UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Gabriela Pavlovičová

Transcription

1

2 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Gabriela Pavlovičová NITRA 2012

3 Názov: Autor: Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. Recenzenti: prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. doc. PaedDr. Marcela Verešová, PhD. Edícia: Prírodovedec č.511 Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 007UKF-4/2011 Zvyšovanie kľúčových kompetencií v oblasti matematického a prírodovedného myslenia na primárnom stupni vzdelávania. Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. UKF v Nitre 2012 ISBN

4 OBSAH ÚVOD TEÓRIA KOGNITÍVNEHO VÝVINU Piagetova teória kognitívneho vývinu Piaget a vyučovanie matematiky Vygotskij a jeho teória kognitívneho vývinu ROZVOJ ČÍSELNÝCH PREDSTÁV Porozumenie číslam podľa Piageta Kritika Piagetových numerických úloh Vygotskij a rozvoj číselného poznania Detský svet čísel Rozvoj kvantitatívnych schopností Rozvoj schopnosti počítania Detské počítanie ROZVOJ GEOMETRICKÝCH PREDSTÁV Van Hieleho úrovne geometrického myslenia Charakteristika van Hieleho úrovní geometrického myslenia Van Hiele a vyučovanie geometrie Vyučovanie geometrie na jednotlivých úrovniach geometrického myslenia žiaka Rozvoj porozumenia miere v geometrii ROZVOJ PRIESTOROVEJ PREDSTAVIVOSTI Schopnosti priestorového vnímania Priestorové zručnosti a matematické vedomosti IMPLEMENTÁCIA UVEDENÝCH TEORETICKÝCH POZNATKOV DO TEÓRIE VYUČOVANIA MATEMATIKY V PRIMÁRNOM VZDELÁVANÍ Niektoré námety na tvorbu matematických úloh a aktivít Aktivity na rozvoj geometrických predstáv a priestorovej predstavivosti... 69

5 4 Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv Využitie obrázka ako didaktického prostriedku k tvorbe úloh Aktivity na rozvoj logického myslenia ZÁVER Zoznam bibliografických odkazov... 76

6 PREDSLOV Táto publikácia je určená každému, kto sa chce niečo dozvedieť o rozvoji matematických predstáv už od útleho veku dieťaťa. Sústredili sme sa na rozvoj číselných a geometrických predstáv, s ktorými úzko súvisí aj rozvoj priestorovej predstavivosti. Snažili sme sa spracovať názory niektorých významných pedagógov, psychológov ale aj matematikov, ktorí výrazne prispeli k poznaniu ľudskej osobnosti z pohľadu jej kognitívneho, biologického, ale i spoločenského a kultúrneho vývoja. Prezentujeme staršie i novšie štúdie z oblasti výskumu vývinu poznania a uvedomenia si matematických pojmov a štruktúr, ktoré nás sprevádzajú v každodennom živote už od narodenia. Môžeme však len poukázať na názory a odporúčania rôznych bádateľov, keďže ľudský mozog a ľudská osobnosť vôbec je objektom, ktorý sa snáď ani nedá úplne preskúmať. Každý z nás je jedinečný, no predsa sú tu niektoré spoločné aspekty vývinu osobnosti, ktoré ovplyvňujú rozvoj poznania primerane veku jedinca. Tento poznávací proces je ovplyvnený aj vonkajšími vplyvmi, ako sú kultúrne, spoločenské a sociálne prostredie a predovšetkým vzdelávanie. Názory prezentované v tejto publikácii sú určené hlavne pedagógom ale aj rodičom, ktorí sú každodennou súčasťou vzdelávania detí. Tým, ktorí sú ich sprievodcami pri poznávaní okolitého sveta a jeho zákonitostí, ako aj pri nadobúdaní nových poznatkov a skúseností. Poznanie týchto názorov a vedeckých štúdií je dôležité aj pre budúcich pedagógov pri zodpovednej príprave na ich povolanie. Mnohé uvedené štúdie majú širší záber na vzdelávanie ako také, nielen na vzdelávanie v matematike, i keď práve táto oblasť je našou cieľovou métou. V poslednej kapitole uvádzame vlastné odporúčania a možnosti implementácie prezentovaných poznatkov a názorov do teórie vyučovania matematiky v primárnom vzdelávaní. Veríme, že touto publikáciou zaujmeme čitateľa a rozšírime jeho poznatky z oblasti rozvoja matematických predstáv. Prajeme veľa úspechov a príjemných chvíľ. Autorka Poďakovanie Moje poďakovanie patrí prof. RNDr. Ondrejovi Šedivému, CSc., ktorý ma sprevádzal a podporoval od začiatku môjho pedagogického pôsobenia. Ďakujem mu za jeho profesionálny postoj, odbornú pomoc a hlavne za jeho ľudský prístup.

