VIACKRITERIÁLNE (MULTIKRITERIÁLNE) ROZHODOVANIE (ROZHODOVACIA ANALÝZA)

Transcription

1 VIACKRITERIÁLNE (MULTIKRITERIÁLNE) ROZHODOVANIE (ROZHODOVACIA ANALÝZA) Metódy rozhodovacej analýzy Existuje viacej rozličných metód, ktoré majú v zásade rovnaký princíp - posúdenie niekoľkých variantov riešenia zadaného problému podľa zvolených kritérií a stanovenie poradia variantov. Jednotlivé metódy sa líšia podľa toho, ako sa určuje tzv. váha jednotlivých kritérií a ako sa číselne hodnotí stupeň, ktorým jednotlivé varianty riešenia napĺňajú zvolené kritériá. PRÍKLAD Do konkurzu na dodávku kopírovacích strojov sa prihlásili 3 dodávatelia : D Canon, D Minolta, D3 Toshiba. Na základe zvolených kritérií : K cena výrobku, K poskytovaná záruka, K3 výkonnosť výrobku, K čas dodania Po posúdení predložených ponúk do výberového konania boli s ohľadom na zvolené kritériá získané nasledovné informácie : CANON MINOLTA TOSHIBA K cena výrobku 350 Eur 300 Eur 50 Eur K - záruka 36 mes mes 60 mes K3 výkon stroja 5 str/min 5 str/min 35 str/min K doba dodania dní 0 dní 7 dní Riešte úlohu viackriteriálneho rozhodovania prostredníctvom : RIEŠENIE : (A) DMM Metódy rozhodovacej matice, (B) FDMM modifikovanej metódy rozhodovacej matice (C) AHP Analytickej viacúrovňovej metódy (A) DMM - Metóda rozhodovacej matice (Decision Matrix Method) Je považovaná za základnú metódu (môže mať viac variantov riešenia). Jeden z variantov spočíva v hodnotení váhy (dôležitosti) jednotlivých kritérií bodovou stupnicou od po 0 tak, že stupeň je priradený najmenšej váhe a stupeň 0 váhe najväčšej. Rovnakou stupnicou sa tiež hodnotí skutočnosť, ako jednotlivé varianty riešenia vyhovujú zvoleným kritériám, tzn. stupňom - nevyhovuje až po 0 - vyhovuje ideálne.

2 Kritérium Hodnotenie dodávateľa Váha Canon Minolta Toshiba Cena ponuky Poskytovaná záruka Výkonnosť stroja Doba dodávky Vážený súčet Poradie 3 Za výsledné kritérium pre rozhodnutie sa potom volí najväčší vážený súčet (súčet súčinov hodnotenia miery splnenia kritériá a ich váhy). Výhody :. jednoduchosť postupu,. relatívne nízka časová náročnosť Nevýhody :. vysoký podiel subjektivity pri ohodnotení váh kritérií a pri hodnotení toho ako jednotlivé varianty vyhovujú zvoleným kritériám, (B) FDMM Modifikovaná metóda rozhodovacej matice (Forced Decision Matrix Method) Čiastočne odstraňuje nevýhody DMM. Váhy jednotlivých kritérií, ako aj hodnotenie variantov ako spĺňajú jednotlivé kritériá, sa určujú tzv. párovým porovnaním. Znamená to, že pri porovnaní dvoch kritérií, je významnejšie (pre rozhodovanie dôležitejšie) kritérium hodnotené, menej významné kritérium 0. Podobne pri hodnotení toho, ako dva varianty vyhovujú zvoleným kritériám hodnotenia, je variant vyhovujúci lepšie, hodnotený a variant hodnotený horšie 0. a ) Párové porovnanie kritérií Kritérium K K K3 K Súčet Váha K - 3 3/6 = 0,5 K 0-0 /6 = 0,67 K3 0 - /6 = 0,333 K /6 = 0 b) Párové porovnanie variantov podľa kritéria K Variant D D D3 Súčet Hodnotenie D - 0 /3 = 0,333 D - /3 = 0,667 D /3 = 0

