Naplnou tretieho semestra su obycajne diferencialne rovnice, cselne ifunkcio- nalne rady (s d^orazom na mocninove rady), specialne Tayloroveradyfunkci
|
|
- Amos Nicholson
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 POUZITIE PROGRAMOVEHO SYSTEMU MATHEMATICA PRI V YU CBE Z AKLADOV MATEMATICKEJ ANAL YZY NA SJF STU A. Kolesarova, M. Kovacova, V. Zahonova Katedra matematiky, SjF STU, nam. Slobody 17, Bratislava kolesarova@ dekan.sjf.stuba.sk, kovacova v@ dekan.sjf.stuba.sk, dekan.sjf.stuba.sk Abstrakt. V prspevku sa zaoberame moznost'ou pouzitia programoveho systemu Mathematica pri vyucovan v zakladnom kurze matematiky na technickych vysokych skolach. Su v nom popsane aj konkretne poznatky experimentu, ktory sa uskutocnil v sk. roku 1997/98 na SjF STU v Bratislave. 1. Popis experimentu. Najsk^or uved'me niekol'ko faktov. Zakladny kurz matematiky na SjF STU je v prvych troch semestroch studia. Programovy system M athematica pouzvame pri vyucovan matematiky v zakladnom kurze v druhom a tret'om semestri. V clanku sa budeme venovat'moznostiam vyucovania matematiky pomocou uvedeneho programoveho systemu, pricom budeme hovorit'najmaoskusenostiach s jeho pouzitm v druhom semestri 1. rocnka, a to v sk. rokoch 1996/97 a 1997/98. V sk. roku 1997/98 sme experiment spravili v jednej paralelke, do ktorej bolo zaradenych 115 studentov. Kym sme pristupili k vyucovaniu v paralelke, pripravili sme v predchadzajucom sk. roku pokusne vyucovanie v dvoch kruzkoch 1. rocnka (50 studentov). Studenti, ktor ho uspesne absolvovali, pokracovali v takomto sp^osobe vyucovania aj v 3. semestri. V druhom semestri su vstudijnom plane tyzdenne 4 hodiny prednasok a 4 hodiny cvicen. Pri pociatocnom experimente boli v druhom semestri vsetky cvicenia pri poctaci. Pri opakovan experimentu bolo 2 hodiny klasicke "tabul'ove" cvicenie a dve hodiny cvicenie v poctacovej miestnosti. V 3. semestri su tyzdenne 4 hodiny prednasok a 3 hodiny cvicen, ktore boli zorganizovane v priebehu dvoch tyzdnov ako 4 hodiny tabul'oveho cvicenia a 2 hodiny pri poctaci. Pre lepsiu predstavu uved'me, ze obsahom druheho semestra je integralny pocet realnej funkcie jednej realnej premennej a jeho aplikacie, zaklady analytickej geometrie v priestore, diferencialny pocet funkci dvoch a troch premennych, dvojne a trojne integraly a ich aplikacie, zaklady vektorovych funkci.
2 Naplnou tretieho semestra su obycajne diferencialne rovnice, cselne ifunkcio- nalne rady (s d^orazom na mocninove rady), specialne Tayloroveradyfunkcie jednej realnej premennej a Fourierove rady, krivkove integraly a ich aplikacie. Studenti pokusnych skupn boli s vyucovanm pomocou poctacov spokojn. Experiment hodnotili hlavne na zaklade zaujmavosti cvicen anamahy vynalozenej na zskanie skusky. Ucitelia sa snazili najst'sk^or jeho chyby aprid'alsom opakovan ich vco najvacsej miere odstranit'. Ako smeuz spomenuli, pri pokusnom vyucovan v druhom semestri boli vsetky 4 hodiny cvicen v poctacovej miestnosti. Vzhl'adom na to, ze islo o cvicenia k predmetu teoretickeho zakladu, ukazalo sa to ako nevhodne. Preto sa organizacia cvicen zmenila tak, ako bolo uvedene na zaciatku. Dalsm poznatkom bolo, ze skupiny majuce poctacove cvicenia by mali mat' zvlastne prednasky a rozhodne by malibyt'skusaninym sp^osobom akostudenti s klasickym vyucovanm. Studenti pokusnej skupiny majuci cvicenia na poctaci, boli pomocou poctaca aj skusan, avsak riesili rovnake ulohy, ako mali v ten den studenti s klasickymi cviceniami. Samozrejme, ze boli vo vyhode, dosiahli vel'mi dobre vysledky, aleich vedomosti casto nezodpovedali ich znamkam. Myslme si, ze existuje urcite minimum zakladnych matematickych vedomost, zrucnost ajednoduchych postupov, ktore studenti potrebuju vo fyzike alebo vosvojich odbornych predmetoch aktore by mali byt' schopn aplikovat' aj bez pouzitia poctaca. Student, ktoreho pustme k poctacu, casto nie je toto ochotny dobrovol'ne akceptovat'. Prave preto sme, napriek technickym t'azkostiam, experiment rozsrili na celu paralelku, ktora mala samostatneprednasky a studenti boli skusaninym sp^osobom ako ostatn. Moznost' pouzvania poctaca na cviceniachovplyvnila aj prednasku. Niektorecasti tykajuce sa najma metod a techniky poctania mohli byt' vynechane alebo znacne zredukovane azskany cas mohol byt' venovany hlbsiemu vysvetl'ovaniu zavadzanych pojmov. Uz pocas prednasky sa hovorilo aj o moznosti riesenia problemov pomocou programoveho systemu M athematica. Skusku sme rozdelili na tri casti. Teoreticku cast', ktoru maju vsetci studenti (20 bodov), 3 prklady riesene smoznost'ou pouzitia poctaca (28 bodov) a 3 prklady riesene bezpoctaca (12 bodov). Kym prklady, ktore mohli studenti riesit' pomocou poctaca, boli obt'aznejsie a komplexnejsie, ako riesili ich kolegovia, prklady riesene bez poctaca boli naopak vel'mi jednoduche, mali ukazat', ze student ma to minimum matematickych vedomost a zrucnost, o ktorych sme hovorili. Co je d^olezite, na uspesne vykonanie skusky musel student zskat' minimalne 6 bodov (50 %) z prkladov riesenych bez poctaca a 6 bodov z teorie. Naviac, v den skusky musel zskat'aspon 24bodov. Posledna podmienka saeste tykala celkoveho poctu zskanych bodov vratane bodov zo semestra. Prvu podmienku mali len nasi studenti, ostatne boli spolocne pre cely rocnk. Touto nutnou podmienkou sme si chceli zarucit', ze studenti budu poznat' napr. zakladne metody integrovania (zakladne integracne vzorce, vseobecnu substitucnu metodu, metodu per-partes), techniku poctania parcialnych derivaci, a pod. Dat'takuto nutnu podmienku bolo potrebne aj preto, lebo kym pociatocneho experimentu sa zucastnili zvacsa leps studenti, ktor mali ostudium naozaj zaujem, do druhej casti bola vybrana paralelka C, ktorej studenti dosiahli za prvy semester len priemerne vysledky. Pri opakovan experimentu dokonca uvazujeme zmenit' pomer bodov z prkladovych cast z 28:12 na 25:15.
