IN MEMORIAM CONSTANTIN APOSTOL ( )

Transcription

1

2

3 - IN MEMORIAM - ACEST NUMĂR ESTE DEDICAT ÎN AMINTIREA DOMNULUI PROFESOR CONSTANTIN APOSTOL IN MEMORIAM CONSTANTIN APOSTOL ( 9-6 ) Neuli Siu (l sâg), Cosi Aposol (l ijlo), Mri Siio (l drep) Cosi Aposol și Neuli Siu

4 - IN MEMORIAM - Cosi Aposol fos u o l ăriei de rer și l hrului didi A fos eorul i ulor geerții de profesori și elevi A fos profesorul re i- fău uoșiță u revisele: Gze Meiă, Revis de Meiă di Tiișor și Rereții Meie A fos ispeor și direor de șolă A fos u o u și îțelegăor re u jude și ii u fos supăr iiodă pe iei și vu respe fță de oți ei pe re i- îâli: U o î devăr u e ui el re r fi puu fi rău și - fos (Niole Iorg) Îi vor lipsi shiurile de idei săpăâle u dl profesor Cosi Aposol; uli oversție vuă fos âd l- felii peru prole, Olipid Județeă de Meiă, ls VI-, 6 și peru o proleă di lis sură, ls VIII-, Olipid Nțiolă de Meiă, 6 Prof Neuli Siu Câev eleee re jusifiă profilul șiițifi l profesorului Cosi Aposol A puli î pri revisă de eiă județului Buzău Muă și Tle Pigor urăorele riole: Oservții privid diviziilie vlorilor uerie le polioelor î r, Mi 97; Asupr riughiurilor re u două luri respeiv egle și ughiurile uprise îre ele î r, Seperie 97 Î period fuțio î Zir Î Gze Meiă puli riolul Coureț liilor ipore îr-u riughi A puli î Gze Meiă prolee î speil de geoerie sieiă; uele dire ele fiid srâse îr-o ulegere iiulă Preoupări Meie ediă l Criov î 996 A priip l oursurile orgize de filile le SSMR, u elevi, ude propus prolee A priip și susțiu Olipidele de Meiă l epele lole, județee și țiole ude propus prolee A olor l RMT și Rereții Meie u prolee și riole Și- dedi o uă pre di viță iviății de olorre l diverse revise pri prolee iedie de eiă Prof Cosi Rusu Elev fiid i ii `7-`8 și lurâd di Gze Meiă îâli des fruose prolee see: Cosi Aposol, R Săr Apoi sor fău, pese âțiv i, să fi veii, poi olegi de elrie și olegi î Soiee de Meiă A orgiz îpreuă ule ediții le Sperțelor Râiee, u ule prolee see Cosi Aposol Îâlirile și disuțiile u Co eru devăre uurii le spiriului U o geeros, u sufle ld, g oriâd să jue Dispriți doiei sle ese o pierdere gre peru ei și îvățăâul râie Adio Doule Profesor Cosi Aposol! Prof Cosiă Ario Uul dire ei i deoseiți profesori uzoiei pri lie s uă, rezulelor elevilor săi, ivelului ridi de profesiolis î o ee e făe, prezeței sle ose l oe opeițiile și iviățile județee și țiole de eiă â și pri og s oșeire eiă dr i les peru odesi și dăruire s olă ăre oți ei re-i ereu juorul e fe să fi âdri ă uosu u o â de vloros Fără sprijiul său, revis Slipire Miții u r fi puu păre șdr, oi prieeii și disipolii săi îi sue profud reuosăori păsrâdu-l veși î sufleul osru Prof Adri S

5 - ISTORIA MATEMATICII - Nuărul ese priipiul oriărei diesiui, oriărei roii, oriărei proprieăți, oriărei spirții; ese lege uiversului orgiz Eiee de Seour (77-86) Isori Meiii O sură isorie uerelor Prelure di re Meiă peru ls IX- Adri S Ediur Edigrph Buzău 6 Au ir îhr, î del Nilului di Egip, populțiile ășișe u dezvol u sise de sriere u sioluri uie hieroglife Doriă eesiății de uoșe suesiue feoeelor osferie și srooie, egipeii u reliz ledre lure și solre Nuerele egipee eru reprezee pri sioluri diferie pleâd de l l și poi peru,, e, oe elelle eru srise î fuție de ese Au răs elere desoperirile ppirusului Rhid su el l sriului Ahes (-8 îe) ude su prezee ediile rieie, geoerie, roie, forule peru rii, eode de îulțiri, îpărțiri, lule u frții Sriere ueiforă o regăsi î Bilo, vehiul Ir, o î eși periodă Aii, î Mesopoi îre ele două râuri Tigru și Eufr s- dezvol proil e i vehe ivilizție, e sueriă De l siseul lor de uerție î z 6 e- răs eprire ipului î 6 de seude iuul, și 6 de iue or Îepâd u ul 85 rheologii u desoperi pese de ălițe di rgilă srise î ueifore, pe u di ele fiid desoperiă o proire uărului u ii zeile Siolurile pe re le foloseu roii peru uere proveeu de l ivilizți erusă pe re o siilseră urșii Roei îepâd u se 5 îe și pâă î se îhr Greii foloseu peru uere, lierele de l lfe,,,,,,, e, și poi peru uliplii lui,,, e Peru uere u două ifree ei foloseu două liere, peru uere u rei ifre foloseu rei liere Cu u veu fore ule liere î lfe ei i foloseu o serie de sioluri l drep lierie peru ră ă uărul se ulipliă Toe uerele veu o ră desupr peru se fe deoseire dire uvie și uere Meiieii grei i Aihiății u leg sudiul eiii de eesiățile prie le ipurilor lor: ăsurre îălțiii piridelor folosid lugie urelor lor, deerire disței dire două pue iesiile, lulul riei uor suprfețe eregule, prolee de ăsurăori și rsforări, e

6 - ISTORIA MATEMATICII - Cei i ri gâdiori și reprezeți i șolii șiițifie greeși u fos: Thles di Mile, Pigor di Sos, Plo, Arisoel, Eudous, Eulid, Erosee di Cyree, Arhiede di Siruz, Hero di Aledri, Poleeu, Pppos di Aledri; Pe isripțiile udise de u de i îhr desoperie î Vle Idusului, s-u desoperi oțiile peru uere seăăore u ele rsise de ăre episopul reși siri Severus Seoh ( ) re răi î Mesopoi î ii 65 Meiiul hiez Liu Hui uilizâd poligoe regule u u uăr fore re de luri reușeșe să deerie vlore eă u ii zeile uărului pi,,59 De seee, el uilizeză o eodă de proire soluțiilor uei euții, eodă e ve să fie desoperiă ul i ârziu de el re îi poră uele: eod lui Horer ([],p5) Meiiul idi Brhgup ( ) irodus î 68 prir-o lurre de s ( Deshidere Uiversului ), ifr zero și d reguli de lul riei folosie ulerior l oservțiile srooie pe re le- oioriz, fiid oduăorul Oservorului srooi di Uijji El uoşe lulul u frţii, rțiolizre uiorilor frțiilor şi și și odul de rezolvre uor euţii, l lulului rădăiii păre şi l uor prolee de srooie și su desrise operțiile de dure și sădere u uere egive Î plus, se uoșe ă de l el provie forul de rezolvre euției de grdul l doile,,, srise î uvie fără folosi siolurile ule Î ul 766, re lui Brhgup er dej rdusă î ră și se găse î posesi lifului Au J fr Adllh i Muhd l-msur (7-775) di Bgdd, re îfiițse o șolă eleră de srooie și șiițe Meiiul și srooul pers l- Khwrizi (ir 85), re îvățse l șol lifului l- Msur, rdue ule di eele idiee î ră, ir pri lurre s O he Clulio wih Hidu Nuerls ese el re proov iroduere siseului î z de uerție hidus, î lue riă Mi ârziu, lurre s fos rdusă î liă, dâd Europei î 976, i preis î Spi re er su oupție ră, u sise de uerție ul i ușor de folosi Aes luru odus iițil l u ofli îre susțiăorii lui, uiți lgoriși de l uele eiiului l-khwrizii și ei ălugări uiți iși, re foloseu siseul ro de sriere ir peru lul foloseu ul ([], p8) De ee, iroduere pe le lrgă siseului de uerție ido-r îârzi el puți 5 de i Alți ri oei de șiiță ri u fos Au Kil (85-9) re rezolv euții lgerie de grd el ul 8, Au l-wf Buzji (9-998) re irodus defiiți geei, Al Birui (97-8) re osideră peru pri dă erul rigooeri de rză, și de seee găsi regulile de lul u sue de pueri și sriere regulii de rei siplă, Or Khyy (8- ), preoup de geoeri liiă și eeulidiă preu și de găsire soluțiilor euțiilor uie Myșii, ir 6 îe foloseu u sise î re eis și siolul peru ifr Deși ifr zero se găse î geerl î ulur poporelor Aeriii de Sud, u se poe spue ă iflueț deosei dezvolre eiii Deși l Khwrizi irodus zero î lue riă, deuire de zero provie de l eiiul veeți Lu Pioli (5-5), re l- folosi î eele sle, pleâd de l uvâul r zephiru, peru deui ifr Leordo Piso (zis și Fioi) (7-5) pe âd er dor u ăi, ălăori u ăl său re er egusor, î ordul Afriii și lu sfel o u sriere ră Nu pese ul ip, s- dedi eiii ir î pri lurre s Lier Ai ve să fă și el uosu siseul de sriere u ifre re pe re-l v proov: Cele ouă sioluri idiee su 9, 8, 7, 6, 5,,,, Cu ese ouă și u seul, orie uăr poe fi sris, (pud [], p ) Nuerele urle u fos priele uere folosie ăi pueu repreze oiee di ură Deși eiieii luii ie îțelegeu oepul de ifii, el i re uăr posiil, de i î 655 ese irodus pri siolul de ăre Joh Wllis î re s De seioius oiis ([], p 6)

7 - ISTORIA MATEMATICII - Nuerele egive u păru l îepu pri uvie su pri diverse sioluri reprezeâd dorii, eperuri egive, e, îă di se îe, î re hieză Jizhg sushu ( The Chpers o he Mheil Ar ) su îr-u usris idi dâd di se l VII-le De i î 89, Johes Wid(6-98) pri re s Merile Arihei ( Ariei oerilă ) irodue î Europ siolul peru uere egive â și el peru plus +, seifiâd de fp surplusul(+) și defiiul (-) î proleele eooie Epresii le frțiilor zeile s-u desoperi î Vle Idusului pe o serie de oiee rheologie dâd di ileiul doi îhr ir î lue ră, priul e răs re oție frțiile zeile prți lui Au l Hs l Uqlidisi (9-98) Mi ârziu î se, u juorul frțiilor zeile eiiul iri I l-mghrii dedue vlore proiivă uerelor irțiole Î Europ, priele îerări de folosire frțiilor zeile s-u reliz î 9 l Freso Pellos și î 5 l Chrisoff Rudolff Cel re ve să fie redi u iroduere lulului u frții zeile fos Sio Sevi(58-5) î 585 u o oție de for reprezeâd î fp uărul,75 Frois Viee (5-6) foloseșe o lă eodă de srie frțiile zeile u juorul uei re verile re sepr îregii de zeile Ai î 6, gerul Brholoeus Piisus (56-6) sepr îregii de zeilă prir-u pu ir iliul Giovi Mgii (555-67) foloseșe virgul, peru es luru Ree Desres (596-65) folosi peru pri dă ul sriere puerilor, și irodus siseul de oordoe XOY de reprezere puelor î pl Î seolul 8 Leohrd Euler (77-78) irodue oți i u propriee i, sfel iroduâd o ouă lsă de uere, uie uere oplee Î 85, Louis Brille irodue lfeul re-i poră uele, lfeul Brille peru ei u defiiețe de vedere Siseul de iire ese for di liere srise u juorul uor pue re ies î relief și po fi siție u juorul degeelor, peru fiere lieră și uăr eisâd u se diferi oțiu pri oire elor șse pue fle pe o rie de ipul u, diă rei liii și două oloe Dezvolre eleroiii și ehiii de lul fău posiilă dezvolre uui lij ifori z pe sriere î z doi u juorul ărei oe uerele, lierele și siolurile se rsforă î sevețe de uiăți de iforții, sfel u oe su ye ese for di 8 ăsuțe uie iți- ele i ii uiăți de iforție re iu ui vlorile su Igierul eri de origie geră Werer Buhholz ese el re irodue î 956 ereul de ye î ip e lur l opi IBM Cu ipul, u i păru și le sioluri și sisee de uerție Î 976, Dold Kus irodue siolul peru irodue ridire l puere Asfel,, C eeplu, 6 U sise de uerție verl l- dezvol Jie Redi î 99 Asfel, es sise s- dori să fie ul i iuiiv și ușor de folosi C eeplu, uărul 58 se poe srie sfel: MT58 de l uviele M = ilio (illio) ir T= zei de ii (housd) Așdr, uerele și operțiile u ele u uosu u plu proes de elorre și defiiivre lor, uoșițele u reu de l o geerție l l, de l o ivilizție l l, de l u oie l lul doriă shiurilor oerile, ierferării ulurilor doriă răzoielor și uor oei de șiiță eepțioli re sudiu di i ule doeii, de l poliiă și filozofie pâă l uziă și re, de l eiă și șiițe î geerl pâă l uoșere i ulor lii srăie Biliogrfie: Adri S O sură isorie eii Ediur Edigrph Buzău 5 Ae Rooey The Sory of Mheis Arurus Pulishig Liied Lodo Prof Lieul Teh Cosi Neițesu Buzău

