Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Transcription

1 Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu vectorial V al unui spatiu vectorial W este subspatiu in W? a. Da, intotdeauna; b. Uneori da, uneori nu; c. Da, pentru W finit dimensional; d. Nu e. Da, pentru V finit dimensional. 2. Notam cu R 8 [X] multimea polinoamelor de grad cel mult 8, cu coeficienti reali. Pe R 8 [X] consideram operatiile uzuale de adunare a polinoamelor si de inmultire cu scalari reali. Este (R 8 [X],+,. ) spatiu vectorial real? a. Da b. Nu, deoarece (R 8 [X],+) nu este grup abelian c. Nu, deoarece (+) nu este lege de compozitie pe R 8 [X] d. Uneori da, uneori nu e. Nu, deoarece 8 nu este numar prim 3. Notam cu V multimea functiilor derivabile de la R in R. Pe V consideram operatiile uzuale de adunare a functiilor si de inmultire cu scalari reali. Este (V,+,. ) spatiu vectorial real? a. Da b. Nu, deoarece (V,+) nu este grup abelian c. Nu, deoarece (+) nu este lege de compozitie pe V d. Da, deoarece orice functie derivabila este si continua e. Nu, deoarece V nu este stabila fata de inmultirea functiilor derivabile 4. Dimensiunea lui R[X] ca spatiu vectorial real este: a. 1 b. mai mica decat 100 c. infinita d. finita si mai mare decat 1000 e Fie V un spatiu vectorial finit dimensional; fie W si Z subspatii vectoriale ale lui V. Atunci dim(w+z) dimw este egala cu: a. dimz + dim (W Z ) b. - dimz + dim (W Z ) c. - dimz - dim (W Z ) d. dimz + dim (W Z ) e. dimz - dim (W Z ) 1

2 6. Fie sistemele de vectori A={(-4,-2,2), (6,3,-3)}, B={(1,-1,-1),(0,0,2)}. Atunci: a. A este liniar independent; b. ambele sisteme sunt liniar dependente; c. B este liniar independent si A este liniar dependent; d. A genereaza pe R 3 ; e. spatiul generat de B este o dreapta vectoriala 7. Nucleul unui morfism de spatii vectoriale f: V W este: a. subspatiu vectorial in V; b. subspatiu vectorial in W; c. subspatiu vectorial in Im f; d. generat de vectorii nenuli din V; e. {0 W }. 8. Fie g o forma biliniara simetrica pe un spatiu vectorial real V si fie h forma patratica asociata lui g. Atunci: a. h(x) = 2 g(x,x), oricare ar fi x vector in V b. h(x) = - g(x,x), oricare ar fi x vector in V c. 4g(x,y) = h(x+y) h(x-y), oricare ar fi x si vectori in V d. 4g(x,y) = h(x+y) + h(x-y), oricare ar fi x si vectori in V e. 2g(x,y) = h(x+y) + h(x-y), oricare ar fi x si vectori in V 9. Varietatile patratice ale spatiului vectorial R n se clasifica dupa: a. rangul si indicele pozitiv de inertie ale formei patratice asociate; b. rangul formei patratice asociate; c. indicele pozitiv de inertie ale formei patratice associate; d. rangul sau indicele pozitiv de inertie ale formei patratice asociate; e. alti invarianti la actiunea grupului GL(n,R). 10. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata? a. dim {a(1,2,5) a R}= 2; b. dim {a(1,2,5) + b(3,6,15) a R}= 2; c. dim {a(1,2,5) + b(3,6,10) a,b R}= 2; d. dim {a(1,2,5) + b(1,0,0) + c(0,1,0) a,b,c R}= 2; e. toate afirmatiile a), b), c), d) sunt false. 11. In spatiul afin R 3 : a. doua puncte sunt afin independente daca si numai daca ele coincid; b. trei puncte sunt afin dependente daca si numai daca sunt coplanare; c. trei puncte sunt afin dependente daca si numai daca sunt coliniare; d. patru puncte sunt afin independente daca si numai daca sunt coplanare; e. cinci puncte sunt intotdeauna afin independente. 12. In spatiul afin R 2 : a. doua puncte sunt afin independente daca si numai daca ele coincid; b. patru puncte sunt afin dependente daca si numai daca sunt coliniare; c. trei puncte sunt afin dependente daca si numai daca sunt coliniare; d. patru puncte sunt intotdeauna afin independente; e. cinci puncte sunt intotdeauna afin independente 2

