ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

Transcription

1 ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

2 PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea) unei functii f (x) pe o multime fezabila S: f (x) min (max), x S Componentele uzuale unei probleme de optimizare Functia obiectiv este functia care se doreste a fi minimizata (maximizata) (ex: forta intr-o anumita regiune) Variabilele care afecteaza valoarea functiei obiectiv (ex: geometria si materialul) Restrictiile care permit variabilelor de a lua anumite valori si de a exclude alte valori (ex: limitarea pierderilor) 2

3 Procesul de proiectare a sistemelor 3

4 Probleme de optimizare in inginerie electrica Optimizare partiala functie monobiectiv, dependenta de parametrii tehnici ai dispozitivului Obtinerea de caracteristici prin limitarea dimensiunilor (obtinerea clasei de precizie impuse pentru transformatoarele de curent integrate in transformatoarele de putere) Ecranarea optimala a campului electric in echipamentele de IT (obtinerea minimului intensitatii campului electric in domeniul considerat) Probleme de optimizare in camerele de stingere ale aparatelor de IT (obtinerea unei viteze optimale a arcului electric) Obtinerea de configuratii optimale pentru barele de alimentare Optimizarea caracteristicilor fortei la electromagneti Proiectare optimala functie multiobiectiv (volum, masa, cost, consum de energie, etc.) 4

5 Abordarea problemelor de optimizare Abordarea cu modele primare utilizeaza modelul primar direct in procedura de optimizare Abordarea cu modele secundare utilizeaza modelele secundare (modele de de suprafete de raspuns) in procedura de optimizare 5

6 TEHNICI DE OPTIMIZARE Criterii de optimalitate (metode indirecte) Tehnici de cautare (metode directe) Probleme cu restrictii Probleme fara restrictii Probleme de programare liniara (PL) functia obiectiv si restrictiile sunt liniare Probleme de programare neliniara (PN) functia obiectiv si restrictiile sunt neliniare 6

7 OPTIMIZARE CONCEPTE DE BAZA MINIM GLOBAL / LOCAL Definitie: Fie x* S intr-o problema PN O functie f (x) de n variabile are minim global (absolut) in punctul x* f (x*) f (x), x S ( f (x*) < f (x) minim global strict ) Definitie: Fie N δ = {x S, x - x* < δ}, R n, δ = scalar O functie f (x) de n variabile are minim local (relativ) in punctul x* δ astfel incat f (x*) f (x), x N δ, ( f (x*) < f (x) minim local strict ) Teorema Weirstrass: Daca functia f (x) este continua pe o regiune fazabila nevida S inchisa si marginita f (x) are minim (maxim) global in S 7

8 VECTORUL GRADIENT (GRADIENTUL) Definitie: Fie o functie f (x) de n variabile x 1, x 2,, x n Vectorul gradient al functiei f (x) in x* este: vectorul gradient este normal pe planul tangent suprafetei f (x) = ct. in punctul x* vectorul gradient este orientat in sensul valorilor crescatoare ale functiei f (x) 8

9 MATRICEA HESSIANA (HESSIANUL) Definitie: Fie o functie f (x) de doua ori continua si diferentiabila in punctul x* Matricea Hessiana a functiei f (x) este: matricea hessiana este intotdeauna o matrice simetrica joaca un rol important in conditiile de suficienta pentru optimizare 9

10 FORME PATRATICE. MATRICE DEFINITE Definitie: O forma patratica este o functie neliniara avand numai termeni de ordin 2: unde P = [p ij ], P M n x n se numeste matricea formei patratice F (x) Notand a ij = (p ij + p ji )/2, i,j si A = [a ij ], (A = matrice simetrica) Definitie: Daca forma patratica F(x) > 0, x 0 F(x) = pozitiv definita (PD) (F(x) < 0) (negativ) (ND) Definitie: Daca forma patratica F(x) 0, x 0 si cel putin un x 0 a.i. F(x) = 0 (F(x) 0) F(x) = pozitiv semidefinita (PSD) (negativ) (NSD) Definitie: Daca F(x) > 0 pentru unii vectori si F(x) < 0 pentru alti vectori F(x) = indefinita (IND) Definitie: O matrice simetrica A este PD, ND, PSD, NSD, IND daca forma patratica asociata lui A este, respectiv, PD, ND, PSD, NSD, IND 10

11 METODE DE VERIFICARE A DEFINIRII / SEMIDEFINIRII Verificarea valorilor proprii : Fie λ i valorile proprii ale matricei A F(x) este PD (ND) λ i > 0 (λ i < 0) F(x) este PSD (NSD) λ i 0 (λ i 0) si cel putin o valoare proprie λ i = 0 F(x) este IND daca unele valori λ i > 0 si alte valori λ i < 0 Verificarea minorilor principali : Fie M k al k-lea minor principal al matricei A A este PD (ND) M k > 0 (M k < 0) A este PSD (NSD) M k 0 (M k 0) si cel putin un minor principal M k = 0 A este IND daca nu se satisfac primele doua conditii 11