7 Dôležitým cieľom vzdelávania je pripraviť takých ľudí, ktorí budú schopní vytvárať nové veci vlastným spôsobom a nie len jednoduchým opakovaním toho, čo už urobili iné generácie ľudí, ktorí budú tvoriví, vynaliezaví a objaviteľskí. Jean Piaget Jedným z cieľov vzdelávania je pomôcť žiakom dosiahnuť také vedomosti a schopnosti, ktoré sú v súlade s ich porozumením a možnosťami riešiť problémy v rôznych vekových štádiách. Poznanie vývinového štádia, v ktorom sa žiak v určitom veku nachádza, determinuje výber a tvorbu organizačnej a obsahovej štruktúry učiva z hľadiska jeho náročnosti a primeranosti veku žiaka. Každý človek prechádza v určitom období svojho života nejakým vývinom. Poznanie vývinových štádií či už z hľadiska biologického, fyziologického, kognitívneho, sociálneho, kultúrneho atď. je neustále v záujme výskumov odborníkov z jednotlivých oblastí. Jedným z najdôležitejších období vo vývine jedinca, od ktorého sa odvíja ďalšie napredovanie a uplatnenie sa v živote je obdobie ranného detstva. Vývin dieťaťa od jeho narodenia až po nástup do školy, ako aj ďalšie obdobie vývinu jeho poznania v oblasti matematiky je hlavnou náplňou tejto publikácie. S rozvojom matematických predstáv úzko súvisí kognitívny u jedinca, štúdiom ktorého sa najviac zaoberali Jean Piaget a Lev Vygotskij. Ich teórie patria k najrozsiahlejším, a i keď sa postupom času ukazujú niektoré ich slabé stránky, stále majú v teórii kognitívneho vývinu jedinca svoje nezastupiteľné miesto. Keďže sa budeme venovať matematickým predstavám a ich rozvoju, definujme si niektoré východiskové pojmy a predstavíme si kľúčové myšlienky, ktoré nás budú sprevádzať celou touto publikáciou. Sternberg 1 definuje predstavy ako mentálne reprezentácie tých vecí (predmetov, udalostí, javov), ktoré v okamihu reprezentácie nie sú vnímané zmyslovými orgánmi. Predstava je nástroj poznania a je teda závislá na poznávacích funkciách. 1 STERNBERG, R. J. Kognitivní psychológie

8 Úvod 7 Šútovec 2 definuje termín predstava ako tvorenie názorných obrazov predmetov a javov, ktoré v danom momente nevnímame. Na základe opisu pojmu predstava rozdeľuje predstavy podľa hodnotenia emócií a percepcií na: 1. Zrakové: s diferencovanou precíznosťou zobrazujú tvar, štruktúru, rozmery a farbu reprodukovanej veci. 2. Sluchové: najdôležitejšie sú rečové a hudobné prejavy, reflektuje sa v nich vzájomná väzba a spojitosť zvukov vo výške trvaní. 3. Pohybové: ide o motorické imaginácie pohybu kompletného tela alebo jeho samostatných častí. Půlpán et al. 3 spája pojem predstava s pojmom predstavivosť, ktorú definuje ako schopnosť vytvárať a tiež vybavovať si predstavy. Predstava je potom obraz vytvorený v mysli na základe predchádzajúceho vnemu, rozumovou činnosťou alebo na základe skúseností. Skúsenosti, predstavy, poznatky a pojmy sa vzájomne kombinujú a vytvárajú možnosti pre vznik ďalších. Matematické predstavy sa viažu na konkrétne matematické pojmy a schopnosti, ktoré dieťa nadobudne v určitom veku. Matematické predstavy dávajú k dispozícii širšie možnosti a podnety na skvalitňovanie mentálnej aktivity. V predškolskom veku rozumieme pod nimi hlavne tvorenie elementárnych predstáv o množstve vecí a javov a dejov, ďalej predstavy o veľkosti, tvare, ako aj o ich situovaní v priestore a čase (2). Hlavnými dôvodmi pre podnecovanie základných matematických predstáv detí predškolského veku, sú podľa Divíška 4 : extrahovať skúsenosti a nachádzať väzby medzi predmetmi okolitého sveta; rozvíjať fantáziu so špeciálnou pozornosťou zameriavať sa na samostatnú aktivitu; formovať kreatívne myslenie; podporovať a skvalitňovať schopnosti v oblasti komunikácie; navádzať dieťa k základným metódam logického myslenia; navádzať k individuálnemu riešeniu konkrétnych problémov; formovať elementárne matematické postupy a metódy; zameriavať sa na individuálne matematické schopnosti; rozvíjať priestorovú predstavivosť a orientáciu; podporovať vývin psychomotoriky. Matematika je súčasťou nášho každodenného života bez toho, aby sme si to uvedomovali. Ako uvádza W. H. Cockcroft 5, najviac matematiky používanej v každodennom živote a práci 2 ŠÚTOVEC, J. Psychológia a pedagogika.1994, s PŮLPÁN, Z., KUŘINA, F., KEBZA, V. O představivosti a jeji roli v matematice DIVÍŠEK, J. Metodika rozvíjania matematických predstáv v materskej škole HUGHES, M. Children and number. 1986, s.3.

