Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Size: px
Start display at page:

Download "Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab"

Transcription

1 Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I. Iata, Îdrumător de laborator î Matlab 7.0, Ed. ospress, Bucureşti, 009. EUATII U VARIABILE SEPARABILE O ecuaţie difereţială cu variabile separabile este de forma ude p q : a, b, cotiue, q 0. Formal dacă scriem atuci ecuaţia (4.) devie q p, d q d d p d şi admite soluţia uică defiită implicit pri egalitatea d q p Dacă a este u umar fiit şi 0 sigulară a ecuaţiei (4.). ) Rezolvaţi ecuaţia difereţială cu variabile separabile: >> =dsolve('d=**(+)','') = (4.) d. (4.) q a atuci a este o soluţie particulară sau 0 - ' -(*ep(^ + *3))/(ep(^ + *3) - )

2 Se observă că este soluţie sigulară, iar 0 este soluţie particulară (rezultă di soluţia geerală petru =0). ) Rezolvaţi problema auch: >> =dsolve('*d+=^','') = -/(ep(9 + log()) - ) Se observa că 0 este soluţie sigulară, iar este soluţie particulară (rezultă di soluţia geerală petru 9=0). Di codiţia iiţială 0. 5avem 9=-, adică rezultă soluţia particulară: >> =dsolve('*d+=^','()=0.5','') = /( + ) Observaţie. Nu pot fi rezolvate probleme auch decât î Matlab 7.0 u şi î versiuile precedete. EUATII OMOGENE Numim ecuaţie difereţială omogeă o ecuaţie de forma f,, (4.3) f fiid o fucţie cotiuă şi omogeă (de grad zero). Ecuaţiile omogee se reduc la ecuaţii cu variabile separabile folosid schimbarea de variabilă u. (4.4) Îlocuid (4.4) î ecuaţia (4.3) rezultă ecuaţia u u, adică

3 u care este o ecuatie cu variabile separabile. f, u u, 3) Să se rezolve ecuaţia difereţială omogeă: >> dsolve('d=(-)/(+)','') Warig: Eplicit solutio could ot be foud; implicit solutio retured. > I dsolve at 30 as = -/*log((^+^)/^)-ata(/)-log()- = 0 ude EUATII NEOMOGENE O ecuaţie difereţială eomogeă (liiară) este de forma p, q sut două fucţii cotiue. p q, (4.5) Propozitie. Soluţia geerală a ecuaţiei liiare (4.5) este egală cu suma ditre soluţia geerală a ecuaţiei omogee p şi soluţia particulară a ecuaţiei eomogee (care se obţie utilizîd metoda variaţiei costatelor a lui Lagrage) şi are epresia aalitică pd e q pd e d,. (4.6) 4) Să se rezolve ecuaţia difereţială eomogeă: a) e >> =dsolve('d=**+**ep(^)','') = (^+)*ep(^) b) cos, 0 >> =dsolve('*d-=^*cos()','') 3

4 = *si()+* adică EUATII DIFERENŢIALE TOTALE O ecuaţie difereţială totală este de forma:, d g, d 0 f, f, g : D. Dacă membrul stâg al ecuatiei (4.7) este difereţiala totală a fucţiei d f, d g, d atuci ecuaţia difereţială este deumită ecuaţie difereţială eactă. eactă este ca ude (4.7) : D, (4.8) Propoziţie. odiţia ecesară şi suficietă ca ecuaţia (4.7) să fie difereţială f g (4.9) Propoziţie. Soluţia geerală corespuzătoare uei ecuaţii difereţiale eacte este:,, 0 0, f t, dt g, tdt, D 0 0 (4.0) 0,. (4.) Dacă codiţia (4.9) u este îdepliită, atuci ecuatia (4.7) trebuie să fie îmulţită cu factorul itegrat, şi Eistă două cazuri: petru ca aceasta să deviă o ecuaţie difereţială eactă. azul. Dacă atuci codiţia (4.9) devie f g f g g f g g d e. (4.) azul. Dacă atuci raţioâd precum î cazul, codiţia (4.9) devie: 4

