Magistrsk študijsk program : Matematika Financna matematika IŠRM

Transcription

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za matematiko 2012/2013 Magistrsk študijsk program : i i i Matematika Financna matematika IŠRM

2 Magistrski študij Matematike (2. stopnja) v študijskem letu 2012/13 Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Pogoji za vpis: 1. končan študijski program Matematika prve stopnje; ali 2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora opraviti za 60 ECTS izpitov iz predmetov na univerzitetnem študiju Matematika prve stopnje, med temi obvezno: Algebra 2, Algebra 3, Splošna topologija, Analiza 3, Analiza 4, Verjetnostni račun in statistika ter Seminar 2); ali 3. končan študijski program prve stopnje iz tehničnih ali naravoslovnih področij, kjer je že osvojil osnove matematične analize in linearne algebre npr. finančna matematika, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje); ali 4. končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini. Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Opravljeni izpiti v obsegu 60 ECTS (12 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupinah M1 M5 in R1. Iz vsake skupine je treba izbrati vsaj en predmet, pri tem je treba iz skupine M1 nujno izbrati Teorijo mere ali Uvod v funkcionalno analizo. Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS izmed strokovnih (matematičnih) ali splošnih (na drugih oddelkih in fakultetah) izbirnih predmetov na 2. stopnji UL; od tega do največ 10 ECTS lahko zbere z delovno prakso (vsaj 150 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1 ECTS) ali z raziskovalnim delom z objavo. Magistrsko delo in zaključni magistrski izpit sta vredna 25 ECTS. Zaključni izpit obsega tri vprašanja: po eno iz matematične analize in iz algebre ter eno iz preostalih osnovnih področij študija (geometrija, topologija, verjetnostni račun, numerične metode, diskretna in računalniška matematika). Vprašanja so zajeta iz vnaprej pripravljenega seznama izpitnih vprašanj, ki obsegajo zgolj osnovno matematično znanje. Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50 ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

3 Seznam predmetov za študijsko leto 2012/2013 M1 (analiza in mehanika) 2/2 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem. 2/2 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem. 2/2 Parcialne diferencialne enačbe Miran Černe 2. sem. 2/2 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem. 3/1 Teorija operatorjev Roman Drnovšek 2. sem. 2/2 Kompleksna analiza Franc Forstnerič 2. sem. M2 (algebra in diskretna matematika) 3/1 Asociativna algebra Matej Brešar 1. sem. 2/2 Teorija grafov Sandi Klavžar 1. sem. 2/2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Matjaž Konvalinka 1. sem. 2/2 Uporabna diskretna matematika Riste Škrekovski 1. sem. 3/1 Neasociativna algebra Tomaž Košir 2. sem. M3 (geometrija in topologija) 3/1 Analiza na mnogoterostih Franc Forstnerič 1. sem. 3/1 Uvod v algebraično geometrijo Tomaž Košir 1. sem. 3/1 Konveksnost Boris Lavrič 1. sem. 2/2 Algebraična topologija 1 Petar Pavešić 2. sem. M4 (numerična matematika) 2/2 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem. 2/2 Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje Gašper Jaklič 2. sem. 2/2 Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe Jernej Kozak 2. sem. M5 (verjetnost, statistika in finančna matematika) 2/2 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem. 2/2 Finančna matematika 2 József Gáll 1. sem. 3/1 Bayesova statistika H. J. A. Hoijtink 1. sem. 3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič 1. sem. 2/2 Optimizacija v financah Dejan Velušček 1. sem. 2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem. 2/2 Rieszovi prostori v matematični ekonomiji Roman Drnovšek 2. sem. 2/2 Aktuarska matematika Ermanno Pitacco 2. sem. 2/2 Izbrana poglavja iz teorije iger Aljaž Ule 2. sem. R1 (računalniška matematika) 2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Sergio Cabello 1. sem. 2/2 Teorija izračunljivosti Marko Petkovšek 2. sem. 2/2 Izbrana poglavja iz optimizacije Riste Škrekovski 2. sem. O (splošni predmeti izven M1 M5 in R1) 2/2 Moderna fizika Peter Križan 1. sem. 2/2 Matematični modeli v biologiji Milan Hladnik 2. sem. Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika Analiza omrežij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem. Statistični paketi Andrej Blejec 1. sem. Analiza zgodovine dogodkov Maja Pohar Perme, Janez Stare 1. ali 2. sem.

4 Magistrski študij Finančne matematike (2. stopnja) v študijskem letu 2012/13 Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Pogoji za vpis: 1. končan študijski program Finančna matematika prve stopnje; ali 2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Denar in finance, Makroekonomija, Analiza 3, Verjetnostni račun 1, Finančna matematika 1, Mikroekonomija, Finančni trgi in inštitucije, Programiranje 1, Finančni praktikum, Statistika 1, Slučajni procesi 1, Operacijske raziskave, Teorija iger, Seminar 1 in 2 ter Optimizacijske metode); ali 3. končana prva stopnja študijskega programa Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije; če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet Uvod v slučajne procese); ali 4. končan študijski program prve stopnje iz ekonomskih, tehničnih ali naravoslovnih področij npr. ekonomija, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, med temi obvezno izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije); ali 5. končano enakovredno izobraţevanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini; ali 6. končan stari (nebolonjski) univerzitetni študijski program Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije, če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet Uvod v slučajne procese). Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS (7 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupini M5, med temi obvezno Verjetnostni račun 2. Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS izmed finančnih predmetov na Ekonomski fakulteti. Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS (4 predmeti) izmed strokovnih predmetov v skupinah M1 M4 in R1. Opravljena delovna praksa (od 150 do 300 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1 ECTS) ali projektno delo v skupnem obsegu od 5 do 10 ECTS. Opravljene obveznosti v obsegu 15 ECTS po lastni izbiri na drugih magistrskih ali doktorskih študijskih programih na UL (npr. na doktorskem študijskem programu Statistika), na poletnih šolah iz ustreznih tematskih področij in drugje. Študent lahko največ 3 ECTS pridobi tudi z aktivnim sodelovanjem v okviru podiplomskega Seminarja iz finančne matematike, ki poteka na OM FMF. Magistrsko delo je vredno 20 ECTS. Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50 ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