3 2. Pom^oze poctac prekonat' t'azkosti v zakladnom kurze? Vyucovanie matematiky pomocou poctaca uz vzakladnom kurze matematiky nie je vel'mi rozsrene. Preto spomenme niekol'ko faktov, ktore nas k nemu viedli a specialne, preco sme pouzvali prave programovy system M athematica. Vacsinastudentov na SjF STU prichadza z priemyselnychsk^ol strojnckychalebo zucnovskychsk^ol s maturitou. Iked'mame aj vynikajucich studentov, treba povedat', ze nasi studenti si v priemere neprinasaju z matematiky dobre vedomosti zo strednej skoly. Naviac, v poslednych rokoch sivsmame celkove slabsiu pripravenost' studentov z matematiky ako v predchadzajucich obdobiach. Nizsia je fakticka uroven poznatkov (ich objem i h lbka), vyrazna je aj strata numerickej zrucnosti a priestorovej predstavivosti. Cize strucne, k problemom, s ktorymi sa na zaciatku vyucovania stretavame, patria najma : (1) nedostatocna uroven vedomost zo strednej skoly (2) strata numerickej zrucnosti (3) nedostatocne rozvinuta priestorova predstavivost' (4) nedostatok skutocneho zaujmu ostudium. Otazka je, ci a v akej miere m^oze zavedenie poctacov dovyucby vzakladnom kurze pom^oct' riesit'uvedene problemy. Prvy problem je mozne riesit' ajpomocou poctaca, ale na inej urovni ako pri beznom vyucovan. Vyzaduje to aktvny zaujem studentov, vel'a casu a prstupne vyukove programy, ktore imt. c. nem^ozeme poskytnut'. Preto sa snazme riesit' problem aspon organizovanm doucovacieho kurzu na zaciatku 1. semestra. Avsak za 30 hodn sa vel'ky pokrok dosiahnut' neda. Studentom sk^or ukazeme "potrebne minimum" vedomost zo strednej skoly, ktore su prvym predpokladom uspesneho zvladnutia studia. Kurzy absolvuje rocne asi 35 % studentov zapsanych do 1. rocnka. Samozrejme, ze okrem toho aj pocas vsetkych troch semestrov zakladneho kurzu, sa popri odovzdavan novych poznatkov snazme odstranovat' ajstare nedostatky. Bezne sa vsak stretavame s tym, ze student zvladne podstatu riesenia novych problemov, ale zlyha pri vypocte na chybach typu p 1+x 2 = 1+x alebo na obycajnych numerickych chybach. Matematika ma prestudenta tu nevyhodu, ze nie je suborom izolovanych cast, ale je kontinualna a stare chyby ich znova a znova dohanaju. Pouzite poctacov pri skusan zredukovalo prejavenie sa takychto chyb, co sa odzrkadlilo aj na dosiahnutych znamkach. Kym pri klasickom skusan najcastejsia znamka z vyhovujucich jedobre m (3-), dokonca az v50-60%prpadov, pri nasom experimente po dvoch termnoch zo100studentov, ktor zskali zapocet, malo spravenu skusku 70, pricom rozdelenie znamok bolo nasledujuce : x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3; n i To znamena, ze podiel znamky 3- na celkovom pocte spravenychskusok je 25,7%. Na porovnanie, absolutne pocetnosti jednotlivych znamok v dvoch kontrolnych paralelkach boli:
4 x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3; n i n i Cize podiel znamky 3- je 56,3 % resp. 56,1 %. Ukazalo sa, ze ak student vedel "ako na to", cize vedel ulohu rozobrat' a poznal postup riesenia, nestracal body na chybach uvedeneho typu. Aj ked' nebolo nasm ciel'om skusat'pomocoupoctacov, aby sme mohli rozdavat'dobreznamky, rozhodne to bol pozitvny stimul pre studentov. Na zaklade doterajsch vysledkov predpokladame, ze aj pri uvedenom sp^osobe skusania sa percento spravenych skusok zvysi aspon opat' percent. Numericke chyby a neschopnost' doriesit' zadane problemy v predpsanom case, suvisia s nedostatkom numerickej zrucnosti. Pouzitie vhodneho vypoctoveho systemu iste nezleps numericku zrucnost'studentov, sk^or naopak. Ked'ze korene tohto javu su v podstate mimo nasho vplyvu, pretoze suvisia najma soznizovanm poctu hodn matematiky a so sp^osobom vyucovania na nizsch stupnoch sk^ol, zaujmame sk^or obranny postoj a prisp^osobujeme sa. M^ozeme riesit'bud' podstatne jednoduch- sie ulohy, alebo aj ulohy, ktore vyzaduju zlozitejsie a casovo narocnejsie vypocty, ale pomocou vhodneho vypoctoveho systemu. Rozhodli sme sa pre kompromis. Na klasickych cviceniach riesime jednoduche ulohy, abysazopakovali zakladne pojmy, ich vlastnosti a postupy riesenia, na poctacovych obt'aznejsie ulohy, pricom cas usetreny odstranenm zd lhavych vypoctov mozno venovat'hlbsiemu rozboru uloh, vizualizacii, vyuzvaniu moznosti rychleho preriesenia ulohy za inych vstupnych podmienok a pod. Co sa tyka tretieho z hore uvedenych problemov, vzhl'adom na vel'mi dobre grackemoznosti programoveho systemu Mathematica, jeho pouzvanie pri vyucovan bolo jednoznacne vel'kym prnosom. Vd'aka moznosti grackeho znazornovania vrovine i v priestore, studenti riesili ulohy na aplikacie urciteho integralu, dvojnych a trojnych integralov podstatne lepsie ako bezpoctacov. Poucneavel'mi zaujmave bolo napr. kreslenie grafov funkci dvoch premennych jednak pri zaveden pojmu funkcie dvoch premennych a jej grafu a tiez ajprihl'adan extremov takychto funkci. Moznost' videnia grafovfunkcidvoch premennych a znazornovanych telies zr^oznych uhlov pohl'adu m^oze napom^oct' aj k zlepseniu priestorovej predstavivosti, nielen k nahradeniu jej nedostatku. Aj vd'aka grackym moznostiam programoveho systemu M athematica boli cvi- cenia ovel'a zaujmavejsie, atmosfera cvicen bola ina ako na tabul'ovych cviceniach, studenti pracovali aktvnejsie, necakali na zazvonenie. Prave naopak. V tomto smere m^ozeme vyucovanie pomocou programoveho systemu M athematica na 100% odporucat'. Aj anketa na konci semestra ukazala, ze studenti by chceli v tomto sp^osobe vyucovania pokracovat'aj v d'alsom semestri. Pokusme sa teraz vysvetlit' d^ovody, ktore nas viedli k rozhodnutiu pouzvat' prave program M athematica. Vsucasnosti existuje vel'ky pocet softwareovychbalkov dost' podobneho charakteru, ktore mohli byt' pouzite. Niektore z nich su vol'ne sritel'ne, vacsina je vsak