5 si f g f d e. (4.3) 5) Să se itegreze ecuaţiile difereţiale totale: a) e 4d e d 0 Rezolvâd î Matlab ecuaţia difereţială propusă, distigem următorii paşi. Pasul. Verificăm dacă ecuaţia dacă este o ecuaţie difereţială totală eactă. >> sms t 0 0 >>f=*ep(*)-4**; >> g=*ep(*)-*^; >> d=diff(f,); >> d=diff(g,); >> d==d as = Pasul. Deoarece ecuaţia este o ecuaţie difereţială totală eactă, putem aplica formula (4.) petru a determia soluţia sa. >> phi=it(subs(subs(f,,t),,0),t,0,)+it(subs(g,,t),t,0,)- phi = -ep(0*0)+*0*0^+ep(*)-*^*- b) d d 0 Pasul. Verificăm dacă ecuaţia dacă este o ecuaţie difereţială totală eactă. >> sms t 0 0 >> f=*(+*); >> g=-; >> d=diff(f,); >> d=diff(g,); >> d==d 5

6 as = 0 Pasul. Deoarece ecuaţia u este o ecuaţie difereţială totală eactă trebuie să determiăm factorul itegrat cu (4.3), >> phi=simple((diff(f,)-diff(g,))/(-f)) phi = -/ >> miu=ep(it(phi,)) miu = /^ Pasul 3. Putem aplica formula (4.) petru a determia soluţia ecuaţiei. >> Phi=it(subs(subs(f*miu,,t),,0),t,0,)+it(subs(g*miu,,t),t,0,)- Phi = /*^-/*0^+/0*(-0)+*(-+0)//0- >> Phi=simple(Phi); >> Phi Phi = /*^-/*0^-/0*0+/- Ecuaţia difereţială de forma EUATII BERNOULLI p q (4.7) costituie ecuaţia lui Beroulli, p, q fiid fucţii cotiue. Dacă 0 ecuaţia (4.7) devie o ecuaţie difereţială eomogeă; ecuaţia (4.7) devie o ecuaţie difereţială cu variabile separabile. Altfel, adică petru \ 0,, folosid schimbarea de fucţie z, (4.8) ecuaţia (4.7) se reduce la o ecuaţie difereţială liiară eomogeă. 6) Să se itegreze ec. Beroulli: 6

7 4. >> =dsolve('*^*d-4**=^','()=', ) = -*^/(-3) O ecuaţie difereţială, care este de forma reprezită ecuaţia lui Riccati, EUATII RIATI q r p Dacă se cuoaşte o soluţie particulară p, q, r fiid fucţii cotiue. p a sa, atuci folosid substituţia (4.9) p (4.0) z ecuaţia (4.0) devie o ecuaţie difereţială liiară (eomogeă) î z. 7) Să se itegreze ecuaţia de tip Riccati:, 0, p >> =dsolve('*d=^-(*+)*+^+*','') = + /(4* + ) O ecuaţie difereţială de forma EUATII LAGRANGE B A, A, B fiid două fucţii cotiue costituie o ecuaţie Lagrage. Notâd ecuaţia (4.8) devie (4.8) d p p d pd (4.9) d 7

8 p p A B ; pri difereţiere obţiem: pd A pd A p Bpd p, adică rezultă Dacă p A p. 0 p A pd A p Bp d p. d d p A p p A p B p p A p o ecuaţie difereţială eomogeă, avâd soluţia geerală: A e p p A p A d p p e p A p d p B p, p A p d p. Di (4.0) şi (4.) deducem că soluţia geerală a ecuaţiei Lagrage este: A p. A p A e p p A p A p d p e p A p d p B p p A p d p Bp. (4.0) (4.) (4.) p se aulează pe itrevalul comu de defiiţie al fucţiilor A şi B, atuci vom ota cu p soluţia ecuaţiei p A p 0 căreia îi corespude soluţia ecuaţiei Lagrage p B (4.) A p. (4.4) Ecuaţia Lagrage admite drepte de forma (4.4) ca soluţii sigulare. 8) Rezolvaţi ecuaţia Lagrage:

9 >> =simplif(dsolve('-=(4/9)*d^-(8/7)*d^3','')) = - 4/7 4 + (-(4 - )^3)^(/) 4 - (-(4 - )^3)^(/) O ecuaţie difereţială de forma EUAŢII LAIRAUT B, B fiid o fucţie cotiuă reprezită o ecuaţie lairaut. Notâd ecuaţia (4.5) devie pri difereţiere obţiem: adică Dacă p p p B ; p pd pd d p B d p, Bpd p 0. (4.5) (4.6) 9

