Numerická simulace proudění stlačitelných tekutin pomocí multigridních metod

Transcription

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Andrej Živčák Numerická simulace proudění stlačitelných tekutin pomocí multigridních metod Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: prof. RNDr. Vít Dolejší Ph.D., DSc. Matematika Numerická a výpočtová matematika Praha 22

2 Rád by som na tomto mieste pod akoval vedúcemu mojej diplomovej práce profesorovi Vítovi Dolejšímu za cenné rady a podnety, ktoré prispeli k dokončeniu tejto práce. Vel ká vd aka patrí tiež mojim rodičom a blízkym za podporu, ktorú mi prejavovali počas celého štúdia.

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 2/2 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 6 odst. autorského zákona. V Praze dne.8.22 Podpis autora

4 Název práce: Numerická simulace proudění stlačitelných tekutin pomocí multigridních metod Autor: Bc. Andrej Živčák Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Vít Dolejší Ph.D., DSc. Abstrakt: Skúmame numerické riešenie Navier-Stokesovych rovníc popisujúcich prúdenie viskóznej stlačitel nej tekutiny. Rovnice sú diskretizované pomocou nespojitej Galerkinovej metódy konečných prvkov, ktorá je založená na aproximácii po častiach nespojitými polynomiálnymi funkciami. Diskretizovaná úloha vedie k vel kému systému nelineárnych algebraických rovníc. S ciel om vyriešit tento systém efektívne sme odvodili tzv. p-multigridnú stratégiu riešenia, ktorá používa ako operátory projekcie a restrikcie L 2 -projekciu medzi priestorami polynomiálnych funkcií a to zvlášt pre každý element. p-multigridná technika bola študovaná, odvodená a implementovaná v kóde ADGFEM. Výpočetný výkon metódy je uvedený. Klíčová slova: Navier-Stokesove rovnice, nesppojitá Galerkinova metóda, multigrid Title: Numerical simulation of compressible flows with the aid of multigrid methods Author: Bc. Andrej Živčák Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. RNDr. Vít Dolejší Ph.D., DSc. Abstract: We deal with the numerical solution of the Navier-Stokes equations describing a motion of viscous compressible flows. The governing equations are discretized with the aid of discontinuous Galerkin finite element method which is based on a discontinuous piecewise polynomial approximation. The discretizations leads to a large nonlinear algebraic system. In order to solve this system efficiently, we develop the so-called p-multigrid solution strategy which employ as a projection and a restriction operators the L 2 -projection in the spaces of polynomial functions on each element separately. The p-multigrid technique is studied, developed and implemented in the code ADGFEM. The computational performance of the method is presented. Keywords: Navier-Stokes equations, discontinuous Galerkin method, multigrid

5 Obsah Úvod 2 Záver 2 2 Popis stlačitel nej tekutiny 4 2. Zákony zachovania Zákon zachovania hmotnosti Zákon zachovania hybnosti Zákon zachovania energie Navier-Stokesove rovnice Bezrozmerný tvar rovníc Nespojitá Galerkinova metóda 6 3. Formulácia problému Priestor nespojitých konečných prvkov Triangulácia oblasti Priestory funkcií DGFEM pre Navier-Stokesové rovnice Neviskózne (Eulerové) toky Viskózne toky Penalizácie Semi-implicitná BDF-DGFE diskretizácia Stratégia riešenia Algebraická reprezentácia Ortonormálna báza priestoru Metóda riešenia Multigrid h-multigrid Multigrid pre lineárny prípad Multigrid pre nelineárny prípad p-multigrid Odvodenie p-multigridu Algoritmus Konštrukcia operátorov Báza Programový balík ADGFEM Newton-Multigridná metóda Záver 5 Literatúra 53

6 . Úvod Numerická simulácia prúdenia tekutín (kvapalín alebo plynov) predstavuje stále vel mi atraktívne téma štúdia s aplikáciami hlavne v strojárenskom, leteckom a automobilovom priemysle. K popisu prúdenia tekutín sa používa systém Navierových- Stokesových rovníc. Rovnice popisujú širokú škálu problémov prúdenia. Navierove-Stokesove rovnice boli odvodené v prvej polovici 9. storočia. Nezávislé na sebe k ním dospeli Claude-Louis Navier (Francúzsko) a George Gabriel Stokes (Anglicko). Popisujú stlačitel né neviskózne prúdenie tekutiny. Vyjadrujú vzt ah medzi rýchlost ou, hustotou, tlakom a teplotou prúdiacej tekutiny. Analytické riešenie tohto systému spravidla nie je možné. V trojrozmernom prípade dokonca nie je známy dôkaz existencie, či jednoznačnosti riešenia. Výsledky sú iba pre niektoré špeciálne prípady (2D úloha, nestlačitel ná tekutina atd.). Avšak numerické výsledky dávajú vel mi dobrú zhodu s experimentami. V súčasnosti disponujeme so šírokou škálou numerických metód na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc (PDR) napr. metóda konečných diferencii, metóda konečných objemov (MKO), metóda konečných prvkov (MKP), atd. Metóda konečných prvkov je vhodná na parabolické a eliptické problémy. Je vyššieho rádu presnosti a zastrešuje ju rozsiahlý teoretický aparát. Metóda konečných objemov je zase vhodná na hyperbolické problémy a úlohy, v ktorých sa vyskytujú nespojitosti. Na rozdiel od metódy konečných prvkov použitím tejto metódy nedosahujeme až tak vysoký rád presnosti, pretože aproximácia riešenia je po častiach konštantnými funkciami. V súčasnosti vel mi populárnou metódou je nespojitá Galerkinova metóda konečných prvkov (DGFEM). Používa sa nielen na riešenie úloh prúdenia tekutín, ale i úloh akustiky a problematiku elektromagnetizmu. DGFEM spája prvky metódy MKP a MKO. Poskytuje vel kú slobodu a jednoduchost v implementácii (hp-adaptivita, paralelizácia, a pod.) a vyšší rád presnosti. Spoločným prvkom vyššie spomínaných metód je, že výpočetnú oblast delia na menšie podoblasti tvoriace výpočetnú siet. Na rozdiel od klasickej spojitej metódy konečných prvkov vznikne pri diskretizácii DGFEM, pre rovnakú vypočetnú siet a formálne rovnaký stupeň polynomiálnej aproximácie riešenia, ovel a väčšia úloha. Dosahovat vyšší rád presnosti je možné zmenšením prvkov siete v problematických miestach alebo zvýšením polynomiálneho stupňa aproximácie. Ukazuje sa, že minimálne pre spojité riešenie je lepšie zvýšit stupeň aproximácie, 2

7 než zjemňovat siet, [2]. Nič nie je však zadarmo a DGFEM je pomerne drahá metóda (v zmysle CPU času a pamät ových nárokov). V snahe zefektívnit použitie DGFEM začali autori vo svojich výpočetných kódoch implementovat variantu multigridnej metódy. Pojem multigridu nie je úplne nový. Je známy hlavne kvôli svojej efektivite - textbook multigrid efficiency (nie je zaručená, ale teoreticky dosiahnutel ná). Klasický koncept využíval hierarchiu výpočetných sieti a budeme ho označovat h-multigrid. Novší prístup využíva hierarchiu konečneprvkových priestorov nad rovnakou trianguláciou, ale s rôznym polynomiálnym stupňom aproximácie p. Použijeme preto označenie p-multigrid. Ciel om práce je naštudovat riešenie nelineárnej algebraickej sústavy rovníc pomocou p-multigridu, navrhnút príslušnú stratégiu pre riešenie Navier-Stokesových rovníc pomocou DGFEM a celu techniku naimplementovat do programového modulu ADGFEM vyvýjaného na KNM MFF UK. Ciel om je porovnat p-multigridnú metódu s pôvodným riešičom GMRES. Práca je členená na štyri kapitoly. V prvej kapitole sú odvodené rovnice popisujúce stlačitel nú viskóznu tekutinu. Formulovali sme zákony zachovania a ich vyjadrenie v diferenciálnej podobe. Postupovali sme hlavne podl a []. V druhej kapitole je popísaná nespojitá Galerkinova metóda. Odvodená DG- FEM diskretizácia Navier-Stokesových rovníc a popísana metóda ich riešenia. Vychádzali sme z práci [6, 7]. V d alšej kapitole predstavíme multigrid. Popíšeme klasický multigrid používajúci hierarchiu výpočetných sieti pre oba možné prípady výslednej diskretizovanej úlohy lineárna i nelineárna. V d alšej časti predstavíme tzv. p-multigrid použivajúci hierarchiu priestorov diskretizácie voči polynomiálnej aproximácii. Popíšeme algoritmus a odvodíme operátory restrikcie a prolongácie v prípade, že priestory konečných prvkov, ktorými opravujeme riešenie, sú vnorené do priestoru, v ktorom hl adáme riešenie. Predstavíme i zobecnenie tohto prístupu. Čerpali sme najmä z práci [3, 7]. V poslednej kapitole sú prezentované výsledky získané implementáciou metódy p-multigridu v programovom module ADGFEM. 3

