LIETUVOS EDUKOLOGIJOS UNIVERSITETAS UGDYMO MOKSLŲ FAKULTETAS UGDYMO PAGRINDŲ KATEDRA. Oksana Mockaitytė Rastenienė

Transcription

1 LIETUVOS EDUKOLOGIJOS UNIVERSITETAS UGDYMO MOKSLŲ FAKULTETAS UGDYMO PAGRINDŲ KATEDRA Oksana Mockaitytė Rastenienė MATEMATINIŲ SAMPROTAVIMŲ LOGINIO TIKSLUMO UGDYMAS PRADINĖSE KLASĖSE Magistro darbas (Edukologija/Pradinis ugdymas) Darbo vadovė doc. dr. Vaiva Grabauskienė VILNIUS, 2015

2 TURINYS SUMMARY... 2 ĮVADAS LOGINIO MĄSTYMO UGDYMAS KAIP PRIELAIDA SAMPROTAVIMŲ LOGINIAM TIKSLUMUI PLĖTOTI Loginio mąstymo bei samprotavimo sąvokų apibūdinimas Samprotavimų loginis tikslumas svarbiausias matematikos bruožas Loginio samprotavimo mokymas pradžios mokykloje Jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų mąstymo ypatumai Matematikos mokymo reikšmė loginiam mąstymui Taisyklės suvokimas abstraktaus mąstymo etapas Mokymo metodai padedantys pradinių klasių mokiniams pagrįsti matematinę taisyklę Pradinių klasių vadovėliuose pateikiamos matematikos taisyklės Pradinių klasių matematikos turinio loginis nuoseklumas Apibendrinimas: matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo modelis MATEMATINIŲ SAMPROTAVIMŲ LOGINIO TIKSLUMO UGDYMO MODELIO VEIKSMINGUMAS II KLASĖJE Tyrimo metodika ir etika Modelio veiksmingumo tikrinimui taikytų veiklų konstruktas Skaičių sandaros aiškinimas Aritmetika: sudėties peržengiant į kitą dešimtį aiškinimas Aritmetika: daugybos taisyklės aiškinimas Aritmetika: dalybos į lygias ir nelygias dalis bei daugybos ir dalybos ryšio aiškinimas Algebros pradmenys: tekstinių uždavinių sprendimas Algebros pradmenys: nežinomo dėmens apskaičiavimas (lygties propedeutika) Matų ir matavimo vienetų supratimas Tyrimo rezultatai Žvalgomojo tyrimo veiksmingumas Eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių matematinių pasiekimų palyginimas Ugdomojo eksperimento veiksmingumas IŠVADOS DISKUSIJA LITERATŪRA PRIEDAI

3 SUMMARY Oksana Mockaitytė-Rastenienė. Education of the logical accuracy of the mathematical reasoning in primary classes. Master s thesis. Supervisor of the thesis is Dr. Vaiva Grabauskienė. LEU Educational Framework Cathedral, The main reason why mathematical literacy of pupils is low in today s Lithuanian schools is considered to be the fact that in the content of school mathematics and its teaching there is no reasoning logical accuracy typical to mathematics directly in connection with the improper objective of mathematics education. Scientists believe that the world should not be know using mathematics, but rather know mathematics using real-world context. This should be achieved by transforming the current elementary mathematics taught in schools in such way that it should have the most important feature of mathematics- reasoning logical accuracy, which is the object of this study. This study was aimed at creating theoretical model for primary schooling age, based on topical specificity and visualization principle, and to test ir in mathematics lessons by organizing activities that encourage accurate reasoning, raising the hypothesis that a specific and visual interpretation of mathematics rules during the educational experiment will have a positive impact for mathematical literacy of pupils. The aim of the thesis: to analyze content of primary school mathematics and its rendering (evaluation) possibilities by the logical accuracy aspect of reasoning. Tasks: 1. To carry out the analysis of scientific literature relevant with the subject. 2. To analyze mathematics textbooks of 1-4 grades by the logical accuracy aspect of reasoning. 3. To perform educational experiment to develop pupil s reasoning logics (logical thinking). 4. To perform research of pupil s mathematical literacy before and after the educational experiment. Research methods: analysis of literature, textbooks, educational experiment, analysis of pupils activity results, statistical methods, graphical representation. The research revealed that in textbooks of primary grades, in spite of all their advantages and full completeness, in terms of logical reasoning accuracy aspect sometimes one of main logical reasoning features is violated- coherence, hierarchy principle, in some of them jumps between topics are notices, there is a lack of proper definitions of mathematical concepts and so on. There also could be more of practical tasks to establish the learnt rule, schemes, and interpretation of rule or some concepts could be more based on a specific activity, visual material. Exactly the last gap was tried to compensate during the educational experiment, based on principles of specification and visualization. After evaluation of pupil s mathematical literacy before and after the educational experiment, it became clear that a specific and visual explanation of mathematical rules during educational experiment had a positive impact on pupils mathematical literacy: 1) Mathematical literacy level has significantly risen of those pupils, who participated in educational experiment. 2) After the educational experiment the results of mathematical content areas were better in the tested class, especially of arithmetic, perception of number structure, statistical basics and in geometry areas. 3) The results of 2nd experimental grade test almost in all areas are higher than the results of control class pupils. Keywords: primary education, reasoning logical accuracy, logical thinking, thinking evolution, thinking peculiarities, perception of the rule, specific thinking, visual thinking, abstract thinking, mathematical literacy. 2

4 ĮVADAS Samprotavimų loginis tikslumas šiandienos ugdyme yra laikomas svarbiausiu matematikos bruožu, o jo trūkumas pagrindine mokinių žemų matematinių pasiekimų priežastimi. Vilniaus universiteto profesoriaus dr. R. Norvaišos vadovaujama darbo grupė 2012 m. pradėjo rengti Matematinio ugdymo kaitos gairių projektą, kuriame numatomi būdai mokinių matematinių pasiekimų lygiui kelti. Pagrindine mokinių žemų matematinių pasiekimų priežastimi Lietuvos mokyklose laikoma tai, kad mokyklinės matematikos turinyje ir jos mokyme nėra matematikai būdingo samprotavimų loginio tikslumo. Minėtoji pagrindinė problema samprotavimų loginio tikslumo trūkumas matematikos ugdyme, pasak mokslininkų, yra būdinga ne tik Lietuvai, bet ir kai kurioms kitoms pasaulio šalims (JAV, JK ir kt.). Tačiau problemos egzistavimo priežastys skirtingose šalyse gali būti įvairios (Matematinio ugdymo gairės, 2013). Mūsų šalyje loginio samprotavimo tikslumo problema tiesiogiai siejama su netinkamai keliamu matematikos ugdymo tikslu. Svarbiausiu matematinio ugdymo tikslu turėtų būti moksleivių supažindinimas su matematika, parodant jos svarbą realaus pasaulio pažinime. Šis tikslas yra priešingas dabar galiojančiam matematinio ugdymo tikslui,,sudaryti galimybę moksleiviams pažinti pasaulį, jį aprašyti matematiniais modeliais, naudoti matematinius modelius sprendžiant įvairių mokslo sričių praktines ir teorines problemas. Dabartinis matematinio ugdymo tikslas nenumato mokinių supažindinimo su pačia matematika. Mokslininkų nuomone, reikėtų ne pasaulį pažinti naudojant matematiką, bet pažinti matematiką naudojant realaus pasaulio kontekstą. To reikėtų siekti pertvarkant dabartinę mokyklose mokomą elementariąją matematiką taip, kad ji turėtų svarbiausią matematikos bruožą samprotavimų loginį tikslumą (Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairės, 2013). Loginio mąstymo problema aktuali ir pradinėje mokykloje, nes 6 11 metų vaikai mąsto konkrečiai (Piaget J., 2002; Gailienė D., Bulotaitė L., 1996; Zambacevičienė E.P., 2006; Žukauskienė R., 2007; Kiseliova D., Kiseliovas A., Drozd V., 2005). Be loginio samprotavimo neįmanomas matematinių gebėjimų lavinimas bei sąmoningas taisyklės išmokimas. Mokiniams reikia sudaryti situacijas, kuriose tinkama veikla padėtų rasti racionalų sprendimą. Todėl šiame darbe sprendžiama problema: Kaip ugdyti loginių samprotavimų tikslumą pradinėse klasėse? Logiškai tikslus samprotavimas reikalingas ne tik matematiniam mąstymui ugdyti, bet ir gramatinei analizei bei teksto suvokimui, realiam pasauliui pažinti ( Dagnino F. M., Ballauri M., Benigno V., Caponetto I., Pesentib E., 2013). Todėl loginio mąstymo ugdymo teoriniai pagrindai plačiai analizuojami užsienio ir Lietuvos pedagoginėje literatūroje: nagrinėjami neefektyvūs loginio pažinimo metodai ( Plečkaitis R., 2004), gilinamasi į logikos reikšmę mąstymo procesams ( Nikiforov F., 1995), tyrinėjamos mąstymo funkcijos (Fürst M., Trinksas J., 1995). Šiame darbe siekiama išanalizuoti mokslinę ir pedagoginę literatūrą loginio pagrindimo ir matematinių taisyklių pagrindimo pradinių klasių mokiniams klausimais ir sukurti teorinį modelį, kuriuo remiantis mokytojas galėtų organizuoti veiklas, skatinančias pradinių klasių mokinius logiškai tiksliai samprotauti. Tyrimo objektas: pradinių klasių mokinių loginio samprotavimo tikslumo ugdymas. Tyrimo tikslas: sukurti teorinį matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelį ir įvertinti jo veiksmingumą. Uždaviniai: 1. Atlikti su tema susijusios mokslinės metodinės literatūros analizę: Išnagrinėti loginio samprotavimo tikslumo problematiką. Detalizuoti loginių samprotavimų tikslumo vaidmenį matematikoje. Įvertinti loginio samprotavimo ugdymo pradinėse klasėse prielaidas ir galimybes. Sukurti teorinį matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelį. 2. Patikrinti samprotavimų loginio tikslumo ugdymo modelio veiksmingumą atliekant ugdomąjį eksperimentą II klasėje: 1. Sukurti modelio veiksmingumo tikrinimui taikytinų matematinių veiklų konstruktą. 3

5 2. Siekiant įvertinti modelio taikymo sudėtingumą, atlikti žvalgomąjį tyrimą viena veikla ugdant vieną mokinį. 3. Palyginti eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių pasiekimus. 4. Taikant sukurtą veiklų konstruktą, įvertinti vykdyto ugdomojo eksperimento veiksmingumą. Tyrimo metodai: Literatūros šaltinių analizė, ugdymo modeliavimas, klasikinis ugdomasis eksperimentas, nestruktūruotas stebėjimas, apklausa raštu, kokybinė ir kiekybinė duomenų analizė. Teorinis ir praktinis reikšmingumas: teoriškai pagrįstas, sukurtas ir empiriškai patikrintas matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelis. Sukurtos II klasės matematikos vadovėlius papildančios praktinį-vizualų matematinių taisyklių pagrindimą mokiniams realizuojančios veiklos. Tyrimo rezultatai gali būti taikomi ugdant pradinių klasių mokinius, sprendžiant pradinės ir pagrindinės ugdymo pakopų perimamumo problemas. Jais gali būti remiamasi rengiant pradinių klasių mokytojus. Tyrimo rezultatai aprobuoti skaitant pranešimus konferencijose: 1. Mockaitytė Oksana, Grabauskienė Vaiva. Matematinių taisyklių loginio pagrindimo pradinių klasių mokiniams modeliavimas. // Studentų mokslinė praktika. Konferencijos pranešimų santraukos, I dalis, Vilnius, 2014, p ISBN Internete: I_d.pdf 2. Mockaitytė Oksana, Grabauskienė Vaiva. Matematinio mąstymo ugdymas pradinėse klasėse // Lietuvos matematikos mokytojų asociacijos ataskaitinė-rinkiminė konferencija Geras mokymas sėkmingas mokymasis m. kovo 30 d. Internete: Darbo struktūra: darbą sudaro keturi skyriai. Pirmajame skyriuje apžvelgiama mokslinė, pedagoginė bei psichologinė literatūra: šaltinių skaičius - 87; mokslinė literatūra - 54; šaltiniai užsienio kalba 25. Antrasis skyrius skirtas ugdomajam eksperimentui ir jo rezultatams. Tyrimo rezultatai atsispindi 11 lentelių, 47 paveikslėliuose. Darbo apimtis žodžiai. Oksana Mockaitytė-Rastenienė dėkoja už Lietuvos mokslo tarybos projekto Studentų mokslinės veiklos skatinimas (VP1-3.1-ŠMM-01-V ) paramą. Projektas yra finansuojamas pagal Žmogiškųjų išteklių plėtros veiksmų programos 3 prioritetą Tyrėjų gebėjimų stiprinimas iš Europos socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos valstybės biudžeto lėšų. 4

6 1. LOGINIO MĄSTYMO UGDYMAS KAIP PRIELAIDA SAMPROTAVIMŲ LOGINIAM TIKSLUMUI PLĖTOTI Šiame skyriuje bandoma atskleisti jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų bendruosius mąstymo bei loginio samprotavimo ypatumus bei matematikos reikšmę jų ugdymui. Atsižvelgiant į tai, kad šiandienos mokykloje svarbiausiu matematikos bruožu yra laikomas samprotavimų loginis tikslumas, vedantis nuo konkretaus bei vaizdinio mąstymo iki abstraktaus sąvokinio mąstymo, paremto taisyklės suformulavimu, nemažai dėmesio skiriama ir matematinių taisyklių suvokimui bei pagrindimui Loginio mąstymo bei samprotavimo sąvokų apibūdinimas Mąstymas sudėtinga vidinė veikla, kuria žmogus, atlikdamas mintines operacijas su simboliais ir ženklais, pertvarko turimas žinias ir taip suranda kažką nauja, esminga ir reikšminga (Gučas A., 1980, p. 109). Žmogaus mąstymą nagrinėja logika. Senosios graikų kalbos žodis logikos reiškia atitinkantis protą, logikė - logika. Logika yra mokslas apie samprotavimo būdą (Plečkaitis R. 2004, p. 5-9 ) Kaip nurodoma Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokyklose gairėse (2013), matematinis mąstymas logiškai tikslus samprotavimas apie matematikos sąvokas ir gebėjimas pagrįsti bei pritaikyti taisykles. Tikslesnis matematinio mąstymo apibūdinimas remiasi matematikos sąvokų analizės rezultatais. Sąvokinės matematikos žinios gebėjimas apibūdinti matematikos sąvokas ir sąryšius tarp jų, remiantis logiškai tiksliu samprotavimu, kuris būtinas norint realiai pažinti pasaulį. Logiškai mąstyti tai mąstyti tiksliai, nuosekliai, be prieštaravimų savo samprotavimams, mokėti atskleisti logines klaidas. Logika nagrinėja mąstymo formas, išryškindama jų struktūrą. Ji tiria teiginius, taisykles ir būdus, lemiančius mąstymo teisingumą, be kurio neįmanoma gauti tikrovę atitinkančių rezultatų, neįmanoma pažinti tiesų. ( Kiseliovas A., Kiseliova D., 2008, p.71). Formaliosios logikos požiūriu, mąstymas apibūdinamas trimis pagrindinėmis formomis sąvoka, sprendimas ir samprotavimas ( Kiseliovas A., Kiseliova D., 2008, p.72). Samprotavimas teiginių grupė, kurioje vienas arba keli teiginiai (prielaidos arba premisos) pateikiami taip, kad paremtų likusį teiginį (išvadą) ( Radavičienė N.,2011, p.126). Norint samprotavimuose prieiti prie teisingų išvadų, reikia laikytis dviejų pagrindinių sąlygų (Plečkaitis R., 2004, p.13): turi būti teisingi pradiniai samprotavimo teiginiai; samprotavimo eiga turi būti logiškai taisyklinga. Samprotavimą sudaro trys dalys: prielaidos, išvada ir išvedimo taisyklė. Prielaidos yra pradiniai samprotavimo teiginiai. Išvada yra teiginys, kuris gaunamas iš prielaidų. Išvedimo taisyklė įgalina iš prielaidų padaryti išvadą (Plečkaitis R.,1978, p.48). Logiškai pagrįstas samprotavimas deduktyvus samprotavimas, turintis tokią loginę formą, pagal kurią, jeigu prielaidos teisingos, tai ir išvada teisinga (kitaip: kurio išvada logiškai būtina) (Radavičienė N., 2011, p.125). Svarbiausias matematikos bruožas yra samprotavimų loginis tikslumas. Šis bruožas reiškia (Matematinio ugdymo gairės, 2013, p.8): tikslų visų sąvokų apibrėžimą; kiekvieno teiginio teisingumas yra paaiškinamas; tarp sąvokų ir procedūrų egzistuoja loginė tvarka, vadinama hierarchine struktūra Dauguma loginių samprotavimų turi kelias svarbias savybes: Nuoseklumas visos samprotavimo teoremos negali prieštarauti viena kitai. Pagrįstumas remiantis samprotavimo įrodymo taisyklėmis, iš teisingų prielaidų niekada negali sekti neteisingos išvados. Užbaigtumas jei teorema teisinga, tai ją galima įrodyti. Loginis samprotavimas bus teisingas tik tada, kai bus pagrįstas ir naudosis prielaidomis, kurių teisingumą galima įrodyti (arba, aksiomų atveju, prielaidomis, kurios visuotinai laikomos teisingomis). 5

7 Loginio mąstymo pagrindų formavimas ir tobulinimas padeda ugdyti jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikų mąstymo kultūrą (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2008, p.13). Svarbi pradinio matematikos mokymo užduotis paprasčiausių loginių mąstymo struktūrų analizavimas ir vystymas. Mokėjimas atlikti tam tikras logines operacijas ne mažiau svarbus ir aktualus nei mokėjimas atlikti aritmetinius veiksmus Samprotavimų loginis tikslumas svarbiausias matematikos bruožas Matematika, kaip mokslas, grindžiama mąstymu. Todėl matematikos dalykui tenka išskirtinė reikšmė formuojant mokinių gebėjimus logiškai mąstyti ( Bueno O., 2005; Nunes T., Bryant P., Evans D., Bell D., Gardner S., Gardner A., Carraher J., 2007 ). Matematinio mąstymo svarba pabrėžiama ir tarptautiniais švietimo tyrimais: Tarptautinės mokinių vertinimo programos tyrimu PISA ir Tarptautiniu matematikos ir gamtos mokslų gebėjimų tyrimu TIMSS. PISA ir TIMSS teigia, kad mokinių matematinis mąstymas ir samprotavimas yra gebėjimai sekti nurodytomis instrukcijomis, apibendrinti remiantis informacija, samprotauti, daryti ir argumentuotai pagrįsti išvadas, analizuoti, sintetinti ir vertinti informaciją. Matematinis mąstymas apima gebėjimą stebėti ir daryti spėjimus. Jis taip pat apima loginių išvadų, paremtų tam tikromis prielaidomis ir taisyklėmis, darymą ir rezultatų pagrindimą (NEC, 2012). B. Balčyčio nuomone, pradinio ugdymo turinyje ir matematikos mokyme nėra būdingo samprotavimų loginio tikslumo užduočių. Mokiniai mokomi atlikti aritmetinius veiksmus, spręsti uždavinius, atlikti statistines ir geometrines užduotis, išmokti parinkti tinkamus matavimo vienetus ir su jais atlikti skaičiavimo užduotis, įgyti algebros pradmenų. Nors nei pradinio ugdymo programoje, nei vadovėliuose nėra gausu aiškiai suformuluotų loginių užduočių, mokiniai mokomi lyginti objektus ir juos priskirti tam tikrai klasei, analizuoti teiginius, spręsti pastabumą ir loginį mąstymą lavinančius galvosūkius bei spręsti išmoktos teorijos pagilinančius ir atitinkamas sąvokas praplečiančius realaus turinio uždavinius, daryti logines išvadas bei jas pagrįsti (Balčytis B., 2000, p.8). Apibendrinant galima teigti, kad matematinis mąstymas protinė matematinė veikla, apimanti gebėjimus logiškai ir sistemingai samprotauti, apibendrinti, pagrįsti, analizuoti, argumentuoti, daryti logines išvadas, abstrahuoti, spręsti problemas, atrasti sąryšius (Lietuvos mokinių matematinis mąstymas, 2013, p.3) Loginio samprotavimo mokymas pradžios mokykloje Mokydami logiškai samprotauti, ugdysime mokinių loginį bei matematinį mąstymą. Ugdant matematinį mąstymą ir siekiant sistemingo matematinių žinių įsisavinimo, būtina atsižvelgti į vaiko psichologines raidos stadijas ir pagrindinius didaktikos principus, kurie padės pagrindus dalykiniam mokinio paruošimui (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2008, p.203). Psichologija ir logika nagrinėja mąstymo formas sąvoką, sprendimą, išprotavimą. Psichologija nagrinėja mąstymo procesą, kaip konkrečiai jis vyksta žmogaus sąmonėje ryšium su kitomis psichinės veiklos rūšimis, o logikos tikslas, kaip teigia R. Plečkaitis, -,,nustatyti logines pažinimo teisingumo sąlygas, sukurti efektyvų loginio pažinimo metodą, nustatyti priemones, įgalinančias iš vienų teiginių išvesti kitus teiginius (Plečkaitis R., 2004). J. Piaget, A.Valon'as savo darbuose nagrinėjo loginių struktūrų kilmę, jų raidos mechanizmus ir pačių struktūrų ypatumus (Butkienė O. G., 1996, p.99). Psichologas J. Piaget nurodė keturis logikos įvaldymo faktorius (Garbačiauskienė M., 1999): įgimtas nervų sistemos struktūras bei funkcijas; fizinę patirtį; socialinį perdavimą; pusiausvyros dėsnius. Loginio samprotavimo formavimui taikytina P. J. Galperino teorijos esmė kad psichiniai veiksmai kyla iš išorinių veiksmų pagal interiorizacijos principą (lot. interior - vidinis). Tai ypač būdinga 5 12-aisiais vaiko gyvenimo metais (Butkienė O.G.,1996, p.159). Autorius skiria keturias 6

8 pirmines žmogaus atliekamų veiksmų savybes: 1. Veiksmo atlikimo formą (pagal veiksmo ryšį su jutimiškai patiriama tikrove); 2. Veiksmo apibendrinimo laipsnį; 3. Veiksmo išskleidimą (pagal atliekamų operacijų pilnumą ir išbaigtumą); 4. Veiksmo įsisąmoninimo laipsnį. J. Piaget nuomone, logikos negalima laikyti kažkuo įgimtu. Jos taip pat negalima kildinti ir iš fizinės aplinkos objektų. Loginis mąstymas yra ne įgimtas, o lavinamas. Todėl ugdant jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų loginį mąstymą svarbu žinoti, kad loginio mąstymo ugdymas yra vienas iš mokymo proceso uždavinių, ir kad vaikų mąstymas skiriasi nuo suaugusiųjų (Garbačiauskienė M., 1999). Pedagoginiu požiūriu yra svarbu žinoti kiekvienos stadijos raidos tendencijas ir dėsningumus. A.Valon'as aiškina, kad, norint tinkamai apibūdinti vieną ar kitą vaiko reakciją ar mąstymo operaciją, reikia išsiaiškinti, kokiai sistemai ir kokiam psichikos raidos lygiui ji priklauso Jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų mąstymo ypatumai J. Piaget teigia, kad vaikas negali išmokti jam nesuprantamų dėsnių, taisyklių, kol nepasiekia tam tikros brandos. J. Piaget ir B. Inhelder remdamiesi vaikų stebėjimais ir tyrimais aprašė keturias intelekto raidos stadijas ( Butkienė O.G., 1996, p. 99). 1. Sensomotorinė (nuo gimimo iki 2 metų) Vaikas aplinkai pažinti naudoja jutimus ir motorinius sugebėjimus. Šioje stadijoje vaikas išmoksta išskirti save iš aplinkinio pasaulio objektų, įsisąmonina, kad objektai egzistuoja ir tada, kai jų negali matyti; pradeda prisiminti ir įsiminti. Šiuo laikotarpiu mažyliai domisi sensorine medžiaga. Jie bando koordinuoti motorinį elgesį su jutiminiais stimulais. Vaikai turi grupę refleksų, kurie jiems padeda reaguoti į aplinką (pavyzdžiui, vaikutis į delną įdėtą pirštą suspaudžia). Vaikai pradeda ieškoti stimulų, kurie per motorinį elgesį ir fizinį kontaktą padeda pažinti supančią aplinką. Vėliau šią stadiją pakeičia interiorizuotas mąstymas, kai vaikas jau gali mąstyti ir sistemingai tyrinėti žaislą ar kokį nors daiktą, kurį mato. Pasak J.Bruneris, J. Piaget, šio amžiaus vaikai išmoksta naudotis tuo, kas yra aplinkoje. Vaikai topologiniu būdu pastebi tam tikrus elementarius objektų bruožus, tokius kaip dydis ar kontūras. Yra keturi pagrindiniai topologiniai konstruktai: artumas objekto ar įvykio santykinis artumas iki kito objekto ar įvykio; tvarka objektų ar įvykių seka pagal jų dydį, spalvą ar kitus požymius; atskyrimas įvykis, objektas ar tarpas atsiranda tarp dviejų objektų ar įvykių; įtraukimas objektas ar įvykis apsuptas kitų objektų ar įvykių, kuris numato mintis apie viduje, išorėje ir tarp. Idėja apie uždarą kreivę irgi yra svarbi, nes padeda suprasti, kodėl labai maži vaikai supranta tokias formas kaip apskritimas, trikampis, keturkampis kaip esančius iš esmės tokios pat formos, ypač jei juos nupiešia pats vaikas. Kūdikis, remdamasis savo paties kūnu, suvokia objektų padėtį erdvėje. Vėliau kiekvieno objekto padėtis suvokiama remiantis aplinka pagal vaiko judėjimo trajektoriją. J.Bruneris šį pažinimo laikotarpį pavadinęs veiksmų stadija (Butkienė O.G., 1996, p.102). Kūdikis ir mažas vaikas savo patirtį atspindi judesiais ir motoriniais aktais. Tik jie, pavyzdžiui, padeda jam įvaldyti dviratį. 2. Ikioperacinė stadija (2 7 metų) susideda iš dviejų fazių: priešoperacinės (iki 4 metų) ir intuicijos (4 7 metų). Dvejų metų vaiko kalba yra funkcionali. Vartojamos sąvokos dar yra labai individualios ir ne visada atitinka tikrovę. Šiuo laikotarpiu vaikui būdingas egocentrinis mąstymas, nes jis nesugeba atskirti ir suprasti kito žmogaus padėties bei jausmų. Šio amžiaus vaikas negali logiškai valdyti dviejų kintamųjų vienu metu, dėl to jis gali susieti du įvykius, tarp kurių beveik nėra jokio ryšio. Nuo 4 iki 7 metų vaikai pamažu pradeda logiškiau mąstyti, racionaliau suprasti ir pasauliui pažinti naudoja kalbą. Mąstymas yra egocentriškas. Vaikai daro išvadas, skirsto daiktus į klases pagal atsitiktinį požymį, supranta vis sudėtingesnius ryšius. Mąsto intuityviai, lavėja vaizduotė (Gučas A., 1981, p.153 ). Erdvinius ryšius vaikai pavaizduoja piešdami ir modeliuodami. Jų topologinis galvojimas akivaizdžiai matomas piešiniuose. Pavyzdžiui, piešdamas antį, abi jos akis piešia vienoje galvos pusėje, nes vaikui svarbu, kad abi jos būtų pavaizduotos galvos kontūro viduje. 7

9 Šiam amžiui būdinga tai, kad vaikas dar nėra pasiekęs mąstymo, apibūdinamo kaip projekcinė (minčių perkėlimo) geometrija, kuri leistų jam įsivaizduoti kitą anties pusę ( Žukauskienė R. 2002, p.398). 3. Konkrečių operacijų stadija (7 11 metų). Jaunesniu mokykliniu amžiumi vadinami septintieji-vienuoliktieji vaiko gyvenimo metai. Tokio amžiaus vaiko sąmonėje palankiausiomis sąlygomis greitai plėtojasi itin svarbūs visam tolesniam mokymuisi ir gyvenimui psichiniai procesai, kaip refleksija (mokėjimas objektyviai analizuoti savo veiksmus ir poelgius, atsižvelgiant į tai, ar jie atitinka veiklos tikslus ir sąlygas), vidinis veiksmų planas (mokėjimas planuoti ir mintimis vykdyti įvairius veiksmus, atsižvelgiant į iškeltą užduotį). Tuo pačiu metu greitai formuojami vaikų pažintiniai sugebėjimai, mokėjimas stebėti, valingas dėmesys, atmintis, vaizduotė ( Lietuvos mokinių matematinis mąstymas, 2013). Nuo septynerių metų prasideda konkrečių operacijų etapas šiuo laikotarpiu vaikas geba logiškai grupuoti informaciją apie tikrovę, pajėgia suprasti, kad esama skirtumų tarp realios situacijos ir to, kaip jis šią situaciją suvokia. Bendraudamas jis pažįsta kitų asmenų požiūrį, geba perimti kitų asmenų vaidmenį. Apie 7 tuosius gyvenimo metus vaikas išmoksta atlikti atvirkštines operacijas. Šių operacijų įvaldymas leidžia vaikui iš dalių sukurti visumą bei grįžti atgaline tvarka prie pradinio taško. Tuomet vaikas supranta, kad kintant išoriniam vaizdui, objektų savybės nekinta. Jis protaudamas geba atlikti atvirkštines operacijas mintyse. Tai keičia ne tik vaiko mąstyseną, bet ir sąmonę Šiuo laikotarpiu tobulėja vaizduotė, dėmesys ir atmintis, kalbiniai sugebėjimai, plečiasi žodynas. J. Piaget ( 2002) manymu, tipiškas 7 metų vaikas pereina į konkretaus operacinio mąstymo stadiją, kuri trunka iki metų. Šioje mąstymo raidos stadijoje vaikų mąstymas priartėja prie suaugusiems būdingo mąstymo ir suaugusių logikos. Vis dėlto vaikų mąstymo pobūdis dar šiek tiek skiriasi nuo suaugusiųjų, nes jų atliekamos protinės operacijos labiau susijusios ne su abstrakčiomis, bet su konkrečiomis idėjomis ar užduotimis. Todėl ši mąstymo stadija ir vadinama konkretaus operacinio mąstymo stadija. Žodžiai ir kitų rūšių simboliai mažiau efektyvūs šiame amžiuje. Galimybės manipuliuoti, veikti, liesti, matyti ir jausti daiktus žymiai geriau padeda vaikams suprasti sąvokas ir santykius nei abstraktūs mokymo būdai, kurie labai tinka antrojoje vaikystėje ir paauglystėje (Gage N.L., 1994, p.105). Nors vaikas sugeba geriau mąstyti, jo loginis mąstymas dar nėra toks abstraktus ar sudėtingas, kaip vėlesniais periodais. Vaikui dar per sunku spręsti abstrakčias problemas. Jis jas gali išspręsti tik pateikus pavyzdžius arba daiktus. Jei vaikui sunku išspręsti aritmetinę užduotį, kai ji pateikiama žodžiais, pvz., pridėk prie trijų penkis, tai vaikas ją gali sėkmingai atlikti padėjus ant stalo tris ir penkias kaladėles. Jaunesniame mokykliniame amžiuje vaikas, spręsdamas konkrečias problemas, pradeda naudotis loginiu mąstymu. Vaiko pažintinę sugebėjimo raidą lemia vis geriau įsisąmoninama kalba. Pasak J. Piaget (Butkienė G.O., 1996, p. 120), šio amžiaus vaikas pamažu pradeda spręsti klasifikavimo, grupavimo ir išdėstymo eilėje uždavinius, nors veikiančių dėsnių iki galo neįsisąmonina. Todėl konkretūs pavyzdžiai, manipuliavimas objektais gali padėti sudaryti pagrindą abstraktaus mąstymo sąsajoms Norint jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikus išmokyti skaičiaus sąvokos, turime pradėti nuo objektų klasifikavimo pagal spalvą, dydį, formą, svorį ir paviršių. Jau keturių metų vaikas moka teisingai išvardyti skaičių seką iki 10, tačiau tai dar nereiškia, jog jis supranta, kad skaičių seka yra tam tikra serija, ir kad kiekvienas tos sekos narys turi skirtingą vertę. Be eilės sudarymo praktikos vaikui sunku suprasti, kad 5 mažiau už 6 (Gage N.L.,1994, p.105 ). Skaičių supratimas susiformuoja įvaldant logines operacijas, t. y. apie septintuosius vaiko metus. Be loginių ir aritmetinių operacijų, konkretaus operacinio mąstymo stadijos metu vaikas įsisąmonina kai kurias erdvinio mąstymo operacijas. Jų prigimtis yra geometrinė, nes jomis įvertinamas atstumas tarp įvairių daiktų, taip pat projekcinio pobūdžio, nes leidžia spręsti apie daiktų erdvinius tarpusavio ryšius. J. Piaget ir B. Inhelder tyrimai rodo, kad ankstyvas erdvės suvokimas yra iš esmės topologinio pobūdžio (Žukauskienė R., 2002, p.398). Topologija formaliai apibrėžiama kaip tam tikrų objektų kokybinių savybių, nesikeičiančių atliekant tam tikro tipo transformacijas, tyrimas. Topologijos vystymąsi skatina ir kai kurie geometriniai uždaviniai, kuriuose nėra svarbi tiksli objektų forma, o tik būdas, kaip jie jungiami tarpusavyje. 8

10 Pasak A. Gučo (1981), B.H. Pillow ir R. M. Pearson (2002), jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikai logiškai mąsto apie konkrečius įvykius, gali atlikti įvairias logines operacijas, bet kad jas atliktų, reikia konkrečių daiktų. Vaikai gali klasifikuoti bei grupuoti, rūšiuoti daiktus ne tik pagal vieną, bet ir pagal 2 ir daugiau požymių. Svarbu pabrėžti ir tai, kad šiuo laikotarpiu moksleiviai klasifikuoja, grupuoja, bet dar iki galo nėra įsisąmoninę veikiančių dėsnių. Svarbu ir tai, jog vaikams reikia konkrečių daiktų, reiškinių, t.y. tai, ką vaikai jau žino. Pradinukams dar sunkiai sekasi mąstyti abstrakčiai sąvokomis. Šio amžiaus tarpsnio vaikai geriau supranta laiko, erdvės ir atstumo tarpusavio ryšius, nes operacinis mąstymas leidžia vaikui erdvinius atstumo matmenis sujungti su kitais fiziniais matmenimis. Palaipsniui vaikas pradeda suvokti ir vaizduoti objektus iš skirtingų perspektyvų ir tas skirtingas perspektyvas bando suderinti į vieną. Objektų ir požymių sudėliojimas siejant vieną su kitu ir atsižvelgiant į vertikalius bei horizontalius ryšius, tampa vaiko pasaulio suvokimo dalimi (Žukauskienė R., 2002, p.391). Tokį mąstymą galima priskirti projekcinei geometrijai. Vystantis erdviniam mąstymui, gerėja koordinacija tarp vertikalaus ir horizontalaus vaizdo. Vaikas pradeda naudoti idėjas, susijusias su Euklido geometrija, pavyzdžiui, kai pradeda skirti tiesias ir kreivas linijas, specifines formas. Taigi šiuo periodu keičiasi psichiniai procesai: suvokimas, atmintis, vaizduotė, valia ir kalba. Vaikas taip pat įsisąmonina tokias logines operacijas kaip tapatumas, grįžtamasis ryšys, dviejų objekto ypatybių sąryšis, išmoksta sudėti ir atimti, dalyti ir dauginti, taikydami tuos naujus įsisąmonintus principus kiekvienu konkrečiu atveju. Konkretaus operacinio mąstymo stadijos metu vaikas įsisąmonina kai kurias erdvinio mąstymo operacijas, jomis vaikas įvertina atstumus tarp įvairių daiktų, projektuodamas sprendžia apie daiktų erdvinius tarpusavio ryšius. Vaikas formuoja išorės stimulų vizualinius (regimuosius) vaizdus, išlaiko juos atmintyje, vėliau atgamina ir tada, kai jų nemato. Iš pradžių jo susidaryti vaizdai yra labai susiję su fizine aplinka ir statiški (Butkienė G., Kepalaitė A.,1996, p.102). J.Piaget sako, kad sistemingai nemokomo vaiko galimybės pereiti iš vienos stadijos į kitą yra minimalios. Tačiau jaunesnio mokyklinio amžiaus vaiko mąstymas vis dar yra ribotas, nes priešoperacinio mąstymo stadijos metu vaikui sudėtinga pereiti nuo tiesiogiai suvokiamų dalykų prie kompleksinių, abstrakčių kognityvinių operacijų. 4. Formalių operacijų stadija (11 15 metų.). Ir paskutinioji intelekto vystymosi stadija yra formalių operacijų stadija. Ji apima amžių nuo 12 metų, t.y. paauglystė ir suaugęs žmogus. Šiuo laikotarpiu nuo grynai konkretaus mąstymo pereinama prie abstraktaus. Anot J. Brunerio, ši pažinimo pakopa simbolių stadija, nes šiuo laikotarpiu supratimas veiksmais ir suvokimas vaizdais užleidžia vietą supratimui per simbolius ir jų sistemas. Vaikas mąsto ir numato įvykius, kurių dabar nėra arba niekada nebuvo patyręs. Anot J. Piaget, paaugliai jau išmoksta samprotauti hipotetiniais teiginiais ir daryti išvadas: jei taip, tai šitaip. Tokio amžiaus vaikams jau būdingas sistemingas samprotavimas, kurį J. Piaget vadina formaliomis operacijomis. (Myers D.G., 2008) Čia jau atsiranda mokslinis bei brandus moralinis mąstymas. Šioje stadijoje atsiranda abstrakcijos; vaikai gali daryti išvadas, aiškinti, argumentuoti, net kelti hipotezes. Tai reiškia, kad mąstymas šiame amžiaus tarpsnyje tampa kitoks nei prieš tai buvusiose stadijose, t.y. jis tampa lankstus ir veiksmingas (Jonynienė V., 1984). Mąstyme pradeda dalyvauti kalba, logika, matematika, atsiranda galimybė glaustai išdėstyti mintis ir pasirūpinti gausybe greitai atgaminamos informacijos (Butkienė G., Kepalaitė A., 1996, p.102). Apibendrinant galima teigti, kad loginis mąstymas yra ne įgimtas, o lavinamas, todėl loginio mąstymo ugdymas yra vienas iš mokymo proceso uždavinių. Loginio mąstymo esmė yra ta, kad jo pagalba galime rasti klaidas, jas analizuoti ir taisyti. Matematikos dalyko mokymo procesas neįmanomas be loginio mąstymo ugdymo, nes jau pati matematika yra problemų sprendimo būdų ieškojimas. Jaunesniam mokykliniam amžiui būdingas konkretus operacinis mąstymas, tad mokant mokinius logiškai samprotauti svarbus praktinis ir vizualus pagrindas. Nors vaikas sugeba geriau mąstyti, jo loginis mąstymas dar nėra toks abstraktus ar sudėtingas kaip paauglystėje. Vaikui per sunku spręsti hipotetines, abstrakčias problemas. Jis gali išspręsti tik konkrečius dalykus, pateikus pavyzdžius ar daiktus. Vaikas siekia protinės pusiausvyros tarp aplinkos ir noro suprasti, paaiškinti, kas vyksta ir kodėl. Todėl vaikui reikia pateikti tinkamų ir veiksmingų būdų pažintinėms problemoms spręsti. 9

11 Matematikos mokymo reikšmė loginiam mąstymui Matematika ir loginis mąstymas du neatsiejami dalykai. J. Piaget tyrinėdamas operacinių mąstymo struktūrų raidą, įrodė didžiulę matematikos mokymosi ir matematinio mąstymo svarbą loginiam mąstymui. Matematinis mąstymas tai matematinė ir protinė veikla, apimanti gebėjimus logiškai ir sistemingai samprotauti (Butkienė O.G., 1996; Lietuvos mokinių matematinis mąstymas, 2013). C. Molina (2012, p.41) matematinį mąstymą apibrėžia kaip: 1. Konceptualųjį supratimą tai supratimas sąvokų, operacijų ir jų santykių suvokimas. 2. Procedūrinį sklandumą tai lankstus matematinių veiksmų bei taisyklių tikslingas, efektyvus pritaikymas. 3. Strateginių kompetencijų gebėjimas tai gebėjimas formuluoti, pagrįsti ir spręsti problemas. 4. Loginį mąstymą tai samprotavimų paaiškinimas ir pagrindimas. 5. Produktyvųjį nusiteikimą tai matematikos vertės ir naudos pripažinimas, tikėjimas savo pastangomis ir pasiektais rezultatais. Mokytojas turėtų mokinį pastūmėti reikiama linkme, kad mokinys nusiteiktų produktyviai matematinei veiklai pats atrasdamas ir džiaugdamasis savo rezultatais. Kad matematikos mokytojas tinkamai organizuotų matematinę veiklą, jis turi gerai žinoti matematinio mąstymo ugdymo psichologijos ypatybes (Bitinas B.,2013, p.155) : 1. Patartina matematiką ir kitus gamtos mokslus dėstyti taip, kad lavėtų visi matematinio ir techninio konstrukcinio mąstymo sugebėjimai, padedantys atskleisti bet kokių reiškinių esmę ir suprasti kitų žmonių sukauptą informaciją. 2. Mokymo principai turi atitikti mąstymo raidos dėsningumus. Tuo požiūriu svarbiausi yra problematiškumo ir savarankiškumo principai. 3. Ypatingą vietą mokyme(-si) turėtų užimti natūralus arba mintinis eksperimentas, kurį atliktų patys mokiniai iš anksto nežinodami, kokie turėtų būti rezultatai. Matematinis mąstymas siejasi ne tik su vaikui aiškiomis ir žinomomis situacijomis, bet ir su tam tikrų nekasdieninių, sudėtingų problemų bei neįprastų uždavinių sprendimais. Kad mokinys gebėtų išspręsti tokio tipo užduotis, jis turėtų būti sukaupęs įvairių matematikos sričių žinių. D. Tall matematikos žinias matematinį mąstymą skirsto į tris grupes, kurios tiesiogiai siejasi su vaiko mąstymo raidos etapais (Lietuvos mokinių matematinis mąstymas, 2013, p.2) : 1. Sąvokų pasaulis formuojamas vaiką supančio aplinkinio pasaulio suvokimu stebint, mąstant, jaučiant realius objektus ir apie juos kalbant. 2. Simbolių pasaulis tai matematinės kalbos, matematinių sąvokų supratimas ir gebėjimas jomis operuoti, t.y. kasdieninę kalbą ar tekstą užrašyti simboliais. 3. Formalusis pasaulis aksiomos (formalieji apibrėžimai). Aksiomomis apibrėžiamos matematinės sąvokos ir formaliųjų įrodymų būdu gaunamos objektų savybės. D. Tall matematinio mąstymo samprata parodo, kad mokyklinė matematika prasideda nuo sąvokų ir veiksmų supratimo žaidžiant su figūromis, jas grupuojant, skaičiuojant, matuojant ir pan. Šioms operacijoms tapus rutina, jos išreiškiamos simboliais, pavyzdžiui, skaičiais ar aritmetiniais veiksmais, ir pereinama prie manipuliavimo simboliais. Vėliau, formuluojant formalius apibrėžimus ir naudojantis matematiniais įrodymais (Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairės, 2013). Gebėjimas nuo konkrečios veiklos pereiti prie abstrakčios, taikyti matematines žinias ir logiškai samprotauti, atskleidžia bendruosius mokinio matematinius gebėjimus. Matematiniai gebėjimai tai pirmiausia tam tikros mąstymo, atminties ir vaizduotės savybės, užtikrinančios, esant kitoms vienodoms sąlygoms, sėkmingą matematikos, kaip mokymosi objekto, išmokimą ir matematikos mokslo kūrimą. Kad pradinių klasių mokiniai gebėtų logiškai samprotauti, keliami šie reikalavimai (Butkienė O.G., 1996, p.220): 1. Prasminė loginė atmintis ( santykių atmintis ). Tai, kai mokinys sugeba matematines sąvokas, operacijas ir kt. įsiminti prasminiais ryšiais ir santykiais. 2. Mąstymo logiškumas. Mokinys turi gebėti argumentuoti savo teiginius ir atsakyti į klausimus: Kodėl?, Iš kur?. Kad mokinio sąmonėje įsitvirtintų loginės mąstymo operacijos, jis 10