5 komercnehocharakteru. Vol'nesritel'neprogramy maju zvycajne obmedzene schopnosti. Aj ked' su pouzitel'ne privyucovan vzakladnom kurze, nie su uz vhodne pre neskorsie pouzvanie v technickej praxi. Pretoze pri vybere vhodneho programu sme mali na zreteli aj moznosti pouzitia zskanych vedomost a zrucnost pri d'alsom studiu resp. v praxi, vyberali sme z komercnych programov. Ich nevyhodou je pomerne vel'ka nancna narocnost'.vacsina riem vsak ponuka nizsie verzie programov podstatne lacnejsie ako najvyssiu existujucu verziu, niektore dokonca ako vol'ne sritel'ne. Pri nasom experimente sme pouzvali verziu M athematica 2:1: Najznamejsmi komercnymi programovymi systemami su napr. M athlab, Derive, M athematica, M athcad. Kym system M athlab podporuje numericku pracu sdatami, systemy Derive, M athematica, MathCad podporuju symbolicku matematiku. Preto pri vybere vhodneho programoveho systemu pre vyucovanie matematiky uz v zakladnom kurze prichadzali do uvahy posledne tri zo spomenutych programov. Derive je program lokalizovany pod systemom DOS, je vel'mi jednoducho ovladatel'nyama minimalne hardwareovenaroky,co je, vzhl'adom na vybavenost'nasho skolstva, dost' vel'kou vyhodou. Za vel'ku nevyhodu vsak povazujeme obmedzene schopnosti tohoto programu, napr. pri riesen mnohych uloh symbolickej matematiky ( pri integrovan, riesen vacsch sustav rovnc a pod.). Hlavnym d^ovodom, pre ktory sme pouzvanie tohoto programu zamietli, bola nemoznost' jeho pouzitia v d'alsom studiu a v praxi. M athcad v sucasnej verzii je program porovnatel'nej urovne s programom M a- thematica, ale len pri pouzit zakladneho balka. Doplnkove moznosti programu M athematica (tzv. packages) posuvaju tento program na vyssiu uroven. Naviac nema zmysel porovnavat' sucasny stav. Pred troma rokmi, kedy sme vyucovanie zacali pripravovat', mal program MathCad podstatne obmedzenejsie moznosti ako dnes. Za hlavne vyhody programu M athematica povazujeme : (1) moznost' symbolickej dencie funkci r^oznych typov (premenna m^oze byt' napr. typu cslo, vektor, list, ret'azec) (2) gracke moznosti programu (3) dostupne aplikacne balky, napr. pre nancnu matematiku, fyziku, optiku, mechaniku (4) moznost' dynamickeho programovania (5) moznost' vytvarania uzavretych programovych balkov a exe. suborov (6) prepojenie s prog. jazykom C, resp. C++, objektove programovanie (7) animacne moznosti programu a prepojenie so systemami CAD, Max 3D. Z uvedeneho je zrejme, ze tento program je dobre vyuzitel'ny pri vyucovan i v praxi. 3. Este niekol'ko poznamok. Na zaver uved'me este niekol'ko konkretnych poznamok resp. postrehov, tykajucich sa samotneho vyucovania. Prve poctacove cvicenie sme venovali oboznameniu sa s programom M athema;
6 tica. Za jedno cvicenie sa studenti prakticky zoznamili s aritmetickymi operaciami, so sp^osobom zadavania zabudovanych elementarnych funkci,svypoctom ich hodn^ot v zadanom bode a s r^oznymi formami cselneho vysledku, s preddenovanymi konstantami, s prkazom Plotna kreslenie grafov funkci (jednej realnej premennej), s prkazom Solve na riesenie rovnc a systemov rovnc. Na d'alsch cviceniach uz stacilo pridavat'prkazy tykajuce sa preberaneho uciva. Vzhl'adom na priestorove t'azkosti a vybavenie poctacovych ucebn sme museli ucit'20-clenny kruzok v ucebni s desiatimi poctacmi. To, co sme pokladali najprv za nevyhodne, sa ukazalo pre zaciatok prace s tymto programom sk^or vyhodou. Ked'ze v tomto programe je treba vsetky prkazy vypisovat'(anaviac v anglictine) a studenti malokedy maju zrucnost' kvalikovanej pisarky, je dobre, ze si m^ozu navzajom pomahat' akontrolovat' sa. Treba poctat' stym, ze cas, ktory usetrme pouzvanm poctaca pri zlozitych vypoctoch, stratme na zaciatku nedostatocnou zrucnost'ou. Preto ma zmysel pouzvat' tento programovy system najma vtedy, ked' ho m^ozeme pouzvat' dlhsie. Takyto zamer na katedre existuje. Studenti pokusnych skupn, ktor absolvovali 2. a3. semester zakladneho kurzu s podporou programoveho systemu M athematica, ho pouzvali aj v 4. semestri v predmete Numericka matematika, vid' [1], a prihlasili sa aj na d'alsie (volitel'ne) predmety z aplikovanej matematiky vyucovane pomocou tohto systemu. Pociatocne t'azkosti sme prekonavali aj tym, ze na poctacovych cviceniach v druhom semestri boli dvaja ucitelia. Nevyhodou druheho semestra v sk. roku 1997/98 bolo, ze sa zacnal neurcitym a urcitym integralom a jeho aplikaciami. Aj ked' sapodl'a planu cvicen priame integrovanie, vseobecna substitucna metoda a metoda per-partes pre neurcite i urcite integraly preberali na tabul'ovych cviceniach, studenti rychlo pochopili, ze prkazy Integrate[f(x) x]aintegrate[f(x) fx a bg] imnamahu usetria a nemali v semestri motv pre zvladnutie tychto metod. Z omylu ich vyviedla az skuska, ked' nezskali z jednoduchych prkladov riesenych bezpoctaca nutny pocet bodov askusku, napriek casto vel'mi dobremuvysledku poctacovej casti, museli opakovat'. Casto sme sa studentom snazili ukazat',ze pouzvanie poctaca bez porozumenia problematiky m^oze viest' knespravnym vysledkom alebo vysledkom nevhodneho tvaru. Niekedy dochadzalo aj neocakavane k takymto situaciam. Napr. pri integrovan racionalnych funkci dostali studenti ulohu : najst' primitvnu funkciu 1 k funkcii f(x) = x 4 ;4x 3 ;2x. Ocakavalo sa, ze prkazom 2 Factor rozlozia +4x+16 polynom vmenovateli, navrhnu tvar elementarnych zlomkov, urcia prslusne koe- cienty riesenm systemu rovnc (vysledok si mohli skontrolovat'prkazom Apart) anafunkciu rozlozenu na elementarne zlomky pouziju prkaz Integrate. Student, ktory chcel mat'vysledok vel'mi rychlo, pouzil prkaz Integrate[f(x) x]. Vysledok ho prekvapil, pretoze primitvna funkcia bolanavonok komplexnou funkciou. Ked' videl, ze tento tvar vysledku nie je vhodny, bol ochotny postupovat' navrhnutym sp^osobom. Ukazalo sa, ze aj ked' pomocou poctaca v mnohych prkladoch priamym integrovanm racionalnej funkcie dostaneme primitvnu funkciu vhodneho tvaru, niekedy si musme vediet' pom^oct', a ze bez znalost pojmov ako su primitvna funkcia, racionalna funkcia, sp^osob integrovania racionalnych funkci by to v tomto prpade neslo. Je dobre, ze vsk. roku 1998/99 je zmeneny ucebny plan a neurcite a urcite