8 2. Popis stlačitel nej tekutiny Táto kapitola bude venovaná matematickému modelu popisu prúdenia tekutiny v troch dimenziách. Budeme postupovat podl a []. Kvantity popisujúce prúdenie môžu byt závislé na priestorových súradniciach a menit sa s časom. Preto každú kvantitu f budeme písat ako funkciu f = f(x, t), kde x = (x,..., x N ) je bod z oblasti Ω t v čase t. R N, ktorá je vyplnená tekutinou Bud (, T ) R, T >, časový interval, v ktorom uvažujeme pohyb tekutiny. Potom definičný obor funkcie f(x, t) je otvorená množina M = {(x, t) : x Ω t, t (, T )}. (2.) Matematicky popis považuje tekutinu za kontinuum a preto v l ubovol nom bode x Ω t a v čase t sa nachádza práve jedna častica tekutiny. Pohyb každej častice môžeme popísat jej trajektóriou Lagrangeov popis, alebo určením rýchlosti častice pri prechode bodu x v čase t Eulerov popis. Majme referenčný bod X R N, v ktorom sa nami uvažovaná častica nachádza v čase t. Trajektoria častice je popísaná kde x i = ϕ i (X, t ; t), i =,..., N. Špeciálne platí x = x(t) = ϕ(x, t ; t), (2.2) X = ϕ(x, t ; t ). Vo vyjadrení pohybu častice tekutiny (2.2) nazývame x,..., x N Eulerove súradnice a komponenty, X,..., X N, referenčnej polohy X Lagrangeove súradnice. V Lagrangeovom popise sú veličiny rýchlost a zrýchlenie častice popísanej trajektóriou (2.2), za predpokladu existencie príslušných derivácii, dané Rýchlost v Eulerovom popise má tvar ˆv(X, t) = ϕ t (X, t ; t), â(x, t) = 2 ϕ t 2 (X, t ; t). v(x, t) = ˆv(X, t) = ϕ t (X, t ; t). 4

9 Za predpokladu v [C (M)] N máme a(x, t) = v N t (x, t) + v i (x, t) v (x, t). x i Teraz sme si mlčky predstavili, ako z Lagrangeovho popisu odvodit Eulerov popis prúdenia. Bez dôkazu (možno nájst v []) uvedieme vetu, ktorá tvrdí, že za istých predpokladov je možný i opačný prístup. Na základe znalosti rýchlostného pol a v(x, t), ktoré je dostatočné hladké, je možné určit pohyb častíc. Častica, ktorá sa v čase t i= (, T ) s referenčnou polohou v bode X Ω t, má trajektóriu x(t) = ϕ(x, t ; t) danú nasledujúcou obyčajnou diferenciálnou rovnicou dx dt = v(x, t), x(t ) = X. (2.3) Veta 2... Nech v [C (M)] N. Potom platia nasledujúce výroky. Pre každé (X, t ) M má problém (2.3) práve jedno maximálne riešenie ϕ(x, t ; t) definované na intervale (α(x, t ), β(x, t )). 2. Zobrazenie ϕ má spojité prvé parciálne derivácie prvého rádu vzhl adom k X,..., X N, t, t a spojité parciálne derivácie 2 ϕ 2 ϕ,, i =,..., n t X i t X i na množine {(X, t ; t) : (X, t ) M, t (α(x, t ), β(x, t ))}. Nech funkcia f = f(x, t) : M R je Eulerova reprezentácia nejakej fyzikalnej kvantity prenášanej časticami tekutiny. Ďalej uvažujme súbor častíc, ktoré v čase t výplňajú ohraničenú oblast ν(t) Ω t. Celkové množstvo kvantity f v objeme ν(t) je dané vzt ahom F (t) = ν(t) f(x, t)dx. Aby bolo možné určit mieru zmeny kvantity f(x, t) v objeme ν(t) v čase t, potrebujeme vediet spočítat časovú deriváciu celkového množstva tejto kvantity df (t) dt = d dt ν(t) f(x, t)dx. (2.4) Uvedieme niekol ko tvrdení, ktoré hovoria o existencii predchádzajúcej derivácie. Dôkazy možno najst v []. 5

10 Lemma Nech t (, T ), ν(t ) je ohraničená oblast taká, že ν(t ) Ω t. Potom existuje interval (t, t 2 ) obsahujúci t tak, že zobrazenie ϕ dané predpisom X ν(t ) x = ϕ(x, t ; t) ν(t), je spojité diferencovatel né, vzájomne jednoznačné zobrazenie ν(t ) na ν(t) a jeho Jacobián ( ) Dϕ J(X, t) = det DX (X, t ; t) je spojitý a ohraničený a navyše spĺňa podmienku J(X, t) > X ν(t ), t (t, t 2 ). Ďalej platí J (X, t) = J(X, t)divv(x, t). t Veta Za predpokladu platnosti Lemmatu 2..2 predpokadajme, že funkcia f = f(x, t) má spojité a ohraničené derivácie prvého rádu na množine {(x, t) : t (t, t 2 ), x ν(t)}, potom t (t, t 2 ) existuje konečná derivácia [ ] d f f(x, t) = (x, t) + div(fv)(x, t) dx. dt t ν(t) ν(t) Predchádzajúca veta sa nazýva Veta o transporte. Aby sme mohli vyjadrit integrálne rovnice zákonov, ktoré budeme v d alšej časti formulovat, vyslovíme nasledujúce Lemma, pomocou ktorého to budeme môct realizovat. Lemma Bud Ω R N tvrdenia sú ekvivalentné: otvorená množina, f C(Ω). Potom nasledujúce. f v Ω, 2. ν f(x) dx = pre každú otvorenú množinu ν ν Ω. 6

11 2. Zákony zachovania V tejto sekcii budeme formulovat zákony zachovania hmotnosti, hybnosti a energie a budeme ich formulovat vo forme diferenciálnych rovníc Rovnica kontinuity, Pohybové rovnice, Rovnica pre energiu. Nakoniec sformulujeme rovnice popisujúce viskózne stlačitel né prúdenie Navier-Stokesove rovnice. 2.. Zákon zachovania hmotnosti Fyzikálna veličina hustota je nezáporná funkcia ρ : M (, ). (2.5) Hmotnost m(ν; t) tekutiny vypĺňajúcej oblast ν Ω t je daná m(ν; t) = ν ρ(x, t)dx. Aplikáciou vety o transporte 2..3 na zákon zachovania hmotnosti a použitím lemmatu 2..4 plynie d m(ν; t) = dt ρ (x, t) + div(ρ(x, t)v(x, t)) =. (2.6) t Vzt ah (2.6) predstavuje diferanciálne vyjadrenie zákonu zachovania hmoty a nazýva sa rovnica kontinuity Zákon zachovania hybnosti Bud ρ C (M), v [C (M)] N. Celková hybnost objemu tekutiny ν(t) je daná H(ν(t); t) = (ρv)(x, t)dx. (2.7) ν(t) Zákon zachovania hybnosti môžeme formulovat nasledovne: Okamžitá zmena celkovej hybnosti objemu tekutiny tvoreného v každom časovom okamihu tými istými časticami a vypĺňajúceho v čase t objem ν(t) je rovný vonkajšej sile pôsobiacej na tento objem. 7

