POVODOM 50 GODINA SEMINARA ZA MATEMATIƒKO PROGRAMIRANJE I TEORIJU IGARA Neka opaºanja prvog tajnika Seminara

Transcription

1 SVEUƒILI TE U ZAGREBU Ekonomski fakultet POVODOM 50 GODINA SEMINARA ZA MATEMATIƒKO PROGRAMIRANJE I TEORIJU IGARA Neka opaºanja prvog tajnika Seminara Prof. emeritus Sanjo Zlobec McGill University Ovo izlaganje je posve eno svima koji su u zadnjih pedeset godina bili povezani sa Seminarom 17. studenog Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

2 Sadrºaj 1 Uvod 2 Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? 3 George Dantzig ( ) i simplex algoritam 4 Abraham (Abe) Charnes ( ) 5 Quo Vadis Matemati ko programiranje? Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

3 1. Uvod Ovih dana obiljeºava se 50 godina neprekidnog rada Seminara za matemati ko programiranje i teoriju igara. Prvih 30 godina obiljeºeno je knjiºicom Razvoj matemati kog programiranja u Hrvatskoj koju je izdao Matemati ki odjel Prirodoslovno-matemati kog fakulteta Sveu ili²ta u Zagrebu. Urednici te knjiºice bili su sada²nji voditelji Seminara profesor Ljubomir Marti i prof. emeritus Luka Nerali. U njoj je dan detaljan prikaz rada Seminara u periodu Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

4 1. Uvod Koristim priliku da s nekoliko crtica stavim Seminar u perspektivu. Opaºanja su osobna i mogu se provjeriti u odabranoj literaturi ili u razgovoru sa spomenutim kolegama. Vidjet emo da je Seminar uvijek bio relevantan za teme koje su u svijetu obradjivane i koje se i sada obradjuju. Ogroman utjecaj na rad Seminara i izbor tema imao je profesor Abraham Charnes, koji je g. u²ao u uºi izbor za Nobelovu nagradu iz ekonomije. Nekoliko lanova Seminara je s njime i njegovim biv²im studentima suradjivalo i publiciralo radove. Po nimo s osniva em matemati kog planiranja (kasnije zvanog "matemati ko programiranje"). Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

5 2. Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? Kantorovi a smatraju osniva em matemati kog planiranja. Radio je, na po etku sveu ili²ne karijere u Lenjingradu, kao teorijski matemati ar koji je kasnije po eo primjenjivati ideje funkcionalne analize na rje²avanje problema u ekonomskom planiranju. Radio je u vektorskim prostorima s parcijalnim uredjajima na parovima elemenata. Takvi prostori su kasnije, njemu u ast, prozvani "K prostori". Kantorovi je primijetio da se mnogi realni problemi mogu formulirati i numeri ki rije²iti koriste i strukturu K prostora. Takvi su npr. problemi distribucije sirovog materijala u svrhu maksimizacije broja izraženih proizvoda pod zadanim ograni enjima. Matemati ki se ovi problemi mogu formulirati kao problemi maksimizacije linearne funkcije nad konveksnim politopom. Ali u to vrijeme, oko g., nisu postojale prakti ne metode za rje²avanje takvih problema, pogotovo u slu aju velikog broja produkata. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

6 2. Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? Budu i da je Kantorovi radio i kao savjetnik u laboratoriju za obradu drva i drvenih proizvoda, njegova metoda nai²la je na veliko zanimanje u praksi i bila je opisana u knjiºici koju je izdalo Lenjingradsko drºavno sveu ili²te g. pod naslovom "Matemati ke metode planiranja i organizacije proizvodnje". Ovo poklapanje teorijskih i prakti nih saznanja otvorilo je Kantorovi u put do Nobelove nagrade za ekonomiju, koju je podijelio s Amerikancem holandskog porijekla Koopmansom g., za "Contributions to the Theory of Optimum Allocation of Resources". Tek tada je njegova metoda postala poznata na zapadu. Zanimljivo je ²to je ameri ka CIA mislila o Kantorovi u. Podaci dani niºe postali su poznati nakon sto su Iranci upali u, i "prerovali", ameri ku ambasadu u Teheranu g. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

