Longstaff-Schwartzev algoritem za vrednotenje ameriških opcij

Transcription

1 Longstaff-Schwartzev algoritem za vrednotenje ameriških opcij Živa Petkovšek mentor: doc. dr. Dejan Velušček Ljubljana, 17. oktober 2013 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

2 Ameriške opcije Ameriški tip finančnega instrumenta: izvršitev kadarkoli do trenutka zapadlosti Zahtevno vrednotenje Numerične metode metoda končnih elementov metoda končnih diferenc metoda binomskih dreves... metode Monte Carlo 2001: Longstaff in Schwartz predstavita svoj algoritem Kombinacija metode Monte Carlo z metodo najmanjših kvadratov Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

3 Longstaff-Schwartzev algoritem: matematično ozadje poln verjetnostni prostor (Ω, F, P) življenjska doba opcije: končno časovno obdobje [0,T] razširitev naravne filtracije: F= {F t ; t [0,T]} na trgu ni arbitraže obstoj ekvivalentne martingalske verjetnosti Q Za finančne instrumente Longstaff in Schwartz privzameta: Izplačilna funkcija finančnega instrumenta je s kvadratom integrabilna. Cenovni proces osnovnega premoženja, na katerega imamo napisano opcijo, (X t ) t [0,T ], je Markovski proces. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

4 Simulacija ameriških opcij Diskretizacija časovnega obdobja: bermuda opcija Natančno določeni možni trenutki izvršitve: 0 < t 1 < t 2 < t 3 <... < t K = T Odločitve o izvršitvi ob zapadlosti T pred trenutkom zapadlosti Ob času t k, k {1,..., K 1} nosilec opcije pozna denarni tok, če opcijo takoj izvrši ne pozna denarnih tokov v primeru nadaljevanja življenja opcije Maksimizacija vrednosti ameriške opcije: Izvršitev v prvem trenutku, ko je vrednost takojšnje izvršitve večja ali enaka vrednosti nadaljevanja. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

5 Vrednost nadaljevanja? Teoretični zapis vrednosti nadaljevanja v času t k : kjer je: F (ω; t k ) = E Q K j=k+1 r(ω, t) netvegana diskontna stopnja ( tj ) exp r(ω, s)ds C(ω, t j ; t k, T ) t k F tk C(ω, t j ; t k, T ) denarni tok, ki nastopi v času t j pri pogoju, da opcijo izvršimo šele po času t k, in matematično upanje pogojeno na informacijsko množico F tk. F (ω, t k ) je element prostora L 2 ((Ω, F tk, Q), (0, ))., Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

6 Longstaff-Schwartzev algoritem Glavna ideja algoritma V času t k neznano funkcijo vrednosti nadaljevanja predstavimo kot linearno kombinacijo števne množice F tk -merljivih baznih funkcij. L 2 ((Ω, F tk, Q), (0, )) je separabilen Hilbertov prostor: obstoj števne ortonormirane baze f L 2 f lahko predstavimo kot števno linearno kombinacijo baznih funkcij prostora L 2 F (ω; t k ) = E Q K E Q j=k+1 K j=k+1 ( tj ) exp r(ω, s)ds t k ( tj ) exp r(ω, s)ds C(ω, t j ; t k, T ) t k C(ω, t j ; t k, T ) X tk F tk = = α j φ j (X tk ) j=0 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

7 Aproksimacije Dve aproksimaciji: Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

8 Aproksimacije Dve aproksimaciji: 1 Aproksimacija števne linearne kombinacije baznih funkcije s končno: M F M (ω; t k ) = αj M φ j (X tk ) j=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

9 Aproksimacije Dve aproksimaciji: 1 Aproksimacija števne linearne kombinacije baznih funkcije s končno: M F M (ω; t k ) = αj M φ j (X tk ) j=1 2 Aproksimacija koeficientov α M j po metodi najmanjših kvadratov. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

