.

Transcription

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KO ICIACH Fakulta baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológií Ivo PETRÁ TEÓRIA AUTOMATICKÉHO RIADENIA Návody na cvièenia elfa, s.r.o. Ko ice, 2

2 .

3 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KO ICIACH Fakulta baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológií Katedra informatizácie a riadenia procesov Ing. Ivo PETRÁ, PhD TEÓRIA AUTOMATICKÉHO RIADENIA Návody na cvièenia Ko ice, 2

4 Lektori: Doc. Ing. ubomír DORÈÁK, CSc. Ing. Ján TERPÁK, CSc. Copyright c Ing. Ivo PETRÁ, PhD, 2 Text skrípt nepre iel redakènou ani jazykovou úpravou vydavate stva. Za jazykovú a odbornú náplò textu zodpovedá autor. ISBN X

5 Obsah Predslov Základné pojmy v teórii automatického riadenia 2. Velièiny automatického riadenia Spôsoby riadenia Spätnoväzobn regulaèn obvod Laplaceova transformácia 5 2. Definícia a vlastnosti Laplaceovej transformácie (LT) V poèet LT integrovaním V poèet LT cez transformaèn slovník V poèet inverznej LT Analytické modely spojit ch systémov 9 3. Matematické modely dynamick ch systémov Klasické metódy rie enia diferenciálnych rovníc Rie enia diferenciálnych rovníc pomocou LT Identifikácia spojit ch systémov 3 4. Metóda vyhodnocovania prechodov ch charakteristík Metóda postupnej integrácie Modelovanie spojit ch systémov cez SIPRO 6 5. Metóda zni ovania rádu derivácie Modelovanie cez prenosové bloky Vy etrovanie charakteristík spojit ch systémov 9 6. Vy etrovanie impulzov ch a prechodov ch charakteristík Vy etrovanie frekvenèn ch charakteristík Vy etrovanie fázov ch portrétov Algebra prenosov Základné zapojenia prenosov ch blokov Odvodzovanie diferenciálnych rovníc z prenosov Syntéza spojitého PID regulátora Definícia spojitého PID regulátora Metóda dominantn ch koreòov Ziegler-Nicholsova metóda Kritériá akosti dynamick ch systémov Asymptotické kritériá akosti Globálne kritériá akosti Lokálne kritériá akosti i

6 Urèovanie stability spojit ch systémov 36. Stabilita v èasovej oblasti Algebraické metódy vy etrovania stability Frekvenèné metódy vy etrovania stability Diskrétne systémy 4. Z-transformácia Diferenèné rovnice a diskrétne prenosy systémov Diskretizácia spojit ch systémov Diskrétne PSD regulátory Kritériá stability diskrétnych systémov Nelineárne spojité systémy Definícia nelineárnych systémov Matematick popis nelineárnych systémov Linearizácia Základné nelinearity Stabilita nelineárnych systémov Spojité systémy neceloèíselného rádu Úvod Derivácia a integrál neceloèíselného rádu Sústavy neceloèíselného rádu Regulátory neceloèíselného rádu Modelovanie a simulácia regulaèn ch obvodov Príloha : Slovník Laplaceovej transformácie 5 Príloha 2: Slovník diskrétnej Z-transformácie 5 Príloha 3: Eulerove vz ahy 5 Literatúra 52 ii

7 Predslov Tieto návody na cvièenia z predmetu Teória automatického riadenia boli vydané pre poslucháèov IV. roèníka vysoko kolského túdia, odboru: Riadenie procesov získavania a spracovania surovín, smer: Technologick managemet, na Fakulte BERG, Technickej univerzity v Ko iciach. Cie om predkladaného textu je poskytnú poslucháèovi návod na rie enie úloh z oblasti automatického riadenia. Obsah t chto cvièení systematicky nadväzuje na predná ky uvedeného predmetu a opiera sa o vedomosti získané v predmetoch Matematika, Matematické základy automatizácie, Modelovania a simulácia procesov, Identifikácia systémov a Riadenie technologick ch procesov. Niektoré ïal ie potrebné informácie je mo né nájs aj v publikáciách uveden ch v zozname pou itej literatúry. Obsah skrípt sa t ka teórie lineárnych systémov (spojit ch aj diskrétnych), nelineárnych systémov (spojit ch) a systémov s deriváciami neceloèíselného rádu. Náplò je rozdelená do trinástich cvièení a obsahuje rie ené a nerie ené úlohy z danej problematiky. Skriptá sú iba úvodom do podrobnej ieho túdia tejto problematiky a umo òujú orientova sa v problematike teórie automatického riadenia. Touto cestou chcem tie poïakova Doc. Ing. ubomírovi Dorèákovi, CSc. a Ing. Jánovi Terpákovi, CSc. za preèítanie rukopisu a lektorovanie t chto skríp a za ich cenné rady a pripomienky. Ko ice, marec 2 Autor

8 Základné pojmy v teórii automatického riadenia. Velièiny automatického riadenia Základné velièiny pou ívané v automatickom riadení uvádza Tab. è. : Tab. è. : Velièiny automatického riadenia. Názov velièiny Oznaèenie iadaná hodnota w regulaèná odch lka e riadiaca velièina u akèná velièina a riadená velièina y stavová velièina x porucha z V etky uvedené oznaèenia velièín sa vyu ívajú pri popisoch regulaèn ch obvodov ako aj samotn ch regulátorov a regulovan ch sústav. Ïalej sú uvedené niektoré dôle ité pojmy, ktoré sú nevyhnutné pre správne pomenovanie zariadení pou ívan ch v automatizácii a èinností v nich vykonávan ch. Procesy predstavujú vnútorné vz ahy v systéme, t.j. spôsob transformácie vstupov do systému na v stupy. Èinnos je v sledok procesu, t.j. proces predstavuje realizáciu èinností. Základné procesy sú v konné a riadiace [8, 5]: v konné procesy - uskutoèòujú v konnú èinnos. V technick ch systémoch sú to hmotné transformácie a na ich uskutoènenie je potrebná energia. V konné procesy ïalej delíme na: technologické procesy - sú v konné procesy, v ktor ch sa uskutoèòuje spracovanie (transformácia vstupn ch materiálov), v robné procesy - sú v konné procesy, v ktor ch sa uskutoèòuje v roba v robkov, pozostávajúca z technologick ch a manipulaèn ch procesov. riadiace procesy - zabezpeèujú riadenie, t.j. uskutoèòovanie v konn ch procesov. Naz vajú sa tie kybernetické. Uskutoèòujú sa v nich riadiace èinnosti. Ïal ími dôle it mi pojmami sú automatizácia a regulácia. Pod automatizáciou rozumieme pou ívanie tak ch zariadení, ktoré oslobodzujú èloveka nielen od fyzickej ale aj du evnej riadiacej práce. Jednotlivé dielèie èinnosti èiastoène alebo úplne preberajú automaty alebo poèítaèe. Regulácia je udr iavanie urèen ch velièín procesu na vopred urèen ch, najèastej ie na kon tantn ch hodnotách. Základnou úlohou systémov riadenia je realizácia automatického riadenia vo forme automatizovan ch systémov riadenia technologick ch procesov (ASRTP). ASRTP patrí medzi v znamné oblasti aplikácie kybernetiky, ktorá je jeho teoretick m základom. V eobecnos teórie automatického riadenia (TAR) umo òuje vyvinú systémy riadenia pre rôzne objekty pod a jednotliv ch princípov, berúc do úvahy zvlá tnosti t chto objektov len pri projektovaní informaèného systému a vstupu riadiacich akcií do objektu. 2

