XIII SEKCIJA TAIKOMOJI SKAITINĖ ANALIZĖ

Transcription

1 XIII SEKCIJA TAIKOMOJI SKAITINĖ ANALIZĖ.

2

3 KOMPIUTERINIŲ PAKETŲ TAIKYMAS AVIACIJOS VARIKLIAMS DIAGNOZUOTI Vincas Valavičius Vilniaus Gedimino technios universitetas ir Vilniaus pedagoginis universitetas Ramunė Zaliecaitė Vilniaus pedagoginis universitetas Ingrida Talalienė Vilniaus pedagoginis universitetas Parengtas aviacijos varilių patiimumo charateristių saičiavimo metodas taiant ompiuterinį paetą MathCAD00 ir parametrų, gaunamų bandant varilius, analizės metodas taiant paetą Matlab6. Pateiiami aviacijos varilių patiimumo ir diagnostinių charateristių programavimo pavyzdžiai taiant šiuos paetus.. Įvadas Aviacijos varilių patiimumas yra svarbiausioji savybė orlaivių srydžių saugai užtirinti. Patiimumas ir diagnozavimas prilauso nuo įvairių oro uosto ir aviaompanijų tarnybų tampraus ir darnaus ryšio. Visa tai pasieiama nuoseliai tobulinant orlaivių onstruciją, diagnostią, taip pat srydžių ir inžinerinių techninių darbuotojų valifiaciją. Orlaivių techninės priežiūros patirtis ir aviacijos įvyių priežasčių ir incidentų analizė parodo, ad orlaivis ir patiimumas, personalo valifiacija, taip pat aplinos sąlygos yra pagrindas aprūpinant srydžių saugą. Didelį poveiį orlaivių patiimumo lygiui sudaro techninės priežiūros ir patiimumo procesų automatizavimas taiant informacines techniologijas, todėl buvo tirtas ompiuterinių paetų Matlab6 ir MathCAD00 taiymas artu su itomis ompiuterinėmis technologijomis.. Aviacijos varilių diagnozavimo analizės išvados taiant ompiuterinius paetus Pagrindinis aviacijos varilių diagnozavimo tislas yra jų techninės būlės nustatymas esamuoju laio momentu. Parengti aviacijos varilių diagnozavimo algoritmus projetavimo metu yra labai sudėtinga, adangi neįmanoma tisliai prognozuoti, aip esploatavimo laiotarpiu pasieis matuojamieji parametrai ir funcinės charateristios []. Šios charateristios inta, ai įvysta aviacijos varilių tam tiri gedimai. Tislus aviacijos varilių diagnozavimo algoritmų parengimas galimas ti pritaiius ompiuterinius paetus ir ompiuterines technologijas funcinėms charateristioms analizuoti ir gedimams varilių moduliuse nustatyti, panaudojus aviacijos varilių charateristių informaciją, gaunamą jų esploatavimo metuį. Aviacijos varilių diagnostiniams paramatrams analizuoti yra taiomi ompiuteriniai paetai Maple8, Matlab6 ir MathCad00. Kompiuterinis paetas Maple8 yra taiomas aviacijos varilių tiesinėms diagnostinėms matricoms spręsti ir yra labai greitas ir patogus. Kompiuterinis paetas Matlab6 plačiausiai yra taiomas eletroninėms sistemoms modeliuoti []. Šis paetas turi daug inžinerinių paetų, urie tina ir aviacijos variliams diagnozuoti. Tai paetas Processing Toolboch toioms omandoms organizuoti: geometrinės operacijos ir vaizdų analizė, statistia vienmatis ir dvimatis filtravimas. Taiant paetą Signal Processing galima lygiagrečiai pasinaudoti ir itais paetais. Patogu yra taiyti jo popaetį Image Processing dvimatėms funcinėms charateristioms analizuoti ir lasifiavimo uždaviniams spręsti, panaudojant atpažinimo teoriją. Klasifiavimo charateristioms išsirti patogu lygiagrečiai taiyti Neural Networ ir Fuzzy Logic paetus, o parametriniam modeliavimui laio srityje naudotinas System Identification paetas. Funcinių charateristių laio dinaminėms sistemoms identifiuoti pradėta taiyti paetą Frequency Domain Sytem Identification Toolbo. Šiuo paetu galima atliti aviacijos varilių modulių diagnozavimą, modeliuoti ir saičiuoti charateristių poyčius ir analizuoti atsititinių procesų funcijas. XIII

4 V.Valavičius, R.Zaliecaitė, I.Talalienė Paetas Matlab6 buvo pritaiytas aviacijos varilių charateristioms analizuoti [3]. Kompiuterinis paetas MathCad00 buvo pritaiytas aviacijos varilių tiesinėms diagnostinėms matricoms spręsti [3], bet šiam tislui yra daug tislesnis yra paetas Maple8, todėl paetas MathCad00 yra pritaiytas aviacijos varilių patiimumo charateristioms saičiuoti. Visi minėti ompiuteriniai paetai buvo pritaiyti aviacijos varilių gedimų analizės uždaviniams spręsti. Konferencijos pranešime pateiiama aviacijos varilių diagnozavimo galimybės taiant ompiuterinius paetus Matlab6 ir MathCad Aviacijos varilių patiimumo charateristių sprendimas taiant paetą MathCad00 Aviacijos varilių patiimumo charateristių įvertinimas sudaro sąlygas esploatuoti varilius pagal fatinę techninę būlę ontroliuojant jų patiimumo lygi. Pateitame MathCad00 taiymo pavyzdyje yra parodyta, aip saičiuojamos aviacijos varilių patiimumo charateristios pavyzdys ORIGIN:= Pradine informacija: saiciu pasirinimas (matrica A), A := Saiciavimai aviacijos varilių vidutiniam resursui ir vidutiniam vadratiniam nurypiui nustatyti B:= A T N := length B i:=.. N N = 9 f := B n := f i i d := 783 ( ) dydis d=t i reišia varilių gedimų lasę su didžiausiu ieiu gedimų t := B parametras b lygus intervalo pločiui tarp aimyninių gedimų lasių b := t t t d i z := i b := d + b i n f z i i Kvantilis Xi-vadratu sirstinys prie tiimybes γ=0.95 ir laisves lygiu saiciaus r=7 ( f j n j ) q j : = if n j > 0,, 0 n j χ : = q j j XIII

5 Kompiuterinių paetų taiymas aviacijos variliams diagnozuoti Lygybėje susaičiuota riterijaus reisme χ=.583 ir vantilio reisme X=4.064 rodo, ad susaičiuota reišmė yra mažesnė. Tai leidžia daryti išvada, ad esponentinio dėsnio aviacijos varilio gedimo hipotezės sirstinys ii gedimo gali būti priimtas su patiima tiimybe Taip pat buvo saičiuotas normaliojo ir Veibulo sirstinių taiymas patiimumo riterijams saičiuoti, urių pratiniai taiymo pavyzdžiai yra pateiti pranešime. Galimos aviacijos varilių gedimų priežastys gali būti: - funcionavimo lygio pažeidimas dėl gauto varilių parametrų pasieitimo; - mazgų tvirtumo atsargų išnaudojimas, urio resursai nustatomi susidėvint; - mazgų ilgaamžišumo išnaudojimas elementams ir detalėms, urioms numatytas planinis apitalinis taisymas; - gedimai ii ribinės neatstatomos elementų būlės; - varilio elementų sutriimas dėl mechaninių detalių pažeidimų dėl nuovargio. Seančiame tiriamajame darbe atlieami tolimesni aviacijos varilių patiimumo parametrų saičiavimai. 4. Aviacijos varilių diagnostinių charateristių analizė taiant paetą Matlab6 Aviacijos varilių diagnostinėms charateristioms analizuoti, urios gaunamos bandymų ar srydžio metu, buvo suprogramuotos paeto Matlab6 taiymo technologijos, urių pratinio realizavimo pavyzdys parodytas pavyzdyje. pavyzdys To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu. % Bandymo (esperimentinių) tašų vetoriaus dydis n=0; % Esperimentinės prilausomybės pirmavaizdžio (prototipo) tašų vetorius X=:0 X = Pradinės prilausomybės ir triušmo parametrai a0=; a=-; mu=0; sigma=0.; % Pradinės prilausomybės vaizdas y=inline('a0+a*./','','a0','a'); % Pradinės prilausomybės tašu vetorius Z=y(X,a0,a); % Normalaus triušmo tasu vetorius W=normrnd(mu,sigma,,n); % Esperimentinės prilausomybės pavidalo tašų vetorius Y=Z+W; % Pradines ir esperimentines prilausomybes grafiai =X():0.:X(n); y=y(,a0,a); plot(x,y,'bo',,y,'r'), pause % Grafias Nr. % Esperimentines prilausomybės 'tiesinimas' U=./X; V=Y; % 'Tiesinės' prilausomybės grafias plot(u,v,'bo',u,z,'r'), pause % Grafias Nr. % XIII 3

6 V.Valavičius, R.Zaliecaitė, I.Talalienė % Taiome tiesinės aprosimacijos metodą U(V) % Pagalbinių dydžių saičiavimas Mu=/n*sum(U) Mu = 0.99 Mv=/n*sum(V) Mv =.707 Kuv=/n*sum((U-Mu).*(V-Mv)) Kuv = S=/n*sum((U-Mu).^) S = % 'Tiesinės' prilausomybės parametrų saičiavimas b=kuv/s, b0=mv-b*mu b = b0 =.04 % Neatitiimo 'tiesinei' prilausomybei saičiavimas delta=sum((v-(b0+b*u)).^) delta = % Atvirštinis perėjimas prie esperimentinės prilausomybės ae0=b0, ae=b ae0 =.04 ae = % Pradinės prilausomybės įvertinimo neatitiimas delta=sum((y-y(x,ae0,ae)).^) delta = % Prilausomybės grafiai y=y(,ae0,ae); plot(x,y,'bo',,y,'r',,y,''), pause Grafias Nr. 3 % % Kito numatomo netiesišumo sprendimas phi=inline('./(c+c*ep(-))','','c','c'); U=ep(-X); V=./Y; % Pradinės prilausomybės įvertinimo parametrai c=polyfit(u,v,) c = % Pradinės prilausomybės įvertinimo neatitiimas delta=sum((y-phi(x,c(),c())).^) XIII 4