5 Predmeti iz skupine M5, predvideni v študijskem letu 2012/13: 3/1 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem. 2/2 Finančna matematika 2 József Gáll 1. sem. 3/1 Bayesova statistika H. J. A. Hoijtink 1. sem. 3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaţ Omladič 1. sem. 2/2 Optimizacija v financah Dejan Velušček 1. sem. 2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem. 2/2 Rieszovi prostori v matematični ekonomiji Roman Drnovšek 2. sem. 2/2 Aktuarska matematika Ermanno Pitacco 2. sem. 2/2 Izbrana poglavja iz teorije iger Aljaţ Ule 2. sem. Predmeti iz skupin M1 M4 in R1, predvideni v študijskem letu 2012/13: (Poudarjeni so predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente programa Finančna matematika, poševno označeni pa so predmeti, ki so tudi primerni za študente programa Finančna matematika.) M1 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem. M1 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem. M1 Parcialne diferencialne enačbe Miran Černe 2. sem. M1 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem. M1 Teorija operatorjev Roman Drnovšek 2. sem. M1 Kompleksna analiza Franc Forstnerič 2. sem. M2 Asociativna algebra Matej Brešar 1. sem. M2 Teorija grafov Sandi Klavţar 1. sem. M2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Matjaţ Konvalinka 1. sem. M2 Uporabna diskretna matematika Riste Škrekovski 1. sem. M2 Neasociativna algebra Tomaţ Košir 2. sem. M3 Analiza na mnogoterostih Franc Forstnerič 1. sem. M3 Uvod v algebraično geometrijo Tomaţ Košir 1. sem. M3 Konveksnost Boris Lavrič 1. sem. M3 Algebraična topologija 1 Petar Pavešić 2. sem. M4 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem. M4 Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje Gašper Jaklič 2. sem. M4 Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe Jernej Kozak 2. sem. R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Sergio Cabello 1. sem. R1 Teorija izračunljivosti Marko Petkovšek 2. sem. R1 Izbrana poglavja iz optimizacije Riste Škrekovski 2. sem.

6 Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika za leto 2012/13, ki so priporočeni študentom Finančne matematike, so: Analiza omreţij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem. Statistični paketi Andrej Blejec 1. sem. Analiza zgodovine dogodkov Maja Pohar Perme, Janez Stare 1. ali 2. sem. Na doktorskem študijskem programu Matematika in fizika se bosta predvidoma predavala še dva predmeta z vsebinami iz finančne matematike. Ob posebnem dovoljenju lahko katerega od teh opravljajo tudi študenti 2. stopnje: Finančna matematika Ernst Eberlein 1. sem. Optimalno ustavljanje Goran Peskir 2. sem. Predmeti na magistrskih študijskih programih Ekonomske fakultete za leto 2012/13, ki so priporočeni študentom Finančne matematike, so: Predmeti, na katerih smo imeli v preteklih letih dovolj mest za študente FMF: predmet predvideni izvajalec ECTS semester Ekonomske politike EU Mojmir Mrak sem. Makroekonomija 3 Sašo Polanec, Igor Masten sem. Mikroekonomija 3 Maks Tajnikar sem. Finančna analiza 2 Aljoša Valentinčič, Neil Garrod 8 1. sem. Management finančnih inštitucij Marko Košak 8 1. sem. Modeli denarne politike Igor Masten 8 1. sem. Ekonometrija 2 Igor Masten, Sašo Polanec 8 2. sem. Finančna ekonomija Aleš Ahčan 8 2. sem. Poslovne finance 2 Dušan Mramor 8 2. sem. Davki in davčna harmonizacija EU Tine Stanovnik 7 2. sem. Ekonomika trga dela Janez Malačič 7 2. sem. Javne finance 2 Tine Stanovnik 7 2. sem. Mednarodne finance 2 Mojmir Mrak 7 2. sem. Predmeti, za katere smo prosili EF, da nam odobri prosta mesta za študente FMF: Teorija finančnega posredništva Upravljanje naloţb in obveznosti Ekonometrija časovnih vrst in panelnih podatkov Teorija informacij in pogodb v financah Zavarovalne finance Ţivljenjska in pokojninska zavarovanja Splošno zavarovanje Aktuarska matematika Vedenjske finance Obvladovanje tveganj Ekonomske integracije in EU Zdruţitve in prevzemi Modeli vrednotenja naloţb Teorija finančnega posredništva

7

8 Interdisciplinarni magistrski program Računalništvo in matematika (2. stopnja) v študijskem letu 2012/13 Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Kandidat za vpis mora izpolnjevati enega od naslednjih pogojev: 1. Ima končan univerzitetni študijski program prve stopnje Interdisciplinarnega študija Računalništvo in matematika, Matematika, Finančna matematika ali Računalništvo in informatika. 2. Ima končan visokošolski strokovni študijski program prve stopnje Računalništvo in informatika oz. študijski program Računalništvo in informatika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred (Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM: Analiza 3, Diskretne strukture 2, Linearna algebra in Numerične metode.) 3. Ima končan visokošolski študijski program prve stopnje Praktična matematika oz. študijski program Praktična matematika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred (Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM: Osnove umetne inteligence, Operacijski sistemi, Računalniške komunikacije, Algoritmi in podatkovne strukture.) 4. Ima končan študijski program prve stopnje oz. študijski program za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred , iz tehniških ali naravoslovnih področij, kjer je že osvojil potrebna osnovna znanja s področja matematike in računalništva. (Pred vpisom mora kandidat opraviti še študijske obveznosti v obsegu 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, s katerega prihaja kandidat, in so bistvene za nadaljevanje študija.) 5. Ima končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini. Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Vsi predmeti so semestrski. Računalniški predmeti praviloma obsegajo 45 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 6 ECTS. Matematični predmeti praviloma obsegajo 30 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 5 ECTS. Študentovo izbiro predmetov mora potrditi študijska komisija. Predmeti se delijo na obvezne in izbirne. Obvezna sta računalniška predmeta Algoritmi in Računalniški sistemi. Med izbirnimi predmeti mora študent opraviti 5 izbirnih računalniških predmetov, 4 izbirne matematične predmete iz skupine A, 5 izbirnih matematičnih predmetov iz skupine B, še en strokovni (tj. matematični ali računalniški) izbirni predmet ter 2 splošna izbirna predmeta. Študent torej zbere potrebnih 120 ECTS na naslednji način: 12 ECTS z dvema obveznima predmetoma; 80 ECTS z izbirnimi matematičnimi oziroma računalniškimi predmeti; 11 ECTS s splošnimi izbirnimi vsebinami; 17 ECTS z izdelavo magistrskega dela in zagovorom. Napredovanje: Za napredovanje v drugi letnik mora študent opraviti vse obveznosti prvega letnika.