12 Označme F(ν(t); t) vonkajšiu silu pôsobiacu na objem ν(t), potom práve formulovaný zákon zachovania hybnosti môžeme matematicky zapísat nasledovne dh(ν(t); t) dt = F(ν(t); t), t (t, t 2 ). (2.8) Aplikáciou vety o transporte 2..3 na (2.8) dostaneme [ ] t (ρv i)(x, t) + div(ρv i v)(x, t) dx = F i (ν; t), (2.9) ν i =,..., N, t (, T ) a l ubovol ný kontrolný objem ν Ω t. Aby sme mohli, podobne ako pri rovnici kontinuity, vyjadrit (2.9) v diferenciálnom tvare, potrebujeme prepísat zložky F i (ν; t) vektoru sily F(ν; t) v integrálnom tvare. Sily v tekutinách delíme na objemové, nazývané i vonkajšie, a sily plošné, nazývané tiež vnútorné. Objemová sila F V (ν; t) pôsobí v čase t na častice obsiahnuté v kontrolnom objeme ν Ω t. Je vyjadrená svojou hustotou f [C(M)] N F V (ν; t) = (ρf)(x, t)dx. (2.) ν Plošná sila F S (ν; t) predstavuje pôsobenie tekutiny v oblasti (Ω t ν) v čase t na kontrolný objem ν a je vyjadrená vektorom napätia T (x, t, n(x)), kde n(x) je jednotková vonkajšia normála k hranici oblasti ν (budeme značit ν) v bode x. Plošná sila je daná predpisom F S (ν; t) = T (x, t, n(x)) ds. (2.) ν Celková sila pôsobiaca na kontrolný objem ν v čase t je daná súčtom objemových a plošných síl F(ν; t) = F V (ν; t) + F S (ν; t). (2.2) Dá sa ukázat, vid napr. [], že i-tá zložka vektoru napätia T (x, t, n(x)) spĺňa identitu T i (x, t, n(x)) = N n j τ ji (x, t), i =..., n, (2.3) j= 8

13 kde τ ji = τ ji (x, t) = T i (x, t, e j ) a e j je j-tý jednotkový kanonický vektor v R N. Veličiny τ ji sú zložky tenzoru napätia T = (τ ij ) N i,j=. Predpokladajme, že ρ, v i, τ ij C (M), i, j =,..., N a f [C(M)] N. Dosadením (2.3) do (2.), použitím Greenovej vety a lemamtu 2..4 dostaneme pohybové rovnice všeobecných tekutín v diferenciálnom konzervatívnom tvare (ρv i ) (x, t) + div(ρv i v)(x, t) = (ρf i )(x, t) + t N j= i =,..., N, t (, T ), x Ω t. τ ji x j (x, t) (2.4) Neviskózne prúdenie V prípade, že vzájomná interakcia medzi objemami tekutiny je tvorená len tlakovou silou F S (ν; t) = p(x, t)n(x) ds, (2.5) ν kde p(x, t) je tlak a zanedbáme vnútorné trenie v tekutine (hovoríme o neviskóznom prúdení), má celková sila pôsobiaca na kontrolný objem ν v čase t tvar F(ν; t) = (ρf)(x, t)dx p(x, t)n(x) ds. (2.6) ν ν Potom vyjadrenie zákonu zachovania hybnosti v diferencialnom tvare znie t (ρv i)(x, t) + div(ρv i v)(x, t) = (ρf i )(x, t) p x i (x, t), (2.7) i =,..., N, t (, T ), x Ω t. Rovnice (2.7) sa nazývajú Eulerové pohybové rovnice. Pojem neviskózneho prúdenia je idealizáciou, pretože reálne tekutiny majú (i ked vel mi malé) vnútorné trenie, viskozitu. Sú však modely, v ktorých Eulerove rovnice dobre aproximujú prúdenie reálnych tekutín. Viskózne prúdenie Rheologickou rovnicou nazývame vzt ah medzi tenzorom napätia T a ostatnými veličinami popisujúcimi prúdenie. Najjednoduchšia rheologická rovnica T = pi, (2.8) 9

14 odpovedá Eulerovým pohybovým rovniciam popisujúcich neviskózne prúdenie popísané v predchadzajúcej časti. Pomocou Kroneckerovho symbolu δ ij zavedieme jednotkový tenzor I = (δ ij ) N ij=. Popri tlakových silách pôsobia v tekutinách tiež šmykové trecie sily, ktoré sú dôsledkom viskozity. Preto v prípade viskózneho prúdenia pridávame k členu pi ešte člen T popisujúci šmykové napätie a rheologická rovnica má tvar T = pi + T. (2.9) Tenzor napätia (2.9) určujú Stokesove postuláty. Výsledný tvar tenzoru je kde D = D(v) = (d ij ) N i,j=, d ij = 2 T = ( p + λdivv)i + 2µD, (2.2) ( v i x j + v j x i ), je tenzor rýchlosti deformácie. V prípade, že T lineárne závisí na D, ako je tomu napríklad v prípade (2.2), hovoríme o Newtonowskej tekutine. Koeficienty λ, µ sú konštanty alebo skalárne funkcie termodynamických veličín, nazývané prvý a druhý koeficient viskozity. Druhý koeficient viskozity µ sa tiež nazýva dynamická viskozita. V kinematickej teorii plynov sú odvodené podmienky µ, 3λ + 2µ. Pre jednoatomové plyny platí vzt ah 3λ + 2µ =, ktorý je používaný i pre zložitejšie plyny. Dosadením vyjadrenia tenzoru napätia T daného (2.2) do pohybových rovníc obecných tekutin (2.4) dostaneme Navier-Stokesove pohybové rovnice (ρv) t + div(ρv v) = ρf p + (λdivv) + div(2µd). (2.2) 2..3 Zákon zachovania energie Zákon zachovania energie môžeme formulovat nasledovne: Okamžitá zmena celkovej energie objemu tekutiny tvoreného v každom časovom okamihu tými istými časticami a vypĺňajúceho objem ν(t) v čase t je rovná súčtu výkonu objemových a povrchových síl a množstvu tepla dodaného do systému. Označme F (x, t) silu pôsobiacu na časticu v bode x a čase t, d alej označme W výkon sily F, pre ktorý platí W (x, t) = F (x, t) v(x, t). (2.22)

15 Zákon zachovania energie môžeme matematicky formulovat nasledovne d dt E(ν(t)) = ρ(x, t)f(x, t) v(x, t) dx+ T (x, t, n(x)) v(x, t) ds +Q(ν(t)), ν(t) ν(t) (2.23) kde E(ν(t)) značí celkovú energiu objemu tekutiny ν(t), f je hustota objemových síl, T je vektor napätia a Q(ν(t)) je množstvo tepla predaného objemu ν(t). Ďalej platia vzt ahy E(ν(t)) = ν(t) E(x, t) dx, (2.24) ( ) v 2 E = ρ 2 + e, (2.25) Q(ν(t)) = ρ(x, t)q(x, t) dx q(x, t) n((x)) ds. (2.26) ν(t) Kde E je celková energia, e je špecifická vnútorná energia, q predstavuje hustotu ν(t) tepelných zdrojov a q je tepelný tok. Podl a Fourierovho zákona platí q = k θ, kde k je koeficient tepelnej vodivosti a θ reprezentuje absolutnú teplotu. Predpokladajme, že ρ, v i, τ ij, q i C (M) a f i, q C(M), i, j =,..., N. Dosadením predchadzajúcich vzt ahov do (2.23), použitím vety o transporte, Greenovej vety a lemmatu 2..4 dostaneme rovnicu energie pre obecné tekutiny E t + div(ev) = ρf v + div(tv) + ρq divq. (2.27) Špeciálne pre Newtonovskú tekutinu máme E t +div(ev) = ρf v div(pv)+div(λvdivv)+div(2µdv)+ρq divq. (2.28) 2.2 Navier-Stokesove rovnice Systém rovníc ρ (x, t) + div(ρ(x, t)v(x, t)) =, t (2.29a) (ρv) + div(ρv v) + p = ρf + (λdivv) + div(2µd), (2.29b) t E + div((e + p)v) = ρf v + div(λvdivv) + div(2µdv) + ρq divq, t (2.29c)

