DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

Transcription

1 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45

2 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR

3 Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian Corectură: Daniela Manea Editor: Călin Vlasie ISBN: Copyright Editura Paralela 45, 06, pentru prezenta ediţie

4 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR

5

6 Daniela Manea Introducere Introducere Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele care ne atrag atenţia îşi eprimă funcţia sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii În matematică găsim mereu combinări neaşteptate şi ingenioase de idei, de adevăruri, de rezultate Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă, teoretică, matematica devenind, după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor În dezvoltarea istorică a matematicii, după numere, egalităţile constituie una din primele cuceriri ale acestei ştiinţe Ele apar la egipteni (aşa cum atestă Papirusul lui Ahmes) cu 000 de ani îen Babilonienii, deşi nu foloseau simboluri algebrice, rezolvau totuşi probleme algebrice, prin procedeul introducerii unei necunoscute ajutătoare Termenul de ecuaţie egalitatea între două epresii, conţinând elemente de aceeaşi natură, dintre care unele sunt cunoscute, iar altele necunoscute, adevărată numai atunci când elementele necunoscute sunt înlocuite cu anumite elemente numite soluţii a fost folosit iniţial de către L Fibonacci Ecuaţia algebrică este ecuaţia ce poate fi adusă la forma P= 0, unde P este un polinom cu una sau mai multe nedeterminate, care sunt necunoscutele ecuaţiei În secolul al IX-lea, Muhammed al-horezmi, în lucrarea sa,,carte scurtă despre calculul al-djabr şi al-mukabala, a făcut o clasificare a ecuaţiilor şi le-a rezolvat, folosind cele două operaţii, al-djabr (trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru în altul) şi almukabala (reducerea termenilor asemenea), operaţii fundamentale pe atunci în rezolvarea ecuaţiei de gradul I şi II Până în secolul al XVI-lea, problema rezolvării ecuaţiilor algebrice apărea ca ceva foarte complicat, rezolvarea lor ducând la alte numere necunoscute Chiar ecuaţia de gradul I ducea la efectuarea unei împărţiri considerată ca o operaţie foarte grea Şi mai anevoioasă a fost rezolvarea ecuaţiei de gradul II, ce necesită o etragere de rădăcină pătrată Începând cu secolul al XVI-lea, a crescut interesul europenilor pentru găsirea unor metode generale de rezolvare a ecuaţiilor algebrice Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare sau egal cu 5 a fost mereu în atenţia matematicienilor, dar abia la începutul secolului al XIX-lea a fost demonstrată de către Abel şi Ruffini imposibilitatea găsirii unor formule de rezolvare pentru ecuaţiile de grad mai mare sau egal cu 5 5

7 Daniela Manea Introducere Lucrarea de faţă îşi propune analiza rezolvării ecuaţiilor algebrice de grad superior, concretizând prin eemple metodele descrise Ea este structurată pe trei părţi Prima parte cuprinde un scurt istoric al evoluţiei rezolvării ecuaţiilor algebrice şi detaliază câteva metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mic sau egal cu 4 A doua parte tratează tipuri de ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali A treia parte prezintă câteva consideraţii metodice asupra predării ecuaţiilor algebrice în gimnaziu şi liceu, precum şi o serie de eerciţii şi probleme ce propun rezolvarea unor tipuri de ecuaţii algebrice, folosind diverse metode Lucrarea este însoţită de o bibliografie completă, pentru ca cititorul interesat, să-şi însuşească mai bine partea teoretică la care se referă eerciţiile şi problemele, simultan cu deprinderile de aplicare Consider că această lucrare poate fi un bun suport didactic în activitatea de la catedră Aduc mulţumirile mele domnului lectunivdr Eduard Asadurian, coordonator ştiinţific al lucrării, pentru observaţiile utile şi competente în structurarea şi definitivarea materialului realizat Daniela Manea 6

8 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Capitolul Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Preliminarii Istoric Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele care ne atrag atenţia îşi eprimă fiinţa sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii În matematică găsim mereu combinări noi, neaşteptate şi ingenioase idei, adevăruri şi rezultate Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă, teoretică, matematica devenind, după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor Ecuaţiile algebrice cu o singură necunoscută reprezintă astăzi un domeniu de mare importanţă În toate ramurile ştiinţei şi tehnicii ne întâlnim cu ecuaţii algebrice de diferite tipuri La început, în antichitate, ecuaţiile algebrice nu constituiau un domeniu demn de atenţia învăţaţilor vremii Ecuaţiile apăreau în schimb în diverse probleme de geometrie, mecanică, astronomie Apoi, în mod neaşteptat, algebra, care la prima vedere pare atât de aridă, a oferit palpitante aventuri, în special în domeniul acesta, al rezolvării ecuaţiilor algebrice Papirusurile egiptene, care datează din antichitate, conţin un număr de 0 probleme de matematică, printre ele fiind şi unele care conduceau la ecuaţii de gradul I Mergând mai departe, babilonienii acordau o atenţie mai mare ecuaţiilor Astfel, una din problemele babiloniene conducea la ecuaţia + = a, cu soluţia a æaö = + ç - çè ø Este important să subliniem faptul că aceste probleme erau formulate în cuvinte şi că de cele mai multe ori, rezultatele erau date fără eplicaţii Istoricii de mai târziu au încercat să reconstituie modul de gândire şi să redea într-o formă cunoscută nouă soluţiile date problemelor respective Babilonienii s-au mai întâlnit şi cu probleme care conduceau la ecuaţii de grad mai mare, ca de eemplu + = a Pentru a suplini lipsa unei formule, ei alcătuiau tabele cu ajutorul cărora aproimau pe În acele timpuri, un rol deosebit în dezvoltarea matematicii l-au avut matematicienii şi filozofii Greciei antice Ei au făcut o descoperire foarte importantă, şi anume descoperirea 7

9 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 incomensurabilităţii, adică a imposibilităţii de a eprima raportul a două segmente oarecare printr-un raport de numere intregi Pentru a evita aceste cazuri neplăcute a luat fiinţă,,algebra geometrică Aceasta furniza căile de rezolvare ale diferitelor ecuaţii liniare sau de gradul II cu o singură necunoscută Problema ecuaţiilor rămânea totuşi o mare necunoscută: pe lângă limitele de cunoaştere, mai eistau şi greutăţile create de lipsa unei simbolizări adecvate, lipsă care obliga formularea,,verbală a problemelor respective Matematica datorează lui Diofant din Aleandria (sec III d Hr) prima încercare sistematică de folosire a unei notaţiii algebrice consecvente În,,Aritmetica sa, el se consacra în mod deosebit studiului ecuaţiilor diofantice, adică a ecuaţiilor nedefinite cu două necunoscute şi de diferite ordine În ceea ce priveşte ecuaţiile cu o singură necunoscută, Diofant considera ecuaţiile de gradul I şi II şi numai o singură ecuaţie de gradul III şi anume: = + Să trecem acum pe alte meleaguri În îndepărtata Chină, matematicienii s-au ocupat în mod preferenţial de rezolvarea ecuaţiilor algebrice Matematicienii chinezi inventează şi perfecţionează o metodă rapidă de etragere a rădăcinilor de diferire ordine, metodă pe care au aplicat-o intensiv la rezolvarea ecuaţiilor Ei aduc contribuţii însemnate în acest domeniu, deşi ei n-au căutat formule generale pentru ecuaţiile de ordin superior Metodele lor de calcul erau suficient de bune în cazul ecuaţiilor,,incomode şi, spre deosebire de metodele,,prin radicali, ele se puteau aplica la ecuaţii de orice ordin Trebuie spus că matematicienii chinezi rezolvau curent ecuaţii de gradul I şi II, precum şi ecuaţii binome de gradul III, şi reuşiseră să inventeze substituţiile pe care azi le cunoaştem sub numele de Horner, şi anume = ky şi y= p+ z, cu ajutorul cărora se transformă în mod convenabil ecuaţiile de ordin superior Urmărind firul roşu al rezolvării ecuaţiilor, poposim acum pe meleagurile Orientului arabo- persan Orientul a jucat un rol însemnat în dezvoltarea matematicii În afară de contribuţia învăţaţilor arabi, persani, uzbeci etc în acest domeniu, ei au avut o misiune istorică, pentru că au păstrat şi transmis mai departe în timp, cuceririle ştiinţifice ale lumii antice Rolul învăţaţilor din ţările arabe în dezvoltarea algebrei a fost deosebit În această ordine de idei este bine să amintim că termenul de algebră provine din limba arabă Al- Horezmi, unul din învăţaţii privilegiaţi din Academia lui al-mamun, a scris o lucrare intitulată [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98, pg - 8

10 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Al kitab al-muhtasar fi hisab al-djabr va-l-mukabala în care apare pentru prima oară cuvântul algebră Omar Khayyam (048-), probabil cea mai strălucită minte a lumii orientului din acele vremuri, întrebuinţa în mod curent denumirea,,al-djabr pentru întreaga disciplină a ecuaţiilor El a elaborat o adevărată teorie despre ecuaţiile de gradul III şi face pentru prima oară aluzia că ecuaţiile de gradul III nu se pot rezolva în general cu ajutorul riglei şi compasului Abia în 67, René Descartes reafirmă din nou această idee, pe care abia două secole mai târziu, tot un matematician francez, PL Vantzel, reuşeşte să o demonstreze în mod riguros În afară de aceeasta, Khayyam îşi pune problema rezolvării ecuaţiei de gradul III în mod asemănător ecuaţiei de gradul II (deci prin radicali), dar nu reuşeşte acest lucru El însă realizează o clasificare a ecuaţiilor, construcţia geometrică a rădăcinilor şi determinarea numărului şi a limitelor soluţiilor pozitive Iată un eemplu de ecuaţie de gradul III, rezolvată de Khayyam cu ajutorul metodelor geometrice: + p = p q El se foloseşte de cercul unde + y = q şi de parabola p q = py pe care le scrie sub forma p = şi = y de y y y - = sau p (q - ) = + p = p q Punctul de intersecţie a celor două - curbe dă soluţia pozitivă a ecuaţiei Nici cei ce au urmat lui Omar Khayyam, o bună bucată de vreme nu au reuşit să ajungă la o rezolvare completă a ecuaţiei de gradul III S-au rezolvat enorm de multe cazuri particulare, s-au dat numeroase şi ingenioase soluţii geometrice Totuşi, nu aceasta era ceea ce se dorea; atracţia unei formule generale era din ce în ce mai puternică Trecerea timpului ne poartă acum paşii spre Italia medievală a începutului de secol al XVI-lea Este epoca în care spiritul creator al omului cunoaşte o descătuşare de mari proporţii În această perioadă are loc şi rezolvarea prin radicali a ecuaţiei generale de gradul III Iată cum s-au petrecut lucrurile Scipione del Ferro (456-56), profesor la Universitatea din Bologna, reuşeşte între anii să găsească regula generală de rezolvare algebrică a ecuaţiei + p= q Însă el nu divulgă metoda Numai doi oameni au avut acces la secretul său: ginerele şi succesorul său la catreda de matematici Annibale della Nave, şi un elev de-al său, Antonio Maria Fior Ultimul reţine descoperirea lui Scipione del Ferrro în aşteptarea unei ocazii care să o pună în valoare [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98, pg 5-8 9

