2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

Transcription

1 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia cademy of Romaia Scietists 54 Splaiul Idepedetei Bucharest 5 Romaia Î acest capitol descriem metoda gradietului cougat petru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiare ceastă metodă a fost prezetată petru prima dată de Magus Hestees de la Istututul petru aliză Numerică a Laboratorului Naţioal de Matematică plicată Los geles şi de Eduard Stiefel de la Uiversitatea ehică di Zürich La îceput algoritmii corespuzători acestei metode au fost cosideraţi ca tehici directe de rezolvare a sistemelor liiare dar repede au fost abadoaţi î urma comparaţiilor umerice cu metodele directe bazate pe elimiarea Gauss S-a observat că îtr-o aritmetică exactă datorită pierderii rapide a ortogoalităţii vectorilor geeraţi de algoritm acesta u se termiă î paşi ude este dimesiuea sistemului Ca atare cercetările asupra acestor algoritmi au stagat aproape două deceii Situaţia s-a schimbat î aii 97 câd s-a observat că pierderea ortogoalităţii u eludează covergeţa acestor algoritmi ceastă Magus Hestees (96-99) cotribuţie foarte importată a fost adusă de Reid [97] care a demostrat foarte multe aspecte eseţiale ale acestor metode arătâd poteţialul lor ca metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liiare de mari dimesiui cu matricea coeficieţilor rară Lucrarea lui Reid a stat la baza a foarte multe dezvoltări a metodelor de gradiet cougat ca metode iterative Î [drei ] am prezetat pricipalele rezultate ale lui Reid şi u le mai discutăm aici Cotribuţii importate au fost aduse ître alţii de: Paige [ ] care a precizat algoritmi stabili ce u cer o reortogoalizare completă Ua ditre Eduard Stiefel (99-978) primele extesii stabile ale algoritmilor de gradiet

2 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG cougat la matrice edefiite a fost dată de Paige şi Sauders [975] lgoritmul lui Paige şi Sauders costituie o realizare maoră î acest ses efiid îcă depăşit di puctul de vedere al proprietăţilor umerice Joh K Reid Imediat Cocus şi Golub [976] au cosiderat cazul matricelor esimetrice O altă extesie maoră a costituit-o itroducerea tehicilor de precodiţioare care deşi discutate şi aalizate îcă di aii 96 doar îcepâd cu aii 975 au primit o ateţie deosebită mai ales î cotextul algoritmilor de gradiet cougat Lucrarea lui Faber şi Mateuffel [984] precum şi cea a lui Voevodi [983] au arătat posibilităţile metodelor de gradiet cougat defiite pri formule de recureţă cu umăr mic de termei Matematic algoritmii de gradiet cougat sut echivaleţi î sesul că ei realizează acelaşi proces de proiecţie dar cu implemetări diferite De fapt aceasta a fost cotribuţia de bază a lui Reid î ceea ce priveşte reabilitarea acestor metode De-a lugul timpului aceşti algoritmi au fost îdelug rafiaţi astfel deveid u istrumet fudametal petru rezolvarea uei largi varietăţi de probleme icluzâd aici rezolvarea sistemelor algebrice eliiare şi a problemelor de optimizare cu sau fără restricţii [drei 8] Î eseţă metodele de gradiet cougat sut realizări ale tehicilor de proiecţie ortogoală pe subspaţii Krylov Ca atare aceştia se scufudă î clasa deosebit de bogată a metodelor iterative de rezolvare a sistemelor algebrice liiare [Hacbusch 994] [Saad 996] [Meurat 999] [Barrett et all 994] [Dogara Duff Sorese şi va der Vorst 998] MEOD PSULUI DESCENDEN Să cosiderăm sistemul de ecuaţii algebrice liiare x= b () ude este o matrice simetrică şi pozitiv defiită precum şi fucţioala Φ ( x) = x x x b () care este strict covexă tuci există o soluţie uică x a problemei mi Φ ( x) (3) Deoarece Φ ( x) = x b rezultă că problema de miimizare (3) este echivaletă cu rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice () Petru rezolvarea problemei (3) cosiderăm următoarea metodă iterativă Fie x o aproximaţie a soluţiei lui (3) şi presupuem că reziduul r = b x legem o direcţie de căutare d şi determiăm

3 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 3 mi Φ x + αd ) (4) α R ( Cu acestea avem Ψ ( α) =Φ ( x + αd) = α d d αdr +Φ( x ) (5) vâd î vedere că este pozitiv defiită atuci d d > Deci Ψ ( α) are u miim uic obţiut di codiţia ecesară de optimalitate Ψ ( α) = αd d d r = adică dr α = (6) d d Cu acestea oua aproximaţie a puctului de miim x al lui (3) este x+ = x + αd (7) ude α este dat de (6) Desigur dacă r = b x atuci putem + + repeta acest proces de căutare liiară utilizâd oua direcţie de căutare d + Petru a vedea eficieţa procesului de mai sus să comparăm reducerea fucţiei Φ câd facem u pas de la x la x + Di (5) şi (6) obţiem Φ( x) Φ ( x+ ) =Φ( x) Φ ( x + αd) =Φ( x) Ψ ( α) = αd d + αdr ( d ) r = > (8) d d Deci fucţia Φ îşi reduce valoarea de-a lugul liiei de mai sus dacă şi umai dacă reziduul r u este ortogoal pe direcţia de deplasare Petru a completa metoda şi deci petru a avea u algoritm de miimizare a lui () trebuie să precizăm o cale de selecţie a direcţiei d la pasul După cum ştim dată aproximarea x atuci cea mai rapidă reducere a valorii fucţiei d Φ este î direcţia cu sem schimbat a gradietului fucţiei Φ i puctul x ceasta este chiar metoda pasului descedet [Cauchy 847] Deci alegerea optimă locală a direcţiei de deplasare este d = Φ ( x) = b x = r (9) Petru fucţii pătratice formula iterativă este următoarea: rr x+ = x + r () r r Cu acestea avem următorul algoritm de pas descedet

4 4 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG lgoritmul (Pasul descedet petru sisteme liiare) Pasul Iiţializare Selectăm puctul iiţial x şi puem r = b x şi = Pasul Se testează u criteriu de oprire a iteraţiilor De exemplu dacă reziduul r ε ude ε > este o toleraţă suficiet de mică atuci stop; altfel se cotiuă cu pasul 3 Pasul 3 Se calculează: v = r α = ( rr)/( rv) Pasul 4 Se actualizează variabilele şi reziduul: x+ = x + αr şi r+ = r αv Se pue = + şi se cotiuă cu pasul Câteva observaţii sut ecesare: ) La fiecare iteraţie a algoritmului î pasul 3 sut ecesare următoarele operaţii algebrice: u produs matrice vector şi două produse scalare ) Î pasul 4 reziduul r + se calculează îtr-o maieră recursivă utilizâd reziduul de la pasul 6 3) Î criteriul de oprire a iteraţiilor uzual ε = Observăm că petru soluţia x a lui () petru fiecare x R putem scrie: ( x x ) ( x x ) = ( Φ( x) Φ ( x )) Deci x este u puct de miim al lui Φ dacă şi umai dacă acesta miimizează orma erorii corespuzătoare lui x x x = ( x x ) ( x x ) () eorema Fie o matrice simetrică şi pozitiv defiită cu valorile proprii λ λ λ Petru fiecare puct iiţial x şirul x geerat de algoritmul pasului descedet coverge la soluţia x a lui () şi λ λ x x x x λ + λ () Demostraţie Cosiderăm u puct arbitrar x R şi reziduul corespuzător r = b x tuci pasul cosiderat de algoritmul pasului descedet este: r r r y = x+ b x = x+ b x ( ) r r r r r r ude tx ( ) = r /( rr) Deci eroarea este: ( ) = I txx ( ) + txb ( )

