Spoštovani, Vabimo vas tudi na razstavo posvečeno matematiku in umetniku Slaviku Jablanu in na sodelovanje na natečaju Matheme:

Transcription

1 Logika & razvedrilna matematika Spoštovani, Pred vami je prva številka. letnika revije L&M. Kot ponavadi, je največji poudarek na nalogah, ki so primerne za tekmovanje iz razvedrilne matematike, logike in tekmovanje Matemček. Sicer pa je logično sklepanje pomembno pri vseh tekmovanjih iz znanja, njihov koledar pa najdete na strani Zavoda za šolstvo S: Tekmovalce opozarjamo tudi na zbirke nalog, ki so brezplačno na voljo na spletu: Vabimo vas tudi na razstavo posvečeno matematiku in umetniku Slaviku Jablanu in na sodelovanje na natečaju Matheme: vropske zveze za matematiko in umetnosti (uropean Society for Mathematics and the rts: ), vsake tri leta organizira mednarodno konferenco s področja prepletanja matematike in umetnosti. Tretja konferenca bo septembra 0 v Ljubljani. Strokovna predavanja, javna predavanja (o M.. scherju, Picassojeva Guernica, od acha do eethovna), razstave matematične umetnosti Lokalna organizatorja sta: Fakulteta za matematiko in fiziko in Mathema, Zavod za popularizacijo matematike. Vabljeni. Stran konference:

2 Logika & razvedrilna matematika arvni sudoku V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil..

3 Logika & razvedrilna matematika.

4 Logika & razvedrilna matematika Latinski kvadrati V n n kvadratkov moraš vpisati začetne črke,,, tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu nastopalo vseh n črk.

5 Logika & razvedrilna matematika Sudoku s črkami V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

6 Logika & razvedrilna matematika Futoshiki V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije. µ= µ= < -= += += < += -= < += += += += += += < += += += < -= += -= < -= += += += := < -= += µ= µ= += := < -= < += -= -= < < -= < -= -= < < -= < -= -= -= := < < -= := < -= := < < µ= -= -= -= -= < -= += < := < < -= < -= += µ=

7 Logika & razvedrilna matematika deči kvadratki Naloga reševalca je, da poišče vse skrite rdeče kvadratke in jih označi z. Pri tem veljata naslednji pravili: a) Vsako število v preglednici pove, koliko sosednjih kvadratkov je rdečih. Kvadratek je soseden kvadratku, če imata skupno stranico. b) Kvadratki s številkami niso rdeči

8 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen, srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le nekaj prvih lastnosti. ano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost ( za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, umen pomeni, da je lik rumen, ali sestavljeni, na primer, Velik Moder pomeni, da je lik velik in moder; Petkotnik Tanek, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek; ebel Oranžen pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; ; "Tanek fl umen" pomeni: če je lik tanek, potem je rumen; "Moder ñ Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik). Trikotnik Majhen Velik Moder fl Oranžen Majhen Petkotnik Trikotnik fl Moder N N oblika velikost barva Petkotnik Trikotnik Trikotnik Velik Kvadrat fl Trikotnik N N oblika velikost Velik fl Petkotnik Velik fl Kvadrat Kvadrat fl Velik N oblika velikost Srednji Majhen Í Oranžen Kvadrat fi umen Oranžen fl Trikotnik N oblika velikost barva

9 oloči razpored Logika & razvedrilna matematika J LVO O. J LVO O. J SOS O. N J LVO O. J SNO O. J SOS O. N N J SOS O. J SNO O. J SNO O. N J SOS O. J SNO O. J SOS O. J LVO O. N N N J SOS O. J SOS O. J SOS O. J LVO O. J LVO O. N N J SNO O. J SOS O. J LVO O. J SNO O. J SNO O. J LVO O. N N N N J LVO O. J SOS O. J SNO O. J LVO O. J LVO O. N N N J SNO O. J SNO O. N J SNO O. J LVO O. J SNO O. N J SOS O. N

10 0 Logika & razvedrilna matematika Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo zaporedju števil pod njim.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

11 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne

12 Logika & razvedrilna matematika Križni produkti Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do tako, da bo zmnožek števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zač etku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne Labirint na kocki Poveži točki na kocki:

13 Logika & razvedrilna matematika

14 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih Poveži točki na poliedru:

15 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi 0

16 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi a) b) Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta stranici pripadali istemu robu poliedra?

