Anexa 3. Statistică descriptivă şi inferenţială

Transcription

1 Aexa 3. Statstă desptvă ş feeţală 3. Măsu statste petu populaţ ş eşatoae Tabelul. Măsu statste petu aatezaea vaablelo attatve Măsuă Refeă Expese Itepetae Suma valolo Σ( ) - Număul de valo U ş - Valoaea mede de umee E( ) = Σ( )/ Valoaea aşteptată Momet etal de od k, k> E k ( ) = E((-E()) k ) - Meda aatest populaţe μ = μ() = E() Meda obsevable U eşato m = m() = E() Tedţa Estmatoul mede etală populaţe M() = m() aatest Vaaţa aatest Va() = E((-μ) ) Împăşteea Devaţa stadad a aatest populaţe σ = σ() = Va () Dspesa Vaaţa obsevable va = va() = E((-E()) ) Împăşteea Devaţa stadad a obsevable U eşato s = s() = va( ) Dspesa Estmatoul vaaţe VAR() = aatest va() Împăşteea Estmatoul devaţe stadad a aatest populaţe S = S() = s() Dspesa Tabelul. Statst petu aatezaea depătă de omaltate a vaablelo attatve Smbol ş măsuă Refeă Expese Măm ae tev γ, Asmeta aatest 3/ γ = μ 3 /μ aatest β, Boltea aatest β = μ 4 /μ γ, Exesul de bolte al populaţe γ = β -3 μ k = E k (), k> g, Asmeta obsevable 3/ g = m 3 /m b, Boltea obsevable U b = m 4 /m g, Exesul de bolte al eşato obsevable g = b -3 m k = E k (), k> Estmatoul asmete ) 3/ G aatest = M 3 /M ) = Estmatoul bolt aatest Estmatoul exesulu de bolte a aatest populaţe B = ) ) G = B ) M 4 /M 3) ) ) 3) M k = E k(), k> Extageea epetată de eşatoae (de volum dat) dt-o populaţe fae a valole obţute să umeze o dstbuţe, umtă dstbuţa de eşatoae. Tabelul 3 peztă ezultatele ae se obţ petu vaaţa mămlo statste p extageea epetată de eşatoae dt-o populaţe. A-8

2 Câd valole paametlo statst a populaţe u sut uosute, da se poate fae pesupueea ă dstbuţa populaţe se ompotă sufet de be [], aeşta pot f apoxmaţ u autoul estmatolo aestoa (Tabelul ). Fomulele de alul apoxmatv ale mede ş vaaţe petu mede ş vaaţă sut edate î Tabelul 4. Daă se pot asuma poteze u pve la dstbuţa aatest î populaţe, atu se pot obţe fomule de alul petu paamet statst (a populaţe) ş folosd elaţle d Tabelul estmato paametlo statst a populaţe d măsuătole (statstle) efetuate asupa eşatoulu. Tabelul 3. Med ş vaaţe ale mede ş vaaţe obsevable e ezultă d dstbuţa de eşatoae d populaţa u aatesta Măme ş otaţe Valoae Meda mede, μ μ = μ(m()) = μ () Vaaţa mede, σ σ σ () = σ (m()) = Meda vaaţe, μ(s ) ) μ (s ) = μ(s ()) = σ () Vaaţa vaaţe, σ (s ) ) 3) ) σ (s ) = σ (s ()) = μ4() μ () 3 3 Tabelul 4. Valo apoxmatve petu medle ş vaaţele mede ş vaaţe obsevable î potezele teoeme lmtă etale Măme ş otaţe Apoxmae Meda mede, μ μ m() Vaaţa mede, σ σ s () ) Meda vaaţe, μ(s ) μ (s ) s () Vaaţa vaaţe, σ (s ) ) 3) σ (s ) m4() m () ) [] Teoema Lmtă Cetală Coologa otbuţlo maoe: o Abaham DE MIVRE Appoxmato ad Summam Temoum Bom (a+b) Seem expas. I: The Dote of Chae: o The Method of Calulatg the Pobablty of Evets Play (Abaham DE MIVRE). W. Peafo 738: o Joseph L. LAGRANGE Mémoe su l utlté de la méthode de pede le mleu ete les ésultats de pluseus obsevatos; das lequel o exame les avatages de ette méthode pa le alul des pobabltés; et où l o ésoud dfféets poblèmes elat fs à ette matèe. Msellaea Tauesa 5:67-3. o Pee S. LAPLACE. 8. Théoe Aalytque des Pobabltés. Coue, 465 p. o Aleksad M. LIAPUNV. 9. Nouvelle fome du théoeme su la lmte des pobabltés. Mémoes de l'aadéme Impéale des Sees de St. Pétesboug (5):-4. Euţul teoeme (fe ( ) vaable depedete ş δ> a.î. μ +δ ( )< ): μ+δ(k ) μ( )) k= = o daă lm = atu N(,) (+δ) σk σk k= k= A-9

3 3. Măsu statste petu leg de dstbuţe Tabelele -9 dau expesle uo măm statste (valable petu populaţe) î tmp e expesle petu estmato se pot obţe d Tabelul Aexa 3-. Tabelul. Măm statste ale dstbuţe dsete ufome Măme statstă Expese de alul Supot k {a, a+,, b-, b} Mm; Maxm a; b Fuţa de pobabltate ( b a + ) Fuţa de epatţe ([ k] a + ) ( b a + ) Meda ş medaa; vaaţa a + ; ((b a + ) ) Asmeta; exesul de bolte ; ( b) 6((b a + ) 5((b a + ) Tabelul. Măm statste ale dstbuţe dsete Beoull Măme statstă Expese de alul Supot k {,}; p (,) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate (-p), k = p, k = Fuţa de epatţe (-p), k [,), k Meda; vaaţa p; p(-p) 6p 6p + p( p) + ) ) Asmeta; exesul de bolte ; ( ) ( ) Tabelul 3. Măm statste ale dstbuţe dsete bomale Măme statstă Expese de alul Supot k {,, }; p (,) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate! k k p ( p) k! k)! Fuţa de epatţe k! p ( p) =! )! Meda; vaaţa p; p(-p) Asmeta; exesul de bolte ( p) 6p( p) p( p) ; p( p) Tabelul 4. Măm statste ale dstbuţe dsete Posso Măme statstă Expese de alul Supot k =,, ; λ Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate λ k e λ k! Fuţa de epatţe Meda; vaaţa Asmeta; exesul de bolte k = λ; λ e λ λ! λ ; λ A-3