5 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 5 Fie ( ) ( ( ) ) ( ) ( I txx ( ) ) txx ( ) x y x = I t x x+ t x b x = + ( I tx)( x x) = ( ) z( σ ) = I σ x+ σb ude σ R tuci petru fiecare σ R avem y x z( σ ) x Demostrăm că petru σ = σ /( λ + λ ) următoarea iegalitate este satisfăcută λ λ z( σ ) x x x λ + λ Îtr-adevăr să cosiderăm erorile e= x x şi e = z( σ ) x atuci ( ) ( σ ) σ ( σ ) e = z( σ) x = I σ x+ σb x = I x+ x x = I e Observăm că matricea I σ este simetrică cu valorile proprii σλ Deci orma ei spectrală este dată de: λ λ λ λ I σ = max = λ + λ λ + λ λ +λ Cu acestea obţiem: y x e = e = ( I σ ) e / / de ude pri iducţie obţiem () λ λ λ λ = σ = / / ( I ) e e e λ + λ λ + λ Observaţia Dacă λ şi λ sut valorile proprii ale lui ca î teorema 8 şi κ( ) = λ / λ este umărul de codiţioare al lui defiit î raport cu orma Euclidiaă atuci algoritmul pasului descedet este caracterizat de următorul factor de reducere a erorii: x x η x x (3) ude λ λ κ( ) η = = (4) λ + λ κ ( ) + Deci cu cât umărul de codiţioare al lui este mai mic cu atât algoritmul pasului descedet este mai rapid Î particular câd κ ( ) = atuci η = ceea ce îseamă că algoritmul găseşte miimul îtr-u sigur pas

6 6 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Exemplul Cosiderăm Φ ( x) = x x ( x γ ) = + γ x ude γ > Puctul de miim este x = şi Φ ( x ) = Valorile proprii ale lui sut şi γ plicăm algoritmul pasului descedet di puctul iiţial x = ( λ) Î acest caz putem obţie soluţia aalitică a iteraţiilor ca: γ x( ) = γ γ + cu care putem calcula valorile fucţiei: x ( ) γ = γ + γγ ( + ) γ γ x Φ ( x ) = = Φ( ) γ + γ + Petru acest exemplu vedem că covergeţa este liiară adică la fiecare iteraţie eroarea evoluează ca o serie geometrică aceasta fiid redusă cu factorul ( γ ) /( γ + ) Petru γ = soluţia exactă se obţie îtr-o sigură iteraţie Dacă γ este îtr-o veciătate a lui atuci covergeţa este rapidă Pe de altă parte covergeţa este foarte letă petru for γ sau γ abelul arată umărul de iteraţii (#iter) ecesare petru obţierea uei soluţii petru diverse 9 valori ale lui γ petru care r abelul Pasul descedet petru exemplul Numărul de iteraţii γ #iter γ # iter Performaţa algoritmului pasului descedet petru probleme prost codiţioate se explică pri faptul că curbele de ivel costat ale lui Φ sut elipse foarte deformate Metoda merge î zigzag de-a lugul uei văi îguste de tipul x R : Φ( x) Φ ( x ) Deşi miimul este situat î direcţia x de-a lugul { } iteraţiilor algoritmul comută de la direcţia î x la direcţia î x aceasta reducâd puteric viteza de covergeţă a algoritmului Petru probleme prost codiţioate aceasta este comportarea tipică a algoritmului pasului descedet MEOD DIRECŢIILOR CONJUGE

7 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 7 După cum am văzut petru evitarea comportării î zigzag a algoritmului pasului descedet trebuie să cosiderăm o altă metodă de calcul a direcţiei de deplasare Notăm cu ls{ d d} subspaţiul liiar geerat de vectorii d d Cu acestea e puem problema uei căutări ideale cu următoarea proprietate: Dacă aproximaţiile x x x sut determiate pri căutare liiară exactă de-a lugul direcţiilor d d d atuci puctul de miim x + al fucţiei Φ de-a lugul liiei x + αd α R trebuie + care este geerat de toate direcţiile aterioare d d d să miimizeze Φ pe subspaţiul afi x ls{ d d } Deci dacă sutem capabili să geerăm direcţii liiar idepedete care satisfac această proprietate atuci metoda respectivă u este umai covergetă după cum am văzut mai sus ci este şi fiită deoarece după cel mult paşi ea găseşte puctul de miim al lui Φ pe R îtru-cât { x + ls d d } = R Zicem că metoda are proprietatea de termiare fiită Defiiţia Fie R o matrice simetrică şi pozitiv defiită Mulţimea de vectori d d d R se umeşte cougată dacă d petru toţi = şi d d petru toţi i = şi i i eorema Fie x R o aproximaţie iiţială a lui x şi x x iteraţiile determiate de o procedură de căutare liiară petru miimizarea lui () ude direcţiile d d sut mutual cougate tuci x + miimizează fucţia Φ pe subspaţiul afi x + ls{ d d} + atuci x are următoarea reprezetare x = x +αd ude α R şi Demostraţie Cosiderăm u puct x x ls{ d d } = + = x x ξ d Cu acestea avem: Φ =Φ + + ( x) ( x ) α ξ d d αdr α d d = Dacă d d = petru toţi = atuci

8 8 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Φ ( x) =Φ ( x ) + α d d αdr şi problema de miimizare a lui Φ pe x + ls{ d d} este decuplată î două sub-probleme de miimizare Prima costă î miimizarea fucţiei Φ pe x + ls{ d d} şi a doua î miimizarea fucţiei Ψ ( α) = α d d αdr care după cum se vede este idepedetă de x dar depide umai de direcţia de căutare curetă d Miimul α al lui Dar Deci Ψ este d r α = d d d r d b x d = d b x α d = = + α = α = = d r d d = d r dr α = d d Dacă direcţiile d sut mutual cougate adică d d = petru i atuci Φ pe subspaţiul afi x ls{ d d } miimul lui + poate fi îlocuit pri căutări liiare cosecutive de-a lugul direcţiilor d d d Problema acum s-a mutat la aceea a determiării uui set de direcţii mutual cougate De modul cum se implemetează această idee a cougării depide tipul de algoritm de gradiet cougat Deci petru a rezolva sistemul algebric liiar x = b se poate prezeta următorul algoritm de direcţii cougate i lgoritmul (Direcţii cougate petru sisteme liiare) Pasul Iiţializare Selectăm puctul iiţial x şi puem r = b x şi = Pasul Se testează u criteriu de oprire a iteraţiilor De exemplu dacă

