Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 2018 m. ruduo (1 semestras), X s db s, t 0.

Transcription

1 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 218 m. ruduo (1 semestras), Prove the following: Proposition. If X t, t, is an Itô process and f C 3 (IR), then f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Let X t, t, be a solution of the stochastic differential equation (SDE) X t = 1 + X s (1 X s ) ds + X s db s, t. It is known that X t >, t. Find any function f C 2 (, ) such that Y t = f(x t ), t, is a solution of an SDE with additive noise. Write this SDE. Reminder. An SDE is said to be an equation with additive noise if its diffusion coefficient is a nonzero constant. Answer: E.g., f(x) = ln x; Y t = ( 1 2 ey s ) ds + B t. 3. Find the limit X := L 2 - lim n 2n i=1 B 3( i )[ B 2( i ) n n and EX. Answer: X = 2 5 B B3 t dt, EX =. 4. Solve the SDE B 2( i 1 )] n dx t = X t (1 X t )(2 X t ) dt + X t (2 X t ) db t, X = x, when a) < x < 2; b) x = 2. Answer: a) X t = 2x/(x + (2 x)e 2B t ); b) X t = Can a diffusion process have a stationary density with infinitely many maximum points? (If yes, give an example; if not, argue why not.) Answer: Yes. Example: dx t = f(x t ) dt + db t with f(x) = sin 2 xe x2, x IR.

2 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 218 m. ruduo (1 semestras), Find the second moment EXt 2 and the covariance function C(t, s) := Cov(X t, X s ), t, s, of the stochastic integral X t = B2 u db u, t. Reminder. The covariance of random variables X and Y is Cov (X, Y ) := E(XY ) EXEY. 2. Find the limit and EX. X := L 2 - lim n 2n i=1 B 3( i )[ ( i ( i 1 )] B B n n) n

3 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 217 m. ruduo (1 semestras), Prove the integration-by-parts formulas for Itô processes X and Y : X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s X, Y t, X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s. 2. Find the covariance function C(t, s) := Cov(X t, X s ), t, s, of the stochastic integral X t = B2 u db u, t. Reminder. The covariance of random variables X and Y is Cov (X, Y ) := E(XY ) EXEY. Answer: (t s) Find the limit and EX. X := L 2 - lim n 4. Solve the SDE X t = 1 + 2n i=1 B 3( i )[ ( i ( i 1 )] B B n n) n X s (3 X s ) ds + 2 X s db s, t. Answer: X t = exp{3t + 2B t }/(1 + exp{3s + 2B s} ds). 5. Ar gali difuzinis procesas su multiplikatyviu triukšmu turėti toki pati stacionaru tanki kaip difuzinis procesas su adityviu triukšmu? (Jei taip, pateikite pavyzdi ; jei ne, pagri skite kodėl.) Can a diffusion process with multiplicative noise have the same stationary density as a diffusion process with additive noise has? (If yes, give an example; if not, argue why not.) Answer: Yes. Example: dx t = (X t Xt 3 ) dt + X t db t and dx t = X t dt + db t.

4 Stochastinės analizės egzaminas ERASMUS sudentams MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 217 m. rudens semestras, Prove the integration-by-parts formulas for Itô processes X and Y : X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s X, Y t, X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s. 2. Find the stochastic integral Ats.: 1 3 e3b t ( 3 2 s s)e3b s ds. 3. Find the limit and EX. X := L 2 - lim 4. Solve the SDE X t = 1 + n n k=1 s 2 e 3B s db s. B 3( k )[ ( k B B n n) ( k 1 )] X s (2 X s ) ds + 3 X s db s, t. 5. Find the covariance function C(t, s) := Cov(X t, X s ) of the solution of the Langevin equation dx t = ax t dt + bdb t, X = x. Reminder. The covariance of random variables X and Y is Cov (X, Y ) := E(XY ) EXEY. n

5 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 217 m. rudens semestras, Raskite atsitiktinio proceso (geometrinio Brauno judesio), tenkinančio SDL X t = x + μ X s ds + σ X s db s, t, antra ji ir trečia ji momentus (EX 2 t ir EX 3 t ). Ats.: EX 2 t = x 2 e (2μ+σ2 )t, EX 3 t = x 3 e (3(μ+σ2 )t. 2. Raskite reguliaru Ito procesa A t, t, su kuriuo atsitiktinis procesas M t := yra martingalas. Ats.: A t = 9 B4 s ds. ( 2 Bt 3 3 B s ds) At, t, Find the second and third moments (EX 2 t and EX 3 t ) of the process (geometric Brownian motion) satisfying the SDE X t = x + μ X s ds + σ X s db s, t. 2. Find a regular Itô processs A t, t, such that the random process M t := is a martingale. ( 2 Bt 3 3 B s ds) At, t,

6 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 216 m. ruduo (1 semestras), Prove the following: Proposition. If X t, t, is an Itô process and f C 3 (IR), then f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Let X t, t, be a solution of the stochastic differential equation (SDE) X t = 1 + X s (1 X s ) ds + X s db s, t. It is known that X t >, t. Find any function f C 2 (, ) such that Y t = f(x t ), t, is a solution of an SDE with additive noise. Write this SDE. Reminder. An SDE is said to be an equation with additive noise if its diffusion coefficient is a nonzero constant. Answer: f(x) = ln x; Y t = ( 1 2 ey s ) ds + B t. 3. Let X and Y be bounded adapted random processes, and M t = X s db s, t. Find a regular random processa t, t, such that the process ( ) 2 N t := Y s dm s At, t, is a martingale. Answer: A t = (X sy s ) 2 ds. 4. A random process X t, t, is a solution of the SDE dx t = μx t dt + σx t db t, X = x. Find EX n t, t, for all n IN. Answer: x n exp{(μn σ2 n(n 1))t}. 5. Solve the SDE dx t = 2X t (1 X t )(1 2X t ) dt + 2X t (1 X t ) db t, X = x, when a) < x < 1; b) x = 1. Answer: a) X t = x/(x + (1 x)e 2B t ); b) X t = 1.

7 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 216 m. ruduo (1 semestras), I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Tarkime, kad X t, t, yra stochastinės diferencialinės lygties (SDL) X t = 1 + X s (1 X s ) ds + X s db s, t, sprendinys. Yra žinoma, kad X t >, t. Raskite kokia nors funkcija f C 2 (, ), su kuria procesas Y t = f(x t ), t, būtu SDL su adityviu triukšmu sprendinys. Parašykite ta lygti. Priminimas. Sakoma, kad SDL yra lygtis su adityviu triukšmu, jei jos difuzijos koeficientas yra nenulinė konstanta. Ats.: f(x) = ln x; Y t = ( 1 2 ey s ) ds + B t. 3. Tarkime, kad X ir Y yra aprėžti suderinti atsitiktiniai procesai, M t = X s db s, t. Raskite reguliaru atsitiktini procesa A t, t, su kuriuo procesas ( ) 2 N t := Y s dm s At, t, būtu martingalas. Ats.: A t = (X sy s ) 2 ds. 4. Atsitiktinis procesas X t, t, yra SDL dx t = μx t dt + σx t db t, X = x, sprendinys. Raskite EX n t, t, su bet kokiu n IN. Ats.: x n exp{(μn σ2 n(n 1))t}. 5. Išspre skite SDL dx t = 2X t (1 X t )(1 2X t ) dt + 2X t (1 X t ) db t, X = x, kai a) < x < 1; b) x = 1. Ats: a) X t = x/(x + (1 x)e 2B t ); b) X t = 1.

