Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplety v programe GeoGebra

Transcription

1 Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra Parabola in Applications and its Applets in Software Geogebra Abstract In this paper, we focus on simple application eamples. We choose eamples, where the snthesis of knowledge of geometr and mathematical analsis is evident. It is clear that the eamples are of motivating nature and the are offered as an inspirational source. Kewords Software GeoGebra, application, parabola

2 1 Úvod V príspevku sa sústredíme na jednoduché aplikačné príklad, ktoré sú riešené na seminároch a cvičeniach z predmetov Geometria 3 a 4 učiteľstva akademických predmetov v aprobácii s matematikou na FPV UKF v Nitre. Ide o aplikačné úloh, v ktorých vstupuje len jedna množina bodov danej vlastnosti parabola. Pri výbere príkladov sme kládli dôraz na také úloh, kde je možná sntéza poznatkov geometrie a matematickej analýz, keď v istých príkladoch hľadáme etrém. Je zrejmé, že uvedené príklad majú motivačný charakter a prezentujú len zlomok z učebnej látk. Ponúkame ich však čitateľovi ako inšpiratívn zdroj. Parabola Ako sme už uviedli, zamerali sme sa na kužeľosečku parabolu. Predpokladáme, že čitateľovi sú jasné základné pojm súvisiace s touto množinou bodov danej vlastnosti, ako aj jej analtické rovnice. Poznamenávame, že v učive na strednej škol sa mierne zanedbáva poznatok o optických vlastnostiach kužeľosečiek, resp. odpovedajúcich rotačných plôch. Za tým účelom pripomínane, že parabolická rotačná plocha je jediná plocha tej vlastnosti, že lúč prechádzajúci jej ohniskom sa od ploch odráža rovnobežne s osou ploch. Tento poznatok vužijeme neskôr. Príklad 1 Priamka p leží rovnobežne s úsečkou AB dĺžk c vo vzdialenosti d. Určte množinu bodov, do ktorej patrí ortocentrum trojuholníka ABC, ak C je ľubovoľný bod priamk p. Riešenie. Pomocou programu vtvoríme aplet. Parametrami budú premenné c a d. Obr. 1 Aplet k príkladu 1 Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 76

3 Zvolíme súradnicovú sústavu O tak, ab O A[, ], B[c, ]. Potom C[, d] a V[, ]. Keďže vektor AV, BC sú na seba kolmé (V je ortocentrum), pre skalárn súčin platí AV. BC. Počítame. Odtiaľ dostaneme, že ide o parabolu so stredovou rovnicou c c d 4d, ktorej vrchol má súradnice c c, 4d. Poznámka. Aplet je výhodné použiť pri diskusii, či musí bť vrchol parabol prvkom trojuholníka. Príklad Ako vsoko a ako ďaleko b doletela strela odpálená rýchlosťou v s elevačným uhlom? Odpor vzduchu neuvažujte. Riešenie. Vektor rýchlosti v rozložíme do dvoch zložiek vodorovnej v a zvislej položíme súradnicový sstém tak, že počiatok je miestom výstrelu, potom platí v. Ak v.cos v a v.sin v. Za čas t preletí strela dráhu vt, ktorá sa opäť rozloží do dvoch zložiek v. t a v. t 1 gt, pretože na strelu pôsobí gravitačná sila a gravitačnom zrýchlení sú 1 gt je dráha voľného pádu pri g 1 m. s. V čase t sa strela nachádza v bode M[, ], ktorého súradnice v t.cos, 1 vt.sin gt. Z rovnice v t.cos dostaneme v.cos rovnici eliminujeme parameter t. Výsledná rovnica je stredovou rovnicou parabol t a v druhej v sin v cos v sin g g g V aplete je možné nadstaviť premenné v a veľkosť uhla. Problematiku tohto príkladu možno rozšíriť aj na oblasť projektového vučovania. Pre študentov bude možno zaujímavé riešiť problém, kde 1. ide o veľkosť uhla pri maimálnom dolete strel, resp. v akom čase je strela v maimálnej výške. úloh praktického charakteru, kde sa počíta elevačný uhol tak, ab strela dopadla na cieľ v istej nadmorskej výške alebo vzdialenosti od miesta výstrelu - z hľadiska geometrického ide o riešenie úloh o vzájomnej polohe priamk a kužeľosečk. Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 77

4 Obr. Aplet k príkladu Príklad 3 Oceľový trám dĺžk d metrov je zavesený v krajných bodoch tak, že a metrov od bodov upevnenia je prehb b centimetrov. Vlastnou tiažou je trám parabolick prehnutý. Zistite prehb u v strede trámu. Riešenie. Umiestnime trám modelovaný úsečkou do karteziánskej súradnicovej sústav tak, d d d b ab krajné bod A,, B,. Bod daného prehbu budú C a,, 1 d b D a,. Vzhľadom k umiestneniu úsečk, je parabola súčasne aj funkciou so rovnicou 1 e f, kde e, f R. Dosadením súradníc bodov AC, do rovnice, odvodíme bd b 4a a d a a d Vrchol parabol je V bd, 4 a a d a preto prehb v strede má hodnotu u bd 4a a d. Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 78