9 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 9 reziduul r ε ude ε > este o toleraţă suficiet de mică atuci stop; altfel se cotiuă cu pasul 3 Pasul 3 Se alege d astfel îcât d d = petru = şi d r Pasul 4 Se calculează: α = ( d r )/( d d ) Pasul 5 Se actualizează variabilele şi reziduul: x+ = x + αd r+ = r x+ Se pue = + şi se cotiuă cu pasul 3 MEOD GRDIENULUI CONJUG După cum se cuoaşte doi vectori x y R sut cougaţi dacă şi umai dacă sut ortogoali î raport cu produsul scalar x y = y x Deci dacă d d d sut cougaţi atuci aceştia sut liiar idepedeţi Dată o mulţime de vectori liiar idepedeţi v v R atuci se poate costrui o mulţime de vectori cougaţi v v pri utilizarea algoritmului de ortogoalizare Gram-Schmidt î raport cu produsul scalar Petru a implemeta algoritmul de direcţii cougate trebuie să precizăm o procedură de selecţie a direcţiilor d astfel îcât dd = petru toţi = şi dr Prima codiţie este satisfăcută de complemetul ortogoal a oricărui vector v ls{ d d} î raport cu spaţiul { d } ls d Petru a realiza a doua ceriţă selectăm v= r adică Deci ceea ce îseamă că d r d = r d (3) = d d d r d r = r r d r = r r > = d d d este o direcţie care satisface a doua ceriţă de mai sus Următoarea propoziţie arată că suma di (3) se reduce la ultimul terme Propoziţia 3 Fie x R dat şi presupuem că x x sut geeraţi de algoritmul de direcţii cougate ude direcţiile sut date de (3) tuci vectorii r şi d satisfac:

10 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Demostraţie Di (3) obţiem d r r d d cum r r = = (3) d r = = (33) i i= di di = + i d r r r r d r d i = + i i= di di Dar r d i = petru toţi i = adică (3) este îdepliită Petru a demostra (33) petru = putem scrie: Deoarece α rezultă că d d r i + + = r+ d i i= di di i + = b ( x + α d ) di i= di di d r b x d = i + + i= di di d r di r + d = r d + d α i i= di d i şi petru = di r + r d = r r r d + r di α = i= di d i ceea ce arată că (33) are loc Ca atare di (3) utilizâd propoziţia 3 rezultă că d r d = r d r + β d (34) d d Cocluzia care rezultă di aceste dezvoltări este că î acest proces u este ecesar să memorăm toate direcţiile de deplasare de-a lugul iteraţiilor petru a executa ortogoalizarea ci umai cea mai recetă direcţie Observaţia 3 Este posibil să îmbuătăţim eficieţa algoritmului observâd că r+ = b x+ = b ( x + αd) = r αd (35) La fiecare iteraţie aceasta salvează o îmulţire matrice-vector x + deoarece produsul d este dea calculat î pasul 4 al algoritmului de direcţii cougate i

11 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE Cu acestea petru di (35) obţiem: d = ( r r ) α Ortogoalitatea reziduurilor e coduce la d r = ( r r) r = r r α α Pe de altă parte d d = d ( r + β d ) = d r = ( r ) r r = r r α α Deci di (34) obţiem următoarea expresie a direcţiei: r r d = r + d r βd + (36) r r Î plus este posibil să obţiem o ouă expresie algebrică a lugimii pasului α Îtr-adevăr d r = ( r + β d ) r = r r care a fost dea calculată î (36) Cu aceste maipulări algebrice î fial obţiem următorul algoritm de gradiet cougat care î eseţă este metoda Hestees ad Stiefel [95] lgoritmul 3 (Gradiet cougat petru sisteme liiare) Pasul Iiţializare Selectăm puctul iiţial x şi puem r = b x t r r d = r şi = Pasul = Se testează u criteriu de oprire a iteraţiilor De exemplu dacă reziduul r ε ude ε > este o toleraţă suficiet de mică atuci stop; altfel se cotiuă cu pasul 3 Pasul 3 Se calculează: s = d şi α = t /( d s) Pasul 4 Se actualizează variabilele şi reziduul: x+ = x + αd r+ = r αs Pasul 5 Se calculează: t + = r + r + β + = t + / t şi direcţiile d = r + β d Se pue = + şi se cotiuă cu pasul Cuoaştem că petru orice x R soluţia lui () satisface x x x ( ) = Φ( ) Φ( x ) (37)

12 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Deci estimaţia x miimizează eroarea e= x x î raport cu orma peste spaţiul afi x + ls{ d d } Reprezetarea lui ls{ d d } este dată de următoarea propoziţie care este importată petru stabilirea uei margii a erorii furizată de algoritmul de gradiet cougat Defiiţia 3 Fie R şi b R date tuci spaţiul liiar K ( b ) = ls b b b se umeşte spaţiul Krylov al lui { } corespuzător lui b Propoziţia 3 Presupuem că direcţiile d d sut defiite de algoritmul de gradiet cougat tuci ls d d = ls r r r { } { } Demostraţie Petru = propoziţia este trivială deoarece d = r Presupuem că este adevărată petru u < tuci d+ = r+ + β+ d = r αd + β + d = d β d α d + β d (38) Dar d K ( r ) Deci d + { } ls d d K ( r ) + + Icluziuea iversă rezultă imediat di (38) şi α Petru a demostra covergeţa algoritmului de gradiet cougat trebuie să stabilim o expresie a erorii Ca mai sus otăm e = x x eroarea lui x + tuci di r = b x = ( x x) = e rezultă că r = e adică elemetele spaţiului Krylov z K ( r ) se pot exprima sub forma: z = t e t = R Deci eroarea e = x x de la iteraţia satisface: e = mi x x x x + K ( r ) mi x x z z K ( r ) = + t t R = mi e + t e + + t e (39)

13 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 3 cum să cosiderăm P mulţimea polioamelor p de grad mai mic sau egal cu astfel îcât p () = tuci (39) se poate exprima ca: e = mi p( ) e p P (3) ceea ce arată că eroarea de la iteraţia se poate exprima ca produsul uui poliom p( ) şi eroarea iiţială e Petru a obţie o formă mai coveabilă a erorii vom utiliza descompuerea spectrală a matricei ca: = λ z z = (3) ude z = este o mulţime de vectori proprii ortogoali care corespud valorilor proprii < λ λ λ Observăm că: = λλ i zizi zz = λzz i = = deoarece z z = δ Pri iducţie putem demostra că: i i Ca atare eroarea e i = λ z z = i se poate exprima sub forma: e = γ z = (3) vâd î vedere dezvoltările de mai sus urmează că eroarea de la iteraţia poate scrie sub forma: Dar p P = e = mi γ p( λ ) z (33) γ p( λ ) z = γ p( λ ) z γ p( λ ) z i i i = i= = = γ λ( p( λ) = ) (34) Deci cu acestea obţiem o reprezetare foarte importată a erorii lui x ca: = γ λ ( ( λ )) p P = e mi p se (35)

14 4 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Utilizâd (35) putem determia o margie superioară a erorii care e permite să stabilim proprietăţile de covergeţă ale metodei gradietului cougat Îtr-adevăr di e = λ γ = obţiem o estimaţie a valorilor p( λ ) pri maximizarea lui p pe spectrul lui : e mi max p( λ) e (36) Dar costata p P λ σ( ) mi max p( λ) p P λ σ( ) u este uşor de evaluat otuşi următoarea margie este utilă max p( λ) max p( λ) λ σ( ) λ λ λ petru a obţie următoarea estimaţie mi max p( λ) max p ( λ) λ σ λ λ λ p P ( ) ude p ( x ) este u poliom de gradul petru care p () = şi max ( λ) p λ λ λ este uşor de evaluat Polioamele care satisfac aceste ceriţe sut tocmai polioamele Chebyshev de prima speţă ceste polioame sut defiite î itervalul [ ] şi au următoarea defiiţie: Este uşor de observat că ( ) ( x) = cos arccos( x) (37) ( x) este u poliom dacă utilizăm următoarele idetităţi trigoometrice: cos( α + β) = cosαcos β siαsi β cos( α + β) + cos( α β) = cosαcos β Să otăm θ = arccos( x) tuci obţiem: ( x) = cos( θ ) = ( x) = cos( θ ) = x ( x) = cos( θ) = cos θ si θ = cos θ = x ( x) + ( x) = cos(( + ) θ ) + cos(( ) θ ) + = cos( θ )cosθ = x ( x) Î geeral are loc următoarea relaţie de recureţă: ( x ) = ( x) = x ( x) = x ( x) ( x) + Rezolvâd ecuaţia de recureţă de mai sus obţiem forma explicită a polioamelor lui Chebyshev:

15 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 5 ( ) ( ) ( x) = x+ x + x x care este validă î itervalul ( ) Figurile 3 34 ilustrează câteva polioame Chebyshev Fig 3 Polioamele Chebyshev ( x) ( x) Fig 3 Polioamele Chebyshev x x ( ) ( ) 3 4 Fig 33 Polioamele Chebyshev x x ( ) ( ) 7 8 Fig 34 Polioamele Chebyshev x x ( ) ( ) Poliomul Chebyshev traslatat şi scalat se defieşte ca: a+ b x ( x; a b) = b a î care ( x; a b ) < petru toţi x [ ab ] Polioamele Chebyshev sut deosebit de utile î studiul covergeţei metodelor iterative Î acest ses cea mai importată proprietate a lor este că acestea au cea mai mică ormă maximă După cum am spus sutem iteresaţi î a rezolva următoarea problemă de miimizare: mi max p( x) p P x [ a b] O soluţie a acestei probleme este dată de poliomul Chebyshev traslatat şi scalat:

16 6 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Dacă x ( a+ b) b a mi max p( x) = max = p P x [ a b] a+ b a b + b a b a a+ b a = b atuci = dar î cazul geeral avem evoie de o b a a+ b margie superioară a lui Petru a obţie o astfel de margie vom b a utiliza următoarea propoziţie: Propoziţia 33 Dacă < a< b atuci b mi max p( x) a p P x [ a b] b + a b+ a ab Demostraţie vem x = aşa îcât x = b a b a ( b a) b + a b a x+ x = = şi x x = Deci b a b a b + a b+ a b + a b a b a Cu aceasta se poate demostra următoarea teoremă care precizează rata de covergeţă a algoritmului de gradiet cougat eorema 3 Fie R o matrice simetrică şi pozitiv defiită cu λ şi λ cea mai mică respectiv cea mai mare valoare proprie Fie x u puct iiţial şi x a -a aproximaţie a soluţiei x a sistemului x b de gradiet cougat tuci următoarea estimaţie a erorii = obţiută de algoritmul κ x x κ + x x (38) are loc ude κ = λ / λ este umărul de codiţioare al matricei Demostraţie Di estimaţia e max p ( λ) e alegâd λ λ λ

17 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 7 ( x; λ λ) p ( x) = (; λ λ ) şi avâd î vedere că ( x; λ λ ) < petru x [ λ λ ] rezultă că: e λ + λ e = e (; λ λ) λ λ cum utilizâd propoziţia 33 obţiem cocluzia teoremei Deci e este mărgiită superior de u şir care coverge la zero Mai mult descreşterea este mootoă şi aceasta explică de ce metoda gradietului cougat se poate privi ca o metodă iterativă Observăm că cu cât κ este mai aproape de uu cu atât viteza de covergeţă a metodei este mai mare După cum se poate vedea covergeţa algoritmului depide de distribuţia tuturor valorilor proprii ale matricei eorema 3 furizează o margie superioară a vitezei de covergeţă a algoritmului de gradiet cougat foarte brută Î plus proprietatea de termiare fiită a algoritmului u este reflectată de cocluzia (38) a teoremei Deoarece matricea are cel mult valori proprii disticte atuci petru orice poliom q P petru care q( λ ) = = di (35) rezultă că: eorema 3 Fie ( ) ( ) = γ λ λ γ p P λ λ = = e mi p( ) q( ) = (39) R o matrice simetrică şi pozitiv defiită şi x o aproximaţie a soluţiei x a lui () dată de algoritmul de gradiet cougat Dacă are m valori proprii disticte atuci îtr-o aritmetică exactă algoritmul de gradiet cougat realizează x = x după cel mult m iteraţii Demostraţie Dacă are valorile proprii disticte λ < < λ m atuci selectâd î (39) obţiem e = m m ( ) q( λ) = λ λ = Următorul rezultat a fost demostrat de xelsso [976] eorema 33 Presupuem că a λ λ λ m b λ m+ λşi fie m atuci

18 8 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Demostraţie Î estimaţia ( m) b x x a x x b + a e max p ( λ) e selectăm λ λ λ a+ b λ m m λ b a p ( λ) = = λ a b + + m b a Clar p( λ ) = petru toţi λ cu = m+ Dar câd λ [ ab ] λ < = m λ + Deci a+ b λ m b a max p ( λ) max a λ b a λ b a+ b m b a care demostrează teorema cest rezultat este foarte folositor câd câteva ditre valorile proprii mari ale matricei sut bie separate de restul valorilor proprii Î acest caz m este mic şi m u este prea mult diferit de Matricea rareori are u umăr mic m<< de valori proprii disticte Mult mai plauzibil spectrul acesteia este distribuit îtr-u umăr de m itervale disucte I = m de lugime mică Î acest caz după m iteraţii algoritmul de gradiet cougat va produce u reziduu mic Îtr-adevăr selectâd u poliom q de grad m cu q () = şi avâd valorile proprii distribuite î aceste itervale I atuci margiea superioară a reducerii erorii î cele m iteraţii adică { } max q( λ ) ( λ fiid valorile proprii ale matricei ) va fi mică Următorul exemplu ilustrează această situaţie Exemplul 3 Petru a vedea efectul grupării valorilor proprii asupra vitezei de covergeţă a algoritmului de gradiet cougat să cosiderăm sistemul liiar x = b ude este o matrice diagoală şi b este ales astfel îcât îtotdeaua

19 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 9 soluţia sistemului este x = [] 6 Cosiderăm Criteriul de oprire a iteraţiilor este b x = şi patru distribuţii ale valorilor proprii: = diag( ) cu κ ( ) = ; o matrice diagoală cu elemetele uiform distribuite î [) cu κ ( ) = ; o matrice diagoală cu elemetele distribuite î itervale cu κ ( ) = 943 şi o matrice diagoală cu elemetele distribuite î 5 itervale cu κ ( ) = 5985 Figura 35 ilustrează viteza de covergeţă a algoritmului de gradiet cougat petru aceste patru cazuri îtr-o scară semi-logaritmică Fig 35 Viteza de covergeţă petru valori proprii grupate Evoluţia erorii b x referitor la umărul de iteraţii Figura 36 arată situaţia î care matricea are 999 valori proprii uiform distribuite î [) şi ua egală cu Î acest caz umărul de codiţioare al lui este κ ( ) = ceasta este comportarea tipică a algoritmului de gradiet cougat Observăm că dacă valorile proprii sut bie grupate îtr-u umăr mic de itervale atuci reducerea erorii este accelerată doar câteva iteraţii sut ecesare petru a obţie o soluţie cu acurateţea impusă Pe de altă parte dacă sut puţie valori proprii mari şi puţie valori proprii mici atuci algoritmul de gradiet cougat coverge mult mai rapid decât predicţia dată de aaliza bazată pe umărul de codiţioare a matricei

