LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare

Transcription

1 Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic, liiar și ivariat î timp poate fi reprezetat matematic î două moduri : ) modelul itrare-tare-ieșire ) modelul itrare-ieșire Dacă itemul are m itrări și p ieșiri (item multivariabil, MIMO: multi iput multi output) ecuațiile itrare-tare-ieșire au forma x Ax Bu y Cx Du () ude otațiile deemează: x vectorul de tare, u vectorul de itrare, y vectorul m de ieşire, A matricea itemului, B matricea de comadă, C matricea de pm ieşire, D. Î cazul itemului moovariabil (cu o itrare și o ieșire, adică m p ; SISO: igle iput igle output) modelul itrare-tare-ieșire ete decri de ecuațiile m p p x Ax bu y c x du () ude b ete u vector coloaă și c ete u vector liie. Modelul itrare-ieșire al uui item moovarabil fucția de trafer a itemului, calculată ca raport al traformatelor Laplace corepuzătoare ieșirii și itrării itemului ete o fracție rațioală Y ( ) b U ( ) a m m b a m m... b b... a a 0 0, a 0, m. (3) Notâd cu z i, i, m zerourile fucției de trafer și cu p i, i, polii aceteia, H () e poate crie î forma ( z)( z ) ( zm ) K, ( p )( p ) ( p ) m. (3 ) ude cotata K e umește factor de amplificare. Î cazul multivariabil modelul itrare-ieșire ete decri de o matrice de trafer, avâd ca elemete fucții de trafer ude ij H Y ( ) i ij ( ) (4) U j ( ) U k 0, k j Dacă e cuoaște reprezetarea itrare-tare-ieșire () a uui item moovariabil, fucția de /6

2 Semale și iteme eoria itemelor trafer ete forma ireductibilă a fracției rațioale determiate cu formula H c I A b d (5) Reprezetarea itemelor î MALAB e face, atfel: ) fucție de trafer î forma (3) câd cuoaștem poliomul zerourilor și poliomul polilor, e utilizează itaxa: y = tf(um,de) petru a crea fucția de trafer a uui item î timp cotiuu; um şi de reprezită crierea î MALAB a celor două polioame de la umărătorul și, repectiv, umitorul fucției de trafer: vectori liie care coţi coeficieţii poliomului î ordie decrecătoare a puterilor variabilei (vezi (3)); y = tf(um,de,) petru a crea fucția de trafer a uui item î timp dicret; reprezită timpul de eșatioare; = tf( ), apoi e itroduce fucția de trafer ca fracție rațioală petru a crea fucția de trafer a uui item î timp cotiuu î criere imbolică; z=tf( z,), apoi e itroduce fucția de trafer ca fracție rațioală petru a crea fucția de trafer a uui item dicret î criere imbolică. tfy = tf(y) covertește î obiect MALAB tf (fucție de trafer exprimată ca fracție rațioală) orice alt model al aceluiași item (obiecte MALAB au zpk a e vedea mai jo). ) fucție de trafer î forma (3 ) câd cuoaștem zerourile, polii și factorul de amplificare, e utilizează itaxa: y = zpk(z,p,k) petru a crea fucția de trafer a uui item î timp cotiuu î forma factorizată î fucție de zerouri și poli; z și p ut vectori liie care coți zerourile, repectiv polii fucției de trafer, iar k ete u calar; y = zpk(z,p,k,) petru a crea fucția de trafer a uui item dicret; reprezită timpul de eșatioare; = zpk('') petru a crea modelul î timp cotiuu foloid crierea imbolică; z = zpk('z',) petu a crea modelul dicret foloid crierea imbolică; zy = zpk(y) covertește î obiect MALAB zpk orice alt model al aceluiași item (obiecte MALAB au tf). 3) modelul î pațiul tărilor (itrare-tare-ieșire) î forma () câd e cuoc matricele A, B, C, D. y = (a,b,c,d) - crează obiectul MALAB petru modelul itrare-tareieșire (î pațiul tărilor) petru itemul î timp cotiuu () y = (a,b,c,d,) crează obiectul MALAB petru modelul itrare-tareieșire petru itemul î timp dicret; y_ = (y) covertește î obiect MALAB orice alt model al aceluiași item (obiecte MALAB zpk au tf).. Răpuul itemelor la emale de itrare Î aceată ecțiue itereează modul cum u item răpude la aumite emale de itrare. Răpuul itemului la emalul de itrare de tip treaptă uitate ete importat petru evaluarea uor proprietăți importate calitative și de performață ale itemului, cum ar fi tabilitatea, timpul de răpu, durata regimului trazitoriu, uprareglajul. Se coideră următoarele tipuri de iteme elemetare decrie pri fucții de trafer: a) item aperiodic de ordiul I (fucție de trafer cu pol real) /6