8 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Șiiț u-i deâ o igie devărului Fris Bo ( 56 66) Ariole si oe eie Asupr uei iegliăţi lui Cosi Ioesu-Ţiu DM Băieţu-Giurgiu, Buureşi, Mrius Drăg, Buureşi şi Neuli Siu, Buzău Î Revis Meiă şi Fiziă (RMF), Aul VI, r 5/95, pg 8, fos propusă prole: 87 Să se re ă îr-u riughi orere ve:, (CIŢ) R Î RMF, Aul VII, r /95 l pg - se preziă urăore soluţie: Cosideră ieglie uosuă y z y yz z, re se i poe srie ( y z) ( y yz z), su îă y z y yz z Dă î uli ieglie fe:, y, z ve p, îsă R r Rr Rezulă ui ă R Î ele e ureză e propue să prezeă o soluţie i sură şi uele geerlizări Soluţi sură pe re o prezeă se zeză pe folosire iegliăţii lui Hrld Bergsrö ( se vede []) Meţioă ă ieglie lui Hrld Bergsrö fos puliă î ul 99 ir siuţi poliiă luii di period rede ă fău î ş fel îâ î ul 95 să u fie uosuă de olororii RMF Pue fir ă şi u i ulţi olorori i Gzeei Meie (GM) spu ă esă ieglie ese ieglie C-B-S de ip frţie su lţii îi zi ieglie (C-S) Ieglie lui Hrld Bergsrö ese o ieglie disiă de ieglie C-B-S dr ele două iegliăţi su ehivlee ( se vede [] şi []) ( ) 9 Pri urre, ofor iegliăţii lui Bergsrö ve:, () p Dr ofor uei iegliăţi lui DS Miriović, ve: p R, (M) 9 9 Di () şi (M) dedue ă, qed p R R Geerlizre Dă, y,, y *, ui ( ), () ( y) ( y) ( y) ( y) R Deosrţie Cofor iegliăţii lui J Rdo ve ( ) W yli( y) ( y) ( ) ( y) yli p ( y), ()

9 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - ( ) Di iegliăţile () şi (M) dedue ă W, qed ( y) ( ) ( y) R Eglie ve dă şi ui dă riughiul ese ehilerl Oservţie Dă, y, ui di () se oţie ieglie (CIŢ) * Geerlizre Dă,, y R, y R ir A A A, ese u poligo ove îsris î erul C( O, R) vâd lurile de lugii,,, ui, ude y, () ( ) ( y) R si Deosrţie Cofor iegliţii lui J Rdo, ve ( ) de ori W, (5), ( y ) p ( y) ( y y ( ) ( ) ) ude p ese seiperierul poligoului d Cofor propoziţiei de l pg 6 di [5]: Dă A A A, ese u poligo ove îsris î erul C( O, R) de seiperieru p re lo (o geerlizre iegliăţii lui DS Miriović), diă: p Rsi, (DM) Di iegliăţile (5) şi (DM) oţie ă W, ude ( y ) ( y) R si ( y) R si, qed Ave eglie î (5) dă şi ui dă poligoul A A A ese regul ( ) OservţieDă,ui W, ( y ) ( y) R ( y) R diă oţiu ieglie () Geerlizre Dă R, ui ( ), (6) R Deosrţi Ave ( ) ( ) ( ) Rdo W yli ( ) ( ) ( ) yli Rdo ( ), (7) ( ) Dr, RS şi S (Gordo) şi ui di (7) rezulă Deosrţi W (RS ) W ( S) ( ) ( ) R ( ) R, qed Rdo AM GM yli AM GM

10 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - ) ( ) ( GM AM p, (8) Di (M) şi (8) rezulă ) ( ) ( R R W, qed Deosrţi ) ( GM AM RS W ) ( Miriovi Euler R R R Rp Rpr, qed Oservţie Dă, ui di (6) oţie ieglie (CIŢ) Eglie ve dă şi ui dă riughiul ese ehilerl Ale rezule: F Leueerger deosr ieglie r (O Boe e ll, Geoeri Iequliies, Groige, 969) Hug (99), propus urăore proleă deshisă: Găsiţi e i re osă sfel îâ r R Shi, S (99), deosreză r R Che, J (99), dovedeşe r R Che, Q (996), ră r R Î, î Jourl of Iequliies d Appliios ( Spriger Ope Jourl) Sh-He Wu şi Yu-Mig Chu u oţiu e i uă osă ; ie u deosr ă r R O lă eodă de oţie ele i ue ose peru iegliăţi î riughi ese prezeă î [] Biliogrfie: [] DM Băieţu-Giurgiu, N Siu, Ls desigulddes de Cuhy-Buiovsi-Shwrz y de Bergsrö so equivlees e idepediees, Revis Esolr de l Olipíd Ieroeri de Meái, Núero 9 (julio goso ) [] DM Băieţu-Giurgiu, N Siu, L sufiiei de l equivlei e idepedei de ls desigulddes de Cuhy-Buiowsi-Shwrz y de Bergsrö, Revis Esolr de l Olipíd Ieroeri de Meái, Núero 5 ( Sepierie - Myo ) [] H Bergsrö, A rigle iequliy for ries, i: De Elfe Sdivise Meierogress, CiyTrodhei, 99, Joh Grud Tus Forlg, 5-8, CiypleOslo, 95 [] T Bîrs, M Drăg, N Siu,O eodă de rfire uor iegliăţi geoerie, Rereţii Meie, Nr, Iurie_Iuie, 6, 9- [5] N Bişoă, Tee opleere de geoerie, Ediur Bălgrd, Al Iuli, 998

11 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Modele pliive peru lulul priiivelor uor fuții u juorul forulei de iegrre pri părți - V - Ele și Cosi Cioîă, Făliei Lurre oiuă erilul puli î uerele reue privid eode de lul l priievelor uilizâd iegrre pri părți Î drul odelului V) ve âev ipuri de iegrle: P,, i, Aui, Fie Psi, i d P si d,, ' si, u u, ude u: D fuţie derivilă u deriv oiuă * u ' u u d D D si si d, P P si ;, R,, i * *, i,, N ' 5 PP si Pd; ' 6 P P si Pd; ' 7 P P si Pd,, Eeriții propuse: si d, ; si, ; ' ' u usi ud, D u D u ude u: D fuţie oiuă u deriv oiuă l sil d;, * * 5 Psi si si d, P ;, R,, i R, i,, N ' 6 PP si Pd; p p p 7 p si p d,, p, Rezolvre: ) si d, f ' si f sidos g ' g Apliă ( fip): Rezolvre: ; I os os d os si ) si d, f f os d Apliă ( fip): I os os d K os d Rezolvre: ' si si ' g g Noă u : ' si ' f os f os d ; g g

12 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - os si si d 9 9 os si os I I 9 7 u ' u si u d, D D u u ude u: D fuţie oiuă u deriv oiuă f ' u' si u f u' siu dos u ) ' Idiție: gug' u' ) l sil d;, Idiție: f ' l ' si l f os l ' gl g l' 5) Psi si si d, P ;, R,, Idiție: I Psi d Psi d Psi d Cosideră iegrl: I Psi d, i i i, os i f' si i f si i d ' g P g Apliă ( fip): I i i os i * R, i,, N i os ' 6) P P si Pd R,u P, R, i ; Idiție: f ' P' si P f P' si P dos P ' ' p p p 7) p si p d, g P g P Idiție: Apliă rezulul oţiu l eeplul 6): p ' p P p P p J i i, R, p N, R p p p p os p si p p p 8) P P' si Pd;, u P, i R, i, Idiție: f ' P' sipx f osp gp g' P' P Apliă forul de iegrre pri părți: ' I P os P P P os Pd Mi depre, oă u ' K P P os Pd ' ' os ' os si ' ' f P P f P P d P i i d g P g P Mi depre, pliă forul de iegrre pri părți Profesori, Colegiul Vsile Loviesu, Făliei *

13 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Asupr proleei E:956 Mri Chiriu, Pieși Î GM-B r /6 Aledru Bălărigă, sude, Buureși propus urăore proleă: 9 Fie,, uere rele Arăți ă: ( ) ( ) ( ) Vo preze o dezvolre esei iegliăți și vo propue âev pliții le esei î riughi Fie,, și uere rele Arăți ă: 8 ( ) ( ) ( ) ( )( ) Soluție: Ave: ( ) ( ) 9 9 Cu ieglie lui Bergsrȍ oție: ( ) ( ) și, ude () ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 9, re rezulă di ieglie ediilor: și Eglie re lo dă 8 8 Alog, pue oție și, ude ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Apliții le esor iegliăți î riughi Apliți Î riughiul ABC u lo iegliățile: r rr r rr 8r 9; r, rr rr r Soluție: Î orie riughi ese devără eglie: r r r r Puâd, y, z î ieglie r r r yz 9 yz 8 oție pri ieglie di pliți și folosid ( y z) ( yz) ( ) oție e de- dou ieglie Apliți Î riughiul ABC u lo iegliățile: h hh h hh 8r 9; r, hh hh r Soluție: Cu ideie: h și u preizările de l pliți oție oluzi pliției Apliți Î riughiul ABC u lo iegliățile: A B C A B C g g g g g g 9r ; 8r A B C, p A B C ( ) p g g g g g g

14 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - B C B C r A Soluție: Se foloseșe eglie g g și g g g șd p Apliți Î riughiul suțiughi ABC u lo iegliățile: g Bg Cg Ag BgC 9 ga g BgC g B gc ; g Bg Cg A g BgC 8 g A, g BgCg B gc Soluție: Se foloseșe eglie g BgC și g BgC șd Profesor, Colegiul Nțiol Zi Golesu, Pieși Soe ew iequliies Mihály Beze, Buhres I his pper we prese soe ew iequliies Theore If,,, he e d rg Proof If e ( ) f ( ) rg e d, he f ( ),, herefore ( ) e f ( ) f (), or e d rg, u g( ) rg is ove, euse g ( ) ( ) Fro Jese s iequliy yields e d rg rg, qed Corollry We hve he followig iequliies: ( )( ) e d rg ; e d rg ; 6 e Corollry If ( ) d rg A A A ; ( ) A is ove polygo, he Corollry I ll rigle ABC holds: e r e rg s d s ; e e s d d rg rg e ( ) d rg e ; R r d rg ; 5 d rg For y oher ppliios of he eore fro ove see [] A e s r Rr d rg ; Referees [] Oogo Mheil Mgzie (99-6) Profesor, Lieul Teorei Ady Adre Buureși

