Výpočty matematického modelovania lietadla

Transcription

1 Výpočt matematického modelovania lietadla pomocou MPI v počítačoch leteckého trenažéra Peter Kvasnica, omáš Páleník Článok sa venuje metóde matematického modelovania výpočtu informačného sstému trenažéra. Na jeho realizovanie vužíva poznatk teórie riadenia decentralizovaných sstémov tvorených počítačmi. akto navrhnuté modelovanie sa realizuje niekoľ kými počítačmi, ktoré vtvárajú distribuovaný počítačový sstém leteckého trenažéra. Uvedené počítanie sa realizuje pomocou nástroja (sstému) MPI, ktorý výrazne ovplvňuje časovú náročnosť modelovania trenažérového sstému. Uvedená závislosť je definovaná tvarom rovníc a architektúrou použitého počítačového sstému. V článku sa poukazuje aj na riešenie matematických modelov rôznmi nástrojmi. Metóda analýz simulácie a analtického prístupu implementácie paralelného výpočtu sa vkonáva jednoprocesorovou architektúrou. Paralelné modelovanie na počítačoch reálneho leteckého trenažéra dokumentuje časovú úsporu a požadovanú presnosť. ento poznatok dovoľuje v jednom časovom okamihu počítať matematické model pomocou MPI na dekomponovanom výpočtovom sstéme. Úvod Na počítači možno riešiť niektoré úloh z kinematik, ako aj z dnamik pohbu objektov trenažérov. Pri úlohách z kinematik hmotného bodu ide najmä o zložené pohb. Podstata riešenia úloh tohto tpu je v tom, že sa na počítači modelujú rovnice jednotlivých zložiek pohbu (spočítaním vzniká výsledný pohb). Fzikáln problém grafickej konštrukcie trajektórie zloženého pohbu sa nahradí matematickým zápisom, a to zisťovaním priebehu matematickej funkcie. Metódami súčasnej numerickej matematik a počítačovej grafik je to riešiteľná úloha. V teórii analýz dnamik sstémov sú informácie o správaní sstému centralizované. Návrh a tvorba informačných sstémov s distribuovanými bázami údajov sú dôležitými predpokladmi pre decentralizované riadiace sstém [6]. Modelovanie takýchto vlastností trenažéra pomocou matematických modelov je jednou z najdôležitejších činností pri jeho výstavbe. Vďaka matematickému modelovaniu a počítačovej simulácii sa pomocou počítača úspešne riešia aj niektoré úloh z dnamik hmotného bodu (naše riešenie analýz dnamik pohbu lietadla možno redukovať na spomenutý problém).. Matematické model lietadla v trenažéri Matematický model vššie spomenutých úloh sa opisuje sústavou občajných diferenciálnch rovníc. V súčasnosti možno na výpočet použiť dva rozdielne prístup. Prvý spočíva v analtickom riešení matematického modelu (sústav diferenciálnch rovníc) metódami matematickej analýz. V druhom prípade realizuje riešenie matematického modelu výpočtová technika [8]. Podľa súčasných matematických poznatkov možno analtick riešiť iba malú časť diferenciálnch rovníc. Aplikuje sa predovšetkým metóda neurčitých koeficientov, metóda postupných aproximácií, ako aj metóda alorovho rozvoja, ktorá sa dá súčasne použiť aj pri numerickom riešení diferenciálnch rovníc. Zhrňme si podstatu algoritmu na numerické riešenie diferenciálnch rovníc n-tého. Počiatočnú úlohu pre diferenciálnu rovnicu n-tého rádu možno definovať takto: Nech je daná diferenciálna rovnica n-tého rádu v tvare: ( n) ( ( n f x,,,, )) Úlohou jej riešenia je nájsť funkciu: (x) vhovujúcu Cauchho počiatočným podmienkam: ( x ) ( x) ( x) kde ( x) sú zadané konštant. Na numerické riešenie diferenciálnej rovnice vššieho rádu vužívame metód používané pri riešení sústav diferenciálnch rovníc. rádu, a preto zadanú diferenciálnu rovnicu n-tého rádu vhodnými substitúciami prevádzame na sústavu diferenciálnch rovníc. rádu: n ( n ) Uvedené substitúcie vlastne tvoria sústavu diferenciálnch rovníc. Sústavu doplníme o zadanú diferenciálnu rovnicu s dosadenými premen- () () () () (5) A&P journal 8/7 69

