NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA KONSTRUKCIJA

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA KONSTRUKCIJA Doktorska disertacija Goran Vukelić Rijeka, 20.

2

3 SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA KONSTRUKCIJA Doktorska disertacija Goran Vukelić Mentor: Red. prof. dr. sc. Josip Brnić Rijeka, 20.

4

5 Predgovor Želio bih se zahvaliti mentoru, red. prof. dr. sc. Josipu Brniću, na vodstvu tijekom istraživanja koje je prethodilo ovom radu, kao i na korisnim sugestijama te pregledu predloženog rukopisa doktorske disertacije. Njegovo iskustvo i sposobnost usmjeravanja na sagledavanje problema na nov način bilo je od dragocjene pomoći. Također, rad na ovom istraživanju ne bi bio moguć bez potpore Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske temeljem projekta br pod naslovom "Numerička analiza odziva konstrukcija za određena područja eksploatacije" s red. prof. dr. sc. Josipom Brnićem kao glavnim istraživačem. Ističem i suradnju s kolegama na Zavodu za tehničku mehaniku Tehničkog fakulteta u Rijeci koji su me zadužili svojim nesebično prenesenim znanjem. Boravak i istraživački rad na fakultetu Vysoké učení technické v Brnu, Češka, oplemenili su me novim i korisnim spoznajama bitnim u izradi ovog rada. Ovaj je četveromjesečni boravak realiziran putem znanstvenog projekta ( ), a u okviru potpisane ERASMUS razmjene između Sveučilišta u Rijeci (Tehnički fakultet u Rijeci/Zavod za tehničku mehaniku) i Sveučilišta u Brnu (Vysoké učení technické v Brnu/Zavod za mehaniku). I

6 Veliku zahvalnost dugujem i svojoj obitelji, roditeljima i sestri koji su mi bili potpora kroz školovanje i život te supruzi na ohrabrenju i požrtvovnosti tijekom izrade ovog rada. Stoga ovaj rad posvećujem njima. II

7 Sažetak U ovom je radu, uz pregled razvoja mehanike loma, a sukladno značaju kojeg ona ima u projektiranju konstrukcija, razvijen algoritam za procjenu otpornosti materijala konstrukcijskih elemenata spram širenja pukotina. Tako je razvijen numerički algoritam za izračun J integrala kao parametra lomne žilavosti. Numeričkom je analizom dobivena promjena J integrala ovisno o povećanju (porastu) pukotine, a ta je promjena opisana u rezultirajućim J-R krivuljama. Iz njih su određene kritične vrijednosti lomne žilavosti za tri različita materijala koji se često koriste u konstrukciji posuda pod tlakom, čelika 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijske slitine AA606. Numerička su ispitivanja najprije izvedena na modelima standardiziranih epruveta SENB i CT izrađenih iz spomenutih materijala s različitim veličinama pukotine, a, koje su definirane u odnosu na ukupnu visinu epruvete, W (a/w = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Nakon toga, numerička su ispitivanja izvedena i na modelima posuda pod tlakom s unutarnjom pukotinom koaksijalnom s uzdužnom osi posude, različitih veličina, a, gdje je veličina definirana u odnosu na debljinu stijenke, t =W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625). Uz to, numerički je model verificiran tenzometrijskim ispitivanjima provedenim na stvarnoj posudi pod tlakom izrađenoj iz čelika 50CrMo4. Putem standardiziranih epruveta, za dva su materijala vrijednosti J integrala dobivene numeričkim algoritmom uspoređene putem J- R krivulja s dostupnim eksperimentalnim istraživanjima drugih autora, pri čemu je pokazana dobra podudarnost. III

8 Abstract An algorithm for assessment of materials crack growth resistance is developed in this work, along an overview of fracture mechanics according to its significance in structure design. Consequently, a numerical algorithm for calculation of J integral as a parameter of fracture toughness is developed. Numerical analysis gives change of J integral in reference to crack growth and dependence is described in the resulting J-R curves. Such curves are used to determine critical values of fracture toughness for three different materials, steels 20MnMoNi55 and 50CrMo4 and aluminum alloy AA606, that are commonly used in pressure vessel manufacture. Numerical investigation is first conducted on the models of standardized SENB and CT specimens made of mentioned materials, with different crack sizes, a, that are defined relative to specimen's width, W (a/w = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Next, numerical investigations are conducted on pressure vessel models containing inner crack coaxial with longitudinal axis, whose size, a, is defined relative to the pressure vessel wall thickness, t = W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625). Besides, numerical model is verified by tensometric measurements conducted on a real pressure vessel made of 50CrMo4 steel. Using standardized specimens, J integral values obtained by numerical algorithm are compared through J-R curves with available experimental results of other authors for two materials and a good correspondence is shown. V

9 Sadržaj Predgovor I Sažetak III Abstract V. Uvod 2. Mehanika loma Dosadašnje spoznaje Utjecaj značajki materijala na lom 3 3. Linearno elastična mehanika loma Naprezanje pri vrhu pukotine Koeficijent intenzivnosti naprezanja Koeficijent intenzivnosti naprezanja kao kriterij loma Promjena energije deformiranja Veza koeficijenta intenzivnosti naprezanja i promjene energije deformiranja Područje valjanosti linearno elastične mehanike loma Elastično-plastična mehanika loma Otvaranje vrha pukotine J integral Neovisnost J integrala o liniji integriranja Veza J integrala i polja naprezanja pri vrhu pukotine 3 VII

10 Veza J integrala i CTOD J integral kao parametar loma Određivanje J integrala Analitički određeni J integral Eksperimentalno-analitički određeni J integral Eksperimentalno određivanje J integrala za SENB epruvetu Eksperimentalno određivanje J integrala za CT epruvetu J integral za rastuće pukotine Numerički određeni J integral Rješenje J integrala za elastoplastično područje Rješenje J integrala za plastično područje J-R krivulje i parametar lomne žilavosti Eksperimentalne metode za određivanje stabilnog širenja pukotine Konstrukcija J-R krivulje Određivanje parametra lomne žilavosti kod nestabilnog širenja pukotine Numerička mehanika loma Metoda konačnih elemenata Integral energetske domene Teorija integrala energetske domene Primjena teorije integrala energetske domene u metodi konačnih elemenata Opće rješenje integracije J integrala u metodi konačnih elemenata Dvodimenzijski problemi Trodimenzijski problemi Oblikovanje mreže konačnih elemenata u mehanici loma Oblikovanje dvodimenzijske mreže konačnih elemenata Oblikovanje trodimenzijske mreže konačnih elemenata Numeričko određivanje J integrala - SENB i CT epruvete Ispitivani materijali SENB i CT epruvete 83 VIII

11 8.2.. Modeliranje epruveta metodom konačnih elemenata Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 2D konfiguracija J-R krivulje za razmatrane materijale Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R dijagrama Određivanje kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti, J Ic Usporedba kritičnih vrijednosti parametra lomne žilavosti J Ic za razmatrane materijale Numerička aplikacija J integrala - posude pod tlakom Posuda pod tlakom Modeliranje metodom konačnih elemenata Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala Tenzometrijska mjerenja nad posudom pod tlakom Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 3D konfiguracija 9.4. J-R dijagrami za posude pod tlakom Određivanje kritične lomne žilavosti, J u Parametar lomne žilavosti za razmatrane materijale 7 0. Zaključak 9 Popis literature 22 Popis oznaka i simbola 29 Popis slika 3 Popis tablica 37 Životopis 38 IX

12 . Uvod Naprezanje na granici tečenja i lomna žilavost dvije su značajke materijala koje se najčešće koriste u procesu dizajna konstrukcija. Naprezanje na granici tečenja važno je kod klasičnog pristupa dizajniranju, odnosno u dizajnu konstrukcija spram plastičnog deformiranja, dok se lomna žilavost materijala rabi kod dizajniranja konstrukcija spram otpora na pojavu i širenje pukotina. Takav je pristup dizajniranju karakterističan za mehaniku loma koja, uz lomnu žilavost, u obzir uzima i moguću veličinu pukotine te razinu naprezanja kod konstrukcije koja se dizajnira. Mehanika loma kao svoj cilj istraživanja ima predviđanje pojave grešaka/kvarova, a time i mogućeg loma konstrukcije koja sadrži pukotine u svojoj strukturi ili postoji mogućnost njihova nastanka i razvoja. Pri tome se u obzir uzimaju značajke poput naprezanja u konstrukciji, veličine pukotine i otpornost lomu odnosno otpornost širenju pukotine koja opisuje vrijednost lomne žilavosti korištenog materijala. Standardi ispitivanja lomne žilavosti propisuju oblike i vrste epruveta kao i procedure ispitivanja. Propisanim se standardima mogu dobiti pojedinačne vrijednosti lomne žilavosti ili krivulje otpora, gdje su parametri žilavosti, poput faktora intenzivnosti naprezanja, K (engl. stress intensity factor, SIF), J integrala (engl. path-independent contour integral) ili otvaranje vrha pukotine, CTOD (engl. crack tip opening displacement ), bilježene spram otvaranja/produljenja pukotine. Drugim riječima, standardi propisuju dobivanje K Ic, K-R; J Ic, J-R ili CTOD. U prethodnim se oznakama indeksni zapis (I c ) odnosi na

13 mogući prvi oblik otvaranja pukotine, dok slovna oznaka "c" u istom indeksu označava da se radi o kritičnoj vrijednosti parametra. Moderne numeričke metode pružaju mogućnost nadogradnje ili zamjene skupih eksperimentalnih ispitivanja. Pri tome je od velike važnosti metoda konačnih elemenata pomoću koje se može vršiti analiza konstrukcija s određenog gledišta, ali između ostalog, i uspješno modeliranje stanja naprezanja i deformacije u epruvetama pri uvjetima koji odgovaraju eksperimentalnim. Dobar dio računalnih programa koji se koristi metodom konačnih elemenata još uvijek ne nudi mogućnost izračuna vrijednosti lomne žilavosti ili tu mogućnost nudi tek u svojim skupim nadogradnjama. Zato se razvijanje vlastitog algoritma za izračuvanje značajki otpora lomu za mnoge korisnike nameće kao nužnost. U ovom je radu uz pomoć računalnog programa Matlab razvijen jedan takav algoritam kojim se može izračunati vrijednost J integrala kod konstrukcija koje u svojoj strukutri sadrže pukotinu. Kao ulazni se podaci koriste rezultati analize naprezanja provedene u konačnoelementnom programu Ansys. Svaka epruveta koja sadrži početnu (inicijalnu) pukotinu (veličine a) podvrgnuta je određenoj razini opterećenja. Ova razina opterećenja osigurava i plastifikaciju oko vrha pukotine, sukladno podacima o svojstvima materijala. Modelirano je širenje (rast) ovakve pukotine do određene veličine. Na taj je način numerički dobivena vrijednosti J integrala za svako spomenuto proširenje a, a što je skupno prikazano kao set podataka vrijednosti J-a. Ovakav set podataka predstavlja teorijsku (predvidivu/proračunsku) krivulju (J-R), što se uobičajeno naziva/smatra mjerom sile razvoja pukotine (engl. crack driving force), a koja je slična onoj što se dobiva eksperimentalnim putem i koja se tada naziva krivulja rezistencije ili otpora, prikazujući promjenu vrijednosti J integrala pri širenju pukotine. Iz J-R dijagrama određuje se kritična vrijednost parametra žilavosti J Ic. U nastavku rada neće se posebno više isticati da su dobiveni ovakvi setovi J-R podataka teorijski, tj. numerički dobiveni. Motivacija za izradu takvog algoritma bila je u želji da se zainteresiranim krajnjim korisnicima ponudi alternativni način izračuna J integrala kao značajke mehanike loma koja je široko primjenjiva, i pri linearno elastičnom i pri elastoplastičnom ponašanju 2