17 Logika & razvedrilna matematika?? 0???? 0?? 0?? 0 0?? 0???? 0?? 0???????? 0?? 0??

18 Logika & razvedrilna matematika b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta oglišči pripadali istemu oglišču poliedra???????????????????????????????

19 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na robovih poliedra V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od modre do oranžne točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima zelena črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra..

20 0 Logika & razvedrilna matematika.

21 Labirinti na zemljevidu. Logika & razvedrilna matematika..

22 Logika & razvedrilna matematika Večdelni labirinti na zemljevidu...

23 Odstranjene kocke Logika & razvedrilna matematika an je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?

24 Logika & razvedrilna matematika Kocki določi mrežo Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.

25 Labirint v kvadru Logika & razvedrilna matematika Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja. Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan belo. Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili tako, da oddelek s smeškom označiš z, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa z številom, večjim za. Ã Ã Ã Ã

26 Logika & razvedrilna matematika Labirint na iemannovi ploskvi Imamo več listov, ki jih razlikujemo po zaporedni številki od leve proti desni. Vsak list ima obliko podkve, sredina pa je razrez. Vsi kvadratki enega lista so povezani, prehod med njimi pa nam prepreči odebeljena črta. Kako je s prehajanjem z nekega lista na drugega? To so prehodi po horizontali. ecimo, da smo se znašli na desnem zgornjem kvadratku četrtega lista. Oznaka sosednjega pravokotnika je - to pomeni, da lahko nadaljujemo na levem zgornjem kvadratku drugega lista. Tak prehod pa ni možen, če je med kvadratkom in sosednim pravokotnikom odebeljena črta. Poiskati moramo pot od črne do sive pike.

27 Pri barvnem labirintu so listi označeni z barvami. Logika & razvedrilna matematika

28 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na ploskvah Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).

29 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na projekcijah teles Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosedne mejne ploskve.

30 0 Logika & razvedrilna matematika oloči razpored črk oloči razpored črk. Pogoji so dani s tabelo. V spodnjo preglednico vpiši rešitev, v desno pa vse rešitve, kjer določen pogoj ni izpolnjen, drugi pa so. Če je premalo prostora za vpis v preglednico, nadaljuj vpis v isti vrstici......

31 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na mreži valja in stožca..

32 Logika & razvedrilna matematika.....

33 Nagradna logična naloga Logika & razvedrilna matematika Tri prijateljice (Mija, Pika, va) imajo konje (Tornado, King, Pongo), ki so različnih pasem (poni, arabec, rjavec) in so iz različnih krajev (Kranj, Ljubljana, Lendava). Za vsako določi ime, konja, pasmo konja in kraj bivanja.. vin konj je Pongo.. Tornado ni iz Kranja.. javec ni iz Ljubljane.. Poni ni iz Ljubljane.. King ni rjavec.. Pika ni doma iz Lendave.. javec ni iz Lendave.. Tornado ni arabec. ešitev nagradne uganke pošljite do.0.0 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik, s pripisom»nagradna uganka«. Naslednji reševalci nagradne uganke iz. številke bodo prejeli poševno prizmo:.o.., ILISK ISTI, L.., PM, U.J. in.s., OŠ ŠMJ-SP, T.Ž., NOVO MSTO.

34 Logika & razvedrilna matematika Kalejdoskopi Običajni kalejdoskop je valjasta igrača, ki ima tri ogledala, vzporedna z osjo. Med ogledali so delci obarvanega stekla. Ko se svetloba odbija od ogledal, dobimo zanimive simetrične oblike (slika spodaj). Kalejdoskopi so zanimivi tudi z matematičnega stališča. Zrcaljenje je preslikava, ki točki priredi točko, ki leži na pravokotnici iz točke na ravnino zrcaljenja in je enako oddaljena od ravnine kot, le da je na nasprotni strani ravnine. Če imamo dve zrcali na razdalji d, ki sta vzporedni, in je os x pravokotna na zrcali, bo vtis, kot da imamo neskončno mnogo zrcal postavljenih v osi x. Če pa se ravnini zrcaljenja sekata, na primer po osi z, in je kot med njima π/n, bodo slike točke, ki je na simetrali ravnin, oglišča pravilnega n-kotnika. Če nadaljujemo zadnji primer tako, da dodamo zrcalno ravnino z=0 (xy-ravnino), bodo slike točke oglišča pravilne n-kotne prizme. V splošnem primeru, ko se ravnine zrcaljenja sekajo v eni točki, so vse slike neke izbrane točke med zrcali, ki je oddaljena od presečišča za d, na sferi z radiem d. V poštev pridejo le kot oblike π/k. Veljati mora /m+/n+/p>. ešitve te diofantske enačbe so:,, k;,,;,, ;,,. obili bomo oglišča poliedra prizmatične, tetraedrske, oktaedrske in ikozaedrske simetrije. V teh primerih ogledala izrežemo kot krožne izseke.

