Formálna epistemológia budúca syntéza

Transcription

1 Filosofický časopis ročník / Diskuse, polemika Formálna epistemológia budúca syntéza Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy, Praha Filosofický ústav AV ČR, Praha ladislavkvasz@gmail.com Predslov Predkladaný diskusný príspevok je skrátenou verziou projektu, ktorý bol v máji 2016 ocenený Akademickou prémií Akademie věd České republiky na roky Tézy projektu boli prednesené v októbri 2016 v rámci série prednášok Trattenbach Jilská na FLÚ AV ČR. Práve množstvo kritických pripomienok, ktoré kolegovia formulovali v diskusii po prednáške, ma priviedlo na myšlienku uverejniť hlavné myšlienky projektu vo forme diskusného príspevku vo Filosofickom časopise, aby som tak mohol dostať reakcie aj od kolegov, ktorí sa nemohli na prezentácii v Jilskej osobne zúčastniť. * * * Logika sa ako filozofická disciplína zrodila v starovekom Grécku, a to zhruba v rovnakej dobe, kedy sa zrodila matematika ako deduktívna veda. Z antiky sa zachovali dva systémy logiky aristotelovská sylogistická logika a stoická výroková logika. Trvalo však ďalších takmer dvetisíc rokov, než v diele Boolea, Fregeho a Peana došlo k premene logiky na formálnu disciplínu. Prístupy týchto autorov k logike sa od seba líšili, ale výsledná syntéza, ktorú vytvorili Whitehead a Russell, pozoruhodným spôsobom zjednotila ich myšlienky. Sme presvedčení, že epistemológiu čaká podobná formalizácia, ako je tá, ku ktorej došlo v logike. Epistemológia sa ako filozofická disciplína zrodila v prácach Descarta, Locka, Huma a Kanta zhruba v rovnakej dobe, kedy sa zrodi-

2 la fyzika ako empirická veda. Zdá sa, že od čias zakladateľov epistemológie uplynula dostatočne dlhá doba na to, aby sme sa mohli pokúsiť o premenu epistemológie na formálnu disciplínu. V procese formalizácie logiky je užitočné odlíšiť dve etapy. Prvá, ktorá bola iniciovaná Booleom, spočíva v prechode od Millovho naturalistického pojatia logiky k jej algebraickému pojatiu a je známa pod názvom algebra logiky (jej vyvrcholením sú Schröderove Vorlesungen über die Algebra der Logik vydané v rokoch ). Napriek mnohým úspechom algebra logiky neviedla k dnešnej formálnej logike. To sa podarilo až v druhej etape iniciovanej Fregem a Peanom, ktorí prešli od algebraického pojatia logiky k jej pojatiu funkcionálnému, známemu ako predikátový počet. Prvá etapa formalizácie epistemológie je v súčasnosti v plnom prúde: nadväzuje na Quineov projekt naturalizácie epistemológie a prináša formalizáciu tejto disciplíny prostriedkami matematických teórií, akými sú napríklad teórie hier, bayesovská indukcia alebo teórie racionálnej voľby. Zdá sa však, že tento spôsob formalizácie epistemológie zodpovedá skôr Booleovej algebre logiky než predikátovému počtu. Sme preto presvedčení, že na prvú etapu formalizácie epistemológie nadviaže druhá, ktorá podobne ako v prípade logiky prinesie jej radikalizáciu, prehĺbenie a rozšírenie. Cieľom tohto príspevku je načrtnúť projekt formalizácie epistemológie analogický k Fregovmu projektu formalizácie logiky. 1. Hlavné momenty brániace formalizácii logiky Logika na ceste k formalizácii prešla radom zmien a oslobodila sa od mnohých hlboko zakorenených presvedčení. Je pozoruhodné, že presvedčenia analogické tým, ktoré bránili logike v jej formalizácii, sa vyskytujú aj v dnešnej epistemológii. Keď tvrdíme, že epistemológia sa zmení v exaktnú disciplínu, je potrebné si uvedomiť, že toto tvrdenie je v rozpore s celkovým naturalistickým trendom, ktorý ju v súčasnosti ovláda. Tak ako Frege musel prekonať psychologismus prevládajúci v logike jeho doby, zdá sa, že na ceste k formálnej epistemológii budeme musieť prekonať naturalizmus, ktorý je dnes rozšírený medzi epistemológmi. Je prirodzené, že náš projekt vyvolá pochybnosti u zástancov naturalizovanej epistemológie. Naturalizovaná epistemológia je pokusom postaviť túto disciplínu na vedecké základy, a preto je pre jej zástancov ťažké pochopiť jej odmietnutie. Situácia v logike koncom 19. storočia však bola podobná psychologismus v logike bol tiež vedený snahou využiť metódy empirickej vedy a vymaniť logiku zo zajatia filozofickej špekulácie. Domnievame sa však, že prekonanie tohto odporu umožní uvidieť epistemológiu v novom svetle a nových súvislostiach.