10 . d p 0 p ; atuci di (4.6) obţiem B, (4.7) ecuaţie care reprezită o familie de drepte î pla şi costituie soluţia geerală a ecuaţiei lairaut.. Bp Bp 0 ; obţiem soluţia sigulară a ecuaţiei lairaut: p p pb B. 9) Rezolvaţi ecuaţia lairaut: 4. >> =dsolve('=*d-4*(d)^','') = ^/6 3* - 4*3^ (4.8) O ecuaţie difereţială de forma EUATII OMOGENE U OEFIIENTI ONSTANTI a a a 0. a0 (4.9) 0

11 ude 0 sut costate reale, a 0 0 se umeşte ecuaţie difereţială liiară a, a,, a omogeă de ordiul, cu coeficieţi costaţi. Soluţiile ecuaţiei difereţiale (4.9) depid de tipul rădăciilor ecuaţiei caracteristice. ude P 0 P, a a 0 a a reprezită poliomul caracteristic ataşat ecuaţiei difereţiale liiară omogeă de ordiul, cu coeficieţi costaţi di (4.9). azul. osiderăm mai îtâi cazul câd rădăciile ecuaţiei caracteristice sut reale şi aalizăm pe râd subcazul câd rădăciile sut disticte şi apoi cazul câd ecuaţia caracteristică are şi rădăcii multiple. a) Presupuem că ecuaţia caracteristică are toate rădăciile reale disticte,,. Solutia geerala a ecuatiei (4.9) este de forma e e e. (4.30) b) Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcia reală, multiplă, de ordiul p, p atuci solutia geerala a ecuatiei (4.9) este de forma p e e p e ; (4.) c) Ecuaţia caracteristică are k rădăcii reale,, k cu ordiele de multiplicitate ude p,, p k, p p k. Soluţia geerală a ecuaţiei (4.9) este de forma Q e Q e Q e k p p pk, este u poliom de grad cel mult p i. p i (4.) Qp i p i (4.3) azul. Presupuem că rădăciile ecuaţiei caracteristice sut complee şi aalizăm pe râd subcazul câd rădăciile sut disticte şi apoi cazul câd ecuaţia caracteristică are şi rădăcii multiple.

12 a) Presupuem că ecuaţia caracteristică are toate rădăciile complee disticte; rezultă că ele sut două câte două comple-cojugate. Soluţia geerală a ecuaţiei (4.9) va fi: ude, i i, e e i, cos si e e k sut costate arbitrare. cos e si e k k k k cos si, k k (4.4) b) Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcia compleă i multiplă, de ordiul p rezultă că soluţia geerală a ecuaţiei difereţiale va fi: cos p cos e e p e cos si p si e e p e si. c) Ecuaţia caracteristică are rădăciile complee (4.5) cu multiplicitatile p,, p j i j j i j p p j., ude Soluţia geerală a ecuaţiei difereţiale (4.9) va fi: cos p j j p j j (4.6) si R S e R cos S si e j, ude p j p j p j R este u poliom de grad cel mult p j, p j p j p j S este u poliom de grad cel mult p j. azul 3. Presupuem că ecuaţia caracteristică are: o radaciile reale,, j, cu multiplicitatile p,, p j si o radaciile complee j i jl l il

13 cu multiplicitatile p j,, p j l, ude p p p p j j jl. Solutia geerala a ecuatiei (4.9) va fi: j i l pi p j k k p j k si k, (4.7) k i Q e e k R cos S ude Qp i este u poliom de grad cel mult p i si are epresia (4.3), p Rp k c c c j p k este u poliom de grad cel mult p k, k p S k p j k c c c p k este u poliom de grad cel mult p k. 0) Să se determie soluţia geerală a următoarelor ecuaţii difereţiale omogee cu coeficieţi costaţi: a) 0 >> =dsolve('d=','') = *ep()+*ep(-) b) >> =dsolve('d4+5*d+4*=0','') = *si()+*cos()+3*si(*)+4*cos(*) ude O ecuaţie difereţială de forma a, a,, a EUATII NEOMOGENE U OEFIIENTI ONSTANTI a a a f a0, 0 sut costate reale, 0 0 a iar I f 0 (4.8) : este o fucţie cotiuă pe u iterval I se umeşte ecuaţie difereţială eomogeă de ordiul cu coeficieţi costaţi. Soluţia geerală a acestei ecuaţii este suma ditre soluţia geerală a ecuaţiei omogee asociate şi o soluţie particulară (oarecare) a ecuaţiei eomogee; deci 3