9 8 Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv je vloženej v praktických problémoch. Kľúčovým bodom jeho správy tzv. Cockcroftovej správy (pôvodný názov Mathematics counts) prednesenej v Londýne v roku 1982 je tvrdenie, že schopnosť riešiť problémy je v srdci matematiky: Matematika má zmysel len do tej miery, do akej môže byť použitá v konkrétnych situáciách, a to je schopnosť aplikovať matematiku v rôznych situáciách, ktoré nazývame riešenie problémov. Avšak riešenie matematického problému nemôže začať pokiaľ nie je pretransformovaný do príslušných matematických pojmov. Prvý a základný krok predstavuje pre mnohých ľudí veľmi veľké problémy a to je skutočnosť, ktorá je príliš málo docenená. Riešenie problémov je všeobecne označované pojmom problem solving. Ako hovorí zakladateľ problémového vyučovania G. Polya 6 : Riešenie problému znamená nájsť spôsob, ako sa dostať z ťažkostí, cestu okolo prekážok, dosiahnutie cieľa, ktorý nie je bezprostredne dosiahnuteľný. Riešenie problémov je špecifickým úspechom inteligencie a inteligencia je zvláštnym nadaním ľudstva: riešenie problémov môže byť považované za najcharakteristickejšiu ľudskú aktivitu. Riešenie problémov je aj jedným z piatich matematických procesov, ktoré charakterizujú elementárne matematické vzdelávanie spolu s komunikáciou, prepojením, úvahou a znázornením, ako je uvedené na obr.1. Národná rada učiteľov matematiky vo Virgínii (The National Council of Teacher of Mathematics) vo svojich Zásadách a štandardoch pre školskú matematiku Principles and Standards for School Mathematics 7 rozčlenila obsah matematiky do piatich oblastí: čísla a operácie s číslami, geometria, miera, algebra a vzorce, analýza dát a pravdepodobnosť. Národná konferencia expertov z matematiky, vyučovania matematiky, psychológie, a ďalších oblastí, akceptovala týchto päť oblastí a vypracovala kľúčové myšlienky a námety pre tieto oblasti 8. Obidva dokumenty zdôrazňujú, že aktivity malých detí by mali byť zamerané na čísla a geometriu. Môžu im byť poskytnuté aj skúsenosti v ďalších matematických oblastiach, no zvyčajne v kontexte s číslami a geometriou. Plná integrácia piatich matematických oblastí a matematických procesov je na obrázku 1 9, pričom prepojenia medzi jednotlivými oblasťami znamenajú: a) Čísla sa používajú na určenie počtu vlastností geometrických objektov (napr. počet strán v trojuholníku). Geometrické objekty poskytujú modely pre čísla a operácie (napr. počet radov alebo zoskupení pri násobení). 6 POLYA, G.Mathematical discovery: On understanding, learning, and teaching problem solving PSSM, NTCM CLEMENTS, D., SARAMA J., a DiBIASE, A. M.. Engaging young children in mathematics SARAMA, J.,CLEMENTS, D.H. Mathematics in early childhood

