Turinys. Geometrinės diferencialinių lygčių teorijos savokos. Diferencialinės lygties sprendiniai. Pavyzdžiai. CIt, (- 00,0) C'It, (0, (0);

Transcription

1 Turinys In this chapter we illustrate the qualitative approach to differential equations and introduce some key ideas such as phase portraits and qualitative equivalence Geometrinės diferencialinių lygčių teorijos savokos 3 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Diferencialinės lygties sprendiniai Tegul f yra tolydi funkcija, aprėžta srityje D R 2 (f C(D)) Nagrinėkime 1 eilės DL ẋ = f (t, x(t)), (t, x) D Funkcija ϕ : I R, yra DL sprendinys intervale, jei ϕ C 1 (I); Taškas (t, ϕ(t)) D, t I; ϕ(t) f (t, ϕ(t)) Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / Įvadas PRELIMINARY į kokybinę paprastųjų IDEAS DL teorija 111 Existence Diferencialinės and uniqueness lygties krypčių laukas Definition 111 2LetVektoriniai X (t, x) be airreal-valued krypčių laukai function ofthe real variables t and x, with domain D S; 1RFazinė 2 A function erdvė x(t), with t in some open interval Is; IR, which satisfies Fazinis portretas Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Pavyzdžiai Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija dx x(t) = = X(t,x(t)) (11) is said to be a solution of the differential equation (11) A necessary condition for x(t) to be a solution is that (t, x (t))ed for each tel; so that D limits the domain and range of x(t) If x(t), with domain I, is a solution to (11) then so is its restriction to any interval J c I To prevent any confusion, we will always take I to be the largest interval for which x(t) satisfies (11) Solutions with this property are called maximal solutions Thus, unless otherwise stated, we will use the word 'solution' to mean 'maximal solution' Consider the following examples of(11) and their solutions; we give x = X(t,x), D, x(t), I Sprendinio egzistavimas apibrėžiamas funkcijos f savybemis: in eachdl, case sritis (C and D, C' sprendinys are real numbers): ϕ(x), apibr sritis I 1 x= x - t, 2 x= x 2, 2 Introduction 3 x= -x/t, {(t,x)lt,eo}, 4 x = 2x 1/2, {(t, x)lx ~ OJ, 1+t + Cel, IR; (C-t)-l, (-oo,c) 0, IR (C'-t)-t, (C',oo); CIt, (- 00,0) C'It, (0, (0); O, {(t - C)2, 0, (- 00,C) [C,oo) IR', 5 x = 2xt, 1R 2, Ce,2, IR; 6 x= -x/tanh t, {(t,x)lt,eo}, Clsinht, (-00,0) C'/sinh t, (0, (0) Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 The existence of solutions is determined by the properties of X The following proposition is stated without proof (Petrovski, 1966)

2 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija 1 teorema (Egzistavimas) Jei funkcija f C(D), tai (t 0, x 0 ) D toks lygties ẋ = f (t, x) sprendinys x(t) t I, kad t 0 I ir x(t 0 ) = x 0 x t Pavyzdys ẋ = 2 x 1 2, D = R 2 x 0 0 (t 0, x 0 ) galima užrašyti kaip (t 0, x(t 0 )), čia x(t) yra sprendinys: { 0, t (, C); x(t) = (t C) 2 ( ) C = t, t (C, + ) 0 x 0 Analogiškai galima rasti sprendinį, einanti per taška (t 0, x 0 ), kai x 0 0 { (t C) x(t) = 2, t (, C); 0, t (C, + ) > > K4 K t K2 K4 K6 DL ẋ = 2 x 1 2, D = R 2 sprendinio grafikas Pastaba 1 teorema neeliuminuoja atvejį, kai x(t 0 ) = x 0 daugiau, nei vienam sprendiniui x(t) Pvz, pradinę salyg a x(t 0 ) = 0 tenkina be galo daug sprendinių: bet koks sprendinys (**) su C > t 0 ; x(t) 0 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija 2 teorema (Vienatis) Jei funkcija f C(D) ir f x C(D), tai duotam taške (t 0, x 0 ) D ir vienintelis toks lygties ẋ = f (t, x) sprendinys x(t), kad x(t 0 ) = x 0 Pavyzdžiai 1 f (t, x) = 2 x 1 2 C(D), D = R 2, bet { f x = x 1 2, x > 0; x 1 2, x < 0 f x C(D ), D = {(t, x) x 0} ty per taška (t 0, 0), t 0 R eina be galo daug sprendinių 2 f (t, x) = x t f x = 1 f, f x C(R2 ) taškas (t 0, x 0 ) priklauso tik vienam DL ẋ = x t sprendiniui: x(t) = 1 + t + Ce t, čia C = (x 0 t 0 1)e t 0 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Rasime DL y = 3y 2/3 integralinę kreivę, einančia per taška (1, 1) Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra y = 3y 2/3, y(1) = 1 Patikriname, kad funkcija y = (x C) 3 yra DL sprendiniai Įstatome pradines salygas: 1 = y(1) = (1 C) 3 C = 0 (kitos šaknys yra kompleksinės) Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendinį y = x 3 Remiantis 2 teorema daugiau integralinių kreivių, einančių per šį taška, nėra Ṙasime integralinę kreivę, einanči a per taška (0, 0) Per šį taška eina jau rasta integralinė kreivė y = x 3, ir dar viena papildoma integralinė kreivė y 0 Vadinasi, šiuo atveju, Koši uždavinio sprendinys nėra vienintelis, ir šis taškas nepriklauso DL sprendinio vienaties sričiai Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