4 Tabelul 5. Măm statste ale dstbuţe otue ufome Măme statstă Expese de alul Supot x [a, b] Mm; Maxm a; b Fuţa de pobabltate /(b-a) Fuţa de epatţe (x-a)/(b-a) Meda ş medaa; vaaţa (a+b)/; (b-a) / Asmeta; exesul de bolte ; -6/5 Tabelul 6. Măm statste ale dstbuţe otue Cauhy-Loetz Măme statstă Expese de alul Supot x (-, ); x (-, ); γ (, ) Mm; Maxm - ; Fuţa de pobabltate x x γπ + γ Fuţa de epatţe x x ata + π γ Medaa ş moda x Tabelul 7. Măm statste ale dstbuţe otue Studet t Măme statstă Expese de alul Supot x (-, ); ν (, ) Mm; Maxm - ; Fuţa de pobabltate ν + ν+ Γ t z +, Γ(z) = ν ν t e νπγ ν + ( x / ν) Fuţa de epatţe + xγ! ν ν, ν > Meda; medaa; moda; vaaţa (ν > ); ; ; ( ) Asmeta; exesul de bolte, ν > 3; 6 ( ν 4), ν > 4 t dt ( + )( ν + + ) ) = (3 + Tabelul 8. Măm statste ale dstbuţe otue Fshe-Sedeo F Măme statstă Expese de alul Supot x [, ); d,d (, ) Mm; Maxm ; d d d Fuţa de pobabltate Γ( ( d + d ) ) ( d) ( d ) x ( ) ( ) ( ) ( d d ) + Γ d Γ d d x + d Fuţa de epatţe Meda; moda Vaaţa; asmeta, Γ(z) = t z z d x d d d d IB,, IB,,, IB(z, a, b) = dx + d t d d, d d d > ;, d > d d + d (d + d ) (d + d, d > 4; d (d ) (d 4) (d 6) e t dt a ( t) ) 8(d 4), d > 6 d (d + d ) b dt A-3

5 Exesul de bolte 3d 3 + (5d 8)d + (5d 3d + )d d d (d 6)(d 8)(d + d ) / + 44d 6, d > 8 Tabelul 9. Măm statste ale dstbuţe otue χ Măme statstă Expese de alul Supot x [, ); d (, ) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate d d x ( ) x e Γ( d ), Γ(z) = t d t Fuţa de epatţe e dt Γ( d ) Meda; medaa; moda; vaaţa d; d 3 ; d -, d > ; d asmeta; exesul de bolte 8 d ; d x t Tabelul. Măm statste ale dstbuţe otue expoeţale Măme statstă Expese de alul Supot x [, ); λ (, ) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate x λ e Fuţa de epatţe λx e Meda; medaa; moda; vaaţa; asmeta; exesul de bolte λ ; l( ) λ ; ; λ ; ; 6 Tabelul. Măm statste ale dstbuţe otue Webull Măme statstă Expese de alul Supot x [, ); λ, k (, ) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate; k k ( x λ) kx e fuţa de epatţe k ( x λ) λ ; e k Meda; medaa; moda μ = λγ ( + k) ; λ ( l() ) k ; λ (( k ) k) k, k > Vaaţa; asmeta 3 3 σ = λ Γ( + k) μ ; γ = Γ( + 3 k) λ 3μσ μ σ γ 4 3 = λ Γ + 4 k 4γ σ μ 4 μ σ μ σ 3 ( ) 4 Exesul de bolte ( ( ) ) 6 Tabelul. Măm statste ale dstbuţe otue Log-omale Măme statstă Expese de alul Supot x [, ); μ (-, ); σ (, ) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate Fuţa de epatţe e ( l(x) μ) σ ( xσ π) ( l(x) μ) ( )) + ef σ Meda; medaa; moda; vaaţa e μ + σ μ ; e ; e σ ; (e μ σ μ+σ z z e t dt ; = t ef (z) e dt π )e Asmeta; exesul de bolte σ σ 4σ 3σ σ (e + ) e ; e + e + 3e 6 A-3

6 Tabelul 3. Măm statste ale dstbuţe otue Bbaum-Saudes (a veţ oboste) Măme statstă Expese de alul Supot μ, β, γ (, ); x (μ, ) Mm; Maxm μ; Fuţa de pobabltate x μ β + β x μ N γ(x μ), x μ β x + Fuţa de pobabltate stadad / x N, ( x / x ) γ) γ(x μ) Fuţa de epatţe stadad ( x / x ) γ) N, Meda; vaaţa (stadad) + γ ; γ + 5γ 4 β x μ γ z t / e, N,(z) = dt π Tabelul 4. Măm statste ale dstbuţe otue Gamma Măme statstă Expese de alul Supot k, θ (, ); x [, ) Mm; Maxm ; Fuţa de pobabltate Fuţa de epatţe k x x k e θ θ Γ(k), Γ(z) = t x θ k t t e dt t k Meda; moda; vaaţa kθ; (k-)θ, k > ; kθ Asmeta; exesul de bolte k ; 6 k Tabelul 5. Măm statste ale dstbuţe otue Laplae (dublu expoeţală) Măme statstă Expese de alul Supot b (, ); μ, x (-, ) Mm; Maxm - ; Fuţa de pobabltate x μ b e b Fuţa de epatţe ( x μ) b e, x < μ ( x μ) b e, μ x Meda; medaa; moda; vaaţa μ; μ; μ; b Asmeta; exesul de bolte ; 3 Tabelul 6. Măm statste ale dstbuţe otue Gumbel (log-webull) Măme statstă Expese de alul Supot β (, ); μ, x (-, ) Mm; Maxm - ; exp exp (x μ) β β exp (x μ) β β Fuţa de pobabltate ( ( ) ) ( ) Fuţa de epatţe exp( exp( (x μ) β )) Meda; medaa; moda; vaaţa μ+βγ; μ-β l(l()); μ; π β /6 6ς(3) Asmeta; exesul de bolte. 4 ; /5 3 π e t dt z e t dt A-33

7 Tabelul 7. Măm statste ale dstbuţe otue Beta Măme statstă Expese de alul Supot α, β (, ); x [,] Mm; Maxm ; α β Fuţa de pobabltate x ( x) IB(, α, β) ; IB(z, a, b) = t Fuţa de epatţe IB(x, α, β) IB(, α, β) Meda; moda; vaaţa α α ;, α, β > ; α + β α + β ( β α) α + β + α Asmeta; exesul de bolte ; ( α + β + ) αβ 3 z a ( t) αβ ( α + β) ( α + β + ) b dt (β ) α αβ( β + ) + ( β + ) β αβ( α + β + )( α + β + 3) / 6 Tabelul 8. Măm statste ale dstbuţe otue Gauss omale) Măme statstă Expese de alul Supot σ (, ); μ, x (-, ) Mm; Maxm - ; exp (x μ) σ σ π ( ) ( ) ef ( x μ) ( ))) Fuţa de pobabltate ( ) Fuţa de epatţe ( ( Meda; moda; vaaţa μ; μ; μ; σ Asmeta; exesul de bolte ; + σ ; = t ef (z) e dt π Tabelul 9. Alte măm statste ale dstbuţe otue Gauss omale) Măme Populaţe (ftă) de volum Eşato de volum Estmato Meda = μ; σ = σ μ / μ = m; σ = s / m; s / -) Vaaţa -)σ / ) ) μ 3 3 μ 3) 4 6 ) Va γ ) + ) + 3) 4 ) 3) Va γ ) + 3) + 5) -)s / ) )m 3 3 m 3) 4 z s )m 4 3)m ) 4 4 σ ) s = 6 ) 4 va(g ) ) + ) + 3) 4 - Vez Tabelul 9 4 ) 3) ) + 3) + 5) 4 va(g ) 4 - Vez Tabelul 9 A-34

