UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA MODELOVANIE ÚLOH Z PRAVDEPODOBNOSTI S VYUŽITÍM STROMOVÝCH DIAGRAMOV

Transcription

1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA MODELOVANIE ÚLOH Z PRAVDEPODOBNOSTI S VYUŽITÍM STROMOVÝCH DIAGRAMOV 2015 Bc. Tadeáš GAVALA

2 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA MODELOVANIE ÚLOH Z PRAVDEPODOBNOSTI S VYUŽITÍM STROMOVÝCH DIAGRAMOV DIPLOMOVÁ PRÁCA Študijný program: Pracovisko: Vedúci diplomovej práce: Matematika - psychológia Ústav matematických vied RNDr. Ingrid Semanišinová, PhD. Košice 2015 Bc. Tadeáš GAVALA

3 Abstrakt V prvej časti práce charakterizujeme rôzne vizualizácie, ktoré môžeme využiť pri modelovaní úloh z pravdepodobnosti a analyzujeme ich výskyt v piatich rôznych učebniciach matematiky pre stredné školy. Druhá časť práce sa venuje porovnaniu úspešnosti riešenia úloh využitím dvoch vizualizácií, a to stromového diagramu a tangramu. Výskum bol realizovaný na vzorke 53 študentov dvoch tried na Gymnáziu vo Vranove nad Topľou. Pre získavanie dát sme vytvorili pracovné listy. Jedna trieda riešila pracovné listy sledujúce porozumenie násobenia pravdepodobnosti s využitím stromového diagramu a druhá s využitím tangramu. Výskum ukázal, že študenti, ktorí pracovali s vizualizáciou pomocou stromového diagramu, dosiahli lepšie výsledky. Hlavný prínos práce spočíva v predstavení a porovnaní názorných prístupov k modelovaniu úloh z pravdepodobnosti aplikáciou dvoch vybraných vizualizácií. Kľúčové slová: pravdepodobnosť, vizualizácia, stromový diagram, tangram Abstract In the first part of thesis we characterize different visualizations, which we can use in modelling probability problems and we analyze their occurrence in five different textbooks of mathematics for high schools. The second part discusses the comparison of percentage of the correct solution of tasks using two visualizations such as tree diagram and tangram. The research was realized on a sample of 53 students of two classes on Grammar school in Vranov nad Topľou. We created worksheets for data acquisition. One class solved worksheets pursuing understanding of multiplication of probability using tree diagram, and the other using tangram. Research has shown that students who worked with visualization using tree diagram, achieved better results. The main contribution of the thesis consists in presentation and comparison of visual approaches to modelling probability problems applying two selected visualizations. Keywords: probability, visualization, tree diagram, tangram

4 Prehlásenie: Čestne prehlasujem, že som túto diplomovú prácu vypracoval samostatne pod odborným vedením RNDr. Ingridy Semanišinovej, PhD., vedúcej diplomovej práce, a s použitím uvedenej literatúry. Košice, apríl 2015

5 Poďakovanie: Moje poďakovanie patrí najmä vedúcej diplomovej práce RNDr. Ingride Semanišinovej, PhD. za pripomienky, odbornú pomoc pri vypracovaní a konštruktívne rozhovory. Osobitne ďakujem RNDr. Martine Hančovej PhD. za odborné konzultácie. Ďakujem vedeniu aj pedagógom Gymnázia vo Vranove nad Topľou a OÚ Nižný Tvarožec za pomoc pri výskume. Taktiež ďakujem svojej rodine a príbuzným za všestrannú pomoc a každodennú podporu.

6 Obsah Úvod Teoretické východiská Analýza rôznych reprezentácií Stromový diagram Tangram Stochastický graf Tabuľka Banka úloh Reprezentácie v učebniciach Predvýskum Výskum Pracovné listy Skúsenosti s pracovným listom stromový diagram Zhodnotenie riešení úloh Celkové zhodnotenie Skúsenosti s pracovným listom tangram Zhodnotenie riešení úloh Celkové zhodnotenie Porovnanie pracovných listov Záver Zoznam použitej literatúry Príloha A: Výskum - pracovný list stromový diagram Príloha B: Výskum - pracovný list tangram Príloha C: Tabuľka riešení úloh - pracovný list stromový diagram Príloha D: Tabuľka riešení úloh - pracovný list tangram Príloha E: Tabuľka relatívnej početnosti kategórií riešenia vzhľadom na konkrétnu úlohu pracovného listu stromový diagram Príloha F: Tabuľka relatívnej početnosti kategórií riešenia vzhľadom na konkrétnu úlohu pracovného listu tangram

7 Úvod Skutočnosť predstihne každú fantáziu, pretože fantázia predsa len musí počítať s nejakou pravdepodobnosťou. Mark Twain Pravdepodobnosť ako taká zastáva v matematike veľmi významné miesto, a to prioritne vďaka skutočnosti, že sa s ňou stretávame takmer dennodenne. Jej praktické uplatnenia nájdeme vo fyzikálnych, medicínskych, biologických či sociálnych vedách. Napriek tomu evidujeme u študentov veľa mylných predstáv (miskoncepcií) o pravdepodobnostných situáciách. V niektorých učebniciach (Calda, Dupač, 2003; Hecht, Kalas, 2001; Šedivý et al., 1986) sa pri sprístupňovaní pravdepodobnosti stretávame s modelovaním úloh využitím reprezentácií, resp. vizualizácií minimálne. Práve absencia takéhoto sprístupňovania môže byť u študentov na všetkých stupňoch vzdelávania príčinou viacerých problémov pri porozumení. Študenti často nerozumejú súvislostiam v rámci teórie pravdepodobnosti a úlohy neraz riešia bez logického uvažovania. Ako sme naznačili, modelovanie využitím vizualizácií má potenciál uvedené problémy študentov eliminovať. Môžeme sa s nimi stretnúť v učebniciach a publikáciách prevažne zahraničných autorov a tiež v najnovšej slovenskej stredoškolskej učebnici (Kubáček, 2010; Kubáček, 2013; Larson, Edwards, 1991; Płocki; 2007; Utts, Heckard, 2007). V tejto diplomovej práci vychádzame z bakalárskej práce s názvom Aplikácia stochastických stromových diagramov v podmienenej pravdepodobnosti. Prvá kapitola práce je zameraná na teoretické východiská. V podkapitole 1.1 charakterizujeme štyri vizualizácie: stromový diagram, tangram, stochastický graf a tabuľku. Pomocou každej vizualizácie vyriešime jednu modelovú úlohu. V podkapitole 1.2 uvádzame banku štyroch úloh, ktoré sú riešené viacerými z vyššie spomenutých vizualizácií. V podkapitole 1.3 analyzujeme výskyt vizualizácií vo vybraných slovenských a českých učebniciach. V podkapitole 1.4 pojednávame o predvýskume zameranom na miskoncepciu efekt časovej osi. Tá je v rozpore s princípom kauzality, ktorý tvrdí, že udalosti nemôžu pôsobiť spätne na svoje príčiny. 6

8 Cieľom predvýskumu bolo zistiť, či je pre študentov nápomocné, ak úlohy vedúce k tejto miskoncepcii budeme modelovať pomocou stromového diagramu, resp. tangramu. Druhá kapitola práce sa venuje výskumu. V podkapitole 2.1 bližšie popisujeme výskumný nástroj - pracovný list, pomocou ktorého chceme porovnať úspešnosť študentov pri riešení úloh z pravdepodobnosti modelovanými využitím dvoch reprezentácií, a to stromového diagramu a tangramu. Cieľom pracovných listov je, aby študent vedel v základných úlohách identifikovať nezávislé javy, určiť ich pravdepodobnosť a následne vypočítať pravdepodobnosť, že nastanú oba javy súčasne, násobením pravdepodobnosti. Stromový diagram a tangram nie sú univerzálne modely na porozumenie pravidla násobenia pravdepodobnosti, ale môžu byť nápomocné. Myslíme si totiž, že je v nich toto pravidlo ľahko nahliadnuteľné. V závere podkapitoly uvádzame základné informácie o výskume a jeho realizácii. V podkapitole 2.2 sa najprv zameriavame na pracovný list stromový diagram. Podrobne hodnotíme riešenie každej úlohy pracovného listu. V rámci hodnotenia jednotlivých úloh uvádzame aj niektoré oskenované riešenia študentov. Záver podkapitoly sa venuje komplexnému zhodnoteniu riešení úloh. V podkapitole 2.3 analyzujeme analogickým spôsobom pracovný list tangram. Celkové porovnanie pracovných listov uvádzame v podkapitole 2.4. V prílohách A a B prikladáme oba pracovné listy použité vo výskume. Prehľadné tabuľky riešení úloh oboch pracovných listov uvádzame podľa mien riešiteľov v prílohách C a D. Tabuľky relatívnej početnosti jednotlivých kategórií riešenia oboch pracovných listov uvádzame podľa úloh v prílohách E a F. 7

9 1 Teoretické východiská V minulosti, ale aj v súčasnosti odporúčajú matematici vo vyučovacom procese využívať pri riešení rôznorodých problémov náčrty, obrázky či diagramy. Vhodné a správne znázornenie výraznou mierou napomáha riešiteľovi predstaviť si a pochopiť kontext zadanej úlohy. V niektorých prípadoch sa práve vďaka obrázku či diagramu podarí aj daný problém vyriešiť. Ako príklad môžeme spomenúť Vennove diagramy, ktoré jednoducho a rýchlo umožňujú riešiť úlohy týkajúce sa množín. (Gavala, 2013) Presmeg hovorí o dvoch typoch študentov, a síce o vizualizéroch a nevizualizéroch. Vizualizéri sú jedinci, ktorí dávajú prednosť využívaniu vizuálnych metód pri matematických problémoch, ktoré môžu byť riešené vizuálnymi aj nevizuálnymi metódami. Nevizualizéri sú naopak jedinci, ktorí nepreferujú využívanie vizuálnych metód pri riešení takýchto problémov. (Presmeg, 1986) Presmeg uvádza päť druhov vizuálnej obrazotvornosti: 1. konkrétna, resp. ilustrovaná obrazotvornosť tvorená v mysli (napríklad predstava jednotkovej kružnice); 2. schematická obrazotvornosť zobrazujúca vzťahy objektov vo vizuálnopriestorovom systéme (napríklad postupnosť zobrazujúca správanie sa funkcie sínus v prvom až štvrtom kvadrante); 3. pamäťové predstavy vzorcov (napríklad videnie Pytagorovej vety); 4. kinetická obrazotvornosť zahrňujúca svalovú aktivitu (napríklad kreslenie grafu kvadratickej funkcie prstom pred seba); 5. dynamická obrazotvornosť (napríklad otáčanie stavby z kociek v mysli). (Presmeg, 1986) Do dvoch kategórií delí Presmeg aj učiteľov matematiky. Učitelia vizualizéri sú takí učitelia, ktorí pri vyučovaní využívajú vizuálne metódy vo veľkej miere. Prepájajú matematické učebné osnovy so žiackymi skúsenosťami, s inými školskými predmetmi, s doterajšími matematickými vedomosťami a v neposlednom rade aj s reálnym svetom. Učitelia vizualizéri využívajú pri vyučovaní veľa netradičných postupov obyčajne spojených s kreativitou. Taktiež sú pozitívni v svojich postojoch voči vizuálnym metódam. Učitelia nevizualizéri využívajú vizuálne metódy naopak v malej miere. Inklinujú skôr k prednáškovému štýlu vyučovania. (Presmeg, 1986) 8

