Derivarea integralei şi integrarea derivatei

Transcription

1 Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R coiue pe u iervl eschis I R: că fucţi F ese o primiivă lui f, mi precis că F C (I, R) şi F = f, uci peru orice, b I f(s)s = F (b) F (). () I mo uzul, sbilire formulei () re loc î rei pşi: primul, cel mi ificil, cosă î emosr Teorem. Orice fucţie coiuă pe u iervl [, b ] R ese iegrbilă Riem pe [, b ]. I psul oi se ră că iegrl c fucţie e limi superioră ese o primiivă iegrului: Teorem 2. Fie I fix rbirr. Dcă f ese coiuă pe I, uci fucţi Φ : I R ă e Φ() = f(s)s, (2) ese bie efiiă peru orice I, ese erivbilă şi peru orice I. Jusificre. Peru orice I vem Φ () = lim h 0 h ( +h f(s)s Φ () = f(), (3) ) f(s)s = lim h 0 h +h f(s)s. Di eorem e meie peru iegrl Riem uei fucţii coiue rezulă că peru orice h 0 exisă τ h îre şi + h sfel îcâ +h f(s)s = f(τ h )( + h ) = f(τ h )h şi, pri urmre, ţiâ co e coiuie lui f, Φ () = lim h 0 f(τ h ) = f(). Observţie. Fucţi Φ ese primiiv lui f cre sisfce coiţi Φ( ) = 0. I sfârşi, l psul rei sbilim formul Leibiz-Newo sfel: fie F o primiivă fucţiei coiue f. Fixăm u I şi folosim fucţi Φ efiiă e (2). Di (F Φ) = f f = 0 urmeză că F = Φ + c, ue c ese o cosă, e ue obţiem F (b) F () = Φ(b) Φ() = f(s)s f(s)s = f(s)s.

2 Am emosr sfel formul Leibiz-Newo () pe cre cum o scriem îr-o formă î cre u mi pre fucţi iiţilă f. Teorem 3. Dcă F : I R ese e clsă C pe iervlul eschis I R uci (s)s = F (b) F (), (4) s peru orice, b I. Pri elimire fucţiei Φ i relţiile (2) şi (3) obţiem ieie f(s)s = f(), (5) peru orice I. Evieţiem sfel fpul că iegrre şi erivre su operţii iverse, î urmăorul ses: eriv iegrlei c fucţie e limi superioră ese chir fucţi iegră, vezi relţi (5), ir iegrl erivei uei fucţii ese eglă cu ifereţ vlorilor fucţiei î cpeele iervlului, vezi relţi (4). Să observăm că meo e clcul iegrlei efiie bză pe formul Leibiz-Newo ese vri ifiiezimlă meoei sumelor elescopice: că vem e clcul sum vom cău u şir (F i ) sfel îcâ s vem escompuere şi uci lfel scris f i = F i = F i F i, i =, 2,...,, f i = (F F 0 ) + (F 2 F ) + + (F F ) = F F 0, Exemplu. Sum f i Σ i= ( F i ) = F F 0. (6) S = poe fi clculă cu escompuere i(i + ) i(i + ) = i i + sfel ( i(i + ) = ) ( ) ( ) =

3 Am ră că peru orice. S = i(i + ) = +, (7) Alogi ire formulele (4) şi (6) u ese îâmplăore, e couce l urmăore emosrţie irecă Teoremei 3: fie s 0 = < s < < s = b o iviziue orecre iervlului [, b ]. Aplicâ eorem creşerilor fiie pe fiecre subiervl [ s i, s i ] obţiem exiseţ pucelor σ i [ s i, s i ] î cre s (σ i) = F (s i) F (s i ) = F (s i), s i s i s i peru fiecre i =, 2,...,. Sum Riem corespuzăore cesor puce iermeire evie o sumă elescopică şi poe fi clculă: Fucţi s s (σ i)(s i s i ) = F (s i ) s i s i = F (s i ) = F (b) F (). ese iegrbilă fii coiuă, exisă eci iegrl s (s)s = I R şi, eorece peru orice iviziue iervlului [, b ], oricâ e fiă, se po lege pucele iermeire sfel îcâ sum Riem corespuzăore lor să fie eglă cu F (b) F (), rezulă eglie oriă, I = F (b) F (). Demosrţi e mi sus jusifică urmăorul clcul forml î cre simplificăm cu s: b s s = = F (b) F (). Să observăm cum că şi formul (5) re u log iscre, şi ume pricipiul e sumre: sum S = f i = f + + f se clculeză pri relţi e recureţă S = S + f, =, 2,..., cu S 0 = 0, relţie cre poe fi scrisă sub form S S = f, ică (Σ i= f i ) = f. (8) 3

4 Exemplu. Să verificăm relţi preceeă peru sum (7). Avem S S = + = 2 ( 2 ) ( + ) = ( + ) = f peru orice şi S 0 = 0, e ue, l evoie, se poe rge cocluzi că propoziţi (7) ese evără peru orice N. Observţie. I cele ouă exemple e mi sus m găsi peru şirul f i = i(i+) ouă primiive iscree: şirurile F i = şi S i+ i = i, espre cre m ră i+ că F i = S i = f i, peru orice i. Să veem că ifereţ lor ese o cosă. Ir-evăr, vem peru orice i N. S i F i = i i + + i + =, Iie e îchei, să remiim şi urmăore formulă e erivre () () f(s)s = f(b()) b () f(())() (9) cre se sbileşe fore uşor: peru orice primiivă F lui f vem () () f(s)s = ( F (b()) F (()) ) = F (b()) b () F (()) () = f(b())b() f(()) (). Exemplu. Să se suieze comporre fucţiei f() = 2 s e s + s, (0) pe iervlul [ 0, + ). Rezolvre. Deorece î (0) iegrul ese fucţie coiuă ir limiele iegrlei su fucţii e clsă C, rezulă că şi f ese e clsă C pe [ 0, + ), cu f(0) = 0. Iegrâ e l l 2 iegliăţile eviee peru orice s 0, obţiem şi eci f(+ ) = 0. 0 f() 2 0 e s + s e s, s e = s e 0 peru + e2 4

5 Clculăm eriv f cu formul (9). Avem f () = e (2) e + () = 2 e e + = e (2 e ) (e 2 + 2)(e + ) e ue rezulă că f () > 0 peru [ 0, l 2), f (l 2) = 0 şi f () < 0 peru (l 2, + ). I cocluzie, pe iervlul [ 0, l 2) fucţi f ese sric crescăore e l f(0) = 0 l o vlore mximă v mx = f(l 2) upă cre, pe iervlul (l 2, + ), escreşe sric căre 0 peru +. I fil, iă vri compleă formulei (9), î czul î cre â limiele e iegrre şi b, câ şi iegrul f, epi e prmerul : () () f(, s)s = () () f (, s)s + f(, b())b () f(, ())(). () Evie că formulele (9) şi () po fi plice umi că fucţiile, b şi f sisfc coiţii e regulrie suficie e bue. 5