9 Izbirni matematični predmeti, skupina A Logika v računalništvu 2 / 2 5 ECTS Računalniško podprto (geometrijsko) načrtovanje 2 / 2 5 ECTS Računska geometrija 2 / 2 5 ECTS Teorija kodiranja in kriptografija 2 / 2 5 ECTS Verjetnostne metode v računalništvu 2 / 2 5 ECTS Izbirni matematični predmeti, skupina B Analiza in vizualizacija podatkov 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz računalniške matematike 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz numerične matematike 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz teorije iger 2 / 2 5 ECTS Matematika z računalnikom 2 / 2 5 ECTS Simbolno računanje 2 / 2 5 ECTS Teorija grafov 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz diskretne matematike 2 / 2 5 ECTS Kombinatorika 2 2 / 2 5 ECTS Optimizacijske metode 2 2 / 2 5 ECTS Kriptografija in računalniška varnost 2 / 2 5 ECTS Obvezna računalniška predmeta Algoritmi 3 / 2 6 ECTS Računalniški sistemi 3 / 2 6 ECTS Izbirni računalniški predmeti Umetna inteligenca 3 / 2 6 ECTS Digitalno procesiranje signalov 3 / 2 6 ECTS Izračunljivost in računska zahtevnost 3 / 2 6 ECTS Uvod v bioinformatiko 3 / 2 6 ECTS Sodobne metode razvoja programske opreme 3 / 2 6 ECTS Strojno učenje 3 / 2 6 ECTS Zaznavanje v kognitivnih sistemih 3 / 2 6 ECTS Mehko računanje in naravni algoritmi 3 / 2 6 ECTS Teorija programskih jezikov 3 / 2 6 ECTS Interaktivnost in obvladovanje informacij 3 / 2 6 ECTS Sodobni pristopi in arhitekture pri razvoju 3 / 2 6 ECTS informacijskih sistemov Odkrivanje znanj iz podatkov 3 / 2 6 ECTS

10 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek Spoznamo osnovne pojme teorije Hilbertovih prostorov in linearnih operatorjev med njimi. Precej pozornosti posvetimo kompaktnim operatorjem, ki imajo podobne lastnosti kot operatorji na končnorazsežnih prostorih. Dobljene rezultate uporabimo pri reševanju Sturm-Liouvilleovega problema, ki se pojavlja pri več fizikalnih problemih, na primer pri opisu gibanja nihajoče strune. Nekoliko pokukamo v teorijo Banachovih prostorov, ki so posplošitev Hilbertovih prostorov. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnove linearne algebre in matematične analize. Zaželeno je poznati osnovne pojme iz topologije. Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

11 Teorija mere Bojan Magajna Teorija mere je temelj za poglobljeno obravnavo verjetnostnega računa in statistike, neizogibna pa je tudi na mnogih drugih področjih matematike, na primer v funkcionalni in harmonični analizi, operatorskih algebrah, ergodični teoriji itn. Mera je posplošitev pojmov dolžine, ploščine in prostornine na poljubne množice. To omogoča definicijo integrala funkcij (Lebesgueovega integrala) na splošnih množicah, ki niso nujno podmnožice v R n. Ta integral ima ugodnejše lastnosti od Riemannovega integrala, čeprav se za zvezne funkcije na intervalu [a, b] reducira na Riemannov integral. Pri predmetu se bomo seznanili s klasičnimi osnovami teorije mere in integrala v taki splošnosti, kot je potrebna za uporabo na drugih področjih matematike. (Obdelali bomo prva štiri poglavja iz knjige Osnove teorije mere, DMFA, 2011.) Potrebno/pričakovano predznanje: osnovni pojmi o množicah in razumevanje osnov analize iz prvega letnika. Izvedba (2/2): Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

12 Parcialne diferencialne enačbe Miran Černe Parcialne diferencialne enačbe se uporabljajo pri formulaciji in modeliranju problemov, v katerih nastopajo funkcije več spremenljivk. Tako z njimi lahko modeliramo širjenje zvoka, prevajanje toplote, srečamo jih pri opisu gibanja tekočin (Navier-Stokesove enačbe), v elektrodinamiki (Maxwellove enačbe), pri geometrijskih problemih (Riccijev tok) in tudi na področju finančne matematike (Black-Scholesova enačba). Pri predmetu se bodo slušatelji seznanili s parcialnimi diferencialnimi enačbami v poljubni dimenziji. Predstavljeni bodo posebni prostori funkcij, ki se jih potrebuje pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb, ter distribucije kot posplošene rešitve linearnih parcialnih diferencialnih enačb. Dokazani bodo eksistenčni izreki za Laplaceovo enačbo (Perronova metoda) ter toplotno in valovno enačbo v poljubni dimenziji. Predstavljene bodo tudi osnovne regularnostne lastnosti rešitev teh enačb. Potrebno/pričakovano predznanje: Predmet je nadgradnja predmeta Analiza 4 z dodiplomskega študija. Potrebuje se nekatere osnovne pojme in rezultate, ki se jih spozna pri predmetu Uvod v funkcionalno analizo. Izvedba (2/2): Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

13 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek Mehaniko kontinuuma lahko definiramo kot matematični način opisa osnovnih principov obnašanja teles zvezne strukture, kjer kontinuum razumemo kot večkrat odvedljivo materijalno mnogoterost. Področja uporabe osnovnih principov mehanike kontinuuma so precej široka: od uporabe v mehaniki trdnih teles, mehaniki fluidov, biofiziki, tehniki, do uporabe pri različnih interdisciplinarnih raziskovalnih projektih. Vsebinsko jedro predmeta temelji na matematični obravnavi osnovnih principov, kjer se prepletajo elementi linearne algebre, analize na mnogoterostih in diferencialne geometrije. Poudarek bo na uporabi osnovnih pojmov iz področja diferencialne geometrije. Poleg tega bodo za potrebe teorije izpeljani dodatni elementi, s pomočjo katerih na matematični način opišemo gibanje, ohranitvene zakone in enačbe snovi na nivoju materijalne mnogoterosti. S tem je pristop k uporabi na različnih področjih v matematiki, fiziki in tehniki poenoten in lažji. Po uspešno opravljenem izpitu bo študent opremljen z znanjem, ki omogoča spremljanje ustrezne znanstvene literature in ki je potrebno za poglobljen nadaljnji študij na širšem raziskovalnem področju mehanike, s poudarkom na uporabi sodobnih matematičnih sredstev. Potrebno/pričakovano predznanje: Potrebno je operativno znanje iz osnov analize in linearne algebre, zaželeno pa poznavanje osnovnih pojmov iz diferencialne geometrije. Izvedba (2/2): Poleg predavanj in individualnega študija posameznih poglavij v skladu z interesi študenta, če ta izrazi željo po takšnem načinu študija, bo poudarek na reševanju domačih nalog. Rešitve nalog skupaj z izbranimi poglavji s predavanj ter individualnega študija bodo osnova za zagovor na teoretičnem delu izpita.