12 turi argumentuoti žodžiu arba raštu, kodėl taip daro (mano). 3. Minties grįžtamumas ( atvirkštumas"). Tai, kai mokinys geba susieti tiesioginį ir atvirkštinį veiksmą (dalybos veiksmą sieti su daugybos). Jei mokinys geba sujungti du priešingus matematinius veiksmus, vadinasi jis jau yra įvaldęs matematinio mąstymo operacijas. Šis sugebėjimas lavinamas kartu mokant sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos. 4. Sugebėjimas formalizuoti nematematinę medžiagą - tai sugebėjimas objektų ryšius ir santykius parašyti formulėmis arba pavaizduoti schemomis. (Pavyzdžiui, V=s/t, kur V - greitis, s- laikas.) Šis sugebėjimas atsiranda ir lavėja mokantis algebros. Pradinių klasių mokiniai šį matematinį gebėjimą įgyja spręsdami lygtis ir spręsdami uždavinius greičiui, keliui ir laikui apskaičiuoti. 5. Sugebėjimas susidaryti erdvės figūrų, jų santykių vaizdus ir juos transformuoti, taip pat susidaryti visiškai naujų erdvinių kompozicijų vaizdus lavėja mokantis geometrijos. Jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikams su erdvės ir plokštumos figūrų transformacija padeda susipažinti konstravimo ir modeliavimo veiklos, technologijų ir matematikos pamokų integracija. 6. Sugebėjimas nustatyti matematinių santykių dėsningumus ir, juos apibendrinant, daryti loginius sprendimus. Tai fundamentalus matematinis sugebėjimas, apimantis daug mąstymo ir atminties savybių. Jam lavinti būtinas sistemingas ir sąmoningas visų matematikos dalykų mokymasis, neišskiriant aritmetinio skaičiavimo. Kiekviena matematikos sritis yra svarbi, kad vaikai susidarytų matematinių santykių ryšius, jų dėsningumus. 7. Sprendimų aiškumo, paprastumo ir racionalumo siekimas kyla sąmoningai įrodant teoremas ir sprendžiant uždavinius. Pradinėse klasėse ši matematinė savybė gali būti ugdoma siekiant, kad vaikai patys rastų sprendimus, atrastų taisykles arba jas galėtų paaiškinti. 8. Sugebėjimas mąstyti sutrauktomis matematinėmis struktūromis yra aukščiau minėtų sugebėjimų išvestinė. Šis sugebėjimas lengviau formuojasi, kai mokiniai geba užrašyti sutrumpintą uždavinio sąlygą, nubrėžti schemas, išskirti svarbiausius uždavinio momentus ir juos užrašyti matematine kalba (O. G. Butkienė, 1996, p.221). Taigi, matematikos mokymas daro įtaką mokinių loginiam mąstymui, nes jie turi gebėti ne tik aklai taikyti išmoktą taisyklę, bet ir pagrįsti uždavinių sprendimus, paaiškinti gautas išvadas, analizuoti įvairias matematines situacijas, sekti bei vertinti loginius samprotavimus, daryti logiškas išvadas apie savo ir kitų sukonstruotas taisykles. Todėl mokytojas turi žinoti matematinio ugdymo psichologines ypatybes ir tinkamai pasirengti pamokai bei žinoti matematinių taisyklių išmokimo ir supratimo etapus Taisyklės suvokimas abstraktaus mąstymo etapas Vaikai jau iki mokyklos mokosi sudėties, atimties, dalybos (dalina saldainius šeimos nariams), lygčių nagrinėjimo (kai deda įrankius ant stalo, tėvai paklausia, kiek dar reikia jų padėti), t.y. anksčiau, negu sužino tų veiksmų taisykles. Vos pradėjus lankyti mokyklą, mokiniams tenka susipažinti su matematikos taisyklėmis, kurias tenka įsisąmoninti ir pritaikyti veikloje. Matematikos mokymas turi būti ne mechaninis taisyklių įsiminimas. Mokydamiesi matematikos, mokiniai turi gebėti logiškai samprotauti, pagrįsti savo sprendimus, bet ne aklai taikyti taisykles. Kiekvienas mokinys turi jas įsiminti ir lengvai atgaminti, o tai pasiekiama daugkartinio kartojimo, pratybų keliu ( Ažubalis A., 2008, p.74 ). Būtina prisiminti, kad mokykloje kai kurie apibrėžimai bei teoremos vadinami taisyklėmis ir atitinkamai formuluojami. Ypač tai ryšku pradinėse klasėse tai vienintelis matematinių teiginių pateikimo būdas pradinukams ( Ažubalis A., 2008, p.110 ). Žodis taisyklė turi kelias leksines reikšmes. Juo gali būti įvardijama dalyko sistema, dėsnio grindžiama norma arba nustatyta ko nors darymo tvarka, veiklos principai, pagrindai, normos (Lietuvių kalbos žodynas). Taisyklė taip pat apibūdinama kaip teiginys, kuriuo reiškiamas dėsnis, principas, norma, savybė ir pan. (Dabartinės lietuvių kalbos žodynas). Matematikos taisyklė tai matematinėse veiklose galiojanti matematinio objekto savybė ar santykių tarp matematinių objektų dėsningumas. Taisyklės pagrindimas tai logiškas matematinių sąvokų sąsajų apibūdinimas (Kiseliova D., Kiseliovas A., 2008, p. 72). Mokinys turi suvokti, kad matematika tai ne paprastas taisyklių 11

13 rinkinys, o turintis griežtą loginę sistemą. Nesant tikslaus sąvokų apibrėžimo nėra įmanomas loginis samprotavimas ( Matematinio ugdymo gairės, 2013, p. 9). Jei buitinėms sąvokoms atsirasti pakanka praktinės gyvenimo patirties, tai matematines sąvokas pradedame formuoti nuo žodžio termino ir jo reikšmės supratimo. Sąvokos apibrėžimas turi būti (Kiseliova D., Kiseliovas A., 2008, p. 74).: 1. Korektiškas, t. y. apibrėžiamoji sąvoka turi būti išskirta iš artimiausios giminės ir nurodytas minimalus rūšinis požymis; 2. Aiškus, t. y. nežinomos sąvokos negalima apibrėžti remiantis nežinoma sąvoka. B. Bitinas (2000), O. Michael (2003) teigia, kad vienas iš psichologinių mechanizmų padedančių suvokti taisyklės prasmingumą yra sąvokų formavimas. Pradinių klasių mokiniams mokantis matematikos tenka ne tik susipažinti su daugybe matematinių sąvokų, bet ir išmokti jas teisingai vartoti ir atpažinti. Sąvokos ir taisyklės turi būti nuosekliai formuojamos ir įtvirtinamos sprendžiant įvairaus pobūdžio užduotis (Bitinas B., Rajeckas V., Vaitkevičius J., Bajoriūnas Z., 1981). Taisyklės įsisąmoninimas ir gebėjimas ją logiškai pagrįsti vienas iš sunkesnių uždavinių pradinių klasių mokiniams. Todėl pradinėje mokykloje turėtų būti ugdomi šie pagrindiniai matematinės komunikacijos gebėjimai: suprasti ir paaiškinti matematines sąvokas bei uždavinių sąlygas, sprendinius, sprendimų, įrodymų idėjas, pateiktas įvairia forma: žodžiu, raštu ar vizualiai; įvairiais būdais pateikti uždavinių ar įrodymų idėjas, sprendimus, sprendinius, matematines sąvokas, teiginius bei kitą informaciją; vartoti matematikos žodyną ir simbolius sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti bei situacijoms modeliuoti (Matematika. Metodiniai patarimai). Jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikams matematines taisykles kliudo įsiminti ir suvokti šie trukdžiai: mokinių psichologiniai ypatumai (matematinių vaizdinių neryškumas; matematinių vaizdinių sinkretiškumas; konkretus mąstymas); taisyklių įvairovė ir gausa; taisyklės pavidalas (abstraktumas). Pasak Revucko, pagrindinės sunkumo priežastys pagrindžiant taisykles yra (Ažubalis A., 2006, p. 203): 1. Mokiniai susiduria su nauja, jiems neįprasta protavimo forma dedukcija; 2. Dedukcija, lyginant su indukcine protavimo forma, yra daug abstraktesnė, o kai daugiau abstraktumo, suvokimas yra sunkesnis. 3. Norint pagrįsti taisyklę, reikia žinoti teiginius, kuriais remiantis ji įrodoma, mokėti tuos teiginius atrinkti iš visų žinomų teiginių ir pritaikyti. 4. Reikia žinoti teiginių tarpusavio loginius ryšius. Mokymas logiškai pagrįsti taisykles ir jų kartojimas bei taikymas padeda vystyti intuiciją, nes įsisąmoninti veiksmai pagal taisykles pereina į teisingus intuityvius veiksmus. Paprasčiausių taisyklių įsisavinimas dar nereiškia, kad jas įsisavinus kiekvieną kartą bus apie jas galvojama. Juk ir gerai mokantis taisykles žmogus kiekvieną kartą negalvoja, kokią taisyklę jis taiko skaičiuodamas ar kalbėdamas. Jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikai geriausiai taisyklę įsisąmonina, kai pradinių klasių mokiniai jas atranda asmeninių patyrimų metu. Mokytojo tikslas ne parodyti save visažinį, bet išmokyti mokinius mąstyti ir atrasti (Dejonckheere P.J.N., Van de Keere K., Mestdagh N., 2010). Todėl mokytojas turėtų parinkti tinkamus mokymo metodus ir mąstymo būdus (Bitinas B., 2013, p. 159): Mokytojas gali iš karto pasakyti vaikui taisykles, kaip išskirti vienus ar kitus struktūrinius realybės požymius bei savybes. Kai mokytojas iš karto pasako mokiniui jau suformuluotas bendras taisykles, mokinys jas įsimena ir jomis naudojasi. Mokantis mąstyti antruoju būdu, svarbiausias vaidmuo tenka mąstymo operacijoms, kuriomis besimokantysis atskleidžia sau struktūrinius objektų požymius ir santykius. Tai tapatinimo, skyrimo, analizės ir sintezės operacijos. Realių objektų santykius galima suvokti juos jungiant į bendras kategorijas ir logines struktūras pagal spalvą, formą, išmatavimą, paskirtį ir kt. Šių operacijų atskleidžiami loginiai objektų arba sąvokų ryšiai, kurie įsitvirtina mąstymo loginėse struktūrose. Apibendrinant būtina pabrėžti, jog siekiant, kad mokinys įsisąmonintų naują taisyklę, būtina 12

14 (Ažubalis A., 2008, p. 83): neįvedinėti naujų taisyklių bei sąvokų formaliai; detaliai konkretizuoti naujas abstrakčias sąvokas; pagal galimybes taikyti konkretųjį indukcinį taisyklių įvedimo būdą; įvesti taisykles kuo natūralesniu mokiniams keliu; pagal galimybes dažniau organizuoti veiklas, kurių metu mokiniai savarankiškai nagrinėtų taisykles, jų apibrėžimo formulavimą; naujų taisyklių nagrinėjimo procese išryškinti jų ryšius su jau įvestomis taisyklėmis; kur galima remtis analogija; kiekvienoje pamokoje stengtis pakartoti apibrėžimus tų taisyklių, su kuriomis operuojama toje pamokoje; formuojant naujas taisykles, labai griežtai kontroliuoti mokinių kalbą, reikalauti jos tikslumo, trumpumo, griežtumo formuluojant apibrėžimus. Kad pradinių klasių mokiniai suprastų sąvokas, reikia: apibendrinti rasti sąvokai artimiausiąją giminę; nurodyti rūšinį skirtumą, būtent savybę - išskirti pateiktąją sąvoką iš kitų tos pačios giminės sąvokų (pvz.: keturkampis tai ir kvadratas, rombas ir stačiakampis). Bet kurią sąvoka reikia nusakyti terminu, turiniu ir apimtimi (Kiseliova D., Kiseliovas A.,2008, p.73). Nepakanka, kad pradinių klasių mokinys gebėtų atpažinti, klasifikuoti, priskirti taisykles ir sąvokas kuriai nors matematinei grupei. Jas turi ir pagrįsti. Psichologiniai mechanizmai, padedantys pradinių klasių mokiniams pagrįsti taisykles ir logiškai samprotauti, apima tokias grandis (Bitinas B.,2000, p.209): asociacijų susidarymas ankstesnės žinios, gebėjimai, elgsena siejami su naujai įgyjamais patirties elementais; sąvokų formavimasis išskiriami ir apibendrinami naujosios patirties esminiai elementai, rezultatas išreiškiamas žodine forma; mėgdžiojimas veiksmai atliekami pagal demonstruotą pavyzdį; juo grindžiamas praktinių gebėjimų formavimasis; insaitas (įžvalga) remiantis ankstesne patirtimi, randami nauji perteikiamos informacijos aspektai, t. y. protinių gebėjimų tobulėjimo pagrindas; kūryba kuriamos naujos žinios, veiklos būdai, nepateikti suvokimui ar stebėjimui. Pradinių klasių matematikos sąvokos kartais pateikiamos be apibrėžimo formuluotės, kai mokinys gali suvokti be išankstinio jų mokymo, pvz.: taip įvedamos stačiakampio ir kvadrato bei statistikos sąvokos, nes jos susiformuoja mokinių sąmonėje mokantis pradinės matematikos ir per gyvenimišką praktiką, įvardijant sąvokos prasmę ir turinio atskleidimo procesą (Ažubalis A.,2008; Carrier J., 2014). Pradinių klasių mokinys turi ne tik suprasti, bet ją paaiškinti, vartoti tinkamas sąvokas, žinoti tarp jų esančius loginius ryšius, žinoti jų esmines savybes. Todėl supažindinant vaikus su nauja matematine taisykle, reikia žinoti jos psichologinius įsiminimo mechanizmus, priežastis, kurios trukdo ją suprasti, taisyklių išskleidimo hierarchinę tvarką ir jų pateikimo būdus bei metodus Mokymo metodai, padedantys pradinių klasių mokiniams pagrįsti matematinę taisyklę Matematikos mokymo procese būtina laikytis didaktinių principų nurodymų: eiti nuo paprasto prie sudėtingo, nuo konkrečių stebėjimų, pavyzdžių, bandymų, prie išvadų ir apibendrinimų, prie taisyklių, apibrėžimų formulavimo (Gage N.L., Berliner D.C., 1994, p.105). Supažindinant pradinių klasių mokinius su taisyklėmis, rekomenduojama taikyti konkretų indukcinį metodą. Jo metu mokiniai stebi ir analizuoja konkrečius pavyzdžius, lygina juos, aptaria jų savybes, apibendrina ir abstrahuoja. Tinkamai organizavus šią veiklą, mokiniai beveik visada patys suformuluoja naujos sąvokos ir taisyklės apibrėžimą. (Drėgūnas V., Rumšas P., 1984, p.40). Mokytojas turi sudaryti tinkamą ugdomąją aplinką taisyklių loginiam pagrindimui, atsižvelgdamas į dvi sąlygas: prasmingą mokomosios medžiagos pateikimą ir atskleidimą bei susieti naują mokomąją medžiagą su mokinio ankstesnėmis žiniomis ir kognityviosiomis struktūromis bei parengti mokinių protus, kad jie galėtų priimti naują informaciją (Arends R.I, 1998). 13

15 Konkretus indukcinis matematinių sąvokų aiškinimo metodas nepaprastai svarbus I IV klasėse mokantis propedeutinius algebros ir geometrijos kursus (Barkl S., Porter A., Ginns P., 2012). Propedeutiniuose kursuose sąvokos dažniausiai aiškinamos tik pavyzdžiais, aptariamos jų savybės, neformuluojami apibrėžimai, t. y. pasitenkinama sąvokos aprašymu (Drėgūnas V., Rumšas P., 1984, p.39 ). Pradinių klasių mokinius reikia mokyti mokytis per savo patyrimą (Molina C., 2012, p.4). Todėl rekomenduotina matematinių taisyklių mokymą vykdyti trimis etapais: Įvadas sukuriama tokia situacija, kad mokiniai patys atranda naujas taisykles. Įsisavinimo užtikrinimas mokiniai išmokomi taikyti matematines taisykles praktikoje. Įtvirtinimas kartojamos taisyklių formuluotės, formuojami jų taikymo, sprendžiant uždavinius, įgūdžiai. Jei mokiniai nemokomi sudarinėti apibrėžimų ir patys jų nesudarinėja, o tik išklauso ar paskaito vadovėlyje, neatkreipdami dėmesio į jų loginę struktūrą, tai greitai pamiršta, kurios savybės buvo nurodytos apibrėžime ir kurios buvo įrodytos remiantis tuo apibrėžimu. Todėl nenuostabu, kad tuomet daugelis mokinių, kartodami sąvokos apibrėžimą, nurodo visas prisimintinas jos savybes (Drėgūnas V., Rumšas P., 1984, p.42 ). J. H. Pestalozzi jau XVIII a. aptardamas aiškių sąvokų formavimą teigia, kad norėdamas išsiaiškinti painų ir nesuprantamą dalyką, žmogus turi atkreipti dėmesį, kiek ir kokių daiktų mato, kaip jie atrodo, kokios jie formos ir juos pavadinti tinkama sąvoka. Todėl, mokant vaikus logiškai samprotauti, reikia juos išmokyti žiūrėti į kiekvieną daiktą kaip į atskirą vienetą, mokyti jį atskirti iš kitų daiktų, supažindinti su kiekvieno daikto forma ir pavadinimu (J.H. Pestalozzi, 1989). Idealiausias taisyklės loginis paaiškinimas, kai patys mokiniai suformuluoja apibrėžimą. Taip sužadinamas mokinių kūrybinis aktyvumas, naujas terminas įtraukiamas į aktyvųjį mokinių žodyną, atskleidžiamas sąvokos turinys, lengviau įsimenamas taisyklės formulavimas, realizuojamas mokymo sąmoningumo principas (Ažubalis A. 2008; Laupa M., Becker J., 2004). K. Ušinskis teigė:...vaikai turi ne mokytis aritmetikos taisykles, o patys jas atrasti. Pavyzdžiui, nereikia vaikams sakyti, kad jeigu negalima atimti vienetų iš vienetų, tai reikia paimti vieną dešimtį ir pan.. Siūlo vaikams duoti pagaliukų ryšuliukus ir palaidus pagaliukus bei liepti atimti, pvz., Vaikai patys supras, kaip tai padaryti, o tada, kai jau visi vaikai supranta, kurį nors paprastą aritmetikos dėsnį ir įgunda jį atlikti mintinai, ir žodžiu, ir raštu, tuomet galite tą dėsnį suformuluoti kaip aritmetikos taisyklę, kad įpratintume (Ažubalis A., 2008, p. 109). Vieni iš svarbesnių matematikos mokymo pradinėje mokykloje metodų yra aiškinimas ir pratybos, kurie atitinka didaktinius principus ir atspindi matematinių sąvokų bei taisyklių mokymo ir pagrindimo principus (Balčytis B., 1997; Teišerskis J., 1988; Indrašienė V., 2001): 1. Sudėtingų matematinių sąvokų bei taisyklių ir įgūdžių suskaidymas į sudedamuosius elementus, aiškinti juos tokia tvarka, kad sunkumai didėtų nuosekliai. Kiekviena anksčiau išmokta taisyklė ir sąvoka turi būti atrama logiškai susieti tarpusavyje išmoktas taisykles ir jų pagrindu išmokyti naujas matematines taisykles. 2. Atskirų elementų sujungimas į visumą ir išvados, taisyklės formulavimas. 3. Naujos medžiagos ryšys su senąja. Kad būtų suprasta nauja taisyklė, reikia išaiškinti jos sąryšius su anksčiau įgytomis ir elementaresnėmis žiniomis. 4. Vaizdinių priemonių panaudojimas ir rėmimasis pačių mokinių turimu patyrimu, vaizdinėmis priemonėmis, kurios parodo kokybinius matematikos dalyko santykius. Pradinių klasių vaikai geriausiai išmoksta dirbdami su konkrečiais daiktais, medžiagomis, reiškiniais manipuliuodami, veikdami, liesdami, matydami ir jausdami daiktus. Toks mokymo būdas žymiai geriau padeda vaikams suprasti sąvokas ir santykius nei abstraktūs mokymo būdai, kurie labai tinka antrojoje vaikystėje ir paauglystėje (Gage N.L., Berliner D.C., 1994, p. 105 p). Mokinys taisykles ir sakinius gali išmokti, įsiminti, tačiau neįtvirtinti vaizdumu, jie bus mokiniui tušti, be turinio, mintinai iškalti sakiniai (Кузнецов И. В., 2010;Kiseliova D., Kiseliovas A., Drozd V.,2005; Drėgūnas V., Rumša P., 1984). 5. Tikslingas pavyzdžių ir uždavinių parinkimas. Juo reikia parinkti taip, kad iškiltų esmingiausi naujos sąvokos bei taisyklės požymiai, kad jie padėtų trumpiausiu ir lengviausiu būdu rasti reikalingus dėsningumus, suformuluoti apibendrinimus bei išvadas (Balčytis B., 1999, Indrašienė V., 2001). 14

16 6. Analizė ir sintezė, indukcija ir dedukcija aiškinimo procese: nustatyti mokomosios medžiagos esminius požymius, rasti joje būtinus ryšius, esmines priklausomybes, panašumo ir skirtumo elementus. Tai pasiekiama sinteze ir analize. Mokinių gebėjimui suprasti taisykles įtakos turi analizavimas naujos informacijos ir sintetinimas įgytų žinių. 7. Pokalbis (dialogas) aiškinant. Norėdamas išaiškinti vieną ar kitą sąvoką bei taisyklę, mokytojas pateikia klausimus, kurie padeda mokiniams prieiti prie išvadų ir apibendrinimų. Mokytojas, norėdamas išmokyti mokinius logiškai pagrįsti taisyklę, turėtų naudotis įvairiomis vaizdinėmis priemonėmis. Tai liudija ir Bendrosiose programose (2008) nusakytos ugdymo gairės: Nagrinėdami skaičius iki 100, mokiniai naudojasi dešimčių ir vienetų skyrius iliustruojančiomis vaizdinėmis priemonėmis (pvz., pagaliukais, šiaudeliais, karoliukais, skaitytuvais, skaičių laipteliais, skaičių juosta, monetomis ir kt.), pagal galimybes dviženklių skaičių sandarai iliustruoti naudojamos mokomosios kompiuterinės priemonės. Mokiniams pateikiamos įvairios užduotys su skaičių kortelėmis, žaidimai su kauliukais, siūloma sudaryti dviženklius skaičius iš skaičių kortelių, aiškintis, kaip keičiasi skaitmens reikšmė nuo jo parašymo vietos. Mokiniai samprotaudami negali atitrūkti nuo daiktų ar konkretaus vaizdo (Hazekamp J., 2011, p.3). Matematines taisykles mokiniai labiau suvokia, jei ji būna iliustruota. Pristatymo paveikslėliais aktualumą pabrėžia A. Ažubalis ir A. Kiseliovas (2002, p.16) teigdami, jog iliustracijos svarbi vaizdumo atmaina, padedanti geriau suvokti abstrakčią matematinę medžiagą. Pati sąvoka iliustracija (lot. illustratio vaizdus aiškumas, vaizdingumas) minėtų mokslininkų apibrėžiama kaip piešinys, fotonuotrauka, brėžinys, paaiškinantis, papildantis, puošiantis tekstą. Svarbu, kad iliustracijos atspindėtų artimiausią vaiko aplinką. Konkreti ir vaizdinė medžiaga padeda mokiniams suprasti abstrakčią informaciją (Gage N.L., Berliner D.C., 1994,p. 106). Kartais mokiniui sunku suprasti abstrakčius žodinius aiškinimus, jeigu jis iš anksto neturi atitinkamos patirties. Todėl šiuos formalius apibrėžimus dažnai reikia išversti į paprastesnę kalbą ir supažindinti su matematikos simboline kalba ( Molina C., 2012, p.55). Pagrindinis logikos vaidmuo mokant pagrįsti taisykles ir logiškai samprotauti, mokymo procese pasireiškia klausimų atsakymų tinkamu taikymu. Klausimas užima svarbią vietą pažinimo procese, nes visas pasaulio pažinimas prasideda nuo klausimo bei problemos iškėlimo ( Wood M., 2011). Klausimas formuluojamas norint išsiaiškinti, kaip mokinys supranta pateiktą ar žinomą informaciją (Ažubalis A., 2008 p. 226; Hazekamp J., 2011, p.5). Klausimus reikia formuluoti įvairaus sudėtingumo, įvairius savo forma, visada atsižvelgiant į mokinių amžių. Klausimas nėra sprendinys ar teiginys, todėl jis nėra nei teisingas, nei klaidingas, bet turintis loginę formą, siekiant gauti naują informaciją ar sprendimą (Baig S., Halai A., 2006). Matematikoje išskiriamos šios klausimų rūšys (Ažubalis A., 2008, p. 227) : 1. Patikslinantieji klausimai ( Ar tiesa, kad...?, Ar reikia...? ir pan.). 2. Atgaminantieji klausimai jie prasideda žodžiais Kur?, Kada?, Kodėl?, Koks? ir pan. Klausimai pradinių klasių mokiniams turi būti trumpi, aiškūs, paprasti ir konkretūs. Nerekomenduotini neapibrėžti klausimai: Ką galime pasakyti apie keturkampį ABCD?. Matematikos pamokų metu mokinys negali būti pasyvus stebėtojas žiūrovas. Kiekvienoje matematikos pamokoje turi būti vystoma mokinių matematinė kalba. Todėl, mokinius reikia skatinti kalbėti apie tai, ką jie daro keliant klausimu: kaip tu išsprendei šį reiškinį?, kodėl taip išsprendei?, o (iššūkis mokiniams) gal tu gali tai išspręsti kitu būdu? Iš kur tu žinai, kad šis atsakymas yra teisingas, o gal gali pagrįsti savo sprendimo būdą? Jei mokiniai kels klausimus mokytojui ir bendraamžiams, tokios konstrukcijos: kas būtų jei..., kodėl mes pradėjome tai...? Vygotskis teigia, kad mokiniams būtina garsiai mąstyti, kalbėti. Toks mąstymo būdas leidžia mokiniams ieškoti, pasitikslinti ir kelti sau klausimus, abejoti, o mokytojui suteikia galimybę įvertinti, kaip mokiniai samprotauja. Mokytojas privalo skatinti mokinius naudoti teisingas sąvokas. Todėl reikia pratinti mokinius kelti klausimus mokytojui, draugui, sau, paaiškinti kodėl jis priėmė tokį sprendimą ar panaudojo būtent tokią strategiją. Svarbu priversti mokinius abejoti tuo, ką jie daro ir kelti klausimus: kas?, kur?, kodėl? ( Hazekamp J., 2011, p.6). Apibendrinant skyriaus medžiagą, galima teigti, jog svarbiausiu matematikos bruožu šiandienos ugdyme yra laikomas samprotavimų loginis tikslumas. Formalios logikos požiūriu, samprotavimas laikomas viena iš mąstymo formų, kuris yra apibūdinamas kaip teiginių grupė, 15

17 kurioje vienas arba keli teiginiai (prielaidos arba premisos) pateikiami taip, kad paremtų likusį teiginį (išvadą). Samprotavimų loginis tikslumas reiškia tikslų visų sąvokų apibrėžimą bei kiekvieno teiginio teisingumo paaiškinamumą. Viena iš pagrindinių pradinio matematikos mokymo užduočių yra paprasčiausių loginių mąstymo struktūrų analizavimas ir vystymas, paremtas tam tikrų matematinių taisyklių suvokimu bei pagrindimu einant nuo konkretaus bei vaizdinio mąstymo iki abstraktaus sąvokinio mąstymo, paremto taisyklės suformulavimu. Nors pradinio ugdymo programoje nei vadovėliuose nėra gausu aiškiai suformuluotų loginių užduočių, bet mokiniai mokomi lyginti objektus ir juos priskirti tam tikrai klasei, analizuoti teiginius, spręsti pastabumą ir loginį mąstymą lavinančius galvosūkius bei spręsti išmoktos teorijos pagilinančius ir atitinkamas sąvokas praplečiančius realaus turinio uždavinius, daryti logines išvadas bei jas pagrįsti. Pasak mokslininkų, taisyklės įsisąmoninimas ir gebėjimas ją logiškai pagrįsti vienas iš sunkesnių uždavinių pradinių klasių mokiniams. Atsižvelgiant į tai, kad jaunesniam mokykliniam amžiui būdingas konkretus operacinis mąstymas, tad mokant mokinius logiškai samprotauti svarbus praktinis ir vizualus pagrindas. Tam padeda vaizdinių priemonių panaudojimas ir rėmimasis pačių mokinių turimu patyrimu, vaizdinėmis priemonėmis, kurios parodo kokybinius matematikos dalyko santykius. Pradinių klasių vaikai geriausiai išmoksta dirbdami su konkrečiais daiktais, medžiagomis, reiškiniais manipuliuodami, veikdami, liesdami, matydami ir jausdami daiktus. Toks mokymo būdas žymiai geriau padeda vaikams suprasti sąvokas ir santykius nei abstraktūs mokymo būdai, kurie labai tinka antrojoje vaikystėje ir paauglystėje. Mokinys taisykles ir sakinius gali išmokti, įsiminti, tačiau neįtvirtinti vaizdumu, jie bus mokiniui tušti, be turinio, mintinai iškalti sakiniai Pradinių klasių vadovėliuose pateikiamos matematikos taisyklės Atsižvelgiant į tai, kad vienas iš informacijos šaltinių mokiniui mokantis mokykloje, ypač pradinėse klasėse, yra vadovėlis, šiame skyriuje pateikiama pradinių klasių matematikos vadovėlių analizė samprotavimų loginio tikslumo aspektu. Kaip žinia, vadovėlyje mokiniai turėtų rasti naudingos ir reikiamos informacijos. Nuo pat pirmos klasės mokiniai turi būti mokomi dirbti su vadovėliu, nes tai yra pagrindinis informacijos šaltinis, kuris yra naudojamas pradinėse klasėse mokymo ir mokymosi metu. Todėl mokytojas atlieka labai didelį vaidmenį šiame procese. Jis privalo padėti mokiniams išmokti tinkamai naudotis vadovėliu, ieškant reikiamos informacijos ar atliekant užduotis. Nuo pirmos iki ketvirtos klasės su mokytojos pagalba yra ugdomas mokinių gebėjimas naudotis vadovėliu kaip informacijos šaltiniu. Kalbant apie matematikos vadovėlius, reikia nepamiršti, kad pradinių klasių matematikos vadovėliai turi būti sudaromi atsižvelgiant į jaunesnio mokyklinio amžiaus ypatumus. Tyrimo metu analizuoti šie vadovėliai: Danutės Kiseliovos ir Arkadijaus Kiseliovo Matematikos pasaulyje bei Matematika, Rimos Martinėnienės ir Broniaus Balčyčio Skaičių šalis, Jolantos Vengalienės, Salomėjos Žeknienės ir Jolantos Žvirblienės Riešutas, bei autorių kolektyvo parašytas integruotas vadovėlis Vaivorykštė, kurių vieni iš bendraautorių yra Arkadijus Kiseliovas, Danutė Kiseliova. Analizuojant vadovėlius buvo siekiama išsiaiškinti, ar šiuose vadovėliuose informacija pateikiama nuosekliai ir loginio samprotavimo principais. Tikslas: šiame skyriuje siekiama išanalizuoti 1 4 klasių matematikos vadovėlius samprotavimų loginio tikslumo aspektu. Šiam tikslui pasiekti numatyti šie uždaviniai: 1. Nagrinėjant Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos pradinio ugdymo bendrąsias programas (2008) ir matematikos vadovėlius pradinėms klasėms, išskirti ir įvardinti visas ten minimas matematikos taisykles bei suklasifikuoti jas loginio pagrindimo problematikos aspektu. 2. Išanalizuoti pradinių klasių matematikos turinio loginį nuoseklumą. Analizuojant pradinių klasių matematikos vadovėlius buvo atsižvelgta į didaktinius principus, kurie atspindi matematinių sąvokų, kurias reikia aiškinti, specifiką, taip pat kaip vadovėliuose pateikiamos matematikos taisyklės. Pagrindinis dėmesys buvo kreipiamas į atskirų elementų sujungimą į visumą ir taisyklės formulavimą bei naujos medžiagos ryšį su senąja. Kad būtų suprasta nauja medžiaga, reikia išaiškinti jos sąryšius su anksčiau įgytomis ir elementaresnėmis žiniomis. Taip 16

18 pat buvo nagrinėjama, ar parinkti tikslingi pavyzdžiai, ar remtasi taisyklių aiškinimo procese bei formulavime indukcijos ir dedukcijos metodu, sąvokų formuluotės. TAISYKLIŲ ĮVAIROVĖ Aritmetika (kiekio pažinimas) Geometrija (formos pažinimas) Matavimai Kelintinis skaičiavimų aspektas Kiekinis skaičiavimų aspektas Su figūromis susiję matavimai Nemetrinė informacija apie figūrą Statistiniai matavimai Algebra (bendrybių pažinimas) 1 pav. Pradinių klasių matematikos taisyklių sąsajos. Pradinių klasių matematikos taisyklių schema sudaryta remiantis pagal vadovėliuose pateiktų užduočių atlikimo pobūdį. Čia išskiriamos dvi pamatinės matematikos sritys aritmetika ir geometrija ( žr. 1 pa.). Matavimo ir statistikos užduotys pradinių klasių matematikos vadovėliuose sudarytos remiantis aritmetikos ir geometrijos pagrindais. Algebra čia yra kaip visų bendrybių visuma. Analizuojant taisyklių pateikimą bei pristatymą, buvo pastebėta, jog daugumoje matematikos vadovėlių duodamas apibrėžimas, o mokiniai turi jį pagal iliustruojančius pavyzdžius ar mokytojo aiškinimus suprasti. B. Balčyčio, R. Martinėnienės vadovėlyje Skaičių šalis randama užduočių, kuriomis remdamiesi mokiniai turi suformuluoti taisyklę: duodami pavyzdžiai, o pagal juos mokiniai formuluoja definiciją, taisykles, dėsnius (arba duodami argumentai, o mokiniai formuluoja teiginį išvadinį sakinį). 2 pav. Pradinių klasių taisyklių pateikimas matematikos vadovėliuose. Duotai matematinei taisyklei mokiniai turi sugalvoti pavyzdžių arba ją įtvirtinti spręsdami uždavinius. Kuriamai kai pagal pavyzdžius ir argumentus mokiniai turi patys atrasti taisyklę( žr.2 pav.). Vadovėlių Matematikos pasaulyje, Matematika ir Vaivorykštė autoriai yra Danutė Kiseliova ir Arkadijus Kiseliovas, tad šiuose matematikos vadovėliuose randama daug panašumų. Šiuose vadovėliuose didesnė dalis taisyklių yra formuluojamos per liepiamąją nuosaką bei per aš asmenį kaip antai: kai sudėjau arba aš padalinau. 17

19 Jei Matematikos pasaulyje daug iliustruojančių taisyklę piešinėlių, kuriuose vaizduojamos realios matematinės situacijos, tai vadovėlyje Matematika gausu nuotraukų, kuriose fiksuojami kelio ženklai, pastatai, matematinės situacijos bei jų sprendimų būdai, kurie artimesni vaiko pasaulio tikrovės suvokimui. Vadovėlyje Matematika temos išdėstytos tam tikra tvarka pirmiausia naujos taisyklės išmokimo, tuomet įtvirtinimo bei kartojimo temos, kurios leidžia mokytojui įvertinti vaikų žinias bei gebėjimus pritaikant taisykles naujose situacijose ir pasiruošti kontroliniam darbui ar testui. Vaivorykštė yra integruotas vadovėlis pagal temas, tad autoriams matematikos užduotis ir temas teko pritaikyti pagal paties vadovėlio sudarymo principą. Pirmosios matematikos temos skirtos tik sudėties veiksmui iki 10, o po to atimties mokymuisi. Jei visuose matematikos vadovėliuose sudėties ir atimties veiksmai eina lygiagrečiai, tai šio vadovėlio autoriai pateikė kiek kitokį aritmetikos mokymo būdą. Tikriausiai, toks temų išdėstymas paremtas paties skaičiaus sandaros suvokimu. Anot I. Dulkienės ( 2007, p.6), pirmiausia sudedant du įvairius dėmenis mokiniai supažindinami su skaičiaus sandara ir tik kai gerai žinosime skaičiaus sandarą, galime mokyti atvirkštinio veiksmo, tai yra kiek liks, jei atimsime. Vadovėlyje Skaičių šalis nemaža dalis taisyklių pateikta indukciniu būdu, pvz.: pateikiama matematinė situacija, pagal kurią turi sugalvoti taisyklę, pvz.: Kodėl dalydami iš 1, gauname tą patį skaičių, kurį dalijome? Paaiškink. Tokios užduočių formuluotės mokina mokinius mąstyti, logiškai samprotauti ir įrodinėti savo teiginių teisingumą bei pagrįstumą. Mokiniams kartais po pateiktų taisyklių arba išvadų pateikiama užduotis patikrink, kuri mokinį įpareigoja patikrinti šios taisyklės teisingumą, moko pirmųjų matematinių teiginių įrodymo pradmenų. Vadovėlyje ne itin gausu schemų, paveikslėlių bei nuotraukų, tikriausiai todėl, kad vienai temai skiriamas tik vienas puslapis. Vadovėlyje užduotys pateikiamos struktūruotai, dalykiškai, nes tikriausiai autoriai tikisi, o gal sudaro galimybes pačiam mokytojui taisyklę pamokoje pateikti kūrybiškai per konkrečią ir vizualiąją veiklą. Kai kurios matematinės taisyklės yra parašytos vadovėlio puslapio apačioje mažesniu bei smulkesniu šriftu. Toks taisyklės užrašymo būdas yra neatkreipiantis vaikų dėmesio, tartum jis būtų skirtas pačiam mokytojui. Reikia pastebėti, jog matematikos vadovėliuose pateikiamos taisyklės ir sąvokos dažniausiai yra vizualiai iliustruojamos. Pavyzdžiui, vadovėliuose Riešutas ir Matematikos pasaulyje gausu paveiksliukų, Matematikos pasaulyje nuotraukų, labiau atitinkančių tikrovės vaizdą. Pastarojo vadovėlio nuotraukose vaizduojami vaikų atliekami matematiniai veiksmai ir objektai, kurie supažindina mokinius su supančiu pasauliu bei saugaus eismo taisyklėmis ir ženklais. Riešuto vadovėlio vienas iš puslapių skiriamas iliustracijai, kuria vaikams perteikiama ar įtvirtinama taisyklė, bei vizualiai pateikiama matematinė situacija uždavinių kūrimui. Dauguma šio vadovėlio iliustracijų ( 1-2 klasėje) labai abstrakčios, nes jose vaizduojamos situacijos artimesnės pasakų siužetams, nei realybei, pvz.: miško žvėrių olimpiada, vilkas batsiuvys, kiškis einantis į kopūstų daržą ir kt. Nekonkretūs matematinių situacijų veikėjai gal ir lavina vaikų vaizduotę bei padeda lengviau įsiminti informaciją, bet tai nepadeda įgytas matematikos pamokoje žinias susieti su pasaulio pažinimu ir loginiu samprotavimu. Juk pasaulio pažinimo pamokoje, kalbant apie kiškio mitybą, daugelis vaikų, remdamiesi Riešuto vadovėlyje minima situacija, ir įvardina, kad šis gyvūnas ėda kopūstus ir morkas, kas ne visai atitinka tikrovę. Vadovėlyje Riešutas kiekviena tema bei jos užduotys pateikiamos gan vienodai: pirma analizuojama pagrindinė iliustracija, įsimenama kokia nors taisyklė, atliekami tekstiniai, o vėliau aritmetiniai skaičiavimai ir pati paskutinė užduotis yra Riešutuko klubo. Vadovėlyje yra pateikiama daug naujų temų, bet žinių pasitikrinimui bei kartojimui skiriama tik viena pamoka. Beveik kiekvieno kartojimo skyriuje pateikiamos įvairios užduotys su statistikos duomenimis. Kalbant apie esminius trūkumus pateikiant (pristatant) matematikos taisykles, reikia pastebėti, jog lietuviškuose matematikos vadovėliuose ne visos sąvokos apibrėžiamos, taip pat aiškinamos ne visos taisyklės. Be to, vienu iš rimtesnių trūkumų laikyčiau tai, jog visuose vadovėliuose pasigendama matematinių taisyklių rinkinio, kuris leistų, vaikams suabejojus ar užmiršus taisyklę, ją rasti pačiame vadovėlyje. Vadovėlyje Riešutas, pateikiama tik, pvz.: antros klasės 2 knygos išeitų temų taisyklių rinkinys, bet nerasime visų išmoktų taisyklių. 18

20 Pradinių klasių matematikos turinio loginis nuoseklumas Atlikti išsamūs pradinių klasių matematikos vadovėlių kokybinių sąvokų pateikimo tinkamumo, temų nuoseklumo, matematinių veiksmų aiškinimo aspektai bei pateikti pasiūlymai, kaip būtų galima kitaip jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikams paaiškinti sąvokas ir taisykles. Kaip rodo vadovėlių analizė, mokant matematikos, pradinėje mokykloje atliekamos įvairios užduotys, tai: skaičiavimo ir lyginimo, matavimo ir braižymo pratimai, statistinių duomenų rinkimas, sisteminimas bei vaizdavimas, išmoktą teoriją pagilinantys ir atitinkamas sąvokas praplečiantys realaus turinio uždaviniai. Reikia pastebėti, kad visi matematikos vadovėlių autoriai daugiausia dėmesio skiria skaičių ir skaičiavimų, reiškinių, lygčių, nelygybių sritims. Mažiausiai uždavinių skiriama statistikos veiklos sričiai. Šiame skyriuje matematikos turinio loginis nuoseklumas bus analizuojamas lyginant tarpusavyje visus matematikos vadovėlius pagal klases. Siekiant gauti kuo konkretesnę ir išsamesnę matematikos turinio pradinių klasių vadovėliuose analizę, šiame darbe matematikos turinys suskirstytas remiantis Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiomis programomis ( 2008), pagal 5 matematikos sritis : skaičiai ir skaičiavimai, algebra, geometrija, matai ir matavimai. Visų pirma, skaičių ir skaičiavimų sritis skiriama į dvi sritis: skaičių eilės ir sandaros suvokimo bei aritmetikos veiksmų. Skaitinių reiškinių sprendimas priskiriamas prie aritmetikos, o tekstinių uždavinių bei lygčių sprendimas priskirtas algebros pradmenų sričiai. Geometrija bei matai ir matavimai šiame darbe imamos kaip dvi atskiros sritys. Be to, išskirta atskira orientavimosi erdvėje sritis. Iš viso šiame darbe pradinių klasių matematikos turinys skirstomas į 7 sritis. Tai orientavimasis erdvėje, skaičių eilė ir sandara, aritmetika, statistika, algebros pradmenys, geometrija, matai ir matavimo vienetai (žr. 1 lentelė). Šiuo matematikos turinio skirstymu remiamasi ne tik analizuojant visų klasių matematikos vadovėlius, bet ir tolimesniame tyrime atliekant ugdomąjį eksperimentą bei atliekant diagnostinių tyrimų rezultatų analizę. Analizuojant pradinių klasių matematikos vadovėlių turinį buvo atsižvelgta į bendrybes ir skirtumus: kurias matematikos veiklas bei temas randame visuose vadovėliuose, o kurias temas apžvelgia tik kai kurių vadovėlių autoriai, nors pradinio ugdymo programose veiklos srityse šios veiklos neminimos. 1 lentelė Matematikos turinio loginis nuoseklumas pirmos klasės matematikos vadovėliuose Sritis Turinys Orientavi masis erdvėje Skaičių eilė ir sandara Panašumai Kairė, dešinė, aukštyn, žemyn, virš, po, už. Platus, siauras, ilgas, trumpas, storas, aukštas, žemas, sunkus, lengvas. Vienaženkliai, dviženkliai skaičiai. Lyginiai nelyginiai skaičiai: pora. Skaičiaus skyriai: vienetai, dešimtys, šimtai, skaičiai kaimynai, skaičių ašis. Aritmetika Sudėties ir atimties veiksmai: sudėtis ir atimtis iki 5 ir iki 10; sudėtis ir atimtis nuo 10 iki 20; dviženklių ir apvalių dešimčių skaičių sudėtis ir atimtis iki 100 neperžengiant dešimtis, sudėties ir atimties ryšys, dėmenų sukeitimas vietomis, sudėtis dalimis ir iš karto. Lygybė nelygybė: < > = = Skaičiaus padidinimas: daugiau mažiau, skaičiaus padidinimas ar sumažinimas keliais vienetais. Skaičių palyginimas tarpusavyje: kiek daugiau, kiek mažiau. Skirtumai Vadovėlyje Skaičių šalis : taisyklė, kad 10 dešimčių tai 1 šimtas. Vadovėlyje Matematika supažindinama su sąvokomis: dėmuo, suma, turinys, atėminys, skirtumas Statistika Lentelės, stulpelinė diagrama horizontali ir vertikali. Vadovėlyje Skaičių šalis diagramų nėra Algebros Pirmo ir antro dėmens radimas žinant atėminį ir skirtumą. pradmenys Tekstiniai uždaviniai: sąlyga, klausimas, sprendimas, atsakymas Geometrija Geometrinės figūros: kvadratas, apskritimas, stačiakampis, Vadov. Matematikos skritulys, atkarpa, tiesi, netiesi linija, kraštinė pasaulyje : stačiakampis 19