11 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 În bătălia pentru soluţia generală, intră Niccolo Fontana zis Tartaglia ( ), matematician etrem de talentat al epocii respective În anul 50, Zuanne de Tonini da Coi, de asemenea matematician al vremii, propune lumii matematice de atunci rezolvarea unor ecuaţii particulare de tipul: + p = q, + q= p, = p + q Tartaglia rezolvă în timp record aceste probleme şi afirmă că a găsit şi soluţia generală La auzul acestor afirmaţii, Antonio Fior crede că a găsit momentul să îşi consacre gloria prin formulele lui del Ferro Ca urmare, în anul 55 el provoacă pe Tartaglia la o mare dispută, timiţându-i spre rezolvare ecuaţii de tipul: + p= q, + q= p, = p+ q, a căror rezolvare el o ştia prin formulele lui Scipione del Ferro Dar surpriză: Tartaglia rezolvă şi aceste ecuaţii şi-i trimite la rândul său lui Fior ecuaţiile de tipul: + p = q, + q= p, = p + q, pe care însă Fior nu mai este capabil să le rezolve Tartaglia afirmă acum că a găsit procedeul general de rezolvare a ecuaţiilor de gradul III În aceste momente, intră în scenă Girolamo Cardano (50-576), spirit enciclopedic şi matematician de geniu al epocii În perioada disputelor publice dintre Tartaglia şi Fior, Cardano lucra la un tratat imens de matematică numit,,ars Magna, care a apărut în 545 În 59, Cardano încearcă să-l convingă pe Tartaglia să-i comunice metoda de rezolvare pentru a o include în,,ars Magna Conform istoriei, Tartaglia i-ar fi comunicat-o până la urmă lui Cardano, dar cu rugămintea de a nu o publica În 54, însoţit de elevul său preferat Lodovico Ferrari (5-56), Cardano soseşte la Bologna pentru a eamina manuscrisele lui Scipione del Ferro Cei doi au aici o adevărată surpriză: constată că, de fapt, del Ferro a fost primul care a reuşit să dea metoda generală de rezovare pentru ecuaţia + p= q Astfel, în 545 vede pentru prima oară lumina tiparului, metoda generală de rezolvare a ecuaţiei de gradul III, Cardano citându-i pe toţi înaintaşii săi în acest domeniu Şi după cum spune şi istoricul sovietic al matematicii, AP Iuşkevici, Cardano, el însuşi un matematician talentat, nu s-a mărginit la a reproduce regulile lui Tartaglia El a dat demonstraţiile acestora, a arătat cum se reduc ecuaţiile cubice complete la ecuaţii cubice numai cu trei termeni; lui îi aparţine prima întrebuinţare a soluţiilor imaginare a ecuaţiilor pătratice În opera sa, Cardano epune de asemenea şi metoda de reducere a rezolvării ecuaţiei de gradul IV la rezolvarea unei [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98, pg 0-6 0

12 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ecuaţii de gradul III, metodă găsită de elevul său, Lodovico Ferrari (,,Hrestomatia po Istorii Matematiki, 976, Moskva) Acum câte ceva despre rezolvarea grafică a ecuaţiei de gradul III Încă de acum multe secole în urmă, metodele grafice erau preferenţiale în rezolvarea ecuaţiior de diferite tipuri Ceva mai târziu, teoria funcţiilor de o variabilă reală, combinată cu clasicele cunoştinţe asupra conicelor, a devenit un mare ajutor în această problemă a rezolvării ecuaţiilor Desigur că rezolvarea grafică a unei ecuaţii este aproimativă, dar, ceea ce este important la această metodă, este posibilitatea de a detecta numărul de rădăcini reale (şi implicit şi al celor complee conjugate), precum şi valoarea lor aproimativă Goana după radicali a continuat, din păcate însă fără success N-au mai putut fi rezolvate prin radicali decât ecuaţii particulare de grad mai mare decât patru Aceste eforturi nu au contenit decât atunci când s-a produs o adevărată cotitură în algebră Matematicianul francez de geniu, Evariste Galois (8-8), creează bazele teoriei moderne a structurilor algebrice (noţiunea de grup) Norvegianul H Abel (80-89) şi italianul Ruffini (765-8) atacă şi ei abordarea dintr-un unghi nou al algebrei şi reuşesc, în final, să demonstreze un fapt etrem de important: ecuaţiile algebrice generale de grad mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali Acesta este sfârşitul,,goanei după radicali Se deschide o nouă perioadă în dezvoltarea algebrei Cercetările încep acum să se concentreze asupra unor probleme ca: în ce condiţii eistă rădăcini raţionale, metode de rezolvare aproimativă a ecuaţiilor de ordin superior etc Ecuaţiile algebrice au constituit un domeniu de atracţie şi pentru matematicienii români, aceştia reuşind să aducă o contribuţie interesantă şi utilă Reviste ca Gazeta Matematică, Revista Matematică din Timişoara, Pozitiva şi altele, conţin o sumedenie de note şi articole pe marginea rezolvării ecuaţiilor algebrice de diferite ordine Articolul dr docent Marius Iosifescu 4 din 955, conţine, pe lângă elementele istorice, şi cazul clasic de rezolvare a ecuaţiei de gradul III, pentru care se dă o metodă originală de reducere a ecuaţiei complete de gradul III, a + a + a+ a = 0, a0 ¹ 0, la o ecuaţie binomă 0 De asemenea, marele matematician Traian Lalescu 5 a fost fost un talentat algebrist În domeniul ecuaţiilor algebrice, Lalescu deduce în 94 limitele rădăcinilor reale ale ecuaţiei de gradul III: - p+ q= 0 4 [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98, pg Ibidem, pg 65

13 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Ceva mai târziu, Gheorghe Buicliu 6, s-a ocupat de rezolvarea ecuaţiei algebrice de gradul IV, găsind condiţiile în care ecuaţia generală 4 f() = + a + b + c+ d= 0 se poate pune sub forma sumei a două pătrate, ducând apoi la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II Cam tot în aceeaşi perioadă, profesorul Theodor Angheluţă publică in,,gazetă un studiu relativ complet asupra aşezării în ordine naturală a rădăcinilor a două ecuaţii de gradul III Multe probleme interesante, legate de ecuaţiile de ordin superior, au fost dezbătute de matematicienii noştri în studiul ecuaţiilor algebrice satisfăcute de laturile poligoanelor regulate Astfel, profesorul NN Mihăileanu dă, în GM nr 7/970, chiar un criteriu general de formare a acestor ecuaţii Numere complee eprimabile prin radicali Considerăm formulele (epresiile algebrice) de forma R(t, t,, t n), () care conţin în afara simbolurilor de operaţii aritmetice (adunarea, înmulţirea, împărţirea), numai semnele k (etragerea rădăcinii de ordinul k dintr-un număr comple) Eemplul t + t - t este o formulă de forma () Fie R(t, t,, t n) o epresie algebrică de tipul () Când mărimilor t, t,, t n dăm valorile t = a, t = a,, t n = a n, atunci R(a, a,, a n) are mai multe valori (un număr finit) Spunem că un număr comple z se eprimă prin radicali din numerele complee a, a,, a n dacă eistă o epresie de tipul () astfel încât z să fie una din valorile lui R(a, a,, a n) Dacă a, a,, a n sunt numere raţionale arbitrare, atunci spunem simplu că z se eprimă prin radicali Eemplul a) z= + i se eprimă prin radicali Într-adevăr, z= + i este una din valorile lui R(, - ), unde: R(t, t ) = t+ t b) z= + 5- se eprimă prin radicali 6 [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98, pg 66

14 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Într-adevăr, z = este valoarea lui R(, 5, ), unde: R(t, t, t ) = t + t - t Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie prin radicali? Considerăm ecuaţia algebrică de grad n³ cu coeficienţi complecşi: + a + + a = 0 () n n- n n Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că coeficientul lui este Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia are n rădăcini complee Dar această teoremă nu indică şi un procedeu de obţinere a celor n rădăcini Spunem că o rădăcină z 0 a ecuaţiei () se eprimă prin radicali dacă eistă o formulă de tipul R(t, t,, t n) astfel încât z 0 să fie una din valorile epresiei R(a, a,, a n), adică z 0 se eprimă prin radicali din numerele complee a, a,, a n Dacă orice rădăcină a ecuaţiei algebrice () se poate eprima prim radicali, atunci spunem că ecuaţia () se rezolvă prin radicali Dacă eistă o formulă R(t, t,, t n) astfel încât pentru orice numere complee a, a,, a n ecuaţia () are rădăcini eprimabile prin radicali prin intermediul epresiei R(t, t,, t n), atunci vom spune că R(t, t,, t n) este formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul n Presupunem că rădăcinile ecuaţiei () se eprimă prin radicali prin intermediul formulei R(t, t,, t n), adică rădăcinile sale sunt o parte din valorile epresiei R(a, a,, a n) Problema care se pune este de a distinge din mulţimea acestor valori pe acelea care sunt rădăcinile ecuaţiei date Acest lucru se face pentru fiecare caz în parte În cele ce urmează ne propunem să arătăm că pentru n=,, 4 se poate da un procedeu de determinare a rădăcinilor ecuaţiei Pentru n= ecuaţia + a = 0 are rădăcina =- a şi nu mai prezintă probleme Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III Ecuaţia de gradul II Fie ecuaţia + a + + a = 0 n n- n

15 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 forma: Pentru n= avem + a+ a = 0, a, a Î Această ecuaţie se poate scrie sub a a æ a ö a æ a ö ç a ç + a + + a - = a - = 0 + = -a 4 4 ç è ø 4 èç ø 4 a a a a -a a -4a + = -a =- -a = 4 4 Deci ecuaţia de gradul II este rezolvabilă prin radicali Soluţiile sunt date de formula: Eemplul Să se rezolve ecuaţia: Avem (utilizând ()): -4 - i + 4i- = = -a a -4a = () i = 0 Cum - + 4i = ( + i) = + i, =- i Ecuaţia de gradul III Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi reali Fie ecuaţia cu coeficienţi complecşi + a + a + a = 0 (4) a a Înlocuim y= + = y- şi ecuaţia devine: æ a ö æ a ö æ a ö y- + a y- + a y- + a = 0 ç è ø çè ø çè ø a a a a a aa y - y + y - + ay - ay + a + ay- + a = æ a ö a aa y + y - + a a = ç çè ø 7 a Notăm - + a = p şi a aa - + a = q şi atunci ecuaţia devine: 7 y + py+ q= 0 (5) 4