14 materijala. Uz to, autora je motivirala i želja da se dostupnim učine rezultati takvog proračuna izvedeni nad posudama pod tlakom koji svoju svrhu nalaze pri dizajniranju, konstruiranju i inspekciji takvih struktura. Numerička su ispitivanja provedena za tri vrste materijala koje se obično koriste pri izradi posuda pod tlakom, i to čelike 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijsku slitinu AA606. Metodom konačnih elemenata modelirani su oblici SENB i CT epruveta podvrgnutih opterećenju koje odgovara prvom obliku (I vlačno opterećenje), a zatim je provedena i analiza naprezanja. Dobiveni rezultati analize naprezanja iskorišteni su za izračun pripadajućih vrijednosti J integrala. Također, dobiveni rezultati za materijal 20MnMoNi55 i materijal AA606 uspoređeni su s eksperimentalno dobivenim rezultatima, dostupnim iz literature. Isti je postupak numeričkog određivanja J integrala, osim za spomenute epruvete, proveden i za primjere posuda pod tlakom izrađenih od sva tri navedena materijala, a koje posude sadrže aksijalnu pukotinu. Realno su, međutim, mjerenja deformacija/naprezanja izvedena na posudi pod tlakom izrađenoj iz materijala 50CrMo4, i to bez pukotine i s pukotinom. Na taj je način potvrđena točnost dobivenih vrijednosti rezultata numeričke analize. Time je zapravo potvrđena i kompatibilnost J-R krivulja dobivenih temeljem numeričke analize budući da su analognom numeričkom analizom epruveta, za preostala dva materijala, dobivene J-R krivulje imale analogne rezultate onima koji su dobiveni eksperimentalnim ispitivanjima, a rezultati su dostupni iz literature. Rad je organiziran u deset poglavlja. U drugom je poglavlju prikazan nastanak i razvoj mehanike loma. Dan je pregled važnijih ostvarenja i iskoraka na području mehanike loma do danas s posebnim osvrtom na primjenu postavki mehanike loma na posude pod tlakom. Objašnjen je utjecaj značajki materijala na vrstu loma te mehanizmi loma. Treće poglavlje sadrži pregled osnovnih značajki mehanike loma kod pojave i širenja pukotina pri linearno elastičnom ponašanju materijala. Uz tri osnovna načina otvaranja pukotine objašnjeni su i koeficijent intenzivnosti naprezanja te promjena energije deformiranja kao značajke loma. 3

15 Četvrto se poglavlje odnosi na pojavu i širenje pukotine pri elastoplastičnom ponašanju materijala. Na postavkama elastoplastične mehanike loma temelji se ostatak rada te je, uz prikaz parametra otvaranja pukotine, posebna pozornost pridana definiranju J integrala. Objašnjen je i način na koji se J integral može, putem otpornih J-R krivulja, koristiti kao značajka/parametar loma. Osim analitičkim putem, J integral se može odrediti i putem eksperimentalnoanalitičkih i numeričkih izraza. Njima je posvećeno peto poglavlje u kojem su prikazani izrazi za J integral kod standardniziranih epruveta, dobiveni eksperimentalnim putem. Dan je i izraz za određivanje J integrala za elastično i plastično ponašanje materijala. U šestom je poglavlju prikazan način konstruiranja J-R krivulja otpora na temelju vrijednosti J integrala vezanih uz veličinu rasta/širenja/produljenja pukotine. Objašnjen je postupak za dobivanje J-R krivulja eksperimentalnim putem. Dani su uvjeti prema kojima se iz J-R krivulja može odrediti kritična vrijednost parametra lomne žilavosti, J Ic ili J u. Poglavlje sedam daje temelje numeričkoj implementaciji postavki mehanike loma. Prikazan je način određivanja J integrala putem metode integrala energijske domene te putem izravnog izračuna korištenjem linijskog i površinskog integrala, i to za dvodimenzijske i trodimenzijske probleme. Dane su smjernice kod odabira vrste konačnih elemenata kod numeričkog modeliranja problema mehanike loma putem metode konačnih elemenata, te način dizajniranja mreže (diskretizacija područja) pri vrhu pukotine. U osmom je poglavlju obrazložena konstrukcija algoritma za izračuna J integrala te prikazana primjena kod određivanja J-R krivulja za standardizirane epruvete izrađene od tri vrste materijala koji se koriste u izradi posuda pod tlakom. Definirani su ulazni podaci u smislu značajki razmatranih materijala, geometrije i dimenzija epruveta, korištene mreže konačnih elemenata te vrijednosti numeričke analize naprezanja. Prikazane su 4

16 rezultirajuće J-R krivulje za tri razmatrana materijala, dvije vrste epruveta te pet početnih veličina pukotine, kao i kritične vrijednosti J integrala. Deveto poglavlje prikazuje primjenu algoritma za numerički izračun J integrala na primjeru posude pod tlakom koja sadrži aksijalnu pukotinu u stijenci. Razvijen je konačnoelementni submodel koji je prethodno verificiran putem tenzometrijskih ispitivanja na stvarnoj posudi pod tlakom. Dijagrami prikazuju rezultirajuće J-R krivulje te kritične vrijednosti J integrala za ispitivane posude. Deseto poglavlje donosi osvrt na dobivene rezultate, diskusiju i opažanja. Rezultati su uspoređeni s dostupnim rezultatima drugih autora, eksperimentalnim ili numeričkim. Doneseni su zaključci o valjanosti metode izračuna J integrala te dane smjernice za buduća istraživanja. U radu su također sadržani popisi korištenih oznaka, slika, tablica i literature. 5

17 2. Mehanika loma Istražujući lomove konstrukcija kroz povijest, inženjeri su otkrili da je većina lomova uzrokovana nastankom i širenjem pukotina u konstrukcijama. Pukotine mogu biti posljedica nesavršenosti u materijalu, pogrešaka kod dizajniranja ili montaže, agresivne okoline i oštećenja tijekom uporabe. Pukotine se razvijaju od mikroskopskih veličina do dimenzija koje mogu biti primjećene golim okom, a takav rast pukotine često može uzrokovati lom konstrukcije i opasnost po ljudske živote. Kroz istraživanje pojave i širenja pukotine te lomova konstrukcija razvila se mehanika loma (eng. fracture mechanics) kao dio mehanike čvrstih tijela koji se bavi proučavanjem ponašanja tijela koja sadrže pukotine i izložena su deformacijama i naprezanjima. Glavni cilj istraživanja mehanike loma su polja naprezanja i deformacija oko vrha pukotine budući da njihovo poznavanje pomaže u dizajniranju konstrukcija sigurnih po pitanju pojave i širenja pukotina. Tim se načinom dizajniranja konstrukcija rukovode inženjeri u gotovo svim tehničkim granama. Mehanika loma od svojih početaka ima za cilj shvaćanje utjecaja pukotine na stanje konstrukcije. Kod uobičajenog se pristupa dizajniranju granica tečenja potencijalnog/razmatranog materijala uspoređuje s očekivanim naprezanjem u konstrukciji. Kod dizajniranja prema pravilima mehanike loma granica tečenja se 6

18 zamjenjuje lomnom žilavošću, a dodatni čimbenik kod dizajniranja je veličina pukotine, slika 2.. Lomna žilavost Granica tečenja materijala Naprezanje Veličina pukotine Naprezanje a) b) Sl. 2.. Usporedba dizajniranja konstrukcije. a) uobičajeni pristup. b) mehanika loma. U inženjerskoj se praksi saznanja iz mehanike loma koriste kako bi se u međusobnu vezu dovela veličina i položaj pukotine te najveće dopušteno opterećenje konstrukcije. Pri tome se razlikuju dva pristupa analizi loma konstrukcije ovisno o ponašanju materijala koje može biti linearno elastično ili elastoplastično. Kod linearno elastičnog ponašanja materijala do loma dolazi zbog kritične kombinacije lokalnih naprezanja i deformacija, tj. kod kritične veličine faktora intenzivnosti naprezanja, o kojem će u radu više riječi biti kasnije. Energijski pristup kaže da do loma dolazi kada je razina energije za širenje pukotine dovoljno visoka da nadvlada otpor materijala. Ovaj se pristup koristi i kod linearno elastičnog i kod elastoplastičnog ponašanja materijala. U posljednjih su nekoliko desetljeća provedena mnoga istraživanja koja su za cilj imala potvrditi točnost postavljenih temeljnih pretpostavki mehanike loma. Nastojanja su poduzeta kako bi se teorijska saznanja iskoristila u donošenju smjernica kod dizajniranja konstrukcija otpornih na pojavu i širenje pukotina te lomove. U novije su vrijeme istraživanja na području mehanike loma otišla u smjerovima gdje jednoparametarski koncepti više ne mogu zadovoljavajuće opisati širenje pukotine već se uvode višeparametarski koncepti. 7