8 Statsta Befod 3.3 Statst Testul Befod foloseşte dstbuţa Z omală) petu a vefa poteza ă u ş de umee umează dstbuţa Befod, feveţele după ae se dstbue o aume fă a feău umă d ş. U ş de umee umează dstbuţa Befod daă pobabltatea de dstbuţe a ue fe (d ) a umeelo (d=d d ) epezetate î baza de umeaţe b (uzual baza ) umează legea (Befod): p (d ) + d = logb, d =..(b-); p (d ) = b log b + k= k b + d, d =..(b-) (Befod) p (d ) = b b log + b = k= b + k b + d, d =..(b-) Ipoteza aeste leg de dstbuţe este ă valole măsuătolo ezultate d obsevaţe sut fevet dstbute logatm ş astfel logatmul setulu de măsuăto este dstbut ufom. Legea de dstbuţe este umtă după fzaul Fak BENFRD ae a fomulat-o tutv î 938 [], da demostaţa aestea a fost dată mult ma tâzu [3]. Aest ezultat tutv de umăae a apaţlo a fost găst aplâdu-se la o mae vaetate de setu de date luzâd fatule la elettate, adesele de stăz, peţule aţulo, umeele populaţe, atele de dees, lugmle âulo, ostate fze ş matemate ş poesele desse de leg putee (ae sut foate omue î atuă). Este foate mpotat de ştut ă ezultatul (odată obsevat ît-o bază de umeaţe) ae lo depedet de baza de umeaţe î ae se expmă umeele, ha daă popoţle de epezetae se shmbă. De a, aest ezultat poate f folost petu a vefa datele î suspuea de alteae (mstfae) a aestoa p ompaaea feveţelo teoete u ele obsevate petu pma fă a aestoa. [] BENFRD Fak The law of aomalous umbes. Poeedgs of the Amea Phlosophal Soety 78(4): [3] HILL Theodoe P Base vaae mples Befod's Law. Poeedgs of the Amea Mathematal Soety 3(3): A-35

9 Statsta Jaque-Bea Testul Jaque-Bea [4,5] alulează ş atbue pobabltatea statstă a valole uu eşato e pove d populaţe omal dstbută să îş abată smulta asmeta ş exesul de bolte de la valole teoete oespuzătoae dstbuţe omale. Statsta Jaque-Bea se alulează u elaţa: g JB = + g 6 / 4 î ae g este asmeta, g este exesul de bolte ş este volumul eşatoulu. Statsta JB ae o dstbuţe asmptotă ăte χ (df=). g, Asmeta obsevable 3/ g = m 3 /m b, Boltea obsevable U b = m 4 /m g, Exesul de bolte al eşato obsevable g = b -3 Statsta Kolmogoov-Smov m k = E k (), k> Testul Kolmogoov-Smov [6] poate f folost petu vefaea poteze ă u eşato de date umează o aumtă lege de dstbuţe (edat î otuae), peum ş petu ompaaea leglo de dstbuţe ale populaţlo d ae pov două eşatoae [7]. Statsta Kolmogoov-Smov vefă daă obsevaţle depedete =( ) pov dt-o populaţe e umează legea de dstbuţe dată de fuţa umulatvă de pobabltate F t (x) p alulaea maxmumulu dfeeţe absolute îte F t (x) ş fuţa umulatvă de pobabltate obsevată F o (x) î toate putele obsevaţe: D = max F ( ) F ( ) t Dstbuţa Kolmogoov o Legea de dstbuţe Kolmogoov se obţe petu vaabla aleatoae K dată de: (K-S Stat) K = max B(t), t ude B este putea Bowaă odţoată de: B() = B() = M(B(t)) = Va(B(t)) = t(t-) P (K x) = = ( ) e x = π x = e ( ) π /8x (K-S Dst) [4] Calos M JARQUE, Al K BERA. 98. Effet tests fo omalty, homosedastty ad seal depedee of egesso esduals. Eo Lett 6(3): [5] Calos M JARQUE, Al K BERA. 98. Effet tests fo omalty, homosedastty ad seal depedee of egesso esduals: Mote Calo evdee. Eo Lett 7(4): [6] KLMGRV Adey. 94. Cofdee Lmts fo a Ukow Dstbuto Futo. The Aals of Mathematal Statsts (4): [7] SMIRNV Nkolay V Table fo estmatg the goodess of ft of empal dstbutos. The Aals of Mathematal Statsts 9():79-8. A-36

10 Testul Kolmogoov-Smov Ipoteza testulu este ă umătoaea ovegeţă ae lo î dstbuţe: D sup B(F(t)) t [,] Ipoteza se espge la velul de semfaţe daă: D > K α, ude K α : P (K K α ) = α (K-S Test) Petu ompaaea a două dstbuţ obsevate: D = max max,m) F ( ) F o o ( ) Ipoteza se espge la velul de semfaţe daă: m D > K α m + (K-S Test) Statsta Adeso-Dalg Testul Adeso-Dalg [8] vefă daă este o evdeţă statstă a u eşato să u povă dt-o fuţe de pobabltate dată. Statsta Adeso vefă daă asupa obsevaţlo dstte odoate esăto ( ), < + se poate espge poteza ă pov dt-o dstbuţe dată de fuţa umulatvă de pobabltate F alulâd valoaea A dată de elaţa: A = k= k ( l(f( ) + l( F( ))) k aplaţe de tees îsă o epeztă testul Adeso-Dalg petu ma multe eşatoae asupa ăoa se poate vefa poveeţa d aeeaş populaţe, az î ae legea de dstbuţe a populaţe u ma tebue să fe spefată [9,]. Fomulele de alul ş tepetaea testulu petu ompaaea de eşatoae se găses la adesa []. Î azul ompaaţe ue leg de dstbuţe dsete uosute u legea de dstbuţe obsevată î eşato vaaţa statst A se alulează u fomula ([], - umăul de obsevaţ d eşato, π= ): ( π 9) Va(A ) = + 3 π + k [8] Theodoe W ANDERSN, Doald A DARLING. 95. Asymptot theoy of eta "goodess-of-ft" tea based o stohast poesses. Aals of Mathematal Statsts 3():93-. [9] Ftz W SCHLZ, Mhael A STEPHENS K-sample Adeso-Dalg Tests. Joual of the Amea Statstal Assoato 8(399): [] Depatmet of Defese Hadbook.. Composte Mateals Hadbook. Volume. Polyme Matx Compostes Gudeles fo Chaatezato of Stutual Mateals. Chapte 8. Statstal Methods The k-sample Adeso-Dalg test MIL-HDBK-7-F:8-7. [] Loetz JÄNTSCHI k-sample Adeso-Dalg. [] Ftz W SCHLZ, Mhael A STEPHENS K-Sample Adeso-Dalg Tests of Ft, fo Cotuous ad Dsete Cases. Tehal Repot. Uvesty of Washgto. GN-:8. A-37