10 Regresija v času t K 1 Diskontirane vrednosti C(ω, s; t K 1, T ), t K 1 < s T, projiciramo na izbrano končno število M baznih funkcij. Simuliramo N neodvisnih slučajnih poti gibanja vrednosti osnovnega premoženja za vsak možen trenutek izvršitve t k. C(ω, s; t K 1, T ) so (diskontirani) denarni tokovi opcije ob zapadlosti. Rezultat metode najmanjših kvadratov v času t K 1 so nepristranske cenilke iskanih koeficientov: α M,N = arg min a R M N T (exp( r(ω, s)ds)c(ω i, s; t K 1, T ) a φ) 2, i=1 t K 1 kjer je: φ vektor baznih funkcij, a φ običajni skalarni produkt v R M. Ocenjena vrednost nadaljevanja: F N M(ω; t K 1 ) = M j=1 α M,N j φ j (X tk 1 ) Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

11 Odločitev o izvršitvi Primerjava F N M (ω; t K 1) z vrednostjo takojšnje izvršitve Rekurzivni pomik na čas t K 2 : določitev denarnih tokov C(ω, s; t K 2, T ) regresija in nova cenilka vrednosti nadaljevanja odločitve o izvršitvi v času t K 2 Ponavljanje do trenutka t 1 : določitev pravila ustavljanja in pripadajočih denarnih tokov za vsako simulirano pot ω Določitev vrednosti opcije v času t 0 : diskontiranje z algoritmom določenih denarnih tokov na čas t 0 in (po metodi Monte Carlo) povprečenje glede na število simuliranih poti N. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

12 Konvergenca algoritma Ugotovitve Longstaffa in Schwartza: 1 Trditev 1: (Longstaff F. A., Schwartz, E. S.: Valuing american options by Simulation: A simple least-squares approach) 1 V (X) lim N N N LSM(ω i ; M, K), kjer je: V(X) točna vrednost opcije in LSM(ω i, M, K) denarni tok v času t 0 za ω i, določen z algoritmom. 2 Verjetnostna konvergenca za enodimenzionalni primer pri dveh možnih trenutkih izvršitve i=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

13 Konvergenca algoritma Ugotovitve Longstaffa in Schwartza: 1 Trditev 1: (Longstaff F. A., Schwartz, E. S.: Valuing american options by Simulation: A simple least-squares approach) 1 V (X) lim N N N LSM(ω i ; M, K), kjer je: V(X) točna vrednost opcije in LSM(ω i, M, K) denarni tok v času t 0 za ω i, določen z algoritmom. 2 Verjetnostna konvergenca za enodimenzionalni primer pri dveh možnih trenutkih izvršitve Clement, E., Lamberton, D., Protter P.: An analysis of the Longstaff-Schwartz algortihm for American option pricing skoraj gotova konvergenca algoritma stopnja konvergence algoritma vsaj 1 2 i=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

14 Ameriška prodajna opcija - ilustrativni primer Ameriška prodajna opcija na delnico, ki ne izplačuje dividend Izvršilna cena: K = 1.15 Čas zapadlosti opcije: T = 3 Izvršitev možna enkrat letno ob trenutkih t = 1, t =2, in t = T = 3 r = 6 % Gibanje ekonomije po 10 možnih slučajnih poteh: Tabela: Poti gibanja osnovnega premoženja - delnice Pot t = 0 t = 1 t = 2 t = Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

15 Denarni tokovi ob času t=3 Izplačilo opcije ob času t=3: max{0, S 3 } Tabela: Denarni tokovi ob času t = 3 Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0.00 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

16 Regresija in izbira baze Regresija v trenutku t k : Vključitev zgolj tistih poti ω, pri katerih se izvršitev v času t k izplača. Izbira baze Robustnost algoritma (uteženi) Laguerrovi polinomi: X/2 ex d n L n (X) = e n! dx n (X n e X ) Druge izbire baze: Hermitovi, Čebiševi polinomi, trigonometrijska vrsta, Fourierova vrsta, potence Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