3 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Geometrinė interpretacija Krypčiū laukas Nagrinėsime DL ẋ = f (t, x), f C(D), D R 2 1)ẋ = x t 2)ẋ = x/t, t 0 3)ẋ = t/x, 4)ẋ = 1 2 (x2 1) 5) ẋ = 2xt 6)ẋ = x/ tanh t, t 0 7)ẋ = 1 x 2, x 1, 8)ẋ = 2x 1 2, x 0 Integralinių kreivių kokybinį vaizda pilnai nusako DL dešinioji pusė Kartais pavaizduotos integralinės kreivės yra panašios (2 ir 6 pav) Tokios integralinių kreivių šeimos yra kokybiškai ekvivalenčios Sprendinio vienaties nėra 7 ir 8 pav Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Laisvai pasirinktam taškui (t; x) D priskirkime tiese su krypties koeficientu k = f (t; x); einancia per šį taška Tiksliau, per taška (t; x) brėžiame nedidele atkarpėle su krypties koeficientu k: Jeigu kiekvienam aibės D taškui yra priskirta kryptis (tiesė), tuomet sakysime, kad aibėje D yra apibrėžtas krypčių laukas Pastaba Norint geriau atvaizduoti krypčių lauka brėžiniuose, braižoma tik nedidelė tiesės dalis taško aplinkoje Mes nagrinėsime tolydžiai diferencijuojamus krypčių laukus, kurių kryptys tolydžiai priklauso nuo taško padėties Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija ApibrėžimasKreivė, kuri kiekviename savo taške liečia tame taške esančia kryptį vadinama integraline kreive PastabaŽodis integralinė kreivė atsirado istoriškai, nes kai kuriais paprasčiausias atvejais šias kreives galima rasti integruojant Nagrinėkime tolydų krypčių lauka plokštumoje Lauka vadinsime invariantišku postūmio duotaja kryptimi atžvilgiu, jei kiekvienos tiesės, kuri yra lygiagreti duotajai krypčiai, taškuose krypčių lauko kryptys vienodos Lauka vadinsime nevertikaliuoju krypčių lauku, jei egzistuoja tiesė, kuriai nelygiagreti jokia krypčių lauko kryptis Visada galima parinkti koordinačių sistema, kurioje ši tiesė sutaptų su ordinačių ašimi x, o abscisių ašis t būtų horizontali TeoremaSakykime, plokštumoje duota kryptis, kurios atžvilgiu krypčių laukas yra invariantiškas ir nevertikalus Tada tokio krypčių lauko integralinės kreivės randamos integravimu Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

