Teorija baznih okvira

Transcription

1 Teorija baznih okvira Damir Bakić (30 sati) Sažetak U kolegiju ćemo izložiti osnove teorije baznih okvira Hilbertovih prostora. Bit će diskutirane i neke primjene, osobito one u teoriji valića. Dovoljno predznanje za ovaj kolegij su osnove funkcionalne analize (diplomski kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima ). Bit će potrebni i neki dijelovi bazičnog poslijediplomskog kolegija Realna i funkcionalna analiza, ali taj kolegij nije formalni (zahtjevani) prethodnik. Kolegij će se polagati kombinacijom domaćih zadaća i kraćeg seminarskog izlaganja. Predavanja će povremeno biti popraćena pisanim materijalima. Sadržaj 1. Ortonormirane i Rieszove baze. 2. Osnovna svojstva baznih okvira: rekonstrukcijsko svojstvo, kanonski i alternativni dualni bazni okviri, viškovi baznih okvira, perturbacije baznih okvira. 3. Bazni okviri u konačnodimenzionalnim Hilbertovim prostorima. 4. Bazni okviri u translaciono invarijantnim prostorima i teoriji valića. 5. Gaborovi bazni okviri. Literatura 1. R. Balan, P.G. Casazza, C. Heil, Z. Landau, Deficits nad excesses of frames, Advances in Comp. Math., Special Issue on Frames, 18 (2003), M. Bownik, The structure of shift-invariant subspaces of L 2 (R n ), J. Functional Analysis, 112 (2000), P.G. Casazza, O. Christensen, Perturbation of operators and applications to frame theory, J. Fourier Anal. Appl. 3 (1997), P.G. Casazza, J. Kovačević, Finite frames, in Applied and numerical harmonic analysis (Theory and Applications), Springer, O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, K. Groöchenig, Foundations of time-frequency analysis, Birkhäuser, C. Heil, A basis theory primer, Birkhäuser, J. Holub, Pre-frame operators, Besselian frames and near-riesz bases in Hilbert spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 122 (1994), J. Kovačević, A. Chebira, Life beyond bases: The advent of frames, IEEE Signal Process. Mag., 24(4) (2007), E. Hernández, G. Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton, 1996.

2 Prijedlog kolegija za izvođenje u akademskoj godini 2016./2017. na Zajedničkom sveučilišnom poslijediplomskom doktorskom studiju matematike Naslov: Procjena funkcija Predavač: Professor Andrew Barron, Department of Statistics, Yale University Broj sati predavanja: 30 Kratki sadržaj: Tijekom kolegija bit će obrađeni moderni alati za procjenu funkcije jedne ili više varijabli na osnovu uzorka podataka te tehnike aproksimacije, procjene i izračuna. 1. Metode jezgre, redova i druge neparametarske metode za procjenu gustoće i analiza njihovih statističkih svojstava. 2. Metode za miješane modele, procjena logaritma gustoće, logistička regresija i klasifikacija. 3. Aproksimacijska svojstva projekcije metodom najmanjih kvadrata i selekcija korištenjem trigonometrijskih, polinomijalnih i spline baza. Aproksimacija valićnim metodama. 4. Svojstva aproksimacija umjetnim neuronskim mrežama. 5. Pohlepni algoritmi za neuronske mreže i selekcija pomoću rječnika funkcijskih komponenti. 6. Strategije optimizacije za nelinearnu procjenu parametara. Gradijentne metode sa širenjem unatrag i slučajnom početnom aproksimacijom, metoda Monte Carlo Markovljevih lanaca, simulirano kaljenje i adaptivno kaljenje. 7. Evolucija distribucije parametara u iterativnim optimizacijskim procedurama. Rješenje pripadne eliptičke parcijalne diferencijalne jednadžbe i algoritam u polinomijalnom vremenu za neuronske mreže. 8. Karakterizacija rizika penalizirane metode najmanjih kvadrata, penalizirane metode maksimalne vjerodostojnosti i metode najkraćeg opisa. Literatura: Osnovna literatura: 1. L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk, A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, Dopunska literatura: 1. A. Barron (1993), Universal approximation bounds for superpositions of a sigmoidal function. IEEE Transactions on Information Theory, 39, A. Barron (1994), Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Machine Learning, 14, A. Barron, A. Cohen, W. Dahmen, R. Devore (2008), Approximation and learning by greedy algorithms. Annals of Statistics, 36, A. Barron, X. Luo (2008), MDL procedures with L1 penalty and their statistical risk. First Workshop on Information Theoretic Methods in Science and Engineering, Tampere, Finland. 5. M. Janzamin, H. Sedghi, A. Anandkumar (2015), Beating the Perils of Non-Convexity: Guaranteed Training of Neural Networks using Tensor Methods. (Draft available at newport.eecs.uci.edu/anandkumar/#publications ) 6. A. Barron, Neural Net Approximation and Estimation of Functions. Presented at the Department of Mathematics, University of Osijek, 12 March, Predavanja će se izvoditi na engleskom jeziku.

3 Title: Function estimation Syllabus: During the course student are to learn modern tools for estimation of functions of one or many variables from sample data as well as approximation, estimation and computation techniques. 1. Kernel methods, series methods and other nonparametric models for density estimation and regression and the analysis of their statistical properties. 2. Related methods for mixture models, log-density estimation, logistic regression and classification. 3. Approximation properties for least squares projection and sparse selections using trigonometric, polynomial and spline bases. Also wavelet approximation if time permits. 4. Artificial neural network approximation properties. 5. Greedy computation for neural networks and sparse selection from a dictionary of function components. 6. Optimization strategies for non-linear parameter determination, including gradient methods (back propagation) with random initialization, Markov chain Monte Carlo techniques, simulated annealing and adaptive annealing. 7. Determination of the evolution of the distribution of parameters in iterative optimization strategies. Practical solution of the associated elliptic partial differential equations, and associated polynomial time algorithm for learning neural nets. 8. Statistical risk characterization of penalized least squares, penalized likelihood, and minimum description length methods (for the choice of the size of the model).

