ANALIZĖ 0: TEORINĖ ARITMETIKA

ANALIZĖ 0: TEORINĖ ARITMETIKA RIMAS NORVAIŠA 11.4 variantas, 2018 rugsėjo 20 E-paštas: rimas.norvaisa @mii.vu.lt

1 skyrius Pratarmė Analizė 0 - pirmoji matematinės analizės dalis iš trijų. Ši dalis yra paruošiamoji. Joje supažindinama su matematiniu samprotavimu ir su skaičių sistemomis. Iš esmės tai yra šiuolaikinės aritmetikos pagrindai, kuri tradiciškai buvo vadinama teorine aritmetika. Antroji dalis, Analizė 1, skirta funkcijoms tarp realiųjų skaičių ir jų konvergavimo sąvokai. Trečioje dalyje, Analizė 2, tie patys faktai nagrinėjami funkcijoms tarp skaičių baigtinių rinkinių (vektorių). Kursas padalintas į tris dalis: paskaitas, pratybas ir savarankišką darbą. Svarbiausia dalis yra savarankiškas darbas. Savarankiškam darbui palengvinti yra skirti konspektai: paskaitų konspektai ir pratyboms skirti uždavinynai. Primygtinai rekomenduojama prieš kiekvieną paskaitą perskaityti būsimos paskaitos medžiagą, o prieš pratybas atlikti paskirtus namų darbus. Visas kursas padalintas į rudens ir pavasario semestrus. Kiekviename semestre 48 valandos skirtos paskaitoms (3 val. per savaitę), 72 valandos pratyboms (4 val. per savaitę) ir savarankiškam darbui skirtos 150 valandų. Kurso tikslas - išsiugdyti tokius mąstymo įgūdžius, kurie padėtų spręsti naujas tiek teorines, tiek ir praktines problemas. Tam tikslui ugdomas abstraktus loginis samprotavimas, siekiama suprasti matematikos kalbą ir pažinti pagrindines matematinės analizės sąvokas. Svarbiausia tikslo siekimo priemonė - savarankiškas darbas, bei aktyvus dalyvavimas paskaitose ir pratybose. Pažanga siekiant tikslo vertinama pagal skaitytojo gebėjimą atlikti nurodytas užduotis.

Turinys 1 Pratarmė 2 2 Matematinis samprotavimas 5 2.1 Matematika ir jos kalba...................... 5 2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas................ 13 2.3 Teiginių logikos elementai.................... 26 2.4 Loginiai kvantoriai........................ 43 2.5 Teorema ir jos įrodymai...................... 54 2.6 Pastabos ir papildymai...................... 61 3 Pagrindinės matematikos sąvokos 65 3.1 Naivioji aibės samprata...................... 65 3.2 Funkcijos............................. 82 3.3 Pastabos ir papildymai...................... 95 4 Skaičių sistemos 96 4.1 Natūralieji skaičiai........................ 97 4.2 Sveikieji skaičiai......................... 122 4.3 Racionalieji skaičiai........................ 130 4.4 Realieji skaičiai.......................... 142 4.5 sena versija............................ 143 4.6 Realiųjų skaičių aibės pilnumas.................. 164 4.7 Pastabos ir papildymai...................... 176 5 Papildomi aritmetikos skyriai 185 5.1 Aibių teorijos pagrindai...................... 185 5.2 Natūraliųjų skaičių modelis.................... 191 5.3 Rekursijos teorema........................ 193 5.4 Istorinės pastabos......................... 196

4 Turinys 6 Priedas 197 6.1 Pagrindinės sąvokos........................ 197 6.2 Žymėjimai............................. 198 6.3 Senovės graikų raidynas..................... 199 Rodyklė 200 Literatūra 200

2 skyrius Matematinis samprotavimas Rigour is to the mathematician what morality is to men. Andrė Veilis 1, We need heuristic reasoning when we construct a strict proof as we need scaffolding when we erect a building. G Polya 2 How to solve it. 2.1 Matematika ir jos kalba Kas yra matematika? Matematika yra kultūros dalis, samprotavimu įprasminanti žmonijos praktinę ir pažintinę veiklą. Atsiradusi panašiu metu kaip ir raštas, priešistorinė matematika siejama su skaičiavimais ir matavimais. Visose mums žinomose civilizacijose matematika vystėsi kartu su amatais, administravimu ir komercija. Ją sudarė skaičiavimo metodai ir geometrinių figūrų savybės, bei jų naudojimas praktiniams uždaviniams spręsti. Šiuolaikinė matematika yra loginis samprotavimas apie matematinius objektus: skaičius, aibes, funkcijas ir panašiai. Tokia matematika atsirado Antikinėje Graikijoje, greta nuo seno komercijai ir administravimui naudotos matematikos. 1 André Weil Andrė Veilis (1906 1998), prancūzų matematikas, žinomas darbais skaičių teorijos ir algebrinės geometrijos srityse. Buvo vienu Nikola Burbaki grupės steigėju ir faktiniu jos lyderiu. 2 Gyergy Polya (1887-1985), vengrų kilmės matematikas.

6 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Jos atsiradimą paskatino noras suprasti ir paaiškinti tokius su begaliniais procesais susijusius reiškinius kaip judėjimas (Zenono aporijos) ir nebendramačių atkarpų egzistavimas ( 2 iracionalumas). Tokios matematikos esminis bruožas yra samprotavimas. Viduriniais amžiais matematikos evoliuciją įtakojo kūrybiškai perimtas arabųindų civilizacijų palikimas. Šios įtakos rezultatas - problemų sprendimas manipuliuojant simboliais pagal tam tikras taisykles (algebros atsiradimas). Naujaisiais amžiais svarbiausiu pasiekimu Vakarų Europoje tampa matematikos sąvokų naudojimas apibūdinant judėjimą. Tokiu būdu atsiranda diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 19 amžiuje savo pozicijas matematikoje susigrąžino dedukcinis samprotavimas. Matematinė struktūra tapo pagrindu kuriant naują skaičiaus sampratą. Tai tik kelios šiuolaikinės akademinės matematikos atsiradimo ir vystymosi detalės. Samprotavimu grindžiama matematika niekada nebuvo pažįstama plačiajai visuomenei. Visais laikais svarbią vietą visuomenėje užėmė praktinei veiklai skirta matematika. Jos pagrindiniais bruožais yra gebėjimas naudotis taisyklėmis ir procedūromis nebandant jų aiškinti ir suprasti. Nuo seniausių laikų tokia matematika buvo perduodama iš kartos į kartą įvairaus tipo mokyklose. Šis analizės įvadas yra bandymas paaiškinti samprotavimu grindžiamą matematiką. Matematikos kalba Matematikos kalba yra visuma priemonių kuriomis išreiškiamos matematikos žinios. Šią visumą sudaro tam tikru būdu naudojama kasdieninė kalba, speciali teksto dėstymo forma ir matematikos terminai bei simboliai. Matematikos tekstui būdingas teiginių skaidymas į grupes, vadinant jas tokiais vardais, kaip apibrėžtis, teorema, įrodymas. Matematikos tekste nuolat sutinkamos specifinės frazės tada ir tik tada, būtinos ir pakankamos sąlygos, kaip norimai mažas ir panašiai. Matematikos kalboje vartojami ir kasdieninės kalbos žodžiai bei frazės. Pavyzdžiui, žodis kintamasis" kasdieninėje kalboje reiškia kintantį arba judantį daiktą. Matematinėje analizėje kintamasis" yra simbolis reiškiantis kurios nors aibės bet kurį elementą. Žodis teiginys" suprantamas kaip toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Žodžiams aibė", simbolis", objektas", sąvoka", yra", egzistuoja" ir kitiems suteikiama specifinė reikšmė naudojama tik matematikoje. Tai tik išoriniai matematikos kalbos ypatingi bruožai. Jų prasmė aiškinama toliau šiame įvade. Pagrindinis matematikos kalbos tikslas maksimalus aiškumas, siekiant žodžių ir teiginių vienareikšmiškumo ir samprotavimų loginio pagrįstumo. Objektas ir sąvoka matematikoje Paprastai objektu vadinama tai į ką nukreipta mūsų pažintinė veikla. Taigi, objektu gali būti bet kas, kas gali būti

