UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN

Size: px

Start display at page:

Download "UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN"

Norma Parks
6 years ago
Views:

1 UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN NOR WAHIDA DERAMAN. IPM

2 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN Oleh NOR WAHIDA DERAMAN Tesis Ini Dikemukakan Kepada Sekolah Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia, Sebagai Memenuhi Keperluan Untuk Ijazah Master Sains Mac 2007

3 Salam kasih dun sayang buat Hj. Deraman B. Yusog Hjh. Hamidah Bt. Mamat, Fadzlirahimi B. Ismail Dan Anis Sulwani Bt. Fadzlirahimi

4 Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN Oleh NOR WAHIDA DERAMAN Mac 2007 Pengerusi : Profesor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD Institut : Penyelidikan Matematik Katakan x = ( XI, xz,..., x,, ) suatu vektor dalam ruang Zfi dengan Z menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan f suatu polinomial dalam 5 berpekali unsur dalam Z. Hasil tambah eksponen yang 2idfCx) dihubungkan dengan f ditakrifkan sebagai, S(f;q) = z e, dengan x_ mengambil nilai dalam sistem reja terkecil modulo q. Seperti yang telah ditunjukkan sebelum ini, kebanyakan anggaran adalah bersandar kepada suatu nilai malar yang dihubungkan dengan polinomial yang berkaitan secara tersirat. Penyelidikan ini tertumpu kepada mencari anggaran hasil tambah eksponen, SEq) dengan fo polinomial kuadratik dua, tiga dan empat pembolehubah berpekali dalam gelanggang integer p-

5 adic, 2,. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan meneliti dan menguji set penyelesaian Persamaan Diofantus Linear yang dihubungkan dengan terbitan separa A&). Daripada kajian yang kami lakukan, keputusan yang diperolehi adalah seperti berikut: Pertama, katakan,f(~,~)=ax~ + bxy + cy2 + rx + sy + t. Biarkan, CY suatu 13 integer positif, 0 = - dan ul = min{ordp (4ac-bZ),6) atau ul = l+k dengan 1 i min{ord, 2a,ordp b) dan k < minford, b,ordp 2c). Jika N(f(x,y), pe) < put, maka anggaran hasil tambah eksponen bagi f (x, y) ialah, p(f; pa 5 P ~(a-~)+u, Kedua, katakan, f(~,~,z)= a,x2 + a, y2 + a3z2 + bpy + b2yz + b3xz + c,x + Biarkan, c2y+c3z+d. (2a1b2-blb3)=a117 (b1b2-2a2b3)=a,27 2 (2a3b1 -b2b,)= a,,, (4a2a3 -b2 )=a,. Katakan, u2 I rnin {ordp 2a3, ord, b2, ord, b3), u1= min{ordp (alla22-a12a21),8) atau ul = I+k dengan I I min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 2 min{ord, al2, ord, an). Jika N(f(x,y,z), pe ) i pu1+"2, maka anggaran had tarnbah eksponen bagi f (x, y, z) ialah, - ;pa] 5 p3b-eh+w.

6 Ketiga, Katakan, f(x,y,z,t) = a,x + a2y2 + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz + b3xt + b4yz + b5yt + b6zt + c,x + c2y + c3z + c4t + e. Biarkan, (2a1b5 - blb3) =CII, ord, b3, ordp b5, ord, b6f7 u2 I min(ord, c13,0rd, C23, ordp ~33) u~ = min{ord~ (a,,a2,-a12a2,), 8) atau ul = l+k, dengan 1 I min{ordp all, ord, a21) dan k I min{ord, al2, ord, an). Jika NV(X,~,Z,~),~~) 5 put+u2+', maka anggaran hasil tarnbah eksponen bagif(x,y,z,t) ialah, IS(f; pa 1 < p4(a-eh+u2+u3