7 Kompiuterinių paetų taiymas aviacijos variliams diagnozuoti delta = % Prilausomybės grafiai y3=phi(,c(),c()); plot(x,y,'bo',,y,'r',,y3,'') % Grafias Nr. 4 % pav. Pateitas vieno grafio pavyzdys, uris gautas taiant paetą Matlab6 5. Išvados Aviacijos varilių patiimumo ir diagnozavimo uždaviniams spręsti yra pritaiyti ompiuteriniai paetai MthCad00 ir Matlab6, urie naudojami: patiimumo charateristioms saičiuoti; diagnostinėms charateristioms įvertinti. Literatūros sąrašas [] А.М. Ахмедзянов, Н.Г. Дубравский, А.П. Тунаков. Диагностика состояния ВРД по термогазодинамическим параметрам. Москва: Машиностроение, 983. С [] В. Говорухин, В. Цибулин. Компютер в математическом исследовании. Учебный курс. СПб: Питер, с. [3] Vincas Valavičius. Aviacijos varilių diagnozavimas taiant ompiuterinius paetus // Informacinės technologijos 00. Konferencijos pranešimų medžiaga. ISBN Kaunas: Technologija, 00. P Application computer of pacages for diagnosing aviation engines The method of calculation of the characteristics of reliability with use of a pacage MathCAD00 and method of the analysis of the given tests with use of a pacage Matlab6 of aviation engines is offered. The algorithms of calculation of the characteristics of reliability and tests of aviation engines with use of pacages are developed. XIII 5

8 KRŪMINIO DANTIES ERDVINIS BAIGTINIŲ ELEMENTŲ MODELIS Jovita Danielytė, Žygintas Jonaitis Kauno technologijos universitetas, Inžinerinės mechanios atedra, A.Micevičiaus 37, Kaunas A. Černiio Odontologijos linia, Laisvės al. 66, Kaunas Žmogaus dantis yra ireguliarios geometrinės formos ūnas. Sudaryti toios geometrinės formos ūnų erdvinį baigtinių elementų modelį nėra lengva. Šiame darbe nagrinėjamas apatinio žandiaulio antro rūminio danties modelis. Tiriamo danties geometrinis modelis sudarytas remiantis tomografinėmis nuotrauomis. Šiose nuotrauose matomi danties pjūvių rentgeno vaizdai. Kievieno pjūvio ontūras aprosimuojamas ubiniu splainu. Šie ontūrai apjungiami ir taip gaunamas erdvinis geometrinis modelis, uris naudojamas baigtinių elementų modelio (BEM) sudarymui. Analogišai, pagal tomogramose matomas danties aplinos audinių ribas, suurti ir periodonto bei alveolinio aulo modeliai. BEM analizei pasirintas tetraedrinis baigtinis elementas. Tos danties ir jo aplinos BEM paanamai realiai aprašo tiriamą biosistemą. Tirti danties posliniai ir įtempimų pasisirstymas periodonte.. Įvadas Šiuo metu vis didesnis dėmesys siriamas žmogaus sveiatai. Didėjant gydymo oybės reialavi-mams, tena gydymo procesą modeliuoti iš ansto. Tam, naudojant saitmeninius metodus, suuriami tiriamą sistemą aprašantys modeliai. Pastaruoju metu stomatognatinės sistemos biomechaniai tirti plačiai naudojamas baigtinių elementų metodas [,, 3]. Šis metodas leidžia aprašyti ireguliarios geometrinės formos ūnus, įvertinti medžiagų fizines savybes, modeliuoti liniines situacijas ir parinti teisingą gydymo strategiją. Darbo tislas naudojantis tomografinėmis nuotrauomis, sudaryti trimatį danties ir jo aplinos audinių baigtinių elementų modelį. Atlius baigtinių elementų analizę, apsaičiuoti danties poslinius, įtaotus išorinio poveiio, bei įtempimų pasisirstymą, dantį aule laiančiame, periodonte. Tyrimui pasirintas apatinio žandiaulio antras rūminis dantis.. Modelio sudarymas Suurti danties geometrinį modelį yra gana sunu [4]. Šiame darbe danties geometrijai aprašyti naudotos tomografinės nuotrauos ( pav.). Nuotrauose pateiiami vaizdai gauti dantį ertant projetuojan čiomis ploštumomis. pav. Danties tomografinės nuotrauos XIII 6

9 Krūminio danties erdvinis baigtinių elementų modelis Tomografu gauti danties pjūviai analizuoti naudojant programinį paetą MATLAB 6.0. Specialiai parašyta programa nusaito tomografinę nuotrauą ir interatyviniame režime pele pažymimi danties pjūvio ontūro charateringi tašai ( pav.). Šių tašų oordinatės naudojamos BEM geometrijos sudarymui. Baigtinių elementų analizės sistema ANSYS 5.6. ievieno pjūvio tašus aprosimuoja uždaru ubiniu splainu. Sirtingose darbinėse ploštumose gautos, tiriamą objetą aprašančios, reivės (3pav.) jungiamos į sritis, urios vėliau naudojamos ūnams formuoti. Analogišai sudaryti periodonto ir alveolinio aulo modeliai. Kadangi žmogaus dantis yra ireguliarios geometrijos ūnas, todėl pasirintas erdvinis Solid 7 tipo baigtinis elementas. Solid 7 baigtinis elementas tai tetraedras, urio viršūnėse yra mazgai. Kievienas mazgas turi po 6 laisvės laipsnius: poslinius ašių X, Y ir Z ryptimis ir posūius apie šias ašis. Sudarytame antrojo rūminio danties ir jo aplinos baigtinių elementų modelyje yra 8000 mazgų ir elementų (4 pav.). pav. Danties pjūvio ontūro charateringi tašai 3 pav. Danties geometriją aprašančios reivės 4 pav. Danties baigtinių elementų modelis Sudarytame baigtinių elementų modelyje dantis periodontas ir alveolinis aulas modeliuojami, aip izotropiniai ir homogeniši. Tampriosios medžiagos savybės charaterizuojamos Jungo moduliu E ir Puasono oeficientu ν ( lentelė) [5]. Danties posliniams ir įtempimams periodonte apsaičiuoti, alveolinio aulo dugno ploštuma įtvirtinama nejudamai suvaržant visus laisvės laipsnius, o danties vainio sruostiniame paviršiuje veiia, ortodontines jėgas imituojančios, aprovos (F=N). XIII 7

10 J.Danielytė, Ž.Jonaitis lentelė. Medžiagų savybės Medžiaga Jungo modulis E,Pa Puasono oeficientas ν Dantis 0 0 0,5 Periodontas, ,49 Alveolinis aulas, ,5 3. Rezultatai Sudarius danties ir jo aplinos saičiuojamąjį modelį, naudojant baigtinių elementų analizės sistemą ANSYS spręstas didelių poslinių statios uždavinys, leidžiantis daryti išvadas apie danties poslinius (5 pav.) ir įtempimus periodonte (6 pav.). 5 pav. Danties posliniai 6 pav. Įtempimai σ Z periodonte Išanalizavus, suminius danties poslinius vaizduojantį, spalvų spetrą (5 pav.) matyti, ad mažiausių poslinių sritis yra pažymėta juodai. Čia posliniai lygūs 0.55 µm. Didžiausi posliniai gauti danties vainie ir jie lygūs.49 µm. Veiiamas jėgos, dantis pasisuo apie, tarp danties šanų esančią, ašį. Toiu atveju periodonte susidaro dvi tempimo ir dvi gniuždymo zonos (6 pav.). Toje pusėje, ur pridėta jėga, virš suimosi ašies esanti zona yra tempiama, o žemiau ašies gniuždoma. Priešingoje pusėje atvirščiai. Įtempimų pasisirstymas prilauso ir nuo danties šanies paviršiaus nelygumų. Gauta, ad įtempimai periodonte inta nuo MPa ii 0.49 MPa. 4. Rezultatų aptarimas Pagal tomografines nuotrauas galima nustatyti danties bei jį supančių audinių ribas ir tai panaudoti biomechaninei analizei. Nors trimačių modelių ūrimas reialauja daug darbo ir ompiuterinių galimybių, galima gauti informatyvius danties ir jo aplinos modelius. Pasiūlytas originalus danties ir jo aplinos audinių geometrinio modelio sudarymo būdas in vitro. Modelių patiimumui būtini esperimentiniai biomedžiagų tyrimai. Literatūra [] A. Geramy. Alveolar bone resorption and the center of resistance modification (3-D analysis by means of the finite element method). American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics, 000, 7, 4, [] P. D. Jeon, P. K. Turley, K. Ting. Three-dimensional finite element analysis of stress in the periodontal ligament of the maillary first molar with simulated bone loss. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 00, 9, 5, [3] Ch. Bourauel, D. Freudenreich, D. Vollmer, D. Kobe. Simulation of Orthodontic Tooth Movements. Journal of Orofacial Orthopedics Fortschritte der Kieferorthopädie. 999, 60,, [4] C.-L. Lin, C.-H. Chang, C.-S. Cheng, C.-H. Wang. Automatic finite element mesh generation for mailary second premolar. Computer methods and Programs in Biomedicine. 999, 59, XIII 8

11 Krūminio danties erdvinis baigtinių elementų modelis [5] J. Middleton, M. L. Jones, G.N. Pande. Computer Methods in Biomechanics & Biomedical Engineering. Gordon & Breach Publishing Group Finite element model generation for lower second molar Developing three dimensional finite element mesh models for irregular geometric objects requires a large amount of manual efforts, hence limiting the three dimensional approach for tooth region structure analyses. Procedure which can be used to generate a three dimensional finite element mesh for the lower second molar was developed in this study. The analysed tooth was sliced by -ray tomograph parallel to the occlusal and sagital surface and scanned. A self-developed image processing system was employed to detect the boundaries of different materials within each section. ANSYS 5.6. mesh generation procedure was used on these boundaries to create tetrahedral elements based on moving nodes cubic spline approach. Periodontal ligament s and alveoral bone s FEM models were created in the same way. Displacements and stresses in the periodontal ligament were recorded. XIII 9