10 Presmeg ďalej uvádza, že v procese vyučovania matematiky boli zistené výnimočnosti obrazotvornosti v týchto štyroch aspektoch: 1. obrazotvornosť všetkých druhov má mnemotechnické výhody; 2. konkrétna obrazotvornosť je účinná v striedaní s abstraktnými nevizuálnymi metódami ako sú: analýza, logika alebo nevizuálne použitie vzorcov; 3. dynamická obrazotvornosť je účinná; 4. obrazotvornosť, ktorá napomáha abstraktnej funkcii, je účinná. (Presmeg, 1986) Presmeg uvádza, že nevizuálny štýl vyučovania má negatívny účinok na učenie žiakov vizualizérov. Avšak aj vizuálny štýl vyučovania preukázal známky neefektívneho vplyvu na učenie sa vizualizérov. Bolo zistené, že pre vizualizérov je ideálny štýl vyučovania ten, ktorý obsahuje prvky vizuálneho aj nevizuálneho štýlu. Presmeg tvrdí, že učitelia vyučujúci týmto kombinovaným štýlom často využívajú vizuálne metódy, ale zdôrazňujú pritom abstrakciu a zovšeobecnenie učených pojmov. (Presmeg, 1986) V kontexte vyššie uvedených zistení vyvodzujeme záver, že môže byť pre značnú skupinu slovenských žiakov a študentov veľmi prínosné viesť učiteľov matematiky k osvojeniu si prvkov vizuálneho štýlu vyučovania. V opačnom prípade sú handicapovaní najmä žiaci vizualizéri. 1.1 Analýza rôznych reprezentácií V tejto podkapitole sa budeme zaoberať štyrmi reprezentáciami: stromovým diagramom, tangramom, stochastickým grafom a tabuľkou. Využitím každej z nich vyriešime jednu úlohu. Nie všetky spomenuté vizualizácie sú však vhodné na riešenie každej úlohy. Pri charakteristike stromového diagramu vychádzame z bakalárskej práce. Stromový diagram je vhodný pri riešení úloh, v ktorých jav prebieha v dvoch či viacerých etapách, pričom konkrétna etapa závisí väčšinou od predchádzajúcej etapy. Tangram je výhodné využiť pri riešení úloh, v ktorých jav prebieha v nanajvýš dvoch etapách. Stochastický graf využívame najmä pri riešení úloh, ktoré vieme znázorniť pomocou vhodného grafu. Napríklad, ak je medzi prvkami binárna relácia alebo znázorňujeme prechod z jedného stavu do iného. Slúži zvyčajne na určenie počtu všetkých, resp. priaznivých možností. Tabuľka napomáha k prehľadnej analýze úlohy. 9

11 1.1.1 Stromový diagram Silným nástrojom, slúžiacim na vyriešenie jednoduchých, ale aj zložitejších problémov z pravdepodobnosti, je stromový diagram. Výhodami tejto metódy sú: jednoduchá konštrukcia a dobrá názornosť. Stromový diagram je schematická reprezentácia sledu javov a ich pravdepodobností zahrňujúca podmienené pravdepodobnosti javov na základe predošlých javov. (Gavala, 2013) Nasledujúcu úlohu vyriešime pomocou stromového diagramu. Majme urnu s troma bielymi a dvoma čiernymi guľôčkami. Aká je pravdepodobnosť, že po dvojnásobnom losovaní vylosujeme dve biele guľôčky, ak sa guľôčka po vytiahnutí do urny nevracia? (podľa: Płocki, 2007) Skúmaným javom je dvojnásobné losovanie guľôčky. Načrtnime v stromovom diagrame jeho prvé delenie, teda prvé losovanie guľôčky. Vidíme, že pri prvom delení máme len dve možnosti: buď vylosujeme čiernu guľôčku, alebo nie. Označme si X ako jav, že vylosujeme čiernu guľôčku v prvom ťahu. Keďže máme dve čierne guľôčky a päť všetkých, tak pravdepodobnosť, že v prvom ťahu vylosujeme čiernu guľôčku je P(X) = 2/5. Pravdepodobnosť, že v prvom ťahu vylosujeme bielu guľôčku, resp. nevylosujeme čiernu je P(X C ) = 3/5, pretože máme tri biele guľôčky a päť všetkých. Ak stromový diagram reprezentuje všetky prípady danej situácie, ktoré môžu nastať, tak súčet pravdepodobností všetkých prípadov sa rovná 1. (Larson, Edwards, 1991) V našom prípade to platí, pretože P(X) + P(X C ) = 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1. 10

12 Pokračujme načrtnutím druhého delenia stromu, v ktorom sa pýtame, či bola vylosovaná čierna guľôčka aj v druhom ťahu. Opäť môžu nastať len dva prípady: buď vylosujeme čiernu guľôčku, alebo bielu. Označme si Y ako jav, že vylosujeme čiernu guľôčku v druhom ťahu (jav Y C označuje vylosovanie bielej guľôčky v druhom ťahu). V druhom ťahu vylosujeme čiernu, resp. bielu guľôčku už za podmienky, že sme čiernu, resp. bielu guľôčku vylosovali v prvom ťahu. Pri druhom delení doplníme pravdepodobnosti javov. P(Y/X) sa rovná 1/4, pretože počet všetkých možností je 4 (v prvom ťahu bola vylosovaná čierna guľôčka) a počet priaznivých možností je 1. Analogicky dostávame, že P(Y C /X) = 3/4, P(Y/X C ) = 2/4 = 1/2 a P(Y C /X C ) = 2/4 = 1/2. Prvá vetva predstavuje jav, ktorý je chronologickou postupnosťou javov, a síce, že bola vylosovaná čierna guľôčka v prvom a následne aj v druhom ťahu. Druhá vetva predstavuje jav, že bola vylosovaná čierna guľôčka v prvom ťahu a biela guľôčka v druhom ťahu. Tretia a štvrtá vetva sa interpretujú analogicky. Pripomíname, že ak stromový diagram reprezentuje všetky prípady danej situácie, ktoré môžu nastať, tak súčet pravdepodobností všetkých prípadov sa rovná 1. (Larson, Edwards, 1991) Pri druhom delení to taktiež platí, pretože P(Y/X) + P(Y C /X) = 1/4 + 3/4 = 1, resp. P(Y/X C ) + P(Y C /X C ) = 1/2 + 1/2 = 1. Stromový diagram nezobrazuje len všetky možnosti, ale aj pravdepodobnosti jednotlivých vetiev. Pravdepodobnosť nastania každej vetvy je daná súčinom pravdepodobností javov na danej vetve, pretože javy na danej vetve nastávajú súčasne. (Płocki, 2007) Pravdepodobnosť prvej vetvy je P(X) P(Y/X) = 2/5 1/4 = 1/10. Analogicky je P(2. vetvy) = P(X) P(Y C /X) = 2/5 3/4 = 3/10, P(3. vetvy) = 3/10 a P(4. vetvy) = 3/10. Súčet pravdepodobností všetkých vetiev sa rovná 1. 11

13 Stromový diagram môže slúžiť na: konštrukciu množiny výsledkov náhodného pokusu realizovaného po etapách, určenie rozdelenia pravdepodobnosti na tejto množine, určenie pravdepodobnostného priestoru. (Płocki, 2007) Teraz odpovedzme na otázku kladenú v zadaní. Tá sa pýta na jav, že sme v oboch ťahoch vylosovali bielu guľôčku. V strome nikde nefiguruje pravdepodobnosť tohto javu, takže ju nevieme odčítať priamo z diagramu. Vieme ju však vypočítať. Stačí nájsť vetvu, resp. vetvy, ktoré predstavujú postupnosť javov, že boli v oboch ťahoch vylosované biele guľôčky. Tejto podmienke vyhovuje len štvrtá vetva. Dostávame: P(4. vetva) = P(X C ) P(Y C /X C ) = 3/5 1/2 = 3/10. (Gavala, 2013) Pravdepodobnosť, že vylosujeme obe biele guľôčky je rovná 3/ Tangram Tangram predstavuje geometrický model pravdepodobnosti. Môže ním byť akýkoľvek geometrický útvar, ktorého obsah zadefinujeme ako jednotkový, najčastejšie štvorec, obdĺžnik, trojuholník či kruh. V tejto práci používame podobu obdĺžnika alebo štvorca, ktorý delíme na časti. Obsah určitej časti tangramu sa rovná pravdepodobnosti nastania daného javu. Napríklad, pravdepodobnosť, že vyberieme náhodne jedno zo štyroch ročných období je 1/4, čo môžeme v tangrame znázorniť rôzne (pozri obrázok). alebo Nasledujúcu úlohu vyriešime pomocou tangramu. Anton a Boris hrajú hru s mincou, pri ktorej ňou hádžu dvakrát. Ak pri oboch hodoch padne líce, tak víťazí Boris. Ak padne aspoň raz rub, tak víťazí Anton. Majú obidvaja rovnakú šancu vyhrať? (podľa: Płocki, 2007) 12

14 1/2 1/2 R L rub líce Pri prvom hode rozdelíme tangram na polovicu (pozri obrázok vľavo), lebo pravdepodobnosť, že padne rub je rovnaká ako pravdepodobnosť, že padne líce. Výsledky prvého hodu sú zaznačené pod tangramom. Nad ním sú zaznačené pravdepodobnosti ich nastania. 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Pri druhom hode rozdelíme tangram horizontálnou čiarou na polovicu z rovnakého dôvodu. Výsledky druhého hodu zaznačíme k ľavému okraju tangramu a pravdepodobnosti ich nastania k pravému okraju. 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Boris víťazí, ak pri oboch hodoch mincou padne líce. V tangrame tento jav predstavuje vyfarbený pravý horný štvorček LL. Pripomeňme, že pravdepodobnosť javu je rovná obsahu príslušnej časti tangramu. Pravdepodobnosť, že Boris zvíťazí sa teda rovná obsahu štvorčeka LL. Dostávame, že P(B) = 1/2 1/2 = 1/4. 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Anton víťazí, ak padne rub pri aspoň jednom hode. V tangrame tento jav predstavujú všetky ostatné vyfarbené štvorčeky. Šanca, že Anton zvíťazí sa rovná súčtu obsahov štvorčekov RR, RL a LR. Dostávame, že P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Keďže 3/4 >1/4, tak väčšiu šancu vyhrať hru s mincou má jednoznačne Anton. Úlohu by sme mohli vyriešiť aj pomocou stromového diagramu. V prípade dvoch etáp sa nám zdajú stromový diagram a tangram rovnocenné vizualizácie. 13

15 1.1.3 Stochastický graf Stochastický graf predstavuje ďalší model slúžiaci na modelovanie úloh z pravdepodobnosti. Jeho podstata spočíva vo vhodnom načrtnutí si situácie v zadaní úlohy. Dopracovanie sa k výsledku už následne nie je náročné. Ukážme si využitie tejto reprezentácie na modelovej úlohe. Máme v urne tri biele a jednu čiernu guľôčku. Chceme z nej vytiahnuť naraz dve guľôčky. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme guľôčky rôznych farieb? Kľúčovým krokom pri modelovaní úloh pomocou tejto vizualizácie je načrtnutie si vhodného grafu. Máme štyri guľôčky, medzi ktorými je jedna čierna a tri biele. Načrtnime teda štyri guľôčky, pričom čiernu guľôčku zreteľne farebne odlíšime (pozri obrázok vľavo). Úloha sa nás pýta na pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch guľôčok rôznych farieb, teda na vytiahnutie jednej bielej a jednej čiernej guľôčky. V akom poradí ich vytiahneme, nie je teraz podstatné. Pospájaním znázorníme v grafe všetky možné dvojice vytiahnutých guľôčok. Hľadáme čiary, ktoré spájajú bielu a čiernu guľôčku. Takéto čiary sú tri. Všetkých čiar je šesť. Pravdepodobnosť, že vytiahneme dve guľôčky rôznych farieb je 3/6 = 1/2. 14