7 integraly su presunuteuzdoprveho semestra. Sme toho nazoru, ze kym sa studenti dostanu kpoctacu, mali by prejst' zakladmi diferencialneho a integralneho poctu funkcie 1 realnej premennej. Studenti su vel'mi vynachadzav amaju mimoriadne vyvinuty obranny mechanizmus. Ked' zistia, ze poctacovy system je vel'mi schopny, nesnazia sa aktvne zvladnut' ani zakladne vzorce a postupy. Katedra matematiky poskytuje "matematicky servis" aj pre ostatnekatedry. Preto by sme mali studenta dobre oboznamit'sozakladnymi pojmami vyssej matematiky a prinutit'hopomocou nich aktvne zvladnut' aspon riesenie jednoduchych problemov. Aj preto sa ustupilo od 100%-nych poctacovych cvicen azaviedli sa aj spomenute nutne podmienky na zskanie skusky. Je uz na zvazenie, ci ucit' napr. integrovanie pomocou specialnych substituci alebo specialne typy diferencialnych rovnc a pod. Taketo vedomosti zvycajne nepreziju prslusny semester matematiky. Vd'aka moznosti riesit' zlozitejsie ulohy pomocou poctaca, nie je treba sa natol'ko sustred'ovat' na techniku poctania, r^ozne zjednodusujuce vzt'ahy a metody vypoctov. Vyucovanie pomocou poctacov prinuti ucitel'ov podstatne prehodnotit' nazory na to, co ucit' aakotoucit' co najefektvnejsie. V suvislosti s vyucovanm pomocou poctacov samusme rozhodnut' nielen do akej miery ma byt'student schopny poctat'sam, ale aj kedy mu dovolit'pouzvat' poctac len na zjednodusenie vypoctov pridodrzan postupu "klasickeho" vypoctu a kedy mu plne umoznit' vyuzvat' schopnosti poctaca. Treba si uvedomit', ze hovorme o vyucovan predmetu teoretickeho zakladu. Preto poslednu zo spomenutych moznost sme vyuzvali len v aplikacnych ulohach. Casto sa stavalo, ze studenti nepostupovali pri riesen pomocou poctaca tak, ako sme ocakavali, resp. tak, ako bymuseli postupovat' prirucnom vypocte a nas niekedy vyviedli z vychodenych kol'aj rozmysl'ania. Napr., aj ked' na prednaskach a tabul'ovych cviceniach boli veden k pouzvaniu zakladnych transformaci pri vypocte dvojnych a trojnych integralov istych typov, moznost' pouzitia poctaca pri vypoctoch ich k tomu nenutila. Aj ked' siintegracnu oblast' popsali len v kartezianskych suradniciach adostali integral, ktory by sami urcite nevypoctali, poctac to zvycajne zvladol a samozrejme, ze studenti body zskali, pretoze pri aplikacnych ulohach bolo podstatne, aby zadanu ulohu spravne vyriesili. Vzhl'adom na to, ze ide o vyucovanie teoretickeho predmetu, vo vacsineprpadov sme dodrziavali postupny vypocet. Aj v takychto prpadoch bol program pomocnkom. Bol platny nielen ako dobryvypoctovy prostriedok, ale vyuzvali sme aj jeho vyucovacie schopnosti. Sk lbenm grackych arychlych vypoctovych moznost sme mohli vysvetlit'suvis jednotlivych pojmovcasto ovel'alepsie akonaobycajnych cviceniach. Ako prklad spomenme pouzitie programu privyucbe nevlastnych integralov. Tejto teme sa nevenujeme dlho, ani do h lbky, ide nam len o pochopenie pojmu nevlastneho integralu avysetrovanie existencie na zaklade dencie. Poctac sa dal vel'mi dobre pouzit' pri rozbore prkladov - na urcenie realnych csiel, ktore by mohli byt' kritickymi bodmi zadanej funkcie, na vypocet jednostrannych limt v tychto bodoch a na nakreslenie grafu funkcie na ich okol. Tak si studenti mohli dobre uvedomit' suvis medzi hodnotami limt a spravanm sa funkcie na okol vysetrovaneho bodu. Rozbor ulohy im pomohol pochopit' d'als postup vypoctu. Pri vysetrovan existencie jednotlivych integralov sadodrziaval postup z dencie,
8 t.j. vypocet urciteho integralu a prslusnej limity, ale pomocou poctaca. Poznamenajme este, ze aj ked' sme v niektorych prpadoch dodrziavali postupny vypocet, hovorili sme aj o moznosti priameho "uzvatel'skeho" sp^osobu riesenia problemu (napr. pri hl'adan lokalnych vol'nych resp. viazanych etremov). Na vacsine technickych sk^ol sa znzil pocet hodn matematiky a ucivo vzaklad- nom kurze je vel'mi nahustene. Ako prve sa vytratili z cvicen vysvetl'ovacie prklady. Ucia sa napr. postupnosti realnych csiel a ich limity, aleprklady, ktore bypo- mohli studentovi pochopit' tieto zakladne pojmy, sa obmedzuju alebo vynechavaju. Vysvetlenie pojmov na prednaske jepre studenta pasvnym stretnutm. Vyhodu programoveho systemu M athematica vidme nielen vo vypoctovych schopnostiach, ale aj v moznosti jeho vyuzitia pri ilustracii a vysvetl'ovan mnohych zakladnych pojmov a ich suvislost. Pri jeho pouzvan kratky cas, ktory mame, nemusme venovat' zbytocne technike poctania, vyucbe r^oznych algoritmov resp. narocnemu zskavaniucselneho vysledku. Je mozne riesit' aj viac fyzikalnych prkladov, pretoze cas, ktory je treba venovat' zostaveniu matematickeho modelu, formulacii problemu, usetrme jeho riesenm pomocou poctaca (napr. pri diferencialnych rovniciach). Na zaver este poznamenajme, ze za uspech povazujeme aj to, ze pouzvanie tohto programu prerastlo ramec nasho predmetu. Mnoh studenti program vyuzvali uz na konci druheho semestra na riesenie zadanzodbornych predmetov. Ocakavame, ze po troch semestroch pouzvania programoveho systemu M athematica ho zvladnu tak, ze bude pre nich uzitocnym pomocnkom v d'alsej praci. LITERAT URA [1] Halada L., Kovacova M., Skusenosti s pouzitm programoveho systemu Mathematica pri vyucbe numerickej matematiky na SjF STU, Zbornk koferencie : Kalnica [2] KovacovaM., Vyucba diferencialneho poctu funkcie viac premennych s podporou programoveho systemu Mathematica, 25 VSTEP-Z Matematika v inzinierskom vzdelavan, Trnava setpembra [3] Wolfram S., The Mathematica Book, 3rd ed., Cambridge University Press, [4] Zahonova V., Vyucba integralneho poctu funkcie jednej premennej s podporou programoveho systemu Mathematica, 25 VSTEP-Z Matematika v inzinierskom vzdelavan, Trnava setpembra 1998.
Metódy vol nej optimalizácie
Matematické programovanie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/35 Informácie o predmete Informácie o predmete p. 2/35 Informácie o predmete METÓDY VOL NEJ OPTIMALIZÁCIE Prednášajúca: M. Trnovská (M 267) Cvičiaci:
More informationPROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 3I0107 Názov predmetu : Štatistické a numerické metódy Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: EF Zameranie: Ročník : 1. Ing. Semester : zimný Počet hodín týždenne
More informationVÝUČBA DIFFERENCIÁLNEHO POČTU FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH POMOCOU PG. SYST. MATHEMATICA
VÝUČBA DIFFERENCIÁLNEHO POČTU FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH POMOCOU PG. SYST. MATHEMATICA Monika Kováčová Katedra Matematiky SjF STU Bratislava kovacova_v@dekan.sjf.stuba.sk Abstrakt. V článku popisujeme možnosti
More informationMatematika 17. a 18. storočia
Matematika 17. a 18. storočia René Descartes Narodený : 31 Marec 1596 v La Haye (teraz Descartes),Touraine, France Zomrel : 11 Feb 1650 v Stockholm, Sweden Riešenie kvadratických rovníc podľa Descarta
More informationSúťaž PALMA junior a programovanie v jazyku Python
Súťaž PALMA junior a programovanie v jazyku Python Ján Guniš Ľubomír Šnajder Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach DidInfo + DidactIG 2017, Banská Bystrica Obsah Súťaž PALMA junior
More informationIng. Tomasz Kanik. doc. RNDr. Štefan Peško, CSc.