21 Matai ir matavimo vienetai Kūnai: kubas, rutulys, piramidė Liniuotė, matavimas naudojantis daiktais ir kūno dalimis, laikrodis, para, diena, naktis, savaitė, metai, vidurdienis, vidurnaktis, monetos, centai, valanda, amžius, metras, užvakar, vakar, šiandien, rytoj, poryt, mėnesiai, kilogramas, litras gretasienis, ritinys. Orientacija erdvėje. Vadovėlių analizė rodo, jog visuose matematikos vadovėliuose (išskyrus Skaičių šalyje ) pirmosios temos skirtos pasitikrinimui arba supažindinimui su erdvės ir krypties sąvokomis aukščiau, žemiau, už, po, virš. Jos plačiai neplėtojamos, nes vaikai šias sąvokas jau yra išmokę lankydami priešmokyklines grupes. Skaičių eilė ir sandara. Pirmokai supažindinami su skaičių seka iki 10. Riešuto vadovėlio autoriai daugiausia dėmesio skiria skaičiaus sandarai (6 tai 2+4 ar 1+5). Kituose matematikos vadovėliuose ši tema plačiai neanalizuojama, daugiau koncentruojamasi sudėties ir atimties veiksmams mokyti. Būtent, tvirtas skaičiaus sandaros suvokimas leidžia pradinių klasių mokiniams teisingai atlikti sudėties ir atimties veiksmus peržengiant į kitą dešimtį, bei palengvina suvokimą paties dalybos veiksmo, pvz.: 16 : 4 8 : : 4. Matematikoje pirmiausiai vaikai mokomi sudėti ir atimti iki 10, tik paskui viena tema skiriama skaičiaus sandarai. Pats skaičiaus mokymas nesusietas su jo sandara. Minėto vadovėlio autoriai pateikia taisyklę, kad sudėjus du mažesnius skaičius gauname didesnį skaičių Tokia taisyklės formuluotė leidžia vaikams kaip ir suprasti, kad prie tikrai negausime 1, nes jis mažesnis už kitus du dėmenis. Aritmetika. Sudėtis ir atimtis. Sudėties veiksmui skirtos iliustracijos matematikos vadovėliuose yra aiškios ir suprantamos, bet atimties veiksmui užrašyti keletą iliustracijų Riešuto vadovėlyje nupieštos dviprasmiškai, pvz.: po iliustracija, pagal kurią vaikai turi sugalvoti uždavinį, parašytas atimties ženklas, bet iliustracijoje pavaizduota kempinė nupiešta lyg ateinanti ir pasisveikinanti ar išeinanti ir atsisveikinanti. Tokioje situacijoje mokiniams apsispręsti, kokį aritmetinį veiksmą reikėtų užrašyti, padeda tik matematinis ženklas. Riešute formuluojama taisyklė, kad kuo didesnis atėminys, tuo mažesnis skirtumas ir atvirkščiai, padeda mokiniams suprasti, kad kuo daugiau atimsi, tuo mažiau liks. Riešuto vadovėlyje daug temų skirta skaičiavimui iki 5, kai jau vaikai geba suskaičiuoti iki 10. Manau, kad šio vadovėlio autorės galėjo skirti didesnį dėmesį skaitmens 2 taisyklingai rašysenai. Autorės šį skaitmenį moko rašyti kartu su skaitmenimi 1. Matematikoje dėmenų keitimo tema susieta su lietuvių kalba palindromais (skaitymas atvirkščiai iš kito galo) ir saugaus eismo tematika. Tai leidžia vaikams suprati, kad bet kuris skaitymo ar skaičiavimo būdas esmės ir skaitinio rezultato nekeičia, pvz.: SĖDĖK UŽU KĖDĖS ir 2+3 ar 3+2. Vieną iš įdomesnių aiškinimo būdų apie dėmenų sukeitimą vietomis, pirmos klasės mokiniams pateikia C. Molina ( 2012, p.55) : jei žmogus užkeltų kairę koją ant dešinės ar dešinę koją ant kairės, jis abiem atvejais turės dvi kojas. A. Kiseliovas ir D. Kiseliova pateikia įdomų skaičiaus sandaros aiškinimo būdą, kai 10 vienetų užkoduojami sutartiniu ženklu reiškiančiu vieną dešimtį, pvz.: 10 mažų žvakučių = 1 didelė žvakė arba 10 raudonų mažų kvadratėlių = 1 didelis mėlynas kvadratas. Tokia sutartinė matematikos kalba reikalinga mokant vaikus suprasti, kad matematikos kalba galima užkoduoti informaciją. Toks mokymo būdas paruošia mokinius statistikos ir piktogramų mokymuisi. Mokant vaikus sudaryti apvalias dešimtis pirmoje klasėje akcentuojama didesnioji dešimtis, pvz.: prie 28 reikia pridėti 2, kad gauti 30. Tuomet vadovėlio Matematika autoriai vaikams siūlo tokią apvalių dešimčių sudarymo taisyklę: Jei dėsime (maišelyje 28 kubeliai) į didesnę dėžutę, reikia iš statinio paimti dar du kubelius, jei dėsime į mažesnę dėžutę, 8 kubelius sudėsime atgal į maišelį. Toks pavyzdys leidžia vaikams pasamprotauti apie skaičiaus sudarymo galimybes ir būdus bei padeda pagrindus mokantis skaičių apvalinimą. Lygybės ir nelygybės. Visi matematikos vadovėlių autoriai pateikia lygybės ir nelygybės ženklus, juos vaikams aiškindami dviejomis lazdelėmis ar gandro pražiotu snapu. Vadovėlyje Vaivorykštė pateikiamas nelygybės ženklo apibrėžimas: Ženklas > visada praplėstas į tą pusę, kur yra daugiau daiktų. Žinoma, toks taisyklės pateikimas priimtinas tik tiems pirmokams, kurie turi 20

22 aukštesnius skaitymo gebėjimus. Tam, kad vaikas galėtų suprasti užrašytą taisyklę, jis turi mokėti ne tik perskaityti šią taisyklę, bet ir suvokti ją kaip informacinį tekstą. Reikia pastebėti, jog visuose pirmų klasių matematikos vadovėliuose nėra išsamiai pateikiama lygybės ženklo samprata. Lygybės ženklas prarado savo koncepcinę reikšmę. Mokiniai lygybės ženklą suvokia, kaip tam tikrų matematinio veiksmo atlikimo procedūrą. Jis nesuvokiamas kaip dviejų lygių dalių ženklas (Molina C., 2012, p. 60). Vaikams pateikiamas tik pirminis supratimas 6=6 arba 3<5, bet neformuojamas suvokimas, kad 4+2=6 yra tas pats kas 6=6 (Otte M., 2003). Todėl mokiniai lengvai apskaičiuoja matematinį veiksmą 4+2=, bet patiria sunkumų, kai tas pats veiksmas užrašomas atvirkštine tvarka, pvz.: = 4+2 arba 4+2+ =5+1+. Šią problemą, mano nuomone, galime išspręsti mokant vaikus skaičių sandaros ir naudojant kaip vaizdinę priemonę svarstykles su svarmenimis, pvz.: 6 = 6 2+4= 1+5 Tokiu būdu suformuotume suvokimą, kad lygybės ženklas - tai ne gauto rezultato ženklas, o dviejų vienodų skaitinių reiškinių ar jų gautų rezultatų palyginimo ženklas. Statistika. Skaičių šalyje pirmos klasės mokiniams diagramos nėra pateikiamos, yra tik keletas statistikos pradmenims skirtų paruošiamųjų užduočių, pvz.: lentelėse taškeliais ir brūkšneliais koduojama informacija. Geometrija. Matematikos vadovėliuose geometrinių figūrų mokymas siejamas su paties skaičiaus mokymu, pvz.: skaičius 2 ir atkarpa tiesi linija, jungianti du taškus, skaičius 3 ir trikampis. Toks mokymo būdas siejamas su loginio samprotavimo pagrįstumu bei mokymo nuoseklumu. Matematikos pasaulyje pirmokai jau mokslo metų pradžioje supažindinami su geometriniais kūnais, prašant juos logiškai pasamprotauti, kaip galime gauti geometrinę figūrą turint geometrinį kūną, pvz.: piramidė trikampis. Matematikos vadovėlyje geometrinės figūros siejamos su kelio ženklų supažindinimu ir geometrinių figūrų ieškojimu gamtoje ir buityje. Riešute geometrinės figūros pateikiamos akivaizdžiai, be galimybės pasamprotauti.galbūt, mokant skaičių 3, galėtų būti nupiešta įvairių geometrinių kūnų, iš kurių vaikai turėtų atrinkti trikampius ir pagrįsti, kodėl būtent šios figūros taip vadinamos. Taip pat Riešute neaiškus loginis dviejų matematinių temų apskritimo ir skaičiaus 5 susiejimas. Apskritimo figūra yra artimesnė 0 sąvokai, nes ji neturi nei kampų, nei kraštinių, nei viršūnių( p.20). Matematikos pasaulyje teigiama, kad visos keturkampės figūros vadinamos stačiakampiais, kai mokiniai dar nežino ir nesuvokia sąvokos statusis kampas ar stačiakampis. Mokiniams tema apie kampų rūšis nėra viena iš lengvesnių. Pirmos klasės mokiniams pateikiami tie geometrinių figūrų pavadinimai, kurie yra būdingi tik tai figūrai, pvz.: kvadratas ir stačiakampis. Tik vėliau, kai vaikai supažindinami su kampų įvairove, praplečiami geometrinių figūrų apibrėžimai, pvz.: kvadratas tai keturkampis ir stačiakampis. Matematiko pasaulyje figūrų kraštinių ilgį reikia apskaičiuoti pagal skirtingo dydžio langelius, tai leidžia vaikams logiškai pasamprotauti, kodėl apskaičiuojant ilgį vienodų figūrų gaunami skirtingi atsakymai. Matematikos vadovėlyje ieškoma būdų, kaip lengviau vaikams įsiminti geometrinius kūnus per pažintinę veiklą, pvz.: kubas kampuotas, su vienodomis sienomis, rutulys lengvai rieda, nes apvalus. Matai ir matavimo vienetai. Matematikos vadovėlyje paminėti tik keli nemetriniai ilgio matavimo būdai. Riešuto, Skaičių šalyje ir Vaivorykštės (8 knygoje pateikiami ir tikslūs skaitiniai matematiniai matai išreikšti skaičiais) vadovėlyje nuosekliai, nuo įvairiausių matavimo būdų, naudojant kūno dalis: pirštus, rankas, kojas supažindinam su senoviniais matavimo vienetais: sieksnis, sprindis, uolektis, colis, žingsnis ir prieinama prie supažindinimo su liniuote, būtent, klausiant vaikų, kodėl buvo matuojama ne liniuote, o coliais, ir kodėl liniuotė yra prietaisas ilgiui matuoti. Skaičių šalyje pirmiau vaikai mokomi matuoti ilgį liniuote, o tik vėliau supažindinami su kitais nemetriniai matavimo vienetais. 21

23 Supažindinant pradinių klasių mokinius su laikrodžiu, matematikos vadovėliuose pasigendama vienodos taisyklės formuluotės, nes jos pateikiamos skirtingai. Vadovėliuose Matematikos pasaulyje ir Vaivorykštė pateikiamoje formuluotėje sakoma, kad trumpoji rodyklė rodo, kiek ratų apibėgo ilgoji rodyklė, t.y. dėmesys kreipiamas į valandų skaičiavimą. Riešuto vadovėlyje sakoma, kad trumpoji rodyklė per parą apsisuka 2 kartus: pirmą kartą nuo vidurnakčio (00 h) iki vidurdienio (12 h), antrą kartą nuo vidurdienio (12 h) iki vidurnakčio (24). Vadinasi, čia orientuojamasi į paros laiką. Matematikoje taisyklėje apjungiamos valandos ir paros sąvokos. Matematikos turinio loginis nuoseklumas antros klasės matematikos vadovėliuose Sritis Turinys Panašumai Skirtumai Šimtas, lyginiai, nelyginiai, skaičius ir skaitmuo Skaičių eilė ir sandara Aritmetika Sudėtis ir atimtis: sudėtis ir atimtis iki 20 išskaidant ir sudarant dešimtį, dėmenų keitimas vietomis, sudėtis ir atimtis stulpeliu bei eilute, skaičių apvalinimas, sudėties ir atimties veiksmų ryšys, trijų dėmenų suma. Daugyba ir dalyba: vienodų dėmenų sudėtis, kartai, dalijimas į lygias dalis, pusė, daugybos ir dalybos ryšys. Algebros pradmenys Geometrija Matai ir matavimo vienetai Nežinomas dėmuo, turinys, atėminys. Tekstiniai uždaviniai: vienaveiksmiai ir dviveiksmiai uždaviniai, uždavinio sprendimas įvardijant atsakymą, vieno skaičiaus dalies radimas. Stačiakampis, kvadratas, keturkampis, daugiakampis, kampai, viršūnės, kraštinės, briauna, planas, ilgis ir plotis. Litras, termometras, Celsijus, para, kilogramai, ūgis ir masė, ilgis, atkarpa. 2 lentelė Vadovėliuose Matematika ir Matematikos pasaulyje yra romėniški skaitmenys, sąvokos skaičius ir skaitmuo. Vadovėlyje Matematikos pasaulyje : dėmuo, suma, turinys, atėminys, skaičius 1000 Vadovėlyje Matematika : pusė ir ketvirtadalis. Vadovėlyje Matematikos pasaulyje : trečdalis. Vadovėlyje Vaivorykštė : penktadalis Vadovėlyje Riešutas : viršūnių žymėjimas. Vadovėlyje Matematika : plotas. Vadovėlyje Matematikos pasaulyje : bukas, smailus ir status kampas. Vadovėliuose Riešutas ir Vaivorykštė : simetrija Vadovėlyje Vaivorykštė : greitis. Vadovėlyje Matematikos pasaulyje : amžius. Skaičiai ir skaitmenys. Vadovėliuose Matematika, Matematikos pasaulyje, Vaivorykštė skaičiaus ir skaitmens sąvoka aiškinama ieškant paralelių tarp garso ir raidės sąvokos, nes tai vaikams yra labiau artima ir žinoma. Taip pat vaikams šiuose vadovėliuose pateikiama skaičiaus atsiradimo pradmenys, jie supažindinami su romėniškais ir arabiškais skaitmenimis bei mokomi skaičius užrašyti ar perskaityti romėniškais skaitmenimis (žr. 2 lentelė). Aritmetika. Sudėtis ir atimtis. Visuose antros klasės matematikos vadovėliuose aritmetikos temos išdėstytos vienodai: tai sudėtis ir atimtis iki 20 ir vėliau iki 100 peržengiant į kitą dešimtį, dėmenų sukeitimas vietomis, matematinių veiksmų ryšys (+ ir -, x ir :). Vėliau pereinama prie daugybos ir dalybos mokymo iki 5. Mokant sudėti iki 20 peržengiant į kitą dešimtį, šis veiksmas vaikams pateikiamas per vizualizaciją. Jei pirmoje klasėje mokiniai mokydamiesi sudėti iki 10 nepatiria didelių sunkumų, nes jie atlikdami šiuos veiksmus pasitelkia į pagalbą rankų pirštus, tai mokantis sudėti peržengiant į kitą 22

24 dešimtį, vaikams nebepakanka vien tik pirštų, jie turi gerai išmanyti skaičiaus sandarą ir ja operuoti atliekant aritmetinius veiksmus. Skaičių šalyje pateikiamas apibrėžimas, kaip reikia sudėti, Riešuto ir Vaivorykštės vadovėlyje, mokant šio veiksmo, dėliojami riešutai ar kaladėlės į dėžutę, Matematikoje veriami kaštonai ant virvutės. Mokiniams aiškinama, kad pirmiausiai įdedame tiek riešutų, arba suveriame tiek kaštonų, kad būtų viena dešimtis, o po to sudaroma kita nepilna dešimtis, pvz.: 7+5, pirmiausia atliksime veiksmą 7+3, kad gautume 10, o po to prie Mano nuomone, vaikai geriausiai šį matematinį veiksmą įsisavina tik per praktinę veiklą. Vadovėlio Matematikos pasaulyje autoriai, mokydami vaikus sudėti dėmenis sukeičiant vietomis, skatina pačius vaikus logiškai pasamprotauti klausdami kaip patogiau sudėti šiuos skaičius ir kodėl? Skaičių šalies autoriai atkreipia antrokų dėmesį į tai, kad padidinus vieną dėmenį, padidėja suma, kai sumažini sumažėja, pvz.: 16+6 ir Toks mokymo būdas leidžia mokiniams ne tik mechaniškai skaičiuoti, bet ir pasiremti loginiu samprotavimu ir matematine intuicija. Vaivorykštės vadovėlyje pateikiama nežinomo turinio, atėminio ar dėmens radimo taisyklių arba prašoma pačių vaikų sugalvoti pasitikrinimo būdą. Daugyba ir dalyba. Būtent Riešuto vadovėlyje šios temos pateiktos nuosekliausiai, nes pirmiausiai išskiriama tema vienodų dėmenų sudėtis ir matematinių veiksmų bei uždavinių sprendimas parenkant veiksmus, tuomet pereinama prie daugybos, kaip vienodų dėmenų sudėties pakeitimo. Dalybos veiksmas susiejamas su daugybos ir mokomas daugybos lentelės principu, pirmiausiai mokiniai mokomi dalinti iš 2, vėliau iš 3 ir t.t. Riešuto vadovėlio autoriai 5 daugybos lentelę susiejo su laikrodžio pažinimu, t.y. nusakymu, kiek laikrodis rodo minučių. Šis susiejimas leidžia vaikams geriau įsiminti ir greičiau atlikti laiko skaičiavimo užduotis. Veiksmų tvarka. Vadovėlyje Matematikos pasaulyje pateikiama taisyklė veiksmų eiliškumui nustatyti : Kai skaitinis reiškinys sudarytas iš sudėties, atimties ir daugybos veiksmų, pirmiausia atliekame daugybos veiksmą. Taisyklė yra aiški, bet tarytum nėra loginio paaiškinimo, kodėl pirmiau reikia dauginti ar dalinti, o tik po to sudėti ir atimti. Aiškinant veiksmų tvarkos eiliškumą, turėtume klausti: Kodėl daugyba ir dalyba yra sudaryta iš vienodų dėmenų ir atėminių? Kodėl sudėties ir atimties veiksmus reikia atlikti paskiausiai? ( Molina C., 2012, p.68) Jei mes lentoje užrašytume veiksmą 3-9 : 3 ar 1-5 x 0 ir paprašytume jį atlikti, daugelis vaikų tikrai pasakytų, kad iš 3 atimti 9 negalime, tad beliktų paaiškinti, tik kad sumažinus devynetą 3 kartus, galėsime atlikti atimties veiksmą. Skaičiaus dalys. Vadovėliuose Matematikos pasaulyje, Matematika ir Vaivorykštė yra pateikiamos sąvokos pusė, trečdalis ir ketvirtadalis. Vaikams aiškinama, kad pusė žymima ½ ; čia apatinis skaičius rodo, į kiek dalių padalytas daiktas. Pati taisyklės formuluotė trupmeną pririša prie daikto sąvokos, nors užduotyse vaikams tenka padalinti ir geometrines figūras, ir atkarpas, ir pačius daiktus. Gal pati geometrinė figūra labiau susijusi su daikto sąvoka, nes ji dalijama kaip daiktas, bet atkarpa ir daiktų grupė yra matematiškai išmatuojama, t.y suskaičiuojama ir dalijamas ne pats daiktas, o jų skaičius. O vadovėlio Vaivorykštė tie patys autoriai siūlo tokį apibrėžimą: Kai dalijame į dvi lygias dalis, sakome, kad padalijome pusiau. Kiekvieną tokią dalį vadiname puse. Matematiškai ją galime užrašyti taip: pusė - ½. Dviejų skaičių palyginimas. Vaikai sunkiai skiria matematines sąvokos daugiau ir kiek daugiau. Pirmoji prašo skaičių padidinti keliais vienetais, o antroji palyginti tarpusavyje skaičius. Antros klasės mokiniai geba atlikti palyginimo operacijas, bet susiduria su sunkumais šias sąvokas išskirdami tekstiniame uždavinyje. Tokio tipo uždaviniams mokiniai dažniausiai abejais atvejais parenka sudėties veiksmą, pvz.: Jonas turi 5 saldainius, o Martynas 2 daugiau ir Jonas turi 5 saldainius, o Martynas 7. Kiek daugiau saldainių turi Martynas? Tad, mano manymu, matematikos vadovėliuose turėtų būti išskirta tema uždavinių sprendimui šioms sąvokoms įtvirtinti. Geometrija. Kampai. Matematikos pasaulyje labai aiškiai vaikams suformuluotas apibrėžimas apie kampų rūšis: Kai lenkiu gaunu smailų kampą, kai tiesiu gaunu buką kampą, o tokie kampai kaip sąsiuvinio vadinami stačiaisiais. Vis dėlto vaikams stačiojo kampo paaiškinimas yra priimtinesnis, 23

25 kai ši sąvoka gretinama su žodžiu stovintis- status. Šiam žodžių sugretinimui galime pasitelkti šiuolaikinės architektūros nuotraukų, kuriose užfiksuotos įvairios kambario ar namo sienos. Riešuto vadovėlyje yra pateikiamas daugiakampio viršūnių žymėjimas ir kraštinių išmatavimas bei užrašymas, pvz.: AB = 5cm. Vaivorykštėje pateikta praktinė veikla formuoti sąvokoms - kraštinės, kampai ir viršūnės: linijomis sujungiau akmenukus ir gavau trikampį. Linijos vadinamos kraštinėmis, o akmenukai žymi figūrų viršūnes. Figūrų viduje yra kampai. Plotis ir plotas. Šios sąvokos aiškinamos Matematikos pasaulyje. Šiame vadovėlyje formuluojamas toks apibrėžimas: Žodžiai plotis ir plotas skamba panašiai, bet reiškia skirtingus dalykus. Plotis yra stačiakampio trumpesniosios kraštinės ilgis, o plotas užimama vieta. Vadovėlyje Matematika pateikiamos ploto skaičiavimo užduotys remiantis tuo, kad antros klasės mokiniai mokomi sudaryti du tarpusavyje susijusius daugybos veiksmus pagal įvairias daiktų grupes skaičiuojant juos eilutėmis ir stulpeliais, pvz.: kiek vienoje eilėje yra objektų ir kelios tos eilės arba kiek yra stulpelių. Juk apskaičiuojant plotą, skaičiuojami kvadratai, t.y. kiek jų yra pagal ilgį (kiek eilučių) ir kiek pagal plotį ( stulpelių). Manau, kad vaikams būtų lengviau šias sąvokas įsiminti jas rimuojant pagal matematinę prasmę ir atkreipiant į pačių žodžių galūnių skambesį: pvz.: ilgis - plotis ir kvadratas plotas. Simetrija. Vadovėliuose Riešutas ir Matematikos pasaulyje, Vaivorykštė yra užduočių simetrijos sąvokai supažindinti. Tik ši tema galėtų būti susieta su mokymu dalinti iš 2. Riešuto vadovėlyje pateikiama simetrijos taisyklė: Simetrijos ašis dalija figūrą ( ar tik figūrą?) į dvi lygias dalis, kurios ją perlenkus sutampa. Ši formuluotė pati prašosi dalinti į 2 lygias dalis, kai pati simetrijos tema atskirta nuo kitų jai giminiškų temų. Matematikos pasaulyje ir Vaivorykštėje simetrija siejama su karpiniu ir piešiniu : Lenkimo linija, dalijanti karpinį į simetriškas dalis, vadinama simetrijos ašimi. Tad, kaip matome, nėra vieningo susitarimo tarp autorių, koks turėtų būti pateiktas simetrijos apibrėžimas. Matai ir matavimo vienetai. Para. Paros sąvoka Matematikos pasaulyje ir Vaivorykštėje integruojama su pasaulio pažinimo tema apie žemės sukimąsi apie savo ašį. Toks paaiškinimo būdas leidžia vaikams suprasti ne vien tai, kad para tai 24 valandos arba diena + naktis, o ir tai, kad para tiesiog yra tas kelias, kurį nueina žemė per tam tikrą laiką. Taip pat vaikams aiškiai formuluojamas trumposios rodyklės kelias, kad kol žemė apibėga vieną ratą, tai trumpoji rodyklė apsuka 2 ratus. Vaivorykštės vadovėlyje ši taisyklė šiek tiek praplečiama: Kol žemė apkeliauja apie Saulę didžiuoju ratu, praeina vieni metai. Skaičių šalis supažindinant vaikus išskiria dvi laikrodžių rūšis paprasti ir elektroniniai. Pateikiamas pavyzdys, kad elektroniniai laikrodžiai laiką skaičiuoja nuo vieno pusiaunakčio iki kito, o paprasti nuo pusiaunakčio iki pusiaudienio ir nuo pusiaudienio iki pusiaunakčio. Šiame apibrėžime netinkama sąvoka paprasti laikrodžiai, kai galime tai tiesiog pakeisti aiškiu ir tiksliu žodžiu mechaniniai. Supažindinant vaikus su termometru, antros klasės mokiniams aiškinama taip: kai šyla, skystis kyla aukštyn, kai vėsta, krinta žemyn. Šis apibrėžimas turėtų būti susietas su pasaulio pažinimu apie vėjo susidarymą ir oro judėjimą remiantis tuo, kad šiltas oras lengvas, o šaltas sunkus,ar verdančio vandenio garavimu. Sunkiausia vaikams yra teisingai užrašyti neigiamą temperatūrą, nes jie linkę -5 atskaičiuoti ne nuo nulio, o nuo žemiau esančio skaičiaus -10, mintyse atlikdami veiksmą = lentelė Matematikos turinio loginis nuoseklumas trečios klasės matematikos vadovėliuose Sritis Turinys Panašumai Skirtumai Skaičių eilė ir Triženkliai ir keturženkliai skaičiai, skaičių apvalinimas. sandara Skaičiaus dalys: skaitiklis, vardiklis, paprastosios ir dešimtainės trupmenos Aritmetika Sudėtis ir atimtis: sudėtis ir atimtis iki 1000, atimtis, kai turinyje dešimčių vietoje yra nulis Daugyba ir dalyba: apvalių dešimčių ir šimtų daugyba ir dalyba, dviženklių ir triženklių skaičių daugyba iš vienaženklio ir dviženklio skaičiaus, dešimtainių trupmenų dauginimas iš vienaženklio skaičiaus, 24

26 Algebros pradmenys Geometrija Matai ir matavimo vienetai talpos dalyba, dalyba kampu, daugybos ir dalybos veiksmai su nuliu, dalyba su liekana. Veiksmų tvarka: Sudėtis ir atimtis, daugyba ir dalyba, skliaustai. Tekstiniai uždaviniai: dviveiksmiai tekstiniai uždaviniai, uždavinių sprendimas dviem būdais dviem veiksmais ir vienu reiškiniu, uždavinių sprendimas per vienetą, skaičių padidinimui ir sumažinimui kelis kartus, kartotinio palyginimo uždaviniai. Lygtys. Perimetras ir plotas, skritulys ir apskritimas, simetrija, skriestuvas, centras, spindulys, skersmuo, piramidė, status, bukas ir smailus kampas Ilgis, centimetrai, milimetrai, decimetrai ir metrai, matavimo vienetų smulkinimas ir stambinimas, kelias, laikas, greitis, kilometras, mililitras, plotas, kvadratinis centimetras ir metras, sekundė, amžius Vadovėlyje Skaičių šalis : pagrindas Trečios klasės matematikos vadovėliuose užduotys parengtos tokios, kad mokiniai išmoktų atlikti ne tik aritmetinius veiksmus iki 1000, bet ir susipažintų su kilometru ir kilogramu, nes šie matavimo vienetai turi tūkstančių klasę, surasti skaičiaus dalį, apskaičiuoti perimetrą ir plotą, dauginti stulpeliu ir dalinti kampu iki 1000, greičio užduočių sprendimas taikant matematinę formulę v= s/t, uždavinių sprendimas per vienetą ( žr. 3 lentelė). Skaičiaus sandara. Matematikos, Matematikos pasaulyje vadovėlyje nuosekliai nuo pažinties su skaičiais iki 1000 pereinama prie kilometro ir kilogramo skaičiavimo uždavinių. Pačios sąvokos vaikams yra jau žinomos, bet su jomis neatliekami matavimo vienetų smulkinimo ir stambinimo veiksmai. Matematikos pasaulio vadovėlyje autoriai aiškiai ir tiksliai suformuluoja skaičiaus skyrius bei sandarą, pvz.: 2643 visas skaičius rodo, iš kiek atskirų vienetų jis sudarytas šiuo atveju iš 2643 vienetų skaičius vienetų kairėje rodo, iš kiek pilnų dešimčių jis sudarytas iš 264 dešimčių skaičius dešimčių kairėje rodo, iš kiek pilnų šimtų jis sudarytas iš 26 šimtų skaičius šimtų kairėje rodo, iš kiek pilnų tūkstančių jis sudarytas iš 2 tūkstančių. Ši tema susieta su apvalių dešimčių ir šimtų daugyba. Tiksliau ir racionaliau būtų, jei toks apibrėžimas būtų siejamas su paties skaičiaus iki 1000 mokymu ir jo sandara, nes tai padėtų mokiniams aiškiai suvokti pačią sudėties ir atimties veiksmų užrašymo stulpeliu tvarką ir pačių veiksmų atlikimo nuoseklumą ir eigą. Aritmetika. Sudėtis ir atimtis iki Matematikos pasaulyje 3 klasės mokiniams pateikiama dviejų triženklių skaičių sudėtis net keturiais būdais: išskaidant skaičius į jų skyrius ir sudedant eilute bei stulpeliu, sudėtis sudedant atskirai vienetus ir susidariusias dešimtis iš vienetų perkeliant į dešimtis ir atliekant veiksmą su jomis. Pažintis su keliais sudėties variantais leidžia mokiniams įvairiais pjūviais suvokti skaičiaus sandarą ir jo sudarymo būdus. Skaičių šalis siūlo vieną iš įdomesnių sudėties pasitikrinimo būdų, pvz.: =911- apvaliname skaičius =900. Skaičius 911 artimas 900, todėl galima tikėtis, kad skaičiuota teisingai. Kiti gautų rezultatų pasitikrinimo būdai yra atvirkštinio matematinio veiksmo pritaikymas; sudėčiai atimtis, daugybai dalyba. Daugyba ir dalyba. Mokytojai ir daugelyje matematikos vadovėlių pateikiama tokia daugybos iš apvalių dešimčių ir šimtų taisyklė, kad dauginant 70 x 30 pirmiau sudauginame pirmuosius skaičius, o prie jų sandaugos prirašome tiek nulių, kiek jų turi abu daugikliai. Tokia taisyklės formuluotė suformuoja mechanišką, bet ne loginį jos pagrindimą, kodėl tie nuliai prirašomi. Matematikos vadovėlyje autoriai vaikams siūlo, kad dauginant apvalius skaičius 70 x 30 pirmiausiai sudauginame tik pirmuosius skaičius (7 x 3), o paskui gautą skaičių dauginame iš 10 ir dar kartą iš 10. Tokia taisyklės formuluotė leidžia vaikams suvokti, kodėl prirašomi 2 nuliai, o ne 3. Dalybos veiksmą 60 : 20, tame pačiame vadovėlyje, autoriai aiškina, kad tereikia nubraukti nulius ir padalinti kaip iš vienaženklio skaičiaus. Tokia formuluotė vis dėl to nepaaiškina dalybos veiksmo esmės, kodėl tie nuliai nubraukiami. Skaičių šalyje nulis apibūdinamas kaip stebuklingas skaičius, nes iš jo daugindami sunaikiname kitą skaičių. Toks gal žaismingas paaiškinimas vaikams labiau įsimintinas, bet jis nėra logiškai pagrįstas. 25

27 Riešuto vadovėlyje, mokant vaikus dalybos veiksmo, prisimenama ir skaičiaus sandara, skaičius dalijamas išskaidant jį į skyrius: 486 : 2 = ( ) : 2 = = 243. Taip pat ir dauginant daugiaženklį skaičių iš vienaženklio prisimenama skaičiaus sandara: 17 x 4 = (10+7) x 4 = = 68. Toks aiškinimo būdas sudaro loginį paaiškinimą, kodėl dauginant stulpeliu ar dalinant kampu gaunami tokie rezultatai, ir kodėl jie taip užrašomi. Matematikos pasaulyje randami trys daugybos paaiškinimo variantai, pvz.: 12 x ir 10 x x 3 bei daugyba stulpeliu, kai pirmiau dauginame vienetus, o po to dešimtis. Matematikos vadovėliuose pasigendama ir daugybos veiksmo aiškinimo, kuriame daugikliai išskaidomi remiantis skaičiaus sandara, pvz: 12 x 3 6 x x 3 = = 36 arba mokant dalybos ( žr. 3 pav.). 935 : : : 5 = = : : 5 3 pav. Triženklio skaičiaus dalyba išskaidant jį į skaičiaus dalis. C. Molina ( 2012) pateikia ir horizontalųjį daugybos aiškinimo būdą. Toks aiškinimo būdas parodo mokiniams skaičių surašymo tvarką dauginant stulpeliu ir logiškai parodo, kodėl dauginant dviženklį skaičių iš dešimčių, gautoji antroji sandauga yra užrašoma paslenkant ją į kairę( žr. 4 pav.) = (20 + 3) (60 + 5) = * * * 5 = = pav. Dviženklio skaičiaus daugybos užrašymas horizontaliuoju daugybos būdu Skaičiaus dalys. Pradinių klasių matematikos vadovėliuose siūlomas toks trupmenų apibrėžimas: Tai ne visas skaičius, o tik jo dalis ir trupmenos dalių įvardinimas: Skaitiklis rodo, kiek dalių paimta, vardiklis rodo, į kiek lygių dalių padalyta. Jei antroje klasėje mokiniams apibrėžime kalbama apie daikto dalis, tai trečioje klasėje - apie skaičiaus dalis. Vis dėlto, vaikams aiškindama trupmeną, pirmiau aiškinčiau vardiklio sąvoką, o tik po to skaitiklį, nes iš pradžių skaičiaus padalijimas į lygias dalis, o tik po to - randamas tų dalių skaitinis kiekis: pvz.: 2/5 skaičiaus pirmiau dalijame, o tik po to dauginame 100 : 5 x 2. Skaičių šalyje trupmenos dalių įvardinimas yra aiškiai ir tiksliai suformuluotas: Po brūkšneliu parašytas skaičius vadinamas trupmenos vardikliu, o virš brūkšnelio skaitikliu, tik vaikams patiems siūloma pasamprotauti, ką rodo vardiklis ir ką rodo skaitiklis. Matematikos pasaulyje yra tinkamas pavyzdys, kai 30 skrituliukų yra nupiešta ant 6 juostelių. Iš vienos jų iškerpami skrituliukai. Tad daroma išvada, kad vieną šeštadalį iškirpau, o liko dar 5 šeštadaliai. Šis pavyzdys leidžia vaikams suformuoti ryšius tarp skaičiaus dalių atskirai ir tarp skaičių dalių vienumos. Skaičių šalyje supažindinat su dešimtainėmis trupmenomis, tiesiog vaikų klausiama: ar prisimeni, kaip galima skaityti kainas, užrašytas kableliu ir plačiau ši tema neanalizuojama. Dešimtainių trupmenų svarba Matematikos vadovėlyje aiškinama tuo, kad taip patogiau užrašyti matavimo vienetų rezultatus (2,20m). Mokiniai dažniausiai susiduria su dešimtainės trupmenos matavimo vienetų įvardinimu metrai, kilogramai, eurai ir kt., nes vaikams norisi dešimtąją dalį įvardinti mažesniais matavimo vienetais, kaip antai centimetras, gramas. Ši tema susieta su apvalių dešimčių dalyba ir daugyba remiantis tuo, kad kiek matavimo vienetas turi nulių, (pvz.: 1 metras = 100 cm), tai tiek dešimtaine trupmena užrašytas skaičius turi skaičių po kablelio 3,20 m. Dažniausiai vaikai automatiškai nustato kablelio vietą nesuvokdami, kodėl būtent kablelis dedamas 26

28 toje dešimtainės trupmenos vietoje, o ne kitoje. Todėl būtent pradinių klasių mokytojui tenka didžiulė atsakomybė, prisiminti ir pasikartoti su mokiniais skaičiaus ir matavimo vienetų sandarą. Statistika. Matematikos vadovėliuose tėra viena kita užduotis, ugdanti duomenų rinkimo ir apdorojimo kompetenciją. Vadovėliuose yra pateikta įvairių statistikos apdorojimo būdų: stulpelinės ir skritulinės diagramos, kreivės, lentelės. Riešutas netgi apibrėžęs statistikos sąvoką kaip duomenų rinkimą, tvarkymą, vaizdavimą diagramomis, lentelėmis ir kt. Algebros pradmenys: Tekstinių uždavinių sprendimas. Matematikos vadovėliuose gausu įvairiausių tekstinių uždavinių, kurie išsprendžiami vienu būdu, kiti keliais būdais, vieni išsprendžiami vienu veiksmu, kiti net keliais veiksmais. Vieni iš jų yra talpos uždaviniai, kiti palyginimo keliais vienetai ir keliais kartais, dar kiti sprendžiami per vienetą. Bet Matematiko pasaulyje sakoma, kad yra uždavinių kurių visiškai neįmanoma išspręsti, nes jie neturi sprendimo. Tai leidžia vaikams pasamprotauti, kas trukdo išspręsti uždavinį ar neteisingai suformuluotas klausimas, ar netiksliai pateikta skaitinė informacija sąlygoje. Lygtys. Trečios klasės mokiniai jau mokosi spręsti lygtis. Pirmoje ir antroje klasėje vaikams tenka įgyti lygčių sprendimo pradmenų apskaičiuojant trūkstamą dėmenį, turinį, atėminį, daugiklį ir kt. Tik pačios lygties apibrėžimo matematikos vadovėliuose nėra vienodo. Matematika lygties sąvoką formuluoja taip: Lygybės, kuriose yra bent vienas nežinomas skaičius, vadinamas lygtimis, o Riešutas nežinomą dėmenį, turinį, atėminį ir kt. pažymėję raide x, gausi lygtį. Bet kokiu atveju, pirmoji pateikta lygties formuluotė fokusuojasi į lygybę, bet pradinių klasių mokiniai mokomi spręsti ir nelygybes, antroji formuluotė daugiau atkreipia vaikų dėmesį į nežinomo nario žymėjimą raide x, bet juk matematikoje nežinomieji žymimi ne tik x, bet ir y, z, a, b ir kitomis raidėmis. Geometrija. Plotas ir perimetras. Šios sąvokos vaikams yra panašios, nes jie dažniausiai, prašant apskaičiuoti perimetrą, pritaiko ploto apskaičiavimo formulę ir atvirkščiai. Tad vaikams aiškinant reikėtų aiškiai atskirti šias dvi sąvokas. Matematikos pasaulyje pateikiamas perimetro žymėjimas sutartiniu ženklu P. Tai yra vieni iš pirmesnių žingsnių mokant vaikus matematinės simbolinės kalbos pradmenų. Dažniausiai pradinių klasių mokiniams vadovėlyje pateikiami tik tie matavimų vienetų sutrumpinimai, kurie yra artimesni jų kasdieniniai aplinkai, kaip antai kg, m, km, l, h ir kt. Matai ir matavimo vienetai. Milimetras, decimetras. Vaikai lengviau įsimena, kad 1cm = 10 mm, bet sunkiau sekasi prisiminti, kad 1dm = 10 cm. Tikriausiai tam įtaką daro ir retas decimetro sąvokos vartojimas artimoje aplinkoje. Matematikos vadovėlyje tai susieta su tema dešimtadalis, nes dešimtadalis metro vadinamas decimetru. Tad šią sąvoką vaikams įsiminti galėtume padėti siejant žodį dešimt su deci+ metras. Šią temą geriau būtų gvildenti supažindinant mokinius su skaičiumi 100, vis dėl to decimetras yra dešimtoji 100 cm dalis, o ne Amžius. Ši tema sietina ne tik su skaičių apvalinimu, bet ir istorijos datomis. Vaikams ši tema nėra viena iš lengvesnių, nes kyla klausimas: kodėl skaičius turėdamas 18 šimtų, pvz.: 1876 m. įvardinamas kaip XIX amžius. Matematikos vadovėlyje aiškiai ir tiksliai formuluojama taisyklė, kaip atskaičiuoti praėjusius amžius: 1 amžių sudaro 100 metų, todėl atmetę vienetus ir dešimtis nustatysiu, kuris tai amžius: 1876 m. 18 amžių praėjo, eina 19 amžius. Patiems vaikams vis dėlto turėtų būti brėžiama schema ar piešinys, kuris padėtų suvokti, kaip sudaryti iš metų amžių ir atvirkščiai. Tai galėtų būti nupieštas milžinas, žingsniuojantis nuo vienos Metų kalvos ant kitos, tarp kurių yra gilios daubos. Būtent užfiksuotas piešinyje žingsnis link kitos kalvos galėtų padėti mokiniams aiškiai suprasti, kad milžinas stovi ant XIX kalvos, bet žengia link XX, tai yra, jis jau perlipo 20 daubų. Tokį piešinį vaikai pamokos metu galėtų nubrėžti schematiškai naudojantis skaičių ašimi. 4 lentelė Matematikos turinio loginis nuoseklumas ketvirtos klasės matematikos vadovėliuose Sritis Turinys Panašumai Skirtumai 27