14 4 p o. Î cazul câd f este o fucţie oarecare, petru determiarea uei soluţii particulare a ecuaţiei eomogee se utilizează metoda variaţiei costatelor (sau metoda costatelor variabile) a lui Lagrage; soluţia particulară a ecuaţiei eomogee poate fi găsită sub forma p, ude,, reprezită soluţia sistemului algebric, liiar, de ecuaţii, cu ecuoscute, eomoge: a f Observaţie. Dacă ordiul ecuaţiei difereţiale eomogee este mare, atuci calculele petru determiarea soluţiei particulare devi laborioase, deoarece sistemul care rezultă pri aplicarea metodei variaţiei costatelor are ecuaţii, şi fucţii ecuoscute. Î cazul câd f are o formă particulară se utilizează metoda coeficieţilor edetermiaţi (sau a idetificării). Distigem următoarele situaţii: Situatia. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma cost f. a) Daca 0 0 u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p a. (4.9) b) Daca 0 este rădăciă multiplă de ordiul m m a ecuaţiei caracteristice atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma

15 Q m t este P m t a p m. (4.0) m! am Situatia. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) are forma ude o costata. a) Daca 0 f e, u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p e. (4.) P b) Daca este rădăciă multiplă de ordiul m a ecuaţiei caracteristice atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma ude p m e. (4.) m P Situatia 3. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma f P m este u poliom de gadul m. Pm, a) Daca 0 u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma ude p Qm, Q m este u poliom de acelaşi grad ca şi determiă pri idetificare, puâd codiţia ca b) Daca 0 este rădăciă multiplă de ordiul r r ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma ude (4.3) P m, ai cărui coeficieţi se p să verifice ecuaţia eomogeă. r p Qm, Q m este u poliom de acelaşi grad ca şi P m. ecuaţiei caracteristice atuci Situatia 4. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma f e Pm. (4.4) 5

16 Q m t i p t P m t a ude a) Daca u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p e Qm, Q m este u poliom de acelaşi grad ca şi determiă pri idetificare, puâd codiţia ca eomogeă. (4.5) P m, ai cărui coeficieţi se p di (4.5) să verifice ecuaţia b) Daca este rădăciă multiplă de ordiul r ecuaţiei caracteristice, atuci r ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p r e Pm. Situatia 5. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma a) Daca i f M cos N si. difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma (4.6) u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia p Acos Bsi. b) Daca i este rădăciă multiplă de ordiul m a m atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p m Acos Bsi. Situatia 6. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma f e P cos Q m m si. (4.7) ecuaţiei caracteristice, (4.8) a) Daca i u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p e R cos S m m si. b) Daca i este rădăciă multiplă de ordiul r atuci ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma p r e R cos S m m si. Situatia 7. Membrul drept al ecuaţiei difereţiale (4.8) este de forma (4.9) r a ecuaţiei caracteristice, (4.30) 6

17 f i pi t t f i t cu cu f i de forma di situaţiile - 6. f f f k, Î acest caz, ecuaţia difereţială (4.8) are o soluţie particulară de forma pi corespuzător lui p f i. p pk, (4.3) ) Să se determie soluţia geerală a următoarelor ecuaţii difereţiale eomogee cu coeficieţi costaţi: a) >> =dsolve('d-5*d+6*=6*^-0*+','') = ep(3*)*+ep(*)*+^ b) 6 cos 0si >> =dsolve('d+d-6*=*cos(*)-0*si(*)','') = ep(-3*)*+ep(*)*+si(*) c) 3 3 e, 0 >> =dsolve('d3-3*d+3*d-=ep()*sqrt()','') = 8/05*^(7/)*ep()+*ep()+*ep()*+3*ep()*^ d) si >> =dsolve('d=+si()','') = /6*^3-si()+*+ e) l, 0 >> =dsolve('d3=l()','') = /6*^3*log()-/36*^3+/*^*+*+3 7