9 .2 Spôsoby riadenia V TAR rozli ujeme tri základné typy riadenia, ktoré sa vyu ívajú jednotlivo alebo vo vzájomnej kombinácii pri tvorbe ASRTP. Patria sem [4, 5, 8]:. Dopredné riadenie: vstup Ovládacie zariadenie Objekt výstup Obr. : Dopredné riadenie. Tento spôsob otvoreného riadenia je zobrazen na Obr.. iadaná v stupná hodnota je privádzaná do ovládacieho zariadenia, ktoré dopredu pod a daného programu nastavuje riadiacu velièinu objektu. 2. Kompenzaèné riadenie: porucha vstup Kompenzátor (Regulátor) Objekt výstup Obr. 2: Kompenzaèné riadenie. Kompenzaèn spôsob riadenia je zobrazen na Obr. 2. Je to tie otvoren riadiaci obvod. iadaná v stupná hodnota je privádzaná do kompenzátora, resp. regulátora, ktor upravuje aj vzh adom na pôsobiacu poruchu riadiacu velièinu objektu. Toto riadenie kompenzuje vplyv okolia na objekt. 3. Spätnoväzobné riadenie: vstup Porovnanie Regulátor Objekt výstup Meranie Obr. 3: Spätnoväzobné riadenie. Uzavreté riadenie zobrazené na Obr. 3 je spätnoväzobné. iadaná hodnota je porovnávaná s meranou skutoènou hodnotou. Na základe vzniknutého rozdielu (chyby) regulátor upravuje riadiacu velièinu objektu. 3

10 .3 Spätnoväzobn regulaèn obvod V ïal om budeme pre názornos pou íva spätnoväzobn tvar regulaèného obvodu, ktor je zobrazen na Obr. 4. z w e u y - Regulátor Sústava Obr. 4: Spätnoväzobn regulaèn obvod. Vo spätnoväzobnom regulaènom obvode sú na popis vyu ité procesné velièiny, ktoré sú uvedené v èasti., v Tab. è.. Do rozdielového èlena regulaèného obvodu vstupuje iadaná hodnota w a skutoèná riadená velièina y. V sledn m rozdielom je regulaèná odch lka e, e = w y. Regulaèná odch lka e vstupuje do regulátora, ktor na jej základe stanoví riadiacu velièinu u. Riadiaca velièina u a tie poruchová velièina z vstupujú do riadeného objektu. Pomocou riadiacej velièiny u sa stanovuje iadan v stup z objektu. Priamy zásah na objekte sa vykonáva tzv. akènou velièinou a, pre ktorú platí: a = f(u). Vo viacer ch prípadoch je iadanou hodnotou kon tanta. Vtedy hovoríme o regulácii na kon tantnú hodnotu. Tento základn typ spätnoväzobného riadenia sa niekedy naz va aj stabilizácia. Príklad.. Typick m jednoduch m príkladom na spätnoväzobné riadenie mô e by napríklad vykurovanie rodinného domu. V takom prípade ide o reguláciu teploty vnútorného prostredia. Teplota vnútorn ch priestorov je snímaná teplomerom. Nameran udaj je porovnávan s po adovanou nastavenou teplotou a vzniknut rozdiel je priveden do regulátora. Regulátor potom nastavuje riadiacu velièinu (napr. mno stvo plynu v prípade vykurovania plynom). Vykurovanie rodinného domu by sa dalo rie i aj programov m riadením alebo aj kompenzaèn m riadením. Úlohy na samostatné cvièenie:. Popí te základné velièiny automatického riadenia. 2. Definujte proces a vymenujte základné procesy. 3. Èo je to automatizácia? 4. Èo je to regulácia? 5. Aká je základná úloha ASRTP atar? 6. Vymenujte a popí te základné spôsoby riadenia. 7. Nakreslite a popí te spätnoväzobn regulaèn obvod. 8. Uveïte príklady na spätnoväzobné riadenie. 4

11 2 Laplaceova transformácia 2. Definícia a vlastnosti Laplaceovej transformácie (LT) Laplaceova transformácia (LT) je typom integrálnej transformácie a predstavuje matematick aparát, ktor zjednodu uje anal zu a syntézu regulaèn ch obvodov. Je definovaná nasledujúcim vz ahom (napr. [, 4, 5, 6, ], atï.): Inverzná LT je definovaná ako F (p) =${f(t)} = f(t)e pt dt () f(t) =$ {F (p)} = c+i F (p)e pt dp, (2) 2πi c i kde p = r + iω je komplexné èíslo a c je kon tanta zvolená tak, aby vpolrovine Re(p) >c nemala funkcia F (p) iadne singulárne body. Aby funkcia f(t) bola transformovate ná do Laplaceovej oblasti p, musí vyhovova nasledujúcej podmienke: f(t) e rt dt <, kde r (, ) at, ). Medzi základné vlastnosti LT patria:. Linearita a superpozícia: k f (t) ± k 2 f 2 (t) ±... k F (p) ± k 2 F 2 (p) ± Zmena merítka: ) f(at) a F ( p a 3. Posun v originále: f(t a) e at F (p) 4. Posun v obraze: e at f(t) F (p + a) 5. Konvolúcia: f (t).f 2 (t) F (p).f 2 (p) 6. Derivovanie v obraze: df (p) t.f(t) dp 5

12 7. Derivovanie pod a inej premennej: 8. Derivovanie v originále: f(t, a) a F(p, a) a d (n) dt n f(t) pn F (p) p n f() p n 2 f ()... f (n ) () 9. Integrovanie v obraze:. Integrovanie pod a inej premennej: t f(t) F (p)dp p b b f(t, a)da b b F (p, a)da. Integrovanie v originále:... f(t)dt n }{{} n krát p n F (p) 2. Veta o poèiatoènej hodnote: 3. Veta o koneènej hodnote : lim f(t) lim t p pf (p) lim t 2.2 V poèet LT integrovaním f(t) lim pf (p) p V poèet integrovaním je mo né realizova vyu itím vz ahu () pre priamu LT. Získané urèité integrály potom rie ime priamo alebo pomocou metódy per partes, preto e jadrom LT je exponenciálna funkcia e x. Príklad 2.. Vypoèítajte LTfunkcie µ(t a), (posunut jednotkov skok). S vyu itím definièného vz ahu () alebo vlastnosti 3, dostávame nasledujúci integrál: [ ${µ(t a)} = µ(t a)e pt dt = e pt dt = ] a p e pt = p e ap a Túto vetu nie je mo né pou i v prípade ak polynóm v menovateli funkcie F (p) má kladné korene (póly), to znamená, e ide o nestabiln systém. 6

13 Príklad 2.2. Vypoèítajte LT funkcie f(t) = cos(ωt). S vyu itím definièného vz ahu () a Eulerov ch vz ahov (pozri Prílohu 3), dostávame nasledujúci integrál: = 2 ${cos(ωt)} = (e iωt pt + e iωt pt )dt = 2 = 2 [ ] e t(iω p) iω p = 2 cos(ωt)e pt dt = 2 [ ] e t( iω p) = iω p 2 ) + 2 ( iω + p iω p (e iωt + e iωt )e pt dt = (e iωt pt )dt + ( e iωt pt )dt = 2 iω p + 2 iω + p = = 2p 2 i 2 ω 2 p = 2 p ω 2 + p 2 Túto úlohu je mo né vyrie i aj pomocou metódy integrovania per partes. 2.3 V poèet LT cez transformaèn slovník Väè inu funkcií pou ívan ch v TAR je mo né previes do Laplaceovej oblasti priamo pomocou transformaèného slovníka, ktor je uveden v Prílohe. Niektoré zlo itej ie funkcie sa dajú rozlo i alebo zjednodu i pomocou známych vz ahov a potom previes do oblasti Laplaceov ch obrazov. Príklad 2.3. Vypoèítajte LT funkcie f(t) = sin(ωt). S vyu itím transformaèného slovníka a Eulerov ch vz ahov (pozri Prílohu 3), dostávame vz ah: f(t) = sin(ωt) = 2i ( e iωt e iωt) = 2i eiωt 2i e iωt LT potom urèíme pomocou transformaèného slovníka (pozri Prilohu ) pre funkciu e at ako ${sin(ωt)} = 2i p iω 2i p + iω = [ 2i p iω ] ω = p + iω p 2 + ω V poèet inverznej LT Pri rie ení problémov je potrebná mo nos spätného prechodu od obrazu k originálu funkcie. Táto operácia sa spravidla robí vyh adávaním v Laplaceovom transformaènom slovníku. Èasto je potrebné urobi urèité úpravy funkcie ako je to ilustrované na nasledujúcom príklade [7]. Príklad 2.4. Urète inverznú LT funkcie F (p) = slovníka. Úpravou zlomku dostávame nasledujúci tvar: F (p) = p (p ) 2 +4 p p 2 2p+5 pod a vety o posunutí potom dostávame: F (p +)= p+ p Tento v raz je pomocou transformaèného slovníka upraven na tvar: e t f(t) =cos(2t)+ sin (2t) 2 7 s vyu itím transformaèného