8 Stochastinės analizės egzaminas (R. Gylys) 1. Pažymėkime X x t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, su koeficientais b ir σ, tenkinančiais Lipšico sa lyga, sprendini. I rodykite, kad X x t P X x t, kai x x, su visais t (tolydumas pradinės sa lygos atžvilgiu). 2. Tarkime, kad X t, t, yra stochastinės diferencialinės lygties (SDL) X t = 1 + b(x s ) ds + σ(x s ) db s, t, su Lipšico koeficientais b ir σ sprendinys ir f C 2 b (IR). Raskite reguliaru procesa A t, t, su kuriuo atsitiktinis procesas M t := f(x t ) A t, t, yra martingalas. 3. Išspre skite SDL X t = 1 + X s (1 X 2 s ) ds + X s db s, t. 4. Stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt+σ(x t ) db t, X = x, aproksimacija {X h, h > } apibrėžiama lygybėmis X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + b(x h kh)h + σ(x h kh) ξ k h, k =, 1, 2,... ; čia {ξ k } nepriklausomu tolygiai pasiskirsčiusiu intervale [ a, a] atsitiktiniu dydžiu seka. Parinkite parametro a reikšme, su kuria ši aproksimacija būtu pirmos eilės silpnoji aproksimacija.

9 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 216 m. rudens semestras, Let X t, t, be a solution of the stochastic differential equation (SDE) X t = 1 + X s (1 X s ) ds + X s db s, t, and let f C 2 b (IR). Find a regular process A t, t, such that the random process M t := f(x t ) A t, t, is a martingale. 2. Let X t, t, and Y t, t, be solutions of the SDEs and X t = x + a X s ds + b X s db s, t, Y t = y + c Y s ds + d Y s db s, t. Write an SDE satisfied by the random process Z t := X t Y t, t Tarkime, kad X t, t, yra stochastinės diferencialinės lygties (SDL) X t = 1 + X s (1 X s ) ds + X s db s, t, sprendinys ir f Cb 2(IR). Raskite reguliaru procesa procesas M t := f(x t ) A t, t, yra martingalas. A t, t, su kuriuo atsitiktinis 2. Tarkime, kad X t, t, ir Y t, t, yra SDL ir X t = x + a X s ds + b X s db s, t, Y t = y + c Y s ds + d Y s db s, t, sprendiniai. Parašykite SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Z t := X t Y t, t.

10 Stochastinės analizės egzaminas (V. Jurgelevičius) 1. Ar gali Brauno judesio trajektorija (su teigiama tikimybe) tenkinti Lipšico sa lyga kokiame nors baigtiniame intervale? (Iš Brauno judesio trajektoriju nediferencijuojamumo neišplaukia, kad jos netenkina Lipšico sa lygos.) Priminimas. Funkcija f : [a, b] IR tenkina Lipšico sa lyga, jei egzistuoja tokia konstanta L, kad f(y) f(x) L y x, x, y [a, b]. 2. Raskite reguliaru Ito procesa A t, t, su kuriuo atsitiktinis procesas M t := (B 2 t t) 2 A t, t, yra martingalas. Raskite šio martingalo kvadratine variacija M t. Ats.: A t = 4 B2 s ds, M t = 16 B2 s(bs 2 s) 2 ds. 3. Išspre skite SDL X t = 1 + X s (1 X s ) ds + Ats.: X t = exp{t + B t }/(1 + exp{s + B s } ds). 4. Tarkime, kad X ir Y yra tiesiniu SDL ir X s db s, t. X t = x + a X s ds + b X s db s, t, Y t = y + c Y s ds + d Y s db s, t, sprendiniai. Parašykite tiesine SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Z t := X t Y t, t. Ats.: Z t = xy + (a + c + bd) Z s ds + (b + d) Z s db s.

11 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 215 m. ruduo (1 semestras), I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. ( ) Apskaičiuokite E se B s db s Ats.: 4( 1 e 2t (2t 2 2t + 1) 1 ). 3. Raskite reguliaru Ito procesa A t, t, su kuriuo atsitiktinis procesas M t := (B 2 t t) 2 A t, t, yra martingalas. Raskite šio martingalo kvadratine variacija M t. Ats.: A t = 4 B2 s ds, M t = 16 B2 s(bs 2 s) 2 ds. 4. Tarkime, kad X ir Y yra Stratonovičiaus SDL X t = X s ds + 3 X s db s ir Y t = Y s ds + 6 Y s db s sprendiniai. Parašykite Stratonovičiaus SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Z t := X t Y t, t. Ats.: Z t = Z s ds + 9 Z s db s. 5. Ar gali difuzinis procesas su multiplikatyviu triukšmu turėti toki pati stacionaru tanki kaip difuzinis procesas su adityviu triukšmu? Jei ne, pagri skite kodėl; jei taip, pateikite pavyzdi. Ats.: Taip.

12 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 215 m. rudens semestras, Raskite stochastini integrala s 2 e 3B s db s. Ats.: 1 3 e3b t ( 3 2 s s)e3b s ds. 2. Raskite riba X := L 2 - lim n n k=1 B 2( k )[ n B 2( k n ) B 2( k 1 )] n ir EX. Ats.: X = B B2 t dt, EX = 5 2.

13 Stochastinės analizės egzaminas (G. Lileika), (Š. Dirmeikis) 1. Pažymėkime X x t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, su koeficientais b ir σ, tenkinančiais Lipšico sa lyga, sprendini. I rodykite, kad Xt x pagal tikimybe, kai x x, su visais t (tolydumas pradinės sa lygos atžvilgiu). X x t 2. Raskite Lanževeno lygties dx t = ax t dt + bdb t, X = x, sprendinio kovariacine funkcija C(t, s) := Cov(X t, X s ). 3. Išspre skite SDL dx t = a 2 X 2 t (1 X t ) dt + ax t (1 X t ) db t, X = x (, 1). Čia a > konstanta. Patarimas. Atlikite pakeitima Y t = X t /(1 X t ). 4. Lygties dx t = rx t dt+σx t db t, X = x, sprendinys X t = x exp{(r σ2 2 )t+σb t} >, t, jei pradinė reikšmė x >. 1) I rodykite, kad jei σ 2 2r, tai šios lygties Milšteino aproksimacija taip pat teigiama su bet kokia pradine reikšme x >. 2) Tarkime, kad 2r < σ 2 < 4r. Sukonstruokite šios lygties Milšteino tipo 1-os eilės silpna ja aproksimacija {X h, h > }, kuri taip pat būtu teigiama su bet kokia pradine reikšme x >.