20 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Fig 36 Viteza de covergeţă petru o valoare proprie mare grupată de celelalte Evoluţia erorii b x referitor la umărul de iteraţii Să cosiderăm situaţia î care matricea este diagoală cu = cu diferite mulţimi de valori proprii disticte Proprietăţile de covergeţă sut date î tabelul 3 abelul 3 Numărul de iteraţii î fucţie de umărul de valori proprii disticte Nr valori proprii disticte 5 5 Nr iteraţii Vedem că umărul de iteraţii creşte odată cu umărul de valori proprii disticte Di teorema 3 î abseţa erorilor cuoaştem că umărul de iteraţii efectuat de algoritmul de gradiet cougat este egal cu umărul de valori proprii disticte otuşi î virgulă mobilă comportarea algoritmului de gradiet cougat poate fi semificativ diferită de comportarea sa î aritmetica exactă [Demmel 997] Este importat să otăm că umărul de iteraţii este mult iferior dimesiuii sistemului ceasta este o caracteristică tipică metodelor de gradiet cougat faţă de metodele directe bazate pe elimiarea Gauss

21 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 4 DISCREIZRE ECUŢIILOR DIFERENŢILE CU DERIVE PRŢILE O sursă foarte importată de sisteme de ecuaţii algebrice liiare o costituie discretizarea ecuaţiilor difereţiale cu derivate parţiale Procedura stadard de rezolvare a acestor ecuaţii este discretizarea adică aproximarea acestora pri ecuaţii care implică u umăr fiit de ecuoscute Matricele sistemelor care provi di discretizare sut mari şi rare adică au puţie elemete eule Î această secţiue vom cosidera două tipuri de ecuaţii difereţiale cu derivate parţiale: ecuaţia de difuziue şi ecuaţia de trasport Petru îceput să cosiderăm cazul uei ecuaţii difereţiale simple Difereţe fiite petru probleme cu o dimesiue Fie ecuaţia difereţială cu codiţiile iiţiale: u ( x) = f( x) x () u() = u() = Petru itegrarea acestei ecuaţii simple itervalul [] este uiform discretizat pri itermediul a + pucte x = ih ude i = + iar h= /( + ) Di i codiţiile iiţiale (Dirichlet) cuoaştem ux ( ) şi ux ( + ) Î toate celelalte pucte se calculează aproximaţiile u i a soluţiei exacte ux ( i ) Dacă se utilizează aproximarea pri difereţe fiite cetrale 4 dux ( ) ux ( + h) ux ( ) + ux ( h) h du( ξ ) = + 4 x h ξ x+ h dx h dx atuci egliâd termeul de ordiul 4 ecuoscutele ui ui şi u i + satisfac relaţia u + u u = h f (4) i i i i+ î care f f( x ) Evidet că (4) reprezită u sistem cu ecuoscute a i cărui matrice este tridiagoală Exemplul 4 Să cosiderăm sistemul x= b obţiut di discretizarea uei ecuaţii difereţiale de mai sus ude: i = b =

22 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Figura 4 ilustrează evoluţia erorii b x petru a obţie soluţia cu acurateţea mai mică decât sau egală cu referitor la umărul de iteraţii 6 Fig 4 Viteza de covergeţă Evoluţia erorii b x referitor la umărul de iteraţii πi Valorile proprii ale lui sut λi = cos Figura 4 arată valorile + proprii ale lui petru = Observăm că valoarea proprie maximă este π π λ = cos 4 Valoarea proprie miimă este λ = cos + + Petru i mic avem πi π i πi λi = cos = + ( + ) + Deci este pozitiv defiită cu umărul de codiţioare λ 4( + ) petru mare λ π

23 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 3 Fig 4 Valorile proprii ale matricei Î acest caz comportarea algoritmului de gradiet cougat iclude u platou î care petru u umăr mare de iteraţii eroarea b x descreşte foarte puţi O explicaţie a acestei comportări a fost dată de Greebaum şi Straos [99] care arată că algoritmul de gradiet cougat aplicat sistemului x = b î virgulă mobilă se comportă exact la fel ca algoritmul de gradiet cougat aplicat sistemului x = b î aritmetică exactă ude este aproape de î următorul ses: este de dimesiue mult mai mare decât dimesiuea lui dar valorile proprii ale lui se află grupate î urul valorilor proprii ale lui Vezi de asemeea [Naima Babusa şi Elma 997] Ecuaţia de difuziue Modelele multor procese fizice se exprimă ca exprimă ca ecuaţii de difuzie: u ( a u) = f (4) t Î (4) u poate reprezeta distribuţia de temperatură la mometul de timp t îtr-u obiect Ω asupra căruia acţioează o sursă exteră de căldură f Coeficietul pozitiv ax ( ) reprezită coductivitatea termică a materialului di care este făcut obiectul Ω Petru a determia temperatura la mometul de timp t este ecesar să cuoaştem distribuţia iiţială de temperatură ux ( ) precum şi aumite codiţii pe frotiera domeiului:

24 4 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG uxt ( ) = x Ω (43) ceea ce îseamă că pe frotiera domeiului Ω temperatura este fixată la o valoare costată (aici zero) Ecuaţia (4) modelează foarte bie alte feomee fizice ca de exemplu difuzia uei substaţe pritr-o regiue permeabilă Ω caz î care u este cocetraţia substaţei a este coeficietul de difuziue a materialului iar f este rata specifică de geerare a substaţei pri reacţii chimice sau aumite surse extere Metoda stadard de obţiere a uei aproximaţii a soluţiilor ecuaţiei difereţiale cu derivate parţiale (4) este pri difereţe fiite Î acest caz regiuea Ω este discretizată pritr-o reţea de discretizare şi î fiecare puct al reţelei di iteriorul lui Ω derivatele di (4) sut îlocuite pri rapoartele stadard care tid la derivatele fucţiei câd reţeaua de discretizare devie di ce î ce mai fiă Ca exemplu să cosiderăm că regiuea Ω este pătratul uitar [] [] tuci o discretizare uiformă xi y ude i = x + şi { } = y + este caracterizată de pasul de discretizare hx = /( x + ) î direcţia x şi h = /( + ) î direcţia y Cu acestea aproximarea stadard pri y y difereţe fiite cetrale a derivatelor parţiale di (4) î direcţia x este: u ai+ / ( ui+ ui ) ai / ( ui ui ) a ( xi y) x x hx ude ai± / = a( xi ± hx / y ) iar u i reprezită aproximarea lui ux ( i y) semăător se exprimă derivatele parţiale î direcţia y : u ai / ( ui ui ) ai / ( ui ui a ( xi y) ) + + y y hy ude acum ai ± / = a( xi y± hy/) Este importat de otat că sut probleme î care coeficietul axy ( ) este discotiuu pe reţeaua de discretizare Î asemeea situaţii valorile a i ± / a i ± / se cosideră egale cu media valorilor vecie puctelor cosiderate De exemplu dacă axy ( ) este discotiuă de-a lugul liiei y = y atuci ax ( i ± / hx y + ε ) + ax ( i ± / hx y ε ) ai± / lim + ε Dacă sutem iteresaţi de versiuea staţioară a problemei (4)-(43): ( a u) = f pe Ω = () () ux ( ) = ux ( ) = u( y) = u( y) = atuci aproximaţia pri difereţe fiite a acesteia e coduce la următorul sistem algebric liiar dimesioal: x y şi