7 Abstract of thesis presented to Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science SOLUTION OF LINEAR DIOFANTUS EQUATION AND EXPLICIT ESTIMATION OF EXPONENTIAL SUM NOR WAHIDA DERAMAN March 2007 Chairman : Professor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD Institute : Mathematical Research Let x_ = ( XI, XZ,..., x,, ) be a vector in a space Z" with Z the ring of integers and let q be a positive integer and f a polynomial in g with coefficients in Z. The exponential sum associated with f is defined as, SEq) = 2nif(x) z e,where the sum is taken over a set of least residues modulo q. As has been shown previously, most of these estimates depend on a constant value that is related to the polynomial implicitly. This research concentrates on finding estimates to the exponential sum, SEq) where foare two, three and four variables quadratic polynomials with coefficients in the ring ofp-adic integers, 2,. The approach is by observing and examining

8 the sets of solutions of Linear Diophantine Equation associated with partial derivatives of A&). In our work, we found that: First, let,f(xry)=ax2 + bxy + cy2 + m + sy + t. Let a is the positive integer, 13 8 = - and ul = min {ord, (4ac-b2),6} or u1 = l+k with, 15 min{ord, 20, ord, b} and k 5 min{ord, b, ord, 2c). If N(Ax,y), 5 py1, then the estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y) as follows: Second, let, f(~,~,z)=a,x~ +azy2 +a3z2 +b,xy+b,yz+b3xz+c,x+c,y+c3z +d. Let, (2a,b2 - blb3) = a,,, (b,b, - 2a24) = a,,, (2a3b1-463) = a,,, (4a2a3- b22)= a22. Let, u2 5 min ford, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ord, (alla22-a12a21),8) or ul = Z+k with, I I min{ord, all, ord, azl} and k 5 min{ord, 012, ord, an}. If N(&,y,z), pe) 5 pu1'"2, then the estimation of the exponential sum associated with polynomial fix,y,z) as follows: p(f ;pa) 5 P 3(a-e)tu1+u2 Third, let, j(x,y,z,t) = a,x + + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz + b3xt + b,yz +b5yt + b6zt + c,x + c2y + c,z + c4t + e. Let, (%b5-44) = cl17 (b1b5-2a2b3)= c12 = c13 - b2b5 ) = c21, vii

9 (ci2cz3 -c22c13)= (~21~33 -~31'23)= a21, ( ~22~33 -~32~23)= a22. Let, u3 ' rnin{ordp2a4, ord, b3, ord, bg, ordp bh}? u2 5 min{ord, c13,0rdp ~23, 0rdp '33) and ul = min{ord, (a,,a,, - a,,a2, ), 8) or ul = l+k, with 1 5 min{ord, all, U,+U2+U3 ord, azl } and k 5 min {ord, au, ord, a22). If NMx, y,z.t), pe) 5 p, then the estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y,z,t) as follows:... Vlll

10 PENGHARGAAN Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani. Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah kurnia-nya dapat saya menyiapkan tesis ini. Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Prof. Dato' Dr. Hj. Kame1 Ariffin Bin Mohd Atan di atas segala kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau dapat saya menyiapkan tesis ini. Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Prof. Madya Dr. Mohamad Rushdan Bin Mohd Said dan Prof. Madya Dr. Bekbaev Ural Djumaevich kerana bantuan dan tunjukajar yang telah mereka berikan sepanjang saya menyelesaikan tesis ini. Akhir kata, saya ingin merakamkan penghargaan buat ahli keluarga terutamanya ibu, ayah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.

11 Saya mengesahkan bahawa satu Jawatankuasa Pemeriksa telah berjumpa pada 21 Mac 2007 untuk menjalankan peperiksaan akhir bagi Nor Wahida binti Deraman untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Penyelesaian Persamaan Diofantus Linear dengan Anggaran Eksplisit Hasil Tambah Eksponen" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 1980 dan Peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) Jawatankuasa Pemeriksa tersebut telah memperakukan bahawa calon ini layak dianugeri ijazah berkenaan. Ahli Jawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut: Noor Akma Ibrahim, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi) Mat Rofa Ismail, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam) Nik Mohd Airi Nik Long, PhD Pens yarah Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Perneriksa Dalam) Hj. Ismail Abdullah, PhD Profesor Madya Pusat Kemahiran Komunikasi dan Keusahawanan Universiti Malaysia Perlis (Pemeriksa Luar) Sekolah pengaji% Siswazah Universiti Putra Malaysia Tarikh: 2 1 JUN 2007