16 1.1.4 Tabuľka Ďalším modelom slúžiacim na riešenie úloh z pravdepodobnosti je tabuľka. Ukážeme si riešenie pomocou nej na konkrétnej úlohe. Piati chlapci: Adam, Boris, Cyril, Dávid a Emil našli euro. Rozhodli sa oňho hrať, tzn. vylosovať medzi sebou jej nastávajúceho majiteľa. Adam navrhol: Hádžme tou mincou tak dlho, až padne rub, ale nie viac než päťkrát. Najprv hodím ja, potom Boris, potom Cyril, Dávid a nakoniec Emil. Majiteľom mince sa stane ten, kto prvý hodí rub. Ak nikomu rub nepadne, tak ju hodíme do pokladničky. Mali by ostatní chlapci prijať túto ponuku? Prečo? (podľa: Płocki, 2007) Otázka v závere zadania sa týka toho, či dá popísané losovanie každému rovnakú šancu na výhru. Losovanie prebieha po etapách. Nech písmeno L označuje výsledok padne líce a písmeno R výsledok padne rub. Znázorníme priebeh losovania nasledujúcou tabuľkou. (Płocki, 2007) hod R LR LLR LLLR LLLLR LLLLL pravdepodobnosť 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32 Pravdepodobnosti jednotlivých výsledkov môžeme vypočítať, aj keď nepoznáme pravidlo násobenia. Zoberme napríklad výsledok LLR. Je to jeden z ôsmych rovnako pravdepodobných výsledkov trojnásobného hodu mincou, takže P(LLR) = 1/8. Presne taký istý výsledok by sme dostali aj využitím pravidla násobenia. (Płocki, 2007) Výsledky losovania nie sú rovnako pravdepodobné. Najpravdepodobnejší je výsledok R. Keby sa ním losovanie skončilo, tak by sa majiteľom eura stal Adam. Emil by získal euro, keby losovanie skončilo výsledkom LLLLR. Šanca Emila je teda 16-krát menšia než šanca Adama. (Płocki, 2007) Ostatní chlapci by teda na Adamov návrh nemali pristúpiť. 15

17 1.2 Banka úloh V tejto podkapitole uvádzame úlohy vyriešené využitím rôznych vizualizácií. Nie každú úlohu sme modelovali pomocou každej vizualizácie. Na záver riešenia každej úlohy uvádzame, ktorá reprezentácia je podľa nás najvhodnejšia. Ide však len o náš odhad, ktorý nemáme ničím podložený. Úloha 4 je prevzatá z bakalárskej práce. ÚLOHA 1 Skupina 6 turistov sa vracia zo zahraničia. Medzi turistami sú dvaja pašeráci. Na hranici vybral colník náhodne dvoch turistov na prehliadku. Aká je pravdepodobnosť, že sú obaja vybraní turisti pašeráci? (podľa: Płocki, 2007) Tabuľka Situáciu si zaznamenáme prehľadne do tabuľky. Colník vybral na prehliadku dvojicu zo šiestich turistov. Do riadkov zapíšeme, koho vybral ako prvého a do stĺpcov koho ako druhého. Tabuľka potom znázorňuje jednotlivé dvojice vybraných turistov. Adam Boris Cyril Daniel Emil Filip Adam AA AB AC AD AE AF Boris BA BB BC BD BE BF Cyril CA CB CC CD CE CF Daniel DA DB DC DD DE DF Emil EA EB EC ED EE EF Filip FA FB FC FD FE FF Tabuľka pozostáva z 36 buniek, pričom 6 tmavšie vyfarbených buniek na diagonále vylúčime, pretože colník nemôže vybrať toho istého turistu dvakrát. Ostane nám 30 políčok. Ďalej si môžeme všimnúť, že či vyberieme Adama a až potom Borisa, alebo Borisa a až potom Adama, vyberieme vždy tú istú dvojicu turistov. 16

18 Keďže oba výbery predstavujú tú istú dvojicu, môžeme jednu z týchto dvoch možností vylúčiť (svetlejšie zafarbené bunky). Takýmto spôsobom vylúčime polovicu z 30 buniek. Ostane nám 15 buniek, ktoré predstavujú pätnásť rôznych dvojíc zo skupiny šiestich turistov. Vieme, že dvaja z nich sú pašeráci. Preto medzi 15 dvojicami je presne jedna dvojica pašerákov. Pravdepodobnosť vybratia takejto dvojice colníkom je 1/15. Stromový diagram Riešenie využitím stromového diagramu je ekvivalentné s riešením využitím tabuľky. Prvé vetvenie predstavuje skutočnosť, že colník vyberá jedného zo šiestich turistov. Druhé vetvenie predstavuje skutočnosť, že k vybratému turistovi určuje colník dvojicu (pozri obrázok vpravo). Ak si colník vybral Adama, môže k nemu vybrať Borisa, Cyrila, Daniela, Emila alebo Filipa. Vznikne nám teda päť dvojíc: Adam Boris, Adam Cyril, Adam Daniel, Adam Emil a Adam Filip. Ak si vyberie ako prvého Borisa, tak Adama si už nemôže vybrať, pretože takúto dvojicu sme už uvažovali. Avšak môže k nemu vybrať niekoho zo štvorice Cyril, Daniel, Emil a Filip. Analogicky postupujeme aj pri výbere Cyrila, Daniela a Emila. Všetkých možných dvojíc je 15. Vieme, že dvaja zo šiestich turistov sú pašeráci. Predpokladajme, že sú to Adam a Boris. Títo tvoria práve jednu zo všetkých dvojíc. Pravdepodobnosť toho, že vyberieme zo skupiny šiestich turistov dvojicu, v ktorej sú obaja pašeráci, je teda 1/15. 17

19 Tangram Riešenie využitím tangramu nie je najvhodnejšie, lebo sa veľmi podobá na riešenie pomocou tabuľky. Tangram taktiež zaznačuje všetky možné rôzne dvojice turistov, ktoré môže colník na prehliadku vybrať. Zaujíma nás dvojica pašerákov, ktorá je vzhľadom na zoznam všetkých dvojíc len jedna. Nech je ňou napríklad dvojica Adam - Filip. Pravdepodobnosť vybratia tejto dvojice je obsah políčka AF. Ten je rovný 1. Pravdepodobnosť vybratia práve tejto dvojice spomedzi všetkých možných dvojíc je pomer obsahu políčka AF ku obsahu celého tangramu. Obsah celého tangramu je 15 (počet všetkých rôznych dvojíc). Stochastický graf Úlohu vyriešime aj pomocou stochastického grafu. Ako sme uviedli, kľúčovým krokom je načrtnutie si vhodného obrázka, resp. grafu. Máme skupinu šiestich turistov, medzi ktorými sú dvaja pašeráci. Načrtnime turistov ako body, pričom čierne body predstavujú pašerákov (pozri obrázok). Ďalej sa v zadaní dozvedáme, že colník náhodne vybral dvoch turistov na prehliadku. Slovo náhodne nás upozorňuje, že mohol vybrať na prehliadku ktorúkoľvek dvojicu spomedzi skupiny šiestich turistov. Do náčrtu preto musíme znázorniť všetky možné dvojice turistov. Zo zadania vieme, že obidvaja turisti, ktorých colník vybral na prehliadku, boli pašeráci. Tejto skutočnosti zodpovedá v grafe jediná čiara spájajúca dva čierne body (pozri obrázok). Ak spočítame všetky čiary v grafe (všetky dvojice turistov), zistíme, že ich je 15. Pravdepodobnosť, že obidvaja vybraní turisti sú pašeráci je rovná 1/15. Riešenie úlohy využitím stochastického grafu môžeme so žiakmi aj reálne modelovať. Z urny s dvoma čiernymi (pašeráci) a štyrmi bielymi (ostatní turisti) 18

20 guľôčkami budeme bez vracania vyťahovať dve guľôčky. Zrealizujeme veľký počet takýchto dvojvýberov, pričom si budeme zapisovať počet dvojvýberov, pri ktorých budú obe guľôčky čierne. Výsledná pravdepodobnosť je potom rovná pomeru počtu takýchto dvojvýberov ku počtu všetkých realizovaných dvojvýberov. Pri riešení úloh z pravdepodobnosti by mal učiteľ a následne žiak zvážiť, ako úlohu modelovať a z prípadných viacerých možností vybrať tú, ktorá je najzrozumiteľnejšia, resp. najlepšie popisuje situáciu v úlohe. Myslíme si, že najvhodnejšími vizualizáciami na modelovanie vyššie uvedenej úlohy o pašerákoch sú tabuľka a stochastický graf. ÚLOHA 2 Anton a Boris hrajú hru s mincou, pri ktorej sa hod mincou opakuje tak dlho, kým výsledky posledných troch hodov nevytvoria výsledok rub, líce, líce (víťazí Anton) alebo líce, líce, rub (víťazí Boris). Majú obidvaja rovnakú šancu vyhrať?(podľa: Płocki, 2007) Necháme žiakov nejaký čas hrať túto hru a sledujeme, či si všimnú na nej niečo zvláštne. Ak nie, vhodné by bolo realizovanie počítačovej simulácie danej hry, ktorá poukáže na zaujímavý fakt: Anton víťazí približne trikrát častejšie ako Boris. Stochastický graf Vyriešime túto úlohu využitím stochastického grafu. Zostrojíme ho tak, ako hra s mincou prebieha. Pripomeňme si, že po padnutí kombinácie rub, líce, líce (RLL) víťazí Anton a po padnutí kombinácie líce, líce, rub (LLR) víťazí Boris. Hra teda môže teoreticky skončiť už po troch hodoch mincou. Konštrukciu stochastického grafu preto prevedieme na tri etapy (tri hody mincou). Začiatok hry symbolizuje políčko Štart. Pri prvom hode mincou môže padnúť buď rub, alebo líce. 19

21 Pri druhom hode mincou si najprv všimnime situáciu, keď padne líce. Po padnutí dvoch líc (políčko LL) nastala nasledujúca situácia: Anton už nemôže vyhrať (jeho výherná kombinácia je RLL), keďže sme predpokladali, že hra skončí po troch hodoch mincou. Teda hra skončí skôr či neskôr kombináciou LLR a zvíťazí Boris. Pozrime sa, ako vyzerá graf, ak pri druhom hode mincou padne rub. Môžeme si všimnúť pri políčku R, že Boris už nemá šancu vyhrať, lebo jeho výherná kombinácia je LLR. Vznikla teda podobná situácia, ako pri políčku LL, ale víťazom bude skôr či neskôr Anton. Doplníme stochastický graf uvažovaním prípadu, že pri treťom hode padne líce (obrázok nižšie vľavo) a skompletizujeme ho prípadom, že pri treťom hode padne rub. Stav hry s mincou symbolizuje políčko LL, keď dvakrát za sebou padne líce. Stane sa to s pravdepodobnosťou 1/4, lebo s pravdepodobnosťou 1/2 padne pri prvom aj pri druhom hode líce. Keďže dané javy nastávajú súčasne, tak pravdepodobnosti medzi sebou vynásobíme. Zlomok 1/4 predstavuje pravdepodobnosť, že zvíťazí Boris. 20