2.1 Matematika ir jos kalba 7 patiriama juslėmis arba įsivaizduojama. Tačiau tai, kas patiriama juslėmis nėra matematikos objektais. Taip pat, ne kiekvienas įsivaizduojamas objektas yra matematinis, pavyzdžiui, pegasas. Apytikris suvokimas, kas yra matematikos objektas yra svarbus todėl, kad matematikos teiginiai galioja tik matematikos objektams. Klausimas, kas yra matematikos objektas kyla ir matematikos taikymuose fizikoje ar ekonomikoje. Pagrindiniai matematikos objektai apibrėžiami aksiomomis. Ne visai tiksliai kalbant, matematinių objektų rinkinys vadinamas aibe, jei jis taip pat yra matematinis objektas. Ne visai tiksliai, nes neturime tikslaus matematinio objekto apibrėžimo. Tiksliau aibė taip pat apibrėžiama aksiomomis nurodant jos sudarymo būdus. Pradedama nuo aibės, kuri neturi elementų; tokia aibė vadinama tuščiąja. Bet kuris matematinių objektų baigtinis rinkinys yra aibė. Begalinis rinkinys yra aibė, jei jis gaunamas vienu iš aksiomomis nurodytu būdu kuriuos aptariame 5.1 skyriuje. Svarbiausiais begalinių aibių pavyzdžiais yra natūraliųjų skaičių aibė N = {0, 1, 2,... } ir realiųjų skaičių aibė R. Kiti matematikos objektai gaunami vienu ar kitu būdu naudojant aibes. Apie bet kuriuos du matematikos objektus visada galima pasakyti ar jie yra lygūs ar ne. Bent jau iš principo; kai kuriais atvejais tai gali būti sunku. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknys yra matematinis objektas, kuris lygus tam tikrai skaičių aibei (gal būt tuščiai aibei). Vidurinėje mokykloje parodoma, kaip nustatyti lygybę tarp konkrečios kvadratinės lygties šaknų ir tam tikros skaičių aibės. Šiame kurse nagrinėjamas matematinis objektas funkcijos integralas yra kitas matematikos objekto pavyzdys. Pagal apibrėžimą, integralas yra tam tikras skaičius. To skaičiaus radimas taip pat yra dviejų matematikos objektų - integralo ir skaičiaus - lygybės nustatymas. Taip pat teisinga tai, kad integralas nėra lygus jokiam kitam matematikos objektui išskyrus skaičiui. Ši matematikos objektų lygybės ar nelygybės nustatymo galimybė yra vienas iš pagrindinių matematikos objekto požymių. Be kita ko, minėti pavyzdžiai rodo, kad didelė matematinės veiklos dalis yra bandymai nustatyti ar konkretūs matematikos objektai yra lygūs. Kitas matematikos objektų požymis yra jų kvantifikavimo (angl. quantification) galimumas. Bendrinėje kalboje kvantifikavimas yra tokia kalbos konstrukcija, kuri įgalina išreikšti individų su nurodytais požymiais kiekį. Paprastai kvantifikavimas išreiškiamas naudojant specialius žodelius, vadinamus kvantoriais (angl. quantifiers): kiekvienas, visi, kai kurie, daug, keletas, pusė, du ir t.t. Sunkumai su kvantifikavimu atsiranda tada, kai norima apibūdinti be galo daug individų, turinčių tam tikras savybes. Matematinėje analizėje dažniausiai nagrinėjami objektai sudaro begalinį rinkinį. Pavyzdžiui, nagrinėjamos visos funkcijos, kurios vaizduoja realiujų skaičių aibę R į savę pačią. Tokiais atve-

8 2 skyrius. Matematinis samprotavimas jais kvantifikavimą iliustruojanti kalbinė konstrukcija yra: tarkime, kad funkcija f : R R yra tolydi. Šia fraze norima pasakyti, kad nagrinėjamas rinkinys visų tų funkcijų f : R R, kurios yra tolydžios. Toks rinkinys yra vienareikšmiškai apibrėžtas, kai aišku, kas yra tolydžioji funkcija. Šiuo atveju reikalinga vienareikšmiška tolydžiosios funkcijos samprata. Matematikos objektų savybių deriniai sudaro tai, kas vadinama matematikos sąvoka. Pavyzdžiui, funkcijos tolydumo savybė apibrėžia tolydžiosios funkcijos sąvoką. Jei matematikos objektas turi visas sąvokos apibūdinime išvardintas savybes, tai sakysime, kad objektas atitinka sąvoką. Pavyzdžiui, sinuso funkcija atitinka tolydžiosios funkcijos f : R R sąvoką. Rinkinys objektų, turinčių sąvokos apibūdinime išvardintas savybes, vadinamas sąvokos ekstensija - tai sąvokos apimtis. Sąvoką apibūdinančių savybių derinys vadinamas sąvokos intensija - tai sąvokos turinys. Matematikos sąvokos intensija paprastai išreiškiama apibrėžtimi. Pavyzdžiui, pirminio skaičiaus sąvoka apibrėžiama taip: 2.1 apibrėžtis. Tegul n yra natūralusis skaičius didesnis už 1. Sakoma, kad n yra pirminis skaičius, jei n dalosi tik iš 1 ir savęs. Šioje apibrėžtyje frazė dalosi tik iš 1 ir savęs yra pirminio skaičiaus sąvokos intensija. Šiuo atveju nesudėtinga patikrinti, kad yra matematikos objektų atitinkančių pirminio skaičiaus sąvoką. Pirminio skaičiaus sąvokos ekstensija yra natūraliųjų skaičių rinkinys 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Sakome, kad apibrėžtis yra korektiška, jei egzistuoja bent vienas objektas su apibrėžties intensijoje nurodytomis visomis savybėmis. Žodis egzistuoja matematikos kalboje reiškia esti tarp matematikos objektų. Todėl vietoje egzistuoja kartais sakome galima rasti". Matematikos sąvokai būdinga tai, kad vienareikšmiškai galima pasakyti ar matematikos objektas atitinka sąvoką. Kasdieniniame gyvenime sąvoka paprastai nėra vienareikšmiškai apibūdinama. Pavyzdžiui, pilies sąvoka enciklopedijoje taip apibūdinama: uždaras gynybinių įrenginių bei gyvenamųjų, ūkinio, kulto ir kt. pastatų kompleksas. Gedimino pilis yra objektas atitinkantis pilies sąvoką. Tačiau apie daugelį objektų Vilniuje ir jo apylinkėse būtų sunku vienareikšmiškai tvirtinti ar tai yra pilis, ar ne. Tuo labiau rinkinys: visos Vilniaus rajono pilys turinčios raudoną stogą, nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Kaip ir realiems daiktams, matematikos objektams yra suteikiami vardai. Tačiau matematikoje vardas suteikiamas tik tokiam objektui, kuris yra vienintelis. Pavyzdžiui, skaičiui (??) yra suteikiamas funkcijos ribos vardas ir žymėjimas lim x a f(x) tik po to, kai įrodomas skaičiaus c su nurodyta savybe vienatis tais atvejais, kai bent vienas toks skaičius egzistuoja. Bendrinėje kalboje tokios taisyklės nesilaikoma; jei du žmonės turi tą patį vardą, tai iš to nedaroma išvada,