29 Skaičių eilė ir sandara Aritmetika Statistika Algebros pradmenys Geometrija Matai ir matavimo vienetai Skaičių eilė, skyriai ir klasės, daugiaženkliai skaičiai, skaičiai iki , skaičių apvalinimas Skaičiaus dalys: skaičiaus dalių radimas ir sveikojo skaičiaus sudarymas iš trupmenų, dešimtainės ir šimtainės trupmenos Daugyba ir dalyba: triženklio skaičiaus dalyba iš vienaženklio skaičiaus, dviženklio skaičiaus daugyba iš dviženklio, dalyba su liekana Tekstiniai uždaviniai: uždainiai susieti įtvirtinimui išeitoms temoms, klausimų formulavimui, schemų braižymui, lygčių sudarymui, statistinių rezultatų analizei Lygtys Statusis, smailusis ir bukasis kampas, briaunos, viršūnės, simetrija, ritinys, kūgis Centneris, tona, mililitras, kvadratinis centimetras, metras ir kilometras, plotas ir perimetras, laikas, greitis, kelias Vadovėlyje Skaičių šalis skaičiai iki milijono. Vadovėlyje Riešutas : piktograma Vadovėlyje Riešutas : nelygybės Vadovėlyje Skaičių šalis : tiesė Vadovėlyje Matematika : hektaras Skaičių sandara. Įtvirtinami geometrijos pradmenys ir papildoma medžiaga geometrijos kūnais: ritinys ir kūgis. Ketvirtoje klasėje vaikai išmoksta padauginti ir padalinti sudėtinius matavimo vienetus užrašytus sveikųjų skaičių pavidalu ir dešimtainėmis trupmenomis. Atsiranda dar keletas matavimo vienetų: tona ir centneris, hektaras. Jei Skaičių šalyje kai kurios temos gvildenamos vėliau nei kituose vadovėliuose, pvz.: dešimtainės trupmenos, statistika, amžius, tai ketvirtos klasės vadovėlyje visos temos pasivejamos ir gerokai dar šoktelėjama į priekį, t.y. vaikai supažindinami su skaičiumi ( žr. 4 lentelė). Sudėtis ir atimtis. Aritmetika. Ketvirtos klasės matematikos vadovėliuose vaikai mokomi sudėti ir atimti, dauginti ir dalinti iki , tik autoriai vadovėlio Skaičių šalis pateikia skaičiavimo užduočių net iki Matematikos pasaulyje ir Matematikoje yra išskiriamos dvi grupės skaičių skyriai ir skaičių klasės. Skyriai tai vienetai, dešimtys ir kt., o klasės dvi: vienetų ir tūkstančių. Skaičių klasės sąvoka leidžia vaikams greičiau atpažinti skaičių ir jį teisingai įvardinti. Daugyba ir dalyba. Antroje klasėje vaikai supažindinami tik su dalybos veiksmu, trečioje klasėje mokomi dalinti kampu dviženklius ar triženklius skaičius iš vienaženklio ir apvalių dešimčių bei šimtų. Ketvirtoje klasėje išmoksta sunkesnių dalybos atvejų - dalinti triženklius ir keturženklius skaičius iš dviženklio ir triženklio skaičiaus, kai dalinyje yra nulių ir skaičius nesidalija, t.y. su liekana. Visuose pradinių klasių matematikos vadovėliuose dalybos veiksmas aiškinamas vienodai; pirmiau patikrinu kiek kartų daliklis telpa į dalinį. Ketvirtoje klasėje mokiniai geba jau padalinti ir padauginti sudėtinius matinius skaičius ir dešimtaines trupmenas. Skaičių šalis siūlo dauginant matinius skaičius dauginti juos atskirai ir paversti vieniniais, o dalijant sudėtinius matinius skaičius paversti juos vieniniais bei tuomet dalinti ir, prireikus, juos vėl paversti sudėtiniais. Vadovėlyje Skaičių šalis pateikiama užduočių naudojantis skaičiavimo mašinėle. Čia randamas praktinis paaiškinamas, kam reikalingas taškas klaviatūroje, nes: sudėtinių matinių skaičių neužrašysime, tad reikalingas taškas ir liekana užrašoma po tašku. Vadovėlyje Riešutas siūloma daugiaženklius skaičius dalijant iš apvalių dešimčių pirmiau padalyti iš 10, o tuomet iš dešimčių kiekio, pvz.: 162 : 50 = 162 : ir 16 : 5 3. Algebra. Pradinių klasių mokiniai 1-2 klasėje mokomi rasti nežinomą skaitinio reiškinio narį, 3 klasėje spręsti lygtis nežinomam dėmeniui, turiniui ir atėminiui rasti ir pagrįsti savo sprendimą, 4 klasėje patys mokiniai sudaro lygtis tekstiniams uždaviniams spręsti. Tad Matematikos pasaulyje randame išplėstą ir patikslintą lygties apibrėžimą: Lygtis tai sutrumpintai užrašytas uždavinys. Riešuto vadovėlis pateikia lygčių užduotis su nelygybėmis 3+x > 1. Ketvirtoje klasėje mokiniai turi gebėti spręsti tekstinius uždavinius ne tik remiantis tekstu ir schemomis, bet ir užrašyti lygtimi (Александрова Э. И., 2002). Vadovėlyje Riešutas randame ir greičio formulės pateiktį: Greitis = kelias : laikas; Kelias = greitis x laikas; Laikas = kelias: greitis. Tokia greičio formulės pateiktis palengvina vaikams darbą sprendžiant uždavinius greičiui, keliui ir laikui rasti. Svarbiausia, kad mokytojas šios 28

30 formulės nepateiktų tiesiog mechaniškam įsiminimui, o gebėtų logiškai pagrįsti kartu su mokiniais, kodėl ji taip užrašyta. Statistika. Ketvirtoje klasėje mokiniai pagal pateiktas diagramas, kreives ir lenteles turi išspęsti uždavinius, atsakyti į pateiktus klausimus, analizuoti statistinius duomenis. Riešuto vadovėlyje pateikiamos ir piktogramos tai skaičių užkodavimas sutartiniais ženklais ar piešinėliais. Geometrija. Jei trečioje klasėje vaikai mokomi rasti lygiagretainių (kvadrato ir stačiakampio) perimetrą ir plotą, tai ketvirtoje klasėje sutinkama sudėtingesnių atvejų tai įvairių daugiakampių ir stačiojo trikampio perimetro ir ploto radimo užduočių. Simetrija, perimetras ir plotas. Matematikos pasaulyje siūloma vaikams apjuosti figūrą siūlu ir tas siūlo ilgis būtų perimetras. Toks praktinis mokymo būdas leistų atskirti dvi sąvokas perimetras ir plotas, nes viena išmatuojama ilgio matavimo vienetais, o antroji pločio. Toks pavyzdys tiesiog leistų vaikams vizualiai suvokti, kad siūlo kvadratais neišmatuosime. Taip pat su vaikais galime geometrinę figūrą išlankstyti iš vielos ar juostelės, o po to ją ištiesinti ir pasukti, kad visas tas vielos ilgis yra perimetras. Matematikos pasaulyje, Matematika prisiminus perimetrą, pereinama prie geometrinių kūnų, o vėliau prie ploto matavimo. Manau, kad pirmiau reikėtų pasikartoti geometrinius kūnus, kuriuos būtų galima susikonstruoti iš geometrinių figūrų, tuomet apskaičiuoti kiekvienos figūros perimetrą, o tik po to plotą. Jei mes geometrinį kūną lankstytume iš vielos tai būtų perimetras, o po to apklijuotume jį popieriumi tai būtų ploto skaičiavimo užduotys. Su šiomis geometrinėmis figūromis ir geometriniais kūnais galima būtų pasikartoti simetrijos temą, dabar ji įsprausta tarp temų lygčių sprendimas ir mililitras. Riešuto vadovėlyje tokių šuolių tarp pločio ir perimetro temų nėra. Matai ir matavimo vienetai. Ketvirtoje klasėje vaikai žino pagrindinius matavimus ir jų vienetus. Jų žinios praplečiamos matais tona ir centneris. Matematika ir Matematikos pasaulyje vaikai supažindinami su matavimo vienetu hektaras, bet neužsimenama apie arą. Juk nemaža dalis Lietuvos mokinių gyvena ne daugiabučiuose namuose arba jų tėveliai turi sodybas bei sodus. Todėl jų užimami plotai bus matuojamas arais, bet ne hektarais. Tad vaikams ši tema artimesnė jų pasaulio pažinimui ir turėtų būti nagrinėjama matematikos vadovėliuose kaip ir hektaras. Vadovėlyje Skaičių šalis randame ir vieninių, ir sudėtinių matų apibrėžimą: Užrašant matinius skaičius, pavartotas tam tikras mato vienetas, todėl tokie skaičiai vadinami vieniniais matiniais skaičiais. Jei pavartota po du mato skaičius, todėl tokie skaičiai vadinami sudėtiniais matiniais skaičiais. Toks apibrėžimas yra gan tikslus, tik taisytina ne po du mato skaičius, o daugiau negu vienas arba po du ir daugiau mato skaičių, nes galimas ir toks mato užrašymas 1dm 3cm 5mm. Apibendrinant skyriaus medžiagą, galima teigti, jog šiuo metu yra didelis pradinių klasių matematikos vadovėlių pasirinkimas. Todėl mokytojas, pasirenkantis vadovėlį kaip pagalbinę mokymo priemonę, turėtų atsižvelgti į vieną iš svarbesnių vadovėlių vertinimo kriterijų į loginį samprotavimų tikslumą: tai tikslus sąvokų apibrėžimas, teiginių paaiškinimas ir pagrindimas bei tarp sąvokų ir procedūrų egzistuojanti hierarchinė tvarka. Be to, šie pradinių klasių matematikos vadovėliai turi atitikti jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų raidos ir mąstymo būdus, bei tinkamų iliustracijų parinkimą. Atlikta analizė parodė, jog pradinių klasių matematikos vadovėliai parengti remiantis pagrindiniu didaktikos principu nuo lengvesnio prie sunkesnio, dauguma temų tarpusavyje išdėstytos nuosekliai, yra įvadinės, apibendrinančios ir kontrolinės temos ar užduotys, vadovėliai yra estetiški bei spalvingi. Deja, ne visuose matematikos vadovėliuose matematinės sąvokos yra tinkamai apibrėžiamos, nes nesant tiksliam sąvokų apibrėžimui, neįmanomas ir loginis samprotavimas. Vadovėlyje Riešutas yra iliustracijų neatitinkančių realaus pasaulio supratimo, tuo tarpu vadovėlyje Matematika parinktos informatyvios iliustracijos, mokančios vaikus matematiką atrasti aplinkoje: kelio ženkluose, pastatuose, žaidimuose, net ir tam tikruose netradiciniuose skaičiavimo būduose, kaip antai sudėties ir daugybos mokymas pirštais. Pradinių klasių matematikos vadovėliuose ne visos sąvokos yra apibrėžiamos, pvz.: kas yra statistika (p.s. Riešute šis apibrėžimas randamas), kodėl dviveiksmyje skaitiniame reiškinyje pirmiau reikia padauginti, o tik po to atimti, kas bendro tarp skaičiaus 5 ir skritulio mokymo. 29

31 Matematikos vadovėliuose tarp kai kurių temų yra šuolių, kurie pažeidžia vieną iš pagrindinių loginio samprotavimo bruožų nuoseklumo, hierarchinės tvarkos principą. Pavyzdžiui simetrijos tema yra atskirta nuo geometrinių kūnų ir figūrų bei įsprausta tarp mililitro ir lygčių, kai tarp šių temų nėra nieko bendro, arba pirmiau mokoma skaičius sudėti virš dešimt, o tik po aiškinama dešimties sandara. Kai kurios sąvokos vadovėliuose aiškinamos skirtingai, tai laiko samprata, trupmenų apibūdinimas, lygčių apibrėžimas ir kt. Šios sąvokos, kaip atskiras vienetas, yra tarytum teisingas, nes bando vaikui suprantamai paaiškinti pačios sąvokos prasmę. Bet tarp visų vadovėlių įvairių apibūdinimų dingsta tikslusis sąvokos apibrėžimas, pvz.: tai kur ieškoti simetrijos karpiniuose, daiktuose ar figūrose? Vadovėlis neturėtų būti pagrindinė mokytojo darbo priemonė, kuri pakeistų pačių vaikų veiklą, gebėjimą samprotauti atrandant ir pagrindžiant savo sprendimus ir taisykles. Juose turėtų būti daugiau paktinių užduočių išmoktai taisyklei įtvirtinti, schemų, o pačių taisyklių ir kai kurių sąvokų paaiškinimas, turėtų būti grindžiamas per konkrečią veiklą Apibendrinimas: matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo modelis Sudarant taisyklių pagrindimo modelį pradinėse klasėse buvo atsižvelgiama į mokinių psichologinius ypatumus ir sunkumus, su kuriais susiduria pradinių klasių mokinai. Jei nepakankamai gerai suformuosime skaičiaus sandaros ir skaičiavimo vaizdinius I klasėje, tai skaičiavimo įgūdžiai vėliau būna labai formalūs (Šalkuvienė O., Deimontaitė D. 2013). Jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikui per sunku spręsti hipotetines, abstrakčias problemas. Jis jas gali išspręsti tik sukonkretintas, pateikus pavyzdžius arba daiktus, pvz., pridėk prie aštuonių penkis, tai vaikas gali sėkmingai atlikti padėjus ant stalo aštuonias ir penkias kaladėles. Remiantis jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų mąstymo ypatumais bei esama matematikos mokymo praktika, tyrimo metu buvo sukurtas taisyklių pagrindimo teorinis modelis (žr. 5 pav.), kuriuo vadovaudamasis mokytojas galėtų organizuoti veiklas, skatinančias pradinių klasių mokinius logiškai tiksliai samprotauti ir tuo pačiu geriau įsisavinti jam pateikiamas matematikos taisykles. Praktinis logiškai pagrįsto matematinio ugdymo realizavimas Mokytojo pasirengimas ir mokinio pasirengimo naujai temai patikrinimas Matematinis tyrinėjimas Taisyklės formulavimas Visų giminingų temų išankstinis nuoseklus susiejimas Esminiam supratimui svarbių elementų išryškinimas Empirinis temos raiškos tyrinėjimas įvairiuose kontekstuose Įsisavintos taisyklės taikymas veikloje KITA TEMA Iškilusių neaiškumų sprendimų paieška Probleminių temos aiškinimo momentų nustatymas Refleksija 5 pav. Matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelis. Reikia pastebėti, jog visų pirma, ruošdamasis pamokai, mokytojas turi susieti naują medžiagą su senąja ir įvertinti mokinių esamas žinias. Praktiniame etape idealiausias taisyklės loginis paaiškinimas, kai patys mokiniai suformuluoja apibrėžimą, naudodamiesi tikslingai parinktomis priemonėmis ir pavyzdžiais (Hannell G., 2013, p.27). 30

32 Matematiniame tyrinėjime svarbiausias tikslas padėti mokiniams suprasti, kodėl skaičiuojama taip, o ne kitaip, ir kaip įgytas žinias taikyti tolimesniame matematiniame mokyme. Mokytojo tikslas ne parodyti save visažinį, bet išmokyti mokinius mąstyti ir atrasti. Todėl mokytojas turi suformuluoti tokius klausimus, kurie padės mokiniams prieiti prie išvadų ir apibendrinimų, kurie sudaro aiškinamosios taisyklės loginį turinį. Pasibaigus pamokai, mokytojas turi įvertinti ir nustatyti probleminius taisyklės įsisavinimo momentus ir ieškoti būdų, kaip juos išspręsti, kad suformuoti aiškų matematinį taisyklės vaizdinį. 31

33 2. MATEMATINIŲ SAMPROTAVIMŲ LOGINIO TIKSLUMO UGDYMO MODELIO VEIKSMINGUMAS II KLASĖJE 2.1. Tyrimo metodika ir etika Šiame skyriuje aprašomas ugdomasis eksperimentas, kurio metu buvo taikomi netradiciniai ugdymo būdai, skirti mokinių samprotavimo logiškumui skatinti. Idėja, kad matematinį turinį pradinėse klasėse galima pristatyti kitaip, kilo ilgą laiką dirbant pradinių klasių mokytoja, stebint, kas vaikams sekasi mokantis matematikos lengviau, o kas sunkiau. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindine žemų mokinių matematinių pasiekimų priežastimi laikomas samprotavimų loginio tikslumo trūkumas, savaime kilo klausimas: kaip pradinėse klasėse mokyti matematikai būdingo samprotavimų loginio tikslumo? Be to, 2013 m. pasirodžius matematikos ugdymo gairėms, atsirado poreikis atidžiai naujai peržvelgti savo sukauptą pedagoginę patirtį, ir suteikti jai tam tikrą mokslinį pagrindą. Tikslas: šiame skyriuje siekiama pristatyti atliktą ugdomąjį eksperimentą, skirtą mokinių samprotavimo logiškumui ugdyti. Šiam tikslui pasiekti numatyti šie uždaviniai: 1. Sukurti modelio veiksmingumo tikrinimui taikytinų matematinių veiklų konstruktą. 2. Siekiant įvertinti modelio taikymo sudėtingumą, atlikti žvalgomąjį tyrimą viena veikla ugdant vieną mokinį. 3. Palyginti eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių pasiekimus. 4. Taikant sukurtą veiklų konstruktą įvertinti vykdyto ugdomojo eksperimento veiksmingumą. Siekiant įvertinti atlikto eksperimento veiksmingumą, buvo lyginami mokinių matematinio raštingumo testų rezultatai prieš ugdomąjį eksperimentą (pirmos klasės baigiamasis matematikos testas) ir po eksperimento antros klasės baigiamasis testas: 1. Palyginti eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių bendrieji matematinio raštingumo rezultatai. 2. Išanalizuotas ugdomojo eksperimento metu atliktų užduočių poveikis konkrečioms mokymo turinio sritims. Bendra tyrimo logika pateikta 6 paveikslėlyje. EKSPERIMENTAS Konstatuojamasis tyrimas Matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modeliavimas Vienų mokslo metų trukmės eksperimentinė ugdomoji veikla Diagnostinis tyrimas (2014 m. gegužė) Žvalgomasis tyrimas (2014/2015 mokslo metai) (2015 m. gegužė) (2014 m. liepa -rugpjūtis) Išvados apie taisyklių loginio pagrindimo mokiniams modelio veiksmingumą 6 pav. Tyrimo loginė schema. 32

34 Tyrimo etika: Atsižvelgiant į tai, jog ugdomasis eksperimentas vyko eilinių matematikos pamokų rėmuose (tiesiog taikant įvairesnius metodus), tiriamųjų sutikimo nebuvo prašoma. Mokslo metų pradžioje pristatant ateinančių mokslo metų ugdymo turinį, tėvai buvo supažindinti su planuojamais matematikos mokymo ypatumais. Aprašant ugdomojo eksperimento eigą, siekiant vaizdumo, šiame darbe naudojama nemažai nuotraukų. Siekiant apsaugoti tiriamuosius nuo galimos žalos ir išsaugoti jų anonimiškumą, mokinių veidai nuotraukose uždengiami. Gautos informacijos konfidencialumui užtikrinti, darbe niekur neminimos mokinių pavardės, nenurodoma mokykla, kurioje vyko tyrimas, o klasės įvardijamos eksperimentine ir kontroline. Žvalgomojo tyrimo metu buvo dirbama su viena antros klasės mokine. Buvo gautas žodinis mergaitės tėvų sutikimas. Tyrimo metu buvo fotografuojami mergaitės atliekami veiklos rezultatai ir padaryti garso įrašai, kuriuose užfiksuoti jos samprotavimai. Eksperimentinėje klasėje yra mergaitė, kuri mokosi pagal pritaikytą programą. Šis vaikas, nors ir turintis cerebrinį paralyžių, aktyviai įsitraukė į eksperimentines veiklas. 2 klasės matematikos testo užduotis ji sprendė kartu su kitais vaikais, tik jai buvo skirtas ilgesnis laiko limitas užduotims išspręsti. Tyrimo organizavimas: Tyrime dalyvavo 19 antros klasės mokinių. Tyrimas vyko vaikams įprastoje, jiems natūralioje aplinkoje eksperimentinės veiklos buvo vedamos jų pačių mokytojos matematikos pamokų metu jų įprastinėje darbo vietoje. Ugdomosios eksperimentinės veiklos metu buvo vykdomas nestruktūruotas stebėjimas. Vedant matematikos pamokas buvo pritaikyti susikurti eksperimentinės veiklos modeliai ir schemos, stebimi ir fiksuojami atmintyje vaikų atsakymai, jų veiklos rezultatai, pasiekimai. Gauti duomenys po pravestų veiklų buvo interpretuojami ir aprašomi. Kiekvienos užduoties rezultatų aprašyme užfiksuotos sėkmės, laukiami rezultatai ir pasiūlymai. Ugdomojo eksperimento trukmė: 2014 gegužė 2015 gegužė. Tyrimo instrumentai, duomenų analizė, ir rezultatų vertinimas Pradinių klasių bendrųjų programų ir standartizuotų testų vertinimo aprašas. Tiek pirmos, tiek antros klasės testų užduotys ir vertinimas buvo parengti bendradarbiaujant visoms mokyklos pradinių klasių mokytojoms, remiantis pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų programų turinio sritimis (2008) ir standartizuotų testų vertinimo bei kognityvinių gebėjimų sritimis. Pagal bendrojo ugdymo programose pateiktas matematikos turinio sritis buvo išskirtos šios matematikos turinio sritys: skaičių eilė ir sandara, aritmetika, statistika, algebra, geometrija bei matai ir matavimo vienetai. Pirmos ir antros klasės testų užduočių turinys atsispindi 5 lentelėje. Mokymo turinys Skaičių eilė ir sandara Aritmetika Pirmos ir antros klasės baigiamųjų matematikos testų užduočių idėjos I klasė II klasė Skaičių sandara Sudėtis ir atimtis 100 ribose neperžengi ant į kitą dešimtį Išskaidyti skaičių į dešimtis ir vienetus (3 užd.) Vienaveiksmis skaitinis reiškinys (5 užd.) Dviveiksmis skaitinis reiškinys (7 užd.) Skaičių eilė Sudėtis ir atimtis peržengiant į kitą dešimtį Suprasti ir pratęsti skaičių seką didėjimo ir mažėjimo tvarka (1 užd.) Sudėtis ir atimtis peržengiant į kitą dešimtį (2 užd.) Dviveiksmis skaitinis reiškinys su veiksmo tvarkos nustatymu (7 užd.) Daugyba, dalyba Vizualus daiktų dalinimas (6 užd.) Daugybos dalybos veiksmai (7 užd.) Statistika Diagramos Diagramos sudarymas Diagramos Diagramos sudarymas pagal 5 lentelė 33

35 Algebra sudarymas Tekstiniai uždaviniai pagal piešinyje pavaizduotą vieną parametrą (8 užd.) Vienaveiksmiai tekstiniai uždaviniai (1, 2 užd.) Geometrija Atkarpa Atkarpų braižymas be ir su palyginimo operacija (4 užd.) Matai ir matavimo vienetai Laiko matavimas Laikrodžio pažinimas (6 užd.) sudarymas Tekstiniai uždaviniai Lygties propedeutika Atkarpos Geometrinės figūros ir kūnai Laiko matavimas Termometras Matavimo vienetai lentelėje pateiktus du parametrus (9 užd.) Dviveiksmis tekstinis uždavinys su palyginimo operacija (3 užd.) Dviveiksmis tekstinis uždavinys su veiksmų eiliškumo nustatymu (4 užd.) Vienaveiksmis uždavinys su palyginimo operacija (5 užd.) Aritmetiniai veiksmai randant skaitinio reiškinio nežinomą narį (8 užd.) Atkarpų braižymas be ir su palyginimo operacija bei aritmetine operacija (16 užd.) Geometrinių figūrų ir kūnų įvardinimas (10, 15 užd.) Laikrodžio pažinimas pagal paros laiką (12 užd.) Teigiama ir neigiama temperatūra (13 užd.) Matavimo vienetų smulkinimas (11 užd.) Matavimo vienetų palyginimas (14 užd.) Baigiamasis antros klasės matematikos testas buvo rengiamas remiantis aukščiau išvardintomis sritimis ir apima visas Standartizuotuose testuose nurodomas kognityvinių gebėjimų sritis: žinių ir supratimo, taikymo bei aukštesniųjų mąstymo gebėjimų. Todėl, galima tikėtis, jog šio testo rezultatai objektyviai atspindi bendrą mokinių matematinio raštingumo lygį. Iš žinių ir supratimo srities į testą įtrauktos 6 užduotys: aritmetiniai veiksmai (žr. 15 priedo 2, 3, 7 užduotis), geometrinių figūrų ir kūnų pavadinimai (žr. 15 priedo 10 užduotį) bei matų ir matavimo vienetų užrašymas smulkesniais matavimo vienetais ir palyginimas (žr. 15 priedo 11 ir 14 užduotis). Iš tam tikrų žinių taikymo srities į testą įtrauktos taip pat 6 užduotys: lygčių sprendimas (žr. 15 priedo 8 užduotį), vienaveiksmių uždavinių sprendimas (žr. 15 priedo 5 užduotį), atkarpų braižymas (žr. 15 priedo 16 užduotį), statistika (žr. 15 priedo 9 užduotį) bei laiko ir temperatūros užrašymas (žr. 15 priedo 12 ir 13 užduotis). Iš aukštesniųjų mąstymo gebėjimų srities į testą įtrauktos 4 užduotys: skaičių sekos nustatymas ir užrašymas didėjimo ir mažėjimo tvarka (žr. 15 priedo 1 užduotį), dviveiksmių tekstinių uždavinių sprendimas (žr. 15 priedo 3 ir 4 užduotis) bei geometrinių kūnų figūrų atpažinimas: trikampė ir keturkampė piramidė, figūrų pavadinimo įvardinimas pagal kampų kiekį (žr. 15 priedo 15 užduotį). Rezultatų vertinimas taškais. Testo užduočių vertinimo principas buvo sudarytas remiantis standartizuotų testų vertinimo instrukcijomis (vienu, dviem, trimis, keturiais taškais ir t.t.) ir buvo vieningas visoms klasėms. Todėl, tyrimo eigoje lyginant eksperimentinės ir kontrolinės klasių rezultatus, jokių galimybių subjektyvumui nėra. Kiekvienos testo užduoties balų skaičius priklausė nuo veiksmų kiekio ir užduoties sudėtingumo ( žr. 6 lentelė). 6 lentelė 34

36 Užduočių vertinimo aprašas taškais 3 taškai: Už teisingą sprendimo parinkimą, skaičiavimą ir teisingą atsakymą. 3 taškai ( tekstiniams uždaviniams) 1 taškas 0 taškų 2 taškai: 1 taškas: Už Už bet kokį neteisingą 1 taškas nuimamas už jei teisingai užrašo tik teisingą atsakymą arba neteisingą vieną uždavinio sprendimą neatsakinėjimą skaičiavimą, arba už sprendimo dalį, jei (klausimas / užduotis neteisingą atsakymą teisingai parašo praleidžiama) skiriama arba už nepilną atsakymą arba tik 0 taškų. sprendimo užrašymą teisingai suskaičiuoja. Už vieną teisingai atliktą matematinį veiksmą buvo skiriamas 1 taškas. Tekstiniai uždaviniai standartizuotuose testuose buvo vertinami 2 taškais. Kontroliniame teste tekstiniams uždaviniams buvo pasirinktas 3 taškų vertinimas. Toks vertinimas buvo sukurtas todėl, kad 1 taškas buvo pridedamas už mokinių gebėjimą teisingai įvardinti veiksmo atsakymą, t. y. ką jie tuo veiksmu norėjo sužinoti. Už bet kokį neteisingą atsakymą arba neatsakinėjimą skiriama 0 taškų (žr. 6 lentelę). Rezultatų vertinimas lygiais. Antros klasės baigiamajame teste mokiniai daugiausiai galėjo surinkti 66 balus. Visų mokytojų bendru sutarimu, pagal surinktų balų skaičių mokiniai buvo vertinami aukštesniuoju, pagrindiniu, patenkinamu ar nepatenkinamu lygiu: aukštesnysis lygis balai; pagrindinis lygis balų; patenkinamas lygis balai; nepatenkinamas lygis 0 20 balų Modelio veiksmingumo tikrinimui taikytų veiklų konstruktas Atsižvelgiant į tai, kad mokiniai geriausiai įsimena ir suvokia taisyklę, kai ji yra pačių sugalvota, atrasta, ugdomojo eksperimento metu mokiniams buvo pasiūlyta įvairių veiklų, kurių metu mokiniai turėjo galimybę pajusti, suformuluoti, paaiškinti, pagrįsti, patikrinti ir patikslinti. Toliau taisyklė buvo tikslinama, t.y praplečiama sąvokomis arba jos pagrindu kuriama kita taisyklė. Ugdomojo eksperimento metu iš viso buvo atlikta 13 praktinių užduočių, apimančių įvairias matematikos turinio sritis: skaičių eilę ir sandarą, aritmetiką, algebros pradmenis, matus ir matavimo vienetus (žr. 7 lentelę). Prieduose pateikiami visų šių pamokų planai (žr priedus). Mokymo turinys Ugdomojo eksperimento turinys ir užduotys Užduotys Skaičių eilė ir sandara 1 Skaičių sandaros suvokimas naudojant skrituliukus ir pieštuką. Aritmetika: sudėtis peržengiant į kitą dešimtį. Aritmetika: konkretus daugybos taisyklės aiškinimas Aritmetika: dalyba į lygias ir nelygias dalis Aritmetika: daugybos ir dalybos ryšys Algebros pradmenys: tekstinių uždavinių 7 lentelė 2 Gėlių metaforos panaudojimas mokant pridėti peržengiant į kitą dešimtį 20 ribose. 3 Namuko modelio panaudojimas dviženklių skaičių sudėčiai, peržengiant į kitą dešimtį. 4 Namuko modelio panaudojimas aiškinant daugybos taisyklę. 5 Praktinis vaikų skirstymasis eilėmis ir poromis. 6 Daugybos veiksmo aiškinimas ant stačiakampių lapų dėliojant spalvotus kvadratus. 7 Dalyba į lygias ir nelygias dalis realiai judant su spalvotais skrituliais. 8 Dalybos ir dalybos veiksmo užrašymas naudojant spalvotus kvadratėlius 9 Tekstinių uždavinių sprendimas sąlygą lentoje užrašant skirtingomis spalvomis 35

37 sprendimas 10 Tekstinių uždavinių sprendimo aiškinimas naudojant rankų judesius Algebros pradmenys: lygties propedeutika. 11 Gėlių metaforos panaudojimas mokant apskaičiuoti nežinomą dėmenį. Matai ir matavimo vienetai 12 Laiptų metaforos panaudojimas mokant pažinti termometrą 13 Konkretus laikrodžio ir paros sąvokų aiškinimas Toliau pereinama prie ugdomojo eksperimento eigos aprašymo bei analizės pagal atskiras matematikos turinio sritis Skaičių sandaros aiškinimas Problema: Skaičiaus sandaros mokymasis svarbi matematinio ugdymo sritis. Gebėjimas skaičių išskaidyti į dalis ir jas tarpusavyje derinant sudaryti skaičiaus visumą, lavina mokinių gebėjimą sparčiai ir tiksliai sudėti ir atimti skaičius bei pakloja pamatus daugybos ir dalybos mokymui (van Nes F.,de Lange J., 2007). Skaičiaus sandaros supratimas leidžia kurti įvairias matematines strategijas ir spręsti sudėtingas problemas. 1 užduotis: Skaičių sandaros supratimo aiškinimas, naudojant skrituliukus ir pieštuką. Eiga: 1. Skaičiaus skaidymas į dvi grupes. 2. Skaičiaus sandaros schematiškas pavaizdavimas. Šį mokymo būdą aprašė Jana Hazekamp knygoje Why before how. Singapore math computation strategies. Autorė siūlo, mokant vaikus skaičiaus sandaros, panaudoti šiaudelius, pieštukus ar medines lazdeles kaip daliklį, kuris skaičių padalina į dvi grupes. Mokinių prašoma pamąstyti ir rasti kuo įvairesnių būdų, kaip padalinti skaičių 5 į kuo daugiau grupių. Išskaidžius skaičių į tam tikras grupes, aptariami visi gauti variantai, pvz.: 1 5, 2 4, 3 3, 4 2 ir pav. Konkretus skaičiaus sandaros suvokimo mokymasis Vėliau brėžiamos schemos (žr. 7 pav.), t.y. konkretūs skaičių sandaros dalijimo būdai užrašomi vizualiai. Rezultatas: Mokiniai šį skaičių sandaros aiškinimo būdą panaudoja mokydamiesi sudėti ir atimti skaičius peržengiant į kitą dešimtį, bei mokantis dauginti ir dalinti Aritmetika: sudėties peržengiant į kitą dešimtį aiškinimas Problema: Pirmoje klasėje mokiniai mokosi prie dviženklio skaičiaus pridėti vienaženklį ir iš dviženklio skaičiaus atimti vienaženklį skaičių neperžengiant dešimties ribų arba sudėti ir atimti apvalias dešimtis iki 100. Antroje klasėje mokiniams tenka išmokti sudėti ir atimti skaičius peržengiant į kitą dešimtį. Jei skaičiuojant iki 10, vaikai nesusiduria su didesniais skaičiavimo 36

38 sunkumais, nes šiems matematiniams veiksmams pasitikrinti pakanka 10 rankų pirštų, tai mokantis sudėti ir atimti peržengiant kitą dešimtį, mokiniams tenka išmokti kitokių skaičiavimo būdų.. Geros aritmetikos žinios, gebėjimas greitai ir teisingai sudėti bei atimti- tai tvirtas matematikos pagrindas sėkmingam tolimesniam algebros mokymuisi ( McNeil N.M., 2008). Ugdomojo eksperimento metu įvairių aritmetinių veiksmų mokymui buvo skirtas ypatingas dėmesys. Šio eksperimento metu vykdytų matematinių veiklų rezultatyvumą rodo tai, kad baigiamajame antros klasės teste aritmetines užduotis be klaidų atliko 17 vaikų, kai pirmoje klasėje tik 9 mokiniai (žr. 9 priedą). 2 užduotis: Gėlių darželio metafora mokant sudėti iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. Ši užduotis buvo parengta remiantis pradinių klasių matematikos vadovėlių autorių rekomendacijomis ir sukurtais jų sudėties peržiengiant į kitą dešimtį mokymo vizualiais modeliais. Sudėties mokymosi veikla iš vizualiosios taisyklės supratimo (iš vadovėliuose pateiktų pavyzdžių ) etapo perkelta į konkrečiąją, siekiant, kad patys mokiniai sumodeliuotų sudėties į kitą dešimtį taisyklę. Mokant vaikus sudėti iki 20 peržengiant į kitą dešimtį buvo keliami šie uždaviniai: a. Išmokti sudaryti dešimtį. b. Žinoti skaičiaus sandarą ir gebėti jį išskaidyti į skaičiaus sudedamąsias dalis. c. Įsidėmėti išskaidyto skaičiaus narius ir su jais atlikti aritmetinius veiksmus. Eiga: 1. Žaidimas Skaičių krepšinis, skirtas anksčiau išeitų temų pasikartojimui: Apvalių dešimčių sudarymas, Vienaženklio skaičiaus sudėtis prie 10 ir Skaičiaus sandara. 2. Konkretus taisyklės mokymasis panaudota gėlių darželio metafora mokant vaikus sudėti iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. 3. Vizualus taisyklės aiškinimas schemos braižymas. 4. Abstrakčios taisyklės formulavimas. 5. Praktinė ir savarankiška veikla,atliekant matematinius veiksmus sąsiuviniuose. Mokant vaikus sudėti skaičius peržengiant į kitą dešimtį, pirmiausia siekiama išsiaiškinti, kaip jie supranta matematinę sąvoką: peržengti į kitą dešimtį. Vaikų atsakymai buvo fiksuojami, kaip antai: perlipti per dešimtį, nežinome, peršokti ir kt. Tuomet vaikams buvo pasiūlyta šią sąvoką išsiaiškinti pamokos pabaigoje. Sudėties peržengiant į kitą dešimtį aiškinimui buvo pasirinktas modelis Gėlių darželis. Lentoje buvo nupieštas stačiakampis, kuris padalintas į 10 kvadratų, o šalia stačiakampio - tvorelė. Mokiniams buvo paaiškinta, kad jie turės senelei padėti sodinti gėles. Tuomet išsiaiškinama, kad darželyje vaikai gali pasodinti tik 10 gėlių, o visas kitas, netilpusias į vieną dešimtį, sodinti už tvoros, t.y,,sodinsime kitą dešimtį ( žr. 8 pav.). 8 pav. Konkretusis sudėties taisyklės, peržengiant į kitą dešimtį, mokymasis naudojant gėlių metaforą. Lentoje užrašomas veiksmas 8+7. Mokytoja darželyje padeda 8 dideles gėles,. Mokiniams formuluojama užduotis: Senelės darželyje auga 8 gėlės. Ji nusipirko turguje dar 7. Vaikų prašoma padėti senelei,,pasodinti gėles. Mokiniams dar kartą primenama, kad pirmiausiai gėles reikės sodinti darželyje, o visas likusias už tvoros. 37

39 Mokiniai mokytojo keliamais klausimais skatinami rasti teisingą sprendimą: Kiek gėlių galime pasodinti senelės darželyje? (,,darželyje yra du tušti langeliai, galime pasodinti tik dvi ). Iš 7 gėlių paimame dvi gėles ir jas padedame prie 8 augančių darželyje. Kiek dabar darželyje auga gėlių? Dabar turime 10 gėlių arba vieną dešimtį, t.y. vieną pilną lysvę. Kiek gėlių dar liko nepasodintų? Kur jas sodinsime? Kodėl prie 8 pridėjome skaičių 2, o ne skaičių 3? ( Todėl, kad telpa tik 10 ). Pasodinome dvi, kad gautume 10. Kiek gėlių liko prie tvorelės? Kiek gėlių iš viso dabar augins senelė? Tuomet kartu su mokiniais išsiaiškinama, kad lysvėje yra viena pilna dešimtis, o už tvorelės 5 vienetai - iš viso 15 gėlių. Kai, po konkrečios veiklos mokiniai supranta, kaip reikia sudėti skaičius peržengiant į kitą dešimtį, tik tuomet šis aritmetinis veiksmas yra vizualizuojamas braižoma schema ( žr.9 pav.), nuolat teiraujantis mokinių: 1. Kiek buvo pasodinta gėlių? 2. Kiek dar reikia pasodinti gėlių? 3. Kodėl pasodinome tik 2 gėles? 4. Iš kur tas 2 gėles paėmėme? 5. Kiek liko dar pasodinti gėlių? 6. Kodėl mes pasodinome prie tvoros 5 gėles, o ne 6? 7. Kiek gėlių dabar augina senelė? = = = pav. Sudėties veiksmo, peržengiant į kitą dešimtį, vizualizavimas. Mokiniai, atlikdami įvairius matematinius veiksmus, pvz.: 6+6, turi garsiai aiškinti, kodėl jie prie 6 + 4, o vėliau dar pridėjo skaičių 2. Vaikai skatinami garsiai samprotauti ir pagrįsti savo veiksmus. Po atliktų konkrečios veiklos veiksmų ir schemų braižymų, pereinama prie abstrakčios taisyklės formulavimo etapo. Lentoje užrašomas veiksmas Abstrakčioji taisyklė formuluojama nuolat teiraujantis ir klausiant mokinių: 1. Kokį skaičių pirmiausia reikia pridėti prie 9? (atsakymas: skaičių 1) 2. Kodėl pridedame skaičių 1? (Kad gautume 10) 3. O kodėl mes sudėję du skaičius turime gauti 10, o ne kokį nors kitą skaičių, pvz.: 11? ( todėl, kad prie 10 lengviau pridėti, todėl, kad aš moku greitai pridėti prie 10, tai juk taip paprasta 10+2 yra 12, 10+3 yra 13 ) 4. Kai gauname 10, ką tuomet darome? (pridedame 7) 5. Kodėl 7, o ne 8? (todėl, kad, kai pridėjome vieną, mums liko 7 ). 6. Paaiškinkite, kaip suprantate peržengti į kitą dešimtį? ( tai, kai iš pradžių sudedam ir gaunam vieną dešimtį, o po to daugiau negu dešimt, tai kas daugiau nei 10, kadangi visos gėlės netilpo į vieną lysvę, tai pradėjome sodinti į kitą lysvę, iš vienos lysvės perėjome į kitą lysvę ). 7. Sudėję du skaičius mes gauname vieną pilną dešimtį, o iš kitų skaičių pradedame auginti antrą dešimtį, t.y. iš pirmos dešimties pereiname į kitą dešimtį. Rezultatas. Apibendrinę, padarome išvadas, kad prie pirmo skaičiaus reikia pridėti tiek, kad gauti 10, o po to likusį skaičių. Taisyklės aiškinimas per konkrečią veiklą leido mokiniams suvokti skaičiaus sandarą ir greičiau bei teisingiau atlikti aritmetinius veiksmus sudedant iki 20, peržengiant į kitą dešimtį. Trims mokiniams dar reikėjo individualios pagalbos ir atskiro paaiškinimo. Mokant juos sudėti iki 20, buvo pasitelktas konkretusis ir vizualusis taisyklės aiškinimo būdas. Taisytini sąvokos peržengti į kitą dešimtį supratimo momentai : Lentoje reikėjo nupiešti dvi lysves arba jas sumodeliuoti ant didelio popieriaus lapo, kurį galima būtų pasidėti ant klasės grindų. Tarp šių dviejų lysvių turėjo būti nupiešta arba sukonstruota tvora. Kai pirmoje lysvėje 38

40 pasodinamos visos 10 gėlių, t.y. užpildoma viena dešimtis, vaikams reikėtų tiesiogine prasme peržengti per tvorą ( peržengti į kitą dešimtį) ir kitas gėles pasodinti kitoje lysvėje, esančioje už tvoros. Toks mokymo ir aiškinimo būdas leistų vaikams aiškiau suprasti matematinę sąvokos prasmę peržengti į kitą dešimtį. Vaikams iškilę skaičiavimo sunkumai: 1. Neteisingai suskaičiuoja, kokį skaičių reikia pridėti prie pirmo dėmens, norint gauti sumą Užmiršta, kokį skaičių pridėjo prie pirmo dėmens, todėl neteisingai apskaičiuoja antro dėmens liekaną, kurią sudėjus su skaičiumi 10 gaunamas neteisingas rezultatas arba neteisingai apskaičiuojama antro dėmens liekana. 3 užduotis: Namuko modelio panaudojimas sudėties veiksmui peržengiant į kitą dešimtį. Dalies ir visumos santykio sudėtinga kompleksinė veikla: dešimties ir vienetų išraiška veiksmais. Šios veiklos modelis buvo sukurtas siekiant, kad vaikai suprastų skaičiaus sandarą dešimčių ir vienetų kiekybinį santykį. Pradinių klasių matematikos vadovėlių autoriai siūlo aiškinti vaikams, kad sudarant dešimtį galima surišti į krūvelę 10 vienos spalvos pagaliukų ar į dėžutę sudėti 10 vienodų riešutukų. Šiuo sukurtu modeliu buvo siekiama, kad mokiniai suprastų, jog vieną dešimtį sudaro 10 vienetų, išryškinant paties vieneto santykio bei kiekio reikšmę dešimtyje. Mokiniams sunku teisingai atlikti aritmetinius veiksmus, jei jie nesupranta paties skaičiaus sandaros ir dešimčių sudarymo principo. Pirmos klasės mokinius galime išmokyti sudaryti dešimtis remiantis šiuo modeliu: mokymo procese panaudojame 10 skirtingų spalvų keturkampių bei piešimo lapą. Keturkampiai turėtų būti tokio dydžio, kad juos suklijavus ant piešimo popieriaus lapo, pasidengtų visas jo paviršius (p.s. galime naudoti ir kitas priemones pieštukus, juosteles). Mokiniai, klijuodami po vieną spalvotą keturkampį ant lapo, klausydami mokytojo aiškinimo, gali suprasti ir išsiaiškinti pačios dešimties sandaros modelį, pvz.: kad prie vieno geltono keturkampio pridėję vieną žalią, turėsime du keturkampius arba du vienetus. Pridėję dar vieną žydrą turėsime tris vienetus ( žr. 10 pav.) =10 10 pav. Dešimties sandaros aiškinimo pavyzdys. Visus 10 keturkampių reikia suklijuoti, kol pasidengia visas lapo paviršius. Vaikai pastebi, kad turime vieną lapą, kuriame suklijuota 10 vienetų ir tai yra 1 dešimtis ( 1 lapas ). Tokiu panašiu skaičiaus sandaros aiškinimo principu eksperimentinės klasės mokiniai buvo mokomi sudėti dviženklius skaičius peržengiant į kitą dešimtį. Eiga: 1. Skaičių skyrių dešimtys ir vienetai išskyrimas. 2. Skaičiaus sandaros nusakymas: pasakyti, kiek vienetų ir kiek apvalių dešimčių sudaro dviženklį skaičių. 3. Vienetų ir dešimčių santykio suvokimas. Supratimas, kad 10 vienetų sudaro 1 dešimtį, kuri perkeliama iš vieno skaičiaus skyriaus į kitą. 4. Abstrakčios taisyklės formulavimas. Mokant mokinius sudėti dviženklius skaičius peržengiant į kitą dešimtį buvo pasirinktas namuko modelis, kurio vienoje pusėje yra 10 mažų langelių 10 vienetų, o kitoje namelio pusėje (apvertus) didysis namelio langas viena dešimtis ( žr. 11 pav.). Šia konkrečia veikla buvo siekiama, kad vaikas suprastų skaičiaus sandarą bei jos ypatumus. 39