3 Formálna epistemológia budúca syntéza Napriek mnohým pokusom zblížiť logiku s matematikou (stačí pripomenúť Leibniza, Eulera či Bolzana) sa zdá, že prvým, komu sa podarilo vytvoriť dostatočne bohatý kalkul, na základe ktorého bolo možné vytvoriť novú disciplínu algebru logiky, bol Boole. Na ceste ku kalkulu, ktorý nazývame Booleova algebra, bolo nutné prekonať niekoľko prekážok. Napriek nepopierateľnému prínosu Booleovej algebry je nutné pripomenúť, že jeho program nebol dostatočne radikálny. Boole sa domnieval, že predmet logiky je vymedzený rozsahom tradičnej aristotelovskej logiky, a jeho cieľom bolo iba zapísať aristotelovské sylogizmy prostriedkami algebry. Tým síce uviedol logiku do kontaktu s matematikou, neprekonal však rad ďalších nedostatkov Aristotelovho systému. 1.1 Oddelenosť logiky od matematiky Aj keď Aristotelovu teóriu sylogizmov možno považovať za jednu z prvých axiomatických teórií v dejinách, a teda z moderného pohľadu je to matematická teória, učenci staroveku to tak nevnímali. Aristotelovská logika bola súčasťou filozofie a vyvíjala sa oddelene od matematiky ako jedna zo základných filozofických disciplín. Zástancovia aristotelovskej logiky považovali logiku za čosi zásadne odlišného od matematiky a podobného názoru boli aj matematici. Aspoň nie je známe, že by niektorý matematik napísal niečo o logike. Hlavnou zásluhou Boolea bolo prekonanie predsudku oddeľujúceho matematiku od logiky. Boole prišiel s myšlienkou použiť jazyk algebry na zápis súdov aristotelovskej logiky. Jednotlivé súdy zapísal vo forme algebraických rovníc a sylogistický úsudok dostal podobu riešenia sústavy rovníc pomocou eliminácie neznámej. Jeho teória bola míľnikom na ceste premeny logiky na formálnu disciplínu. Keď sa pozrieme na epistemológiu, vidíme, že klasická epistemológia bola od exaktných disciplín izolovaná v rovnakej miere, ako bola aristotelovská logika izolovaná od matematiky. Tým, že tvorcovia epistemológie poznanie stotožnili s poznaním empirickým, ktoré zakladali na zmyslovom vnímaní, vzdali sa možnosti zblížiť epistemológiu s matematikou. Podobne ignorovali inštrumentálny rozmer poznania (namiesto analýzy procesu merania predkladali analýzu zmyslového vnímania), čím sa zriekli možnosti zblížiť epistemológiu s fyzikou. Preto prvou tézou formálnej epistemológie je téza o nutnosti zblížiť epistemológiu s matematikou, fyzikou a s ostatnými exaktnými disciplínami. 1.2 Úzke chápanie predmetu logiky Tradičná aristotelovská logika predstavuje iba fragment systému formálnej logiky. Tento fragment možno označiť termínom monadická logika logika

4 pripúšťajúca iba jednoargumentové predikáty. Prv než mohla vzniknúť formálna logika, bolo nutné zásadne rozšíriť rámec toho, čo do logiky zahŕňame predovšetkým o logiku relácií, o teóriu logických spojok a o polyadickú kvantifikáciu. Toto zásadné rozšírenie predmetu logiky priniesli Pierce, Frege a Peano. Aj keď Boole nedospel ani k logike relácií, ani k teórii logických spojok, jeho kalkul bol predsa len bohatší než tradičná logika. Booleovu algebru logiky možno preto považovať za krok smerujúci k rozšíreniu predmetu logiky. Podobne možno argumentovať, že experimentálna a teoretická prax novovekej fyziky zásadne prekračuje chápanie poznania ako zdôvodneného pravdivého presvedčenia. Preto možno tvrdiť, že epistemológia, tak ako je táto bežne diskutovaná, predstavuje iba zlomok toho, čo bude treba zahrnúť do formálnej epistemológie. Vedecké teórie a modely sú v komplexných vzťahoch vzájomnej aproximácie, limitných prechodov a idealizácie. Ako druhú tézu formálnej epistemológie teda možno vziať tézu o nutnosti zásadne rozšíriť rámec toho, čo do epistemológie zahŕňame. 