35 Logika & razvedrilna matematika Lahko pa so vse tri ravnine zrcaljenje vzporedne (na primer osi z). Prečni presek so trikotniki. V poštev pridejo koti kot prej, le veljati mora /m+/n+/p=. ešitve so:,, ;,, ;,,. Trikotniki parketirajo ravnino. Število slik je zdaj neskončno. Zrcaljenje teh trikotnikov je enako njihovemu vrtenju okoli stranic. Zgornji sliki prikazujeta odprt polieder in njegovo mrežo za tretji primer. Primer šestih zrcal, razporejenih v kvadrasti obliki (pri tem je kvader dimenzij x x ). Seveda pa moramo narediti še odprtino za opazovanje. Zglede za štiri zrcala, postavljena v obliki nepravilnega četverca, dobimo iz zgornjega kvadra:

36 Logika & razvedrilna matematika Seveda moramo tudi tokrat izrezati odprtino (slika spodaj). Zglede s petimi zrcali dobimo iz prizem s trikotno osnovo (sliki zgoraj). Navodila za izdelavo. Kovinsko samolepilno folijo kupimo na oddelkih za tapete v ustreznih trgovinah. Mreže prenesemo iz demonstracij (potrebujemo brezplačni Wolfram F-Player) v program za pripravo besedila. Ker folija ni ravna, jo čez noč damo pod težjo knjigo. Natisnemo mrežo, jo približno izrežemo in izrežemo ustrezen del folije. Odstranimo prvo zaščitno prevleko in nalepimo ostanek na mrežo, tako da so robovi mreže vidni. Nato natančno obrežemo robove in prepognemo mrežo (še prej po robovih potegnemo s praznim kemičnim svinčnikom). Odstranimo še drugi zaščitni sloj in zlepimo s selotejpom mrežo v polieder. Ker folija ni povsem ravna, pred dokončnim lepljenjem naredimo še strani poliedra iz kartona in jih nalepimo z lepilom na ustrezna mesta. Pri kalejdoskopih z odprtino mora le-ta biti dovolj velika, da lahko skozi njo potisnemo žarnico na baterijo. Na mesto papirnatih mrež lahko uporabimo tudi ploščice Polydron, vendar z njimi ni možno tvoriti majhnih kotov. Nekaj slik: kalejdoskopi iz folije, ploščic Polydron in kockast kalejdoskop pri Mathemi.

37 Logika & razvedrilna matematika eference: [] I. Hafner, "Kaleidoscope with One Horizontal and Two Vertical Mirrors" Wolfram emonstrations Project Published: May, 0 [] Izidor Hafner "Making Kaleidoscopes" Wolfram emonstrations Project Published: June, 0 [] Izidor Hafner "omponents and Nets of egular Polyhedra" Wolfram emonstrations Project Published: June, 0 [] I. Hafner, "Two Types of Kaleidoscopes" Wolfram emonstrations Project Poslano v objavo. [] W.W.. all, H.S.M. oxeter, Mathematical ecreation and ssays, over Pub., New York,

