Sinteza parametara regulatora slijednih sustava primjenom metoda Ziegler- Nicholsa

Transcription

1 Sinteza paametaa egulatoa slijednih sustava pimjenom metoda Ziegle- Nicholsa Peta Cnošija, Bois Bošnjak, Toni Bjažić Fakultet elektotehnike i ačunastva Unska 3, HR- Zageb, Hvatska Tel.: ; Faks: 69 89; peta.cnosija@fe.h Sažetak - Za pojektianje paametaa egulatoa industijskih postojenja najviše se pimjenjuju sljedeće metode: ekspeimentalne, položaj polova i nula, fekvencijske i optimianje paametaa. Od ekspeimentalnih metoda najviše se koisti Ziegle-Nicholsove metode: uba stabilnosti i pijelazne funkcije. Tim se metodama paameti egulatoa odeđuju pema ganičnom pojačanju i peiodu oscilacija na ganici stabilnosti sustava s popocionalnim egulatoom ili na temelju apoksimacije ponašanja pocesa pijenosnom funkcijom s mtvim vemenom i jednom vemenskom konstantom. Metode Ziegle-Nicholsa pimijenjene su za odeđivanje paametaa egulatoa bzine vtnje sustava s istosmjenim stojem s pemanentnim magnetima na otou. Obje metode daju paamete egulatoa, kojima se postiže elativno veliko nadvišenje odziva na pomjenu efeentne veličine. Rezultati sinteze paametaa Ziegle-Nicholsovim metodama uspoeđeni s ezultatima sinteze uz kompenzaciju naveće vemenske konstante sustava. Ziegle-Nicholsovom metodom pijelazne funkcije, uz dodatak filtea na ulaz sustava, postiže se odziv s istim nadvišenjem u odnosu na pomjenu efeentne veličine, te vemenski bža i po iznosu bolja kompenzacija djelovanja poemećajne veličine, nego kompenzacijom najveće vemenske konstante u petlji. I. UVOD Metode pojektianja paametaa egulatoa mogu se podijeliti na: ekspeimentalne, analitičke, fekvencijske, položaja koijena (polova i nula) i optimianje paametaa. Od ekspeimentalnih metoda najviše se koiste metode Ziegle-Nicholsa. Vlo često u paksi pimjenjivani postupci odeđivanja paametaa egulatoa pocesa s izaženim mtvim vemenom temeljeni su na empiijskim istaživanjima Zieglea i Nicholsa. Na aspolaganju su dvije metode [,, 7]: uba stabilnosti i pijelazne funkcije. Analitičke metode mogu se pimijeniti na pocese nižeg eda. Tako se za poces pvog eda može analitičkim postupkom izvesti elacije za odeđivanje paametaa PI egulatoa, kojima se polovi zatvoenog sustava postavljaju u zadani položaj [], tj. kojima se postiže zadano ponašanje zatvoenog sustava: nadvišenje σ m i vijeme maksimuma odziva t m. Za pocese dugog i višeg eda potebno je pimijeniti složenije egulatoe, koji imaju boj paametaa jednak boju paametaa pocesa, da bi se polovi zatvoenog sustava postavili u zadani položaj. Pema tome, za pocese dugog i višeg eda nije moguće analitički odediti paamete PI egulatoa, kojima bi se polovi zatvoenog sustava podesili u zadani položaj. Za sustave dugog i višeg eda pogodno je koistiti fekvencijske metode, metodu dominantnih polova i metode optimianja paametaa PI egulatoa uz azličite kiteije optimianja. Od fekvencijskih metoda najviše se pimjenjuje Bodeov pikaz amplitudno-fekvencijske i fazno-fekvencijske kaakteistike. Razvijen je postupak odeđivanja paametaa egulatoa slijednog sustava pimjenom Bodeovog pikaza fekvencijskih kaakteistika, kojim se postiže vemenski bža i po iznosu bolja kompenzacija djelovanja poemećajne veličine (momenta teeta) na bzinu vtnje, u odnosu na standadno (klasično) pojektianje egulatoa, te zadano nadvišenje odziva bzine vtnje u odnosu na pomjenu efeentne veličine [3]. Metoda položaja kojena, odnosno polova i nula pijenosne funkcije zatvoenog