4 Odabrana poglavlja teorije operatorskih algebri Ilja Gogić (60 sati) Sažetak Teorija operatorskih algebri je značajna disciplina funkcionalne analize koja se isprepliće s gotovo svim granama matematike te nekoliko grana teorijske fizike. Njeni temelji postavljeni su prije gotovo 100 godina u fundamentalnim radovima Murraya, von Neumanna, Geljfanda i Naimarka, sa svrhom nalaženja matematičkog formalizma kvantne mehanike. Osnovna dva dijela koja sačinjavaju teoriju operatorskih algebri su C -algebre (tzv. nekomutativni topološki prostori) i von Neumannove algebre (tzv. nekomutativni prostori mjere). Cilj ovog kolegija je upoznati studente s osnovama teorije operatorskih algebri i njenim primjenama. Kolegij će u suštini biti samodostatan, no radi lakšeg praćenja poželjno je osnovno predznanje iz realne i funkcionalne analize (normirani prostori, teorija mjere) te topologije. Kolegij će se polagati putem domaćih zadaća i držanjem seminarskog izlaganja. Sadržaj 1. Pregled osnovnih pojmova i rezultata: algebre, Rieszovi teoremi reprezentacije, slabe topologije, Banach-Alaogluov teorem, lokalno konveksni prostori, ekstremne točke i Krein-Milmanov teorem, Stone-Weierstrassov teorem, operatori na Hilbertovim prostorima. 2. Elementarna spektralna teorija: Banachove algebre, spektar i spektralni radijus, karakteri, Geljfandova transformacija i primjene, holomorfni funkcionalni račun. 3. C -algebre: C -algebre, komutativne C -algebre, neprekidni funkcionalni račun, komutativne C -algebre, struktura uredaja, aproksimativne jedinice, ideali i kvocijenti C -algebri, pozitivni linearni funkcionali i stanja, reprezentacije, Geljfand Naimark Segalova konstrukcija, C -algebarski formalizam kvantne mehanike. 4. Von Neumannove algebre: jaka i slaba operatorska topologija, egzistencija projektora, von Neumannov teorem o bikomutantu, teorem gustoće Kaplanskog, Borelov funkcionalni račun, L kao von Neumannova algebra, komutativne von Neumannove algebre, L -funkcionalni račun, usporedba projektora, dekompozicija von Neumannovih algebri po tipu. 5. Osnove K-teorije: polugrupe projektora, funktor K 0, AF -algebre, K-teorija AF -algebri. Literatura 1. G. J. Murphy, C -Algebras and Operator Theory, Academic Press, San Diego, K. Zhu, An Introduction to Operator Algebras, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol I,II, Graduate Studies in Mathematics, vol. 15,16, AMS, Providence, K. R. Davidson, C -Algebras by Example, Fields Inst. Monographs, AMS, E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras, GTM 246, Springer, J. Dixmier, C -algebras, North Holland, M. Rørdam, F. Larsen and N. J. Laustsen, An introduction to K-theory for C -algebras, LMS Student Texts 49, Cambridge University Press, Cambridge, N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C -algebras. A friendly approach, Oxford University Press, N. P. Landsman, Lecture Notes on C -Algebras and Quantum Mechanics, 1998, dostupno na: 1

5 Unitarne matrice NAZIV STUDIJA: ZAJEDNIČKI SVEUČILIŠNI POSLIJEDIPLOMSKI DOKTORSKI STUDIJ MATEMATIKE GODINA STUDIJA: druga ili treća SEMESTAR STUDIJA: OBLIK NASTAVE SATI TJEDNO IZVOĐAČ NASTAVE predavanja 2 Vjeran Hari vježbe 0 seminar 1 Studenti ECTS BODOVI: CILJ KOLEGIJA: Kolegij je zamišljen kao spoj teorije i algoritama vezanih uz dvije važne klase matrica: unitarnih i J-unitarnih matrica. Te matrice se zbog svojih svojstava u praksi najčešće koriste kao matrice transformacija. Izbor gradiva odabran je po kriteriju važnosti i aktualnosti u primjenama, ali i po zaokruženosti i potpunosti samih cjelina. Osim same teorije, posebna pažnja posvetit će se prikazu postojećih kao i novih algoritama za CS dekompoziciju unitarnih i J-unitarnih matrica. Nastavnik će prepustiti studentima da u sklopu seminara prikažu jednostavnije teme iz popisa sadržaja kolegija. NASTAVNI SADRŽAJI: 1. Unitarne matrice i primjene. Svojstva unitarnih matrica. Realne ortogonalne matrice. Metrika i kontrakcije. Kontrakcije i unitarne matrice. Unitarna sličnost realnih matrica. Nejednakost traga i unitarne matrice. CS dekompozicija unitarnih matrica. Oštri kutovi između potprostora. Wedinov teorem i primjene. (6 tjedana) 2 J-unitarne matrice. Svojstva J-unitarnih matrica. Primjene kod problema vlastitih vrijednosti simetričnih i hermitskih matrica. CS dekompozicija J-unitarnih matrica. (3 tjedna) 3. Algoritmi za računanje CS dekompozicije ortogonalnih i J-ortogonalnih matrica. Prikaz postojećih algoritama (Stewartov, vanloanov algoritam). Novi algoritam za CS dekompoziciju J-ortogonalnih matrica. Analiza stabilnosti i relativne točnosti algoritma. Novi algoritam za CS dekompoziciju ortogonalnih matrica. Analiza stabilnosti algoritma. Primjena na ubrzavanju blok dijagonalizacijskih metoda. (4 tjedana) OBAVEZE STUDENATA TOKOM NASTAVE I NAČINI NJIHOVA IZVRŠAVANJA: Pohađanje predavanja, izrada domaćih zadaća, polaganje jednog

6 kolokvija, držanje barem jednog seminara u trajanju od 45 ili više minuta. Seminari mogu biti vezani uz teoriju matrica, teoriju algoritama, te implementaciju algoritama na računalu. UVJETI ZA POTPIS: Prisustvo na 60% predavanja i pozitivno ocijenjeni kolokviji i seminari. NAČIN POLAGANJA ISPITA: Završni dio ispita polaže se u pismenom ili usmenom obliku. Konačna ocjena oblikuje se na osnovi uspjeha u izradi domaćih zadaća, bodovnoj ocjeni održanog seminara, bodovima dobivenim na kolokviju te ocjene na završnom dijelu ispita ako bude potrebno. OBAVEZNA LITERATURA: 1. Fuzhen Zhang, Matrix Theory. Springer R. Bhatia, Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics. Springer G. W Stewart, J.G. Sun, Matrix Perturbation Theory, Academic Press,Inc. 1990, 2 nd edition, John Hopkins University Press, DOPUNSKA LITERATURA: Članci od P. A. Wedina, P. Stewarta, C. vanloana i drugih, nekoliko doktorskih I magistarskih radnja.

