3. FORŢE SI MOMENTE Caracterul de vector alunecător al forţei aplicată unui rigid. 3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct

Size: px

Start display at page:

Download "3. FORŢE SI MOMENTE Caracterul de vector alunecător al forţei aplicată unui rigid. 3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct"

Beverly Mosley
6 years ago
Views:

1 3. oţe ş momete 3. ŢE SI ENTE 3.. Caactel de vecto alecăto al foţe aplcată gd g. 3. Se cosdeă î fga 3.a o foţă acţoâd pe spotl ( ), î pctl A aspa gdl (C). Se admte că doa foţe egale î modl, c acelaş spot ş ses cota ce acţoeaă aspa gd a efect l aspa acesta ş ca mae pot f todse sa spmate. Ît- pct oaecae B de pe spotl foţe se plaseaă doă fote s egale î modl ş de ses cota (fg.3.b). Ssteml ţal fomat doa dt-o sgă foţă se tasfomă t-l echvalet fomat d te foţe. Se spmă foţa aplcată A ş foţa aplcată î B, obţâd-se sstem echvalet fomat dt-o sgă fotă aplcată î B (fg.3..c). Compaăd fgle 3.c ş 3.a se costată că foţa ae acelaş efect fe că este aplcată î A fe că este aplcată î B. De ac cocla ca foţa cae acţoeaă aspa gd ae caacte de vecto alecăto. 3. ometl e foţe î apot c pct Î fga 3. o foţă acţoeaă î pctl A aspa sold gd (C). e pct al acesta. Se meşte momet al foţe î apot c pctl sa mometl pola al foţe faţă de vecto c pctl de aplcaţe î egal c podsl vectoal dte vectol de poţe al pctl de aplcaţe al foţe î apot c ş foţa dată: 3 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

2 odll mometl pola este: Statca ( ) (3.) ( ) s α s α d, (3.) adcă modll mometl pola este egal c podsl modll foţe ş baţl foţe (dstaţa de la pctl la spotl foţe). g. 3. D elaţle (3.) s (3.) eltă: a) Vectol momet pola este plasat pe omala î pol la plal detemat de pe spotl foţe ş pol, avâd sesl cel de îatae al şb dept ott î sesl î cae foţa tde să otească gdl î jl aceste omale. b) aţă de oce pct de pe spotl foţe mometl e este l. c) ometl pola este vaat la alecae foţe pe spotl sa ş fată de pctele state pe o paalelă la deapta spot. Alegâd sstem de efeţă legat de cop c ogea î pol ş otâd c,,, compoetele cateee ale mometl pola, c,, coodoatele pctl de aplcaţe al foţe ş c,, compoetele cateee ale foţe î acest epe, elaţa (3.) poate f scsă devoltat: + j + k, (3.3) j k 3 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

3 3. oţe ş momete de de, p detfcaea coefceţlo vesolo dedcem poecţle mometl pola: ; ; (3.4) ş î cotae valoaea l: ( ) + + (3.5) etaea vectol momet pola este dată de cossle dectoae: < (, ) ; cos < (, ) ; (, ) cos 3.3. ometl e foţe î apot c o aă cos < (3.6) Î aceeaş fgă 3. ma este epeetată o aă ( ) cae tece p poll ş vesol aceste ae. Se meşte momet al foţe î apot c aa ( ) sa momet aal al fote faţă de aa ( ) poecţa pe aă a mometl foţe calclat î apot c pct oaecae de pe aa. Î cal de faţă: ( ) ( ) cos α (3.7) ( ) ( ) (,, ) (3.8) Aşada, mometl e foţe î apot c o aă se poate epma p podsl mt dte vectol de poţe al pctl de aplcaţe al foţe, vectol foţă ş vesol ae. D elaţle de defţe eltă: a) Alegeea pctl de pe aă faţă de cae se calcleaă mometl este abtaă; b) Valoaea mometl aal al e foţe se schmbă câd foţa se deplaseaă pe spotl să; c) ometl aal este l dacă spotl foţe ş aa st coplaae, adcă dacă st paalele sa cocete; Epesle (3.4) epetă mometele foţe î apot c aele epel. 33 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