38 Logika & razvedrilna matematika vklidov algoritem in reševanje diofantske enačbe ax + by = c V tem sestavku bomo našteli spoznanja o reševanju diafantske enačbe ax + by = c z vklidovim algoritmom, za katerega smo izdelali demonstracijo v sistemu mathematica. a b načba: ax+by Ha, bl g Prikaži dva koraka pokaživeč k orak ov algoritma = + = + = + = + = + 0 = a b = a+b = a b = a+b c 0 pokaži rešitve Največji skupni delitelj: na rešitev x, y<, < Vse rešitve x, y< k, k< načba: ax+by 0 ešitev: x, y< k, k< načba: ax+by c ešitev: x, y< k 0, k< Poiskati moramo največji skupni delitelj števil a in b (a >b) to je (a, b), v našem zgledu (, ). Zapišemo = + ( je količnik pri deljenju z, pa je ostanek), = a - b. Zdaj enako naredimo z in, to je z b in ostankom (glej zgled). Ostanke sproti izrazimo z a in b. Ko na koncu dobimo ostanek 0, je predzadnji ostanek enak največjemu skupnemu delitelju števil a in b. Hkrati smo našli, da je le-ta = -a + b in smo tako našli eno rešitev diofantske enačbe x + y =. V posebnem primeru, ko je b delitelj števila a, je kar b = (a, b). ešujemo mbx + by = b, mx + y =. na rešitev te enačbe je (0, ). Vse rešitve pa so (k, - km), kjer je k poljubno celo število. Sicer pa velja: Izrek : Vzemimo, da sta a in b neničelni celi števili in da je g = (a, b). Potem ima enačba ax + by = g vedno rešitev (x, y) med celimi števili, ki jo dobimo z vklidovim algoritmom. Splošno rešitev (vse rešitve) dobimo s formulo (x+kb/g, y- ka/g), kjer je k poljubno celo število. Izrek : Homogena diofantska linearna enačba ax + by = 0 ima splošno rešitev (kb/g, -ka/g). Izrek : iofantska enačba ax + by = c nima rešitve, če c ni deljiv z g. Če pa je c = ng, potem je splošna rešitev te enačbe (nx+kb/g, ny- ka/g), kjer je (x, y) rešitev enačbe ax + by = g. okaz: a(nx + kb/g) + b(ny ka/g) = n(ax + by) + akb/g - bka/g = ng = c.

39 Logika & razvedrilna matematika Naloga: Primerjaj reševanje diofantske enačbe z vklidovim algoritmom in ulerjevo metodo. V prvem primeru rešujemo enačbo x +y =, v drugem pa x+y= a b Prikaži dva koraka pokaži več korakov algoritma c 0 pokaži rešitve načba: ax+by Ha, bl g = + = + = + = + = + = + 0 = a b = a+b = a b = a+b = a b Največji skupni delitelj: na rešitev x, y<, < Vse rešitve x, y< k +, k < načba: ax+by 0 ešitev: x, y< k, k< načba: ax+by c ešitev: x, y< k +0, k 0< Postopek Postopek a b c prikažikorake prikažirešitev eši enačbo x+ y. x+ y= x - y+ H H- yll z H- yl y+ H zl = y -z + H H- zll s H- zl z + H sl = z -s + H H- sll t H- sl s + H tl = s -t+ H H- tll u H- tl t+ H ul = t -u+ H -u -u L v u+ H vl = u - v ešitev: u= - v t= -+ v s = - v z = -+ v y= - v x= -+ v

40 0 Logika & razvedrilna matematika obimo enako rešitev, le parametra v in k sta nasprotna. Število korakov je enako. Pri izboljšani ulerjevi metodi dobimo: Postopek Postopek a b c prikažikorake prikažirešitev eši enačbo x+ y. x+ y= x - y+ H H y+ LL z H y+ L - y+ H zl = y z + H H- z - LL s H- z - L - z + H- sl = z - s - + H -s -s L t -s + H- tl = - s - t ešitev: s = - t z = -+ t y= -+ t x= - t ešitev je podana z drugačno parametrizacijo: Pri prvem postopku: x = - + v, y = v; pri drugem x = t, y = - +t. Zveza med parametroma je t = -v. Nalogi. eši diofantske enačbe a) x + y =, x + y = 0, x + y =, b) x + y =, x +y = 0, x + y =.

41 Logika & razvedrilna matematika ešitve: a b Prikažidvakoraka pokaživeč korak ov algoritma c pokažirešitve načba: ax+by Ha, bl g = + = + = + = + 0 = a b = a+b = a 0b Največji skupni delitelj: na rešitev x, y<, 0< Vse rešitve x, y< k +, k 0< načba: ax+by 0 ešitev: x, y< k, k< načba: ax+by c ešitev: x, y< k +, k 0< a b načba: ax+by Ha, bl g Prikažidvakoraka pokaživeč korak ov algoritma c pokažirešitve Največji skupni delitelj: na rešitev x, y< 0, < Vse rešitve x, y< k, k< načba: ax+by 0 ešitev: x, y< k, k< načba: ax+by c ešitev: načba nima rešitve. Sledi program v mathematici, ki generira in reši 00 diofantskih enačb ax +by = c, s slučajno izbranimi koeficienti.