12 PROBLEME DE OPTIMIZARE FARA RESTRICTII Conditii necesare si suficiente pentru extremum Conditii necesare : Daca F(x) are un extremum local (minim, maxim) in x* sau Conditii necesare de ordinul 2: Daca F(x) are minim (maxim) local in x* este PSD (NSD) sau PD (ND) in x* Definitie: Solutia x* se numeste punct stationar OBS: Un punct stationar este doar candidat pentru punct optimal 12

13 Conditii suficiente de ordinul 2: Daca hessianul H(x*) este PD (ND) in x* x* este un minim (maxim) local pentru functia f(x*) OBS: Daca H(x*) este PSD (NSD) atunci este posibil ca x* sa nu fie extremum local Teorema: Daca in punctul stationar x* al functiei f(x), primele n-1 derivate se anuleaza si f (n) (x*) 0 f (x*) are: un punct de inflexiune, daca n = impar un extremum, daca n = par. El va fi un minim (maxim) daca f (n) (x*)<0 ( f (n) (x*)>0) 13

14 PROBLEME DE OPTIMIZARE CU RESTRICTII Restrictii egalitate. Conditii necesare. Multiplicatorii lui Lagrange Definitie: Un punct x* care satisface restrictiile h i (x*) = 0, i = 1, 2,, p se numeste punct regular daca gradientii tuturor restrictiilor in punctul x* sunt liniar dependenti Teorema multiplicatorilor lui Lagrange: Fie x* un punct regular care este extremum local si f (x), h i (x*) = 0, i = 1, 2,, p, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* µ i * R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat: Functia lui Lagrange 14

15 Restrictii inegalitate Teorema (conditiile Fritz-John): Fie x* un minim local si f (x), g i (x*) = 0, i = 1, 2,, m, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* λ i * R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat: si cel putin unul λ 0 * 0 (conditii de relaxare) Numai muliplicatorii Lagrange ce corespund restrictiilor satifacute ca egalitati sunt nenuli. Astfel de restrictii se numesc active I = {i = 1, 2,, m: g i (x*) = 0} 15

16 Definitie: Un punct x* care satisface g i (x*) = 0, i I se numeste punct regular al multimii fezabile {x R n : g i (x) 0, i = 1, 2,, m} g i (x*), i I sunt functii liniar dependente Teorema (conditiile Kuhn-Tucker): Fie x* un punct regular adica un minim local si f (x), g i (x*) = 0, i = 1, 2,, m, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* λ i * R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat: Definitie: O multime K se numeste con x K, λ 0 λx K K este generat de vectorii x (1), x (2),, x (m) 16

17 Restrictii mixte. Conditiile Kuhn-Tucker Teorema (conditiile KT): Fie x* un punct fezabil si f (x), g i (x), i = 1, 2,, m, diferentiabile, h i (x), i = 1, 2,, p, continuu diferentiabile in x* si I = {i : g i (x*) = 0} Daca g i (x*), i I si h i (x*), i = 1, 2,, p sunt liniar independente si x* = minim local λ i *, i = 1, 2,, m, µ i *, i = 1, 2,, p, (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat: Functia lui Lagrange 17

18 Forme echivalente ale conditiilor Kuhn-Tucker 1) Teorema (conditiile KT cu variabile slabe): Fie x* solutie locala a PN si conditiile teoremei precedente satisfacute. Se defineste functia Lagrange (lagrangeanul) sub forma: Daca g i (x*), i I si h i (x*), i = 1, 2,, p sunt liniar independente si x* = minim local variabilele slabe s (m-vector) si multiplicatorii lagrange λ (m-vector), µ (p-vector), a.i. lagrangeanul este stationar in raport cu x i, λ i, µ i, s i : 18

19 2) Impunerea conditiilor de nenegativitate Conditiile Kuhn-Tucker: Problema de maximizare: 19

20 Teorema (conditie necesara de ordinul II) Fie x* care satisface conditiile KT pentru PN si: hessianul in punctul de interes al functiei Lagrange. Fie d directiile fezabile nenule ce satisfac: Daca x* este punct de minim local unde este hessianul lagrangeanului functie de x Teorema (conditie suficienta de ordinul II) Fie x* care satisface conditiile KT pentru PN, 2 L definit analog si directiile d a.i. Fie pentru aceste restrictii cu Daca x* este un punct de minim local izolat (nu exista nici un alt punct de minim local in vecinatatea lui x*) 20