4 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Kreivė x = ϕ(t) yra integralinė duotojo nevertikalaus invariantiško krypčių lauko kreivė, tada ir tik tada, jeigu dϕ(t) v(t), (1) ir ji randama Barou formule ϕ(t) = v(t) + C (2) Lygties x = v(t) krypčių laukas Analogiškai gautume, kad geometrinis nevertikalaus krypčių lauko v(t, x) integralinės kreivės radimo uždavinys analiziškai užrašomas kaip DL dx(t) = v(t, x), (3) ir teisinga teorema: Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Bet kokia DL ẋ = v(t, x), v C(D) apibrėžia nevertikalųjį krypčių lauka: taške (t, x) imama kryptis, kurios kampo su abscisių ašimi tangentas lygus v(t, x) Toks krypčių laukas vadinamas funkcijos v krypčių lauku arba ẋ = v(t, x) lygties krypčių lauku Jeigu norime gauti kokybinį integralinių kreivių vaizda (portreta), nebūtina išspręsti DL, pakanka nubraižyti integralinių kreivių eskizus Braižant eskizus, labai patogu surasti kreives, kurių visuose taškuose yra ta pati kryptis Tokios kreivės vadinamos krypčių lauko izoklinėmis Izoklinės lygtis yra v(t, x) = k, k R (4) Teorema Funkcijos x = ϕ(t) grafikas yra integralinė kreivė, tada ir tik tada, kai visiems t I teisinga (3) Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Nevertikalaus invariantiško lauko izoklinės yra vertikalios tiesės t = k Taip pat naudinga surasti sritis, kuriose integralinė kreivė iškila i viršų (ẍ < 0) arba į apačia (ẍ > 0), čia ẍ = dẋ = dv(t, x) = v(t, x) t + v(t, x) v(t, x) ẋ = + x t v(t, x) v(t, x) (5) x Nubraižysime DL ẋ = t + t/x integralinių kreivių eskizus plokštumoje (t, x), kai x 0 1 Šios DL izoklinės yra hiperbolės t + t/x = k x = t k t su asimptotėmis x = 1 ir t = k Lygties x = v(t) krypčių laukas Lygties x = v(x) krypčių laukas k = 1 k = 2 x k = 1 k = 2 t k = 1 k = 2 k = 2 k = 1 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

5 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija 2 Norėdami tiksliau nubraižyti kreivių eskizus, randame integralinės kreivės antraj a išvestinę ẍ = x 1 x 2 (t + t (x + 1)(x t)(x + t) ) = x x 3, ir pažymime jos teigiamumo ir neigiamumo sritis 1 x = t x ω + ω ω ω + ω ω + ω ω ω + x = t t x = 1 3 Kadangi krypčių lauka apibrėžianti funkcija yra nelyginė kintamojo t atžvilgiu v( t, x) = ( t) + ( t)/x = v(t, x), todėl patys sprendiniai yra lyginės funkcijos Dabar pakankamai tiksliai braižome integralinių kreivių eskizus x t x = 1 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teorija Uždaviniai: 1 Nubraižysime DL integralinių kreivių eskizus: a) ẋ = t; b) ẋ = sin t; c) ẋ = x t; d) ẋ = x/t, t 0; e) ẋ = t/x, x 0; f ) ẋ = 1 2 (x2 1); g) ẋ = 1 x 2, x 1; h) ẋ = 2 x, x 0; i) ẋ = x(1 x); k) ẋ = x 2 ; l) ẋ = x 3 ; m) ẋ = x; n) ẋ = x 3 x; o) ẋ = x log x, x > 0; p) ẋ = x 2 + t 2 ; r) ẋ = x 2 t 2 Susipažinsime su geometrine DL prasme: vektoriniais ir krypčių laukais Įvesime fazinės ir išplėstinės fazinės erdvės, fazinės ir integralinės kreivės savokas Ištirsime paprasčiausias DL ir DLS vienmatėje erdvėje Evoliuciniai procesai Diferencialinėmis lygtimis aprašomi evoliuciniai procesai, kurie pasižymi determinizmu, baigtiniu matavimu bei glodumu Determinuotu vadinsime tokį procesa, kurio ateitį ir praeitį nulemia dabartis, ty mes galime nusakyti ne tik dabartinę determinuoto proceso būklę, bet ir jo būklę bet kuriuo laiko momentu tiek praeityje, tiek ateityje Aibė determinuoto proceso būsenų vadinama fazine erdve Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