1.3 Sústredenie logiky na problémy formulované v prirodzenom jazyku Úzke pojatie predmetu logiky súvisí s naviazanosťou tradičnej aristotelovskej logiky na prirodzený jazyk. Aristotelovská teória výroku a z nej vyplývajúca teória sylogizmov sú do veľkej miery predurčené štruktúrou vety ( jej zložením z mennej a slovesnej frázy). Pre zrod formálnej logiky bolo rozhodujúce, že sa logika od tejto závislosti na prirodzenom jazyku oslobodila. To bola zásluha Fregeho, ktorý priniesol do chápania vzťahu logiky a matematiky zásadnú zmenu. Boole síce používal jazyk matematiky ako nástroj na presnejšie uchopenie logického usudzovania (usudzovanie redukoval na riešenie algebraických rovníc). Ako problémy, ktoré pomocou svojho kalkulu skúmal, však akceptoval sylogizmy aristotelovskej logiky. Frege začal metódami logiky zapisovať nielen úsudky formulované v prirodzenom jazyku, ale aj matematické dôkazy. Matematickým sa tak stal nielen jazyk, ktorým zapisujeme logické usudzovanie, ale aj jazyk, ktorého úsudky skúmame. Už v rámci scholastickej logiky sa uskutočnili viaceré pokusy rozšíriť rámec logiky a zahrnúť doňho aj prvky stoickej výrokovej logiky. Tieto pokusy však neviedli k zásadnejšiemu prebudovaniu základov aristotelovskej logiky a nedosiahli mieru porovnateľnú s rozšírením rozsahu logiky, ku ktorému došlo v priebehu. storočia. Existuje tu určitá analógia medzi vznikom logiky a vznikom fyziky. Podobne ako Boole v logike aj Galileo vo fyzike chápal matematiku predovšetkým ako jazyk. A podobne ako Frege a Peano prinášajú matematizáciu predmetu logických analýz, keď nahrádzajú analýzu úsudkov formulovaných v prirodzenom jazyku štúdiom dôkazov v matematike, priniesol Descartes matematizáciu predmetu fyziky, keď predmety bežnej skúsenosti nahradil rozpriestranenými vecami. Akoby voľba matematického jazyka bola predstupňom omnoho radikálnejšej matematizácie, zasahujúcej samotný predmet skúmania.

5 Formálna epistemológia budúca syntéza Inak povedané, Frege spravil matematiku predmetom logickej analýzy. Tým logiku vymanil zo zajatia prirodzeného jazyka a prepojil ju s matematikou omnoho zásadnejšie než Boole. Ukázal, že formy usudzovania používané v matematike prekračujú medze aristotelovskej logiky. Zdá sa, že prístupy, ktoré spoločne vytvárajú prúd formálnej epistemológie, majú bližšie k Booleovmu než k Fregeho spôsobu použitia matematiky. Síce na opis procesu poznávania používajú jazyk matematiky, ale tento jazyk aplikujú na tradičné problémy, diskutované v epistemológii od čias jej vzniku ako filozofickej disciplíny. Preto ak chceme vytvoriť formálnu epistemológiu, musíme sa oslobodiť od analýzy problémov bežného poznania a zamerať sa na epistemologickú rekonštrukciu poznávacích procesov v matematike a fyzike. 1.4 Psychologizmus brániaci oddeliť formálnu a obsahovú stránku usudzovania Novoveká logika bola pred Fregem, Peanom a Russellom spravidla chápaná ako opis správneho myslenia. Takto rozumel logike ešte aj Boole. Toto psychologistické pojatie logiky sa okrem iného opiera o ilúziu, že aristotelovská teória sylogizmov, a predovšetkým subjekt-predikátová stavba súdu, na ktorej je táto teória založená, je adekvátnym nástrojom na budovanie logiky. Ľudské myslenie je intencionálne, naša pozornosť je vždy na niečo zameraná a v súde vyjadrujúcom myšlienku tomu zodpovedá subjekt. Preto pokiaľ zotrváme u príkladov, ktoré predostiera náš mentálny svet, subjekt-predikátová forma súdu sa zdá byť prirodzená. Frege pochopil, že logika má skúmať vzťahy vyplývania medzi propozíciami určitej vednej disciplíny, teda objektívne vzťahy medzi abstraktnými objektmi. Ako príklady, ktoré vo svojej logike skúmal, bral matematické propozície a dôkazy. V súčasnej dobe existuje rad prístupov, ktoré sa usilujú o zexaktnenie epistemológie. Tieto prístupy sa združujú do programu formálnej epistemológie a epistemológiu chcú zexaktniť pomocou formalizácie aktivít subjektu (prostriedkami teórie hier, bayesovskej indukcie a teórie racionálnej voľby). Podľa nás však predstavujú skôr paralelu k booleovskej algebre logiky opísanej vyššie. Oproti psychologistickému chápaniu logiky Frege požadoval, aby logika nebola o tom, ako majú reálne subjekty myslieť, ale bola formálnou vedou o vzťahoch vyplývania medzi propozíciami. Zdá sa preto rozumným požadovať, aby formálna epistemológia rovnako nebola o tom, ako subjekty poznávajú, ale o objektívnych vzťahoch medzi vedeckými teóriami. Preto štvrtou tézou formálnej epistemológii bude téza o nutnosti nahradiť chápanie poznania ako aktivity subjektu chápaním poznania ako objektívnych vzťahov medzi teóriami.