2 nými,, n- a takto novokreovanú sústavu upravíme na normovaný tvar: n n ( ) n f x,,,, n (6) Na riešenie sústav (6) možno použiť známe numerické metód riešenia diferenciálnch rovníc. rádu. Na analýzu správania sstémov opísaných lineárnmi diferenciálnmi rovnicami sa v praxi často vužíva inžinierska metóda Laplaceovej transformácie. Výsledk riešenia sa zisťujú inverznou Laplaceovou transformáciou v časovej oblasti. Laplaceova transformácia je prevod funkcie z časovej oblasti, ktorá spĺňa požadované vlastnosti, do komplexnej rovin určenej Levinštejnovým vzťahom [7]: pt F( p) f ( t) e dt L{ f ( t) } Lf (7) kde p C, p x + i sa nazýva Laplaceova transformácia. Funkcia F sa nazýva obraz funkcie v Laplaceovej transformácii a funkcia f premennej t (, + ) sa nazýva vzor Laplaceovho obrazu [8]. Inverzná Laplaceova transformácia sa vpočíta podľa: { F p) } L F( p) f ( ) L ( t. Riešenie matematického modelu trenažéra Matematický model vššie spomenutých úloh sa opisuje sústavou občajných diferenciálnch rovníc. V súčasnosti možno na výpočet použiť dva rozdielne prístup. Prvý spočíva v analtickom riešení matematického modelu (sústav diferenciálnch rovníc) metódami matematickej analýz. V druhom prípade realizuje riešenie matematického modelu výpočtová technika [8]. Modelovanie a simulácia praktick priamo závisia od dostupnosti vhodného simulačného nástroja spolu s výkonným technickým vbavením počítača. Vbrať vhodný simulačný nástroj na analýzu údajov, ktoré sú dostupné, podporované viacerými operačnými sstémami a vývojom, je ťažké. Dôraz sa kladie na filozofiu otvorených zdrojových kódov (open source) alebo voľne šíriteľného kódu (free software) pre požadované úloh. Úlohu možno riešiť v programovom (softvérovom) prostredí Matlab, Scilab, Mathematica a pod. Matlab je výkonný, komplexný, jednoducho použiteľný na analýz, vizualizácie, modelovanie a vývoj úplných aplikačných modelov trenažérov. Matlab má vlastný jednoduchý programovací jazk, čo umožňuje k už zabudovaným funkciám pridávať podľa potreb vlastné [9]. Konfiguráciu Matlab-u môžeme hociked rozšíriť pridaním rozširujúcich modulov alebo vlastných programov. Simulink je programový balík na modelovanie, simuláciu a analýzu dnamických sstémov. ento grafický a simulačný nástroj umožňuje jednoducho vtvárať viackrát použiteľné model lineárnch a nelineárnch sstémov, modelovaných v spojitom alebo diskrétnom čase, alebo dokonca v oboch súčasne. Scilab je navrhnutý na aplikácie riadenia sstémov a signálových procesov. Je vtvorený z troch samostatných častí: interpret príkazov, knižnice funkcií a knižnice rutín v jazkoch C a Fortran. ieto rutin sú nezávislé od prostredia a všetk sú prístupné cez knižnicu Netlib. Dôležitou vlastnosťou sntaxe Scilab-u je spracovanie matíc a súvisiacich operácii. Scilab manipuluje so zoznamami a tpmi zoznamov ako s prirodzenou smbolickou reprezentáciou prekladaných matematických objektov []. Aj tieto vlastnosti predurčujú Scilab na efektívne overovanie návrhu, simuláciu a opis matematických modelov leteckých trenažérov. Mathematica je programový (softvérový) sstém na technické výpočt, používaný vo vede, technológii, vývoji a obchode. ento nástroj sa (8) prvýkrát objavil v r. 988 a odvted sa počet jeho používateľov zväčšuje vďaka