11 Î azul vefă poteze de omaltate, este posbl să se apoxmeze pobabltatea de obsevaţe asoată valo statst A [3]. Se aplă oeţa de volum al eşatoulu: A = A ( exp exp p = exp exp.937 ( x 3.73 x ), ( x x ), ( x.38 x ), ( 5.79 x +.86 x ), ) x <.. x < x <.6 x.6 Statsta Peaso-Fshe Ch Squae Expemetul vaaţelo e odue la dstbuţa χ Dstbuţa χ a fost desopetă de Kal PEARSN [4] î uma îeă de a expla vaaţa obsevată a umeelo ae pov d dstbuţa omală. Astfel, daă se osdeă dstbuţa omală stadad N(,) ş vaabla îtâmplătoae e umează aeastă dstbuţe (Fgua ), pobabltatea (dp) de a extage valole -x ş x d N(,) sut ambele egale ş egale u dfeeţala fuţe de destate de pobabltate a dstbuţe omale (PDF N(,) ). N(,) χ () φ PDF (x,) φ PDF (x,) -x x x φ PDF (x,3) Fgua. Fuţle de destate de pobabltate (PDFs) petu N(,), χ () ş φ(k) x PDFN (,) (x) = exp () π Dstbuţa omală stadad ae meda ; astfel, petu a expma pobabltatea de obsevaţe petu devaţa x tebue aduate două pobabltăţ (petu -x ş x) date de elaţa (): x dp(x ) = dpdfn(,) (x) = exp dx () π Petu a eosttu PDF petu x tebue să efetuăm o shmbae de vaablă x = t; [3] A. Tullo-tz, R. Headez-Walls, K. Baba-Roo, A. Casto-Peez. 7. ADatest:Adeso-Dalg test fo assessg omalty of a sample data. [4] PEARSN Kal. 9. the teo that a gve system of devatos fom the pobable the ase of a oelated system of vaables s suh that t a be easoably supposed to have ase fom adom samplg. Phlosophal Magaze 5th Se 5: A-38

12 atu x = t ş: dp(t) t t = exp d t = exp dt (3) π π t Este uşo de vefat ă (3) este u az patula al lu (4) âd k = : χ PDF (t,k) = k / t Γ(k / ) k / exp Poedua dessă ma sus oespude petu dstbuţa Ch Squae u u gad de lbetate (extageea lu d dstbuţa omală). Daă sut extase ma multe valo (k valo) d dstbuţa omală atu se obţe dstbuţa Ch Squae u k gade de lbetate, ş demostaţa ă euaţa (4) este adevăată poate f găstă î [5]. Calea detă de la dstbuţa omală la dstbuţa χ u este evesblă (Fgua ); astfel, defd vaabla φ a î elaţa (5) - e epeztă o expese modfată a oefetulu de asoee deft de LIEBETRAU [6]: ϕ = ϕ(,k) = (5) k obţeea dstbuţe lu φ se poate obţe pe o ale smlaă u ea dessă ma sus; otâd u=φ î (5) ş substtud t = = ku î (4) se obţe (du = u du): t (4) dχ (ku,k) = k / Γ(k / După eaaaea temelo: dϕ PDF (ku ) k u k (u,k) = Γ(k / ) k / ) k / exp ku exp u / k du d(ku Pod de la destatea de pobabltate (PDF) a dstbuţe Gamma: ) (6) (7) Γ a x PDF ( x;a, b,) = exp( (x / b) a b Γ(a) ) (8) este uşo de vefat ă: k ϕ PDF( x,k) = ΓPDF(x,,,) (9) k Relaţa (9) demostează ă dstbuţa lu Gamma (Fgua ). k este u az patula al dstbuţe [5] FISHER Roald A The Mathematal Dstbutos Used the Commo Tests of Sgfae. Eoometa 3: [6] LIEBETRAU Albet M Measues of assoato. Newbuy Pak, CA: Sage Publatos. Quattatve Applatos the Soal Sees 3:-96 (p.3). A-39

13 Testul χ a măsuă a depedeţe, omogetăţ ş asoe î dstbuţe Dstbuţa χ ae 3 aplaţ medate: Testul Ch Squae petu vefaea depedeţe o testează asoeea îte două vaable u valo gupate pe atego; o se poate apla daă au lo două odţ: ua d valole aşteptate u este ma mă deât ; u ma mult de % d valole aşteptate u sut ma m de 5; o potezele de luu sut: u exstă o asoee îte ele două vaable (poteza ulă) ş este o asoee îte ele două vaable (poteza otaă); o Câd statsta Ch Squae ( ) este ma mae deâ valoaea fuţe umulatve de pobabltate a dstbuţe Ch Squae (χ ) petu umăul de gade de lbaetate egal u umăul de azu mus uu ş petu sul de a f î eoae velul de semfaţe) ales, atu exstă o dfeeţă semfatvă de la poteza lpse de asoee ş ele două vaable sut asoate; Testul Ch Squae petu vefaea omogetăţ o testează daă ma multe populaţ sut smlae (sau omogee sau egale) î aumte aatest (aele aatest ae sut luse î testae); o potezele de luu sut: populaţle sut smlae (sau omogee sau egale) î aatesta supusă obsevaţe (poteza ulă) ş populaţle sut dfete î aatestă (poteza otaă); o uzual aatesta supusă obsevaţe este u momet etal (ex. valoae mede, vaaţă); Testul Ch Squae petu vefaea asoe î dstbuţe o testează daă u model teoet poate f asoat obsevaţlo; o potezele de luu sut: datele obsevate umează dstbuţa dată de modelul teoet (poteza ulă) ş datele obsevate u pov dt-o populaţe e umează modelul teoet (poteza otaă); Pobleme fevet îtâlte î aplaea testulu χ a măsuă a asoe î dstbuţe Testul χ, popus a măsuă a depătă îtâmplătoae îte obsevaţe ş modelul teoet de Kal PEARSN [4] a fost oetat î tepetae de Roald FISHER p edueea umăulu de gade de lbetate oespuzăto u o utate (datotă estmă feveţe teoete d feveţa obsevată, [7]), ş u umăul paametlo euosuţ a [7] FISHER Roald A. 9. the Itepetato of χ fom Cotgey Tables, ad the Calulato of P. Joual of the Royal Statstal Soety 85: A-4