15 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Ivers uei rie Griel Neguțesu, Prhov Urăorul eril își propue găsire uei eode de deerire iversei uei rie esigulre * de ordi re respeă relți AA A A I și ărei forulă ese A A, ude A* se de A ueșe dju riei A Și ă A * se srie o rie rspusă, ir eleeele sle se luleză după forul ij =, ude ese deeriul oțiu di deeriul riei iițile, eliiâd lii i și olo j Î oiure voi r dor speul privid deerire riei djue peru riile de ordi si Adju uei rie de ordi Fie rie A Adju s ese A*, ude : ( ) d d, d d ( ), ( ), ( ) Dei, A* Oservă ă dju uei rie de ordi se oție shiâd eleeele de pe digol priiplă îre ele, ir eleeelor de pe digol seudră shiâdu-le seul Eeplu : Să deeriă ivers riei M = Rezolvre: Evide, de( A), M* M Adju uei rie de ordi Fie A d e f și dju s A* Apliâd forulele de lul peru g h i ei fh h i f e eleeele riei A *, oție ă A* fgdi ig d f dh eg g h e d Să îeră lă eodă : Vo lăui u lou î re vo srie eleeele riei A, d e f, g h i după re opie dedesu eleeele prielor două liii le riei, ș u proedă l lulul deeriului de ordi pri regul lui Srrus, și poi opie l drep priele două oloe le loului iițil Mi depre, sepră pri liie și pri oloă de elelle pri liii A oțiu u lou re oție liii și pru oloe Di liiile și foră rei deeriți de ordi, respeiv : e f f d d ei fh, d fgdi, h i i g d e d dh eg g h L fel, di liiile și oție rei deeriți de ordi, respeiv :

16 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - h i i g g h d hi, d5 ig, d6 gh Di liiile și oție : d f e, d df, d ed e f f d d e Deeriții, sriși pe verilă, vor d rie A *, dei A * = Eeplu : Fie rie A 6 Aui, 5 de( A) 68 ir loul di re soe deeriții d i ese ; ; ; ; ; ; ; ; Vri de lul eleeelor riei djue : Proedă siilr î vri, dr lură pe oloe Asfel, di oloele şi oție deeriții d, d şi d, di oloele şi oție deeriții d, d5 şi d6 di oloele şi oție deeriții d7, d8 şi d9 şi opleă rie A * pe orizolă A * = Pri esă eodă se po evi uele greseli, u r fi, oiere forului î lulul eleeelor, lăuire deeriților reduși, oțiuți di deeriul riei iițile Biliogrfie: hps://wwwyouueo/wh?v=osqyyp Prof, Șol Gizilă Cou Tle, Prhov

17 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Î legăură u prole G86 di Rereţii Meie r /5 Nel Cieu, Roșiori, Bău şi Ro Mihel Siu, Buzău Puul de plere l esor râduri ese: Prole (prole G86 di ReM r /5) Fie u uăr url ipr, ir A N o ulţie u eleee Să se re ă pue lege uere di ulţie A u propriee ă su lor se divide u Tiu Zvoru, Coăeşi Soluţi, păruă î r /6 l ReM, ese urăore: Srie A A i, ude Ai oţie oe eleeele lui A re du resul i l îpărţire pri i Dă el puţi o ulţie Ai ese vidă, u ( )( ), di priipiul uiei rezulă ă eisă ăr o ulţie A j re oţie el puţi eleee, luâd dire ele, su esor se divide evide u Dă oe ulţiile A i, i, su evide, lege âe u elee di fiere ulţie ( ) Su esor, odulo, ese ( ) (od ) şi u ese ipr, ese pr şi ( ) rezulă ă (od ) L Coursul Viiori Olipii di ugus 5, l ls VIII-, fos propusă urăore proleă (euţ prţil): Prole Deosrţi ă orie ulţie foră di uere urle re el puţi o suulţie u şse eleee ăror suă ese diviziilă u 6 Folosid prole oservă ă peru pue lege o suulţie u şse eleee ăror suă ese diviziilă u 6, reuie ulţie A să fie foră di (6 ) 6 uere urle Prole sugereză fpul ă uărul de eleee le ulţiii A di euţul proleei poe fi işor Î ele e ureză vo deosr urăore: Leă Fie pq, ude p q su două uere urle ipre prie îre ele Orie ulţie foră di q ( p ) ( q ) uere urle re el puţi o suulţie foră di eleee ăror suă ese diviziilă u Fie A ulţie dă Noă ( p ), ( q ) Cofor proleei, peru orie ulţie foră di uere urle pue lege q eleee ăror suă ese diviziilă u q Di ulţie,,, lege q uere u su diviziilă u q, fie ese,,, q ăror suă ese s Di ulţie q, q,, q u eleee lege uerele q, q,, q u su s diviziilă u q Alog oţie suele s, s,, s diviziile u q După legere esor sue e răâ îă eleee şi sfel pue oţie şi su s diviziilă u q Apliâd u firţi di prole peru ulţie s, s,, s oţie p eleee, de eeplu s, s,, s p ăror suă ese diviziilă u p Cu fiere ere l suei ese diviziil u q, su ese diviziilă u pq Să eeplifiă u Le îuăăţeşe rezulul di prole Peru fi siguri ă pue lege 5 uere u su diviziilă u 5, ofor proleei ve evoie de o ulţie A foră di (5 ) 97 uere urle Apliâd le, di orie ulţie A foră di 5( ) (5 ) 7 uere urle pue lege 5 uere u su diviziilă u 5

18 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Deoree q ( p ) ( q ) ( pq ) q( q )( p ), rezulă ă îr-devăr le dă o esire i uă deâ e oferiă de prole Deoree q( p ) ( q ) p( q ) ( p ) ( q p)( p )( q ), dedue ă e i oveil să lege pri dă suele diviziile u q şi poi su diviziilă u p Apliţii de ip Weyl Diel Siru, Cludi Năuți, Droe Turu- Severi, Asr: I his rile we will prese osruio odliy of soe ew proles srig fro prole (S: L6) pulished i Gze Meiă r /6 Teore H Weyl: Fie u orp ifii și Î ese odiții Corolr (Răzv Soiu): Fie ; Dă ui Corolr (Răzv Soiu): Dă ui: Deosrție: Fie Fie Rezulă S: L6: Fie sfel îâ: iversilă (Euge Rdu) Soluție: AB Arăți ă: ese Pue eide prole l o rie di : Geerlizre r : Fie sfel îâ și Î ese odiții: ese iversilă Soluție: Coiure urlă eiderii ese uprisă î: Geerlizre r : Fie sfel îâ și Î ese odiții: ese iversilă Soluție:

19 - ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE - Geerlizre r : Fie sfel îâ ; Î ese odiții: ese iversilă Soluție: Î oiure, propue iiorului să plie eleși odliăți de geerlizre peru urăorele prolee: Fie re ouă orire două âe două și ABCD O Să se re ă: (Niole Mușuroi) Soluți uorului: Fie sfel îâ Să se re ă: (Rdu Pop) Soluți uorului: Di ipoeză rezulă ă:, de ude Biliogrfie: [] Diel Siru, Mh Pheoeo, Ediur Prlel 5, Pieși, 6 [] Diel Siru, Rdu Golog, Leord Giugiu, Roi Mheil Chlleges, Ediur Prlel 5, Pieși 6 [] Diel Siru, Cludi Năuți, Di Trăilesu, Leord Giugiu, Iequliies, Ediur Eo-Pri, Dr Tr Severi, 5 [] Răzv Soiu, Teore Weyl și ideiăți riele, RMC /99 [5] Coleți Gze Meiă seri A și B [6] Coleți Didi Meiă Profesori, Colegiul Nțiol Theodor Cosesu, Droe Turu Severi, Mehediți U o de sues ese el re poe osrui o fudție solidă u ărăizile pe re lții le ruă î el Dvid Chrles Bri ( 99)

20 - PROBLEME REZOLVATE - Nu îer să flu răspusurile, dores să îțeleg îreările Cofuius ( 55-7 îhr) Prolee rezolve Îvăţăâ prir P:77 U resăor de fzi lsă oșeire elor ii fiie le sle 67 fzi, î urăorele odiții: pri fiiă prieșe o reie, dou fiiă o părie, rei fiiă o șesie, pr fiiă o opie, ir ie fiiă fzi Câți fzi u prii priele pru fiie? Adree și Mire Mrio Soi, Ard Rezolvre: 67 = 6 Noă u uărul de fzi Aui, Aui, pri fiiă prieșe 7:, dou prieșe 7: 8, rei prieșe 7: 6, pr prieșe 7:8 9 P:78 Aflți uere urle de două ifre peru re difereț dire uăr și răsurul său să fie eglă u ifr zeilor Niole Ivășhesu, Cd Rezolvre: Dă ese uărul ui ese răsurul său și + = de ude rezulă 9, 8 98 Verifire: P:79 Odă Pigor fos îre e â î ziu ee ir el răspus: pâă u â dor ere, de două ori două iii di â â f e și o u i răs ere Dă ș fi â u șpe ere i ul deâ f e u r i fi răs iiu ăr Câe ere â Pigor? Rezolvre: Adri S, Buzău Noă u 5 uărul de ere â de fă, ui Pigor â de două ori două iii di â â f diă pru iii di 5 îseâd Nuărul ol de ere ese Dă r fi â u șpe i ul deâ f, ui, repreziă uărul ol de ere pe re-l eglă u + 5+ Așdr, di = rezulă = diă f â 5 =5 ere, ir Pigor = ere

21 - PROBLEME REZOLVATE - Cls V- G:596 Deeriți ulțiile X și Y șiid ă su îdepliie siul odițiile: ) X Y 8;9;;;; ; ) X Y 8;9 ; ) X ; ; d) Y ; ; Doi Soi, Mire Mrio Soi, Ard Rezolvre: Di ) rezulă 8 X, 9 X, 8 Y, 9 Y, di ) și ) rezulă X, Y, X, Y și di ) și d) rezulă X, Y, X, Y X 8;9;;, Y 8;9;; Așdr, 6 5 G:597 Coprți uerele A și B Niole Ivășhesu, Cd 5 Rezolvre: () A 5 6 () A 6 Pri sădere egliăților () - () rezulă A B G:598 Arăți ă Doi Soi, Mire Mrio Soi, Ard Rezolvre: Cu fiere frție ese i re deâ, rezulă ă G:599 Fie ulție M ;;5;;5 Arăți ă ulție M se poe îpărți î 8 de suulții disjue două âe două, fiere oțiâd două eleee ăror suă să fie u perfe Mri Voie, Buureși Rezolvre: Fie A (;) u di suulțiile erue le lui M re respeă odițiile: Cu și su ipre ui, ** ese pr, ; 8;6;6 Fie M ;;5;;6 65;67;69;;5 Di fiere suulție se găses urăorele suulții re respeă erițele de: ;6, ;6,,,, 6 suulții peru re 65;5, 67;9,, 7,9, suulții peru re Î ol su 8 de suulții G:6 Fie, *sfel îâ 7 Arăți ă Iouț Flori Voie, Buureși Rezolvre: Evide,, ir 7 7