7 Odabrana poglavlja iz teorije brojeva (60 sati) Matija Kazalicki Na ovom kolegiju e se obraditi etiri teme iz presjeka teorije brojeva i aritmeti ke geometrije (vezane uz elipti ke krivulje, modularne forme, elipti ke i K3 plohe). Teme e se obraživati ²to je eksplicitnije mogu e uz esto kori²tenje programskog paketa SAGE ([6]). Popis tema: a) Elipti ke krivulje i racionalne Diofantove m-torke(glavna literatura [3]) Kratak uvod u elipti ke krivulje sa naglaskom na primjenama u konstrukciji racionalnih Diofantovih m-torki. b) Modularni pristup rje²avanju diofantskih jednadºbi(glavna literatura[7]) Primjena Ribetovog Level-lowering teorema pri rje²avanju diofantskih jednadºbi (npr. Posljednji Fermatov teorem). c) Modularne forme i kvaternionske algebre(glavna literatura [4]) Konstrukcija prostora modularnih formi teºine 2 i prostog nivoa p pomo u theta funkcija pridruºenih denitnim kvaternionskim algebrama ramiciranih u p u. Grossova formula za specijalne vrijednosti L-funkcije. d) Elipti ke i K3 plohe(glavna literatura [9]) Osnovne denicije i svojstva. Neron-Severieva grupa i Mordell-Weilova grupa. Singularna vlakna. Transcendentalne re²etke i elipti ke bracije. Izlaganje e biti bazirano na primjerima. Literatura [1] N. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Second edition, Graduate Texts in Mathematics, 97. Springer-Verlag, New York, x+248 pp. ISBN: [2] F. Diamond, J. Shurman, A rst course in modular forms, Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, xvi+436 pp. ISBN: X 1

8 [3] A. Dujella, M. Kazalicki, M. Miki, M. Szikszai, There are innitely many rational Diophantine sextuples, to appear in IMRN, [4] B. Gross, Heights and the Special Values of L-series, Number Theory, CMS Conference Proceedings 7 (1987), [5] M. Kazalicki, Modularne forme, skripta, [6] W. A. Stein, SageMath: [7] S. Siksek, The Modular Approach to Diophantine Equations, [8] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, [9] J. H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Springer,

9 Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup točaka sadržan u λ blokova. Dizajn nazivamo kvazisimetričnim ako se svaka dva bloka sijeku u x ili u y točaka, za neke konstante x < y. Riječ je o generalizaciji simetričnih dizajna, kod kojih je veličina presjeka blokova konstantna i jednaka λ. Kvazisimetrični dizajni povezani su s drugim kombinatoričkim strukturama, poput jako regularnih grafova i samoortogonalnih kodova. Poznati su mnogi netrivijalni uvjeti na parametre i zanimljive konstrukcije beskonačnih serija i sporadičnih primjera kvazisimetričnih dizajna. Cilj ovog kolegija je dati kratak pregled rezultata i otvorenih problema o kvazisimetričnim dizajnima, služeći se monografijom [1] i novijim preglednim radom [2]. Poseban naglasak bit će stavljen na veze s drugim dijelovima kombinatorike. Polaganje ispita predvida se kroz individualne projektne zadatke koji se mogu izložiti usmeno na znanstvenom seminaru ili u obliku pisanog rada. Literatura 1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Press, M.S. Shrikhande, Quasi-symmetric designs, u: The Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition (urednici C.J. Colbourn i J.H. Dinitz), CRC Press, 2007., str

10 Quasi-symmetric designs V. Krčadinac, 2016/2017, 30 hours. A t-(v, k, λ) design is a set of v elements called points together with a family of k-element subsets called blocks such that any t-subset of points is contained in λ blocks. A design is called quasi-symmetric if any pair of blocks intersect in x or in y points, for non-negative integers x < y. The concept is a generalization of symmetric designs, which have block intersections of constant size, equal to λ. Quasi-symmetric designs have important connections to other combinatorial structures, such as strongly regular graphs and self-orthogonal codes. Many non-trivial conditions on the parameters are known, as well as interesting constructions of infinite series and sporadic examples of quasi-symmetric designs. The goal of this course is to give a short overview of known results and open problems about quasi-symmetric designs. The monograph [1] and the survey paper [2] will be used. Emphasis will be put on connections with other parts of combinatorics. The exam will be based on individual project assignments, that can be presented as scientific seminars or as written essays. Bibliography 1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Press, M.S. Shrikhande, Quasi-symmetric designs, in: The Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition (eds. C.J. Colbourn and J.H. Dinitz), CRC Press, 2007, pp

11 Konveksna integracija i neregularna rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (60 sati) Boris Muha Cilj ovog kolegija je upoznati studente sa metodom konveksne integracije i njezinom primjenom u konstrukciji neregularnih rješenja nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Jedan od prvih primjera konstrukcije tog tipa je slavan i neočekivan rezultat Nasha i Kupiera o C 1 izometričkim ulaganjima mnogostrukosti u R n. Valja napomenuti da Nash-Kupierov rezultat nije samo egzistencijalni rezultat, već pokazuje da rješenja ima jako puno (skup rješenja je u suštini C 0 gust). Te rezultate je poopćio Gromov koji je uveo metodu konveksne integracije kao jednu od metoda za dokazivanje h-principa u raznim geometrijskim problemima. Kasnije se pokazalo da je metoda konveksne integracije primjenjiva i na nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe koje dolaze iz mehanike kontinuuma. Müller i Sverak su pokazali da postoje slaba rješenja odredenih nelinearnih eliptičkih sustava koja su Lipschitzova, ali nisu nigdje C 1. Nedavno, De Lellis i Székelyhidi su promatrali Eulerovu jednadžbu za tok inkompresibilnog fluida i dokazali nejedinstvenost rješenja, te postojanje neregularnih rješenja koja disipiraju energiju. Disipativna rješenja Eulerove jednadžbe su interesantna jer bi mogla voditi boljem razumijevanju turbulencije. Oba rezultata su dobivena koristeći tehniku konveksne integracije u kombinaciji sa Tartarovim pristupom u analizi oscilatornih rješenja. U baznom dijelu kolegija izložit ćemo opisane rezultate: Nash-Kupier, Müller-Sverak i De Lellis-Székelyhidi. Izbor tema u varijabilnom dijelu kolegija ovisit će o interesu slušača. Spomenuti rezultati su otvorili mnoga interesantna pitanja koja su predmet intenzivnog istraživanja zadnjih godina. Radi lakšeg praćenja kolegija poželjno je odredeno predznanje iz parcijalnih diferencijalnih jednadžbi i funkcionalne analize. Medutim, kolegij će biti u suštini samodostatan i većina potrebnih činjenica će biti ponovljena tokom kolegija. Pravila polaganja: Ispit će se polagati kombinacijom zadaća i seminarskih izlaganja. Ukoliko se student bavi srodnim područjem, originalan znanstveni rad vezan uz tematiku kolegija može zamijeniti polaganje ispita. Literatura Osnovna literatura [1] Camillo De Lellis and László Székelyhidi, Jr. The Euler equations as a differential inclusion. Ann. of Math. (2), 170(3): , [2] Stefan Müller and Vladimir Šverák. Convex integration for lipschitz mappings and counterexamples to regularity. Annals of mathematics, 157(3): ,