19 2.. Dosadašnje spoznaje Prve je korake na području mehanike loma poduzeo Inglis 93. [] predočujući geometrijske diskontinuitete na konstrukcijama kao izvore koncentracije naprezanja koji su izvorišta pukotina i lomova. Griffith je 920. [2] koristeći pretpostavku o promjeni energije pri lomu konstrukcije izrazio ideju o potrebnoj kritičnoj veličini pukotine za krhki lom. Svoju je ideju potvrdio na krhkom lomu stakla. Westergaard [3] je 939. pokazao da se naprezanja pri vrhu pukotine u elastičnim tijelima mijenjaju u funkciji izraza / r gdje r predstavlja udaljenost od vrha pukotine. Poticaj razvoju mehanike loma dale su havarije brodova iz Liberty serije četrdesetih godina 20. stoljeća za koje se ispitivanjem ispostavilo da su uzrokovane širenjem pukotina oplatom, slika 2.2. Sl Havarija broda iz Liberty serije uzrokovana širenjem pukotine oplatom Pravim se začetnikom mehanike loma smatra Irwin [4] koji je 948. izmjenio Griffithove teorijske postavke kako bi ih učinio iskoristivim za pukotine u metalima. Zamah razvoju mehanike loma donijele su pedesete godine 20. stoljeća i Irwin koji je najprije [5] razvio koncept promjene energije deformiranja G (eng. strain energy release rate) da bi potom [6] uveo faktor intenzivnosti naprezanja K (eng. stress intensity factor) koji opisuje promjenu naprezanja i pomaka pri vrhu pukotine i koji se može povezati sa spomenutom promjenom energije deformiranja. Sredinom pedesetih godina 20. stoljeća priznat je značaj mehanike loma budući da su se njezini principi dokazali na vještačenju 8

20 mlaznih zrakoplova serije Comet koji su zbog lošeg dizajna doživjeli nekoliko teških nesreća u zraku. Četvrtasti su prozori predstavljali izvore koncentracije naprezanja iz kojih su nastajale i širile se pukotine oplatom zrakoplova dovodeći do katastrofalnih posljedica, slika 2.3. Wells [7] je 96. razvio tzv. parametar otvaranja vrha pukotine CTOD (eng. crack tip opening displacement) kao mjeru lomne žilavosti koja se za linearno elastično ponašanje materijala može povezati s faktorom intenzivnosti naprezanja, a osim toga primjenjiva je i kod znatnijeg plastičnog ponašanja materijala pri vrhu pukotine. Paris [8] je u isto vrijeme iskazao vezu između zamornog rasta pukotine i parametra cikličnog intenziteta naprezanja. det. A det. A Sl Ilustracija dijelova zrakoplova serije Comet sastavljenih nakon pada s detaljem četvrtastog prozora koji je predstavljao ishodište nastanka i širenja pukotine Šezdesetih je godina 20. stoljeća došlo do razvoja nuklearne industrije i porasta svijesti o nužnoj zaštiti takvih postrojenja od pojave pukotina i lomova. Dotadašnje postavke mehanike loma nisu mogle zadovoljavajuće opisati ponašanje materijala u nuklearnim postrojenjima budući da se radilo o elastoplastičnom i plastičnom ponašanju materijala. Daljnje je korake u razvoju mehanike loma poduzeo Rice [9] koji je 968. proširio koncept promjene energije deformiranja na elastično-plastične materijale. Rice je izveo relaciju kojom je promjena energije deformiranja prikazana kao integral neovisan o liniji integriranja, tzv. J integral (engl. path-independent contour integral). Rice i 9

21 Rosengren [0] te Hutchinson [], iste su godine izveli vezu J integrala te naprezanja, deformacije i pomaka pri vrhu pukotine za nelinearno elastično ponašanje materijala. Početkom sedamdesetih godina 20. stoljeća Landes i Begley [2, 3] predstavili su rezultate istraživanja u kojima su koristili J integral kao mjeru početka loma kod elastično-plastičnog ponašanja materijala. Njihova su istraživanja teorijski potvrđena u radovima Shiha [4] te Hutchinsona i Parisa [5]. Dowling i Begley [6] su uveli termin cikličkog J integrala kao mjere zamornog širenja pukotine kod elastično-plastičnog i plastičnog ponašanja materijala. Sedamdesetih godina 20. stoljeća istraživanja na području mehanike loma su krenula i u smjeru širenja pukotine kod puzanja. Landes i Begley [7] te Nikbin et al. [8] predstavili su uporabu C integrala, sličnog J integralu, za opisivanje širenja pukotine u uvjetima puzanja. Rad na ovom polju nastavili su eksperimentalnim istraživanjima Taira [9] i Saxena [20] koji su dokazali prikladnost C integrala za probleme puzanja. Razvojem računala i primjenom metode konačnih elemenata u analizi naprezanja kod čvrstih tijela, došlo je i do razvoja numeričkih metoda za rješavanje problema mehanike loma. Tako su Budiansky i Rice [2] te Carpenter et al. [22] razvili izraze za numeričku integraciju J integrala po liniji koja okružuje vrh pukotine. Hellen [23] i Parks [24] su predložili metodu izračuna promjene energije deformiranja G putem virtualnog širenja pukotine gdje je dovoljno za novi položaj vrha pukotina izračunati posljedične promjene u matrici krutosti konačnih elemenata. Tu je metodu kasnije usavršio delorenzi [25, 26] na način da je računao promjenu energije deformiranja kontinuuma što je učinilo metodu neovisnom od metode konačnih elemenata. Shih i Moran [27, 28] sredinom su osamdesetih godina 20. st. iznijeli metodu integrala energijske domene koja se koristi za numerički izračun J integrala, a prikladna je za kvazistatičke i dinamičke probleme, kao i za elastično, plastično i viskoelastično ponašanje materijala. Povezivanje ove metode s metodom konačnih elemenata detaljno je opisao Dodds [29]. 0

22 Početkom 2. st. razvila se tzv. proširena metoda konačnih elemenata (eng. extended finite element method, XFEM) koja se problemom određivanja značajki mehanike loma bavi na način da "obogaćuje" konačne elemente pri vrhu pukotine dodatnim čvorovima iz kojih su dostupni dodatni rezultati analize naprezanja. Začetnici su Beltyschko i Black [30] koji su predstavili način modeliranja vrha pukotine uz minimum konačnih elemenata, ali uz "obogaćene" funkcije koje uzimaju u obzir naprezanja u tom području. Moës et al [3] su metodi dali ime "proširena metoda konačnih elemenata" svojim usavršavanjem rada Beltyschka i Blacka kojim su omogućili modeliranje vrha pukotine neovisno od ostatka mreže konačnih elemenata. Sukumar et al. [32] su prilagodili XFEM metodu za trodimenzijske probleme širenja pukotine, dok su se problemom višestrukih pukotina pozabavili Daux et al. [33] te Zi et al. [34], a zakrivljenim pukotinama Stazi et al. [35]. Liu et al. [36] su predstavili unaprijeđenu produženu metodu konačnih elemenata s mogućnošću izračuna koeficijenata intezivnosti naprezanja za kombinirane metode otvaranja pukotine gdje je primijenjena kaznena funkcija koja osigurava da se aproksimacija pomaka reducira u polje oko vrha pukotine. Usporedo s razvojem XFEM metode, pokušalo se s njezinom primjenom na problem kohezivnih pukotina gdje se u obzir uzima i proces loma duž stranica pukotine, ne samo pri vrhu. Moës i Belytschko [37] su prvi primijenili XFEM na kohezivne pukotine simulirajući rast kohezivne zone oko pukotine vrednovanjem faktora intenzivnosti naprezanja na rubovima te zone. Zi i Belytschko [38] su razvili XFEM metodu primjenjivu na statički opterećenim kohezivnim pukotinama. Kako je ovaj rad posvećen istraživanju širenja pukotine kod materijala koji se koriste u izradi posuda pod tlakom kao i širenju pukotine u samim posudama pod tlakom, ovdje će navesti nekoliko autora čiji su značajniji radovi imali za temu širenje pukotina i lom cjevovoda ili posuda pod tlakom. Istraživanja utjecaja pukotina na objekte pod tlakom su započela već sa samim razvojem mehanike loma, a recentnija uključuju Chaouadijevu [39] primjenu mikromehaničkih modela na začetak žilavog loma kod materijala koji se

23 koriste u izradi nuklearnih reaktora te Carpinterijevo [40] istraživanje zamornog širenja cirkularnih pukotina u cjevima i Linovu [4] numeričku analizu zamornog širenja unutrašnjih pukotina kod posuda pod tlakom. Određivanjem izraza za J integral kod pojave cirkularnih i aksijalnih pukotina u posudama pod tlakom bavili su se Mohan et al. [42]. Dekker i Stikvoort [43] su usporedili nekoliko metoda za računanje značajki mehanike loma na primjeru utjecaja mlaznica zavarenih na posude pod tlakom. Margolin i Kostylev [44] promatrali su širenje pukotina u čeliku za izradu posuda pod tlakom pod biaksijalnim opterećenjem. Zarrabi et al. [45] su pratili pritiske pod kojim dolazi do loma posuda pod tlakom koje sadrže aksijalne pukotine. Kim je sa suradnicima [46-50] izdao seriju radova u kojima se bavi širenjem različitih vrsta pukotina u posudama pod tlakom kod elastično-plastičnog ponašanja materijala. Principi mehanike loma su vrlo aktualni u svakodnevnoj inženjerskoj primjeni u kojoj ne manjka slučajeva loma konstrukcija. Razvijeni numerički alati koji za cilj imaju analizu struktura kojima se širi pukotina korisni su, osim pri dizajniranju novih konstrukcija, i pri analizi konstrukcija koje su doživjele lomove. Takva se istraživanja pokazuju bitnim za povećavanje fundusa znanja iz mehanike loma i načinima širenja pukotina i lomova stvarnih struktura. Recentniji radovi koji se bave istraživanjem uzroka lomova u stvarnim konstrukcijama potvrđuju da mehanika loma primjenu nalazi u najrazličitijim inženjerskim granama. Jedan od primjera jest istraživanje loma rotora kompresora [5]; zatim, analiza uzroka loma obujmica za dizanje specijalnih tereta [52], konačnoelementna analiza deformacije i prsnuća posude pod tlakom[53], lom osovina željezničkih vagona [54] te puknuće kuke dizalice [55]. 2

24 2.2. Utjecaj značajki materijala na lom Opteretimo li "beskonačnu" ploču koja sadrži centralnu pukotinu duljine 2a, slika 2.4, s naprezanjem koje će je dovesti do loma, dijagram na slici 2.5 može opisati njezino ponašanje s obzirom na ponašanje materijala izrade. Sl Beskonačna ploča s centralnom pukotinom duljine 2a izložena vlačnom naprezanju Sl Utjecaj lomne žilavosti materijala na vrstu loma 3