4 Statca 3.4. Cpl de foţe g. 3.3 g. 3.4 Doă foţe paalele, egale î modl, avâd ses opse ş cae acţoeaă pe spot dfete fomeaă cpl de foţe (fg. 3.3). Cpll de foţe se epetă pt- vecto, mt mometl cpll, plasat pe omala la plal foţelo (plal cpll) ş djat î sesl de îatae al şbl dept ott î sesl î cae foţele td să otească gdl, avâd modll egal c podsl dte modll ea dte foţe ş baţl cpll (dstaţa dte spotle foţelo): d (3.9) Î fga 3.4 cpl de fote ş acţoeaă î pctele A, espectv B aspa gdl (C). Calclăm sma mometelo celo doa foţe î apot c pct al copl: ( ) + ( ) + ( ) ( ) BA A B A B (3.0) Îseamă că sma mometelo celo doă foţe depde de poţa pctl, este omală pe plal cpll ş ae modll: BA s α d (3.) D compaaea elaţlo (3.) ş (3.9) eltă că sma mometelo celo doa foţe este cha mometl cpll. 34 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

5 3. oţe ş momete 3.5. peaţ elemetae de echvaleţă Cele ma smple opeaţ aplcate sstemelo de foţe cae modfcă efectl lo mecac aspa soldl gd se mesc opeaţ elemetae de echvaleţă. Acestea st:. Deplasaea pctl de aplcaţe al foţe pe spotl e;. Itodceea sa spmaea a doa foţe egale avâd acelaş spot ş ses cota; 3. Îlocea a doă foţe cocete p eltata lo, cofom egl paalelogaml; 4. Descompeea e foţe dpă doă decţ cocete ş coplaae c spotl foţe î acelaş pct, dpă aceeaş eglă a paalelogaml; 5. Îlocea cpl de foţe c mometl cpll; 3.6. edceea sstem de foţe aplcate gd 3.6. Toso de edcee e sold gd otat c (C) sps acţ sstem de foţe ( ) aplcate î pctele A ( ) (fg.3.5a), poţoate faţă de. sstem de efeţă catea p vecto de pote ( ) g. 3.5 Se măeşte edceea ssteml de foţe, adcă îlocea l c cel ma smpl sstem posbl echvalet c cel ţal. 35 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

6 Statca Î acest scop aplcăm opeaţle de echvaleţa. Se plaseaă ît- pct oaecae al copl peechle de foţe ş ( ). Ssteml obţt (fg. 3.5b) este echvalet c cel ţal. Cplle de fote ş ( ) aplcate A ş espectv se îlocesc c mometele lo: (3.) Ssteml de 3 foţe d fg. 3.5b se tasfomă ît- sstem de vecto, vecto foţă aplcaţ î ş vecto momet aplcaţ tot (fg. 3.5c). Cele doă tp de vecto coceţ se îlocesc c vecto eltaţ coespăto: vectol eltat (foţa eltată) egal c sma vectoală a celo foţe ş mometl eltat egal c sma vectoală a celo momete (fg. 3.5d): 36 (3.) (3.3) Deoaece a fost aplcate opeaţle elemetae de echvaleţă sstemele de foţe d fgle 3.5a-3.5d st echvalete îte ele. Astfel ssteml ţal de foţe s-a tasfomat î ssteml echvalet d fga 3.5d fomat d doă elemete vectoale, vectol eltat ş mometl eltat, cae detemă tosol de edcee τ al ssteml de foţe î pctl : {, } τ (, ) ; (3.4) Se obsevă că mometl eltat epetă sma mometelo polae ale foţelo î apot c poll. Se cosdeă sstem de efeţă, legat de cop, c ogea î poll de edcee, î cae coodoatele pctelo A de aplcaţe ale foţelo st:,, a poecţle foţelo:,,. oma aaltcă a elaţlo (3.) ş (3.3) este: ( + j + k) + j + k (3.5) + j + k, (3.6) j k Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