6 1.5 Použitie už existujúcej matematiky Boole zdieľal s Fregom cieľ matematizácie logiky. Jeho problémom však bolo, že prijal tradičnú logiku a na jej matematizáciu použil už existujúcu matematiku. Zatiaľ čo Booleovým cieľom bolo prostriedkami algebry zapísať aristotelovské sylogizmy presnejším spôsobom, Frege odmietol aristotelovský rámec a predmetom logických analýz spravil matematické dôkazy. Na zápis ich logickej formy vytvoril nový kalkul predikátový počet. Na rozdiel od Boolea je tak Frege tvorcom úplne novej matematiky. Zdá sa, že aj v tomto aspekte je dnešná formálna epistemológia bližšia k Booleovej snahe založiť formalizáciu logiky na už existujúcej matematike. Či už zoberieme epistemickú logiku, bayesovskú epistemológiu alebo teóriu racionálneho rozhodovania, všetko sú to príklady aplikácie už existujúcej matematiky na problémy tradičnej epistemológie. Tým pripomínajú skôr Boo lea než Fregeho. Preto ako piatu tézu možno formulovať tézu o nutnosti nahradiť používanie už existujúcej matematiky na opis poznania snahou odhaliť matematickú štruktúru poznania, ktorá môže viesť k objavu matematiky nového druhu. 1.6 Kladenie už existujúcich otázok Boole zotrval v okruhu otázok formulovaných v rámci klasickej logiky. Snažil sa síce sylogizmy aristotelovskej logiky zapísať prehľadným spôsobom, ale nepriniesol žiaden zásadne nový súbor problémov. Frege naproti tomu priniesol nový program známy ako logicizmus. Aj keď sa ukázalo, že je neuskutočniteľný, logicizmus bol jedným z hlavných projektov základov matematiky. Aj v tomto bode má formálna epistemológia bližšie k Booleovi než k Fregemu. Aby vznikla skutočne plodná formálna epistemológia, zdá sa, že je treba opustiť rámec otázok kladených v tradičnej epistemológii a pokúsiť sa formulovať nové problémové pole, ktoré vyrastá z vnútorných motívov rozvoja tejto disciplíny. Preto možno sformulovať šiestu tézu projektu formálnej epistemológie ako tézu o nevyhnutnosti opustiť problémovú oblasť tradičnej epistemológie a pokúsiť sa nájsť program, ktorý by dokázal vnútorne motivovať ďalší rozvoj formálnej epistemológie. Je pozoruhodné, že aj tento aspekt vzniku formálnej logiky má paralelu pri vzniku fyziky. Aj v prípade fyziky sa Galileo a Descartes snažili vytvoriť nové fyzikálne teórie prostriedkami už existujúcej matematiky. Bol to až Newton, ktorý si uvedomil, že na opis interakcie bude nutné vytvoriť úplne novú matematiku a druhý Newtonov zákon je v podstate prvou diferenciálnou rovnicou v dejinách, teda matematickým objektom úplne nového typu.