25 Radi li se o materijalu male lomne žilavosti K Ic, u ploči će doći do krhkog loma. Kritično naprezanje linearno se mijenja s promjenom lomne žilavosti, a ovim se područjem bavi linearno elastična mehanika loma. Kod vrlo visoke razine lomne žilavosti, značajke tečenja materijala određuju nestabilnost konstrukcije. Između ova dva područja dolazi do žilavog loma, a tim se područjem bavi elastično-plastična mehanika loma. Na mikroskopskoj razini, jedan vid krhkog loma predstavlja širenje pukotine duž kristalografskih ravnina u materijalu, što je tipično za feritne čelike, slika 2.6. Zajednička karakteristika svih krhkih lomova je niska lomna žilavost materijala te iznenadni nestabilni lom. Za opisivanje takvog loma dovoljna je jedna vrijednost lomne žilavosti, primjerice K c. Vrh pukotine Linija širenja pukotine Sl Krhki lom Žilave lomove karakterizira znatno plastično ponašanje materijala u blizini vrha pukotine. Na mikroskopskoj razini, dolazi do stvaranja šupljina oko čestica legirnih elemenata ili uključaka u materijalu koje se zatim spajaju, razvijaju u pukotine i pod naprezanjem dovode do loma, slika 2.7. Lomu prethodi stabilno širenje pukotine koje se definira kao stanje tijekom kojeg se lom još može uspješno zaustaviti ne dođe li do povećanja naprezanja. J integral, tj. kritična vrijednost parametra lomne žilavosti J c ili otporne krivulje J-R, najčešće se koristi kao značajka loma kod žilavog loma. 4

26 Vrh pukotine Šupljina oko uključka Sl Žilavi lom 5

27 3. Linearno elastična mehanika loma 3.. Naprezanje pri vrhu pukotine Definiramo li ishodište polarnog koordinatnog sustava u vrhu pukotine, slika 3., tada se izraz za polje naprezanja u izotropnom linearno elastičnom materijalu, općenito (pojednostavljeno) može zapisati na način [56]: Sl. 3.. Polje naprezanja pri vrhu pukotine 6

28 m k 2 ( m σ ( ) ) ij = fij θ + Am r gij ( θ), (3.) r m= 0 gdje je σ ij tenzor naprezanja, r i θ su definirani prema slici 3., k je konstanta, a f ij je bezdimenzijska funkcija kuta θ. Naprezanje se u blizini vrha pukotine prema ovome mijenja ovisno o faktoru pukotine, slika 3.2 [57]. / r, dok konstanta k i funkcija f ij ovise o načinu otvaranja a) b) c) Sl Načini otvaranja pukotine. a) odcjepni. b) smični. c) vijčani. Tri su načina otvaranja pukotine, ovisno o opterećenju. U prvom načinu, tzv. odcjepnom (engl. Mode I, opening mode), sila djeluje okomito na ravninu pukotine otvarajući je. U drugom načinu, tzv. smičnom (engl. Mode II, sliding mode), smično se naprezanje javlja u ravnini pukotine, a u trećem se načinu otvaranja pukotine, tzv. vijčanom (engl. Mode III, tearing mode) smično naprezanje javlja izvan ravnine pukotine. 7

29 3.2. Koeficijent intenzivnosti naprezanja Konstanta k se može zamijeniti koeficijentom intenzivnosti naprezanja K, K = k 2π. Svaki način otvaranja pukotine ima svoj koeficijent intenzivnosti naprezanja: K, K, K. Tako se polje naprezanja pri vrhu pukotine može pisati kao [57]: I II III limσ K πr ( I) I ( I = f ) ( θ) ij r 0 2 limσ K πr ( II) II ( II = f ) ( θ) ij r 0 2 limσ K πr ( III) III ( III = f ) ( θ) ij r 0 2 ij ij ij, (3.2), (3.3), (3.4) za način otvaranja I, II i III. Nalazi li se pukotina pod utjecajem više od jednog načina otvaranja, pojedine se vrijednosti mogu zbrojiti: ( I) ( II) ( III) σ = σ + σ + σ. (3.5) ij ij ij ij Polje naprezanje pri vrhu pukotine za način otvaranja I, kao najvažniji i najčešći način širenja pukotine, može se zapisati kao [57]: dok polje pomaka izgleda: θ 3θ sin sin 2 2 σ x KI θ θ 3θ σ y = cos + sin sin, (3.6) 2π r τ xy θ 3θ sin cos 2 2 θ 2 θ cos 2sin u κ + x K 2 2 I r u =, (3.7) y 2Gs 2π θ 2 θ sin κ+ 2cos 2 2 U izrazu (3.7) G s je modul smicanja, a faktor κ je za stanje ravninske deformacije jednak: κ = 3 4ν, (3.8) 8

30 a za stanje ravninskog naprezanja: 3 ν κ =. (3.9) + ν Koeficijent intezivnosti naprezanja K potpuno definira stanje pri vrhu pukotine; ako je poznat K, moguće je odrediti sve vrijednosti naprezanja, deformacije i pomaka kao funkcije od r i θ. Izrazi za određivanje koeficijenta intenzivnosti naprezanja K izvedeni su za određeni broj jednostavnih i široko primjenjivih slučajeva u tzv. zatvorenom obliku. Izrazi su izvedeni analitički, dok su za kompleksnije slučajeve korištene numeričke i eksperimentalne metode. Na slici 3.3 su navedena rješenja za vrijednost koeficijenta intenzivnosti naprezanja u zatvorenom obliku za tri situacije vlačno opterećene ploče s pukotinom [58]. KI =σ πa KI.2σ π a = KI 2 = σ π a π Sl Vlačno opterećenje ploče s tri oblika pukotine. a) Beskonačna ploča s centralnom pukotinom duljine 2a. b) Polubeskonačna ploča s pukotinom na kraju, duljine a. c) Beskonačna ploča s kružno oblikovanom pukotinom poput novčića "usađenom" u tijelo. 9

31 Kada se radi o primjeru centralne pukotine u ploči konačnih dimenzija, tj. tamo gdje ne postoji značajna razlika u dimenzijama pukotine i širine ploče, slika 3.4, izraz za koeficijent intenzivnosti naprezanja može se izvesti na način da se pretpostavi niz kolinearnih pukotina u beskonačnoj ploči, slika 3.5. Tada je: K I 2W πa = σ πa tan. (3.0) πa 2W a) b) Sl Raspodjela koncentracije naprezanja kod: a) beskonačne i b) konačne ploče s centralnom pukotinom Sl Niz kolinearnih pukotina u beskonačnoj ploči 20

32 Izrazi za koeficijent intenzivnosti naprezanja u beskonačnim i konačnim pločama mogu se općenito povezati relacijom: KI, II,III = Yσ πa, (3.) gdje je Y bezdimenzijska konstanta koja ovisi o geometriji i načinu otvaranja pukotine Koeficijent intenzivnosti naprezanja kao kriterij loma Pretpostavi li se da do loma materijala na lokalnoj razini pri vrhu pukotine dolazi kod određene kombinacije naprezanja i deformacija, znači da do širenja pukotine dolazi kod određene kritične vrijednosti koeficijenta intenzivnosti naprezanja K. Ta se vrijednost označava s K c i mjera je žilavosti loma, odnosno otpora širenju pukotine (eng. fracture toughness) te je isključivo značajka materijala koja ne ovisi o dimenzijama promatranog tijela, a određuje se eksperimentalno. Ipak, valja napomenuti da lomna žilavost može u nekim slučajevima ovisiti i o geometriji tijela. Budući da pri vrhu pukotine kod njezina širenja postoji mala plastična zona, epruveta s pomoću koje se mjeri lomna žilavost materijala mora imati debljinu B razmjerno veću od te plastične zone kako bi se osiguralo stanje ravninske deformacije (eng. plane strain). Može se stoga smatrati, da u slučaju malene širine epruvete naspram plastične zone pri vrhu pukotine, tamo vlada ravninsko stanje naprezanja (eng. plane stress). Uobičajeno se kao mjera lomne žilavosti K c rabi ona veličina koja odgovara stanju ravninske deformacije, tj. veličina K Ic. 2

33 Sl Utjecaj debljine epruvete B (B < B 2 ) na lomnu žilavost materijala, (K Ic, K c ) U praksi je najvažnija lomna žilavost kod odcjepnog načina otvaranja pukotine budući da kod većine materijala lom izazivaju povišena normalna, a ne posmična (tangencijalna) naprezanja. Kod preostala dva načina otvaranja pukotine treba razlikovati njihove vrijednosti lomne žilavosti: K Ic K IIc K IIIc. (3.2) 3.4. Promjena energije deformiranja Irwin je 956. predložio promjenu energije deformiranja G kao mjeru energije potrebne za širenje pukotine [5]: de p G=, (3.3) da gdje je E p potencijalna energija, a A površina pukotine. Inglis [] je ranije izveo da je: de πσ a E 2 p =, (3.4) da 22

34 za beskonačnu ploču s centralnom pukotinom, tako da se G može pisati: 2 πσ a G=, (3.5) E gdje je E modul elastičnosti materijala. Do širenja pukotine dolazi kada G dosegne kritičnu vrijednost: gdje je W A rad potreban za stvaranje nove površine. G c dw = A, (3.6) da 3.5. Veza koeficijenta intenzivnosti naprezanja i promjene energije deformiranja Koeficijent intezivnosti naprezanja K je parametar koji opisuje naprezanja, deformacije i pomake u blizini vrha pukotine. Za linearno elastične materijale moguće je povezati koeficijent intezivnosti naprezanja K s promjenom energije deformiranja G koja, za razliku od K, ima globalni karakter te opisuje promjenu u potencijalnoj energiji koja prati širenje pukotine. Uzmemo li za primjer beskonačnu ploču s pukotinom, slika 3.3., te izjednačimo pripadajući izraz za određivanje koeficijenta intenzivnosti naprezanja K u zatvorenom obliku s izrazom (3.5), dobivamo: 2 KI G=. (3.7) E Izraz (3.7) vrijedi za slučaj ravninskog naprezanja, dok za slučaj ravninske deformacije E rabi zamijeniti s E/( ν 2 ). 23

35 3.6. Područje primjene linearno elastične mehanike loma ASTM standardom dan je zahtjev za dimenzijama epruveta pomoću kojih se ispituje lomna žilavost K Ic [59]: a, B,( W a) 2,5 K σ I 0.2 2, (3.8) gdje a označava duljinu pukotine, B je debljina (širina) epruvete, W je visina epruvete, slika 3.6, a σ 0.2 je granica plastičnosti (tečenja) materijala. Uz to, uobičajeno se razlika između visine epruvete i duljine pukotine (W - a) označava kao b. Uz poštivanje ovih dimenzijskih uvjeta osigurava se stanje ravninske deformacije kod ispitivanja lomne žilavosti, tj. da je plastična zona pri vrhu pukotine relativno mala naspram širine epruvete. Sl Primjer SENB (eng. single-edge notch bend) epruvete korištene za ispitivanje lomne žilavosti dimenzionirane prema ASTM E Ukratko, linearno elastična mehanika loma, (eng. linear elastic fracture mechanics, LEFM) proučava ponašanje materijala uz pretpostavku pucanja, odnosno širenja pukotine šiljastog vrška pod uvjetima elastičnosti, s mogućim limitiranim iznosom plastičnosti (plastične zone) oko samog vrška u usporedbi s duljinom pukotine i debljinom elementa. Ovakvi slučajevi uobičajeno se vezuju uz čelike visoke čvrstoće. Kada nelinearno ponašanje materijala postane dominantno, linearno elastična mehanika loma s faktorom intenzivnosti naprezanja postaje nerelevantna. U tom slučaju treba koristiti faktore koji uzimaju u obzir plastično ponašanje materijala, poput J integrala ili CTOD metode. 24