3 c ) Párové porovnanie variantov podľa kritéria K Variant D D D3 Súčet Hodnotenie D - 0 /3 = 0,333 D /3 = 0 D3 - /3 = 0,667 d ) Párové porovnanie variantov podľa kritéria K3 Variant 3 Súčet Hodnotenie - / 0 / 0,5/3 = 0,67 / - 0 / 0,5/3 = 0, /3 = 0,667 e ) Párové porovnanie variantov podľa kritéria K Variant 3 Súčet Hodnotenie /3 = 0-0 /3 = 0, /3 = 0,667 Rozhodovacia tabuľka FDMM Kritérium Hodnotenie dodávateľa Váha Canon Minolta Toshiba Cena ponuky 0,5 0,333 0,667 0 Poskytovaná záruka 0,67 0, ,667 Výkonnosť stroja 0,333 0,67 0,67 0,667 Doba dodávky 0 0 0,333 0,667 Vážený súčet 0,777 0,389 0,3335 Poradie 3 Výsledné hodnotenie variantov alebo váhu kritérií dostaneme tak, že hodnotenie normujeme, tj. požadujeme, aby súčet všetkých hodnotení resp. váh bol rovný Výhody :. relatívna jednoduchosť postupu,. odstránenie subjektivity pri určovaní váh a vplyvu kritérií (sú určené exaktnejšie) Nevýhody :. relatívne veľké rozdiely v hodnotení jednotlivých variantov a kritérií (aj keď sa líšia iba málo),. pri určení váhy kritéria alebo hodnotenia alternatívy rovnom 0, nemajú na celkové hodnotenie žiadny vplyv. 3

4 (C) AHP Analytická viacúrovňová metóda (Analytic Hierarchy Process) AHP do istej miery eliminuje nedostatky DMM a FDMM. Je založená tiež na párovom porovnávaní stupňa významnosti jednotlivých kritérií a miery toho, ako hodnotené varianty riešenia tieto kritériá spĺňajú. Stupnica hodnotenia je však podstatne komplexnejšia. Hodnotenie je v oboch prípadoch (porovnanie kritérií i variantov) založené na tzv. expertnom odhade, pri ktorom odborníci v danom odbore porovnávajú vzájomné vplyvy dvoch faktorov. Tieto hodnotia na základe stupnice rovnaký slabý stredný - silný - veľmi silný], pričom tomuto slovnému hodnoteniu odpovedajú hodnoty [ ]. Faktor A Veľmi silný Silný Stred ný Slabý Rovnaký Slabý Stred ný X X Faktor Silný Veľmi silný Ak sú vo formulári pre hodnotenie vyznačené možnosti (v tomto prípade silná a veľmi silná prevaha faktora B nad faktorom A), ako výsledné hodnotenie sa v riadku faktora B a stĺpci faktora A objaví hodnota 8 a v riadku faktora A a stĺpci faktora B sa uvedie prevrátená hodnota tj. hodnota /8. Do rozhodovacej matice sa zaraďuje i vzájomné porovnanie rovnakých premenných s hodnotením vplyvu ( rovnaký vplyv ). Ďalší postup určenia váh kritérií a porovnania variantov riešení je oproti predchádzajúcim metódam komplikovanejší, pretože je potrebné :. pre každú maticu párového porovnania určiť normovaný vlastný vektor odpovedajúci najväčšej reálnej vlastnej hodnote (číslu) matice, uvažovanej v absolútnej hodnote.. jeho zložky podobne určujú váhy kritérií a hodnotenie variantov riešenia podľa jednotlivých kritérií a výsledné ohodnotenie variantov dostaneme rovnako ako vážený súčet určených hodnotení násobených váhami kritérií. a ) Porovnanie kritérií Kritérium K K K3 K K 3 5 K /3 3 K3 / / K /5 /3 / B

5 b ) Porovnanie variantov podľa kritéria K K - cena D D D3 D /3 D 3 6 D3 / /6 c ) Porovnanie variantov podľa kritéria K K - záruka D D D3 D 3 /3 D /3 /5 D3 3 5 d ) Porovnanie variantov podľa kritéria K3 K3 - výkon D D D3 D /3 D /3 D3 3 3 e ) Porovnanie variantov podľa kritéria K K - dodanie D D D3 D / /3 D / D3 3 Všeobecný postup riešenia I. Realizácia párového porovnania kritérií a porovnania variantov podľa jednotlivých kritérií získanie matíc. II. Určenie vlastnej hodnoty (vlastného čísla) každej matice A. Získanie charakteristického polynómu a) riešiť determinant matice v tvare deta i. J 0. b) použiť Fadejevovu metódu c) využiť dostupný software (Matlab, Mathematica a pod.) B. Určenie koreňov charakteristického polynómu a z nich získať vlastné číslo, pre ktoré platí max i VČ a) postupy na riešenie polynómov napr. Bairstowova metóda b) využiť dostupný software (Matlab, Mathematica a pod.) 5