14 Teorija operatorjev Roman Drnovšek Obravnavamo nekatere razrede omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovih in Banachovih prostorih. Posvetimo se tudi vprašanju obstoja invariantnih podprostorov. V zadnjem delu se ukvarjamo s teorijo neomejenih operatorjev, ki je uporabna pri reševanju diferencialnih enačb. Potrebno/pričakovano predznanje: predmet Uvod v funkcionalno analizo. Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

15 Kompleksna analiza Franc Forstnerič S kompleksno analizo ste se prvič srečali na prvi stopnji študija matematike. V okviru tega predmeta bomo spoznali nove vsebine. Podrobneje bomo obravnavali princip maksima za holomorfne funkcije in njegove posledice. Ogledali si bomo konvergenco v prostoru holomorfnih funkcij in dokazali Riemannov upodobitveni izrek, da je vsako enostavno povezano ravninsko območje, ki ni vsa ravnina, biholomorfno disku. Študirali bomo injektivne holomorfne funkcije in dokazali izreke Koebeja, Landaua ter Picardov izrek, da je vsaka holomorfna funkcija na kompleksni ravnini, ki izpusti vsaj dve vrednosti, konstantna. Ta fascinanten rezultat je osnova za uvedbo pojma Kobayashijeve metrike in hiperboličnosti, ki povezuje kompleksno analizo z diferencialno geometrijo. Holomorfne funkcije bomo aproksimirali z racionalnimi funkcijami, v posebnih primerih s polinomi. Z uporabo vrst bomo rešili Mittag-Lefflerjev problem o obstoju meromorfne funkcije s predpisanimi glavnimi deli, z uporabo neskončnih produktov pa bomo konstruirali holomorfno funkcije z ničlami v dani diskretni množici. Ogledali si bomo tudi pojem analitičnega nadaljevanja in konstrukcijo Riemannove ploskve holomorfne funkcije. Predmet Kompleksna analiza je dobra priprava na predmet Riemannove ploskve, ki se bo predvidoma izvajal v študijskem letu 2013/2014 in je osnova za študij funkcij več kompleksnih spremenljivk ter kompleksnih mnogoterosti na doktorskem študiju matematike. Potrebno/pričakovano predznanje: Zadošča znanje kompleksne analize, ki ste ga pridobili na prvi stopnji. Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Domača naloga se upošteva pri oceni pisnega dela izpita. Po opravljenem pisnem izpitu opravljate ustni del izpita.

16 Asociativna algebra Matej Brešar Obravnavani bodo predvsem nekomutativni (asociativni) kolobarji in algebre. Uvodni del bo namenjen njihovim primerom in konstrukcijam, jedro predmeta pa klasični strukturni teoriji. Ob tem se bo študent seznanil s pojmi, ki se ne pojavljajo le v algebri, ampak tudi na nekaterih drugih matematičnih področjih (npr. v funkcionalni analizi, teoriji operatorjev in še kje). Predmet bo tako zelo koristen za študente, ki bi se želeli usmeriti v teoretično matematiko. Zanimiv pa bo tudi za vse, ki jih algebra veseli in bi želeli njeno znanje nadgraditi ter osvetliti znane pojme s prvostopenjskega študija v novi luči. Potrebno/pričakovano predznanje: Potrebno je znanje iz predmetov Algebra 1, 2 in 3. Zahtevnejšim pojmom bo namenjena kratka ponovitev. Izvedba (3/1): Izpit bo sestavljen iz domačih nalog in ustnega izpita. Naloge bodo po zahtevnosti različne. Večina bo lažjih ali vsaj takih, da bodo zahtevale le razumevanje snovi s predavanj. Nekatere bodo težje, kaka naloga pa bo dodana kot izziv za najbolj motivirane študente. Zato se ne bo pričakovalo, da bi študenti morali rešiti prav vse naloge. Pogoj za pristop k ustnemu izpitu bo vsaj pol rešenih nalog.

17 Teorija grafov Sandi Klavžar Predmet bo predstavil teorijo grafov kot sodobno, hitro se razvijajoče področje matematike. Poudarek bo na širini in tudi na globini področja. Predmet je namenjen študentom, ki že poznajo osnove teorije grafov ter si želijo poglobiti znanje skozi obravnavo osrednjih konceptov teorije grafov na nov način. Pristop, ki ga bomo izbrali, je preko grafovskih produktov in njihovih podgrafov. Obravnavana bodo naslednja poglavja: Kartezični produkt grafov; Hammingovi grafi; Hamiltonovi grafi; Ravninskost in prekrižno število; Povezanost; Neodvisnost; Barvanja grafov; Dominacija v grafih. Predmet je osnova za morebitno kasnejše raziskovalno delo na področju diskretne matematike. Potrebno/pričakovano predznanje: Logika in množice, Algebra 1, Diskretna matematika 1. Izvedba (2/2): Domače naloge, 2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, ustni izpit. Osnovna literatura: W. Imrich, S. Klavžar, D. F. Rall: Topics in Graph Theory, Graphs and Their Cartesian Product, A K Peters, Wellesley, 2008.

18 Izbrana poglavja iz diskretne matematike (Politopi in razporeditve hiperravnin) Matjaž Konvalinka Pri predmetu bomo obravnavali dve temi iz diskretne geometrije: politope in razporeditve hiperravnin. Politop P R n je posplošitev m-kotnika v ravnini in je lahko podan na dva načina: bodisi kot konveksna ogrinjača končne množice točk bodisi kot omejen presek končne množice zaprtih polprostorov. Spoznali bomo najpomembnejše pojme, metode in izreke iz teorije politopov, kot so Farkaseva lema, eliminacija Fouriera in Motzkina, mreža lic, dualni politop, simplicialni politopi, f-vektorji in h-vektorji, Ehrhartov kvazipolinom itd. Razporeditev hiperravnin je končna množica hiperravnin v prostoru R n. Ključni algebraični sredstvi pri obravnavi razporeditev sta delno urejena množica presekov in njen karakteristični polinom. Spoznali bomo pomembne družine razporeditev in glavne metode računanja karakterističnega polinoma. Potrebno/pričakovano predznanje: Za predmet je potrebno osnovno znanje linearne algebre in diskretne matematike. Ostalo potrebno predznanje (rodovne funkcije, Möbiusova funkcija itd.) bomo ponovili na začetku semestra. Izvedba (2/2): Izpit iz teorije, projekt.