25 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 5 ai+ / ( ui+ ui ) ai / ( ui ui ) + hx ai + / ( ui + ui ) ai / ( ui ui ) f = h y i = x = y î care ecuoscutele sut valorile u i i di iteriorul reţelei de discretizare (44) Dacă sutem iteresaţi de versiuea estaţioară (depedetă de timp) atuci deseori derivatele temporale se aproximează pri difereţe îapoi sau cetrale ceea ce e coduce la rezolvarea uui sistem de ecuaţii algebrice liiare la fiecare pas de discretizare a itervalului de timp cosiderat De exemplu dacă la mometul de l timp soluţia este cuoscută şi dacă se utilizează difereţele fiite îapoi î t l u i timp atuci petru a calcula aproximaţiile l u + i ale soluţiei ecuaţiei (4) la mometul de timp t = l t + t + l este ecesar să rezolvăm următorul sistem de ecuaţii algebrice liiare: l+ l l+ l+ l+ l+ ui u a i i+ / ( ui+ ui ) ai / ( ui ui ) + t hx l+ l+ l+ l+ ( ) ( ) ai / ui ui ai / ui u + + i l+ = f i h y (45) i = x = y Petru ca ecuaţiile (44) sau (45) să le scriem î formă matriceală este ecesar să precizăm o ordie a ecuaţiile şi ecuoscutelor De obicei se alege ordiea aturală î care puctele de discretizare ale reţelei de discretizare sut umerotate de la stâga la dreapta şi de os î sus Cu această ordoare a ecuaţiilor şi ecuoscutelor sistemul (44) se poate scrie ca: u = f (46) ude este o matrice bloc tridiagoală cu blocuri diagoale fiecare de dimesiue x x u este u x y y vector al valorilor fucţiei ecuoscută cu u i memorate î poziţia ( ) x +i şi f este x y vectorul membrului drept cu f i î poziţia ( ) x +i Defiim: ai+ / + ai / ai + / + ai / di + h h x y

26 6 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG b a i+ / i+ / hx c a i + / i + / hy tuci matricea se poate scrie sub forma: S 3/ 3/ = y / y / S y (47) ude d b3/ b 3/ S = bx / bx / dx (48) c + / + / = cx + / (49) Petru problemele depedete de timp (estaţioare) sistemul (46) rămâe acelaşi dar elemetele diagoale ale matricei sut îmulţite cu / t şi la l membrul drept se aduă termeii u / t i eorema 4 Presupuem că axy ( ) α > î () () tuci matricea a sistemului (46) defiită de (47)-(49) este simetrică şi pozitiv defiită Demostraţie Simetria este evidetă Matricea este slab diagoal domiată ceea ce îseamă că di teorema lui Gerschgori toate valorile proprii sut mai mari sau egale cu zero Presupuem că există u vector eul v astfel îcât v = şi că elemetul vectorului v corespuzător puctului ( i ) di reţeaua de discretizare are cea mai mare valoare absolută Evidet că se poate alege semul lui v astfel îcât acest elemet să fie pozitiv Di defiiţia matricei şi presupuerea axy ( ) > rezultă că v i se poate exprima ca o medie poderată a veciilor lui di v : vi = wi vi + wi+ vi+ + wi vi + wi + vi +

27 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 7 w a i± / i± di hx w a i ± / i ± di hy ude termeii corespuzători odurilor de pe frotieră sut zero Poderile w i ± v i sut pozitive şi suma lor este egală cu Rezultă deci că dacă toţi veciii lui sut pucte iterioare atuci toate trebuie să aibă aceeaşi valoare maximă deoarece ici uul u poate fi mai mare decât v i Utilizâd acest argumet î puctele vecie î cele di urmă găsim u puct cu aceeaşi valoare maximă care are cel puţi u puct veci pe frotiera domeiului Dar valoarea lui v î acest puct este o sumă poderată a valorilor puctelor iterioare ude acu suma poderilor este mai mică decât Deci valoarea lui v î uul ditre aceste pucte iterioare trebuie să fie mai mare decât v dacă v > ceea ce este o cotradicţie Deci sigurul vector v petru care v = este vectorul ul ceea ce arată că este pozitiv defiită Este clar că matricea corespuzătoare problemelor depedete de timp (estaţioare) (45) este de asemeea pozitiv defiită deoarece ea este strict diagoal domiată Să observăm că argumetul utilizat î demostraţia teoremei 4 este de tipul pricipiul maximului discret Îtr-adevăr î demostraţie u se face uz de valorile elemetelor matricei ci umai de faptul că aceasta are elemete diagoale pozitive şi elemete e-diagoale epozitive (aşa îcât poderile di media poderată sut pozitive); că este slab diagoal domiată cu domiaţă diagoală tare î cel puţi o liie şi că plecâd ditr-u puct (od) oarecare ( i ) al reţelei se poate auge la oricare alt puct pri itermediul uui drum care ueşte cele mai apropiate oduri Matricea defiită de (47)-(49) se umeşte aproximarea î 5 pucte deoarece derivatele de ordiul doi î puctul ( i ) al reţelei de discretizare sut aproximate î termeii valorilor fucţiei î puctul ( i ) şi alte patru pucte vecie care se află sus os şi dreapta stâga Evidet că o aproximaţie mai fiă se obţie cu o aproximare î 9 pucte î care se utilizează valoarea fucţiei î puctul ( i ) precum şi î alte opt pucte vecie U alt mod de abordare petru obţierea uor aproximaţii ale soluţiei ecuaţiilor cu derivate parţiale este metoda elemetului fiit Ideea acestei metode este de a aproxima soluţia pri fucţii poliomiale pe porţiui După cum se vede di dezvoltările de mai sus o sursă foarte importată de sisteme algebrice liiare cu matricea coeficieţilor simetrică şi pozitiv defiită este dată de discretizarea ecuaţiei de difuziue Metodele de gradiet cougat sut foarte bue petru rezolvarea acestor sisteme Î cele ce urmează să cosiderăm u caz particular importat î care coeficietul axy ( ) este o costată ceasta e coduce la ecuaţia Poisso petru care putem preciza aumite proprietăţi asupra valorilor proprii ale matricei asociate pri discretizare [Greebaum 997] i i w i ± şi

28 8 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Ecuaţia Poisso Î cazul special câd coeficietul axy ( ) este o costată să zicem axy ( ) = atuci matricea sistemului u = f petru problema staţioară (cuoscută ca ecuaţia Poisso) are următoarea formă specială: S = (4) S ude = ( / h y ) I şi d b b S = d b = h + b = (4) x h y hx b d Matricea S se umeşte matrice S oeplitz simetrică tridiagoală Matricea este o matrice S bloc deoarece este o matrice simetrică bloc tridiagoală şi matricele de pe diagoala pricipală sut de asemeea S Următoarea teoremă precizează valorile proprii şi vectorii proprii uei matrice S Propoziţia 4 Fie G o m m matrice S cu elemetele diagoale egale cu α şi elemetele ediagoale β tuci valorile proprii ale lui G sut: π λ = α + βcos m + şi vectorii proprii (ortoormali) sut: ( ) lπ ql = si m+ m+ = m (4) l = m (43) Demostraţie Cel mai simplu este să verificăm că îtr-adevăr valorile proprii şi vectorii proprii de mai sus (4) şi (43) verifică relaţiile fudametale de defiiţie a acestor elemete petru matricea S dată otuşi î cele ce urmează vom prezeta modul cum aceste perechi proprii sut obţiute Presupuem că β deoarece altfel G este u multiplu al matricei idetitate şi propoziţia este trivială Fie λ o valoare proprie a lui G şi q vectorul propriu corespuzător deci ( λ q) formează o pereche proprie a lui G Dacă cosiderăm q = q m + = atuci q = λq se poate scrie ca: β q + ( α λ) q + βq = l = m (44) l l l+