22 - PROBLEME REZOLVATE - G:6 Să se deerie rdilul ulţiii /, şiid ă şi su uere prie Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Relţi dă se srie ( ), de ude:,, şi u, su prie oseuive ui, ;, {,,55,77} Crdilul ulţiii de ese 5 G:6 Arăţi ă uărul A ese păr perfe Rezolvre: Nuărul A se poe srie: 5 5 ( ) A ( ) 65 oţie A 6, dei A ese u păr perfe Mri Mie, Cugir, Al, de ude după siplifiări G:6 ) Deeriţi uerele prie,, şiid ă ) Dă şi, răţi ă uărul ese uăr opus Mri Mie, Cugir, Al Rezolvre: ) Ave 5=5, dei 5=M, ir u şi 78=6=M dedue ă 86=M şi u 86M rezulă ă =M; îsă ese uăr pri, ir ui = şi oţie Pue să îpărţi eglie pri şi oţie de ude Cu 6=M ir 69==M dedue ă =M; îsă ese uăr pri, ir ui = şi oţie ee e ipliă = ) Eglie dă ese ehivleă u: de ude rezulă ă şi u rezulă ă ese uăr opus 6 G:6 Deosrți ă uărul 7, * se srie o suă de două păre perfee și o difereță de două uuri perfee Iouț Flori Voie, Buureși 6 Rezolvre: Se oservă ă G:65 pq,,, Arăți ă frțiile Rezolvre: Folosi fpul ă, d p q F și 7 F 5 p q 7 9 su ehivlee d Î zul osru, su ehivlee, orire r fi Niole Ivășhesu, Cd p q p q p 7 q 5

23 - PROBLEME REZOLVATE - Cls VI- G:66 Arăți ă uărul A!!! 5! u ese păr perfe, ude!, Niole Ivășhesu, Cd Rezolvre: Uli ifră lui! ese u (!), 5, ui, ua ( ) u(!!!!) u() Cu uli ifră lui A ese rezulă ă A u e păr perfe G:67 Cereți dă frți 8 ese ireduiilă, peru orie uăr url 5 Io Săesu, Buzău Rezolvre: Presupue ă frți se siplifiă diă eisă u el i re divizor peru uărăor și uior: Fie d 8 și d 5 8, de ude rezulă ă d Aui, d și d 6 5 d, dei d Așdr, frți ese ireduiilă G:68 Să se re ă peru orie uăr url, epresi E, ese diviziilă u 6 Mri Siio, R Săr Rezolvre: Deoree = si = oție: zerouri zerouri E + += zerouri zerouri zerouri Deoree su ifrelor esui uăr ese +++++=9 E9; î plus E deoree uliele două ifre foreză u uăr diviziil u Cu (9,)= (uerele 9 și su prie îre ele ) și 9 =6 E6 y z G:69 Dă yz,, * și y z y z ui ese u u perfe z y Niole Ivășhesu, Cd y z yz Rezolvre: Cu yz, y z, yz z y ( yz) y z zy y z Aui, 5 6 G:6 Deeriți uerele urle,, șiid ă : și = 5-7 Mri Sio, R Săr 5 6 Rezolvre: Deoree oție : de ude dedue ă Noâd u vlore ouă elor rei rpore oție =, = 5 și =6, de ude îlouid î dou relție oție + 5=5 6-7 și oție =Găsi sfel : =, = 5 și = 6

24 - PROBLEME REZOLVATE - G:6 Fie, ; 6 sfel îâ Arăți ă ( ) ( ) Î e z ve eglie? Cosi Pruru, Ro Vsile, Criov Rezolvre: Fie, u Aui, ieglie dă devie 6 ( ) ( ) : 5 ( ), ( ) 5 ( ) ( ) devără deoree Eglie peru G:6 Să se fle âe uere de for de eisă, șiid ă ese pri și ă: ( + d + e) = 5 Gheorghe Ghiță, Buzău Rezolvre: Di relți dă rezulă ă /5, diă {,5,5,,5,75} Ave siuțiile: ) =, de ude =, =, e=, e 7 ; 7, e 7 ese pri, și ui de 7d, î ol uere; ) =5 =, = 5, 5d + e = 9 Disige suzurile: ) d = e = 9 =,e=9 su =9, e=su e = = = 5; 59 su uere prie, ir 5 uăr opus, și ui i eisă uere:59 și 59; ) d = e =, =,e =, = 5, uăr pri, elelle două siuții fiid flse, rezulă ă i ve uărul 5 ; ) = 5 =, = 5, 5d + e =, de ude ui peru d = eglie ese posiilă, și ui e =, și ui oție uărul 5; ) = =, =, e = ese uăr opus, â peru = â și peru = ; 5) Dă {5, 6, 75} u oție soluții Î oluzie, se oți uere Cls VII- G:6 Fie uărul Rezolvre: A 5 (5 ) (5 ) A 5 9 Arăți ă A Mri Mie, Cugir, Al 5 (5 5) (5 5) 5 5 (5 ) 5 Așdr, A G:6 Să se deosreze ă A ude 8 A :, 6 Niole Ivășhesu, Cd

25 - PROBLEME REZOLVATE - Rezolvre: După duere l elși uior se oție ( ) ( ) A ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G:65 Arăți ă,,, Niole Ivășhesu, Cd Rezolvre: Făâd lulul lgeri î erul sâg oție ( ) ( ) ( ) ( ) u eglie âd G:66 ) Arăți ă ) Folosid eveul ) să se re ă 7 9, A ese opus Moi Mei, Cre Terhei, Criov Rezolvre: ) Dă, e evide Peru rezulă 79 ( ) și 7( ) 5 Pri îulțire elor două iegliăți rezulă relți eruă ) Se oservă ă ( ) Puâd î lo de uărul 9 rezulă A (9 ) (9 ) (9 ) G:67 Fie y, sfel îâ ( )( y y ) Arăți ă ( y) y Cosi Pruru, Criov Rezolvre: Di ( y y) și y y ( ), pri y y dure relțiilor rezulă ee e reui deosr G:68 Deeriţi uerele d fore di ifre prie, şiid ă: + d + + d + d + d + = d + 7d + 5d + 9 Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Eglie dă se i poe srie: + d + + d + d + d + = d + 6d + 9d + d + 6d + 9 (d + ) + (d + ) + (d + d + ) = d(d + 6d + 9) + (d + ) (d + ) + (d + ) + (d + )(d + ) = (d + ) (d + ) Di uli foră se dedue ă d + (d + ), de ude rezulă ă d +, deoree d + şi d + su uere urle oseuive, şi pri urre prie îre ele Cu ese uăr pri şi diviziil u d +, rezulă = d + şi ui =5 şi d= Relţi devie: + =, u soluţiile: =, =, şi = 5, = Aşdr, d 5,55 G:69 Se osideră părul ABCD Î eeriorul părului se osruies riughiurile ABE, BCF, CDG şi ADH ehilerle Arăţi ă rporul dire ri suprfeţei prulerului EFGH şi dulul riei suprfeţei CHE ese supruir Sori Văăre, Cluj-Npo

26 - PROBLEME REZOLVATE - Rezolvre: Se deosreză ă prulerul EFGH ese păr fie răâd ă digolele su perpediulre, u elşi ijlo şi su ogruee, fie răâd ă oe ughiurile su drepe şi două luri lăure su ogruee AEFGH EF Se ră poi ă CHE ese ehilerl şi ă CE EF EF AEFGH EF A CHE Rporul eru ese A CHE EF G:6 Deosrți ă î ieriorul uui păr de lură =, eisă 8 de pue disie sfel îâ disț dire orire două sfel de pue veie deerie ese de și le 5 pue disie sfel îâ disț dire ele să fie de respeiv Duiru Vieriu, Dorohoi Rezolvre: Deosrți re l ză fpul ă sigurele riughiuri re u ijloele îălțiilor lor oliire su ele drepughie, ofor eoreei liiei ijloii î riughi Fie riughiul ABC u A ( ) 9, BC, AB, S AC Aui, r R p S elși uior și di fpul ă se oție eriț Oservție: Se poe folosi dire și fpul ă îr-u riughi drepughi, R După duere l Oservție (Tiu Zvoru) Alfel, due u sege prlel u AB, pe re îl îpărți î părți egle fiere de lugie, poi luă l sege prlel u AB, l disț i re deâ de priul sege, e G:6 Se osideră drepughiul ABCD, u AB şi N BC, P CDşi DA ( MN NP PQ QM ) Rezolvre: Ave oţiile şi figur de i jos BC Fie AB M, Q, lulţi : i( MN NP PQ QM ), respeiv DM Băieţu-Giurgiu, Buureşi, Neuli Siu, Buzău D d - z P y - C N Q A -d u M - B () MN NP PQ QM y z u ( ) ( ) d ( ) ( d) 5 ( ) ( ) ( ) ( d ) () ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( d )

27 - PROBLEME REZOLVATE - Di () şi () se oţie ă: 5 y z u Dei, i( MN NP PQ QM ) =5 şi ( MN NP PQ QM ) Miul se relizeză âd puele M, N, P, Q se găses l ijloul lurilor, ir iiul âd P Q D, M N B G:6 Fie ABCD u rpez u AB 5 și CD sfel îâ CD AB AB Fie M, PAD NQ, BC sfel îâ MN PQ AB și Ari (DCNM) = A(MNQP) + Ari (PQAB) Deeriți lugiile segeelor MN și PQ Lui Tuțesu, Ro Vsile, Criov Rezolvre: Fie AD BC O Fie S Ari( ODC) și S Ari( DCNM ) Ari( MNQP ) Ari( PQAB) S S Di ODC OAB (5 ) S S 567 S S 5 S S S ODC OMN MN 567 MN 675 S S MN S S S ODC OPQ PQ 567 PQ 786 S S PQ S și Cls VIII- G:6 Să se deosreze ieglie: 7 Crisi Isi, Glți Rezolvre: Ave: 5 5, 5 5, 5 5, (),,, () Pri dure iegliăţilor () şi () oţie ieglie doriă G:65 Să se re ă uărul A9 8 6 ese url ipr și păr perfe, peru orie Viori Dogru, Giurgiu A( ) ( ), Cu ( ) ui, Rezolvre: A 6 (8 6) ese u uăr ipr păr perfe G:66 Deeriți uerele îregi,,,, 5 re verifiă eglie: Duiru Săvulesu, Mri Voie, Buureși Rezolvre: Evide, 5 5 ', ' Îlouid pe u 5 ' și poi îpărțid u 5 se oție : ' ' 5 5 5

28 - PROBLEME REZOLVATE - Repeâd proedeul peru,,, 5 rezulă ă orire dire uerele de l l 5 se divid u 5 l orie puere dei, su ule Î oluzie, 5 G:67 Fie f :, f (5 ) 9 și g ( ) 5 Arăți ă fuțiile su egle Cludi Pop, Buzău Rezolvre: Di 5+= rezulă, dei, f( ) 9 5 Așdr, f( ) 5 g( ) G:68 Aflți vlorile îregi le lui peru re frți F 5 8, \\ Niole Ivășhesu, Criov Rezolvre: 8 ( 6) ( 6) ( )( ) ir 5 8 ( 8) ( 66) ( )( ) Așdr, după siplifire frți devie F 8, 5,,,,,, yz G:69 Să se rezolve î ulție * * * siseul y y z 8 ; z y z Mire Mrio Soi, Ard Rezolvre: Pri dure euțiilor siseului rezulă yyzz 6 Di fiere euție î pre se v oție y6, z8, yz ir după îulțire ulielor rei relții se oție yz S ;; Î fil, G:6 Rezolvți euți Rezolvre: Di 9 și , 7 ude, repreziă pre îregă lui rezulă Doi Soi, Mire Mrio Soi, Ard Î fil, se oție 9 8,5;, 5 9; G:6 Deosrți ă îr-u riughi u ijloele îălțiilor oliire, su dire lugie rzei erului îsris și lugie rzei erului irusris ese eglă u seisu lugiilor două luri le riughiului Duiru Vieriu, Dorohoi Rezolvre: Deosrți re l ză fpul ă sigurele riughiuri re u ijloele îălțiilor lor oliire su ele drepughie, ofor eoreei liiei ijloii î riughi Fie riughiul și ABC u BC, AB, S AC Aui, r R p S elși uior și di fpul ă se oție eriț A ( ) 9, După duere l