6 Determinuotas procesas Vieno taško judėjima trimatėje erdvėje pilnai apibrėžia trys jo koordinatės ir trys jo greičio komponentės Žinodami šiuos šešis parametrus konkrečiu laiko momentu, mes galime nusakyti judančio taško padėtį bet kuriuo momentu tiek praeityje, tiek ateityje Nedeterminuoti procesai Šilumos sklidimas yra pusiau determinuotas procesas, nes mes galime nusakyti tik kaip pasiskirstys kūno temperatūra ateityje, o apie šio proceso evoliucija praeityje mes nieko negalime pasakyti Visiškai nedeterminuoti procesai yra Brauno judėjimas, kvantinių dalelių-bangų judėjimas, nes šiais atvejais mes negalime nusakyti nei kaip procesas vystysis ateityje, nei kaip jis vystėsi praeityje Procesas vadinamas baigtinio matavimo, jei jo fazinė erdvė aprašoma baigtiniu skaičiumi parametrų, kurių reikšmės ir apibrėžia proceso būsenas Baigtinio matavimo procesas Jei materialus taškas juda tiese, tuomet jo būsenai pilnai aprašyti pakanka 2 parametrų (koordinatės ir greičio), ty fazinė erdvė yra dvimatė Trimatėje erdvėje tokiam procesui apibūdinti reikalingi 6 parametrai Jei nagrinėsime n taškų judėjima, tai jų fazinė erdvė bus 6n-matė (trys koordinatės ir trys greičio komponentės kiekvienam taškui) Nagrinėjant n kietų kūnų judėjima reikalinga 12n parametrų (kokie?) Begalinio matavimo procesai Norint aprašyti stygos virpesius, bangų sklidima reikalingas begalinis skaičius parametrų Tokius procesus nagrinėja lygčių dalinėmis išvestinėmis teorija Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Procesas vadinamas glodžiu (tolydžiu, diferencijuojamu), jei jo fazinė erdvė turi glodžios daugdaros struktūra, o proceso būsenų kitima galima aprašyti glodžiomis (tolydžiomis, diferencijuojamomis) funkcijomis Glodus procesas Mechaninės sistemos koordinatės ir greičiai keičiasi kaip tolydžiai diferencijuojamos funkcijos Nediferencijuojami procesai Procesai, kuriuose vyksta trūkiai, smūgiai, glodumo savybe nepasižymi Tik eksperimentiškai su tam tikru tikslumu galima nustatyti, kad procesas yra determinuotas, baigtinio matavimo ir glodus Mes laikysime, kad visi nagrinėjami procesai turi šias savybes ir pilnai sutampa su nagrinėjamais matematiniais modeliais Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Dažniausiai šiame kurse, fazinė erdvė bus sritis (jungi ir atvira aibė) U R n Fazinės erdvės taškus vadinsime faziniais taškais Jeigu n-matėje fazinėje erdvėje įvestos koordinatės (x 1,, x n ), tuomet fazinį taška galime sutapatinti su erdvės R n tašku (x 1,, x n ) Dažnai patogu taško koordinates surašyti į vektorių-stulpelį (n 1-matrica) arba vektorių-eilutę (1 n-matrica): x 1 x n = [x 1,, x n ] = (x 1 x n ), (x 1 x n ) Pastaba Užrašas su laužtiniais skliausteliais vartojamas norint taupyti vieta tekste Pastaba Dažnai fazinius kintamuosius vienmatėje fazinėje erdvėje žymėsime x, dvimatėje (x, y), trimatėje (x, y, z) Parametra (laikas, kreivės ilgis) nuo kurio priklauso procesas dažniausiai žymėsime t R = R t Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

7 Įvairias proceso būsenas atitinka fazinės erdvės taškai Proceso evoliucijos metu, jį apibūdinantis taškas keičia vieta fazinėje erdvėje Glodiems procesams taško pėdsakas (fazinės erdvės taškai, kuriuose buvo fazinis taškas) fazinėje erdvėje apibrėžia fazinę trajektorija x(t), t I = (t 0 ; t 1 ) Jeigu n-matėje fazinėje erdvėje įvesta koordinačių sistema (x 1,, x n ), tuomet fazinė trajektorija apibrėžiama glodžiomis funkcijomis x 1 = x 1 (t),, x n = x n (t) arba viena vektorine funkcija x(t) = ( x 1 (t),, x n (t) ) Fiksuotoje koordinačių sistemoje šias komponentes galima surašyti į vektorių-stulpelį: x 1 (t) x(t) = = [x 1 (t),, x n (t)] x n (t) Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Fazinių trajektorijų šeimos vaizdas fazinėje erdvėje vadinamas faziniu portretu Fazinės erdvės savoka leidžia evoliucinių procesų tyrima suvesti į geometrinio uždavinio apie fazines trajektorijas sprendima Fazinio taško judėjimo greitį fazinėje trajektorijoje apibrėžia pats taškas Vadinasi, kiekviename fazinės erdvės taške x 0 = x(t 0 ) yra apibrėžtas vektorius v(x 0 ), kuris dar vadinamas fazinio greičio vektoriumi v(x 0 ) = dx(t), t=t0 arba fiksuotoje koordinačių sistemoje (x 1,, x n ), rašysime v 1 (x 0 ) v(x 0 ) = = [v 1 (x 0 ),, v n (x 0 )], v n (x 0 ) v i (x 0 ) = dxi (t) t=t0 Fazinė trajektorija neaprašo fazinio taško priklausomybės nuo laiko t, tačiau paprastai nurodoma, kokia kryptimi vystosi evoliucinis procesas Rodykle fazinėje trajektorijoje žymima laiko didėjimo kryptis Norėdami pavaizduoti, kaip procesas evoliucionuoja laiko atžvilgiu, naudosime išplėstinę fazinę erdvę R t U, kuri yra laiko ašies ir fazinės erdvės Dekarto sandauga Tada grafikas (t, x(t)) bus kreivė (n + 1)-matėje erdvėje ir pilnai apibrėš fazinio taško priklausomybę nuo laiko t Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