14 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 214 m. ruduo (1 semestras), Difuzinio proceso stacionariojo tankio apibrėžimas. Tiesioginė Kolmogorovo lygtis stacionariajam tankiui. (1 t.) Teiginys. Jei difuzinis procesas X, apibrėžiamas stochastine diferencialine lygtimi arba dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, turi stacionaru ji tanki p intervale (a, b) ir σ(x) > su visais x (a, b), tai p turi pavidala p (x) = N { x σ ν (x) exp b(u) } 2 c σ 2 (u) du, x (a, b); čia (I) lygčiai ν = 2, (S) lygčiai ν = 1, c bet koks taškas i intervalo (a, b), N normuojanti konstanta, su kuria b a p (x) dx = 1. (4 t.) Pastaba. Čia laikoma, kad koeficientai b ir σ yra pakankamai,,geri, kad p tenkintu tiesiogine Kolmogorovo lygti. (I) (S) 2. Raskite proceso X t := B2 s ds, t, kovariacija C(t, s) = Cov (X t, X s ), t, s. Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )] = E(XY ) EX EY. Ats.: s3 (2t s), t s Tarkime, kad atsitiktiniu procesu pora X ir Y tenkina lygtis X t = x X s ds 2 Y s db s, Y t = y Y s ds + 2 X s db s, t. Raskite atsitiktini procesa Z t := Xt 2 + Yt 2, t. Ats.: Z t = x 2 + y 2 e t, t. 4. Išspre skite SDL ( 1 ) dx t = 4 X t dt + X t db t, X = x >. t ). Patarimas. Atlikite pakeitima Y t = X t (yra žinoma, kad lygties sprendinys X t, Ats.: X t = e t ( x + es/2 db s ) 2, t. 5. Lygties dx t = μx t dt+σx t db t, X = x, sprendinys X t = x exp{(μ σ2 2 )t+σb t} >, t, jei pradinė reikšmė x >. 1) I rodykite, kad jei σ 2 2μ, tai šios lygties Milšteino aproksimacija taip pat teigiama su bet kokia pradine reikšme x >. 2) Tarkime, kad 2μ < σ 2 < 4μ. Sukonstruokite šios lygties Milšteino tipo 1-os eilės silpna ja aproksimacija {X h, h > }, kuri taip pat būtu teigiama su bet kokia pradine reikšme x >. Spr.: 1) a(x, s, y) = x + (μ σ2 2 2) a(x, s, y) := x + (μ σ2 4 )xs + σxy + σ2 2 xy2 = (μ σ2 2 )xs + x(1 + σ 2 y)2 + σ2 )xs + σxy + σ2 4 xy2 = (μ σ2 4 )xs + x(1 + σ 2 y)2 >. 4 xy2 >.

15 1. Raskite Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 214 m. rudens semestras, ( 2 ( E B s ds) 2, ir E Bs ds) 2 t. 2. Atsitiktinis procesas X t, t, yra stochastinės Verhulsto lygties X t = x + λ X s (μ X s ) ds + σ X s db s, t, sprendinys (x, λ, μ, σ > ). Yra žinoma, kad X t >, t. Pažymėkime Y t := ln X t. Prašykite stochastine diferencialine lygti, kuria tenkina atsitiktinis procesas Y.

16 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 213/14 m.m., rudens semestras, I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Tarkime, kad B t, t, Brauno judesys ir X t Cov (X t, X s ), t s. := B u du, t. Raskite Ats.: t 2 ( s 2 t 6 ). 3. Tarkime, kad X t, t, yra Ito procesas, f C 2 (IR) ir Y t := f(x t ), t. I rodykite, kad Y taip pat yra Ito procesas ir raskite ju kvadratiniu variaciju Y t ir X t sa ryši. 4. Tarkime, kad X ir Y yra SDL X t = X s ds + 3 X s db s ir Y t = Y s ds + 6 Y s db s sprendiniai. Parašykite SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Z t := X t Y t, t. Ats.: Z t = Z s ds + 9 Z s db s. 5. Nubrėžkite difuzinio proceso, apibrėžiamo SDL dx t = X t (X 2 t 1) dt + σdb t stacionariojo tankio grafiko eskiza. Kaip keičiasi grafikas didinant parametra σ >?

17 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 213 m. rudens semestras, Tarkime, kad B t, t, Brauno judesys ir X t := B t+1 B t, t. Raskite Cov (X t, X t+s ), t, s. Ats.: (1 s) +. Let B t, t, be a Brownian motion, and let X t := B t+1 B t, t. Find Cov (X t, X t+s ), t, s. 2. Atsitiktinis procesas X t = e at cos B t, t, yra martingalas. Raskite parametra a. Ats.: 1 2. The random process X t = e at cos B t, t, is a martingale. Find the value of the parameter a.

18 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 212/13 m.m., rudens semestras, perlaikymas, Ito ir Stratonovičiaus integralu Ito proceso atžvilgiu apibrėžimai. I rodykite šiu integralu sa ryši Y X = Y X X, Y. I rodykite šias šiu integralu savybes: W (Z X) = (W Z) X; W (Z X) = (W Z) X. 2. Raskite E(B t BsB 2 u ), t s u. Ats.: 3su. 3. Tarkime, kad Ito procesas X t = K s ds + H s db s =, t. I rodykite, kad K t = H t =, t. Patarimas. Pritaikykite Ito formule procesui Y t = e X2 t. 4. Tarkime, kad X ir Y yra SDL X t = X s ds + 3 X s db s ir Y t = Y s ds + Y s db s sprendiniai. Parašykite SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Z t := X t Y t, t. Ats.: Z t = Z s ds + 4 Z s db s. 5. Raskite lim t + EX4 t, jei X t lygties X t = 1 2 X ds + 3B t sprendinys. Ats.: 3 5 /2 4.

19 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 212/13 m.m., rudens semestras, I rodykite integravimo dalimis formules Ito procesams X ir Y : X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s X, Y t, X s dy s = X t Y t X Y Y s dx s. 2. Raskite E(B t B s B 2 u), t s u. Ats.: su + 2u Raskite atsitiktinio dydžio ξ N(a, σ 2 ) skirstinio Laplaso transformacija φ(λ) := E exp{λξ}, λ IR. Patarimas. Pasinaudokite tuo, kad ξ d == a + σb 1, ir Ito formule. Ats.: exp{λa + λ 2 σ 2 /2}. 4. Išspre skite SDL X t = 1 + X s (1 X s ) ds + Ats.: X t = exp{t + B t }/(1 + exp{s + B s } ds). X s db s, t. 5. Raskite Lanževeno lygties dx t = ax t dt + bdb t, X = x, sprendinio kovariacine funkcija C(t, s) := Cov(X t, X s ). Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E(XY ) EXEY. Ats.: b 2 2a (e a(t s) e a(t+s) ).

20 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 212 m.m., rudens semestras, Pateikite toki SDL X t = x + b(x s) ds + σ(x s) db s netrivialu pavyzdi (σ ), kad su bet kokia pradine sa lyga x ( 1, 1) lygties sprendinys X t ( 1, 1), t. 2. Atsitiktinis tolydus aprėžtas procesas X t, t, yra toks, kad procesas M t = X s ds, t [, T ], yra martingalas. I rodykite, kad X t = su visais t [, T ].

21 Stochastinės analizės egzaminas doktorantūra, (R. Malukas) 1. I rodykite, kad P{B t, t [, T ]} = su bet kokiu T >. Čia B t, t, Brauno judesys. 2. Pažymėkime X x t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, su koeficientais b ir σ, tenkinančiais Lipšico sa lyga, sprendini. I rodykite, kad Xt x pagal tikimybe, kai x x, su visais t (tolydumas pradinės sa lygos atžvilgiu). X x t 3. Tarkime, kad X t, t, tolydus aprėžtas suderintas (su Brauno judesiu) procesas, nelygus tapatingai nuliui, ir Y t := X u du, t. Ar gali procesas Y būti martingalas? 4. Raskite riba I := L 2 - lim n n k=1 ( k B n)[ B 2( k n ) B 2( k 1 )]. n

22 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 211/12 m.m., rudens semestras, perlaikymas, Teorema. Jei stochastinės diferencialinėa lygties X t = x + b(x s ) ds + σ(x s ) db s, t [, T ], koeficientai b ir σ tenkina Lipšico sa lyga, tai lygtis turi vieninteli sprendini X H 2 [, T ]. 2. Raskite Cov (Bt 2, B2 s ds), t. Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )]. 3. Ar atsitiktinis procesas X t = B2 u db u B2 u du, t, yra martingalas? 4. Tarkime, kad X ir Y du Ito procesai. Apibrėžkime atgalini stochastini integrala T X s dy s := P- lim n X i+1 ΔY i ; i čia, kaip visada, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n ; X i = X(t n i ), ΔX i = X i+1 X i. I rodykite Ito formule tokiam integralui: jei X Ito procesas ir F C 3 (IR), tai F (X T ) F (X ) = T F (X s ) dx s 1 2 T Patarimas. Pasinaudokite jau žinomomis Ito formulėmis. 5. Išspre skite SDL X t = x + X s (1 X s )(2 X s ) ds + F (X s ) d X s. X s (2 X s ) db s.