sustava, koja sadži poces višeg eda i PI egulato, temelji se na položaju dominantnih polova i u liteatui je opisana načelno []. Od metoda optimianja paametaa najviše se koisti gadijentna i simpleks metoda te azličiti kiteiji optimianja paametaa egulatoa. Optimianjem paametaa egulatoa slijednog sustava uz koištenje integalnih kiteija pogeške odziva slijednog sustava u odnosu na idealni odziv sustava može se postići zadano nadvišenje odziva sustava. No međutim, u tom se slučaju za integalnu vemensku konstantu egulatoa dobije znatno veća vijednost od najveće vemenske konstante slijednog sustava, što nije povoljno za bzu kompenzaciju djelovanja poemećajne veličine (momenta teeta). Razađen je postupak dobivanja optimalnih vijednosti paametaa egulatoa slijednog sustava uz pimijenu efeentnog modela za geneianje zadanog ponašanja slijednog sustava, kojim se optimalno (vemenski najbže i po iznosu najbolje) kompenzia djelovanje momenta teeta (poemećajne veličine), te postiže zadano ponašanje slijednog sustava u odnosu na pomjenu efeentne veličine [4]. Pogamski paket Matlab omogućava pojektianje paametaa egulatoa pema: Ziegle-Nicholsovoj metodi, metodi dominantnih polova pijenosne funkcije zatvoenog sustava, Bodeovom pikazu fekvencijskih kaakteistika otvoenog sustava te metodama optimianja paametaa uz koištenje efeentnog modela i pema pokazateljima kvalitete upavljanja. U ovom su adu za odeđivanje paametaa PI egulatoa slijednog sustava s istosmjenim beskolektoskim motoom pimijenjene metode Ziegle-Nicholsa. II. POSTUPCI ODREĐIVANJA PARAMETARA REGULATORA METODAMA ZIEGLER- NICHOLSA Vlo često u paksi pimjenjivani postupci odeđivanja paametaa egulatoa pocesa s izaženim mtvim vemenom temeljeni su na empiijskim istaživanjima

2 Zieglea i Nicholsa. Na aspolaganju su dvije metode [,, 7]: uba stabilnosti i pijelazne funkcije. A. Odeđivanje paametaa egulatoa Ziegle- Nicholsovom metodom uba stabilnosti Metoda uba stabilnosti zastupljena je u azličitim vstama simulacija egulacijskih sustava, kao i u postojenjima gdje nije opasno dovoditi egulacijske sustave do uba stabilnosti. Postupak odeđivanja paametaa egulatoa ovom metodom je sljedeći [,, 7]: standadnom egulatou odabee se samo popocionalno (P) djelovanje (isključuje se integalna (I) komponenta),. pojačanje egulatoa R se povećava do ganične vijednosti Rg, za koju se u zatvoenom egulacijskom sustavu poizvedu tajne oscilacije konstante amplitude,. odeđuje se iznos peiode oscilacija na ganici stabilnosti T g, 3. odeđuju se paameti egulatoa (P, PI i PID) iz ganičnog koeficijenta pojačanja egulatoa Rg i peioda ganičnih oscilacija T g, pema elacijama danim u Tablici. B. Odeđivanje paametaa egulatoa Ziegle- Nicholsovom metodom pijelazne funkcije U industijskim postojenjima, koja nije moguće dovoditi do uba stabilnosti često se koisti metoda pijelazne funkcije, odnosno odziva pocesa na skokovitu pomjenu ulazne veličine u poces. Snimanje pijelazne funkcije pocesa h p (t) često je dopušteno i dostupno bez većih poteškoća. Ponašanje nekog pocesa s izaženim mtvim vemenom može se dobo apoksimiati popocionalnim (P) ponašanjem s jednom vemenskom konstantom (T ) i mtvim vemenom (T mv ), tj. PT T mv članom: p T s mv G ( s) = e, () p + T s gdje je: p - koeficijent pojačanja pocesa, T mv - mtvo vijeme, T - vemenska konstanta. Pi tome se iz pijelazne funkcije pocesa h p (t) odeđuju ti veličine, koje su odeđene tangentom u točki infleksije (Sl..): TABLICA I VRIJEDNOSTI