3 Semale și iteme eoria itemelor K, K 0, 0 (6) b) item aperiodic de ordiul II (fucție de trafer cu poli reali) K, K,, 0 (7) ( )( ) c) ocilatorul liiar amortizat (fucție de trafer cu poli complex cojugați) K K, K,, 0,, (0,) (8) ude ete cotata de timp a itemului, K ete factorul de amplificare, aturală a itemului, iar ete factorul de amortizare. Se coideră următoarele tipuri de emale: ete pulația a) emalul treaptă uitate b) emalul impul Dirac 0, t 0 ( t ), t 0 (9) 0, t \ {0} ( t), t 0 (0) ak k c) alte tipuri de emale: armoic u ( t) Ai( t ), poliomial u( t) t, ( k )! pt, expoețial u( t) e p etc. Exemple: Vom vedea î cotiuare cum răpud itemele a), b) și c) la emalul de itrare treaptă uitate: i) Fig. item aperiodic de ordiul I: 3 a) cu pol real egativ : item tabil itrare-ieșire (itrare mărgiită ieșiere mărgiită); e obervă că e poate determia pe grafic ) valoarea factorului de amplificare K, aceata fiid valoarea de regim tațioar (câd t ) a răpuului și ) valoarea cotatei de timp ca fiid mometul de timp corepuzător iterecției tagetei î origie la grafic cu aimptota. b) cu pol real pozitiv: item itabil ii) Fig. item aperiodic de ordiul II: a) cu poli reali egativi (item tabil itrareieșire); b) cu poli reali pozitivi (item itabil). iii) Fig. 3 ocilator liiar avâd cotata de timp și amortizarea 0. 5 : 3 : item cu doi poli complex cojugați avâd partea reală egativă i (item tabil itrare-ieșire)., k 3/6

4 Semale și iteme eoria itemelor a) b) Fig.. Sitem aperiodic de ordiul I: răpu la emal treaptă uitate a) b) Fig.. Sitem aperiodic de ordiul II: răpu la emal treaptă uitate Fig. 3. Ocilator liiar amortizat: răpu la emal treaptă uitate 4/6

5 Semale și iteme eoria itemelor Reprezetarea răpuului itemelor î MALAB ) Simularea răpuului la emal treaptă uitate ete realizată cu fucţia tep care are ua di următoarele itaxe: tep(y)- plotează răpuul la emal treaptă petru u item î timp cotiuu al cărui model a fot creat cu ua di fucţiile tf, zpk au. Petru modele cu mai multe itrări ut aplicate emale treaptă pe fiecare itrare; timpul de imulare şi umărul de pucte ut alee î mod automat. tep(y,tfial)- imulează răpuul la emal treaptă de la t=0 la t=tfial. tep(y,t)- foloeşte u vector t care pecifică vectorul de timp pe care e face imularea. tep(y,y,...,t)- plotează răpuul la emal treaptă petru mai multe iteme pe acelaşi grafic. Vectorul t pecifică itervalul de timp pe care e face imularea şi ete opţioal. Se pot de aemeea pecifica culoarea şi tilul liiei cu care e face plotarea: tep(y,'r',y,'y--'). [y,t] = tep(y) petru obţierea valorilor ieşirii și timpului; [y,t,x] = tep(y) petru modelele î paţiul tărilor e pot obţie şi traiectoriile de tare. ) Simularea răpuului la emal impul e realizează cu fucţia impule care are ua di următoarele itaxe: impule(y) impule(y,tfial) impule(y,t) impule(y,y,...,t) [y,t,x] = impule(y) Semificaţiile parametrilor ut cele pecificate la fucţia tep. 3) Petru emale de itrare oarecare ete utilizată fucţia lim cu ua ditre itaxele următoare: y = lim(y,u,t) y = lim(a,b,c,d,u,t) y = lim(um,de,u,t) ude u ete vectorul de itrare pecificat umeric au pritr-o fucție matematică, iar t ete vectorul timp cu valori egal pațiate cu paul p ître o valoare iițială (t_iit) și o valoare fială (t_fial) : t = [t_iit : p : t_fial]; de exemplu, t=[0:0.:0]. emă de laborator:. Se dau itemele cu fucțiile de trafer 4 H ( ), H ( ), H 3 ( ), H 4 ( ), H 5 ( ) ( ) H 6 ( ), H 7, H 8 ( ), H 9 ( ) ( )( 3) ( )( 7)( 3) ( 3)( ) a) Reperezetați grafic răpuul itemelor la emalele de itrare : treaptă uitate, impul, rampă uitate ( u( t) t ), i( 3t ), i( t) co( t). b) Vizualizâd graficele, idetificați care iteme ut tabile itrare-ieșire și care u ut tabile. c) Petru itemele cu fucțiile de trafer,, 4, 5 și 6 precizați, ipectâd răpuul la itrare treaptă, valoarea de regim tațioar. d) Determiați valorile polilor fucțiilor de trafer, 4, 5 și 6; verificați-vă utilizâd coveria î forma zpk a fucției de trafer. e) Realizați coveria fucțiilor de trafer 7, 8 și 9 î forma tf. 5/6

6 Semale și iteme eoria itemelor f) Petru fucțiile de trafer 5 și 6 determiați valorile K,, și. g) Determiați reprezetările de tare () ale itemelor cu fucțiile de trafer de mai u.. Se dau itemele cu următoarele reprezetări de tare: A 0 0, B 0, C , D A 0 0, B 0, C , D 0 a) Determiați valorile proprii petru cele două iteme ; ) dacă toate valorile proprii ale matricei itemului au parte reală egativă, atuci itemul ete iter aimptotic tabil, ) dacă matricea itemului are toate valorile proprii cu partea reală egativă au ulă și cele cu parte reală ulă ut rădăcii imple, atuci itemul erte tabil iter (la limita de tabilitate), 3) dacă cel puti o valoare proprie are partea reală pozitivă au exită valori proprii cu partea reală ulă și ordi de multiplicitate, atuci itemul ete itabil iter. Studiați tabilitatea iteră a celor două iteme. b) Simulați răpuul la emalele de itrare de tip treaptă uitate, impul și armoic. c) Plotați traiectoriile e tare. d) Calculați fucţiile de trafer î cele două forme tf și zpk. 6/6