29 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 9 Vedem că (44) este o ecuaţie cu difereţe fiite care se poate rezolva pri cosiderarea ecuaţiei liiare difereţiale corespuzătoare Petru (44) ecuaţia caracteristică este: χ( z) = β + ( α λ) z+ βz z + Dacă otăm cu şi cu rădăciile acestei ecuaţii atuci soluţia geerală a ecuaţiei cu difereţe (44) este: l q = c z + c z z l l + ude c c sut costate determiate di codiţiile q = q m + = Rădăciile ecuaţiei χ ( z) = sut; ( λ α) ± ( λ α) 4β z± = β (45) Codiţia q = implică c+ c = Pe de altă parte codiţia q + = implică z = z m+ m+ + ceastă ecuaţie are m + soluţii: π ι z+ = z exp = m ι = (46) m + Cazul = se poate elimia deoarece corespude situaţiei z = z petru care m + q = cum îmulţid (46) cu exp( π ι /( m+ )) şi itroducâd valorile lui l z ± di (45) obţiem: (( ) ( ) ) 4 π ι λ α + λ α β exp = m + (( ) ( ) ) 4 π ι λ α + λ α β exp m + O mică prelucrare algebrică e coduce la: π π ( λ α) 4β cos = ( λ α) ιsi m+ m+ Ridicâd la pătrat şi rezolvâd î priviţa lui λ obţiem: π λ = α ± βcos m + Observăm că dacă î relaţia de mai sus luăm semul + atuci obţiem (4) î timp ce semul repetă aceleaşi valori care se pot elimia cum itroducâd această valoare a lui λ î (45) obţiem: π π z± = cos ± ι si m+ m+ De ude rezultă că

30 3 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG ( ) l l πl ql = c( z+ z ) = cι si l = m m + Dacă cosiderăm c = (/) ι /( m + ) ca î (43) atuci se vede imediat că ( ) fiecare vector q are orma egală cu dică vectorii proprii sut ortogoali deoarece matricea este simetrică Corolarul 4 oate matricele S m m dimesioale comută uele cu altele Demostraţie Di (43) vedem că toate matricele S au aceiaşi vectori ( ortoormali ( ) q u depid de α şi β ) Dacă G = QΛ Q şi G = QΛ Q l atuci GG = QΛ Λ Q = QΛ Λ Q = GG eorema 4 Valorile proprii ale matricei defiită de (4)-(4) sut: 4 π 4 π λ = si si + hx ( x ) h (47) + y ( y + ) = x = y Vectorii proprii ai matricei sut: ( ) mπ lπ uml = si si ( )( ) x y x y + m = x l = y (48) ( ) ude u ml sut compoetele vectorului propriu λ corespuzătoare puctului ( ml ) di reţeaua de discretizare Demostraţie Fie λ o valoare proprie a matricei cu vectorul propriu u care se poate partiţioa î forma: u u l u = ul = l = y u y u x l Ecuaţia u = λu se poate scrie sub forma: + ( S λi) u + u = l = (49) ul l l+ ude aici petru uiformitatea scrierii am itrodus u = u + = Utilizâd propoziţia 4 putem scrie S = QΛ SQ şi = QΛQ ude Λ S şi matrice diagoale cu al lea elemet diagoal: y y Λ sut

31 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 3 π λs = + cos hx hy hx x + l m lea elemet al coloaei al matricei Q este q mπ = si + x + ( ) m x Q λ = h y m = x Îmulţid la stâga (49) cu obţiem: Λ y + ( Λ λi) y +Λ y = l S l l+ ude yl = Q ul l = y Deoarece matricele sut diagoale ecuaţiile corespuzătoare liiilor verticale di reţeaua de discretizare se decuplează ca: λ yl + + λs yl + λ yl = λyl = x (4) Dacă petru o valoare fixată a lui vectorul ( y y ) y este u vector propriu al matricei λs λ λ λ λ λs cu valoarea proprie λ Dacă celelalte compoete ale vectorului y sut ule atuci ecuaţiile (4) vor fi satisfăcute Di propoziţia 4 rezultă că valorile proprii ale acestei matrice sut: π λ = λs + λ cos y + π π = + cos cos hx hy hx x + h y y + 4 π 4 π = si si + hx ( x + ) h y ( y + ) Vectorii proprii corespuzători sut: ( ) lπ y l = si y + y + ( ) Deoarece al l lea bloc al lui u este egal cu Q îmulţit cu al l lea bloc al lui y şi deoarece umai al lea elemet al blocului l al lui y este eul atuci ( ) ( ) ( ) mπ lπ uml = qm yl = si si ( )( ) x y x y +

32 3 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Petru = x ca mai sus se pot obţie toate cele perechi proprii ( ) ( λ u ) Corolarul 4 Presupuem că h = h = h tuci cea mai mică şi respectiv cea x y mai mare valoare proprie a matricei di (4)-(4) se comportă ca π + Oh ( ) şi 8h + O() (4) câd h deci umărul de codiţioare al matricei x y este (4/ π ) h + O() Demostraţie Di (47) vedem că cea mai mică valoare proprie a lui corespude lui = = Cea mai mare este cea corespuzătoare lui = = = dică x y 8 π h λmi si 8 π πh = λmax = si h h cum dezvoltâd î serie aylor si( x ) şi si( π / x) şi itroducâd aceste dezvoltări î relaţiile de mai sus obţiem 94) Împărţid λ max pri λ mi obţiem umărul de codiţioare al matricei Deoarece cuoaştem valorile şi vectorii proprii petru matricea sistemului care provie di discretizarea î 5 pucte a ecuaţiei Poisso defiită pe u pătrat rezultă că deseori matricele de precodiţioare sut aalizate şi chiar testate pe această problemă particulară cuoscută ca o problemă model vataul utilizării metodelor de gradiet cougat petru rezolvarea sistemelor liiare algebrice care provi di discretizarea sistemelor de ecuaţii difereţiale cu derivate parţiale este că acestea se pot aplica uor probleme mai geerale decât problema model ca: ecuaţia de difuziue cu coeficiet de difuziue ecostat ecuaţia Poisso pe u domeiu eregulat ecuaţia Poisso cu o reţea de discretizare euiforma etc Î cotiuare să prezetăm u exemplu care provie di discretizarea ecuaţiei Poisso [Greebaum 997] Exemplul 4 Să cosiderăm acum sistemul x = b î care: B I I B I = ude I B I I B 4 4 B = 4 4

33 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 33 B R matricea avâd blocuri pe diagoala pricipală şi Deci R ude = Membrul drept b este selectat astfel îcât soluţia sistemului este x = [] Cosiderâd = 5 viteza de covergeţă petru diferite valori ale lui şi este ilustrată î figura 43 Fig 43 Viteza de covergeţă Evoluţia erorii b x referitor la umărul de iteraţii Di teorema 4 (vezi (47)) petru acest caz particular î care h = h = valorile proprii ale matricei sut: iπ π λi = 4si + 4si ( + ) ( + ) Figura 44 coţie o reprezetare grafică a valorilor proprii ale matricei petru = şi = Di corolarul 4 observăm că cea mai mare valoare proprie este λ max = 8 şi cea mai mică este λ mi = 8si ( π /) Deci este pozitiv defiită cu umărul de codiţioare λmax 4 λmi π Di acest exemplu vedem că cu cât sut mai puţie blocuri pe diagoala pricipală cu atât viteza de covergeţa este mai mare î sesul că eroarea b x se reduce cel mai rapid x y