7 Formálna epistemológia budúca syntéza 2. Rekonštrukcia Fregeho formalizácie logiky Ako sme uviedli, pre zrod formálnej logiky bolo rozhodujúce, že Frege prešiel od logickej analýzy úsudkov formulovaných v prirodzenom jazyku k analýze matematických dôkazov. Vďaka odmietnutiu psychologizmu logický úsudok nevnímal ako akt subjektu, ale ako objektívny vzťah medzi propozíciami. Tento vzťah tvorí logickú formu úsudku. Samozrejme, každý úsudok má okrem logickej formy aj určitý obsah, ktorý je od logickej formy nezávislý. Úlohou logickej analýzy je oddeliť logickú formu od obsahu a overiť, či záver úsudku vyplýva z predpokladov výlučne na základe logickej formy. Frege kvôli tomu vytvoril notačný systém, ktorý nazval pojmovým písmom. Pojmové písmo zobrazuje logickú formu určitej propozície spôsobom, pri ktorom je logická forma oddelená od obsahu. Okrem toho obsahuje niekoľko odvodzovacích pravidiel, pomocou ktorých možno overiť, či záver vyplýva z predpokladov výlučne na základe logickej formy. Frege tak dosiahol plnú formalizáciu logiky. Je možné, že ak chceme, aby epistemológia dosiahla úroveň formalizácie porovnateľnú s logikou, bude potrebné pokúsiť sa o analogické oddelenie epistemickej formy od obsahu. Je otázne, či na dosiahnutie tohto cieľa bude nutné vytvoriť notačný systém, analogický Fregeho pojmovému písmu, ktorý by umožňoval kontrolovať korektnosť pripisovania epistemologického statusu podobne, ako Fregeho pojmové písmo umožňuje kontrolovať korektnosť pripisovania logickej platnosti. Nech je tomu akokoľvek, z pohľadu projektu formálnej epistemológie je užitočné pokúsiť sa porozumieť spôsobu, akým Frege svoj notačný systém vytvoril. 2.1 Prechod od pojmu k propozícii ako základnej úrovni logickej analýzy Aristotelovská logika považovala za základnú úroveň, z ktorej začínala logickú analýzu, rovinu pojmov. Aj keď Frege svoj notačný systém nazval pojmovým písmom, za základnú úroveň logickej analýzy vzal namiesto pojmov propozície. Inak povedané, základné prvky, z ktorých pri analýze vychádzal, boli prvky, ktoré môžu byť pravdivé alebo nepravdivé. Dalo by sa povedať, že Frege posunul základnú úroveň logickej analýzy z úrovne pojmov na úroveň propozícií. Aj v epistemológii bude asi nevyhnutné zmeniť rovinu, na ktorej začneme formalizáciu. Tak ako Frege prešiel od pojmov k propozíciám, bude v epistemológii účelné prejsť od propozícií k teóriám (alebo modelom) ako základným jednotkám, ktorým pripisujeme epistemický status.

8 2.2 Prechod od subjekt-predikátovej analýzy propozície k analýze na funkciu a argumenty Aristotelovská logika chápala súd ako spojenie subjektu s predikátom. Toto pojatie sa udržalo ešte u Boolea. Aristotelovo pojatie súdu je prirodzené z psychologického hľadiska. Naše myslenie je intencionálne, keď premýšľame, naša myseľ je zameraná na niečo, čo máme sklon považovať za subjekt. To, čo o tomto subjekte vypovedáme, je prirodzené považovať za predikát, ktorý o subjekte tvrdíme. Frege po odmietnutí psychologizmu odlíšenie subjektu a predikátu prehlásil za rétorický dôraz, ktorý s logickou formou nesúvisí. Okrem psychologického hľadiska je subjekt-predikátové pojatie súdu prirodzené aj z hľadiska výstavby aristotelovskej logiky. Ak za základnú úroveň logickej analýzy považujeme úroveň pojmov, je prirodzené predpokladať, že najjednoduchší súd vzniká spojením dvoch pojmov, z ktorých jeden je subjekt a druhý je predikát. Vzhľadom na to, že Frege za základnú úroveň logickej analýzy berie propozície, nemá dôvod privilegovať súdy vzniklé spojením dvoch pojmov. Navyše, pri analýze matematických tvrdení, ktorými nahradil súdy formulované v prirodzenom jazyku, sa subjekt-predikátová forma ukazuje ako neadekvátna. U matematických tvrdení nie je jasné, čo by malo byť subjektom a čo jeho predikátom. Preto Frege nahradil aristotelovský spôsob analýzy súdu na subjekt a predikát jeho analýzou na funkciu a jej argumenty. Keď hľadáme analógiu subjekt-predikátovej stavby súdu v oblasti epistemológie, napadá nás analyticko-syntetická stavba poznania. Tak ako v logike aj tu je protiklad psychologického pôvodu. Analytické poznanie je to, ku ktorému môžeme dospieť uvažovaním, kým syntetické je to, k získaniu ktorého potrebujeme zmysly. Odlišovanie právd rozumu a právd zmyslov sa tiahne celými dejinami epistemológie. Keď Quine upozornil na neostrosť hranice medzi analytickým a syntetickým, poukázal na dôležitý problém. Jeho čin však nemožno porovnať s Fregeho prínosom v logike. Quine zotrval na úrovni odlíšenia analytického a syntetického, iba hranicu medzi nimi rozmazal. Naproti tomu keď Frege ukázal, že hranica medzi subjektom a objektom je neostrá, analýzu súdu na subjekt a objekt nahradil abstraktnejšou analýzou na funkciu a argumenty, čím zrevolucionizoval logiku. Preto sa nesmieme uspokojiť s Quineovým rozmazaním rozdielu medzi analytickým a syntetickým poznaním, ale musíme analýzu poznania na analytické a syntetické nahradiť abstraktnejšou. 