16 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Deci rezolvarea ecuaţiei (4) revine la rezolvarea ecuaţiei (5) În concluzie, vom căuta să indicăm o metodă de rezolvare pentru ecuaţia de gradul III de forma y + py+ q= 0 Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia (5) are trei rădăcini complee Fie y 0 una dintre aceste rădăcini Considerăm polinomul în nedeterminata u, f ( u) = u -y u- Fie ab, rădăcinile ecuaţiei f0 ( u) p = Din relaţiile lui Viète obţinem: a+b= y, 0 ab= - Cum y 0 este rădăcină, atunci y + py + q= 0 Combinând relaţiile, obţinem: 0 0 a+b + p a+b + q= 0 a + a b+ ab +b + pa+ pb+ q= 0 Dar ab+ p= 0 Atunci a +b + a+b ab+ p + q= 0 a +b =- q ì ïa q ì +b =- ïa +b =-q Obţinem: ï í p ï í p ab = - ab =- ï ïî ïî 7 p Deci a şi b sunt rădăcinile ecuaţiei p t + qt- = 0 Pentru această ecuaţie, 7 p æq p ö D= q + 4 = ç 4 7 çè ø şi t, q p -q q q p = =- + Cum a = t şi 4 7 b = t, rezultă că Atunci: q q p a= şi 4 7 q q p b= y 0 q q p q q p = Această ultimă formulă reprezintă formula lui Cardano 7 de rezolvare a ecuaţiei de gradul III Rezultă că ecuaţia de gradul III este rezolvabilă prin radicali Ţinând seama de faptul că rădăcina cubică dintr-un număr comple are trei valori complee, formula lui Cardano ne dă şase valori complee Trebuie să distingem dintre aceste valori care sunt rădăcinile ecuaţiei (5) Considerăm formulele lui a şi b 7 [] C Năstăsescu, C Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 979, pg

17 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Fie a una dintre cele trei valori ale lui a date de formulele considerate Dacă e şi sunt rădăcinile cubice nereale ale unităţii, atunci celelalte valori ale lui a sunt: a =ea, a =e a deoarece Fie b, b, b, valorile lui b date de formulele considerate Avem: b =eb, Dar trebuie ca: p ab = - Să presupunem că b este valoarea corespunzătoare lui a, deci a = Deci corespunzătoare lui a p ab = ( ea)( e b ) =e ( ab ) =ab =-, p ab = ( ea)( eb ) =-, ab =- p b =e b e Se vede că b este valoarea corespunzătoare lui a şi b este valoarea Rezultă că rădăcinile ecuaţiei (5) sunt: y =a +b, y, y =a +b =ea +e b =a +b =e a +eb Definiţia Fie ecuaţia n n- + a + + a n = 0 Notăm cu,,, n rădăcinile acestei ecuaţii Numărul comple d= ( - ) Avem egalitatea: i j se numeşte discriminantul ecuaţiei < i j n n n- n- n- n < i j n ( j i) = -, unde primul membru al egalităţii este determinantul Vandermonde Fie U matricea: şi t U matricea transpusă a lui U Cum det U æ ö n U = ç çè ø n- n- n- n t = det U, atunci ( t t d det U det U ) det( UU ) = = 6

18 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Dar t n t t t n- t t t t n d= det UU = t t t t, 4 n+ t t t t n- n n+ n- unde t = sunt sumele de puteri ale lui Newton i i i i n Din relaţiile lui Viète rezultă că: a, a,, a n n å i =-a, i j = a i= i< j å,, n =- a n n Dacă a, a,, a n Î, obţinem că d este un număr real ce se eprimă în funcţie de Ne propunem să calculăm discriminantul d pentru n=, Pentru n=, ecuaţia este a a = Avem: d= - = + - = Dar + =- a şi = a, deci d= a - 4a Pentru n=, ecuaţia este + a + a + a = 0 Avem t t d = ( -) ( -) ( - ) = t t t = t t4+ tt t-t-t- tt4, t t t 4 unde : t= + + =- a, t = + + = = a - a, t = + + = = = a - a a + a, t = + + = = = t = a -a - a + 4a a Deci: 4 ( )( ) ( )( ) d = a - a a + 4a -4a a - a + 4a a + -a a -a a - a a + a - 7

19 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ( a ) ( ) ( 4 a a aa a a a 4a 4aa a 4aa) = = a a - 4a a + 8a a a -4a - 7a Discuţia rădăcinilor ecuaţiei de gradul III, + a + a + a = 0, se reduce la a determina natura rădăcinilor ecuaţiei reduse în care a = 0 Aşadar vom face discuţia rădăcinilor ecuaţiei + p+ q= 0 Discriminantul acestei ecuaţii este: 8 æ ö q p d =- ( 4p + 7q ) = ç 4 7 çè ø Cazul d< 0 Ecuaţia fiind de gradul III are cel puţin o rădăcină reală Fie aceasta d= < 0,, sunt numere complee conjugate Deci Deoarece ecuaţia are o rădăcină reală şi două complee conjugate Cazul d= 0 Ecuaţia are cel puţin două rădăcini egale Cum o rădăcină este reală, rezultă că toate trei sunt reale (din care cel puţin două sunt egale) Cazul d> 0 Avem ( -) ( -) ( - ) > 0 Presupunem că este reală Dacă şi ar fi complee conjugate, am putea scrie = a + ib, = a - ib, cu b ¹ 0 În acest caz am avea adică é ù é ù d= -a-ib -4b - a+ ib = ë -a -ib û ë - a + ib û -4b é ù ( ) d= ê - a + b ú - 4b < 0 ë û şi deci, contradicţie Deci ecuaţia are, în acest caz, trei rădăcini reale distincte Eemplul 4 Să se rezolve ecuaţia: Avem p=- 6; q=9 şi deci Deci: = 0 é ù æ ö ( 6) 9-9 d = =- - =-7 49 < ç 4 ê ú çè ë û ø (-6) (-6) = = = =-- =-, æ- + i ö æ-- i ö + i =- - =, çè ø çè ø,

20 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 æ--i ö æ- + i ö -i =- - = çè ø çè ø 4 Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV Fie ecuaţia 4 a + a + a + a+ a4 = 0 Făcând substituţia y= +, obţinem 4 ecuaţia 4 æ a ö æ a ö æ a ö æ a ö y- + a y- + a y- + a y- + a4 = 0 ç è 4 ø çè 4 ø çè 4 ø çè 4, care determină ecuaţia de ø gradul IV în care coeficientul lui y este 0 : 4 y + py + qy+ r= 0 Această ecuaţie se numeşte ecuaţia redusă de gradul IV Prezentăm mai multe metode de rezolvare pentru o astfel de ecuaţie 4 Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte) Fie ecuaţia redusă de gradul IV, de forma: Fie m un parametru Atunci 4 y + py + qy+ r= 0 (6) şi deci: 4 p p æ ö y + py + qy+ r= ç y + + m + qy+ r- -m -my -pm çè ø 4 4 æ p ö é æ p öù y + py + qy+ r= y m my qy m pm r ç è ø ê çè 4 øú ë û Alegem parametrul m astfel încât polinomul în Y æ p ö f( Y) = my - qy+ m + pm- r+ ç 4 çè ø să fie pătratul unui polinom de gradul I Trebuie deci ca discriminantul ecuaţiei f( y) = 0 să fie nul, adică sau æ p ö q - 8m m + pm- r+ = 0 ç 4 çè ø æ p ö 8m + 8pm -8 r - m- q = 0 ç 4, (7) çè ø 9

21 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 care este o ecuaţie de gradul III în m Ecuaţia (7) are o rădăcină compleă; fie aceasta m 0, care se eprimă prin radicali Pentru m 0 avem: Ecuaţia (6) devine: f Y = m0 Y- 4m 0 æ q ö ç çè ø p æ q ö y + + m 0 m 0 y = ç 4m0 æ ö ç è ø è ø sau sau æ p q öæ p q ö y m0 m0y y m0 m0y = 0 ç m ç m è øè ø 0 0 ì æp q ö ç m 0 ï è ø í æ p q ö ç m ïî ï è 0 ø y - m0y+ + m0+ = 0 y + m0y+ + m0- = 0 (8) Formulele (8) ne arată că ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali 4 Eemplul 5 Să se rezolve ecuaţia: = 0 Facem substituţia = y- şi obţinem ecuaţia: 4 y- + 4y- + 6y-- 5= 0 y 4-6y + 4y- 4= 0 Fie m un parametru Atunci: 4 æ 6 ö é æ 6öù y - 6y + 4y- 4 = y - + m - my - 4y+ m - 6m+ 4+ = è ç ø ê ç 4 ë è øú û ( y m) émy 4y ( m 6m ) ù = - + -ê ë úû Alegem pe m astfel încât polinomul my 4y ( m 6m ) polinom de gradul I Obţinem ecuaţia: - m + 6m - m+ 7= 0 O rădăcină a acestei ecuaţii este m0 = Ecuaţia devine: să fie pătratul unui de unde æ 4ö y y- = 0 y - 6 y- y + 6 y- = 0 ç êë úê ûë ú, è ø û ç é ùé ù 0

22 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 şi deci: - ( - ) = sau y 6 y 0 y - 6y+ 6 = 0 sau y + 6 y- = 0, y + 6y- 6 = 0 De aici se pot găsi cele patru rădăcini ale ecuaţiei în y şi prin substituţia = y- se obţin cele patru rădăcini ale ecuaţiei iniţiale 4 Metoda lui R Descartes (produs de polinoame de gradul II) O rezolvare elegantă a ecuaţiei reduse de gradul IV, y 4 + py + qy+ r= 0, a dat-o celebrul matematician René Descartes El a pornit de la ideea că un polinom de gradul IV poate fi scris ca un produs de două polinoame de gradul II, adică: în care a, a, b, b trebuie determinaţi ( ) 4 Y py qy r Y ay b Y a Y b = , (9) Identificând coeficienţii, Descartes obţine sistemul: ì a+ a = 0 ïb + b+ aa= p í ab+ ab = q ï ïî bb = r El scrie ultima dintre ecuaţii într-un mod foarte ingenios: Avem: b + b - b - b = 4r (0) q a=- a, b+ b= p+ a, b- b= a Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia (0) se obţine: Notând a q a ( p+ a ) - = 4r sau = u, avem ecuaţia: 6 4 a pa p 4r a q 0 u pu p 4r u q = = Această ecuaţie se numeşte rezolventa ecuaţiei de gradul IV de mai sus Ea este o ecuaţie de a gradul III Făcând scimbarea de variabilă u= v-, o putem aduce la o ecuaţie de forma v + sv+ t= 0, care se poate rezolva cu ajutorul formulelor lui Cardano Deci se găseşte u, adică a, a, b, b, astfel încât ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali

23 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Fie y, y, y, y 4 rădăcinile ecuaţiei 4 y + py + qy+ r= 0 Conform relaţiilor lui Viète, din egalitatea (9) rezultă că - a reprezintă suma a două rădăcini oarecare Deci a poate lua şase valori, două câte două egale şi de semne contrare: Dacă valori ale lui a sunt: ( y y ), ( y y ), ( y y ) u, u, u sunt rădăcinile ecuaţiei u pu p 4r u q =, cele şase u, u, u () Scriem atunci că: ( y + y ) = u, ( y + y ) = u, relaţiile şi ţinem seama de faptul că y+ y+ y+ y4 = 0 Rezultă că Din cele opt valori ale epresiei doar patru convin În baza relaţiilor lui Viète avem: Pe de altă parte avem că: yyy + yyy 4+ yyy 4+ yyy 4 =- q y + y = u Adunăm 4 y u u u = y + y y + y y + y = y + y y + y y + y y + y y y + y y y + y y y + y y y = = y y + y + y + y + y y y + y y y + y y y + y y y Rezultă că: y + y y + y y + y =- q 4 fie Deci semnele radicalilor în () trebuie alese astfel încăt produsul celor trei radicali să - q În această situaţie cele patru rădăcini ale ecuaţiei y= ( u + u - u ), y = ( u- u + u ), y = (- u + u + u ), y4 = (- u- u - u ) 4 y + py + qy+ r= 0 au epresiile: 4 Metoda lui L Euler Leonhard Euler, celebrul matematician elveţian, a arătat că soluţiile ecuaţiei 4 y + py + qy+ r= 0