12 Tesis ini telah dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Penyeliaan adalah seperti berikut: Dato' Kame1 Ariffin Mohd Atan, PhD Profesor Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi) Mohamad Rushdan Md. Said, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli) Bekbaev Ural Djumavich, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli) AINI IDERIS, PhD Profesor dm Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia Tarikh: 17 Julai 2007

13 PERAKUAN Saya memperakui bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang tiap-tiap satunya telah dijelaskan sumbernya. Saya juga memperakui bahawa tesis ini tidak pernah dimajukan sebelum ini, dan tidak dimajukan serentak dengan ini, untuk ijazah lain sama ada di Universiti Putra Malaysia atau institusi lain. Tarikh: 21 Mei 2007 xii

14 JADUAL KANDUNGAN Muka Surat DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN PENGESAHAN PERAKUAN SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN BAB PENGENALAN 1.1 Ringkasan Penyelidikan 1.2 Sorotan Literatur 1.3 Kepentingan Kajian 1.4 Pennasalahan PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DENGAN BENTUK NORMAL SMITH 2.1 Pengenalan 2.2 Bentuk Normal Smith 2.3 Kesimpulan SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DUA PEMBOLEHUBAH 3.1 Pengenalan 3.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Dua Pembolehubah,f(x,y). SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR TIGA PEMBOLEHUBAH 4.1 Pengenalan 4.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Tiga Pembolehubah, f(x,y,z).... Xlll

15 PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN SEPUNYA KEPADA SISTEM PERSAMAAN TERBITAN SEPARA BAG1 POLINOMIAL KUADRATIK n-pembolehubah,f(xlq2,...& Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Empat Pembolehubah,f(x,y,z,t) Penganggaran Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik n-pembolehubah,f(xl,x2,...,xn) PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN 6.1 Pengenalan 6.2 Hasil Tambah Eksponen 6.3 Pengaggaran /~(f; 1 bagi polinomial kuadratik dua pernbolehubah, f (x, y) 6.4 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik tiga pembolehubah, f (x, y, z) 6.5 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik empat pembolehubah, f (x, y, z, t) KESIMPULAN DAN CADANGAN 7.1 Hasil Kajian 7.2 Kesimpulan 7.3 Cadangan BIBLIOGRAFI APENDIKS BIODATA PELAJAR xiv

16 SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN Nombor Perdana Gelanggang Integer Medan Nombor Nisbah Gelanggang Integer p-adic Medan Nombor Nisbahp-adic n-rangkap pembolehubah (xl, x2,..., x,), n 2 1 m-rangkap polinomial V;,fi,..., fm), m 2 1 Hasil Tambah Hasil Tarnbah Eksponen Set (3 mod pa : f = 0 mod pa) Kekardinalan bagi Set V%pa) a Membahagi b Penentu atau bilangan unsur bagi Matriks A Matriks Transposisi bagi Matriks A mod diag col rank gcd Modulo Pepenjuru (diagonal) Lajur (column) Pangkat Pembahagi Sepunya Terbesar Kuasa tertinggi p yang membahagi a.

17 BAB 1 PENGENALAN 1.1 : Ringkasan Penyelidikan Penyelidikan kami ditumpukan kepada masalah menentukan kekardinalan sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan A&), polinomial kuadratik n-pembolehubah, dengan n = 2, 3 dan 4. hi merupakan salah satu masalah yang telah dikaji oleh pengkaji-pengkaji terdahulu dalam usaha untuk mencari anggaran terbaik kepada kekardinalan ini, umpamanya Mohd. Atan (1989). Beliau telah menunjukkan bahawa, bagi sebarang polinomial kuadratik banyak pembolehubah, &) dengan pekali dalam 2, nilai IS(^; pa bagi p perdana dan a > 0 bergantung kepada ~ ( pe f ;) El dengan 0 = -. Iaitu, dengan ~ (; pe f ) rnenandakan kekardinalan bagi vlf; pe). Katakan 0 > 0 danf= Vi,fi,..., fn), n-rangkap polinomial dalam gelanggang integer p-adic Z&] dengan x = (xl, xr,..., x,), kita pertimbangkan set