41 11 pav. Namelio modelis vienetų ir dešimčių santykiui suvokti Vaikams buvo paaiškinta, kad, atsivėrus paskutiniam namelio vienetų langeliui, atsiveria didysis langas ir namelis yra perstatomas į Dešimčių gatvę. Tam, kad mokiniai galėtų atlikti sudėties veiksmą 17+15, pirmiausia turėjo skaičių 17 išskaidyti į dešimtis ir vienetus , t.y. pastatyti dešimčių gatvėje vieną namuką su dešimčių langais, o vienetų gatvėje namelį su 7 pravertais langeliais. Šis konkrečios veiklos etapas leidžia vaikui įsisąmoninti ir perprasti skaičiaus sandaros ypatumus. 12 pav. Konkretusis dviženklių skaičių sudėties taisyklės mokymasis naudojant namelio modelį Toliau mokiniams reikia pridėti skaičių 15, kurį išskaidėme į vieną dešimtį 10 ir 5 penkis vienetus. Skaičiaus 15 dešimtį pridėjome prie skaičiaus 17 dešimties Kadangi skaičius 17 turi 7 vienetus, tai prie šių vienetų reikia pridėti dar 5 vienetus, t.y. atverti dar 5 langelius. Prieš atliekant sudėties veiksmą su vienetais 7+5, išsiaiškinama, kad pirmiau galime prie 7+3, t. y. atverti tik 3 langelius ir, pastačius kitą namelį vienetų gatvėje, praverti dar du langelius. Tuomet suskaičiuojama, kad po atlikto aritmetinio veiksmo vienetų gatvėje dabar yra 12 pravertų langelių (12 vienetų )ir, kad vieno namelio visi 10 langelių praverti. Tad šiam nameliui atvėrėme didįjį langą vieną dešimtį, ir jį perstatėme į dešimčių gatvę ( žr. 12 pav.). Konkrečios veiklos metu atliktą aritmetinį veiksmą pavaizdavome schema ( žr. 13 pav.): = = = = pav. Dviženklių skaičių sudėties veiksmo vizualizavimas Formuluojama abstrakti taisyklė: Dešimtis sudedame su dešimtimis, o vienetus su vienetais. Kai vienetus sudedame ir gauname dešimt, tai juos tiesiog perkeliame pas dešimtis. Rezultatas: Mokiniai geba sudėti dviženklius skaičius peržengiant į kitą dešimtį ir neperžengiant. Žino, kada reikia padidinti dešimtis viena dešimtimi (jei dešimtis susidaro iš vienetų). Įvardina, kiek skaičius turi vienetų ir kiek dešimčių. Šis mokymo ir aiškinimo būdas pasitvirtino, nes kontroliniame teste 16 mokinių sudėties ir atimties skaičiavimo veiksmus atliko be klaidų, o 3 mokiniai padarė tik po 1 klaidą. 40

42 Aritmetika: daugybos taisyklės aiškinimas Problema: Jau pirmos klasės mokiniai nekantrauja išmokti dauginti ir demonstruoja savo žinias įsiminę keletą daugybos veiksmų ir jų atsakymus. Tačiau, tai tik mechaninės atminties veiklos produktas, kuris nėra paremtas giluminiu supratimu. Naudojant neefektyvius ir netikslius daugybos skaičiavimo metodus, mokiniai susidurs su sunkumais įsimenant daugybos lentelę. Jei pradinėje mokykloje mokiniai neįgys daugybos lentelės pagrindų, tai labai vargu ar ji bus įsisavinta vidurinėje mokykloje. Svarbiausia, kad mokiniai, mokydamiesi daugybos lentelės, išmoktų dauginti greitai ir tiksliai. Daugybos lentelės išmokimą gali palengvinti komutatyvumo supratimas - tai, kad iš dviejų daugiklių užimama vieta daugybos veiksme neturi įtakos jų sandaugai (pvz., 5 x 8 = 8 x 5). Toks supratimas sumažina įsimintinų daugybos lentelės veiksmų derinių per pusę ( Wong M., Evans D., 2007; Ntourlia M.E., Gouscos D., Meimaris M., 2010). Mechaninis daugybos įsiminimo būdas palengvina sprendžiant uždavinius ir aritmetinius veiksmus, užtikrina pakankamą darbo spartą, bet užkerta kelią pačios daugybos veiksmo supratimui. Giluminis daugybos veiksmo supratimas padės mokiniui užmiršus apskaičiuoti šį daugybos veiksmą 7 x 6, jei daugindamas pasirems loginio samprotavimu, t.y. jei mokinys žinos kiek yra 6 x 6, tai jis, pasiremdamas vienodų dėmenų supratimo principu, atsakymą apskaičiuos remdamasis skaičiaus sandaros pagrindu ( žr. 14 pav.). 7 X 6 6 x 6 + 6= pav. Daugybos lentelės mokymosi vizualizavimas Antros klasės mokiniai turi išmokti skaičių 0, 1, 2, 3, 4, 5 ir 10 daugybos lenteles. Tam, kad daugybos lentelę būtų lengviau įsiminti, mokiniai daugybos mokomi tokia seka: 1. Supratimo formavimas, kad daugyba yra vienodų dėmenų suma. 2. Sudėties veiksmo pakeitimas daugyba, o daugybos sudėtimi. 3. Sudaryti du tarpusavyje susijusius daugybos veiksmus. 4. Supažindinti su daugybos keitimo dėsniu, kad pakeitus daugiklius vietomis sandauga nesikeičia. 4 užduotis: Namuko modelio panaudojimas aiškinant daugybos taisyklę. Daugybos sąvokos modelis buvo sukurtas tam, kad mokiniai gebėtų paaiškinti sąvoką daugyba. Matematikos vadovėlių autoriai teigia, kad daugyba yra vienodų dėmenų sudėtis. Šis apibrėžimas paaiškina patį daugybos veiksmą, bet neaiškina pačios sąvokos reikšmės. Namukų modeliai buvo panaudoti konkrečiai veiklai, kurios pagrindu formuojamas daugybos veiksmo supratimas. Eiga: 1. Vienodų dėmenų aritmetinio veiksmo pakeitimas ir užrašymas daugybos veiksmu. 2. Namuko modelio panaudojimas aiškinant daugybos taisyklę. Lentoje užrašomas veiksmas ( žr. 15 pav.): = 15 pav. Daugybos sąvokos formavimas vienodų dėmenų pagrindu Mokinių paprašius kuo greičiau sudėti lentoje užrašytus dvejetus, šie paaiškino, kad tai neįmanoma, nes labai daug skaičių. Mokinių prašoma pasamprotauti, ar šį aritmetinį veiksmą 41

43 galima apskaičiuoti kitaip paprasčiau. Vaikai, kurie tikriausiai yra kažkiek susipažinę su daugybos veiksmu, paaiškino, kad sudėties veiksmą galime užrašyti daugybos veiksmu. Tuomet siūloma įsiklausyti į patį žodį daugyba, t. y. ką pats žodis,,sako vaikams. Mokiniai paaiškina, kad tai -,,daug. Remiantis lentoje užrašytu veiksmu, formuluojamas pačios sąvokos daugyba supratimas: daugyba tai,,daug dvejetų,,,daug vienodų skaičių. Mokytojas dar kartą atkreipia mokinių dėmesį į užrašytą veiksmą lentoje, klausdamas: 1. Ar visi skaičiai yra vienodi? 2. Kiek lentoje yra parašyta dvejetų? (50) 3. Kaip šį veiksmą užrašyti trumpiau? (50 x 2). Lentoje rašomas daugybos veiksmas aiškinant, kad lentoje yra parašyta penkiasdešimt dvejetų, t.y. 50 kartų po 2 arba 50 padauginti iš 2. Išsiaiškinama, ką reiškia žodžių junginys po 2 ( po lygiai ). Prieš aiškinantis, kas yra pats daugybos veiksmas, kada jis yra rašomas, mokinių prašoma dar kartą atidžiai pasižiūrėti į lentoje užrašytą sudėties veiksmą. Vaikams paaiškinus, kad jie mato daugybę vienodų skaičių, kurie yra sudėti, prašoma prisiminti, kaip yra vadinami sudėties veiksmo skaičiai? (dėmuo). Ir taip mokiniai patys suformuluoja taisyklę, kad daugyba tai vienodų dėmenų sudėtis. Tuomet detalizuojama daugybos veiksmo svarba- kam jis reikalingas, kuo jis reikšmingas pačiai matematikai ( galime greičiau sudėti ). Po abstrakčios daugybos taisyklės formulavimo etapo, mokiniai mokomi praktiškai užrašyti daugybos veiksmą naudojant namelių modelius ( žr. 16 pav.). 16 pav. Konkretusis daugybos taisyklės aiškinimas naudojant namelio modelį Pirmiausiai vaikai mokomi užrašyti skaitine išraiška namelių kiekį, t.y. kiek kartų namelis pasikartoja ( pvz.:4 kartus ). Tuomet išsiaiškinama žodžio po (,,visiems vienodai,,,po lygiai ) reikšmė, klausiant, ar po lygiai visuose nameliuose yra pravertų langelių ir kokiu matematiniu veiksmu galime užrašyti žodį po (daugyba). Rezultatas: Vaikai paaiškino sąvoką daugyba ir suprato pačios daugybos esmę. Mokiniai atpažino sudėties ir daugybos atvejus ir juos teisingai užrašė. Iškilę sunkumai: Riešuto vadovėlyje mokydamiesi daugybos veiksmo, vaikai pirmiau turi užrašyti, kiek kartojasi skaičius ir tik po to koks skaičius. Tad užrašant veiksmus, vaikai sukeisdavo skaičius vietomis, nes dar buvo neįsisąmoninę šio veiksmo užrašymo eiliškumo. Mokiniai užrašytą daugybos veiksmą 5x2 perskaito: po penkis 2 kartus, o ne penkis kartu po du. 5 užduotis: Praktinis vaikų skirstymas poromis ir eilėmis aiškinant daugybos taisyklę. Matematikos vadovėliuose gausu iliustracijų, kuriomis remiantis vaikai turi gebėti užrašyti du tarpusavyje susijusius daugybos veiksmus. Ši daugybos veiksmų sudarymo ir užrašymo sukeičiant vietomis idėja kilo siekiant, kad vaikai patys atrastų daugybos veiksmų užrašymo būdus ir gebėtų įvardinti ar sandauga pakinta, jei daugikliai sukeičiami vietomis. Eiga: 1. Esamos stovėjimo tvarkos aptarimas. 2. Tvarkos kodavimas abstrakčiu veiksmu. Daugyba pateikiama kaip vienodų dėmenų sudėtis, vaizdžiai modeliuojant konkrečią situaciją. 3. Abstrakčios daugybos taisyklės formulavimas. Šiomis veiklomis buvo siekiama: 42

44 1. Įtirtinti daugybos veiksmo supratimą. 2. Remiantis perstatomumo dėsniu, išmokyti mokinius sudaryti du tarpusavyje susijusius daugybos veiksmus. 3. Suvokti, kad sukeičiant daugiklius vietomis sandauga nesikeičia. Riešuto vadovėlyje daug iliustruotų užduočių daugybos veiksmui užrašyti, kuriose daiktai pavaizduoti grupėmis tam tikra tvarka: eilutės arba stulpeliai, arba kompleksiškai. Šios užduotys pavaizduotos taip, kad vaikai gebėtų užrašyti vieną arba du daugybos veiksmus. Be to, šiomis užduotimis siekiama formuoti vaikų supratimą, kad sukeitus daugiklius vietomis, sandauga nekinta ir formuojama pirminė ploto radimo propedeutika. Mokant mokinius užrašyti du daugybos veiksmus, jie buvo sustatyti: 1. Eilėmis: vienoje eilėje 9 berniukai, kitoje 9 mergaitės. 2. Ir poromis berniukai stovėjo prieš mergaites. Vaikams buvo skirta užduotis, paaiškinti, kaip juos mokytoja sustatė. Lengviausiai ir greičiausiai mokiniai atpažino, kad jie stovi eilėmis ( žr. 17 pav.), nes stovėjimas eilėmis turėjo išskiriantį bruožą, kuris palengvino jų sprendimą tai lytį. Po keleto spėjimų, mokiniai susiorentavo, kad jie stovi ir poromis. Eilėmis Poromis 17 pav. Konkretus daugybos taisyklės aiškinimas rikiuojantis eilėmis ir poromis Išsiaiškinus stovėjimo tvarką, ji toliau buvo užrašoma keliais būdais: sudėtimi ir daugyba. Mokiniai pirmiausia turėjo susiskaičiuoti, kiek eilėje stovi berniukų ir kiek mergaičių, ir ar jų yra po lygiai. Tuomet vaikai užrašė sudėties veiksmą = 18 ir daugybos 2 x 9 = 18. Vėliau vaikai suskaičiavo, po kelis jie stovi poromis bei kiek porų yra iš viso ir užrašė šiuos veiksmus: = 18 ir 9 x 2 = 18. Buvo išsiaiškinta, kad skaičiuojant eilėmis ar poromis, vaikų skaičius klasėje nepasikeitė, jis nepakito. Atlikus šias konkrečios veiklos užduotis buvo pereita prie abstrakčios daugybos taisyklės formulavimo: ar mes skaičiuosime eilėmis ar poromis skaičius bus toks pat, kai pakeiti skaičius vietomis atsakymas lieka vienodas. Rezultatas: Mokiniai praktinės daugybos užduoties veiksmus užrašė naudodamiesi vadovėlyje,,riešutas parengtomis užduotimis. Čia vaikams reikėjo paaiškinti vieną esminį skirtumą tarp vadovėlyje esančių iliustracijų ir konkrečiosios veiklos metu skaičiavimo būdo: t.y. kad klasės draugus skaičiavome eilėmis ir poromis, o vadovėlyje nupieštus daiktus reikia skaičiuoti eilėmis ir stulpeliais. Mokiniai, po šio esminio skirtumo paaiškinimo, vadovėlyje esančioms vizualinėms užduotims parinko tinkamus veiksmų užrašymo būdus. Sunkumai: Teko keletui mokinių individualiai paaiškinti skaičiavimo stulpeliu principą ( žr. 18 pav.), t.y. 4 x 3 keturis kartus po 3 arba keturi stulpeliai po 3 veidukus. 43

45 18 pav. Daugybos veiksmo sudarymas daiktų grupavimo stulpeliu būdu 6 užduotis: Daugybos veiksmo aiškinimas ant stačiakampių lapų dėliojant spalvotus kvadratus. Šis veiklos modelis buvo sukurtas tam, kad vaikai per konkrečią veiklą suprastų pačią daugybos veiksmo išskaidymo į vienodus dėmenis sampratą, kad galėtų pajusti, pačiupinėti abstraktaus matematinio veiksmo bei skaičiaus santykį. Matematikos vadovėliuose pateikiamas abstraktus arba vizualus daugybos veiksmo aiškinimo modelis. Esmė: Vizualus daugybos veiksmo aiškinimas (atvirkštinė užduotis). Užrašytą daugybos veiksmą mokiniai vaizduoja naudodami korteles: didelės kortelės grupės vaizdavimui, ant jų dedamos mažos kortelės grupės dydžio vaizdavimui. Eiga: 1. Supratimo formavimas, kad daugyba yra vienodų dėmenų suma. 2. Sudėties veiksmo pakeitimas daugyba, o daugybos sudėtimi. Mokiniai, mokėdami sudėtį pakeisti daugyba, turi išmokti ir atvirkštinį veiksmą daugybą pakeisti sudėtimi. Atlikdami šią užduotį, vaikai pamokoje dirba grupelėmis. Kiekvienai grupelei duodami stačiakampio formos lapai ir spalvoti kvadratėliai. Šia veikla įtvirtiname daugybos veiksmą bei patikriname, kaip vaikai supranta šį aritmetinį veiksmą (grįžtamasis ryšys). Prieš atlikdami užrašytą 3 x 4 daugybos veiksmą, mokiniai pirmiausiai turi jį teisingai perskaityti; 3 kartus po 4 ir paaiškinti matematinius žodžių junginius,,3 kartus ir po 4. Tuomet užrašytąjį veiksmą prašoma pavaizduoti naudojant stačiakampio ir kvadrato formos lapus ant didesnio lapo dedant mažesnius ( žr. 19 pav.). 19 pav. Konkretus daugybos taisyklės aiškinimasis dėliojant spalvotus kvadratėlius Mokiniai turi galimybę pasitikrinti savo žinias dirbdami kartu su klasės draugais ir komunikuoti apie savo samprotavimus. Mokytojas stebi vaikų darbą. Kiekvieną užrašytą daugybos veiksmą pavaizdavus vizualiai, prašoma vaikų jį perskaityti, t.y. teisingai naudoti matematines sąvokas kartus ir po. Ši veikla ne tik iliustruoja daugybos veiksmą, bet ir padeda pamatus daugybos veiksmo užrašymui sudėtimi. Rezultatas: Mokiniai gebėjo tiksliai pavaizduoti daugybos veiksmą ir jį užrašyti sudėties veiksmu. Iškilusios problemos: 1. Dirbant grupelėmis, nematyti, kurie vaikai dar netvirtai moka ir geba daugybos veiksmą vizualizuoti, nes, priimant sprendimus, iniciatyvos ir atsakomybės imasi grupelės lyderiai. 2. Grupės neteisingai atlikta užduotis nerodo, kad visos grupės vaikai negeba atlikti tos užduoties, nes tai gali būti ir lyderio sprendimo įtakos pasekmė. 44

46 3. Sunkiausiai mokiniams sekėsi perskaityti teisingai užrašytą ir pavaizduotą matematinį daugybos veiksmą. 4. Beveik visos grupės suklydo vizualizuodamos daugybos veiksmą 1 x 4. Mokiniai šį veiksmą pavaizdavo 4 x 1. Ši klaida galėjo atsirasti todėl, kad aiškinantis sąvoką daugyba akcentavome žodį daug. Todėl galime daryti prielaidą, jog mokiniai suprato, kad tai turi būti daug lapų, o ne vienas Aritmetika: dalybos į lygias ir nelygias dalis bei daugybos ir dalybos ryšio aiškinimas Problema: Antros klasės mokiniai lygiagrečiai mokosi dauginti ir dalinti, nes šios aritmetikos sritys tarpusavyje susijusios. Jei vaikai geba teisingai atlikti daugybos veiksmus, ir supranta paties daugybos veiksmo principą, tai mokantis dalybos jie nepatiria didesnių skaičiavimo sunkumų. Dalyba yra atvirkštinis daugybos veiksmas. Jei daugyba yra vienodų dėmenų sudėtis, tai dalyba vienodų atėminių atimtis. Todėl mokant antrokus dalinti, pirmiausia formuojame supratimą, kad mokysimės dalinti į lygias dalis. Parenkant tinkamus metodus ir būdus, gilinsime mokinių matematinį mokymąsi ir supratimą, kad tarp dalybos ir daugybos yra ryšys, kuris padeda vaikams greičiau ir teisingiau atlikti aritmetinius dalybos veiksmus. J. Young-Loveridge ir J. Mills ( 2012) sumodeliavo daugybos ir dalybos modelį 6 metų vaikams. Vaikai iš kubelių turėjo sukonstruoti bokštus, kurių kiekvienas sudarytas iš septynių kubelių. Vaikams suskaičiavus, kad iš viso yra 42 kubeliai, nuo kiekvieno bokštelio buvo nuimti du kubeliai ir padėti greta didesniojo. Šešiamečiai suskaičiavo, kad:,,šešis kartus penki yra 30, o šešis kartus du yra 12, todėl bus 42. Toks mokinių atsakymas iliustruoja, kad jie gerai suvokia skaičių sandarą ir geba logiškai samprotaudami paaiškinti gautą rezultatą ( kad 6 x 7 6 x x 2 ) ir, kad tinkamai parengtos priemonės ir aiškinimo būdai daugybos ir dalybos veiksmui formuoti, tinkami ne tik antros klasės mokiniams, bet ir jaunesnio amžiaus vaikai geba teisingai apskaičiuoti šiuos aritmetinius veiksmus. 7 užduotis: Dalyba į lygias ir nelygias dalis realiai dalinant spalvotus skritulius. Šis veiklos modelis buvo sukurtas tam, kad vaikai patys atrastų dalybos veiksmą ir gebėtų paaiškinti, kuriems matematiniams uždaviniams ir situacijoms šis veiksmas taikytinas. Eiga: 1. Skritulių dalijimas į lygias ir nelygias dalis. 2. Dalybos veiksmo užrašymas. Vienoje ir kitoje lentos pusėje padedame po 6 skrituliukus ( žr. 20 pav.). 20 pav. Skritulių išdėstymas lentoje. Suskaičiuojama, kiek skrituliukų yra vienoje lentos pusėje ir kiek kitoje. Išsiaiškinama, kad jų yra po lygiai. Prie lentos pakviečiami 6 mokiniai, kurie suskirstomi į dvi grupes. Vienai grupei vaikų skrituliukai padalijami po lygiai, o antrai ne po lygiai, neaiškinant paties veiksmo. Tuomet mokinių buvo prašoma paaiškinti, kokį veiksmą atliko mokytoja ir kaip ji padalino geometrines figūras klasės draugams ( žr. 21 pav.). 45

47 21 pav. Konkretus dalijimo į lygias ir nelygias dalis aiškinimas Mokiniams paaiškinus, kad mokytoja padalijo, išdalijo skritulius pirmai grupei po lygiai, o antrai - ne po lygiai. Mokiniai skatinami pasamprotauti, kuriam padalijimo būdui galime užrašyti dalybos veiksmą, o kuriam atimties. Mokiniams paaiškinus, kad dalybos veiksmą priskirtų dalybai į lygias dalis, užrašome dalybos veiksmą lentoje. Užrašant dalybos veiksmus, vaikams užduodami klausimai ir jų atsakymai užrašomi matematine išraiška. Dalyba į lygias dalis: Kiek mokytoja turėjo skrituliukų? Ką ji su jais padarė? Kaip skrituliukus padalijo pirmajai grupei? Po kiek skrituliukų gavo vaikai? Šeši skrituliukai buvo padalinti į 3 lygias dalis ir kiekvienas mokinys gavo po du skrituliukus: 6 : 3 = 2. Dalyba į nelygias dalis: Kiek mokytoja turėjo skrituliukų? Kiek skrituliukų atidavė pirmam, antram ir trečiam mokiniui? Kiek skrituliukų liko mokytojai? Mokytoja turėjo 6 skrituliukus. Vieną davė pirmam vaikui, tris antram vaikui ir du trečiam vaikui: = 0. Rezultatai: Konkrečios veiklos metu buvo suformuota sąvoka - dalyba į lygias dalis. Jos metu vaikai skaičiavo ir lygino dvi skirtingas aritmetines situacijas. Praktinės veiklos metu buvo suformuotos taisyklės, kad dalybos ženklą rašysime, kai dalinsime vienodai, duosime visiems po lygiai. Sunkumai: Mokant dalybos veiksmo, vaikai pradiniame mokymosi etape, turi teisingai perskaityti matematikos veiksmą: Keturis daliname į dvi lygias dalis, gausime po 2. Bet vaikai šį veiksmą skaito: keturis padalyti į 2 bus du. Toks užrašyto veiksmo skaitymas rodo, kad vaikai taip perskaityti dalybos veiksmą yra išmokę su tėveliais arba, kad tai nėra giluminis dalybos veiksmo supratimas. 8 užduotis: Aritmetika: dalybos ir daugybos veiksmų tarpusavio ryšio nustatymas. Pradinių klasių matematikos vadovėliuose gausu užduočių, skirtų daugybos ir dalybos veiksmų ryšio nustatymui bei užrašymui. Ši eksperimentinė veikla skirta tam, kad mokiniai suprastų, kodėl rašome tik vieną daugybos veiksmą ir du dalybos veiksmus bei kokie matematiniai ryšiai sieja šiuos du skirtingus aritmetinius veiksmus. Eiga: 1. Daugybos veiksmų sudarymas ir užrašymas. 2. Dalybos veiksmų užrašymas remiantis daugybos veiksmais. Konkrečios taisyklės aiškinimo etape buvo panaudoti dviejų skirtingų spalvų kvadratėliai. Jie lentoje buvo išdėlioti tokia tvarka: žalios spalvos kvadratėliai dviem eilėmis, o raudoni po du. Pirmiausiai vaikai užrašė du daugybos veiksmus 2 x 5=10 ir 5 x 2 = 10. Tuomet juos tarpusavyje palygino ieškodami panašumų ir skirtumų. Išskirtas esminis daugybos veiksmų panašumas, kad daugiklius sukeitus vietomis, sandauga išlieka tokia pati. 46

48 22 pav. Konkretusis daugybos ir dalybos ryšio aiškinimas Išsiaiškinus daugybos veiksmų panašumus, mokinių buvo prašoma užrašyti du dalybos veiksmus, skatinant juos garsiai samprotauti ir atsakinėti į pateiktus klausimus: kiek iš viso lentoje yra žalių kvadratėlių? kiek raudonų? į kelias lygias dalis jie padalinti? Užrašius du dalybos veiksmus 10 : 2 = 5 ir 10 : 5 = 2, mokinių prašoma juos palyginti ieškant panašumų ir skirtumų ( žr. 22 pav.). Išsiaiškinama, kad abiejų dalybos veiksmų dalinys yra vienodas dešimt, o dalmenys skirtingi penki ir du. Mokiniams siūloma pasamprotauti, kodėl šių dviejų dalybos veiksmų atsakymai skirtingi, nors dalinome iš to paties skaičiaus 10. Vaikai pastebi, kad lentoje užrašytų dalybos veiksmų dalmenys skirtingi, nes skirtingi jų dalikliai. Tuomet užrašomi veiksmai ( žr. 23 pav.). 2 x 5 = : 2 = 5 10 : 5 = 2 23 pav. Vizualizuotas daugybos ir dalybos ryšio aiškinimas Vaikų prašoma pagalvoti, kodėl mokytoja lentoje parašė tik vieną daugybos veiksmą, o dalybos du. Išsiaiškinama, kad tinka bet kuris vienas iš dviejų lentoje užrašytų daugybos veiksmų, nes jų atsakymai yra tokie patys, o dalybos užrašomi du veiksmai, nes,,gaunami du skirtingi atsakymai. Tuomet analizuojame dalybos veiksmų sudarymo ir užrašymo principą. Vaikai pastebi, kad daugybos atsakymą padalinus iš pirmo skaičiaus gausime antrąjį, o padalinę iš antrojo gausime pirmąjį skaičių ir, kad,,mes taip mokėmės sudėti ir atimti. Atkreipiamas mokinių dėmesys, kad daugybos ir dalybos veiksmai yra tarpusavyje susiję, todėl norint apskaičiuoti dalmenį ir įsitikinti, ar padalinome teisingai, tereikia dalybos veiksmą patikrinti dauginant. Lentoje braižoma tokia schema ( žr. 24 pav.): 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 = 10 : 2 5 = 10 : pav. Vizualizuotas daugybos veiksmo tikrinimas dalyba Rezultatas: Daugybos ir dalybos ryšio nustatymo būdas padeda vaikams greičiau rasti dalmenį ir, vizualiai įsivaizduojant daugybos ženklą vietoj lygybės ženklo, teisingai jį apskaičiuoti. Sunkumai: dalis vaikų, atlikdami praktinius dalybos veiksmus, tiksliai ir greitai pasako atsakymą. Tai rodo, kad jie suprato daugybos ir dalybos tarpusavio matematinį ryšį, nes skaičiuoti nereikia, todėl kad atsakymas jau parašytas pačiame daugybos veiksme. Bet keletas vaikų dalybos veiksmų atsakymus pasakydavo abejodami, šiek tiek luktelėdami, lyg norėdami įsitikinti, ar jie dalina teisingai. Tai rodo, kad jie dar iki galo nesuprato daugybos ir dalybos tarpusavio ryšio. 47

49 Algebros pradmenys: tekstinių uždavinių sprendimas Problema: Viena iš sudėtingesnių uždavinių sprendimo mokymosi problemų yra ta, kad vaikai turi išmokti žodį ar sąvoką užrašyti matematiniu simboliu ( Schliemann A.D., Carraher D.W., Brizuela B. M., 2007, p.60). Jau pirmoje klasėje mokiniai išmoksta spręsti vienaveiksmius tekstinius uždavinius. Jie savo struktūra nėra sudėtingi, nes uždavinio sąlygoje visi duomenys yra tiksliai apibrėžti skaitine forma, pvz.: Jonas rado 5 grybus, Petras 7 grybus. Mokiniams tenka tik įdėmiai perskaityti uždavinių klausimus, kurių formuluotėje dažniausiai aptinkamos matematinės sąvokos: kiek iš viso (pridėti), kiek liko (atimti). Uždaviniai, turintys palyginimo operacijų, yra sudėtingesni pirmos klasės mokiniams, nes jie turi atskirti, kada skaičių reikia padidinti keliais vienetais, o kada jį palyginti, pvz.:: Jonas rado 7 grybais daugiau, ir kiek grybų daugiau rado Jonas? Pirmuoju atveju daugiau reikia pridėti, antruoju kiek daugiau atimti. Aišku, galima išmokyti vaikus įsiminti mechaniškai, kad, jei prie žodžio daugiau yra parašytas skaičius, tai reikės pridėti, o jei parašyta kiek atimti. Bet toks mokymo būdas neformuoja giluminio paties uždavinio sprendimo supratimo. Tad teko ieškoti alternatyvių mokymo būdų sprendžiant tokio tipo uždavinius. Be to, antroje klasėje tekstiniai uždaviniai yra sudėtingesni, nes mokiniams tenka atpažinti, kada uždavinį reikia išspręsti vienu veiksmu, o kada dviem. Pagrindinis uždavinių sprendimo klaidų pobūdis yra paties uždavinio kaip teksto nesuvokimas ir sąvokų nežinojimas (Stylianides A.J., Stylianides G.J., Philippou G.N., 2004). Jei antros klasės mokinys turi skaitymo problemų, t.y. jis geba perskaityti tekstą, bet nesuvokia skaitomo teksto prasmės, tuomet galime daryti prielaidą, kad jis negebės išspręsti ir matematinio uždavinio ne todėl, kad jis nemoka matematikos, o todėl, kad jis nesuvokia uždavinio kaip teksto. Antroji problema, su kuria susiduria antros klasės mokiniai spręsdami uždavinius, tai negebėjimas pateiktos informacijos išskaidyti dalimis ir tas dalis sujungti. Bandydami skaityti uždavinį, kaip nedalomą visumą, mokiniai neįsimena visos jo informacijos ir pasiklysta tarp sąlygos informacinių dalių ir matematinių sąvokų. 9 užduotis: Tekstinių uždavinių sprendimo aiškinimas rankų judesiais. Šis modelis sukurtas tiems mokiniams, kurie patiria skaitymo ir teksto suvokimo sunkumų. Toks mokymo būdas moko mokinius tekstą išskaidyti į esminius informacinius matematinius vienetus ir juos išanalizavus sujungti. Eiga: 1. Uždavinio, kaip teksto, skaidymas į informacinius vienetus. 2. Skaitant sąlygą remiamasi sąvokomis aiški, tiksli informacija ir užslėpta, netiksli. 3. Klausimo, kaip matematinio sprendimo priėmimo, analizė. I būdas: Kai sąlygoje visi duomenys yra aiškiai ir tiksliai išreikšti skaitine forma. Uždavinys: Darželyje žydi 25 gvazdikai ir 10 rožių. Kiek iš viso gėlių žydi darželyje? Vaikai pirmiausia mokosi sąlygą išskaidyti į du informacinius vienetus: iki žodelio ir apie gvazdikus ir po žodelio ir apie rožes. Tuomet mokinių teiraujamasi, ar uždavinio sąlygoje tiksliai pasakyta, kiek darželyje yra gvazdikų. Jei ši informacija yra aiški, atveriamas delniukas, nes informacija atvira neužslėpta. Pakeliamas ir kitas delniukas, nes uždavinio antroje sąlygos dalyje aiškiai pasakyta kiek yra rožių. Tuomet skaitomas uždavinio klausimas ir atkreipiamas vaikų dėmesys į klausimo formuluotę kiek iš viso? Išsiaiškinama, kad rašant uždavinio sprendimą panaudosime sudėties ženklą, t.y. reikės delniukus sudėti suglausti ( žr. 25 pav.). 25 pav. Uždavinio sąlygos ir klausimo vaizdavimas rankų judesiais (I būdas) 48

50 II būdas: Kai sąlygoje ne visi duomenys yra aiškiai ir tiksliai išreikšti skaitine forma, bei yra palyginimo operacijos elementų. Uždavinys : Darželyje žydi 25 gvazdikai, o rožių 10 daugiau. Kiek iš viso gėlių žydi darželyje? Vaikai pirmiausiai mokosi sąlygą išskaidyti į du informacinius vienetus: iki kablelio - apie gvazdikus ir po kablelio apie rožes. Mokinių klausiama, ar uždavinio sąlygoje tiksliai pasakyta, kiek darželyje yra gvazdikų. Kadangi ši informacija yra aiški, atveriamas delniukas. Tuomet išsiaiškinama, kad uždavinio sąlygoje neaiškiai pasakyta, kiek darželyje žydi rožių, todėl pakeliamas sugniaužtas delniukas informacija paslėpta delniuke. 25 pav. Uždavinio sąlygos ir klausimo vaizdavimas rankų judesiais (II būdas) Tuomet analizuojamas uždavinio klausimas ir mokinių klausiama ar galime sudėti delniukus. Išsiaiškinus, kad negalime, nes trukdo kumštis, t.y. mes nežinome kiek darželyje žydi rožių ( žr. 26 pav.).todėl norint atsakyti į uždavinio klausimą, pirmu veiksmu suskaičiuosime kiek žydi rožių?, o antru veiksmu kiek iš viso darželyje žydi gėlių? Vaikams paaiškinama, kad suskaičiavus kiek darželyje yra rožių, galime atgniaužti delniuką, nes informacija yra aiški, žinoma, o antruoju veiksmu galime sudėti delniukus. Rezultatas: Toks uždavinių sprendimo būdas leidžia vaikams parinkti teisingą uždavinio sprendimą, taikyti indukcinį ir dedukcinį sprendimo būdus. Sunkumai: Mokant pirmą kartą spręsti uždavinius II-uoju būdu, vaikai teigė, kad jie gali sudėti delnus, nors jie suglaudė kumštį ir delną. Tad teko išsiaiškinti, kuo skiriasi žodžių reikšmės kumštis ir delnas. 10 užduotis: Tekstinių uždavinių sprendimas, uždavinio sąlygą ir klausimą užrašant skirtingomis spalvomis. Šis mokymo būdas sukurtas tam, kad mokiniai gebėtų atsirinkti tuoks tekstinio uždavinio žodžius, kuriuos galima būtų užrašyti matematine kalba: skaičiais ir aritmetiniais ženklais. Eiga: 1. Sąlygos dalių ir klausimo žymėjimas skirtingomis spalvomis. 2. Veiksmažodžių išskyrimas. Antroje klasėje vaikai mokomi atpažinti žodžius pagal jų reikšmę ir priskirti juos kuriai nors kalbos daliai, pvz.: daiktavardis, būdvardis ar veiksmažodis. Uždavinių sąlygose gausu veiksmažodžių, kaip antai: pirko, padalino, gavo, surinko ir kt., kuriuos galime užkoduoti matematiniu ženklu. Todėl vaikai pirmiausiai mokomi išskirti uždavinio esmines informacines dalis ir užrašyti ar pasižymėti jas skirtingomis spalvomis bei rasti reikšminius tekstinio uždavinio žodžius ir juos pasižymėti. Mokiniams paaiškinama, kad matematika yra skaičių ir ženklų kalba, todėl matematikai ne visi tekstinio uždavinio žodžiai yra įdomūs. Atraminiai uždavinio žodžiai yra tie, kuriuos galime paversti skaičiais ir matematiniais ženklais. Mokiniai skaito po vieną uždavinio žodį vis jų prašant pasamprotauti, ar šį žodį galime užrašyti skaičiais arba matematiniais ženklais. Pvz.: lapių, siuvykloje, audinio tai žodžiai, kurių mes negalime išreikšti matematine kalba, o 50 m, sunaudota, trims, po tai jau matematinės kalbos žodžiai. Taip aptariant kiekvieną tekstinio uždavinio žodį, magnetukais arba kitokiais sutartiniais ženklais pasižymime reikšmingus uždavinio sprendimui žodžius. Jei uždavinio sąlygoje sutartiniu ženklu pažymime kertinius uždavinio žodžius, tai klausime 49

51 pasibraukiame, taip parodydami, kas uždavinio klausimui svarbiausia, ir koks aritmetinis veiksmas yra jame užkoduotas ( žr. 27 pav.). Lapių siuvykloje buvo 50 m audinio. Trims madingiems paltams pasiūti buvo sunaudota po 9 m. Kiek metrų audinio liko? 27 pav. Uždavinio informacinių vienetų žymėjimo skirtingomis spalvomis ir raktinių žodžių išryškinimo pavyzdys. 28 pav. Tekstinio uždavinio sprendimas, sąlygą užrašant skirtingomis spalvomis (I būdas) Vaikų dėmesys atkreipiamas į tai, kad uždavinyje pažymėjome skaičius ir veiksmažodžius, todėl kad juos galime užrašyti matematine išraiška. Išsiaiškinama, kad žodį po užrašysime daugybos veiksmu, o sunaudota atimties ( žr. 28 pav.). Antrasis uždavinių aiškinimo būdas sukurtas uždavinį užrašant ant skirtingų lapų įvairiomis spalvomis. Šis būdas skiriasi nuo pirmojo tuo, kad galime su kiekviena uždavinio informacija dirbti atskirai, analizuojant, ar ji išreikšta tikslia matematine kalba, t.y. ar ji yra informatyvi, bei aiškinant, keliais aritmetiniais veiksmais galime išspręsti uždavinį ( žr. 29 pav.). Nuo namų iki kopūsto daržo kiškis nubėgo 65 m, paskui dar iki morkų lysvės 47 m mažiau m Kiek metrų jis nubėgo iš viso? 2 83m 29 pav. Tekstinio uždavinio sprendimas, sąlygą užrašant skirtingomis spalvomis (II būdas) 50

52 Pirmiausia, sąlygoje pažymime kertinius uždavinio žodžius, o klausime pabraukiame kiek metrų iš viso? Pastebima, kad antrame lape užrašyta sąlyga yra netiksliai išreikšta, todėl pirmuoju veiksmu išsiaiškinama: 1 Kiek metrų kiškis nubėgo iki morkų lysvės? 65-47= 18 ( m) Antruoju sprendimu atsakome į uždavinio klausimą: 2 Kiek metrų jis nubėgo iš viso? 65+18= 83 ( m) Rezultatas: Toks uždavinių sprendimo mokymo būdas moko vaikus užkoduoti uždavinio tekstą matematine kalba ir atkreipti dėmesį į matematines sąvokas bei matematinius simbolius Algebros pradmenys: nežinomo dėmens apskaičiavimas (lygties propedeutika) Problema: Jau septynerių metų amžiaus vaikai gali suprasti kai kuriuos pagrindinius loginius principus, susijusius su algebra, išspręsti lygtis nevartojant šio termino (Schliemann A.D., Carraher D. W., Brizuela B. M., 2007, p.35). Vaikai tai daro mokydamiesi: 1. Skaičiaus sandaros, pvz.: jie turi pasakyti du dėmenis, kurių suma būtų lygi skaičiui Spręsdami uždavinius, pvz.: Jonas iškirpo 6 lapus. Kiek berniukas turi dar iškirpti lapų, kad iš viso jų būtų 10? 3. Spėdami ir pasitikrindami sudėties veiksmo trūkstamą dėmenį, pvz.:3 + = 6. Tik pradėję mokytis apskaičiuoti trūkstamą lygties veiksmo narį, vaikai pirmiausiai jį apskaičiuoja pirštais ar pagaliukais. Vėliau, šiems įgūdžiams automatizuojantis, dauguma mokinių pasiremia matematine intuicija, t.y. spėdami nežinomąjį lygties narį ir pasitikrindami savo sprendimo teisingumą. 11 užduotis: Gėlių metaforos panaudojimas, mokant apskaičiuoti nežinomą dėmenį. Mokiniai I II klasėje mokomi spręsti lygtis be raidinių simbolių. Šis mokymo būdas sukurtas tam, kad mokiniai tarp skaičiaus sandaros ir paties sudėties veiksmo įžvelgtų loginius matematinius ryšius, nes tai gali padėti apskaičiuoti nežinomo dėmens radimo būdus. Eiga: 1. Dviženklio skaičiaus skyrių pasikartojimas. 2. Apvalių dešimčių sudarymas. 3. Gėlių metaforos panaudojimas, mokantis apskaičiuoti nežinomą dėmenį. 30 pav. Konkretusis nežinomo dėmens apskaičiavimo mokymasis Šiai temai gvildenti buvo pasirinktas jau naudotas mokymo modelis Gėlių darželis. Gėlių darželyje jau pasodintos 8 gėlės. Lentoje užrašomas veiksmas: 8 + = 16. Pirmiausiai (žr. 30 pav.) išsiaiškinama, kad skaičius 16 sudarytas iš vienos dešimties ir šešių vienetų, ir tai pavaizduojama schema: Mokiniams primenama, kad senelės darželyje auginsime 10 gėlių vieną dešimtį, o visos kitos gėlytės, t.y 6 auginamos už darželio tvorelės. Tolimesne 51