14 dstbuţe teoete estmaţ d obsevaţ d măsu ale tedţe etale ([8]). Testaea agemetulu îte obsevaţe ş poteză se ealzează p dvzaea obsevaţlo ît-u umă deft de tevale ), petu ae se alulează expesa (ude s este umăul de paamet a dstbuţe teoete estmaţ d momete etale, este feveţa expemetală obsevată î lasa de feveţă, E este feveţa aşteptată alulată d legea de dstbuţe teoetă petu lasa de feveţă, este valoaea statst h squae a χ este valoaea paametulu statst h squae d dstbuţa u aelaş ume): ( E) = E = χ s ) () Pe baza dstbuţe teoete χ se alulează pobabltatea de espgee a poteze de agemet. Uzual poteza de agemet este aeptată daă pobabltatea de espgee a poteze de agemet (χ CDF(,-s-)) este ma mă de 5%. Î uda faptulu ă testul χ este ea ma uosută statstă petu vefaea agemetulu îte obsevaţe ş poteză, testaea depedeţe ş a omogetăţ, defea adulu de aplae al aestea este dte ele ma omplexe [9]. see de pobleme la ompaaea ue dstbuţ obsevate u o dstbuţe teoetă apa î alulaea statst ş î aplaea testulu χ. pmă poblemă este alegeea umăulu de lase de feveţă ş exstă ma multe soluţ, dte ae două sut: alulaea p otue a umăulu de lase de feveţă d etopa Hatley [] a obsevaţe vs. expetaţe: log (N), ude N este umăul de obsevaţ (EasyFt [] foloseşte aeastă poeduă); alulaea umăulu de lase de feveţă odată u lăgmea lase folosd hstogama a estmato al destăţ [] ş alegeea pe baza aestea a teulu optmal petu lăgmea lase (Dataplot [3] geeează automat lasele de feveţă folosd aeastă egulă: lăgmea lase de feveţă este.3 s ude s este devaţa stadad a eşatoulu; lmtele feoaă ş supeoaă sut date de mede ±6 s ş lasele de feveţă obsevată magale sut omse; [8] FISHER Roald A. 94. The Codtos Ude Whh χ Measues the Dsepay Betwee bsevato ad Hypothess. Joual of the Royal Statstal Soety 87: [9] SNEDECR Geoge W. ad CCHRAN Wllam G Statstal Methods, Eghth Edto, Iowa State Uvesty Pess. [] HARTLE Ralph V L. 98. Tasmsso of Ifomato. Bell System Tehal Joual 98: [] Softwae. 8. EasyFt v.5. MathWave Tehologes. [] SCTT Davd. 99. Multvaate Desty Estmato. Joh Wley, Chapte 3. [3] Softwae. 5. Dataplot. Natoal Isttute fo Stadads ad Tehology. A-4

15 a doua poblemă este lăgmea laselo de feveţă; ş a exstă el puţ două abodă: Datele pot f gupate î lase de feveţă de pobabltate (teoetă sau obsevată) egală; Datele pot f gupate î tevale de lăgme egală; Pma abodae (pobabltatea egală) este ma fevet adoptată deoaee este o soluţe ma buă petu obsevaţ foate gupate. altă poblemă este umăul de obsevaţ d teoul feăe lase de feveţă. Feae lasă de feveţă tebue să oţă el puţ 5 obsevaţ, astfel îât î pată lase de feveţă alătuate se eues petu a satsfae aeastă mpuee. Pobleme fevet îtâlte î aplaea testulu χ a măsuă a omogetăţ Statsta Ch Squae opeează î poteza î ae o obsevablă este ezultatul supapue a do (sau ma mulţ, dte ae petu do dte aeşta se ealzează u expemet) fato. Î aest az se osttue u expemet met să vefe daă se poate aepta depedeţa îte aeşt do fato. Se ostueşte u tabel de otgeţă fomat d l (epezetâd valole pmulu fato) ş oloae (epezetâd valole elu de-al dolea fato) î ae se umulează feveţele sau valole med ale vaable obsevate ş î ae poteza depedeţe fatolo se taslatează î poteza omogetăţ valolo îegstate î tabel. Valoaea statst se alulează u fomula (ude epeztă d obsevaţlo asoate pmulu fato, epeztă d obsevaţlo asoate elu deal dolea fato,, epeztă valo med (petu testul de omogetate) sau feveţe (petu testul de depedeţă) obsevate petu peehea (,) de valo ale fatolo, E, este valoaea mede (petu testul de omogetate) sau feveţa (petu testul de depedeţă) aşteptată petu peehea (,) de valo ale fatolo, este valoaea statst h squae a χ este valoaea paametulu statst h squae d dstbuţa u aelaş ume): = = = (, E E,, ) χ (( )( )) () Testaea dvduală a omogetăţ valolo dt-o lasă (le sau oloaă î tabel) ş î aelaş tmp eaea ue eah a egulatăţlo se obţe desompuâd expesa lu î: ( = =, E E,, ) (, E ), χ ( ) ; = χ ( ) E Pesupueea atuală este ă obsevaţle, sut ezultatul multplă elo do fato, eea e fae a obsevaţle epetate să apoxmeze tot ma be efetul de =, () A-4

16 multplae, ş de a ezultă o fomulă de expmae petu feveţa aşteptată E, [4]: = =,k k, k= k= E, = (3), Î aelaş adu al pesupue atuale al efetulu multplatv al elo do fato asupa obsevable d put de vedee matemat se pot fomula te pesupue u pve la eoaea pătată (, -E, ) podusă de obsevaţe: măsuătoaea este afetată de eo absolute îtâmplătoae; măsuătoaea este afetată de eo elatve îtâmplătoae; măsuătoaea este afetată de eo îtâmplătoae pe o saă temedaă îte eo absolute ş eo elatve; Pma dte poteze (eo absolute îtâmplătoae) odue d put de vedee matemat la mmzaea vaaţe îte model ş obsevaţe (elaţa 4), a doua dte poteze odue la mmzaea pătatulu oefetulu de vaaţe (elaţa 5) a o soluţe (ua d ma multe soluţ posble) la ea de-a tea dte poteze o epeztă mmzaea statst (elaţa 6). S = = = (, a b ) = m. (4) CV = = = (, a b ) (a b ) = m. (5) = = = (, a b ) a b = m. (6) Î elaţle (4)-(6) apa expmaţ e do fato a ăo depedeţă se vefă p temedul efetulu multplatv (a, epeztă otbuţa pmulu fato la valoaea aşteptată E, a b, epeztă otbuţa elu de-al dolea fato la valoaea aşteptată E, ş expesa valo aşteptate E, este dată, aşa um pesupueea atuală a fost făută de podusul elo două otbuţ: E, =a b ). Mmzaea attăţlo date de elaţle (4)-(6) î sopul detemă otbuţlo fatolo A (A=(a ) ) ş B (B=(b ) ) se fae pe aeeaş ale, dată gee de elaţa (7): (a,b ) = a ; (a, b ) = b ude expesa de devat (a,b ) este ua d expesle S, CV ş date de elaţle (4)- (7) [4] FISHER Roald A. 93. Studes Cop Vaato. II. The Maual Respose of Dffeet Potato Vaetes. Joual of Agultual See 3:3-3. A-43