6 III. Získanie hodnôt vlastného vektora matice Určené vlastné číslo matice dosadíme do sústavy v tvare A. J. x 0. Získame homogénnu sústavu n - rovníc (s nulovou pravou stranou). Jej riešením získame hodnoty tzv. vlastného vektora. a) využitie metód riešenia sústav LAR, napr. Gaussova eliminačná metóda, LU rozklad, Gauss Jordanova metóda a pod. b) využiť dostupný software (Matlab, Mathematica a pod.) IV. Transformácia vlastného vektora matice na normovaný vlastný vektor, ktorého zložky určujú váhy jednotlivých kritérií a váhy variantov podľa toho, ako spĺňajú požiadavky jednotlivých kritérií. V. Výsledné ohodnotenie a stanovenie poradia pomocou vážených súčtov. Praktická aplikácia postupu : I. Získanie matice napr. z porovnania kritérií 6 Kritérium K K K3 K K 3 5 K /3 3 K3 / / K /5 /3 / II. Určenie vlastnej hodnoty matice A. určenie charakteristického polynómu - rozvoj determinantu deta i. J /3 3 / / /5 /3 / / /3 / /3. /./. 3 /3 / /3 / 3 5./ /

7 Rozvojom a úpravami dostaneme charakteristický polynóm matice v tvare / 360. / 30 0 B. získanie charakteristického polynómu Fadejevovou metódou Platí : A = A p = stopa A B = A - p.j A = A.B p = / (stopa A ) B = A - p.j A 3 = A.B p3 = /3 (stopa A 3 ) B 3 = A 3 - p3.j... A n = A.B n- pn = /n (stopa A n ) B n = A n pn.j Platí : inverzná matica : charakteristický polynóm : späť na príklad : A. B n p n p. p. p. p 0 n n n n n /3 3 /3 3 3 p / / / / 3 /5 /3 / /5 /3 / 3 A A B 0 7/3 / 7 3/30 0 7/6 /3 AA. B p /30 5/ 0 5/ 59/360 /60 7/ /3 / 7 3/30 0 7/6 /3 B /30 5/ 0 5/ 59/360 /60 7/5 0 7

8 69 /360 / /3 7 / /80 /5 / A3AB. p3. / 90 / 5 7 / 360 / /360 3/ 0 8/ 5 39 / / 360 / / 3 7 / / 360 / 5 / B3 / 90 / 5 8 /360 / 3 5/360 3/ 0 8/ 5 /60 /30 0 0,0 0 0,0 /30 0 0,0 AAB. 3 p. 0,0 0,0 / ,0 0,0 0 /30 Charakteristický polynóm : 8 p. p. p. p 0 n n n n C. Určenie koreňov charakteristického polynómu a z nich získať vlastné číslo, pre ktoré platí max i VČ a) postupy na riešenie polynómov napr. Bairstowova metóda BAIRSTOWOVA METÓDA ,, 3,? Iteračným algoritmom postupne spresňujeme (na začiatku odhadnuté neznáme) parametre (s, t) kvadratického trojčlena v tvare K ( x) x s. x t 0. Hľadáme taký kvadratický trojčlen, ktorým ak delíme náš charakteristický polynóm (ktorého korene hľadáme) dostaneme delenie takmer bez zvyšku. Prvé korene polynómu získame riešením kvadratickej rovnice. n

9 Postup výpočtu : Stupeň polynómu : n = Počiatočný odhad parametrov : s0 = 0,0, t0 = 0, Presnosť riešenia : = 0,00 = 0-3 Hornerova schéma II.typu 0. p0 p p p3 p krok P(x) - 0-0,8306-0,0333 (-s0) -0,0 - -0,0 0,00 0, , (-t0) -0, , 0,80 0,0398 Q(x) -,0-0,599-0,0700-0,0005 q0 q q q3 q (-s0) -0,0 - -0,0 0,00 0,00397 (-t0) -0, , 0,80 R(x) -,0-0,397 0,78096 r0 r r r3 Platí : s q. r n n3 rn q r n n. r. r n3 n t q. r n n rn q r n n. r. r n3 n s 0, 0005., 0 0, ,397 0,397 0, , 0 0, , , ,397 0,397 0, , 0 (0) t 0, 0036 (0) 0, Potom : s s s (0) 0 0,0 0,0036 t t t (0) 0 0, 0, ,036 0, Overenie kritéria presnosti : (i) s t (i) 0, , 00 0, ,00 Je potrebné vykonať ďalší krok iteračného postupu. 9