53 eksperimentine veikla išsiaiškinama, kad norint turėti vieną dešimtį, prie 8 gėlių reikia pridėti dar 2. Šį konkrečios veiklos aiškinimą vizualizuojame schema ( žr. 31 pav.) pav. Nežinomo dėmens apskaičiavimo vizualizavimas Sudarę vieną dešimtį, vėliau prie tvorelės,,pasodiname 6 vienetus, nes skaičius 16 turi vieną dešimtį ir šešis vienetus. Atlikę šiuos matematinius veiksmus, su mokiniais prisimename, kad prie 8 augančių darželyje gėlių pridėjome dvi gėles, kad gautume 10 ir tuomet pridėjome 6 vienetus ( žr. 32 pav.), t.y. prie skaičiaus 8 pridėjome aštuonis vienetus = pav. Nežinomo dėmens apskaičiavimo vizualizavimas Po konkrečios ir vizualios veiklos etapų pereinama prie abstrakčios taisyklės formulavimo: prie pirmo skaičiaus reikia pridėti tiek (pvz.: +2), kad gauti 10, o po to dar pridėti atsakymo vienetus (pvz.:+6). Rezultatas. Pačių vaikų konkrečiosios veiklos metu suprasta ir pasiūlyta taisyklė yra nepilna, netiksliai suformuluota, tačiau ji aiški patiems mokiniams. Taisyklės supratimas palengvina jų mokymosi procesą ir formuoja tvirtą pamatą lygčių sprendimo mokymuisi Matų ir matavimo vienetų supratimas Problema: Mokiniai pirmoje klasėje supažindinami su šiais vieniniais matavimo vienetais ir jų žymėjimo simboliais: ilgio, vertės, svorio, laiko ir temperatūros. Matavimo vienetų simboliai tai matematinės kalbos pradmenys. Pažintis su įvairiais matematiniais dydžiais leidžia mokiniui pažinti jį supantį pasaulį (Александрова Э. И., 2001, p. 18). Jei pirmos klasės mokiniui pakanka įvardinti, kad laikrodis rodo lygiai trečią valandą, tai antros klasės mokinys valandas turi įvardinti ir pagal paros laiką, pvz.: 3 valanda nakties, bet 15 valanda dienos. Antros klasės mokiniams sunkiausiai sekėsi teisingai įvardinti laiką pagal 24 valandų skaičiavimo skalę ir neigiamą temperatūrą. Nors antros klasės mokiniai žino, kad teigiama ir neigiama temperatūra skaičiuojama nuo 0 C, bet didesnioji dalis neigiamą temperatūrą apskaičiuoja nuo termometro stulpelio apačios. 12 užduotis: Laiptų metaforos panaudojimas mokant pažinti termometrą. Šis modelis buvo sukurtas tam, kad mokiniai galėtų konkrečios veiklos metu sukonstruoti termometro modelį ir, judėdami laiptais aukštyn žemyn, suprastų temperatūros svyravimų pokyčius ir juos teisingai užrašytų. Tikslai: padėti mokinimas pažinti termometro rodmenis (termometro skaičių sudėliojimas); formuoti atšilimo atšalimo procesų suvokimą; paaiškinti teigiamo ir neigiamo skaičiaus prasmę. 52

54 Eiga: 1. Termometro skaičių sudėliojimas. 2. Atšilimo atšalimo supratimo formavimas. 3. Teigiamo ir neigiamo skaičiaus prasmės aiškinimas. Mokant vaikus teisingai įvertinti termometro rodmenis, buvo pasirinkti mokyklos laiptai, o laiptų viduryje esanti plačioji pakopa, kaip atskaitos taškas 0 C. Mokiniai, gavę skirtingas korteles, turėjo jas sudėlioti ant laiptų pakopų ( žr. 33 pav.). 33 pav. Konkretusis termometro rodmenų pažinimo mokymas Sudėliojus termometro modelį, tolimesnė veikla buvo skirta atšilimo atšalimo temperatūros proceso suvokimui. Mokinys, stovėdamas ant tam tikros laiptų pakopos, pvz.: +5 C, turi apskaičiuoti, ant kurios laiptų pakopos jam atsistoti, jei temperatūra pakilo 2 C, t.y. ar kilti laiptais aukštyn, ar leistis žemyn. Kita užduotis buvo loginio pobūdžio, skirta teigiamo ir neigiamo skaičiaus prasmei suvokti. 34 pav. Konkretusis teigiamo ir neigiamo skaičiaus prasmės aiškinimas Du mokiniai termometro modelyje turėjo užimti skirtingas vietas ant laiptų pakopų, pvz.: +5 C ir -5 C. Tuomet jų buvo prašoma pakeisti stovėjimo vietą ( žr. 34 pav.), nes temperatūra nukrito (atšalo) 3 C. Mokiniai turėjo pasamprotauti, kodėl šie du vaikai stovėdami ant to paties skaičiaus penkių, atsirado ant skirtingų skaičių +2 C ir - 8 C. Mokiniai gebėjo paaiškinti, kad atšalus šalčio padidėjo, o šilumos sumažėjo. Rezultatas: Mokiniai, atlikę temperatūros matavimo užduotis, išmoko sudaryti termometro modelį, apskaičiuoti temperatūros pakitimus ir suprasti, kad neigiamas ir teigiamas skaičius gali kisti pakitus temperatūrai. Trūkumas: eksperimentinės veiklos metu padaryta klaida lėmė matavimo užduočių rezultatus matematikos testuose. Šios veiklos metu išryškėjo esminė klaida vaikai, atlikdami temperatūros matavimo užduotis, galėjo judėti iš bet kurios jiems patogios ar pasirinktos stovėjimo vietos. Ugdomojo eksperimento metu 0 C turėjo būti kaip atskaitos taškas, nuo kurio vaikai turėjo pradėti judėti laiptais. 13 užduotis: Konkretus laikrodžio ir paros sąvokų aiškinimas. Naudotas analoginio laikrodžio modelis. Šis modelis sukurtas tam, kad konkrečios veiklos metu mokiniai gebėtų įvardinti valandas pagal skirtingą paros metą ir, pasinaudojus pateikta idėja 53

55 Riešuto vadovėlyje Mano draugas Tiksiukas susieti dvi matematikos temas laiko skaičiavimą minutėmis su skaičiaus 5 daugybos lentele. Buvo sukurta pasaka apie laikrodį, kuria remiantis mokiniai konkrečios veiklos metu turėjo įvardinti valandas ir minutes. Eiga: rodyklės parodymų aiškinimas; paros laiko įvardinima;, laiko skaičiavimas pirmyn ir atgal; minučių skaičiavimo susiejimas su 5 daugybos lentele. Mokant pažinti laikrodį bei siekiant įtvirtinti atskaitos tašką laiko skaičiavime naujos paros pradžiai, buvo pasirinktas pasakos Pelenė motyvas, lankai, dvipusės spalvotos kortelės su skaitmenimis, lazdelė rodyklė ir akmenukai. Vaikai, gavę skirtingas korteles, laikrodžio modelyje turėjo užimti tinkamas vietas. Vieni mokiniai gavo juodą geltoną kortelę, kiti žalią violetinę. Kortelių spalvos simbolizavo skirtingą paros laiką, todėl mokinių buvo prašoma pasamprotauti, kodėl jie gavo skirtingų spalvų korteles. Sudėliojus laikrodžio modelį ir išsiaiškinus kortelių skirtingų spalvų reikšmes buvo pereita prie paros įvardinimo mokymo būdo. Prisimenama pasaka Pelenė, klausiant mokinių, kurią valandą Pelenė turėjo grįžti iš puotos namo ir kodėl? Išsiaiškinama, kad burtai baigėsi 12 valandą, nes 12 valandą nakties baigiasi viena diena ir prasideda kita, ir kad burtai kitą dieną jau nebeturi savo galios. Mokiniams akcentuojama, kad valandas laikrodyje pradedame skaičiuoti nuo skaitmens 12. Tuomet vaikams siūloma pažaisti žaidimą Svečiuose. Žaidimo esmė: mokiniai valandos turi aplankyti laiko rate stovinčius draugus, o draugai svečiui turi pasakyti savo vardą, pvz.: 15 valanda dienos. Vaikai, mokytojai pasakius paros laiką, pvz.: naktis-rytas, turi atsukti tą kortelės pusę, kuri simbolizuoja įvardintą paros metą. Tuomet išrenkamas vienas mokinys, kuris keliaus laiko ratu, nurodant laiką, pvz.: antra valanda nakties. Mokinys, laikantis kortelę su skaitmenimi 2, eina ratu stabteldamas prie kiekvieno rate stovinčio vaiko, kol šis pasakys, kokį laiką dabar rodo laikrodis. Mokinys, turintis kortelę su skaitmenimi 2, aplankęs visus rate stovinčius draugus, garsiai pasako, kad jis grįžo 14 valandą dienos. Tuomet prašoma mokinių paaiškinti, kodėl jų draugas išėjęs antrą valandą nakties, grįžo 14 valandą dienos. Taip išsiaiškinama, kad laikrodyje yra 12 valandų, todėl prie skaičiaus 2 pridėjus skaičių 12 gauname skaičių 14. Kita eksperimentinė veikla buvo skirta laiko skaičiavimui pirmyn-atgal. Į rato vidurį pakviečiamas mokinys, kuris rankose laiko lazdelę rodyklę. Prašoma, kad parodytų 4 valandą, sakant, kad: Dabar yra 4 valanda. Traukinys išvažiuos po 2 valandų. Kiek valandų rodys laikrodis? arba Dabar naktis rytas. Parodyk man 15 valandą dienos. Šiomis užduotimis siekiama, kad vaikai gerai orientuotųsi paros laike, greitai apskaičiuotų 7 valandą vakaro taikant formulę 7+12, bei pasukti ir atsukti laiką ( žr. 35 pav.). 35 pav. Konkretus laikrodžio ir paros sąvokų aiškinimas bei laikrodžio ir valandų minučių aiškinimas Vėliau buvo pasirinktas kitas laikrodžio mokymo modelis, kai mokiniai turėjo išmokti įvardyti laiką minutėmis. Antroje klasėje mokant vaikus teisingai apskaičiuoti laiką minutėmis,susiduriama su problema, kad vaikai minutes skaičiuoja kaip valandas, pvz.: ilgoji rodyklė rodo skaitmenį 2, tad mokinys teigia, kad dabar yra 2 minutės. Šiam mokymo būdui buvo pasirinktas tas 54

56 pats laikrodžio modelis, tik tarp lankų buvo išdėliota po 5 akmenukus. Vienas iš mokinių buvo milžinas Trumpulis (valandos), o kitas Darbštuolis Ilguolis (minutės), rate stovintys vaikai nykštukai (valandos). Šiam mokymo būdui buvo sukurta pasaka, kurios motyvu, vaikai mokėsi pažinti laikrodį. Darbštuolis Ilguolis turi surinkti brangakmenius, tam kad atlaisvintų kelią milžinui Trumpuliui. Darbštuolis Ilguolis garsiai skaičiuoja akmenukus ir atiduoda juos nykštukams. Taip vaikai,,atranda, kad vieną valandą sudaro 60 minučių. Atsilaisvinus keliui, Milžinas Trumpulis žengia žingsnį valandą. Nuo milžino žingsnio sudreba žemė ir nykštukams iš rankų iškrenta visi akmenukai. Tad mokiniai vėl iš naujo skaičiuoja minutes ( brangakmenius ), kad padėtų milžinui aplankyti savo draugus nykštukus. Kitas mokymo būdas paremtas 5 daugybos lentele. Kiekvienas rate esantis mokinys laiko korteles su skaitmenimis nuo 1 iki 12. Tuomet paprašoma vaikų nuo žemės pakelti po 5 akmenukus. Priėjus prie vaiko, kuris laiko kortelę su skaitmenimi 1, prašoma jo ištiesti delną su akmenukais į priekį ( žr. 36 pav.). Taip pradedama formuluoti minučių apskaičiavimo taisyklė, klausiant: Ar visi vaikai turi po lygiai akmenukų? Kiek rankų ištiestų į priekį? Kiek akmenukų turi pirmasis nykštukas? Kaip galime suskaičiuoti minutes daugybos veiksmu? ( vienas kart penki) 36 pav. Konkretus laikrodžio ir 5 daugybos lentelės ryšio aiškinimas Tuomet prieinama prie antro, trečio, ketvirto vaiko, pakartojant tą pačią procedūrą. Rezultatas: Mokiniai geba pažinti valandas, įvardinti paros metą ir, pritaikius 5 daugybos lentelę, apskaičiuoti minutes. Sunkumai: du pirmieji mokiniai, rinkę akmenukus, nesugebėjo iš pirmo karto teisingai atlikti praktines užduotis su laikrodžiu, nes tikriausiai jie labiau koncentravosi ne paties laikrodžio supratimui, o akmenukų skaičiavimo procesui. Apibendrinant skyriaus medžiagą galima teigti, jog taikant modelio pagrindu sukurtas veiklas, mokinių mokymosi motyvacija yra didesnė, jie noriai ir aktyviai įsitraukė į veiklas, dėstė savo samprotavimus, pastebėjimus. Viena mokinė net pati bandė sukurti taisyklę nežinomo turinio radimui. Tokia veikla skatina mokinius ir pačius aktyviai ieškoti sprendimų. Taikant modelio pagrindu sukurtas veiklas, mokiniai matematines taisykles supranta giliau ir išmoksta greičiau, spręsdami matematines situacijas taiko matematines žinias, įgytas eksperimentinių veiklų metu. Ypač džiugina tekstinių uždavinių sprendimui sukurtos veiklos. Jos sukurtos mokslo metų pabaigoje, ieškant būdų padėti vaikams suprasti uždavinio sąlygą kaip tekstą, kuriame yra matematine kalba užkoduota informacija. Net keletui mokinių, kuriems sunkiai sekėsi spręsti uždavinius, nes niekaip negalėdavo apsispręsti ar uždavinį išspręsti vienu veiksmu, ar dviem, gebėjimai šioje matematikos srityje pagerėjo. Iš savo pedagoginės patirties galiu teigti, kad tai pirmoji mokinių laida, kuri beveik nedaro klaidų sudėdama ir atimdama dviženklius skaičius peržengiant į kitą dešimtį, nes žino, kada dešimtys padidėja viena dešimtimi, o kada sumažėja. Tokiai prielaidai ir mokymo būdui reikia išsamaus mokslinio pagrindimo. 55

57 2.3. Tyrimo rezultatai Šiame skyriuje analizuojami 1 2 klasių mokinių matematinio pasiekimo lygio tyrimo rezultatai, siekiant nustatyti konkrečiam ir vizualiam matematinių taisyklių aiškinimui skirtų ugdymo priemonių veiksmingumą mokinių matematiniam raštingumui gerinti Žvalgomojo tyrimo veiksmingumas Žvalgomojo tyrimo metu buvo išbandytas sukurtas loginis taisyklių pagrindimo modelio veiksmingumas. Jis buvo atliktas prieš pat naujus mokslo metus su viena būsimos antros klasės mokine. Žvalgomojo tyrimo veikla buvo parengta atsižvelgiant į tai, jog jaunesniojo mokyklinio amžiau laikotarpiu vaikų mąstymas pereina nuo konkretaus mąstymo prie vizualaus ir nuo vizualaus iki abstraktaus mąstymo. Atsižvelgiant į šiuos mąstymo ypatumus, yra skiriami ir atitinkami taisyklių aiškinimo būdai: konkretusis, vizualusis bei abstraktusis. Konkrečiame taisyklės aiškinimo etape mokinys turi suprasti, kaip tą veiksmą atlikti naudojant konkrečius daiktus, o po to kaip tą veiksmą atlikti tik mąstant. Veikla su konkrečiais daiktais. Kalbėjimas apie pastebėjimus ( kodėl?, iš kur? kaip? ). Tolesnis veiksmo atlikimas naudojant vidinę kalbą. Žvalgomajame tyrime buvo modeliuojamos šios veiklos: skaičiaus sandaros ir dviejų vienaženklių skaičių sudėtis iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. Mokant tiriamąją sudėti du skaičius iki 20 peržengiant į kitą dešimtį, pirmiausiai buvo prisimenama skaičiaus sandara, pvz.: kad skaičius 5 yra sudarytas iš skaičiaus 1 ir 4. Tuomet mokinė buvo mokoma sudėti du skaičius, naudojant įvairias priemones, skatinant ją garsiai mąstyti, atsakinėjant į klausimus: kodėl? ir kaip? ( žr. 37 pav.) 37 pav. Konkretusis taisyklės aiškinimas: skaičiaus sandara bei sudėtis peržengiant į kitą dešimtį Kai mokinė pagrindė veiksmus atliktus su konkrečiais daiktais, tuomet buvo pereita į vizualųjį taisyklės aiškinimą ( žr. 38 pav.). Toks mokymo būdas padeda mokiniams sutelkti mąstymą ir įgytas žinias konkrečiosios veiklos metu (Molina C., 2012, p. 41), perkelti į vizualųjį vaizdavimą piešiant arba brėžiant schemas. Vizualusis taisyklės pagrindimas yra tiltas tarp konkretaus ir abstraktaus mokymosi. Vizualiajame taisyklės aiškinimo etape tiriamoji samprotaudama piešė paaiškinimus, nes konkreti ir vaizdinė medžiaga gali padėti mokiniams suprasti abstrakčiai suformuluotą taisyklę (Baig S., Halai A., 2006). 38 pav. Abstraktusis taisyklės aiškinimas: skaičiaus sandara 56

58 Abstrakčios taisyklės formulavimo etape pačių vaikų konkrečiosios veiklos metu atrasta ir siūloma taisyklė gali būti nepilna, netiksli, neracionaliai suformuluota, tačiau būtinai aiški patiems pradinių klasių mokiniams, kuri vėliau, mokymo procese, vis tikslinama, atsižvelgiant į vaikų įgytą patirtį. Todėl pradinėse klasėse abstrakti taisyklė turi būti formuluojama kaip konkrečių ir vizualaus vaizdavimo veiklų matematinių atradimų apibendrinimas. Šiame pavyzdyje matome, kaip tiriamoji suformulavo taisyklę sudedant du skaičius iki 20 peržengiant į kitą dešimtį ir sukeičiant dėmenis vietomis: Sudedant du skaičius: Pradžioj reikia pridėti tiek, kad gauti 10, o kas lieka pridėti toliau, nes taip yra lengviau. Nes tas pats, kas prie nulio pridėti kažkokį skaičių, bet čia prie vieno reikia parašyti tą skaičių, kuris liko. Sudėtis sukeičiant dėmenis vietomis: Prie aštuonių pridėčiau du, kad gaučiau dešimtį, pridėtume devynis ir gautume devyniolika. Sudėdami apkeitėme šituos skaičius. Apibendrinant galima daryti šias išvadas, kad tiriamoji žvalgomojo tyrimo metu jautėsi gerai, laisvai dėstė savo samprotavimus ir remdamasi konkrečia ir vizualiąja veikla gebėjo suformuluoti abstrakčiąją taisyklę. Sukurtas loginis taisyklių mokymo modelis pasitvirtino ir jį buvo nuspręsta taikyti ugdomosios eksperimentinės veiklos metu Eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių matematinių pasiekimų palyginimas Šiame skyriuje analizuojami bendrieji eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių matematinių pasiekimų rezultatai bei atskirų matematikos turinio sričių rezultatai, gauti apibendrinus visas kiekvienos srities užduotis. Tyrimo metu, siekiant įvertinti ugdomojo eksperimento poveikį mokinių matematiniam raštingumui, buvo lyginami dviejų klasių (eksperimentinės ir kontrolinės) mokinių matematikos testo rezultatai baigus pirmąją (prieš ugdomąjį eksperimentą) ir antrąją (po ugdomojo eksperimento) klasę. Tiek pirmoje, tiek antroje klasėje abiejų klasių mokiniai atliko analogiškus testus ir buvo taikoma ta pati vertinimo sistema( žr. 8 lentelė). Lyginant eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių matematikos testų rezultatus, pirmiausia analizuojami bendrieji mokinių matematinio raštingumo įvertinimų pokyčiai pirmoje ir antroje klasėse. Pirmoje klasėje testo metu mokiniai atliko 8 užduotis (žr. 14 priedą) ir galėjo surinkti maksimalų 20 balų skaičių. Antros klasės baigiamajame teste iš viso buvo 16 užduočių (žr. 15 priedą), už kurias mokiniai galėjo surinkti daugiausiai 66 balus. Vertinimo skalę žr. 9 lentelėje. Mokinių testų vertinimo skalė Vertinimas Balų skaičius I klasė II klasė Aukštesnysis Pagrindinis Patenkinamas Nepatenkinamas lentelė Remiantis testų rezultatais, atitinkamu lygmeniu buvo įvertintas bendras kiekvieno abiejų klasių mokinio matematinis raštingumas pirmoje ir antroje klasėje (žr. 16 ir 17 priedus). Bendri eksperimentinės ir kontrolinės klasių matematinio raštingumo pokyčiai atsispindi 9 lentelėje. 9 lentelė Eksperimentinės ir kontrolinės klasių mokinių matematinio raštingumo vertinimo pokyčiai Lygis Eksperimentinė klasė Kontrolinė klasė I klasė II klasė I klasė II klasė Aukštesnysis Pagrindinis

59 Kaip matome lentelėje, pirmos klasės pabaigoje eksperimentinės klasės mokinių matematinio raštingumo rezultatai buvo prastesni už kontrolinės klasės rezultatus. Aukštesnįjį lygį buvo pasiekę 8 eksperimentinės ir 11 kontrolinės klasės mokinių. Reikia pastebėti, jog mokinių skaičius abiejose klasėse yra vienodas. Tuo tarpu, antroje klasėje eksperimentinės klasės, kurioje mokslo metų eigoje buvo vykdomas ugdomasis eksperimentas, mokinių matematinio raštingumo lygis gerokai pakilo ir net pralenkė kontrolinės klasės rezultatus. Antroje klasėje aukštesnįjį lygį pasiekė 14 eksperimentinės ir 13 kontrolinės klasės mokinių. Neatsižvelgiant į tai, kad vertinant antros klasės mokinių matematinio raštingumo rezultatus, abiejose klasėse aukštesnįjį lygį yra pasiekę beveik vienodas mokinių skaičius, vis tik lyginant kiekvienos klasės mokinių bendrą surinktų balų vidurkį, rezultatai geresni yra eksperimentinėje klasėje. Čia 2 klasės testo balų vidurkis yra 61,7, o kontrolinėje klasėje tik 61,2 balo (žr. 16 ir 17 priedus). Be to, reikia atkreipti dėmesį, jog eksperimentinėje klasėje yra specialiųjų poreikių mergaitė, su kuria dirbama pagal jai adaptuotą programą, todėl jos surinktų balų skaičius yra mažesnis ir taip numažinamas bendras klasės vidurkis. Dar vienas aspektas, rodantis geresnį eksperimentinės klasės matematinio raštingumo lygį antroje klasėje tai padarytų klaidų skaičius, kuris abiejose klasėse skiriasi ženkliai (žr. 39 pav.) neatlikta užduotis klaidų skaičius 0 ekperimentinė klasė kontrolinė klasė 39 pav. Antros klasės teste mokinių padarytų klaidų skaičius Kaip matyti 39 paveikslėlyje, eksperimentinės klasės mokiniai antros klasės matematikos baigiamajame teste padarė beveik trečdaliu mažiau klaidų nei kontrolinės klasės mokiniai, nors, kaip minėta, aukščiausią lygį yra pasiekęs panašus mokinių skaičius. Beje, eksperimentinėje klasėje net 5 mokiniai nepadarė nė vienos klaidos, o kontrolinėje klasėje nė vienos klaidos nepadarė tik 1 mokinys. Visa tai, be abejo, dar kartą parodo, jog eksperimentinės klasės mokinių matematinis raštingumas yra ženkliai aukštesnis. Vadinasi, galime teigti, jog ugdomasis eksperimentas turėjo teigiamą įtaką mokinių matematiniam raštingumui Ugdomojo eksperimento veiksmingumas. Šiame skyriuje analizuojamas eksperimentinės klasės mokinių atskirų matematikos testo užduočių vertinimas, lyginant pirmos ir antros klasės užduočių rezultatus. Atsižvelgiant į tai, kad baigiamieji matematikos testai apima visą matematikos kursą, analizuojant testų rezultatus, išskirtos šios matematikos sritys: skaičių eilės ir sandaros suvokimas, aritmetika, statistika, algebros pradmenys, geometrija, matai ir matavimo vienetai. Pirmos klasės testą sudaro 8 užduotys, antros klasės 16 užduočių. Atskirų matematikos turinio sričių gebėjimams bei įgūdžiams įvertinti, atskiroms sritims buvo skirta po 1 3 užduotis. Vertinant kiekvieną matematikos turinio sritį, atskirų užduočių rezultatai buvo sumuojami. Testų užduotys buvo vertinamos pagal tai, kiek klaidų mokiniai padarė atlikdami konkrečią užduotį (žr. 10 lentelę). 58

60 Testų užduočių vertinimo schema Simbolis Vertinimas Klaidų skaičius P Puikiai Be klaidų G Gerai 1 2 klaidos V Vidutiniškai Daugiau nei 2 klaidos N Neigiamai Neteisingai atlikta arba neatlikta užduotis 10 lentelė Skaičių eilės ir sandaros suvokimas Pirmoje klasėje skaičiaus sandarai suvokti buvo skirta užduotis, reikalaujanti nurodyti duotų skaičių sandarą: kiek skaičius turi dešimčių ir kiek vienetų (žr. 14 priedo 3 užduotį). Antros klasės baigiamajame teste mokiniai turėjo pratęsti skaičių seką didėjimo ir mažėjimo tvarka (žr. 15 priedo 1 užduotį) be klaidų 1-2 klaidos I klasė 1 II klasė daugiau nei 2 klaidos neteisingai atlikta užduotis 40 pav. Mokinių skaičių eilės ir sandaros suvokimo vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Tyrimo rezultatai rodo, jog mokinių skaičių eilės ir sandaros suvokimo rezultatai ženkliai geresni nei pirmoje klasėje ( žr. 40 pav.). Jei pirmoje klasėje šią užduotį teisingai atliko 14 mokinių, tai antroje klasėje ją teisingai atliko visi be išimties mokiniai. Reikia pastebėti, jog ugdomojo eksperimento metu šiai matematikos sričiai buvo kreipiamas dėmesys. Skaičiaus sandaros suvokimui buvo skirta pirmoji eksperimento užduotis (žr. 5 lent.). Nors antros klasės teste konkrečiai tokios užduoties nebuvo, tačiau ši užduotis turėjo padėti mokiniams lengviau atlikti sudėties ir atimties veiksmus, peržengiant į kitą dešimtį toks ir buvo šios užduoties tikslas. Aritmetika Aritmetikos įgūdžiams įvertinti tiek pirmoje, tiek antroje klasėje buvo skirta po keletą užduočių. Pirmoje klasėje aritmetikai buvo skirtos dvi užduotys, o antroje trys. Pirmoje klasėje buvo atliekami sudėties ir atimties veiksmai 100 ribose neperžengiant į kitą dešimtį. Viena užduotis tai sudėties ir atimties vienaveiksmiai reiškiniai, kita dviveiksmiai skaitiniai reiškiniai (žr. 14 priedo 5 ir 7 užduotis). Antroje klasėje sudėties ir atimties veikslai jau atliekami peržengiant į kitą dešimtį. Be to, čia jau prisidėjo ir daugybos bei dalybos veiksmai. Pirmoji užduotis buvo sudėtis ir atimtis stulpeliu, antroji vizualus objektų dalijimas į lygias dalis, o trečioji užduotis dviveiksmiai skaitiniai reiškiniai su veiksmo tvarkos nustatymu (žr. 15 priedo 2, 6 ir 7 užduotis). 59

61 be klaidų klaidos daugiau nei 2 klaidos 5 0 I klasė II klasė neteisingai atlikta užduotis 41 pav. Mokinių aritmetinių veiksmų vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Tyrimo rezultatai rodo, aritmetinius veiksmus mokiniai antroje klasėje taip pat atliko kur kas geriau nei pirmoje ( žr. 41 pa.). Jei pirmoje klasėje be klaidų aritmetinius visus veiksmus atliko tik 9 vaikai, tai antroje klasėje be klaidų šiuos veiksmus atliko net 17 vaikų. Šiems rezultatams teigiamos įtakos tikrai galėjo turėti visus metus vykdytas ugdomasis eksperimentas. Jo metu aritmetinių veiksmų mokymui buvo skirtas ypatingas dėmesys, nes baigiamajame pirmos klasės teste šias užduotis be klaidų atliko mažiau nei pusė vaikų (žr. 22 priedą). Be jau minėtos vizualinės skaičių sandaros analizės, eksperimento metu aritmetiniams veiksmams buvo skirtos net penkios užduotys. Dvi iš jų (2 ir 3 užd.) skirtos sudėties ir atimties veiksmams, o trys (4, 5 ir 6 užd.) daugybos ir dalybos veiksmams suvokti (žr. 5 lentelė). Be to, reikia pastebėti, jog lyginant eksperimentinės ir kontrolinės klasės rezultatus, matome, kad šių klasių rezultatai ženkliai skiriasi. 11 lentelė Eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių 2 klasės teste padarytų klaidų skaičius Skaičių Aritmetika Statistika Algebra Geometrija Matai sandara Eksperimentinė klasė Kontrolinė klasė 11 lentelėje matome, jog atlikdami aritmetikos veiksmus eksperimentinės klasės mokiniai iš viso padarė tik 5 klaidas, tuo tarpu kontrolinėje klasėje atlikdami sudėties, atimties, daugybos bei dalybos veiksmus mokiniai iš viso padarė 17 klaidų. Dažniausiai jie neteisingai sudėjo stulpeliu dviženklius skaičius, kai peržengiama į kitą dešimtį (6 vaikai), neteisingai atėmė stulpeliu iš dviženklio skaičiaus dviženklį skaičių, kai turinyje vienetai mažesni už atėminio vienetus (3 vaikai), neteisingai sudėjo eilute dviženklį skaičių su dviženkliu, neteisingai atėmė eilute apvalias dešimtis. Atlikdami daugybos bei dalybos veiksmus, jie darė skaičiavimo klaidų (4 vaikai), dviveiksmiuose reiškiniuose nežinojo veiksmų eiliškumo (2 vaikai), darė klaidų dėl daugybos lentelės nemokėjimo (2 vaikai) (žr. 24 priedą). Statistika Statistikos pradmenų mokymas 1 2 klasėje susijęs su mokymusi duomenis vaizduoti diagramomis. Pirmos klasės baigiamajame teste mokinių buvo prašoma sudaryti diagramą pagal piešinyje pavaizduotą vieną parametrą (žr. 14 priedo 8 užduotį), o antroje klasėje pagal lentelėje pateiktus du parametrus (žr. 15 priedo 9 užduotį). 60

62 be klaidų klaidos I klasė 1 II klasė daugiau nei 2 klaidos neteisingai atlikta užduotis 42 pav. Mokinių statistikos pradmenų vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Nežiūrint to, kad pirmoje klasėje sudaryti diagramas mokinimas sekėsi pakankamai gerai, matome, jog antroje klasėje šie rezultatai dar pagerėjo (žr. 42 pav.). Kadangi, tai nebuvo problematinė sritis, ugdomojo eksperimento metu jai specialaus dėmesio nebuvo skirta. Algebros pradmenys Algebros pradmenys 1 2 klasėje tai tekstinių uždavinių sprendimas bei pirmieji lygčių sudarymo žingsniai. Pirmos klasės baigiamajame teste buvo pateikti du tekstiniai uždaviniai (žr. 14 priedo 1, 2 užduotis). Antroje klasėje buvo trys tekstiniai uždaviniai ir vienas skaitinis reiškinys, ieškant nežinomo aritmetinio veiksmo komponento: daliklio, dalinio, pirmojo bei antrojo dauginamojo, antro dėmens bei turinio (žr. 15 priedo 8 užduotį). Tekstiniai uždaviniai antroje klasėje jau buvo sudėtingesni nei pirmoje klasėje. Du iš jų dviveiksmiai uždaviniai, su palyginimo operacija bei veiksmų eiliškumo nustatymu, o vienas vienaveiksmius uždavinys su palyginimo operacija (žr. 15 priedo 3, 4 ir 5 užduotis) be klaidų 1-2 klaidos I klasė II klasė daugiau nei 2 klaidos neteisingai atlikta užduotis 43 pav. Mokinių algebros pradmenų vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Pirmoje klasėje be klaidų tekstinius uždavinius išsprendė 15 vaikų, tai antroje klasėje nė vienos klaidos algebros užduotyse nepadarė tik 11 vaikų (žr. 22 priedą ir 43 pav.). Vertinant visas matematikos turinio sritis, antros klasės teste tai prasčiausias rezultatas. Be to, daugiausia klaidų antros klasės teste mokiniai padarė ieškodami lygtyse nežinomo komponento. Galime daryti prielaidą, kad klaidų kiekis algebros užduotyse didesnis todėl, kad antroje klasėje tekstiniai uždaviniai ir lygtys savo turiniu ir forma yra sudėtingesnės nei pirmoje klasėje. Spręsdami dviveiksmius tekstinius uždavinius eksperimentinės klasės mokiniai padarė šias klaidas ( žr. 15 priede 3, 4 ir 5 užd.): uždavinį, kuriame yra palyginimo operacija, išsprendė vienu veiksmu, nes mokiniai apskaičiavo tik sąvoką mažiau, bet neatsakė į klausimą kiek iš viso? (4 vaikai), sąvokai mažiau parinko sudėties ženklą, darė skaičiavimo klaidas. Dviveiksmiame uždavinyje su atimties ir daugybos veiksmu bei veiksmų eiliškumo nustatymu, mokiniai neteisingai įvardino atsakymą vietoj kg parašė apelsinai (2 vaikai), uždavinį išsprendė 1 veiksmu: tik 61

63 padaugino arba atėmė, bet neatsakė į klausimą kiek liko? (2 vaikai), uždavinį išsprendė 2 veiksmais, bet užrašė neteisingus matematinius sprendimus (2 vaikai). Spręsdami vienaveiksmį tekstinį uždavinį su palyginimo operacija vietoj atimties veiksmo parinko sudėties (3 vaikai), vienaveiksmį tekstinį uždavinį išsprendė dviem veiksmais bei neteisingai įvardino atsakymą ir kt. (žr. 23 priedą). Kita vertus, lyginant eksperimentinės klasės rezultatus su kontrolinės klasės rezultatais, reikia pastebėti, jog kontrolinės klasės mokiniai, spręsdami tekstinius uždavinius ir ieškodami nežinomų aritmetinių veiksmų komponentų, padarė ženkliai daugiau klaidų iš viso 36 (žr. 12 lentelę). Kontrolinės klasės mokiniai, spręsdami dviveiksmį tekstinį uždavinį su palyginimo operacija mažiau apskaičiavo sąvoką mažiau, bet neatsakė į klausimą kiek iš viso? (6 vaikai), sprendimą užrašė teisingai, bet pridėjo ne tą skaičių. Sprendžiant dviveiksmį uždavinį su atimties ir daugybos veiksmu mokiniai neteisingai įvardino atsakymą vietoj kg parašė apelsinai, uždavinį išsprendė 1 veiksmu; tik sudaugino arba atėmė, bet neatsakė į klausimą kiek liko? (2 vaikai), uždavinį išsprendė 2 veiksmais, bet parinko neteisingus matematinius veiksmus (1 vaikas). Spręsdami vienaveiksmį tekstinį uždavinį su palyginimo operacija, vietoj atimties veiksmo jie parinko sudėties veiksmą (6 vaikai), vienaveiksmį tekstinį uždavinį išsprendė dviem veiksmais, darė skaičiavimo klaidas ir kt. (žr. 24 priedą). Ieškodami nežinomų aritmetinių veiksmų komponentų, kontrolinės klasės mokiniai neteisingai apskaičiavo dalinį, daliklį ir daugiklius (7 vaikai), turinį (3 vaikai) bei dėmenį (2 vaikai). Geometrija Geometrijos mokymas pradinėse klasėse pradedamas geometrinių figūrų bei kūnų pažinimu bei teisingu įvardijimu. Pirmos klasės teste geometrijai buvo skirta viena užduotis, prašant nubrėžti atkarpas: vieną be, o kitą su palyginimo operacija (žr. 14 priedo 4 užduotį). Antros klasės teste buvo prašoma nubrėžti atkarpas, iš kurių pirmos analogiškos pirmos klasės užduočiai, o trečioji su aritmetine operacija (atkarpa lygi pirmos ir antros atkarpų ilgių sumai) (žr. 15 priedo 16 užduotį). Antroje klasėje mokinių taip pat buvo prašoma teisingai pavadinti geometrines figūras bei kūnus. Vienoje užduotyje reikėjo tiesiog parinkti tinkamą pavadinimą, o kitoje patiems įrašyti pavadinimą (žr. 15 priedo 10 ir 15 užduotis) I klasė 2 II klasė be klaidų 1-2 klaidos daugiau nei 2 klaidos neteisingai atlikta užduotis 44 pav. Mokinių geometrijos užduočių vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Kaip rodo tyrimas, geometrijos užduotis be klaidų tiek pirmoje, tiek antroje klasėje teisingai atliko panašus skaičius mokinių ( žr. 44 pav.): atitinkamai 11 ir 12 mokinių. Tokius rezultatus galima būtų sieti su tuo, kad ugdomojo eksperimento metu šiai sričiai dėmesio nebuvo skirta. Tačiau lygindami abiejų klasių mokinių rezultatus, matome, kad šie ženkliai skiriasi. Jei eksperimentinėje klasėje atlikdami geometrijos užduotis mokiniai padarė iš viso 15 klaidų, tai kontrolinėje klasėje jų buvo 25 (žr. 11 lentelę). Matai ir matavimo vienetai Iš matavimo užduočių pirmoje klasėje tebuvo viena užduotis tai laikrodžio pažinimas, užrašant laikrodžio konkretų laiką (žr. 14 priedo 6 užduotį). 62

64 Antroje klasėje laiko pažinimo užduotys buvo sudėtingesnės, nes mokiniai turėjo užrašyti valandas pagal du paros taškus (pvz.: 6 val. ir 18 val.). Be to, antros klasės mokiniai turėjo užrašyti teigiamą ir neigiamą temperatūrą bei pasmulkinti ir palyginti matavimo vienetus (žr. 15 priedo 11 ir 14 užduotis) I klasė II klasė be klaidų 1-2 klaidos daugiau nei 2 klaidos neteisingai atlikta užduotis 45 pav. Matų pažinimo užduočių vertinimo palyginimas prieš ir po ugdomojo eksperimento Tyrimo rezultatai rodo, jog pirmoje klasėje atkarpas teisingai nubraižė 17 mokinių. Tačiau antroje klasėje 5 vaikai neteisingai nubrėžė trečiąją atkarpą, kuri turėjo būti lygi pirmos ir antros atkarpos ilgių sumai (žr. 23 priedą ir 45 pav.). Atlikdami kitas matavimo užduotis, mokiniai darė klaidas pažindami termometrą, nors ugdomojo eksperimento metu viena iš užduočių buvo skirta būtent termometro pažinimui. Dažniausiai pasikartojanti klaida neteisingai užrašyti neigiamos temperatūros rodmenys (5 vaikai). Šias mokinių klaidas būčiau linkusi sieti su tuo, kad eksperimento metu (mokslo metų pradžioje) su mokiniais išsiaiškinus termometro prasmę, mokslo metų eigoje prie šios temos daugiau nebebuvo grįžta. Žvelgiant iš šiandienos perspektyvos, ugdomojo eksperimento metu mokant pažinti termometro rodmenis buvo padaryta klaida, galėjusi lemti nepakankamą temperatūros žymėjimo suvokimą. Eksperimento metu, atlikdami termometro pažinimo užduotis, vaikai į atitinkamą vietą stojosi iš tos vietos, kur jie stovėjo. Mano manymu, suvokimas būtų buvęs efektyvesnis, jei jų atskaitos tašku būtų buvęs nulis. Būtent nuo nulio mokiniai turėjo pradėti atlikti su temperatūros mokymu susijusias užduotis. Kitą matavimo užduotį, t.y. laiko pažinimo užduotį, beveik visi antros klasės (taip pat kaip ir pirmoje) mokiniai (17 iš 19) atliko teisingai. Apibendrinant skyriaus medžiagą, galima teigti, jog ugdomasis eksperimentas turėjo teigiamą poveikį mokinių matematinių žinių lygiui. Vertinant ugdomojo eksperimento poveikį, diagnostinio tyrimo rezultatai buvo analizuojami dviem aspektais. Pirmiausia, vertinat mokinių pasiekimus buvo stebimi eksperimentinės klasės mokinių matematinio raštingumo pokyčiai, lyginant pirmos ir antros klasės matematikos testų rezultatus. Antra, eksperimentinės klasės mokinių matematikos testų rezultatai buvo lyginami su kontrolinės klasės rezultatais pirmoje ir antroje klasėje. Teigiamą ugdomojo eksperimento poveikį mokinių matematiniam raštingumui rodo tai, kad pirmoje klasėje aukštesnįjį lygį buvo pasiekę 8 eksperimentinės klasės mokiniai, o antroje klasėje jau net 14 mokinių. Tuo tarpu kontrolinėje klasėje pokytis nėra toks ryškus: pirmoje klasėje aukštesnįjį lygį buvo pasiekę 11, o antroje klasėje 13 mokinių. Be to, nežiūrint panašių mokinių vertinimo rezultatų abiejose klasėse, skiriasi eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių antros klasės teste surinktų balų vidurkis (atitinkamai 61,7 ir 61,2) bei bendras padarytų klaidų skaičius (atitinkamai 62 ir 92 klaidos). Eksperimentinėje klasėje visas užduotis be klaidų padarė 5 mokiniai, o kontrolinėje klasėje tik 1 mokinys. Visa tai rodo, jog eksperimentinės klasės mokinių bendras matematinių pasiekimų lygis yra ženkliai aukštesnis nei kontrolinės klasės, nors pirmoje klasėje buvo atvirkščiai. Geresni eksperimentinės klasės rezultatai po eksperimento stebimi beveik visose matematikos turinio srityse (algebra, geometrija, statistika ir kt.). Tai ypač ženklu aritmetikos srityje. Būtent šiai sričiai eksperimento metu buvo skirtas ypatingas dėmesys, nes baigiamajame pirmos klasės teste šias užduotis be klaidų atliko mažiau nei pusė vaikų. Jei pirmoje klasėje be klaidų aritmetinius visus veiksmus atliko tik 9 vaikai, tai antroje klasėje be klaidų šiuos veiksmus atliko net 17 vaikų. Vaikų aritmetikos įgūdžiams padėjo ir kita į ugdomąjį eksperimentą įtraukta užduotis skaičių sandaros suvokimas. Nors antros klasės teste konkrečiai tokios užduoties nebuvo, tačiau ši 63

65 užduotis galėjo padėti mokiniams lengviau atlikti sudėties ir atimties veiksmus, peržengiant į kitą dešimtį toks ir buvo šios užduoties tikslas. Lyginant eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių 2 klasės aritmetinių užduočių rezultatus ( žr. 46 pav.) matyti, kad : atlikdami aritmetikos veiksmus eksperimentinės klasės mokiniai padarė tik 5 klaidas, o, kontrolinėje klasėje atlikdami sudėties, atimties, daugybos bei dalybos veiksmus, mokiniai iš viso padarė 17 klaidų (žr. 11 lentelę) Eksperimentinė klasė Kontrolinė klasė 46 pav. Eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių padarytų klaidų skaičius. Kontrolinės klasės mokiniai ženkliai daugiau klaidų padarė ir spręsdami tekstinius uždavinius bei ieškodami nežinomų aritmetinių veiksmų komponentų. Eksperimentinės klasės mokiniai algebros pradmenų užduotyse iš viso padarė 27 klaidas, o kontrolinės klasės 36 klaidas. Geometrijos užduotyse eksperimentinės klasės mokiniai iš viso padarė 15 klaidų, o kontrolinės klasės 25 klaidas Skaičių eilė ir sandara (S) Aritmetika (AR) Statistika (ST) 47 pav. Eksperimentinės klasės mokinių testų rezultatai. Algebra (ALG) Geometrija (G) Matai ir matavimo vienetai (M) be klaidų I kl. be klaidų II kl. padarė klaidų I kl. padarė klaidų II kl. Eksperimentinės klasės mokinių matematiniai pasiekimai ypač matomi skaičių eilės ir sandaros bei aritmetikos srityse ( žr. 47 pav.). Tam įtakos turėjo ne viena organizuota ugdomoji eksperimentinė veikla ir matematiniai žaidimai skaičiaus sandarai suprasti. Nežymiai rezultatai pagerėjo statistikos ir geometrijos srityse. Šios matematinės sritys nebuvo problematiškos ir I oje klasėje. Reikėtų pagerinti mokymosi būdus algebros ir matavimo vienetų srityse tai tekstinių uždavinių sprendimas ir neigiamos temperatūros teisingas įvardinimas. 64