2.3 Zmena úrovne elementárnosti a zavedenie implikácie ako logickej spojky Prepisom propozícií do pojmového písma sa ukázalo, že to, čo Aristoteles považoval za elementárnu formu súdu (napríklad Každý človek je smrteľný ), je

9 Formálna epistemológia budúca syntéza z hľadiska Fregeho formalizácie zložený výrok (implikácia ( x)(č(x) S(x))). V aristotelovskej logike bola teda implikácia prítomná implicitne, ukrytá v spojení subjektu s predikátom. Frege spravil skrytú logickú formu Aristotelovho súdu plne explicitnou. To, čo Aristoteles považoval za elementárny súd spojenie dvoch pojmov pomocou spony, je hľadiska logickej formy implikácia. Potom ako ju spravil plne explicitnou, Frege implikáciu premenil v logickú spojku. To je zásadná zmena. Aristoteles mohol mať v každom súde iba jednu implikáciu (skrytú v spone), kým Frege ich môže mať ľubovoľný počet. Navyše Frege zásadným spôsobom zmenil Aristotelov pojem elementárneho súdu. U Aristotela bol elementárny súd spojením dvoch pojmov. To je však podľa Fregeho zložený súd. Elementárnym súdom je spojenie funkcie (t.j. jedného pojmu, či už predikátu alebo relácie) a argumentov (referujúcich výrazov majúcich tvar mena, konštanty, premennej alebo termu). Táto úroveň v aristotelovskej logike nebola analyzovaná. Frege si uvedomil, že súd je spojenie pojmu a mena, čo je čosi zásadne odlišného od spojenia dvoch pojmov. Keď prijmeme, že základnou jednotkou epistemologickej analýzy je teória, tak narazíme na zásadný problém, že pojem teórie v epistemológii nie je rozpracovaný. Epistemológia prebrala pojem teórie z logiky a teóriu vníma ako súbor propozícií. Preto v epistemológii vlastne nemáme analógiu aristotelovského chápania súdu ako spojenia dvoch pojmov, ktorého epistemickú formu by sme mali urobiť plne explicitnou a voči ktorej by sme sa mali posunúť o jednu úroveň hlbšie. Ako zásadný problém vidíme vypracovaní takého epistemologického pojmu teórie, ktorý by nekopíroval logický pojem. 2.4 Zmena miesta negácie a zavedenie negácie ako logickej spojky Podobnú zmenu ako s implikáciou spravil Frege aj s negáciou. Na rozdiel od implikácie negácia bola v aristotelovskej logike explicitne prítomná. Aristoteles delil súdy na pozitívne a negatívne podľa toho, či subjektu predikát prisudzujeme (ako v súde Niektorý človek je smrteľný ) alebo upierame (ako v súde Niektorí bohovia nie sú smrteľní ). To znamená, že negácia vstupuje do súdu cez sponu a mení spojenie subjektu a predikátu. Preto v aristotelovskej logike súd môže obsahovať nanajvýš jednu negáciu. Frege opustil subjekt-predikátovú stavbu súdu, preto v pojmovom písme nemá ekvivalent Kvôli jednoduchosti sme Fregeho notáciu nahradili dnešnou. Odhalením implikácie skrytej v aristotelovskej logike Frege prelomil bariéru, ktorá oddeľovala aristotelovskú logiku od stoickej. Keď aristotelovskú logiku prepíšeme tak, že implikáciu v nej skrytú spravíme plne explicitnou, možno túto teóriu priamo spojiť so stoickou logikou, ktorá skúma fungovanie tejto spojky.

10 spony. Negáciu preto mení na logickú spojku. Ako logická spojka sa negácia môže kombinovať s implikáciou, čo umožňuje generovať propozície s logickou formou narastajúcej komplexnosti. Súčasne s tým Frege mení aj Aristotelovu klasifikáciu elementárnych súdov. Keďže u Aristotela negácia vstupovala do elementárneho súdu, Aristoteles delil elementárne súdy na pozitívne a negatívne. Podľa Fregeho negácia do elementárneho súdu nevstupuje, takže všetky elementárne súdy sú pozitívne. Frege negáciu odstránil zo stavby elementárnych súdov a urobil z nej stavebný prvok logickej formy. Nie je jasné, čo je epistemologickou analógiou negácie. Faktom je, že teórie sa rôzne spájajú, napríklad magnetohydrodynamika je spojením elektrodynamiky s hydrodynamikou a opisuje tekutiny majúce elektrický náboj, akou je napríklad ionizovaný plyn. Zdá sa, že epistemológia zatiaľ otázku spájania teórií netematizovala. Je možné, že operácie, ktoré budú hrať v epistemológii analogickú úlohu, akú hrajú implikácia a negácia v logike, sa budú týkať spájania teórií. Tu možno rozlíšiť zovšeobecnenie, keď jedna teória je zahrnutá do druhej ako špeciálny prípad, doplnenie, ako je tomu v prípade magnetohydrodynamiky, kde sú obe teórie na rovnakej úrovni všeobecnosti, a ďaľšie. 