42 Logika & razvedrilna matematika aa={}; o[a=andominteger[{,}]; b=andominteger[{,a-}]; c=andominteger[{0,}]; eq=a x+b y==c; res=educe[eq,{x,y},integers]; ",If[res===False,"protislovna ->"s"},{,}]]}] ;ppendto[aa,resitev],{i,,00}]; gr=grid[partition[aa,],frame->ll,lignment->left] x +y, x s, y s< x +y 0, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +0y, protislovna enačba x +y, x s+, y s 0< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, x s+0, y s < x +y, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, x s, y s< 0x +y, protislovna enačba x +y, x s, y s< x +y, protislovna enačba 0x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y 0, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, protislovna enačba x +y 0, x s, y s< 0x +y, protislovna enačba x +y, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < 0x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +0y, x s+, y s < x +y, x s, y s< 0x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s 0< x +y 0, x s, y s< 0x +y, x s+0, y 0s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+0, y s < x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s 0< x +y, x s+, y s < 0x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, protislovna enačba x +y, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y 0, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s 0< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < 0x +y, x s+, y 0s < x +y, x s+, y s < x +y 0, x s, y s< 0x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < x +y, x s+, y s < 0x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < x +y, x s, y s< x +y, protislovna enačba x +y, x s+, y s < eferenca: J. Grasselli, Osnove teorije števil, Mladinska knjiga, Ljubljana, str. -.

43 Logika & razvedrilna matematika Uniformni poliedri Janeza Lesjaka Janez Lesjak je bil prvi slovenski izdelovalec uniformnih poliedrov. Na slikah je devet njegovih izdelkov. ojen je bil 0. marca v Novem mestu, diplomiral je iz fizike oktobra - teoretično diplomsko delo, kar ga je napotilo k računalnikom. Za poliedre se je zanimal že v študentskih letih, razstavljene pa je začel izdelovati leta, še predno je zvedel za Wennigerjevo knjigo *. Za poliedre, ki niso prirezani ("snub", zavrnjen), lahko vse konstruiramo samo s šestilom in ravnilom. Za prirezane poliedre pa je moral seveda vse izračunati z računalnikom, še posebej zato, ker so načrti v knjigi nenatančni in premajhni. Naredil je skoraj vse, koliko natančno se ne spominja, razen enega ali dveh prirezanih. Za razstavljeni velik prirezani polieder je porabil nekaj čez mesece, vmes pa je imel enotedensko prekinitev z orožnimi vajami. Še kar se programa tiče: napisan je bil v algolu, žal se ni ohranil. Imel je dve fazi, najprej izračun ogliščnega prereza z bisekcijo in nato rotacije okoli posameznih stranskih ploskev in izračun vseh prebodišč robov z drugimi stranskimi ploskvami. Vidnost delov robov in ploskvic je ugotavljal peš po slikah. Poliedri so razstavljeni v vitrini FMF, Jadranska, Ljubljana. * M. J. Wenninger, Polyhedron Models, ambridge University Press,.

44 Logika & razvedrilna matematika Neodvisnost pogojev obro definirana naloga je naloga, ki ima enolično rešitev, pogoji naloge pa so potrebni in zadostni za njeno rešitev. To pomeni, da noben pogoj ni odveč. V logiki bi temu rekli, da so pogoji zadostni in neodvisni. Zdaj pa se bomo ukvarjali z nalogami, ki imajo enolično rešitev in neodvisne pogoje. Potrebno bo pokazati, da so pogoji neodvisni. To pomeni, da ima naloga, ki sestoji iz negacije nekega pogoja, pri tem ostali pogoji ostanejo nespremenjeni, tudi rešitev. Poiskati moramo imena likov,,, ki so označeni z,,, če so izpolnjeni pogoji. Nato pa poiskati imena likov, kadar določen pogoj ni izpolnjen.. Lik ni bel.. Lik je nad. N.. li je lik petkotnik ali je lik kvadrat.. li je lik petkotnik ali je lik bel.. Lik je bel in lik je bel. N

45 Logika & razvedrilna matematika.. Lik je kvadrat. N. Lik je kvadrat,če in samoče je lik pod. N. li je lik bel ali je lik desno od... Lik je siv. N. Lik je bel,če in samoče je lik levo od. N. Lik je kvadrat in lik je nad. N. li je lik petkotnik ali je lik nad. N.. Lik je kvadrat. N. Lik je levo od.. li je lik kvadrat ali je lik bel.. Lik je petkotnik,če in samoče je lik bel.. Lik je siv ali je lik desno od.