17 (6). Î uma alululu se obţe ă elaţa (4) este vefată de aele valo (a ) ş (b ) ae vefă de asemeea elaţa (8), elaţa (5) este vefată de aele valo (a ) ş (b ) ae vefă de asemeea elaţa (9), a elaţa (6) este vefată de aele valo (a ) ş (b ) ae vefă de asemeea elaţa (): b, a, = = a =, =.. ; b,.. = = (8) b a = =,, b = = a a =, =.. ; b,.. = = = b, =,, b = = a a =, =.. ; b,.. = = b a = a, = (9) () Se poate de asemeea aăta matemat ă elaţle (8)-() admt o ftate de soluţ ş ă famlle de soluţ ale elaţlo (8)-() se află î veătatea famle de soluţ date de elaţa (3), e-ssă a a elaţa (), expmâd explt e do fato A ş B: = =,k k, k= k= a b = (), Calea detă de ezolvae a euaţlo (8)-() făă a fae apel la euaţa () este efetă. De exemplu petu =, =3 substtuţle î elaţa (8) du la: a (, +, +,3 ) (, +, +,3 ) a a + = (,,,,,3,3) a + + () ae este ezolvablă î (a /a ) ae dovedeşte ă exstă o ftate de soluţ (petu oe valoae eulă a lu a exstă o valoae a ae să vefe euaţa ) ş gadul euaţe () este dat de m(,). Euaţle e se obţ pe alea substtuţe dete dev d e î e ma omplate u eşteea lu `` ş `` ş u oboâea dspe elaţa (8) ăte elaţa (). Astfel, de exemplu petu aelaş = ş =3 substtuţle î elaţa () odu la: A-44

18 , + + (,,, (, 4,, (,,, a ) a, 4, a ) a a ) a 5 + ( 3 + 4, +,,,,, ( 4, (,,, a ) a,, 4 a ) a ) = ae este o euaţe de gadul 5 (+). Calea detă de ezolvae a elaţlo (8)-() este p apoxmaţ suessve făâd apel la soluţa apoxmatvă ofetă de (). Astfel, se foloseşte elaţa () petu a obţe pma apoxmaţe (apoxmaţa ţală) a soluţe după ae î feae suesue de apoxmaţ se îloues vehle valo ale apoxmaţe î patea deaptă a elaţlo (8)-() petu a obţe ole apoxmaţ. Metoda apoxmaţlo suesve ovege apd ăte soluţa optmală. Astfel petu elaţa (8) te teaţ sut sufete petu a obţe (vez Tabelul ) o valoae ezduală de ş de la aeastă teaţe îolo valoaea ezduală îş shmbă fele dolo de a 5- a zemală, î tmp e petu elaţa () aeeaş altate a epezetă soluţe optmale este obţută după 4 teaţ. Folosd datele d [4] edate î Tabelul, valole sugeate de euaţle () petu podusele (a b ) 6; sut edate î Tabelul, valole e ezultă după ezolvaea teatvă a elaţlo (8)-() sut edate î Tabelele 3-5, î tmp e Tabelul 6 etalzează ezultatele obţute pe ele 4 ă. + (3) Tabelul. Valo expemetale î tatametul atoflo TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D Suma DS DC DB US UC UB Suma Legedă: T_V: Tatamet vs. Vaetate UD, KK, KP, TP, ID, GS, AJ, BQ, ND, EP, AC, D: vaetăţ de atof (UD: Up to Date; KK: K of K; KP: Ke's Pk; TP: Twald Pefeto; ID: Io Duke; GS: Geat Sott; AJ: Aax; BQ: Btsh Quee; ND: Nthsdale; EP: Epue; AC: Aa Comade; D: Duke of ok) DS, DC, DB, US, UC, UB: tatamete (D* - u fetlzat atual; U* - făă; S - sol fetlzat u sulfat; C - sol fetlzat u lou; B - sol fetlzat u baze) A-45

19 Tabelul. Valole poduselo (a b ) 6; alulate u elaţa () TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tabelul 3. Valole optmzate ale poduselo (a b ) 6; folosd elaţle (8) TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tabelul 4. Valole optmzate ale poduselo (a b ) 6; folosd elaţle (9) TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tabelul 5. Valole optmzate ale poduselo (a b ) 6; folosd elaţle () TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB După um se obsevă î Tabelul 6, feae dte metodele defte de elaţle (8)- () îmbuătăţeşte valoaea sume obetv î apot u expesa deftă de fomula apoxmatvă () ş epeztă oeţ ale aestea. Astfel, elaţa (8) îmbuătăţeşte soluţa popusă de elaţa () î poteza eo expemetale ufom dstbute îte lase (eoaea expemetală absolută), elaţa (9) îmbuătăţeşte soluţa popusă de elaţa () î poteza eo expemetale popoţoale u magtudea feomeulu obsevat (eoaea expemetală elatvă) î tmp e elaţa () îmbuătăţeşte soluţa popusă de elaţa () mmzâd statsta Peaso-Fshe (a ăe expese este o Peasoaă de tpul III [7]). A-46

20 Tabelul 6. Valo ompaatve petu eoaea expemetală îtâmplătoae S CV Cat eq() eq(8) eq() eq(9) eq() eq(8) eq() eq(9) eq() eq(8) eq() eq(9) DS DC DB US UC UB UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D Σ Valole obţute î Tabelul 6 petu eoaea expemetală î ele 3 fome ale sale (pătată absolută S, pătată elatvă CV, ş Peasoaă ) petu ele 4 azu (feveţă teoetă estmată d otgeţă - eq., feveţă teoetă estmată d mmzaea eo pătate absolute - eq. 8, feveţă teoetă estmată d mmzaea eo pătate elatve - eq. 9, feveţă teoetă estmată d mmzaea statst Peaso-Fshe - eq. sut valo obţute ît-u desg de expemet î ae exstă exat do fato depedeţ (tp tatamet ş tp sol sau fato A ş fato B) eea e pemte o epezetae î pla a dstaţelo Euldee îte ezultate. Î Fgua au fost epezetate dstaţele Euldee îte eole expemetale estmate de feae fomulă (8)-() folosd tughu Syde [5] (dagame fevet foloste î omatogafe petu a epezeta 3 sau ma mulţ paamet e depd de do fato). Fgua a fost ealzată mpuâd epezetaea la aeeaş saă a ae de eoae î apot u e do fato (p fxaea dstaţe dte oodoata eo expemetale î poteza S = m. ş oodoata eo expemetale î poteza CV = m.) âd oodoata î poteza =m. s-a obţut p maxmzaea ae de eoae (maxmzaea alo tughulo S, V ş ). Coodoatele otgeţe s-au obţut astfel îât poeţle [5] SNDER Lloyd R Classfato of the solvet popetes of ommo lquds. Joual of Chomatogaphy A 9():3-3. A-47