2.1 Matematika ir jos kalba 9 kad tai yra tas pats žmogus. Taigi antrasis svarbus matematikos objektų požymis yra tai, kad jie yra vienareikšmiškai apibūdinami savo savybėmis, o matematikos objektų tyrimas yra jų savybių tyrimas. Viena iš matematinės veiklos krypčių yra matematikos objektų savybių klasifikavimas. Galima toliau vardinti visiems matematikos objektams būdingas savybes. Pavyzdžiui, matematikos objektai nesikeičia kintant laikui, jie nepriklauso nuo vietos erdvėje ir nesąveikauja tarpusavyje. Matematikos objektų suvokimas yra atkartojamas; skirtingi matematikai sutaria dėl konkrečių objektų apibūdinimų ir iš jų išplaukiančių savybių. Šios savybės rodo, kad matematikos objektai yra abstraktūs objektai, bet ne kiekvienas abstraktus objektas yra matematinis. Kalbos požiūriu su matematikos objektais elgiamasi taip pat, kaip su fiziniais objektais. Pavyzdžiui, kalbos požiūriu frazė skaičius 3 yra nelyginis skaičius nesiskiria nuo frazės Gedimino pilis yra mūrinė pilis. Tai rodo, kad apie matematikos objektus kalbama taip, lyg jie būtų realūs objektai. Be to, kaip ir realūs objektai, matematikos objektai turi savybes. Klausimas, kas iš tikro yra matematikos objektai ir kokia jų prigimtis, yra matematikos filosofijos klausimas. Matematikos kalbos tikslumas Pagrindinis matematikos kalbos tikslas yra siekis padaryti matematikos teiginius maksimaliai tiksliais ir aiškiais. Tikslumas čia reiškia loginį griežtumą ir sąvokų vienareikšmiškumą. Kasdieninei ar literatūrinei kalbai būdingas daugiaprasmiškumas yra nepriimtinas matematikoje. Kokio tikslumo ir aiškumo siekiama, iliustruosime tokiais sakinių pavyzdžiais: (1) du plius du yra keturi; (2) du yra mažiau už keturis; (3) du yra pirminis skaičius. Kiekviename iš šių trijų sakinių žodis yra vartojamas skirtingomis prasmėmis. Pirmajame iš jų yra reiškia, kad du objektai du plius du ir keturi yra lygūs, ir todėl žodis yra galėtų būti pakeistas žodžiu lygu. Panašia prasme žodis yra vartojamas kasdieninėje kalboje kai sakome, kad Vilnius yra Lietuvos sostinė. Antrajame sakinyje žodis yra turi kitą prasmę. Frazė mažiau už keturis yra skaičių savybė, kurią kiekvienas skaičius gali turėti arba ne. Antrasis sakinys teigia, kad skaičius du turi šią savybę. Panašia prasme kasdieninėje kalboje sakome, kad dangus yra mėlynas. Galiausiai trečiajame sakinyje žodis yra reiškia, kad skaičius du yra nurodytų objektų, pirminių skaičių, rinkinio pavyzdys. Panašiai sakome, kad žemė yra planeta.

10 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Vartojant matematikos kalbą sakiniai (1), (2) ir (3) formuluojami taip, kad minėti žodžio yra skirtumai aiškiai matyti: (1 ) 2 + 2 = 4; (2 ) 2 < 4; (3 ) 2 priklauso pirminių skaičių aibei. Pastarajame sakinyje panaudojome žodį aibė, kuris matematikoje reiškia sąvoką su jai priskirta konkrečia prasme, toliau aiškinama 3.1 ir 5.1 skyreliuose. Jei vietoje žodžio aibė vartotume žodžius rinkinys ar šeima, tai tuo atveju visas sakinys turėtų skirtingą prasmę matematikos kalboje. Greta aibės sąvokos, frazė priklauso aibei taip pat yra svarbi matematikoje; ji reiškia, kad objektas yra aibės elementas, ir tam naudojamas simbolinis žymėjimas. Taigi, trečiasis sakinys matematikos kalboje reiškiamas taip: (3 ) 2 P, čia P yra pirminių skaičių aibė. Taigi matome, kad sakiniuose (1), (2) ir (3) vartotas kasdieninės kalbos žodis yra matematikos kalboje pakeičiamas trimis skirtingais žodžiais ar simboliais =, < ir, atitinkamai. Kintamieji ir pastovūs dydžiai Kintamasis dydis, arba tiesiog kintamasis, yra raidė arba simbolis, pavyzdžiui x, kuriuo žymimas bet kuris objektas iš kurios nors aibės. Aibė, kuriai priklauso kintamasis, vadinama jo reikšmių sritimi. Ši kintamojo prasmė panaši į tą, kuri kasdieninėje kalboje suteikiama žodeliui jis", kai nurodoma į bet kurį vyrą, gal būt priklausantį kuriai nors grupei. Matematinėje analizėje ir logikoje kintamieji būna dviejų rūšių: apriboti kintamieji ir laisvi kintamieji. Kintamasis yra apribotas, jei nėra prasmės vietoje jo įstatyti konkretų objektą iš kintamojo kitimo srities. Šiuose pavyzdžiuose kintamasis x yra apribotas: 1 {x R: x > 3}, lim x = 3, x 3 dx. x 9 Tuo atveju, kai vietoje kintamojo įstatant konkretų objektą iš kitimo srities atsiranda nauja prasmė, tai kintamasis vadinamas laisvuoju. Šiuose pavyzdžiuose atitinkamoje kitimo srityje kintamasis y yra laisvasis: 0 y {x R: x > 3}, x y lim x = y, y 0 x 3 dx.

2.1 Matematika ir jos kalba 11 Pastovusis dydis, arba fiksuotas dydis, yra raidė arba simbolis, pavyzdžiui a, kuriuo žymimas lygiai vienas objektas iš kurios nors aibės. Pavyzdžiui, jei a ir b yra du fiksuoti realieji skaičiai, tai uždarasis intervalas [a, b] yra aibė {x R: a x b}. Šiame pavyzdyje kintamasis x yra bet kuris realusis skaičius nemažesnis už a ir nedidesnis už b. Taigi, uždarasis intervalas [a, b] yra kintamojo x reikšmių sritis, o intervalo galai yra fiksuoti dydžiai. Pastovūs dydžiai, kurių reikšmės nesikeičia jokiomis aplinkybėmis, vadinami konstantomis. Konstantomis yra skaičiai 0 (nulis), 1 (vienas), π (apskritimo ilgio ir skersmens santykis), e (Eulerio skaičius) ir panašiai. Šios sąvokos naudojamos mokyklinės matematikos kurse. Tačiau jų prasmė paprastai neaiškinama ir neretai suprantama klaidingai. Kintamuoju kartais vadinamas ir suprantamas dydis, kuris kinta". Pavyzdžiui, kalbant apie funkciją y = f(x), sakoma 3, kad jos reikšmės intervale [a; a + x] kinta vidutiniu greičiu v [a;a+ x] [a; a + x]", o kitimo greitis taške x = a yra y v a = lim x 0 (a)". Kintamojo, kaip dydžio, kuris kinta" samprata buvo x paplitusi 18-19 amžiaus matematikoje (Lietuvoje ir tarpukario laikotarpiu). Ši kintamojo dydžio samprata pasikeitė matematikoje pradėjus remtis aibių teorija. Šie pavyzdžiai rodo, kad matematikos kalbos žodžių reikšmės gali skirtis nuo tų pačių žodžių reikšmių kasdieninėje kalboje. Be to, matematikos kalbos žodžiai turi svarbų vienareikšmiškumo bruožą. Jis yra būtinas tam, kad tiksliai apibrėžti abstraktų objektą, kurio neįmanoma kaip nors nurodyti realiame pasaulyje. Labai svarbiu matemaikos metodu yra sąvokos naujų savybių nustatymas, jas logiškai išvedant iš apibrėžimuose nurodytų savybių ir anksčiau nustatytų savybių. = y x Reiškinys Reiškiniu vadinama matematinė frazė 4, sudaryta iš skaičių, kintamųjų, aritmetinių operacijų ir kitų matematinių objektų. Pavyzdžiui, 2x + 5 yra reiškinys. Reiškinys nėra nei teisingas, nei klaidingas. Tačiau reiškinys yra matematinis objektas. Jei reiškinyje 2x + 5 kintamojo x reikšmės yra realieji skaičiai, tai pats reiškinys yra realusis skaičius. Taigi, reiškinys turi reikšmę. Konkretus skaičius taip pat yra reiškinys. Matematinis reiškinys yra šnekamosios kalbos santrauka. reiškinys lietuviška frazė x + 8 skaičius plius aštuonis x/2 skaičiaus pusė 3 Matematika Tau + 4 Frazė yra sakinio fragmentas. Sakinys išreiškia užbaigtą mintį.