23 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 211/12 m.m., rudens semestras, Teorema. Jei stochastinės diferencialinės lygties X t = x + b(x s ) ds + σ(x s ) db s, t [, T ], koeficientai b ir σ tenkina Lipšico sa lyga, tai lygtis turi vieninteli sprendini X H 2 [, T ]. 2. Raskite Cov (B t, B s ds), t. Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )]. 3. Tarkime, kad X t, t, tolydus aprėžtas suderintas (su Brauno judesiu) procesas, nelygus tapatingai nuliui, ir Y t := X u du, t. Ar gali procesas Y būti martingalas? 4. Tarkime, kad X ir Y du Ito procesai. Apibrėžkime atgalini stochastini integrala T X s dy s := P- lim n X i+1 ΔY i ; i čia, kaip visada, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n ; X i = X(t n i ), ΔX i = X i+1 X i. I rodykite Ito formule tokiam integralui: jei X Ito procesas ir F C 3 (IR), tai F (X T ) F (X ) = T F (X s ) dx s 1 2 T Patarimas. Pasinaudokite jau žinomomis Ito formulėmis. 5. Išspre skite SDL X t = x + X s ( 1 2 X s kai a) < x < 1; b) x = 1. Ats: a) X t = x/(x + (1 x)e B t ); b) X t = 1. F (X s ) d X s. ) (1 X s ) ds + X s (1 X s ) db s,

24 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 211 m.m., rudens semestras, Lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t sprendinio trečiasis laipsnis M t = X 3 t, t, yra martingalas. a) Raskite b(x), x IR, jei σ(x) = x, x IR; b) Raskite koeficientu b ir σ sa ryši bendru atveju. 2. Lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t su pradine sa lyga X = 1 koeficientai b ir σ. Ar gali jos sprendinys būti teigiamas ir aprėžtas (neatsitiktine konstanta)? (Jei taip, pateikite pavyzdi ; jei ne, pagri skite).

25 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 21/11 m.m., rudens semestras, I rodykite teigini : Teiginys. Jei difuzinis procesas X, apibrėžiamas stochastine diferencialine lygtimi dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, (I) arba dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, (S) turi stacionaru ji tanki p intervale (a, b) ir σ(x) > su visais x (a, b), tai p turi pavidala p (x) = N { x σ ν (x) exp 2 c b(u) } σ 2 (u) du, x (a, b); ia (I) lygčiai ν = 2, (S) lygčiai ν = 1, c bet koks taškas i intervalo (a, b), N normuojanti konstanta, su kuria b a p (x) dx = 1. Pastaba. Čia laikoma, kad koeficientai b ir σ yra pakankamai,,geri, kad p tenkintu tiesiogine Kolmogorovo lygti. 2. Raskite proceso X t := Bt 4, t, kovariacija C(t, s) = Cov (X t, X s ), t, s. Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )]. 3. Tarkime, kad Ito procesas X t = K s ds + H s db s =, t. I rodykite, kad K t = H t =, t. Patarimas. Pritaikykite Ito formule procesui Y t = e X2 t. 4. Išspre skite SDL dx t = a 2 X 2 t (1 X t ) dt + ax t (1 X t ) db t, X = x (, 1). Čia a > konstanta. Patarimas. Atlikite pakeitima Y t = X t /(1 X t ). 5. SDL dx t = μx t dt+σx t db t, X = x, sprendinys X t = x exp{(μ σ 2 /2)t+σB t } >, t, jei pradinė reikšmė x >. 1) I rodykite, kad jei σ 2 2μ, tai šios lygties Milšteino aproksimacija (bet ne Eulerio) taip pat teigiama su bet kokia pradine reikšme x >. 2) Tarkime, kad 2μ < σ 2 < 4μ. Sukonstruokite šios lygties Milšteino tipo 1-os eilės silpna ja aproksimacija {X h, h > }, kuri taip pat būtu teigiama su bet kokia pradine reikšme x >.

26 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 21/11 m.m., rudens semestras, Raskite mažėjančia funkcija f: IR (, ), su kuria procesas M t = f(b t + t), t, yra martingalas. 2. Atsitiktinis procesas X apibrėžtas intervale [, 1) lygybe X t := (1 t) db s 1 s, t < 1. Išveskite SDL šiam procesui. I rodykite, kad X t L 2 prasme, kai t 1.

27 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 29/1 m.m., rudens semestras, I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Atsitiktinis procesas X t := B t tb 1, t [, 1], vadinamas Brauno tiltu. Raskite jo kovariacija C(t, s) = Cov (X t, X s ), t, s [, 1]. Priminimas. Atsitiktiniu dydžiu X ir Y kovariacija Cov (X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )]. 3. Atsitiktinis procesas X t, t, yra stochastinės diferencialinės lygties X t = 1 + X s ds + X s db s sprendinys. Atsitiktinis dydis Y i gyja dvi reikšmes ir a su tikimybėmis atitinkamai p ir q. Raskite tokius a, p ir q, kad EY = EX 1 ir EY 2 = EX 2 1 (t.y. tokius, kad sutaptu atsitiktiniu dydžiu Y ir X 1 pirmieji du momentai). 4. Ar galima Stratonovičiaus stochastinėje diferencialinėje lygtyje dx t = X t dt + σ(x t ) db t parinkti toki griežtai teigiama koeficienta σ(x), x IR, kad lygties (su bet kokia pradine sa lyga) sprendinys būtu martingalas? (Jei taip, pateikite pavyzdi ; jei ne, pagri skite.) 5. Ar gali stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x (, 1), (σ() = σ(1) =, σ(x) >, x (, 1)) stacionarus tankis būti p (x) = 1, x (, 1) (t.y. tolygiojo intervale (,1) skirstinio tankis)? (Jei taip, pateikite pavyzdi ; jei ne, pagri skite.)

28 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 29/1 m.m., rudens semestras, Ito procesai X ir Y tenkina lygtis X t = x + Y s db s ir Y t = y X s db s, t. I rodykite, kad Z t := Xt 2 + Yt 2 = (x 2 + y 2 ) e t, t. 2. Sugalvokite toki Ito procesu sekos {X n } ir nereguliaraus Ito proceso X pavyzdi, kad: 1) X n X tolygiai intervale [, T ], t.y. beveik tikrai sup Xt n X t, n ; t [,T ] 2) X n T 1 2 X T.

29 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 28/9 m.m., rudens semestras, , perlaikymas 1. I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Raskite reguliaru atsitiktini procesa A t, t, su kuriuo atsitiktinis procesas M t = tbt 2 A t, t, būtu martingalas. Ats.: A t = (B2 s + s) ds. 3. X t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = X t dt + X t db t su pradine sa lyga X = x IR sprendinys. Raskite EXt 3, t. Ats.: EXt 3 = x 3, t. 4. Raskite lim t + EX5 t, jei X t lygties dx t = X t dt + db t su pradine sa lyga X = 1 sprendinys. Ats.:. 5. Stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + X t db t, X = x, silpnoji aproksimacija {X h, h > } apibrėžiama lygybėmis X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + b(x h kh)h + ax h kh ξ k h, k =, 1, 2,... ; čia {ξ k } nepriklausomu tolygiai pasiskirsčiusiu intervale [ 1, 1] atsitiktiniu dydžiu seka. Parinkite parametro a reikšme, su kuria ši aproksimacija būtu pirmos eilės. Ats.: a = 1/ 3.