36 4. Elastoplastična mehanika loma U slučajevima pukotina u materijalima gdje je područje plastične deformacije (zone) oko vrha pukotine veliko u usporedbi s duljinom pukotine i dimenzijama ispitivanog predmeta, principi linearno elastične mehanike loma više ne mogu zadovoljavajuće opisati širenje pukotine. Zato se kod materijala s nelinearnim ponašanjem pod naprezanjem koriste principi elastoplastične mehanike loma (engl. elastic-plastic fracture mechanics, EPFM). Materijale kod kojih je potrebno primijeniti elastoplastičnu mehaniku loma obično karakterizira visoka lomna žilavost i niska granica tečenja, a koriste se u konstrukciji posuda pod tlakom, energetskim postrojenjima i kemijskoj industriji. Ovdje će biti predstavljena dva parametra elastoplastične mehanike loma i to, otvaranje vrha pukotine (CTOD) i J integral. 4.. Otvaranje vrha pukotine Ispitujući vrijednosti lomne žilavosti za različite čelike, Wells je primijetio da su se kod dijela tih materijala stranice pukotine razmaknule prije samog loma. Uslijed plastične deformacije došlo je do zatupljivanja vrha pukotine, slika 4. [57], koje je bilo veće s većom žilavošću materijala. Dakle, vrh pukotine sada nije oštar nego "otupljen" (engl. blunt). Takvo zamjetno plastično ponašanje materijala pri vrhu pukotine nije se moglo 25

37 opisati principima linearno elastične mehanike loma te je zato Wells predložio parametar otvaranja vrha pukotine CTOD (eng. crack tip opening displacement) kao mjeru lomne žilavosti. Sl. 4.. Otvaranje vrha pukotine Sl Pomak u y, i korektivni izraz za postojanje plastičnog područja, r y, kod otvaranja vrha pukotine, CTOD Prema izrazu (3.7) pomak u y, slika 4.2, je jednak [57]: u κ+ r y y = KI, (4.) 2Gs 2π dok korektivni izraz za postojanje plastičnog područja pri vrhu pukotine u stanju ravninskog naprezanja glasi: r y K I = 2π σ 0.2 2, (4.2) 26

38 što zajedno daje izraz za otvaranje vrha pukotine δ: δ 4K I = 2uy =. (4.3) πσ 0.2E Vrijednost faktora κ, izraz (4.), definirana je putem izraza (3.8) i (3.9). Iz izraza (4.3) vidljivo je da se, uz (3.7), otvaranje vrha pukotine lako može dovesti u vezu sa stopom oslobađanja energije G i koeficijentom intenzivnosti naprezanja K što znači da vrijedi i za područje linearno elastične mehanike loma: 4G δ =. (4.4) πσ J integral Rice je 968. objavio rad [9] u kojem predstavlja J integral kao rješenje za opisivanje loma u nelinearno elastičnim materijalima. Ponašanje materijala u nelinearno elastičnom području pretpostavio je slično onom u plastičnom području s time da se ne izvodi njegovo rasterećenje. Rice je pokazao da je za svako nelinearno elastično, planarno (ravninsko), homogeno i izotropno tijelo u stanju statičke ravnoteže određeni integral, označen kao J, opisan po zatvorenoj liniji uvijek jednak nuli [60]. Ako tu zatvorenu liniju predočimo linijom Φ koja opisuje konture tijela A, u sustavu x = x, y = x 2, slika 4.3, onda je J integral [60]: u JΦ = Wn ds T, (4.5) Φ x gdje je ds prirast po konturi Φ, u = u i + u 2 j je vektor pomaka, dok je W gustoća potencijalne energije deformiranja i jednaka je : W ε ij = σ 0 ijdεij, (4.6) a T je vektor naprezanja definiran prema normali n konture Φ i vektoru pomaka u: T = σ n. (4.7) i ij j 27

39 Sl Tijelo A s opisanom konturom integriranja Φ Uz navedeno, izraz (4.5) se može zapisati kao: u. (4.8) i JΦ = Wn Ti ds Φ x Koristeći Greenov teorem, izraz se (4.8) može pisati kao: J Φ W u i = σ A ij dxdx 2 x xj x. (4.9) Zanemarimo li unutrašnje sile u tijelu i pretpostavimo li male deformacije, za stanje ravnoteže vrijedi: σ x a budući da veza pomaka i deformacija glasi: ij j = 0, (4.0) slijedi: ε ε u i ij = ji = + 2 xj u j, (4.) x i W W ε ij ε ij u u i j u i = = σ ij = σ ij + = σ ij, (4.2) x ε ij x x 2 x xj x i xj x 28

40 te se uvrštavajući (4.0) u (4.2) može pisati: W u i = σ ij, (4.3) x xj xi a uvrštavajući (4.3) u (4.0) dobivamo: Rice je J integral za tijelo s pukotinom definirao kao: J = 0. (4.4) Φ u =, (4.5) i J Wn Ti ds Γ x pri čemu je Γ linija opisana oko pukotine u smjeru suprotnom kazaljci na satu od donje prema gornjoj stranici. Sl Linija integriranja Γ oko vrha pukotine U koordinatnom sustavu x = x, x 2 = y, izraz (4.5) može se pisati kao [60]: u. (4.6) x i J = Wdy Ti ds Γ 29

41 4.2.. Neovisnost J integrala o liniji integriranja Vrijednost J integrala uvijek je jednaka neovisno o liniji integriranja oko pukotine. Ova činjenica je bitna prvenstveno kod numeričkog određivanja J integrala budući da su numerička rješenja često netočna pri samom vrhu pukotine. Točnost im se povećava s udaljenošću od vrha pukotine što znači da se J integral temeljen na vrijednostima naprezanja i pomaka može računati u točkama udaljenim od pukotine. Sl Zatvorena linija integriranja Γ oko pukotine Slika 4.5 prikazuje zatvorenu liniju integriranja Γ koja počinje u točki na donjoj stranici pukotine, opisuje pukotinu u smjeru suprotnom kazaljci na satu, dodiruje gornju stranicu pukotine te se vraća u ishodišnu točku na donjoj stranici pukotine. Linija Γ se može podijeliti na četiri segmenta Γ, Γ 2, Γ 3 i Γ 4. Segmenti Γ 2 i Γ 3 su paralelni stranicama pukotine. Budući da je J integral po zatvorenoj liniji integriranja jednak nuli, pišemo: J J + J + J = 0. (4.7) Γ + Γ2 Γ3 Γ4 Kako su dy i T i po segmentima Γ 2 i Γ 4 jednaki nuli, ostaje da je: J = J, (4.8) Γ Γ 3 što znači da je vrijednost J integrala izračunata po bilo kojoj liniji koja počinje na donjoj stranici pukotine i u smjeru suprotnom kazaljci na satu završava na gornjoj stranici pukotine jednaka. 30

42 Veza J integrala i polja naprezanja pri vrhu pukotine Za nelinearno elastične materijale postoji veza između veličine J integrala i polja naprezanja i deformacija pri vrhu pukotine. Vezu su dokazali Rice i Rosengarten [0] te Hutchinson [] po kojima se ova polja naprezanja i nazivaju HRR polja naprezanja. Sl Kružna linija integriranja Γ, polumjera r, s centrom u vrhu pukotine Neka je, prema slici 4.6, J integral opisan po liniji Γ koja je dobivena tako što je opisana kružnica polumjera r iz vrha pukotine. Tada je: y= r sin θ, dy= r cos θdθ, ds= rdθ. (4.9) J integral se može zapisati kao: π ui (, θ) cosθ i θ. (4.20) x π J = r W r T d Svi dijelovi integranda su proporcionalni umnošku naprezanja i deformacija: J σ ijε ij g ij ( θ, m ), (4.2) r gdje su f ij i g ij funkcije kuta θ koje odgovaraju različitim komponentama naprezanja i deformacija. U Ramberg-Osgoodovom izrazu koji opisuje vezu naprezanja i deformacija [60]: ε σ = + 0 ε σ 0 m σ αε, (4.22) 3

43 α i m su konstante materijala, ε 0 i σ 0 su vrijednosti deformacije i naprezanja na granici plastičnosti materijala. Za polje naprezanja pri vrhu pukotine kod računanja J integrala bitan je samo drugi dio jednažbe (4.22) koji se odnosi na plastičnu deformaciju: σ ε αε = 0 σ 0 m, (4.23) koji kada se uvrsti u (4.2) daje izraze za naprezanje i deformaciju pri vrhu pukotine [60]: J σ = σ + m ij 0 ij ασ 0ε 0Imr J ε = αε +m ( m) ˆ σ θ, ij 0 ij ασ 0ε 0Imr Faktor I m se može odrediti prema sljedećim izrazima: - za stanje ravninske deformacije [60]: ( m) ˆ ε θ,, (4.24). (4.25) 2 3 =.. +.., (4.26) Im m m m - za stanje ravninskog naprezanja [60]: Im m 0. 75m m = +. (4.27) Funkcije kuta ˆ σ ij i ij ˆε dostupne su u literaturi za različite vrijednosti m i θ. Uvrsti li se u (4.24) i (4.25) m = i J = K 2 /E dobivaju se izrazi za linearno elastično ponašanje materijala Veza J integrala i CTOD Shih [6] je definirao parametar otvaranja pukotine CTOD kao otvaranje na sjecištu vrha pukotine te dviju linija koje se nalaze pod kutem od 45 u odnosu na simetralu pukotine, slika

44 Sl Otvaranje vrha pukotine, CTOD Prema tome, komponenta pomaka u y izvedena iz (4.25) je [60]: m +m J +m u ˆ y = αε0 r u ασ 0ε0Im ( π). (4.28) Za određeni r=r * i θ=π, slika 4.7, CTOD se može zapisati kao [57]: δ * * * = uy( r, π) = r ux( r, π), (4.29) 2 što kad se uvrsti u (4.28) daje: Ako je δ = 2u y ( r *, π): ( ) { ( ) ( )} m+ * J r = αε m ˆ ˆ m 0 ux π, m + uy π, m. (4.30) σ I δ d J σ 0 m m =, (4.3) 0 što daje vezu između J integrala i CTOD uz uporabu konstante d m koja ovisi o značajki materijala m [57]: { } m y d = 2 uˆ, m uˆ, m + uˆ, m ( π ) αε ( π ) ( π ) m y 0 x Im. (4.32) 33