10 . p0 p p p3 p krok P(x) - 0-0,8306-0,0333 (-s) -0, ,036 0,0557 0,0083 -, (-t) -0, ,066 0,8878 0,0337 Q(x) -,036-0,60-0, , q0 q q q3 q (-s) -0, ,036 0,0569 0, (-t) -0, ,066 0,833 R(x) -,07-0,395 0,83775 r0 r r r3 s () () 0, t 0, Potom : s s s () 0,036 0, t t t () 0,066 0, ,036 0,06609 Overenie kritéria presnosti : 0 () s t () 0, , 00 0, ,00 Nie je potrebné vykonať ďalší krok iteračného postupu a prvé dva korene charakteristického polynómu získame riešením kvadratickej rovnice v tvare K ( x) x Korene : x 0, ,55.i x 0, ,55.i 0,036. x 0, Zostávajúce dva korene polynómu vypočítame zo zvyšku po delení polynómov K x x x ( ),036. 0,60 0 Korene : x3,05 x 0,03975 Z podmienky v tvare max i VČ je možné určiť vlastnú hodnotu matice tzn. VČ =,05.

11 III. Získanie hodnôt vlastného vektora matice A. Určené VČ matice dosadíme do sústavy v tvare A. J. x 0 3,05 / 3 / / 5 3 3,05 / / 3 3,05 / 5 x 3 x. x 3,05 x Ide o tzv. homogénny SLAR : ak má okrem nulového riešenia ešte aj nenulové riešenie, potom má nekonečne veľa tzv. lineárne závislých (násobných) riešení. Preto je nutné jednu neznámu zvoliť, napr. x= 3,05 / / 3 3,05 / 3 x. x 3,05 x 3 / 3 / / 5 Riešenie : x =, x = 0,53, x3 = 0,5, x = 0,533 Vlastný vektor matice Normovaný vlastný vektor matice 0,56 0,53 0,33 xk x 0,5 Kn 0,377 0,533 0,0837,8307 0,9999 Ďalšie vlastné čísla a vektory : Párové porovnanie podľa K Párové porovnanie podľa K VČ = 3,05 VČ = 3,0385 v K, ,3793 3, v K 0,0569, , 8730 v Kn v K n 0,7066 0,6 0,0850 0,589 0,075 0,63706

12 Párové porovnanie podľa K3 Párové porovnanie podľa K VČ =,9996 VČ = 3,0089 v K3,0007 3,003 5, 008 v K,878 3, , v K3n v K n 0,9988 0,0003 0, ,6337 0,9698 0,53966 Výsledná rozhodovacia tabuľka AHP Kritérium Hodnotenie dodávateľa Váha Canon Minolta Toshiba Cena ponuky 0,56 0,7066 0,6 0,0850 Poskytovaná záruka 0,33 0,589 0,075 0, Výkonnosť stroja 0,377 0,9988 0,0003 0,60008 Doba dodávky 0,0837 0,6337 0,9698 0,53966 Vážený súčet 0,973 0,856 0,335 Poradie 3 LITERATÚRA [] Máca, J. Leitner, B.: Operačná analýza pre bezpečnostný manažment. FŠI ŽU Detašované pracovisko Košice, Žilina 00. [] Chvalovský, V. : Rozhodovací tabulky. SNTL, Praha 98. [3] Křovák, J. Zamrazilová, E. : Expertní odhady. SNTL, Praha 989. [] Jaiswal, N., K. : Military Operations Research. KAP, Boston, 997.

13 Spôsob určenia vlastného vektora matice (University of Texas) Kritérium K K K3 K K 3 5 K /3 3 K3 / / K /5 /3 / Určenie vlastného vektora : v n i ai. ai. ai3.. ain, kde n je rozmer matice v a a a a, v a. a. a3. a / v 3 a3. a3. a33. a3 /./.. v a. a. a3. a /5./3./.,8907 0, ,7869 Vlastný vektor matice Normovaný vlastný vektor matice, ,550,8907 0,39 xk x 0, Kn 0,385 0,7869 0,0837 5,06758,000 Aw.. w, Určenie vlastného čísla matice : max kde A je matica n x n, w je n-rozmerný vektor, max - je najväčšia vlastná hodnota (vlastné číslo). Všeobecný zápis : ai. w ai. w ain. wn i. wi napr. : i A.w, kde Ai je i-ty riadok matice A, w je normovaný vlastný vektor matice A. a. w a. w a3. w3 a. w.0, ,39.0, ,0837 w 0,550,6,066 0,55 0,93 0,5608 0,338,06, 3,09,,03 0, 39 0,385 0,0837 max. 3.,066,06,09,03,05 n i w i 3

14 Výsledky získané prostredníctvom programu Expert Choice v.