12 GREITA FURJE TRANSFORMACIJA PUASONO LYGTIES SPRENDIMUI PUSLAIDININKINIŲ DARINIŲ MATEMATINIAME MODELYJE M. Kazaevičiūtė, G. Kazaevičienė Matematios ir informatios faultetas, Vilniaus Universitetas, Naugarduo 4, LT600, Vilnius, Lietuva Suurtas lauo ir bipolinio tranzistoriaus matematinis modelis, uris leidžia apsaičiuoti eletronų, sylių, eletrinio lauo stiprio ar potencialo pasisirstymo paviršius, statines ir dinamines charateristias ir itus procesus, vystančius puslaidinininiame darinyje įjungimo arba išjungimo metu. Šiame darbe pateiiamas Puasono lygties sprendimo algoritmas, naudojant greitą Furje transformaciją. Metodas žymiai sumažina saičiavimų apimtis, lyginant su itais iteraciniais metodais. Visų miroeletroninių prietaisų tolimesnis vystymasis yra tiesiogiai susijęs su tranzistorinės eletronios veiimo spartos didinimu. Todėl tyrimai susiję su rūvininų pernešimo procesais puslaidinininiuose dariniuose, apsprendžiančiais pereinamųjų charateristių trumę ir formą, yra labai svarbūs. Reialinga išsiaišinti procesus, vystančius tranzistoriaus viduje, pastebėti toias jų savybes, apie urių egzistavimą galima ti spėlioti. Tena pasiliauti patiimu matematiniu modeliu ir tiesioginiais įrodymais, išplauiančiais iš saičiavimo rezultatų. Puslaidinininių darinių saitmeninėje analizėje naudojami vis sudėtingesni matematiniai modeliai, įvertinantys vis naujus parametrus, sudėtingą geometrinę strutūrą, dvimatį modelį eičia trimatis modelis. Kai modeliuojamos strutūros matmenys mažesni už mironą dažnai naudojamas Monte Karlo metodas, leidžiantis įvertinti balistinius efetus. Kai modeliuojamos strutūros matmenys didesni už mironą, rūvininų pernešimo procesus puslaidinininiuse dariniuose gana gerai aprašo netiesinė diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema (-), uri sprendžiama artu su lygtimis, aprašančiomis fiziinių darinių parametrus: dreifinį greitį, judrumą, generaciją, reombinaciją, priemaišų pasisirstymą [3] ir t: div (ε grad ϕ ) = - q (p - n + N D - N A ), () p/ t = - div J P - R, () n/ t = div J N - R, (3) J p = p v p - D p grad p = -p µ p grad ϕ - D p grad p, (4) J n = n v n + D n grad n = -n µ n grad ϕ + D n grad n (5) Modeliuojant raštines sąlygas ant ontūro su ontatu, užrašomos Dirichle raštinės sąlygos, ant laisvojo ontūro Neimano raštinės sąlygos, saitan ad srovė normalės į paviršių ryptimi netea ir todėl išvestinės nuo nežinomųjų šia ryptimi lygios nuliui. Diferencialinės lygtys aprosimuojamos baigtiniais sirtumais. ϕ j ) ϕ j) + ϕ j + ) ϕ ( i, j) ϕ j) + ϕ ( i +, j) e + = ( n( i, j) p j) + )(6) n = t p = t p n t + t t+ t r J divj = j) n t j) p t J y + = y t t y j), (7) j), (8) J j + ) J j) + J y y εε ( i +, j) J 0 y j) (9) N D N D XIII 0

13 Greita Furje transformacija Puasono lygties sprendimui puslaidinininių darinių matematiniame modelyje J j ) = V n j + ) j ) V j ) ep D j ) n j ) + V j ) ep D j ) Iš pradinių n ir p sąlygų išsprendžiame Puasono lygtį () ir gauname eletrinio lauo potencialų pasisirstymą ϕ i,j, urio pagrindu visuose tinlelio tašuose pasaičiuojamas eletrinis lauas, rūvininų dreifinis greitis v i,j, difuzijos oeficientai D i,j, reombinacija R ir judrumas µ i,j. Pasaičiuoti parametrai statomi į abi tolydumo lygtis () ir (3). Jas išsprendus gauname eletronų n i,j ir sylių p i,j pasisirstymus pirmame laio t sluosnyje. Gautus rezultatus vėl statome į Puasono lygtį, ir artojame sprendimą visiems disretiems laio tašams, ol n, p, ϕ pradeda teninti sąlygą: ϕ t+ -ϕ t < ε. Aprašyti saičiavimai leidžia modeliuoti pereinamąjį procesą atsirandantį puslaidinininiame darinyje, vystant įjungimui arba išjungimui, prilausomai nuo raštinių sąlygų. Nagrinėjant tolydumo lygtis ()-(5) su intamais oficientais, o juo labiau jų sistemą, susiduriame su netrivialia jų aprosimacijos ir stabilumo problema. Šių lygčių oeficientai prilauso nuo eletrinio lauo potencialo ir nuo priemaišų oncentracijos, uri staigiai inta p-n sandūros aplinoje. Tos problemos aprašytos anstesniuose straipsniuose [], []. Puasono lygtis () yra elipsinio tipo lygtis, jos sprendimo metodai žinomi. Tačiau ši lygtis sprendžiama sistemoje su tolydumo lygtimis, ir ją reiia spręsti visuose disrečiuose tinlo (N*M) > 0000 tašuose, be to disrečiuose laio t tašuose daugelį artų, saičiuojant visą pereinamąjį procesą, ol jis tampa stabilus. Toiam dideliam nežinomųjų saičiui svarbu parinti optimalius sprendimo metodus, leidžiančius atliti mažiau saičiavimo operacijų, išvengti saičiavimo palaidų ir gauti stabilų sprendinį, dažniausiai naudojamas baigtinių sirtumų, cilinės reducijos, fatorizacijos arba baigtinių elementų metodas. Puasono lygčiai spręsti galima naudojama ir Greitosios Furje transformacijos metodą, tuo atveju, ai sprendimo sritis yra stačiaampis ABCD ir ant priešingų jo raštinių galima užrašyti vienarūšes raštines sąlygas. Ant raštinių AB ir CD žinomos išvestinės normalės ryptimi (Neimano uždavinys), o ant BC ir AD žinomos funcijų reišmės (Dirichle uždavinys). (0) Fisuojame i-ąją srities eilutę pagal y ašį ir išsleidžiame abi Puasono lygties puses Furje eilute visuose tinlo tašuose, aip funciją ti nuo vieno intamojo j. Jei i-tosios eilutės galuose yra Dirichle tipo raštinės sąlygos, sleidžiame sinusais, o Neimano raštinėms sąlygoms osinusais. Puasono lygtį: ϕ( i, j ) ϕ j) + ϕ( i, j + ) ϕ( i, j) ϕ j) + ϕ( i +, j) + = ( f j) ) () y išsleidžiame osinusais, nes ant raštinių AB ir CD žinomos Neimono raštinės sąlygos: ϕ i M ( ) = j ^ j ϕ π cos i, = M () f i ( j ) M = f ^ cos i, = M π j (3) ir f^i,. Įstatome į Poasono lygtį ir, atlię pertvarymus, gauname sistemą, prilausančią nuo Furje oeficientų ϕ^i, [ϕ^i+, -ϕ^i, + ϕ^i-,] / + [(cos(π / (M-))-) / y ] ϕ^i, =f^i, (4) ievienam i =,..., N-; - harmonios numeris nuo 0 ii M-. Gautoji lygčių sistema ievienai harmoniai neprilauso viena nuo itos, ieviena turi triįstrižainę matricą ir gali būti išspręsta fatorizacijos metodu. Kraštinės sąlygomis mūsų atveju yra žinomos reišmės ant XIII

14 G.Kazaevičienė, M.Kazaevičiūtė AD ir BC ontūro (Dirichle uždavinys), tačiau, gali būti sprendžiamas ir Neimano uždavinys (sąlyga: išvestinė normalės šiems ontūrams ryptimi lygi nuliui, o tai reišia ad oeficientai ant ontūro AD ir gretimos tinlo tiesės yra lygūs). Toiu būdu, sprendimo procesas yra tos: atlieama greitoji Furje analizė Puasono lygties dešniajai pusei, visiems žinomiems {f i,j }, ašies ryptimi, po to fatorizacijos metodu išsprendžiame lygčių sistemą (4) ir randame ϕ^i, evienai harmoniai. Po to atlieama reišmėms ϕ^i, atvirštinė greitoji Furje transformacija ir gaunamas Puasono lygties sprendinys ϕ i,.. Saičiavimo rezultatai pateiti paveislėlyje pav. Eletrinio lauo potencialų pasisirstymas (voltai) Šis metodas labai pagreitina Puasono lygies sprendimą bendrame algoritme. Saičiavimo laias sumažėja bevei pusiau nuo 5 min ii 8 min (Pentium,GHz), tačiu jo negalima pritaiyti sudėtingesnei modeliavimo sričiai, tuo atveju mes naudojome viršutinių relasacijų metodą. Suurto dvimčio modelio pagalba ištyrinėti rūvininų pernešimo procesai lauo ir bipoliniuose tranzistoriuose, tranzistoriuje su svarbia baze, plonų plėvelių tranzistoriuje iš GaAs, InP ir Si. Sumodeliuotas planarinis ir neplanarinis lauo tranzistorius su padėlu ir be padėlo, valdant srovės arba įtampos šuolius, bei nustatyta jų pereinamųjų charateristių trumė ir forma. Tyrinėjant įjungimo ir išjungimo procesus bendro ištao atveju ant slendės paduodamas uždarantis arba atidarantis stačiaampis impulsas 3 ps su amplitude,5 v. Kai slendės ilgis 0,7 mm išjungimo procesas vysta 6-7 ps, o įjungimo procesas vysta 7-0 ps. Atlius proceso modeliavimą, parodytas eletronų pasisirstymas anale įvairiais laio momentais, nustatyta pereinamosios charateristios trumė ir forma, išaišinta jog ją apsprendžia slendės ilgis, dreifinis greitis ir domenų dinamia anale. Šuolišai eičiant įtampą, eletronai pernešami greičiu artimu jų soties greičiui, o šuolišai eičiant srovės stiprį, eletronų greitis anale mažesnis už jų soties greitį, todėl santaos srovės nusistovėjimo trumė valdant srove apytiriai du artus mažesnė negu valdant įtampa. Literatūros sąrašas [] G.Kazaevičienė, M.Kazaevičiūtė, E.Kazaevičius, Modeling of Transient Effects in thethin-film Field Effect Transistor, 43 - Internationales wissenschaftliches olloquium 43-46, - 4, 98, Technishe Univesitat Ilmenau, Thuringen, Deutshland. [] F. Vaitieūnas, V. Žalausas, G. Kazaevičienė, Transient effects in the Oppased - Gate - Source Transistor, The 0 - th Nordic Symposium on Computer Simulation, June 8 - July, Tallinn - Lohusalu, Estonia, 996. [3] F. Vaitieūnas, V. Žalausas, G. Kazaevičienė, M. Kazaevičiūtė, Modeling of Transient effects in the Transistors with Permeable Gate, XI International Microwave Conference MIKON - 96, 30-33, Poland Warsaw May 7-30, 996. Summary We investigated carrier transport processes in the Si, GaAs and InP MESFET channels of micrometer length using two-dimensional diffusion-drift mathematical models for field effect transistors. We obtained dependencies of the rate of these processes and character of transient processes on material parameters. This model is based on the digital solving of Poisson s equation and two continuity equations. The Dirichle conditions are given as boundary conditions on the electrodes for the equations. Taing into account that current on the semiconductor free surfaces equals zero, Neuman conditions are given on these surfaces. Solving method. Equations are solved by the method of finite differences. Discretization of each equation yields the system of algebraic equations with five diagonal matri. The discretized Poisson equation is solved by iterative solution method of successive overrelaation, and continuity equations are solved by iterative method of XIII