24 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 se pot scrie convenabil astfel: unde u, u, u sunt rădăcinile ecuaţiei ìï y= ( u + u - u) y = ( u- u + u) ï í y = - u + u + u ïy4 = - u- u - u ïî u pu p 4r u q =, () Metoda constă în determinarea a trei numere v, z, w, a căror sumă să fie dublul unei rădăcini a ecuaţiei de gradul IV, scrisă sub forma redusă şi deci: Dacă v+z+w=y, atunci ( + + ) v+z+w+vz vw zw=4y 4 y + py + qy+ r= 0 4 v +z +w +4 vz + vw + zw v +z +w +4 v z + v w + z w +8vzw v + z + w =6y é ê 6 ë adică În ecuaţia dată înlocuim pe: 4 y, y, y şi rezultă ù ú + û ( v +z +w ) +4( vz vw zw)( v +z +w ) +4( v z v w z w ) +8vzw ( v z w) + é ù 4 êë + + úû + + = p v +z +w + vz vw zw q v+z+w r p( v +z +w ) + p( vz + vw + zw) + q( v+z+w) + r = 0, 4 sau încă: ( v +z +w ) + ( vz + vw + zw)( v +z +w ) + ( v z + v w + z w ) + vzw( v + z + w) ( v +z +w ) +4( vz vw zw)( v +z +w ) +4( v z v w z w ) +8uvw( u v w) + 4p( v +z +w ) +8p( vz + vw + zw) + 8q( v+z+w) + 6r = 0 În final, putem scrie: ( v +z +w ) +4( vz vw zw)( v +z +w p ) +4p( v z w ) +8( vzw+q)( v z w) vz+ vw+ zw + 6r= 0,

25 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Fie v, z, w astfel încât v+z+w + p= 0 şi vzw + q = 0, deci v+z+w =- p şi vzw = - q Epresia de mai sus devine - p + 4p - p + 4 v z + v w + z w + 6r = 0, adică de unde se obţine că: 4p 8p 4 v z v w z w 6r =, vz + vw + zw = p - 4r Am obţinut astfel sistemul: Deci ìï v+z+w =-p ï ï ívz + vw + zw = p -4r ï ïî ( vzw ) = (-q) v, z, w sunt rădăcinile ecuaţiei de gradul III: u pu p 4r u q =, ecuaţie ce se poate rezolva cu formulele lui Cardano Dacă u, u, u sunt rădăcinile ei, atunci: astfel încât vzw=-q formulele () u= u, v= u, w= u, Deci rădăcinile y, y, y, y 4, date de relaţia v+z+w=y, sunt cele menţionate în 44 Metoda lui Liapin O altă metodă interesantă de rezolvare a ecuaţiei de rezolvare a ecuaţiei 4 y + py + qy+ r= 0 se găseşte în,,kurs Vîsşei Alghebrî (ES Liapin, Moscova, 95) Scriem ecuaţia astfel: é ù 4 y + py + qy+ r= y +l -ê l- p y + - q y+ l -r ë úû, unde l este un parametru oarecare Dacă îl vom determina pe l, astfel încât = ( l- ) + (- ) + ( l - ) g y p y q y r să fie un pătrat perfect, atunci membrul drept al relaţiei va conţine diferenţa a două pătrate perfecte Acest lucru se poate realize uşor, scriind că discriminantul trinomului g( y ) este nul: -q -4 l-p l - r = 0 4

26 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Pentru l obţinut din ecuaţia de mai sus, putem scrie g( y) = ( a y+b ) şi deci: 4 y py qy r y y y y = +l+a +b +l-a -b, ceea ce duce la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II 5 Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Metoda constă în a reduce o ecuaţie de acest tip la un număr de ecuaţii algebrice a căror rezolvare este mai simplă În cadrul acestei metode se găseşte ideea dezvoltării teoriei lui Galois Fie F( X,X,, X ) n ( n) f X,X,, X = o fracţie raţională cu coeficienţi numere g X,X,, X n s F X,X,, X = F X,X,, X, sîs complee Notăm s() s s( n) n n Se spune că permutarea s invariază fracţia raţională F( X,X,, X n) dacă ( () ( n) ) ( n) F X,X,, X = F X,X,, X Vom nota cu H s s s F mulţimea permutărilor ce invariază pe F Propoziţia H F este un subgrup al lui s n Demonstraţie Fie ( n) F X,X,, X = F X,X,, X şi deci s s s sî HF Avem () ( n) ( - () ) ( ()) - s s s n s s s ( s ) s ( s( n) ) n F X,X,, X = F X,X,, X = F X,X,, X Rezultă că - s Î H F Dacă s, tî HF, atunci F X (),X,, X ( n) = F X,X,, X t t t n şi deci ( ( () ) ( ) st( n) ) s() s s( n) ( n) F X,X,, X = F X,X,, X = F X,X,, X st st Rezultă că F X,X,, X ( n) = F X,X,, X st st st n, adică st Î HF Deci H F este un subgroup al lui s n Definiţia Subgrupul F( X,X,, X n) Invers, dat fiind un subgroup H al lui n H F se numeşte subgrupul invariant al fracţiei raţionale F X,X,, X se s, o fracţie raţională n spune că este un invariant pentru H dacă H= H F 5

27 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 fie ˆ Observaţia H =s n, dacă şi numai dacă F este o fracţie simetrică Propoziţia Fie F( X,X,, X n) o fracţie raţională cu H F subgrupul invariant şi p=p HF o clasă de echivalenţă la stânga modulo F F( X,X,, X ) s F X,X,, X =p n n H Atunci pentru orice Demonstraţie Dacă sîp HF, atunci eistă tî HF astfel încât s=pt Atunci: ( n) ( n) t() t t( n) s F X,X,, X = pt F X,X,, X =p F X,X,, X = ( n) p() p p( n) =p F X,X,, X = F X,X,, X sîp HF avem Teorema Fie F( X,X,, X n) o fracţie raţională cu H F subgrupul invariant asociat Atunci F( X,X,, X n) este rădăcină a unui polinom de gradul p [ n :HF] coeficienţi în inelul polinoamelor simetrice în nedeterminatele X,X,, X n =s cu Demonstraţie Fie pˆ, pˆ ˆ,, p p clasele de echivalenţă la stânga modulo H F Putem presupune că p= e F X,X,, X =p F X,X,, X = F X,X,, X Să punem: i( n) i ( n) p () p p ( n) Cum p= e, atunci F( X,X,, Xn) = F( X,X,, Xn) i i i p i n i= Considerăm polinomul de gradul p : P( Y) = ( Y-F ( X, X,, X )) Fie s o permutare arbitrară a lui n valorile F, F,, F p s Atunci F ( X,X,, X ) Într-adevăr, F ( X,X,, X ) F( X,X,, X ) Dar s =sp i n i n sp i aparţine unei clase de echivalenţă şi fie aceasta s este una dintre i n obţinem F( X,X,, X ) F( X,X,, X ) F ( X,X,, X ) i n j n j n ˆp j Din propoziţia anterioară sp = p = Pe de altă parte, dacă i¹ j avem s Fi ¹s Fj Într-adevăr, dacă Fi Fj F = F i j - - s =s atunci ( Fi) ( Fj) s s =s s şi deci Valorile F, F,, F p sunt distincte Într -adevăr, dacă Fi = Fj, atunci p i F=p j F, de unde - p p = şi deci pj pi Î HF, ceea ce implică p=p, ˆi ˆ j adică se obţine o contradicţie - F F j i s s s =, oricare ar fi sîs n Deci rezultă egalitatea { F, F,, Fp} { F, F,, Fp} Scriem polinomul PY sub forma 6

28 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 unde: p p- p- P Y = Y - A Y + A Y A, p A F F F F A = =å, p i i= = å FF, i j < i j p A = FF F p p Fie s o permutare arbitrară a lui s n Ţinând seama de forma lui PY obţinem: p å å, s A = s F = F = A i i i= i= p å å, s A = sfs F = FF = A i j i j < i j p < i j p s Ap =sfsf s Fp = FF Fp = Ap Rezultă că polinoamele A, A,, A p sunt simetrice şi F = F este o rădăcină a polinomului PY p 5 Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange Considerăm ecuaţia de gradul III (forma redusă), + p+ q= 0, unde p, q sunt numere complee Considerăm epresia B ( X X X ) = +e +e, unde e este o rădăcină cubică a unităţii, diferită de Subgrupul invariant pentru B este H { e, (,,, ), (,, ) } 7 B = Cum H B este de indice în s, atunci conform teoremei anterioare B verifică o ecuaţie de gradul II cu coeficienţi polinoame simetrice în X, X, X Să determinăm această ecuaţie Clasele de echivalenţă la stânga modulo grupul Cele două valori ale lui B sunt: B B H B sunt două: { } ê = eh = H = e,,,,,,,, (, ) (, ) H {(, ), (, ), (, ) } = = B B = eb= B= X +e X +e X,

29 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 B =, B= X +e X +e X Ecuaţia de gradul II pe care o verifică B este Dar, calculând, obţinem şi ( z-b )( z- B ) = 0 sau z - B + B z+ BB = 0 + = +e +e + +e +e = - + B B X X X X X X s 9s s 7s BB = X +e X +e X X +e X +e X = s - s, unde s, s, s sunt sumele Viète pentru X, X, X Deci B verifică ecuaţia: coeficienţii săi fiind polinoame simetrice Să notăm rădăcinile ecuaţiei () z s 9s s 7s z s s =, () L X X X e X = +e +e Se vede că Dacă,, sunt rădăcinile ecuaţiei B = şi B =, unde B, B sunt L e X L e X + p+ q= 0, şi notăm cu L e valoarea lui L e X când facem X =, X =, X =, obţinem sistemul de ecuaţii: ìï + + = 0 ï í +e +e = Le ï +e +e = ïî Le e e = e -e ¹ 0, deci sistemul are soluţie e e Determinantul sistemului este unică Rezolvând acest sistem, obţinem soluţia: = ( Le + L e ), e = ( e Le +el e ), = ( e Le +e L e ) Aşadar rezolvarea ecuaţiei de gradul III, + p+ q= 0, se reduce la determinarea lui L şi a lui L e 8

30 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Să notăm cu b, b valorile lui B, respectiv B pentru X =, X =, X = Atunci b şi b sunt soluţiile ecuaţiei (), unde punem X =, X =, X = În acest caz s = 0, s = p, s =- q Deci b, b sunt rădăcinile ecuaţiei rezolventa 8 ecuaţiei + p+ q= 0 Obţinem: z + 7qz- 7p = 0 Această ecuaţie se numeşte 7q æqö æpö b = ç è ø çè ø, 7q æqö æpö b = ç è ø çè ø Cum Le = b, atunci e = L b iar L = e b şi deci L = e b Dar L L e e = s - s =- p, deci L este determinat de L e Înlocuind în formulele lui,, în funcţie de L e, L e e, obţinem din nou formulele lui Cardano de determinare a rădăcinilor ecuaţiei de gradul III Prin această metodă rezolvarea ecuaţiei de gradul III (forma redusă) se reduce la rezolvarea ecuaţiei de gradul II şi a două ecuaţii binome de gradul III Eemplul 6 Să se rezolve ecuaţia Avem p=- 6 şi q= 9 şi deci = 0 æqö æpö æ9ö 8 49 æqö æpö = + - = - = + = 4 4 çè ø çè ø çè ø çè ø çè ø Obţinem: Rezultă că: b =- + 7 =- 7, b =- -7 =-7 8 În final rezultă că: = (-- 6) =-, L e = - 7 =- şi L = -7 8 =- =-6 e 8 [] C Năstăsescu, C Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 979, pg 5-8 9