8 Pagrindinis PDL teorijos uždavinys ir yra ištirti evoliucinio proceso kitima fazinio greičio vektoriniame lauke Prie svarbių klausimų galima priskirti fazinių trajektorijų pobūdį: - koks jų pavidalas, - ar fazinės trajektorijos lieka aprėžtoje srityje, - ar jos yra periodinės (uždaros), - ar jos nueina į begalybę ir tt Bendruoju atveju, taip suformuluotas uždavinys tam tikra prasme neišsprendžiamas Paprasčiausiais atvejais šį uždavinį galima išspręsti integruojant Skaitiniais metodais visada galima rasti DL sprendinį baigtiniame intervale Tačiau taip mes negalime gauti globalaus kokybinio vaizdo (fazinio portreto) Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Vienareikšmis atvaizdis l : M V, kurio apibrėžimo sritis sutampa su M dar vadinamas lauku Skaliarinis laukas Jeigu kiekviename aibės taške apibrėžtas skaliaras (pvz, temperatūros reikšmė), tuomet toje aibėje turėsime skaliarinį lauka Sakysime, kad aibėje M apibrėžtas glodus vektorinis laukas, jeigu kiekvienam aibės M taškui priskirtas vektorinės (tiesinės) erdvės R n elementas v Atskiru atveju, aibė M gali būti fazinė erdvė Fazinio greičio laukas Fazinio greičio vektoriai visuose fazinės erdvės taškuose apibrėžia fazinio greičio lauka Fazinio greičio laukas Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Apibrėžimas [Vektorinio lauko ypatingieji taškai] Aibės M taškas, kuriam priskiriamas nulinis vektorius, vadinamas vektorinio lauko ypatinguoju tašku Apibrėžimas [Ramybės taškas] Fazinės erdvės taškai, kuriuose vektorinis laukas yra ypatingas, vadinami fazinės erdvės ramybės taškais Ramybės taškus galima surasti sprendžiant vektorinę lygtį Dvimatėje fazinėje erdvėje, kai ji yra plokštumos dalis, vektorinis laukas dažniausiai braižomas atidedant vektorius (kryptines atkarpas) taškuose, kuriuose jis kokybiškai atspindi vektorinį lauka Tiesėje vektorinis laukas dažniausiai braižomas atidedant vektorius (kryptines atkarpas) vertikaliai, ty braižomas grafikas (x, v(x)), o pačios tiesės dalyse, kuriose vektorinis lauko funkcijos ženklas yra vienodas, atidedamos rodyklės, o ramybės taškai vaizduojami taškais v(x) = 0 arba lygčių sistema v 1 (x 1,, x n ) = 0, v n (x 1,, x n ) = 0 Vektorinis laukas plokštumoje Vektorinis laukas tieseje Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