18 EUATII EULER O ecuaţie difereţială liiară eomogeă de ordi superior cu coeficieţi variabili se poate reduce la o ecuaţie cu coeficieţi costaţi, umită ecuaţia lui Euler: a a a a f 0, (4.5) cu a i, i 0,, iar f o fucţie cotiuă. Ecuaţia lui Euler se reduce la o ecuaţie cu coeficieţi costaţi pri schimbarea variabilei idepedete e, 0. t ) Să se itegereze ecuaţiile difereţiale Euler următoare a) 6l >> =dsolve('^*d-*d+=6**log()','') = *+log()**+log()^3* b) >> =dsolve('*d3+d=+','') = /*^3+*log()*-*+/*^+*+3 c) >> =dsolve('(3*+)^*d+7*(3*+)*d=-63*+8','') = -/4*/(3*+)^(4/3)+5*log((3*+)^(/3))-3*+ d) 0 >> =dsolve('d3*(-)-d=0','()=','d()=','d()=','') = 5/6+/6*(-)^3+/* 8

19 Temă. Rezolvaţi ecuaţia difereţială cu variabile separabile: a) 0 b). Să se itegreze ecuaţia difereţială totală: 3 d d Să se rezolve ecuaţiile difereţiale omogee şi reductibile la omogee: a) b) 3 3 c). 4. Să se rezolve ecuaţia difereţială eomogeă: a) 4 e b) tg cos. 5. Să se rezolve ecuaţia difereţială de tip Beroulli: a) b) 3, 0, Să se itegreze ecuaţia difereţială de tip Riccati: a) b) Să se determie soluţia geerală a următoarelor ecuaţii difereţiale omogee cu coeficieţi costaţi: 9

20 a) 0 b) c) d) Să se determie soluţia geerală a următoarelor ecuaţii difereţiale eomogee cu coeficieţi costaţi: a) 3 e b) c) d) e) cos e 7. 6 e Să se itegereze ecuaţiile difereţiale Euler următoare: a) sil 3 b) 3. 0

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode

More information

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008.

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008. Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe:

More information

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Derivarea integralei şi integrarea derivatei

Derivarea integralei şi integrarea derivatei Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R

More information

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ Curs 9 Teorema Limiă Cerală 9 Teorema Limiă Cerală 9 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee,

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;

More information

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi Iegalităţi de tip Chebyshev-Grüss petru operatorii Berstei-Euler-Jacobi arxiv:1506.08166v1 [math.ca] 26 Ju 2015 Heier Goska, Maria-Daiela Rusu, Elea-Doria Stăilă Abstract The classical form of Grüss iequality

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Engineering Analysis ( & ) Lec(7) CH 2 Higher Order Linear ODEs

Engineering Analysis ( & ) Lec(7) CH 2 Higher Order Linear ODEs Philadelphia Uiversit/Facult of Egieerig Commuicatio ad Electroics Egieerig Egieerig Aalsis (6500 & 6300) Higher Order Liear ODEs Istructor: Eg. Nada khatib Email: khatib@philadelphia.edu.jo Higher order

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2 LUCRAREA r. 5: Aaliza î domiul timp a lmtlor uui sim d rglar automată. Simul d ordiul. Scopul lucrării S va fac aaliza comportării î timp a simului liiar d ordiul pri dtrmiara variaţii mărimii d işir a

More information

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M.

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala Mehediți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. Nr.6-06 REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ NR. 6 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii DORINA ISAR ÎMUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN SISTEMELE DE TELECOMUNICAŢII Teză de doctorat Coducător ştiiţific

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

Matematici speciale Seminar 12

Matematici speciale Seminar 12 Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A.

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9 UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA

More information

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor MINISTERUL EDUCTIEI, CERCETRII, TINERETULUI SI SPORTULUI UNIVERSITTE TEHNIC DE CONSTRUCTII BUCURESTI FCULTTE DE INGINERIE INSTLTIILOR TEZ DE DOCTORT Cotributii la implemetarea maagemetului fiabilitatii

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

UTILIZAREA METODEI NUCLEELOR DEGENERATE MODIFICATĂ LA REZOLVAREA APROXIMATIVĂ A ECUAŢIILOR INTEGRALE LINIARE DE TIP FREDHOLM