2.5 Zmena spôsobu kvantifikácie, kvantifikátor ako logický operátor V aristotelovskej logike súd vzniká spojením subjektu a predikátu, pričom kvantifikácia sa týka subjektu a určuje rozsah (kvantitu), v akom predikát prisudzujeme subjektu. Súdy sa potom delia na všeobecné, partikulárne a singulárne podľa toho, či o subjekte príslušný predikát tvrdíme všeobecne ( Každý človek je smrteľný ), čiastočne ( Niektorý človek je smrteľný ) či jednotlivo ( Sokrates je smrteľný ). Tento prístup pôsobí prirodzene, lebo kopíruje jazykovú prax. Frege nahradil subjekt-predikátovú analýzu súdu analýzou na funkciu a argument, čím oslobodil kvantifikáciu z jej väzby na subjekt. Kvantifikácia sa týka argumentov a nie subjektu. Pretože súd môže mať viac argumentov, môže obsahovať viac kvantifikátorov. Kým aristotelovská logika má monadickú kvantifikáciu, teda kvantifikuje sa jediný prvok súdu, a to subjekt, Fregeho logika má polyadickú kvantifikáciu, v ktorej propozícia môže obsahovať viac kvantifikátorov. Okrem toho Frege rozšíril rozsah kvantifikácie z elementárneho súdu tak kvantifikácia fungovala u Aristotela aj na zložený súd. Rozsahom kvantifikátora je podľa Fregeho podformula. Takto sa kvan- Možno by bolo presnejšie povedať, že sponu ako jazykovú reprezentáciu spojenia subjektu s predikátom nahradil syntaktickým pravidlom, ktoré riadi spájanie funkcionálneho symbolu s termom. V matematickej notácii je to vyjadrené pomocou zátvoriek (ako f(x)), a tak možno povedať, že Frege nahradil sponu zátvorkami (ohraničujúcimi oblasť argumentov funkcionálneho symbolu). V notácii rozšírenej vo filozofických textoch sa však zátvorky nepíšu a dosadenie argumentu do funkcionálneho symbolu sa riadi syntaktickým odlíšením typu písmen pre funkcie a termy (ako Fx). Takže je presnejšie tvrdiť, že Frege zabudoval sponu do syntaxe.

11 Formálna epistemológia budúca syntéza tifikovanie, vedľa implikácie a negácie, stáva ďalším prvkom logickej formy. Systém pojmového písma obsahuje súbor pravidiel reťazenia znakov pre implikáciu, negáciu a kvantifikáciu, pomocou ktorých dokáže vyjadriť logickú formu ľubovoľného tvrdenia matematiky. Niečo takého aristotelovská logika nedokázala. Hľadať epistemologickú operáciu analogickú kvantifikácii by nemuselo byť ťažké. Existujú viaceré pokusy kvantifikovať mieru verifikácie vedeckých teórií rovnako ako v bayesovskej epistemológii sú rozpracované metódy kvantifikácie stupňa subjektívneho presvedčenia. To, že zatiaľ žiadny z nich neuspel, môže súvisieť s tým, že ešte stále máme monadickú epistemológiu. 2.6 Nahradenie kvantifikácie pojmu kvantifikáciou premennej Skutočnosť, že kvantifikácia sa vo Fregeho pojatí týka argumentu a nie subjektu, má rad dôsledkov. Dva z nich sme už spomenuli. Jednak pri rozklade súdu na funkcionálnu a argumentovú časť môžeme vyčleniť viacero argumentov, čo má za následok, že v jednom súde sa môže vyskytovať niekoľko kvantifikátorov. Navyše ten istý argument môže v súde vystupovať na viacerých miestach, preto vo Fregeho pojmovom písme je určené, ktoré výskyty premennej daný kvantifikátor viaže. Okrem týchto dvoch aspektov pri prechode od aristotelovskej k fregeovskej kvantifikácii vystupuje ještě ďalší, ktorý si zasluhuje samostatný rozbor. Prv než k nemu pristúpime, uvedieme jeho analógiu pri prechode od Euklidovej syntetickej geometrie k Descartovej analytickej geometrii. Pri tomto prechode sa mení úroveň elementárnosti. Pre Euklida je kružnica jednoduchý objekt. Podľa Euklida sa kružnica neskladá z bodov. Bod môže na kružnici ležať, ale je to vzťah dvoch samostatných objektov, podobne ako dotyk priamky a kružnice. Naproti tomu pre Descarta je kružnica miestom všetkých bodov roviny, ktoré spĺňajú určitú rovnicu, a tak kružnica je objekt zložený z bodov. Prechod od Euklida k Descartovi prináša