21 otgeţe pe latule tughulo să împată latule î apoatele obsevate îte dfeeţele d Tabelul 6. S E S E S V E E V V S Legedă: S - oodoata eo expemetale î poteza S =m. (e. 9); V - oodoata eo expemetale î poteza CV =m. (e. ); S - oodoata eo expemetale pătate absolute (S ) î poteza =m. (e.); V - oodoata eo expemetale pătate elatve (CV ) î poteza =m. (e.); - oodoata statst î poteza =m. (e.); E S - oodoata eo expemetale pătate absolute (S ) î poteza otgeţe (e.4); E V - oodoata eo expemetale pătate elatve (CV ) î poteza otgeţe (e.4); E - oodoata statst Peaso-Fshe ( ) î poteza otgeţe (e.4); S - tughul eolo pătate absolute (S ); V - tughul eolo pătate elatve (CV ); - tughul statstlo ; E - tughul de otgeţă; - tughul de vaaţe a statst ; Fgua. Dstaţe Euldee îte estmăle eolo expemetale V Costuţa d Fgua pemte apee altatve u pve la modelul de otgeţă deft de e. () ş la statsta Peaso-Fshe î apot u atua eo expemetale. Astfel, se obsevă (î Fgua ) ă sgua teseţe îte aa de otgeţă ş ale de eoae se ealzează u eoaea pătată absolută, de otgeţa deftă de euaţa () asguă agemetul îte obsevaţe ş model uma petu aest tp de eo d ele 3 upse î studu. De asemeea, sgua teseţe a tughulu de vaaţe a statst este u tughul statst eea pe de o pate eomadă folosea optmză defte de e. (4) [4] sau de e. (6) [8] ş pe de altă pate demostează de e testul Ch A-48

22 Squae este ma expus [6] deât alte teste um a f Kolmogoov-Smov ([7,8]) ş Adeso-Dalg ([9,3]) la eo de tp I espgâd poteza ulă ă vaabla le u este î elaţe u vaabla oloaă (asoeea este îtâmplătoae) ha âd de fapt poteza este adevăată. Se poate epezeta pozţa elatvă a soluţe popuse de elaţa () î apot u valole optmale popuse de elaţle (8)-(). Petu aeasta datele d Tabelul 6 au fost tasfomate um aată Tabelul 7. Tabelul 7. Tasfomaea valolo ezduale d Tabelul 7 î valo elatve la mm Valo absolute S CV E S =m =m CV =m Valo elatve S CV E.6.6. S =m...4 =m CV =m Î Fgua 3 s-a epezetat î oodoatele defte de valole petu S, CV ş valole elatve ale eo (exesul de eoae) petu ezultatele obţute p estmaea smplă (E, elaţa ), mmzaea eo pătate absolute (S =m., elaţa 8), mmzaea eo pătate elatve (CV =m., elaţa 9) ş mmzaea statst ( =m., elaţa ). Rezultatul epezetă d Fgua 3 este osstet u ezultatul poeţlo î pla d Fgua. Fgua 3 evdeţază ă soluţa popusă de () este foate apoape de soluţa popusă de (8) ş () fd temedaă aestoa ş este foate depate de soluţa popusă de (9). [6] STEELE Mke, CHASELING Jaet, HURST Cameo. 5. Smulated Powe of the Dsete Came-vo Mses Goodess-of-Ft Tests. Iteatoal Cogess o Modellg ad Smulato. Advaes ad Applatos fo maagemet ad deso makg. MDSIM 5:3-34. [7] KLMGRV Adey. 94. Cofdee Lmts fo a Ukow Dstbuto Futo. The Aals of Mathematal Statsts (4): [8] SMIRNV Nkolay V Table fo estmatg the goodess of ft of empal dstbutos. The Aals of Mathematal Statsts 9():79-8. [9] ANDERSN Theodoe W, DARLING Doald A. 95. Asymptot theoy of eta "goodess-of-ft" tea based o stohast poesses. Aals of Mathematal Statsts 3():93-. [3] SCHLZ Ftz W, STEPHENS Mhael A K-sample Adeso-Dalg Tests. Joual of the Amea Statstal Assoato 8(399): A-49

23 (-.4) CV = S = CV =m. =m. E S =m. S (-.44) CV (-.3) = Fgua 3. Pozţa estmă empe () î spaţul eolo mme elatve (8)-(9)-() Pobleme fevet îtâlte î aplaea testulu χ a măsuă a depedeţe N aplaea testulu χ petu vefaea depedeţe u este suttă de dfultăţ î pată [3]. Astfel, FISHER a popus a alteatvă la testul χ [3] testul ae astăz î poată umele (Fshe Exat Test, [33]), ae se bazează pe alulul pobabltăţlo magale. Petu o tabelă de otgeţă, se uoaşte ă exstă exat u sgu gad de lbetate. Tabelul de ma os (Tabelul 8) lustează aeastă stuaţe, î ae mpuele sut date de sumele obsevaţlo. [3] FISHER Roald A Statstal Methods fo Reseah Wokes. lve ad Boyd, Edbugh. [3] FISHER Roald A The Log of Idutve Ifeee. Joual of the Royal Statstal Soety 98: [33] AGRESTI Ala. 99. A Suvey of Exat Ifeee fo Cotgey Tables. Statstal See 7():3-77. A-5

24 Tabelul 8. tabelă de otgeţă ae u sgu gad de lbetate (x) Clasa A Clasa Ω \A Total Ω Clasa B x -x Clasa Ω \B -x 3 - +x Total Ω Pobabltatea de a obseva ofguaţa d Tabel este dată de dstbuţa multomală (elaţa 4), î tmp e valoaea statst Ch Squae ( ) este dată de elaţa (5): p MN!! 3! + 3 )! (x;,,3) = (4) x! x)! x)! + x)! + )! (x + x3 ) + 3) (x;,,3) = (5) + ) Itevalul pe ae obsevabla x poate lua valo este [..m, )]. 3 Petu exemplfaea poblemat s-au folost datele d [3] = 3, =, 3 = 8) âd tevalul de vaaţe al lu x este [..] î tmp e valoaea obsevată a fost. Valoaea statst (elaţa 5) a fost epezetată î Fgua Fgua 4. Valoaea statst î fuţe de obsevabla depedetă x Aşa um se evdeţază î Fgua 4, spaţul obsevaţlo posble u pve la valoaea statst î fuţe de obsevabla depedetă x este dset. Valoaea obsevată (x=) este stuată ît-o veătate a ue mag (x=) avâd două obsevaţ ma defavoable deât ea (u o valoae ma mae) î aeeaş veătate (x= ş x=) ş o obsevaţe ma defavoablă î veătatea opusă (x=). D aest momet exstă două abodă, oespuzăto u obetvul ompaaţe d tabela de otgeţă. Daă obetvul obsevaţe este evdeţeea pobabltăţ a să se obseve depătă ma ma de la omogetate deât depătaea obsevată, atu pobabltatea asoată obsevaţe se obţe d umulaea pobabltăţlo î x=, x=, x= ş x=. Daă obetvul obsevaţe este evdeţeea pobabltăţ a să se obseve depătă ma ma de la omogetate î sesul depătă obsevate, atu pobabltatea asoată obsevaţe se obţe A-5