30 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, FDM I kursas, 28/9 m.m., rudens semestras, I rodykite teigini : Tarkime, kad b: [, ) IR IR, o funkcija σ = σ(s, x), (s, x) [, ) IR, yra dukart tolydiai diferencijuojama. Jei atsitiktinis procesas X t, t, yra Ito lygties X t = x + ( b + 1 ) 2 σσ x (s, X s ) ds + σ(s, X s ) db s, t, sprendinys, tai jis yra Stratonovičiaus lygties X t = x + sprendinys. b(s, X s ) ds + σ(s, X s ) db s, t, 2. Parinkite funkcija f(s), s, taip, kad atsitiktinis procesas X t = t 2 B t + f(s)b s ds, t, būtu martingalas. Ats.: f(s) = 2s. 3. X t, t, stochastinės diferencialinės (CIR) lygties dx t = (1 X t ) dt+ X t db t su pradine sa lyga X = x sprendinys. Raskite EX 2 t, t. Ats.: EX 2 t = (x 1)e t + (x 2 3x )e 2t. 4. Ar galima λ IR parinkti taip, kad difuzinio proceso, apibrėžto Ferhiulsto lygtimi dx t = (λ X t )X t dt + X t db t, X = x >, stacionarusis tankis sutaptu su difuzijos, apibrėžtos CIR lygtimi dx t = (1 X t ) dt + X t db t, X = x >, stacionariuoju tankiu? Ats.: Galima, λ = 3/2. 5. Nagrinėkime stochastinės diferencialinės lygties dx t = μx t dt + σx t db t, X = x, silpna sias aproksimacijas {X h, h > }, turinčias pavidala X h = x, X h (k+1)h = Xh kh μx h khh σx h khδb k + a(x h kh)δb 2 k, k =, 1, 2,.... Ar galima parinkti funkcija a(x), x IR, taip, kad aproksimacija būtu pirmos eilės? Pastaba. Čia ΔB k = B (k+1)h B kh. Ats.: Galima, a(x) = 2μx.

31 Stochastinės analizės 1/2 egzamino bandymas MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 28 m.m., rudens semestras, f L 2 [, ), t.y. f : [, ) IR mati (neatsitiktinė) funkcija ir f 2 (t) dt < +. Nesinaudodami 3.8a teorema, i rodykite, kad ) E (B t f(s) db s = f(s) ds, t. 2. X t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = X t db t su pradine sa lyga X = x sprendinys. Raskite EX 2 t ir EX 3 t, t.

32 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, I kursas, 27/8 m.m., rudens semestras, I rodykite teorema ir jos išvada : Teorema. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas, apibrėžiamas lygtimi dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t. Jei funkcija f Cb 2 (IR), tai f priklauso proceso X generatoriaus A apibrėžimo sričiai D A ir Af = bf σ2 f. Be to, su kiekviena tokia funkcija yra teisinga Dynkino formulė Ef(X x t ) = f(x) + E Af(X x s ) ds, t. Išvada. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas su generatoriumi A ir f C 2 b (IR). Pažymėkime u(t, x) = T tf(x) = Ef(X x t ), (t, x) IR + IR. Tada funkcija u yra lygties dalinėmis išvestinėmis su pradine sa lyga u t = Au, u(, x) = f(x) sprendinys. Čia operatorius A taikomas funkcijos u = u(t, x) argumento x atžvilgiu. 2. Ar egzistuoja tokia parametro a IR reikšmė, su kuria atsitiktinis procesas X t = B 3 t + atb t, t, yra martingalas? Ats.: a = Kiekvienam atsitiktiniam laiptiniam procesui X S b [, T ] teisinga nelygybė ( T ) 4 ( T ) 2 E X s db s CE Xs 2 ds su C = 36 (3.5.5 teiginys). Kokia mažiausia galima C reikšmė šioje nelygybėje, kai X neatsitiktinė laiptinė funkcija? Ats.: C = Ar gali tikimybė { T P X s db s > T X s db s } būti lygi? 1? 1/2? (Atsakymus pagri skite.) Ats.: Galimi visi atvejai. 5. Nagrinėkime stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, tokio pavidalo aproksimacija {X h, h > }: X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + c k b(x h kh)h + d k σ(x h kh)δb k, k =, 1, 2,.... Kuriais iš šiu atveju ji yra yra pirmos eilės silpnoji aproksimacija: a) c k = 1, d k = 1; b) c k = 1, d k = 1; c) c k = 1, d k = 1; d) c k = 1, d k = 1; e) c k = 1, d k = ( 1) k? (Atsakymus pagri skite.) Ats.: a), b), e).

33 Stochastinės analizės 1/2 egzamino MIF magistrantūra, FDM, I kursas, 27/8 m.m., 1 semestras, Ar atsitiktinis procesas X t = B 3 t tb t, t, yra martingalas? 2. X t stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t su pradine sa lyga X = 1/2 sprendinys. Ar gali būti, kad P{ X t < 1} = 1 su visais t > ir kartu P{ X t > 1 ε} > su visais t > ir ε >? (Jei ne pagri skite, jei taip pateikite pavyzdi.)

34 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, I kursas, 26/7 m.m., 2 semestras, , perlaikymas 1. I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir f C 3 (IR), tai f ( ) ( ) t X t f X = f ( ) X s dxs. 2. Raskite stochastini integrala Bse 2 B s db s. 3. X t stochastinės diferencialinės lygties sprendinys. Ar gali būti, kad P{ X t < 1} = 1 visais t > ir kartu P{ X t > 1 ε} > visais t > ir ε >? 4. Raskite lygties dx t = b(x t ) dt 2X t db t poslinkio koeficienta b(x), jei žinoma, kad jos sprendinio trečiasis laipsnis M t = X 3 t, t, yra martingalas. 5. Parašykite Markovo proceso X t = arctg (1 + B t ), t, generatoriu.

35 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, I kursas, 26/7 m.m., 2 semestras, Ito ir Stratonovičiaus integralu Ito proceso atžvilgiu apibrėžimai. I rodykite šiu integralu sa ryši Y X = Y X X, Y. I rodykite šias šiu integralu savybes: W (Z X) = (W Z) X; W (Z X) = (W Z) X. 2. Raskite stochastini integrala B s e B s db s. 3. Atsitiktinis procesas X t, t, tenkina stochastine diferencialine lygti (SDL) X t = 1 2 Xs 3 ds + 4 X s db s, t. Parašykite SDL (integraliniu pavidalu), kuria tenkina atsitiktinis procesas Y t = X 2 t +1, t. 4. Raskite lygties dx t = b(x t ) dt + X t db t poslinkio koeficienta b(x), jei žinoma, kad jos sprendinio kvadratas M t = X 2 t, t, yra martingalas. 5. Ar gali difuzinio proceso stacionarusis tankis turėti daugiau kaip du lokaliuosius maksimumus? (Jei taip, pateikite toki procesa apibrėžiančios SDL pavyzdi ; jei ne, pagri skite)

36 Stochastinės analizės i skaita (1/2 egzamino) MIF magistrantūra, I kursas, 26/7 m.m., 1 semestras, Raskite stochastini integrala sin(b s + 2s) db s. 2. Atsitiktinis procesas X t, t, tenkina stochastine diferencialine lygti (SDL) X t = 2 + (1 X s ) ds + Xs db s, t. Parašykite SDL, kuria tenkina atsitiktinis procesas Y t = X t, t.