14 odkia potom dostávame inverznú transformáciu funkcie v tvare: f(t) =e t ( cos (2t)+ 2 sin (2t) ) V niektor ch prípadoch je Laplaceov obraz funkcie zlo it a inverzná transformácia sa nedá urobi priamo. Ak funkcia má tvar: F (p) = R(p) Q(p) = a rp r + a r p r a p + a p q + b q p q b p + b, kde R(p) a Q(p) sú polynómy premennej p, prièom Q(p) je vy ieho stupòa ako R(p), (q >r), potom sa dá rozlo i na parciálne zlomky. Laplaceova transformácia mô e by potom vyjadrená ako rad parciálnych zlomkov. V prípade jednoduch ch pólov je poèet zlomkov rovn q, ktoré sú vyjadrené ako F (p) = R(p) Q(p) = A p p + A 2 p p A q p p q Inverziou ka dého èlena pravej strany dostaneme originál transformovanej funkcie f(t). Táto metóda sa dá v hodne pou i vtedy, ak má menovate jednoduché póly. V prípade viacnásobn ch pólov akomplexne zdru en ch pólov je v poèet ve mi zdåhav a nároèn. V tak chto prípadoch je v hodné pou i iné metódy v poètu koeficientov (pozri napr. [2,, 4, 5, 7], atï.). Príklad 2.5. Urète inverznú LT funkcie F (p) = parciálne zlomky. Úpravou zlomku dostávame nasledujúci tvar: F (p) = p+2 p(p+)(p+3) p +2 p(p + )(p +3) = A p + A 2 p + + A 3 p +3 s vyu itím rozkladu na Roznásobením a porovnaním koeficientov pri rovnak ch mocninách potom pre koeficienty A,A 2 a A 3 dostávame: [ p +2 A =[pf (p)] p= = = 2 (p +)(p +3) 3 p= [ ] p +2 A 2 =[(p +)F (p)] p= = = p(p +3) 2 p= [ ] p +2 A 3 =[(p +3)F (p)] p= 3 = = p(p +) 6 p= 3 Inverzná Laplaceova transformácia potom je: f(t) = e t 6 e 3t. Úlohy na samostatné cvièenie:. S vyu itím vz ahu pre priamu LT, Eulerov ch vz ahov a metódy per partes urète obrazy èasov ch funkcií f(t): = { δ(t), µ(t), t, t 2, e αt, sin(ωt), cos(ωt) }. 2. Doká te platnos vety o linearite LT na funkcii f(t) =3t +2e 3t. 3. Urète inverznú LT kfunkcii F (p) = K p a + K 2 p b + K 3 p c. ] 8

15 3 Analytické modely spojit ch systémov 3. Matematické modely dynamick ch systémov Pri tvorbe matematick chmodelov dynamick ch systémov sa obmedzíme iba na kybernetické modely.tento makroprístup tuduje chovanie systému z h adiska vstupu a v stupu. Tieto modely sa dajú popísa pomocou lineárnych diferenciálnych rovníc s kon tantn mi koeficientmi. V eobecn tvar takejto diferenciálnej rovnice sa dá zapísa ako a n y (n) (t)+...+ a y (t)+a y(t) =b m u (m) (t)+...+ b u (t)+b u(t), (3) kde u(t) je vstup do systému a y(t) jev stup zo systému. Pre názornos budeme ïalej uva ova matematické modely popísané diferenciálnymi rovnicami prvého rádu (jednokapacitné sústavy) v tvare: a y (t)+a y(t) =u(t) (4) a matematické modely popísané diferenciálnymi rovnicami druhého rádu (dvojkapacitné sústavy) v tvare: a 2 y (t)+a y (t)+a y(t) =u(t) (5) Matematické modely vy ích rádov budú tie spomenuté ale nebudú rie ené. Laplaceovou transformáciou diferenciálnej rovnice (3) a následnou úpravou dostaneme prenosovú funkciu systému, ktorú mô eme zapísa ako F (p) = Y (p) U(p) = b mp m b p + b a n p n a p + a (6) Diferenciálnej rovnici prvého rádu (4) zodpovedá prenosová funkcia sústavy F s (p) = a p + a (7) a diferenciálnej rovnici druhého rádu (5) zodpovedá prenosová funkcia sústavy F s (p) = a 2 p 2 + a p + a (8) V prípade ak matematick model sústavy nemá prenosovú zlo ku a, potom hovoríme o astatickej sústave. Jednoduch m príkladom mô e by nádoba bez v toku. Prenosová funkcia takejto sústavy má tvar: F (p) = /p. Je to integrátor. Ïal im prípadom je napríklad satelitná anténa. Prenosová funkcia má tvar: F (p) =/p 2. Ide odvojit integrátor. Ïal ím pou ívan m spôsobom vyjadrenia matematického modelu je zápis v stavovom priestore. Pri tomto vyjadrení sa vyu ívajú stavové premenné systému. Lineárny systém s koneènou dimenziou n sa dá zapísa ako dx(t) dt = A x(t)+b u(t), y(t) = C x(t), t, (9) pre x() = x, prièom A, B, C sú matice a kde x(t) je stavová premenná. Tento zápis zoh adòuje poznatky aj o vnútornej truktúre systému. 9

16 3.2 Klasické metódy rie enia diferenciálnych rovníc Z matematického h adiska je diferenciálna rovnica (3) nehomogénna diferenciálna rovnica, ktorej rie ením je súèet: y(t) =y h (t)+y n (t), kde y h (t) je rie enie homogénnej diferenciálnej rovnice (prechodová zlo ka) a y n (t) je partikulárne rie enie (prenosová zlo ka). Aby bolo mo né rie i takúto diferenciálnu rovnicu, musia by zadané aj poèiatoèné podmienky y() a y (). Uva ujme v eobecn prípad diferenciálnej rovnice druhého rádu (5). Rie enie nájdeme tak, e najprv vyrie ime homogénnu diferenciálnu rovnicu a potom nájdeme partikulárne rie enia pod a typu pravej strany. Homogénna diferenciálna rovnica má tvar a 2 y (t)+a y (t)+a y(t) = Charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice potom je a 2 r 2 + a r + a = Korene charakteristickej rovnice sa dajú nájs pod a vzorca: r,2 = a ± D 2a 2, D = a 2 4a 2 a Poznámka: Aby bol systém fyzikálne realizovate n, musí by splnená nasledujúca podmienka: a 2 > a a. Pod a hodnoty diskriminantu D mô eme dosta nasledujúce tvary rie enia y h (t) homogénnej differenciálnej rovnice:. D>:y h (t) =C e r t + C 2 e r 2t, 2. D =:y h (t) =C t e rt + C 2 t e rt, 3. D<:y h (t) =e Re(r )t (C cos(im(r )t)+c 2 sin(im(r 2 )t)). Partikulárne rie enia y n (t) sa vo v eobecnosti h adajú pomocou Wronského determinantu. Pre niektoré jednoduché prípady funkcií na pravej strane, pou ívan ch v TAR, je mo né nájs partikulárne rie enia aj jednoduch ím spôsobom. Napríklad ak pravá strana diferenciálnej rovnice má tvar: u(t) =e αt [P (t)cos(βt)+p 2 (t)sin(βt)], vtedy partikulárne rie enie dostaneme pomocou vzorca y n (t) =t k e αt [R (t)cos(βt)+r 2 (t)sin(βt)], kde R (t) a R 2 (t) sú mnohoèleny takého stupòa, ako je vy í zo stupòov mnohoèlenov P (t) ap 2 (t) aèíslo k vyjadruje násobnos koreòa α ± iβ charakteristickej rovnice.