7 3. oţe ş momete de de p egalaea coefceţlo vesolo dedcem poecţle pe aele epel ale vectol eltat: ş ale mometl eltat: ( ),, (3.7) ; ( ) ; ( ) odlele celo do vecto st date de elaţle: (3.8) + + (3.9) + + (3.0) etaea vectolo eltaţ se obţe p cossle dectoae: cos < (, ) ; cos < (, ) ; ( ) cos, < (, ) ; cos < (, ) ; (, ) cos Popetăţle elemetelo tosol de edcee < (3.) < (3.) cos g Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

8 Statca. Vectol eltat este vaat al ssteml de foţe dat î apot c poll de edcee. Demostaţa este medată: se obţe p metoda polgol foţelo, metodă depedetă de poll ales.. Vectol momet eltat vaaă, î geeal, la schmbaea poll de edcee. e ol pol de edcee (fg. 3.6). Utlâd egaltatea: pe baa elaţe (3.3) se obţe: + (3.3) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) + + P mae, legea de vaaţe a vectol momet eltat schmbaea poll este: la + (3.4) 3. Podsl scala dte vectol eltat ş vectol momet eltat este o măme costată cae se meşte tom vaat. Ît-adevă, p îmlţea scalaă c a elaţe (3.4) se obţe: + ( ), deoaece ( ) 0, + + costat (3.5) 4. Dacă tosol ssteml de foţe î apot c pct este l, ămâe l pet oce alt pct de edcee. Î acest ca soldl gd este î echlb. Demostaţa este medată deoaece dacă î elata (3.4) 0 ş 0 eltă că ş Dacă 0 atc vectol momet eltat este vaat faţa de poll de edcee. elaţa (3.4) deve câd 0. Î acest ca ae caacte vecto lbe. 6. Pet acelaş sstem de foţe, poecţa mometelo eltate î apot c cele doă pcte ş pe deapta ce eşte cele doă pcte este 38 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

9 3. oţe ş momete costată. e vesol decte codce la:. elaţa (3.4) îmlţtă scala c + ( ), deoaece ( ) Tosol mmal. Aă cetală Î ma edce sstem de foţe ît- pct al gd se obţe toso comps d vectol eltat ş vectol momet eltat cae îchd îte decţle lo gh α. Dacă α 0 sa α π, ce do vecto st cola. Dacă ce do vecto st cola, tosol ssteml de foţe se meşte toso mmal (ascto, dam, sb). Efectl mecac al astfel de toso aspa soldl gd este o mşcae de ototaslaţe î lgl ş î jl spotl com al celo do vecto. Se demosteaă că locl geometc al pctelo î apot c cae ssteml de foţe se edce la toso mmal este o deaptă mtă aa cetală a ssteml de foţe. e ssteml de foţe ( ) ce acţoeaă î pctele A ( ) aspa gdl (C) d fga 3.7. Pet detemaea ae cetale se cosdeă cosct tosol de edcee al ssteml de fote dat î poll. g Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

