Razvoj matematike. Vladimir Batagelj. Univerza v Ljubljani FMF, matematika. Zapiski, Ljubljana, 8. marec 2005

Transcription

1 Razvoj matematike in računalništva Grčija Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika Christine Tuveson: J. H. Conway s Cosmogram Zapiski, različica: 14. marec 2005 / 02 : 12

2 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 1 Kazalo 1 Sredozemlje Grčija Tales, pnš Pitagora, pnš Pitagorejci Pitagorejci pravilni petkotnik Pitagorejci sorazmerja Trije slavni antični problemi Števila Anaksagora iz Clazomene, pnš Hipokrat iz Hiosa, pnš Hipijas iz Elisa, pnš

3 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 2 18 Arhitas iz Tarenta, pnš Iracionalnost ne(so)izmerljivost Zenon iz Eleje, /425 pnš Demokrit iz Abdere, pnš Platon, pnš Evdoks iz Knida, pnš Menehmus ( pnš) in Dinostrat ( pnš) Aristotel ( pnš) in Aleksandrovo obdobje Viri

4 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 1 Sredozemlje V začetku prvega tisočletja pred n.š. se je začelo težišče razvoja seliti iz porečij na obale Sredozemlja (pomorski narodi: Feničani, Grki). Bronasta doba prehaja v železno. Zato je obdobje med 800 pred n.š. in 800 po n.š. poimenovano kot talaško obdobje (morski vek; talasa morje, val).

5 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 2 Grčija Grki (Heleni) so prišli v Sredozemlje v drugem tisočletju pred n.š. Od Feničanov so povzeli abecedo. Grki so bili pomorsko trgovski narod. Kot taki so prišli tudi v stik z matematiko in drugimi znanji, jih prevzeli in razdelali po svoje. Bili so zelo sprejemljivi za tuje dosežke in jih razvijali naprej.

6 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 3 Grčija Minojska kultura: Kreta, Mikene, Troja pnš do 700 pnš: Homer, prve Olimpijske igre (776 pnš) kolonizacija pnš denar (Feničani) 600pnš grško-perzijske vojne pnš Periklejevo obdobje, razcvet Aten pnš peloponeška vojna Atene Šparta pnš Aleksandrovo obdobje pnš

7 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 4 Grčija Prva znana starogrška matematika sta: Tales Spoznaj samega sebe. Milet Pitagora Vse je število. Samos Za njima ni ostalo nobenih neposrednih del, niti dokazov, da bi jih onadva ustvarila. Vendar jima kasnejši avtorji pripisujejo celo vrsto pomembnih odkritij.

8 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 5 Tales, pnš SVG Tales naj bi potoval po Egiptu in Mezopotamiji, kjer naj bi bil uveden v skrivnosti geometrije in astronomije. Tradicija ga omenja kot prvega od Sedmih modrih mož, učenca Egipčanov in Kaldejcev. Velja za prvega filozofa. Napovedal je sončni mrk leta 585. Talesov izrek: kot nad premerom je pravi kot. Baje naj bi ga dokazal prvi pravi matematik. To lastnost so poznali že Babilonci.

9 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 6 Pripisujejo mu še druge izreke: premer razpolavlja krog; Tales kota pri osnovnici v enakokrakem trikotniku sta enaka; nasprotna kota pri presečišču dveh premic sta enaka; če se trikotnika ujemata v stranici in priležnih kotih, sta enaka. V Egiptu je z uporabo sence izmeril višino piramide. Tales je prvi, ki mu pripisujejo matematična odkritja. Veliko matematičnega znanja je bilo znanega že tisoč let pred njim (Babilonci, Egipčani). Vendar je med Grki veljalo soglasje, da je naredil pomembne korake naprej (Prokl) prispeval je v organizaciji matematičnega znanja (logična odvisnost posameznih dejstev). O tem pred tem ni sledi.

10 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 7 Pitagora, pnš Nasprotno od Talesa, ki je bil poslovnež, je bil Pitagora prerok in mistik. Tudi on je popotoval po Egiptu in Mezopotamiji ter morda celo po Indiji. Poleg matematičnih in astronomskih znanj se je navzel tudi vzhodnjaških verskih vplivov (bil je sodobnik Bude, Konfucija in Lao Ceja). Po vrnitvi s potovanj se je naselil v Krotoni na jugovzhodni obali Italije (Magna Graecia). Tu je ustavil tajno združenje nekakšna komuna: znanje in lastnina je bila skupna, znanje tudi tajno. Dosežkov niso pripisovali posamezniku temveč šoli Pitagorejci.