45 J integral kao parametar loma Begley i Landes [2] prvi su istražili valjanost J integrala kao parametra loma te doveli u vezu promjenu vrijednosti J integrala i povećanja pukotine a putem tzv. J-R krivulje, slika 4.8. Istražili su i ponašanje pukotine u različitim fazama žilavog loma, slika 4.8 [60]. Sl Ponašanje vrha pukotine tijekom žilavog loma Begley i Landes su predložili uporabu J integrala kao parametra loma kako bi označili početak žilavog loma, točka 3 na J-R krivulji, slika 4.8. Ta je vrijednost J integrala označena kao J Ic, tj. kritična vrijednost J integrala pri odcjepnom načinu širenja pukotine kod žilavog loma. J Ic se definira kao presjecište linije koja odgovara fazi zatupljivanja vrha pukotine, a aproksimira se pravcem J = 2σ 0 a i J-R krivuljom. Kako bi J bio valjani parametar loma, potrebno je osigurati minimalni utjecaj geometrijskih značajki epruveta pomoću kojih se mjeri J Ic na stanje naprezanja pri vrhu pukotine. Zato se postavlja uvjet [59]: J a,( W a), B c, (4.33) σ 34

46 da duljina pukotine a, razlika širine epruvete i duljine pukotine (W - a) te debljina B epruvete moraju biti nekoliko puta veći od jedinične vrijednosti otvaranja pukotine δ = J/σ. J integral se može koristiti, kako je opisano, za karakteriziranje pukotina u nelinearno elastičnom, ali i linearno elastičnom području. J integral se može dovesti u vezu sa stanjem naprezanja pri vrhu pukotine, koeficijentom intenzivnosti naprezanja K i otvaranjem pukotine CTOD. Sve ga ovo čini široko korištenim parametrom u mehanici loma kojemu jedina ograničenja predstavljaju primjenjivost za monotono opterećenje u elastoplastičnom području te pretpostavka o zanemarivim deformacijama pomoću koje je izvedena neovisnost J integrala o liniji integriranja, veza s poljem naprezanja pri vrhu pukotine i s otvaranjem pukotine. 35

47 5. Određivanje J integrala 5.. Analitički određeni J integral Ukoliko su poznata naprezanja i pomaci po liniji integriranja oko pukotine, J integral se analitički može odrediti prema izrazu prikazanom u poglavlju 4: u. (5.) x i J = Wdy Ti ds Γ Izraz (5.) često se koristi u slučajevima kada su naprezanja i pomaci oko pukotine dobiveni numeričkim putem, najčešće metodom konačnih elemenata Eksperimentalno-analitički određeni J integral Kod izvođenja eksperimenata koji za cilj imaju određivanje vrijednosti J integrala bilježe se opterećenja i pomaci kod epruveta. Koristeći vezu potencijalne energije i J integrala, određuje se sama vrijednost J integrala. Pri čisto eksperimentalnom određivanju vrijednosti J integrala potrebno je izvesti pokuse na više epruveta (pet do deset) [59], a dobiveni rezultati ovise o materijalu i geometriji epruvete. To čini "čisto" eksperimentalno određivanje zahtjevnim te se zbog 36

48 toga radije koriste eksperimentalno-analitičke metode za određivanje vrijednosti J integrala kod kojih je dovoljno izvesti pokus nad jednom epruvetom i zabilježiti vrijednosti opterećenja i pomaka. Ako je izraz za potencijalnu energiju [60]: (, ), (5.2) E = W x y da Tu ds p A S i i T pod uvjetom konstantnog pomaka v zadanog u eksperimentalnom ispitivanju epruvete može se pisati samo kao: E = W x, y da. (5.3) p A ( ) x2 T ST x Su ds Sl. 5.. Tijelo površine A obrubljeno linijom Γ. S T je dio linije na kojem su definirana naprezanja, a dio S u na kojem su definirani pomaci. U izrazu (5.2) je A površina tijela, T i su naprezanja, u i deformacije na liniji Γ koja obrubljuje tijelo, a S T je dio linije Γ na kojem su definirana naprezanja, slika 5.. Iz izraza (5.3) može se zaključiti da je potencijalna energija E p jednaka energiji deformiranja tijela određenoj površinom ispod krivulje opterećenja i pomaka, slika 5.2a. Razlika potencijalne energije, - E p, između dviju epruveta različitih veličina pukotine, a i a+ a, je jednaka površini između njima odgovarajućih krivulja opterećenja i pomaka, slika 5.2a. 37

49 a) b) Sl Dijagram opterećenje-pomak za dvije epruvete veličina pukotine a i a+ a, pri: a) konstantnom pomaku. b) konstantnom opterećenju. - E p se može onda zapisati kao: pa je za epruvetu debljine B: E = p v 0 F a v a B v 0 v a adv, (5.4) U F J = = dv. (5.5) v U slučaju kada se eksperiment izvodi pod uvjetom konstantnog opterećenja F, potencijalna energija je: ( ) E = W x y da Fv. (5.6) p, A Prema slici 5.2b razlika potencijalne energije, - E p, je sada jednaka: pa je za epruvetu debljine B: v F Ep = 0 a F U J = = F a 0 F B a F df, (5.7) v df. (5.8) 38

50 Iz izloženog se može primijetiti da se J integral općenitije rješenje promjene energije deformiranja, poglavlje 3.4, pri čemu se G u izrazu (3.3) zamjenjuje s J [57]: de p J =, (5.9) da Kako se promjena energije deformiranja G može dovesti u vezu koeficijentom intezivnosti naprezanja K I, a imajući na umu izraz (5.9), može se pisati: 2 K I J =. (5.0) E Tim je doveden u vezu J integral s koeficijentom intezivnosti naprezanja, a izraz (5.0) vrijedi za linearno elastično ponašanje materijala u slučaju ravninskog naprezanja, dok za slučaj ravninske deformacije E valja zamijeniti s E/( ν 2 ). Eksperimentalna se ispitivanja najčešće izvode na jednoj od pet vrsta epruveta standardiziranih od strane ASTM-a [59]: kompaktna epruveta (eng. Compact type specimen; CT), epruveta s zarezom na jednoj strani (eng. single-edge notched bend specimen; SENB), vlačna epruveta (eng. middle tension specimen; MT), kompaktna epruveta oblika diska (eng. disc shaped compact specimen;) i lučna epruveta (eng. arcshaped specimen;), slika 5.3. a) b) 39

51 c) d) e) Sl Epruvete standardizirane prema ASTM-u za ispitivanje parametara mehanike loma. a) CT. b) disk. c) SENB. d) lučna. e) MT. Svaka je epruveta određena trima karakteristikama: duljinom pukotine a, debljinom/širinom epruvete B i visinom W. Većina se eksperimenata izvodi na CT ili SENB epruvetama. CT epruvete su pogodne za ispitivanje ploča ili kovanih izradaka, dok se SENB epruvete koriste kod ispitivanja zavara Eksperimentalno određivanje J integrala za SENB epruvetu Rice je prvi postavio relaciju za određivanje J integrala kod SENB epruvete, jedne od najčešće korištenih epruveta za određivanje parametara mehanike loma. Ako je M moment (po jedinici debljine/širine epruvete) kojim je opterećena epruveta, kut relativne rotacije njena kraja (spram središta pukotine) uslijed postojanja pukotine jednak je [60]: 40

52 M θp = f 2 Bb. (5.) a svakom kraju epruvete pripada vrijednost θ/2. Može se zapisati da je ukupan kut rotacije θ, slika 5.4, jednak zbroju kuta rotacije bez pukotine θ 0 i kut rotacije uslijed postojanja pukotine θ p [60]: θ = θ 0 + θ p. (5.2) Sl Deformirana SENB epruveta opterećena momentom M Obično vrijedi θ = θ p budući da je θ 0 vrlo malen. Kako se θ 0 ne mijenja s veličinom pukotine a: θ θp =, (5.3) a a pa je dalje: θ J = B M p dm 0 a, (5.4) M θ θp θ = = a M a b M M, (5.5) J M 2M M = f dm B ', (5.6) Bb Bb df f ' =, (5.7) M d 2 Bb M dm dθ p = f ' 2, (5.8) 2 Bb Bb 4

53 θ U izrazu (5.7) p 0 θ p 2M 2 θ p J = dθp = 0 Mdθp. (5.9) B b Bb 0 Md θ p predstavlja površinu A ispod krivulje M-θ, slika 5.5. M Sl Površina A ispod krivulje moment kut rotacije θ Kada je epruveta opterećena savijanjem u tri točke (eng. three-point bending) što je i najčešći način opterećenja kod ovakvih epruveta, označimo li s F silu koja djeluje na epruvetu, a sa v pomak, vrijedi: Fl θ M =, 2 2 p v l, (5.20) pri čemu je l ukupna duljina epruvete. Dalje je: 2 dθp = d l v, (5.2) θ Mdθ = v Fdv. (5.22) J = Fd Bb v v. (5.23) 0 42

54 Eksperimentalno određivanje J integrala za CT epruvetu Ernst [62] je postavio izraz za određivanje vrijednosti J integrala kod plastične deformacije CT (eng. compact type) epruvete kao: A b J p = Bb W, (5.24) gdje A predstavlja površinu ispod krivulje u dijagramu opterećenje-pomak. Ukupna je vrijednost J integrala jednaka: gdje je G promjena energije deformiranja (3.3). J = G+ J p, (5.25) J integral za rastuće pukotine Dosad navedeni izrazi za J integral prikazani su za konstatnu duljinu pukotine gdje je nelinearnost u ponašanju uzrokovana samo plastičnom deformacijom. Uzmemo li u obzir i rast pukotine, mogu se zapisati pripadajući izrazi J integrala. Sl M - θ pl krivulje za pukotine duljine a 0, a i a 2, te za pukotinu koja je narasla od a 0 do a 2 43