16 pozostávajúci z rovnice kontinuity (2.29a), Navier-Stokesovych pohybových rovníc (2.29b) a rovnice energie (2.29c) sa nazýva úplný systém rovníc Newtonovskej tekutiny., nazývaný tiež Navier-Stokesové rovnice. Systém (2.29), v ktorom položíme členy na pravej strane rovné nule, je uplný systém rovníc popisujúci neviskóznu tekutiny, označuje sa ako Eulerové rovnice. Systém (2.29) je nedourčený (počet rovníc je väčší než počet neznámych), preto je doplnený stavovou rovnicou a vzt ahom pre špecifickú vnútornú energiu V prípade dokonalého plynu má stavová rovnica tvar p = p(ρ, θ) (2.3) e = e(ρ, θ). (2.3) p = Rθρ, (2.32) kde R je plynová konštanta. Označíme c p špecifické teplo pri konštantnom tlaku a c V špecifické teplo pri konštantnom objeme, potom plynovú konštantu R môžeme vyjadrit v tvare Podiel R = c p c V >. (2.33) γ = c p c V > (2.34) sa nazýva Poissonova adiabatická konštanta. Pre vzduch má hodnotu γ =.4. Pre dokonalý plyn môžeme vnutornú energiu vyjadrit e = c V θ. (2.35) 2.2. Bezrozmerný tvar rovníc Teraz si predstavíme bezrozmerný tvar rovníc. Zavedieme charakteristické veličiny: charakteristická dĺžka L, charakteristická rýchlost U, charakteristická hustota ρ, chrakteristické objemové sily f, charakteristická viskozita µ a nakoniec charakteristický koeficient tepelnej vodivosti k. Rovnicu kontinuity vynásobíme členom L /(ρ U ), pohybové Navier-Stokesové rovnice L /(ρ U 2 ), rovnicu energie L /(ρ U 3 ), stavovú rovnicu členom /ρ U 2 2

17 a nakoniec vzt ah pre vnútornú energiu výrazom /U 2. Označíme bezrozmerné veličiny x i = x i /L, v = v/u, ρ = ρ/ρ, f = f/f, µ = µ/µ, k = k/k, p = p/(ρ U 2 ), E = E/(ρ U 2 ), θ = c V θ/u 2, q = ql /U 3, t = tu /L, λ = λ/µ. Navier-Stokesove rovnice doplnené o termodynamické vzt ahy môžeme v bezrozmernom tvare zapísat nasledovne ρ t + div (ρ v ) =, (ρ v ) +div (ρ v v ) = ρ f t E + div (E v ) = t Fr 2 ρ f v div (p v ) Fr 2 p + (λ div v )+div (2µ D ) Re (2.36a), (2.36b) + Re [div (λ v div v ) + div (2µ D (v )v )] ( ) γk +ρ q + div RePr θ, (2.36c) p = (γ )(E + 2 ρ v 2 ), (2.36d) θ = E ρ v 2 2, (2.36e) kde Fr = U / L f, Re = ρ U L /µ a Pr = c p µ /k (2.37) sú v poradí Froudovo, Reynoldsovo a Prandtlovo číslo. Symbol v operátoroch div a a tenzore rýchlosti deformacie D znamená, že príslušne parciálne derivácie sú vzhl adom ku zložkám x = (x,..., x N )T. Formulácia problému Bezrozmerný systém Navier-Stokesových rovníc (2.36a) (2.36c) v d dimenziách, d {2, 3}, môžeme zapísat v kompaktnejšom tvare (symbol vynecháme) w t + d s= f s (w) x s = d s= R s (w, w) x s + F (w), (2.38) 3

18 kde w = w(x, t) = (w, w 2,..., w d+, w d+2 ) T = (ρ, ρv,..., ρv d, E) T, f s (w) = (f s, f s2,..., f s,d+, f s,d+2 ) T = = (ρv i, ρv s v + δ s p,..., ρv s v d + δ ds p, (E + p)v s ) T, s =,..., d, R s (w w) = (R s, R s2,..., R s,d+, R s,d+2 ) T = ( d =, τ s,..., τ sd, τ sk v k + γk RePr ( F (w) = ρ, Fr 2 f,..., k= Fr 2 f d, q ) T. ) T θ, s =,..., d, x s Vektor w(x, t) sa nazýva stavový vektor, f s (w), s =,..., d, sú tzv. neviskózne Eulerové toky, vektory R s (w, w), s =,..., d, reprezentujú viskozitu tekutiny, sú to tzv. viskózne toky a F (w) predstavuje zdroje (vonkajšie objemové sily a zdroje tepla). Eulerové toky môžeme písat v tvare f s (w) = A s (w)w, s =,..., d, (2.39) kde A s (w) je Jacobiho matica zobrazenia f s (w) Viskózne toky spĺňajú R s (w, w) = A s (w) = Df s(w) Dw. d k= Tvar matíc K sk (w) môžeme nájst [6]. Ďalej označíme P (w, n) = K sk (w) w x k, s =,..., d. (2.4) d n s f s (w), (2.4) s= čo predstavuje tok veličiny w v smere n = (n, n 2,..., n d ) T. Jakobiho maticu DP (w, n) môžeme vyjadrit v tvare Dw DP d (w, n) = Dw s= Za predpokladu diagonalizovatel nosti matice P, tj. T PT = Λ = diag(λ,... λ d+2 ) n s A s (w) =: P (2.42) = diag(λ,... λ d+2 ) + diag(λ+,... λ + d+2 ) = Λ + Λ +, 4

19 môžeme písat P(w, n) = T Λ T + T Λ + T = P (w, n) + P + (w, n). (2.43) Dosadením výrazu (2.39) do identity (2.4) a použítím práve odvodených vzt ahov (2.42) a (2.43) dostaneme P (w, n) = P (w, n)w + P + (w, n)w, čo predstavuje dôležitý vzt ah pri konštrukcii numerického toku. 5

20 3. Nespojitá Galerkinova metóda 3. Formulácia problému Bud Ω R d, d = 2, 3 ohraničená oblast s Lipschitzovsky spojitou hranicou a T >. Na hranici oblasti Ω, ktorú budeme značit Ω, rozlišíme disjunktné časti odpovedajúce vstupu (inlet), výstupu (outlet) a stene (wall) (v poradí indexy in, out, w) tak, že Ω = Ω in Ω out Ω w. Systém Navier-Stokesových rovníc popisujúcich prúdenie nestacionárnej viskóznej stlačitel nej tekutiny (plynu alebo kvapaliny) bol predstavený v kapitole 2 a v bezrozmernom tvare má podobu w t + d s= f s (w) x s = d s= kde neznámou je stavový vektor R s (w, w) x s + F (w) v Ω (, T ), (3.) w = w(x, t) : Ω (, T ) R d+2, w = (ρ, ρv,..., ρv d, E) T. Systém (3.) je doplnený o stavovú rovnicu dokonalého plynu, o rovnicu pre špecifickú vnútornu energiu dokonalého plynu a počiatočnú podmienku w(x, ) = w (x), x Ω. (3.2) Na vstupe, Ω in, a výstupe, Ω out, predpíšeme pre stavové veličiny Dirichletove alebo Neumannove okrajové podmienky. Na nepriepustných stenách predpíšeme nulovú rýchlost a nulový tepelný tok cez hranicu oblasti, tj. v =, θ n = na Ω w. (3.3) Systém Navier-Stokesových rovníc (3.) doplnený o počiatočnú podmienku (3.2) označíme (CFP). Pre stacionárny prípad použijeme označenie (scfp). 6

21 Ω Ω w Ω in Ω out Obr. 3.: Príklad oblasti Ω s vyznačenými čast ami hranice. 3.2 Priestor nespojitých konečných prvkov 3.2. Triangulácia oblasti Majme konečné delenie T h uzáveru oblasti Ω R d na uzavreté d-dimenzionálne elementy K s navzájom disjunktnými vnútrajškami, tj. Ω = K T h K. Symbolom F h označíme (d )-dimenzionálne hranice všetkých elementov K, tj. pre d = 2 hrany a pre d = 3 steny. F I h Ďalej budeme rozlišovat podmnožiny = {Γ F h : Γ Ω} a podobne F in h, F out h a F W h v poradí predstavujúce množiny obsahujúce prvky Γ F h také, že Γ Ω in, Γ Ω out a nakoniec Γ Ω w. Ďalej zavedieme značenie F IO h = F in h F out h a F B h = F W h F IO h. Pre každé Γ F h označíme jednotkový normalový vektor n Γ. Predpokladáme, že pre Γ F B h odpovedá jednotkovej vonkajšej normále k Ω a pre Γ F I h je orientácia n Γ l ubovol ná, ale nemenná Priestory funkcií Nad trianguláciou T h definujme tzv. broken Sobolev space pre skalárne a vektrové funkcie H 2 (T h ) := {v : Ω R; v K H 2 (K) K T h } a H 2 (T h ) = [H 2 (T h )] d+2. (3.4) Riešit úlohu (3.) nespojitou Galerkinovou metódou znamená hl adat aproximáciu riešenia v konečne dimenzionálnom podpriestore priestoru H 2 (T h ) po častiach polynomiálnych funkcií. 7