zmenu aj ohľadne základného pojmu Euklidovej geometrie, ktorým je priama čiara (grécky eitheia). Pre Descarta, rovnako ako pre nás, je základným objektom geo metrie priamka, teda priama čiara ubiehajúca do nekonečna. Euklidove priame čiary označujeme termínom úsečka, sú teda niečím, čo je z priamky useknuté. Úsečka je tak pre nás objekt odvodený. Euklides naopak považoval za základné objekty priame čiary konečnej dĺžky, pričom jeho druhý postulát zabezpečoval, že priamu čiaru možno na ľubovoľnom konci predĺžiť. Pre dnešného čitateľa znie toto predlžovanie zvláštne, lebo naše priamky predlžovať netreba, ubiehajú až do nekonečna. Táto druhá zmena súvisí s tým, že v dôsledku zmeny úrovne elementárnosti pre Descarta priamka už nie je jednoduchý objekt, ale je tvorená bodmi. Priamka zodpovedá lineárnej rovnici ax by c 0, čo je lineárna forma, pričom premennými x a y prebiehajú

12 všetky reálne čísla. A práve nahradenie elementárneho objektu (Euklidovej priamej čiary) grafom formy (Descartovou priamkou) si vynucuje, aby priamka ubiehala do nekonečna. Keď sa vrátime k Fregeho pojatiu kvantifikácie, aspekt, ktorý ideme vyložiť, možno najlepšie pochopiť ako paralelu s uvedenou zmenou v geometrii. Aristotelovská kvantifikácia sa týka subjektu súdu, ktorý označuje určitú triedu. Je to obmedzená kvantifikácia, ktorá má jasne vymedzené hranice (tak ako Euklidova priama čiara). Frege zmenil úroveň elementárnosti a z Aristotelovho elementárneho súdu Každé A je B urobil implikáciu ( x) (A(x) B(x)), čím urobil niečo blízke Descartovi elementárny objekt nahradil formou. Kvantifikácia, ktorá určuje rozsah formy, je už neobmedzená: kvantifikácia prebieha celým univerzom objektov. To je zásadná zmena oproti chápaniu kvantifikácie u Aristotela, ktorú si možno uvedomiť na vzťahu univerzálneho a partikulárneho súdu. Uvažujme súdy Každý kôň je čierny a Niektorý kôň je čierny. Podľa Aristotela z prvého vyplý va druhý keď sú všetky kone čierne a zoberieme ľubovoľného koňa, ten bude nevyhnutne tiež čierny. Frege však prvý súd prepíše do tvaru ( x)(k(x) Č(x)), kým druhému dá tvar ( x)(k(x) Č(x)). Druhý súd tvrdí existenciu, a tak nemôže vyplývať z prvého. Keby žiadne kone neexistovali, bol by prvý súd pravdivý, kým druhý by pravdivý nebol. Keď chceme vytvoriť formálnu epistemológiu, bude potrebné uskutočniť zmenu chápania rozsahu elementárnych prvkov teórie, analogickú tej, akú urobili Descartes a Frege. Základná literatúra Aristoteles, První analytiky. Přel. A. Kříž. Praha, Nakladatelství ČSAV Boole, G., The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge Frege, G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879). Hildesheim, Georg Olms Anglický preklad in: Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic Cambridge, Mass., Harvard University Press 1967, s Kneale, W. Kneale, M., The Development of Logic. Oxford, Oxford University Press Kolman, V., Logika Gottloba Frega. Praha, Filosofia Kvasz, L., Patterns of Change, Linguistic Innovations in the Development of Classical Mathematics. Basel, Birkhäuser Verlag AG Kvasz, L., Zrod vedy ako lingvistická udalosť. Galileo, Descartes a Newton ako tvorcovia jazyka fyziky. Praha, Filosofia 2013.

13 Formálna epistemológia budúca syntéza Kvasz, L., Na ceste k formálnej epistemológii. Teorie vědy, XXXVI, 2014, mimořádné číslo k 90. narozeninám Ladislava Tondla: Věda kultura, veřejnost, s Kvasz, L., Inštrumentálny realizmus. Praha, Pavel Mervart Peano, G., Arithmetices principia nova methodo exposita (1889). Anglický preklad in: Selected Works of Giuseppe Peano. Ed. H. C. Kennedy. Toronto, Toronto University Press Quine, W. v. O., Naturalizace epistemologie (1969). Přel. T. Marvan. In: Quine, W. v. O., Vybrané články k ontologii a epistemologii. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni 2006, s Russell, B., Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics 30, 1908, s Pretisk in: Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic Cambridge, Mass., Harvard University Press 1967, s Heijenoort, J. van, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic Cambridge, Mass., Harvard University Press Whitehead, A. N. Russell, B., Principia mathematica. Vol 1. Cambridge, Cambridge University Press Slovenský preklad stránok 1 86 viz in: Zouhar, M., Russell. Jazyk a poznanie. Bratislava, Kalligram 2005, s