12 [3] John Nash. C 1 isometric imbeddings. Ann. of Math. (2), 60: , Dodatna literatura [4] Ben Andrews et al. Notes on the isometric embedding problem and the nash-moser implicit function theorem. Proc. CMA, 40: , [5] Sergio Conti, Camillo De Lellis, and László Székelyhidi, Jr. h-principle and rigidity for C 1,α isometric embeddings. In Nonlinear partial differential equations, volume 7 of Abel Symp., pages Springer, Heidelberg, [6] Bernard Dacorogna and Paolo Marcellini. General existence theorems for Hamilton-Jacobi equations in the scalar and vectorial cases. Acta Math., 178(1):1 37, [7] Camillo De Lellis and László Székelyhidi, Jr. The h-principle and the equations of fluid dynamics. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 49(3): , [8] Mikhael Gromov. Partial differential relations, volume 9 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, [9] Vladimir Scheffer. An inviscid flow with compact support in space-time. J. Geom. Anal., 3(4): , [10] David Spring. Convex integration theory. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, Solutions to the h-principle in geometry and topology, Reprint of the 1998 edition. [11] L. Tartar. Compensated compactness and applications to partial differential equations. In Nonlinear analysis and mechanics: Heriot-Watt Symposium, Vol. IV, volume 39 of Res. Notes in Math., pages Pitman, Boston, Mass.-London,

13 Asimptotička analiza u mehanici fluida (60 sati) Igor Pažanin Opis kolegija: U mehanici fluida često se suočavamo sa problemima u kojima temeljni zakoni sačuvanja dovode do modela koji su komplicirani i stoga u praksi neupotrebljivi. Nas posebno zanimaju oni zakoni kod kojih se javljaju veoma mali (ili veliki) parametri, bilo u fizikalnim koeficijentima, bilo u geometriji područja kojeg promatramo. Takve probleme moguće je tretirati koristeći rigoroznu asimptotičku analizu. Opisana situacija prirodno se javlja u problemima tokova fluida kroz cijevi, problemima vezanim uz teoriju podmazivanja (lubrikacije), tokovima fluida kroz poroznu sredinu itd. Proučavajući asimptotičko ponašanje rješenja zakona sačuvanja obzirom na uvedeni mali parametar, izvodimo jednostavnije modele, koji često odgovaraju empirijskim modelima iz inženjerske prakse. Naravno, ponekad dobivamo i nove, u postojećoj literaturi nepoznate zakone. U ovom kolegiju sustavno ćemo izložiti napredne asimptotičke metode koje se koriste za rješavanje problema iz mehanike fluida u kojima su prisutne različite skale. Posebnu pažnju posvetit ćemo metodi uskladivanja asimptotičkih razvoja (engl. matching) te višeskalnoj analizi. Nakon što objasnimo osnovne principe na jednostavnim primjerima običnih diferencijalnih jednadžbi, bavit ćemo se brojnim primjenama koje kao rezultat daju važne asimptotičke modele za tokove Newtonovskog fluida. Cilj je naglasiti važnost svladavanja modernih tehnika asimptotičke analize koje mogu biti od velike koristi studentima - budućim istraživačima u području matematičkog modeliranja tokova fluida. Takoder, bavit ćemo se i rigoroznim opravdanjem formalno dobivenih asimptotičkih modela, dovodeći ih u vezu s originalnim zakonima sačuvanja. Na taj se način vidi kad oni vrijede, koji su njihovi dosezi te kolika se pogreška čini njihovom primjenom. Od studenata se očekuje predznanje iz funkcionalne analize te mehanike fluida (osnovni pojmovi i rezultati biti će ponovljeni u uvodu). Ispit će se polagati održavanjem jednog ili više seminara. Literatura: 1. P-Y. Lagrée, Multiscale Hydrodynamic Phenomena, Lecture Notes, Université Pierre et Marie Curie Paris 6, lagree/cours/m2mhp/ 2. Asymptotic Methods in Fluid Mechanics: Survey and Recent Advances, H. Steinrück (ed.), CISM Courses and Lectures vol. 523, Springer, New York R. Kh. Zeytounian, Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, R. Kh. Zeytounian, Modelisation Asymptotique En Mecanique Des Fluides Newtoniens, Springer- Verlag, Berlin, G. P. Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations, Vol. I,II, Springer-Verlag, New York, M. Van Dyke, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Stanford, 1975.