3 13. Intr-un spatiu afin, relatia de paralelism pe multimea subspatiilor afine de aceeasi dimensiune (finita, fixata) este: a. relatie de echivalenta; b. relatie de ordine; c. tranzitiva, dar nu si simetrica; d. simetrica, reflexiva dar netranzitiva; e. simetrica, tranzitiva dar nereflexiva 14. In spatiul afin R 3, ecuatiile x = 3y 2z = 1 determina: a. o dreapta afina; b. un subspatiu afin de dimensiune 3; c. un subspatiu afin de dimensiune 4; d. un plan afin; e. doua drepte paralele. 15. Intr-un spatiu afin, multimea transformarilor afine, impreuna cu compunerea, are o structura de: a. inel b. corp c. monoid, dar nu de grup d. grup abelian e. grup 16. Intr-un spatiu afin, multimea translatiilor, impreuna cu compunerea, are o structura de: a. inel b. corp c. monoid, dar nu de grup d. grup abelian e. grup 17. Intr-un spatiu afin, multimea centroafinitatilor de centru fixat, impreuna cu compunerea, are o structura de: a. inel, dar nu de corp b. corp c. monoid, dar nu de grup d. grup abelian e. grup 18. Care dintre urmatoarele obiecte nu este conica afina? a. elipsa b. hiperbola c. parabola d. un punct dublu e. cilindrul 19. Care dintre urmatoarele obiecte nu este cuadrica afina? a. elipsoidul; b. hiperboloidul cu o panza; c. paraboloidul; d. hiperboloidul cu doua panze; e. torul 3

4 20. Un reper cartezian in spatiul afin R n este format din: a. un punct si o baza a spatiului vectorial R n ; b. un punct si (n+1) vectori din R n ; c. n vectori din R n ; d. n puncte din R n ; e. n+1 puncte din R n, afin dependente 21. Un reper afin in spatiul afin R n este format din: a. un punct si o baza a spatiului vectorial R n ; b. un punct si (n+1) vectori din R n ; c. n vectori din R n ; d. n puncte din R n ; e. n+1 puncte din R n, afin independente 22. In spatiul afin R 4, care dintre urmatoarele afirmatii este falsa: a. exista un 2- plan si un hiperplan paralele; b. exista doua hiperplane paralele; c. exista doua drepte neparalele, fiecare fiind paralela cu un acelasi hiperplan; d. doua hiperplane paralele cu un al treilea hiperplan sunt paralele intre ele; e. exista doua hiperplane disjuncte care nu sunt paralele. 23. In spatiul afin R 2, fie conica de ecuatie x 2 2y 2 2x -4y =1. Atunci conica este: a. o elipsa; b. o hiperbola; c. o parabola; d. imaginara; e. doua drepte. 24. In spatiul afin R 3, fie cuadrica de ecuatie x 2 2y 2 2x -4y + z 2 = 10. Atunci cuadrica este: a. un elipsoid b. un hiperboloid cu o panza c. un paraboloid d. un hiperboloid cu doua panze e. doua drepte. 25. Fie (V, <,>) un spatiu vectorial euclidian. Atunci: a. <,> este o forma biliniara, pozitiv definita, antisimetrica; b. este o functie simetrica, neliniara; c. este o forma biliniara, pozitiv definita, simetrica; d. este o norma; e. este o forma alternata, pozitiv definita 26. Un produs scalar <,> determina o norma, prin: a. x 2 = <x,x>; b. x = <x,x>; c. x 2 = <x,x>; d. x = <x,x> 2 ; e. x = <x 2,x 2 >. 4

5 27. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski este: a. <x,y> x y ; b. <x,y> x y ; c. <x,y> x - y ; d. <x,y> x + y ; e. <x,y> x + y. 28. In spatiul vectorial euclidian R 6, norma vectorului (2,1,3,-3,2,3) este: a. 5; b. 4; c. 6; d. 9; e. alt raspuns 29. In spatiul vectorial euclidian R 4, produsul scalar al vectorilor (1,2,3,4) si (2,1,3,5) este: a. 21; b. 16; c. 33; d. 42; 30. In spatiul vectorial euclidian R 3, cosinusul unghiului vectorilor (1,2,3) si (2,1,3) este: a. 0,5; b. 1; c. 13/14; d. 4/5; 31. Intr-un spatiu vectorial euclidian n-dimensional (cu n 2): a. exista o unica baza ortonormala; b. exista o infinitate de baze ortonormale; c. nu exista intotdeauna baze ortonormale; d. exista un numar finit de baze ortonormale; e. nici una din variantele precedente nu este corecta. 32. In spatiul vectorial euclidian R 3, produsul vectorial al vectorilor (1,2,3) si (2,1,3) este: a. (3,-3,3); b. (-3,-3,3); c. (3,3,3); d. (3,3,-3); 33. Pe spatiul vectorial euclidian R 3, produsul vectorial determina o structura de: a. spatiu vectorial real bidimensional; b. spatiu vectorial complex; c. inel comutativ cu unitate; d. algebra Lie; e. corp necomutativ. 5