Ing. Tomasz Kanik Školiteľ: doc. RNDr. Štefan Peško, CSc. Pracovisko: Študijný program: KMMOA, FRI, ŽU 9.2.9 Aplikovaná informatika 1 identifikácia problémovej skupiny pacientov, zlepšenie kvality rozhodovacích
More informationGRAFICKÉ ZOBRAZENIE MATEMATICKÝCH FUNKCIÍ DRAWING OF MATHEMATICS FUNCTIONS GRAPHS
GRAFICKÉ ZOBRAZENIE MATEMATICKÝCH FUNKCIÍ DRAWING OF MATHEMATICS FUNCTIONS GRAPHS Dana ORSZÁGHOVÁ (SR) ABSTRACT Graphs of functions are the topic that is the part of mathematics study. The graphics software
More informationMatematická analýza II.
V. Diferenciálny počet (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 8 6. marca 2018 It has apparently not yet been observed, that...
More informationFAKULTA HUMANITNÝCH VIED, ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE INFORMAČNÝ LIST PREDMETU. Názov: Matematická analýza 1 (povinný) Zabezpečuje:
Názov: Matematická analýza 1 (povinný) prof. RNDr. Miroslava Růžičková, CSc. Semester: 1. rok štúdia: 1. Týždenný: 4 2 0 Za semester: 52 26 0 Prerekvizity: Stredoškolská matematika v rozsahu osnov gymnázií.
More informationKapitola S5. Skrutkovica na rotačnej ploche
Kapitola S5 Skrutkovica na rotačnej ploche Nech je rotačná plocha určená osou rotácie o a meridiánom m. Skrutkový pohyb je pohyb zložený z rovnomerného rotačného pohybu okolo osi o a z rovnomerného translačného
More informationANALÝZA VEDOMOSTNEJ ÚROVNE ŠTUDENTOV ZO STREDOŠKOLSKEJ FYZIKY SO ZRETEĽOM NA POŽIADAVKY MtF STU
ANALÝZA VEDOMOSTNEJ ÚROVNE ŠTUDENTOV ZO STREDOŠKOLSKEJ FYZIKY SO ZRETEĽOM NA POŽIADAVKY MtF STU ANALYSIS OF KNOWLEDGE LEVEL OF SECONDARY SCHOOL STUDENTS FROM PHYSICS WITH RESPECT OF THE MtF-STU REQUESTS
More informationDotyková rovina a normála k ploche z=f(x,y) s Matlabom
Dotyková rovina a normála k ploche z=f(x,y) s Matlabom Jana Schusterová ABSTRACT: The aim of this article is to explain how determine a tangent plane and a normal of the surface z=f(x,y) using the programming
More informationVÝUČBA MATEMATIKY S PODPOROU POČÍTAČOV
VÝUČBA MATEMATIKY S PODPOROU POČÍTAČOV Úvod Masívny pokles matematických vedomostí a zručností u študentov nastupujúcich do vyšších stupňov vzdelávania alarmuje učiteľov matematiky a tiež rozhodujúcich
More informationVYUČOVANIE MATEMATIKY A FYZIKY NA SPU TEACHING OF MATHEMATICS AND OF PHYSICS AT THE SUA
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 VYUČOVANIE MATEMATIKY A FYZIKY NA SPU TEACHING OF MATHEMATICS AND OF PHYSICS AT THE SUA Helena Baraníková,
More informationVyučovanie analytickej geometrie s podporou informačných a komunikačných technológií
Vyučovanie analytickej geometrie s podporou informačných a komunikačných technológií Teaching Analytic Geometry using Information and Communication Technologies Abstract The paper proposes an innovative
More informationJádrové odhady gradientu regresní funkce
Monika Kroupová Ivana Horová Jan Koláček Ústav matematiky a statistiky, Masarykova univerzita, Brno ROBUST 2018 Osnova Regresní model a odhad gradientu Metody pro odhad vyhlazovací matice Simulace Závěr
More informationDIPLOMOVÁ PRÁCE. Peter Baník Metody optimalizace ve financích
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Peter Baník Metody optimalizace ve financích Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr.
More informationMETRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE
1. ÚVOD METRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE Monika ĎURIKOVIČOVÁ 1 Katedra Matematiky, Strojnícka fakulta STU, Abstrakt: Popisujeme možnosti použitia programového systému Mathematica pri riešení špeciálnych metrických
More informationMaticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc
Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc priesvitka Maurits Cornelis Escher (898-97) Ascending and Descending, 960, Lithograph priesvitka Matice V mnohých prípadoch dáta
More informationENTROPIA. Claude Elwood Shannon ( ), USA A Mathematical Theory of Communication, 1948 LOGARITMUS
LOGARITMUS ENTROPIA Claude Elwood Shao (96-00), USA A Mathematcal Theory of Commucato, 948 7. storoče Naer, Brggs, orovae číselých ostuostí: artmetcká ostuosť 3 0 3 4 5 6 geometrcká ostuosť /8 /4 / 4 8
More informationIMPORTANT GEOGEBRA ATTRIBUTES FROM MATHEMATICS TEACHERS PERSPECTIVE VÝZNAMNÉ ATRIBÚTY SYSTÉMU GEOGEBRA Z POHĽADU UČITEĽOV MATEMATIKY
FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 16 IMPORTANT GEOGEBRA ATTRIBUTES FROM MATHEMATICS TEACHERS PERSPECTIVE VÝZNAMNÉ ATRIBÚTY SYSTÉMU GEOGEBRA Z POHĽADU
More informationENVIRONMENTÁLNE FAKTORY V HODNOTENÍ EFEKTÍVNOSTI V POĽNOHOSPODÁRSTVE ENVIRONMENTAL FACTORS IN EFFICIENCY ASSESMENT IN AGRICULTURE.
ENVIRONMENTÁLNE FAKTORY V HODNOTENÍ EFEKTÍVNOSTI V POĽNOHOSPODÁRSTVE ENVIRONMENTAL FACTORS IN EFFICIENCY ASSESMENT IN AGRICULTURE Peter FANDEL The paper focuses on the analysis of environmental factors
More informationNiektoré stratégie riešenia matematických problémových úloh na 1. stupni základnej školy Ľubica Gerová
Niektoré stratégie riešenia matematických problémových úloh na 1. stupni základnej školy Ľubica Gerová ABSTRACT: This article deals with various strategies of solving mathematical problems at elementary
More informationMEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE
MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE September 07 (číslo 4) Ročník piaty ISSN 339-389 Kontakt: info@mladavedask, tel: +4 908 546 76, wwwmladavedask Fotografia na obálke: Altenberger
More informationEXTREME SEVERAL-DAY PRECIPITATION TOTALS AT HURBANOVO DURING THE TWENTIETH CENTURY
Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2, ISBN -85813-99-8, s. 9-19 EXTREME SEVERAL-DAY PRECIPITATION TOTALS AT HURBANOVO DURING
More informationTeória grafov. RNDr. Milan Stacho, PhD.