14 DIZAJNI S KLASIČNIM GEOMETRIJSKIM PARAMETRIMA Juraj Šiftar, jednosemestralni kolegij (30 sati) Područje: Konačne geometrije, teorija dizajna Kombinatoričke strukture koje se sastoje od skupova točaka i d-dimenzionalnih potprostora n-dimenzionalnog projektivnog prostora PG(n,q), odnosno afinog prostora AG(n,q) nad konačnim poljem GF(q), u terminima teorije (blok) dizajna obično se nazivaju klasičnim ili geometrijskim dizajnima. Značajan predmet istraživanja konačnih geometrija su dizajni s klasičnim parametrima, a to su (v, k, λ)-dizajni kojima se vrijednosti ukupnog broja točaka v, broja točaka na svakom bloku k i broja blokova incidentnih s bilo kojim dvjema točkama ( λ ) podudaraju s odgovarajućim vrijednostima za geometrijske dizajne. Pokazalo se da su klasični parametri izrazito povoljni za postojanje dizajna, štoviše da broj neizomorfnih dizajna s takvim parametrima eksponencijalno raste s linearnim povećanjem dimenzije n. Stoga je od posebnog interesa pronalaženje djelotovornih karakterizacija geometrijskih dizajna među svim dizajnima s klasičnim parametrima. Kolegij će pružiti uvid u neke od važnijih rezultata postignutih tokom posljednjih tridesetak godina u proučavanju dizajna s klasičnim parametrima. Pritom uz kombinatoričke i geometrijske metode ključnu ulogu ima primjena teorije linearnih kodova, kako u istraživanjima potaknutim glasovitom slutnjom N. Hamade o karakterizaciji geometrijskih dizajna pomoću p-ranga, tako i u novijim otkrićima drugih korisnih invarijanti pridruženih klasama konačnih struktura. Tonchev i Jungnickel uveli su razmjerno složeni koncept q-dimenzije komplementarne strukture D* pridružene incidencijskoj strukturi D, koji dovodi do uvjeta za mogućnost smještavanja D u prostor PG(n,q) i zatim do potpune karakterizacije geometrijskih dizajna među dizajnima s klasičnim parametrima projektivnog tipa.

15 Literatura: [1] E. F. Assmus, Jr., J. D. Key: Designs and Their Codes, Cambridge University Press, Cambridge, [2] J.W.P. Hirschfeld: Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, Oxford, [3] D. Jungnickel, V. Tonchev: Polarities, quasi-symmetric designs and Hamada's conjecture, Des. Codes Cryptogr. 51 (2009), [4] D. Jungnickel: Recent results on designs with classical parameters, J. Geometry 101 (2011), [5] D. Jungnickel, V. Tonchev: A Hamada type characterization of the classical geometric designs, Des. Codes Cryptogr. 65 (2012), [6] D. Jungnickel, V. Tonchev: New invariants for incidence structures, Des. Codes Cryptogr. 68 (2013), [7] K. Metsch: A generalization of a result of Dembowski and Wagner, Des. Codes Cryptogr. 60 (2011),

16 DESIGNS WITH CLASSICAL GEOMETRIC PARAMETERS (Finite geometries, design theory) In terms of design theory, combinatorial structures consisting of the sets of points and d-dimensional subspaces of the n-dimensional projective space PG(n,q) or the affine space AG(n,q) over the finite field GF(q) are usually called classical designs or geometric designs. An important topic of research in finite geometry are block designs with classical parameters, i.e. (v, k, λ)-designs whose overall number of points (v), the number of points incident with any block (k) and the number of blocks incident with any pair of points (λ) coincide with the values of corresponding parameters for geometric designs. It has been shown that classical parameters are distinctively favorable for the existence of designs, namely that the number of nonisomorphic designs with such parameters grows exponentially with the linear growth of the dimension n. Hence, finding efficient characterizations of geometric designs among all designs with classical parameters is of particular interest. This course will provide insight into some of the outstanding results about designs with classical parameters achieved during the last thirty years. Besides combinatorial and geometric methods, a crucial role belongs to the theory of linear codes, as in the research initiated by the famous Hamada conjecture on characterization of classical designs by means of p-rank, so also in more recent discoveries of further useful invariants associated to classes of finite structures. The relatively complex concept of q- dimension of the complementary structure D* of an incidence structure D, introduced by Tonchev and Jungnickel, leads to conditions for embeddability of D into the space PG(n,q) and, furthermore, to a full characterization of geometric designs among designs with classical parameters of projective type.

17

18 Hrvoje Šikić 2016/17 Procesi grananja s primjenama u biomedicini (60 sati) Konstrukcije i osnovna svojstva procesa grananja. Modeli u diskretnom vremenu. Dijelovi teorije procesa grananja za slučaj nediskretnog vremena i općeg procesa stanja, inspirirani biomedicinskim modelima. Asimptotska svojstva i lokalna svojstva. Procesi s imigracijom i emigracijom u usporedbi s procesima više tipova stanja. Interpretacija matematičkih rezultata u brojnim primjerima iz biomedicine. Uključit ćemo i analizu nekih vrlo suvremenih primjena., kao i izbor naprednijih tema. Napomena: Ovo je srednje napredan poslijediplomski kolegij. Nastojat će se što više materijala dokazati na temelju elementarnih činjenica, no ipak se pretpostavlja poznavanje kolegija: Realna Analiza (standardni kolegij na PDS-u) i Vjerojatnost (standardni kolegij na PDS-u). Literatura: K.B. Athreya, P.E.Ney, Branching Processes, Springer, P. Jagers, Branching Processes with Biological Applications, Wiley, M.Kimmel, D. Axelrod., Branching Processes in Biology, Springer, C.J Mode, R.Durrett, F.Klebaner, P.Olofsson, Application of Stochastic Processes in Biology and Medicine, Intern J Stochastic Analysis, special edition, 2013.