21 PROGRAMARE CONVEXA Fie PN Daca functia f (x) este continua pe o multime fezabila inchisa si marginita teorema Weirstrass garanteaza existenta minimului global Pentru PN trebuie verificat daca toate punctele care satisfac restrictiile (egalitati si inegalitati) formeaza o multime inchisa si marginita in R n Apoi se formuleaza conditiile KT pentru PN si se gasesc solutiile Se evalueaza f (x) in toate punctele KT si se selecteaza o solutie care da cea mai mica valoare a functiei f (x) OBS: Conditiile KT = conditii necesare pot exista puncte KT care nu sunt pentru minimul local minime globale volum mare de calcule Daca PN este convexa orice minim local = minim global conditiile KT = conditii suficiente 21

22 Definitie: O multime S se numeste convexa x (1), x (2) S: αx (1) + (1-α)x (2) S, 0 α 1, adica intregul segment de dreapta dintre x (1) si x (2) este in S Definitie: O functie f(x) definita pe o multime convexa S se numeste convexa (concava) x (1), x (2) S, f [αx (1) + (1-α)x (2) ] αf(x (1) ) + (1-α)f [x (2) ], 0 α 1 ( ) Inegalitati stricte convexitate stricta (concavitate) 22

23 Teorema: O functie f(x) de n variabile, x R n este convexa pe o multime convexa S hessianul H este PD sau PSD x S Teorema: Multimea S = {x R n g i (x) 0, i = 1,, m si h i (x) = 0, i = 1,, p } este convexa daca g i (x) sunt convexe si h i (x) sunt liniare, h i (x) = a it x + b i Definitie: Daca f(x), g i (x), i = 1,, m sunt convexe si h i (x), i = 1,, p, sunt liniare, problema PN se numeste problema de programare convexa (PC) Teorema: Daca x* este minim local pentru pentru o functie convexa f(x) definita pe o multime convexa S x* este minim global Definitie: Se spune ca este satisfacuta conditia Slater x R n astfel incat g i ( x) < 0, g i (x) neliniare, i = 1,, m Teorema: Fie f(x) si g i (x) < 0, i = 1,, m, diferentiabile si conditia Slater satisfacuta. x* este solutie a PC conditiile Kuhn-Tucker sunt satisfacute in x* CONCLUZIE: Daca f(x) = convexa si multimea fezabila S = convexa in problema PN conditiile Kuhn-Tucker = conditii necesare si suficiente pentru minimul global 23

24 Exemple de optimizare in inginerie electrica Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea electromagnetului unui contactor de curent continuu Variabile de proiectare: 1. X 1 = A 2. X 2 = A 1 /A 3. X 3 = A 2 /A X 4 = A 3 /A X 5 = A 4 /A 2 discretizarea spatiului de proiectare dupa 5 directii retea de discretizare 5-dimensionala Restrictii: geometrice, restrictii pentru bobine, densitatea de flux magnetic in miez, energia cinetica la atingerea contactelor 24

25 Exemple de optimizare in inginerie electrica Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea formei polului unui electromagnet de curent continuu Variabile de proiectare: Coordonatele (x i,y i ) ale frontierei polare (punctele de contur) Restrictii: densitate de flux magnetic constant B = 0.1T pe zona polara a jugului, limitele coordonatelor x u x i x o, y u y i y o 25

26 Exemple de optimizare in inginerie electrica Model de tip camp electric ecranarea campului electric in transformatoarele de curent (optimizare partiala) ecranarea campului electric in transformatoarele de tensiune Variabile: inaltimea si diametrul ecranului Functia obiectiv: intensitatea campului electric pe suprafata exterioara a izolatorului min Variabile: pozitia si raza ecranelor Functia obiectiv: intensitatea campului electric min 26

27 Exemple de optimizare in inginerie electrica Model de tip camp magnetic (optimizare partiala) optimizarea caracteristicii fortei unui electromagnet cu disc feromagnetic in bobina Functia obiectiv: forta initiala F 0 max Variabile: pozitia si geometria discului Restrictii: caracteristici electrice si mecanice date 27

28 Exemple de optimizare in inginerie electrica Model de tip mecanic (optimizare partiala) optimizarea miezurilor magnetice la transformatoare Variabile: latimile treptelor miezului a1,, a6 Functia obiectiv: diferenta S dintre aria cercului S c de diametru D c si aria ocupata de miez S t min 28

29 Exemple de optimizare in inginerie electrica Metoda celor mai mici patrate model de ajustare neliniara (optimizare partiala) Functia de ajustare: t(x) = a x n + b Variabile: coeficientii a, b, n ai functiei de ajustare Functia obiectiv: suma patratelor diferentelor dintre curba reala si functia de ajustare min 29