؼ ١ س,,,,... ش اتد ا ا رائط ا ؽص ػ ١ ا تاعرؼ اي ا طش ٠ مح ا زو سج ػ ذ ا 6=m 8=n,,و ا ظػ ف ا عذ ي () ا ا م ١ ح صؽ ١ ؽح ا استغ شاذة ػشش ٠ ح ت ١ ا تاعرخذا غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ ا ماػذج ( ( ؽص

8 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه -Phllp J. avs and Phllp Rabnowtz, " Methods of NumercaIntegraton ", BLASELL Puplshng Compan, pp. -, 599,, chapter 5, Sastr S. S., " Introductor Methods of Numercal Analss ", New elh, pp 5-7, ؽ ذ, ػ ؼغ, " إ ٠ عاد ل ١ ذىا الخ ؼر ح ا ىا " سعا ح اظغر ١ ش غ ١ ش ش سج مذ ح إ ظا ؼح ا ثصشج, ػىاس, تر ي ؼاذ, "تؼط ا طشائك ا ؼذد ٠ ح ؽغاب ذىا الخ أؼاد ٠ ح ش ائ ١ ح شالش ١ ح ", سعا ح اظغر ١ ش مذ ح إ ظا ؼح ا ى فح,. 8- ظ ١ اء, ػزساء ؽ ذ, " تؼط ا طشائك ا ؼذد ٠ ح ؽغاب ذىا الخ أؼاد ٠ ح ش ائ ١ ح شالش ١ ح تاعرخذا غح " Matlab, سعا ح اظغر ١ ش مذ ح إ ظا ؼح ا ى فح,. 9 ػ ل ١ ح صؽ ١ ؽح صالز ػشش شذثح ػشش ٠ ح ت فرشج ظضئ ١ ح. صاي I dd -: 5 غ ١ ش ؼش ف ا رؽ ١ ١ ح والموضح في الشكل البياني( 5 ) راخ ىا ؼر ا شرماخ ا عضئ ١ ح ػ ذ (,) (, ( ع االػرالي ظزس زا فا ص ١ غح ؼذ د ا رصؽ ١ ػ زا ا رىا تاعرخذا ا ص ١ غح E h R h R h R h... (6) 6 ؼ ١ س,...,, ش اتد, ؼص ا ػ ا رائط ا ذ ح ف ا عذ ي( 5 ) تا شغ ا ا رىا ا زو س غ ١ ش ؼش ف ا م ١ ح ا رؽ ١ ١ ح أال ا ا ش خالي ا عذ ي ػ ذ ا 6=m 8=n, ا م ١ ح فغ ا شاترح أفم ١ ا ف االػ ذج االستؼح االخ ١ شج (6,8,,=k) زا ٠ ى ا م ي تا ل ١ ح زا ا رىا تاعرؼ اي غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن غ ا ماػذج ) ( مشتح ا استؼح ػشش شذثح ػشش ٠ ح ت ١ ا تذ اعرؼ اي ذؼع ١ فا ا صؽ ١ ؽح ا شالز شاذة ػشش ٠ ح. -المناقشح ٠ رعػ خالي ظذا ي زا ا ثؽس ا ػ ذ ؼغاب ا م ١ ا رمش ٠ ث ١ ح رىا الخ ا ص ائ ١ ح راخ ا ىا الخ ا غر شج ا ؼر ح ا شرمح ا ؼر ح ف طمح ا رىا تماػذج ا مطح ا عط ػ وال ا ثؼذ ٠ ػ ذ ا ذى ػذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح ا ر ذعضأ ا ١ ا ا فرشج ػ ا ثؼذ ا ذاخ ظؼف ا ؼذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح ا ر ذعضأ ا ١ ا ا فرشج ػ ا ثؼذ ا خاسظ لذ اػطد ز ا ماػذج ل ١ ا صؽ ١ ؽح ؼذج شاذة ػشش ٠ ح ماس ح غ ا م ١ ا ؽم ١ م ١ ح رىا الخ تاعرؼ اي ػذد ا فرشاخ ا عضئ ١ ح د اعرؼ اي ذؼع ١ س ثشن, اال ا ػ ذ اعرؼ اي غش ٠ مح ذؼع ١ س ثشن, غ ا ماػذج ا زو سج اػطد رائط افع ؼ ١ س ا ذلح عشػح االلرشاب تؼذد ل ١ غث ١ ا ا فرشاخ ا عضئ ١ ح ماس ح غ ا م ١ ا رؽ ١ ١ ح تز ه ٠ ى االػر اد ػ ز ا طش ٠ مح ف ؼغاب ا رىا الخ ا ص ائ ١ ح راخ ا ىا الخ ا غر شج ا ؼر ح ا شرمح ا ا ؼر ح. المصادر:- -Fo L., " Romberg Integraton for a Class of Sngular Integrands " comput. J., pp. 87-9, Shanks J. A., " Romberg Tables for Sngular Integrands " comput J.5, pp. 6, 6, Hans Schjar and Jacobsen, " Computer Programs for One- and Two mensonal Romberg Integraton of Comple Functon ", the Techncal Unverst of enmark Lngb, pp. -,97. 5

9 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات m n ( ) K= K=.5 K= K=6 K=8 K= M h I () ٠ ث ١ ؼغاب ا رىا ا ص ائ dd ا عذ ي تطش ٠ مح m n ( ) K= K=.5 K=.5 K= K=.5 K=5.5 K=6 K= M h تطش ٠ مح I ( ) sn ( ).5.5 ا عذ ي () ٠ ث ١ ؼغاب ا رىا ا ص ائ dd 6

10 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه m n ( ) K=.5 K= K=.5 K=.5 K= K=.5 K=5.5 K= M h تطش ٠ مح I.5.5 ا عذ ي () ٠ ث ١ ؼغاب ا رىا ا ص ائ dd m n ( ) K= K=.5 K= K=6 K=8 K= M h تطش ٠ مح I dd ا عذ ي () ٠ ث ١ ؼغاب ا رىا ا ص ائ 7

11 المجلد / العدد, حزيران, 5 ص -9 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات m n ( ) K= K= K=6 K=8 K= K= M h I dd ا عذ ي (5) ٠ ث ١ ؼغاب ا رىا ا ص ائ تطش ٠ مح 8

12 زينة فليح حسه أ. علي حسه محمذ )) sqrt( (./.)+ (./ ) ( ا ر ص ١ ا ذع ٠ () ث ١ شى ا ذا ح ف ا طمح ] [,] [, )) asn( (./.)+ (./ ) ( ا ر ص ١ ا ذع ٠ () ث ١ شى ا ذا ح ).5.5 ( sn ف ا طمح ] [.5,] [.5, سرمذ رحمه حسيه

13 مجلة الكوفة للحاسوب والرياضيات المجلد / العدد, حزيران 5, ص -9 ) (+)./sqrt( ا ر ص ١ ا ذع ٠ () ث ١ شى ا ذا ح.5 ف ا طمح ] [.5,] [.5, )./sqrt( ا ر ص ١ ا ذع ٠ () ث ١ شى ا ذا ح ف ا طمح ] [,] [,

14 أ.علي حسه محمذ زينة فليح حسه سرمذ رحمه حسيه sqrt( + ) [,] [,] ا ر ص ١ ا ذع (5) ٠ ث ١ شى ا ذا ح ف ا طمح