9 Baziniai vektoriai žymimi: := [1, 0,, 0], x1 x 2 := [0, 1,, 0],, := [0, 0,, 1] xn Tada bet kokio vektoriaus išraiška koordinatėse (x 1,, x n ) yra v(x) = v 1 (x) x vn (x) x n Vienmatis vektorinis laukas Vienmatėje fazinėje erdvėje vektorinį lauka v(x) = v(x) x pilnai apibrėžia funkcija v : U R Jeigu šioje fazinėje erdvėje keisime koordinačių sistema y = g(x), tuomet bazinis vektorius taške y = g(x) bus y = g(x) = 1 g x Todėl bazinio vektoriaus žymuo / x automatizuoja koordinačių keitima Pavaizduokite vektorinius laukus tiesėje a) v = x x ; b) v = x2 x ; c) v = sin x x ; d) v = x(1 x) x Nubraižykite vektorinius laukus plokštumoje a) v = x x + y y ; b) v = x x + 2y y ; c) v = x + sin x y Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Vektorinis laukas v(x), x U apibrėžia autonominę vektorinę DL Autonominės lygtys tiesėje dx(t) Dažnai pilnaj a išvestinę pagal laika žymėsime: = v(x), x U (6) ẋ := dx(t) [Fazinė kreivė] Kreivė fazinėje erdvėje x = ϕ(s), s I R, vadinama vektorinio lauko v(x) fazine kreive, jeigu kiekviename jos taške fazinis greitis sutampa su vektorinio lauko vektoriumi tame taške Turint fazinį portreta, visada galima surasti fazinio greičio lauka Atvirkščias uždavinys nagrinėjamas PDL teorijoje: pagal vektorinį lauka reikia surasti jo fazines kreives Lygtys, kurių dešinioji pusė tiesiogiai nepriklauso nuo laiko t, ty ẋ = v(x), x S R, D = R S, (7) vadinamos autonominėmis DL Jų sprendinio kitimo greitis priklauso tik nuo paties sprendinio, ty tokių lygčių sprendinys pats valdo savo keitimasi Parodysime, kad autonomines lygtis galima suskirstyti į kokybiškai ekvivalenčias lygčių klases Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

10 Autonominių DL svarbi savybė Jeigu x = ϕ(t) yra DL su apibrėžimo sritimi I ẋ = v(x), x S R, D = R S, (t I), sprendinys, tai Išvada Tegul x = ϕ(t) yra DL ẋ = v(x) sprendinys, apibrėžtas t R ir ϕ(i) šio sprendinio reikšmių sritis Be to, tegu per kiekviena juostos D = R ϕ(i) taška eina tik viena DL ẋ = v(x) integralinė kreivė Tada bet kuria kita šios lygties integralinę kreivę, esančia juostoje D galima apibrėžti lygtimi x = ϕ(t + C), t R Taigi integralinės kreivės juostoje D gaunamos viena iš kitos poslinkiu t ašies kryptimi ψ(t) = ϕ(t + C) taip pat yra DL ẋ = v(x) sprendinys C R su ta pačia reikšmių sritimi ir apibrėžimo sritimi {t t + C I} Išplaukia iš ψ(t) = ϕ(t + C) = v(ϕ(t + C)) = v ( ψ(t) ) Integralinė kreivė ϕ(t) gaunasi iš integralinės kreivės ψ(t) poslinkiu t ašies teigiama kryptimi Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Pavyzdys Lygtis x = x 2 turi trivialų sprendinį x(t) = 0, t R ir netrivialius sprendinius x = 1 C t, kai t > C bei x = 1 C t kai t < C Pastaruosius sprendinius atitinkančios integralinės kreivės yra hiperbolės Integralinės kreivės dalina plokštuma R 2 į dvi pusplokštumes x > 0 ir x < 0 Pusplokštumėje x > 0 bet kuria integralinę kreivę galima gauti paslinkus viršutinę hiperbolės x = 1 t šaka t ašies kryptimi Analogiškai pusplokštumėje x < 0 bet kuria integralinę kreivę galima gauti paslinkus apatinę hiperbolės x = 1 t šaka t ašies kryptimi Integralinių kreivių šeimų, kurios gaunamos viena iš kitos poslinkiu t ašies kryptimi, kokybinį vaizda nusako kiekvienas atskyrasis sprendinys Kiekvieno tokio sprendinio kokybinį vaizda apibrėžia funkcija v Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