PARAMETARA REGULATORA PREMA ZIEGLER-NICHOLSOVOJ METODI RUBA STABILNOSTI h p (t) p.63 p t z W t a pijelazna funkcija pocesa h p (t) apoksimacija PT T mv Sl.. Apoksimacija odziva pocesa s PT T mv članom koištenjem tangente u točki infleksije. p - koeficijent pojačanja pocesa, t a - vijeme poasta i t z - vijeme zadžanja. Relativno doba apoksimacija odziva pocesa h p (t) dobije se ako se za ekvivalentno mtvo vijeme T mv odabee da je jednako vemenu zadžavanja t z, a za ekvivalentnu vemensku konstantu T da je jednaka vemenu poasta t a : T = t ; T = t. () mv z a Duga je mogućnost odabia paametaa PT T mv člana da se za vijeme poasta t a, odnosno vemensku konstantu T, te vijeme zadžanja t z, odnosno mtvo vijeme T mv, odabeu odsječci apscisne osi koje odeđuje pavac koji siječe os % i % vijednosti pijelazne funkcije pocesa u točkama gdje pijelazna funkcija popima % i 63% konačne vijednosti. Relacije za odeđivanje paametaa egulatoa pema vemenu zadžavanja t z, odnosno ekvivalentnom mtvom vemenu T mv i vemenu poasta t a, odnosno ekvivalentnoj vemenskoj konstanti T, dane su u Tablici II [,, 7]. oeficijent a u Tablici II pedstavlja odsječak, koji na negativnoj odinatnoj osi tvoi tangenta odziva pocesa (Sl..), a odeđen je paametima odziva pocesa pema elaciji: TABLICA II VRIJEDNOSTI PARAMETARA REGULATORA PREMA ZIEGLER-NICHOLSOVOJ METODI PRIJELAZNE FUNCIJE t Tip egulatoa Vijednosti paametaa egulatoa R T I T D Tip egulatoa Vijednosti paametaa egulatoa R T I T D P.5 Rg - - PI.4 Rg.8T g - PID.6 Rg.5T g.5t g P /a - - PI.9/a 3 t z - PID./a t z.5 t z

3 a = t / t = T / T. (3) p z a p mv Metode Ziegle-Nicholsa su pibližne metode za odeđivanje paametaa egulatoa. To znači da dobiveni odziv s obziom na pomjenu efeentne kao i poemećajne veličine pibližno zadovoljava taženu kvalitetu upavljanja. Stoga se često u paksi ove metoda koiste za dobivanje početnih vijednosti paametaa egulatoa koje je potebno koigiati ili optimiati na ačunalu koisteći azličite kiteije kvalitete odziva. III. ODREĐIVANJE PARAMETARA SLIJEDNOG SUSTAVA METODAMA ZIEGLER-NICHOLSA Blokovska shema slijednog sustava s istosmjenim motoom s pemanentnim magnetima na otou i PI egulatoima stuje i bzine vtnje pikazana je na Sl.. Paameti elemenata sustava imaju sljedeće vijednosti: nominalne (u indeksu n) i maksimalne (u indeksu max) vijednosti paametaa istosmjenog elektomotonog pogona s pemanentnim magnetima na otou, paametaa tanzistoskog pojačala (U s - napon napajanja čopea), paametaa članova povatnih veza stuje amatue i bzine vtnje, te paametaa PI egulatoa stuje amatue i bzine vtnje: n n = 4 o/min; L a =.44 mh; P n = 373 W (.5 ks); J =. kgm ; M n =.89 Nm; B t =.5 Nms; U n = 4 V; T t = J/B t = 94. ms; I n = 7.35 A; b =.597 Vs; I max = I n = 34.7 A; U s = 6 V; M max = M n =.78 Nm; = 6 V/V; R a =.4 Ω; T = 5 µs; c =.88 V/A; ω =.387 Vs; T c =.59 ms; T ω = ms; pi =? V/V; pω =? V/V; T ii = T a = L a /R a =.743 ms. T iω =? s; Paameti PI egulatoa stuje amatue odeđeni su pimjenom Bodeovog pikaza fekvencijskih kaakteistika uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji [3], te uz koekciju koeficijenta pojačanja simulianjem na ačunalu da se postigne nadvišenje odziva σ mi =5%, te iznose: T ii =T a =.743 ms; ii =.5. (4) Uz paamete PI egulatoa amatune stuje (4) iz Bodeovog pilaza amplitudno fekvencijske kaakteistike otvoenog sustava dobije se amplitudno fekvencijska kaakteistika i pijenosna funkcija zatvoenog sustava [3]: I ( s) as zi =, (5) I s T s + as ( ) gdje je: zi = / c =/.88 = 3.47, T zi = /ω ci = / s - =.454 ms. Uz pijenosnu funkciju (5) pijenosna funkcija otvoenog kuga bzine vtnje bez egulatoa ima oblik (Sl..): Ω ( s) m p G ( s) = = = p I ( s) ( T s + )( T s + )( T s + ) as zi t ω (6) = s +.94s +.s + ( )( )( ) gdje je: p = zi b ω t ; t = /B t ; T t = J/B t. Paameti PI egulatoa bzine vtnje odeđeni su pema Ziegle-Nicholsovim metodama uba stabilnosti i pijelazne funkcije. A. Odeđivanje paametaa egulatoa bzine vtnje Ziegle-Nicholsovom metodom uba stabilnosti Simulianjem slijednog sustava (Sl..) na ačunalu dobivena je ganična (kitična) vijednost pojačanja pema Ziegle Nichols metodi uba stabilnosti: =68.8, a zi pω peiod oscilacija iznosi: T g =.353s. Pema Tablici I. za paamete PI egulatoa bzine vtnje (Sl..) dobije se: pω = ; T iω =.35 s. (7) Paameti egulatoa bzine vtnje odeđeni pimjenom Bodeovog pikaza fekvencijskih kaakteistika uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji [3], te uz koekciju koeficijenta pojačanja simulianjem na Ω I as pω ( + ) + T s + - iω - pi I am c T s + c U c U is I a as M ( + ) Tii s T s + + Ta s + b Js Ω m M t B t E b Ω m T s ω + ω Sl.. Blokovska shema kaskadnog sustava egulacije s istosmjenim motoom s pemanentnim magnetima na otou.

4 ačunalu da se postigne nadvišenje odziva σ mi =%, iznose: pω = 4.67; T iω =.94 s. (8) oeficijent pojačanja egulatoa odeđen metodom Ziegle-Nicholsa (7) oko 3 puta je veći od koeficijenta pojačanja odeđenog kompenzacijom najveće vemenske konstante u petlji (8), a integalna vemenska konstanta znatno je manja. Na Sl. 3. pikazana je uspoedba odziva bzine vtnje na pomjenu efeence.s( t) Ω = (slika.), pomjenu nominalnog momenta teeta M t =.89S(t) (slika.) i odziv stuje amatue na pomjenu efeence Ω =.S( t) (slika 3.), uz paamete egulatoa odeđene pema Ziegle- Nicholsovoj metodi uba stabilnosti (7) i uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji (8). Iz odziva bzine vtnje na pomjenu efeentne vijednosti (slika.) vidljivo je da nadvišenje odziva za paamete odeđene metodom Ziegle-Nicholsa ima veoma veliku vijednost: σ mω.%. No međutim, djelovanje momenta teeta na bzinu vtnje (slika ) znatno bže i bolje je kompenziano u slučaju paametaa egulatoa odeđenih metodom Ziegle- Nicholsa, nego metodom kompenzacije najveće vemenske konstante u petlji. oigiani koeficijent pojačanja egulatoa bzine vtnje za nadvišenje σ m =5% dobiven je optimianjem i iznosi: pω =.74. Vijednost koigianog koeficijenta pojačanja znatno je manja od vijednosti tog koeficijenta dobivene metodom Ziegle-Nicholsa (7) i kompenzacijom najveće vemenske konstante u petlji (8), pa će s tim koeficijentom pojačanja odziv bzine vtnje na pomjenu efeentne vijednosti biti znatno spoiji, a pomjena bzine vtnje na pomjenu momenta teeta znatno lošije kompenziana. ω m ω m i as [A] pω = T iω =.35s. pω =4.67 T iω =.94s t[s] Sl. 3. Odzivi mjeene bzine vtnje )T m na pomjenu efeentne veličine (slika.) i nominalnog momenta teeta (slika.), te stuje amatue i as na pomjenu efeentne veličine (slika 3.) uz paamete egulatoa odeđene: - Ziegle-Nicholsovom metodom uba stabilnosti, -kompenzacijom najveće vemenske konstante. B. Odeđivanje paametaa egulatoa bzine vtnje Ziegle-Nicholsovom metodom pijelazne funkcije Pijenosna funkcija otvoenog kuga bzine vtnje bez egulatoa dana je elacijom (6). Ako se pema Ziegle- Nicholsovoj metodi pijelazne funkcije odabee da je : T = T T = T + T, (9) i t mv ω zi tada pema elacijama danim u Tablici