29 - PROBLEME REZOLVATE - G:6 Dă,, si deosrți ă Rezolvre: Cu ieglie Cuhy-Shwrz: ude A, B, C, X, Y, Z oție: Mri Chiriu, Pieși A B C A B C X Y Z X Y Z ( CS ) (), ude, (CS) () Dedue ă re lo ieglie di euț, u eglie dă și ui dă No Peru se oție Uri 996 G:6 Dă,, să se re ă: ( ) ( ) ( ) Mri Chiriu, Pieși Rezolvre: Ave: ( ) ( ) ( )( ), evide, u eglie peru ( ) Oție: ( ) ( ) ( ) Eglie re lo dă și ui dă G:6 Î uul ABCDA BCD se îsrie pris riughiulră regulă CMNC M N, ude M ( AB), N ( AD), M ( AB), N( AD) Deeriți rporul voluelor elor două Vu orpuri: DM Băiețu-Giurgiu, Buureși, Neuli Siu, Buzău V pris Rezolvre: Se osideră părul ABCD și puele M ( AB), N ( AD) sfel îâ riughiul CMN să fie ehilerl Vo deeri lur părului ABCD î fuție de lur riughiului CMN Di ogrueț riughiurilor MBC și NDC ve figur de i jos: y y y Rezulă: Îloui y î dou euție și rezulă ( y) ( ) Apoi, Dă oă lur părului u l, ve A y ( ) l y Oție y Vu l l l V l N pris D +y M +y B C

30 - PROBLEME REZOLVATE - G:65 Fie ABCD u ro u AB =, ir AC=, ude AC BD O ; î ieriorul BDC se i u pu E sfel îâ CBE CDE ) Arăţi ă puele A, C, E su oliire; ) Pe plul roului se ridiă perpediulr ME ; dă CE =, flţi ăsur ughiului diedru dire ( ABC ) şi (MBD), preu şi MAC ( ) ) Dă N ese ijloul lui AM, ir NE MO P, răţi ă NE MBD Rezolvre: Mri Mie, Cugir, Al ODC OBC ) Di rezulă ODE OBE de ude OBE =isosel, dei DEBE CDE CBE Dă DE BE şi AC ese ediore lui BD, rezulă ă EAC, dei puele A, C, E su oliire ) Apli T şi ABC,( ( MBD ) MOE 6 ir di MEA MAC BD MO ) BD AE BD MEA şi u NE(MEA) BDNE () MO AE O Triughiul MEA ese drepughi î E și NE=ediă, AME 6 MNE ehilerl MEN 6 () Di () și MEA 9, OAE, PMO OEP Di POE u E, O O 6 OPE 9 Di (), () şi BD PO ONE MBD OEP, dei OPNE () Cls IX- L: Să se deosreze ă iio puere de uăr pri u poe fi uăr perfe (Nui uăr perfe, el uăr îreg re ese egl u su divizorilor săi di re se elude el îsuși) Lui D Grigore, Criov Rezolvre: Fie p uăr pri Aui, o puere s ese p ir să fie uăr perfe reuie su divizorilor săi, S, să fie egl u el îsuși p S p p p p Dă p = rezulă p- = diă S p p p Dă p p p S p p Pri urre, p L: Deeriţi uărul şi poziţi soluţiilor rele le euţiei 6 7,, p u ese perfe f,, ude f :, 8,, f,, Sori Văăre, Cluj-Npo

31 Rezolvre: Se repreziă geoeri ur - PROBLEME REZOLVATE - y f și drep y Dă, 6 euți re o soluție,, Dă 6 euți re două soluții,, Dă 6, euți re rei soluții, 6,,,, 5, Dă euți re o ifiie de soluții, 6, 5,, Dă,,5 euți re o soluție,,, 6 Dă, Dă, euți re rei soluții, euți re două soluții,, 5 5 L: Fie, ;u Să se re ă Mrel Chiriță, Buureși Rezolvre: Ieglie dă ese ehivleă u 9 8 (*) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) S- folosi fpul ă ( ) Alog, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Noă, ieglie (*) devie ( ) : (8 )( ) 9( ) ( )( ) 5 ( )( 8 5), evideă deoree L:5 Fie uerele rele eule și poziive ( ),( ),( Rezolvre: Ave: ) 8 5, Eglie peru,, Să se deosreze ă su lurile uui riughi dă și ui dă,, Cosi Rusu, Râiu Săr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cu ese rei odiții reuies îdepliie siul rezulă oluzi L:6 Să se deerie y, sfel îâ Rezolvre: 5 y y y 5 A Cisru, Mlu Mre, Dolj

32 - PROBLEME REZOLVATE - Peru îepu ese evide ă proleei ( ) oție y y y y y y Dr y y y,,, verifiă relțiile de Fie y Aui, di dele y y și de seee y y y y Cu y y ( )( y ) y su, șdr soluțiile su: S ;, ;, ;,;,;,;,; L:7 Deeriți oe perehile, y de uere îregi sfel îâ: y y y y DM Băiețu-Giurgiu, Buureși, Neuli Siu, Buzău Rezolvre: y y y y ( y y ) ( y y ) ( )( y ) ( )( y ) ( )( y ) ( )( y ) Așdr ve două filii de soluții: (, y) (, ) și (, y) (,), ude și su uere îregi, preu și soluțiile re provi di ( )( y ) Soluțiile euției ( )( y ) ( )( y ) su y y su (, y) (,) respeiv (, y) (, ) y y z z 6yz ( y z) ( y z) Pri urre, euți re soluțiile (, y) (, ),(,),(,),(, ), ude, L:8 Î riughiul ABC u oțiile oișuie și u A ( ) 9 se șie ă = Să se luleze si B Adri S, Buzău Rezolvre: Di () (*) și u îr-u riughi drepughi eisă relți 5, ui, di (*) rezulă : AC AB Î riughiul drepughi ABC, ve si B ir os B, ui, BC 5 BC 5 si B si Bos B Vriă (Tiu Zvoru) Di sib osb B B B B si os os g gb si B 5 L:9 Arăți ă î orie riughi re lo ieglie: A B C A B B C C A si si si g g g g g g Mri Chiriu, Pieși A r Rezolvre: Î orie riughi su devăre relțiile: si și g A g B R r R r r R r 6r R R 6r Ieglie se srie R r R r r R

33 - PROBLEME REZOLVATE - R Rr6r Rr Rr, evide, deoree R Rr5r Eglie re lo dă și ui dă R r IO I O ABC r (ieglie lui Euler) și ese ehilerl L: Dă ABCD ese u pruler ove re sisfe siul odițiile: i) AB CD BC AD; ) Cerurile osruie pe AB și CD diere su gee eeriore Deosrți ă ABCD ese rpez, prlelogr su ro Io Părșu, Criov Rezolvre: Fie M și N ijloele lurilor AB și CD ir P ijloul lui AC Aui, î riughiul MNP ve AD BC AB CD MN NP PM () Di ii) rezulă ă MN () Di () și () rezulă AB CD BC AD () Cu MN AD BC (), ui di () și () rezulă AD BC (5) Dă AD e diferi de BC ui di (5) rezulă ă ABCD e rpez Dă AD = BC ui di (5) rezulă ă ABCD e prlelogr Dă AD = BC și î i) ve eglie ui ABCD ese ro L: Î ieriorul părului ABCD u lur de lugie se osideră u pu M sfel îâ MBC MC MDB 5 Să se luleze lugie segeului Rezolvre: Fie erul de eru A și rză, CA (,) Di MBC MDB M C( A,) DM și MAB Di MA MC MB MD MC MB Î BAM MB AB MA AB MA os( MAB) 6 6 Oție MB MC Mrel Chiriță, Buureși L: Deeriți ăsurile ughiurilor riughiului ABC, șiid ă ȋălție di A ese juăe di ȋălție di C și iseore di A ese juăe di iseore di C Cosi Aposol, R Săr Rezolvre: Vo uiliz oțiile : BC, AC =, AB =, u h, lugie ȋălțiii di A, u h, lugie ȋălțiii di C, u l, lugie iseorei di A și u l, lugie iseorei di C h h h Di SABC și h, dedue () Șiid ă lugie iseorei di A verifiă eglie l, ir lugie iseorei ( ) l di C verifiă eglie l, ir l ( ), vo ve : ( ) ( ) și u relți (), dedue ( ) ( ) 6 ( ) ( ), de ude, după siplifire u, 8 ( ) ( )

34 - PROBLEME REZOLVATE - Se verifiă, fără difiule, ă eglie re lo dă ; ȋr-devăr, vo oție : 8 8 ; după 7 rțiolizre uiorilor, 8 7 Așdr, lurile riughiului ABC su de de relțiile : și Ȋ plus, uerele (), și verifiă relți lui Pigor : u (A) 9 ; di egliățile și, dedue ă ; dei riughiul ABC ese drepughi, (C) și (B) 6 Cls X- L: Să se rezolve î euți Rezolvre: Evide, Euți dă ese ehivleă u Adri S, Buzău ( ) ( ) ;5 Di odițiile de eiseță rezulă Așdr, S ( )! L: Fie p, *, p Arăți ă, ude repreziă pre frțioră p p! lui D Celi, Ile Didu, Criov Rezolvre: ( )! ( )! Se foloseșe ieglie lui Beroulli: ( )! ( )! ( )! p p Mi reuie ră ă p ( )! p p ( )! p( )! p! ( )! p! ( )! p! L:5 Fie ; Arăți ă si Lui Tuțesu, Lui D Grigore, Criov Rezolvre: Fie Aui, ( )( ) Ieglie dă ese ehivleă u si și u g g si rezulă să deosră ă g g ee e ese devăr deoree g g g g Eglie u ese posiilă ăi r rezulă g g re u e posiilă peru ;

35 - PROBLEME REZOLVATE - L:6 Nuerele oplee,,, vâd odulele egle, su fiele uui riughi isosel Arăți ă uerele oplee,, su de seee fiele vârfurilor uui riughi isosel A Cisru, Mlu Mre, Dolj Rezolvre: Fie r și A ( ), B ( ), C ( ) u AB=AC Rezulă s și Aui, rs, rs și r L:7 Rezolvți î euți 5 Rezolvre: Fie,,( ) Aui, euți dă devie Lui Tuțesu, Criov, Adrei Miu, Melieși, Dolj ( ) 5 5 Se osideră fuți f :(; ), f ( ) 5 ese sri resăore ir fuți g:(; ), g ( ) ese sri desresăore Aui, euți f() = g() re el 5 ul o soluție Cu = ese soluție ui, = ese soluție uiă L:8 Fie,,,,, uere sri poziive sfel îâ Arăți ă Î ez ve eglie? Lui Tuțesu, Teodor Rădulesu, Criov Rezolvre: Deoree ( ) ( ) ( ), ir () Așdr, Treâd l suă se oție ( ) i () ( ) i i 5 i L:9 Clulți su S i i ude i, ;;;;5 i i i 5 Crisi Moță, O Pred, Criov Rezolvre: Cu ( ) Cosideră fuți f : ;, f ( ), ui ( ) i 5 i i 5i (*) 5 5 i 5i Rezulă f( i) f( 5i) ( ) ( ) i i 5i 5i 5 7 Așdr, S f( ) f( ) f( ) 8 i i 5 i i i

36 L:5 eeplu, Dă - PROBLEME REZOLVATE -,, oprţi uerele: şi ( de, u ur de pueri le lui ) Negu Mihi, R Săr Rezolvre : Fie f : (,) R, f ( ) Defii f ( ) f ( ) şi f ( ) f ( f ( )), ude f ( ) ( f f f )( ) Oservă ă şi ă f, respeiv f su sri resăore Aşdr de ori f ve: f ( ) f ( ) = Pri urre ese i re L:5 Fie,,, Să se re ă uărul C CC C C păr perfe, peru orie uăr url, ese Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu Rezolvre: ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( )! ( ) C C C!( )!!( )!!! ( )!! ( ) ()! ( )( )( ) ()!! ( )! ( )( )( ) ()! Aui, C CCC C C C C C, deoree C L:5 Să se deosreze ieglie: C C C, N, Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Cofor iegliăţii lui Beroulli: ( ),, (, ), u eglie peru C C C =, ve: ( C ) C, şi poi pri îsure, rezulă: C C C, d L:5 Î riughiul ABC, edi AM, ( M BC), re ijloul D, ir perpediulr pe ijloul segeului DM ree pri oroerul H l riughiului ABC Să se re ă BDC ( ) 9 Mrel Chiriță, Buureși Rezolvre: Se lege origie uui sise de e XOY, puul M, (MC OX, și perpediulr pe BC î M v fi OY Aui, M(;), B( ;), C(;), A( ; ), D(, ), N(, ) A ră ă BDC ( ) 9 BDCDBD CD Cu BD, CD BD CD Aui, AM, HN și dei drep HN re euți y ( ) ()