19 Sanja Singer (red. prof., FSB), Saša Singer (izv. prof., PMF MO): Ortosimetrični skalarni produkti teorija i algoritmi (60 sati) Sažetak Kolegij je zamišljen kao napredni kolegij iz numeričke linearne algebre. Cilj kolegija je omogućiti uvid u novija istraživanja iz područja strukturiranih matričnih faktorizacija vezanih uz ortosimetrične skalarne produkte. Ortosimetrični skalarni produkti definirani su matricom J za koju vrijedi J = τj, gdje je τ = 1, τ C. Takvi skalarni produkti uključuju, osim standardnog skalarnog produkta, indefinitne i simplektičke skalarne produkte, kao i mnoge druge. U numeričkom računanju poželjno upotrebljavati sredstva kojima se čuva struktura polaznog problema, a upravo ortosimetrični skalarni produkti objedinjuju za praksu bitne strukture, koje treba očuvati. Sadržaj Uvod u ortosimetrične J-skalarne produkte. Teorija i osnovna svojstva J-unitarnih prostora i razlike obzirom na obične unitarne prostore. J-hermitske i J unitarne matrice i njihova struktura. Generalizacije faktorizacije Choleskog: Hermitska indefinitna faktorizacija i strategije pivotiranja, perturbacijska analiza, ocjena grešaka zaokruživanja; antihermitska faktorizacija, pivotiranje, pogreške. J-unitarne matrice rotacijskog (Givensovog) tipa za jednostavne matrice J. J-unitarne matrice reflektorskog (Householderovog) tipa za jednostavne J. Blok rotacije i blok reflektori. Generalizacije QR faktorizacija: hiperbolička QR faktorizacija, simplektička QR faktorizacija, SR faktorizacija, perturbacijske analize, ocjene grešaka zaokruživanja. Algoritmi rotacijskog i reflektorskog tipa za svojstvene vrijednosti bazirani na QR-nalik faktorizacijama (HR, SR). SVD i hiperbolički SVD. CS dekompozicija i njezine generalizacije. Primjena generaliziranih faktorizacija Choleskog, QR i CS dekompozicije na računanje svojstvenih vrijednosti: ponovljene faktorizacije (implicitni algoritmi), algoritmi Jacobijevog tipa, blok algoritmi Jacobijevog tipa za suvremene arhitekture računala. Literatura Ne postoji jedinstveni udžbenik koji bi pokrivao sva navedena područja, već se literatura svodi na više udžbenika i znanstvene radove iz tog područja (koji će biti dostupni slušačima). U ovom popisu su samo osnovni članci. 1. J. R. Bunch, A Note on the Stable Decomposition of Skew Symmetric Matrices, Math. Comp., 38 (1982), J. R. Bunch, L. C. Kaufman, Some Stable Methods for Calculating Inertia and Solving Symmetric Linear Systems, Math. Comp., 31 (1977),

20 3. J. R. Bunch, B. N. Parlett, Direct Methods for Solving Symmetric Indefinite Systems of Linear Equations, SIAM J. Numer. Anal., 8 (1971), A. Bunse Gerstner, An Analysis of the HR Algorithm for Computing the Eigenvalues of a Matrix, Linear Algebra Appl., 35 (1981), H. Fassbender, Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, I. Gohberg, P. Lancaster, and L. Rodman, Indefinite Linear Algebra and Applications, Birkhäuser, Basel, D. S. Mackey, N. Mackey, F. Tisseur, Structured Tools for Structured Matrices, Electron. J. Linear Algebra, 10 (2003), Sanja Singer, Saša Singer, Rounding-error and perturbation bounds for the indefinite QR factorization, Linear Algebra Appl., 309 (2000), Sanja Singer, Saša Singer, Rounding-error and perturbation bounds for the symplectic QR factorization, Linear Algebra Appl., 358 (2003), Sanja Singer, Indefinite QR factorization, BIT, 46 (2006), Sanja Singer, Saša Singer, Orthosymmetric block reflectors, Linear Algebra Appl., 429 (2008), Sanja Singer, Orthosymmetric block rotations, Electron. J. Linear Algebra, 23 (2012), Predznanje i polaganje ispita Od slušača se očekuje predznanje iz numeričke linearne algebre, kao i vještina programiranja. Ispit će se polagati rješavanjem složenijih programskih zadatka i seminarom, ili usmenim ispitom. Očekuje se znanje programskih jezika Fortran i / ili C, tako da se može koristiti biblioteka Intel MKL, koja sadrži BLAS i LAPACK. Poželjno je iskustvo u paralelnom programiranju. 2

21 Matematički odsjek Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Zagrebu TOPOLOŠKI DINAMIČKI SUSTAVI (60 sati) Sonja Štimac Diskretni dinamički sustav čine mnogostrukost i preslikavanje na toj mnogostrukosti koje opisuje vremensku ovisnost položaja točaka mnogostrukosti, pri čemu je vrijeme diskretno. Nelinearni dinamički sustavi, čak i najjednostavniji, po dijelovima linearni, mogu pokazati potpuno nepredvidljivo ponašanje koje može izgledati slučajno, mada je u stvari potpuno određeno danim preslikavanjem. To naizgled nepredvidljivo ponašanje zovemo kaos. Teorija dinamičkih sustava proučava dugotrajno kvalitativno ponašanje točaka mnogostrukosti pod djelovanjem iteracija danog preslikavanja, a topološka dinamika stavlja naglasak na topološku pozadinu problema. Cilj kolegija je upoznati studente s modernom teorijom i tehnikama vezanim uz diskretne kaotične dinamičke sustave s naglaskom na topološki aspekt. U kolegiju će se obrađivati sljedeće teme: Jednodimenzionalna dinamika 1. Osnovne definicije i primjeri dinamičkih sustava 2. Hiperboličnost 3. Simbolička dinamika 4. Topološka konjugacija i semi konjugacija 5. Kaos 6. Stabilnost 7. Šarkovskijev teorem 8. Topološka entropija Višedimenzionalna dinamika 1. Potkova (the horseshoe map) 2. Hiperboličnost 3. Atraktori 4. Teoremi o stabilnim i nestabilnim mnogostrukostima 5. Hiperbolični skupovi 6. Lozijevo i Hénonovo preslikavanje

22 Literatura: 1. J. Vries, Topological Dynamical Systems, An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings, De Gruyter Studies in Mathematics 59, L. Barreira, C. Valls, Dynamical Systems: An Introduction, Springer, R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, 2 nd edition, Westview Press, A. Katok, B. Hasselblatt, G. C. Rota, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1996.

23 Teorija homologije i primjene( 60 sati) 2016/7 Predavač: Dragutin Svrtan, dsvrtan@math.hr. Kratki opis : U matematici (specijalno u algebarskoj topologiji), homologija je opći način pridruživanja niza algebarskih objekata, kao što su abelove grupe ili moduli, drugim drugim matematičkim objektima kao što su topološki prostori. Originalna motivacija za definiranje grupa homologije je bila u opservaciji da se dva topološka prostora mogu razlikovati proučavanjem rupa u njima. Za mnogostrukosti klasa homologije koja reprezentira rupu) je klasa ekvivalencije podmnogostrukosti modulo rubovi. Postoje različite teorije homologije. U kursu počinjemo sa simplicijalnim homologijama s mnogo primjera i primjena (na teoriju opstrukcija i karakterističnih klasa vektorskih svežnjeva). Zatim se obrađuje singularna homologija te Čechova i DeRhamova kohomologija i različite primjene u teoriji mnogostrukosti. Predznanja za ovaj kurs su relativno mala: malo napredne linearne algebre,analize funkcija više varijabli i elementarne diferencijalne geometrije. Sadržaj: Simplicijalna teorija homologije,invarijantnost, relativna homologija. Kohomologija i teorem o univerzalnim koeficijentima. Računanja, Eulerova karakteristika i Lefschetzov teorem. Prsten kohomologije, homologija i kohomologija mnogostrukosti. Homologija i homotopija. Karakteristične klase,djelovanje grupa, Steenrodovi kvadrati. Singularna homologija. Poincareov i Lefschetzov izomorfizam za topološke mnogostrukosti. Čechova kohomologija i DeRhamova kohomologija. Kohomologija snopova i DeRhamov teorem. Alexanderov polinom. Arfova invarijanta. Smještenja i imerzije.