31 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 é êë úû ( 6) ù ( ) ( ) = e - +e- = -e- e =-e + e= - + i -i - =, é ( 6) ù -- i + i = e - +e - = (-e-e ) =-( e+ e ) = êë úû - = 5 Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metoda lui Lagrange Considerăm ecuaţia 4 + a + a + a+ a4 = 0, unde a, a, a, a 4 sunt numere complee Considerăm polinomul A= XX+ XX4 Subgrupul invariant al lui A este: A { } H = e,,,, 4,,, 4,,, 4,, 4,,,,, 4,, 4,, care este de indice în s 4 Clasele de echivalenţă la stănga modulo subgrupul Cele trei valori ale lui A sunt: H A sunt: ( ) ( ) ê= H,, =, H,, 4 =, 4 H A A A A= A= XX+ XX4, A =, A= X X + X X, 4 A =, 4 A= X X + X X 4 Ecuaţia de gradul III pe care o satisface A este z-a z-a z- A = 0, sau z - A + A + A z + A A + A A + A A z- A A A = 0 Dar, calculând, obţinem A+ A+ A = s, AA + AA + AA = ss - 4s4, AAA = ss + s - 4ss, 4 4 unde s, s, s, s 4 sunt sumele lui Viète în X, X, X, X 4 Prin urmare A satisface ecuaţia: z - s z + ss -4s z- s s + s - 4s s = Fie,,, 4 rădăcinile ecuaţiei + a + a + a + a =

32 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 şi X4 4 Să notăm cu ai valorile lui A, i cu i, când punem X=, X =, X = = Ţinând seama de relaţiile lui Viète, rezultă că a i, cu i, sunt rădăcinile ecuaţiei: z- az + aa -4a z- aa + a - 4aa = Această ecuaţie se numeşte rezolventa 9 ecuaţiei iniţiale Dar a = + 4, a = 4+, a = +, 4 şi cum 4 = a4, din relaţiile de mai sus obţinem că: şi 4 sunt soluţiile ecuaţiei 4 şi sunt soluţiile ecuaţiei iar şi 4 sunt soluţiile ecuaţiei z -a z + a = 0, 4 z -a z + a = 0, 4 z -a z + a = 0 4 Este uşor de văzut că odată determinate valorile,,, 4, obţinem imediat pe,,, 4 şi deci: Să scriem = 0 ( a = 0, în cazul ecuaţiei reduse), =- a + =- +, =- a 4 4 Dacă = şi = 4 sunt rădăcinile ecuaţiei = - a z -a z + a = 0, avem că 4 şi deci: 9 [] C Năstăsescu, C Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 979, pg 8-9

33 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 şi Prin urmare am obţinut: Formăm sistemul de ecuaţii gradul II a + = - ìï a ï + = í - ï ïî = ìï a ï + 4 =- í - ï ïî 4 = ìï a - + = ï í a + + = ï ïî u u 0 - v v 0 -, ale cărui rădăcini u, u şi v, v sunt rădăcinile, respectiv, 4 ale ecuaţiei de gradul IV Considerând ecuaţia z -a z + a = 0 sau ecuaţia z -a z + a = 0, prin acelaşi 4 4 raţionament găsim aceleaşi rădăcini pentru ecuaţia de gradul IV Deci rezolvarea ecuaţiei de gradul IV se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul III (rezolvanta lui Lagrange) şi a trei ecuaţii de gradul II 4 Eemplul 7 Să se rezolve ecuaţia: = 0 Forma redusă a ecuaţiei este: = 0 Avem că: 4 a= 0, a = 0, a =, a4 = 4 Rezolventa ecuaţiei este z -z- = 0, care are rădăcinile: a =-, a =-, a = 4 Ecuaţia de gradul II, cu rădăcinile şi 4 este Rezolvând această ecuaţie obţinem: z + z+ = i = =,

34 Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Apoi aflăm: -- i = 4 = 4 + = = = =-i, - + i + + i 4i i + 4 =- = i - + i + + i Formăm două ecuaţii de gradul II: u + iu - + i = 0, cu rădăcinile u=, u = şi v -iv-- i = 0 cu rădăcinile v=, v = 4 Din rezolvarea lor obţinem: -+ i - i + = u= = -i, -- i + i - = u = =--i, i+ + i + = v= = + i, i-- i - 4 = v = =- + i

35 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali Capitolul Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali Teorema (Abel-Ruffini) Ecuaţia generală de grad n, + a + + a = 0, n n- n nu este rezolvabilă prin radicali pentru n³ 5 (Pentru n 4, ecuaţia generală este rezolvabilă prin radicali) Totuşi, sunt ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5 ce se pot rezolva prin radicali, deci pentru care pot fi date formule de determinare a rădăcinilor lor Prezentăm în continuare câteva tipuri de astfel de ecuaţii Ecuaţii binome n Definiţia Ecuaţia de forma - a= 0 ( a Î, n³ ) se numeşte ecuaţie binomă Rezolvarea acestei ecuaţii este echivalentă (conform ideii lui Gauss, din 80) cu determinarea rădăcinilor de ordinul n ale lui a Se scrie numărul a sub formă trigonometrică, n obţinând ecuaţia echivalentă r( cos isin ) = j+ j, unde r reprezintă modulul numărului comple a, iar j este argumentul redus al acestuia ( a= r( cosj+ isinj )) æ n n j+ kp j+ kp ö Soluţiile ecuaţiei sunt date de formula = a = r ç cos + isin çè n n ø, unde 0 k n- Astfel ecuaţia de gradul n are n rădăcini distincte i - + i = 0 4 Eemplul Să se rezolve ecuaţia: 4 Avem: i ( i ) p j= şi scriem 6 cu 0 k = + Rezultă: + i = = - Deci r= + =, i 4 4 i 4 æ p p ö = ç cos + isin çè 6 6 ø Rădăcinile acestei ecuaţii sunt date de: æ p+ kp p+ kp ö = ç + çè 4 4 ø, 4 k cos isin Deci rădăcinile ecuaţiei date vor fi: 4

36 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali æ 4 p pö æ 4 p pö 0 = cos + isin, = cos + isin, ç è 4 4 ø çè 4 4 ø æ 4 5p 5pö æ 4 47p 47pö = cos + isin, = cos + isin ç è 4 4 ø èç 4 4 ø Observaţia Ideea de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare sau egal cu 5 este de a o reduce la rezolvarea succesivă a unui număr de ecuaţii simple (de regulă ecuaţii binome) Ecuaţii trinome Definiţia O ecuaţie de forma p q r a + b + c = 0, cu p, q, r Î şi a, b, c Î se numeşte ecuaţie trinomă Eliminând factorul corespunzător celor r rădăcini nule, obţinem ecuaţia n m a b c = n m În cazurile când n= m sau n= m, rezolvarea ecuaţiei a + b + c = 0 se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul II, respectiv III şi a unor ecuaţii binome În cazul particular m= şi n= 4, obţinem ecuaţia Definiţia Ecuaţia Eemplul Să se rezolve ecuaţia: Fie y y=- 6, y = 4 a + b + c = 0 4 a + b + c = 0, cu a, b, c Î se numeşte ecuaţie bipătrată = Rezolventa ecuaţiei este Avem de rezolvat ecuaţiile binome: Din Din = 0 - = 0 şi y + 5y- 6= 0 şi soluţiile ei sunt: + 6= 0 kp kp = rezultă: k = cos + isin, 0 k =- 6 rezultă: Deci soluţiile ecuaţiei date sunt: ( t ) ( t ) æ ö + p + p ç çè ø t = cos + isin, 0 t =, p p = cos + isin =- + i, 4p 4p = cos + isin =- -i, æ p p ö æ ö = ç + = + ç è ø çè ø 4 cos isin ç i, 5 = cosp+ isinp =-, 5

37 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali æ 5p 5p ö æ ö = ç + = - ç è ø çè ø 6 cos isin ç i Ecuaţii bipătrate Definiţia 4 Ecuaţia de forma 4 a + b + c = 0, cu a, b, cî, a¹ 0 se numeşte ecuaţie bipătrată Notând numeşte rezolventa ecuaţiei = y, se obţine ecuaţia de gradul II ay + by + c = 0, care se Rădăcinile ecuaţiei bipătrate sunt date de -b b -4ac =, numită formula de a rezolvare a ecuaţiei bipătrate În această formulă apar radicali de forma A aduşi la o sumă sau la o diferenţă de radicali simpli: B, care pot fi A+ A -B A- A -B A B = ( A ³ B, B³ 0) Ecuaţii reciproce Definiţia 5 Ecuaţia de forma n n- a n + a n- + + a + a + a 0 = 0 ( a n ¹ 0), cu proprietatea că an- i= a i, " i=0, n, se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n (coeficienţii termenilor egal depărtaţi de etreme sunt egali) Enunţăm mai jos câteva proprietăţi generale pentru ecuaţiile reciproce de grad n P Dacă ecuaţia reciprocă are rădăcina a, atunci ea are şi rădăcina a Demostraţie Dacă a este rădăcină, atunci rezultă că: a a + a a + + a a + a a+ a = 0 n n- n n- 0 şi a¹ 0 ( a= 0 a0 = 0 an = 0, contradicţie) Deci se poate împărţi cu Dar i n-i n- n æö æö æö ç n n- ç ç 0 a + a + + a + a = 0 çèaø èçaø èçaø a = a, 0 i n şi deci putem scrie: n n- æö æö æö a n a n- a a 0 = 0 çèaø èçaø èçaø n a şi obţinem: 6

38 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali Prin urmare a este rădăcină şi atunci: P Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina =- Demonstraţie Fie n p = + Notăm f = a + a + + a + a + a p+ p p + p p+ p 0 f - = a - + a a - + a - + a = p+ p 0 p+ p p+ p p+ p 0 =- a + a - + a - + a a - a + a = ( a ) p 0 a p+ a a p ( ap a p+ ) = Dar ai = a p +- i (0 i p pentru ecuaţia reciprocă de grad impar + ) Rezultă că f - = 0 şi deci =- este rădăcină P Orice ecuaţie recirocă de grad impar se reduce la rezolvarea ecuaţiei + = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de grad par Demonstraţie Din P rezultă că =- este rădăcină a lui f Conform teoremei lui Bézout, avem că f = ( + ) g g = b + + b + b + b Scriem: Fie p p 0 p+ p p a p+ + a p + + a + a + a 0 = + bp + + b + b + b0 Prin identificarea coeficienţilor avem: ap+ = b p, ap = bp + b p-, ap- = bp - + b p-, a = b+ b, a= b+ b 0, a = b 0 0 Cum ai = a p +- i ( 0 i p+ ), rezultă că b0 = bp Cum bp bp- b b0 + = +, rezultă că b= bp - Procedând la fel, din egalităţile anterioare rezultă că bi = bp - i (0 i p) Deci ecuaţia b + + b + b + b = 0 este reciprocă p p 0 P4 Orice ecuaţie reciprocă de grad par, n= p, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de grad p şi a p ecuaţii de grad II 7