10 Statca Pespem că P(,,) este pct cet al ae cetale. P defţe s st cola, dec: P P 0 (3.6) Cofom leg de vaate a mometl eltat la schmbaea poll de edcee ptem sce: Îlocd (3.7) î (3.6) se obţe: P (3.7) P [ + ( ) ] 0 sa + ( ) 0 (3.8a,b) Aplcâd metoda l Gbbs (Gbbs, Josah Wllad, ) pet devoltaea dbll pods vectoal, eltă o ecaţe vectoala de gadl I î, cae epetă ecaţa locl geometc cătat: ( ) 0 + (3.9) e P 0 pct patcla al locl geometc cătat, avâd vectol de pote 0, ce satsface codţa 0 0 ( ) 0. Impâd această codţe î (3.8b) se obţe poţa pctl P 0 : 0 0, de de Se scade (3.30a) d (3.9): 0 (3.30a,b) se obţe: ( ) ( ) Dacă se oteaă sa 0 / ( ) 0 (3.3), (3.3) λ, (3.33) 0 λ + (3.34) elaţa (3.34) este solţa geeală a ecaţe vectoale (3.8b) cae atestă esteţa locl geometc cătat, epeetâd ecaţa vectoală a ae 40 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

11 3. oţe ş momete cetale. Se obsevă că deapta tece p pctl P 0 ( 0 ) ş este paalelă c. Dstaţa e faţă de ogea ssteml de efeţa este: s α s α d 0 (3.35) Ecaţle aaltce (cateee) ale ae cetale se detemă fe poectâd ecaţa vectoala (3.34) pe aele epel fe escd codţa (3.6) sb foma: P λ, (3.36) î cae se loceste (3.7): λ (3.37) Ecaţa (3.37) poectată pe aele ssteml de efeţă, este echvaletă c sstem de te ecat scalae: + λ ( ) ( + ) λ (3.38) ( + ) λ de de, elmâd paametl λ, eltă ecaţle ae cetale dată ca tesecţe a doă plae: (3.39) ometl eltat obţt p edceea ssteml de foţe î apot c pct P apaţâd ae cetale se poate calcla mltplcâd scala (3.7) c vesol l : P + ( P ) ; ( P ) 0 ; P (3.40) Se costată că acest momet este acelaş î toate pctele ae cetale ş este egal c poecţa mometl eltat d poll pe decţa vectol eltat, adcă mometl eltat mm posbl: P m cos α (3.4) 4 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

12 Statca Ptem calcla mometl mm c ajtol compoetelo cateee ale elemetelo tosol de edcee î : m + + P (3.4) + + Această valoae este vaată deoaece este apotl a do vaat: toml vaat ş modll vectol eltat. Aşada î apot c pctele ae cetale ssteml de foţe este echvalet c toso mmal avâd ca elemete vectol eltat ş vectol momet mm: τ (, ) τm ; m P (3.43) bsevaţ:. Dacă P m 0, eltă 0, adcă, ş ssteml de foţe se edce, î apot c pctele ae cetale, la o eltată că.. Pet sstem dat de foţe, ode am la poll de edcee ămâ vaate: vectol eltat, toml vaat, mometl mm s aa cetală Teoema l Vago e m ş elemetele tosol mmal î pctl P de pe aa cetală (fg. 3.7), a pct oaecae. Dec, ş ţâd cot că P, elaţa (3.7) se poate pe sb foma: P m + (3.44) m cae se meşte foma caocă sa vaată a ae cetale. Î cal î cae m 0, adcă pet sstemele de foţe ce se edc la o eltată că faţă de pctele ae cetale, d (3.44) eltă: sa: (3.45), (3.46) ( ) 4 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

13 3. oţe ş momete elaţe ce epma teoema l Vago (Vago, Pee, 654-7) cofom căea: mometl eltat al sstem de foţe cae espectă codţa m 0, î apot c pol, este egal c mometl eltate ssteml plasată pe aa cetală, î apot c acelaş pol. Î patcla, sstemele de foţe cocete, coplaae sa paalele espectă teoema l Vago Ca de edcee a sstemelo de foţe Lâd î cosdeae elemetele tosol de edcee ît- pct, al sstemelo de foţe oaecae, pot apăea mătoaele ca: Cal I: 0 s 0. Se pot dstge doă staţ detemate de toml vaat: a) 0, ce do vecto st pepedcla ş ssteml de foţe se edce la o eltata că î apot c pctele ae cetale. Aa cetală este stată ît- pla omal pe, la dstaţa: de pctl (fg. 3.8) d (3.47) g. 3.8 g. 3.9 b) 0, ssteml de foţe se edce la toso mmal î apot c pctele ae cetale. Aa cetală, paalelă c spotl vectol eltat, va f plasată la dstaţa: 43 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