18 Kajian yang telah kami jalankan adalah dengan memerhatikan kekardinalan, ~ ( 20) f b agi sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan polinomial kuadratikfi~) dua, tiga dan empat pembolehubah. Dalam Bab 2, kajian dimulakan dengan menyelesaikan sistem persamaan terbitan separa fix) dengan menggunakan kaedah penurunan matriks ke bentuk normal Smith. Penyelesaian diperolehi melalui perisian MAPLE9. Walaupun kaedah ini lebih mudah dm cepat, namun keputusan yang diperolehi kurang tepat dan penyelesaian bukan dalam bentuk (xl, xz,..., x,). Jadi, kajian diteruskan dengan menggunakan kaedah Cramer seperti yang diterangkan dalarn Bab 3, Bab 4 dan Bab 5. Dalam Bab 3, kajian dimulakan dengan polinomial kuadratik dua pembolehubah, ~(x,~)=ar~ + bxy + cy2 + + sy + t dengan pekali di dalarn set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah penyelesaian secara langsung menggunakan Petua Cramer. Seterusnya, kekardinalan bagi set vc~,, f,, ;pa) dapat ditentukan. Dari polinomial J(x,y) di atas, didapati hgsi terbitan separanya terhadap x dan y, yang ditandakan olehf, danf, adalah seperti berikut: fx (x,y) = 2ax + by + r

19 Katakan, m integer positif. Dari persamaan (1.2), sistem persamaan kongruen linear modulo m yang akan - diteliti adalah berbentuk: 2ax + by+r 0 (modm) bx + 2cy + s = 0 (modm). Dalam Bab 4 pula, kajian diteruskan dengan polinomial kuadratik tiga pembolehubah, f(x,y,z)=a1x2 + a, y2 + a3z2 + blxy + b2 yz + b3xz + clx + c2 y + c3z + d dengan pekali dalam set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah sama seperti dalam bab sebelumnya dan kekardinalan bagi set v(fx, fy, fz ; pa ) dapat ditentukan dengan fungsi terbitan separa f(x,y,z) terhadap x, y dan z yang ditandakanf, f, danf, adalah seperti berikut: Dari persamaan (1.2), sistem persamaan kongruen modulo m yang diteliti adalah berbentuk: (mod m) (mod m) (mod m).

20 Sementara itu dalam Bab 5 pula, bagi polinomial kuadratik empat pembolehubah yang dikaji berbentuk, f(x.y,z,t) = alx2 + azy2 + a3z2 + a,t2 + blny + b2xz + b3xt + b4yz + b,yt + b6zt + qx + c2y + c3z + c4t +e. Dengan polinomial fix,y,z,t) ini, didapati fungsi terbitan separanya adalah seperti berikut : Sistem persamaan kongruen linear modulo m yang diteliti adalah terdiri daripada polinomial separa yang dikaitkan dengan persarnaan f(x,y,z,t), iaitu berbentuk: (mod m) (mod m) (mod m) (mod m).

21 Daripada penyelidikan kami, kekardinalan yang diperolehi dapat menganggar hasil tarnbah eksponen bagi polinomial-polinomial yang diperhatikan. Dalarn kes polinomial kuadratik dua pembolehubah, biarkan p [;I perdana, a > 0 dane = -. Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi p(f ;pa] 5 P 2(a-e)tu, dengan ul = min (04(4ac-b2)J) atau ul = I+k dengan I i min{ord, Pa, ord, b) dan k 5 min (0% b, ord, 2c). Seterusnya, bagi polinomial kuadratik tiga pembolehubah yang dikaji, katakan p perdana, a! > 0 dan 8 ll = -. Maka anggaran had tarnbah eksponen bagi f (x, y, z) ialah, 2 (4a2a3- b2 )= a,, min {ord, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ordp (al la22-a12a21),t9) atau ul = I+k dengan I 5 min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 5 min (ord, al2, ord, ~22). -

22 Manakala, bagi polinomial kuadratik empat pembolehubah pula, katakan p perdana, WO 1;J dan 8 = -. Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi f(x,y,z, t) ialah, ('11'23 -'2lcl3)= 9 ('12'23 - '22'13 ) = '12 3 ('21'33 - '31'23 ) = a21 2 ( c ~ - ~ c c ~ ~ ~ = ~ a12, c ~ 243 ~ S ) min{ord&r, ord, b3, ord, bs, ord, bd, u2 5 min{ord, c13,0rdp '23, ord, '33) dan UI = min{ord, (alla2, -a12a2,),8) atau ul=l+k, dengan K min {ord, a,,ordp dan klmin{ord, a12,0rdp a22).