19 Uporabna diskretna matematika Riste Škrekovski Obravnavali bomo naslednja področja: I. Teorija grafov v kemiji. Benzenoidi, fulereni in nanocevke kot grafovske strukture. Kekuléove strukture oziroma popolna prirejanja v grafu, Clarova teorija aromatičnega seksteta, teorija resonance. Molekularni deskriptorji: Wienerjev indeks, Randićev indeks, Hosoyajev indeks, zagrebški indeksi in drugi molekularni deskriptorji. II. Uporaba verjetnostne metode. Osnovna metoda, linearnost matematičnega upanja, metoda izbirsa, drugi moment in koncentracija slučajnih spremenljivk, slučajni grafi, brezlestvična omrežja in drugi modeli velikih omrežij. III. Spekter grafa. Splošno o spektru grafa. Laplaceova matrika. Energija grafa. IV. Matematika v bioinformatiki. Zaželeno (ni pa nujno) predznanje: Diskretna matematika 1 in/ali 2. Izvedba: 2/2 Obveznosti študenta: seminarska naloga, ustni izpit.

20 Neasociativna algebra Tomaž Košir Študent se spozna z osnovnimi pojmi in izreki teorije Liejevih algeber. Liejeve algebre so pomembno orodje v različnih vejah matematike. V matematični analizi jih srečamo pri študiju mnogoterosti ter v geometriji pri študiju Liejevih grup in drugih geometrijskih objektov. Klasifikacija pripadajočih korenskih sistemov pa se pojavlja vsepovsod v matematiki. Obravnavali bomo naslednje teme: Definicija Liejeve algebre. Ideali in homomorfizmi. Rešljive in nilpotentne Liejeve algebre. Liejev in Cartanov izrek. Killingova forma. Povsem razcepne upodobitve. Upodobitve algebre sl 2 (F ). Razcep na korenske podprostore. Korenski sistemi. Enostavni koreni in Weylova grupa. Klasifikacija (končnorazsežnih) enostavnih Liejevih algeber. Univerzalna ovojna algebra. Poincaré-Birkhoff-Wittov izrek. Upodobitve enostavnih Liejevih algeber. Potrebno/pričakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna znanja, pridobljena na prvi stopnji pri predmetih Algebra 1, 2 in 3. Izvedba (3/1): Predmet se izvaja na običajen način s predavanji in vajami. Študenti bodo med letom dobili domače naloge, ki se upoštevajo pri končni oceni. Ob koncu semestra bo pisni izpit in ustni zagovor. Temeljna literatura: J. E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, New York, Berlin, B. C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction, Springer, New York, Berlin, W. A. de Graaf: Lie Algebras: Theory and Algorithms, North Holland, Amsterdam, Dodatna literatura: J. P. Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, R. W. Carter, G. Segal, I. G. Macdonald: Lectures on Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge Univ. Press, J. E. Humphreys: Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Univ. Press, 1992.

21 Analiza na mnogoterostih Franc Forstnerič Svet ni raven, ampak je ukrivljena mnogoterost. Gladka mnogoterost dimenzije n je Hausdorffov topološki prostor, ki izgleda lokalno v okolici vsake točke tako kot n-dimenzionalni evklidski prostor, ti lokalni kosi pa so zlepljeni skupaj z gladkimi difeomorfizmi. Najpreprostejši primeri so krivulje in ploskve v evklidskih prostorih. Pojem mnogoterosti se je naravno razvil iz del slavnih matematikov in fizikov, kot so bili Gauss, Riemann, Klein, Poincaré, Einstein, Weyl, Cartan, Chern in mnogi drugi. Teorija mnogoterosti je osnova za vrsto področij sodobne matematike, kot so diferencialna, analitična in algebraična geometrija, diferencialna topologija, Liejeve grupe, dinamika, teorija foliacij itd. Mnogoterosti so tudi nepogrešljivo orodje v fiziki, mehaniki, astronomiji in drugih področjih naravoslovja in tehnike. Pričeli bomo z elementarnimi konstrukcijami in primeri mnogoterosti ter gladkih preslikav med njimi. Nato bomo analitične pojme in sredstva, kot so odvajanje, integriranje, diferencialne enačbe, vektorska polja ipd., posplošili z evklidskih prostorov na gladke mnogoterosti. Spoznali bomo vrsto novih pojmov, metod in rezultatov: tangentni in kotangentni sveženj mnogoterosti, tok vektorskega polja, komutator, Frobeniusov izrek o integrabilnosti distribucij, Liejeve grupe in algebre, Sardov izrek o kritičnih vrednostih preslikav, pojem transverzalnosti, integracija diferencialnih form in de Rhamov izrek. Predmet je dobra priprava na vrsto drugih predmetov iz analize in geometrije na 2. in 3. stopnji študija matematike. Potrebno/pričakovano predznanje: Poznavanje osnov matematične analize in topologije v obsegu predmetov na prvi stopnji programa Matematika na FMF UL. Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Domača naloga se upošteva pri oceni pisnega dela izpita. Po opravljenem pisnem izpitu opravljate ustni del izpita.