11 Jeigu kokiame nors taške x = c funkcija v(c) = 0, tai funkcija ϕ(t) c, t R yra DL ẋ = v(x) sprendinys Toks sprendinys vadinamas stacionariuoju sprendiniu, o taškas c vadinamas ramybės tašku Jeigu v(x) 0, ty v(x) > 0 arba v(x) < 0, tai kiekvienas DL sprendinys yra arba didėjanti, arba mažėjanti funkcija Tokias sprendinių savybes patogiau vaizduoti x ašyje negu (t; x) plokštumoje Pavyzdys Taškas x = 0 yra lygties ẋ = x ramybės taškas Kai x > 0, visi šios lygties sprendiniai yra didėjančios, o kai x < 0 mažėjančios funkcijos Integralinių kreivių kokybinis vaizdas ir x ašyje Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Pavyzdys ẋ = x Taškas x = 0 yra ramybės taškas Kai x > 0, visi šios lygties sprendiniai yra didėjančios, o kai x < 0 mažėjančios funkcijos v(x) Lygties ẋ = x 2 1 ramybės taškai x = ±1 Kai x > 1 arba x < 1, visi šios lygties sprendiniai yra didėjančios, o kai 1 < x < 1 mažėjančios funkcijos Integralinių kreivių kokybinis vaizdas plokštumoje (t; x) ir x ašyje Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Integralinės kreivės (t; x) plokštumoje ir kokybinis vaizdas x ašyje Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48

12 Fig 118 x= X, X = 0 is a fixed point Fig 119 x= X, X = 0 is a fixed point Fazinis portretas geometrinis sprendinių kokybinis vaizdas x ašyje, x ašis fazinė ašis, jos taškai faziniai taškai Jeigu sprendinys x = ϕ(t) nėra ramybės taškas, tai ϕ yra arba didėjanti, arba mažėjanti funkcija Todėl, jeigu ramybės taškų yra baigtinis skaičius, tai jį atitinkančių skirtingų fazinių portretų taip pat yra tik baigtinis skaičius Sakydami "skirtingi", turime omenyje, kad jie skiriasi sritimis, kuriose sprendiniai didėja arba mažėja Pavyzdžiui, lygties ẋ = x 2 fazinis portretas, skiriasi nuo fazinio portreto lygties ẋ = x Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Pavyzdžiai DL ẋ = x, ẋ = x 3 yra kokybiškai ekvivalenčios Jos turi viena ramybės taška repelerį DL ẋ = (x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 1 taip pat yra kokybiškai ekvivalenčios Jos turi po du ramybės taškus Vienas iš jų yra atraktorius, o kitas repeleris Be to, atraktorių atitinka mažesnioji reikšmė DL ẋ = (x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 1 nėra kokybiškai ekvivalenčios Jos turi po du pusiausvyros taškus: atraktorių ir repelerį Tačiau jie yra išsidėstę priešinga tvarka Akivaizdu, kad vieno ramybės taško atveju yra galimi tik keturi skirtingi faziniai portretai c c (a) c (e) Fig 120 The fourramybės possible phase taškasportraits a vadinamas associated atraktoriumi with a single, taškai fixed b ir c point šuntu, Theo fixed point is described taškas as an d attractor repeleriu in (a), a sbunt in (b) and (c) and a repellor in (d) portraits in Fig 120 išsidėsčiusių for some value ramybės ofc taškų For example, x= x, X= x 3, X= X - a, x= (x - a)3, X= sinh x, x= sinh(x - a) all correspond to Fig 120(d) for c = 0 or a Of course, two Olga Štikonienė different (FDMequations, MIF VU) each Geometrinės having DL s one fixed point, that correspond to the same phase portrait in Fig 120 have the same qualitative behaviour We say that two such differential equations are qualitatively equivalent Now observe that the argument leading to Fig 120 holds equally well if the fixed point at x = c is one of many in a phase portrait In other words, the qualitative behaviour of x in the neighbourhood of any fixed point must be one of those illustrated in Fig 120(a)-(d) We say that this behaviour determines the nature of the fixed point and use the terminology defined in the caption to Fig 120 to describe this This is an important step because it implies that the phase portrait of any autonomous equation is determined completely by the nature of its fixed keturis skirtingus ramybės taškus points We can make the following definition (b) c (d) Skirtingos diferencialinės lygtys yra kokybiškai ekvivalenčios, jeigu jos turi ta patį fazinį portreta, ty turi vienoda skaičių ta pačia tvarka avokos / 48 Diferencialinės lygtys gali turėti be galo daug ramybės taškų (pvz lygtis ẋ = sin x) Todėl skirtingų fazinių portretų taip pat gali būti be galo daug Tačiau, bet kuris fazinis portretas gali turėti ne daugiau kaip Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) Geometrinės DL savokos / 48