22 Zaujímavým je políčko R, keď padne buď rub, alebo najskôr líce, a potom rub. Pravdepodobnosť, že sa dostaneme k uzlu R je zároveň pravdepodobnosť Antonovho víťazstva. Tá sa využitím pravidiel súčtu a súčinu rovná 1/2 (padne rub) + 1/4 (padne pri prvom hode líce a zároveň pri druhom hode rub) = 3/4. Väčšiu šancu vyhrať hru s mincou má Anton. (Płocki, 2007) Stromový diagram Danú úlohu môžeme vyriešiť aj pomocou stromového diagramu. Pripomeňme označenie: R je jav, že padne rub; L je jav, že padne líce; B je jav, že zvíťazí Boris; A je jav, že zvíťazí Anton. Na základe riešenia využitím stochastického grafu skonštruujeme stromový diagram po dvoch etapách (prvé vetvenie predstavuje prvý hod mincou a druhé vetvenie druhý hod). Pravdepodobnosť, že padne pri prvom hode rub je rovnaká ako pravdepodobnosť, že padne líce, teda P(R) = P(L) = 0,5. Analogicky pri druhom hode. Vieme, že Boris víťazí vtedy, ak padne pri oboch hodoch líce. Túto skutočnosť predstavuje štvrtá vetva stromového diagramu. Pravdepodobnosť, že zvíťazí Boris je rovná: P(B) = P(L) P(L) = 0,5 0,5 = 0,25 = 1/4. Anton víťazí vtedy, keď padne buď rub (a potom čokoľvek), alebo najskôr líce, a potom rub. Pravdepodobnosť, že padne rub a následne líce alebo rub sú prvé dve vetvy, teda 0,5 0,5 (prvá vetva) + 0,5 0,5 (druhá vetva) = 0,5. Skutočnosť, že padne pri prvom hode líce a pri druhom hode rub, predstavuje tretia vetva. Pravdepodobnosť tretej vetvy je 0,5 0,5 = 0,25. Javy sú nezlučiteľné, preto je pravdepodobnosť Antonovho víťazstva rovná: P(A) = 0,5 + 0,25 = 0,75 = 3/4. Väčšiu šancu vyhrať má jednoznačne Anton. 21

23 Tangram Podobnou úvahou ako v predchádzajúcich riešeniach prídeme k tomu, že stačí uvažovať len dva hody mincou. Úlohu je preto možné riešiť aj pomocou tangramu. Dôvodom je počet etáp náhodného pokusu (hádžeme dvakrát mincou). 1/2 1/2 R L rub líce Pri prvom hode rozdelíme tangram na polovicu, lebo pravdepodobnosť, že padne rub je rovnaká ako pravdepodobnosť, že padne líce. Výsledky prvého hodu zaznačíme pod tangram a pravdepodobnosti ich nastania zaznačíme nad neho. 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Pri druhom hode rozdelíme tangram z rovnakého dôvodu na polovicu. Možné výsledky druhého hodu zaznačíme k ľavému okraju tangramu a pravdepodobnosti ich nastania k pravému okraju (pozri obrázok vpravo). 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Boris víťazí, ak pri oboch hodoch mincou padne líce. V tangrame tento jav predstavuje pravý horný vyfarbený štvorček. Pravdepodobnosť toho, že Boris zvíťazí sa rovná obsahu štvorčeka LL, teda P(B) = 1/2 1/2 = 1/4. 1/2 1/2 rub RR LL 1/2 líce RL LR 1/2 rub líce Anton víťazí, ak pri aspoň jednom hode padne rub. V tangrame tento jav predstavujú všetky ostatné vyfarbené štvorčeky. Pravdepodobnosť toho, že Anton zvíťazí sa rovná súčtu obsahov štvorčekov RR, RL a LR, teda P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Väčšiu šancu vyhrať hru s mincou má jednoznačne Anton. Myslíme si, že najvhodnejšou vizualizáciou na modelovanie tejto úlohy je stochastický graf. Modelovanie stromovým diagramom a tangramom považujeme za rovnocenné, avšak oproti stochastickému grafu menej názorné. 22

24 ÚLOHA 3 Jana je tenistka. Má dva druhy podaní - tvrdé a mäkké. Loptička pri jej tvrdom podaní dopadne do ihriska na 50% a pri mäkkom podaní na 75%. Ak sa jej vydarí tvrdé podanie, tak na 75% získa body. Ak sa jej vydarí mäkké podanie, tak získa body na 50%. Ak v zápase pokazí prvé podanie, môže podávať druhýkrát bez bodovej straty. Ak pokazí aj druhé podanie, nezíska body. S akou pravdepodobnosťou získa body, ak bude prvé podanie tvrdé a v prípade pokazenia aj druhé? Stromový diagram Načrtneme situáciu v úlohe pomocou stromového diagramu. Konštruujeme ho podľa časovej chronológie. Najprv sa pýtame či po tvrdom podaní spadne loptička do ihriska. Ak áno, tak sa následne pýtame či tenistka po tvrdom podaní získa body (pozri obrázok). Ak loptička nepadne do ihriska, tak má tenistka šancu podať ešte raz. Máme určiť pravdepodobnosť toho, že tenistka Jana získa body, ak bude prvé podanie tvrdé a v prípade pokazenia aj druhé. Situáciu, že získa tenistka po prvom tvrdom podaní body, reprezentuje prvá vetva stromového diagramu. Situáciu, že získa body po opakovanom tvrdom podaní, reprezentuje tretia vetva. 23

25 Prvá a tretia vetva predstavujú nezlučiteľné javy, teda pravdepodobnosti jednotlivých vetiev medzi sebou sčítame. Pri počítaní pravdepodobnosti konkrétnej vetvy využijeme pravidlo súčinu, keďže javy na vetve nastávajú súčasne. Dostávame: P(1. vetva) + P(3. vetva) = (0,5 0,75) + (0,5 0,5 0,75) = 0, ,1875 = 0,5625. Tenistka Jana získa body s pravdepodobnosťou 56,25%. Tangram Úlohu vyriešime jednoducho aj pomocou tangramu. 1/2 1/2 To, či loptička pri prvom tvrdom podaní spadne do ihriska alebo nie, predstavuje vertikálne delenie tangramu. Pravdepodobnosť toho, že loptička spadne do ihriska, resp. nespadne, poznáme zo zadania, je rovná 1/2. OUT IN 1/4 1/4 1/2 OUT IN IN Musíme však počítať s tým, že tenistka môže prvé podanie pokaziť. Potom má k dispozícii druhé podanie. Rozdelíme preto stĺpec OUT opäť vertikálne na polovicu, lebo pravdepodobnosť toho, že loptička po tvrdom podaní spadne do ihriska je rovnaká ako pravdepodobnosť, že do ihriska nespadne. V oboch prípadoch (loptička spadne do ihriska pri prvom tvrdom podaní; loptička spadne do ihriska po opakovanom tvrdom podaní) rozdelíme tangram horizontálne. Toto delenie predstavuje situáciu, že tenistka získa, resp. nezíska body. Pravdepodobnosti zisku bodov po tvrdom podaní sú známe zo zadania, a tak je tangram kompletný (pozri obrázok nižšie). 24

26 1/4 1/4 1/2 nezíska body 1/4 získa body 3/4 OUT IN IN Zaujíma nás, akú šancu má tenistka získať body, ak jej obe podania budú tvrdé. Všímame si teda tie časti tangramu, kde spadne loptička do ihriska (nutný predpoklad, aby vôbec mohla získať body) a zároveň tie časti, kde získa body. Výsledný prienik týchto hľadaných častí je vyfarbený v tangrame nižšie. 1/4 1/4 1/2 nezíska body 1/4 získa body 3/4 OUT IN IN Obsah vyfarbenej časti predstavuje pravdepodobnosť toho, že Jana získa body pri oboch tvrdých podaniach. Teda P = 3/4 (1/4 + 1/2) = 3/4 3/4 = 9/16 = 0,5625 = 56,25%. Myslíme si, že riešenie pomocou tangramu je vhodnejšie, lebo je názornejšie oproti riešeniu pomocou stromového diagramu. 25

27 ÚLOHA 4 Zo seriálu Numb3rs sa na začiatku piatej epizódy prvej série dozvedáme, že 56% detí prežije únos. Z informácií zo seriálu odhadujeme, že je 95% šanca prežitia dieťaťa, ak požiadame o pomoc FBI. FBI má potrebný personál aj vybavenie na hľadanie detí. Odhadujeme, že je dvojnásobne vyššia šanca prežitia dieťaťa, ak požiadame o pomoc FBI oproti šanci prežitia dieťaťa, ak o pomoc nepožiadame. Aká je pravdepodobnosť, že rodičia pri únose dieťaťa požiadajú o pomoc FBI?(podľa: Rhee, 2010) Túto úlohu vyriešime len využitím stromového diagramu. Označme si H ako jav, že rodičia požiadajú o pomoc; A ako jav, že dieťa prežije. Ako plynie dej v zadaní, tak si kladieme otázky, ktoré vetvia diagram. Primárne sa pýtame: Požiadajú rodičia o pomoc? a sekundárne sa pýtame: Prežije dieťa?. Pravdepodobnosť javu H nepoznáme, označme ho x. Pravdepodobnosť javu H C sa rovná (1-x). V zadaní nachádzame, že P(A/H) = 0,95, čo je dvojnásobok P(A/H C ). Potom P(A/H C ) = 0,475. Doplníme, že P(A C /H) = 0,05, P(A C /H C ) = 0,525. Otázka v zadaní sa pýta na pravdepodobnosť javu H. Vieme, že 56% detí prežije únos, teda P(A) = 0,56. V stromovom diagrame zodpovedá tomuto javu prvá a tretia vetva buď rodičia požiadajú o pomoc a dieťa prežije, alebo rodičia nepožiadajú o pomoc a dieťa prežije. Dostávame rovnicu: P(A) = P(1. vetva) + P(3. vetva) = P(H) P(A/H) + P(H C ) P(A/H C ) = 0,95x + (1-x)0,475 = 0,475x + 0,475 = 0,56. Z tejto rovnice dostávame, že P(H) = x 0, %. Vidíme, že iba 18% rodičov požiada pri únose dieťaťa o pomoc FBI. Teda 82% rodičov unesených detí o pomoc nepožiada. 26

28 1.3 Reprezentácie v učebniciach V tejto podkapitole analyzujeme výskyt rôznych vizualizácií pri riešení úloh z pravdepodobnosti vo vybraných učebniciach pre študentov gymnázií a stredných odborných škôl. KUBÁČEK, Z Matematika pre druhý ročník gymnázia druhá časť. Na strane 54 evidujeme tabuľku zaznamenajúcu simuláciu náhodného pokusu. Na stranách sa nachádza úloha riešená pomocou schémy pripomínajúcej stromový diagram, pričom pravdepodobnosť javov nastávajúcich súčasne predstavuje časť pokusov z ich celkového počtu. Na strane 64 nájdeme úlohu riešenú podobnou schémou. Táto schéma môže slúžiť ako propedeutika k stromovému diagramu (pozri obrázok). Na stranách 58 a 64 nájdeme výpis možností do obrázka v tvare kruhu, ktorý môže slúžiť ako propedeutika k tangramu. 27

29 Na stranách 70 až 73 evidujeme riešenia úloh využitím schém podobných stromovému diagramu aj využitím tangramu v tvare štvorca (pozri obrázky). Na strane 82 sa nachádza tangram v tvare obdĺžnika. Vo výsledkoch od strany 84 nájdeme riešenia obsahujúce tangram aj schému podobnú stromovému diagramu. KUBÁČEK, Z Matematika pre 4. ročník gymnázia a 8. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Na stranách 10 až 13 nájdeme úlohu zameranú na násobenie pravdepodobnosti, ktorá je vyriešená využitím podobnej schémy ako v predošlej učebnici. Na stranách 17 a 18 evidujeme vizualizáciu podobnú tangramu (pozri obrázok). Na strane 26 evidujeme tabuľku. Na strane 59 evidujeme stromový diagram (pozri obrázok). 28