15 Greita Furje transformacija Puasono lygties sprendimui puslaidinininių darinių matematiniame modelyje successive underrelaation. We have used two approaches for solving of all the system of equations finitedifference analogues. We established the reasons, which cause scheme instabilities. The differences between neighboring node functions on the mesh (i, j), were used in the scheme with epression of Sharfetter-Gummel. Solving the said set of equations, one meets with a complicated approimation and a steady solution problem. The coefficients of these equations depend on electric field potential and impurity density that do change abruptly near a p-n junction. The abrupt change of coefficients and unnown functions as well as nonlinearities and interdependency of coefficients and functions lead to unsuitability of solution in the individual discrete points even if the solution in neighboring points may be acceptable. It is determined that unsuitability appears in these discrete points where Neuman's boundary condition changes to Dirichle boundary condition. In these points, there are large carrier density gradients, and drift current component has a determinant influence in the equation. Diffusion current is small in these points. XIII 3

16 DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ OPERATORINIO SPRENDIMO PAGREITINIMO GALIMYBĖS Liepa Biulčienė, Romas Marcinevičius KTU, Taiomosios matematios atedra, Programų inžinerijos atedra, Studentų 50 Aptariamas operatorinis algoritmas įvairių netiesinių paprastųjų diferencialinių lygčių ir jų sistemų sprendimui bei jo realizacija Maple programine įranga. Nagrinėjamos problemos, susijusios su saičiavimo laiu ir ompiuteriniais resursais bei jų sprendimo galimybės lygiagrečiai vydant ai uriuos algoritmo etapus. Įvadas Besivystant eletroniniams saičiavimo pajėgumams, vis populiaresni tampa operatoriniai saičiavimo algoritmai. Netiesinių diferencialinių lygčių ir jų sistemų sprendimas, naudojant operatorinį saičiavimą, taiomas šalia itų, dabar populiarių metodų. Išyla būtinumas naudoti naujus specializuotus algoritmus ir didinti jų efetyvumą, sieiant didesnio tislumo ir mažesnių sąnaudų. Šiuo metodu gauti rezultatai taiomi virpesių tyrimo uždaviniuose.. Bendroji dalis Aprašydami algoritmą naudosimės tiesiniais operatoriais, nusaomais šitaip: def n n ' D = n, n = 0,,,, tada D f = ( f ) ir f def 0 = f, D def =... Teorinė sprendinio išraiša Tegul duota diferencialinė lygtis y = P(, y, ) su pradinėmis sąlygomis y( s, v) = s ;. Tada sprendinio išraiša: ( y( s, v) ) = t = v ( ) ( ) ( v ; s, v = p s, v ) + = 0! y y = y, v R, () ; ; čia p ( s, v) ( D v + tds + P( v, s, t) Dt s, o P, s, t yra daugianaris arba toia funcija atžvilgiu intamųjų, s ir t, ad čia ir žemiau gautos eilutės pasirintame intervale onverguoja absoliučiai (pavyzdžiui, ai oeficientai = ) ( ) tenina sąlygą p p ( s v) Be to, sprendinį y + = 0 ( ; s, v) = p ( s, t, v), M ) []. y ( ; s; v) galima užrašyti ir taip: l l v= v l ( v )! def l = y l ( ; s, v), l =,,..., () ai ( ) ( ) vl+ vl s = p s, t, v, ( ) ( v ) l+ vl = p s, t, v l+ + = 0 l l l! + = 0 sea v, v3,k pasirenama laisvai, o v = v, s = s, t = t. t l+ + l l l, (3)! Auščiau pateitąjį atvejį galima apibendrinti ir itų eilių diferencialinėms lygtims bei lygčių sistemoms. Pavyzdžiui, ai duota diferencialinių lygčių sistema t = P(, t, y, yt, ϕ, ϕt ) yt = Q(, t, y, yt, ϕ, ϕt ) ϕ t = R(, t, y, yt, ϕ, ϕt ) = v XIII 4

17 Diferencialinių lygčių operatorinio sprendimo pagreitinimo galimybės su pradinėmis sąlygomis ( v) = s, () t t = t, y ( v) = s, y ( ) t t = t išraišos atrodys taip: = 0 ( ) ( t v ) s, t, s, t, s, t, v = p 3 3,! = 0 ( ) ( t v ) s, t, s, t, s, t, v y = q 3 3,! = 0 ( ) ( t v ) s, t, s, t, s, t, v ϕ = r 3 3.(4)! t = v t = v ( v s t s t 3 s3 t3) s Čia p = D + t D + PD + t D + QD + t D + RD,, ϕ ( v ) = s3, ϕ () t t = t 3 t = v, sprendinių q r ( D v + tds + PDt + tds + QDt + t3ds3 + RDt3 ) s =, ( D v + tds + PDt + tds + QDt + t3ds3 + RDt3 ) s3 =... Saičiavimo strategija Iešomas () sprendinys yra eilutė atžvilgiu su oeficientais p, urie savo ruožtu yra funcijos nuo pradinių sąlygų ir centro v. Kadangi ompiuteriu galime apsaičiuoti ti baigtinį saičių oeficientų p, p,,, tai gauname sprendinio artinį. 0 K p N Suradus funcijas p ( s v) = ( ) ( ) ( = N v y ; s; v p ) s, v,, 0, K, N, sudarome daugianarį ˆ. Vietoj s, t ir v įstačius onrečias reišmes, gauname sprendinio artinį daugianarį = 0! yˆ ( ) tašo v aplinoje. Pasinaudodami () ir (3) išraišomis ir sumuodami ii N, gauname šeimą artinių daugianarių () su centrais vl. Kintamajam tolstant nuo centro, artiniai taip pat tolsta nuo tirojo sprendinio. Todėl sprendinio artinį y * () ( pav.) sudarysime iš artinių ˆ ( ) šeimos ( pav.) taip: y l ŷ l y ( )= ˆ + y * l ( ), ai vl < vl y, l =,, K, n. y pav. Daugianarių artinių šeima pav. Sprendinio artinys 3. Algoritmo taiymas ir analizė Ta pati saičiavimo metodia taiyta tie paprastosioms diferencialinėms lygtims ir jų sistemoms, tie ir itų eilių diferencialinėms lygtims spręsti. Lygčių sistemų sprendinių artiniai sudaromi iš ievieno sprendinio artinių šeimos ( pav., pav.). Pateitus operatorinius saičiavimo algoritmus realizuojančios programos parašytos Maple sistema []. Funcijoms p ir q saičiuoti naudojamas simbolinis diferencijavimas - funcija diff. Sprendinio artinys ir jam analogiši artiniai sudaromi pagal funciją piecewise, naudojant funciją op. Grafiai braižomi pasinaudojus funcijos plot galimybėmis, taip pat naudojamas simbolinis prastinimas simplify, sumavimas sum ir cilas for. Programose galima pasirinti centrų itimo žingsnį, daugianarių laipsnius N, parametrų reišmes ir daugianarių, iš urių sudaromi sprendinių artiniai, saičių n. Be to, saičiavimo tislumas padidinamas naudojant funciją digits. XIII 5

18 L.Biulčienė, R.Marcinevičius 3.. Antros eilės netiesinės diferencialinės lygties pavyzdys y Tegul duota netiesinė Matjė diferencialinė lygtis + Hy + ( + a cos w) sin = 0 sąlygomis y( ) = s ; ( y( ) ) = t = v = v [3]. Čia H, a, w Simbolinė daugianario išraiša: y ˆ ( ; s; t; v) ( ) ( v ) = p s v čia p s, v = ; N y β su pradinėmis, β yra saitiniai realieji parametrai.,,! = 0 ( Dv + tds ( Ht + + acoswv sins) Dt ) p ( s, v) Z s, v = ( Ht + β a cos wv sin s), wv t cos s + a cos H ( Ht + a cos wv sin s) sin s 0 ( ) s p ( s, v) = ( ) Tada p s, v =, +, β. ( ) t p ( ) ( ) + p3 ( s, v) = β aw sin s sin β ( wv)+ ( ) Apsaičiavus sprendinio artinį ir jį išdiferencijavus, randame. = ma ( ), ai * * ( ) + h( y ( ) ) ( + a cos w) sin y * ( ) = y ( ) β + ( ) lentelėje pateiiami palaidų įverčiai, pasirinus y ( 0 ) = 0. 5, ( 0 ) = 0., w =, = 0.. 0, sirtingiems N ir žingsniams h bei saičiavimo laias T. lentelė. Palaidų įverčiai ir saičiavimo laias + β ir t.t. y H = 0.7, β = 0.9, a =, N h T,s N h T,s N h T,s Šios saičiavimo laio reišmės gautos, naudojant ompiuterį Celeron 333 MHz, RAM 96 MB. Pateiiami sprendinio artinio ir fazinės ploštumos grafiai bei palaidų funcijos grafias, ai h =. y y y 3 pav. Sprendinio artinys 4 pav. Fazinė ploštuma 5 pav. Palaidų funcija 3.. Netiesinė antros eilės diferencialinių lygčių sistema Spręsime diferencialines lygtis, f = a h + ( q q ) + µ ( ϕ sinϕ + ϕ cosϕ ) + = y + y = f f y 3, ( * ) ( ) * µ ϕ = f ϕ f y = a y hy y + qy q3y y y µ ϕ cosϕ ϕ sin ϕ + * *, f = µ hϕϕ + g cosϕ + µ ( sinϕ y cosϕ ) ϕ ϕ naudodami ()-(3) formulių apibendrinimą ir (4) išraišas bei auščiau aprašytą saičiavimo metodią. Paprastumo dėlei priėmę, ad µ * =, g * = 0 ir pertvarę, gauname: ( F µ sin ϕ cosϕ F + µ sin ϕ F µ cos ϕ F ) P = = y ϕ µ ( F µ sin ϕ cosϕ F µ cosϕ F µ sin ϕ F ) Q y = = y ϕ µ y XIII 6,, g