39 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali Demonstraţie Fie ecuaţia reciprocă p a p + + a + a + a0 = 0, ap ¹ 0 Împărţim ecuaţia prin p, ¹ 0 Rezultă că: æ p ö æ p- ö æ ö a p + + a p p a p p+ + + a p = 0 ç - è ø çè ø çè () ø Notăm y= + Rezultă + = y - În general din y = æ ö ç + çè ø k k se obţine adică: k k k- k-4 k-6 y = + C k + C k + C k + + Ck + C k 6 k + C - k-4 k +, k- k k æ k ö æ k- ö æ k-4 ö y = + + C k k + + C k k + + ç - k-4 è ø çè ø èç ø k p- p Pentru k =,,, p se găseşte +, în funcţie de y, y,, y, y Înlocuind k valorile găsite în ecuaţia () va rezulta o ecuaţie în necunoscuta y, de gradul p, care va avea p rădăcini y, y,, y p Pentru a obţine rădăcinile ecuaţiei reciproce, se rezolvă cele p ecuaţii de forma y i, i,,, p + = Î { }, adică de forma - y + = 0, i Î {,,, p} Definiţia 6 Se numesc ecuaţii reciproce şi ecuaţiile de forma: a + a + + a = 0, n n- n n- 0 având proprietatea următoare: ai =- a n-i, " i=0, n i Dacă n= p, din a i =- a p-i rezultă că ap =- ap, deci a p = 0 Prin urmare orice ecuaţie de tipul menţionat mai sus are ca rădăcină pe = Atunci, conform teoremei lui Bézout putem scrie sau: a + a + + a + a + a = - b + + b + b + b n n - n - n n- 0 n- 0 a + a + + a + a + a = b + b - b + + b -b - b n n- n n- n n- 0 n- n- n- 0 0 Prin identificarea coeficienţilor avem: 8

40 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali ap = b n-, an- = bn- -b n-, an-= bn- -b n-, a = b-b, a= b0-b, a =-b 0 0 Cum a0 =- an rezultă că b0 = bn -, cum a =- a n- rezultă că b= bn - şi cum a =- an - rezultă că b = bn - Continuînd astfel, obţinem că bi -= b n-i, " i=, n-, ceea ce ne arată că ecuaţia n- bn- + + b + b + b0 = 0 este o ecuaţie reciprocă Concluzia Orice ecuaţie de forma a + a + + a = 0, cu proprietatea că n n- n n- 0 a =- a, " i=0, n, se reduce la rezolvarea ecuaţiei - = 0 şi a unei ecuaţii reciroce de grad i n-i n- Definiţia 7 O ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de etreme sunt fie egali (ecuaţii reciproce de speţa întâia), fie opuşi (ecuaţii reciproce de speţa a doua), se va numi ecuaţie reciprocă Observaţia Ecuaţiile reciproce de grad impar de speţa întâia au rădăcina -, iar cele de speţa a doua au rădăcina Ecuaţii reciroce de gradul III Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa întâia este 9 a + b + b + a = 0, cu a, b Î, a ¹ 0 Această ecuaţie are rădăcina -, deci o putem scrie sub forma + éa b a aù êë úû = 0 a + b- a + a = 0 ecuaţia Astfel ecuaţia admite rădăcinile: =- şi, date de Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa a doua este a + b -b - a = 0, cu a, b Î, a ¹ 0 Această ecuaţie are rădăcina, deci o putem scrie sub forma - éa a b aù êë úû = 0 a a b a = Astfel ecuaţia admite rădăcinile: = şi, date de ecuaţia Eemplul Să se rezolve ecuaţiile: a) = 0 ; a) Ecuaţia reciprocă de speţa întâia b) = = 0 se mai scrie:

41 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali = i 5 --i 5 Rezultă că soluţiile ei sunt: =-, =, = 4 4 b) Ecuaţia reciprocă de speţa a doua = 0 se mai scrie: = i 5 --i 5 Rezultă că soluţiile ei sunt: =, =, = 4 4 Ecuaţii reciproce de gradul IV Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul IV (speţa întâia) este: cu a, b Î, a ¹ 0 4 a + b + c + b + a = 0, () Ecuaţia nu are rădăcina = 0, deci putem împărţi cu b a a + b + c =, ( a ¹ 0 ) şi grupând convenabil termenii vom scrie: Facem substituţia æ ö æ ö = çè ø çè ø aç b c 0 ç y= + Rezultă că Rezultă + = y - Ecuaţia devine: y a by c 0 ay by c a = =, numită rezolventa ecuaţiei Dacă y şi y sunt soluţiile acestei ecuaţii, rezultă că y y = + sau - y + = 0 şi - y + = 0, care sunt ecuaţii de gradul II Astfel se obţin soluţiile,,, 4 ale ecuaţiei () Eemplul 4 Să se rezolve ecuaţia: Împărţim ecuaţia cu şi rezultă ecuaţia: = 0 æ ö æ ö = çè ø èç ø 4 ç 5 0 ç = + şi Facem substituţia y =- y= + şi obţinem o nouă ecuaţie + - =, care are rădăcinile y = şi 4 4y y 0 40

42 Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali Deci avem ecuaţiile: - + = = 0 şi 4 Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul IV vor fi: + + = 0 + i 55 -i i --i =, =, =, 4 = 8 8 Ecuaţii reciroce de gradul V Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul V (speţa întâia) este: cu a, b, c Î, a ¹ a + b + c + c + b + a = 0, Conform proprietăţii ecuaţiei reciproce de grad impar de speţa întâia, rezolvarea acestei ecuaţii se reduce la rezolvarea ecuaţiei + = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV Pentru speţa a doua, rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul V se reduce la rezolvarea ecuaţiei - = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV Eemplul 5 Să se rezolve ecuaţia: = 0 Ecuaţia reciprocă de speţa întâia = 0, admite soluţia = 0 4 =- Rezultă: Ecuaţia această ecuaţie cu = 0 este o ecuaţie reciprocă de gradul IV Împărţim şi facem substituţia are soluţiile: y = 0 şi y =- Deci avem ecuaţiile: + = 0 şi + + = 0 Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul V vor fi: y= + Obţinem o nouă ecuaţie - + i - + i = i, =- i, =, = y + y= 0, care 4

43 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Capitolul Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu Subordonându-se obiectivelor generale ale predării-învăţării matematicii în învăţământul preuniversitar, unul din importantele obiective specifice este însuşirea de către elevi a cunoştinţelor referitoare la noţiunea de ecuaţie, de formare a deprinderilor, de aplicare a cunoştinţelor în rezolvarea ecuaţiilor, dezvoltând abilităţi elevilor de a rezolva probleme cu ajutorul ecuaţiilor Plecând de la definirea noţiunii de ecuaţie (egalitatea între două epresii conţinând elemente de o anumită natură numere, funcţii, etc dintre care unele sunt cunoscute, iar altele nu, adevărată numai atunci când necunoscutele sunt înlocuite cu anumite elemente), trebuie precizat că elementele prezente pe lângă necunoscute pot fi reprezentete prin litere, valori presupuse cunoscute, dar nefiate numeric Unele dintre ele pot fi fiate de la începutul problemei (deşi sunt notate prin litere acestea sunt valori constante), altele, se presupun cunoscute, dar nu sunt fiate, schimbarea lor putând modifica valorile necunoscutelor pentru care egalitatea este adevărată (acestea se numesc parametrii) A rezolva o ecuaţie înseamnă a găsi mulţimea valorilor ce se pot da necunoscutelor, astfel încât egalitatea să fie adevărată Aceste valori se vor numi soluţiile ecuaţiei Dacă nu eistă nici o astfel de valoare, se va spune că ecuaţia nu are soluţii Pentru a putea deosebi toate aceste elemente ce intervin într-o ecuaţie, în teoria ecuaţiilor se foloseşte de obicei notarea necunoscutelor cu litere de la sfârşitul alfabetului:, y, z, t, u, v, w, a constantelor cu litere de la începutul alfabetului: a, b, c, d, e, iar a parametrilor cu litere de la mijlocul alfabetului: m, n, p, q Această notaţie nu constituie o convenţie şi nici nu este obligatorie în rezolvarea ecuaţiilor Dacă o ecuaţie conţine litere ce reprezintă constante şi parametrii, a rezolva o ecuaţie în acest caz înseamnă a găsi toate grupele de epresii ale necunoscutei, în funcţie de literele ce reprezintă valorile necunoscute, astfel încât verificarea ecuaţiei cu fiecare din aceste grupe să se facă în mod identic, oricare ar fi valorile particulare ale acestor litere Se spune că două ecuaţii sunt echivalente atunci când au aceleaşi soluţii Deoarece acest concept este foarte important, trebuie fiat când i se predă elevului, prin câteva eemple şi contraeemple clare 4

44 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice În rezolvarea anumitelor ecuaţii, sunt situaţii când se folosesc transformări ale acestora, în scopul facilitării găsirii soluţiilor Acestea se numesc transformări echivalente, care permit rezolvarea ecuaţiei iniţiale cu ajutorul unor ecuaţii mai simple Noţiunea de ecuaţie apare elevului pentru prima dată în clasa a V-a Definiţia ce se dă ecuaţiei de gradul I este: propoziţia logică care depinde de o variabilă, de o structură anume (propoziţiile cu o variabilă se mai numesc şi propoziţii deschise sau predicate) În eprimarea acestor propoziţii apar cuvintele,,este egal cu Se precizează că variabila se numeşte necunoscută şi se notează cu, putându-se folosi şi alte litere, în special de la sfârşitul alfabetului: y, z, etc Predicatul de o variabilă, peste o multi-metodă, este o aplicaţie p:m Nunde N este mulţimea propoziţiilor logice, adică " Î M, p este o propoziţie, care are o anumită valoare de adevăr Elevul de clasa a V-a, neştiind noţiunea de aplicaţie, este necesar a i se arăta că, fiind vorba de propoziţii logice, are sens a se vorbi despre valoarea de adevăr a propoziţiei p( ), pentru dintr-o mulţime dată Astfel i se defineşte elevului mulţimea soluţiilor ecuaţiei, ca fiind mulţimea valorilor Î M, pentru care valoarea de adevăr a propoziţiei p( ) este, iar a rezolva ecuaţia înseamnă a determina mulţimea de adevăr a propoziţiei p( ) Ţinând cont că în clasa a V-a elevii au însuşite numai operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, în anumite mulţimi de numere, metodele de rezolvare au la bază proprietăţi ale acestor operaţii În aceeaşi concepţie de definire, dându-se noţiunea de rădăcină a ecuaţiei sau soluţie, în clasa a VI-a se reia ecuaţia de gradul I, metodele de rezolvare bazându-se pe proprietăţile egalităţii în mulţimi de numere peste care sunt definite ecuaţiile Tot în clasa a VI-a se dă şi algoritmul de calcul pentru rezolvarea ecuaţiei Cunoştinţele despre mulţimi prevăzute în programa gimnazială, permit introducerea noţiunii de ecuaţie destul de devreme Au eistat mai multe opinii cu privire la introducerea acestei noţiuni, printre care cele eprimate de A Hollinger, E Rusu, V Popa Pornind de la opinia eprimată de A Hollinger, că,,procedeul cel mai răspândit de a introduce noţiunea de ecuaţie este de a porni de la o problemă, se poate afirma că ecuaţia este o problemă ce se poate formula relativ la o aplicaţie Astfel, prin ecuaţie (operatorială) înţelegem o problemă de tipul: Se dau două mulţimi X şi Y şi două aplicaţii f, g:x Y Se consideră mulţimea definită în abstracţie prin { } S= f = g, Î X şi se cere să se determine în etensie mulţimea S Această definiţie corespunde mai bine multitudinii de eemple ce se cer a fi rezolvate, precum şi problemelor ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor 4