30 HECHT, T. KALAS, J Matematika pre 4. ročník gymnázií a stredných odborných škôl, 3. zošit Pravdepodobnosť a štatistika. Na strane 6 je uvedená simulácia experimentu zaznamenaná tabuľkou. Obrázok na strane 7 pripomína stromový diagram, resp. obrázok na strane 17 pripomína tangram (pozri obrázok). Ostatné úlohy sú riešené pomocou vzorcov. CALDA, E. DUPAČ, V Matematika pro gymnázia - Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Na strane 87 sa stretávame s úlohou riešenou pomocou tabuľky (pozri obrázok). Na viacerých miestach (na stranách 98, 101, 108, 124) sú vlastnosti pravdepodobnosti modelované pomocou Vennových diagramov (pozri obrázok). Ostatné úlohy sú riešené pomocou vzorcov. 29

31 ŠEDIVÝ, J. et al Matematika pre 3. ročník gymnázia. Na strane 284 nájdeme úlohu riešenú využitím tabuľky (pozri obrázok). Na stranách 289 až 291 nájdeme vlastnosti pravdepodobnosti modelované pomocou Vennových diagramov (pozri obrázok). Ostatné úlohy sú riešené pomocou vzorcov. V učebniciach od Kubáčka sa stretávame v značnej miere s modelovaním úloh z pravdepodobnosti využitím najmä stromového diagramu a tangramu. V ostatných učebniciach sa úlohy z pravdepodobnosti riešené pomocou vizualizácií vyskytujú menej. V dvoch starších učebniciach (Calda, Dupač, 2003; Šedivý et al., 1986) sa stretávame so sprístupňovaním vlastností pravdepodobnosti, ale aj so sprístupňovaním učiva o nezlučiteľných a nezávislých javoch využitím Vennových diagramov. V každej učebnici sme zaznamenali aspoň jednu úlohu riešenú pomocou tabuľky. 30

32 1.4 Predvýskum Pred samotným výskumom sme realizovali predvýskum zameraný na miskoncepciu zvanú efekt časovej osi či Falk fenomén. Inverzia časovej osi je v rozpore s jednou zo základných intuícií. V našej mysli je hlboko zakorenený všeobecný princíp kauzality, ktorý hovorí, že predchodca určuje následníka. Preto sa nazdávame, že udalosti nemôžu pôsobiť spätne na svoje príčiny. Napríklad pri riešení úlohy Máme vo vrecúšku dve biele a dve čierne guľôčky. Vytiahneme z neho guľôčku, ale nepozrieme sa na jej farbu. Potom si vytiahneme druhú guľôčku a zistíme, že je biela. Aká je pravdepodobnosť, že bola prvá vytiahnutá guľôčka tiež biela? si väčšina riešiteľov myslí, že znalosť pravdepodobnosti výsledku pri druhom výbere nemôže ovplyvniť pravdepodobnosť výsledku prvého výberu. (Fischbein, Schnarch, 1997) Cieľom predvýskumu bolo zistiť, či je pre študentov nápomocné, ak úlohy tohto typu budeme modelovať pomocou stromového diagramu, resp. tangramu. Predvýskum sme realizovali na dvoch skupinách vysokoškolských študentov. Prvú skupinu tvorilo 22 denných študentov a druhú tvorilo 10 externých študentov. Každú skupinu sme rozdelili na dve podskupiny. Jedna podskupina mala za úlohu vypracovať pracovný list obsahujúci návod v podobe stromového diagramu a druhá podskupina v podobe tangramu. Oba pracovné listy obsahovali dve rovnaké úlohy zamerané na skúmanú miskoncepciu efekt časove osi. Na nasledujúcich stranách uvádzame spomínané pracovné listy (prvý v poradí so stromovým diagramom, druhý v poradí s tangramom). Po vypracovaní pracovných listov sme porovnali úspešnosť študentov pri riešení úloh. Tá bola vo všeobecnosti veľmi nízka. Spomedzi denných študentov vyriešili Úlohu 1 dvaja študenti a Úlohu 2 iba jeden študent, pričom všetci úspešní riešitelia patrili k podskupine tangram. Spomedzi externých študentov nevyriešil Úlohu 1 nikto a Úlohu 2 vyriešili dvaja študenti patriaci taktiež k podskupine tangram. Výsledky predvýskumu teda ukázali, že mierne vyššiu úspešnosť vykazujú študenti, ktorí riešili úlohy s návodom v podobe tangramu. 31

33 ÚLOHA 1 Znenie: Návod: Janko a Marienka hrajú hru s dvoma hracími kockami. Jedna má tvar kocky a druhá dvanásťstena. Ich steny sú očíslované od 1 do 6, resp. od 1 do 12. Marienka si náhodne vyberie hraciu kocku a hodí ju. Povie Jankovi, čo padlo a Janko potom háda, či hádzala dvanásťstenom alebo kockou. Padlo jej číslo 3. Aká je pravdepodobnosť, že hádzala kockou? Riešenie: ÚLOHA 2 Znenie: Evka má vrecúško, ktoré obsahuje dve biele a dve čierne guľôčky. Evka si vytiahla z vrecúška guľôčku a nepozrela sa na jej farbu. Potom si vytiahla druhú guľôčku a zistila, že je biela. Aká je pravdepodobnosť, že prvá vytiahnutá guľôčka bola tiež biela? Riešenie: 32

34 ÚLOHA 1 Znenie: Janko a Marienka hrajú hru s dvoma hracími kockami. Jedna má tvar kocky a druhá dvanásťstena. Ich steny sú očíslované od 1 do 6, resp. od 1 do 12. Marienka si náhodne vyberie hraciu kocku a hodí ju. Povie Jankovi, čo padlo a Janko potom háda, či hádzala dvanásťstenom alebo kockou. Padlo jej číslo 3. Aká je pravdepodobnosť, že hádzala kockou? Riešenie: Návod: číslo 1 číslo 1 číslo 2 číslo 2 číslo 3 číslo 4 číslo 3 číslo 5 číslo 6 číslo 4 číslo 7 číslo 8 číslo 5 číslo 9 číslo 10 číslo 6 číslo 11 číslo 12 ÚLOHA 2 Znenie: Evka má vrecúško, ktoré obsahuje dve biele a dve čierne guľôčky. Evka si vytiahla z vrecúška guľôčku a nepozrela sa na jej farbu. Potom si vytiahla druhú guľôčku a zistila, že je biela. Aká je pravdepodobnosť, že prvá vytiahnutá guľôčka bola tiež biela? Riešenie: 33

35 2 Výskum 2.1 Pracovné listy V publikácii Pravdepodobnosť okolo nás: stochastika v úlohách a problémoch (Płocki, 2007) sa stretávame s modelovaním úloh využitím viacerých vizualizácií. Niektoré úlohy sú však riešené súbežne využitím stromového diagramu aj využitím tangramu (pozri napr. strany 50-52). Nazdávame sa preto, že Płocki považuje obe tieto reprezentácie za rovnocenné. V novších učebniciach a publikáciách sa taktiež stretávame s modelovaním úloh využitím najmä stromového diagramu a tangramu. So zreteľom na tieto skutočnosti a na ciele práce sme sa rozhodli porovnať úspešnosť študentov pri riešení úloh z pravdepodobnosti modelovanými využitím dvoch vizualizácií - stromového diagramu a tangramu. Vytvorili sme pracovný list v dvoch variantoch (pracovný list stromový diagram je uvedený v prílohe A, pracovný list tangram je uvedený v prílohe B). Cieľom pracovných listov je, aby študent vedel v základných úlohách identifikovať nezávislé javy, určiť ich pravdepodobnosť a následne vypočítať pravdepodobnosť, že nastanú oba javy súčasne, násobením pravdepodobnosti. Výskum bol zrealizovaný v dňoch 26. a 27. januára 2015 na Gymnáziu vo Vranove nad Topľou na vzorke 53 študentov. Vytvorené pracovné listy sme predložili na vypracovanie dvom rôznym druháckym triedam, ktoré v danom ročníku prebrali pravdepodobnosť, avšak nemali skúmané vizualizácie ani nami, ani pedagógmi osvojované. Študenti mali na vypracovanie pracovného listu 40 minút. 34

36 2.2 Skúsenosti s pracovným listom stromový diagram Dňa 26. januára 2015 sme predložili triede II.B prvý variant pracovného listu zameraný na stromový diagram. Pracovný list riešilo 25 študentov z celkového počtu 27 študentov. Podľa vyjadrenia učiteľky matematiky, študentom pred riešením pracovného listu nebolo sprístupnené modelovanie úloh z pravdepodobnosti využitím stromového diagramu. Priemer známok z matematiky bol k polroku 2015 rovný 2,04. Študentov sme pred riešením vyzvali, aby všetky výpočty či poznámky k riešeniam uvádzali do pracovného listu a napísali naň aj svoje meno. Študenti boli počas riešenia pracovného listu mierne hluční. Museli sme ich opakovane upozorňovať, aby pracovali v tichosti a každý sám. Keďže riešitelia metódu stromového diagramu nepreberali, väčšina ich otázok mierila práve na postup riešenia touto metódou, resp. ako určiť hľadanú pravdepodobnosť zo stromového diagramu. Ďalšie otázky sa týkali zadaní úloh, najmä v Úlohe 1 III a v Úlohe 2. Po uplynutí času na riešenie sme pracovné listy zozbierali a premenovali podľa pohlavia. Iba jeden študent neuviedol svoje meno. Podľa písma sme usúdili, že riešiteľom je žena, a preto sme pracovnému listu priradili meno Žofia Zhodnotenie riešení úloh Pri každej úlohe uvádzame jej znenie a vyhodnotenie. Vo vyhodnotení delíme študentov do kategórií podľa úrovní riešenia, pričom každú úroveň reprezentuje iná značka. Pri každej kategórii uvádzame význam značky v kontexte úlohy, absolútnu a relatívnu početnosť riešiteľov, ako aj zhrnutie ich riešení. Nakoniec uvádzame komplexné zhodnotenie úlohy. Niekde uvádzame aj oskenované riešenia študentov za účelom objasnenia našich tvrdení. Prehľadná tabuľka riešení úloh pracovného listu stromový diagram je v prílohe C. 35

37 Úloha na úvod I. Znenie: Pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany OĽaNO, je: a) väčšia b) menšia c) rovnaká ako pravdepodobnosť toho, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany SaS. Zakrúžkuj správnu odpoveď a zdôvodni ju. Vyhodnotenie: S+ = zakrúžkovaná správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (18; 72%) Študenti porovnali počty kresiel strán OĽANO a SaS, resp. porovnali pravdepodobnosti vyjdenia poslanca OĽANO a poslanca SaS. Niektorí študenti si počet kresiel substituovali názvami strán, ktoré následne porovnali. S- = zakrúžkovaná správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (4;16%) Študenti len uviedli počty kresiel oboch strán, resp. uviedli pravdepodobnosť vyjdenia poslanca jednej strany. Raz sa pravdepodobne z nepozornosti vyskytla chyba v zdôvodnení, resp. chyba v dôsledku nepochopenia definície pravdepodobnosti. X = zakrúžkovaná správna odpoveď bez zdôvodnenia (3; 12%) Takmer tri štvrtiny študentov uviedlo k správnej odpovedi aj kompletné zdôvodnenie. Stretávali sme sa však s kompletnými či nekompletnými odôvodeniami, ktoré neboli úplne zrozumiteľné, avšak na základe výpočtov v ďalších úlohách sme usúdili, že študenti svojim odôvodneniam rozumejú. Problémy so zrozumiteľným odôvodnením vlastného riešenia sú však evidentné. 36