12 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Tačiau 2x + 5 = 0 yra lygtis, o ne reiškinys. Lygtis yra sakinys, kuriuo pasakoma, kad du reiškiniai yra lygūs. Tuo tarp 2x + 5 > 0 yra nelygybė, kuria lyginami du reiškiniai. Lygybė Lygybė yra sąryšis tarp matematinių objektų priklausančių tai pačiai klasei, žymimas simboliu =. Pavyzdžiui sąryšis tarp dviejų aibių, dviejų skaičių, dviejų vektorių, dviejų funkcijų, dviejų matricų ir t.t. Kiekvienu iš atvejų lygybė tarp to paties tipo matematinių objektų yra apibrėžiama. Pavyzdžiui, aibių lygybė formuluojama 3.1 apibrėžtimi, o funkcijų lygybė formuluojama 3.35 apibrėžtimi. Visais minėtais atvejais lygybės apibrėžimai turi toliau formuluojama bendras logines savybes. 2.2 apibrėžtis. Teiginiai L1, L2, L3 ir L4 vadinami bendromis lygybės savybėmis: L1 su bet kuriuo objektu a, teisinga a = a (refleksyvumas); L2 su bet kuriais dviem objektais a ir b, jei a = b, tai b = a (simetriškumas); L3 su bet kuriais trim objektais a, b ir c, jei a = b ir b = c, tai a = c (tranzityvumas); L4 su bet kuriais dviem kurio nors tipo objektais a ir b, jei a = b, tai S(a) = S(b) visoms to tipo objektų aibėje apibrėžtoms funkcijoms, operacijoms ar savybėms S (pakeičiamumas). L4 aksioma, vadinama keitimo aksioma, iliustruojama lygybe tarp skaičių reiškia: jei x ir y yra tokie skaičiai, kad x = y, tai 3x = 3y, cos x = cos y, ir x + z = y + z su kiekvienu skaičiumi z. Keletas kitų lygybės naudojimo pavyzdžių. Pirma. To paties matematinio objekto skirtingų vardų (!) lygybei. Pavyzdžiui, teiginys 3 + 2 = 1 + 4 reiškia, kad išraiškos 3 + 2 ir 1 + 4 yra to paties skaičiaus vardai. Ši lygybės simbolio reikšmė yra pagrindinė. Antra. Kita reikšmė simboliui = suteikiama vartojant jį lygtyse. Pavyzdžiui, rašant x 2 + 1 = 0 siūloma rasti tokią kintamojo x reikšmę, kad galiotų lygybė. Trečia. Simbolis = vartojamas kelių išraiškų tapatybei žymėti. Pavyzdžiui, (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 galioja visoms kintamojo x reikšmėms iš realiųjų skaičių aibės. Ketvirta. Taip pat simbolis = vartojamas norint apibrėžti naują vardą. Pavyzdžiui, rašant n! = 1 2... n, kairiajai lygybės pusei suteikiama dešiniosios pusės reikšmė. Šiai lygybės reikšmei vadovėlyje naudojamas toks žymėjimas: B := A, arba A =: B,

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 13 kur objektui vardu A suteikiamas kitas vardas B. Pagal šį susitarimą, minėtas pavyzdys įgyja tokią formą: n! := 1 2... n. 2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas Samprotavimas matematikoje yra matematinių objektų savybių ir dėsningumų tyrimas. Toks tyrimas dažniausiai vyksta pasitelkiant spėjimą, vaizduotę ir intuiciją. Mintyse idealius matematinius objektus įmanoma įsivaizduoti tik apytikriai. Samprotavimo pagrindimui naudojamos loginio išvedimo taisyklės. Logika ne tik padeda išvengti klaidų, bet ir suteikia naujų efektyvių mąstymo priemonių. Preliminarus, tikėtinas ir nebūtinai loginio išvedimo taisyklių besilaikantis samprotavimas sprendžiant problemą vadinamas euristiniu. Toks samprotavimas neturi griežtų taisyklių, kuriomis vadovaujantis garantuojamas problemos sprendimas. Euristinis samprotavimas yra procesas, kuriuo, siekiant supratimo, vaizdumo ir paprastumo, išskiriamos ir nagrinėjamos esminės tiriamų objektų savybės. Toks samprotavimas negarantuoja, kad išskirtos savybės tikrai atspindi tiriamos problemos esmę ir duoda teisingą rezultatą. Loginis arba dedukcinis samprotavimas yra nuoseklus mąstymo procesas, kuriuo nuo prielaidų einama prie išvadų kiekviename žingsnyje taikant loginio išvedimo taisykles. Toks samprotavimas garantuoja, kad esant teisingoms prielaidoms išvados visada teisingos. Svarbiausia matematinio samprotavimo dalis yra pirmoji - euristinė, kai dar nežinoma, kuriuo keliu reikia pasukti. Loginis samprotavimas yra paskutinė problemos sprendimo dalis; ji padeda išvengti klaidų ir pagrindžia problemos sprendimą. Matematikai būdingas samprotavimas turi šiuos specifinius bruožus: kiekviena sąvoka yra apibrėžiama; kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma; kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu; kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi; matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

14 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės. Toliau šiame skyrelyje taikysime euristinį ir loginį samprotavimą lyginių ir nelyginių skaičių savybių tyrimui. Euristinis samprotavimas Šioje dalyje naudojamos tik elementarios žinios apie aibes, bei pažintis su natūraliųjų skaičių aibe ir tokių skaičių suma. Samprotavimus iliustruojame teiginiais apie lyginius ir nelyginius skaičius. 2.3 teorema. Nelyginių natūraliųjų skaičių suma yra lyginis natūralusis skaičius. Prisiminkime, nelyginiai natūralieji skaičiai yra 1,3,5,7,9,11,..., o lyginiai natūralieji skaičiai yra 0,2,4,6,8,10,12,... Sudėdami nelyginius skaičius, pavyzdžiui, 1 + 3 = 4, 3 + 5 = 8 ir t.t., gauname lyginį skaičių. Ar toks samprotavimas nuosekliai tikrinant teiginį visais galimais atvejais pagrindžia 2.3 teoremą? Kiek tikrinimų reikia atlikti, kad būtume tikri 2.3 teoremos teisingumu? Yra teiginių apie natūraliuosius skaičius, kurių teisingumui patikrinti nuosekliuoju būdu reikia daug ištvermės. Pavyzdžiui, ar teisingas teiginys: Egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kad 1 + 1141n 2 yra pilnas kvadratas" Pasirodo teiginys teisingas. Bet pirmoji n reikšmė, su kuria 1+1141n 2 yra pilnas kvadratas (= k 2 su kuriuo nors natūraliuoju k), yra 5 n = 30, 693, 385, 322, 765, 657, 197, 397, 208. Visiems mažesniems n reiškinys 1 + 1141n 2 nėra pilnas kvadratas. Bandydami patikrinti teiginį nuosekliu skaičiavimu užtruktume ilgai. Esant begaliniam galimų atvejų skaičiui, nuoseklaus tikrinimo strategija gali neturėti pabaigos. Kita vertus, net jei pavyktų skaičiuojant sužinoti atsakymą, nebūtinai sugebėtume pagrįsti jo teisingumą. Matematikoje svarbus ne atsakymo žinojimas, bet gebėjimas jį pagrįsti. Neretai pagrindimas gali paaiškinti faktą. Grįžtant prie 2.3 teoremos, iš pradžių reikia įsitikinti ar teiginio formulavimas yra aiškus. Pavyzdžiui, ar joje kalbama apie visas galimas nelyginių skaičių poras? Taip, bet tuo galima ir abejoti. Pavyzdžiui, frazę Užėjus lietaus debesims, pradeda lyti" galima suprasti dvejopai. Papildydami frazę žodžiais paprastai" arba visada" gauname dvi skirtingas frazes. Apie pirmąją pasakytume, kad ji teisinga, o apie antrąją pasakytume, kad ji neteisinga. Patikslinsime 2.3 teoremos formulavimą. 5 P.J. Davis. Are there coincidences in mathematics? The American Mathematical Monthly, 1981, vol. 88, No. 5, 311-320.