37 - PROBLEME REZOLVATE - Puul H se flă l ierseți îălțiii AQde euție = și îălțiii BH Di AC, BH euți drepei BH ese y ( ) Aui, H : H( ; ) Îlouid oordoele lui H î euți () y ( ) oție ( BDC) 9 9 L:5 Dă,, u și 9, deosrți ă: Mri Chiriu, Pieși 9 Rezolvre: Dă : deoree ( ) ( ), ese sufiie să ră ă (9 ) Dă : deoree, ve Eglie re lo dă și ui dă Cls XI- L:55 Fie u și ( ), *, Deeriți ereul geerl l șirului și lulți si li ( ) Seli Pis, Giurgiu Rezolvre: Di ( ), dâd lui vlori de l l - și duâd relțiile se oție ( ),, ( ) si si ( ) S- folosi forul ( ) li ( ) li ( ) li ( ),ude si li (l ) si si li si li e, li, L:56 Cosideră şirul defii pri şi si si li ( ), Să se luleze li şi li DM Băieţu-Giurgiu, Buureşi, Neuli Siu, Buzău

38 Asfel ă, - PROBLEME REZOLVATE - Rezolvre Se ră pri iduţie ă, Apoi,, ( ) Dei, ( ) Aş ă, ( ), şi ureză li Di ( ) ve: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )( ), şi rezulă uşor 6 li 8 = L:57 Să se luleze: g g li Adri S, Buzău g g Rezolvre: g g si( ) os os li li g g os os si( i( ) os li os 6 os ( ) ( ) li os 6 () ( ) os os li S- folosi forul os 6 6 os 6 si( ) g g os os L:58 Clulţi li i 55 i Sori Văăre, Cluj-Npo Rezolvre: Porid de l ,,, ve, de ude i 55 5 Nuărăorul ese Lii eruă ese i 5i i li Asfel, i 5 5i i6 6 L:59 Deeriţi oe ripleele, y, z de uere rele sfel îâ : y z log ( y), log ( z) ; log ( ) y y z z Negu Mihi, R Săr Rezolvre : Se oservă ă, y, z, Pri relție se resrie y

39 - PROBLEME REZOLVATE - re re deriv egivă pri urre f ese desresăore Dei, ))) Deseei di ipoeză ve f ( ) y; f ( y) z; f ( z) f ( f ( f ( ))) Alog, elelle Se i fuți f(), ; f ( f ( f ( ese desresăore, Vo ră ă di f ( f ( f ( ))) rezulă f ( ) Noă f ( ) f ( f ( f ( ))), re ese desresăore Presupue f ( ) şi f ( ) Ave f ( ) f ( f ( )) f ( f ( )) f ( ), ordiţie! Siilr di f ( ) rezulă ordiţie! Dei f ( ) Rezulă ese desresăore şi ă soluţie Oservă ă ( ) ese resăore, f Aşdr, y, z (,,) o, poi di fpul ă rezulă ă f ( ) re el ul o L:6 Fie ABC u riughi, AD ȋălţie di A, E şi F ijloele lurilor AC, respeiv AB Peru u pu orere P di plul riughiului ABC, fie Y şi Z sieriele esui fţă de puele E, respeiv F Dă P ese ijloul lui DPşi M BY CZ, răţi ă drep MP ree prir-u pu fi Neuli Siu, Buzău, şi Tiu Zvoru, Coăeşi Rezolvre: Alege u sise orogol de oordoe sfel ȋâ D (,), A(, ), B(,), C(,) p q Rezulă ă E, şi F, Fie P, şi dedue uşor ă Y p, q, Z p, q Să presupue deodă ă q, p, p p y Euţi drepei BY ese ( q) y( p ) q, () p q ir euţi drepei CZ ese ( q) y( p ) q,() Deoree p p, siseul for di euţiile () şi () re soluţie; p q oţie M, Peru u i liz u ră euţiile drepelor BY şicz ȋ zurile q su p su p, e i uşor să verifiă ă puul M se flă pe drepele BY şicz B, Y, M su oliire p q, devăr deoree uli liie ese juăe di su p q prielor două liii Alog rezulă ă şi puele C, Z, M su oliire p q Cu p q P, şi M,, oservă ă ijloul segeului MPre oordoele, şi dei ese u pu fi L:6 Se osideră fuți f :, f ( ) ( ) ( ) u, Să se re ă f u ese ijeivă și să se rezolve euțiile: ( ) ( ) ( ) ( ) î și î ( ) ( ) Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu

40 - PROBLEME REZOLVATE - Rezolvre: Di f() f() rezulă ă f u ese ijeivă ir soluțiile priei euții su soluțiile euției f( ) ; Dă euți r i die și o lă soluție ui, ofor oseiței eoreei I lui Rolle, r îse euți f ( ) să diă două soluții ee e u ese vlil Sigur soluție l I euției f ( ) ese log Peru =, euți dă ese ehivleă u l ( ) ; f re re de seee eleși soluții, L:6 U deeri de ordiul rei re vlore d Să se luleze seul lui d șiid ă eleeele de pe digol priiplă su egle u, ir su eleeelor de pe fiere liie și fiere oloă ese eglă u Rezolvre: Fie y d z u v y zu z siv Î fil, uv y Cosi Diu, Buzău d, y L:6 Să se deerie oe riele X M, de for X, re verifiă eglie y X X I Cosi Diu, Buzău y y y y Rezolvre: X X I y y y y y Așdr,, y de( A I ) Tr ( A) Tr ( A) de( A) L:6 Dă AM (R) să se re ă: li e, ude de( A I ) Tr(A) repreziă su eleeelor de pe digol priiplă riei A, de(a), deeriul riei A Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Di relți de( AI) Tr( A) de( A) rezulă de( AI) Tr( A) de( A), (), și de( A I) Tr( A ) de( A ), () Se verifiă uşor ă re lo relţi: Tr(A ) = Tr (A) de(a) () Di fpul ă de(a ) = de (A) şi pri ierediul lui () relţi () se srie: de(a + I ) = + [Tr (A) de(a)] + de (A) () Cu oţiile Tr(A) = şi de(a) = d lii dă se srie: de( A I ) li de( A I ) d li = e ( d) d d li ( d ) d ( d ) dd li ( d ) d d e e

41 - PROBLEME REZOLVATE - L:65 Se osideră f :, o fuție derivilă u propriee ă dă eis, îâ f f ' f ; f, ui Deosrți ă eisă, sfel îâ f ' sfel l f ' f f l f ' f f Flori Săesu, Găeși, Dâoviț :,, f f e f f e Ave Rezolvre: Cosrui f f, sfel di eore lui Rolle eisă, sfel îâ ' ' ' f ' f f Presupue pri surd ă f ' f f Aui, și f ' f f, dei f ' f f ' ' f f f f f f e f ' f f f ' f f f ' f f ' e f f f e f f f e f f f f ' f f l, ordiție u euțul Asfel, f ' f f f f f f f f f f Rolle eisă, sfel îâ f ' ' ', dei ofor eoreei lui Cls XII- L:66 Să se rezolve î euțiile: ) ; ) Rezolvre: ) Oservă ă ese soluție, pri urre, f ese diviziil u f() ()( ) Cu Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu, dei f ( ), de ude rezulă ă ( ) ( ) ( ) rezulă ă euți f() = re soluțiile 5 5,,,,5 6 5 I ) Se foloseșe fpul ă dă oă g () 5ui, g ( ) f( ) L:67 Fie f, g X polioe eose re verifiă eglie: 6 f( ) f( ) g( ), Arăți ă grdul polioului f ese pr Duiru Săvulesu, Buureși Rezolvre: Presupue ă grdul lui f ese ipr Aui rezulă ă f re el puți o rădăiă relă Fie r 6 6 e i re sfel de rădăiă Aui, f( r r) f( r) g( r) r r ese de seee rădăiă lui f Aui, oligoriu grdul lui f reuie să fie pr L:68 ) Să se rezolve î euți, * ) Arăți ă peru * eisă egliățile:

42 - PROBLEME REZOLVATE - 5 ( ) 6 si si si si si si si si 5 ( ) os os os os os os os Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu Rezolvre: ) Euți dă ese ehivleă u ( )( ) ( ) su ( )( ) su os isi,, Alfel, și os isi,, ) Sriid pri relție lui Viee peru euți de l ) și ue, su for su os i si os i si os și si (*) Mi depre se foloseșe fpul ă ( i) (i) (i) si si si, i,, ( j) ( j) ( j) os os os, j,, și îlouid î (*) se oți egliățile erue L:69 Fie F :; o priiivă fuției f : ; ) Șiid ă F(), să se re ă Rezolvre: ) Fie g () F (), f( ) e Fd ( ) ; ) Să se re ă e f( ) d Adri S, Buzău g I ( ) F I ( ) I f( ), ;g ese desresăore pe Aui, g() g ( ) g() F ( ) F() F ( ) Așdr, ) Cu e d e d e, ir di e d d L:7 Clulți l ( )( ) ; Fd ( ) d ; e, e I d Răzv Drîeu, Griel Drîeu, Criov Rezolvre: Oservă ă I I I ude I l( ) d și I l( ) d I Ave I l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) d d l( ) l l( ) d Di I l( ) d d Așdr, I l

43 - PROBLEME REZOLVATE - d * L:7 Clulţi: d, ude,, R (Î legăură u prole 5/GM//5, Alfred Esei şi Viorel Tudor, Ard} Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Cu shire de vriilă =, iegrl dă I, devie: o d d d I d, I I I d d, I Oservție: Peru =, =, se oţie prole 5/GM//5 L:7 Dă f, f, f şi f su fuţii oiue pe, sfel îâ f ( ), f (), f () şi f ( ) d 5, lulţi: f ( ) d DM Băieţu-Giurgiu, Buureși și Neuli Siu, Buzău Rezolvre: Se pliă iegrre pri părţi de rei ori f ( ) d = f ( ) f ( ) d = f ( ) f ( ) 6 f ( ) d = f ( ) f ( ) 6 f ( ) 6 f ( ) d = = L:7 Fie,, și lege de opoziție * yyy, defiiă pe, peru orie y, ) Deeriți și î fuție de sfel îâ - să fie elee euru; ) Cu și sfel deeriți, răți ă lege ese soiivă Aflți poi, șiid ă sieriul lui 6 ese - 6; ) Peru,, deeriți erior, lulți ****, Cosi Diu, Buzău Rezolvre: ) Se verifiă ouivie și di *( ), si 6 ; ) * yy() () y6 și se verifiă soiivie; ) Di ), ) rezulă ă =, = 5, =, de ude * y( 5)( y5) 5 ( 5)! **** 5 5! Treuie să îeri eoei să uri fore sus, dă vrei să vezi fore depre Cosi Brâuși ( )