22 Uvod v algebraično geometrijo Tomaž Košir Študent se spozna z osnovnimi pojmi in izreki algebraične geometrije ter metodami za izračune osnovnih invariant. Spozna tudi številne zglede algebraičnih množic, to je raznoterosti, ki jih bo srečal pri drugih predmetih. Obravnavali bomo naslednje teme: Uvod v Groebnerjeve baze. Afine raznoterosti. Kolobar polinomskih preslikav na raznoterosti. Racionalne preslikave. Hilbertov izrek o ničlah. Dimenzija. Projektivne raznoterosti. Regularne in racionalne preslikave. Preslikave med raznoterostmi. Odpravljanje singularnosti. Hilbertov polinom in Hilbertova funkcija. Klasične konstrukcije sekantne raznoterosti, Grassmannove raznoterosti, detereminantne raznoterosti, Segrejeve raznoterosti, produkt raznoterosti. Tangentni prostor, tangentni stožec. Delitelji na raznoterostih. Linearni sistemi. Projektivne vložitve raznoterosti. Riemann-Rochov izrek. Znanja, pridobljena pri predmetu, se uporabljajo na vseh področjih matematike in uporabe matematike, kjer študiramo geometrične objekte, v teoriji števil, v teoretični fiziki in tudi drugje. Znanja pri predmetu se dopolnjujejo z znanji, pridobljenimi pri predmetu Komutativna algebra na 2. stopnji študija Matematike. Predmeta sta zasnovana neodvisno in se ju lahko opravlja v poljubnem zaporedju ali samo enega od obeh. Potrebno/pričakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna znanja, pridobljena na prvi stopnji pri predmetih Algebra 1, 2 in 3. Znanja iz predmetov Afina in projektivna geometrija ali Algebraične krivulje so koristna, niso pa obvezna. Izvedba (3/1): Predmet se izvaja na običajen način s predavanji in vajami. Študenti bodo med letom dobili domače naloge, ki se upoštevajo pri končni oceni. Ob koncu semestra bo pisni izpit in ustni zagovor. Temeljna literatura: B. Hassett: Introduction to algebraic geometry, Cambridge Univ. Press, I. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2. izdaja, Berlin, Dodatna literatura: M. C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin: Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties. A Classical View of Algebraic Geometry, EMS Textbooks in Mathematics, W. Fulton: Algebraic Curves, Addison-Wesley, Redwood City, J. Harris: Algebraic Geometry: A First Course, Springer, New York, K. Hulek: Elementary Algebraic Geometry, AMS, Providence, 2003.

23 Konveksnost Boris Lavrič Teorija konveksnosti je relativno mlado področje matematike, v katerem se prepletajo vsebine iz geometrije, analize, linearne algebre, topologije in kombinatorike, povezane s preprostim geometrijskim pojmom, ki daje teoriji ime. Pri predmetu bomo obravnavali osnovne poteze konveksne geometrije in konveksne analize ter jih povezali s širokim območjem aplikacij teorije konveksnosti. Poleg lastnosti konveksnih množic in konveksnih funkcij v evklidskih in normiranih prostorih si bomo ogledali tudi njihovo uporabo pri reševanju problemov z drugih področij matematike, predvsem linearne algebre, funkcionalne analize, geometrije in uporabne matematike. Teme iz vsebine predmeta: Osnovne geometrijske in kombinatorične lastnosti konveksnih množic. Separacijski izreki. Ekstremne podmnožice konveksnih množic. Politopi in poliedri. Izrek Weyla in Minkowskega. Stožci, polare in urejenost. Sistemi linearnih neenačb. Farkaseva lema in linearno programiranje. Metrični prostor in metrične lastnosti konveksnih množic. Konveksne funkcije in optimizacija. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnove linearne algebre, analize in splošne topologije. Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

24 Algebraična topologija 1 Petar Pavešić V algebraični topologiji uporabljamo algebraične strukture za študij geometrijskih objektov. To so lahko ploskve, telesa ali višje razsežne mnogoterosti, potem še vozli, prostori rešitev diferencialnih enačb pa tudi zapleteni vzorci, digitalizirani posnetki in podobno. Algebraične strukture pa so predvsem številske karakteristike (stopnja, ovojno število, Eulerjeva karakteristika) ter grupe. Pri predmetu se bomo najprej naučili, kako diskretiziramo geometrijske objekte s pomočjo simplicialnih in CW-kompleksov, potem pa bomo geometrijo teh objektov algebraično opisali s pomočjo fundamentalne grupe in homoloških grup. Tradicionalno je algebraična topologija nekakšna sinteza in vrhunec dodiplomskega študija ter pomemben predpogoj za nadaljevanje študija na tretji stopnji in za raziskovalno delo. Nekateri deli pa so tudi močno povezani z uporabo: na primer simplicialni kompleksi so standardno orodje za digitaliziranje slik in za numerično modeliranje, v zadnjem času pa se homološke grupe rutinsko uporabljajo za samodejno računalniško analizo zapletenih množic podatkov, kot so satelitske slike, posnetki, dobljeni z magnetno resonanco, ter mnoge druge digitalizirane podobe, tako statične kot tudi dinamične. Potrebno/pričakovano predznanje: Pričakovano predznanje obsega predmete Splošna topologija, Uvod v geometrijsko topologijo ter Algebra 2. Predmet se navezuje na vse predmete, ki imajo močno geometrijsko komponento (npr. Algebraične krivulje, Algebraična geometrija, Diferencialna geometrija, Analiza na mnogoterostih, Riemannove ploskve, Liejeve grupe) in je poznavanje kateregakoli od teh zelo dobrodošlo s stališča motivacije, ni pa predpopogoj za poslušanje predmeta. Izvedba (2/2): Predmet se bo izvajal s predavanji ter s kombinacijo seminarjev in vaj. Obveznosti študenta, na podlagi katerih bo oblikovana ocena, so samostojno reševanje domačih nalog ter krajša seminarska naloga (če bo to število vpisanih dopuščalo).

25 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak Predmet obravnava matematična orodja, ki so nepogrešljiva v aproksimativnem reševanju praktičnih problemov. Spoznamo razrede funkcij, ki so primerni za iskanje aproksimacij, npr. polinome, odsekoma polinomske funkcije (zlepke), trigonometrijske polinome, racionalne funkcije ipd., ter kriterije, ki povedo, kako aproksimativne funkcije poiščemo. Tu izbiramo med optimalnimi shemami, kot je npr. enakomerna aproksimacija ali aproksimacija po metodi najmanjših kvadratov, in preprostejšimi, linearnimi pristopi, kot je interpolacija. Postavimo merila, ki povedo kaj o kvaliteti aproksimacij, in poiščemo konkretne postopke konstrukcije. Predmet je osnova vsem drugim predmetom s področja numerične analize. Potrebno/pričakovano predznanje: Zaželen je opravljen izbirni predmet Numerična linearna algebra, priporočamo tudi izbiro predmeta Matematično modeliranje. Predmet je osnova vsem drugim predmetom s področja numerične analize. Izvedba (2/2): Dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Načrtovan izpitni režim: domači nalogi, pisni in ustni izpit.