23 1.2: Sorotan Literatur Dalam Teori Nombor Analisis, ramai pengkaji telah memperihalkan peranan penting hasiltambah eksponen. Diantaranya ialah Davenport (1959), Igusa (1978) dan Schmidt (1982). Hasil tambah eksponen ditakri fkan sebagai dengan hasiltambah dinilaikan bagi x dalam set lengkap reja modulo q. Hardy dan Littlewood (1919), Deligne (1974), Loxton dan Vaughan (1985) telah mengkaji hasil tarnbah Sgq) dengan f polinomial tak linear dalarn 2. Hasiltambah Sgq) dalam kes satu pembolehubah telah dikaji oleh Hardy dan Littlewood (1919) berhubung dengan masalah Waring. Pada tahun 1940, Hua telah mendapati bahawa wujud E > 0, sedemikian hingga dengan c pemalar yang bersandar kepada m dan E sahaja. Keputusan Hua telah diperbaiki oleh Jing-Run Chen (1977) ymg menunjukkan bahawa jika kandungan bagi f -A0) perdana relatif terhadap q, maka

24 Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin (1980) bagi menunjukkan bahawa untuk suatu pemalar mutlak positif c tertentu, dengan cv) menandakan kandungan bagi f - AO). Pada tahun 1974 pula, Deligne menunjukkan bahawa untuk suatu nombor perdanap, dengan m adalah jumlah darjah bagi suatu polinomial f, apabila bahagian homogen bagi f berdarjah terbesar adalah tak singular modulo p. Kajian Deligne ini membuka jalan bagi mendapat anggaran yang lebih tepat bagi I Sgq) I untuk polinomial am f dalam beberapa pembolehubah. Seterusnya pada tahun 1962 pula, poligon Newton telah digunakan oleh Walker dalam pembuktian Teorem Puiseux. Manakala pada tahun 1983, Sathaye juga telah mempertimbangkan perluasan kaedah Newton-Puiseux secara umum. Pada tahun 1977, Koblitz membincangkan kaedah poligon Newton dalam kes p-adic bagi polinomial dan ski kuasa di dalarn R,[x]. Penganggaran pensifar bagi polinomial tersebut dihasilkan daripada sifat-sifat poligon Newton yang berkaitan. Khususnya, jika h kecerunan suatu tembereng pada

25 poligon Newton bagi suatu polinomial f dengan panjangnya N, maka terdapat N pensifar bagi f yang peringkat p-adicnya -h. Untuk setiap nombor perdana p, katakan f = ( fi, fi,..., f, ) n-rangkap polinomial dalam gelanggang p-adic 2, [x] dengan x = ( XI, x2,..., - x,, ). Kita pertimbangkan set V( $pa ) = ( g mod pa : f (g) 0 mod pa) dan tandaan N( jpa ) adalah kekardinalan bagi V(Lpa ) dengan a > 0 dan g mengambil nilai bagi set lengkap reja modulo pa. Pada tahun 1982, Loxton dan Smith telah menyelidiki penggunaan teknik poligon Newton dan akhirnya menggunakan kaedah tersebut untuk mendapatkan keputusan mereka, seperti di bawah. Katakan, K medan nombor aljabar yang diterbitkan daripada punca-punca ti,, 15 i 5 m bagi polinomial-polinomial f (x) dalam Z[x], Loxton dan Smith telah menunjukkan bahawa jika a > 6, dengan m adalah bilangan pensifar berbeza bagi flx) dan 6 = ord, Dm, D(f) menandakan persilangan bagi fungsian utama diterbitkan daripada f "' ( ~ i ei! ), i > 1, dengan ei gandaan pensifar ci

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH SITI HASANA BINTI SAPAR FSAS

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH SITI HASANA BINTI SAPAR FSAS 2001 51 SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH SIT I HASANA