17 Ak je na pravej strane diferenciálnej rovnice kon tanta K, potom je mo né rie enie nájs spôsobom, ktor je uveden v nasledujúcom príklade. Príklad 3.. Analyticky nájdite rie enie nasledujúcej differenciálnej rovnice y (t)+3y (t)+2y(t) = pre nulové poèiatoèné podmienky: y() =,y () =. Charakteristickárovnica je: r 2 +3r+2 =. Diskriminant D>, korene charakteristickej rovnice sú: r = ar 2 = 2 (stabilná sústava). Rie enie homogénnej diferenciálnej rovnice má potom tvar: y h (t) =C e t + C 2 e 2t V prípade ak u(t) =, analytick m rie ením diferenciálnej rovnice je prechodová charakteristika ay n (t) =K. Dosadením do diferenciálnej rovnice dostávame K = K = /2 =.5. Rie enie diferenciálnej rovnice potom je y(t) =C e t + C 2 e 2t +.5 Kon tanty C a C 2 urèíme z poèiatoèn ch podmienok. Zderivujeme analytické rie enie pod a t, dostaneme y (t) = C e t 2C 2 e 2t. Dosadíme poèiatoèné podmienky a dostávame sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. Vyrie ením tejto sústavy získame kon tanty C = a C 2 =.5. H adané analytické rie enie (prechodová charakteristika sústavy) nehomogénnej diferenciálnej rovnice má v sledn tvar: y(t) = e t +.5e 2t +.5 =.5( e t ) 2 Pre t =, y() = a pre t = je prenosová zlo ka y( ) = Rie enia diferenciálnych rovníc pomocou LT Diferenciálne rovnice je mo né rie i aj pomocou LT. Ide o siln matematick nástroj, kde sa diferenciálne rovnice s poèiatoèn mi podmienkami transformujú do oblasti Laplaceov ch obrazov ako algebraické rovnice. Vyrie ením algebraick ch rovníc a inverznou LT je potom mo né nájs originál rie enia v èasovej oblasti. Príklad 3.2. Pomocou LT nájdite rie enie diferenciálnej rovnice y (t)+4y (t)+3y(t) =2u(t), pre poèiatoèné podmienky: y() =, y () = a kde u(t) =µ(t), (jednotkov skok). Aplikovaním LT na jednotlivé èleny diferenciálnej rovnice dostaneme v raz [p 2 Y (p) py() y ()] + 4[pY (p) y()] + 3Y (p) =2U(p) V prípade pôsobenia jednotkového skoku na vstup je U(p) =. Dosadením poèiatoèn ch p podmienokalt jednotkového skoku potom dostávame Y (p)[p 2 +4p +3] [p +4]= 2 p

18 Úpravou a rozlo ením polynómu dostávame Y (p) = p +4 p 2 +4p p(p 2 +4p +3) = p +4 (p + )(p +3) + 2 p(p + )(p +3) Rozkladom na parciálne zlomky a porovnaním koeficientov pri rovnak ch mocninách dostaneme nasledujúce vyjadrenie [ 3/2 Y (p) = (p +) + /2 ] [ + (p +3) (p +) + /3 ] + 2/3 (p +3) p Pomocou Laplaceovho transformaèného slovníka nájdeme k jednotliv m obrazom originály funkcií. V sledné analytické rie enie diferenciálnej rovnice je [ 3 y(t) = 2 e t ] 2 e 3t + [ e t + ] 3 e 3t Pre t = prechodová zlo ka zaniká a prenosová zlo ka je y( ) = 2/3. Úlohy na samostatné cvièenie:. Vysvetlite èo sú to poèiatoèné podmienky diferenciálnych rovníc. 2. Nájdite rie enie diferenciálnej rovnice prvého rádu pre nulové poèiatoèné podmienky. y (t)+2y(t) =4 3. Pomocou klasick ch metód aj pomocou LT rie te diferenciálnu rovnicu: y (t)+6y (t)+3y(t) =u(t) pre nulové poèiatoèné podmienky ak u(t) = δ(t) a ak u(t) = µ(t). 4. Pomocou klasick ch metód aj pomocou LT rie te diferenciálnu rovnicu: 9y (t) 6y (t)+y(t) = pre nulové poèiatoèné podmienky a tie pre podmienky: y() = 3 a y () =. 5. Pomocou metód LT nájdite analytické rie enia nasledujúcej diferenciálnej rovnice 4y (t)+8y (t)+5y(t) =e t pre nulové poèiatoèné podmienky a pre podmienky y() = a y () =. 6. Pomocou metód LT rie te integrálno-diferenciálnu rovnicu pre nulové poèiatoèné podmienky. y (t)+6y(t)+9 y(t)dt = 2

19 4 Identifikácia spojit ch systémov Hlavnou úlohou identifikácie systému je vy etrenie dynamick ch vlastností systému a stanovenie jeho matematického modelu experimentálnym postupom. Pomocou testovacích signálov pôsobíme na systém a zaznamenávame jeho odozvu. Vyhodnocovaním nameran ch signálov potom urèíme model systému. V ïal ích èastiach sú popísané dve jednoduché metódy identifikácie dynamick ch systémov. Prvá metóda je vhodná pre jednoduché systémy (napr. jednokapacitné). Druhú metódu mô eme pou i aj pre zlo itej iu truktúru matematického modelu (napr. dvojkapacitnú sústavu). Obidva uvedené metódy vychádzajú z odozvy nenabudeného systému na jednotkov skok, t.j. z prechodov ch charakteristík. 4. Metóda vyhodnocovania prechodov ch charakteristík Pri vyhodnocovaní prechodov ch charakteristík sa vychádza z toho, e meraním zistíme odozvu y(t) systému na skokovú zmenu vstupného signálu u(t) o známej ve kosti. Systém musí by pred zmenou v ustálenom stave. Identifikácia systémov -tého rádu: Tak to systém (proporcionálny) je mo né popísa rovnicou v tvare y(t) =Ku(t) V takomto prípade systém predstavuje dynamick èlen bez oneskorenia (-tého rádu) a parameter (zosilnenie) systému sa stanoví z rozdielu ustálen ch hodnôt ako K = y(t) u(t) = y u Identifikácia systémov -tého rádu: Tak to dynamick systém (jednokapacitn ) je mo né popísa diferenciálnou rovnicou v tvare Ty (t)+y(t) =Ku(t) Analytické rie enie takejto diferenciálnej rovnice pri skokovej zmene vstupnej velièiny o u bude: y(t) =K u ( e t T ), () kde pre K platí: K = y u Èasovú kon tantu T mô eme urèi tak, e do vz ahu () dosadíme za t = T. Potom dostaneme y(t) =K u( e )=.632K u =.632 y Pre hodnotu.632 y (viï Obr. 5) bude èasová kon tanta daná vz ahom T = t B K u = t B ln ( y(t B ) K u ) 3