19 Diferencialinių lygčių operatorinio sprendimo pagreitinimo galimybės ( F µ sin ϕ F µ ϕ F ) R ϕ = ϕ cos y = µ Čia F = a h + ( q q3 ) + ϕ µ cosϕ, F = a y h y + ( q q y ) y + ϕ µ sinϕ y y y y 3y, * Fϕ ϕ = µ hϕϕ. Pasirinę pradines sąlygas v s, onstantų reišmes, gauname sprendinių artinius.. () = ( ) t t = t, y ( v) = s, y ( ) t t = t t = v t = v ϕ ir, ϕ () v = s3, () t t = t 3 lentelėje pateiiame palaidų įverčius sirtingiems daugianario narių saičiams N ir žingsniams, bei saičiavimo laią. Palaidos vertinamos įstačius sprendinių artinių išraišas bei jų išvestines į pradines lygtis. lentelė. Palaidų įverčiai ir saičiavimo laias N h y φ T,s N h y φ T 5 0,0355 0,035 0, ,0074 0,007 0, ,75 0,035 0,0350 0, ,75 0,007 0,0069 0, ,5 0,0354 0,0354 0, ,5 0,0073 0,0070 0, ,5 0,035 0,035 0, ,5 0,008 0,0068 0, Pateiiami sprendinių grafiai, ai onstantų reišmės h = hy = hϕ = 0., q = qy = 0. 3 q3 = q3y =, µ =, ϕ = 0.5 ir pradinės sąlygos µ * ( 0 ) = 0., t ( t), y ( 0) = 0., y ()., ( 0) = 0. () t ϕ t t = 0 = 0. : y t=0 = 0. φ =0 = 0 t t t t = v ϕ, t t t 6 pav. Sprendiniai (t),y(t) ir φ(t) 4. Metodo realizavimo ypatybės ir išilusių problemų sprendimas Norint gauti tislesnį artinį, reiia imti uo auštesnę daugianario eilę ir didesnį saičiavimų tislumą. Tislumas prilauso ir nuo perėjimo tarp centrų žingsnio parinimo ievienai onrečiai lygčiai, nes žingsnio mažinimas gali iššauti palaidų augimą. Iešant sudėtingų sistemų sprendinių gaunamos gana didelės palaidos, adangi per mažas daugianarių narių saičius. Be to, palaidų vertinimas užima daugiau laio, nei pačių artinių radimas. Viena iš pagrindinių algoritmo ypatybių yra tai, ad jame yra taiomas daugartinis simbolinis diferencijavimas. Todėl algoritmo realizavimas programavimo albomis, uriomis gaunamas efetyviai veiiantis odas (pavyzdžiui, C++, FORTRAN), yra ompliuotas. Sprendžiant sudėtingesnes diferencialines lygtis ir jų sistemas, ritiniu tampa ir operatyviosios atminties (RAM) dydis, adangi gaunamos lygtys gali reialauti dešimčių Mb atminties. Dėl to ai uriais atvejais sprendimas tampa pratišai neįmanomas, nes Maple sistema užsicilina, perrašinėdama informaciją iš operatyviosios atminties į disą ir atgal. Algoritmo realizacijos Maple sistema esperimentinis tyrimo metu nustatyta, ad daugiausia laio (apie 80%) užtruna simbolinis išraišų diferencijavimas. Gilesnė algoritmo analizė parodė, ad algoritmo dalys, urių realizacija reialauja daugiausia saičiavimo laio ir operatyviosios atminties apimties, po ai urių pertvarymų gali būti išlygiagretinamos. Toiu būdu, panaudojus saičiavimams daugiaprocesorinį ompiuterį, būtų galima išspręsti ilusias problemas. Neturint galimybės panaudoti didelio galingumo daugiaprocesorinius ompiuterius, saičiavimai per priimtiną laią gali būti atliti, vydant juos lygiagrečiai ompiuterių tinle.tam galima panaudoti MPI [4] ar XIII 7

20 L.Biulčienė, R.Marcinevičius PVM [5] paetai. Šiomis priemonėmis loalaus tinlo ompiuterius galima sujungti į vieną superompiuterį, tačiau programas, naudojančias šių paetų priemones, reiia rašyti C++ arba FORTRAN albomis. Įvertinus Maple, MPI ir PVM paetų privalumus ir trūumus, pasirintas problemos sprendimo būdas, apjungiant į vieną sistemą Maple ir MPI. Tai sudarys galimybę lygiagrečiai panaudoti tinlo ompiuterius (MPI priemonėmis) ir patogiai realizuoti saitmeninį diferencijavimą bei grafinės informacijos gavimą (Maple priemonėmis). Sprendžiant paprastas diferencialines lygtis, auščiau aprašytos problemos neišyla, nes supaprastėja simbolinis diferencialinių išraišų saičiavimas. Tada viename ompiuteryje Maple sistema realizuoto operatorinio algoritmo pagalba gauti rezultatai sutampa su gautais Rungės ir Kutos metodu arba ai uriais atvejais gali būti netgi tislesni. Išvados. Norint gauti tislesnius artinius, reiia derinti daugianario eilę su perėjimo tarp centrų žingsniu.. Sieiant sutaupyti resursų ir laio, tislinga lygiagrečiai vydyti ai uriuos saičiavimo etapus. Literatūros sąrašas [] Z.Navicas. Using Operator Methods in Solving Nonlinear Ordinary Differential Equations. Journal of Vibroengineering. 00 No. (6). ISSN Vilnius, Lithuania, 00, p [] B.П.Дъякoнoв. Maтeмaтичecкaя cиcтeмa Maple V R3/R4/R5. Coлoн, Mocквa, c. [3] Ricard H. Rand. Lecture Notes of Nonlinear Vibrations. Cornell University. Version 34, [4] Message Passing Interface Forum [5] Parallel Virtual Machine Possibilities of acceleration for operator solutions of differential equations In this paper we describe and use operator solutions of nonlinear ordinary differential equations systems. An algorithm for the computer realization of the above operator solutions as well as some eamples are presented. Finding approimations of operator solutions is done using Maple software. Eamining problems of solution time and computer resources using parallel calculation for some parts of solution. XIII 8

21 TRUMPŲJŲ BANGŲ SKLIDIMO PLOKŠTELĖJE MODELIAVIMAS BAIGTINIŲ ELEMENTŲ METODU Ula Leonavičiūtė Kauno Technologijos Universitetas Studentų g , LT-303 Kaunas Šiame straipsnyje pateiiamas trumpųjų bangų, urių ilgis žymiai mažesnis už ūno matmenis, slidimo medžiagoje baigtinių elementų matematinis modelis. Atlitas esperimentas praleidžiant eletą rūšių bangų per tiriamą objetą. Galutinis tyrimo tislas yra suurti našius algoritmus įgalinančius analizuoti banginius procesus ontinualios strutūros defetų aptiimui ir identifiavimui. Pateiiamas bangos slidimo metalinėje ploštelėje modeliavimo pavyzdys.. Įvadas Banginiai matavimo ir analizės metodai pritaiomi labai įvairiems inžineriniams uždaviniams spręsti. Ultragarsinių bangų pagrindinės savybės (amplitudės, vėlinimai, bangos ilgis) gali būti tiesiogiai panaudojami ontinualių strutūrų defetų aptiimui, jų dydžio ir vietos nustatymui. Tolimesnė gautų rezultatų analizė leidžia gauti papildomos informacijos apie objeto geometrinę formą, fiziinę prigimtį, orientaciją ir t.t. Šiems ir panašiems uždaviniams spręsti pratioje yra naudojami, baigtinių sirtumų, raštinių integralinių lygčių [], baigtinių spindulinių elementų [], ribinių elementų [3, 4] ir baigtinių elementų bei daugelis itų metodų. Tačiau galima teigti, ad baigtinių elementų metodas yra vienintelis, leidžiantis paanamai tisliai modeliuoti netiesinėse ir nehomogeninėse medžiagose vystančius banginius procesus. Naudojant šį metodą gaunamas ievieno nagrinėjamos strutūros tašo judesio dėsnį laie. BEM apsaičiuoti strutūros posliniai laie bei įtempimų lauai labai gerai atitina tirąjį diferencialinės lygties sprendinį. Dažniausia modelio neatitiimo tirovei priežastis yra ti nepilna arba netisli informacija apie medžiagos fiziines savybes. Nors BEM yra labai galinga ir lansti analizavimo priemonė, tačiau jos pratinis taiymas bangų slidimo uždaviniams šiuo metu yra ie ribotas, adangi trumpųjų bangų analizei reialingi itin dideli saičiuojamojo modelio išmatavimai. Netgi paprasčiausių pratinę vertę turinčių uždavinių atveju baigtinių elementų saičius modelyje sieia milijonus. Baigtinių elementų metodas apima sistemos modelio ūrimą bei jos fizinių savybių modeliavimo procesą. BEM modeliavimo proceso pagrindą sudaro bet oios fizinės sistemos saidymas į baigtinį saičių paprastos formos elementų. Kievieno šių elementų elgsena aprašoma lygtimis, nusaančiomis bendrą sistemoje vystantį fizinį reišinį. BEM gali būti taiomas povandeninių austinių bangų ilgio analizės modeliavimui, įvairių fotoninių ristalų geometrijų saičiavimui [5], bangų lampiosiose terpėse modeliavimui [6] ir t.t. Šiame straipsnyje pateiiamas trumpųjų bangų slidimo netiesinėse ir nehomogeninėse medžiagose modeliavimas baigtinių elementų metodu. Aprašomas išspręstas uždavinys, uomet imituojamas trumposios bangos slidimas užduotos geometrinės formos metalinėje ploštelėje. Atlito esperimento tislas buvo išanalizuoti ribas ir praplėsti trumpųjų bangų slidimo medžiagoje imitavimo galimybes, naudojant baigtinių elementų metodą. Universaliosios baigtinių elementų modeliavimo programos (LSDYNA, ANSYS, ALGOR), nelabai tina trumpųjų bangų slidimo uždavinių sprendimui, adangi modelių išmatavimai būna labai dideli ir dažnai neužtena ompiuterio resursų. Specializuotos programos (WAVE-000, WAVE-3000 veiiančios baigtinių sirtumų metodu pagrindu), yra efetyvesnės, tačiau riboto modelio dydžio lausimas jose vis dėlto nėra galutinai išspręstas [7].. Baigtinių elementų metodo taiymas trumpųjų bangų slidimo modeliavimui Trumposiomis bangomis vadiname toias, urių ilgis yra ženliai mažesnis už ūno, uriuo jos slinda matmenis. Tiriamų objetų geometrinės formos gali būti labai sudėtingos, todėl sprendžiant bangų slidimo juose uždavinius objetai saldomos į baigtinį saičių paprastos formos elementų. Tuomet objetas nagrinėjamas aip baigtinių elementų onstrucija. Gauti elementai pilnai atspindi fizines objeto savybes, todėl atsirai aprašydami elementus ir apjungdami jų lygtis tuo pačiu aprašome ir visą objetą. Bangų slidimo uždaviniai yra atsiras bendrųjų dinaminės analizės uždavinių atvejis. Trumpųjų bangų M U + K U = F t M - slidimas ietajame ūne aprašomas toia dinamios lygtimi: [ ]{ } [ ]{ } { ()} XIII 9 && (), čia [ ]