45 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Simbolic notăm o ecuaţie prin f = g( ), Î X Un element Î S se numeşte soluţia ecuaţiei, mulţimea S se numeşte mulţimea soluţiilor ecuaţiei, iar f( ) şi g( ) se numesc membrul întâi, respectiv al doilea al ecuaţiei Particularizând mulţimile X şi Y şi aplicaţiile f şi g obţinem diverse tipuri de ecuaţii Pornind de la a defini ecuaţia în această concepţie este necesar a se reactualiza cele două moduri de definire a unei mulţimi: în etensie dacă mulţimea este dată prin precizarea elementelor sale sau în abstracţie (în comprehensiune) dacă mulţimea este dată printr-o proprietate a elementelor sale Reluând întrebarea,,ce înseamnă a rezolva o ecuaţie?, putem răspunde că înseamnă găsirea soluţiilor problemei propuse Este necesară deci definirea ecuaţiei echivalente Pe eemple concrete se stabileşte algoritmul de rezolvare a ecuaţiei Reformulând noţiunea de ecuaţie de gradul I, termenul de ecuaţie algebrică apare prin problema:,,să se determine mulţimea de numere pentru care a + b = 0, cu a¹ 0 şi a, b Î Pentru rezolvarea unor ecuaţii este necesar, câteodată, să aplicăm anumite transformări Este posibil ca acestea să nu ducă totdeauna la obţinerea unor ecuaţii echivalente cu cea dată Se pot obţine ecuaţii ce introduc noţiuni străine şi, în cazul acesta trebuie verificate ce valori din cele obţinute rămân soluţii ale ecuaţiei iniţiale, acest lucru facându-se prin înlocuirea directă în ecuaţia iniţială Dacă egalitatea rămâne adevărată, aceste valori sunt rădăcini, iar dacă nu, se elimină Se pot obţine însă şi ecuaţii care pierd soluţii în raport cu ecuaţia iniţială În această situaţie trebuie descoperite eventualele soluţii eliminate şi alăturate soluţiilor ce au rezultat în urma rezolvării, pentru a determina corect mulţimea rădăcinilor Noţiunea de ecuaţie de gradul II, definită într-o formă analoagă celei anterioare, pentru ecuaţia de gradul I, se introduce în clasa a IX-a, prin problema:,,să se determine mulţimea numerelor pentru care a + b + c = 0, cu a¹ 0 şi a, b, cî Să se scrie în etensie mulţimea M { a b c 0; a 0, a, b } = + + = ¹ Î Se dă algoritmul rezolvării ecuaţiei de gradul II, diferitele forme ale ei, natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali, semnul rădăcinilor, relaţii între rădăcini şi coeficienţi, precum şi formarea ecuaţiei de gradul II cân se cunosc rădăcinile În afara prezentării algoritmului rezolvării, care este dat în manual, se poate da o metodă cu caracter mai general, ce se poate aplica la ecuaţii de grad superior, în vederea obţinerii ecuaţiei reduse În clasa a X-a noţiunea de ecuaţie se completează cu cea de ecuaţie algebrică şi cu cea de ecuaţie transcendentă, studiindu-se ecuaţiile algebrice de grad superior lui II La sfârşitul clasei a X-a elevul trebuie să fie capabil să rezolve o gamă largă de ecuaţii algebrice, avănd bagajul de cunoştinţe necesar pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuaţii algebrice Tot în 44

46 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice această clasă, când se studiază mulţimea numerelor complee, se introduce şi ecuaţia de gradul II cu coeficienţi complecşi, remarcându-se că formulele de rezolvare sunt aceleaşi cu formulele de la ecuaţia de gradul II cu coeficienţi reali La ecuaţiile algebrice de grad superior lui II, se revine în clasa a XII-a, când elevul are introduse noţiunile de inel şi corp, putându-se vorbi acum de ecuaţii algebrice cu coeficienţi întrun inel sau corp Eerciţii şi probleme rezolvate P Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi a + a + + a + a = 0 n n- n n- 0 într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care coeficientul dominant să fie Demonstraţie Fie y = an Rezultă că n a n y =, a ¹ 0 Avem n n- y y y n n n- n- 0 ( an) ( an) a n de unde, prin eliminarea numitorului, obţinem: a + a + + a + a = 0, y + a y + a a y + + a a = 0, n n- n- n- n- n- n 0 n care este o ecuaţie cu coeficienţi întregi şi coeficient dominant E Transformaţi în ecuaţii, în care coeficientul dominant să fie : a) b) = 0 ; = 0 Rezolvare a) Considerăm ecuaţia: Fie y= 8 Rezultă că y = Avem = 0 de unde obţinem: y y y = 0, y -6y = 0 b) Considerăm ecuaţia: Fie y= 0 Rezultă că = 0 y = Avem 0 4 y y y y =

47 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice de unde obţinem: 4 y + y + 60y + 00y = 0 P Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi a + a + + a + a = 0 n n- n n- 0 într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care să lipsească coeficientul termenului de grad n- Demonstraţie Fie = y+ h Rezultă că: n n- a y + h + a y + h + + a y + h + a = 0 n n- 0 Egalând coeficientul lui y n- Deci substituţia va fi: cu 0, obţinem a = y- na n- n -a n- ach n n + an- = 0, de unde h = na n E Transformaţi în ecuaţii echivalente, în care să lipsească coeficientul termenului de grad n-, n fiind gradul termenului dominant: a) b) = 0 ; = 0 Rezolvare a) Considerăm ecuaţia: Fie iar de aici se obţine: - = y- = y+ Rezultă că = 0 æ ö æ ö æ ö y+ - y+ + y+ - = 0 ç è ø çè ø çè, ø y + y + y+ -y -y- + y- = În final se ajunge la: 4y -y- = 0 4 b) Considerăm ecuaţia: = 0 5 Fie = y- Rezultă că 4 iar de aici se obţine: 4 æ 5ö æ 5ö æ 5ö y- + 5 y- + 4 y- - = 0 ç è 4 ø çè 4ø çè 4ø, 46

48 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice 4 56y - 400y + 504y + 9 = 0 E Să se rezolve ecuaţiile: a) = 0; b) = 0 Rezolvare a) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant y este Fie = Rezultă că 8 adică: y y y = 0, y + 8y + 8y- 48 = 0 Acum aducem această ecuaţie la o formă în care coeficientul lui y să fie 0 Fie 8 y= z- sau y= z- 6 Rezultă că adică care are soluţiile: şi deci Rezultă că z z z-6-84 = 0, z - 00z= 0, z= 0, z = 0, z =- 0 y=- 6, z = 4, z =- 6 =-, =, =- 4 b) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant este Fie y = Rezultă că adică æyö æyö = 0 ç è ø çè, ø y -y- = 0 Folosind formula lui Cardano ( p=-, q=- ), rezultă că 47

49 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice adică u= v=, şi deci u, v q q p = - + = + (- ) =, 4 7 y = u+ v= + =, y =e u+e v=e+e =-, y =e u+e v=e +e=- Obţinem: y y y,, Folosind metoda lui Lagrange, aceeaşi ecuaţie este redată mai jos = = = =- = =- y -y- = 0, o putem rezolva precum Avem: p=-, q=- Rezolventa ecuaţiei este z - 54z + 79 = 0 Rezolvând această ecuaţie şi notând cu a şi a soluţiile ei, rezultă că: a= a = 7 Deci L = y a = a 7, adică L = a y, iar L = a y = 7, adică L = a a y Obţinem: Lay + L a y y = =, a Lay +a L y æ a - + i -- i ö y = =, ç + =- çè ø a Lay +al a y æ--i - + i ö y = = ç + =- çè ø Va rezulta că: y y y,, = = = =- = =-, regăsind astfel soluţiile obţinute folosind formulele lui Cardano E4 Să se rezolve, folosind metoda lui Ferrari, ecuaţia: Rezolvare Conform metodei lui Ferrari, fie m un parametru Scriem unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât Avem: m a b c = , = 0 a + b + c să fie pătratul unui polinom de gradul I = m a m b m c Identificând coeficienţii, obţinem: a=m-4, b=m-4, c=m -4

50 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Punem condiţia ca discriminantul ecuaţiei a + b + c = 0 să fie nul Rezultă: m-4-4 m-4 m - 4 = 0 m-4 m -m- 6 = 0, de unde obţinem: m= m =, m =- Luând m=, rezultă că a= 0, b= 0, c= 0, şi deci ecuaţia iniţială devine cu soluţiile: + + = 0, Pentru - + i 7 --i 7 = =, = 4 = 7 m =-, rezultă că a=- 7, b=- 7, c=-, şi deci ecuaţia iniţială devine: 4 æ ö æ ö = 0 ç è ø èç ø Trebuie ca cei doi termeni ai sumei să fie simultani 0 Cum =- este rădăcină æ ö pentru ç + = 0 çè, dar nu este rădăcină pentru ø rădăcină pentru ecuaţia dată æ ö ç + - = 0 çè, rezultă că ø Deci, pentru m =-, nu putem determina soluţiile ecuaţiei date - nu este E5 Să se rezolve folosind metoda lui Ferrari ecuaţia: Rezolvare Fie m un parametru Scriem unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât Avem: m a b c = , = 0 a + b + c să reprezinte pătratul unui polinom de gradul I m a 4m b m c = Identificând coeficienţii rezultă că: a= m+, b= 4m- 8, c= m - 8 Punem condiţia ca discriminantul ecuaţiei a + b + c = 0 să fie nul şi obţinem ecuaţia m - m + 0m- 05 = 0, care admite ca rădăcină pe m= În aceste condiţii obţinem a= 9, b=- 6, c= şi ecuaţia iniţială devine 49

51 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice care are soluţiile: = = = 0, = -5 7, = i 5,, 4 adică: 4 E6 Să se rezolve ecuaţia: = 0 Rezolvare Folosim metoda lui Descartes Împărţim ecuaţia prin 4 şi obţinem: Avem: = 0 4 p= 0, q=, r= Rezolventa ecuaţiei este 4 u pu p 4r u q =, u -u- = 0 Rădăcinile acestei noi ecuaţii sunt: u=-, u =-, u = 4 Atunci: u = i, u = i, u = Produsul celor trei radicali trebuie să să fie - q, adică - şi astfel rădăcinile ecuaţiei date sunt: + i + =, - i + =, --i - =, - + i - 4 = E7 Să se rezolve prin metoda lui Lagrange, ecuaţia: Rezolvare Prin împărţirea ecuaţiei cu 4 obţinem ecuaţia = 0, = 0 50