26 Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje (IŠRM: Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje) Gašper Jaklič Predmet bo obravnaval osnove modernega področja na meji med matematiko in računalništvom, CAGD (computer aided geometric design) računalniško podprto geometrijsko oblikovanje. Gre za razvoj in študij matematičnih metod za predstavitev in delo s krivuljami, ploskvami in telesi. To je osnova za računalniško podprto oblikovanje (CAD), proizvodnjo (CAM) in delo s parametričnimi krivuljami, ploskvami in telesi v raziskovanju in v industriji (načrtovanje oblike izdelkov, vodenje robotov, strojna proizvodnja izdelkov, modeliranje in simulacije). Obravnavane bodo naslednje teme: Bézierove krivulje in njihove lastnosti ter algoritmi za delo z njimi, Bézierovi zlepki, racionalne Bézierove krivulje, ploskve iz tenzorskega produkta in trikotne Bézierove krpe. Potrebno/pričakovano predznanje: Zaželen je predhodno opravljen izbirni predmet Numerična aproksimacija in interpolacija. Izvedba (2/2): Predmet se bo izvajal z 2 urama predavanj in 2 urama vaj v računalniški učilnici. Načrtovan izpitni režim: projekt, zagovor projekta in ustni izpit.

27 Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe Jernej Kozak Predmet obravnava snov, ki v uporabno smer nadgrajuje poznavanje matematike na področju integracije in reševanja navadnih diferencialnih enačb. Slušatelja vpelje v numerične metode, njihovo analizo in implementacijo ter spozna s praktičnimi problemi, kjer se posamezni pristopi posebej odlikujejo. S tem nudi dobro podporo reševanju raznovrstnih praktičnih problemov, tako na tehničnem, finančnem, družboslovnem in drugih področjih. Obravnavane bodo naslednje teme: numerično odvajanje, Newton-Cotesova pravila in njihova nadgradnja, Gaussova pravila, singularni integrali, integracija v več spremenljivkah, metode tipa Monte Carlo. Reševanje navadnih diferencialnih enačb, začetni problemi, enočlenske metode in veččlenske metode, toge diferencialne enačbe in hamiltonski sistemi. Robni problemi, diferenčna metoda, metoda končnih elementov, kolokacija. Problemi lastnih vrednosti. Potrebno/pričakovano predznanje: Potreben je predhodno opravljen izbirni predmet Numerična aproksimacija in interpolacija. Izvedba (2/2): Predmet ima dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Načrtovan izpitni režim: domači nalogi, pisni in ustni izpit.

28 Slučajni procesi 2 Janez Bernik Predmet Slučajni procesi 2 je uvod v teorijo slučajnih procesov v zveznem času z zveznimi trajektorijami. Taki procesi so osnova vseh modelov v finančni matematiki, ki poskušajo popisati gibanja cen vrednostnih papirjev, imajo pa tudi zelo široko uporabo v tehniki, inženirstvu in biologiji. Vsebina predmeta je sledeča: Brownovo gibanje: definicija, konstrukcija, osnovne lastnosti. Lastnost Markova in krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja. Martingali, časi ustavljanja in izreki o optimalnem ustavljanju. Stohastični (Itôv) integral glede na Brownovo gibanje. Stohastični integral glede na zvezne semimartingale. Itôva formula. Potrebno/pričakovano predznanje: Predmet je osnoven za nadaljnji študij finančne matematike, je pa tudi uvod v sodobno teorijo verjetnosti. Pričakuje se dobro predznanje iz teorije verjetnosti in matematične analize. Izvedba (2/2): Ocena je določena na podlagi pisnega izpita.

29 Finančna matematika 2 (Financial Mathematics 2 Interest Rate Theory) Jószef Gáll, University of Debrecen, Madžarska Language of the course: English The aim of the course: The aim of the course is to discuss modern interest rate models, bond market structures and interest rate related financial assets, with special focus on forward interest rate models. Our aim is to discuss fundamental results of financial mathematics on this area and also to study some specific statistical and financial questions in such models. Content: Basic notions, interest rates, yield curves, bond structures, LIBOR rates. Some elementary models, short rate models, no-arbitrage in short rate models, Vasicek, Cox- Ingersoll-Ross, Hull-White models. Forward interest rate models in discrete and continuous time settings. Classical cases, Heath- Jarrow-Morton (HJM) framework and forward rate models driven by random fields. No arbitrage criteria and drift conditions, change of numeraire, martingale methods. Some special topics: LIBOR models, defaultable bonds, pricing problems of certain interest rate derivatives. Statistical questions in interest rate models, calibration methods, parameter estimation. For the discussion of some fundamental models and theorems we shall mainly use some handouts and classical monographs such as [1], [2], [3], [4], [5]. On the other hand, we shall also discuss some particular problems in special models for which we shall use some papers in the literature given during the course. Literature: [1] Björk, T. (1998), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, Oxford New York. [2] Brigo, D. and Mercurio, F. (2006), Interest Rate Models Theory and Practice: With Smile, Inflation and Credit, Springer, Berlin Heidelberg New York. [3] Jarrow, R. A. (1996), Modeling Fixed Income Securities and Interest Rate Options, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York. [4] Musiela, M. and Rutkowski, M. (1997), Martingale Methods in Financial Modeling, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. [5] Pelsser, A. (2000), Efficient Methods for Valuing Interest Rate Derivatives, Springer- Verlag, London. Prerequisites: It is required that you passed a course (or courses) in probability theory, statistics and random processes, and recommended that you passed an introductory course in financial mathematics.

30 Bayesova statistika (Bayesian Statistics Theory and Practice, using Winbugs) Herbert J. A. Hoijtink, Utrecht University, Nizozemska Language of the course: English Content: There will be 10 lectures: Day 1: Introduction to Bayesian Statistics Day 2: Lab-Meeting Introduction to Bayesian Statistics Using Winbugs Day 3: Markov Chain Monte Carlo Methods Day 4: MCMC Using Winbugs Day 5: Posterior Predictive Inference Day 6: Posterior Predictive Inference Using Winbugs Day 7: Bayesian Model Selection Using the DIC Day 8: Bayesian Model Selection Using the BIC and Bayes factor Day 9: Bayesian Evaluation of Informative Hypotheses Day 10: Bayesian Model Selection Using Winbugs Literature: Ioannis Ntzoufras. Bayesian Modeling with WinBugs. Wiley, In addition, the instructor will prepare some handouts in advance of the lectures. Prerequisites: It is required that you passed a course in probability theory and statistics. Course details: These lectures will be given in the first two weeks of October During the Winbugs meetings the students will have to work on a report that will be finally used to grade their performance in the course.