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 15 2.4 teorema. Bet kurių dviejų nelyginių natūraliųjų skaičių suma yra lyginis natūralusis skaičius. Tačiau siekiant lakoniškumo, iš dviejų galimų variantų, 2.3 ar 2.4 teorema, neretai pasirenkamas pirmasis. Mes taip pat dažniausiai siekiame lakoniškumo. Tarkime žinome, kad natūraliųjų skaičių yra be galo daug ir kiekvienas jų yra lyginis arba nelyginis. Jei nelyginių natūraliųjų skaičių yra be galo daug, tai ir skirtingų jų porų yra be galo daug. Norėdami patikrinti teoremos teisingumą tiesiogiai, turėtume atlikti be galo daug sumavimo operacijų. Tai yra neįmanoma. Tenka sutikti, kad joks baigtinis skaičius pavyzdžių nepagrindžia 2.4 teoremos. Dauguma matematikos teoremų yra apie begalinę aibę objektų, teigiant, kad visi jos elementai turi tam tikrą savybę. Norint pagrįsti tokią teoremą yra būtina tiksli nagrinėjamos savybės apibrėžtis. Mūsų atveju turime remtis lyginių ir nelyginių natūraliųjų skaičių apibrėžtimi ir natūraliųjų skaičių sumos apibrėžtimi. Kai kuriais atvejais, siekiant supaprastinti problemą, pasirenkama supaprastinta objekto apibrėžtis. Tą darysime nagrinėjamu atveju. Priminsime, kad natūralusis skaičius 6 yra baigtinės aibės elementų kiekis. Elementų neturinčią aibę taip pat laikome baigtine ir vadiname tuščiąja aibe. Tada nulis, žymimas 0, yra tuščiosios aibės elementų kiekis. Vienas, žymimas 1, yra aibės {0} elementų kiekis ir 0 < 1 (nulis mažiau už vieną). Du, žymimas 2, yra aibės {0, 1} elementų kiekis ir 1 < 2 (vienas mažiau už du). Tokiu būdu kiekvienas, nelygus nuliui, natūralusis skaičius yra visų mažesnių už jį natūraliųjų skaičių aibės kiekis. Natūraliųjų skaičių yra be galo daug, nes bet kuriam natūraliajam skaičiui n galime nurodyti kitą už jį didesnį, kuris yra aibės {0, 1,..., n} elementų kiekis. Atkreipsime dėmesį, kad nulį vadiname natūraliuoju skaičiumi. Visus natūraliuosius skaičius be nulio vadiname teigiamais natūraliaisiais skaičiais. Natūralųjį skaičių atstovauja ne tik speciali visų už jį mažesnių skaičių aibė. Sakoma, kad aibės X ir Y yra ekvivalenčios, jei tarp jų egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis, suporuojanti visus abiejų aibių elementus 7. Aibė X turi n elementų jei ji ekvivalenti aibei visų mažesnių už n skaičių aibei. Taigi, bet kurios dvi ekvivalenčios aibės turi tą patį elementų skaičių. Pavyzdžiui, aibės {0, 1, 2, 3, 4} ir {1, 2, 3, 4, 5} yra ekvivalenčios ir abi turi 5 elementus. Skaičių n ir m suma, žymima n + m, vadinamas toks natūralusis skaičius, kuris yra X ir Y aibių sąjungos elementų kiekis, kai X aibė turi n elementų, Y turi m elementų ir abi aibės neturi bendrų elementų. 6 Pilna šios sąvokos apibrėžtis yra 4.6, žemiau 7 Pilna šios sąvokos apibrėžtis yra 3.33, žemiau, funkcijoms skirtame skyrelyje.

16 2 skyrius. Matematinis samprotavimas 2.5 apibrėžtis. Teigiamas natūralusis skaičius n vadinamas lyginiu, jei, iš eilės poruojant aibės {1, 2,..., n} elementus, laisvų nelieka. Jei, atliekant tą pačią procedūrą, lieka vienas laisvas elementas, tai teigiamas natūralusis skaičius n vadinamas nelyginiu Pavyzdžiui, skaičius 6 yra lyginis, nes aibės {1, 2, 3, 4, 5, 6} elementus iš eilės poruojant laisvų elementų nelieka: {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}. Tuo tarpu skaičius 7 yra nelyginis,nes aibės {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} elementus iš eilės poruojant lieka vienas laisvas elementas 7. Lyginiams ir nelyginiams skaičiams galima priskirti juos vaizduojančias lenteles: 1 3 5 2 4 6 1 3 5 7 2 4 6 Šios lentelės turi charakteringą formą. Lyginį skaičių atitinkanti lentelė sudaryta iš dviejų viena ant kitos gulinčių vienodo ilgio juostelių. Tuo tarpu nelyginį skaičių atitinkanti lentelė yra sudaryta iš dviejų viena ant kitos gulinčių skirtingo ilgio juostelių (viena jų yra vienu langeliu ilgesnė). Sakysime, kad tokia lentelė turi vieną laisvą langelį. Norėdami pagrįsti 2.3 teoremą samprotaujame skaičius vaizduodami juos atitinkančiomis suporuotų skaičių lentelėmis. Taigi, turime dvi nelyginius skaičius vaizduojančias lenteles. Abi jos turi laisvus langelius. Jas jungiame taip, kad abu laisvi langeliai jungtųsi sudarydami porą. Gauname vieną lentelę, kurioje nėra laisvų langelių. Tai rodo, kad sumą atitinkantis skaičius vaizduojamas lentele būdinga lyginiams skaičiams. Samprotavimą iliustruoja paveiksliukas Nelyginių skaičių suma". Euristiškai pagrindėme šią teoremą. 2.6 teorema. Tegul u ir v yra natūralieji nelyginiai skaičiai. Tada suma u + v yra natūralusis lyginis skaičius. Pagrindimas remiasi mintiniu eksperimentu (thought experiment), kuriuo įsivaizduojame dvi aibes ir jų sąjungą. Sudėtingesniais atvejais toks samprotavimo būdas matematikoje nėra patikimas. Bet paprastai naudojamas kaip preliminarus euristinis tyrimas. Kitas šio samprotavimo trūkumas yra tas, kad jis netinka neigiamiems skaičiams. Antrame šio skyrelio pavyzdyje samprotaujama naudojant matematinius simbolius. 2.4 skyrelyje parodysime, kad 2.6 ir 2.4 teoremos yra ekvivalenčios logine prasme. Kas intuityviai atrodo akivaizdu. Šiai intuicijai bus suteikta loginio išvedimo taisyklės forma. Pratęsime įterpdami loginio pobūdžio aiškinimą.

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 17 2.1 pav.. Nelyginių skaičių suma Implikacija ir ekvivalencija Performuluosime 2.6 teoremą naudodami loginio samprotavimo taisykles. Frazę u ir v yra natūralieji nelyginiai skaičiai" pažymėkime raide S, o frazę suma u + v yra natūralusis lyginis skaičius" pažymėkime raide T. Tada 2.6 teoremos teiginiai atrodo taip: Tegul (teisinga) S. Tada (teisinga) T. (2.1) S yra teoremos prielaida, o T yra teoremos išvada. Teorema teisinga, kai teisingas T esant teisingam S. Šnekamojoje kalboje naudojamas panašus pagal prasmę sakinys: Jei (teisinga) S, tai (teisinga) T. (2.2) Šiam sakiniui suteiksime tokias teisingumo ir klaidingumo reikšmes, kokios jam suteikiamos logikoje. Čia ir toliau sakinio teisingumą ir klaidingumą traktuojame kaip funkciją, kuri sakiniui priskiria dvi reikšmes: teisingas ir klaidingas. Po to, parodysime, kad (2.1) ir (2.2) yra arba abu teisingi, arba abu klaidingi. Prasmingas deklaratyvus sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas, logikoje vadinamas teiginiu. Teiginius žymėsime simboliais, paprastai didžiosiomis raidėmis, ir vadinsime juos loginiais kintamaisiais. 2.7 apibrėžtis. Tegul A ir B yra teiginiai. (Materialia) implikacija vadinamas sakinys jei A, tai B", žymimas A B", (2.3)