38 Úloha na úvod II. Znenie: Doplň do rámčekov pravdepodobnosti ostatných vetiev stromu. Vyhodnotenie: s = správne vyplnený strom (22; 88%) Študenti správne doplnili pravdepodobnosti vyjdenia poslanca konkrétnej politickej strany. n = nesprávne vyplnený strom (3; 12%) Študenti nesprávne spočítali počet poslancov určitej strany. Takmer 90% študentov správne doplnilo pravdepodobnosti vetiev stromu. Traja študenti asi z nepozornosti nesprávne spočítali poslancov danej strany. Úloha na úvod III. Znenie: Aká je pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany KDH? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (9; 36%) Traja študenti uviedli správny zlomok, ktorý vyčíslili na dve desatinné miesta. Traja študenti vyriešili úlohu pomocou trojčlenky a traja uviedli len správny zlomok. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (9; 36%) Študenti uvádzali výsledok na jedno, resp. dve desatinné miesta. N+ = riešenie obsahuje numerickú chybu (5; 20%) Študenti zle zaokrúhlili výsledok 10,6 % na 10%. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (2; 8%) Ritino riešenie bolo správne aj s postupom, ale vzťahovalo sa na stranu SMER. 37

39 Takmer tri štvrtiny študentov vyriešilo úlohu správne. Problémom bolo zaokrúhľovanie. Traja študenti uviedli len zlomok. Z ostatných študentov výsledok správne zaokrúhlil iba jeden a v tvare periodického čísla ho uviedol iný študent. Študenti výsledné periodické číslo skrátili na dve, popr. jedno desatinné miesto bez zaokrúhľovania (výsledky 10,66% a 10,6%), resp. výsledok 10,6 % uviedli v tvare 10%, čo sme už posudzovali ako nesprávne zaokrúhlenie a počítali sme to za numerickú chybu. Na ukážku tejto numerickej chyby uvádzame Cyrilovo riešenie. Úloha na úvod IV. Znenie: Aká je pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany SDKÚ alebo zo strany Most-Híd? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (8; 32%) Dvaja študenti uviedli výsledok len v tvare zlomku, traja uvedený správny zlomok aj vyčíslili a jeden žiak úlohu vyriešil pomocou trojčlenky. U dvoch študentov, Cyrila a Rity, vidíme postup riešenia, avšak pravdepodobnosti vyjdenia poslancov jednotlivých strán sú nesprávne zaokrúhlené. Keďže sú len dvaja a majú postup riešenia, tak sme na numerické nepresnosti neprihliadali a pridali sme ich k správnym riešeniam s postupom či výpočtom. Uvádzame ich riešenia (ako prvé je uvedené Cyrilovo riešenie). 38

40 S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (10; 40%) Študenti len uviedli správny výsledok. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (4; 16%) U študentov sme registrovali tieto štyri logické chyby: namiesto toho, aby pravdepodobnosti sčítali, urobili ich aritmetický priemer, uviedli pravdepodobnosť vyjdenia poslanca len jednej strany, uviedli, že počet kresiel obsadených poslancami oboch strán je rovný pravdepodobnosti vyjdenia poslanca jednej alebo druhej strany, odpočítali súčin pravdepodobností od ich súčtu. 0 = žiadne riešenie (3; 12%) Vyše 70% študentov vyriešilo úlohu správne. U Nora sa logická chyba (odpočítanie súčinu pravdepodobností od ich súčtu) vyskytla aj v Úlohe 2. Úloha 1 I. Znenie: Boris a Filip sú kamaráti. Jedného dňa našli na poličke dve rôzne hracie kocky. Na prvej kocke sú tri farby: červená, modrá a zelená, pričom každou farbou je zafarbená iná dvojica protiľahlých stien kocky. Druhá kocka je klasická, sú na nej čísla od 1 po 6. Dohadovali sa, ako by sa mohli zahrať. Filip vyzval Borisa na hru: Hodíme oboma kockami naraz. Ak padne na druhej kocke párne číslo, vyhrávam ja. Ak však padne na prvej kocke zelená farba, vyhrávaš ty. Má Boris pristať na takúto hru? Vyhodnotenie: S+ = správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (15; 60%) Študenti porovnali pravdepodobnosti padnutia párneho čísla a zelenej farby a správne sa rozhodli. S- = správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (6; 24%) Študenti len uviedli pravdepodobnosť výhry oboch hráčov, resp. oboch kociek a správne sa rozhodli. 39

41 X = správna odpoveď bez zdôvodnenia (1; 4%) N- = riešenie obsahuje logickú chybu (3; 12%) Traja študenti uviedli nesprávnu odpoveď. Jeden z nich bez akéhokoľvek zdôvodnenia, ďalší so zdôvodnením, že je navrhnutá hra fér a tretí so zdôvodnením, že hra je spravodlivá, pretože na prvej kocke sú tri farby a na druhej sú tri párne čísla. Takmer 85% študentov pridalo k správnej odpovedi aj zdôvodnenie. Zvyšné percento študentov malo problém s odôvodnením svojej odpovede, resp. ho vôbec neuviedli napriek tomu, že sme ho požadovali. Úloha 1 II. Znenie: Boris navrhol Filipovi inú hru: Hodíme oboma kockami naraz. Ak padne na prvej kocke červená alebo modrá farba, vyhrávam ja. Ak padne na druhej kocke číslo väčšie alebo rovné ako 4, tak vyhrávaš ty. Je táto hra spravodlivá? Zakrúžkuj správnu odpoveď a rieš úlohu pomocou stromu. Vyhodnotenie: S+ = zakrúžkovaná správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (3; 12%) Študenti porovnali pravdepodobnosti výhry oboch hráčov a správne sa rozhodli. S- = zakrúžkovaná správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (13; 52%) Študenti len uviedli pravdepodobnosť výhry oboch hráčov, resp. oboch kociek a správne sa rozhodli. Niektorí študenti sa zjavne rozhodli len na základe jednoduchého zápisu či výpisu výherných možností oboch hráčov. X = zakrúžkovaná správna odpoveď bez riešenia (8; 32%) N- = riešenie obsahuje logickú chybu (1; 4%) Študentka uviedla, že obaja hráči majú rovnakú pravdepodobnosť výhry. 40

42 sps = riešenie s použitím stromu (9; 36%) Traja študenti načrtli nesprávny, resp. neúplný strom. Šiesti študenti načrtli správny strom. Peťa načrtla správny strom bez ďalšieho komentára, Mária vo svojom strome vyznačila, čo má na ktorej kocke padnúť. Štyria študenti: Braňo, Dávid, Laco a Hana načrtli podobné stromy. Na ukážku uvádzame Braňovo riešenie. bps = riešenie bez použitia stromu (15; 60%) spo = riešenie s pomocou obrázka (1; 4%) Quido nakreslil listnatý strom, pričom korunu rozdelil na dve časti. Do každej z nich napísal počet priaznivých možností danej kocky. Počet priaznivých možností porovnal. Vyše 65% študentov sa pokúsilo o zdôvodnenie svojej odpovede. Presne 32% študentov svoju odpoveď nezdôvodnilo. Dôvodom môže byť skutočnosť, že sa riešitelia s metódou stromových diagramov nestretli. Predpokladáme, že práve kvôli tomu riešilo úlohu bez použitia stromu až 60% študentov. Z ostatných študentov načrtli správny strom iba šiesti (24%). Domnievame sa, že sa so stromovými diagramami oboznámili skrze vypracovanie pracovného listu, resp. mimo matematiky. Úloha 1 III. Znenie: Navrhni aspoň jednu novú hru pre Borisa a Filipa s ich dvoma kockami, ktorá bude spravodlivá. 41

43 Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s kompletným zdôvodnením (2; 8%) Dvaja študenti, Soňa a Šimon, zdôvodnili, že navrhnutá hra je spravodlivá. Ukázali, že pravdepodobnosť výhry je u oboch hráčov rovnaká. S- = správne riešenie s nekompletným zdôvodnením (15; 60%) Študenti navrhli zväčša jednu spravodlivú hru. Niektorí ich uviedli viacero. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (2; 8%) Tiborovo riešenie je neúplné a nezrozumiteľné. Xénia porovnáva pravdepodobnosť padnutia modrej farby na prvej kocke (2/6) s pravdepodobnosťou padnutia čísiel 1, 3 a 5 na druhej kocke (3/6). 0 = žiadne riešenie (6; 24%) Takmer 70% študentov vyriešilo úlohu správne. Treba ešte poznamenať, že študentka Hana riešila úlohu pomocou stromu. Zdôvodnenie spravodlivosti hry sme v tejto úlohe nepožadovali. Úloha 2 I. Znenie: 42

44 Filip chce porovnať svoje výsledky po 1. podaní s výsledkami Djokoviča. Filip znázornil stromom pravdepodobnosť, že po 1. podaní získa body, takto: Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (1; 4%) Študent Oto vyriešil úlohu pomocou trojčlenky. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (9; 36%) Študenti uviedli správny výsledok 32%. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (14; 56%) Až 9 študentov (36%) spočítalo pravdepodobnosti vetiev, kde hráč získa body, resp. uviedlo z vyznačenej vetvy len pravdepodobnosť toho, že hráč získa body. Na ukážku uvádzame Lacovo riešenie. Ďalšie logické chyby boli: vynásobenie okienok, kde hráč získa body (Cyril), výsledok 64%; výsledky 25% (Jana), 4:1 (Viera), výsledok 50% (Zita); odpočítanie súčinu pravdepodobností od ich súčtu (Noro). 0 = žiadne riešenie (1; 4%) 43

45 Presne 40% študentov úlohu vyriešilo správne. Študenti zjavne pochopili, že pravdepodobnosti na jednej vetve medzi sebou násobíme. Viac ako polovica študentov vyriešila úlohu nesprávne, pričom vetva, na ktorú sa úloha vzťahovala, bola jasne vyznačená. Neporozumenie úlohe mohlo byť spôsobené aj jej tenisovým kontextom. Tenisovým pravidlám nemuseli totižto všetci študenti úplne rozumieť. Úloha 2 II. Znenie: Filip chce porovnať svoje výsledky s Novakom aj po 2. podaní. Pomôž Filipovi nakresliť správny strom. Vyhodnotenie: s = správne vyplnený strom (3; 12%) Len traja študenti, Noro, Rita a Soňa, mali správne vyplnený strom. s- = v správne vyplnenom strome chýba popis vetiev (13; 52%) Študenti správne doplnili do stromu pravdepodobnosti, avšak popis vetiev chýba buď úplne, alebo čiastočne. n = nesprávne vyplnený strom (8; 32%) Štyria študenti dopĺňali do stromu aj pravdepodobnosti Novaka Djokoviča. Na ukážku uvádzame Gitkino riešenie. Traja študenti opisovali čísla zo stromu načrtnutého v I. časti. Oto urobil chybu na tretej a štvrtej vetve, ktorá však neovplyvnila správnosť riešenia. 0 = nevyplnený strom (1; 4%) 44