37 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, I kursas, 25/6 m.m., 2 semestras, , perlaikymas 1. I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir F C 3 (IR), tai F ( ) ( ) t X t F X = F ( ) X s dxs. 2. Remiantis Dūbo nelygybe (3.8.6 ), E sup t T B 2 t 4T. I rodykite, kad E sup t T B 2 t 2T. Patarimas. Jums gali praversti paprasta lygybė E sup t T B 2 t = max{(sup t T B t ) 2, (inf t T B t ) 2 }. 3. Parašykite stochastine diferencialine lygti (integraliniu pavidalu), kuria tenkina atsitiktinis procesas X t = arctg (1 + B t ), t. 4. Ar gali du skirtingi difuziniai procesai turėti ta pati stacionaru ji tanki? (Jei ne, pagri skite; jei taip, pateikite pavyzdi.) 5. Ar gali Eulerio aproksimacija būti kokios nors stochastinės diferencialinės lygties (SDL) stiprioji 1-os eilės aproksimacija? 2-ios eilės? (Jei ne, pagri skite; jei taip, pateikite tokios SDL pavyzdi (pavyzdžius).)

38 Stochastinės analizės egzaminas MIF magistrantūra, I kursas, 25/6 m.m., 2 semestras, Martingalo apibrėžimas. I rodykite, kad atsitiktinis procesas ( ) 2 N t := X s db s Xs 2 ds, t [, T ], yra martingalas, jei X H 2 [, T ]. 2. Ar gali stochastinis integralas T X t db t būti teigiamas (su tikimybe 1), jei a) X laiptinis procesas? b) bendru atveju? (Jei ne, pagri sti; jei taip, pateikti pavyzdi (pavyzdžius).) 3. Patikrinkite, kad atsitiktinis procesas X t := tg (π/4 + B t ), t, yra stochastinės diferencialinės lygties dx t = X t (1 + X 2 t ) dt + (1 + X 2 t ) db t su pradine sa lyga X = 1 sprendinys. 4. Išspre skite stochastine diferencialine lygti X t = x + cos X s sin 3 X s ds kai a) x =, b) x = π/2, c) x = 3π/2. sin 2 X s db s, t, 5. Stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, silpnoji aproksimacija {X h, h > } apibrėžiama lygybėmis X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + b(x h kh)h + σ(x h kh)ξ k h, k =, 1, 2,.... Čia {ξ k } nepriklausomu vienodai pasiskirsčiusiu atsitiktiniu dydžiu seka su P{ξ k = } = 1 2 ir P{ξ k = a} = P{ξ k = a} = 1 4. Raskite a >, su kuriuo ši aproksimacija yra pirmos eilės.

39 Stochastinės analizės i skaita (1/2 egzamino) MIF magistrantūra, I kursas, 25/6 m.m., 1 semestras, Sakykime, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria diametras Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n. Raskite P lim n i (ΔX i ) 2 = P lim n jei X t = exp{2b t 3t}, t. k n 1 i= ( X(t n i+1 ) X(t n i ) ) 2, 2. X toks suderintas atsitiktinis procesas, kad E T X2 t dt >. Ar gali Ito procesas Y t := X s db s, t [, T ], būti aprėžtas intervale [, T ]? (Jei ne, pagri sti; jei taip, pateikti pavyzdi.)

40 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 24/5 m.m., 2 semestras, , perlaikymas 1. Bet kokiam Ito procesui Y su Y = pažymėkime E(Y ) t := exp{y t 1 2 Y t} (procesas E(Y ) vadinamas proceso Y stochastine eksponente). I rodykite šias stochastiniu eksponenčiu savybes: 1) jei Y yra Ito procesas, tai procesas X := E(Y ) yra lygties X t = 1 + X s dy s, t, sprendinys; 2) jei Y ir Z du Ito procesai, Y = Z =, tai E(Y )E(Z) = E(Y + Z + Y, Z ); 3) jei Y Ito procesas su Y =, tai E(Y ) 1 = E( Y + Y ). 2. Sakykime, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria diametras Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n. Tarkime, kad X ir Y du Brauno judesiai (nebūtinai nepriklausomi). Ar gali sumos ΔX i ΔY i = i k n 1 i= ( X(t n i+1 ) X(t n i ) )( Y (t n i+1) Y (t n i ) ), kai n, konverguoti pagal tikimybe i a) T/2? b) T? (Jei ne, pagri skite; jei taip pateikte pavyzdi arba pavyzdžius) 3. Raskite ( ) 2, ( 3 E B s ds E B s ds) ir E(sin B t ), t. 4. Stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, silpnoji aproksimacija {X h, h > } apibrėžiama lygybėmis X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + b(x h kh)h + σ(x h kh)ξ k h, k =, 1, 2,.... Čia {ξ k } nepriklausomu tolygiai pasiskirsčiusiu intervale [ a, a] atsitiktiniu dydžiu seka. Raskite a >, su kuriuo ši aproksimacija yra pirmos eilės. 5. Parašykite stochastine diferencialine lygti, kuria tenkina Ito procesas X t = Φ 2 t, t. Čia Φ TSDL dφ t = a(t)φ t dt + b(t)φ t db t sprendinys su pradine sa lyga Φ = 1.

41 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 24/5 m.m., 2 semestras, Stratonovičiaus integralo apibrėžimas. I rodykite šias jo savybes: 1) Y X t = Y X t X, Y t; 2) Z (Y X) t = (ZY ) X t ; 3) Y X, Ỹ X t = (Y Ỹ ) X, X t. 2. Sakykime, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria diametras Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n. Tarkime, kad X ir Y du nepriklausomi Brauno judesiai. I rodykite, kad ΔX i ΔY i = i k n 1 i= ( X(t n i+1 ) X(t n i ) )( Y (t n i+1) Y (t n i ) ) pagal tikimybe, kai n. (Kitaip tariant, dvieju nepriklausomu Brauno judesiu kovariacija lygi.) 3. Raskite E B s ds, ( 2 ( E B s ds) 3 ir E B s ds) t. 4. Tarkime, kad f i C[, ), i = 1, 2, 3, 4. I rodykite, kad stochastinė diferencialinė lygtis X t = x + turi vieninteli sprendini. (f 1 (t)x t + f 2 (t)) dt + (f 3 (t)x t + f 4 (t)) db t, t, 5. Stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, silpnoji aproksimacija {X h, h > } apibrėžiama lygybėmis X h = x, X h (k+1)h = Xh kh + b(x h kh)h + σ(x h kh)ξ k h, k =, 1, 2,.... Čia {ξ k } nepriklausomu tolygiai pasiskirsčiusiu intervale [ a, a] atsitiktiniu dydžiu seka. Raskite a >, su kuriuo ši aproksimacija yra pirmos eilės.

42 Stochastinės analizės i skaita (1/2 egzamino) MIF magistrantūra, I kursas, 24/5 m.m., 1 semestras, I rodykite, kad P{B t, t [, T ]} = su bet kokiu T >. Čia B t, t, Brauno judesys. 2. Sugalvokite toki Ito procesu sekos {X n } ir Ito proceso X pavyzdi, kad: 1) X n X tolygiai baigtiniuose intervaluose, t.y. su visais T > beveik tikrai sup Xt n X t, n ; t [,T ] 2) X n X.