7 2. Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? An internationally recognized creative genius in the elds of mathematics and the application of electronic computers to economic aairs, Academician Leonid Kantorovich (pronounced kahntuhrohvich) has worked at the Institute of Management of the National Economy since Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

8 2. Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? He has been involved in advanced mathematical research since the age 15; in 1939 he invented linear programming, one of the most signicant contributions to economic management in the twentieth century. Kantorovich has spent most of his adult life battling to win acceptance for his revolutionary concept from Soviet academic and economic bureaucracies, the value of linear programming to Soviet economic practices was not really recognized by his country's authorities until 1965, when Kantorovich was awarded a Lenin Prize for his work. International recognition came in October 1975, when the mathematician was awarded the Nobel Prize for Economics jointly with T. C. Koopmans, a Dutch-born American economist who discovered the same concept independently a few years after Kantorovich. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

9 2. Tko je bio Leonid Kantorovi ( )? In addition to his mathematical research, Kantorovich has been directly involved in developing improved designs for high-speed digital computers, an activity apparently motivated by the Soviet Union's need for improved computers in solving large economic planning problems. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

10 3. George Dantzig ( ) i simplex algoritam "Od Drugog svjetskog rata nitko nije utjecao na primjene matemati kih nauka vi²e od Georga Dantziga" rekao je Veinott. Podsjetimo se da prakti ne primjene esto koriste tisu e varijabli i desetke tisu a jednadºbi. Gotovo istovremeno s razvojem teorije linearnog programiranja do²lo je do eksplozije primjena, specijalno u industrijskom sektoru, i brzog razvoja ra unara i numeri kih metoda. Time su "Linearno programiranje i simpleks algoritam zajedno omogu ili da se ovje anstvo po prvi put bavi strukturom matemati kih modela i rje²ava komplicirane probleme alokacije objekata (Mukund Thapa)". Dantzig je formulirao simpleks algoritam dok je radio za ameri ku vojsku g. Bio je na tom poslu savjetnik za matematiku, radio je i u RAND Corp , a kasnije je bio profesor iz operacijskih istraºivanja na UC- Berkeley. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

11 3. George Dantzig ( ) i simplex algoritam Ideja simpleks algoritma geometrijski je jednostavnija od Kantorovi eve metode jer koristi samo elementarne transformacije na matricama. Do optimalnog vrha politopa dolazi se operacijama Jordanovog tipa na pro²irenim matricama sistema linearnih algebarskih jednadºbi (u ºargonu ameri ke vojske "programima"). U slu aju "degeneracije", npr. u modelima transporta, moze do i do "kruºenja algoritma" bez nalaºenja optimalnog rje²enja. Taj fenomen je rije²io Charnes u radu ²tampanom u asopisu Econometrics g. ime je zaokruºen dokaz konvergencije simpleks algoritma. Dantzig je dobitnik mnogih priznanja, kao lanstvo u Nacionalnoj akademiji nauka, Ameri koj akademiji inºenjera, Ameri koj akademiji znanosti i umjetnosti. Bio je predsjednik Instituta za Management Sciences, prvi predsjednik dru²tva za Matemati ko programiranje itd. Tako smo do²li do jo² jednog velikog, u okvirima ovog Seminara, moºda najvaºnijeg, matemati kog programera. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