22 [ K ] { } U. Leonavičiūtė onstrucijos masių matrica, - onstrucijos standumo matrica, U, U & - onstrucijos mazginių poslinių bei pagreičių vetoriai. Konstrucijos standumo ir masių matricų bei žadinimo vetoriaus surinimas aprašytas 3. syrelyje. Norint pilnai ištirti banginių procesų dinamią, reiia išspręsti jų dinamios lygtis. Tam tislui patogu naudoti saitinius metodus. Tiesioginis onstrucijos dinamios lygčių integravimas gali būti atlieamas naudojant centrinių sirtumų metodą (3. syrelis) arba itas išreištines saitinio integravimo schemas, apibendrintąją Newmaro schemą [8] ir pan. F - žadinimo vetorius, { }{ } 3. Trumpųjų bangų slidimo metalinėje ploštelėje modeliavimas 3. Konceptualus aprašymas Trumpųjų bangų slidimas modeliuojamas ploštelėje urios medžiagos Jungo modulis E =. 0 N / m, Puasono oeficientas ν = 0.3, ploštelės storis h = 5mm ( pav.). Pjezoeletrinio eitilio poveiis ūnui modeliuojamas užduotomis laie intančiomis jėgomis. Priimantis eitilis registruoja mazgų, prie urių pritvirtintas eitilis, poslinių ir greičių omponentes. eitilis R=5mm 5mm f(t) 50mm 75mm priimantis eitilis pav. Ploštelė, urioje modeliuojamas trumpųjų bangų slidimas 3. Saitinio esperimento eiga Naudojantis MATLAB programa buvo suurta specializuota programa sirta trumpųjų bangų slidimo metalinėje ploštelėje modeliavimui bei analizei. Nagrinėjama ploštelė saidoma triampiais baigtiniais elementais naudojant BEMPA programą [9]. Pasirintas disretizavimo žingsnis 0.0mm. Triampiais elementais susaidyta ploštelė pavaizduota pav. Poštelės, urioje slinda banga, ilgis L = mm. A, mm L, mm pav. Metalinė ploštelė, susaidyta baigtiniais elementais e Susaidžius ploštelę, suformuojamos ievieno gauto baigtinio elemento standumo [ bei masių [ e ] matricos M ij, čia i, j - elemento mazgų numeriai. Baigtinių elementų standumo ir masių matricų pavidalai e T e T atitinamai yra: [ K ]= h [ B] [ D][ B] dv, [ M ] = ρ [ N] [ N] dv, čia [ B ] - matrica susiejanti elemento V V K ij ] XIII 0

23 Bangos slidimo ploštelėje modeliavimas baigtinių elementų metodu deformacijas su jo mazginiais posliniais, [ D ] - medžiagos standumo tenzorius, [ ] formos funcijų matrica. Kadangi matricos [ B ] ir [ ] e T matricos išraišą galima užrašyti: [ K ] = [ B] [ D][ B] N - triampio elemento D yra pastovios visame elemento plote, todėl standumo hs, čia S - triampio plotas. Masių matricos narių reišmės gaunamos integruojant formos funcijų sandaugas triampio plote. Šiuo atveju naudojama suteltųjų masių matrica, uri yra gaunama tarus, ad triampio masė yra lygiomis dalimis sutelta jo mazguose [9] e ρhs Suteltųjų masių matricos pavidalas: [ M ] = Konstrucijos standumo matrica [ K] ir masių matrica [ M] surenamos bei saugomos išretintame pavidale. Dinamios lygtis () sprendžiama naudojant centrinių sirtumų saitinę schemą: { U [ M] { U t } [ M ~ t+ t} = [ Mˆ ~ ] { F() t } [ K] ]{ U t t}, čia [ Mˆ ] = [ M] = [ M], tariant ad pradinės t t sąlygos U 0 =, { U& } 0 = 0. Saičiavimams atliti parenamas laiinio integravimo žingsnis t bei { } 0 L modeliavimo trumė T. Modeliavimo laias apsaičiuojamas pagal formulę T =. Centrinių sirtumų c l saitinė schema yra stabili, jei integravimo žingsnis tenina toius reialavimus: t min, čia c - garso c (išilginės) bangos ilgis, pasirinus integravimo žingsnį E c =, l min - mažiausio onstrucijos elemento ilgis. Saitinis esperimentas atlitas ρ t l = min c. Išsprendus dinamios lygtį, gaunamas mazginių poslinių itimo dėsnis laie. 3 pav. vaizduojami mazginiai posliniai po 0 integravimo žingsnių (šviesesne spalva pavaizduota išeities onstrucija). Paveislėlyje pateitų poslinių mastelis 000:. Pagal gautas mazginių poslinių reišmes galime rasti deformacijas, įtempimus ir bangos greitį. Įtempimai elemente išreišiami mazginiais posliniais, nagrinėjant tris įtempimų omponentes Oy ploštumoje: σ, σ y - σ e e išilginiai įtempimai ir τ y - šlyties įtempimai, urie apsaičiuojami taip: {} σ = σ y = [ D] [ B] [ U ] = [ G] [ U ], τ y čia [ D ] - medžiagos standumo tenzorius, [ B] - matrica, susiejanti elemento deformacijas su jo mazginiais posliniais, [ - įtempimų matrica. G] Esperimentas atlitas dviem atvejais. Pirmu atveju, žadinimo vetorius užduodamas šuolišai, itu atveju žadinimo vetorius užduodamas sinusinės bangos pavidalu: F( t) = A sin( ω t) (4 pav.), čia t - nagrinėjamas laio momentas, A bangos amplitudė, ω = π - ampinis dažnis, T - periodas. Paviršinių jėgų T poveiis eitiliui persaičiuojamas į mazgines jėgas, toiu principu: eitilio pradžios ir galo tašuose poveiis yra artus mažesnis negu vidiniuose elementų mazguose prie urių prijungtas eitilis. Keitilių pradinių tašų oordinatės (0, 0.05), tuo tarpu galinio tašo oordinates (0, ). Priimantis eitilis registruoja mazgų, prie urių pastarasis pritvirtintas, greičių omponentes. Tariame, ad ievienu laio momentu eitilis registruoja tvirtinimo mazguose greičių vidurį v i () t. Greičių laio prilausomybė pirmo poveiio atveju pateita 5 pav. Galima pastebėti, ad visos ploštelės baigtinių elementų mazgai pradeda judėti, ti pasieus.e-05s laio momentą. Bangos slidimo poyčiai laie yra pateiiami įvertinant mazguose susidariusius įtempimus. Gautas bangos slidimo ploštelėje vaizdas po 5 integravimo žingsnių pateiiamas 6 pav. Vaizduojami evivalentiniai įtempimai σ i = ( σ i σ iy ) + σ i + σ iy + 3τ iy, čia i - baigtinių elementų numeriai. XIII

24 U. Leonavičiūtė A, mm L, mm 3 pav. Metalinė ploštelė, paveita išorinėmis jėgomis, po 0 integravimo žingsnių 4 pav. Žadinimo vetorius, užduotas sinusinės bangos pavidalu V Išvados pav. Galinio davilio, registruojamos greičio omponenčių, itimas laie Straipsnyje aptartos baigtinių elementų metodo panaudojimo banginių procesų modeliavimui galimybės. Panašių uždavinių sprendimas yra pateiiamas daugelio autorių straipsniuose. Kaip pagrindinė problema minimas ilgas modeliavimo laias, naudojantis universaliomis ir specializuotomis, BEM saičiavimus realizuojančiomis programomis. Atlitas trumposios bangos slidimo metalinėje ploštelėje esperimentas, parodė, ad nagrinėjant onstruciją susaidytą į 05 elementus modeliavimo laias val. ompiuterinio saičiavimo. Tuo tarpu nagrinėjant onstruciją, uri susaidyta į elementą, ompiuterinio saičiavimo laias išauga ii 50 val. Esperimentas buvo realizuotas, naudojant Pentium III 700MHz ompiuterį. Saičiavimo laias programoje MatLab tiesiogiai prilauso nuo procesoriaus darbo našumo. Nagrinėjant onstruciją, uri susaidyta į XIII t

25 Bangos slidimo ploštelėje modeliavimas baigtinių elementų metodu elementą ompiuterio Pentium IV,7GHz saičiavimo laias 30 val. Norint sumažinti saičiavimo laią, reiėtų naudoti saičiavimo technologijas, tinančias moderniems, lygiagrečiai dirbantiems ompiuteriams pav. Bangos vaizdas po 5 integravimo žingsnių, ai žadinimo vetorius užduotas šuolišai Literatūros sąrašas [] L. C. Wrobel. The Boundary Element Method, vol.. Applications in Thermo Fluids and Acoustics. Wiley, 00. [] P. Mayer. The Finite Ray Element Method for the Helmholtz Equation of Scattering: First Numerical Eperiments. UCD/CCM Report, 997. [3] E. Perrey-Debain, J. Trevelyan, P. Bettess. New special boundary elements for short wave problems. Comm. Num. Meth. Eng., 00. [4] E. Perrey-Debain, J. Trevelyan, P. Bettess. Plane wave interpolation in direct collocation boundary element method for radiation and wave scattering: numerical aspects and applications. Journal of Sound and Vibrations, 00. [5] B. P. Hiet J. M. Generowicz, S. J. Co, M. Molinari, D. Becet G. J. Parer, K. S Thomas. Finite element modelling of photonic crystals. In Proceedings PREP 00 Conference Publication (), p [6] P. Stucy, W. Lord. Finite element modelling of transient ultrasonic waves in linear viscoelastic media. IEEE Trans.on Ultrasonic, Ferroelectrics, and Frequency Control, 48 (), p. 6 6, 00. [7] R. S. Shechter, H. H. Chaselis, R. B. Mignona, P. P. Delsanto. Real Time Parallel Computation and Visualization of Ultrasonic Pulses in Solids. Science, 65, 88-9, 994. [8] O. C. Katona, A. Zieniewitch. A unified set of single step algorithms, Part 3: the beta-m method, a generalization of the Newmar s scheme. Int. J. Num. Math., , (985). [9] R. Barausas. Baigtinių elementų metodo pagrindai. Kaunas Technologija, 998. Short Wave Propagation Modeling in the Plate by Finite Elements Method This paper presents mathematical model of finite elements that describes short waves propagation in the material. Short waves are significantly shorter then the material size. There is presented an eample, which shows several types of waves that were spread through the plate. The main idea is to design the productive algorithms that would be able to analyze wave propagation processes in the continuous structure, oriented to detect and identify defects. Paper contains an eample that shows wave propagation in the plate. XIII 3