14 Statca 0 s α d (3.48) măsată d pepedcla pe plal vectolo ş, î sesl podsl vectoal (fg. 3.9). Este cal cel ma geeal de edcee a sstem de fote dat. Cal II: 0 ş 0, ssteml edcâd-se la o eltată că, spotl e fd cha aa cetală cae tece p. Cal III: 0 ş 0, ssteml este echvalet c cpl eltat, stat ît- pla pepedcla pe. Cal IV: 0 ş 0, ssteml se edce la toso l, adcă soldl gd aspa căa acţoeaă ssteml de foţe este î echlb edceea sstemelo de foţe coplaae g. 3.0 Î fga 3.0 este epeetat sold gd (C) solctat de sstem de foţe coplaae ( ) î pctele A ( ). Ssteml de efeţă se alege astfel îcat plal să cocdă c plal foţelo. Ca mae: 44 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

15 3. oţe ş momete 0; 0 (3.49) Î apot c pctl ssteml de foţe coplaae se edce la toso (, ) ale că elemete se detemă aaltc c elaţle (3.7) s (3.8) tad seama de (3.49): ; ; 0 (3.50) ( ) 0 ; ( ) 0 ; ( ) (3.5) D elaţle (3.50) ş (3.5) dedcem că vectol eltat este stat î plal foţelo, a vectol momet eltat este pepedcla pe acest pla. Este evdet că, ş 0 (3.5) m 0 (3.53) foma: sa Ecaţle ae cetale (3.39), pe baa elaţlo (3.50) (3.5) a + (3.54) 0 + (3.55) 0 Ecaţle (3.55) epetă o deaptă d plal cae tesecteaă aa pctl A de coodoate /, A 0 ş aa î pctl A B de coodoate B 0, B /. elaţa (3.53) aată valabltatea teoeme l Vago cal sstemelo de foţe coplaae. bsevat:. Dacă 0 ş 0 ssteml de foţe coplaae se edce la o eltată că avâd ca spot aa cetală plasată la dstaţa de. d / faţă 45 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

16 Statca. Dacă 0 ş 0 ssteml de foţe coplaae se edce la o eltată că al căe spot tece cha p pctl Dacă 0 s 0 ssteml de foţe coplaae este echvalet c momet eltat c caacte de vecto lbe. 4. Dacă 0 s 0 ssteml de fote coplaae este echvalet c toso l, copl aspa căa acţoeaa foţele fd î echlb edceea sstemelo de fote paalele. Cetl foţelo paalele g. 3. Î fga 3. este peetat gd (C) solctat de sstem spaţal de foţe paalele (,,,) avâd vesol decte come, aplcate î pctele A (,,,). Se poate sce: (3.56) I elata (3.56) scalal poate f potv sa egatv dpă cm foţa ae acelaş ses sa ses cota c vesol decţe come a foţelo. 46 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

17 3. oţe ş momete 47 C ajtol elaţlo (3.), (3.3) se pot detema elemetele tosol de edcee î al ssteml de foţe paalele: (3.57) ( ) ( ) (3.58) Deoaece toml vaat este l: 0 (3.59) ş mometl mm este l: 0 m (3.60) Aşada, ssteml de foţe paalele se edce î apot c pctele ae cetale la o eltată că ş este aplcablă teoema l Vago: (3.6) î cae se îlocesc (3.57) ş (3.58), eltâd: 0, sa 0 (3.6) Pet ca elaţa (3.6) să fe depltă î cal geeal, tebe ca: λ (3.63) î cae λ este paamet scala vaabl. D (3.63) eltă ecaţa vectoală a ae cetale a ssteml de foţe paalele: Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