66 Išanalizavus eksperimentinės klasės matematikos testų rezultatus ir juos palyginus su kontroline klase, galima teigti, jog ugdomasis eksperimentas mokinių matematiniams pasiekimams turėjo teigiamą poveikį. 65

67 IŠVADOS 1. Atlikus literatūros šaltinių analizę, galima teigti, jog: Pradinėse klasėse svarbu išmokti naudotis paprasčiausiomis loginio mąstymo struktūromis. Mokymasis tai atlikti yra paremtas tam tikrų matematinių taisyklių suvokimu bei pagrindimu. Logiškai tikslus samprotavimas reikalingas ne tik matematiniam mąstymui ugdyti, bet ir gramatinei analizei bei teksto suvokimui, realiam pasauliui pažinti. Samprotavimų loginis tikslumas yra svarbiausias matematikos bruožas. Jis padeda susieti konkretų bei vaizdinį mąstymą su abstrakčiu sąvokiniu mąstymu. Samprotavimų loginio tikslumo trūkumas šiandienos ugdyme yra laikomas pagrindine žemų mokinių matematinių pasiekimų priežastimi. Loginio samprotavimo ugdymas pradinėse klasėse gali būti realizuotas papildant esamų vadovėlių temas specialiai parengtomis matematinėmis veiklomis. Ne visuose matematikos vadovėliuose matematinės sąvokos yra tinkamai apibrėžiamos (kai kurios visai neapibrėžiamos), kai kurios sąvokos aiškinamos skirtingai. Vadovėliuose tarp kai kurių temų yra šuolių, pažeidžiančių vieną iš pagrindinių loginio samprotavimo bruožų nuoseklumo, hierarchinės tvarkos principą. Trūksta praktinių užduočių išmoktai taisyklei įtvirtinti, schemų, o pats taisyklės ir kai kurių sąvokų aiškinimas, galėtų būti labiau paremtas konkrečia veikla. Sukurtas teorinis matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelis apima mokytojo pasirengimą ir mokinio pasirengimo naujai temai patikrinimą; praktinį logiškai pagrįsto matematinio ugdymo realizavimą; refleksiją. Refleksijos metu pastebėjus supratimo spragas, modelio etapus gali tekti kartoti. 2. Empiriniu tyrimu II klasėje tikrinant matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelio veiksmingumą, buvo nustatyta: Taikant modelį, įmanoma sukurti įvairiausias matematinio turinio atskleidimą realizuojančias veiklas (taikant modelį parengtas ugdomųjų veiklų konstruktas apėmė visas matematinių taisyklių nagrinėjimui II klasėje aktualias temas). Pamokos mokiniams buvo įdomios, konkrečiu ir vizualiu pavidalu pateikiamas matematines taisykles jie greitai perprato, lengvai darė apibendrinimus. Modelio idėjas prasminga taikyti atskirai ugdant vieną mokinį: tiriamoji žvalgomojo tyrimo metu jautėsi gerai, laisvai dėstė savo samprotavimus ir gebėjo, remdamasi konkrečia ir vizualiąja veikla, suformuluoti abstrakčiąją taisyklę. Jokių ugdymo problemų nebuvo pastebėta. Ugdomajame eksperimente dalyvavusių mokinių, skirtingai nei kontrolinės klasės, matematinio raštingumo lygis ženkliai pakilo. Eksperimentinėje klasėje pagerėjo daugelio matematikos turinio sričių rezultatai, ypač aritmetikos, skaičių sandaros supratimo, statistikos pradmenų bei geometrijos. Eksperimentinės klasės matematikos II klasės testo rezultatai beveik visose srityse (išskyrus matus ir matavimo vienetus) yra aukštesni nei kontrolinės klasės mokinių rezultatai. Apibendrinant empirinio tyrimo rezultatus galima teigti, jog, taikant pagal modelį sukurtą matematinių veiklų konstruktą, vykdytas ugdomasis eksperimentas buvo veiksmingas. 66

68 DISKUSIJA Pradinio ugdymo turiniui ir matematikos mokymui nebūdingas sąmoningas samprotavimų loginio tikslumo siekimas. Mokiniai mokomi atlikti aritmetinius veiksmus, spręsti uždavinius, atlikti statistikos ir geometrines užduotis, išmokti parinkti tinkamus matavimo vienetus ir su jais atlikti skaičiavimo užduotis, įgyti algebros pradmenų. Nors nei pradinio ugdymo programoje nei vadovėliuose nėra gausu aiškiai suformuluotų loginių užduočių, mokiniai mokomi lyginti objektus ir juos priskirti tam tikrai klasei, analizuoti teiginius, spręsti pastabumą ir loginį mąstymą lavinančius galvosūkius bei spręsti išmoktą teorinį žinojimą pagilinančius ir atitinkamas sąvokas praplečiančius realaus turinio uždavinius, daryti logines išvadas bei jas pagrįsti. Pradinių klasių matematikos vadovėliai yra tik pagalbinė mokymo priemonė, kuria mokytojas gali tik pasiremti arba aklai ją vadovautis. Matematikos vadovėliuose dalis taisyklių ir sąvokų tiesiog suformuluotos pačių autorių, mokiniams jas siūloma tik pritaikyti. B. Balčytis, R. Martinėnienė bei A. Kiseliovas, D. Kiseliova pateikia mokiniams užduočių, kuriomis skatinama patvirtinti teiginio teisingumą arba atrasti taisykles. Bet tokių užduočių matematikos vadovėliuose nėra itin gausu. Vadovėlyje Matematika pateikiama praktinių ir paaiškinančių loginį matematikos taisyklės pagrindimą nuotraukų ir iliustracijų. Bet jos neatstoja paties mokinio atrastos ir pagrįstos loginiais samprotavimais suformuluotos taisyklės. Tad, apžvelgus visus matematikos vadovėlius, galima teigti, kad pagrindinis vaidmuo ugdant loginį mąstymą šiuo metu atitenka mokytojui. Mokytojas, siekdamas, kad mokinys produktyviai taikytų matematines žinias ir gebėjimus, galėtų pagrįsti savo samprotavimus, turi žinoti matematinio mąstymo ugdymo psichologiją ir sukurti pamokoje matematines veiklas ir situacijas, kuriose mokinys žinotų ne kaip sprendžiama matematinė problema, o įgytų giluminį supratimą apie sąvokas, taisykles ir gebėtų paaiškinti kodėl jos taip sprendžiamos(hannell G, 2013; Hazekamp J., 2011; Molina C.; 2012). Išanalizavus pedagoginę, psichologinę ir metodinę literatūrą buvo sukurtas matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modelis, kuriuo remiantis mokytojas galėtų organizuoti veiklas, skatinančias pradinių klasių mokinius logiškai tiksliai samprotauti. Mokytojas, ruošdamasis pamokai, turi susieti naują medžiagą su senąja ir įvertinti mokinių esamas žinias. Praktiniame etape idealiausias taisyklės logininis paaiškinimas, kai patys mokiniai suformuluoja apibrėžimą naudodamiesi tikslingai parinktomis priemonėmis ir pavyzdžiais. Pradinių klasių mokiniai mokydamiesi matematikos turi gebėti logiškai samprotauti, pagrįsti savo sprendimus, bet ne aklai taikyti taisykles. Taisyklės pagrindimas tai logiškas matematinių sąvokų apibūdinimas (Kiseliova D., Kiseliovas A., 2008, p. 72). P.J.N. Dejonckheere, K., Van de Keere K, N. Mestdagh (2010) teigia, kad jaunesnio mokyklinio amžiaus vaikai geriausiai taisyklę įsisąmonina, kai pradinių klasių mokiniai jas atranda per savo patyrimą. Svarbiausia mokantis logiškai samprotauti laikytis pagrindinių didaktikos principų: eiti nuo paprasto prie sudėtingo, nuo konkrečių stebėjimų, pavyzdžių, bandymų, prie išvadų ir apibendrinimų, prie taisyklių, apibrėžimų formulavimo (Gage N.L., Berliner D.C., 1994, p.105). Ugdomojo eksperimento veiklos buvo grindžiamos atsižvelgiant į tai, jog jaunesniojo mokyklinio amžiau laikotarpiu vaikų mąstymas pereina nuo konkretaus prie vizualaus, ir nuo vizualaus iki abstraktaus mąstymo. Konkreti ir vaizdinė medžiaga gali padėti mokiniams suprasti abstrakčiai suformuluotą taisyklę (Baig S., Halai A., 2006). Konstatuojamasis tyrimas parodė, kad eksperimentinės klasės mokinių matematinio raštingumo rezultatai buvo prastesni už kontrolinės klasės rezultatus. Išanalizavus eksperimentinio ugdymo rezultatus galima teigti, kad antroje klasėje eksperimentinės klasės, kurioje mokslo metų eigoje buvo vykdomas ugdomasis eksperimentas, mokinių matematinio raštingumo lygis gerokai pakilo ir net pralenkė kontrolinės klasės rezultatus. Diagnostinio tyrimo rezultatai rodo, jog mokinių skaičių eilės ir sandaros, geometrijos ir statistikos supratimo rezultatai ženkliai geresni nei pirmoje klasėje. Lyginant eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių 2 klasės aritmetinių užduočių rezultatus, pastebime, kad atlikdami aritmetikos veiksmus eksperimentinės klasės mokiniai padarė tik 5 klaidas, o kontrolinėje klasėje atlikdami sudėties, atimties, daugybos bei dalybos veiksmus mokiniai iš viso padarė 17 klaidų. 67

69 Bet algebros rezultatai yra žemesni nei pirmoje klasėje. Tam įtakos turėjo tekstinių uždavinių sudėtingumas bei lygčių sprendimas nustatant ne tik nežinomą dėmenį, turinį ir atėminį, bet ir nežinomą daugiklį, dalmenį ir dalinį. Spręsdami tekstinius uždavinius mokiniai darė šias klaidas: dviveiksmiams tekstiniams uždaviniams parinko vienaveiksmį sprendimą ir atvirkščiai; skaičiavimo klaidos, nes tikriausiai dėmesį sutelkė į patį uždavinio sprendimą. Tokią prielaidą darau remdamasi tuo, kad užduotis, skirtas aritmetikos sričiai patikrinti, eksperimentinės klasės mokiniai atlikdami padarė 5 klaidas, kai tuo tarpu spręsdami uždavinius padarė 3 klaidas; neteisingas atsakymo įvardinimas; neteisingas matematinių veiksmų uždavinio sprendimui parinkimas. Atlikdami užduotis susijusias su matais ir matavimo vienetais, eksperimentinės klasės mokiniai taip pat darė klaidų, tame tarpe ir pažindami termometrą. Dažniausia klaida buvo neteisingai užrašyti neigiamos temperatūros rodmenys (5 vaikai). Šias mokinių klaidas būčiau linkusi sieti su tuo, kad eksperimento metu mokant pažinti termometro rodmenis buvo padaryta klaida, galėjusi lemti nepakankamą temperatūros žymėjimo supratimą. Eksperimento metu vaikai į atitinkamą vietą stojosi iš tos vietos, kur jie prieš konkrečios užduoties formulavimą stovėjo. Panašu, kad būtų suprasta geriau, jei atskaitos taškas (pradinė vaikų stovėjimo vieta) būtų buvęs nulis. Apibendrinant galima teigti, kad konstatuojamojo ir diagnostinio tyrimo rezultatai skiriasi. Diagnostinio tyrimo rezultatai yra kur kas geresni nei konstatuojamojo, išskyrus matavimo užduotis, susijusias su temperatūros užrašymu. Taigi, eksperimentinės klasės mokinių rezultatai žemiausi, lyginant su kontroline klase matų ir matavimo vienetų matematinėje srityje. Visose kitose matematinėse srityse eksperimentinės klasės matematiniai pasiekimai tapo geresni, nei kontrolinės. Ugdomosios veiklos buvo parinktos tikslingai, skatinančios pradinių klasių mokinius atrasti taisykles ir jas taikyti. Apibendrinant remtasi šiame darbe atliktų teorinių studijų sukurtu matematinių samprotavimų loginio tikslumo ugdymo pradinėse klasėse modeliu. Todėl galima teigti, jog sukurtą teorinį modelį taikyti II klasės matematikos pamokose ugdant matematinių samprotavimų loginį tikslumą yra veiksminga. 68

70 LITERATŪRA 1. Alsup, J. K. New classroom rules to promote preservice elementary teachers' mathematics learning. Spring, 2003, 123( 3): Arends, R.I. Mokomės mokyti.vilnius, Ažubalis, A; Kiseliovas, A. Bendroji pradinės mokyklos didaktika. 4. Ažubalis, A. Juozas Revuckas apie loginio mąstymo ugdymą geometrijos mokymo procese. Lietuvos matematikos rinkinys, 2006, 46: Ažubalis, A. Logika ir mokyklinė matematika. Vilnius, Baig, S.; Halai, A. Learning Mathematical Rules with Reasoning. Science & Technology Education,2006, 2: Balčytis, B. Aritmetinių tekstinių uždavinių sprendimas I IV klasėse. Kaunas, Balčytis,B. Kaip mokyti matematikos trečiaklasius ir ketvirtaklasius. Kauna, Balčytis, B. Skaičių šalies patobulintų mokomųjų knygų svarbiausieji akcentai // Žvirblių takas.1994, 4: Balčytis, B.; Martinėnienė,R.; Vaičiulienė, A. Skaičių šalis, 1klasė ( 1-2 knyga),kaunas, Balčytis, B.; Martinėnienė,R. Skaičių šalis, 2klasė ( 1-2 knyga), Kaunas, Balčytis, B.; Martinėnienė,R. Skaičių šalis, 3klasė ( 1-2 knyga), Kaunas, Balčytis, B.; Martinėnienė, R. Skaičių šalis, 4klasė ( 1-2 knyga), Kaunas, Barkl, S.;Porter, A.; Ginns, P. Cognitive training for children: Effects on inductive reasoning, deductive reasoning, and mathematics achievement in an Australian school setting. Psychology in the Schools, 2012, 49(9): Bitinas,B.; Rajeckas,V.; Vaitkevičius, J.; Bajoriūnas,Z. Pedagogika. Vilnius, Bitinas, B. Rinktiniai edukologijos raštai. Vilnius, Bitinas, B. Ugdymo filosofijos pagrindai. Vilnius, Bižys, N.; Linkaitytė, G.; ir Valiuškevičiūtė, A. Pamokos mokytojui. Vilnius: Bueno, O. On the Referential Indeterminacy of Logical and Mathematical concepts. Journal of Philosophical Logic, 2005, 34: Butkienė, G.; Kepalaitė, A. Mokymasis ir asmenybės brendimas.vilnius, Butkienė, O.G. Mokymosi psichologija. Vilnius, Carrier, J. Student Strategies Suggesting Emergence of Mental Structures Supporting Logical and Abstract Thinking. School Science & Mathematics, 2014, 114 (2): Dabartinės lietuvių kalbos žodynas [ interaktyvus]. Prieiga per internetą: Dagninoa, F. M.; Ballaurib, M.; Benignoa, V.; Caponettoa, I.; Pesentib, E. Reasoning abilities in primary school: A pilot study on poor achievers vs. normal achievers in computer game tasks. Learning and Individual Differences, 2013, 23: Dejonkchere,P.J.;Van de Kere, K.; Mestdagh,N. Training the Scientific Thinking Circle in Preand Primary School Children. Educational Research,2010, 103: Drėgūnas,V.; Rumša, P. Bendroji matematikos mokymo metodika.vilnius, Dulkienė, I. Pradinuko matematika: taisyklės ir uždavinių sprendimo pavyzdžiai. Panevėžys, Fürst, M.; Trinksas J. Filoosofija. Vilnius, Gage, N.L.; Berliner, D.C. Pedagoginė psichologija.vilnius, Gailienė, D.; Bulotaitė, L.; Sturlienė, N. Aš myliu kiekvieną vaiką. Vilnius, Garbačiauskienė, M. Psichologai apie žmogaus raidą: iš XX a. Lietuvos ir užsienio psichologijos: antologija. Kaunas, Gučas, A. Bendrosios psichologijos paskaitos. Vilnius, Gučas, A. Vaiko psichologija. Kaunas,

71 34. Hannell, G. Dyscalculia: Action plans for successful learning in mathematics. Routledge, Hazekamp, J. Why before how :Singapore math computation strategies. Peterborough, Indrašienė V. Žaidžiame matematiką. Vilnius, Young-Loveridge, J.;Mills, J. Deepening students understanding of multiplication and division by exploring divisibility by nine. Journal Artic, 2012, 63(3): Jonynienė, V. Jaunesniųjų moksleivių mąstymo raidos etapai. Vilnius, Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematika, 1 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius, Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematika, 2 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius, Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematika, 3 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius, Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematika, 4 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius, Kiseliova, D.; Kiseliovas, A. Matematikos didaktika. Šiauliai, Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematikos pasaulyje, 1 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius 45. Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematikos pasaulyje, 2 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius 46. Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematikos pasaulyje, 3 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius 47. Kiseliovas, A.; Kiseliova, D. Matematikos pasaulyje, 4 klasė ( 1, 2, 3 knyga). Vilnius 48. Kiseliova, D.; Kiseliovas,A.; Drozd,V. Tekstinių uždavinių didaktika, Šiauliai, Laupa,M.; Becker, J. Coordinating mathematical concepts with the demands of authority: children s reasoning about conventional and second-order logical rules. Cognitive Development, 2004, 19: Lietuvos mokinių matematinis mąstymas (pagal TIMSS tyrimus). Švietimo problemos analizė, 2013, 11(97): Lietuvių kalbos žodynas ( interaktyvus).prieiga per internetą: Matematika. Metodiniai patarimai ( interaktyvus). Prieiga per internetą: Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairės[ interaktyvus], Prieiga per internetą: _gaires.pdf [žiūrėta 2014 m. spalio 15 d.] 54. McNeil, M. N. Limitations to Teaching Children : Typical Arithmetic Problems Can Hinder Learning of Mathematical Equivalence. Child Development,2008,79 (5): Psichologija.Kaunas, Myers, D.G. Psichologija. Kaunas, Mockaitytė,O.;Grabauskienė, V. Matematinių taisyklių loginio pagrindimo pradinių klasių mokiniams modeliavimas // Lietuvos mokslo taryba. Studentų mokslinė praktika Konferencijos pranešimų santraukos. P Molina, C. The Problem with Math is English. Sedl, Nacionalinis egzaminų centras. Mokinių pasiekimų tyrimai. Tarptautiniai tyrimai [ interaktyvus]. Prieiga per internetą: Ntourlia, M.E.; Gouscos, D.; Meimaris, M. TuxMath: Is it Possible for a Game to Enhance Multiplication Skills? Academic Conferences & Publishing International. 2010, p Nunes, T.; Bryant, P.; Evans,D.; Bell,D.; Gardner, S.; Gardner, A.; Carraher, J. The contribution of logical reasoning to the learning of mathematics in primary school. Developmental Psychology, 2007, 25(1): Fenna van Nes, Jan de Lange. Mathematics Education and Neurosciences: Relating Spatial Structures to the Development of Spatial Sense and Number Sense. The Netherlands TMME,2007, 4 (2): Otte, M. Complementarity, sets and numbers. Educational Studies in Mathematics. 2003, 53( 3): Pestalozzi, J.H. Pedagoginiai raštai. Kaunas,

72 64. Piaget, J. Vaiko kalba ir mąstymas. Vilnius, Pillow, B. H. ; Pearson, R.M. Children s and Adults Evaluation of Their Own Inductive Inferences, Deductive Inferences, and Guesses. Child Development, 2002, 73 (3): Plečkaitis, R. Logikos įvadas. Vilnius, Plečkaitis, R. Viduramžiai Renesansas Naujieji amžiai. Kultūros, Filosofijos ir Meno Institutas, Pradinio ir pagrindinio ugdymo programos. Vilnius, Radavičienė, N. Logika: deduktyvaus samprotavimo analizės pagrindai. Vilnius, Schliemann, A.D.; Carraher, D.W.;Brizuela, B.M. Bringing out the algebraic character of arithmetic: from children's ideas to classroom practice. Routledge 2007, 44(9): Stylianides, A. J.; Stylianides, G. J.; Philippou, G.N. Undergraduate students' understanding of the contraposition equivalence rule in symbolic and verbal contexts. Educational Studies in Mathematics, 2004, 55 (1-3): Šalkuvienė, O., Deimontaitė, D. Skaičių ir skaičiavimo vaizdinių formavimo galimybių I klasėje teorinis pagrindimas [ interaktyvus]. Prieiga per internetą: Teišerskis, J. Algebros mokymo metodika. Vilnius, Vaivorykštė, 1 klasė ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 knyga). Vilnius 75. Vaivorykštė, 2 klasė ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 knyga). Vilnius 76. Vengalienė,J.; Žeknienė, S.;Žvirblienė, J. Riešutas, 1 klasė ( 1,2, 3knyga). Kaunas, Vengalienė,J.; Žeknienė, S.;Žvirblienė, J. Riešutas, 2 klasė ( 1,2, 3knyga). Kaunas, Vengalienė,J.; Žeknienė, S.;Žvirblienė, J. Riešutas, 3 klasė ( 1,2, 3knyga). Kaunas, Vengalienė,J.; Žeknienė, S.;Žvirblienė, J. Riešutas, 4 klasė ( 1,2, 3knyga). Kaunas, Zambacevičienė, E,P. Vaiko psichologinis pažinimas. Šiauliai, Žukauskienė, R. Raidos psichologija. Vilnius, Wong, M.; Evans, D. Improving Basic Multiplication Fact Recall for Primary School Students. Mathematics Education Research, 2007, 19 (1) : Wood, M. Closer to the Ground : Pupil voice and the Development of Knowledge about Schools. Turkish Online Journal of Qualitative Inquiry, January 2011, 2(1): Александрова, Э. И. Методика обучения математике в начальной школе. 1 класс. Москва, Александрова, Э. И. Методика обучения математике в начальной школе. 4 класс. Москва, Кузнецов, И. В. Психолого-педагогические основы принципа наглядности Ялта. Prieiga per internetą: [žiūrėta ]. 87. Никифоровю Ф., Книга по логике, Москва: Гнозис,

73 PRIEDAI 1 priedas Pamokos planas: Skaičių sandaros suvokimas naudojant skrituliukus ir pieštuką 2 priedas Pamokos planas: Gėlių metaforos panaudojimas mokant pridėti peržengiant į kitą dešimtį 20 ribose 3 priedas Pamokos planas: Namuko modelio panaudojimas dviženklių skaičių sudėčiai, peržengiant į kitą dešimtį 4 priedas Pamokos planas: Namuko modelio panaudojimas aiškinant daugybos taisyklę 5 priedas Pamokos planas: Praktinis vaikų skirstymasis eilėmis ir poromis 6 priedas Pamokos planas: Daugybos veiksmo aiškinimas ant stačiakampių lapų dėliojant spalvotus kvadratus 7 priedas Pamokos planas: Dalyba į lygias ir nelygias dalis realiai judant su spalvotais skrituliais 8 priedas Pamokos planas: Dalybos ir dalybos veiksmo užrašymas naudojant spalvotus kvadratėlius 9 priedas Pamokos planas: Tekstinių uždavinių sprendimas sąlygą lentoje užrašant skirtingomis spalvomis 10 priedas Pamokos planas: Tekstinių uždavinių sprendimo aiškinimas naudojant rankų judesius 11 priedas Pamokos planas: Gėlių metaforos panaudojimas mokant apskaičiuoti nežinomą dėmenį 12 priedas Pamokos planas: Laiptų metaforos panaudojimas mokant pažinti termometrą 13 priedas Pamokos planas: Konkretus laikrodžio ir paros sąvokų aiškinimas 14 priedas I klasės matematikos testas 15 priedas II klasės matematikos testas 16 priedas Eksperimentinės klasės mokinių testų rezultatai 17 priedas Kontrolinės klasės mokinių testų rezultatai 18 priedas Eksperimentinės klasės mokinių padarytų klaidų skaičius 19 priedas Kontrolinės klasės mokinių padarytų klaidų skaičius 20 priedas Bendras mokinių padarytų klaidų skaičius 21 priedas Eksperimentinės ir kontrolinės klasės mokinių 2 klasės teste padarytų klaidų skaičius 22 priedas Eksperimentinės klasės mokinių testų vertinimai pagal mokymo turinį 23 priedas Eksperimentinės klasės 2 klasės teste padarytų klaidų pobūdis 24 priedas Kontrolinės klasės 2 klasės teste padarytų klaidų pobūdis 72

74 Pamokos planas: Skaičių sandaros suvokimas naudojant skrituliukus ir pieštuką 1 priedas Pamoka: Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Skaičiaus sandara. Situacija prieš pamoką. Mokiniai jau geba sudėti ir atimti skaičius iki 20 neperžengiant dešimties, žino skaičiaus sandarą. Pamokos uždaviniai. Mokiniai turi: pasikartoti skaičiaus sandarą. Sudaryti skaičių iš kitų dviejų skaičių. Remiantis konkrečiais pavyzdžiais, paaiškinti skaičiaus sandarą. Skaičiaus sandarą pavaizduoti schematiškai. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos Apžvalga perteikimas (perėmimas). (reflektavimas) ir vertinimas Su mokiniais aptariama Mokiniai skatinami išsakyti savo problema: Mokinių prašoma pamąstyti ir mintis apie tai, ko šiandien rasti kuo įvairesnių būdų kaip būtų galima mokėsi, kaip galvojo. padalinti skaičių 5 į kuo daugiau grupių. Diskutuojama šiais klausimais: Kaip tai darysime? Kodėl svarbu žinoti Kaip schematiškai pavaizduosime skaičiaus sandarą? Kurie skaičiaus 5 sandarą? skaičiai nesudaromi iš kitų Aptariamas skaičiaus 5 schematiškai skaičių? vaizdavimas. Kuris skaičius nuo 1 iki 10 gali turėti daugiausia padalijimo variantų? Namų darbų aptarimas. Prisimenama praeitos pamokos medžiaga: aktualizuojamos mokinių žinios, gebėjimai ir nuostatos, susiję su skaičiaus sandara. Svarbu su klase prisiminti: Iš ko sudarytas skaičius? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, kokiu būdu dalinsime skrituliukus, kad reikia ieškoti kuo įvairesnių skaičiaus padalinimo atvejų. Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai dirba savarankiškai, vėliau poromis. Vienas iš jų sako bet kokį skaičių iki 10, kitas brėžia schemą. Vertinimas. Kas vertinama? 1. Gebėjimas skaičių padalyti į kuo daugiau grupių. (ar taiko tik standartinėse ar ir nestandartinėse situacijose, pvz.:1 ir 0). 2. Schemų pateikimas (galima atkreipti į skaičiaus didumą ir jo padalijimo variantų gausumą). Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama, brėžiama schema. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 73

75 2 priedas Pamokos planas: Gėlių metaforos panaudojimas mokant pridėti peržengiant į kitą dešimtį 20 ribose Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Sudėtis iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. Mokymosi situacija: Mokiniai žino skaičiaus 10 sandarą ir dviženklių skaičių skyrius, geba sudėti skaičius iki 100 neperžengiant į kitą dešimtį. Pamokos uždaviniai: Atlikti įvairias praktines įvairiausių objektų skaičiavimo užduotis. Sudėti vienaženklius skaičius iki 20 (peržengiant dešimtį). Reikalingos priemonės: Popierinės gėlės, žaidimas,,skaičių krepšinis, priemonės, įsivertinimo lapai (kiekvienam mokiniui). I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Apžvalga Kaip sudėsime du skaičius, kai jų suma didesnis (reflektavimas) ir Namų darbų aptarimas. Praeitų temų kartojimui žaidžiamas žaidimas Skaičių krepšinis. Mokiniai suskirstomi į dvi komandas. Jie sustoja vorelėmis prie lentos. Stovintys priekyje turi kuo greičiau pasakyti, kiek pvz.: kokį skaičių reikia pridėti prie 7, kad gauti 10. Greičiausiai suskaičiavęs mokinys, savo komandai pelno tašką ir stojasi į voros galą užleisdamas vietą kitam klasės draugui stovinčiam už jo. Laimi ta komanda, kuri greičiausiai pelno 7 taškus. Kiekvienas mokinys prieš pradedant žaisti gauna lentelę, kurioje turės įsivertinti ar žino skaičiaus 10 sudarymo būdus. Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, kad mokysimės sudėti iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. negu už pirštų kiekį ant rankų? Paaiškinkite, kaip suprantate peržengti į kitą dešimtį. Vaikų atsakymai buvo kuo įvairiausi: perlipti per dešimtį, nežinome, peršokti ir kt. Tuomet vaikams buvo pasiūlyta šią sąvoką pasiaiškinti pamokos pabaigoje. Šiai temai gvildenti buvo pasirinktas mokymo modelis Gėlių darželis. Lentoje nupieštas stačiakampis padalintas į 10 kvadratų, šalia stačiakampio - tvorelė. Vaikams buvo paaiškinta, kad jie turės padėti senelei sodinti gėles. Vaikai suskaičiavo, kad darželyje gali tilpti tik 10 gėlių ir todėl dalį gėlių sodinsime darželyje, o likusias gėles teks sodinti šalia darželio, prie tvoros. Lentoje užrašomas veiksmas 8+7. Mokytoja lentoje padeda 8 dideles gėles, sakydama, kad senelės darželyje auga 8 gėlės ir kad ji nusipirko dar 7 mažesnes, kurias vaikai turės pasodinti. Tuomet su vaikais išsiaiškinama, kad pirmiausiai mažąsias gėles sodinsime darželyje, o visas likusias prie tvoros. Klausiama: Kiek galime gėlių pasodinti darželyje? Kiek dabar darželyje yra gėlių? Kiek gėlių dar liko nepasodintų? Kur jas sodinsime? Kodėl prie 8 pridėjome skaičių 2, o ne skaičių 3? Kiek gėlių liko prie tvorelės? Kiek iš viso dabar turime gėlių? Tuomet kartu yra išsiaiškinama, kad lysvėje yra viena pilna dešimtis, o už tvorelės 5 vienetai - iš viso 15 gėlių. Toliau šis atliktas konkretusis vaizdas yra vizualizuojamas braižoma schema, nuolat teiraujantis mokinių: 1. Kiek buvo pasodinta gėlių? 2. Kiek dar reikia pasodinti gėlių? 3. Kodėl pasodinome tik 2 gėles? 4. Iš kur tas 2 gėles paėmėme? 5. Kiek liko dar pasodinti gėlių? 6. O kodėl mes pasodinome prie tvoros 5 gėles, o ne6? 7. Kiek gėlių dabar augina senelė? Kiti pakviesti mokiniai, atlikdami įvairius matematinius veiksmus, pvz.: 6+6, turi garsiai aiškinti, kodėl jie prie 6 + 4, o vėliau dar pridėjo skaičių 2. vertinimas Mokiniai skatinami išsakyti savo mintis apie tai, ko šiandien mokėsi, kaip galvojo. Diskutuojama šiais klausimais: Kaip reikia sudėti du skaičius, kurių suma didesnė negu 10?Kodėl reikia iš pradžių pridėti tiek, kad gauti 10? Paaiškinkite, kaip supratote peržengti į kitą dešimtį? Vertinimas. Kas vertinama? 1. Antro dėmens išskaidymas. 2. Dešimties sudarymas. 3.Antro dėmens likusių vienetų pridėjimas prie Gebėjimas paaiškinti sprendimą ir pagrįsti savo samprotavimus. 74

76 Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Organizuojamas žaidimas. Primenamos taisyklės. Užduodami klausimai. Mokiniai skatinami garsiai samprotauti ir pagrįsti savo veiksmus. Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Lentoje užrašomas veiksmas Formuluojama abstrakti taisyklė. Klausiama: 8. Kokį skaičių pirmiausia reikia pridėti prie 9? (atsakymas: skaičių 1) 9. Kodėl? (Kad gautume 10) 10. O kodėl mes sudėję du skaičius turime gauti 10, o ne kokį nors kitą skaičių, pvz.: 11? ( todėl, kad prie 10 lengviau pridėti, todėl kad aš moku greitai pridėti prie 10, tai juk taip paprasta 10+2 yra 10, 10+3 yra 13 ) 11. Kai gauname 10, ką tuomet darome? (pridedame 7) 12. Kodėl 7, o ne 8? (tai kai pridėjome vieną, mums liko 7 ). 13. Paaiškinkite, kaip suprantate peržengti į kitą dešimtį? ( tai kai iš pradžių sudedam ir gaunam vieną dešimtį, o po to daugiau negu dešimt, tai kas daugiau nei 10, kadangi visos gėlės netilpo į vieną lysvę, tai pradėjome sodinti į kitą lysvę, iš vienos lysvės perėjome į kitą lysvę ). 14. Sudėję du skaičius, mes gauname vieną pilną dešimtį, o iš kitų skaičių pradedame auginti antrą dešimtį, t.y. iš pirmos dešimties pereiname į kitą dešimtį. Mokiniai sprendžia standartinius aritmetinius sudėties veiksmus peržengiant į kitą dešimtį. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama., braižoma schema. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujam a mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 75

77 3 priedas Pamokos planas: Namuko modelio panaudojimas dviženklių skaičių sudėčiai, peržengiant į kitą dešimtį Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Dviženklių skaičių sudėtis iki 100 peržengiant kitą dešimtį. Mokymosi situacija: mokiniai moka sudėti vienaženklius skaičius prie dviženklio peržengiant į kitą dešimtį ir sudėti dviženklius skaičius su dviženkliais neperžengiant dešimties. Žino dviženklių ir vienaženklių skaičių sandarą ir skyrius. Pamokos uždaviniai: Sudėti skaičius iki 100 (peržengiant dešimtį). Savais žodžiais paaiškinti uždavinio sprendimo eigą. Reikalingos priemonės: Namelių modeliai. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Apžvalga Namų darbų aptarimas. Šiai veiklai buvo pasirinktas namuko modelis, kurio vienoje (reflektavimas) ir Prisimenama praeitos pusėje yra 10 mažų langelių 10 vienetų, o kitoje namelio pusėje vertinimas pamokos medžiaga: (apvertus) didysis namelio langas viena dešimtis. Mokiniai skatinami aktualizuojamos mokinių Klausiama: Kiek vienetų sudaro vieną dešimtį? išsakyti savo mintis. žinios, gebėjimai ir Vaikams buvo paaiškinta, kad atsivėrus paskutiniame namelio Diskutuojama šiais nuostatos, susiję su vienetų langeliui atsiveria didysis langas ir namelis yra klausimais: apvalių dešimčių perstatomas į Dešimčių gatvę. Kaip reikia sudėti sudarymu. Lentoje užrašomas veiksmas: dviženklius skaičius? Svarbu su klase Kiek dešimčių ir vienetų sudaro skaičius 17? Kodėl dešimtys gali prisiminti: Tam, kad mokiniai galėtų atlikti sudėties veiksmą padidėti viena Kaip sudaryti pirmiausia turėjo skaičių 17 išskaidyti į dešimtis ir vienetus dešimtimi? Ar visada apvalias dešimtis? Kokius , t.y. pastatyti dešimčių gatvėje vieną namuką su dešimtys gali padidėti? žinome skaičiaus skyrius? dešimčių langais, o vienetų gatvėje esančiam nameliui atverti 7 Mokymosi tikslų langelius. Vertinimas. Kas paaiškinimas (įtikinama Diskutuojama: vertinama? darbo svarba ir Kiek dešimčių ir vienetų sudaro skaičių 15? 1. Dviženklių skaičių aktualumu). Kur dėsime dešimtis? sudėties taisyklės: Su mokiniais Kur dėsime vienetus? vienetai sudedami su aptariama, ar lengva sudėti Kiek dabar turime dešimčių? vienetais, dešimtys su dviženklį skaičių prie Kiek dabar turime vienetų? dešimtimis. dviženklio. Ar galime praverti didįjį namelio langą ir kodėl? 2.Gebėjimas nuosekliai Ar gali šis namelis likti vienetų gatvėje? paaiškinti dviženklių Kodėl dešimčių gatvėje padaugėjo namelių? skaičių sudėties eigą. Aiškinimas: Toliau mokiniams reikia pridėti skaičių 15, kurį išskaidėme į vieną dešimtį 10 ir 5 penkis vienetus. Tuomet skaičiaus 15 dešimtį pridėjome prie skaičiaus 17 dešimties Kadangi skaičiaus 17 turi 7 vienetus ir mums prie jų reikia pridėti dar 5 vienetus, t.y. atverti dar 5 langelius. Buvo išsiaiškinta, kad pirmiau mes galime atverti tik 3 langelius ir pastačius kitą namelį vienetų gatvėje praverti dar du. Susiskaičiavome, kad dabar vienetų gatvėje yra pravertų 12 langelių vienetų ir kad vieno namelio langeliai visi praverti. Tad jam atvėrėme didįjį langą ir namą perstatėme į dešimčių gatvę. Šį atliktą veiksmą pavaizdavome schema: = = = =

78 Diskutuojama: Kaip sudėjome šiuos skaičius? Kiek gavome dešimčių kai prie ? Tai kodėl mes parašėme ne 25, o 35? Abstrakčios taisyklės formulavimas: Su vaikais dar keletą kartų atlikę keletą panašių aritmetinių veiksmų formulavome taisyklę dviženklio skaičiaus sudėčiai su dviženkliu skaičiumi: Dešimtis sudedame su dešimtis, o vienetus su vienetais. Kai vienetus sudedame ir gauname dešimt, tai juos tiesiog perkeliame pas dešimtis. Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai sprendžia aritmetinius uždavinius sudėdami dviženklius skaičius iki 100 peržengiant kitą dešimtį. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, prašoma jų garsiai samprotauti ir aiškinti kaip jie atliks šį veiksmą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 77

79 Pamokos planas: Namuko modelio panaudojimas aiškinant daugybos taisyklę 4 priedas Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Daugyba vienodų dėmenų sudėtis. Mokymosi situacija: Sudeda ir atimti skaičius iki 100 (lengvesniais atvejais mintiniu, sunkesniais rašytiniu būdu). Pamokos uždaviniai: Vienodų dėmenų sudėtį pakeisti daugyba. Gebėti apibrėžti sąvoką daugyba. Reikalingos priemonės: namuko modeliai. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Apžvalga (reflektavimas) ir Su mokiniais aptariama problema: vertinimas Kaip šį veiksmą aritmetinį veiksmą galime Mokiniai skatinami išsakyti apskaičiuoti greičiau ir paprasčiau? savo mintis apie tai, ko Paaiškinkite, ką reiškia žodis daugyba? šiandien mokėsi, kaip Kiek lentoje parašyta dvejetų: daug ar mažai? galvojo. Diskutuojama šiais Išsiaiškinama žodžio daugyba reikšmė. klausimais: Mokytojas dar kartą atkreipia dėmesį į užrašytą Kodėl svarbu dauginti? Kokį veiksmą lentoje, klausdamas: veiksmą pakeičia daugyba? Ar visi skaičiai yra vienodi? Ar visada galima sudėtį Suskaičiuokite, kiek lentoje yra parašyta dvejetų? (50) pakeisti daugyba? Tai kas Ar šį veiksmą galime užrašyti trumpiau? (50 x 2). yra daugyba? O ką reiškia Lentoje rašomas daugybos veiksmas aiškinant, kad žodelis po? lentoje yra parašyta penkiasdešimt dvejetų, t.y. 50 kartų po 2 arba 50 padauginti iš 2. Paaiškinkite, kaip jūs suprantate pasakymą po 2? ( Vertinimas. Kas vertinama? po lygiai ). 1.Daugybos pritaikymas. Tolimesne veikla bandoma apibrėžti pačios daugybos 2.Vienodų dėmenų veiksmo supratimą, klausiant, koks matematinis pakeitimas daugyba. ženklas parašytas tarp dvejetų ir kaip mokiniai 3. Teisingas daugybos paaiškintų, tai kas yra daugyba? veiksmo perskaitymas ir Ar visi šie skaičiai yra vienodi? tinkamų sąvokų vartojimas. Ar šį veiksmą galėtume užrašyti daugyba? Kodėl?( 2+3+5) Tai kas yra daugyba? ( vienodų skaičių sudėtis) Kaip vadinami sudėties veiksmo skaičiai? ( vienodų dėmenų sudėtis) Ir taip, vaikai žingsnis po žingsnio, užduodant jiems papildomus ir tikslinančius klausimus, patys Namų darbų aptarimas. Prisimenama praeitos pamokos medžiaga: aktualizuojamos mokinių žinios, gebėjimai ir nuostatos, susiję skaičių atimtimi ir sudėtimi. Svarbu su klase prisiminti: Kaip lengviausia sudėti ir atimti dviženklius skaičius iš dviženklio? Kelis žinote sudėties būdus, kai sudedame eilute?stulpeliu? O keliais būdais galime atlikti atimties veiksmą mintiniu būdu? O rašytiniu? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Kaip lengviau, patogiau ir greičiau galime suskaičiuoti lentoje užrašytą veiksmą? suformuluoja taisyklę, kad daugyba tai vienodų dėmenų sudėtis. Kodėl reikalinga daugyba? ( galime greičiau sudėti ). Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas Toliau vaikai mokėsi praktiškai užrašyti daugybos veiksmą panaudojant namelius. Kiek matote namelių? Kiek langelių praverta pirmame? antrame?trečiame?ketvirtame namelyje? Ar visuose nameliuose langelių praverta po lygiai? Kaip užrašysime šį veiksmą- sudėtimi ar daugyba? Kodėl daugyba? Kaip perskaitysime šį veiksmą? Kaip paaiškintumėte žodį kartus? ( kartojasi, pasikartoja tas pats) Pirmiausiai vaikai turėjo užrašyti kiek jie mato 78

80 namelių, t.y. kiek kartų namelis pasikartoja 4 kartus. Tuomet klausiama, ar visuose nameliuose po lygiai yra pravertų langelių ir kokiu matematiniu veiksmu galime užrašyti po (daugyba). Tuomet prašoma suskaičiuoti, po kiek langelių yra praverta ir užrašyti skaičių. Toliau mokiniai užrašo po iliustracijomis veiksmą sudėtimi ir vėliau jį pakeičia daugyba. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 79