22 Obr. 3.2: Ilustrácia P aproximácie nad trojuholnikovými elementami. Nespojitá Galerkinova metóda konečných prvkov (DGFEM) umožňuje použit rôzny polynomiálny stupeň aproximácie nad elementami. Pre každý element K T h zavedieme kladné celé číslo p K odpovedajúce stupňu polynomiálnej aproximácie na elemente a definujeme vektor p = {p K ; K T h }. Nad delením T h definujem konečnedimenzionálny priestor po častiach nespojitých polynomiálnych funkcií voči vektoru p nasledovne S hp = {v L 2 (Ω) : v /K P pk (K) K T h }, (3.5) kde P pk (K) predstavuje priestor všetkých polynómov stupňa nanajvýš p K definovaných na elemente K. Zaved me vektorový priestor po častiach polynomiálnych funkcií nad T h S hp = [S hp ] d+2. (3.6) Zrejme S hp H 2 (T h ) a S hp H 2 (T h ). V priestore S hp hl adáme DGFE riešenie úlohy (3.) s príslušnými okrajovými a počiatočnými podmienkami. Pre každú (d )-dimenzionálnu stenu Γ F I h existuje dvojica elementov {K ( ), K (+) } T h, taká, že Γ K ( ) K (+). Použijeme konvenciu, že K ( ) leží v smere n Γ a K (+) leží v smere opačnom k n Γ. Pre v S hp zavedieme značenie v (+) Γ je stopa v K (+) na Γ, v ( ) Γ je stopa v K ( ) na Γ, ( ) v Γ := v (+) Γ + v ( ) Γ /2, [v] Γ := v (+) Γ v ( ) Γ. 8

23 K (+) n Γ Γ K ( ) Obr. 3.3: Príklad normály n Γ k hrane Γ medzi dvomi trojuholníkovými elementami K ( ) a K (+). Nakoniec pre každý prvok Γ F B h predpíšeme taký, že Γ K(+) Ω, kde K (+) T h v (+) Γ je stopa v K (+) na Γ, v Γ := v (+) Γ, [v] Γ := v (+) Γ. 3.3 DGFEM pre Navier-Stokesové rovnice Zvlášt si predstavíme diskretizáciu neviskóznych (Eulerových) tokov f s (w) a zvlást viskóznych tokov R s (w, w). Prezentované odvodenie vychádza z práce [7] Neviskózne (Eulerové) toky Pre w h, w h, ϕ h H 2 (T h ) definujeme formy b h ( w h, w h, ϕ h ) := K T h + Γ Fh I + Γ F B h + Γ F W h b h ( w h, ϕ h ) := Γ F IO h d K s= Γ Γ Γ ( ( A s ( w h )w h ϕ h x s dx (3.7) P + ( w h, n) w h (+) Γ +P ( w h, n) w h ( ) Γ P + ( w h, n) w h (+) Γ ) ϕ h ds ( ( )) P ( w h, n) M w h (+) Γ ϕ h ds, Γ ( P ( w h, n) w B,h ) ϕh ds, 9 ) [ϕ h ]ds

24 kde A s ( ) sú Jakobiho matice Eulerových tokov f s, s =,..., d, vid. (2.39), P ± (, ) sú aproximáciou kladnej a zápornej časti matice P(, ) danej (2.43), ktoré predstavujú numerický tok aproximujúci viskózny tok cez Γ F h. Ďalej zobrazenie M : R d+2 R d+2 je tzv. mirror operator definovaný na Γ Fh W tak, že M(w) = (ρ, ρv 2ρ(v n)n, E) T w =(ρ, ρv, E) T M(w) = (ρ, ρv, E) T kde ρ je hustota, E je celková energia, v = (v, v 2,..., v d ) T a n je jednotková vonkajšia normála k Ω W. pre neviskózne tekutiny, pre viskózne tekutiny, (3.8) je vektor rýchlosti Pre neviskóznu tekutinu má normálová zložka vektoru rýchlosti vo w a M(w) rovnakú vel kost, ale opačný smer. Pre viskóznu tekutinu majú všetky zložky vektoru rýchlosti vo w a M(w) rovnakú vel kost, ale opačný smer. Ostatné komponenty sú rovnaké. Nakoniec w B,h Γ = LRP ( w (+) Γ, w D, n Γ ), Γ Fh IO, (3.9) kde LRP (,, ) predstavuje riešenie lokálneho Riemannovho problému uvažovaného na hrane Γ F IO h podmienka. a w D predpísaný stavový vektor, tzv. far-field hraničná 2

25 3.3.2 Viskózne toky Pre w h, w h, ϕ h H 2 (T h ) definujeme formy a h ( w h, w h, ϕ h ) := K T h Γ Fh I Γ F IO h g Γ F W h K s,k= d ( K s,k ( w h ) w ) h ϕ h dx x k x s d d K s,k ( w h ) w h n s [ϕ x h ] ds k Γ s= Γ F I h d Γ s,k= d Γ s,k= + Γ F IO h + Γ F W h ã h ( w h, ϕ h ) := g Γ F IO h + Γ F W h k= Γ s,k= K s,k ( w h ) w h x k n s ϕ h ds K W s,k( w h ) w h x k n s ϕ h ds d Γ s,k= K T s,k( w h ) ϕ h n s [w h ] ds x k d d Γ s,k= d Γ s,k= d Γ s,k= K T s,k( w h ) ϕ h x k n s w h ds ( K W s,k( w h ) ) T ϕ h n s w h ds, x k K T s,k( w h ) ϕ h x k n s w B,h ds ( K W s,k( w h ) ) T ϕ h n s w B,h ds, x k kde w B,h je stavový vektor na hranici, ktorý je pre Γ F W h definovaný ako w B,h = (ρ Γ,,...,, ρ Γ θ Γ ) a vzt ahom (3.9) pre Γ F IO h. Pre prúdenie okolo profilov je použitie far-field hraničnej podmienky definovanej riešením lokálneho Riemannovho problému (3.9) dostatočné tak ako pre viskózne, tak i neviskózne členy, [7]. Avšak pre prúdenie v kanáloch je nutné použit inú okrajovú podmienku. Hodnota parametru g vyskytujúceho sa v (3.) môže byt spravidla l ubovol ná. Najčastejšie používané hodnoty sú, a. Týmto hodnotám odpovedajú tri základné varianty DGFEM: g = symmetric interior penalty Galerkin (SIPG), 2

26 g = non-symmetric interior penalty Galerkin (NIPG), g = incomplete interior penalty Galerkin (IIPG) Penalizácie Pre w h, ϕ h H 2 (T h ) definujeme tzv. penalizačné formy na hraniciach elementov. kde w B,h J σ h(w h, ϕ h ) = Γ Fh I + J σ h(ϕ h ) = Γ Γ Fh IO Γ F IO h σ[w h ] [ϕ h ] ds Γ Γ σw h ϕ h ds + Γ F W h σw B,h ϕ h ds + Γ F W h Γ Γ σw h V(ϕ h ) ds, (3.) σw B,h V(ϕ h ) ds, predstavuje stavový vektor na hranici predstavený v predchádzajúcej sekcii Pre vektor ϕ = (ϕ, ϕ 2,..., ϕ d+, ϕ d+2 ) definujeme operátor V : R d+2 R d+2 predpisom V(ϕ) = (, ϕ 2,..., ϕ d+, ). Úlohou operátoru V je penalizovat tie komponenty stavového vektoru w, pre ktoré je predpísaná Dirichletova hraničná podmienka na pevných stenách, tj. Ω w. Penalizačný parameter σ môžeme volit napríklad v tvare σ Γ = C W /(diam(γ) Re), Γ F h, (3.) kde Re je Reynoldsovo číslo, (2.37) a C W > konštanta zaručujúca konvergenciu metódy, ktorej hodnota závisí na použitej variante DGFE metódy - NIPG, IIPG, SIPG Semi-implicitná BDF-DGFE diskretizácia Pre w h, w h, ϕ h H 2 (T h ) zaved me formy c h ( w h, w h, ϕ h ) = a h ( w h, w h, ϕ h ) + b h ( w h, w h, ϕ h ) + J σ h (w h, ϕ h ), c h ( w h, ϕ h ) = ã h ( w h, ϕ h ) + b h ( w h, ϕ h ) + J σ h (ϕ h ). (3.2) Za predpokladu, že w(x, t) : Ω (, T ) R d+2 (3.3) 22