44 - PROBLEME PROPUSE - Aelui re uoșe oe răspusurile, u i s-u pus oe îreările Cofuius (55-7 îhr) Cls V- Prolee propuse G: 66 Deeriți ulțiile A, B și C șiid ă su îdepliie siul odițiile: ) ABC 8;9;;; ) A\ B 8;9; B\ C ; ) A\ C 9;; ) Doi și Mire Mrio Soi, Ard G: 67 Găsiți uerele urle sfel îâ Niole Ivășhesu, Cd G: 68 U uăr zeil ese i i deâ, şi re zeile Zeilele dou şi pr, diferie îre ele, u su de rei ori â difereţ lor (î ordie dă) Aflţi uărul Io Săesu, Buzău G: 69 Găsiți uerele urle peru re, u,, prie, disie Niole Ivășhesu, Cd G: 6 Să se deerie perehile (; y ) șiid ă, ( y), yy( ),(5) 7 Adri S, Buzău yz peru re uărul G: 6 ) Arăți ă eisă o ifiie de riplee de uere urle ; ; y z ese păr perfe ) Arăți ă u eisă iiu riple de uere urle ; ; păr perfe G: 6 Să se re ă dă uărul y z yz peru re uărul să fie Mri Chiriu, Pieși , ese păr perfe, ui,, Să se de eeplu de două păre perfee de for Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu, Viori Dogru, Giurgiu G: 6 ) Aflți resul îpărțirii uărului l 9; ) Srieți uărul suă șse păre perfee disie Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu, Viori Dogru, Giurgiu G: 6 Deeriți sfel îâ 5 ( ifre de ) Luiz Duiresu, Criov G: 65 Verifiți dă su părelor prielor 7 uere urle prie ese uăr pri Ciupereu Mri, Criov y G: 66 Aflţi oe uerele urle, y, z re verifiă euţi z 6 Cosi Rusu, Râiu Săr G: 67 Aflți șiid ă ( ) ( ) ( ) 5 Niole Ivășhesu, Cd G: 68 Să se rezolve î ulţie uerelor urle euţi y p qy ude p şi q su uere prie Gheorghe Ghiţă, Buzău G: 69 Fie yz,, y * sfel îâ 5z Arăți ă yz 5 Mri Voie, Buureși

45 - PROBLEME PROPUSE - Cls VI- G: 65 Fie uărul N Aflți uărul url sfel îâ de 8 N elevă Deis Drghi, Niole Toesu, Criov G: 65 Verifiți dă uărul ese păr perfe Mri Ciupereu, Criov G: 65 Câe uere urle de for d îdeplies eglie d d? Cosi Rusu, Râiu Săr G: 65 Arăți ă uărul se divide u 7 de 7 de ( ), G: 65 Se osideră frți F ) Arăți ă frți se siplifiă peru orie uăr url; ) Să se deerie peru re frți F ese ehiuiră Lui Tuțesu, D Lui Grigore, Criov Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu G: 655 Rezolvţi, î, euţi y + 6y = Io Săesu, Buzău G: 656 Să se rezolve î euți yy 7 Adri S, Buzău G: 657 Dă uărul re ifre oe egle u, ir uărul re ifre oe egle u, ui uărul ese u păr perfe, 9 Gheorghe Ghiţă, Buzău G: 658 Fie A și B 6 Clulți AB 5 Niole Ivășhesu, Cd G: 659 Rezolvți î * * euți: y 7 Niole Ivășhesu, Cd (!)! (!)! (!)! (5!)! G: 66 Deosrți ă uărul A ese u uăr url, ude!!!! (!) (!) (!) (5!)! Duiru Vieriu, Dorohoi Cls VI- G: 66 Deeriți ulțiile XYZșiid,, ă sisf siul odițiile: ; ) ( X \ Y) ( Y \ Z) (;5),(;5),(;9),(;9) ) X Y Z ;;5; 7;9 ; ) ( Y \ X) ( X \ Z) (7;5),(9;5) Mire Mrio Soi, Ard G: 66 Rezolvți î uere îregi euți y y Aiuț Bețiu, Criov

46 - PROBLEME PROPUSE - G: 66 ) Adueți l for e i siplă epresi E, ) Arăți ă eisă *, peru re 95,5 6,5 6,5 G: 66 Dă G: 665 Să se re ă 8, *, deeriți-l pe 8 G: 666 Rezolvți î * * euți: 6 8 7, G: 667 Aflți uerele urle peru re ve: ( y ) ( y ) 9 y y ) ; ) 6 Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu Mri Ciupereu, Criov Adri S, Buzău 7, y, Niole Ivășhesu, Cd Niole Ivășhesu, Cd G: 668 U ere reuie operi u gzo, l ărui preț ese de,5 lei/ Tereul ese for di rei riughiuri drepughie, î re se șie ă o eă, respeiv ipoeuz su, fiere, dulul două uere urle oseuive, su esor uere oseuive fiid u păr perfe de dou ifre Viori Pop, Tiișor y 7 G: 669 Rezolvţi î ulţie uerelor rele siseul y Cosi Rusu, Râiu Săr G: 67 Să se deerie rdilul ulţiii A = { yz / } y z Gheorghe Ghiţă, Buzău G: 67 Fie riughiul ABC sfel îâ si A, ude AC, AB, AN ese edi di A riughiului ABC, D ese sieriul lui A fță de N, ir CK edi di C riughiului BCD Șiid ă BC=6, lulți NP, ude PCK AD elevă Deis Drghi, Criov Cls VIII- G: 67 Rezolvți î, euți: y Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu 65 G: 67 Deeriți vlore iiă epresiei E ( ), 6 Mri Ciupereu, Criov G: 67 Epliți de e euți 8 5 u re soluție Doi și Mire Mrio Soi, Ard

47 - PROBLEME PROPUSE G: 675 Dă,,, răți ă Mri Chiriu, Pieși G: 676 Să se deerie ulție A Adri S, Buzău G: 677 Rezolvți î euți, ude repreziă pre îregă uărului rel Ro Crisi Vsile, Criov G: 678 Reprezeți grfi fuți f :, f ( ) (; 5) Niole Ivășhesu, Cd G: 679 Se osideră euţi 9 7, ) Să se re ă euţi u re rădăii riole; ) Dă, su rădăiile euţiei de, ui răţi ă ese diviziil u 6 orire r fi Cosi Rusu, Râiu Săr G: 68 Deosrţi ă peru orie uere rele,, poziive, eule, peru re, ese devără ieglie: ( ) ( ) ( ) 6 (O îărire proleei E:78 di GM-B /, propusă de A Drgoir) Tiu Zvoru, Coăeşi şi Neuli Siu, Buzău y y y G: 68 Dă, y,, >, ui, * ude N Gheorghe Ghiţă, Buzău G: 68 Deeriți lugiile,, le riughiului ABC re verifiă egliățile, 5,, ude Mri Chiriu, Pieși Cls IX- L: Fie,,, sfel îâ Arăți ă 6 Mri Chiriu, Pieși L: 75 Fie d,,, sfel îâ d d d Arăți ă ( dd) ( d d) ( d d) d ( ) d Griel Nețru, Melieși, Dolj L: 76 Arăți ă: ) eisă perehile, y * y *,, sfel ă ; y ) eisă perehile, y * y *,, sfel îâ ; y Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu

48 - PROBLEME PROPUSE - L: 77 Se osideră euți ( y) y 6 Să se re ă euți re o ifiie de soluții îregi (; y ) re verifiă relți y 7 Să se re ă euți dă re o sigură soluție (; y ) Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu L: 78 Deosrţi ieglie, ude,, 8 Cosi Rusu, Râiu Săr L: 79 Fie, y, z, yz Arăți ă ( )( y )( z ) ( )( y )( z ) Lui Tuțesu, Criov, Mri Voie, Buureși L: 8 Fie,,,,, ă sfel îâ L: 8 Se osideră şirul =, Arăți, = ( ) A Cisru, Mlu Mre, Dolj ( ) peru ( ) ( ) Să se deosreze, ă: = ( ) peru orie Adler Kovás, Su Mre L: 8!!! Clulţi : DM Băieţu-Giurgiu, Buureși și Neuli Siu, Buzău L: 8 Fie riughiul AOB u ( AOB) 9 C AB sfel îâ ( AOC ) 5 ) și puul 6 6 Deosrți ă Mri Chiriu, Pieși OA OB OC p r L: 8 Să se deosreze ieglie, ude r, R, p su oţiile oişuie îr-u r R R r riughi Gheorghe Ghiţă, Buzău L: 85 Dă,, (, ) şi, să se re ă: ( ) 6 ( )( ) Tiu Zvoru, Coăeşi şi Neuli Siu, Buzău L: 86 Fie ABCD u pruler îsris îr-u er de rză R și irusris lui de rză r şi,,, d lurile esui ( și su luri opuse ) Deosrţi ă : R ( d ) r d Vsile Jiglău, Ard Cls X- L: 87 Să se srie îr-o foră resrâsă uărul Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu L: 88 Fie, sfel îâ Rezolvți euți log ( ) log Mri Chiriu, Pieși L: 89 Rezolvți euți ( )( 6) Adri S, Buzău L: 9 Să se rezolve î ulție uerelor rele euți log log log

49 - PROBLEME PROPUSE - ( S- o u pre îregă uărului rel ) Ovidiu Țâț, Râiu Săr L: 9 Fie,,, sfel îâ și Arăți ă log ( ) log ( ) log ( ) Mri Chiriu, Pieși L: 9 Fie, uere urle eule şi, y, z u propriee ă y z Să se re ă: y z Tiu Zvoru, Coăeşi şi Neuli Siu, Buzău y z z y 6 y L: 9 Să se rezolve siseul Cosi Rusu, Râiu Săr y y 5 L: 9 Să se re ă euţi 5 = re o sigură rădăiă relă, re ese: Adler Kovs, Su Mre L: 95 Să se rezolve î iervlul (-, ), euţi ( ) Gheorghe Ghiţă, Buzău L: 96 Arăți ă produsul P ( ) se divide u 95 5 și u se divide u 96 5 Luiz Creeeu, Cosi Pruru, Criov L: 97 Fie A și f : A Au propriee f( f( )), A Să se re ă dă A, ui eisă f u propriee de i sus Aurel Chiriță, Sli L: 98 Fie,,,, uere sri poziive ( *) Arăți ă Î e z ve eglie? Ile Didu, Celi Dă, Criov y z L: 99 Rezolvți î siseul de euții y z y z 5 yz z y Hgu Aurel To, Clf, Dolj L: 5 Fie ABCD u rpez u zele AB=,CD = ( ) și M și N respeiv ijloele segeelor AB respeiv CD Dă MN = - și riughiul ADB ese isosel (AD=BD) deeriți ughiurile rpezului Lui Tuțesu, Cre Terhei, Criov Cls XI- L: 5 Să se deerie poziți puului P(;) î reperul rezi Oy, șiid ă, și li lg5lg lg ( ), lg( ) Seli Pis, Giurgiu

50 L: 5 Să se luleze - PROBLEME PROPUSE - A d * A *, N, ude, e R, de,,,, d R yz L: 5 Se osideră siseul: y 5z, ude, y, z y z ) Să se luleze deeriul şi rgul riei A, A fiid rie siseului ) Să se rezolve siseul, y, z siseului peru re ) Să se găsesă o soluţie y z y y z y 9 e Gheorghe Ghiţă, Buzău Iuli Trșă, Sorieși, Ol L: 5 Se osideră fuți f :, f ( ) e Să se re ă 7 II 8 7 f ( ) f( ) Adri S, Buzău 9 si L: 55 Câe uere de for 6 si L: 56 Arăți ă dă, re lo ieglie os os si L: 57 Să se luleze li şi poi să se deduă fpul ă si L: 58 Să se luleze 6 li ( ) L: 59 Se osideră fuți f : E, doeiul i de defiiție E 6, ( R ) su îregi? DM Băieţu-Giurgiu, Buureși și Neuli Siu, Buzău Ro Puhiu, Luiiț Mihlhe, Criov ( ) Cosi Rusu, Râiu Săr Lui Tuțesu, Liviu Srdhe, Criov f( ) rsi Să se re ă f ese oiuă pe Cosi Diu, Buzău Cls XII- L: 5 Se osideră polioele, ( f, g X, f( X) X X X, gx ( ) X 5X 5 Arăți ă rădăiile rele le polioelor se sepră și să se deerie rădăiile rele le lui f; Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu L: 5 Să se rezolve î ielul 5, 6 7, șiid ă re o soluție uiă Ovidiu Țâț, Râiu Săr