18 2 skyrius. Matematinis samprotavimas kuris yra klaidingas, jei A teisingas ir B klaidingas. Visais kitais atvejais (2.3) yra teisingas; būtent, (2.3) teisingas, kai (1) A teisingas ir B teisingas; (2) A klaidingas ir B teisingas (3) A klaidingas ir B klaidingas. Jei implikacija A B teisinga visada, tai sakoma, kad iš A išplaukia B, o implikacija vadinama logine išvada ir žymima A B. Raidės A ir B šioje apibrėžtyje yra loginiai kintamieji. Vietoje kintamųjų galima įstatyti bet kuriuos konkrečius teiginius, pavyzdžiui, S ir T. Kabutės..." žymi teiginio loginę formą. Kabutės(2.3) išnašoje žymi implikacijos loginę formą. Loginėje formoje vietoje kintamųjų įstatę konkrečius teiginius gauname sudėtinį teiginį. Šnekamojoje kalboje implikacija dažniausiai išreiškia priežasties-pasekmės ryšius. Materialioji implikacija šiuo atžvilgiu yra skirtinga. Būtent, (2.3) implikacijos teisingumas-klaidingumas priklauso tik nuo teiginių A ir B teisingumoklaidingumo ir niekaip nepriklauso nuo to, kaip jie siejasi tarpusavyje. Pavyzdžiui, teiginys jei n yra lyginis sveikasis skaičius, tai 2 + 2 = 4. (2.4) yra teisingas, nes teiginys 2 + 2 = 4 yra teisingas. Žinodami, kad (2.3) implikacija yra teisinga, mes negalime nieko pasakyti apie teiginio B teisingumą. Iš tikro, jei A yra klaidingas, tai B gali būti teisingas ir klaidingas, net jei pati implikacija yra teisinga. Pavyzdžiui, implikacija jei 3 yra lyginis sveikasis skaičius, tai 2 + 2 = 5 yra teisinga. Tačiau, žinant, kad (2.3) implikacija yra teisinga ir teisingas A teiginys, tai privalo būti teisingas B teiginys. Tai yra loginio išvedimo taisyklės, vadinamos Modus Ponens, savybė: jei A ir A B, tai B. (2.5) Šią loginio išvedimo taisyklę aptarsime kitame skyrelyje (2.20.(a) teorema). Dabar esame pasiruošę performuluoti 2.6 teoremą. 2.8 teorema. Jei u ir v yra natūralieji nelyginiai skaičiai, tai suma u + v yra natūralusis lyginis skaičius. Parodysime, kad ši teorema yra teisinga tada ir tik tada, kai teisinga 2.6 teorema. Tarkime, kad teisinga 2.8 teorema ir 2.6 teoremos prielaida S. Naudosime Modus Ponens išvedimo taisyklę (2.5) su S vietoje A ir T vietoje B. Pagal ją, teisingas T teiginys, t.y. teisinga 2.6 teoremos išvada.

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 19 Atvirkščiai, tarkime, kad 2.6 teorema yra teisinga. Pagal ją, esant teisingam S teiginiui, yra teisingas T teiginys. Todėl atvejis kada S teisingas, o T klaidingas yra negalimas. Remiantis implikacijos teisingumo apibrėžtimi, teisinga 2.8 teorema. Šie samprotavimai rodo, kad teorema, kurios loginė forma Tegul A. Tada B" teisinga tada ir tik tada, kai teisinga teorema, kurios loginė forma Jei A, tai B". Toliau naudojamos abi, priklausomai nuo patogumo. Ryšį tarp 2.6 teoremos ir 2.8 teoremos suformulavome naudodami frazę tada ir tik tada, kai". Tai nėra tik vaizdingas išsireiškimas. Ši frazė nurodo, kad naudojamas toliau apibrėžiamas teiginys. 2.9 apibrėžtis. Tegul A ir B yra teiginiai. Ekvivalencija vadinamas teiginys A tada ir tik tada, kai B", žymimas A B", (2.6) yra klaidingas, jei A B klaidinga arba B A klaidinga. Priešingu atveju (2.6) yra teisingas; būtent (2.6) teisingas, kai A B teisinga ir B A teisinga. Jei ekvivalencija A B teisinga visada, tai teiginiai A ir B vadinami ekvivalenčiais, o ekvivalencija vadinama ekvivalentumu ir žymima A B. Būdami visada teisingais, loginė išvada ir ekvivalentumas išreiškia loginius ryšius tarp teiginių. Kaip skeleto kaulai suteikia ir palaiko žmogaus organizmo formą, taip loginiai ryšiai formuoja matematikos žinių struktūrą. Loginiai ryšiai tarp teiginių išsamiai aptariami kituose dviejuose skyreliuose. Kol kas nagrinėsime teiginius priklausančius nuo kintamojo, turinčio atitinkamą kitimo sritį. Tokiais yra anksčiau nagrinėti teiginiai T ir S priklausantys nuo natūraliųjų skaičių aibės elementų. Parodysime, kaip loginius ryšius tarp tokių teiginių galima susieti su veiksmais tarp atitinkamų aibių. Teiginiai priklausantys nuo kintamojo Tarkime, kad teiginiai A ir B priklauso nuo kurios nors aibės U elementų, t.y. A = A(x) ir B = B(x) kiekvienam x U. Pavyzdžiui, A(x) yra teiginys x yra lyginis natūralusis skaičius", B(x) yra teiginys x 2 yra lyginis natūralusis skaičius" ir U = N. Tegul A := {x U: teisinga A(x)} ir B := {x U: teisinga B(x)}. (2.7) Atitinkamai, A ir B vadinamos teiginio A ir B teisingumo aibe, arba teiginiais A ir B apibrėžiamos aibės. Parodysime, kad loginiai ryšiai tarp A ir B teiginių išreiškiami aibių operacijomis tarp atitinkamų teisingumo aibių A ir B. Bet kurių aibių X ir Y skirtumas yra aibė, kuriai priklauso X elementai ir nepriklauso Y elementai; tokia aibė žymima X \ Y. Tada A \ B yra aibė tų x,

20 2 skyrius. Matematinis samprotavimas kuriems teisingas A(x) teiginys ir neteisingas B(x) teiginys. Pagal 2.7 apibrėžtį, implikacija A B yra { neteisinga, jei x A \ B, teisinga, jei x U \ [A \ B]. Paveikslėlyje (raudonai) paryškinta aibė A \ B, kurios elementams implikacija A B neteisinga. Visiems kitiems U aibės elementams implikacija A B yra teisinga, t.y. šie elementai sudaro implikacijos A B teisingumo aibę. 2.2 pav.. Aibė A \ B, kurioje A B neteisinga. Pagal 2.9 apibrėžtį, ekvivalencija A B yra { neteisinga, jei x A B, teisinga, jei x U \ [A B], čia X Y žymi aibių X ir Y simetrinį skirtumą. Paveikslėlyje patamsinta aibė A B, kurios elementams ekvivalencija A B neteisinga. Visiems kitiems U aibės elementams ekvivalencija A B yra teisinga, t.y. šie elementai sudaro ekvivalencijos A B teisingumo aibę. Kaip išsidėsto teiginių teisingumo aibės, kai implikacija ir ekvivalencija tarp jų yra teisingi visada? Paveikslėlis pakiša mintį, kad implikacija A B teisinga visada, kitaip tariant, iš A išplaukia B, jei teisingumo aibių skirtumas A \ B yra tuščia aibė, t.y. jei A B. Ekvivalencija A B teisinga visada, kitaip tariant, A yra ekvivalentus B, jei teisingumo aibių simetrinis skirtumas A B yra tuščia aibė. Tokiu būdu teiginiai A ir B yra ekvivalentūs tada ir tik tada, kai jų teisingumo aibės yra lygios: A = B. Nuo kintamojo priklausančių loginių teiginių siejimą su veiksmais tarp atitinkamų aibių iliustruosime pavyzdžiu. Tegul U yra natūraliųjų skaičių aibė. Su kiekvienu n U tegul A = A(n) žymi teiginį n yra lyginis natūralusis