27 je dostatočne hladké riešenie Navier-Stokesových rovníc (3.) a vyhovuje predpísanej počiatočnej podmienke (3.2), potom platí d dt (w, ϕ) + c h (w, w, ϕ) = c h (w, ϕ) ϕ S hp, (3.4) kde (, ) predstavuje L 2 -skalárny súčin nad Ω, podrobnejšie vid [7]. Podobne pre stacionárny prípad platí, ak w(x) : Ω R d+2 (3.5) je dostatočne hladké riešenie stationárnych Navier-Stokesových rovníc spĺňajúcich počiatočnú podmienku (3.2), potom platí c h (w, w, ϕ) = c h (w, ϕ) ϕ S hp. (3.6) Bud C ([, T ]; S hp ) priestor jedenkrát spojite diferenceovatel ných funkcii z intervalu [, T ] do priestoru S hp. Funkciu w h C ([, T ]; S hp ) nazveme tzv. semidiskrétne riešenie (CFP), ak platí ( wh (t) a), ϕ t h )+c h (w h (t), w h (t), ϕ h )= c h (w h (t), ϕ h ) ϕ h S hp, t (, T ), b) w h () = w h,, (3.7) kde w h, S hp odpovedá aproximácii počiatocnej podmienky (3.2). Úloha (3.7), a) b) predstavuje systém obyčajných diferenciálnych rovníc. Na riešenie tohto systému bola v prácach [6, 7] predstavená semi-implicitná metóda. Časová derivácia w h(t) t je aproximovaná spätnou Eulerovou metódou, s druhým argumentom formy c h (,, ) je zachádzané ako implicitným a prvým ako explicitným. Majme = t < t < t 2 <... t r = T delenie časového intervalu (, T ), označme τ k := t k t k a bud w h,k S hp po častiach polynomiálna aproximácia funkcie w h (t k ), k =,,..., r. Približné riešenie problému (CFP) pomocou semi-implicitnej DGFEM nazveme takú funkciu w h,k, k =,..., r, že platí a) w h,k S hp, (3.8) ( ) wh,k w h,k b), ϕ h +c h (w h,k, w h,k, ϕ h )= c h (w h,k, ϕ h ) ϕ h S hp, k =()r, τ k c) w h, je S hp -aproximácia počiatočnej podmienky (3.2). 23

28 Prezentovaná metóda (3.8) je prvého rádu voči času. Na časovú diskretizáciu je možné použit aj viackrokové schéma, avšak na stacionárne úlohy je to dostačujúca aproximácia, [7]. Úloha (3.8), a) c) predstavuje pre každé k =,..., r systém lineárnych algebraických rovníc. Numerické experimenty ukazujú, že predstavená semi-implicitná nespojitá Galerkinova metóda je nepodmienene stabilná a preto časový krok môže byt vel ký, vid [6, 7]. Nakoniec funkciu w h S hp nazveme približné riešenie stacionárnych Navier- Stokesových rovníc, ak platí c h (w h, w h, ϕ h ) = c h (w h, ϕ h ) ϕ h S hp. (3.9) 3.4 Stratégia riešenia 3.4. Algebraická reprezentácia Báza konečne dimenzionálneho priestoru S hp V tejto sekcii popíšeme konečne dimenzionálny priestor S hp, jeho bázu a zápis prvkov tohto priestoru ako lineárnu kombináciu prvkov báze. Zavedieme indexovú množinu I Z + = {, 2,...}, ktorou očíslujeme všetky elementy K T h, tj. T h = {K µ µ I}. Pripomeňme, že symbol p Kµ značí maximálny polynomiálny stupeň aproximácie na elemente K µ. Pre jednoduchost zavedieme značenie p µ = p Kµ. Bud K µ T h l ubovol ný element. Zrejme každá polynomiálna funkcia na K sa dá zapísat ako lineárna kombinácia prvkov nejakej polynomiálnej báze B µ = {φ µi i =,..., dim(p pµ (K µ ))}, (3.2) definovanej striktne na tomto elemente, tj. pomocou lineárne nezávislych polynomiálnych funkcii s nosičom na tomto elemente. Je zrejmé, že zjednotenie všetkých takýchto lokálnych báz (vztiahnuté na element) možno považovat za bázu popisujúcu po častiach polynomiálnu funkciu nad všetkými elementami triangulácie T h. Inými slovami zjednotenie lokálnych báz prislúchajúcich každému elementu definuje bázu priestoru S hp. 24

29 p µ d = d = Tabul ka 3.: Hodnoty dof µ pre p µ =,..., 9 a d = 2, 3. Dá sa ukázat, že počet prvkov lokálnej bázy B µ je pri diskretizácii Navier- Stokesových rovníc, za predpokladu použitia rovnakého polynomiálneho stupňa aproximácie pre všetky stavové veličiny, rovno (d+2) dim(p pµ ), čo sa dá vyjadrit dof µ = d + 2 Π d d! j=(p µ + j), µ I. (3.2) Číslo dof µ odpovedá počtu lokálnych stupňov vol nosti odpovedajúcich elementu K µ. V tabul ke 3. sú zapísané hodnoty dof µ pri aproximácii p µ =,..., 9 odpovedajúce Navier-Stokesovým rovniciam v d = 2, 3 dimenziách. Pre poriadok zapíšeme bázu a dimenziu priestoru S hp B = µ I B µ, (3.22) dof = dim(s hp ) = µ I dof µ. (3.23) L ubovol nú funkciu w h,k S hp môžeme zapísat v nasledujúcom tvare kde ξ k,µ,j w h,k (x) = µ I dof µ ξ k,µ,j φ µ,j (x), x Ω, k =,,..., r, (3.24) j= R, j =,..., dof µ, µ I, k =,..., r. Pre koeficienty lineárnej kombinácie ξ k,µ,j definujme vektor Zobrazenie ξ k = {ξ k,µ,j } µ I j=,...,dof µ R dof, k =,,..., r. (3.25) S hp R dof (3.26) w h,k ξ k je zrejme vzájomne jednoznačné zobrazenie. 25

30 Lineárna algebraická úloha Použitím izomorfizmu (3.26) môžeme problém (3.8) zapísat v maticovom tvare ( ) M + C(ξ τ k ) ξ k = m(ξ } k τ k ) + q(ξ k ), k =,..., r, (3.27) {{}} k {{} =:A k =:d k kde matica M R dof dof je blokovo-diagonálna matica hmoty. kde diagonálne bloky M µ,µ majú tvar M µ,µ = {M i,j µ } dofµ i,j=, µ I, M = diag{m µ,µ, µ I}, (3.28) M µ i,j = φ µ,i φ µ,j dx. Ω Matica C(ξ k ) R dof dof odpovedá forme c h (w h,k,, ), presnejšie kde C(ξ k )) = {C (µ,i),(ν,j) (ξ k )} i=,...,dofµ,j=,...,dofν µ,ν I, (3.29) C (µ,i),(ν,j) (ξ k ) = c h ( wh,k, φ ν,j, φ µ,i ). (3.3) Vektor m(ξ k ) R dof odpovedá explicitnej časti aproximácie časovej derivácie vo formulácii (3.8), b). m(ξ k ) = Mξ k = {m µ,i (ξ k )} i=,...,dofµ µ I, m µ,i (ξ k ) = ( w h,k, φ µ,i ), (3.3) Nakoniec vektor q(ξ k ) R dof reprezentuje formu c h z (3.8), b) a jeho zložky majú tvar q(ξ k ) = {q µ,i (ξ k )} i=,...,dofµ µ I, q µ,i (ξ k ) = c h ( wh,k, ψ µ,i ). Vd aka lokálnemu charakteru báze B má matica C blokovú štruktúru. Nenulové bloky odpovedajú elementom K µ a K ν so spoločnou (d )-dimenzionálnou stenou, alebo pre ktoré µ = ν. Diagonálne bloky vzniknú pre µ = ν, inak vznikajú mimodiagonálne bloky vel kosti dof µ dof ν. Počet mimodiagonálnych blokov odpovedá počtu susedných elementov. Príklad štruktúry matice hmoty M a matice tokov C je ilustrovaný na obr pre oblast s jednoduchou geometriou. 26