20 Obr. 5: Prechodová charakteristika. Z identifikovan ch parametrov T a K je mo né jednoduchou úpravou získa koeficienty a a a pre diferenciálnurovnicu v tvare (4). Pre koeficienty platí vz ah: a = T K a a = K. Identifikácia systémov n-tého rádu: Pri identifikácii systémov druhého rádu mô eme na stanovenie èasov ch kon tánt diferenciálnej rovnice vyu i dobu nábehu T n a dobu prie ahu T u.pod a existujúcich vz ahov je potom mo né stanovi parametre a 2, a a a diferenciálnej rovnice (5). Pre diferenciálne rovnice rádu, n>2 nie je mo né explicitne vyjadri èasové kon tanty z nameranej prechodovej charakteristiky, ale musíme pou i pribli né metódy [2] (napr. aproximácia prechodovej charakteristiky sústavou druhého rádu). 4.2 Metóda postupnej integrácie Táto identifikaèná metóda je vhodná aj na urèovanie parametrov modelov vy ích rádov a umo òuje aproximova aj odozvy na in vstupn signál ako je jednotkov skok. Ako príklad je uveden postup pre stanovenie koeficientov a 2, a a a diferenciálnej rovnice (5). Predpokladajme, e vstupn m signálom bol jednotkov skok u(t) = µ(t) =, celkov èas merania odozvy bol T a systém bol v nenabudenom stave (nulové poèiatoèné podmienky). Pre koeficienty matematického modelu potom platí: a = u(t ) u() y(t ) y() a = y(t ) pre u(t) = () Na stanovenie parametrov a 2 a a je potrebné vypoèíta prvú a druhú integrálnu krivku. Pre parameter a platí vz ah, ktor získame integrovaním diferenciálnej rovnice (5). a = [ T ] T a μy(t)dt μu(t)dt a = a T μy(t)dt pre u(t) = (2) y(t ) y() y(t ) 4

21 Ïal ou integráciou a následnou úpravou dostávame vz ah pre v poèet parametra a 2 v tvare: a 2 = [ T T T T ] T μu(t)dt 2 a μy(t)dt 2 + a μy(t)dt pre u(t) =, (3) y(t ) t t kde μy(t) =y(t ) y(t) aμu(t) =u(t ) u(t). Podobn m spôsobom by bolo mo né nájs vz ahy aj pre koeficienty diferenciálnej rovnice vy ieho rádu ako 2. Vzh adom na numerickú integraènú metódu (napr. lichobe níková metóda), ktorú budeme pou íva na experimentálne spracovanie dát, je potrebné zvá i maximálny rád matematického modelu, preto e chyba pri v poète potom rastie nad prijate nú hranicu. Úlohy na samostatné cvièenie:. Pomocou metódy vyhodnocovania prechodov ch charakteristík urète parametre a a a diferenciálnej rovnice prvého rádu (4), ak nameraná prechodová charakteristika systému je zobrazená na Obr. 6. Obr. 6: Nameraná prechodová charakteristika. 2. Pomocou metódy postupnej integrácie urète parametre a 2, a a a diferenciálnej rovnice druhého rádu (5), ak pri pôsobení jednotkového skoku na vstup systému, boli pre èas T = 6[s] namerané hodnoty v stupného signálu, ktoré sú uvedené v Tab. è. 2. Pred meraním bol systém v nenabudenom stave. Tab. è. 2: Experimentálne namerané dáta. i y i Na numerické integrovanie pou ite lichobe níkovú metódu integrovania, pre ktorú platí: ( T N y y(t)dt 2 + y i + y ) N h, 2 pre N = T/h, kde h je èasov krok v poètu a N je poèet nameran ch vzoriek. i= 5

22 5 Modelovanie spojit ch systémov cez SIPRO SIPRO je jednoduch ale vyhovujúci simulaèn program. Pre úèely predmetu TAR je mo né vyu i ho na simuláciu a vy etrovanie niektor ch vlastností regulovan ch sústav ale aj regulaèn ch obvodov. Modelovanie spojit ch systémov je mo né urobi pomocou metódy zni ovania rádu derivácie alebo cez definované prenosové bloky. 5. Metóda zni ovania rádu derivácie Tento prístup je ukázan na príklade modelovania a simulácie dvojkapacitnej sústavy, ktorú mô eme popísa diferenciálnou rovnicou druhého rádu (5). Z tejto diferenciálnej rovnice vyjadríme najvy iu deriváciu, prièom dostávame rovnicu v tvare [2]: y (t) = [u(t) a y(t) a y (t)] a 2 Túto rovnicu mô eme namodelova pomocou zosi òovaèov, kon tánt, sumátorov a následn m dvojnásobn m integrovaním získame analytické rie enie y(t). Bloková schéma namodelovanej diferenciálnej rovnice (5) je zobrazená na Obr. 7. Poèiatoèné podmienky sú zadané v y () a y(). Budiaca funkcia u(t) je pre prípad KON u(t) SUM SUM /a 2 y'() y() ZES y''(t) INT y'(t) INT y(t) a ZES 7 - a ZES 8 Obr. 7: Bloková schéma pre SIPRO. jednotkového skoku zadaná v bloku è. akokon=. Prechodovú charakteristiku získame ako v stup z bloku è. 6 v podobe grafu alebo tabu ky vypoèítan ch hodnôt pre zadan èas simulácie a krok rie enia. 5.2 Modelovanie cez prenosové bloky Táto metóda modelovania je jednoduch ia na zadávanie blokov a parametrov do SIPRA. Vy aduje aby bol známy obrazov prenos modelovaného dynamického systému. Diferenciálnej rovnici druhého rádu (5) zodpovedá prenosová funkcia v tvare: F (p) = a 2 p 2 + a p + a 6

23 Tento prenos mô eme v závislosti od koreòov v menovateli namodelova pomocou blokov SET alebo KMI. Tvar prenosov ch blokov je zobrazen na Obr. 8. Jednotlivé bloky pou- U(p) (T.p) 2 +2.ksi.T.p+ Y(p) U(p) T.p + T2.p + Y(p) (a) KMI blok (b) SET bloky Obr. 8: Modelovanie cez prenosové funkcie. ívame pod a hodnoty diskriminantu charakteristickej rovnice. Pre D>vyu ijeme dva SET bloky na základe rozkladu charakteristickej rovnice na súèin koreòov ch èinite ov: F (p) = = a 2 p 2 + a p + a a 2 (p p )(p p 2 ), kde p,2 = a ± a 2 4a 2 a 2a 2 Úpravou potom dostávame F (p) =. p p 2 ( p p + )( p 2 p +) =. p p 2 (T p + )(T 2 p +) Tento prenos bude modelovan cez dva SET bloky a jeden blok KON so vstupnou hodnotou u(t) =/(p p 2 ). Pre D vyu ijeme ako základn blok KMI, pre ktor musíme F (p) upravi na tandardizovan tvar pre SIPRO. F (p) = a 2 p 2 + a p + a = a a 2 a p 2 + a a p + = a [( a 2 a )p] a 2 a 2 a a2 a p + Vstupom do KMI bloku potom budú kon tanty: T = a 2 a a ksi = a 2 a 2 a a vstupom do bloku KON bude u(t) =/a. u(t) T ksi KON KMI DER y'(t) DER y''(t) y(t) Obr. 9: Bloková schéma pre SIPRO. Bloková schéma namodelovanej diferenciálnej rovnice (5) cez prenosové bloky je zobrazená na Obr. 9. 7

24 Prechodovú charakteristiku získame ako v stup z bloku è. 2 v podobe grafu alebo tabu ky vypoèítan ch hodnôt pre zadan èas simulácie a krok rie enia. Príklad 5.. Namodelujte diferenciálnu rovnicu druhého rádu pomocou metódy prenosov ch blokov. Diferenciálna rovnica má tvar:.744y (t)+.233y (t)+=u(t) ak vstupom u(t) je jednotkov skok a poèiatoèné podmienky sú nulové. Na modelovanie vyu ijeme blokovú schému zobrazenú na Obr. 9, preto e diskriminat charakteristickej rovnice je D <. Charakteristická rovnica má komplexne zdru ené korene p,2 = ±.585i. Kon tanty pre KMI blok budú: T =.86, ksi =.343, a hodnota bloku KON bude rovná. Na modelovanie spätnoväzobného regulaèného obvodu mô eme vyu i prenosové bloky a zostavi blokovú schému, ktorá je zobrazená na Obr.. u(t) T ksi KON SUM PID KMI (SET) y(t) ZES 5 Obr. : Bloková schéma pre SIPRO. Regulovaná sústava mô e by modelovaná cez KMI alebo SET bloky a regulátor mô e by modelovan cez prenosov blok PID alebo pre jednotlivé partikulárne prípady regulátora cez prenosové bloky PDR a PIR, atï. Pri zadávaní parametrov regulátora je potrebné upravi kon tanty na tandardizovan tvar pre SIPRO. Úlohy na samostatné cvièenie:. Namodelujte diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou metódy zni ovania rádu derivácie a pomocou prenosov ch blokov, y (t)+2y(t) =4 pre nulové poèiatoèné podmienky a nájdite jej analytické rie enie. 2. Namodelujte diferenciálnu rovnicu druhého rádu a nájdite je analytické rie enie pomocou metódy zni ovania rádu derivácie a pomocou prenosov ch blokov, y (t)+6y (t)+3y(t) =u(t) pre nulové poèiatoèné podmienky ak u(t) = µ(t). 8