55 Slika 5.6 prikazuje dijagrame ovisnosti momenta M i kut rotacije uzrokovan plastičnim ponašanjem θ p za SENB epruvete s različitim konstantnim vrijednostima duljine pukotine a 0, a i a 2. Tom je dijagramu dodana krivulja ovisnosti momenta M i kuta rotacije θ p za primjer SENB epruvete kod koje je pri opterećenju pukotina narasla od početne duljine a 0 (točka O) do vrijednosti a 2 (točka C). Izraz (5.) se može zapisati i kao [60]: pa je J integral jednak: Za rastuću pukotinu: što daje: J p ( θ ) 2 M = Bb f p, (5.26) θ p ( θp) dθp 2b f( θp) dθp = 2 θ p 2 2Bb f Bb =. (5.27) 0 0 J θ ( ) p θp dθp + db f( θp) dj p = 2bf 2 dθp p θ ( ) p θp dθp 2da f( θp) 0 = 2bf dθ, (5.28) θ p a p = 2b f( p) dθp da Prema izrazu (5.26) vrijednost J p za točku A na slici 5.4 je: J 0 ' po 0 p J θ. (5.29) a 0 b a J ' po J pa = J ' da, (5.30) po a 0 b 2 θ ' = J po po Mdθp Bb. (5.3) θ po Ako pretpostavimo infinitezimalnu razliku između točaka O i A, tada je: J 2A J ( a a ) ' ' OO po pa = JpO+ 0 (5.32) Bb b 2A ' OO a a0 2A OA a a 0 JpA = JpO+ JpO Bb b +, (5.33) Bb0 b0 gdje je površina ispod krivulje OO ', A ' OO aproksimirana površinom ispod krivulje OA, A OA, kada je razlika (a a 0 ) malena. Za bilo koju točku na krivulji rasta pukotine tada se može općenito pisati: 44

56 2Ai,i+ a i+ ai J p = J + + p. (5.34) i i Bbi bi Istim se postupkom može doći do izraza za J integral rastuće pukotine kod CT epruvete: J ηa i,i+ ai+ ai = J p + γ i i, (5.35) Bbi bi p i+ pri čemu je A i, i+ površina u dijagramu pomak-opterećenje ispod krivulje koja spaja dvije susjedne duljine pukotine. Vrijednost γ se određuje prema [60]: b γ = , (5.36) W a η prema: + α η = 2, (5.37) 2 + α pri čemu su vrijednosti α dobivene eksperimentalnim putem za različite a/w dostupne u tablicama [60] Numerički određeni J integral Kod određivanja J integrala putem numerički izvedenih izraza nije potrebno poznavati eksperimentalno dobivene vrijednosti pomaka. Pomaci se određuju putem deformacijskih značajki materijala kao što su α, σ 0, ε 0 i m, a koje su dostupne u tablicama. Pri linearno elastičnim uvjetima, J integral se u vezu sa zadanom silom na tijelo može dovesti preko izraza [60]: 2 J e F a = fe, (5.38) σ 0ε 0a F0 W gdje je granična vrijednost sile F 0 = σ 0 αb, σ 0 je naprezanje na granici tečenja materijala, a f e funkcija duljine pukotine a i visine epruvete W. 45

57 Za plastično ponašanje materijala prema Ramberg-Osgoodovoj jednadžbi Iljušin [63] je izveo da se vrijednosti naprezanja, deformacija i pomaka za zadano opterećenje σ mogu izraziti kao: σ σ ij 0 σ = σ 0 m ( r m) f, p, (5.39) ε ε ij 0 σ = α σ 0 m ( r m) f, 2p, (5.40) u i σ = α 0l ε σ 0 m f 3p ( r, m), (5.4) pri čemu je l parametar duljine, a f p, f 2p i f 3p bezdimenzijske funkcije vektora položaja r. Pri tome se izraz za J integral može pisati kao: J ασ ε a 0 p 0 = F F 0 m+ f a W, m. (5.42) Rješenje J integrala za elastoplastično područje Širenje se pukotina u inženjerskoj praksi većinom odvija u elastoplastičnim uvjetima. Shih i Hutchinson [6] su za te slučajeve izveli izraz za određivanje J integrala: ( a ) J ( a m) J = J,, (5.43) e e + p pri čemu je: a e = a+ φ, (5.44) r y 2 m K r y =, (5.45) βπ m+ σ 0 φ =, (5.46) 2 F + F0 a β = 2 za stanje ravninskog naprezanja, tj. β =6 za ravninsku deformaciju. 46

58 Rješenje J integrala za plastično područje Kumar, German i Shih [64] su izveli izraze za određivanje J integrala kod plastičnog ponašanja materijala za SENB i CT epruvete. Za CT epruvete tako vrijedi: J p = 0 0 h f, m+ a F ασ ε ( W a) m, (5.47) W F0 gdje je h funkcija geometrije dobivena iz konačnoelementne analize, a F 0 se određuje prema sljedećim izrazima: - za stanje ravninske deformacije: - za stanje ravninskog naprezanja: Faktor η je jednak: 0 ( W a) 0 F =.455η σ, (5.48) 0 ( W a) 0 F =.07η σ. (5.49) 2 2a 2a 2a η = + 2 +, (5.50) W a W a W a Izraz (5.47) vrijedi i za SENB epruvetu s razlikom kod određivanja F 0, gdje je : - za stanje ravninske deformacije: - za stanje ravninskog naprezanja: gdje je l ukupna duljina SENB epruvete. ( W a) 2 0 F0.455 σ =, (5.5) l ( W a) 2 0 F0.07 σ =. (5.52) l Kod cilindra pod tlakom s unutarnjom aksijalnom pukotinom, slika 5.7, J integral se određuje prema [60]: J p 0 0 ah,, m+ a a W p = ασ ε m W W Ru p, (5.53) 0 47

59 pri čemu se tlak p 0 određuje prema: p 0 = 2 3 ( W a) σ 0 R u + a. (5.54) Sl Cilindar pod tlakom p, unutarnjeg polumjera R u, debljine stijenke t = W i duljine pukotine a. Pukotina je koaksijalna uzdužnoj osi cilindra. 48

60 6. J-R krivulje i parametar lomne žilavosti J integral se, kako je rečeno u prijašnjim poglavljima, koristi da bi se opisalo stabilno širenje pukotine te početnu točku nestabilnosti kod elastoplastičnog ponašanja materijala. Naime, testom lomne žilavosti mjeri se otpor materijala produljenju pukotine. Slika 6. prikazuje jedan tipičan odnos između vrijednosti J integrala za pukotinu koja se širi/produljuje, a takve se krivulje nazivaju J-R krivuljama (eng. J resistance curve), tj. krivuljama otpornosti lomu. J [N/m] Sl. 6.. Primjer J-R krivulje a [mm] 49

61 Ovakve se krivulje razvijaju za stanje ravninske deformacije što podrazumijeva uporabu testnih epruveta dovoljne debljine (B) kako bi se takvo stanje osiguralo. J-R krivulje predočuju žilavost materijala i otpornost na lom. Iz takvih se krivulja može izlučiti kritična vrijednost parametra lomne žilavosti, J Ic, kao praktična mjera lomne žilavosti pojedinog materijala koja opisuje početak stabilnog širenja pukotine i nije ovisna o promjeni geometrije. 6.. Eksperimentalne metode za određivanje stabilnog širenja pukotine i loma Standardom ASTM E 820- [59] definiran je postupak za određivanje J-R krivulja i J Ic vrijednosti pri eksperimentalnom ispitivanju SENB, CT i kompaktna epruveta oblika diska, slika 5.2. Epruvete prije ispitivanja moraju biti zamorno "načete", tj. ponavljajućim im se opterećenjem zadaje početna pukotina pri vrhu strojno obrađenog zareza što sve skupa predstavlja početnu duljinu pukotine a 0. Veličina zamorom načete početne pukotine ne smije biti manja od 5% ukupne duljine pukotine niti manja od.3 mm. Po zamornoj pukotini epruveti se dodaju i bočni utori koji imaju zadaću osigurati ravno širenje pukotine tijekom ispitivanja, a debljina epruvete mjerena između takvih utora se označava s B N. Konačna se duljina pukotine pri kraju ciklusa stabilnog širenja, a prije konačnog loma pukotine može očitati na više načina. Jedan od njih je oksidiranje epruvete plamenom pri kraju stabilnog širenja pukotine što daje razliku na površini pukotine prije i poslije konačnog loma. Čelične se epruvete mogu pri kraju stabilnog širenja pukotine ohladiti tekućim dušikom te potom slomiti. Tako dobivena lomna površina svojom se granulacijom razlikuje od one koja je nastala stabilnim širenjem pukotine. Pri određivanju međuveličina pukotine, između početne i konačne, također se koristi nekoliko metoda. Jedna od njih je već spomenuta oksidacija plamenom za što je potrebno više epruveta kada će svaka biti opterećena samo do određene vrijednosti stabilnog 50

62 5 širenja pukotine. Druga, gdje je dovoljno koristiti samo jednu epruvetu, je metoda rasterećenja. Pri tome se epruveta periodički i parcijalno rasterećuje te se bilježi linija opterećenje-pomak pri rasterećenju. Kako je rasterećenje elastično, dobiva se vrijednost popuštanja, C i, te se može utvrditi duljina pukotine. Na taj se način može odrediti cijela krivulja otpornosti lomu [60]. Sl Primjer dijagrama opterećenje-pomak uz pet provedenih rasterećenja epruvete Slika 6.2 prikazuje jedan primjer dijagrama opterećenje-pomak pri pet provedenih rasterećenja epruvete. Vrijednosti rasterećenja mogu se odrediti prema [60]: = 5 i 4 i 3 i 2 i i 2 e ' i W a W a W a W a W a a W a W E B C (6.) pri čemu je: 2 ' ν = E E, (6.2) 2 N e = B B B B B. (6.3)

63 Veza s duljinom pukotine pri pojedinom stupnju rasterećenja, odnosno širenja je zadana kao: a µ je: a i = W [ µ +.242µ µ µ 650. µ ] (6.4) µ =. (6.5) ' B E C e i + Opterećenje se pri ispitivanju epruveta unosi tako da se maksimalna vrijednost dosegne nakon najviše 0 minuta. Rasterećenje ne smije biti veće od polovice trenutnog opterećenja. Uvođenje opterećenja se nastavlja sve do loma epruvete ili do trenutka u kojem se prikupilo dovoljno podataka za konstrukciju J-R krivulje. Ukoliko epruveta nije slomljena po završetku ispitivanja, ona se prisilno lomi zamornim opterećenjem ili uz već spomenuto ohlađivanje tekućim dušikom. Konačna veličina pukotine kao i veličina po zamornom "načinjanju" pukotine mjeri se u devet točaka po širini pukotine, slika 6.3. Pri tome se veličina pukotine u devet točaka po zamornom načinjanju označava kao a oi, i =, 2,..., 9, a konačna veličina pukotine kao a fi, i =, 2,..., 9. Veličina zamorno načete pukotine je tada jednaka: a veličina konačne pukotine: [ 5( a + a ) + a + a + ] a = 25 + a, (6.6) [ 5( a + a ) + a + a + ] a = 25 + a, (6.7) f f f9 f2 f3... f8 08 Sl Presjek epruvete nakon provedenog eksperimenta s označenih devet točaka pomoću kojih se obavlja mjerenje prosječne veličine pukotine [60] 52