51 - PROBLEME PROPUSE - L: 5 Deeriți polioul P X sfel îâ P P ( ) ( ) ( ), Ro Vsile, Drăghii Ai, Criov L: 5 Se osideră fuţi f :, f( ) 5 5 ) Să se re ă su uurilor rădăiilor euţiei 5 5 = ese u păr perfe ) Să se re ă ' f, f( ) \,,, '' ' ) Să se deosreze ă f f f L: 5 Fie f : oiuă sfel îâ orire r fi f() d, Iuli Trșă, Sorieși, Ol Arăți ă f()= Mri Voie, Florei Vișesu, Buureși L: 55 Folosid dezvolre ioilă ( ),, dedueți ideie C C C C C ( ) ( ) ( )( ) Ioel Tudor, Călugărei, Seli Pis, Giurgiu L: 56 Să se deosreze ă si os d os si L: 57 Să se re ă e d l ( ) l L: 58 Să se re ă L: 59 Clulți L: 5 Să se luleze iegrl: DM Băieţu-Giurgiu, Buureşi şi Neuli Siu, Buzău Cosi Rusu, Râiu Săr 5 l d l,, Aurel Chiriță, Sli l ( )( ) d d, ude, N L: 5 Fie f, g: ;;, două fuții oiue Să se re ă li ( ) g f( ) g( )l f( ) d Griel Drîeu, Răzv Drîeu, Criov Gheorghe Ghiţă, Buzău Niole Ppu, Sloozi

52 - QUICKIES - A perso who ever de ise ever ried yhig ew Aler Eisei ( ) 5 QUICKIES A Quiie should hve uepeed, sui soluio Suied quiies should o e uder osiderio for puliio elsewhere We ivie reders o sui soluios-quiies d ew proposls-quiies, opied y soluios iled eleroilly (idelly MS Word or PDF file) o siueuli@yhooo All ouiios should ilude he reder s e, full ddress, d e-il ddress Suied soluios should rrive efore Mrh, 7 PROPOSALS QUICKIES Q9 Proposed y DM Băieţu-Giurgiu, Buhres, Roi Le ( ),,, Clule li! Q Proposed y Mihály Beze, Brșov, Roi Prove h i ll rigle ABC holds si A s r Rr si B Rr Q Proposed y Mihály Beze, Brșov, Roi If,,, he prove h 8 Q Proposed y Nel Cieu d Ro Mihel Siu, Roi If, y, z re posiive rel uers suh h yz, he prove h ( y) ( ) ( y z) ( y ) ( z ) ( z ) SOLUTIONS QUICKIES Q5 Proposed y Tiu Zvoru, Coăeşi, Roi Prove h: if,,, d re posiive rel uers suh h d, he d d d d d Soluio y Ágel Plz, Uiversiy of Ls Pls de Gr Cri, Spi By he AM-GM iequliy d d, so Therefore d d d d d d Noe h is d d d equivle o d whih follows y he AM-GM iequliy d he hypohesis h d Soluio y uhor Sie d, he give iequliy i e wrie s d d d d d d d d d

53 - QUICKIES - d d d d d Applyig AM-GM iequliy we hve d d, d i reis o show h ) )( ( d d d d d The ls iequliy is rue, sie yields y Cheyshev s iequliy Also solved y Mrius Drăg, Buhres, Roi Q6 Proposed y Mihály Beze, Brșov, Roi I ll rigle ABC holds 7 r R s Soluio y Tiu Zvoru, Coăeşi, Roi Beuse 6 r R s d ) )( ( 6 he iequliy o prove is wrie suessively 7 ) )( ( 7 ) 5 ( , whih is rue y AM-GM iequliy Also solved y Mrius Drăg, Buhres, Roi Q7 Proposed y DM Băieţu-Giurgiu, Buhres, Roi Copue d I ) ( ) )( (, ude * N Soluio y Mrius Drăg, Buhres, Roi d I ) ( ) ( ) ( d ) ( ) )( ( d ) ( d ) ( C ) l( Q8 Proposed y DM Băieţu-Giurgiu, Buhres, Roi If B!! ) (, wih, he opue ) ( li B Soluio y Mrius Drăg, Buhres, Roi We hve u u u u B l l!! ) (,, () where we deoig, )! (! u We hve li u d he we oi l li u u We lso hve: e e e e e u )! ( li )! ( )! (! li li By () d ove we oi h: e e e B l ) ( li Oservio For we oi h: e B! )! ( ) ( li () li, ie he lii of well-ow DM Băieţu-Giurgiu s sequee Also solved y Ágel Plz, Uiversiy of Ls Pls de Gr Cri, Spi

54 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - Mâ re srie ie poe să-ți de u șu i efiie deâ u piior ie îălț Rivrol (75-8) 6 Cleidosop ei Prole 8 di Cru Mheioru r /6 (propusă de Alessdro Veullo) ere să se srie uărul suă de păre oseuive şi dă uărul se poe srie suă de păre oseuive Porid de l esă proleă, prezeă oe uerele de pru ifre re se sriu î două oduri su uor păre oseuive (ese srieri su oţiue u juorul lulorului): Ro Mihel Siu, Buzău şi Nel Cieu, Roşiori, Bău Î o O proleă ieresă di revis Meiforo, i, 6, profesorul George-Flori Şer găseşe u eeplu de uăr de pru ifre d re verifiă proprieăţile i) d ese păr perfe; ii) d ( )( )( d)( )( d)( d) Cu juorul lulorului se poe dedue uşor ă sigurul uăr re verifiă odiţi d ( )( )( d)( )( d)( d) ese 6 Dă se eliiă forul ( d) oţie uărul 5 - re ese sigurul uăr de pru ifre u propriee ă d ( )( )( d)( )( d) Ro Mihel Siu, Buzău şi Nel Cieu, Roşiori, Bău Cre dire urăorele pru egliăți: =, =, 5 = 5 şi 7 = 97 u poe să fie devără? Rezolvre: Sudie pe râd egliățile, re po fi devăre îr-o uiă ză de uerție Dă ese z de uerție, ui pri eglie se srie: + + = ( + ), o euție de grdul

55 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - u soluțiile = 5, = şi =, dire re ui 5 pue ep z de uerție Î es z: 5 = (5) Dei pri eglie ese devără! A dou eglie se srie: + + = ( + ) o euție de grdul u soluțiile: = 6, = şi =, dire re ui 6 pue ep z de uerție Î es z: 6 = (6) Dei dou eglie ese devără! A rei eglie se srie: = ( + 5), o euție de grdul u o sigură soluție relă, iriol: = + +, u o vlore proiivă: = ; u poe fi ză de uerție Dei rei eglie u ese devără! A pr eglie se srie: = (9 + 7), o euție de grdul u soluțiile: =, = şi =, dire re ui pe pue ep ză de uerție Î es z: 7 = =85 = 85 = (9 + 7) = (97) 7 = (97) Dei pr eglie ese devără! Î oluzie: rei eglie u poe fi devără! Kovs Bel, Su Mre Coor susă Î re profesorului Al Frod Erore şi prdo î eiă - Ediur Eilopedi Roâ, Buureși 97, pre prole uiă Coor susă E fe pre di ş uiul follor ei Iă euţul proleei, i di re i sus poeiă: U frge de perge găsi di îîplre idiă uui veurier pri âev îseări ripie şi pri uele îdruări sure odul de flre uei oori suse pe vreuri de u pir îr-o iă isul î Oei Iă deseul e idiţiilor: Iă și isruțiuile srise pe verso l dese: ergi de l spâzurăore pâ l plier și făâd u ughi drep spre drep ergi elși uăr de pși de l spâzurăore l plier Îseă loul și îore-e l spâzurăore Du-e l rue de piră și oid î ughi drep l sâg ergi elși uăr de pși de l spâzurăore l rue Îseă loul Coor se flă l ijloul segeului ărui pee su lourile îsee Aveurierul jus pe isulă găseșe plierul şi rue de piră, dr ii ură de spâzurăore Şi ouşi găseșe oor ofor isruiuilor Cu? Auorul divulgă po, şi ue, ă loul oorii u depide de loul spâzurăorii Dr el osideră rezolvre ''eleeră şi o lsă pe se iiorului Kovs Bel, Su Mre şi Cere Iv (Il), Isrel

56 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - Rezolvre geoeriă Noă u P și C puele fie î re se găses plierul și rue de piră Noă u S loul spâzurăorii les l leor Noă u A și B puele re se oi ergâd de l spâzurăore l plier și respeiv l rue oid l drep și respeiv l sâg î ughi drep și prurgâd eeși disă ( SPA SCB 9, SP PA, SC CB ) Cosrui SH PC, AE PC, BF PC Fie PH, CH, SH Sigurele eleee fie di deseul de i sus su puele P și C și lugie segeului PC di Folosid eoreele de ogrueță le riughiurilor dreughie, se poe deosr desul de ușor riughiurile drepughie SHP și PEA respeiv SHC și CFB su ogruee ( zul ipoeuză și ughi suți ) De ee PE SH FC, AE, BF Loul "oorii"ese puul G, ijloul segeului AB Cosrui GD lii ijloie rpezului drepughi AEFB DG, osă Puul D ese ijloul segeului EF dr și l segeului PC, ese pu fi, dei și G ese u pu fi Dei "oor" se flă pe ediore segeului fi PC și l disț de juăe di lugie (osă) segeului PC Ese vor de u pu fi rui poziţie u depide de puul S Rezolvre u juorul uerelor oplee (plul Guss) Alege drep PC X și ijloul segeului PC origie elor Fie puele fie C(,), P(-,) și puul vriil S(,y) (rue, plier,spâzurăore) Noă fiele esor pue zc, zp, zs iy Roi segeul PS u 9 de grde î ses rigooeri î jurul puului P oțiâd sfel segeul PA Dei : ( zs zp ) i za zp Rezulă : za ( zs zp ) i zp Îlouid oție: z A ( iy ) i Dei: z A y i( ) To ş,roi segeul CS u 9 de grde î ses orr sesului rigooeri î jurul puului C, oțiâd segeul CB Aşdr ( zs zc ) ( i) zb zc Rezulă : zb ( zc zs ) i zc Îlouid oţie: z B ( iy) i Dei : z B y i( ) Peru oție fiul ijloului segeului AB, loul oorii, lulă : za zb i Dei oor se gseşe î puul (,) ărui poziție u depide de legere lui S Kovs Bel, Su Mre şi Cere Iv (Il), Isrel

57 - POȘTA REDACȚIEI - Sudiză i îâi șiiț și oiuă poi u pri ăsuă di esă șiiță Leordo d Vii (5-59) 7 Poş redţiei Drgi iiori, elevi şi profesori, păru uărul 8 l revisei de eiă SCLIPIREA MINTII, o revisă re prooveză sudiul eiii î râdul elevilor oşri, şi re, speră oi, v du o i ulţi elevi şi profesori îpreuă, peru fe di oieul eiii o ivie rivă și perforă Profesorii şi elevii re dores să riiă erile peru revisă, osâd î riole, eeriţii şi prolee u euţ şi rezolvre opleă, erile peru leidosop ei, su orie le sugesii peru îuăăţii lie esei revise, o po fe riiţâd erilele erilor oleivului de redţie su pe dres de e_il: dy_s5@yhooo, fie erile ehorede( slve î Word ), fie srise de âă şi se Merilele priie reuie să fie origile şi să u i fi fos riise su să i fie riise şi ăre le revise Drepul de uor l erilelor riise spre pulire, prţie redţiei D filă pâă âd profesorii po riie erilele, rezolvările şi oezile peru uărul 9 l revisei SCLIPIREA MINTII v fi Mrie 7 Vă ură sues şi vă şepă Cre sege oție i ule pue? Se po osrui pru riughiuri ehilerle u juorul șse ețe de hiri? Răspusurile pe pgi Cluul de Meiă Slipire Miii / Feoo

58

59

60