25 6 Vy etrovanie charakteristík spojit ch systémov Dynamické vlastnosti sledovaného systému je mo né vyjadri aj graficky, a to v tvare rôznych charakteristík. Tieto charakteristiky sa dajú stanovi z diferenciálnej rovnice resp. prenosovej funkcie v poètom alebo ich mô eme urèova experimentálne, vybudením systému z jeho rovnová neho stavu aplikáciou definovaného signálu u(t) na vstup systému. Najèastej ie sa umelo vyvoláva zmena vstupnej velièiny vo forme skoku, impulzu alebo harmonicky premenného signálu. Pre v stupnú velièinu zo sústavy potom dostávame funkèn vz ah, ktorého grafické znázornenie je prechodová, impulzová alebo frekvenèná charakteristika. V technickej praxi sa na vy etrovanie dynamick ch vlastností e te pou- ívajú vstupné velièiny vo forme rampovej funkcie a náhodného vstupného signálu (biely um). 6. Vy etrovanie impulzov ch a prechodov ch charakteristík Impulzová funkcia je odozva nenabudenej sústavy (pri nulov ch poèiatoèn ch podmienkach) na Diracov (jednotkov ) impulz priveden na jej vstup (u(t) = δ(t)). Grafick m znázornením èasového priebehu impulzovej funkcie dostávame impulzovú charakteristiku. Preto e Laplaceov obraz jednotkového impulzu je rovn jednej, tak impulzovú funkciu dostávame priamo z obrazového prenosu pou itím spätnej Laplaceovej transformácie. Tak e obrazov prenos systému je súèasne Laplaceov m obrazom impulzovej funkcie. Prechodová charakteristika jeintegrálom impulzovej charakteristiky pod a èasu a opaène. Ak je známa jedna z uveden ch charakteristík, potom druhú je mo né vypoèíta integrovaním resp. derivovaním pod a èasu [, 4, 5]: y prech (t) = t y imp (τ)dτ, resp. y imp (t) = d dt y prech(t) Preto e sa impulzová charakteristika priamo meraním získava a ko, v teórii automatického riadenia ju urèujeme v poètom. Pre teoretické úèely je ve mi v hodn m matematick m modelom, lebo je jadrom integrálu konvolúcie, umo òujúceho urèi v èasovej oblasti odozvu systému na ubovo n vstupn signál. Prechodová funkcia je definovaná ako odozva, t.j. èasov priebeh v stupnej velièiny y(t) nenabudenej sústavy, ak na vstup sústavy zaène pôsobi jednotkov skok, (u(t) = µ(t)). Grafické znázornenie prechodovej funkcie je prechodová charakteristika. Táto charakteristika je vhodná na sledovanie prenosov ch vlastností. Je v hodné pou- i ju aj u tak ch prenosov ch èlánkov, pre ktoré nemô eme zostavi prenosovú rovnicu na základe vnútorn ch pochodov, preto e nepoznáme ich truktúru alebo ju nevieme presne matematicky formulova. Z priebehu prechodovej charakteristiky vieme urèi niektoré kritériá akosti, ako napríklad ustálenú hodnotu, stabilitu, preregulovanie, dobu regulácie, dobu nábehu, dobu prie ahu, dobu prechodu a tie regulaènú plochu. Príklad 6.. Zostrojte a vy etrite impulzovú a prechodovú charakteristiku dynamického systému popísaného diferenciálnou rovnicou v tvare.744y (t)+.233y (t)+y(t) =u(t) (4) Na zostrojenie impulzovej charakteristiky je potrebné nájs rie enie homogénnej diferenciálnej rovnice (u(t) = δ(t)) a toto rie enie graficky znázorni v závislosti na èase 9

26 a na zostrojenie prechodovej charakteristiku je potrebné nájs úplné analytické rie enie diferenciálnej rovnice (u(t) = µ(t)) a toto rie enie graficky znázorni v závislosti na èase. Analytické rie enie (prechodová charakteristika) uvedenej diferenciálnej rovnice nájdeme pomocou metód popísan ch v kapitole 3. Pre nulové poèiatoèné podmienky má nasledujúci tvar: y(t) = e.56t (cos(.58t)+.355 sin(.58t)) Deriváciou prechodovej charakteristiky získame impulzovú charakteristiku y(t).2 y(t) t [s] t [s] (a) Impulzová charakteristika (b) Prechodová charaktersitika Obr. : Charakteristiky dynamického systému (4). Pod a priebehov impulzovej a prechodovej chararakteristiky, ktoré sú zobrazené na Obr. mô eme poveda, e ide o kmitavú tlmenú impulzovú a prechodovú charakteristiku. 6.2 Vy etrovanie frekvenèn ch charakteristík Frekvenèn prenos charakterizuje odozvu na harmonick vstupn signál o jednotkovej amplitúde a danej frekvencii (u(t) = sin(ωt)) za predpokladu, e regulaèn pochod prebieha dostatoène dlho, a sa vytvorí ustálen stav. To znamená, e èasov priebeh v stupnej velièiny je èisto periodick, bez prechodovej zlo ky. Pri prenose harmonického vstupného signálu lineárnou prenosovou sústavou je aj v stupn signál harmonickou funkciou èasu s tou istou frekvenciou, ale s inou amplitúdou a s urèit m oneskorením. Frekvenèn prenos F (iω) sa rovná obrazovému prenosu F (p), do ktorého namiesto premennej "p" sa dosadí imaginárna kruhová frekvencia "iω". Takto definovan frekvenèn prenos závisí od kruhovej frekvencie ω a predstavuje komplexné èíslo, ktorého modul udáva amplitúdu a ktorého argument udáva fázové oneskorenie odozvy na jednotkov harmonick vstupn signál v ustálenom stave. Grafické znázornenie frekvenèného prenosu pre rôzne hodnoty kruhovej frekvencie ω v rozsahu ω ; sa naz va frekvenèná charakteristika. Grafické zobrazenie je mo né urobi nieko k mi spôsobmi. Keï e frekvenèn 2