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 21 2.3 pav.. Aibė A B, kurioje A B neteisinga. skaičius", o B = B(n) žymi teiginį n 2 yra lyginis natūralusis skaičius". Šiuos teiginius atitinkančios teisingumo aibės A ir B, apibrėžtos (2.7) sąryšiais, yra natūraliųjų skaičių aibės U poaibiai. Naudodami euristinius samprotavimus parodysime, kad A = B. Tegul n A, t.y. n yra lyginis teigiamas natūralusis skaičius. Remiantis 2.5 apibrėžtimi visus aibės {1,..., n} elementus galima iš eilės suporuoti. Kadangi n 2 = n + + n (n dėmenų), tai aibę {1,..., n 2 } sudaro n lygių poaibių, kurių visi elementai suporuoti. Gavome, kad n 2 yra lyginis, t.y. n B. Tai reiškia, kad A B. Kitaip tariant, implikacija A B teisinga visada. Parodysime, kad B A. Nesunku pastebėti, kad taip yra tada, kai (U\A) (U \ B). Tegul n (U \ A), t.y. n yra nelyginis teigiamas natūralusis skaičius. Tada iš eilės suporavus aibės {1,..., n} elementus, vienas lieka laisvas. Aibę {1,..., n 2 } sudaro n poaibių, turinčių n elementų. Suporavus kiekvieno tokio poaibio elementus, lieka po vieną laisvą elementą. Turime n laisvų elementų. Kadangi n yra nelyginis, iš eilės suporavus visus laisvuosius elementus, lieka vienas laisvas. Todėl n 2 yra nelyginis, t.y. n (U \ B). Tai reiškia, kad B A. Galutinai turime teisingumo aibių lygybę A = B. Kaip anksčiau minėta, ji reiškia, kad atitinkami teiginiai A ir B yra ekvivalentūs. Euristiškai pagrindėme teoremą. 2.10 teorema. Kiekvienam teigiamam natūraliajam skaičiui n, n yra lyginis tada ir tik tada, kai n 2 yra lyginis. Pagrįsdami šią teoremą naudojomės nesunkiai patikrinamu faktu aibėms: sąryšis B A teisingas tada ir tik tada, kai teisingas sąryšis (U \ A) (U \ B).

22 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Sukeitę B ir A vietomis, suformuluosime taip pat nesunkiai patikrinamą bendresnį faktą: A \ B = (U \ B) \ (U \ A). Kairėje aibių lygybės pusėje esantiems elementams implikacija A B neteisinga. Dešinėje tos pačios aibių lygybės pusėje esantiems elementams neteisinga implikacija ( B) ( A), čia B ir A yra teiginiai, kurių teisingumo reikšmės priešingos teiginiams B ir A, atitinkamai. Elementai, kuriems teiginiai A B ir ( B) ( A) yra teisingi, sudaro tas pačias aibes, t.y šių implikacijų teisingumo aibės yra lygios. Todėl (2.3) teiginys ekvivalentus teiginiui jei ne B, tai ne A", žymimas ( B) ( A)". (2.8) Šis faktas vadinamas kontrapozicijos taisykle. Prie šios ir kitų loginio išvedimo taisyklių grįšime kitame skyrelyje. Loginis samprotavimas Priminsime, kad tai yra matematinės problemos sprendimo loginis pagrindimas. Sprendžiant problemas susijusias su lyginiais ir nelyginiais skaičiais naudosime bendrus aritmetikos faktus. Jie sudaro sąvokinę aplinką, kurios kontekste pagrindžiamas problemos sprendimas. Jei m ir n yra natūralieji skaičiai, tai galima rasti tokius du sveikuosius skaičius a ir b, kad būtų teisinga lygybė m = a n+b. Pavyzdžiui, a = 1 ir b = m n. Dar daugiau, duotiems m ir n, tokių a ir b reikšmių galima rasti be galo daug. Tačiau neaišku ar visada, duotiems m ir n, teisinga lygybė m = a n + b, kurioje b yra neneigiamas, mažesnis už n ir vienintelis. Pateiksime dedukcinio samprotavimo pavyzdį, kuris įtikina, kad tai visada galima padaryti. Šis faktas aritmetikoje vadinamas sveikųjų skaičių dalyba su liekana. 2.11 teorema. Tarkime, kad m ir n yra sveikųjų skaičių pora, be to, n yra teigiamas. Egzistuoja tokia vienintelė sveikųjų skaičių pora d ir l, kad m = d n + l ir 0 l < n. (2.9) Pavyzdžiui, kai m = 3 ir n = 2, tai (2.9) teisinga su d = 2 ir l = 1. Kadangi sveikųjų skaičių yra be galo daug, tai norėdami patikrinti nurodytą savybę kiekvienai konkrečiai sveikųjų skaičių porai tiesiogiai, turėtume tai daryti be galo daug kartų, kas yra neįmanoma. Parodysime, kad nurodytą savybę galima tikrinti ne konkrečiai, bet laisvai pasirinktai skaičių porai. Šioje teoremoje m ir n yra pastovūs dydžiai priklausantys sveikųjų skaičių ir teigiamų sveikųjų skaičių aibėms, atitinkamai. Toliau pateiktas teoremą pagrindžiantis samprotavimas remiasi sveikųjų ir natūraliųjų skaičių savybėmis.

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 23 Įrodymas. Pagal teoremos formulavimą sveikasis skaičius m ir teigiamas sveikasis skaičius n yra bet kokie, bet fiksuoti. Reikia įrodyti du dalykus. Pirma, reikia įrodyti, kad visada galima rasti skaičių porą d ir l su (2.9) išnašoje nurodytomis savybėmis. Antra, reikia įrodyti, kad tokia skaičių pora yra vienintelė. Jei k yra kintamasis su reikšmėmis sveikųjų skaičių aibėje Z, tai kintamasis dydis f(k) := m k n įgyja be galo daug reikšmių aibėje Z. Tegul L žymi tik neneigiamų dydžių f(k) aibę, t.y. L := {f(k): k Z ir f(k) 0}. Aibė L yra netuščia. Iš tikro, kai k = m Z, remiantis modulio m apibrėžtimi (4.42) ir tuo, kad n 1, gauname f(k) = m + m n m + m = { m + m, jei m 0 m m, jei m 0 } 0. Tarp visų L aibės elementų yra mažiausias, kurį pažymėsime l. Šis faktas yra toliau įrodyta 4.26 teorema. Turint l, d bus toks k, kad f(d) = l. Reikia įrodyti, kad l < n. Šią savybę įrodysime naudodami Modus Ponens taisyklę (2.5) kai A yra teiginys l yra L aibės mažiausias elementas" ir B yra teiginys l < n". Remiantis loginio išvedimo taisykle, vadinama kontrapozicija, implikacija A B teisinga tada ir tik tada, kai teisinga implikacija B A, čia B ir A yra B ir A teiginių neiginiai, t.y. B yra teiginys "l n" ir A yra teiginys l nėra L aibės mažiausias elementas". Implikacija B A yra teisinga, kai esant teisingam B yra teisingas A. Taigi, tegul l n. Tada f(d + 1) = m (d + 1) n = (m d n) n = f(d) n = l n 0. Gavome, kad f(d+1) L. Be to, f(d+1) < f(d) = l. Taigi, l nėra mažiausias L aibės elementas, t.y. teisingas teiginys A. Tai rodo, kad teisinga implikacija B A. Remiantis kontrapozicija ir Modus Ponens, l < n. Taigi, radome skaičių porą d ir l su nurodytomis savybėmis (2.9). Liko įrodyti, kad rastoji skaičių pora d ir l yra vienintelė. Tarkime, kad d ir l yra bet kuri sveikųjų skaičių pora, kuriai galioja m = d n + l ir 0 l < n. (2.10) Parodysime, kad d = d ir l = l. Apjungę (2.9) ir (2.10), gauname d n + l = d n + l, 0 l < n ir 0 l < n. (2.11)