Teória grafov RNDr. Milan Stacho, PhD. Literatúra Plesník: Grafové algoritmy, Veda Bratislava 1983 Sedláček: Úvod do teórie grafů, Academia Praha 1981 Bosák: Grafy a ich aplikácie, Alfa Bratislava 1980
More information[8] ŠPÁNIKOVÁ, E.- WISZTOVÁ, E. a kolektív: Zbierka úloh z algebry. Edisvydavateľstvo
PUBLIKAČNÁ ČINNOSŤ: Doc. RNDr. Eva Špániková, CSc. Skriptá: [1] J.Feťková, B.Dorociaková, M.Ružičková, E.Špániková, E.Wisztová: Úvod do štúdia vysokoškolskej matematiky. VŠDS Žilina, 1992, 145 strán. [2]
More informationNÁVOD NA VYJADROVANIE NEISTOTY V KVANTITATÍVNYCH SKÚŠKACH (EA - 4/16: 2003)
SLOVENSKÁ NÁRODNÁ AKREDITAČNÁ SLUŽBA METODICKÁ SMERNICA NA AKREDITÁCIU METHODICAL GUIDELINE FOR ACCREDITATION NÁVOD NA VYJADROVANIE NEISTOTY V KVANTITATÍVNYCH SKÚŠKACH (EA - 4/16: 2003) GUIDELINES ON THE
More informationINOVAČNÉ METÓDY VO VYUČOVANÍ ASTRONÓMIE
INOVAČNÉ METÓDY VO VYUČOVANÍ ASTRONÓMIE Peter Hanisko Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku Abstrakt: Astronómia je veda, v ktorej využívanie moderných technológií zohráva
More informationSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY OPTIMÁLNE RIADENIE PROCESOV BAKALARÁSKA PRÁCA FCHPT-5415-17457
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Kritéria nezápornosti Fourierových radov BAKALÁRSKA PRÁCA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kritéria nezápornosti Fourierových radov BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2014 Andrej Iring UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA
More informationTASKS WITH APPLICATIONS IN THE TEACHING OF LINEAR ALGEBRA APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VYUČOVANÍ LINEÁRNEJ ALGEBRY
TASKS WITH APPLICATIONS IN THE TEACHING OF LINEAR ALGEBRA APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VYUČOVANÍ LINEÁRNEJ ALGEBRY DANA ORSZÁGHOVÁ ABSTRACT. In the paper we are dealing with one of topics of the theory of mathematics
More informationFakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA Róbert Tóth Bratislava 2013 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA
More informationPrednáška 3. Optimalizačné metódy pre funkcie n-premenných. Študujme reálnu funkciu n-premenných. f: R R
Prednáška 3 Optimalizačné metódy pre funkcie n-premenných Študujme reálnu funkciu n-premenných n f: R R Našou úlohou bude nájsť také x opt R n, pre ktoré má funkcia f minimum x opt = arg min ( f x) Túto
More informationInformačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky
Informačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky ANALYTICKÁ A SYNTETICKÁ GEOMETRIA VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY ANALYTIC AND SYNTHETIC GEOMETRY IN TEACHING MATHEMATICS Michaela Holešová Abstract:
More informationSegmentace textury. Jan Kybic
Segmentace textury Případová studie Jan Kybic Zadání Mikroskopický obrázek segmentujte do tříd: Příčná vlákna Podélná vlákna Matrice Trhliny Zvolená metoda Deskriptorový popis Učení s učitelem ML klasifikátor
More informationCOMPARISON OF ANALYTICAL SOLUTIONS WITH NUMERICAL MODELING RESULTS OF CONTACT PROBLEM OF THE SHALLOW FOUNDATIONS INTERACTION WITH SUBSOIL
15 ROCZNIKI INŻYNIRII BUDOWLANJ ZSZYT 1/01 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach COMPARISON OF ANALYTICAL SOLUTIONS WITH NUMRICAL MODLING RSULTS OF CONTACT PROBLM OF
More informationInformačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky
Informačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky INFORMAČNÝ VEK A ZMENY V MATEMATICKOM VZDELÁVANÍ THE INFORMATION AGE AND CHANGES IN MATHEMATICS EDUCATION Dana Országhová Abstract: The teaching
More informationLýdia Kontrová. XXX International Colloquium, Brno, May 17,
The formation of the meta-cognitive learning strategies through Mind Mapping. Formovanie metakognitívnych stratégií učenia prostredníctvom Mind mappingu Lýdia Kontrová 1. Úvod Súčasná, rýchlo sa rozvíjajúca
More informationMERANIE. Doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIEE KMer FEI STU
MERANIE Doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIEE KMer FEI STU Hodnotenie predmetu! max. 50 bodov za semester " 30 bodov za prípravu na cvičenia a referáty # 16 bodov za vstupné testy # 14 bodov za odovzdané referáty
More informationUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Gabriela Pavlovičová
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Gabriela Pavlovičová NITRA 2012 Názov: Autor: Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
More informationMERANIE. doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIET KMer FEI STU
MERANIE doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIET KMer FEI STU Hodnotenie predmetu max. 50 bodov za semester 30 bodov za prípravu na cvičenia a referáty 16 bodov za vstupné testy 14 bodov za odovzdané referáty
More informationComenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics. Multi-head Automata. Bachelor Thesis.
Comenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Multi-head Automata Bachelor Thesis 2013 Boris Vida Comenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics
More informationObsah. 2 Určenie objemu valčeka Teoretický úvod Postup merania a spracovanie výsledkov... 10
Obsah 1 Chyby merania 1 1.1 áhodné a systematické chyby.................... 1 1.2 Aritmetický priemer a stredná kvadratická chyba......... 1 1.3 Rozdelenie nameraných dát..................... 3 1.4 Limitné
More informationKVANTITATÍVNA DIAGNOSTIKA MISKONCEPCIÍ V PRÍRODOVEDNOM VZDELÁVANÍ QUANTITATIVE DIAGNOSTICS OF MISCONCEPTIONS IN SCIENCE EDUCATION
291 KVANTITATÍVNA DIAGNOSTIKA MISKONCEPCIÍ V PRÍRODOVEDNOM VZDELÁVANÍ QUANTITATIVE DIAGNOSTICS OF MISCONCEPTIONS IN SCIENCE EDUCATION Peter Štrauch Oddelenie didaktiky fyziky, Ústav fyzikálnych vied, Prírodovedecká
More informationukázat omezení vztáhnout sebraná data k tomu, co je o předmětu již známo Diskuse je svým způsobem dialogem s úvodem práce spekulovat
? DISKUSE? Tomáš Herben Je skoro nejdůležitější částí práce. Její smysl je dvojí: (i) ukázat omezení, za nichž byla získána data v práci (v čem by daný pokus mohl být lepší, a v čem naopak předčí pokusy
More informationExperimenty na urýchľovači LHC v CERN
Experimenty na urýchľovači LHC v CERN Prof. Branislav Sitár DrSc. FMFI UK Bratislava Praha, December 3rd, 2007 LHC What Else! Karel Šafařík 1 Founded in 1954 (12 European Member States) Today: 20 European
More informationFRONTÁLNA VS. KOLABORATÍVNA METÓDA VÝUČBY GEOMETRIE NA VŠ
FRONTÁLNA VS. KOLABORATÍVNA METÓDA VÝUČBY GEOMETRIE NA VŠ Darina Stachová 1 Abstrakt Je zrejmé, ţe vo vysokoškolskom vzdelávaní je veľa oblastí, nad ktorými by sme sa mali zamyslieť a snaţiť sa ich inovovať.