II. slijede paameti egulatoa bzine vtnje: = 3.8 i T = ms. () pω iω Na sl. 4. pikazana je uspoedba odziva bzine vtnje (. slika) na pomjenu efeence.s( t) Ω = i pomjenu momenta teeta M t =.89S(t) (. slika), te odziv stuje amatue na pomjenu efeence Ω =.S( t) (3. slika), uz paamete egulatoa odeđene kompenzacijom najveće vemenske konstante (8) i pema Ziegle-Nicholsovoj metodi pijelazne funkcije (). Iz. slike je vidljivo da se djelovanje momenta teeta na bzinu vtnje znatno bže i nešto bolje kompenzia odeđivenjem paametaa egulatoa bzine vtnje pema Ziegle-Nicholsovoj metodi pijelazne funkcije, nego uz kompenzaciju najveće vemenske konstante. Iz. slike je vidljivo da nadvišenje odziva bzine vtnje iznosi σ m =5%. Da bi se dobilo nadvišenje odziva bzine vtnje kao i u slučaju kompenzacije najveće vemenske konstante σ m =%, potebno je na ulaz sustava dodati filte s vemenskom konstantom T f =.35 s. Na Sl. 5. pikazana je uspoedba odziva bzine vtnje (. slika) na pomjenu efeence.s( t) Ω = i pomjenu momenta teeta M t =.89S(t) (. slika), te odziv stuje amatue na pomjenu efeence Ω =.S( t) (3. slika), uz paamete egulatoa odeđene kompenzacijom najveće vemenske konstante (8) i pema Ziegle-Nicholsovoj metodi pijelazne funkcije () i dodatnim filteom na ulazu sustava (T f =.35 s). ω m ω m i as [A] pω =3.8 T iω =.4836s. pω =4.67 T iω =.94s t[s] Sl. 4. Odzivi mjeene bzine vtnje )T m na pomjenu efeentne veličine (. slika) i nominalnog momenta teeta (. slika), te stuje amatue i as na pomjenu efeentne veličine (3. slika) uz paamete egulatoa odeđene: -Ziegle-Nicholsovom metodom pijelazne funkcije, -kompenzacijom najveće vemenske konstante.

5 ω m ω m... pω =3.8 T iω =.4836s. pω =4.67 T iω =.94s Iz Sl. 5. i Tablice III je vidljivo da se dodavanjem filtea na ulaz sustava dobije nadvišenje odziva σ m =%, ali odziv bzine vtnje postaje spoiji, tj. vijeme maksimuma odziva t m je veće nego u slučaju kompenzacije najveće vemenske konstante u petlji. IV. ZALJUČA i as [A] t[s] Sl. 5. Odzivi mjeene bzine vtnje )T m na pomjenu efeentne veličine (. slika) i nominalnog momenta teeta (.slika), te stuje amatue i as na pomjenu efeentne veličine (3. slika) uz paamete egulatoa odeđene: -Ziegle-Nicholsovom metodom pijelazne funkcije i filte na ulazu sustava, -kompenzacijom najveće vemenske konstante. U Tablici III. pikazana je uspoedba nadvišenja σ m i vemena maksimuma odziva mjeene bzine vtnje t m za paamete egulatoa odeđenih pema metodi pijelazne funkcije () i uz kompenzaciju najveće vemenske konstante (8). Takođe je dana i potebna vemenska konstanta filta pvog eda u gani efeentne vijednosti za postizanje nadvišenja σ m =%, te maksimalna vijednost popada mjeene bzine vtnje ( ω m ) m pi djelovanju nominalnog momenta teeta. TABLICA III IZNOSI NADVIŠENJA ODZIVA MJERENE BRZINE VRTNJE σ m, VREMENA MASIMUMA ODZIVA t m, MASIMALNE VRIJEDNOSTI PROPADA MJERENE BRZINE VRTNJE ( ω m ) m, UZ PARAMETRE REGULATORA ODREĐEN PREMA: -ZIEGLER-NICHOLSOVOJ METODI PRIJELAZNE FUNCIJE, -OMPENZACIJI NAJVEĆE VREMENSE ONSTANTE. Ti ω [ ms] p ω = 3.8 σ m [%] t m [ms] ( ω m ) m [%] = 3.8; T =.348 s pω f p ω = Metode pojektianja paametaa egulatoa mogu se podijeliti na: ekspeimentalne, analitičke, fekvencijske, položaja koijena (polova i nula) i optimianje paametaa. Od ekspeimentalnih metoda najviše se koiste Ziegle- Nicholsove metode: uba stabilnosti i pijelazne funkcije. U ovom je adu opisan postupaka odeđivanja paametaa egulatoa Ziegle-Nicholsovim metodama uba