43 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 23/4 m.m., 2 semestras, I rodykite, kad jei f Cb 3 (IR), tai f(b t ) = f() + f (B s ) db s f (B s ) ds, t. 2. Parašykite stochastine diferencialine lygti (integraliniu pavidalu), kuria tenkina atsitiktinis procesas X t = 1/(2 + e 3B t ), t. 3. I rodykite, kad atsitiktinis procesas X t := B2 s ds, t, turi baigtine variacija kiekviename intervale [, T ]. Raskite jos vidurki. 4. X stochastinės diferencialinės lyties dx t = X 2 t db t X 2 t dt, t, su pradine sa lyga X = sprendinys, f(t) := EXt 3, t. I rodykite, kad sup f (t) < Atsitiktinis procesas X t, t, tenkina stochastine diferencialine lygti X t = X s ds + B t, t. Raskite X t pasiskirstymo tankio p t riba, kai t. t

44 Stochastinės analizės i skaita (1/2 egzamino) MIF magistrantūra, I kursas, 23/4 m.m., 1 semestras, Pateikite pavyzdi tokio tolydaus atsitiktinio proceso X t, t, kad d 1) X t == B t su visais t ; 2) proceso X trajektorijos kiekviename intervale [, T ] turi baigtine variacija. 2. Pažymėkime X x t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, X = x, su koeficientais b ir σ, tenkinančiais Lipšico sa lyga, sprendini. I rodykite, kad Xt x X x t pagal tikimybe, kai x x, su visais t (tolydumas pradinės sa lygos atžvilgiu). Pastaba. Abiejuose uždaviniuose B t, t, Brauno judesys.

45 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 22/3 m.m., 2 semestras, , 1 perlaikymas 1. I rodykite teorema ir jos išvada : Teorema. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas, apibrėžiamas lygtimi dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t. Jei funkcija f C 2 (IR) turi aprėžtas pirma ja ir antra ja išvestines, tai f priklauso proceso X generatoriaus A apibrėžimo sričiai D A ir Af = bf σ2 f. Be to, su kiekviena tokia funkcija yra teisinga Dynkino formulė Ef(X x t ) = f(x) + E Af(X x s ) ds, t. Išvada. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas su generatoriumi A ir f C 2 b (IR). Pažymėkime u(t, x) = T tf(x) = Ef(X x t ), (t, x) IR + IR. Tada funkcija u yra lygties dalinėmis išvestinėmis su pradine sa lyga u t = Au, u(, x) = f(x) sprendinys. Čia operatorius A taikomas funkcijos u = u(t, x) argumento x atžvilgiu. 2. Raskite riba I := L 2 - lim n k=1 n [ 1 ( k 2 n) B + 2 ( k 1 )][ 3 B n B 2( k n ) B 2( k 1 )]. n 3. Pažymėkime τ := min{t : B t = 1}. I rodykite, kad Eτ = +. Patarimas. Pritaikykite stochastiniu integralu savybes integralui 1I [,τ] (t) db t. 4. Tarkime, kad X t, t, yra lygties X t = 2 + X s ds + X s db s sprendinys. Raskite ( ) E Xt 3 6 Xs 3 ds, t. 5. Sugalvokite stochastine diferencialine lygti ir jos sprendinio X aproksimacija X h, h >, kuri: 1) yra trečios eilės silpnoji aproksimacija intervale [, 1], t.y. su visomis f C b (IR) Ef(X h 1 ) Ef(X 1 ) = O(h 3 ), kai h ; 2) nėra jokios teigiamos eilės stiprioji aproksimacija intervale [, 1], tiksliau, su visais α > E X h 1 X 1 /h α +, kai h.

46 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 22/3 m.m., 2 semestras, I rodykite teigini : Teiginys. Jei X t, t, Ito procesas ir F C 2,3 ([, ) IR) (t.y. F = F (t, x), t, x IR, yra dukart tolydžiai diferencijuojama pagal pirma ji argumenta t ir triskart pagal antra ji x), tai F ( ) ( ) t t, X t F, X = F x( ) s, Xs dxs + F s( s, Xs ) ds. 2. Raskite riba I := L 2 - lim n n k=1 ( k B n)[ B 2( k n ) B 2( k 1 )]. n 3. Pažymėkime τ := min{t : B t = 1}. Tada B τ = 1 b.t. ir todėl EB τ = 1. Kita vertus, B τ = τ db t = 1I [,τ] (t) db t ir todėl EB τ = (3.8a arba 3.8b teorema). Kur klaida? 4. Tarkime, kad X t, t, stochastinės diferencialinės lygties dx t = X t dt + X t db t, X = 1, sprendinys. I rodykite, kad atsitiktinis procesas M t := X 3 t 6 yra martingalas. X 3 s ds, t, 5. Sugalvokite stochastine diferencialine lygti ir jos sprendinio X aproksimacija X h, h >, kuri: 1) yra antros eilės silpnoji aproksimacija, t.y. su visais T > ir visomis f C b (IR) Ef(X h T ) Ef(X T ) = O(h 2 ), kai h ; 2) nėra jokios teigiamos eilės stiprioji aproksimacija, tiksliau, su visais T > ir α > E X h T X T /h α +, kai h.

47 Stochastinės analizės i skaita MIF magistrantūra, I kursas, 22/3 m.m., 1 semestras, Raskite riba I := L 2 - lim n n k=1 B 2( k )[ ( k B B n n) ( k 1 n )]. 2. Išspre skite stochastine diferencialine lygti X t = 1 + (2X s 3Xs 4 ) ds + 5 X s db s. Pastaba. Abiejuose uždaviniuose B t, t, Brauno judesys.

48 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 21/2 m.m., 2 semestras, , 4 perlaikymas 1. I rodykite šias laiptiniu stochastiniu procesu stochastinio integralo Brauno judesio atžvilgiu savybes: 1) E T X t db t =. ( T ) 2 T 2) E X t db t = E Xt 2 dt. ( T T ) 3) E X t db t Y t db t = E T X t Y t dt. 2. Raskite E Bs 3 dy s, jei Y t = B 2 B t. 3. Tarkime, kad {B n } reguliariu ju procesu seka, konverguojanti i Brauno judesi B tolygiai kompaktiškuose intervaluose. Pažymėkime X n stochastinės diferencialinės lygties dx n t = X n t db n t X n t db t, X n = 1/2, sprendini. Raskite riba X t := lim n Xn t, t. 4. I rodykite, kad jei X, Y H 2 [, ) ir α, β IR, tai (αx t + βy t ) db t = α X t db t + β Y t db t. 5. Tarkime, kad X yra Ito procesas, Y ir Z yra lygčiu dy t = Y t dx t ir dz t = Z t dx t su pradinėmis sa lygomis Y = 2 ir Z = 1/2 sprendiniai. Parašykite stochastine diferencialine lygti, kuria tenkina atsitiktinis procesas W t := Y t Z t, t.

49 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, , 3 perlaikymas 1. I rodykite teigini : Teiginys. Jei b: [, ) IR IR, o funkcija σ = σ(s, x), (s, x) [, ) IR, yra dukart tolydžiai diferencijuojama, tai kiekvienas Stratonovičiaus lygties X t = x + b(s, X s ) ds + sprendinys yra Ito lygties X t = x + sprendinys. 2. Raskite σ(s, X s ) db s, t, ( b + 1 ) 2 σσ x (s, X s ) ds + σ(s, X s ) db s, t, B 2 s dy s, jei Y t = B 2 s db s. 3. Tarkime, kad {B n } reguliariu ju procesu seka, konverguojanti i Brauno judesi B tolygiai kompaktiškuose intervaluose. Pažymėkime X n lygties X n t = 1 + X n s db n s X n s db s sprendini. Raskite riba X t := lim n Xn t, t. 4. I rodykite nelygybe E B 2 s db s t 3/2, t. 5. Tarkime, kad X yra Ito procesas, Y ir Z yra lygčiu dy t = Y t dx t ir dz t = Z t dx t su pradinėmis sa lygomis Y = Z = 1 sprendiniai. I rodykite, kad W t := Y t Z t yra lygties dw t = W t d X t su pradine sa lyga W = 1 sprendinys.