27 prenos predstavuje komplexné èíslo, je mo né zobrazi ho do Gaussovej komplexnej roviny vzávislosti na ω. V takom prípade ide o amplitúdovofázovú (Nyquistovu) frekvenènú charakteristiku. Ve mi v hodné je zobrazenie frekvenèn ch charakteristík v logaritmick ch súradniciach, vtedy hovoríme o logaritmick ch (Bodeho) frekvenèn ch charakteristikách. Ïal ie typy frekvenèn ch charakteristík sú napríklad Michajlovova a Nicholsonova (pozri napr. [4, 6, 7], atï.). Praktick v znam frekvenèn ch charakteristík je v urèovaní stability regulaèn ch obvodov z priebehu frekvenènej charakteristiky. Príklad 6.2. Zostrojte a vy etrite Bodeho a Nyquistovu frekvenènú charakteristiku dynamického systému popísaného diferenciálnou rovnicou v tvare.744y (t)+.233y (t)+y(t) =u(t) (5) Frekvenèn prenos uvedeného systému mô eme zapísa ako F (iω) =.744(iω) iω + Tento frekvenèn prenos upravíme na tvar: F (iω) = P (ω) + iq(ω). Túto úpravu urobíme tak, e frekvenèn prenos vynásobíme komplexne zdru en m èíslom a oddelíme reálnu a imaginárnu èas. Potom dostávame: F (iω) =.744(iω) iω + = (.744ω 2 )+.233iω = (.744ω 2 ).233iω (.744ω 2 ) 2 (.233iω) =.744ω ω ω 2 + i.233ω.5497ω ω 2 + (6) Postup pre vykreslenie Nyquistovej frekvenènej charakteristiky ja nasledovn. Urèíme hodnoty F (iω) v hranièn ch hodnotách ω = a ω =. Potom urèíme prieseèníky so súradnicov mi osami. Nakoniec pre zvolené hodnoty ω (; ), napríklad ω =, 2,...,, 5,,..., vypoèítame súradnice bodov charakteristiky, ktoré graficky zobrazíme do komplexnej roviny. Grafick m priebehom je potom Nyquistova frekvenèná charakterisitika (Obr.2(a)). Ak vyjadríme zvlá amplitúdu A(ω) a fázu ϕ(ω) frekvenèného prenosu F (iω) v závislosti na log ω, dostávame Bodeho (amplitúdovú a fázovú logaritmickú) frekvenènú charakteristiku. Pre amplitúdu v decibeloch platí: A(ω)[dB] = 2 log A(ω) P 2 (ω)+q 2 (ω) Pre fázu v stupòoch potom platí: ϕ(ω)[ o ] = arctg Q(ω) P (ω) Bodeho frekvenèná charakteristika je znázornená na Obr. 2(b). Poznámka: Pri vy etrovaní frekvenèn ch charakteristík uzavret ch regulaèn ch obvodov je potrebné rozpoji uzavret regulaèn obvod a stanovi frekvenènú charakteristiku z otvoreného regulaèného obvodu. 2

28 2 Im Amplitúda [db] Frekvencia [/s] Fáza [o] Re Frekvencia [/s] (a) Nyquistova charaktersitika (b) Bodeho charakteristiky Obr. 2: Frekvenèné charakteristiky dynamického systému (5). 6.3 Vy etrovanie fázov ch portrétov Ak je regulovaná sústava zadaná diferenciálnymi rovnicami v stavovom tvare (9), a ak v etky spåòajú Lipschitzovu podmienku a podmienku spojitosti v okolí bodu [x (t ),x 2 (t ),...,x n (t ),u(t ),t ], potom v okolí tohoto bodu existuje jediné rie enie [x (t),x 2 (t),...,x n (t)] sústavy rovníc. Toto rie enie urèuje v n-rozmernom stavovom priestore jednoznaènú fázovú trajektóriu. Pre ka d konkrétny èas t dostávame v tomto priestore zobrazovací bod. Súhrn v etk ch trajektórií vytvára fázov portrét rie enia sústavy. Fázová trajektória podáva úpln obraz o jednom konkrétnom rie ení sústavy so zadan mi poèiatoèn mi podmienkami a so zadanou vstupnou funkciou u(t). Fázov portrét rie enia podáva úpln obraz vlastností v eobecného rie enia vy etrovanej sústavy pre zadanú vstupnú funkciu u(t) (pozri napr. [4, ], atï.). Príklad 6.3. Zostrojte a vy etrite fázov portrét dynamického systému popísaného diferenciálnou rovnicou (4) z Príkladu 6.. Uvedenú diferenciálnu rovnicu prepí eme na kanonick tvar a rie enia získané vyrie- enín sústavy diferenciálnych rovníc potom zakreslíme do stavového priestoru. Kanonick tvar diferenciálnej rovnice mô eme v maticovom tvare zapísa ako d dt x d dt x 2. d dt x n = kde u, y R a x R n a a n a a n a 2 a n... a n 2 a n y(t) = [... ] 22. a n a n x x 2. x n, x x 2. x n +. u(t)

29 Pre ná zadan systém (4) dostávame sústavu dvoch diferenciálnych rovníc v nasledujúcom tvare: d dt x = x 2 d dt x 2 = u(t) x.233x (7) Ak na x-ovú os vynesieme stavovú premennú x y(t) anay-ovú os stavovú premennú x 2 y (t), potom pre vstupnú budiacu funkciu v tvare jednotkového skoku (u(t) =µ(t)) dostávame fázovú trajektóriu zobrazenú na Obr. 3(a) X2.2 y(t) X t [s] (a) Fázov portrét (b) Prechodová charakteristika Obr. 3: Charakteristiky dynamického systému (4). Pre názornos je na Obr. 3(b) opä zobrazená aj prechodová charakteristika. Z obrázkov je vidie vzájomn vz ah medzi charakteristikami (tlmenie prechodového deja). Úlohy na samostatné cvièenie:. Zostrojte a vy etrite impulzovú, prechodovú a frekvenènú charakteristiku dynamického systému popísaného diferenciálnou rovnicou pre nulové poèiatoèné podmienky. y (t)+2y(t) =4u(t) 2. Zostrojte a vy etrite impulzovú, prechodovú a frekvenènú charakteristiku a tie fázov portrét dynamického systému popísaného diferenciálnou rovnicou 4y (t)+8y (t)+5y(t) =u(t) pre nulové poèiatoèné podmienky a pre podmienky y() = a y () =. 23

30 7 Algebra prenosov Algebra prenosov je dôle itou pomôckou pri vy etrovaní zlo it ch regulaèn ch obvodov. Pri práci s prenosov mi funkciami sa vyu ívajú blokové schematické znázornenia. Jednotlivé bloky v schéme predstavujú prenosové funkcie. Spájaním tak chto blokov je mo né znázorni celú truktúru regulaèného obvodu. Na stanovenie v slednej prenosovej funkcie obvodu pou ijeme jednoduché pravidla algebry prenosov. 7. Základné zapojenia prenosov ch blokov Medzi základné zapojenia algebry prenosov patrí sériové, paralelné a antiparalelné zapojenie prenosov ch blokov. Pre sériové zapojenie prenosov ch blokov zobrazen ch na Obr. 4 platí: F (p) = Y (p) U(p) = F (p).f 2 (p)...f n (p) = n i= F i (p) U(p) F... (p) F 2 (p) F n (p) Y(p) Obr. 4: Sériové zapojenie prenosov ch blokov. Pre paralelné zapojenie prenosov ch blokov zobrazen ch na Obr. 5 platí: F (p) = Y (p) U(p) = F (p)+f 2 (p)+...+ F n (p) = n i= F i (p) F (p) U(p) F 2 (p) Y(p)... F n (p) Obr. 5: Paralelné zapojenie prenosov ch blokov. 24

31 Pre antiparalelné zapojenie prenosov ch blokov zobrazen ch na Obr. 6 platí: F (p) = Y (p) U(p) = F (p) F 2 (p).f 2 (p) U(p) (±) F (p) Y(p) F 2 (p) Obr. 6: Antiparalelné zapojenie prenosov ch blokov. Pre v sledn prenos spätnoväzobného regulaèného obvodu (so zápornou spätnou väzbou) zobrazeného na Obr. 7 potom pre prenos vzh adom na poruchu platí: F z (p) = Y (p) Z(p) = a pre prenos vzh adom na iadanú hodnotu platí: F w (p) = Y (p) W (p) = F s (p) +F r (p).f s (p), (8) F r(p).f s (p) +F r (p).f s (p), (9) kde F r (p) jeprenos regulátora a F s (p) jeprenos regulovanej sústavy. Z(p) W(p) E(p) U(p) Y(p) Regulátor F Sústava r (p) F s (p) - Obr. 7: Spätnoväzobn regulaèn obvod. Pre prenos otvoreného regulaèného obvodu potom platí: F o (p) =F r (p).f s (p) (2) Pre v sledn prenos F w (p) vzh adom na prenos F o (p), potom dostávame vz ah: F w (p) = Y (p) W (p) = F o(p) +F o (p), resp. F o(p) = F w(p) F w (p) V sledn prenos ubovo ného obvodu je mo né odvodi aj na základe pravidla: F (p) = prenos priamej vetvy ± prenosy vo v etk ch spätnoväzobn ch sluèkách 25