More informationAppendix. Title. Petr Lachout MFF UK, ÚTIA AV ČR
Title ROBUST - Kráĺıky - únor, 2010 Definice Budeme se zabývat optimalizačními úlohami. Uvažujme metrický prostor X a funkci f : X R = [, + ]. Zajímá nás minimální hodnota funkce f na X ϕ (f ) = inf {f
More informationPOUŽITIE INTERAKTÍVNYCH EXCELOVSKÝCH ZOŠITOV PRI RIEŠENÍ MATEMATICKÝCH ÚLOH ZO ŽIVOTA
POUŽITIE INTERAKTÍVNYCH EXCELOVSKÝCH ZOŠITOV PRI RIEŠENÍ MATEMATICKÝCH ÚLOH ZO ŽIVOTA Peter VANKÚŠ Abstrakt V príspevku sa venujeme možnostiam modelovania matematických úloh z reálneho života v programe
More informationSamuel Flimmel. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Samuel Flimmel Log-optimální investování Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr.
More informationJozef Fulier a. Received 30 September 2016; received in revised form 2 October 2016; accepted 3 October 2016
Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 2, p. 7 18 ISSN 2453-6083 Reforma matematického vzdelávania na Slovensku a niekoľko poučení z histórie The Reform of Mathematical Education in Slovakia and a few
More informationFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE PÍSOMNÁ PRÁCA K DIZERTAČNEJ SKÚŠKE 2005 Zuzana Holeščáková FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationHodnotiaca správa priebežného vyhodnocovania kvality poskytovaného vzdelávania na SjF STU
Hodnotiaca správa priebežného vyhodnocovania kvality poskytovaného vzdelávania na SjF STU 1. Pravidlá na priebežné vyhodnocovanie úrovne kvality nadobúdania vedomostí a rozvoja zručností na SjF STU v Bratislave
More informationThe influence of input data design on terrain morphometric parameters quality and accuracy
The influence of input data design on terrain morphometric parameters quality and accuracy Mgr. Radoslav Bonk bonk@fns.uniba.sk Katedra fyzickej geografie a geoekológie, Prírodovedecká fakulta Univerzity
More informationOECD Programme for International Student Assessment PISA 2003 ŽIACKY DOTAZNÍK. Learning for Living. Slovenská republika Slovenský jazyk.
OECD Programme for International Student Assessment Slovenská republika Slovenský jazyk PISA 2003 ŽIACKY DOTAZNÍK Názov školy ID žiaka(-čky) Meno žiaka(-čky) Priezvisko Krstné meno Dátum narodenia: / /
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Robustné metódy vo faktorovej analýze
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Robustné metódy vo faktorovej analýze DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2013 Bc. Zuzana Kuižová UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA
More informationBLENDED LEARNING AKO EFEKTÍVNY NÁSTROJ VO VYUČOVANÍ MATEMATICKÝCH PREDMETOV NA TU A UMB
Pavol Hanzel, Milan Pokorný, Pavel Híc, Katarína Sebínová, Michaela Chvojková BLENDED LEARNING AKO EFEKTÍVNY NÁSTROJ VO VYUČOVANÍ MATEMATICKÝCH PREDMETOV NA TU A UMB Trnava 2015 TRNAVSKÁ UNIVERZITA V TRNAVE
More informationGraph Theory. Janka Melusova Teória grafov
UNIT TITLE TOPIC NAME AND EMAIL ADDRESS OF PERSON SUBMITTING UNIT Graph Theory Graph Theory Janka Melusova jmelusova@ukf.sk NÁZOV TEMATICKÝ CELOK MENO A ADRESA NAVRHOVATEĽA CIEĽ CHARAKTERISTIKY ZDROJE
More informationAnalysis of tasks supporting cognitive process in geometry in the life-long education of kindergarten teachers
Uherčíková, V, Vankúš, P.: Analýza typov úloh podporujúcich poznávací proces v geometrii... Analysis of tasks supporting cognitive process in geometry in the life-long education of kindergarten teachers
More informationfotón gluón WaZ A.Einstein A.Compton Richter, Ting M.Gell-Mann Ledermann Schwartz Steinberger Friedman Kendall Taylor Gross,Wilczek,Politzer
Program pre učiteľov fyziky z členských štátov CERNu Fyzika elementárnych častíc 1. z čoho sa skladá svet Martin Mojžiš elementárne častice elementárne fermióny leptóny kvarky elementárne bozóny fotón
More informationKatedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky
Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Zbierka riešených a neriešených úloh nna Grinčová
More informationStatistika pro informatiku
Statistika pro informatiku prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze MI-SPI, ZS 2011/12, Přednáška 1 Evropský sociální
More informationMATERIÁLNO-DIDAKTICKÉ PROSTRIEDKY V PROCESE
20 MATERIÁLNO-DIDAKTICKÉ PROSTRIEDKY V PROCESE MATEMATIKY Janka Kurajová Stopková, Jozef Kuraj Štátny pedagogický ústav Pluhová 8, 830 01 Bratislava, SR e-mail: janka.kurajovastopkova@gmail.com, jozef.kuraj@gmail.com
More informationVedenie študentov - doc. Miroslav Haviar
Vedenie študentov - doc. Miroslav Haviar 2014/15 - vedené dizertačné práce: (1) The Integration of Mathematics Education and English Language via CLIL method (Content and Language Integrated Learning)
More informationNávrh metodiky konštruktívneho vyučovania Euklidových viet s využitím digitálnych technológií
Návrh metodiky konštruktívneho vyučovania Euklidových viet s využitím digitálnych technológií Jaroslav Baričák* Školiteľ: Lilla Koreňová Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky, FMFI UK, Mlynská
More informationFAKULTA PRÍRODNÝCH VIED, ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE. Týždenný: Za semester: stredoškolská matematika v rozsahu osnov gymnázií
Kód: 8BT01 Názov: Matematická analýza 1 - Mathematical Analysis 1 doc. RNDr. Miroslava Růžičková, CSc. KAAM FPV Semester: zimný Rozsah výučby: prednášky - semináre - lab. cvičenia rok štúdia: 1. Týždenný:
More informationMASTER THESIS. Martin Horváth Dimensional Analysis for Hardware Description Languages
Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics MASTER THESIS Martin Horváth Dimensional Analysis for Hardware Description Languages Department of Software Engineering Supervisor: RNDr.
More information1 Matice a ich vlastnosti
Pojem sústavy a jej riešenie 1 Matice a ich vlastnosti 11 Sústavy lineárnych rovníc a matice Príklad 11 V množine reálnych čísel riešte sústavu rovníc x - 2y + 4z + t = -6 2x + 3y - z + 2t = 13 2x + 5y
More informationHot Potatoes v matematike
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Janette Dlugošová Hot Potatoes v matematike Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej prae Prešov 01 Vydavateľ:
More information2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 23. septembra 2010 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 5 1.2.1 Literatúra..................................