46 S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (1; 4%) Len Oto uviedol správne riešenie aj s postupom. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (3; 12%) Len traja študenti, Soňa, Šimon a Tibor, uviedli správne riešenie. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (16; 64%) Dvaja študenti, ktorí opísali strom z časti I., uviedli výsledok 48% (pravdepodobne vynásobili pravdepodobnosti 0,6 a 0,8). Piati študenti uviedli navzájom rôzne výsledky. Ostatní deviati študenti (36%) pravdepodobne spočítali pravdepodobnosti vetiev, kde hráč získa body, resp. uviedli pravdepodobnosť jednej zo štyroch vetiev. Na ukážku uvádzame Lacovo riešenie. 0 = žiadne riešenie (5; 20%) Iba 16% študentov úlohu vyriešilo správne. Takmer 65% študentov malo v riešení logickú chybu. Väčšina študentov pravdepodobne pochopila, že pravdepodobnosti na jednej vetve medzi sebou násobíme, avšak následne sčítali dve vetvy. Nazdávame sa, že niektorí študenti len opísali jednu konkrétnu pravdepodobnosť zo stromového diagramu. Problémom mohol byť aj tenisový kontext úlohy. 45

47 Úloha 3 I. Znenie: Vyhodnotenie: s = správne vyznačenie v strome (16; 64%) Študenti správne vyznačili tretiu vetvu stromu. n = nesprávne vyznačenie v strome (3; 12%) Študenti vyznačili len okienko druhého delenia tretej vetvy. 0 = žiadne vyznačenie v strome (6; 24%) S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (2; 8%) Len dvaja študenti, Cyril a Oto, vyriešili úlohu správne aj s postupom, pričom Cyril jednotlivé pravdepodobnosti vynásobil a Oto úlohu vyriešil pomocou trojčlenky. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (13; 52%) Študenti uviedli len správny výsledok. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (7; 28%) Piati študenti uviedli ako výsledok len pravdepodobnosť na tretej vetve pri druhom delení stromu, resp. jej inverznú hodnotu. Na ukážku uvádzame Emilovo riešenie. 46

48 Ďalší študent spočítal pravdepodobnosti na tretej vetve, iný ich vydelil. 0 = žiadne riešenie (3; 12%) Viac ako 60% študentov vyznačilo v strome správnu vetvu. Predpokladáme, že tí študenti, ktorí v strome nič nevyznačili (24%) to buď vyznačiť nevedeli, alebo si požiadavku úlohy z nepozornosti nevšimli. Presne 60% študentov úlohu vyriešilo správne. Hana, Jana a Peťa vyznačili správnu vetvu stromu, ale ich riešenie obsahovalo logickú chybu. Úloha 3 II. Znenie: Boris sa ďalej dočítal, že chorobou B trpí 60% fajčiarov a 20% nefajčiarov. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný fajčiar trpí chorobou B? Vyhodnotenie: s = správne vyplnený strom (13; 52%) Študenti vyplnili strom správne a popísali aj jeho vetvy. s- = v správne vyplnenom strome chýba popis vetiev (7; 28%) Študenti správne vyplnili strom, ale popis vetiev chýba buď úplne, alebo čiastočne. 47

49 n = nesprávne vyplnený strom (4; 16%) Dvaja študenti, Braňo a Noro, doplnili do stromu nesprávne pravdepodobnosti, ale výsledok uviedli správny. Viera a Xénia mali aj výsledok nesprávny. 0 = nevyplnený strom (1; 4%) S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (14; 56%) Študenti uviedli len správny výsledok bez postupu riešenia či výpočtu. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (8; 32%) Jedna študentka uviedla nesprávny výsledok na základe nesprávne doplneného stromu. Siedmi študenti (28%) uviedli ako výsledok pravdepodobnosť danej vetvy pri druhom delení stromu, resp. jej inverznú hodnotu. Na ukážku uvádzame Hanino riešenie. 0 = žiadne riešenie (3; 12%) Presne 80% študentov správne vyplnilo strom pravdepodobnosťami s menšími, resp. žiadnymi chybami pri popise vetiev. Viac ako polovica študentov uviedla správny výsledok. Takmer 30% študentov pravdepodobnosti nenásobilo, pretože uviedli ako výsledok pravdepodobnosť danej vetvy pri druhom delení, resp. jej inverznú hodnotu. 48

50 Úloha 4 Znenie: Filip a Boris našli ďalšie dve kocky. Každý z nich má teraz po dve rovnaké kocky. Na Filipových kockách sú tri farby: červená, modrá a zelená, pričom každou farbou je zafarbená iná dvojica protiľahlých stien kocky. Na Borisových kockách sú čísla od 1 po 6. Dohodli sa, že každý najprv hádže jednou kockou a následne druhou. Víťazom sa stáva Filip, ak mu pri prvom hode padne červená alebo zelená farba a pri druhom hode modrá farba. Boris vyhráva vtedy, ak mu pri prvom hode padne párne číslo a pri druhom hode číslo menšie alebo rovné ako 3. Kto má väčšiu šancu túto hru vyhrať, Boris alebo Filip? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (12; 48%) Študenti vyriešili úlohu správne a uviedli aj postup riešenia. V rámci riešení však treba upozorniť na Emilovu logickú chybu (aritmetický priemer pravdepodobností oboch hodov každého hráča) a Žofiinu logickú chybu pri počítaní s k kombináciami. Ďalej treba spomenúť numerické chyby Dávida (2/3 = 60%) a Šimona (2/3 = 66%) a numerickú chybu Rity (4/6 2/6 = 8/32). Na ukážku uvádzame Norovo riešenie. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (2; 8%) Študenti odpovedali správne, avšak Laco len vypísal pravdepodobnosti oboch hráčov pri jednotlivých hodoch a u Zity sme zaznamenali len zápis. 49

51 X = nedokončené riešenie (2; 8%) U Idy sme zaznamenali nedokončený zápis a náznak počítania pomocou kombinácií, v prípade Márie sme zaznamenali len zápis úlohy. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (5; 20%) Traja študenti, Fero, Gitka a Peťa, pravdepodobne spočítali priaznivé možnosti, resp. pravdepodobnosti oboch hráčov. Oto a Xénia sa rozhodli nesprávne na základe správne určených pravdepodobností, resp. zápisu. Na ukážku uvádzame Ferovo riešenie. 0 = žiadne riešenie (4; 16%) sps = riešenie s použitím stromu (2; 8%) Len u Peti a Xénie sme zaznamenali náčrt stromu. bps = riešenie bez použitia stromu (21; 84%) spo = riešenie s použitím obrázka (2; 8%) Dvaja študenti, Emil a Rita, riešili úlohu pomocou obrázka. Vyše 55% študentov vyriešilo úlohu správne. Väčšina z nich uviedla aj postup či výpočet. U presne 20% študentov sme evidovali riešenie s logickou chybou a takmer 25% úlohu nedokončilo, resp. ani nezačalo riešiť. Takmer 85% študentov neriešilo úlohu pomocou stromu. Zvyšné percento (16% študentov) si pomohlo stromom či obrázkom. V riešeniach sme viackrát evidovali odrezanie periódy periodických čísel. 50

52 Bonusová úloha I. Znenie: V Košiciach sídlia dve TAXI spoločnosti. Prvá prevádzkuje 15 modrých a druhá 75 čiernych taxíkov. Filip sa v novinách dočítal: Istú noc, keď boli všetky taxíky v uliciach, mal jeden z taxikárov nehodu. Z miesta činu ušiel. Očitý svedok vo výpovedi uviedol, že videl havarovaný modrý taxík. Polícia si jeho schopnosť rozoznať farbu taxíka v noci overila testom. Ukázalo sa, že dokázal správne určiť farbu taxíka v štyroch z piatich prípadov. Aká je pravdepodobnosť, že havaroval modrý taxík? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (8; 32%) Jeden študent vyriešil úlohu pomocou trojčlenky a jeden pomocou kombinácií. Ostatní študenti vyriešili úlohu cez definíciu pravdepodobnosti. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (3; 12%) Traja študenti uviedli len správny výsledok. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (2; 8%) Študenti uviedli nesprávny výsledok, pričom jeden z nich využil trojčlenku. 0 = žiadne riešenie (12; 48%) Bonusová úloha II. Znenie: Aká je percentuálna úspešnosť očitého svedka rozoznať farbu taxíka? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (9; 36%) Oto vyriešil úlohu pomocou trojčlenky. U Viery evidujeme numerickú chybu (100 4/5 = 20%), avšak zjavne úlohe rozumie. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (2; 8%) Študenti uviedli len správny výsledok. 51

53 N- = riešenie obsahuje logickú chybu (2; 8%) Študenti uviedli nesprávny výsledok, pričom jeden z nich využil trojčlenku. 0 = žiadne riešenie (12; 48%) Takmer polovica študentov úlohu neriešila. Predpokladáme, že kvôli krátkosti času. Z ostatných riešiteľov vyriešila úlohu správne väčšina študentov. V časti I. zaokrúhlil výsledok len jeden študent a iní dvaja ho uviedli v tvare periodického čísla. Bonusová úloha III. Znenie: Aká je pravdepodobnosť, že havaroval modrý taxík a zároveň očitý svedok určil správne jeho farbu? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (3; 12%) Študenti násobili dva správne zlomky. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (2; 8%) Študenti len uviedli správny výsledok. N+ = riešenie obsahuje numerickú chybu (3; 12%) Študenti nenásobili s číslom v základnom tvare (periodickým číslom). Na ukážku uvádzame Norovo a Otovo riešenie (Otovo uvádzame ako prvé). 52

54 N- = riešenie obsahuje logickú chybu (5; 20%) Študenti uviedli nesprávny výsledok, resp. narábali s nesprávnymi číslami. Na ukážku uvádzame Šimonovo riešenie. 0 = žiadne riešenie (12; 48%) Takmer polovica študentov úlohu neriešila. Správne úlohu vyriešilo iba 20% študentov. Riešenie viac ako 30% študentov obsahovalo logickú alebo numerickú chybu. Len piati študenti (20%) vyriešili všetky tri časti Bonusovej úlohy správne, pričom traja z nich, Rita, Soňa a Tibor, uviedli aj postup či výpočet. Na ukážku uvádzame Sonino riešenie. 53

55 2.2.2 Celkové zhodnotenie V prílohe E uvádzame prehľadnú tabuľku relatívnej početnosti každej kategórie riešenia vzhľadom na konkrétnu úlohu a aj percentuálnu úspešnosť úloh. Percentuálnu úspešnosť (PÚ) udáva percento žiakov, ktorí správne vyriešili danú úlohu. Správne vyriešili úlohu tí študenti, ktorí sú zaradení do kategórií riešení S+ a S-, resp. s a s-, resp. sps a spo. V tabuľke uvádzame percentuálnu úspešnosť úloh ešte prehľadnejšie. 0% - 25% 26% - 50% 51% - 75% 76% - 100% Úloha na úvod I. Úloha na úvod II. X X Úloha na úvod III. Úloha na úvod IV. X X Úloha 1 I. X Úloha 1 II. Úloha 1 III. Úloha 2 I. X X X X Úloha 2 II. Úloha 3 I. X X X X Úloha 3 II. X X Úloha 4 X X Bonusová úloha I. Bonusová úloha II. X X Bonusová úloha III. X SPOLU