11 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 8 Pitagorejci Pitagorejci so imeli strogo določena pravila vedenja. Bili so vegeterjanci selitev duš. Prepovedano jim je bilo jesti stročnice. Poudarjali so pomen filozofije in matematike kot vodilo življenja. Besedi filozofija in matematika naj bi skoval Pitagora. Baje naj bi imel dve vrsti predavanj: za pripadnike združenja in za širše občinstvo. Pitagorejci so utrdili pot v matematiko, ki jo je začrtal Tales. Njihov moto je bil Vse je število (najbrž babilonski vpliv). Ta pogled je osnova matematizacije znanosti. Vse je mogoče opisati s števili zakonitosti.

12 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 9 Pitagorejci vsota notranjih kotov trikotnika, večkotnika Pitagorov izrek (prevzet od Babiloncev, dokaz?) Aritmetika nad geometrijo oblike števil, trikotna števila 10, popolno število, vsota dimenzij zlati rez, pentagram razmerja, sredine (10 vrst), glasba vsaj tri od petih pravilnih teles dedukcija, dokazi iracionalna razmerja (skoraj gotovo ne Pitagora osebno, verjetno pa njegovi učenci, morda Hipas)

13 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 10 Pitagorejci pravilni petkotnik Zlati rez neskončna deljivost v tem razmerju Zlati rez

14 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 11 Pitagorejci sorazmerja Naj bodo a, b in c tri količine (npr. dolžine) in a < c. Že Babilonci so uvedli z razmerji b a c b = a a, b a c b = a b, aritmetično, geometrično in harmonično sredino. b a c b = a c Z razširitvijo desne strani še na in novimi razmerji b a c b = c a, b a c b = b a, b a c b = c b c a b a = c a, c a c b = c a, so vpeljali še sedem novih sredin. c a b a = b a, c a c b = b a

15 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 12 Trije slavni antični problemi Konstrukcija s šestilom in ravnilom kvadratura kroga določitev danemu krogu ploščinsko enakega kvadrata podvojitev kocke tretjinjenja (trisekcija) poljubnega kota Točna rešitev, ne približki. Problem sam zase. Praktične rešitve so seveda obstajale. Dokaz, da niso rešljivi, šele v 19. stoletju.

16 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 13 Števila Dva zapisa. Atiški podoben rimskemu in jonski, abecedni (črkovni) zapis, znaki za 1, 2,... 9, 10, 20,... 90, 100, 200, : 27 črk (24 pravih in 3 stare). Greek Numbers and Numerals

17 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 14 Abecedni (črkovni) zapis števil

18 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 15 Anaksagora iz Clazomene, pnš Clazomena v bližini Smirne filozof: nous (ideja) uredi svet, ki je nastal iz vrtinca; zaprt zaradi nespoštovanja sončnega božanstva (velik razžarjen kamen) prvič omenjen problem kvadrature kroga

19 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 16 Hipokrat iz Hiosa, pnš ni Hipokrat iz Kosa, ki je zdravnik Izrek: ploščina podobnih krožnih odsekov je v sorazmerju kvadratov njihovih osnov. Dokaz ni znan, baje pa je imel dokaz. Prvi izrek o krivih objektih. Prva stroga trditev o ploščinah krivo omejenih likov: kvadratura polmeseca. Dvogeometrijska sredina: geometrijska: a : x = x : b dvogeometrijska: a : x = x : y = y : b (problem podvojitve kocke b = 2a)

20 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 17 Hipijas iz Elisa, pnš Sofist, komercialni učitelj (drugače kot pitagorejci) krivulja trisektrisa (tretjinčnica) ali kvadratrisa π R sin ϕ = 2 a ϕ SVG je rešitev tretjinjenja kota

21 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 18 Arhitas iz Tarenta, pnš Arhitas je bil Filolajev učenec; ta je bil Pitagorejec po uničenju šole sta prva smela zapisovati 3D rešitev podvojitve kocke: stožca, valja in svitka (torusa) presek Verjetno je Arhitas vir večine vsebine 8. knjige Elementov matematični kvadrivij: aritmetika, geometrija, glasba in astronomija

22 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 19 Iracionalna razmerja Iracionalnost ne(so)izmerljivost npr. stranica in diagonala kvadrata, zlati rez odkritje: pozna pitagorejska šola, morda Hipas iz Metaponta (ali Krotona) odkritje morda z neskončnimi podobnostmi (npr. pentagram) začetek konca pitagorejske doktrine, da je število vse (numerični atomizem) 2 = p q, kjer sta p in q tuji števili. Tedaj je p2 = 2q 2. Torej mora biti p sodo število, p = 2u, in dalje q 2 = 2u 2. Tudi q mora biti sod, q = 2v protislovje!