5 Obr. 3 Aplet k príkladu 3 Príklad 4 Približný počet ton pomarančov vzatých z plantáže je daný funkciou = (a-)+b, kde predstavuje počet pomarančovníkov na 1 hektári a a, b R. Zistite, koľko stromov treba vsadiť na 1 hektár, ab bol maimáln výnos. Riešenie. Keďže funkcia je parabolou, etrém určuje je vrchol. Upravíme funkciu do tvaru a 4b a 4 Maimálna hustota výsadb plantáže bude pre a, ked bude výnos Pomocou apletu môžeme vmodelovať konkrétne hodnot výnosov. a 4b. 4 Obr. 4 Aplet k príkladu 4 Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 79

6 Príklad 5 Automobilový reflektor má tvar rotačného paraboloidu s výškou h. Vo výške h je jeho rezom kružnica s priemerom d. Určte vzdialenosť vlákna žiarovk od jeho vrcholu tak, ab svetelné lúče smerovali rovnobežne s jeho osou. Riešenie. Rezom rotačného paraboloidu s rovinou, ktorá prechádza jeho osou, je parabola. Umiestnime parabolu do súradnicovej sústav tak, ab jej rovnica bola a, a R. Vzhľadom d d k zadaným hodnotám platí, že parabola prechádza bodmi A, h, B, h. Konkrétna rovnica parabol je potom 4 h. Podľa požiadavk na smer svetelných lúčov musí bť d p h vlákno žiarovk umiestnené v ohnisku F parabol, pre ktoré platí VF (vchádzame zo d vrcholovej rovnice - n = p(-m), kde V[m, n]). Ohnisko má teda súradnice F, h d. Obr. 5 Aplet k príkladu 5 V aplete možno modelovať rôzne situácie. Odporúčame umiestniť bod M ako zdroj svetelného lúča do bodu F a meniť pozíciu bodu T. Odrazený svetelný lúč smeruje vžd rovnobežne s osou parabol osou. Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 8

7 3 Záver V článku sme v krátkosti prezentovali vbrané aplikačné úloh, pričom sme sa sústredili výhradne na jednu kužeľosečku - parabolu. Riešenia sme doplnili o odpovedajúce aplet, kde sme všeobecné parametrické riešenie realizovali na konkrétnch vstupných hodnotách. Literatúra [1] Drábeková, J. Rumanová, L.: Vužitie didaktických softvérov v niektorých častiach matematik. Nitra. In: Medzinárodné vedecké dni 8 - zborník recenzovaných príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. SPU Nitra 8, s ISBN [] Žilková, K.: Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Univerzita Komenského v Bratislave, 8. ISBN [3] Csiba, P.: Voľne síriteľné geometrické softvér. Zborník konferencie: 5. medzinárodná konferencia Aplimat, STU, 6, s ISBN X [4] Pavlovičová, G. - Rumanová, L.: Rozvoj priestorovej predstavivosti s vužitím Cabri 3D. Bratislava: In. E-matik 7 : E-learning v matematike, matematika v E-learningu, Bratislava - Slovakia, September 1-1, 7. - Bratislava: UK, 7. - nestr. [5] Žilková, K. : Nástrah Cabri geometrie II. In: Acta 4 Zborník Pedagogickej fakult Trnavskej univerzit. Trnava: PF TU, 4, ISBN [6] Vidermanová, K.: Výučba stereometrie a rozvoj priestorovej predstavivosti pomocou počítačových programov. In: Informačné a komunikačné prostriedk vo vzdelávaní v matematike. Nitra: FPV UKF, Prírodovedec č. 199, 5.ISBN S. [7] Csiba, P.: Nové aspekt a možnosti vo vučovaní matematik, In: Zborník príspevkov 1. vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou, Trenčín, s ISBN [8] Polák, J.: Přehled středoškolské matematik, SPN, Praha,.vd., s. 68, 1977 RNDr. Dušan Vallo, PhD. Katedra matematik FPV UKF v Nitre Tr. A. Hlinku Nitra dvallo@ukf.sk RNDr. Viliam Ďuriš, PhD. Katedra matematik FPV UKF v Nitre Tr. A. Hlinku Nitra vduris@ukf.sk Kontaktná adresa PaedDr. Júlia Záhorská, PhD. Katedra matematik FPV UKF v Nitre Tr. A. Hlinku Nitra jzahorska@ukf.sk Parabola v aplikačných príkladoch a ich aplet v programe GeoGebra 81