56 Spomedzi dvadsiatich úloh majú štyri úlohy v kategórií 76% - 100% percentuálnu úspešnosť (ďalej len PÚ) rovnú, resp. vyššiu ako 80%. Trinásť úloh (65% úloh) má PÚ vyššiu ako 50%. Vyjadríme sa k úlohám s PÚ nižšou ako 50%. V Úlohe 1 II. robila študentom problém požiadavka úlohy riešenie pomocou stromu. Len 40% študentov načrtlo v úlohe strom, resp. obrázok. Dôvodom môže byť skutočnosť, že sa riešitelia s metódou stromových diagramov doposiaľ nestretli, a teda nevedeli, ako majú danú úlohu pomocou stromového diagramu riešiť. V dvoch čiastkových úlohách v Úlohe 2 dosiahli študenti PÚ menšiu ako 50% (v jednej z nich dokonca menšiu ako 25%). Problémy s riešením úlohy podľa všetkého spôsobil tenisový kontext úlohy. Len u 16% študentov sa objavuje v riešeniach Úlohy 4 strom, resp. obrázok, využitím ktorého bola úloha riešená. Napriek tomu je PÚ úlohy vyššia ako 51%. Bonusová úloha má vo všetkých jej častiach nižšiu PÚ ako 50% pravdepodobne kvôli nedostatku času na riešenie. Zo správnych riešení usudzujeme, že ak by mali na riešenie ostatní študenti viac času, počet úspešných riešiteľov by bol omnoho vyšší. Každopádne, nikto neriešil úlohu využitím stromového diagramu. Evidujeme problémy aj v týchto oblastiach: zaokrúhľovanie periodických čísel, o Napríklad v Úlohe 4 boli čísla 4/6, resp. 2/6 (pravdepodobnosti Filipových hodov) vyčíslené namiesto 0,6 (resp. 0,3 ) ako 0,6666 či 0,66 (resp. 0,3333). Nesprávna úprava periodických čísel mala vo väčšine prípadov za následok nesprávny výsledok. zdôvodnenie svojho riešenia, o Študenti majú problémy jasne a zrozumiteľne zdôvodňovať riešenia. riešenie pomocou trojčlenky. o Riešením úlohy využitím trojčlenky študenti obchádzajú násobenie pravdepodobnosti. Úlohy počnúc Úlohou 2 sú zamerané na násobenie pravdepodobnosti. Každému študentovi sme pridelili číslo od 1 do 5 v závislosti od toho, koľko úloh v danom rozmedzí vyriešil správne. Číslo 1 znamená, že nevyriešil správne ani jednu úlohu, číslo 2 - vyriešil správne jednu úlohu,..., 5 - vyriešil správne všetky štyri sledované úlohy. 55

57 Za správne riešenie sme považovali aj správny výsledok bez výpočtu, ak študent v iných úlohách pravdepodobnosti násobil. Na základe tohto škálovania sme odstupňovali aj mieru porozumenia učiva násobenie pravdepodobnosti. Aritmetický priemer všetkých študentov je 2,92 (pozri prílohu C). Tento výsledok môžeme interpretovať tak, že študenti násobeniu pravdepodobnosti v kontexte stromového diagramu vcelku porozumeli. Na základe celkového hodnotenia však môžeme konštatovať, že úlohy využitím tejto vizualizácie prioritne nemodelovali. 56

58 2.3 Skúsenosti s pracovným listom tangram Dňa 27. januára 2015 sme predložili triede II.A druhý variant pracovného listu zameraný na tangram. Pracovný list riešilo 28 študentov z celkového počtu 29 študentov. Podľa vyjadrenia učiteľky matematiky, študentom pred riešením pracovného listu nebolo sprístupnené modelovanie úloh z pravdepodobnosti využitím tangramu. Priemer známok z matematiky bol k polroku 2015 rovný 2,21. Študentov sme pred riešením vyzvali, aby všetky výpočty či poznámky k riešeniam uvádzali do pracovného listu a napísali naň aj svoje meno. Študenti boli počas riešenia ticho a väčšinu času pracovali sami. Nemuseli sme ich opakovane upozorňovať. Otázky študentov sa týkali len delenia prázdneho tangramu na časti. Po uplynutí času na riešenie sme pracovné listy zozbierali a premenovali podľa pohlavia. Iba jeden študent neuviedol svoje meno. Podľa písma sme usúdili, že riešiteľom je muž, a preto sme pracovnému listu priradili meno Rišo Zhodnotenie riešení úloh Pri každej úlohe uvádzame jej znenie a vyhodnotenie. Vo vyhodnotení delíme študentov do kategórií podľa úrovní riešenia, pričom každú úroveň reprezentuje iná značka. Pri každej kategórii uvádzame význam značky v kontexte úlohy, absolútnu a relatívnu početnosť riešiteľov, ako aj zhrnutie ich riešení. Nakoniec uvádzame komplexné zhodnotenie úlohy. Niekde uvádzame aj oskenované riešenia študentov za účelom objasnenia našich tvrdení. Prehľadná tabuľka riešení úloh pracovného listu tangram je v prílohe D. 57

59 Úloha na úvod I. Znenie: Pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany OĽaNO, je: a) väčšia b) menšia c) rovnaká ako pravdepodobnosť toho, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany SaS. Zakrúžkuj správnu odpoveď a zdôvodni ju. Vyhodnotenie: S+ = zakrúžkovaná správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (15; 53,6%) Najčastejšie študenti uvádzali, že strana OĽANO má viac poslancov. Niektorí študenti správne porovnali počty kresiel oboch strán, resp. pravdepodobnosti vyjdenia poslanca konkrétnej strany z miestnosti. S- = zakrúžkovaná správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (6; 21,4%) Študenti len uviedli počty kresiel, resp. pravdepodobnosti oboch popr. iba jednej zo strán bez porovnania. Jeden študent uviedol len rozdiel medzi stranami v počte kresiel bez ďalšieho vysvetlenia. U Igora evidujeme aj odhad cez rady, ktoré poslanci obsadia. X = zakrúžkovaná správna odpoveď bez zdôvodnenia (5; 17,9%) N+ = riešenie obsahuje numerickú chybu (2; 7,1%) Študenti uviedli, že obe strany majú rovnaký počet poslancov. Nazdávame sa, že urobili túto numerickú chybu z nepozornosti. Presne 75% študentov vyriešilo úlohu správne. Takmer 50% študentov však buď urobila numerickú chybu, alebo uviedla nekompletné či nezrozumiteľné zdôvodnenie. 58

60 Úloha na úvod II. Znenie: Aká je pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany KDH? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (7; 25%) Evidovali sme u študentov tieto správne riešenia: uvedenie správneho zlomku, vyčíslenie zlomku a jeho správne zaokrúhlenie, riešenie pomocou trojčlenky. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (8; 28,6%) Študenti uvádzali len zaokrúhlený výsledok, resp. výsledok s odrezanou periódou. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (11; 39,3%) Študenti uvádzali riešenia, ktoré sa vzťahovali na inú stranu; vo väčšine prípadov na SMER. Evidovali sme aj nesprávny odhad. Na ukážku uvádzame Annino riešenie. 0 = žiadne riešenie (2; 7,1%) Úlohu vyriešilo správne len niečo nad 50% študentov. U takmer 40% študentov sme v riešení evidovali logickú chybu. Ako sme uviedli, najčastejšie študenti uvádzali riešenia, ktoré sa vzťahovali na inú stranu. Predpokladáme, že sa týchto logických chýb dopúšťali kvôli nepozornosti. 59

61 Úloha na úvod III. Znenie: Aká je pravdepodobnosť, že poslanec, ktorý vyjde prvý z miestnosti, je zo strany SDKÚ alebo zo strany Most-Híd? Vyhodnotenie: S+ = správne riešenie s postupom či výpočtom (6; 21,4%) Študenti uviedli správny zlomok, popr. ho vyčíslili. S- = správne riešenie bez postupu či výpočtu (12; 42,9%) Študenti len uviedli správny výsledok. Igor uviedol správny odhad 1/6 radu a Vilma uviedla výsledok 15% (spočítanie zaokrúhlených čiastkových pravdepodobností). N- = riešenie obsahuje logickú chybu (7; 25%) Študenti uvádzali rôzne iné výsledky, uviedli aritmetický priemer pravdepodobnosti vyjdenia poslanca jednej alebo druhej strany z miestnosti a uviedli aj nesprávne odhady. 0 = žiadne riešenie (3; 10,7%) Takmer 65% študentov vyriešilo úlohu správne. V Úlohe na úvod evidujeme u viacerých študentov určenie výsledku odhadom. Akoby študenti nemali úplne osvojenú schopnosť určovať presný výsledok. 60

62 Úloha 1 Znenie: V Rakúsku dostala rovnaký počet kresiel každá zo štyroch kandidujúcich politických strán. Boris voliť nemohol, lebo ešte nemá 18 rokov, no znázornil viacerými obrázkami rovnomerné rozdelenie kresiel rakúskeho parlamentu medzi štyri novo zvolené strany. Ktoré z uvedených obrázkov znázorňujú rozdelenie kresiel správne? Zakrúžkuj správnu odpoveď a zdôvodni ju. Vyhodnotenie: S+ = zakrúžkovaná správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (8; 28,6%) Študenti zakrúžkovali všetky správne odpovede a uviedli aj zdôvodnenie. S- = zakrúžkovaná správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (9; 32,1% Študenti zakrúžkovali aspoň jednu správnu odpoveď a uviedli aj zdôvodnenie. Študenti Ján a Oľga zakrúžkovali všetky správne odpovede, ale neuviedli zdôvodnenie. X = zakrúžkovaná odpoveď bez zdôvodnenia (8; 28,6%) Študenti zakrúžkovali jednu správnu odpoveď a neuviedli zdôvodnenie. Pavla nezakrúžkovala žiadnu odpoveď a neuviedla ani zdôvodnenie. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (3; 10,7%) Študenti zakrúžkovali nesprávnu odpoveď a uviedli, resp. neuviedli zdôvodnenie. Viac ako 60% študentov vyriešilo úlohu správne, teda uviedli aspoň jednu správnu odpoveď so zdôvodnením. Avšak iba desiati študenti (35,7%) zakrúžkovali všetky správne odpovede, z toho ôsmi svoje odpovede aj zdôvodnili. Vo väčšine prípadov študenti nepovažovali odpovede po a), b) za rovnocenné s odpoveďou po c). 61

63 Úloha 2 I. Znenie: Boris prišiel k Filipovi na prázdniny. Jedného dňa našli na poličke dve rôzne hracie kocky. Na prvej kocke sú tri farby: červená, modrá a zelená, pričom každou farbou je zafarbená iná dvojica protiľahlých stien kocky. Druhá kocka je klasická, sú na nej čísla od 1 po 6. Dohadovali sa, ako by sa mohli zahrať. Filip vyzval Borisa na hru: Hodíme oboma kockami naraz. Ak padne na druhej kocke párne číslo, vyhrávam ja. Ak však padne na prvej kocke zelená farba, vyhrávaš ty. Má Boris pristať na takúto hru? Vyhodnotenie: S+ = správna odpoveď s kompletným zdôvodnením (18; 64,3%) Študenti porovnali pravdepodobnosť padnutia párneho čísla a zelenej farby a správne sa rozhodli. Uvádzali, kto má väčšiu šancu vyhrať, resp. ktorá kombinácia na kockách má väčšiu šancu, že padne. Na ukážku uvádzame Beátino riešenie. S- = správna odpoveď s nekompletným zdôvodnením (3; 10,7%) Študenti len uviedli pravdepodobnosť výhry oboch hráčov, resp. oboch kociek a správne sa rozhodli. Uvádzali aj nekompletné zdôvodnenia. X = správna odpoveď bez zdôvodnenia (3; 10,7%) Študenti uviedli správnu odpoveď bez zdôvodnenia. Zoja neuviedla žiadne riešenie. N- = riešenie obsahuje logickú chybu (4; 14,3%) Zo štyroch študentov uviedli traja nesprávnu odpoveď bez zdôvodnenia. Takmer 65% študentov uviedli správnu odpoveď s kompletným zdôvodnením. Presne 75% študentov vyriešilo úlohu správne. Študenti zjavne dokážu rozhodnúť, či je daná hra spravodlivá alebo nie. 62