10 Úvod 9 b) Čísla a operácie sú základnými prvkami miery. Pri meraní, napríklad dĺžky, rozdeľujeme jednotky miery na menšie časti, aby sme mohli dĺžku presne určiť a vypočítať. Miera poskytuje modely a aplikácie pre čísla ako aj pre aritmetické operácie. RIEŠENIE PROBLÉMOV i Algebra KOMUNIKÁCIA Čísla a číselné operácie Čísla určujú odpoveď na otázku Koľko?, popisujú poradie a mieru, zahŕňajú číselné vzťahy. Môžu byť reprezentované rôznymi spôsobmi a modelmi. Číselné operácie modelujú rôzne situácie z reálneho sveta a používajú sa na riešenie problémov. Operácie môžu byť vykonané rôznymi spôsobmi. g Analýza dát Zaznamenávanie a používanie informácií pri tvorbe otázok a odpovedí. b e a d Používanie vzorcov na zistenie vzťahov a ich zovšeobecnenia. f Geometria Určenie a znázornenie objektov, ich orientácie, polohy a vzťahov medzi nimi. Popis, analýza, pretváranie, skladanie a rozkladanie geometrických útvarov. c PREPOJENIE h Miera Porovnávaním a meraním môžeme určiť koľko vlastností (ako je dĺžka šírka a pod.) objekty majú. Určenie miery útvarov môže byť stanovené opakovaním jednotiek merania alebo použitím pomôcok (napr. pravítko). ZNÁZORNENIE ÚVAHA Obr. 1 Základné matematické oblasti pre elementárnu matematiku (zdroj: 9,s.70)

11 10 Niektoré kľúčové názory na rozvoj matematických predstáv c) Geometria poskytuje základné vzťahy a súvislosti pri vyučovaní a učení sa meraniu. Miera kvantifikuje vlastnosti geometrických útvarov, ako sú dĺžka strany alebo veľkosť uhla. d) V geometrickom meraní, proces merania zvyčajne spája číselný obor a operácie na jednej strane a geometriu na druhej strane. e) Algebra môže byť použitá na určenie, popísanie a rozšírenie číselných postupov. f) Algebra môže byť použitá na určenie, popísanie a rozšírenie geometrických postupov. g) Číselné predstavy sú základom v analýze dát. h) Miera je často používaná a analyzovaná ako údaj. i) Analýza dát môže byť použitá na zatriedenie informácií, na nájdenie vzorca alebo diagramu. Na záver uvádzame niekoľko myšlienok o matematike z pohľadu filozofie. Godino 10 uvádza epistemologické a kognitívne predpoklady o matematike, ktoré zohľadňujú niektoré tendencie vo filozofii matematiky: a) Matematika je ľudská činnosť zahŕňajúca riešenia problémových situácií. Pri hľadaní odpovede alebo riešenia na tieto vonkajšie alebo vnútorné problémy postupne vnikajú a vyvíjajú sa matematické pojmy a objekty. Podľa Piagetových konštruktivistických teórií, za genetický pôvod týchto matematických pojmov treba považovať ľudské konanie. b) Matematickými problémami a ich riešeniami sa zaoberajú špeciálne inštitúcie alebo kolektívy, ktoré sú zapojené do štúdia týchto problémov. Preto sú matematické objekty zároveň kultúrnymi sociálne zdieľanými subjektmi. c) Matematika je symbolický jazyk, ktorým sú problémové situácie a nájdené riešenia vyjadrené. Systémy matematických symbolov majú komunikačnú funkciu a stávajú sa pomocným nástrojom pri riešení problémov. d) Matematika je logicky usporiadaný koncepčný systém. Akonáhle je objekt prijatý za súčasť systému, môže byť považovaný za jedinečný a zároveň existuje ako súčasť globálnej štruktúry. So systémom môžeme pracovať ako s celkom a vytvárať v ňom nové matematické objekty, rozširovať spektrum matematických nástrojov a zároveň definovať nové dimenzie matematických činností a upresňovať konkrétny matematický jazyk. 10 GODINO, J.D. Mathematical concepts, their meanings and understandings s.3.