24 2 skyrius. Matematinis samprotavimas Pertvarkę šios išnašos lygybę, gauname naują lygybę l l = (d d ) n. Ši lygybė teisinga ne tik patiems skaičiams, bet ir jų moduliams, t.y. gauname lygybę l l = d d n. (2.12) Pertvarkę (2.11) išnašos nelygybes, gauname n < l 0 ir 0 l < n. Šių nelygybių dėka gauname naujas nelygybes: n < l l < n. Savo ruožtu, šios nelygybės išreiškiamos viena nelygybe l l < n, naudojant sveikojo skaičiaus modulio apibrėžimą (4.42) (kaip?). Tada, remiantis (2.12), turime d d n < n. Suprastinę iš n, gauname d d < 1. Bet tai yra įmanoma tik tuo atveju, kai d = d. Dar kartą panaudoję (2.12), gauname l = l. 2.11 teoremos įrodymas baigtas. 2.12 apibrėžtis. Tegul m ir n yra tokie kaip 2.11 teoremoje. Sakoma, kad m dalosi iš n su liekana, jei galima rasti tokią sveikųjų skaičių porą d ir l, kuriai teisingos (2.9) savybės. Tokiu atveju, skaičius m vadinamas daliniu, skaičius n vadinamas dalikliu, skaičius d vadinamas nepilnu dalmeniu, o l vadinamas liekana. Jei liekana l = 0, tai d vadinamas dalmeniu, sakoma, kad m dalosi iš n ir rašoma n m (arba m = 0 mod n). 2.11 teorema teigia, kad bet kuris sveikasis skaičius m dalosi iš n su liekana vieninteliu būdu. Bet ši teorema nepasako, kaip rasti nepilną dalmenį d ir liekaną l. Tam reikalui naudojamas dalybos kampu algoritmas. Jis įgalina rasti nepilną dalmenį ir liekaną kiekvieną kartą, kai duoti konkretūs dalinys ir daliklis. Pavyzdžiui, jei m = 586 ir n = 3, tai dalybos kampu algoritmas duoda skaičių porą 195 ir 1, kuriai teisinga (2.9) su d = 195 ir l = 1. Todėl, dalindami 586 iš 3, gauname, kad 195 yra nepilnas dalmuo ir liekana yra 1. Tačiau dalybos kampu algoritmas savaime negarantuoja, kad tokiu būdu gauta skaičių pora visada yra nepilnas dalmuo ir daliklis, net jei skaičiavimai atlikti be klaidų. Gali būti algoritmų, kurie atskirais atvejais duoda teisingą rezultatą, bet bendru atveju nėra teisingi. Pavyzdžiui, trupmenoje 16 prastindami šešetus skaitiklyje ir vardiklyje 64 gauname ekvivalenčią trupmeną 1, nors algoritmas klaidingas. Dalinant kampu, neįmanoma patikrinti visas galimas skaičių poras, nes jų yra be galo 4 daug.

2.2 Euristinis ir loginis samprotavimas 25 Tačiau, naudojant 2.11 teoremą, galima pagrįsti, kad dalybos kampu algoritmo rezultatu visada bus nepilnas dalmuo ir liekana. Toliau papildome 2.5 apibrėžtį natūraliesiems skaičiams, apibrėždami lyginio ir nelyginio skaičiaus sąvoką visiems sveikiesiems skaičiams. Pagal 2.11 teoremą su n = 2, kiekvienas sveikasis skaičius m dalosi iš dviejų su liekana l, lygia nuliui arba vienam. Pirmuoju atveju, kai dalosi iš dviejų, egzistuoja toks sveikasis skaičius n, kad m = 2n. Antruoju atveju, kai nesidalo iš dviejų, egzistuoja toks sveikasis skaičius n, kad m = 2n + 1. 2.13 apibrėžtis. Sveikasis skaičius vadinamas lyginiu, jei jis dalosi iš dviejų. Priešingu atveju, kai nesidalo iš dviejų, sveikasis skaičius vadinamas nelyginiu. Pagal 2.11 teoremą su n = 2, kiekvienas sveikasis skaičius yra arba lyginis, arba nelyginis. Kitaip kalbant, sveikųjų skaičių aibė suskyla į dvi nesikertančias aibes: lyginių skaičių aibę ir nelyginių skaičių aibę. Papildysime 2.6 teoremą visiems sveikiesiems skaičiams. 2.14 teorema. Tegul u ir v yra sveikieji nelyginiai skaičiai. Tada suma u + v yra sveikasis lyginis skaičius. Įrodymas. Kadangi u ir v yra sveikieji nelyginiai skaičiai, remiantis 2.13 apibrėžtimi ir 2.11 teorema, egzistuoja tokie sveikieji skaičiai k ir l, kad u = 2k + 1 ir v = 2l + 1. Tinkamai grupuodami narius sumoje u + v = (2k + 1) + (2l + 1) = 2(k + l) + 1 + 1 = 2(k + l + 1) gavome tokią jos išraišką, kuri rodo, kad u + v yra sveikasis lyginis skaičius. Pratimai Rekomenduojame 1 5 užduotis atlikti dviem atvejais. Pirma, kai skaičius" reiškia teigiamas natūralusis skaičius" ir naudojama 2.5 apibrėžtis. Antra, kai skaičius" reiškia sveikasis skaičius" ir naudojama 2.13 apibrėžtis. 1. Įrodyti, kad lyginių skaičių suma yra lyginis skaičius. 2. Įrodyti, kad nelyginių skaičių sandauga yra nelyginis skaičius. 3. Įrodyti, kad dviejų vienas po kito einančių skaičių sandauga yra lyginis skaičius. 4. Tarkime, kad p, q ir r yra skaičiai. Įrodyti, kad sandauga (p + q)(q + r)(r + p) yra lyginis skaičius. (Užduotis iš suomių valstybinio brandos egzamino)

26 2 skyrius. Matematinis samprotavimas 5. Įrodyti, kad dviejų vienas po kito einančių nelyginių skaičių suma dalosi iš 4. 6. Įrodyti, kad bet kurių, didesnių už du, dviejų pirminių skaičių suma yra lyginis skaičius. 7. Kiekvienai šios užduoties teoremai suteikti implikacijos A B formą: (a) Tarkime, kad stačiojo trikampio kraštinių ilgiai yra a, b ir c, čia c yra ilgis kraštinės esančios prieš statųjį kampą. Tada a 2 + b 2 = c 2. (b) log(xy) = log x + log y. 8. Tarkime, kad teiginiai A ir B priklauso nuo aibės U elementų, o jų teisingumo aibės apibrėžtos (2.7) sąryšiais. Lyginant teiginių teisingumo aibes parodyti, kad (a) implikacija A B ekvivalenti teiginiui ne A arba B", žymimas ( A) B"; (b) ekvivalencija A B ekvivalenti implikacijai (A B) (A B). 9. Juha bando įrodyti tokį teiginį: Jei natūralusis skaičius dalijasi iš 3, tai jis dalijasi iš 6". Jis samprotauja taip: Tarkime, kad skaičius n dalijasi iš 6. Tada egzistuoja toks skaičius k, su kuriuo n = 6 k. Bet tada n = 3 2 k. O tai reiškia, kad n dalijasi iš 3". Parodykite, kad Juha klysta. Kur yra jo samprotavimo klaida? Ką įrodo Juha samprotavimai? (Užduotis iš suomių valstybinio brandos egzamino 2017 m.) 2.3 Teiginių logikos elementai Šiame skyrelyje supažindiname su loginėmis teiginių formomis. Su dviem iš jų, implikacija ir ekvivalencija, jau susipažinome praeitame skyrelyje. Be to, parodome kaip patikrinti bet kurio sudėtingo teiginio teisingumą žinant jį sudarančių paprastųjų teiginių teisingumo reikšmes. Skyrelio gale pristatome pagrįstus argumentus. Tie patys klausimai šiek tiek sudėtingesniems teiginiams nagrinėjami kitame skyrelyje.