34 34 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Fig 44 Valorile proprii ale lui Î cotiuare să prezetăm o aplicaţie a dezvoltărilor teoretice de mai sus î ceea ce priveşte ecuaţia căldurii şi a calculului distribuţiei de temperatură îtr-o placă dreptughiulară cu mai multe surse de căldură Calculul temperaturii staţioare îtr-o placă dreptughiulară Petru îceput să prezetăm modul cum se obţie ecuaţia de difuziue a căldurii după care vom prezeta problema calculului temperaturii staţioare îtr-o placă dreptughiulară cu mai multe surse de căldură Ecuaţiile de trasfer a căldurii Prima lege a termodiamicii are forma: U Q= W + d d t (4) ude Q rata de trasfer a căldurii W este lucrul mecaic şi U este eergia termică iteră a sistemului aşa după cum se vede î figura du / dt este rata de schimbare î timp a eergiei termice itere Î geeral aaliza procesului de trasfer a căldurii se poate face fără a e referi la lucrul mecaic făcut de sistem otuşi î aaliza sistemelor reale trasferul de căldură trebuie combiat cu lucrul mecaic Q U m c W Fig 45 Prima lege a termodiamicii petru u sistem îchis Câd sistemul u trasferă lucru mecaic atuci prima lege a termodiamicii este:

35 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 35 du d Q = = mc dt d t (43) ude m este masa sistemului c este căldura specifică şi este temperatura sistemului Ecuaţia de trasfer a căldurii se scrie coform legii lui Fourier Joseph Fourier a publicat lucrarea sa remarcabilă: héorie alytique de la Chaleur î 8 î care a formulat o expuere foarte completă a teoriei coducţiei căldurii ceastă lege empirică este următoarea: Fluxul de căldură q rezultat di coducţia termică este proporţioal cu mărimea gradietului temperaturii cu sem schimbat: q = V ude V este coductivitatea termică Pe compoete legea lui Fourier este: q V x = d d x q V y = d d y q V z = d d z Î geeral coductivitatea termică V este o fucţie de puct şi temperatură otuşi maoritatea materialelor sut omogee şi deci putem cosidera V = V ( ) Cu acestea să cosiderăm u volum R mărgiit de o suprafaţă S şi u mic elemet difereţial ds cetrat îtr-u puct de pe suprafaţa S Referidu-e la elemetul difereţial ds se pot asocia doi vectori: primul este vectorul ormal la suprafaţa S şi al doilea q = V fluxul de căldură pri suprafaţa S Î acelaşi timp putem cosidera că î volumul R este distribuită o sursă (volumetrică) de căldură f ceasta poate rezulta de exemplu di aumite reacţii chimice ucleare sau electrice Ca atare căldura care iese pri elemetul de suprafaţă ds este: ( V )( d S) (44) Cosiderâd acum şi căldura geerată (sau cosumată) î volumul R atuci căldura totală care curge pri S î volumul R este: Q = ( V )( ds) + fdr (45) S Dar rata de creştere a eergiei itere î volumul R este: du = c dr dt ρ (46) R t ude ρ este desitatea substaţei di volumul R Cu acestea di (43) obţiem imediat: V S c d = ρ f dr (47) S R t plicâd formula Gauss-Ostrogradsi obţiem: R

36 36 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG V ρc + f dr = (48) t R Deoarece volumul R este arbitrar rezultă: ρc = V + f (49) t cuoscută ca ecuaţia căldurii vâd î vedere discuţiile de mai sus această ecuaţie descrie difuzia căldurii î medii icompresibile (u am iclus lucrul mecaic efectuat de sistem) şi fără covecţie (mediul u execută ici o mişcare relativă) Petru rezolvarea acestei ecuaţii adică petru determiarea difuziei de căldură î medii trebuie precizate codiţiile î care se execută aceste trasport ceasta revie la a preciza iformaţii asupra coductivităţii materialului pri care se face difuzia de căldură a desităţii şi căldurii specifice a cestuia precum şi a codiţiilor pe frotiera domeiului î care se îregistrează difuzia de căldură Cu acestea rezolvarea ecuaţiei căldurii se face pri discretizarea domeiului şi deci calculul temperaturii î puctele reţelei de discretizare Se pot cosidera mai multe situaţii pe care le vom cosidera î cele ce urmează Calculul temperaturii staţioare îtr-o placă dreptughiulară Î cazul staţioar caracteristicile problemei u se schimbă î timp Vom cosidera o placă dreptughiulară petru care coductivitatea termiă V [ Wm K ] este eterogeă simetric distribuită de-a lugul plăcii ca î figura 46 tuci ecuaţia de trasport a căldurii devie: V + f = (43) Petru rezolvarea ecuaţiei (43) vom aplica operatorul difereţial atât coductivităţii termice cât şi gradietului temperaturii obţiâd următoarea expresie a ecuaţiei căldurii: V + V + f = (43) Utilizâd aproximaţiile pri difereţe fiite î două dimesiui obţiem sistemul: ( i i i ) ( i i i ) V + + i V i ( x) ( y) ( Vi+ Vi ) ( i+ i ) ( Vi + Vi ) ( i + i ) f i = ( x) ( x) ( y) ( y) petru i = x şi = y ude x şi respectiv y sut umărul puctelor de discretizare de-a lugul laturilor plăcii Petru determiarea distribuţiei temperaturii î odurile acestei reţele (v fig46) trebuie să rezolvăm acest sistem de ecuaţii algebrice la care se adaugă codiţiile pe frotiera plăcii Vom cosidera două situaţii Î prima este vorba de cazul realist î care pe frotiera plăcii se aplică două surse calde pe două laturi ale plăcii Î al doilea

37 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 37 suplimetar se aplică o sursă caldă îtr-u aumit puct al plăcii Î figura 46 se prezită ambele aceste situaţii Vedem că placa are o coductivitate termiă distribuită simetric î placă cu valorile 5 Wm K respectiv 5 Wm K Petru ilustrarea coductivităţii termice a materialului precum şi a distribuţiei temperaturii î placă am cosiderat o discretizare foarte grosieră I situaţiile cocrete de obicei se cosideră discretizări foarte fie Fig 46 Placa şi discretizarea ei petru calculul trasferului căldurii Sursele de căldură sut plasate pe frotiera plăcii î primul caz Î al doilea caz suplimetar apare o sursă de căldură Cosiderăm cazul î care pe frotiera plăcii se meţie o temperatură costată ulă cu excepţia celulelor (IJ5) (IJ6) (I5J) şi (I6J) î care temperatura are grade Celsius Dacă x = şi y = ca î figura 46 atuci soluţia sistemului discretizat de mai sus este: I I I I I I I I I I Î figura 47 se arată suprafaţa temperaturii care se realizează î placă Figura 48 arată curbele de temperatură costată di placă

38 38 MEODE VNSE DE GRDIEN CONJUG Fig 47 Soluţia ecuaţiei căldurii Suprafaţa temperaturii pe o placă cu două surse de căldură pe frotieră Fig 48 Soluţia ecuaţiei căldurii Curbele de temperatură costată pe o placă cu două surse de căldură pe frotieră

39 MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU SISEME LINIRE 39 Cosiderâd acum situaţia î care asupra plăcii se aplică suplimetar o sursă de căldură plasată î cetrul celulei (I3J3) atuci distribuţia temperaturii de-a lugul plăcii se realizează ca î figura 49 Î acest caz curbele de temperatură costată sut cele di figura 4 Fig 49 Soluţia ecuaţiei căldurii Suprafaţa temperaturii pe o placă cu trei surse de căldură Fig 4 Soluţia ecuaţiei căldurii Curbele de temperatură costată pe o placă cu trei surse de căldură