52 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice 9 = = = = 4 Rezolventa ecuaţiei este: cu a 0, a 0, a 0, a4 adică care are rădăcinile z=-, z =-, z = 5 z- az + aa -4a z- aa + a - 4aa = 0, z -9z- 0= 0, Ecuaţia de gradul II cu rădăcinile şi 4 este deci deci Avem: şi Rădăcinile acestei ecuaţii sunt: t zt a =, = + + = 4 t t 0 4t 8t 9 0 t, - i 5 =, - + i 5 --i 5 t= =, t = 4 = a = = = =-i t- t - + i 5 --i 5 i 5 - a =- =- =- = i t- t - + i 5 --i 5 i 5 Vor rezulta ecuaţiile de gradul II - de unde: - + i 5 --i 5 u + i u+ = 0 şi u - i u+ = 0, - i + i i - = u = =, 5

53 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice -i - i i + = u = =, i + i i + = v = =, i -i i - 4 = v = = E8 Să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei: m = 0, m Î Rezolvare Facem schimbarea de variabilă Rezultă ecuaţia: y + y - 4y+ 4m= 0 y =, pentru a face coeficientul dominant Fie y= z-, pentru a găsi rezolventa ecuaţiei Aceasta este: z - 7z+ 6+ 4m= 0 Avem: p =- 7, q = 6 + 4m Discriminantul rezolvantei este: æ q p ö é( 6+ 4m) (-7) ù d = = = ç çè ø êë úû é ù =- 08ê+ m - 7 ú=- 08 4m + 5m- 560 =- 4 m + m -40 ë û Discuţie: Cazul I: d< 0 d 0 m m 40 0 m, 0 7, < + - > Î - - È Ecuaţia are o rădăcină reală şi două rădăcini complee conjugate Cazul II: d= 0 d= 0 mî{ - 0, 7} Ecuaţia are toate rădăcinile reale, dintre care două sunt egale Dacă m=- 0, ecuaţia are = =- şi o rădăcină reală în intervalul (, ), iar dacă m= 7, ecuaţia are = = şi o rădăcină reală Cazul II: d> 0 d> 0 mî( - 0, 7) în intervalul (, ) Ecuaţia are trei rădăcini reale distincte - 5

54 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice E9 Se dă ecuaţia: sale să fie de forma cos q şi sin q dacă + p+ q= 0 Să se găsească condiţia ca două din rădăcinile Rezolvare Ţinând cont de formula fundamentală a trigonometriei = sinq şi = cosq, rezultă că Scriem relaţiile lui Viète: Obţinem: Rezultă: + = ì + + = 0 ï í + + = p ïî ï =-q ì + =- ì + =- ì + =- + ( + ) = p p = p+ ï - = í ï í ï í =-q =-q =-q ( ) ï + - = ïî - = ï - ( p+ ) = î î ì p ì =- - =-p- ï í =-p- ï í =-p- ï ïî ïî = q ï = q p+ p+ + q = 0 sin q+ cos q=, E0 Ştiind că a, b, c sunt rădăcinile ecuaţiei epresia ( a bc)( b ca)( c ab) - - -, în funcţie de coeficienţii ecuaţiei Rezolvare Scriem relaţiile lui Viète: Din ultima relaţie rezultă: Epresia din enunţ devine: ì a+ b+ c=-p ï íab + ac + bc = q ï ïî abc =-r r r r bc =-, ca =-, ab =- Obţinem: a b c r a r a - bc= a + =, r b + r b - ca = b + =, r c r c - ab= c + = 5 a b c + a b + c + p + q+ r= 0, să se calculeze

55 Daniela Manea Dar ( a bc)( b ca)( c ab) Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice ( + )( + )( + ) a r b r c r = = abc abc + rab + ac + bc + r a + b + c + r = -r a + b + c = a + b + c + a + b + c ab + ac + bc - abc, şi deci putem scrie: a b c a b c a b c ab ac bc abc Analog, obţinem: + + = = =-p - - p q+ - r =- p + pq- r a b a c b c ab ac bc ab ac bc a bc ab c abc ab ac bc + + = = Rezultă că: ( ab ac bc) abc( ab ac bc)( a b c) ( abc) = = ( a bc)( b ca)( c ab) = q -q -r - p + - r = q - prq + r - r + r q - prq+ r + r - p + pq- r + r = = -r =- q - prq + r -r - p + pq - r =- q + prq - r + rp - prq + r = =- q + rp p p E Se notează cu a= cos + isin o rădăcină de ordinul a unităţii Se cere să se formeze ecuaţia de gradul V ale cărei rădăcini sunt: a+a, a +a, a +a, a +a, a +a Rezolvare Deoarece a este o rădăcină a unităţii, avem că de unde rezultă că 0 a = Analog, obţinem: a Deci rădăcinile ecuaţiei ce trebuie formată sunt: Din 54 a = şi deci a =, a =, a =, a = 4 5 a a a a a+a =a+, a +a =a +, a +a =a +, a a a a +a =a +, a +a =a a a - = 0, ecluzând rădăcina =, obţinem ecuaţia reciprocă: 0 a a=,

56 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Ecuaţia în y, ce va avea rădăcinile = 0 este rezolvanta acestei ecuaţii reciproce, cu Ţinând seama de: ecuaţia cerută va fi: a+a, a +a, a +a, a +a, a +a, y= + + = y, + = y -, + = y -y, = y - 4y +, + = y - 5y + 5y, y + y -4y - y + y + = 0 E Fie polinomul P= 4X + 8aX + 4bX+, cu a, b Î Să se arate că: a) dacă 0 este o rădăcină reală a lui P, atunci 0 b a - ; b) dacă, sunt rădăcini distincte ale lui P, ambele rădăcini fiind reale sau ambele complee nereale, atunci b a ³ - Atunci: Rezolvare a) Fie 0 o rădăcină reală Rezultă: 4 + 8a + 4b + = =-8a -4b - = 4b -8a -4b -4b - = ( b a) ( b0 ) 40( b a) Deci: 4 ( 0 40 b - a) Împărţim inecuaţia prin = , care este pozitiv Rezultă: 0 b a - b) Dacă, sunt ambele reale sau complee nereale, rezultă că este reală Din relaţiile lui Viète putem scrie: = b- + = b- -a- = b+ a + = = b- a + a + a + = b- a + a+ ³ b- a Deci: b a ³ - n n- n- n- E Fie ecuaţia - a + a - a + + (- ) n a = 0, cu rădăcinile pozitive Să se arate că: an k k k k n n Ca, " k Î ( k n) 55

57 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice Rezolvare Fie,,, n rădăcinile pozitive ale ecuaţiei date Deoarece n = a, iar a este constant, atunci k este maim când = = = k n a Rezultă că å k este maimă când = = = n = = n n Numărul termenilor din suma å k este k k æa ö å k C n ç k C n Rezultă că: ç çèn ø Ţinând cont de relaţiile lui Viète, rezultă că a k k k æa ö C n ç çèn ø, şi deci k k k an k Ca n E4 Să se arate că o ecuaţie algebrică de grad par, cu coeficienţi numere întregi impare, nu admite rădăcini raţionale Rezolvare Presupunem prin absurd că ecuaţia algebrică a + a + + a + a = 0, n n- 0 n- n cu a n, a n-,, a0 numere întregi impare, admite rădăcina raţională p, fracţie ireductibilă q Atunci şi deci: a p n, a q 0 şi deci p şi q sunt impare Avem n n- p p p 0 n n- n- n a + a + + a + a = 0, q q q ap + ap q + + a pq + a q = 0 n n- n- n 0 n- n Aceasta este o contradicţie, deoarece membrul stâng este o sumă cu un număr impar de numere impare, deci este un număr impar, în timp ce membrul drept este par E5 Se dă ecuaţia: a a b a ab = Se cere: a) oricare ar fi parametrii a şi b, rădăcinile ecuaţiei date sunt în progresie aritmetică; b) să se determine aceste rădăcini Rezolvare a) Fie în general ecuaţia aritmetică, deci de forma t -a, t, t +a Obţinem condiţiile: + a + a + a = 0, cu rădăcinile în progresie 56

58 Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice De aici rezultă: ìï t-a+ t+ t+a=-a ï í -a + -a + +a = ï t( t -a ) =-a ïî t t t t t a ìï -a ï t = ï a í a = - a -a æ a a ö a - + =-a ï ç 9 è ïî ø Astfel se stabileşte condiţia ca ecuaţia progresie aritmetică, şi anume: a - 9a a + 7a = 0 + a + a + a = 0 să aibă rădăcinile în Pentru a = a, a = a - b, a = a - ab, obţinem: a - 9a a + 7a = 54a -7a a - b + 7 a - ab = aritmetică = 54a - 8a + 7ab + 7a - 7ab = 0 Rezultă că oricare ar fi parametrii a şi b, rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt în progresie a b) Din a = - a, pentru a = a şi a a b = -, obţinem deci a= b Avem: 9a a = - a + b = b, t=-a, t-a=- a b, t+a=-a b Deci rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt: =-a- b, =- a, =- a+ b 57

59 Daniela Manea Bibliografie Bibliografie [] Viorel Gh Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 98 [] C Năstăsescu, C Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 979 [] C Năstăsescu, C Niţă, C Vraciu, Aritmetică şi algebră, Editura Didactică, Bucureşti, 99 [4] C Năstăscu, C Niţă şi alţii, Culegere de probleme pentru liceu Algebră, Editura Rotechrro, Bucureşti, 996 [5] C Năstăsescu, C Niţă, S Popa, Matematică Manual pentru clasa a X-a Algebră, Editura Didactică şi Pedagică, Bucureşti, 98 58

60 Cuprins Introducere 5 Capitolul Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 7 Preliminarii Istoric 7 Numere complee eprimabile prin radicali Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III Ecuaţia de gradul II Ecuaţia de gradul III Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi reali 4 4 Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV 9 4 Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte) 9 4 Metoda lui R Descartes (produs de polinoame de gradul II) 4 Metoda lui L Euler 44 Metoda lui Liapin 4 5 Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange 7 5 Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metda lui Lagrange 0 Capitolul Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali 4 Ecuaţii binome 4 Ecuaţii trinome 5 Ecuaţii bipătrate 6 Ecuaţii reciproce 6 Ecuaţii reciproce de gradul III 9 Ecuaţii reciproce de gradul IV 40 Ecuaţii reciproce de gradul V 4 Capitolul Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice Consideraţii metodice 4 Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu 4 Eerciţii şi probleme rezolvate 45 Bibliografie 58

61

62 Matematicaareocontribuţieînsemnatăînformareaşidezvoltarea gândiriomeneştiînzilelenoastreeadevinetotmaimultmodelul sprecareprivesccuîncredereşiinterescelelalteştinţe Teoriaecuaţilorocupăunlocimportantînmatematicăşiconstituie unsubiectatractivpentrumatematicienidetoatevârsteleprin multitudineaproblemelorceleabordează Lucrareadefaţăesteconsacratărezolvăriecuaţiloralgebrice degradsuperioreaarecascopprezentareaşiinterpretareanoţiunilor teoreticeîntr-oformăcepoatefioricândutilăînactivitateaunui profesordematematicădinînvăţământulpreuniversitar DanielaMANEA ISBN: LucrarepremiatălaConcursulNaţional decompetenţă şiperformanţă ConcursorganizatinparteneriatcuMENCŞ