24 Kompleksne mnogostrukosti. Liejeve grupe i H-prostori. Literatura: [1]: J.Milnor,Characteristic classes, Princeton University Press, [2]: V.V.Prasolov, Elements of Combinatorial and Differential Topology, Graduate Studies in Mathematics,Vol.74. AMS,Providence, RI,2006. [3]: V.V.Prasolov, Elements of Homology, Graduate Studies in Mathematics,Vol.81. AMS,Providence, RI,2007.

25 Prijedlog kolegija za izvođenje u akademskoj godini 2016./2017. na Zajedničkom sveučilišnom poslijediplomskom doktorskom studiju matematike Naslov: Parametarski ovisan nelinearni problem svojstvenih vrijednosti Predavači: Prof. dr. sc. Ninoslav Truhar, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Doc. dr. sc. Zoran Tomljanović, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Broj sati predavanja: 60 Kratki sadržaj: Ovaj predmet posvećen je proučavanju nelinearnog problema svojstvenih vrijednosti i odgovarajućeg inverznog problema s teorijskog, računskog i primijenjenog aspekta. Posebna pažnja bit će posvećena važnim praktičnim inženjerskim problemima poput kvadratičnog svojstvenog problema (QEP): (mu^2 M(v) + mu C(v) + K(v)) x=0, pri čemu su M(v), C(v), K(v) kompleksne nxn Hermitske matrice, koje ovise o realnom (višedimenzionalnom) parametru v. Također, proučavat ćemo nekoliko različitih primjena poput optimalnog upravljanja kod dinamičkih sistema i optimizacije prigušenja kod parametarskih mehaničkih sistema. 1. Nelinearni svojstveni problem Osnovna svojstva, analitičke matrične funkcije, varijacijska karakterizacija svojstvenih vrijednosti, općeniti Rayleigh-jevi funkcionali, metode za guste svojstvene probleme, iterativne projekcijske metode, metode koje koriste invarijantne parove, beskonačna Arnoldijeva metoda. 2. Kvadratični svojstveni problem (QEP) Definicija i osnovni rezultati, relacija ortogonalnosti, realna reprezentacija za svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore za QEP. 3. Kvadratični inverzni svojstveni problem [QIEP] Nestrukturirani QIEP iz cijele unaprijed određene svojstvene strukture, strukturirani QIEP iz cijele unaprijed određene svojstvene strukture, nestrukturirani QIEP iz djelomične unaprijed određene svojstvene strukture, strukturirani QIEP iz djelomične unaprijed određene svojstvene strukture, Pencils sa trakastom matricom koeficijenata, primjena strukturirane QIEP: konačni elementi za ažuriranje modela. 4. Numeričke metode Izračun i aproksimacija svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora za strukturirane svojstvene probleme, numeričke metode za QEP, Arnoldi algoritam drugog reda, algoritam dominantnih polova. 5. Optimization Optimizacija bez ograničenja, optimizacija uz ograničenja, pridružena Langrangeova metoda. 6. Primjene Izračun normi sistema, uvod u redukciju modela za parametarske dinamičke sisteme, redukcija modela bazirana na projekcijama, racionalna interpolacijska metoda, redukcija modela za efikasnu optimizaciju prigušenja.

26 Literatura: Osnovna literatura: 1. B. N. Datta. Numerical Linear Algebra and Applications. SIAM, second edition V. O. Sokolov, Quadratic Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Methods and Applications, Ph.D. Thesis, Department of Mathematical SciencesNorthern Illinois University, USA 3. Volker Mehrmann and Heinrich Voss. Nonlinear eigenvalue problems: A challenge for modern eigenvalue methods. GAMM-Mitteilungen (GAMM-Reports), 27: , Dopunska literatura: 4. M. L. Graham Gladwell, Inverse Problems in Vibration. Springer-Verlag,Berlin, F.Tisseur and K.Meerbergen, The quadratic eigenvalue problem. SIAM Reviews, 43(2): , I. Gohberg, P.Lancaster and L. Rodman, Matrix Polynomials. AcademicPress, New York, NY, G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed). Johns HopkinsUniversity Press, Baltimore and London, A. Antoulas, C. Beattie, and S. Gugercin, Interpolatory model reduction of large-scale dynamical systems, in Efficient Modeling and Control of Large-Scale Systems, J. Mohammadpour and K. Grigoriadis, eds., Springer-Verlag, New York, 2010, pp U. Baur, C. Beattie, P. Benner, and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for parameterized model reduction, SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), pp C. Beattie and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for structure-preserving model reduction, Systems Control Lett., 58 (2009), pp S. Gugercin, A. C. Antoulas, and C. Beattie, H2 model reduction for large-scale linear dynamical systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp P. Benner, P. Kurschner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Semi-active damping optimization of vibrational systems using the parametric dominant pole algorithm, Journal of Applied Mathematics and Mechanics (2015), P. Benner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Damping of Selected Eigenfrequencies Using Dimension Reduction, Numerical Linear Algebra with Applications 20/1 (2013), I. Nakić, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Direct Velocity Feedback, Applied mathematics and computation 225 (2013), Heinrich Voss, Nonlinear Eigenvalue Problems, Report 174, Chapter 60 in L. Hogben (ed.), Handbook of Linear Algebra, CRC Press, Boca Raton 2014