jeho dostupnosti v širokom rozsahu počítačových platforiem, od PC s Windows a pracovných staníc až k UNIX-ovým pracovným staniciam []. Mathematica je počítačový program a jazk určený pre matematické a iné aplikácie. Je použiteľný v numerických a smbolických výpočtoch, vizualizačnom sstéme funkcií a údajov, ktoré obsluhuje jednotne. Predstavuje programovací jazk vsokej úrovne, modelovanie a analýzu údajov, sstém na reprezentáciu znalostí vo vede a technike a pod.. Paralelné matematické modelovanie Sekvenčný spôsob behu programu matematického modelu sa vznačuje výpočtom rovníc v jednotnom čase počítača, na ktorom sa realizuje výpočet. Operácie programového kódu sa vkonávajú sekvenčne v danom poradí. Nevýhoda tejto metód je v obmedzení výkonu procesora realizujúceho výpočet. Riešením uvedeného obmedzenia je paralelné vkonávanie programového kódu matematických modelov, pri ktorom je potom dôležitá snchronizácia a jednotný čas modelovania. Možným spôsobom je počítanie týchto modelov v klastri. Pre samotné paralelné matematické modelovanie si uvedieme jeho základné rs počítania. Klaster je najvššia organizačná jednotka vsokovýkonného počítania na tejto platforme. Klaster pozostáva z týchto elementov []:. uzol (Node) samostatný počítačový uzol s jedným alebo viacerými procesormi,. rad (Queue) organizačná jednotka, ktorá posktuje spracovanie a obsluhu úloh,. úloha (Job) množina úloh inicializovaných používateľom. Úloha reprezentuje vkonateľný program na danom počítačovom (výpočtovom) uzle. Úlohou môže bť sekvenčný program (jeden procesor) alebo paralelný program Message Passing Interface (MPI) s viacerými paralelnými procesmi.. Metóda paralelného vkonávania Užívatelia môžu použiť rôzne programovacie jazk, ktoré vhodne spĺňajú ich požiadavk na tvorbu a zadávanie paralelných výpočtov. ieto prednosti sú v tom, že spokojne vužívajú platformovo nezávislé a spoľahlivé vkonávanie []. Úloh spracovávajú v sériovom alebo paralelnom móde. V sériovom móde, úloh bežia sekvenčne na dostupných zdrojoch v uzloch (nodes). Obr. ilustruje ako úloha je nastavená na vkonanie na procesor na druhom uzle (node), následne úloha je nastavená na tento procesor, úloha sa presúva na procesor tretieho uzla (node), atď.. Na takejto architektúre prebiehajú matematické model trenažéra v reálnom čase. Paralelné výpočt sú tpick vkonávané programom Message Passing Interface (MPI) (nazývaným MPI) pomocou volania úloh mpiexec na počítačových uzloch (nodes) []. Obr. Paralelné úloh bežiace na klastrovej platforme A&P journal 8/7 7

3 . Matematické model Používatelia môžu použiť rôzne programovacie jazk, ktoré vhodne spĺňajú ich požiadavk na tvorbu a zadávanie paralelných výpočtov. ieto prednosti sú v tom, že pokojne vužívajú platformovo nezávislé a spoľahlivé vkonávanie []. Matematické model lietadla v trenažéri [], [5] sú v našom prípade upravené na želaný tvar. Pre prírastok rýchlosti platí rovnica (9), definujúca príspevok zo zmen dodávk paliva (), resp. príspevok zo zmen poloh výškového kormidla (): Pre dodávku paliva: WV Pre výškové kormidlo: WV, (9,8s + 6,97), ( 9,8s,6) s +,8s + 6,7975s + 8,6585s +,99 (9) () () Pre prírastok uhla nábehu platí rovnica (), definujúca príspevok zo zmen dodávk paliva (), resp. príspevok zo zmen poloh výškového kormidla (): W W Pre dodávku paliva: W 5 s Pre výškové kormidlo: W s +,s + 6,78s + 5, 5 s +,8s + 6,7975s + 8,6585s +,99 V V W W,s,58s, +,8s + 6,7975s + 8,6585s +,99, ( s +,886s +,s,55 ( p) s +,8s + 6,7975s + 8,6585s +,99 V, ( s,8s,5) s +,8s + 6,7975s + 8,6585s +,99 () () () V rovnici (), resp. () predstavuje zmena dodávk paliva jednotkový skok, v Laplaceovej transformácii (s) /s. V rovnici (), resp. () predstavuje zmena poloh výškového kormidla jednotkový skok, v Laplaceovej transformácii (s) /s.. MPI modelovanie v jednoprocesorových sstémoch trenažéra Obr. Dialógové okno MPIEXEC MPI Pre proces matematického modelovania vužijeme sstém MPI, ktorý v krátkosti opíšeme. ento sstém pozostáva z viacerých uzlov, zložených z procesorov a pamätí spojených prepájacou sieťou. Pre absenciu globálnej pamäte treba údaje medzi jednotlivými uzlami presúvať práve pomocou sstému message passing, ktorý je založený hlavne na dvojici príkazov Pošli/Prijmi správu []. ie sú vhodným spôsobom implementované v zdrojovom kóde aplikácie určenej na výpočet na jednotlivých uzloch. Autonómne uzl sú schopné tieto údaje v podobe správ ukladať do zásobníka. Zásobník (buffer) tu predstavuje vhradené pamäťové miesto na ukladanie správ, ktoré čakajú na prijatie alebo zaslanie. Sstém MPI obsahuje aj základné prostriedk na koordináciu paralelne bežiacich procesov, ako je bariérová snchronizácia, precedenčná snchronizácia a pod. []. V prípade nášho modelovania leteckého trenažéra bola použitá bariérová komunikácia, ktorá má tú vlastnosť, že tesne po inicializácii MPI zabezpečí vzájomné časové zladenie výpočtu všetkých uzlov. Volanie funkcie MPI_arrier() v programe spôsobí zablokovanie volajúceho uzla až dovted, pokiaľ k tomuto volaniu nedospejú aj ostatné program v uzle. Situáciu približuje pseudokód na obr.. Po snchronizácii všetkých procesov dochádza v kóde aplikácie k rozdeľovaniu úloh pre jednotlivé uzl. Jeden z týchto uzlov predstavuje centráln uzol, určený na zhromažďovanie a ukladanie počítaných výsledkov. Na samotné počítanie sú pridelené zvšné uzl a ich úlohou je modelovanie jednotlivých rovníc matematického modelu trenažéra (), (), () a () v reálnom čase. Na obr. je dialógové okno zobrazujúce stav spúšťania aplikácie mpiexec matematického modelu trenažéra. Aplikácia mpimodel.exe sa inicializuje z podadresára, ktorý je určený položkou Application. Počet procesov aplikácie matematického modelu v zostave klastra je 5 ( Number of processes ). Aktivácia výpočtu sa vkonáva z riadku príkazom C:\ProgramFiles\ MPICH\bin\mpiexec.exe -hosts ( Show command ). Počítače v zostave klastra (hosts) majú tieto IP adres: , , , , Vo výstupnom grafickom okne je zobrazený počet procesov a celkový čas modelovania. 5. Výsledné model sstému trenažéra Obr. Pseudokód pre použitú aplikáciu vužívajúcu MPI V našom prípade sme realizovali prepojenie 5 uzlov Celeron, GHz/ 5 M RAM pomocou Mb/s siete tpu ethernet. Na prepojenie sme použili implementáciu MPI s názvom MPICH a v komunikácii zvolili blokujúce operácie []. A&P journal 8/7 7

4 a) výsledok simulácie rovnice () c) výsledok simulácie rovnice () Obr. b) výsledok simulácie rovnice () d) výsledok simulácie rovnice () Uzol s adresou predstavuje hlavný riadiaci uzol a zvšné uzl sú určené na modelovanie rovníc matematického modelu. Po spustení aplikácie cez grafické rozhranie sa štrom výpočtovým uzlom pridelí modelovanie jednotlivých rovníc v reálnom čase. Proces bežia na uzloch , , , Celá simulácia trvá 5 s a medzivýsledk rovníc sa v pravidelných intervaloch zasielajú na hlavný centráln uzol. en výsledk ukladá na vhradené pamäťové miesto, ktoré po skončení simulácie uloží do súboru vo formáte spracovateľnom v programe Microsoft Excel. Po vkreslení grafov z vpočítaných