31 3 2 4 Obr. 3.4: Štruktúra matice hmoty M (vl avo) a matice C (uprostred) odpovedajúce oblasti s trianguláciou (vpravo). Čísla odpovedajú číslovaniu elementov a zároveň predstavujú použitý polynomiálny stupeň aproximácie Ortonormálna báza priestoru Uviedli sme, že báza ma v istom zmysle lokálny charakter. Teraz si predstavíme konštrukciu ortonormálnej bázy priestoru S hp, v zmysle L 2 -skalárneho súčinu, ktorá bude hrat vel mi dôležitú úlohu v d alšich častiach tejto práce. Budeme vychádzat, ako je zvykom, z bázy definovanej na simpliciálnom referenčnom elemente { } d ˆK = (ˆx,..., ˆx d ) ˆx i, i =,..., d, ˆx i. (3.32) Definujme priestor vektorových polynomiálnych funkcií stupňa nanajvýš p definovaných na ˆK nasledovne Ŝ p = [Ŝp] d+2, kde (3.33) d d Ŝ p = {ψ n (ˆx,..., ˆx d ) = (ˆx i ˆx C i ) n i n = (n,..., n d ) T ; n j, n j p}, i= i= j= kde ˆx C = (ˆx C,..., ˆx C d ) je t ažisko referenčného elementu ˆK. Je zrejmé, že množina Ŝp je polynomiálnou bázou na ˆK stupňa p. Gram- Schmidtovým ortogonalizačným procesom aplikovaným na prvky Ŝp, skonštruujeme ortogonálnu bázu ˆB = { ˆψ j, j =,..., dof p }, kde dof p = dof µ pre p µ := p dané vzt ahom (3.2). 27

32 Bud F µ, µ I zobrazenie F µ : ˆK R d (3.34) ˆK F µ ( ˆK) = K µ, (3.35) ktoré je v prípade regulárneho elementu K µ afinné zobrazenie a v prípade krivočiareho elementu polynomiálne zobrazenie, ako je naznačené na obrázku Ďalej definujme množinu B µ := {φ µ,j ; φ µ,j (x) = φ µ,j (F µ (ˆx)) = ˆψ j (ˆx), ˆx ˆK, j =,..., dof µ }, (3.36) ktorá je zrejme bázou na elemente K µ T h. V prípade, že F µ je lineárne zobrazenie, potom báza B µ zachováva ortogonalitu bázy ˆB vzhl adom k L 2 -skalarnému súčinu a bloky M µ,µ matice hmoty M dané (3.28) sú blokovo diagonálne matice. Ak F µ nie je lineárne zobrazenie, potom ortogonalita bázy sa z referenčného elementu stráca. Avšak vzhl adom k tomu, že krivočiara čast hranice K µ Ω je blízko rovnej úsečke, sú maticové bloky M µ,µ ostro diagonálne dominantné. Celkovo možno považovat (3.36) za definíciu takmer ortogonálnej bázy priestoru S hp a jej ortonormalizáciu dosiahneme príslušným škálovaním bázových funkcií. F afi K reg ˆK F pol K cur Obr. 3.5: Ilustrácia mapovacej funkcie referenčného elementu ˆK. () afinnej funkcie F afi na regulárny element K reg a (2) polynomiálnej funkcie F pol na krivočiari element K cur. 28

33 3.4.3 Metóda riešenia V tejto časti rozoberieme riešenie algebraickej úlohy (3.27) odpovedajúcej formulácii diskretizácie stacionárneho a nestacionárneho prípadu Navier-Stokesových rovníc, tak ako sú prezentované v [7]. Podobne ako pri rovnici (3.27) môžeme stacionárny problém (3.9) zapísat pre neznámu ξ R dof v tvare F(ξ) =, kde F(ξ) := C(ξ)ξ q(ξ). (3.37) Úloha (3.37) predstavuje systém nelineárnych algebraických rovníc. Jedným možným spôsobom riešenia tohto problému je použitie nelineárnej Newton-Raphsonovej metódy. Ďalšou možnost ou je použitie iteračnej metódy, ktorá bude generovat postupnost {ξ k } R dof tak, že C(ξ k )ξ k = q(ξ k ), k =, 2,.... (3.38) Riešením prehlásime limitu postupnosti ξ := lim k ξ k. Tento prístup, však funguje len v prípade, že štartovací člen postupnosti ξ, je dostatočne blízko k riešeniu (3.37). V opačnom prípade môže tento iteračný proces viest k nefyzikálnym riešeniam (záporný tlak a pod.). Možnost, ako sa tomúto problému vyhnút, je pridat stabilizačný člen. Dostaneme tak semi-implicitnú formuláciu (3.27), vid [7]. ( ) M + C(ξ τ k ) ξ k = Mξ k τ k + q(ξ k ), k k =, 2,... (3.39) Iteračný proces začne pre malé k s malým časovým krokom τ k. To zamedzí konvergenčným problémom pre počiatočné priblíženie, ktoré je d aleko od riešenia. Postupne, ako postupnost ξ k konverguje k limitnej hodnote ξ, zväčšujeme časový krok. Je zrejmé, že formulácia (3.27) vedie na identitu (3.38) pre τ k. Vzt ah medzi semi-implicitnou metódou (3.39) a Newton-Raphsonovou metódou pre stacionárnu úlohu Teraz si ukážeme súvislost medzi Newton-Raphsonovou metódou (NR) a práve predstavenou semi-implicitnou metódou na riešenie (3.37). Použijeme algoritmus s pridaným parametrom tlmenia, ktorý vo vel kej miere môže pomôct naštartovat 29

34 konvergenčný proces. (NR) tak generuje postupnost {ξ k } R dof, ktorá v prípade úspešnej konvergencie vedie k riešeniu, ξ k ξ pre k. Na začiatku volíme relaxačný parameter malý a v prípade, že konvergenčný proces je úspešný, zvyšujeme jeho hodnotu. V podstate je možne volit l ubovol nú hodnotu parametru z intervalu (, ]. Vel mi malé hodnoty (<., tzv. podrelaxovaný parameter) môžu pomôct nájst vhodný štartovací vektor a naštartovat tak celý konvergenčný proces. V prípade, že sme dostatočne blízko riešenia môžeme dokonca (skúsit ) zvolit tzv. nadrelaxovaný parameter >. Vol ba parametru však môže odpovedat i istej analýze, ako je predstavené napr. v práci [4]. Predstavíme k-tý krok tlmenej (NR), ktorý môžeme zapísat nasledovne ξ k = ξ k r k [DF(ξ k )] F(ξ k ), (3.4) kde DF(ξ) := DF(ξ) Dξ je Jakobiho matica zobrazenia F(ξ) a r k je tlmiaci parameter. Iný spôsob, ako tlmit Newton-Raphsonovu metódu je relaxácia ξ k = ξ k r k [γ k I + DF(ξ k )] F(ξ k ), (3.4) kde I je jednotková matica a γ k > je relaxačný parameter. V prípade, že matica hmoty M v (3.39) je identická matica, čo je pravda pre ortonormálnu bázu predstavenú v sekcii 3.4.2, potom položením γ k := /τ k v (3.4) a použitím aproximácie Jakobiho matice DF(ξ k ) C(ξ k ), (3.42) je vzt ah (3.4) identický s (3.39). Mnoho prvkov vektoru q(ξ) sú nulové, preto má táto aproximácia svoje odôvodnenie. Vzt ah medzi semi-implicitnou metódou (3.39) a implicitnou metódou pre nestacionárnú úlohu Implicitný systém nestacionárnej formulácie môžeme zapísat v tvare ( ) M + C(ξ τ k ) ξ k = Mξ k τ k + q(ξ k ), k =, 2,.... (3.43) k 3