stabilnosti i pijelazne funkcije. Obje metode pimijenjene su za odeđivanje paametaa egulatoa bzine vtnje pogona s istosmjenim motoom s pemanentnim magnetima na otou. Ziegle-Nicholsovom metodom uba stabilnosti dobiju se vijednosti paametaa egulatoa, kojima se vemenski znatno bže i po iznosu bolje kompenzia djelovanje momenta teeta (poemećajne veličine) na bzinu vtnje (egulianu veličinu), nego odeđivanjem paametaa egulatoa uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji. No međutim, odziv bzine vtnje na pomjenu efeentne veličine ima veoma veliko nadvišenje (σ m.%). Da bi se postiglo nadvišenje odziva σ m =5% potebno je koeficijent pojačanja egulatoa znatno smanjiti, čime se postiže znatno spoiji odziv na pomjenu efeentne veličine i znatno lošija kompenzacija djelovanja momenta teeta, nego odeđivanjem paametaa egulatoa uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji. Ziegle-Nicholsovom metodom pijelazne funkcije dobiju se vijednosti paametaa egulatoa, kojima se vemenski znatno bže i po iznosu bolje kompenzia djelovanje momenta teeta (poemećajne veličine) na bzinu vtnje (egulianu veličinu), nego odeđivanjem paametaa egulatoa uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji. Odziv bzine vtnje na pomjenu efeentne veličine ima nadvišenje σ m.5%. Da bi se postiglo nadvišenje odziva σ m =% potebno je na ulaz sustava dodati filte pvog eda. Time se postiže nešto spoiji odziv na pomjenu efeentne veličine, ali znatno bža i po iznosu bolja kompenzacija djelovanja momenta teeta, nego odeđivanjem paametaa egulatoa uz kompenzaciju najveće vemenske konstante u petlji. Dobiveni ezultati pokazuju da pimjena metode uba stabilnosti Ziegle-Nicholsa ne daje bolje ezultate od metode kompenzacije najveće vemenske konstante u petlji. Pimjenom metode pijelazne funkcije Ziegle- Nicholsa, uz dodatni filte na ulazu sustava, može se postići vemenski bža i po iznosu bolja kompenzacija djelovanja poemećajne veličine, te zadano nadvišenje odziva, ali vemenski spoiji odziv na pomjenu efeentne veličine, nego metodom kompenzacije najveće vemenske konstante u petlji.

6 Postignuti ezultati pimjene metoda Ziegle-Nicholsa omogućit će daljnju modifikaciju postupka sinteze paametaa egulatoa, kojima će se postići zadano nadvišenje i bzina odziva na pomjenu efeentne veličina, te vemenski bža i po iznosu bolja kompenzacija djelovanja poemećajne veličine, nego metodom kompenzacije najveće vemenske konstante u petlji. V. LITERATURA []. J. Åstöm and T. Hägglund, Automatic Tuning of PID Contolles, Instument Society of Ameica, Reseach Tiangle Pak, Noth Caolina, 988. [] A. B. Coipio, Tuning of Industial Contol Systems, Instument Society of Ameica, Reseach Tiangle Pak, Noth Caolina, 99. [3] P. Cnošija, Ž. Ban, R. ishnan, Oveshoot Contolled Sevo System Synthesis Using Bode Plot and its Application to PM Bushless DC Moto Dive, Intenational Wokshop on Advance Motion Contol, pp , Maibo,. [4] P. Cnosija, T. Bjazic, R. ishnan, Optimization of PM Bushless DC Moto Dive, Intenational Confeence on Industial Technology, pp , Maibo, 3. [5] R. ishnan, Pemanent Magnet Synchonous and Bushless DC moto Dives: Theoy, Opeation, Pefomance, Modeling, Simulation, Analysis and Design, Pat 3: Pemanent Magnet Bushless DC Machines and Thei Contol, R. ishnan, Viginia Tech, Blacksbug,. [6] R. ishnan, Electic Moto Dives; Modeling, Analysis, and Contol, Pentice Hall, New Jesey,. [7] The Contol Handbook, Ed. W. S. Levine, CCR Pess, 995.