31 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič Pri predmetu bomo obravnavali nekatere posebne verjetnostne vsebine, pri katerih ni potrebno globoko teoretično predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek bo predvsem na ergodični teoriji. Prva tretjina predmeta bo posvečena markovskim verigam v diskretnem času. Gre za zaporedja diskretnih slučajnih spremenljivk, ki so med seboj odvisna na poseben, markovski način. Vrednostim, ki jih te spremenljivke lahko zavzamejo, pravimo stanja verige. Pri dokazovanju ergodičnih lastnosti se bomo spomnili nekaterih znanj o matrikah (in jih nadgradili), pri študiju odnosov med stanji pa bomo uporabili tudi nekaj teorije grafov. V drugi tretjini predmeta bomo študirali markovske verige z zveznim časom. Najpomembnejši primer takih verig so rojstno smrtni procesi. Pri študiju lastnosti bodo pomembna znanja iz prvega dela. Do teh procesov vodi več poti. Ker vselej zadoščajo t. i. naprejšnjemu in nazajšnjemu sistemu diferencialnih enačb Kolmogorova, jih lahko dobimo kot rešitve teh enačb. Vsa znanja iz teorije diferencialnih enačb, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo sproti obdelali. V zadnji tretjini si bomo ogledali uporabo teh teorij. Najprej se bomo posvetili čakalnim sistemom, ki sodijo v širše področje operacijskih raziskav in pomenijo še zmerom eno najpomembnejših uporab teorije (predvsem) rojstno smrtnih procesov. Nato si bomo ogledali nekatere pomembne algoritme t. i. metode MCMV (Monte Carlo markovskih verig), to so predvsem Gibbsov algoritem in algoritmi tipa Metropolis-Hastings. Gre za algoritme, ki računajo vrednosti finančnih instrumentov, pri dokazovanju konvergence teh algoritmov pa bomo bistveno uporabili ergodične lastnosti. Kot statistično podlago uporabljajo ti algoritmi Bayesov pristop (in ne frekventističnega). Ko so se v devetdesetih letih prejšnjega stoletja statistiki začeli zavedati pomena teh in nekaterih drugih algoritmov, je to povzročilo bistvene spremembe v odnosih med različnimi oblikami statističnega premišljevanja. Potrebno/pričakovano predznanje: Verjetnostni račun 1 in Statistika 1 oziroma Verjetnost in statistika Izvedba (3/1): Domače naloge, pisni izpit in zagovor.

32 Optimizacija v financah Dejan Velušček Študent spozna nekatere osnovne vrste optimizacijskih problemov, še posebej tiste, s katerimi lahko modeliramo probleme s področja financ. Seznani se z osnovnimi matematičnimi prijemi za njihovo reševanje, hkrati pa za praktično reševanje uporablja tudi primerne programske pakete. Linearno programiranje: Teorija in algoritmi, metoda simpleksov, metode notranjih točk. Linearni modeli v financah: osnovni izrek o vrednotenju, vrednotenje izvedenih finančnih instrumentov v odsotnosti arbitraže, uporaba linearnega programiranja pri klasifikaciji podatkov ipd. Kvadratično programiranje: Pogoj optimalnosti, dualnost, metode notranjih točk, programska orodja za praktično reševanje. Finančni modeli: različni načini izbire in upravljanja portfelja, maksimiziranje Sharpeovega razmerja, mean-variance optimizacija idr. Stohastično programiranje: Uporaba stohastičnih modelov, modeliranje ob upoštevanju negotovosti, metode za reševanje. Primeri finančnih modelov: izbor in upravljanje s portfelji, optimizacija z izogibanjem tveganja idr. Dinamično programiranje: Pregled teorije in osnovnih metod za reševanje, dinamično programiranje v diskretnem in zveznem času, zvezni prostor stanj, optimalno upravljanje. Primeri finančnih modelov: dinamična analiza portfelja, problem optimalnega ustavljanja idr. Optimizacija na stožcih: Pregled teorije in praktičnih algoritmov. Finančni modeli: arbitraža z minimalnim tveganjem, aproksimacija kovariančnih matrik idr. Potrebno/pričakovano predznanje: Predmet nadgrajuje in dopolnjuje snov predmeta Optimizacijske metode, po vsebini pa se dotika še predmetov Operacijske raziskave, Finančna matematika in Numerične metode. Izvedba (2/2): Predmet se izvaja na običajen način s predavanji in vajami. Študenti bodo med letom dobili domače naloge, ki se upoštevajo pri končni oceni. Ob koncu semestra bo pisni izpit in ustni zagovor. Literatura: Zapiski, knjige in članki priporočeni s strani predavatelja.

33 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević Prvi del predmeta vsebuje teoretične osnove za nadaljnji študij Lévyjevih procesov, drugi del pa zajema osnovne vezi med slučajnimi procesi ter parcialnimi diferencialnimi enačbami oz. potencialno teorijo. Kratek opis snovi: (1) Lévyjevi procesi: lastnost cadlag, Lévy-Hinčinov izrek, Lévyjeve mere, skoki in skočni procesi. (2) Stohastične diferencialne enačbe: eksistenčni izrek, Laplaceova enačba, difuzijska enačba, Feynman-Kacova formula. Potrebno/pričakovano predznanje: Slučajni procesi 2, Teorija mere. Izvedba (2/2): Domače naloge ter morebiti še zagovor.

34 Rieszovi prostori v matematični ekonomiji Roman Drnovšek Rieszov prostor je delno urejen vektorski prostor V, v katerem za vsak par vektorjev x, y V obstajata supremum sup{x, y} in infimum inf{x, y}. Torej imamo vektorski prostor, opremljen z relacijo delne urejenosti (ki je smiselno usklajena z operacijama vektorskega prostora), v katerem ima vsak par vektorjev najmanjšo zgornjo in največjo spodnjo mejo. Primer Rieszovega prostora je končnorazsežni prostor R n, ki je delno urejen po komponentah. Pri predmetu spoznamo osnove teorije Rieszovih prostorov in njeno uporabo v matematični ekonomiji. Pri tem se seznanimo z nekaterimi modeli za izmenjalne ekonomije, kot je Arrow- Debreujev model za izmenjalne ekonomije s končno mnogo dobrinami in porabniki. V tem modelu je množica dobrin predstavljena z Rieszovim prostorom R n, prostor linearnih funkcionalov na njem, ki je tudi Rieszov, pa predstavlja prostor cen dobrin. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnove linearne algebre in matematične analize. Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.