46 Logika & razvedrilna matematika Vrtavka komplementarnih barv Krog razdelimo na enake krožne izseke in dva nasprotna obarvamo z rdečo barvo -G(,0,0), druga dva pa s komplementarno barvo - G(0,,). Pri hitrem vrtenju takšnega kroga dobimo bel krog. nako velja za vsak krog, ki je obarvan na isti način z neko barvo in njeno komplementarno barvo. Seveda bo to veljalo, če je krog dobro osvetljen, na primer s sončno svetlobo, in so tiskarske barve resnično prave. Sicer bo krog obarvan z eno barvo, ki se nekoliko razlikuje od bele. Zdaj vzamemo Mercatorjevo vrtavko isney Frozen in med oba krožna dela vstavimo krog, v katerem smo izrezali majhen + na sredini, da ga lahko nataknemo na držalo vrtavke. Vrtavka se bo lepo vrtela in poskrbela za lep fizikalen eksperiment.

47 Logika & razvedrilna matematika ešitve arvni sudoku.

48 Logika & razvedrilna matematika.

49 Logika & razvedrilna matematika Latinski kvadrati

50 Logika & razvedrilna matematika 0 Sudoku s črkami

51 Logika & razvedrilna matematika Futošiki µ= µ= += < += += < -= < -= := < -= -= -= < < -= < := < -= -= < < -= < += -= += += < += -= += += += µ= < < -= < < -= -= -= := < -= < := < -= -= += < += += += += -= < += += := µ= += += < -= -= -= := < < -= µ= -= -= += < += µ=

52 Logika & razvedrilna matematika deči kvadratki

53 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Trikotnik Majhen Velik oblika Trikotnik Moder fl Oranžen N velikost Velik Majhen Petkotnik N barva Moder Trikotnik fl Moder Petkotnik Trikotnik Trikotnik Velik Kvadrat fl Trikotnik N N oblika velikost Kvadrat Velik Velik fl Petkotnik Velik fl Kvadrat Kvadrat fl Velik N oblika velikost Petkotnik Velik Srednji Majhen Í Oranžen Kvadrat fi umen Oranžen fl Trikotnik N oblika velikost barva Trikotnik Srednji Oranžen azpored znakov

54 Logika & razvedrilna matematika Gobelini,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

55 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote

56 Logika & razvedrilna matematika Križni produkti

57 Logika & razvedrilna matematika Labirint na kocki

58 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih

59 Logika & razvedrilna matematika Grupe Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti: {,,,,,,,,,,,,,,, 0, } (Prva sličica na desni ustreza. sličici na levi.) Linearne grupe: a) {,,,,,, }, {,,,,,, }} b) {,,,,,, }, {,,,,,, } Prostorska predstavljivost a) b)

60 0 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na robovih poliedra.,,, <,, < 0,,,,,, < 0 0,,, < 0 0,,,,,, <,,,, <

61 Logika & razvedrilna matematika. 0,,,,,, < 0 0 0,,,,, 0,, < 0,,,,, <, 0,,,,,, < 0 0 0,,,,, <,,,,, <

62 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na zemljevidu ,

63 Logika & razvedrilna matematika Večdelni labirinti na zemljevidu

64 Logika & razvedrilna matematika Labirint v kvadru

65 Logika & razvedrilna matematika Labirint na eimannovi ploskvi

66 Logika & razvedrilna matematika

67 Logika & razvedrilna matematika Labirint na ploskvah

68 Logika & razvedrilna matematika Labirint na projekcijah teles

69 Logika & razvedrilna matematika oloči razpored črk...

70 0 Logika & razvedrilna matematika.. Labirinti na mreži valja in stožca. 0 0

71 Logika & razvedrilna matematika

72 Logika & razvedrilna matematika Neodvisnost pogojev.....

73 Logika & razvedrilna matematika Odstranjene kockice 0 Kocki določi mrežo,,,,,. Izdaja: Založniško podjetje LOGIK d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik. Poslovni račun pri NL: avčna številka: SI0. Podjetje je zavezanec za V po zakonu o V. Za izdajatelja: Izidor Hafner. -mail: logika@siol.net. Spletna stran: evija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo. Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner ( Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in arjo Felda, prof. ecenzent: Vilko omajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša emšar, dr. Gregor olinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, oštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. leš Vavpetič. Oblikovanje: na Hafner Jezikovni pregled: esana Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev. 0 LOGIK d.o.o. ISSN 0-X LOGIK & ZVILN MTMTIK, letnik XXVI, št. od, 0/0 lektronska izdaja. ena revije: 0.