6 34. Un morfism de spatii vectoriale euclidiene este aplicatie ortogonala daca si numai daca: a. invariaza unghiurile; b. invariaza norma; c. este izomorfism de spatii vectoriale; d. este identitatea; e. este o omotetie vectoriala. 35. Fie f un operator ortogonal al unui spatiu vectorial euclidian finit dimensional V si fie A matricea asociata lui f, relativa la o baza a lui V. Atunci: a. A este singulara; b. A A = Id; c. A A t = Id; d. A + A t = O; e. A + A t = Id. 36. Impreuna cu compunerea, multimea aplicatiilor ortogonale bijective ale unui spatiu vectorial euclidian formeaza: a. spatiu vectorial real; b. grup; c. inel; d. corp; e. monoid, dar nu grup. 37. Valorile proprii ale unui operator simetric sunt: a. toate pur imaginare; b. toate reale; c. toate pozitive; d. toate positive sau nule; 38. Este transformare ortogonala a planului (vectorial) euclidian: a. o translatie; b. o rotatie; c. o roto-translatie; d. o omotetie de raport 3; e. nici una dintre variantele precedente nu este corecta 39. In spatiul vectorial euclidian R 5, norma vectorului (2,1,0,2,0) este: a. 3; b. 4; c. 6; d. 9; 40. In spatiul vectorial euclidian R 3, produsul vectorial al vectorilor (1,2,3) si (2,4,6) este: a. (0,0,3); b. (-3,0,3); c. (3,3,0); d. (0,0,0) 6

7 41. Intr-un spatiu euclidian, distanta se calculeaza dupa formula: a. d(p,q) = PQ ; b. d(p,q) = PQ 2 ; c. d(p,q) = 2 PQ ; d. d(p,q) = - PQ ; 42. In spatiul euclidian R 3, distanta dintre punctele (2,1,0) si (6,4,0) este: a. 3; b. 4; c. 5; d. 6; 43. In spatiul euclidian R 5, distanta dintre punctele (2,1,0,2,4) si (6,4,0,2,4) este: a. 3; b. 4; c. 15; d. 6; 44. In spatiul euclidian R 3, distanta de la punctul (1,2,1) la planul de ecuatie x + 2y -2z +6 = 0 este: a. 1; b. 3; c. 2; d. 4; e. alt numar. 45. In spatiul euclidian R 3, distanta dintre dreptele de ecuatii x=y=0 si z=0, y=1 este: a. 2; b. -1; c. 3; d. 1; e. alt numar. 46. In spatiul euclidian R 3, doua plane perpendiculare pe o aceeasi dreapta: a. sunt paralele sau coincid; b. coincid; c. sunt concurente; d. sunt disjuncte fara a fi paralele; e. nici una dintre precedentele variante nu este corecta. 47. Impreuna cu compunerea, multimea izometriilor unui spatiu (afin) euclidian formeaza: a. spatiu vectorial real; b. grup; c. inel; d. corp; e. monoid, dar nu grup. 7

8 48. Ecuatia implicita x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 6z -11 = 0 determina sfera: a. de centru (1,2,3) si raza2; b. de centru (1,2,-3) si raza 4; c. de centru (1,2,3) si raza 5; d. de centru (1,-2,3) si raza 5; e. nici una dintre precedentele variante nu este corecta. 49. Planul tangent la sfera de ecuatie x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 6z -11 = 0 in punctul (1,-2,8) are ecuatia: a. x-y+z = 6; b. x=y-2; c. z=2; d. z=8; e. nici una dintre precedentele variante nu este corecta. 50. Normala la sfera de ecuatie x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 6z -11 = 0 in punctul (1,-2,8) are directia: a. (1,1,0); b. (1,2,-3); c. (2,1,4); d. (0,0,1); e. nici una dintre precedentele variante nu este corecta. 8