27 Title: Parameter-Dependent Nonlinear Eigenvalue Problems Lecturers: Prof. dr. sc. Ninoslav Truhar, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Doc. dr. sc. Zoran Tomljanović, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Hours of lectures: 60 Syllabus: This course is devoted to the study of nonlinear eigenvalue problems and corresponding inverse problems from theoretical, computational and applications points of view. Special attention will be given to important practical engineering problems such as the quadratic eigenvalue problem (QEP): (mu^2 M(v) + mu C(v) + K(v)) x=0, where M(v), C(v), K(v) are complex nxn Hermitian matrices, which depend on a real multidimensional parameter v. Also, we will consider several different applications like optimal control in dynamical systems and damping optimization of parametric mechanical systems. 1. Nonlinear Eigenvalue Problems Basic Properties, Analytic matrix functions, Variational Characterization of Eigenvalues General Rayleigh Functionals, Methods for dense eigenvalue problems, Iterative projection methods Methods using invariant pairs, The infinite Arnoldi method 2. Quadratic Eigenvalue Problem Definition and Basic Results, Orthogonality Relation, Real-Valued Representation for the Eigenvalues and Eigenvectors of the QEP 3. Quadratic Inverse Eigenvalue Problem [QIEP] Unstructured QIEP from Fully Prescribed Eigenstructure, Structured QIEP with Fully Prescribed Eigenstructure, Unstructured QIEP with Partially Prescribed Eigenstructure, Structured QIEP with Partially Prescribed Eigenstructure, Pencils with Banded Coefficient Matrices, An Application of Structured QIEP: Finite Element Model Updating 4. Numerical methods Calculation and approximation of eigenvalues and eigenvectors for structured eigenvalue problems, Numerical Methods for QEP, Second order Arnoldi algorithm, Dominant pole algorithm. 5. Optimization Unconstrained Optimization, Constrained Optimization, Augmented Lagrangian Method 6. Applications Calculating system norms, Introducion to model reduction methods for parametric dynamical systems, Projection-Based Model Reduction, Rational Interpolation Methods, Model reduction for efficient damping optimization. Literature: Basic literature: 1. B. N. Datta. Numerical Linear Algebra and Applications. SIAM, second edition V. O. Sokolov, Quadratic Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Methods and Applications, Ph.D. Thesis, Department of Mathematical SciencesNorthern Illinois University, USA 3. Volker Mehrmann and Heinrich Voss. Nonlinear eigenvalue problems: A challenge for modern eigenvalue methods. GAMM-Mitteilungen (GAMM-Reports), 27: , Additional literature: 4. M. L. Graham Gladwell, Inverse Problems in Vibration. Springer-Verlag,Berlin, 2004.

28 5. F.Tisseur and K.Meerbergen, The quadratic eigenvalue problem. SIAM Reviews, 43(2): , I. Gohberg, P.Lancaster and L. Rodman, Matrix Polynomials. AcademicPress, New York, NY, G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed). Johns HopkinsUniversity Press, Baltimore and London, A. Antoulas, C. Beattie, and S. Gugercin, Interpolatory model reduction of large-scale dynamical systems, in Efficient Modeling and Control of Large-Scale Systems, J. Mohammadpour and K. Grigoriadis, eds., Springer-Verlag, New York, 2010, pp U. Baur, C. Beattie, P. Benner, and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for parameterized model reduction, SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), pp C. Beattie and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for structure-preserving model reduction, Systems Control Lett., 58 (2009), pp S. Gugercin, A. C. Antoulas, and C. Beattie, H2 model reduction for large-scale linear dynamical systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp P. Benner, P. Kurschner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Semi-active damping optimization of vibrational systems using the parametric dominant pole algorithm, Journal of Applied Mathematics and Mechanics (2015), P. Benner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Damping of Selected Eigenfrequencies Using Dimension Reduction, Numerical Linear Algebra with Applications 20/1 (2013), I. Nakić, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Direct Velocity Feedback, Applied mathematics and computation 225 (2013), Heinrich Voss, Nonlinear Eigenvalue Problems, Report 174, Chapter 60 in L. Hogben (ed.), Handbook of Linear Algebra, CRC Press, Boca Raton 2014

29 Semantike logika dokazivosti i interpretabilnosti (60 sati) Tin Perkov, Mladen Vuković Sažetak. Cilj kolegija je upoznati studente s teorijom modela logika dokazivosti i logika interpretabilnosti. Naglasak je na dokazima teorema modalne potpunosti za razne sisteme. Posebna pažnja će biti posvećena metodi konstrukcije modela koju su uveli Goris i Joosten. Sadržaj. 1. Teoremi potpunosti za logiku sudova, logiku prvog reda i modalni sustav K. 2. Neki modalni sistemi koji nisu potpuni u odnosu na Kripkeovu semantiku. Opći okviri. Algebarska semantika. Topološka semantika. Okolinska semantika. 3. Logika dokazivosti GL. Polimodalna logika dokazivosti GLP. Nepotpunost u odnosu na Kripkeovu semantiku. Topološka semantika. 4. Logike interpretabilnosti. Sistem IL. Veltmanovi okviri i modeli. De Jongh, Veltmanovi teoremi potpunosti sistema IL, ILM, ILP i ILW* u odnosu na Veltmanovu semantiku. 5. Goris, Joostenova metoda konstrukcije modela za logike interpretabilnosti IL, ILM, ILP i ILW*. Svojstvo konačnosti modela. Odlučivost. 6. Visserov dokaz potpunosti sistema ILP u odnosu na Friedmanove modele. Berarduccijev dokaz potpunosti sistema ILM u odnosu na rekurzivne Visserove modele. 7. Generalizirana Veltmanova semantika. Verzije (de Jongh; Goris-Joosten). Potpunost sistema IL u odnosu na generalizirane Veltmanove modele. Karakteristične klase (generaliziranih) Veltmanovih okvira za pojedini princip interpretabilnosti. Literatura. [1] L.D. Beklemishev, G. Bezhanishvili, T. Icard, On topological models of GLP, in: R. Schindler (ed.), Ways of Proof Theory, Ontos-Verlag, Frankfurt, [2] P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press, [3] E. Goris, J. Joosten, Modal Matters for Interpretability Logic, Logic Journal IGPL 16 (2008), [4] E. Goris, J. Joosten, A new principle in the interpretability logic of all reasonable arithmetical theories, Logic Journal IGPL 19 (2011), 1-17 [5] G. Japaridze, D. de Jongh, The logic of provability, in: S.R. Buss (ed.), Handbook of Proof Theory, Elsevier, [6] A. Visser, Interpretability logic, in: P.P. Petkov (e.), Mathematical Logic, Proceedings of the 1988 Heyting Conference, Plenum Press, New York, [7] M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, 2009.