50 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, , 2 perlaikymas 1. Bet kokiam Ito procesui Y su Y = pažymėkime E(Y ) t := exp{y t 1 2 Y t} (procesas E(Y ) vadinamas proceso Y stochastine eksponente). I rodykite šias stochastiniu eksponenčiu savybes: 1) jei Y yra Ito procesas, tai procesas X := E(Y ) yra lygties X t = 1 + X s dy s, t, sprendinys; 2) jei Y ir Z du Ito procesai, Y = Z =, tai E(Y )E(Z) = E(Y + Z + Y, Z ); 3) jei Y Ito procesas su Y =, tai E(Y ) 1 = E( Y + Y ). 2. Išspre skite lygti X t = B t + X s db s, t. 3. Tarkime, kad {B n } reguliariu ju procesu seka, konverguojanti i Brauno judesi B tolygiai kompaktiškuose intervaluose. Pažymėkime X n stochastinės diferencialinės lygties dxt n = Xt n d(b n B) t, X n = 1, sprendini. Raskite riba X t := lim n Xn t, t. 4. Raskite B (B B) t, t. 5. Parašykite Markovo proceso X t = e 2B t+3t, t, generatoriu.

51 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, , perlaikymas sesijos metu 1. Bet kokiam Ito procesui Y su Y = pažymėkime E(Y ) t := exp{y t 1 2 Y t} (procesas E(Y ) vadinamas proceso Y stochastine eksponente). I rodykite šias stochastiniu eksponenčiu savybes: 1). jei Y yra Ito procesas, tai procesas X := E(Y ) yra lygties X t = 1 + X s dy s, t, sprendinys; 2) jei Y ir Z du Ito procesai, Y = Z =, tai E(Y )E(Z) = E(Y + Z + Y, Z ); 3) jei Y Ito procesas su Y =, tai E(Y ) 1 = E( Y + Y ). 2. Raskite EX 3 t, t, jei X stochastinės diferencialinės lygties dx t = X t dt + db t, X = 1, sprendinys. 3. Tarkime, kad {B n } reguliariu ju procesu seka, konverguojanti i Brauno judesi B tolygiai kompaktiškuose intervaluose. Pažymėkime X n stochastinės diferencialinės lygties dx n t = X n t dt + X n t d(b B n ) t, X n = 1, sprendini. Raskite riba 4. Raskite X t := lim n Xn t, t. B 2 s db 2 s, t. 5. Parašykite Stratonovičiaus stochastine diferencialine lygti, kurios sprendinys yra atsitiktinis procesas X t = B 3 t, t. Ar tai vienintelis šios lygties sprendinys?

52 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, I rodykite teigini : Teiginys. Jei difuzinis procesas X, apibrėžiamas stochastine diferencialine lygtimi dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, (I) arba dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t, (S) turi stacionaru ji tanki p intervale (a, b) ir σ(x) > su visais x (a, b), tai p turi pavidala p (x) = N { x σ ν (x) exp 2 c b(u) } σ 2 (u) du, x (a, b); čia (I) lygčiai ν = 2, (S) lygčiai ν = 1, c bet koks taškas iš intervalo (a, b), N normuojanti konstanta, su kuria b a p (x) dx = 1. Pastaba. Čia laikoma, kad koeficientai b ir σ yra pakankamai,,geri, kad p tenkintu tiesiogine Kolmogorovo lygti. 2. Raskite EX t, t, jei X stochastinės diferencialinės lygties dx t = (X t + 1) dt + sprendinys. X 2 t + 1 db t, X = 1, 3. Išspre skite Stratonovičiaus stochastine diferencialine lygti dx t = (2X t 3X 2 t ) dt + 4X t db t, X = X t := B s ds, Y t := s db s, t. Raskite E X s dy s. 5. Tarkime, kad X t, t, Ito procesas ir Y t := dx s 1 + X 2 s X s d X s (1 + X 2 s ) 2, t. I rodykite, kad E Y t < π, t.

53 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, , perlaikymas sesijos metu 1. I rodykite teigini : Teiginys. Jei b: [, ) IR IR, o funkcija σ = σ(s, x), (s, x) [, ) IR, yra dukart tolydžiai diferencijuojama, tai kiekvienas Stratonovičiaus lygties X t = x + b(s, X s ) ds + sprendinys yra Ito lygties X t = x + sprendinys. σ(s, X s ) db s, t, ( b + 1 ) 2 σσ x (s, X s ) ds + σ(s, X s ) db s, t, 2. Ar gali Brauno judesio trajektorija (su teigiama tikimybe) tenkinti Lipšico sa lyga kokiame nors baigtiniame intervale? (Iš Brauno judesio trajektoriju nediferencijuojamumo neišplaukia, kad jos netenkina Lipšico sa lygos.) Priminimas: sakoma, kad funkcija f : [a, b] IR tenkina Lipšico sa lyga (intervale [a, b]), jei egzistuoja konstanta C, su kuria f(t) f(s) C t s, t, s [a, b]. 3. Raskite cos B s db s ir cos B s db s, t. 4. Su bet kokia f C 2 b (IR) pažymėkime a(t, x) := Ef(xeB t t ), (t, x) [, ) IR. I rodykite, kad funkcija a tenkina diferencialine lygti 5. a t(t, x) = 1 2 xa x(t, x) x2 a xx(t, x).

54 Stochastinės analizės egzamino klausimai MIF magistrantūra, I kursas, 2 semestras, I rodykite teorema ir jos išvada : Teorema. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas, apibrėžiamas lygtimi dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) db t. Jei funkcija f C 2 (IR) turi aprėžtas pirma ja ir antra ja išvestines, tai f priklauso proceso X generatoriaus A apibrėžimo sričiai D A ir Af = bf σ2 f. Be to, su kiekviena tokia funkcija teisinga lygybė (Dynkino formulė) Ef(X x t ) = f(x) + E Af(X x s ) ds, t. Išvada. Sakykime, X = {X x } homogeninis difuzinis procesas su generatoriumi A ir f C 2 b (IR). Pažymėkime u(t, x) = T tf(x) = Ef(X x t ), (t, x) IR + IR. Tada funkcija u yra lygties dalinėmis išvestinėmis su pradine sa lyga u t = Au, u(, x) = f(x) sprendinys. Čia operatorius A taikomas funkcijos u = u(t, x) argumento x atžvilgiu. 2. Sakykime, Δ n = { = t n < t n 1 < < t n k n = T }, n IN, bet kokia intervalo [, T ] skaidiniu seka, su kuria diametras Δ n := max i t n i+1 tn i, kai n. Su bet kokiais Ito procesais X ir Y raskite riba k n 1 P- lim Y (t n i ) ( X(t n i+1) X(t n i ) ) 3. n i= 3. Raskite E B 4, B 2 t, t. 4. Patikrinkite, kad atsitiktinis procesas x exp{t + B t } X t := 1 + 2x, t, 2 t exp{2(s + B s)} ds yra stochastinės diferencialinės lygties X t = x + (X s X 3 s ) ds + sprendinys. 5. I rodykite, kad lygties dalinėmis išvestinėmis X s db s, t, 2 u(t, x) = x u(t, x) + x2 u(t, x), (t, x) [, ) IR, t x x2 su pradine sa lyga u(, x) = f(x) (f Cb 2 (IR)) sprendinys yra u(t, x) = 1 ( ) f xe y 2t e y2 /2 dy, (t, x) (, ) IR. 2π