18 Statca λ (3.64) Se obsevă că pet dfete valo ale paametl λ pctl cet P va ocpa dfete poţ pe aa cetală. Dâd paametl λ valoaea patclaa λ 0, se obţe pct cae se oteaa c C avâd vectol de poţe: C otaţa, C (3.65) λ λ (3.66) ş tâd cot de (3.65), ecaţa vectoală a ae cetale a o fomă ma smplă: Daca se otesc foţele ( ) C + λ (3.67) î jl pctelo de aplcaţe c acelas gh α, plae paalele, î acelas ses, astfel îcât ele să devă paalele c o alta decte ( ) de veso, ecaţa vectoală va avea o epese smlaă c (3.67): C + λ (3.68) D elaţle (3.67) ş (3.68) eltă ca aa cetală a ssteml de foţe paalele ae acceaş decţe c decţa comă foţelo ş tece î pemaeţa pt- pct C f, mt cetl foţelo paalele deft de vectol de pote (3.65), avâd coodoatele cateee: C ; C ; C (3.69) 48 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

19 3. oţe ş momete Popetăţle cetl foţelo paalele Cetl foţelo paalele este pct specal cae se bcă de cateva popetăţ mpotate:. Pota cetl foţelo paalele depde de decţa comă a foţelo. Demostaţa este evdetă deoaece î elaţa (3.65) apae vesol.. Poţa cetl foţelo paalele se modfcă dacă foţele ssteml ş modfcă valoaea scalaă c acelaş facto. Să pespem că î loc de avem µ. Atc, elaţa (3.65) va ămâe eschmbată: C ( µ ) ( µ ) µ µ 3. Cetl foţelo paalele este elemet tsec al ssteml de foţe dat, poţa sa emodfcâd-se faţă de pctele de aplcaţe ale foţelo, ocae a f ssteml de efetă adoptat. e ogea ol sstem de efetă. Pctele de aplcaţe A ale foţelo paalele vo avea câte o vecto de poţe de foma: +, de 0 0 aţă de ol epe, poţa cetl foţelo paalele va f: C ( 0 + ) + 0 P mae, + C 0 C de de eltă ca vectol de poţe al cetl foţelo paalele s-a modfcat la fel ca vectol de poţe al ocă pct A ( ), dec poţa sa faţă de pctele A s-a schmbat. 49 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

20 Statca bsevat:. Gafc, poţa cetl foţelo paalele se detemă la tesecţa aelo cetale obţte pet doă decţ dfete ale foţelo paalele.. Dacă 0 ş 0, ssteml de foţe paalele se edce la o eltată că î apot c pctele ae cetale, aflată la dstaţa d / de ogea ssteml de efeţă. 3. Daca 0 ş 0, ssteml de foţe paalele se edce la o eltată că al căe spot tece cha p pctl. 4. Dacă 0 s 0, ssteml de foţe paalele se edce la momet eltat avâd caacte de vecto lbe. 5. Dacă 0 s 0, tosol ssteml de foţe paalele este l, dec gdl aspa căa acţoeaă aceste foţe este î echlb. 50 Please pchase 'e-pd Covete ad Ceato' o to emove ths message.

METODE PENTRU CALCULUL RĂSPUNSULUI SEISMIC ÎN CODURILE ROMÂNEŞTI DE PROIECTARE. COMPARAŢII ŞI COMENTARII. Dan Creţu , Sorin Demetriu

METODE PENTRU CALCULUL RĂSPUNSULU SESMC ÎN CODURLE ROMÂNEŞT DE PROECTARE. COMPARAŢ Ş COMENTAR Da Ceţu, So Demetu Rezumat: Lucaea peztă evoluţa eglemetălo omâeşt petu poectaea clădlo ezstete la cutemue