12 4. Abraham (Abe) Charnes ( ) Abraham Charnes-ov nau ni rad moºe se opisati velikim brojem razli itih tipova optimizacije, svaki sa speci nim uvjetima optimalnosti i speci nim numeri kim metodama. Smatra se da je Charnes formulirao i sa svojim kolegama rije²io prvi nelinearni model u industriji mije²anja nafte s razli itim kemijskim specikacijama da bi dobio najjeftiniju prihvatljivu kombinaciju za kori²tenje odreženih tipova avionskih benzina. U knjizi "Systems and Management Science by Extremal Methods" izdanoj povodom njegovog 70. rožendana (Kluwer, 1992) njegovi radovi su podijeljeni u nekoliko velikih podru ja: linearno i nelinearno programiranje s probabilisti kim komponentama kao chance-constrained programming, complete characterizations of duality in nonconvex programming, goal and multi-objective programming, nove primjene u raznim menadºerskim situacijama, semi-innitno programiranje, procjene ekasnosti menadºera, data envelopment analysis (DEA) itd. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

13 4. Abraham (Abe) Charnes ( ) Samo u podru ju DEA troje lanova na²eg Seminara je izradilo doktorske disertacije na PMF i Ekonomskom fakultetu. Slijede e godine, voditelj Seminara Nerali, koji je s Charnesom i drugim kolegama objavio nekoliko zapaºenih radova iz DEA, organizira sekciju u Pragu u ast Charnesa i DEA. Barem jedan od u esnika u toj sekciji bit e Kenneth Kortanek kojemu je Charnes bio voditelj na doktoratu iz semi-innitnog programiranja. (To su programi s kona nim brojem varijabli i beskona nim brojem ograni enja.) Prvi mežunarodni simpozij iz tog podru ja organiziran je u Austinu Tom prilikom sastali su se ekonomisti, inºenjeri i matemati ari koji su radili u tom podru ju. Simpozij je podrºala Ameri ka akademija nauka. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

14 4. Abraham (Abe) Charnes ( ) Iz biograje: "In 1975 Charnes was shortlisted for the Nobel Prize in economics. In 1982 he was awarded (jointly with William Cooper and Richard Dun) the John von Neumann Theory Prize. In 2006 he received (jointly with William W. Cooper) the "INFORMS Impact Prize" and several other outstanding awards." Voditelji Seminara Marti i Nerali bili su kod Charnesa na studijskim boravcima. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

15 5. Quo Vadis Matemati ko programiranje? Matemati ko programiranje pokriva mnoga podru ja nauka koja se bave raznim aspektima optimizacije, tipi no pod nekim ograni enjima. U nekim situacijama metode matemati kog programiranja vode do teorijskih rezultata. Spomenimo samo dva, bez ulaºenja u detalje koji se mogu na i u literaturi. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

16 5. Quo Vadis Matemati ko programiranje? 1 Kako okarakterizirati to ku x u unutra²njosti kompaktnog konveksnog skupa K u kojoj je derivacija jednaka nuli? Odgovor slijedi: Za detalje i dokaz: J. Global Opt. 46 (2010) Kako okarakterizirati ksnu to ku f (x ) = x u unutra²njosti kompaktnog konveksnog skupa K u domeni neke Lipschitzove funkcije f (x)? Odgovor: Ova to ka x, i samo ova to ka, je apex (vrh) drežene klase kvadratnih parabola. Pogledati autorovu stranicu na Researchgate-u. Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

17 5. Quo Vadis Matemati ko programiranje? Ovi odgovori mogu imati neo ekivane interpretacije. Npr. karakterizacija stacionarne to ke x ne koristi diferencijalni ra un za f (x ) i ne treba rje²avati jednadzbu f (x ) = 0; vidjeti udºbenik Nerali - ego, Matematika (Element, Zagreb, etvrto izdanje). Numeri ke i prakti ne mogu nosti matemati kog programiranja su bezgrani ne. Nobelova nagrada iz ekonomije ove godine dodjeljena je za priloge "teoriji ugovaranja" ("contract theory"). Matemati ki grubo re eno, radi se o problemu optimalnog "lociranja ugovora". Seminara za MPiTI 17. studenog / 18

18 Hvala! Seminara za MPiTI 17. studenog / 18