Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Transcription

1 Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea se va face de-a lungul cercului unitate. Problemă reolvată. Arătaţi că dt cost. Soluţie. u schimbările de mai sus, integrala devine: d d I ( i + i ( + d i ( ( +, unde :. Observăm că expresia de integrat admite doi poli simpli: + şi. Însă, în interiorul curbei se află doar polul. Astfel, Teorema Reiduurilor ne dă I ( i i Re ( ( +, ( [ ] i lim i ( ( ( + i lim i i (. i (

2 Probleme propuse. Evaluaţi următoarele integrale reale, utiliând metoda preentată mai sus: 3 π dt,a > ; a+cost cos3t 5 4cost dt; 3+5sint dt; (+cost dt; dt, < a < ; +asint dt, < a < ; +acost cost 3 cost dt; (cos 3 t+sin tdt. Integrale improprii Problemă reolvată. Evaluaţi integrala x + dx. Soluţie. onsiderăm curba, reuniunea segmentului [; R] cu semicercul R de raă R suficient de mare încât să conţină toţi polii expresiei de sub integrală din semiplanul superior. Integralei reale din enunţ îi ataşăm integrala complexă J + d. Vom evalua această integrală cu Teorema Reiduurilor. Singularităţile (polii funcţiei de sub integrală sunt soluţiile ecuaţiei cosπ + isinπ, adică: k cos π +kπ +isin π +kπ,k,.

3 Dintre acestea, doar polul de ordinul întâi cos π +isin π i este situat în semiplanul superior. Aşadar, ( ( J i Re +, i Re +,i ( ( i lim ( i i lim ( i i + i ( i( +i i lim i +i π. Pe de altă parte, integrala J este egală cu suma: [;R] + d + R R + d x + dx J + + d. J R Folosind Inegalitatea ML vom arăta că lim J. Pe R, avem că R, deci + + R, şi atunci R + d M L R πr πr R. πr ând R, cantitatea, şi atunci lim R J. Trecând la limită (pentru R în relaţia J J +J, concluionăm că R π lim x + dx x + dx. Probleme propuse. Evaluaţi următoarele integrale reale, utiliând metoda preentată mai sus: x 4 + dx; 3 (x + dx; x 6 + dx; (x + 3dx; 3

4 5 (x +(x + dx; 6 7 (x +(x +9 dx; x +x (x +(x + dx; 8 9 x x 4 + dx; x x 4 +5x +4 dx; (4x + 3dx. Problemă reolvată. Evaluaţi integrala x + dx. Soluţie. La fel ca mai devreme, considerăm curba, reuniunea segmentului [;R] cu semicercul R de raă R suficient de mare încât să conţină toţi polii expresiei de sub integrală din semiplanul superior. Integralei reale din enunţ îi ataşăm integrala complexă I + d. Vom evalua această integrală cu Teorema Reiduurilor. a în exerciţiul precedent, observăm că doar polul de ordinul întâi cos π +isin π i este situat în semiplanul superior. Aşadar, ( ( e i e i I i Re +, i Re +,i ( ( ( i ( i i lim i i lim i +i π e. + i lim i ( i( +i Pe de altă parte, integrala I este egală cu suma: [;R] + R d + R + d x + dx e + R i + d. I I Următorul reultat: Lema lui Jordan. Fie f o funcţie analitică, unde > c > Im >. Dacă lim f(, Atunci, pentru orice m >, lim e im f(d. R 4

5 ne asigură că lim I. Trecând la limită (pentru R în relaţia I I +I, obţinem că: π e lim R x + dx +i dx x + x + dx+i x + dx, de unde concluionăm că x + dx π e şi dx. x + Probleme propuse. Evaluaţi următoarele integrale reale, utiliând metoda preentată mai sus: x x +9 dx; x +x+ dx; 3 x +adx,a > ; cosmx a +xdx,m >. Problemă reolvată. Evaluaţi integrala x dx. Soluţie. Integralei reale din enunţ îi ataşăm integrala complexă I d. Pentru că polul expresiei de sub integrală ( este situat pe axa reală, considerăm curba, reuniunea segmentelor [; r] şi [r; R] cu semicercurile R de raă R suficient de mare încât să conţină toţi polii expresiei de sub integrală din semiplanul superior şi r de raă r suficient de mică, dar să conţină polii de pe axa reală ai expresiei de sub integrală. 5

6 Deoarece în interiorul curbei noastre, integrala nu are niciun pol (i.e. funcţia este analitică, conform Teoremei lui auchy, [; r] r d. Pe de altă parte, integrala I este egală cu suma: I r d + d + x dx+ r d + R r [r;r] x dx+ În continuare, avem nevoie de următorul reultat: R d + d R d. Teoremă (comportamentul pentru r. Dacă f îl are drept pol simplu pe c, de pe axa reală, atunci, lim f(d πi Re(f(,c, r r unde r este semicercul c e it,t [;π]. Aşadar, e lim r r i d πi Re ( e i, πi lim πi. onform Lemei lui Jordan, lim πi lim R (( ei d, şi trecând la limită 6

7 (pentru R şi r în scrierea lui I ca sumă, de mai sus, găsim că πi lim r ( r R x dx+ +i dx x r x dx x dx+i de unde, prin identificarea părţii imaginare, găsim că dx π. x x dx x dx Probleme propuse. Evaluaţi următoarele integrale reale, utiliând metoda preentată mai sus: x(x + dx; x(x x+ dx; 3 dx; x x x 3x+ dx. Bibliografie [] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Wiley, 5. [] Serge Lang, omplex analysis, Springer, 998. [3] Dennis Zill, Patrick Shanahan, A First ourse in omplex Analysis, Jones and Bartlett Publishers, 3. [4] Ed Saff, Arthur David Snider, Fundamentals of omplex Analysis, Prentice Hall, 3. 7