25 d umulaea pobabltăţlo î x=, x= ş x=. Î Fgua 5 a fost epezetată pobabltatea obsevaţe (elaţa 4) Fgua 5. Valoaea statst pobabltăţ obsevaţe î fuţe de obsevablă Tabelul 9 peztă petu ompaaţe valole a te pobabltăţ: d dstbuţa χ (p ), a pobabltăţ de obsevae a ue depătă de la omogetate ma ma î sesul ele obsevate (p ) ş espetv a ue depătă ma ma î oe ses (p D ). Î aeastă ostuţe pobabltatea d dstbuţa χ (p ) este u estmato al ue depătă ma ma î oe ses (p D ). Tabelul 9. Pobabltăţ de obsevae Pobabltate Expese de alul Valoae p χ CDF( =3.3,df=) p (x ) p MN (,3,,8)+ p MN (,3,,8)+p MN (,3,,8) p (x > ) p MN (,3,,8)+p MN (,3,,8) p D (x ) p (x )+p MN (, 3,,8) p D (x > ) p (x > )+p MN (,3,,8) Tabelul 9 aată um testul χ este î eoae atu âd valole d tabelul de otgeţă se abat de la odţle mpuse asupa feveţelo obsevate (el mult % dte elulele otgeţe să oţă valo ma m deât 5). Tabelul 9 ma aată um î aeste azu testul Ch Squae este expus la eo de tpul I (aodâd o pobabltate ma mă deât ea eală evemetulu de a se podue obsevaţa obsevată, se află î sul de a aepta poteza otaă ha daă ea u este adevăată, eea e este totua u a espge poteza ulă ha daă ea este adevăată). Petu a oeta semfaţa statstă petu tabele de otgeţă (sau feveţă) u A-5

26 puţe obsevaţ, Fak ATES a popus [ 34] o oeţe la otutate î ae î expesa euaţe statst (elaţle (), () ş ()) d modulul dfeeţe îte feveţa obsevată ş feveţa estmată î poteza depedeţe estmae se sade.5 smbolzâd mloul tevalulu de feveţă î tmp e MANTEL ş HAENSZEL au popus [35] podeaea (împăţea) statst u df/(df-), ude df este umăul de gade de lbetate ale asoe. N ua dte aeste austă îsă u este o alteatvă deât la χ, testul Fshe Exat epezetâd testul de au (Golde Test) petu valoaea adevăată a pobabltăţ de apaţe a evemetulu obsevat. sau 3.4. Reges Lae Multple euaţe de egese laă multplă este o euaţe de foma: b + b + +b = Ŷ ~ b + +b = Ŷ ~ () ude este u ş de obsevaţ expemetale supuse eo expemetale îtâmplătoae a {,, } epeztă o mulţme de despto { } asupa ăoa se fomulează poteza ă o asoee laă a aestoa explă obsevaţle expemetale efetuate, a şul (b ) epeztă paamet modelulu (ş î aelaş tmp oefeţ euaţe). Umătoaele aatest defes euaţle () ş (): umăul de vaable depedete: = ; umăul de obsevaţ expemetale: m = = = = ; umăul de paamet a modelulu: b = + petu () ş b = petu (). Î obţeea paametlo euaţe de egese () sau () se asumă umătoaele poteze: valole vaable sut omal dstbute; eoaea de măsuă a lu este îtâmplătoae ş de asemeea dstbută omal; vaablele,, au valo dstbute omal ş u sut afetate de eo. bţeea paametlo ue euaţ de egese (b ) d obsevaţ este îtotdeaua îsoţtă de u s de a f î eoae, a î poteza ă exstă elaţa laă deftă de () sau () folosd dstbuţa Studet t se poate apea semfaţa statstă ş tevalul de îedee al aestoa. Petu a euaţa () sau () să admtă soluţe uă este eesa u îsă ş sufet) a m-. Petu a paamet euaţe de egese (b ) să abă ş semfaţe statstă [34] ATES Fak Cotgey table volvg small umbes ad the χ test. Joual of the Royal Statstal Soety (Supplemet) : [35] MANTEL Natha, HAENSZEL Wllam Statstal aspets of the aalyss of data fom etospetve studes of dsease. Joual of the Natoal Cae Isttute, (4): () A-53

27 este eesa u îsă ş sufet) a m-6. Î azul abseţe semfaţe statste petu oefetul b, euaţa () se poate estâge la euaţa (). Abseţa semfaţe statste petu u oefet b al ue vaable ( ) î euaţa de egese () asoată u abseţa semfaţe statste a aestua ş î euaţa de egese () mpue espgeea poteze legătu lae îte obsevabla ş vaabla. Î aeste poteze poblema detemă oefeţlo (b ) ale euaţe se ezolvă p mmzaea sume eolo obsevat vs. uosut: Σ m (Ŷ - ) m. (3) Rezolvaea euaţe de mmzae pesupue ezolvaea uu sstem de euaţ la ş omoge ale ăe euosute sut oefeţ (b ). Rezolvaea euaţe de egese () p mmzaea pătatelo eolo (LSE - least squaes eo) dată de elaţa (3) mplă: expmaea mateală a sstemulu de euaţ lae ş omogee date de (3): M() M ) a= M() M() M ) ; M ) M ) M ) (4) M() / m b= M() ; = / m M) / m ostuţa mate extse a sstemulu: M() M() M ) / m M() M( ) M() M ) / m M) M ) M) M ) / m tasfomaea mate extse a sstemulu folosd algotmul Gauss-Joda (p opeaţ elemetae efetuate asupa llo mate) avâd a obetv (ş pâă âd) se obţe matea utaă î spaţul mate a ş âd se obţ oefeţ (b ) ş eole stadad ale aestoa (s(b )) : A-54

28 b b b s(b) s(b) s(b ) Rezolvaea euaţe de egese () p mmzaea pătatelo eolo (LSE - least squaes eo) dată de elaţa (3) mplă: expmaea mateală a sstemulu de euaţ lae ş omogee date de (3): M() M() M ) / m b= ; a= ; = (6) M) M) M ) / m ostuţa mate extse a sstemulu: + M() M() M ) / m M) M) M ) / m tasfomaea mate extse a sstemulu folosd algotmul Gauss-Joda (p opeaţ elemetae efetuate asupa llo mate) avâd a obetv (ş pâă âd) se obţe matea utaă î spaţul mate a ş âd se obţ oefeţ (b ) ş eole stadad ale aestoa (s(b )) : b b + s(b ) s(b ) Coefetul de oelaţe ofeă o măsuă a legătu lae îte ele două vaable ( ş Ŷ) ş se alulează pe baza fomule (ude M este valoaea mede): (5) (7) (,Ŷ) = ov(, Ŷ) = s() s(ŷ) M(Ŷ) M() M(Ŷ) M( ) M () M(Ŷ ) M (Ŷ) (8) Semfaţa statstă a legătu lae aatezate de oelaţa dată de elaţa (8) este obţută d statsta Fshe F (ude b este umăul de oefeţ folosţ î estmae), a pobabltatea asoată espge modelulu la d fuţa umulatvă de pobabltate (CDF) a dstbuţe Fshe: F() m b = ; p F ( F(),, m b ) F = (9) CDF Î poteza ă sstemul de euaţ admte o soluţe uă petu euaţa de egese, potezele asumate pemt ş obţeea semfaţlo statste ale paametlo t(b ) ş a A-55

29 pobabltăţlo asoate valolo semfatv statst eule ale aestoa folosd dstbuţa Studet t (ude s(b ) este dat de (5) petu () ş de (7) petu ()): b m b t (b) = ; p m t = t CDF( t(b ),m b ) () s(b) ( Ŷ ) = A-56