32 7.2 Odvodzovanie diferenciálnych rovníc z prenosov Na získanie v slednej diferenciálnej rovnice zlo itého obvodu je v hodné vyu i prenosové funkcie jednotliv ch èastí obvodu a základné pravidla algebry prenosov. Zo získaného celkového prenosu obvodu je potom mo né odvodi v slednú diferenciálnu rovnicu celého obvodu. Túto rovnicu mô eme potom pou i na vy etrovanie dynamick ch vlastností celého obvodu. Postup odvodzovanie diferenciálnych rovníc z prenosov je ukázan na nasledujúcom príklade. Príklad 7.. Napí te v slednú diferenciálnu rovnicu spätnoväzobného regulaèného obvodu (záporná spätná väzba) vzh adom na iadanú hodnotu, ak pre jednotlivé prenosy platí: F r (p) =+3p a F s (p) = p +2 Pre v sledn prenos uzavretého spätnoväzobného regulaèného obvodu vzh adom na iadanú hodnotu platí vz ah (9). Pre zadané èiastkové prenosy F r (p) a F s (p) potom mô eme napísa F w (p) = Y (p) +3p W (p) = p p p+2 = +3p p+2 p+2++3p p+2 = 3p + 4p +2 Získan v sledn prenos F w (p) rozpí eme na tvar: Y (p).[4p + 2] = W (p).[3p + ] 4pY (p)+2y (p) =3pW (p)+w (p) Pod a vlastnosti 8 Laplaceovej transformácie potom dostávame diferenciálnu rovnicu uzavretého regulaèného obvodu v tvare: 4y (t)+2y(t) =3w (t)+w(t) Pre v sledn prenos otvoreného regulaèného obvodu (rozpojená spätná väzba) platí vz ah (2). Pre jednotlivé zadané prenosy F r (p) af s (p) potom mô eme napísa F o (p) = Y (p) W (p) = +3p p +2 Získan v sledn prenos F o (p) rozpí eme na tvar: Y (p).[p +2]=W (p).[ + 3p] py (p)+2y (p) =3pW (p)+w (p) Pod a vlastnosti 8 Laplaceovej transformácie potom dostávame diferenciálnu rovnicu otvoreného regulaèného obvodu v tvare: y (t)+2y(t) =3w (t)+w(t) Vyrie ením získan ch diferenciálnych rovníc pre uzavret a tie pre otvoren regulaèn obvod dostaneme analytické rie enia, ktoré sú vhodné na vy etrovanie dynamick ch vlastností a stanovovanie rôznych charakteristík regulaèn ch obvodov. 26

33 Úlohy na samostatné cvièenie:. Definujte základné zapojenia algebry prenosov. 2. Stanovte v slednú prenosovú funkciu zlo eného systému, ktor je zobrazen na nasledujúcom obrázku. F 3 (p) U(p) F (p) F 2 (p) Y(p) F 4 (p) Obr. 8: Zlo ené zapojenie prenosov ch blokov. 3. Pre zapojenie prenosov ch blokov zobrazné na Obr. 8 a pre nasledujúce èiastkové prenosy: F (p) =p +2, F 2 (p) =5p, F 3 = p +3, F 4(p) =2p, napí te v slednú diferenciálnu rovnicu zlo eného systému. 4. Pre zadan uzavret regulaèn obvod, ktor je zobrazen na Obr. 9, urète v sledné prenosové funkcie vzh adom na poruchu a vzh adom na iadanú hodnotu. F(p) = 2 Z(p) p + 2 p Y(p) y(t) 2 t [s] y(t) - W(p) t [s] Obr. 9: Uzavret regulaèn obvod. Odvoïte aj v sledné diferenciálne rovnice regulaèného obvodu zo získan ch prenosov ch funkcií a tie ich analyticky vyrie te. Zaznaète polohu koreòov získaného v sledného prenosu do komplexnej roviny. 27

34 8 Syntéza spojitého PID regulátora 8. Definícia spojitého PID regulátora V priemyseln ch aplikáciách sa stále vo ve kej miere pou ívajú proporcionálno-integraènoderivaèné (PID) regulátory. Riadiace algoritmy zalo ené na PID regulátoroch patria medzi najpopulárnej ie a najefektívnej ie. Popularita t chto regulátorov spoèíva v irokej miere ich uplatnenia a v ich funkènej jednoduchosti. Vnútornú truktúru trojèlenného PID regulátora je mo né principiálne znázorni nasledujúcim obrázkom (Obr. 2). K E(p) T i p U(p) T d p Obr. 2: truktúra PID regulátora. Prenosovú funkciu PID regulátora je mo né vyjadri v tvare: F r (p) = U(p) E(p) = K + T i p + T dp, (2) ktorej v èasovej oblasti zodpovedá diferenciálno-integrálna rovnica: u(t) =Ke(t)+T i e(t)dt + T d de(t) dt, (22) kde K je proporcionálne zosilnenie, T i je integraèná a T d derivaèná èasová kon tanta. 8.2 Metóda dominantn ch koreòov Priebeh regulovanej velièiny závisí od rozlo enia koreòov charakteristickej rovnice regulaèného obvodu v komplexnej rovine. Tento priebeh ovplyvòujú najviac dominantné korene. Sú to korene, ktoré sú najbli ie k imaginárnej osi z ava. Ich vzdialenos od imaginárnej osi udáva mieru stability S t. Pár komplexne zdru en ch koreòov znázornen ch na Obr. 2 mô eme popísa pomocou miery tlmenia T l, ktorá je definovaná nasledovn m vz ahom [7]: p,2 = ξ ± iω, tg(ϕ) = ξ ω = T l (23) Hodnoty dominantn ch koreòov sa stanovia na základe po iadaviek na kvalitu regulaèného obvodu. To znamená, e urèíme dominantné korene pre iadanú mieru stability S t, 28

35 p Im p 2 Im ϕ ω p 3 Re p Re p 2 St = ξ p 3 St Obr. 2: Dominantné korene v komplexnej rovine. resp. mieru tlmenia T l. Parametre regulátora nastavíme tak, aby ostatné korene boli od dominantn ch vzdialené èo najviac v avo. Príklad 8.. Navrhnite PD a PID regulátor na sústavu popísanú diferenciálnou rovnicou druhého rádu (5), ktorej zodpovedá prenosová funkcia (8), prièom parametre diferenciálnej rovnice majú hodnoty: a 2 =.744, a =.233, a = (24) Pre túto sústavu navrhnite regulátor a stanovte jeho parametre tak, aby priebeh regulovanej velièiny pri pôsobení poruchy jednotkového skoku bol kmitav, tlmen, zodpovedajúci miere stability S t =2. a miere tlmenia T l =.4, prièom je povolená 5% trvalá regulaèná odch lka.. Návrh PD regulátora: Prenos PD regulátora je v tvare F r (p) =K + T d p (25) a prenos uzavretého regulaèného obvodu F w (p) jev tvare: F w (p) = F r(p)f s (p) +F r (p)f s (p) = K + T d p a 2 p 2 +(a + T d )p +(a + K) iadanej miere stability a miere tlmenia odpovedá pár komplexne zdru en ch koreòov p,2 = 2 ± 5i (27) prièom im odpovedajú koreòove súèinitele (p +2 5i)(p +2+5i) =p 2 +4p +29 Priebeh regulovanej velièiny má by urèen pod a po iadaviek zlo kami odpovedajúcich koreòom p,2. Preto musí ma charakteristická rovnica koeficienty, ktoré budú dáva hodnoty koreòov (pólov) p,2.to znamená, e p 2 + T d + a p + a + K = p 2 +4p +29 a 2 a 2 29 (26)