26 SUPERELEMENTŲ PANAUDOJIMO GALIMYBĖS TEKSTILĖS AUDINIO MODELIAVIMUI Mindaugas Kuprys Kauno Technologijos Universiteta Studentų g , LT-303 Kaunas Šiame straipsnyje aptariamas baigtinių elementų metodo, panaudojant superelementus, taiymo galimybės testilės audinio modeliavimui. Trumpai aprašomas testilės audinių modeliavimo savitumas. Išspręstas uždavinys, ai dalis audinio yra paveiiama elių tipų aprovimais, pavaizduota audinio elgsena ievienos onrečios aprovos atveju.. Įvadas Pasutiniu metu yra daug dėmesio siriama testilės audinių modeliavimui. Testilinių strutūrų charateristios labai siriasi nuo panašių matmenų ir geometrinių formų ontinualių ūnų charateristių. Testilės audiniai pasižymi geromis visos sudėties stiprumo, standumo, taip pat pasipriešinimo įvairiems poveiiams savybėmis []. Lyginant su itomis medžiagomis, testilės audiniai atsparesni tempimui ar gniuždymui, todėl dėl šių savo savybių yra plačiai naudojami aviacijoje, laivuose, pavėsinių stogų, palapinių gamyboje. Testilės audiniai sudaryti iš hierarchinės strutūros. Hierarchija paprastai sudaro eletas lygių: pluoštas 0-5 m, siūlai 0-3 m, audinys 0 - m. Siūlai sudaryti iš mažų siūlelių (pluoštų) taip vadinamų filamentų. Norint tisliai suprasti mechaninį testilės audinio elgesį jam judant ir suurti modelį yra būtina žinoti medžiagos savybes, pirmiausia siūlų sudėtį, jų storį ir t.t Sudėtinga strutūra sąlygoja tai, jog dažnai modelis nepilnai atspindi realų objetą ir yra nevisišai tislus []. Paprastai daromos prielaidos leidžiančios supaprastinti tiriamą objetą ir tada modeliuojama. Pastaraisiais metais pasaulyje įdėta daug pastangų bandant nustatyti ir įvertinti medžiagų savybes, urios turėtų būti naudojamos audiniuose. Tai sąlygojo eletas veisnių, urių pagrindinis pasiūlyti uo geresnės oybės audinį. Kaip pavyzdį, galima paminėti neperlyjamus paviljonų stogus, urie projetuojami taiant įvairius modeliavimo būdus, taip tiriant atsparumą vandens pralaidumui, tempimui, gniuždymui ir pan. Buvo suurti modeliavimo metodai toie aip homogeninis metodas, baigtinių elementų metodas (BEM), taip pat analitiniai bei esperimentiniai metodai. Tačiau pastebėjus, ad yra paanamai daug medžiagų, urios gali būti naudojamos audiniuose ir įvertinus tai, jog geometrinės audinių formos yra labai sirtingos, laio požiūriu esperimentiniai būdai pasidarė nepratiši. Analitiniais metodais pratišai neįmanoma adevačiai įvertinti audiniams būdingų geometrinių formų ir ontatinės sąveios, todėl jų panaudojimo galimybės ribotos. Homogeninis metodas veiia efetyviai nustatant medžiagų savybes, tačiau saičiavimo laio atžvilgiu tai labai neefetyvus []. Modeliavimo priemonių yra nemažai ir įvairių. Audinių modeliavimui artais taiomos universaliosios baigtinių elementų sistemos LS-DYNA, ANSYS, ir t. Be to egzistuoja daug ne tie plačiai žinomų, bet labiau orientuotų į uždavinį programų, toių aip WiseTe, FlowTe, TeComp ir eilė itų. Šiame straipsnyje baigtinių elementų metodu sprendžiamas testilės audinio fragmento tempimo uždavinys. Šis metodas yra plačiai taiomas mechaninių, šiluminių, hidraulinių, eletromagnetinių ir itoių fizinių sistemų uždaviniams spręsti bei dinaminiams procesams modeliuoti [3]. Baigtinių elementų metodas leidžia labai sudėtingą fizinę sistemą pavaizduoti baigtinio saičiaus mažų elementų onstrucijos pavidalu. Čia ievieno elemento elgsena aprašoma lygtimis, nusaančiomis bendrą nagrinėjamoje sistemoje vystantį fizinį reišinį. Taigi, baigtinių elementų esmė yra aprašyti elemento viduje vystantį reišinį suvidurintai, t.y., aip visumą, nesigilinant į miro-lygyje vystančius procesus. Paprastai jie gaunami priimant tam tirą reišinius supaprastinančią formuluotę, o vėliau taiant įprastinio baigtinio elemento generavimo schemą. Straipsnyje naudojamas BEM naudojant superelementus. Superelementas - tai elementas urio pusiausvyros lygtys gaunamos saidant jį patį baigtiniais elementais [3]. Iš superelementų gali būti surenamos onstrucijos pagal bendrąsias onstrucijos matricų surinimo taisyles. Paprastai superelementus tislinga naudoti onstrucijose, susidedančiose iš daugelio tipinių dalių. Superelementų panaudojimas šiame onrečiame pavyzdyje buvo naudingas ir efetyvus. XIII 4

27 Superelementų panaudojimo galimybės testilės audinio modeliavimui. Baigtinių elementų metodo taiymas panaudojant superelementus Superelementai yra atsira baigtinių elementų rūšis, urių matricos apsaičiuojamos juos pačius saidant paprastesniais baigtiniais elementais. Pagrindinis superelementų panaudojimo privalumas yra tas, jog saičiavimai atlieami žymiai greičiau lyginant su saičiavimais reialingais atliti saidant tą pačią onstruciją smuliais baigtiniais elementais visame jos tūryje[4]. Naudojant superelementus ženliai sumažėja onstrucijos lygčių sistemos išmatavimai. Jeigu onstrucijoje yra paanamai daug vienodų superelementų, taupoma operatyvinė atmintis ir saičiavimo laias. Superelementai gali būti suformuoti naudojant dvi strategijas: iš apačios į viršų ir iš viršaus į apačią. Pirmuoju atveju superelementai sudaromi iš mažesnių elementų [5]. pav. matyti aip iš stačiaampių suformuojamas superlementas. Kitu atveju, superelementai gali būti gauti saidant visą nagrinėjamą onstruciją į didelius elementus [5]. pav. vaizduojama aip onstrucija gali būti sudalinta į atsiartojančius, mėlynai pavaizduotus elementus, urių ievienas vadinamas superlementu. Tos sirstymas leidžia įvesti lasifiavimą: Maroelementai. Tai superlementai sudaryti iš eleto baigtinių elementų. Subonstrucijos. Tai elementų aibė, urios gaunamos susaidant ištisinę onstruciją į tam tiras atsiartojančias dalis. Atsaant į lausimą ada subonstrucijos tampa maroelementais arba atvirščiai, galima pasayti, ad principinio sirtumo nėra. Fatišai terminas superelementas pirmą artą buvo pavartotas 970 metais norint susieti individualų strutūros elementą su ištisine strutūra [5]. Tarime, ad subonstrucija yra sudaryta iš žinomų baigtinių elementų, toiu atveju jos statinės pusiausvyros lygtys gaunamos, surenant visų ją sudarančių baigtinių elementų lygtis: [ K ] { } { } { } { U S = F S + P S + S } S S [ K ] S U } { P } S, čia - subonstrucijos standumo matrica, { - subonstrucijos mazginių poslinių vetorius, - subonstrucijos išorinių mazginių jėgų vetorius, įvertinantis aprovimą tūrinėmis jėgomis ir evivalentinėmis jėgomis, sąlygotomis temperatūrinių poveiių, { S } S - subonstrucijos mazginių išorinių jėgų vetorius, sąlygotas paviršinių aprovimo jėgų, { F } S - subonstrucijos išorinių suteltojo veiimo mazginių jėgų ir jėgų, uriomis subonstruciją veiia greta esančios subonstrucijos ir elementai, vetorius [3]. Išoriniai mazgai Vidiniai mazgai Subonstrucija Superelementas pav. Superelemento - subonstrucijos strutūra Norint išsirti subonstrucijos mazginių poslinių vetoriaus dalį { U } S i, atitinančius tašus, prilausan- U }, atitinančią vidinius tašus, subonstrucijos statios lygtis užrašoma čius išoriniam jos ontūrui ir dalį matricų bloais: S S [ K ii ] [ K iv ] S T S [ K ] [ K ] iv vv S { U i } S { U } v = { S v S S { F } i { Pi } S 0 { P } + v + S { S } i 0 Kadangi vidinių subonstrucijos mazgų neveiia subontrucijų savitarpio sąveios jėgos bei paviršinės S S aprovimo jėgos, tai F v = S =. Pertvarius lygtis, superelemento pusiausvyros lygtį galima užrašyti taip: { } { } 0 [ K ]{ } { } { } { SE U SE F SE + P SE + S SE = }. v SE S S S S Superelemento standumo matrica užrašoma pavidale [ K ] = [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] T ii iv () vv iv. XIII 5