81 5 priedas Pamokos planas: Praktinis vaikų skirstymasis eilėmis ir poromis Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Daugybos veiksmų užrašymas sukeičiant daugiklius vietomis. Mokymosi situacija: mokiniai geba vienodų dėmenų sudėtį pakeisti daugyba, o daugybą sudėtimi. Pamokos uždaviniai: Įtirtinti daugybos veiksmo supratimą. Remiantis perstatomumo dėsniu, išmokyti mokinius sudaryti du tarpusavyje susijusius daugybos veiksmus. Suvokti, kad sukeičiant daugiklius vietomis sandauga nesikeičia. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Apžvalga Mokant užrašyti du daugybos veiksmus susijusius (reflektavimas) ir tarpusavyje, mokiniai buvo sustatyti vienu metu: vertinimas Eilėmis: vienoje eilėje 9 berniukai, kitoje 9 Diskutuojama šiais mergaitės. klausimais: Ir poromis: vaikai stovėjo poromis berniukai Kodėl svarbu žinoti, kad stovėjo prieš mergaites. daugiklius vietomis Su mokiniais aptariama problema: sukeitus, sandauga Kiek šiandien klasėje yra vaikų? nesikeičia? Kaip mokytoja jus sustatė? Ar tik eilėmis? Kaip užrašysime sudėties veiksmu Jūsų stovėjimą Vertinimas. Kas eilėmis? O kaip užrašysime daugyba? O kaip vertinama? užrašysime sudėties veiksmu Jūsų stovėjimą poromis? 1.Daugybos veiksmų Kiek porų? Keli vaikai sudaro porą? Ar visose porose užrašymas keičiant stove po lygiai vaikų? O kaip užrašysime daugyba? daugiklius vietomis. Mokiniai pirmiausia turi susiskaičiuoti, kiek eilėje 2. Tikslus ir spartus stovi berniukų ir kiek mergaičių, ir ar jų yra po veiksmo rezultato lygiai. Tuomet vaikai turi užrašyti sudėties veiksmą apskaičiavimas = 18 ir daugybos 2 x 9 = 18. Vėliau vaikai. susiskaičiuoja, po kelis jie stovi poromis ir užrašė šiuos veiksmus: = 18 ir 9 x 2 = 18. Ar visų veiksmų užrašytų lentoje atsakymai yra vienodi? Kodėl? Nuvalome lentoje užrašytus sudėties veiksmus ir paliekame daugybos. Ką pastebite žiūrėdami į daugybos veiksmus? Ar pakeitus daugiklius vietomis sandauga pasikeitė? Kodėl ji liko tokia pati? Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Diskusija: Namų darbų aptarimas. Prisimenama praeitos pamokos medžiaga: aktualizuojamos mokinių žinios, gebėjimai ir nuostatos, susijusi su daugybos ir sudėties veiksmų tarpusavio ryšių nustatymu. Svarbu su klase prisiminti: Kada sudėties veiksmą galime užrašyti daugybos veiksmu? Pirmas ar antras daugiklis nurodo pasikartojantį skaičių? Pirmas ar antras daugiklis pasako kiek kartų tas skaičius kartojasi? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, ar verta mokytis 6 x 3, jei mokame dauginti 6 x 3? Kaip iš pradžių suskaičiavome vaikus? Kaip paskui skaičiavome vaikus? Ar vaikų skaičius pasikeitė, kai juos suskaičiavome poromis? Atlikus šias konkrečios veiklos užduotis buvo pereita prie abstrakčios daugybos taisyklės formulavimo: ar mes skaičiuosime eilėmis ar poromis skaičius bus toks pat, kai pakeiti skaičius vietomis atsakymas lieka vienodas. 80

82 Mokiniai savarankiškai atlieka praktines užduotis, nupieštoms iliustracijoms užrašydami du daugybos veiksmus ir atlikdami skaičiavimo užduotis su sukeistais daugikliais. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 81

83 6 priedas Pamokos planas: Daugybos veiksmo aiškinimas ant stačiakampių lapų dėliojant spalvotus kvadratus Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Mokymosi situacija: mokiniai kartojo daugybos lentelę iki 5, mokėsi skaičiaus 6 daugybos lentelės ir atitinkamos dalybos, kartojo dviženklių skaičių sudėtį ir atimtį. Pamokos uždaviniai: Vienaženklių skaičių daugybą pakeisti vienodų dėmenų sudėtimi. Spręsti vienodų dėmenų sumos radimo formalius ir gyvenimiško turinio uždavinius. Reikalingos priemonės: Stačiakampio formos lapas ir mažesnės formos kvadratai. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Apžvalga (reflektavimas) Lentoje užrašomas veiksmas: 2 x 4. Su mokiniais ir vertinimas aptariama problema: Diskutuojama šiais Perskaitykite užrašytą veiksmą. Ką mums sako klausimais: pirmas daugiklis?( kiek kartų kartojasi antrasis Kodėl svarbu žinoti, kad skaičius arba kad ketvertų iš viso yra du) O antrasis? daugyba yra vienodų Kas yra daugyba? Ką daryti jei užmiršome, kiek bus dėmenų sudėtis? 2 x 4? ( pakeisti sudėtimi). Užrašykime šį veiksmą sudėtimi. Vertinimas. Kas Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. vertinama? Namų darbų aptarimas. Prisimenama praeitos pamokos medžiaga: Svarbu su klase prisiminti: Kokiu matematiniu veiksmu užrašysime vienodų dėmenų sudėtį? Ar visada sudėties veiksmą galime pakeisti daugyba? Ką daryti, jei nežinome, kiek yra 5 x 5? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, kad tarp matematikos veiksmų yra tarpusavio ryšiai, kad sudėtį galime užrašyti daugyba, o daugybą sudėtimi. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Prieš atlikdami užrašytą 3 x 4 vizualųjį daugybos veiksmą, mokiniai pirmiausiai turi jį teisingai perskaityti; 3 kartus po 4 ir paaiškinti matematinį žodžių junginį po 4. Tuomet užrašytąjį veiksmą prašoma pavaizduoti naudojant stačiakampio ir kvadrato formos lapus ant didesnės kortelės dedant mažesnes. Mokiniai turi galimybę pasitikrinti savo žinias dirbdami kartu su klasės draugais ir komunikuoti savo samprotavimus. Mokytojas stebi vaikų darbą. Kiekvieną užrašytą daugybos veiksmą pavaizdavus vizualiai, prašoma vaikų jį perskaityti, t.y. teisingai naudoti matematines sąvokas kartus ir po. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Daugybos veiksmo vizualus pateikimas. Daugybos veiksmo užrašymas sudėtimi.. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 82

84 7 priedas Pamokos planas: Dalyba į lygias ir nelygias dalis realiai judant su spalvotais skrituliais Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Dalyba į lygias ir nelygias dalis. Mokymosi situacija: moka vienaženklių skaičių daugybą iš 1, 2, 3, 4, 5, 0 ir 10. Pamokos uždaviniai: Atlikti praktines dalybos į lygias dalis užduotis. Savais žodžiais paaiškinti uždavinio sprendimo eigą. Reikalingos priemonės: Įvairių spalvų skrituliai, žaidimas Kas greičiau ir teisingiau I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Apžvalga ir vertinimas Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Mokiniai skatinami Dešinėj ir kairėj lentos pusėje magnetukais pritvirtinta išsakyti savo mintis apie po 6 skrituliukus. : Ar skrituliukų yra po lygiai abiejose lentos pusėse? Kiek Kam reikalingas jų yra kairėje? Dešinėje? dalybos ženklas? Kada Prie lentos pakviečiami 6 mokiniai, kurie suskirstomi i mes jį rašysime? dvi grupes. Vienai grupei vaikų skrituliukai padalijami po lygiai, o antrai ne po lygiai, neaiškinant paties veiksmo, tik sakant: tau duodu vieną, tau tris ir t.t. Ką padarė mokytoja su skrituliukais? Kaip ji juos padalijo? Tai kuriam dalybos būdui galiu parinkti Namų darbų aptarimas. Prisimenama I pakartojama daugybos lentelė iš 1, 2, 3, 4, 5, 0 ir 10. Vaikai atlikę teisingai daugybos veiksmus lapelyje, gali nuspalvinti vieną plytelę takelyje, kuris nutiestas nuo šuniuko iki jo būdos. Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, kokį matematinį ženklą rašysime, kai daiktus ar skaičius dalijame į lygias dalis. dalybos veiksmą? Kodėl? Kokį matematinį veiksmą užrašysime tiems skrituliukams, kuriuos padalinome ne po lygiai. Mokiniams paaiškinus, kad mokytoja padalijo, išdalijo skritulius ir kad vieniems vaikams jie buvo padalinti po lygiai, o kitiems ne. Mokiniai skatinami pasamprotauti, kuriam padalijimo būdui galime užrašyti dalybos veiksmą, o kuriam atimties. Mokiniams paaiškinus, kad dalybos veiksmą priskirtų dalybai į lygias dalis, užrašome juos lentoje. Tai kada veiksmą užrašysime dalyba, o kada atimtimi? Jei daugyba draugauja su sudėtimi, tai su kuo bičiuliaujasi dalyba? Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Užrašant abstraktų konkrečios dalybos veiksmą, vaikams užduodami klausimai ir jų atsakymai užrašomi matematine išraiška. Dalyba į lygias dalis: Kiek mokytoja turėjo skrituliukų? Ką ji su jais padarė? Kaip padalijo pirmajai grupei? Po kiek skrituliukų gavo vaikai? Šeši skrituliukai buvo padalinti į 3 lygias dalis ir kiekvienas mokinys gavo po du skrituliukus: 6 : 3 = 2. Dalyba į nelygias dalis: Kiek mokytoja turėjo skrituliukų? Kiek skrituliukų atidavė pirmam, antram ir trečiam mokiniui? Kiek skrituliukų liko mokytojai? Mokytoja turėjo 6 skrituliukus. Vieną davė X vaikui, tris Y vaikui ir du Z vaikui: = 0. Vaikų grupelėms išdalijami skrituliukai ir jie juos turi praktiškai padalyti į tam tikrą grupę po lygiai. Vertinimas. Kas vertinama? Dalybos veiksmo užrašymas. Dalybos veiksmo rezultato apskaičiavimas. Teisingas dalybos veiksmo perskaitymas.. Toliau mokiniai spręsdami uždavinius ir atlikdami 83

85 aritmetinius dalybos veiksmus taiko dalybos arba atimties veiksmus. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 84

86 8 priedas Pamokos planas: Dalybos ir dalybos veiksmo užrašymas naudojant spalvotus kvadratėlius Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema. Daugybos ir dalybos ryšys Mokymosi situacija: Geba paaiškinti, kaip galima iliustruoti skaičių 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daugybos iš vienaženklių skaičių bei 10 veiksmus ir atitinkamos dalybos veiksmus praktiniais pavyzdžiais iš artimiausios aplinkos. Pamokos uždaviniai: Išsiaiškinti sąsajas tarp daugybos ir dalybos veiksmų. Daryti apibendrintas išvadas apie dalmens radimą. Reikalingos priemonės: Spalvoti kvadratėliai, užduočių lapeliai su daugybos veiksmais. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Žalios spalvos kvadratėliai lentoje buvo išdėlioti dviem eilėmis, o raudoni po du penkiomis grupėmis. Kaip lentoje išdėlioti žali kvadratėliai? Kokį daugybos veiksmą užrašysime? (2 x 5=10) Kaip lentoje išdėlioti raudoni kvadratėliai? Kokį daugybos veiksmą užrašysime? (5 x 2 = 10) Ką pastebite žiūrėdami į šiuos du užrašytus veiksmus? Namų darbų aptarimas. Prisimenama praeitos pamokos medžiaga: Skiriama keletą minučių daugybos veiksmų įtvirtinimui ir pasikartojimui. Svarbu su klase prisiminti: Kas yra daugyba? Ar sandauga pasikeičia, jei vietomis sukeičiami daugikliai? Kas yra dalyba? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu). Su mokiniais aptariama, kaip žinoti ar teisingai padalinai? Kaip greičiau ir patogiau rasti dalmenį? (daugiklius sukeitus vietomis sandauga išlieka tokia pati). Tuomet prašome užrašyti du dalybos veiksmus. kiek yra žalių kvadratėlių? Į kelias lygias dalis jie padalinti? (10 : 2 = 5) kiek yra raudonų? į kelias lygias dalis jie padalinti? (10 : 5 = 2) Palyginkite šiuos dalybos veiksmus. Pasakykite kuo jie panašūs?( daliniai tokie patys) Kuo jie skiriasi?( dalikliai ir dalmenys skirtingi) Kodėl dalmenys ne tokie patys, nors abiejuose veiksmuose dalinome iš to paties skaičiaus 10? ( skirtingai padalinti kvadratėliai: eilutėmis ir po du). Lentoje užrašomi veiksmai: 2 x 5 = : 2 = 5 10 : 5 = 2 Kodėl lentoje parašiau tik vieną daugybos veiksmą, o dalybos du? Ar daugybos veiksmo sandauga atsakymas toks pat? Ar daugikliai tokie patys? Išsiaiškinus, kad jei pasirinktume bet kurį vieną iš dviejų daugybos veiksmų: 2 x 5 ar 5 x 2 atsakymą gauname tokį patį. Ar dalybos veiksmo dalmenys atsakymai yra vienodi? Tai kelis reikia užrašyti dalybos veiksmus ir kodėl? Tuomet analizuojame dalybos veiksmų sudarymą daugybos veiksmų pagrindu. Pažvelkite dar kartą į šiuos užrašytus matematinius veiksmus. Ką pastebite? Iš ko sudaryti dalybos veiksmai? Kaip jie užrašyti? Ką gauname kai 10 padaliname iš pirmojo daugiklio? Ką gauname kai 10 padaliname iš antrojo daugiklio? Ar mes jau esame mokinęsi taip užrašyti veiksmus? Kokie matematiniai veiksmai taip užrašomi?(sudėtis ir atimtis) Apžvalga (reflektavimas) ir vertinimas Kokiu veiksmu mes pasitikrinsime ar teisingai padalinome? Tai kodėl reikia gerai mokėti daugybos lentelę? Iš sudėties veiksmo kokius veiksmus mes galime sudaryti? O iš ko sudarysime dalybos veiksmo? Vertinimas. Kas vertinama? 1. Dalybos veiksmų sudarymas remiantis daugybos veiksmu? 2. Dalybos veiksmo dalmens teisingas apskaičiavimas. 85

87 Vaikai pastebi, kad daugybos atsakymą padalinus iš pirmo skaičiaus gausime antrąjį, o padalinę iš antrojo gausime pirmąjį skaičių ir kad mes taip mokinomės sudėti ir atimti. Tai iš kokio matematinio veiksmo sudarome du dalybos veiksmus? Atkreipiamas mokinių dėmesys, kad daugyba ir dalyba yra tarpusavyje susiję ir norint apskaičiuoti dalmenį ir įsitikinti ar padalinome teisingai, tereikia dalybos veiksmą pasitikrinti daugyba. Lentoje braižoma tokia schema: = 10 : 2 = 5 10 : 2 5 = 10 : 5 = 2 10 : 5 2 Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai sprendžia uždavinius susijusius su daugybos ir dalybos veiksmų sąsajomis. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Skiriamas patikrinamasis darbas. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 86

88 9 priedas Pamokos planas: Tekstinių uždavinių sprendimas sąlygą lentoje užrašant skirtingomis spalvomis Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Vienaveiksmių ir dviveiksmių tekstinių uždavinių sprendimas. Mokymosi situacija: Žino tekstinio uždavinio sandarą: sąlyga, klausimas, sprendimas, atsakymas, mokėsi spręsti vienaveiksmius ir dviveiksmius tekstinius uždavinius. Uždaviniai: 1. Savais žodžiais paaiškinti uždavinio sprendimo eigą. 2. Išskirti uždavinio informacines ir esmines dalis. 3. Parinkti uždaviniui tinkamą sprendimą. I. Įvadinė dalis Namų darbų aptarimas. Svarbu su klase prisiminti: Kokias dalis turi uždavinys? Pagrindinė uždavinio dalis - sąlyga ar klausimas? II. Pagrindinė dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Lentoje užrašoma sutrumpinta uždavinio sąlyga. Vaikams, uždavinių sąlygos atspausdintos ant lapų, išdalinamos pamokos pradžioje. I uždavinys: Darželyje žydi 25 gvazdikai ir 10 rožių. Kiek iš viso gėlių žydi darželyje? Kiek informacinių dalių turi ši sąlyga? Kokia yra pirmoji sąlygos dalis? Nuo kur prasideda antroji? Paaiškinama, kad sąlygą reikia skaityti dalimis, kurias atskiria kablelis, taškas arba jungtukas ir. Kokia antroji sąlygos dalis? Ar pirmoji, sąlygoje pateikta informacija, yra aiški, ar tiksliai pasakyta, kiek darželyje žydi gvazdikų? Jei taip, tai atverkime vieną delną, taip parodydami, kad uždavinys nuo mūsų neslepia, kiek tame darželyje yra gvazdikų. Ar antroji, sąlygoje pateikta informacija, yra aiški, ar tiksliai pasakyta, kiek darželyje žydi rožių? Jei taip, tai atverkime antrąjį delną, taip parodydami, kad uždavinys nuo mūsų neslepia, kiek tame darželyje yra rožių. Tai kodėl pirmasis delniukas atviras? O kodėl antrasis atviras? Koks uždavinio klausimas? Kokį matematinį veiksmą parinksime šiam uždavinio klausimui? Kodėl?( iš viso tai pridėti) Tai jei mūsų delniukai atviri ar galime mes juos sudėti, suglausti? Keliais veiksmais mes išspręsime šį uždavinį? Kodėl užtenka tik vieno veiksmo? Vaikams akcentuojama, kad šį uždavinį galime išspręsti vienu veiksmu galime todėl, mes žinome kiek darželyje žydi gvazdikų, kiek žydi rožių, tad belieka atsakyti į uždavinio klausimą sudėti. T. y. delniukus gali suglausti todėl, kad jų rankos yra atviros, t.y. sąlygoje pateikta informacija yra tiksli ir aiški. Lentoje pakeičiama užrašyto uždavinio sąlyga. II uždavinys (Šioje sąlygoje ne visi duomenys yra aiškiai ir tiksliai išreikšti skaitine forma, yra palyginimo operacijos elementų): Darželyje žydi 25 gvazdikai, o rožių 10 daugiau. Kiek iš viso gėlių žydi darželyje? Kiek informacinių dalių turi ši uždavinio sąlyga? Kokia yra pirmoji sąlygos dalis? Nuo kur prasideda antroji? Kokia antroji sąlygos dalis? Ar pirmoji, sąlygoje pateikta informacija, yra aiški, ar tiksliai pasakyta, kiek darželyje žydi gvazdikų? Jei taip, tai atverkime vieną delną. III. Baigiamoji dalis Apžvalga (reflektavimas) ir vertinimas Mokiniai skatinami išsakyti savo mintis apie tai, ko šiandien mokėsi, kaip galvojo. Diskutuojama šiais klausimais: Kad mes uždavinį galime išspręsti tik vienu veiksmu? Kada mes galime suglausti delniukus? Kada uždavinį spręsime dviem veiksmais? Ką reikia daryti, kad atgniaužti kumštį. Vertinimas. Kas vertinama? Teisingo sprendimo parinkimas. Teisingas suskaičiavimas. Atsakymo užrašymas. Ar antroji, sąlygoje pateikta informacija, yra aiški, ar tiksliai 87

89 Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. pasakyta, kiek darželyje žydi rožių? Tai sugniaužkime kitą ranką, nes kumštyje slepiasi rožės. Jos nori su Jumis pažaisti slėpynių, t. y. kad suskaičiuotumėte, kiek jų yra darželyje? Tai kodėl pirmasis delniukas atviras? O kodėl antrasis sugniaužtas į kumštį? Koks uždavinio klausimas? Ar galime suglausti delniukus? Kodėl? Ką reikėtų padaryti, kad galėtume sudėti delniukus į krūvą? Tai keliais veiksmais išspręsime šį uždavinį? Kodėl? Ką pirmiau mes turime suskaičiuoti? ( užrašomas pirmas veiksmas) O dabar galime atverti delniuką? Kodėl? Tai žinome kiek yra gvazdikų? O kiek gvazdikų? Tai ar galime dabar suglausti delniukus? Tai kokį dabar matematinį veiksmą užrašysime? Kam skirtas pirmasis veiksmas ( suskaičiuoti kiek yra rožių ir atverti delniuką). Kam skirtas antrasis veiksmas? ( kad sužinoti kiek darželyje yra gėlių ir suglausti abu delniukus). Kai abu delniukai suglausti ir uždavinys yra išspręstas galime sau paploti, nes mes išsprendėme šį uždavinį. Tuomet analizuojamas uždavinio klausimas ir mokinių klausiama ar galime sudėti delniukus. Išsiaiškinus, kad negalime, nes trukdo kumštis, t.y. mes nežinome kiek darželyje žydi rožių. Todėl norint atsakyti į uždavinio klausimą, pirmu veiksmu suskaičiuosime kiek žydi rožių?, o antru veiksmu kiek iš viso darželyje žydi gėlių? Vaikams paaiškinama, kad suskaičiavus kiek darželyje yra rožių, galime atgniaužti delniuką, nes informacija yra aiški, žinoma, o tuomet mes galime sudėti delniukus. Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai sprendžia standartinius tekstinius uždavinius pritaikydami išmoktus sprendimo būdus. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, dar kartą aiškinama ir rodoma rankų judesiais uždavinio sprendimas. Pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 88

90 10 priedas Pamokos planas: Tekstinių uždavinių sprendimo aiškinimas naudojant rankų judesius Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Vienaveiksmių ir dviveiksmių tekstinių uždavinių sprendimas. Mokymosi situacija: Žino tekstinio uždavinio sandarą: sąlyga, klausimas, sprendimas, atsakymas, mokėsi spręsti vienaveiksmius ir dviveiksmius tekstinius uždavinius. Uždaviniai: 4. Savais žodžiais paaiškinti uždavinio sprendimo eigą. 5. Išskirti uždavinio informacines ir esmines dalis. 6. Parinkti uždaviniui tinkamą sprendimą. Priemonės: lapai su tekstiniai uždaviniais. I. Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Apžvalga Namų darbų Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). (reflektavimas) ir aptarimas. Svarbu su vertinimas klase prisiminti: Lentoje užrašoma skirtingomis spalvomis uždavinio sąlyga ir Mokiniai skatinami Kokias dalis turi uždavinys? Pagrindinė klausimas. Vaikams, uždavinių sąlygos atspausdintos ant lapų, išdalinamos pamokos pradžioje. išsakyti savo mintis apie tai, ko šiandien uždavinio dalis - I uždavinys: Lapių siuvykloje buvo 50 m audinio. Trims mokėsi, kaip galvojo. sąlyga ar klausimas? Kada uždavinį Diskutuojama klausimais: šiais išspręsime vienu Kad mes uždavinį veiksmu? Kada galime išspręsti tik dviem? Ar visi uždavinio žodžiai vienu veiksmu? Kada mes galime suglausti matematikai svarbūs, delniukus? Kada įdomūs? uždavinį spręsime madingiems paltams pasiūti buvo sunaudota po 9 m. Kiek metrų audinio liko? Kiek informacinių dalių turi ši sąlyga? Kokia yra pirmoji sąlygos dalis? Nuo kur prasideda antroji? Kokia antroji uždavinio sąlygos dalis? Ar visus šiuos teksto žodžius galime užrašyti matematine kalba, t.y. skaičiais ir ženklais. ( skaitoma po vieną žodį ir jį aptariame. Svarbius elementus pasižymime magnetukais lentoje, o lapuose spalvotais pieštukais.) Koks uždavinio klausimas? Kurie uždavinio žodžiai yra patys svarbiausi? ( kiek metrų ir liko juos pabraukiame). Pažymėti žodžiai buvo, sunaudota, liko kokiai kalbos daliai priskiriami? ( veiksmažodžiai). Tai kurie žodžiai ir ne tik žodžiai uždavinyje yra svarbiausi? ( veiksmažodžiai ir skaičiai). Užrašykime sprendimą skaitydami uždavinį iš pradžių, atkreipdami dėmesį tik į pažymėtas vietas. Kas matematikai yra svarbiausia pirmoje sąlygos dalyje? ( 50 m). Kas matematikai yra svarbiausia antroje sąlygos dalyje? ( trims, buvo sunaudota, po, 9).Kaip užrašytume matematine kalba šiuos pažymėtus žodžius?(3 x 9). Kokiu ženklu užrašysime veiksmažodžius buvo sunaudota? ( atimties).užrašykime sprendimą: Buvo 50 m sunaudota 3 X po 9 (t.y x 9 ). Lentoje pakabinami lapai, kuriuose uždavinio sąlyga užrašyta skirtingomis spalvomis ant dviejų lapų ir uždavinio klausimas ant kito lapo. II uždavinys: Nuo namų iki kopūsto daržo kiškis nubėgo 65 m, paskui dar iki morkų lysvės 47 m mažiau. Kiek metrų jis nubėgo iš viso? Kiek informacinių dalių turi ši uždavinio sąlyga? Kokia yra pirmoji sąlygos dalis? Ką pirmojoje sąlygos dalyje galime užrašyti matematine kalba? Pasižymėkime 65 m. Ar pirmoji, sąlygoje pateikta informacija, yra aiški, ar tiksliai pasakyta, kiek kiškis nubėgo iki kopūsto daržo? Ar pirmoji sąlygos dalis slepiasi ar ji atvira? Kokia antroji sąlygos dalis? Ką dviem veiksmais? Ką reikia daryti, kad atgniaužti kumštį. Vertinimas. Kas vertinama? Teisingo sprendimo parinkimas. Teisingas suskaičiavimas. Atsakymo užrašymas, 89

91 antrojoje sąlygos dalyje galime užrašyti matematine kalba? Pasižymėkime paskui, 47m,mažiau. Ar antroji sąlygos dalis slepiasi ar ji atvira? Tai suraskime ją. Rašome, kad kiškis iki morkų lysvės nubėgo tiek pat, kiek iki kopūstų tik 47 m mažiau ( = 18 (m)). Ką išsiaiškinome pirmuoju veiksmu? Ar pirmoji sąlygos informacija matematiškai tiksli ir aiški? O antroji informacija tiksli ir aiški? Ar galime dabar atsakyti į uždavinio klausimą? Kokį matematinį sprendimą parinksime klausimui? Kodėl? ( iš viso?) Rašome: iki kopūstų kiški nubėgo 65m,dar nubėgo +18 m ir iš viso jis nubėgo= 83 m ( = 83 ( m)). Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai sprendžia standartinius tekstinius uždavinius pritaikydami išmoktus sprendimo būdus. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, dar kartą aiškinama ir rodoma rankų judesiais uždavinio sprendimas, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 90

92 11 priedas Pamokos planas: Gėlių metaforos panaudojimas mokant apskaičiuoti nežinomą dėmenį Dalykas. Matematika Klasė: 2f Pamokos tema: Aritmetinių uždavinių sprendimas nežinomam antram dėmeniui rasti ; sudėtis iki 20 peržengiant į kitą dešimtį. Mokymosi situacija: Sudeda ir atima iki 20 peržengiant į kitą dešimtį, geba rasti trūkstamą dėmenį iki 20 neperžengiant dešimties. Uždaviniai: 7. Spręsti lygtis be raidinės simbolikos 8. Nežinomąjį dėmenį randa spėjimu arba remiantis eksperimentiniu modeliu. Priemonės: gėlės. I. Įvadinė dalis Namų darbų aptarimas. Svarbu su klase prisiminti: Kokius skyrius turi dviženklis skaičius? Kaip sudėsime du skaičius, kai peržengiame į kitą dešimtį? II. Pagrindinė dalis Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Lentoje užrašytas veiksmas 8 + =16. Šiai temai gvildenti buvo pasirinktas mokymo modelis Gėlių darželis. Lentoje nupieštas stačiakampis padalintas į 10 kvadratų, šalia stačiakampio tvorelės. Darželyje jau pasodintos 8 gėlės. Kiek gėlių jau žydi senelės darželyje? Kiek senelė nori auginti gėlių? Kiek dešimčių turi skaičius 16 ir kiek vienetų? ( pavaizduojama schematiškai). Kur augs vieną dešimtis? ( darželyje) Kiek reikia mums pasodinti gėlių darželyje, kad turėti 10? ( pridedame 2) O kur augs 6 vienetai? ( prie tvoros, kitoje dešimtyje) Pasodinkime ir juos. Kiek gėlių pasodinome darželyje? Kiek gėlių pasodinome prie tvorelės? Tai kiek iš viso pasodinome gėlių, kad senelės turėtų 16 gėlių?( 8) Kodėl iš pradžių pridėjome skaičių 2? ( kad gauti 10) O kodėl po to pridėjome skaičių 6? (nes dviženklis skaičius turėjo 6 vienetus). Kiek senelė norėjo auginti gėlių? Šis skaičius vienaženklis ar dviženklis? Kai atsakymas yra dviženklis ir nežinomas antrasis dėmuo, kokį reikia pirmiausia pridėti? Kodėl? ( kad gauti 10). O kokį po to pridedame skaičių ( dviženklio skaičiaus vienetus). Užrašomas lentoje veiksmas: 5 + =7. Ar dabar reikia pridėti tiek, kad gauti 10? Kodėl? (nes atsakymas mažesnis už 10) III. Baigiamoji dalis Apžvalga (reflektavimas) ir vertinimas Diskutuojama šiais klausimais: Kiek mes pirmiausia pridedame prie pirmo dėmens, kad gauti dviženklį skaičių? Kiek po to pridedame? Vertinimas. Kas vertinama? Teisingo sprendimo parinkimas. Teisingas suskaičiavimas. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai. Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai sprendžia standartinius lygčių sprendimo uždavinius nežinomam dėmeniui rasti. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas užduočių atlikimo procesas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, dar kartą aiškinama ir rodomas uždavinio sprendimas naudojanti vaizdinėmis priemonėmis, pagiriama, paskatinama už pastangas, progresą, gerą rezultatą. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai. 91

93 12 priedas Pamokos planas: Laiptų metaforos panaudojimas mokant pažinti termometrą. Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Temperatūros matavimas. Mokymosi situacija: Sudeda ir atima vienaženklius bei dviženklius skaičius iki 20 (peržengiant dešimtį). Buvo supažindinti su temperatūra remiantis daugiaaukščio namo su požeminiais garažais modeliu: neigiama temperatūra leidžiamės žemyn į garažus, teigiama temperatūra- lipame laiptais aukštyn. Uždaviniai: 1. Teisingai skaityti ir užrašyti temperatūros matavimo rezultatus vieniniais matiniais skaičiais. 2. Spręsti paprasčiausius uždavinius, kuriuose reikia naudoti temperatūros matavimo rezultatais. 3. Atšilimo atšalimo supratimas. Priemonės: kortelės su skaitmenimis. I.Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Namų darbų aptarimas. Svarbu su klase prisiminti: Kaip atimti iš dviženklio skaičiaus vienaženklį? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu : Kam reikalinga termometras? Kokie būna termometrai? Kokia būna temperatūra? Kaip ji žymima? Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas).pamoka vyksta mokyklos fojė, laiptinėje. Ant plačiosios laiptų pakopos padėta kortelė su skaitmeniu 0. Diskusija: Kuo skiriasi šaltas ir šiltas oras?( sunkus ir šaltas). Kokia spalva kortelėse pažymėta šiluma ir kokia šaltis? Kokiu ženklu žymime šilumą ir šaltį? Išsiaiškinama, kad kuo šilčiau, tuo aukščiau pakyla termometro stulpelyje esantis raudonas skystis, kuo šalčiau- tuo žemiau leidžiasi. Nuo kurio termometro skalėje esančio skaičiaus pradedame matuoti temperatūrą? Vaikai turi dviejų skirtingų spalvų korteles su įvairiais termometro skaičiais. Kviečiamas mokinys turi padėti kortelę ant atitinkamos laiptų pakopos. Sukonstravus termometro modelį, jis aptariamas: Kur padėti kortelės žyminčios šaltą orą ir kur šiltą? Tuomet pakviesti mokiniai turi atsistoti ant atitinkamos laiptų pakopos, žyminčios mokytojos įvardintą temperatūrą. Tuomet sakoma: Temperatūra nukrito arba atšalo 2 laipsniais. Ant kurios laiptų pakopos atsistosi? Kodėl? Vaikai tai pademonstruoja lipdami laiptais žemyn ir aukštyn. Vėliau buvo pakviesti du mokiniai, iš kurių viena turėjo atsistoti ant pakopos žyminčios +5 C, o kitas ant -5 C. Tuomet mokiniai turi užimti tinkamas vietas atvėsus temperatūrai 3 laipsniais. Klausiama: Kodėl abu mokiniai iš pradžių stovėję ant tų pačių skaičių atsirado ant skirtingų skaičių? Apžvalga (reflektavimas) ir vertinimas. Nuo kurios skaičiaus pradedama matuoti temperatūrą? Kokias ženklais žymime aukštą ir žemą temperatūrą? Vertinimas. Kas vertinama? Teisingo temperatūros žymėjimą ir užrašymą. Uždavinių sprendimus. Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai grįžę į klasę žymi termometro modeliuose temperatūrą arba ją užrašo. Sprendžia standartinius tekstinius uždavinius susijusius su temperatūra. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas termometro modeliavimo procesas, užduočių sprendimas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, dar kartą aiškinama ir rodoma. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai 92

94 13 priedas Pamokos planas: Dalykas. Matematika Klasė: 2 Pamokos tema: Laiko skaičiavimas. Mokymosi situacija: Žino sąvokas para ir valanda. Geba įvardinti laiką skaičių skalėje nuo 1 iki 12. Uždaviniai: Išvardyti laiko matavimo vienetus: para, valanda (h), minutė (min). Teisingai skaityti ir užrašyti laiko skaičiavimo rezultatus vieniniais matiniais skaičiais. 5 daugybos lentelės įtvirtinimas. Priemonės: lankai, kortelės su skaitmenimis, lazdelė, akmenukai, žaidimas Svečiuose I.Įvadinė dalis II. Pagrindinė dalis III. Baigiamoji dalis Namų darbų aptarimas. Svarbu su klase prisiminti: Kas yra para? Kiek valandų turi para? Kuri rodyklė rodo valandas? Minutes? Nuo kurios laikrodžio valandos pradedame skaičiuoti naują parą ( dieną)? Mokymosi tikslų paaiškinimas (įtikinama darbo svarba ir aktualumu : Koks skirtumas tarp elektroninio ir mechaninio ( analoginio) laikrodžio? Naujos medžiagos perteikimas (perėmimas). Vaikams išdalinama 12 dvipusių kortelių, kurių vienoje pusėje užrašytas nakties-ryto laikas, kitoje dienos - vakaro. Kortelės nuspalvintos keturiomis spalvomis pagal paros metą: juoda naktis, žalia rytas, geltona diena, violetinė vakaras. Vaikai išsidalinę korteles užima ratu sustatytuose lankuose tinkamas vietas. Diskusija: Kodėl Jūsų kortelės skirtingų spalvų? Kodėl ant jų užrašyti du skaičiai? Kiek para turi valandų? Kelintą valandą Pelenė turėjo grįžti namo? Kodėl? ( Kad prasidėjus nauja dienai pasibaigė burtų galia) Tai nuo kurios valandos pradėsime skaičiuoti naują parą, naują dieną? Paskaičiuokime valandas atsukant ir parodant tinkamą kortelės pusę ( pirma valanda nakties, antra valanda nakties ir t.t.). Žaidimas Svečiuose. Vienas mokinys turi aplankyti laikrodžio modelyje stovinčius vaikus. Pasakius paros laiką, pvz.: trečia valanda nakties, išrenkamas vaikas laikantis šią kortelę. Tuomet jis eina prie kiekvieno rate stovinčio vaiko, kuris turi jam įvardinti laiką, pvz.: dabar ketvirta valanda, penkta valanda ir t.t. Grįždamas mokinys į savo vietą turi pasakyti, kurią valandą jis grįžo ( 15valanda dienos). Klausiama: Kodėl mokinys išėjęs 3 valandą nakties grįžo 15 valandą dienos? ( todėl, kad jam teko rate aplankyti 11 vaikų, o jis pats yra 12 arba todėl kad laikrodyje yra 12 valandų, todėl yra 15).Detalizuojama: kai nuo trečios valandos žengei vieną žingsnį iki draugo, tai kelinta buvo valanda? kai žengei dar vieną žingsnį arba iš viso du, tai kelinta buvo valanda? Ir t.t. Išsiaiškinama, kad norint apskaičiuoti dienos ir vakaro laiką, reikia prie rodomo skaičiaus pridėti 12. Kita veikla: vienas vaikas stovi laikrodžio modelio viduryje laikydamas lazdelę rodyklę. Pasakius paros laiką, pvz.: diena vakaras, vaikai turi atsukti tą kortelės pusę, kuri atitinka įvardintos paros laiką. Stovinčio mokinio rato viduryje prašoma parodyti antrą valandą nakties arba 7 valandą ryto. Taip jis turi atskaičiuoti ir atpažinti elektroninio laikrodžio modelio rodomas valandas. Kita veikla uždavinių sprendimas sukant laiką atgal arba į priekį, pvz.: Justas grįžo namo 16 val. Jis 2 valandas žaidė kieme su draugais. Kelintą valandą Justas išėjo į kiemą? Rate stovintis Apžvalga (reflektavimas) ir vertinimas. Nuo kurios skaičiaus pradedama skaičiuoti nauja diena? Kuri rodyklė rodo valandas? O kuri minutes? Kiek valanda turi minučių? Kokiu matematiniu veiksmu apskaičiuosime minutes? Iš kokio skaičiaus reikia dauginti? Kodėl iš 5? Vertinimas. Kas vertinama? Teisingo laiko žymėjimą ir užrašymą. Uždavinių sprendimus. mokinys turi parodyti lazdele kelintą valandą Justas grįžo ir kelintą išėjo, klausiant ar laikrodžio rodyklę suksime atgal ar į 93

95 priekį ir kodėl? Kita veikla skirta 5 daugybos lentelei ir gebėjimui įvadinti kiek laikrodžio ilgoji rodyklė rodo minučių. Tam tikslui buvo sukurta pasaka apie milžiną Trumpulį ir darbštuolį Greituolį. Milžinas Trumpulis labai mėgdavo svečiuotis pas nykštukus Valandas, kurie augino brangakmenius- minutes, kiekvienas po 5. Bet Trumpulis buvo toks nerangus, kad eidamas savo plačiais ir galingais žingsniais sumindžiodavo nykštukų brangakmenius. Jis labai liūdėdavo negalėdamas pamatyti savo draugų. Bet čia jam pasišovė pagalbon atskubėti Ilguolis Darbštuolis. Jis surinkdavo visus brangakmenius. Vos tik atsilaisvinus keliui milžinas Trumpulis žengdavo platų žingsnį pas nykštuką Pirmoji valanda. Bet vos Neranguolis pastatydavo koją ant žemės, ji taip sudrebėdavo, kad visi nykštukų brangakmeniai vėl išsibarstydavo ant žemės. Ir vėl Ilguoliui Darbštuoliui tekdavo surinkti visus brangakmenius, kad milžinas Trumpulis galėtų aplankyti savo kitą draugą nykštuką Antrąją valandą, Trečiąją valandą ir t.t. Žaidybinės situacijos aprašymas: 12 vaikų stovi lankuose, tarp kurių ant žemė padėta po 5 akmenukus. Vienas mokinys paskiriamas būti milžinu Trumpuliu, kitas Ilguoliu Darbštuoliu. Abu jie pastatomi prie vaiko, kuris turi kortelę su skaičiumi 12. Klausiant, kodėl mokytoja juos čia pastatė? Tuomet Ilguoliui renkant akmenukus vaikai garsiai skaičiuoja. Ilguolis gali pakelti tik po 5 akmenukus ir juos atiduoti mokiniui laikančiam kortelę su skaičiumi 1, po to 2 ir t.t. Pirmą kartą skaičiuojant vaikai sužino, kiek valanda turi minučių, klausiant: kiek Ilguolis Darbštuolis surinko akmenukų? Ką tuomet padarė milžinas Trumpulis? Tai kai buvo surinkta 60 brangakmenių minučių kiek žingsnių žengė milžinas Trumpulis? Tai kiek valanda turi minučių. Įtvirtinimui ir giluminiam supratimui dar keletą kartų taip renkami akmenukai, tik paskiriant vis kitą vaiką Ilguoliu Darbštuoliu. Kita veikla, kai detalizuojamas ir sugretinamas akmenukų rinkimo veiksmas su 5 daugybos lentele. Klausiama: ar visi nykštukai augina po lygiai akmenukų? Po kiek? Pakeliami pirmieji 5 akmenukai ir atiduodami pirmajam vaikui. Prašoma, kad jis ištiestų į priekį vieną ranką su akmenukais, o kita ranka laikanti kortelę su skaičiumi 1, laikoma prispausta prie krūtinės. Klausiama, kiek matote ištiestų rankų į priekį? Kiek ištiestoje rankoje yra akmenukų? Pasakykite daugybos veiksmą? Toliau vėl pakeliami dar 5 akmenukai ir atiduodami antram mokiniui laikančiam kortelę su skaičiumi 2. Vėl klausiama: kiek dabar matote ištiestų rankų? Kiek pirmasis nykštukas turi akmenukų? Kiek antrasis? Pasakykite daugybos veiksmą? Kodėl dauginame iš 5? ir.t.t. Kokį matematinį veiksmą galime pritaikyti norint kuo greičiau suskaičiuoti, kiek laikrodis rodo minučių? Kodėl daugybos, o ne sudėties? Mokytojo veikla Peržiūrimi mokinių namų darbai. Užduodami klausimai Praktikavimasis, naujos medžiagos taikymas. Mokiniai grįžę į klasę žymi laikrodžio modeliuose valandas ir minutes arba po laikrodžio modeliais užrašo laiką. Sprendžia standartinius tekstinius uždavinius susijusius su laiku. Mokytojo veikla Užduodami klausimai, diskutuojama. Stebimas laikrodžio modeliavimo procesas, užduočių sprendimas, padedama mokiniams, kuriems reikia pagalbos, dar kartą aiškinama ir rodoma. Mokytojo veikla Vadovaujama mokinių diskusijai. Vertinami mokymosi rezultatai 94

96 2013/2014 m.m. I klasės II-ojo pusmečio matematikos pa(si)tikrinamasis darbas 14 priedas 1. MIŠKE GYVENO 15 EŽIŲ IR 4 LAPĖS. KIEK GYVŪNŲ BUVO IŠ VISO? 2. JONAS TURĖJO 100 LT. UŽ 40 LT JIS NUPIRKO RIEDUČIUS. KIEK BERNIUKUI LIKO PINIGŲ? 3. UŽRAŠYK SKAIČIŲ SANDARĄ. Dešimtys Vienetai

97 4. 5. NUBRĖŽK 4 CM ILGIO ATKARPĄ NUBRĖŽK 3 CM ILGESNĘ ATKARPĄ 6. APSKAIČIUOK. 7. PARAŠYK, KIEK VALANDŲ RODO LAIKRODŽIAI. 7.ATLIK VEIKSMUS = = 96

98 8. NUSPALVINK AUKŠČIAUSIĄ MEDĮ. SUDARYK DIAGRAMĄ. Galėjai surinkti 20 šypsenėlių. Surinkai 97

99 15 priedas 2014/2015 m.m. II klasės II-ojo pusmečio matematikos pa(si)tikrinamasis darbas 1. Pratęsk skaičių sekas. (2 t.) 37, 40,...,...,...,...,..., , 99,...,...,...,...,..., Atlik veiksmus. (6 t.) 70-30= 53+16= 3. Iki pietų Marius perskaitė 34 knygos puslapius, o po pietų 8 mažiau. Kiek puslapių jis perskaitė iš viso? (3 t.) 4. Parduotuvėje buvo 40 kg apelsinų. 10 pirkėjų nusipirko po 2 kg. Kiek kilogramų apelsinų liko? (3 t.) 5. Saulius sutaupė 54 Lt, o Matas 38 Lt. Kiek daugiau litų sutaupė Saulius? (3 t.) 98

100 6. Padalyk. (2 t.) a) į 4 lygias dalis b) į 2 lygias dalis 7. Suskaičiuok. (6 t.) 8. Įrašyk skaičius. (6 t.) 9. Lentelės duomenis pavaizduok diagrama. (6 t.) 10. Geometrinę figūrą sujunk su jos pavadinimu. (3 t.) 11. Įrašyk praleistus skaičius. (4t.) min. 1m = cm 1 = ct 1 para = h 1 val. = 99

101 12. Kiek valandų rodo laikrodžiai? (4 t.) 13. Kiek laipsnių rodo termometrai? (2 t.) 14. Palygink ( 4 t.): 1 m 10 cm 100 ct 1 20 min 1 h 1 h 60 min 100

102 15. Parašyk geometrinių figūrų ir kūnų pavadinimus ( 9 t.): 16. a)nubrėžk atkarpą 5 cm ilgio: ( 3 t.) b)nubrėžk atkarpą 2 cm ilgesnę už pirmąją: sumai: c)nubrėžk atkarpą, kuri būtų lygi pirmos ir antros atkarpų ilgių Galėjai surinkti 66 taškus. Surinkai 101