35 Nelineárnu úlohu (3.43) môžeme riešit nasledujúcou iteračnou schémou i) ξ () k := ξ ( k ) ii) τ k M + C(ξ (l ) k ) ξ (l) k = τ k Mξ k + q(ξ (l ) k ), l=,..., l k, k=, 2,.... iii) ξ k := ξ (l k) k (3.44) Je zrejmé, že plne implicitná metóda (3.44) pre l k, k =, 2,... je identická so semi-implicitnou metódou (3.39). Iteračné schéma (3.44) odpovedá Newton-Raphsonovej metóde aplikovanej na nelineárnú úlohu (3.43) pri použití aproximácie (3.42) pre Jakobiho maticu. Algoritmus Teraz predstavíme iterativný algoritmus na riešenie lineárnej algebraickej úlohy (3.27) A k (ξ k ) = q k (ξ k ) vychádzajúci z predchádzajúcich sekcií. Algoritmus môžeme zapísat do nasledujúcich výpočetných krokov. Algoritmus (A). nech je dané ξ w h 2. for k = to r (a) zvol τ k (b) pre ξ k spočítaj A k (ξ k ) a d k (ξ k ) (c) úlohu A k (ξ k )ξ k = d k (ξ k ) vyrieš: 3. ξ := ξ r. i. ξ k := ξ k ii. ξ l+ k iii. ξ k := ξ s k k := LINSOL iter(ξ l k), l =,..., s k Kde LINSOL iter( ) je jeden krok iteračnej metódy na riešenie lineárných sústav. Pretože v kroku (2-c) riešime lineárnu úlohu s riedkou nesymetrickou maticou vhodnou vol bou je metóda GMRES s kombináciou vhodného predpodmienenia. V predstavenej podobe algoritmu (A) je však niekol ko otáznikov. globálne zastavovacie kritérium, 3

36 2. predpodmienenie v metóde GMRES, 3. zastavovacie kritérium pre GMRES, 4. vol ba časového kroku τ k. Vol ba parametrov nie je jednoduchá záležitost a má vel ký vplyv na efektívnost (z pohl adu CPU času) výpočetného kódu. Vel mi dôležitú úlohu v algoritme (A) predstavuje vol ba časového kroku τ k. Pretože tento parameter predstavuje krok, s ktorým budeme hl adat riešenie. Malé hodnoty znamenajú viac medzivýpočtov pred dosiahnutím finálneho riešenia ξ, naopak vel ký krok môže viest ku konvergenčným problémom. Vol ba predpodmienenia zvyšuje efektivitu GMRES metódy. Vo väčšine práci sa stretávame s použitím ILU() predpodmienenia, napr. [5]. V práci [7] môžeme nájst detailnejšiu analýzu a návrh vhodných parametrov pre efektívne nastavenie algoritmu (A). 32

37 4. Multigrid Koncept multigridnej metódy (autori tiež používajú i označenie hierarchickej či viacúrovňovej metódy (anglicky multilevel)) bol predstavený v šest desiatych rokoch dvadsiateho storočia ruskými autormi Raddi Petrovich Fedorenko ([8, 9]) a Nikolai Sergeevitch Bakhvalov ([]). V sedemdesiatych rokoch izraelsky matematik Achi Brandt rozpracoval koncept a vo svojich prácach poukázal na efektivitu a praktickost použitia týchto metód na riešenie všeobecnejších problémov. Za cenné zdroje informácii a poznania k problematike multigridu môžeme odporučit diela Hackbusch [4], Hackbusch and Trottenberg [5], Wesseling [25] a najnovšie Briggs et al. [3], Trottenberg et al. [24]. Potenciál multigridu je v efektivite, ktorú A. Brandt nazval a definoval nasledovne: Text-book multigrid efficiency (TME) means solving a discrete PDE problem in a computational work which is only a small (less than ) multiple of the operation count in the discretized system of equations itself., vid. [2]. Idea multigridu spočíva vo vyriešení úlohy pomocou menších úloch z nej plynúcich. Pôvodne boli za menšie úlohy brané diskretizácie príslušnej úlohy na hierarchických siet ach, pričom menším úloham odpovedali výpočetné siet e s väčším krokom. V osemdesiatich rokoch minulého storočia sa namiesto hierarchie výpočetných sieti použila hierarchia konečne prvkových priestorov rôzneho polynomiálneho stupňa aproximácie. V súčasnosti je vel mi populárna a uznávaná metóda na riešenie úloh konvekciedifúzie nespojitá Galerkinova metóda (DGFEM). Pri rovnakej polynomiálnej aproximácii však vyžaduje väčší počet stupňov vol nosti než klasická (spojitá) Galerkinova metóda. V snahe zostrojit metódu vyššieho rádu presnosti, sa zvyšuje polynomiálny stupeň aproximácie pri použití hrubšej výpočetnej siete. Experimenty ukazujú, že pre hladké riešenie je výhodnejšie zvýšit polynomiálny stupeň aproximácie než zjemnit výpočetnú siet, [2]. V poslednej dobe sa objavujú výpočetné prístupy, ktoré spájajú nespojitú Galerkinovú metódu a použitie multigridu v snahe zostrojit metódu s vyšším rádom presnosti. 33

38 4. h-multigrid 4.. Multigrid pre lineárny prípad Stručne predstavíme klasicky koncept multigridu pre lineárny prípad. Uvažujme lineárnu úlohu, ktorá vznikne diskretizáciou (napr. MKP, MKD) nejakej parciálnej diferenciálnej rovnice v tvare L h u h = f h. (4.) Nech táto formulácia odpovedá nejakej štrukturovanej sieti T h s krokom siete h. Nakol ko ide o lineárnú úlohu môžeme na riešenie použit priamu metódu (napr. Gaussova eliminácia) alebo iteračnú metódu (Jacobiova metóda, Gauss- Seidelova metóda, GMRES, CG atd.), avšak vol bou môže byt i multigridny prístup. Teoreticky odvodená rýchlost konvergencie pri použití multigridu pri úlohe vel kosti N je O(N log N), čo je d aleko pred priamymi riešičmi alebo GMRES a CG, [8]. Pre použitie multigridu predpokladáme, že máme aproximáciu v h presného riešenia u h sústavy (4.), ktorú spočítame čo najlacnejšie. Z tohto dôvodu nepadne vol ba na priamy riešič, pretože po konečnom počte operácii poznáme (v zmysle strojovej presnosti) presné riešenie u h. Volíme rýchlo konvergujúcu iteračnú metódu. Chybu aproximácie môžeme vyjadrit v tvare e h = u h v h. (4.2) Dosadením chyby aproximácie do (4.) a algebraickými úpravami dostaneme vzt ah pre reziduum r h = r h (v h ) r h = L h e h = L h (u h v h ) = f h L h v h. (4.3) Pretože zrejme platí u h = v h + e h, riešenie reziduálnej rovnice (4.3) je oprava aproximácie riešenia v h riešenej úlohy (4.). Úloha (4.3) sa nerieši v odvodenej podobe, ale prevádza sa na tzv. hrubšiu siet, teda siet s väčším krokom, napr. T H. Majme tzv. operátor restrikcie, Ih H, ktorý prevedie aproximáciu riešenia v h odpovedajúcemu sieti T h na hrubšiu siet T H. Projektovaná úloha má tvar r H = Ih H r h = L H e H, (4.4) 34

39 Obr. 4.: Korekčné schéma dvojúrovňového V-cyklu. aproximácia, restrikcia, presné riešenie, prolongácia, korekcia. kde L H je diskretizácia PDR odpovedajúca sieti T H a r H = Ih H(r h). Riešením menšej úlohy (4.4) je chyba e H, na ktorú nazeráme ako na restrikciu e h. Ďalej operátorom prolongácie prevedieme výsledky z hrubšej siete na pôvodnú (v kontexte multigridu) jemnejšiu siet I h H(e H ) = e h a opravíme riešenie v h v h + e h. (4.5) Takto popísaný mechanizmus nazveme dvojúrovňový V-cyklus, pretože ho tvoria dve úrovne, pričom aproximácia riešenia je opravená pomocou presného riešenia z hrubšej siete, v tomto kontexte nižšej úrovne. Výhodné je však použit čo najviac úrovní a namiesto presného vyriešenia na hrubšej sieti opät použit mechanizmus multigridu, tj. (rekurzívne) aplikovat dvojúrovňový V-cyklus. Počet volaní dvojúrovňového cyklu, môže byt l ubovol ný. Je známe, že dve volania majú lepšie korekčné vlastnosti (hovoríme o W-cykle) než jedno volanie (V-cyklus). Viac než dve volania je vzhl adom na rekurzívny charakter pomerne výpočetne náročné. Spravidla sa používajú všetky úrovne a úloha sa presne rieši až na najnižšej úrovni. Je známe, že operátor restrikcie pretvára nízkofrekvenčné zložky chyby na vysokofrekvenčné. Preto sa po každom prechode medzi úrovňami prevádza tzv. zhladenie (anglicky smoothing niekedy sa vraví tiež relaxácia). Vysokofrekvenčné zložky vel mi dobre eliminuje Jakobiho metóda. Možno tiež použit Gauss-Seidelovu metódu. 35