28 M.Kuprys 3. Testilės audinio modeliavimas 3. Konceptualus aprašymas Modeliuosime testilės audinio dalį. Siūlų standumą tempimui apibūdinanti onstanta (Jungo modulis) E = N / m, Puasono oeficientas medžiagai ν = Medžiagos storis h = 0. mm. Toia aušta Jungo modulio reišmė būdinga ne ievienam audiniui, tačiau, pavyzdžiui, Twaron audiniui, iš urio gaminamos neperšaunamos liemenės, ji yra toia. Be to, Twaron siūlas išliea tiesišai tamprus ii pat suirimo ribos. pav. parodyti pili plotai reišia audinio persidengimo vietas. Šiame modelyje persidengiantys siūlai negali praslysti vienas ito atžvilgiu. Tiesiog darome prielaidą, ad jų storis tose vietose dvigubas. Kievieno mazgo laisvės laipsnių saičius lygus dviem. 3. Baigtinių elementų metodo panaudojimas Turime audinio gabaliuą ir norime ištirti audinio elgesį paveius jį įvairiais aprovimais. Modeliavimą atlisime BEM panaudojant superelementus. Pirmiausia išlaiydami baigtinių elementų metodo metodią turime išsirti baigtinį onstrucijos elementą. Šiame pavyzdyje nagrinėsime stačiaampį baigtinį elementą. Visą tiriamą audinio strutūrą galime susaidyti į baigtinį saičių stačiaampių. Baigtinis elementas pilnai atspindi medžiagos savybes, todėl modeliuodami elementą mes galime tuo pačiu modeliuoti ir visą medžiagą. Išsirsime superlementą, uris galėtų atspindėti mažą tipinę audinio dalį. pav. pažymėtas mėlynu fonu užpildytas elementas superelementas. Vienas pirmųjų žingsnių sprendžiant modeliavimo uždavinį BEM yra rasti elemento standumo matricą. Ją galime užrašyti taip: e [ K ] h B(,y) T = [ ] [ D] [ B(,y) ]ddy, čia [ ] V e D - medžiagos standumo tenzorius, - matrica susiejanti elemento deformacijas su jo mazginiais posliniais [3]. Kreiviniam integralui apsaičiuoti taiysime eturių tašų Gauso saitinio integravimo formulę. Seančiame žingsnyje randame superelementų standumo matricą taiydami formulę: SE S S S S [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T S K = K ii K iv K vv K iv, čia [ K ii ] matrica sudaryta iš subonstrucijos standumo matricos [K ] sub S išorinius mazgus atitinančių eilučių ir stulpelių; [ K iv ] matrica sudaryta iš subonstrucijos standumo sub S matricos [ K ] išorinius mazgus atitinančių eilučių ir vidinius mazgus atitinančių stulpelių; [ K vv ] matrica sub sudaryta iš subonstrucijos standumo matricos [ K ] vidinius mazgus atitinančių eilučių ir stulpelių. [ B] Tarpas Persidengimas h Superelementas pav. Audinio strutūra SE SE SE Spręsdami statios uždavinį turime išspręsti toią superelemento pusiausvyros lygtį: [ ]{ U } { S } SE Elemento mazginių jėgų vetorių, sąlygotą pasirstytųjų paviršinių jėgų { S } rasime remdamiesi formulę: K =. XIII 6

29 Superelementų panaudojimo galimybės testilės audinio modeliavimui SE T T T T { S } = h [ N] { t} ds + h [ N] { t 3} ds + h [ N] { t 34} ds + h [ N] { t 4}ds S S3 { t } { } S34 { t 34}, { 4} S4, čia h - elemento storis, N - elemento formos funcijų matrica,, t 3, t - pasirstytųjų paviršinių elemento raštinių aprovų vetoriai [3]. Vetoriaus { S } SE išraišą patogu užrašyti matricomis. Tai atlieama, reiviniam integralui apsaičiuoti panaudojant Gauso saitinio integravimo formules [7]. SE Surinus superelemento standumo matricą [ ] SE K ir aprovimo vetorių { } S būtina įvertinti onstrucijos ryšius. Ryšiai nusao užduotas ai urių modelio tašų poslinių reišmes. Konstrucijos judesį ribojantys nejudami ryšiai, nusaantys ai urių onstrucijos mazginių poslinių reišmes, įvertinami, išbrauiant iš onstrucijos matricų tuos poslinius atitinančias eilutes ir stulpelius. SE SE SE Įvertinę ryšius randame superelemento mazginius poslinius: { U } [ K ] { S } SE posliniai, pagal jo panaudojimo prasmę atspindi ti jo išorinius mazgus, todėl { } { S subonstrucijos mazgų poslinius turime iš formulės () išsireišti { U v } S S S S T S { U } = [ K ] { P } [ K ] { U }[3]. v vv ( v iv i ) =. Superlemento mazginiai U = U }. Norint rasti vidinių S i. Tai atlię gauname: Pagal gautas mazginių poslinių reišmes galima rasti deformacijas ir įtempimus. Įtempimai elemente išreišiami mazginiais posliniais, nagrinėjant tris įtempimų Oy ploštumoje omponentes σ, σ - išilginiai σ e e įtempimai ir τ y - šlyties įtempimai. {} σ = σ y = [ D] [ B] [ U ] = [ G] [ U ], čia [ D ] - medžiagos standumo τ y tenzorius, - matrica, susiejanti elemento deformacijas su jo mazginiais posliniais, ] - įtempimų matrica. [B] [G y 3.3 Realizacija MATLAB programinėje terpėje 0.mm, tarpas tarp audi- Modeliavimui buvo pasirintas vienas audinio sluosnis. Audinio juostelės plotis nio juostelių 0.mm. Audinio juostelės storis h = 0. mm. Užduotų geometrinių matmenų strutūrą susaidome stačiaampiais baigtiniais elementais. Baigtinių elementų saičius onstrucijoje prilauso nuo pasirintos saidymo normos. Šiuo atveju pateiiami pavyzdžiai ai onstrucija susaidyta į 5 baigtinių elementų, urie sudaro 6 superelementų. Saidymo norma 0.05mm. Norint išgauti didesnį tislumą saidymo norma reiėtų sumažinti. Tačiau reiia pastebėti, ad modeliavimo laias labai prilauso nuo saidymo smulumo: uo smulesnis saidymas, tuo ilgesnis modeliavimo laias. Modeliavimas buvo atlieamas tiesiogiai MATLAB terpėje ir sugeneravus ompiliatorių. Atlieant modeliavimą ompiliatoriaus pagalba modeliavimo laias sumažėja dvigubai. Tačiau šis laio sumažėjimas nėra paanamas norint modeliuoti paanamai didelį medžiagos plotą. Modelis verifiuojamas tiriant audinio fragmentą, supintą iš 44 juostelių. 3 pav. Konstrucijos posliniai XIII 7

30 M.Kuprys Vietose ur juostelės persidengia, jų storis priimamas dvigubu. 3 pav. parodyti posliniai onstrucijos tuo atveju, ai onstrucija įtvirtinta airiajame rašte ir negali judėti ašies ryptimi. Aprovimas šiuo atveju užduotas dešiniam raštui. Konstrucija paveita 000 N / m aprovimo jėga. Pav. 3 parodyta aip audinys 7 pajudėtų esant toiai situacijai. Aišumo dėlei posliniai vaizduojami padauginti iš 0 daugilio. Kaip jau buvo minėta syriuje 3., pagal gautus mazgų poslinius galima rasti toius dydžius aip elementų deformacijos ar įtempimai. Pav. 4 parodyti onstrucijos elementų evivalentiniai įtempimai. Jie i-ajame = i iy i iy iy. elemente apsaičiuojami naudojantis formule: σ ( σ σ ) + σ + σ + 3τ i Kaip matyti iš pateito paveislo didžiausia įtempimų oncentracija yra superlementų raštuose ten, ur audinio storis viengubas. Iš to galima matyti, ad būtent tos vietos audinyje yra labiausiai įtemptos. Analizuojant antrą pavyzdį 5 pav., uomet onstrucija įtvirtinta dviejose ploštumose (apačioje ir airiajame rašte) matome visišai itoį vaizdą. Aprovimas šiuo atveju užduotas viršuj ir dešiniam raštui. Konstrucija paveita toia pačia 000N / m aprovimo jėga atitinam šonui. Esant toiai situacijai audinys išsitempia įvairiomis ryptimis. 4 pav. Konstrucijos įtempimai 5 pav. Konstrucijos posliniai Šiuo atveju elementų įtempimai didžiausi eliose įtvirtintose vietose ir bevei visose aprovimo vietose. 4. Išvados Darbe pateitas nesudėtingas testilės audinį vaizduojančios tamprios strutūros baigtinių elementų modelis, įgalinantis aprašyti audinio elgseną tempiant. Iš pateitų pavyzdžių matyti, ad BEM, panaudojant superlementus, leidžia taip pat sėmingai modeliuoti testilės audinio sandaros pasieitimus jį paveius, aip ir BEM, nenaudojant superelementų, as jau yra įrodyta daugelyje darbų ii šiol. Modeliai realizuoti MATLAB programinėje terpėje. Atlitas esperimentas parodė, ad nagrinėjant onstruciją susaidytą į 5 elementų XIII 8

31 Superelementų panaudojimo galimybės testilės audinio modeliavimui modeliuojant ompiliatoriaus pagalba saičiavimo laias užima 3 valandas. Tuo tarpu nagrinėjant onstruciją, uri susaidyta į 8 elementus, saičiavimo laias užima 0 minučių. Modeliavimui naudotas ompiuteris su Pentium IV. 7 GHz dažnio procesoriumi ir 56 Mb operatyvinės atminties. Norint sumažinti modeliavimo laią, reiėtų programą perdaryti taip, ad ją galima būtų vydyti ant eleto lygiagrečių ompiuterių tiintis, ad laias reialingas atliti būtinus saičiavimus ženliai sumažės. Šiuo atveju modeliavimas vyo audinio lygyje, uomet nagrinėjamas jau ištisinis audinys, tačiau reiia pabrėžti, ad dar yra atsiras miro lygis t.y. siūlų tarpusavio modeliavimas. Taigi norint atliti dar smulesnį ir detalesnį audinio strutūros modeliavimą reiia įvertinti ir žemesnį hierarchinį strutūros lygmenį. 6 pav. Įtempimai audinio strutūroje Literatūros sąrašas [] X. Q. Peng. Tnumerical Determination of Mechanical Elastic Constants of Tetile Composites. 5 th Annual Technical Conference of American Society for Composite, 000. [] S. V. Lomov, I. Verpoest. Modelling of internal structure and deformability of tetile reinforcements: WiseTe software. Department Metallurgy and Materials Engineering, Katholiee Universiteit Leuven. [3] R. Barausas. Baigtinių elementų metodo pagrindai. Vadovėlis. Leidyla Technologija, 998. [4] D. Benson. Superelements LS-DYNA. FEA Information, 00. [5] Superelements and Global-Local. Analysis. Introduction to Finite Element Methods. Department of Aerospace Engineering SciencesUniversity of Colorado at Boulder 00. [6] R. Tanov, M. Brueggert. Finite element modeling of non-orthogonal loosely woven fabrics in advanced occupant restraint systems. Finite Elements in Analysis and Design 39, 00. [7] K. Pluas. Saitmeniniai metodai ir algoritmai. Vadovėlis auštųjų moylų studentams, 00. p Modeling of Tetiles Using Superelements This paper presents modeling of tetile fabric using superelements. Superelements are groupings of finite elements. Tetile materials are characterized by the distinct hierarchy of the structure that leads to distinct modeling strategy too. There is presented an eample, which shows several types of deformability of tetile fabrics and its mechanical behavior. XIII 9