UTILIZAREA METODEI NUCLEELOR DEGENERATE MODIFICATĂ LA REZOLVAREA APROXIMATIVĂ A ECUAŢIILOR INTEGRALE LINIARE DE TIP FREDHOLM UTILIZRE METODEI NULEELOR DEGENERTE MODIFITĂ L REZOLVRE PROXIMTIVĂ EUŢIILOR INTEGRLE LINIRE DE TIP FREDHOLM Mr S II dr Vse ăruţşu strct I ths rtce we propose ppromto method or Fredhom er ter equto souto

More information

Lucrarea de laborator nr. 11

Lucrarea de laborator nr. 11 Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM

SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM UPB Sci Bull, Series A, Vol 7, No 3, 8 ISSN 3-77 SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM Cǎli Alexe MUREŞAN Mai îtâi vo itroduce Teorea lui Jese şi uele coseciţe ale sale petru deteriarea uǎrului

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan.

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan. LUCRARE DE LICENTA Aplicatie grafica petru cotrolul uui pedul dublu eliiar Absolvet Alexadru Stefa Coordoator Asist.Ig. Dr. Valeti Taasa Bucuresti, 2013 Cupris: 1 Capitolul 1: Itroducere... 4 Capitolul

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 Separarea rădăcnlor Ecuaţe algebrcă dacă ( este polnom Ecuaţa transcendentă în caz contrar ( = Rădăcnă apromatvă valoare ξ apropată de valoarea eactă ξ Denţ neechvalente:

More information

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I Raport de Cercetare Grat: CNCSIS 57 Tema Autori: Georgeta Budura, Coria Botoca Uiversitatea: Politeica Timioara APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE INTRODUCERE.

More information

Linear Differential Equations of Higher Order Basic Theory: Initial-Value Problems d y d y dy

Linear Differential Equations of Higher Order Basic Theory: Initial-Value Problems d y d y dy Liear Differetial Equatios of Higher Order Basic Theory: Iitial-Value Problems d y d y dy Solve: a( ) + a ( )... a ( ) a0( ) y g( ) + + + = d d d ( ) Subject to: y( 0) = y0, y ( 0) = y,..., y ( 0) = y

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Topic 5 [434 marks] (i) Find the range of values of n for which. (ii) Write down the value of x dx in terms of n, when it does exist.

Topic 5 [434 marks] (i) Find the range of values of n for which. (ii) Write down the value of x dx in terms of n, when it does exist. Topic 5 [44 marks] 1a (i) Fid the rage of values of for which eists 1 Write dow the value of i terms of 1, whe it does eist Fid the solutio to the differetial equatio 1b give that y = 1 whe = π (cos si

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

ON SOLVING A FORMAL HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION IN THE COMPLEX FIELD

ON SOLVING A FORMAL HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION IN THE COMPLEX FIELD A. Şt. Uiv. Ovidius Costaţa Vol. (), 003, 69 78 ON SOLVING A FORMAL HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION IN THE COMPLEX FIELD Nicolae Popoviciu To Professor Silviu Sburla, at his 60 s aiversary Abstract

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI Publicaţie periodică a lucrărilor prezetate de elevi la CONCURSUL NAŢIONAL Matematică ştiiţă şi limbă uiversală Ediţia a VIII-a

More information

IIT JAM Mathematical Statistics (MS) 2006 SECTION A

IIT JAM Mathematical Statistics (MS) 2006 SECTION A IIT JAM Mathematical Statistics (MS) 6 SECTION A. If a > for ad lim a / L >, the which of the followig series is ot coverget? (a) (b) (c) (d) (d) = = a = a = a a + / a lim a a / + = lim a / a / + = lim

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Most text will write ordinary derivatives using either Leibniz notation 2 3. y + 5y= e and y y. xx tt t

Most text will write ordinary derivatives using either Leibniz notation 2 3. y + 5y= e and y y. xx tt t Itroductio to Differetial Equatios Defiitios ad Termiolog Differetial Equatio: A equatio cotaiig the derivatives of oe or more depedet variables, with respect to oe or more idepedet variables, is said

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

A Bernstein-Stancu type operator which preserves e 2

A Bernstein-Stancu type operator which preserves e 2 A. Şt. Uiv. Ovidius Costaţa Vol. 7), 009, 45 5 A Berstei-Stacu type operator which preserves e Igrid OANCEA Abstract I this paper we costruct a Berstei-Stacu type operator followig a J.P.Kig model. Itroductio