údajov, založených na sstéme MPI, získame obr. a 5. Z grafických závislostí na obr. a) až d) vplýva, že časová závislosť modelovania je zhodná vo všetkých prípadoch s modelovaním v nástroji Matlab. Z modelovania výpočtu závislosti jednoprocesorového sstému uzlov klastra vplýva, že:. integráciu veličín na dekomponovaných podsstémoch treba upravovať podľa jednotného času komplexu trenažéra (bariérová komunikácia),. efekt dekompozície výpočtového sstému sa snchronizáciou po sieti výrazne ovplvňuje, v zložitejších prípadoch je veľmi ťažký,. z absolútneho porovnania modelovaných veličín uvedenej metód výpočtov vplýva, že závislosť výpočtov na klastrovom sstéme je rovnako presná ako pri iných nástrojoch a je rýchlejšia ako na jednoprocesorovom. Efektívnm a účelným sa javí riešiť výpočt matematických modelov v klastrovej platforme. Výsledk treba distribuovať po sieti k ďalším počítačom, kde pracujú doplnkové programové aplikácie. ýmto postupom sa zachová časový zisk oproti nedekomponovanému sstému z pôvodného riešenia. Záver Simulovanie matematických modelov leteckého trenažéra klastrovou technológiou v súlade matematickým zápisom bolo vkonané podľa rovníc () a (), resp. () a (). Použila sa jednoprocesorová architektúra počítača a knižnice MPI (message passing interface) s podporou programového vbavenia v prostredí operačného sstému Windows. Obr.5 Výsledok simulácie rovnice () v Matlabe Vstupné parametre pre modelovanie dekomponovaných podsstémov leteckého trenažéra sú stacionárne, nemenné počas výpočtu. A&P journal 8/7 7

5 Z výsledkov získaných simulovaním časovej závislosti na klastri vplýva, že modelovanie podsstémov je náročnejšie, ale rýchlejšie. Uvedenú metódu možno použiť aj pri iných modelovaných konfiguráciách trenažéra lietadla podľa Christophera [] a Rolfa [5]. Potom je potrebné vhodným spôsobom spresniť a upraviť opis matematického zápisu na výpočet modelovania časovej závislosti modelovania na uzloch klastra (počítačoch) v leteckom trenažéri. Literatúra [] LAKELOCK, J. H.: Automatic control of aircraft and Missiles. Second Edition. New York: John Wile & Sons Inc. 99. ISN [] POA, S., SIPOS, G., JUHASZ, Z., KACSUK, P.: Distributed and Parallel Sstems. Parallel Program Execution Support in the JGRID Sstem. Springer Science, New York 5. ISN s. 9. [] FEIELSON, D. G., RUDOLF, L.: Parallel Job Scheduling: Issues and Approaches. Lecture Notes in Computer Science, vol. 99, 995, s. xx. [] Sun Microsstems, Jini echnolog Core Platform Specification, 5. [5] ROLFE, J. M., SAPLES, K. J.: Flight Simulation. Cambridge: Cambridge Universit Press 986, s.. ISN [6] SARNOVSKÝ, J. a kolektív: Riadenie zložitých sstémov. ratislava: Alfa 99. ISN [7] LEVINŠEJN, M. L.: Operátorový počet v elektrotechnike s. 5. [8] ARSCH, H. J.: Matematické vzorce. Praha: Mladá fronta 996. s. 7. ISN: [9] he MathWorks Inc. MALA, 9/995, s.. [] INRIA. Introduction to Scilab. 998, s. 8. [] WOLFRAM, S.: Mathematika A Sstem for Doing Mathematics b Computer. Preface. Addison-Wesle Pub 99. ISN: [] EL-REWINI, H., AD-EL-ARR, M.: Advanced Computer Architecture and Parallel Processing. New York: John Wile & Sons, Inc. 5. ISN [] MPICH dostupné na: < Ing. Peter Kvasnica, PhD. renčianska univerzita A. Dubčeka v renčíne Fakulta mechatronik Katedra informatik Študentská č., 9 5 renčín el.: /7 kvasnica@tnuni.sk Ing. omáš Páleník renčianska univerzita A. Dubčeka v renčíne Fakulta mechatronik Katedra informatik Študentská č., 9 5 renčín el.: / palenik@tnuni.sk 7 A&P journal 8/7 7