23 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 20 Zenon iz Eleje, /425 pnš Paradoksi (zveznost in diskretnost prostora in časa) Dihotomija: preden se premaknem do a, se moram premakniti do a/2, preden...; dotakniti se moram neskončnega števila točk v končnem času Ahil: Ahil lovi želvo s prednostjo, ko preteče prednost, se je želva že malo premaknila, ko... Puščica: objekt v letu vedno zaseda prostor enak njegovi obliki; tisto, kar vedno zaseda prostor enak svoji obliki, se ne premika Stanje: Kvant časa, Aji stojijo, Bji desno, Cji levo. V enem kvantu se premaknejo Bji in Cji za ena glede na A. Toda Bji in Cji se med samo premaknejo za dva, torej kvant ni najmanjši mogoč. Trivij: slovnica, govorništvo in dialektika. Trivij + kvadrivij = sedem svobodnih ved.

24 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 21 Demokrit iz Abdere, pnš atomizem baje dokaz prostornine piramide in stožca začetki infinitezimalnega (?) nekateri trdijo, da zaradi atomizma ni zmogel infinitezimalnega

25 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 22 Platon, pnš Sokratov učenec (Sokrat sicer bolj škodljiv kot koristen za matematiko) Platonova šola v Atenah - center matematike četrtega stoletja 400pnš - 322pnš sam Platon v tehničnem smislu ni prispeval k matematiki navdušen nad matematiko (verjetno ga je navdušil Arhitas na Siciliji) pomemben zaradi spodbujanja in vodenja platonska števila 60 4, 7! (prebivalci idealne države) čista matematika (modeli v geometriji so umazani) svet idej analitična metoda (pedagoško primernejša), formalizacija, imenovanje

26 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 23 Pet popolnih (Platonskih) teles vsaj tri poznali že pitagorejci Platonska telesa osmerec in dvajseterec, dokaz: Theaeteus (Platonov prijatelj, zgodaj umrl) nesoizmerljivost v dolžini in v ploščini Platon jih je gledal kot sestavljene iz trikotnikov Mathworld: Platonic Solids

27 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 24 Evdoks iz Knida, pnš astronom, postavil osnove Ptolomejevega sistema Zemlja v sredini enakost razmerij: samo razmerja enakih stvari (dolžin, ploščin,...) a/b = c/d za poljubne cele m, n velja 1. m a < n b m c < n d ali 2. m a = n b m c = n d ali 3. m a > n b m c > n d v 19. stoletju uporabil Dedekind za realna števila križnega množenja ne moremo delati zaradi potencialno različnih enot (a,b) in (c,d) Arhimedov aksiom o zveznosti: če imamo dve količini z razmerjem (torej 0), potem lahko eno celoštevilsko pomnožimo tolikokrat, da dobimo več od druge. Posledica: z razpolavljanjem neke količine lahko pridemo pod katerokoli količino. dokaz, da sta ploščini krogov v razmerju kvadartov njunih premerov; metoda izčrpavanja. Aristotel (planeti), 5. knjiga Elementov, Arhimed, Dedekind, Weierstrass,...

28 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 25 Menehmus ( pnš) in Dinostrat ( pnš) Menehmus in Dinostrat iz Alopekoneza sta bila brata in Eudoksova učenca Menehmus: Odkritje stožnic kot krivulj v zvezi s podvojitvijo kocke Skoraj koordinatni sistem Grki niso poznali/uporabljali enačb krivulj Učil Aleksandara ( ni kraljevske poti v matematiko ) Dinostratus geometrijski dokaz, da trisektrisa konvergira k 2a π ko ϕ 0

29 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 26 Aristotel ( pnš) in Aleksandrovo obdobje Aristotel (Platonov učenec, Aleksandrov učitelj) predvsem filozof in biolog najbolj širok učenjak vseh časov na tekočem z matematiko aksiomatski sistem, definicije, aksiomi in postulati (Organon) Po Aleksandrovi smrti (323 pnš) se center matematike preseli v Aleksandrijo.

30 V. Batagelj: Razvoj matematike in računalništva / Grčija 27 Viri 1. Pythagorean Theorem and its many proofs 2. Pythagoras and the Pythagoreans 3. Thales, Fragments and Commentary 4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book. Penguin Books, Harmondsworth, Zenon 6. Nuremberg chronicle