More information

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare Elemete de teoria erorilor si icertitudiilor Calcule statistice si modele de aproximare Să măsurăm ce se poate măsura şi să facem măsurabil ceea ce u se poate măsura îcă. Galileo Galilei. Itroducere î

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

2. Fourier Series, Fourier Integrals and Fourier Transforms

2. Fourier Series, Fourier Integrals and Fourier Transforms Mathematics IV -. Fourier Series, Fourier Itegrals ad Fourier Trasforms The Fourier series are used for the aalysis of the periodic pheomea, which ofte appear i physics ad egieerig. The Fourier itegrals

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

ECE-S352 Introduction to Digital Signal Processing Lecture 3A Direct Solution of Difference Equations

ECE-S352 Introduction to Digital Signal Processing Lecture 3A Direct Solution of Difference Equations ECE-S352 Itroductio to Digital Sigal Processig Lecture 3A Direct Solutio of Differece Equatios Discrete Time Systems Described by Differece Equatios Uit impulse (sample) respose h() of a DT system allows

More information

ON THE LAGRANGE COMPLEX INTERPOLATION

ON THE LAGRANGE COMPLEX INTERPOLATION U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 72, Iss. 2, 200 ISSN 223-7027 ON HE LAGRANGE COMPLEX INERPOLAION Adria NEAGOE I lucrare prez uele rezultate legate de erpolarea Lagrage î domeiul complex ( cor. prop.

More information

ENGI 9420 Engineering Analysis Assignment 3 Solutions

ENGI 9420 Engineering Analysis Assignment 3 Solutions ENGI 9 Egieerig Aalysis Assigmet Solutios Fall [Series solutio of ODEs, matri algebra; umerical methods; Chapters, ad ]. Fid a power series solutio about =, as far as the term i 7, to the ordiary differetial

More information

The kernel associated with a measures H-cone M

The kernel associated with a measures H-cone M The kerel associated with a measures H-coe M D. Mărgiea, "Petru Maior" Uiversity of Tg. Mureş Abstract I this paper we defie a proper kerel associated with a σ-fiite measures H-coe M ad we show that this

More information

Circular Functions (Trigonometry)

Circular Functions (Trigonometry) Circular Fuctios (Trigoometry) Circular fuctios Revisio Where do si cos ad ta come from? Uit circle (of radius ) cos is the coordiate si is the y coordiate si ta cos all are measures of legth. Remember

More information

Chapter 2: Numerical Methods

Chapter 2: Numerical Methods Chapter : Numerical Methods. Some Numerical Methods for st Order ODEs I this sectio, a summar of essetial features of umerical methods related to solutios of ordiar differetial equatios is give. I geeral,

More information

x x x Using a second Taylor polynomial with remainder, find the best constant C so that for x 0,

x x x Using a second Taylor polynomial with remainder, find the best constant C so that for x 0, Math Activity 9( Due with Fial Eam) Usig first ad secod Taylor polyomials with remaider, show that for, 8 Usig a secod Taylor polyomial with remaider, fid the best costat C so that for, C 9 The th Derivative

More information

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable

More information

D 1. drd. ing.cristian Mieilă, prof. dr. ing Tudor Căsăndroiu - UPB

D 1. drd. ing.cristian Mieilă, prof. dr. ing Tudor Căsăndroiu - UPB ASPECTS REGARDING INFLUENCE OF GEOMETRICAL SHAPE OF ORIFICES ABOUT SEEDS GRAVIMETRIC FLOW RATE / ASPECTE PRIVIND INFLUENŢA FORMEI GEOMETRICE A ORIFICIILOR ASUPRA DEBITULUI DE CURGERE GRAVIMETRIC AL SEMINŢELOR

More information

The Jordan Normal Form: A General Approach to Solving Homogeneous Linear Systems. Mike Raugh. March 20, 2005

The Jordan Normal Form: A General Approach to Solving Homogeneous Linear Systems. Mike Raugh. March 20, 2005 The Jorda Normal Form: A Geeral Approach to Solvig Homogeeous Liear Sstems Mike Raugh March 2, 25 What are we doig here? I this ote, we describe the Jorda ormal form of a matrix ad show how it ma be used

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage)

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) Clustering 0. 1. Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) CMU, 2012 fall, Tom Mitchell, Ziv Bar-Joseph, HW4, pr. 2.a extended by Liviu

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information