17 Odločitve ob času t=2 X... vektor vrednosti osnovnega premoženja za poti, ko se izvršitev opcije v času t=2 izplača Y... vektor diskontiranih vrednosti denarnih tokov, ki jih nosilec opcije prejme, če z opcijo v času t=2 nadaljuje do časa t=3 Funkcija vrednosti nadaljevanja: Tabela: Regresija ob času t = 2 Pot X Y 1 / / *e *e *e *e *e / / 8 / / 9 / / 10 / / E[Y X] = X 3.420X 2 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

18 Odločitve in izplačila ob času t=2 Tabela: Vrednosti takojšnje izvršitve in nadaljevanja ob času t = 2 Pot Izvršitev Nadaljevanje 1 / / / / 8 / / 9 / / 10 / / Tabela: Denarni tokovi opcije Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 / / / / / / / / / / Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

19 Regresija ob času t=1 Tabela: Regresija ob času t = 1 Pot X Y *e *e *e * e / / 6 / / *e / / 9 / / *e Tabela: Vrednosti takojšnje izvršitve in nadaljevanja ob času t = 1 Pot Izvršitev Nadaljevanje / / 6 / / / / 9 / / Funkcija vrednosti nadaljevanja: E[Y X] = X X 2 Izvršitev se izplača, če se je ekonomija gibala po poteh 1, 4, 7 ali 10 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

20 Pravilo ustavljanja, denarni tokovi in vrednost opcije Tabela: Pravilo ustavljanja Pot t = 1 t = 2 t = Tabela: Denarni tokovi ameriške prodajne opcije Pot t = 1 t = 2 t = Aproksimirana vrednost ameriške opcije z LS algoritmom: Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

21 Primer: Ameriška prodajna opcija Ameriška prodajna opcija na delnico Black-Scholesova predpostavka gibanja cene osnovnega premoženja: ds = rsdt + σsdw, (1) kjer je S cena osnovnega premoženja, r in σ sta konstantni, W standardno Brownovo gibanje oz. Wienerjev proces; Delnica ne izplačuje dividend. Opcijo lahko izvršimo petdesetkrat na leto, izvršilna cena K = 30, čas zapadlosti T Bazne funkcije: konstanta in prvi trije uteženi Laguerrovi polinomi Primerjava vrednosti, dobljeni po metodi končnih diferenc in Longstaff-Schwartzevem algoritmu Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

22 Ameriška prodajna opcija Longstaff-Schwartzev algoritem (lastna implementacija): slučajnih poti gibanja vrednosti osnovnega premoženja, simuliranih v skladu z enačbo (1) 50 diskretnih trenutkov možne izvršitve Metoda končnih diferenc Paket RQuantLib: funkcija AmericanOption Parametri: št. časovnih korakov: št. korakov za ceno osnovnega premoženja (delnice): 1000 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

23 Primerjava vrednosti po metodi končnih diferenc in L-S algoritma Primerjava vrednosti ameriške prodajne opcije po obeh metodah: Končne diference Longstaff-Schwartzev algoritem S σ T AM EU* VZI AM (s.e.) EU* VZI Razlika (0.006) (0.008) (0.014) (0.018) (0.007) (0.009) (0.013) (0.017) (0.007) (0.008) (0.014) (0.017) (0.006) (0.007) (0.012) (0.016) *Vrednosti EU izračunane po Black-Scholesovi enačbi Povprečna absolutna razlika: 1.8 centa Pozitivne in negativne razlike Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21

24 Zaključek Preprosto, intuitivno, a učinkovito orodje za določitev cene številnih finančnih instrumentov ameriškega tipa Ameriška-bermuda-azijska nakupna opcija Opcija na delnico, katere cenovni proces dopušča skoke (nastop Poissonovega procesa) Vrednotenje ameriške zamenjave v dvajset faktorskem verižnem modelu strukture terminskih obrestnih mer Problemi višje dimenzije: opcija na premoženje, sestavljeno iz več tveganih osnovnih sredstev... Priljubljeno in pogosto uporabljeno orodje v praksi Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober / 21