More informationGeometry of the Berry Phase
... a concise µ-seminar exposition... October 11, Řež The problem formulation What is given: The problem formulation What is given: separable Hilbert space H The problem formulation What is given: separable
More informationMind mapping pri budovaní matematických kognitívnych. štruktúry. Mind Mapping for Building Structure In Mathematics
Mind mapping pri budovaní matematických kognitívnych štruktúr Mind Mapping for Building Structure In Mathematics Lýdia Kontrová 1. Úvod Nachádzanie vzájomných súvislostí je nepostrádateľné pre chápanie
More informationPSEUDOINVERZNÁ MATICA
PSEUDOINVERZNÁ MATICA Jozef Fecenko, Michal Páleš Abstrakt Cieľom príspevku je podať základnú informácie o pseudoinverznej matici k danej matici. Ukázať, že bázický rozklad matice na súčin matíc je skeletným
More informationFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Písomná práca k dizertačnej skúške
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Písomná práca k dizertačnej skúške Marec 2007 Tomáš Jurík Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
More informationPokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Donald E. Knuth Computer science a jej vzťah k matematike Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 21 (1976), No. 2, 88--96 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139254
More informationKľúčové slová: SAR, šum spekl noise, evolučná PDR, lineárna difúzia, Perona-Malikova rovnica, štatistickéfiltre, Leeho filter
Kľúčové slová: SAR, šum spekl noise, evolučná PDR, lineárna difúzia, Perona-Malikova rovnica, štatistickéfiltre, Leeho filter Tvorba šumu spekl radarový senzor vysiela elektromagneticlý pulz a meria odraz
More informationako na vš 2O18 si uchádzači vyberali vysokú školu? Podľa čoho 13,3 % 45,5 % 10,5 % 30,7 %
ako na vš 2O18 3 9 10 12 14 18 Národné porovnávacie skúšky Scio Štúdium v Českej republike Ako sa rozhodnúť Vysoké školy v SR Rady pre nastupujúcich vysokoškolákov Podľa čoho si uchádzači Štúdium v USA
More informationAplikácie teórie množín Martin Sleziak 24. februára 2015
Aplikácie teórie množín Martin Sleziak 24. februára 2015 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Sylaby a literatúra................................. 5 1.1.1 Literatúra.................................. 5 1.1.2 Sylaby predmetu..............................
More informationShort time oscillations of exchange rates
Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Short time oscillations of exchange rates Diploma Thesis Bratislava 2007 Tomáš Bokes Short time oscillations of exchange rates
More informationMatematická analýza II.
V. Diferenciálny počet (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prezentácie k prednáškam čast II 21. februára 2018 The extent of this calculus
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE Bakalárska práca 2011 Andrej Horský UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
More informationAlgoritmy metód vnútorného bodu v lineárnom programovaní
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Algoritmy metód vnútorného bodu v lineárnom programovaní RIGORÓZNA PRÁCA 14 Mgr. Marek KABÁT UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationMCRE úlohy a štandardné matematické úlohy na ZŠ
Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave PaedDr. Ján Ďuriš Autoreferát dizertačnej práce MCRE úlohy a štandardné matematické úlohy na ZŠ na získanie vedecko-akademickej
More informationKatedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava. Multiparty Communication Complexity (Master thesis)
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Multiparty Communication Complexity (Master thesis) František Ďuriš Study programme: 921 Informatics Supervisor:
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY REKURENTNÉ POSTUPNOSTI
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Evidenčné číslo: 74b93af3-8dd5-43d9-b3f2-05523e0ba177 REKURENTNÉ POSTUPNOSTI 2011 András Varga UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS AUTOMATIZACE VERIFIKACE
More informationMASTER THESIS. Vlastnosti k-intervalových booleovských funkcí Properties of k-interval Boolean functions
Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics MASTER THESIS Pavol Gál Vlastnosti k-intervalových booleovských funkcí Properties of k-interval Boolean functions Department of Theoretical
More informationPokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Richard M. Karp Kombinatorika, zložitosť a náhodnost Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 34 (1989), No. 6, 313--335 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137849
More informationComputation of Information Value for Credit Scoring Models
Jedovnice 20 Computation of Information Value for Credit Scoring Models Martin Řezáč, Jan Koláček Dept. of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, Masaryk University Information value The special
More information2. Vektorová metóda kinematickej analýzy VMS
2-5596 Mechanika viaaných mechanických systémov (VMS) pre špecialiáciu Aplikovaná mechanika, 4.roč. imný sem. Prednáša: doc.ing.františek Palčák, PhD., ÚAMM 02010 2. Vektorová metóda kinematickej analýy
More informationInformačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky
Informačný vek modifikuje metódy a formy vyučovania matematiky HODINY MATEMATIKY S INTERAKTÍVNOU TABUĽOU LESSONS OF MATHEMATICS WITH THE INTERACTIVE WHITEBOARDS Gabriela Szendy Abstract: In our article,
More informationDÔKAZY BIELKOVÍN V POTRAVINÁCH
ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV DÔKAZY BIELKOVÍN V POTRAVINÁCH ANDREA BAJEROVÁ ABSTRAKT V príspevku sa zaoberáme implementáciou procesov objavného vyučovania
More informationKybernetika. Jan Havrda; František Charvát Quantification method of classification processes. Concept of structural a-entropy
Kybernetika Jan Havrda; František Charvát Quantification method of classification processes. Concept of structural a-entropy Kybernetika, Vol. 3 (1967), No. 1, (30)--35 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/125526
More informationPOZNATKY Z UPLATŇOVANIA ŠVP V MATEMATIKE NA GYMNÁZIU KNOWLEDGE OF THE APPLICATION OF THE STATE EDUCATION PROGRAM IN MATHEMATICS AT THE GYMNASIUM
FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 15 POZNATKY Z UPLATŇOVANIA ŠVP V MATEMATIKE NA GYMNÁZIU KNOWLEDGE OF THE APPLICATION OF THE STATE EDUCATION PROGRAM
More informationKATOLÍCKA UNIVERZITA V RUŽOMBERKU PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY
I. Úvodný list: KATOLÍCKA UNIVERZITA V RUŽOMBERKU PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY Výročná správa Katedry matematiky Katolíckej univerzity v Ružomberku, Pedagogickej fakulty, za rok 2010 Ružomberok,
More informationNárodná správa PISA 2012
Národná správa PISA 2012 C H G E A D c a A b a v v a c v b A B K F S r daa B a C C B % 505 500 495 490 485 480 500 498 498 492 497 494 496 482 1 2 3 4 h n hľadanie súvislostí, porozumenie Európsky sociálny
More informationPrincípy genetického konštruktivizmu
ORBIS SCHOLAE, 2016, 10 (2) 15 45 TEORETICKÁ STUDIE Princípy genetického konštruktivizmu 15 Ladislav Kvasz Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta Abstrakt: Cieľom príspevku je vymedziť teoretické východiská
More informationPODPORA VÝUČBY MATEMATIKY INFORMAČNO - KOMUNIKAČNÝMI TECHNOLÓGIAMI VO VYSOKOŠKOLSKOM VZDELÁVANÍ. Marián Vernarec, SR
PODPORA VÝUČBY MATEMATIKY INFORMAČNO - KOMUNIKAČNÝMI TECHNOLÓGIAMI VO VYSOKOŠKOLSKOM VZDELÁVANÍ Marián Vernarec, SR Abstrakt Informačno-komunikačné technológie priniesli nečakané alternatívy. Ako možnosti
More informationFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA. Diplomová práca. Martin Plesch
Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Diplomová práca Martin Plesch BRATISLAVA 001 Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Katedra teoretickej
More information