64 Sl Dijagram opterećenje-pomak dobiven tijekom ispitivanja lomne žilavosti kod: a) nestabilnog loma kojem nije prethodilo značajnije stabilno širenje pukotine. b) nestabilnog loma s prethodnim stabilnim širenjem pukotine. c) stabilnog širenja pukotine bez loma. Pri ispitivanju epruveta na lomnu žilavost može doći do tri vrste odziva, slika 6.4. Prvi dijagram na slici 6.4 opisuje nestabilan lom kojem nije prethodilo značajnije stabilno širenje pukotine. Drugi opisuje nestabilan lom s prethodnim stabilnim širenjem pukotine, dok treći opisuje stabilno širenje pukotine bez loma. Podaci nužni za konstruiranje J-R krivulje se mogu dobiti iz drugog i trećeg dijagrama gdje je zamjetno stabilno širenje pukotine, dok se iz prvog i drugog dijagrama može dobiti privremena vrijednost parametra lomne žilavosti J Q koja se kasnije može, uza zadovoljavanje određenih uvjeta, okarakterizirati kao pravi parametar lomne žilavosti ispitivanog materijala, J c. 53

65 6... Konstrukcija J-R krivulje J-R krivulja predstavlja odnos između vrijednosti J integrala za pukotinu koja se širi, a. Najveća vrijednost J integrala za pojedinu je epruvetu određena manjom vrijednošću od dva navedena izraza: bσ Y J max =, (6.8) 20 Bσ Y J max =, (6.9) 20 gdje je σ Y srednja vrijednost između naprezanja na granici plastičnosti materijala i vlačne čvrstoće materijala. Najveća vrijednost produljenja pukotine za pojedinu epruvetu je zadana s: max =. 25 ( W ) a 0 a. (6.0) 0 Vrijednosti J max i a max određuju područje valjanih rezultata dijagrama J-R, slika 6.5. Sve točke J-R krivulje izvan područja određenog s J max i a max se ne uzimaju u daljnje razmatranje. Vrijednosti J integrala za pojedino produljenje pukotine računaju se prema izrazu (5.35): J η A i,i+ ai+ ai = J p + γ i i. (6.) Bbi bi p i+ 54

66 J [N/m] a [mm] Sl Konstruiranje J-R krivulje Kako bi se iz J-R krivulje odredila vrijednost parametra lomne žilavosti, J Ic, potrebno je skup podataka (J i, a i ) opisati jednadžbom: ( a) ln J = lnc + C2 ln (6.2) koja će dati traženu krivulju. Samo određeni segment J-R krivulje je pogodan za daljnji postupak, a on se određuje konstruiranjem isključnih linija. Prvi je korak postavljanje konstrukcijske linije određene jednažbom: J = 2σ Y a. (6.3) Paralelno s njom povlače se linije koje prolaze kroz a = 0.5, 0.2, 0.5 i.5 mm. Vrijede samo podaci koji su omeđeni isključnim linijama što prolaze kroz a = 0.5 i.5 mm te ispod granične vrijednosti J lim : J lim ( W a ) 0 σ Y =. (6.4) 5 Najmanje jedan podatak mora ležati na J-R krivulji između isključnih linija koje prolaze kroz a = 0.5 i 0.5 mm te a = 0.5 i.5 mm kako bi se osigurao ravnomjeran raspored podataka. 55

67 Presjecištem J-R krivulje i linije paralelne konstrukcijskoj povučenoj kroz a = 0.2 mm određena je vrijednost J Q, koja se može smatrati vrijednošću parametra lomne žilavosti, J Ic, za ispitivani materijal ako je zadovoljen uvjet: B, ( W a ) J 0 25 σ Q. (6.5) Y Određivanje parametra lomne žilavosti kod nestabilnog širenja pukotine Kao što je rečeno, dijagram a) i b) na slici 6.4 mogu dati vrijednost privremenog parametra lomne žilavosti J Q koja se kasnije može, uz zadovoljavanje određenih uvjeta, okarakterizirati kao pravi parametar lomne žilavosti, J c. Za CT epruvete J Q je: 2 2 K ( ) p J Q = ν + J, (6.6) E gdje se J p određuje prema izrazu (5.2): Ap b J p = , (6.7) Bb W a površina A p jest površina ispod krivulje opterećenje-pomak za plastičnu deformaciju, slika 6.6. Sl Određivanje površine A p iz dijagrama opterećenje-pomak 56

68 Širenje pukotine, a p, se smatra zanemarivim ako vrijedi: Ako J Q zadovoljava uvjet (6.9), uz: J Q a p 0.2 mm+. (6.8) 2σ Y B, ( W a ) J σ Q. (6.9) onda je J Q = J c, tj. privremeni parametar lomne žilavosti odgovara pravoj vrijednosti parametra lomne žilavosti kod nestabilnog širenja pukotine te je neovisna o geometriji epruvete i svim dimenzijama, osim debljine. Y Ukoliko uvjet (6.8) nije zadovoljen, J Q = J u, gdje J u označava vrijednost J integrala kao parametra lomne žilavosti kod koje ne postoji neovisnost o geometriji i dimenzijama epruvete. J u označava vrijednost kod koje može doći do loma ispitivane strukture i ne može se koristiti u druge svrhe osim usporedbe parametara lomne žilavosti različitih materijala, uz uvjet da su epruvete jednake geometrije i dimenzija. 57

69 7. Numerička mehanika loma Rijetki se problemi mehanike loma iz inženjerske prakse mogu opisati analitičkim rješenjima. Iz tog se je razloga nužno okrenuti numeričkom pristupu rješavanju problema, a koji se u projektiranju konstrukcija pokazao nezaobilaznim posljednjih nekoliko desetljeća. Korištenjem numeričkog modeliranja riješen je niz primjera mehanike loma uz uspješnu uporabu kod specifičnih problema koji se javljaju u praksi. Razvoj mehanike loma u dobroj je mjeri koincidirao s razvojem numeričkih metoda i na njima temeljenim algoritmima te napretkom u razvoju računala. Kod rješavanja problema u mehanici čvrstih tijela, najčešće je nužno odrediti raspodjelu deformacija i naprezanja u konkretnom primjeru. Numeričkom se analizom to učinkovito postiže, a dobiveni se rezultati koriste u daljnjoj primjeni u mehanici loma. Jedna od takvih numeričkih metoda koja danas ima vrlo raširenu primjenu je metoda konačnih elemenata. 58

70 7.. Metoda konačnih elemenata Uporaba metode konačnih elemenata podrazumijeva podjelu promatranog tijela/ kontinuuma/domene u niz poddomena nazvanih konačnim elementima koji mogu biti jednodimenzijski, dvodimenzijski ili trodimenzijski. Elementi su međusobno povezani u čvorovima. Gušća mreža konačnih elemenata iste vrste, tj. veći broj podjela promatranog tijela na elemente, općenito rezultira točnijim rezultatima analize, no uz to zahtijeva više računalne memorije i procesnog vremena. Velik izazov zato predstavlja optimalno dizajniranje mreže konačnih elemenata koje će uz minimalni utrošak računalne memorije i procesnog vremena dati točnije rezultate analize. Metoda konačnih elemenata (MKE), (engl. finite element method), obično se u analizi vodi principom krutosti. Slika 7.. prikazuje jedan dvodimenzijski element čiji su čvorovi definirani lokalnim (ξ, η) i globalnim (x, y) koordinatnim sustavom. Sl. 7.. Konačni element u lokalnom (ξ, η) i globalnom (x, y) koordinatnom sustavu 59

71 Veza globalnih i lokalnih koordinata određena je izrazima: n = i( ξ, η) i, (7.) i= x N x n = i( ξ, η) i, (7.2) i= y N y gdje je n broj čvorova elementa, a N i su funkcije oblika koje odgovaraju pojedinom čvoru. Koordinate pojedinog čvora su (ξ i, η i ) u lokalnom i (x i, y i ) u globalnom koordinatnom sustavu. Funkcije oblika/interpolacijske funkcije (engl. shape functions), su polinomi koji interpoliraju značajke u polju konačnog elementa spram istih značajki u čvorovima elementa. Stupanj polinoma ovisi o broju stupnjeva slobode elementa. Pomaci u polju elementa, prema izvodu u [65], se simbolički mogu izraziti kao: gdje je e u= Nu, (7.3) e u vektor čvornih pomaka e-tog elementa, a N matrica interpolacijskih funkcija pomoću kojih se pomaci u polju konačnog elementa izražavaju u funkciji čvornih pomaka. Stanje deformacije u nekoj se točki elementa može izraziti kao: ε= d u, (7.4) gdje je d e kinematički diferencijalni operator. Uz (7.3), stanje deformacije je: pri čemu je e e ε= Bu, (7.5) B= d N matrica veze deformacija pomak. Ova matrica povezuje stanje e deformacije s pomacima čvorova elementa, a može se koristiti i za izračuna tenzora naprezanja koji je onda jednak: e σ= CBu, (7.6) gdje je C matrica elastičnosti koja ovisi o elastičnim konstantama materijala. 60

72 Raspodjela naprezanja i deformacija u tijelu može se tako dobiti putem pomaka u čvorovima i konstitutivnih jednadžbi. Naprezanja i deformacije se obično računaju u integracijskim ili Gaussovim točkama u svakom elementu. Pomaci u čvorovima ovise pak o krutosti elementa i čvornim silama. Matrica krutosti za redom jednodimenzijski, dvodimenzijski i trodimenzijski konačni element je jednaka: Iz ovoga se može zapisati jednadžba krutosti konačnog elementa: u kojoj e f predstavlja vektor čvornih sila konačnog elementa. k k e k e e T = B CBdz, (7.7) l T = B CBhdA, (7.8) A T = B CBdV. (7.9) V e e e k u = f, (7.0) 7.2. Integral energijske domene Često korištena forma izračuna J integrala putem numeričke analize je metoda integrala energijske domene koju je razvio Shih sa suradnicima [27]. Ovaj se pristup pokazao iznimno praktičnim budući da se može primijeniti na kvazistatičke i dinamičke probleme pri elastičnom, plastičnom ili viskoplastičnom ponašanju materijala, kao i kod toplinskog opterećenja. Relativno je jednostavan za primjenu i vrlo učinkovit zbog čega je i ugrađen u mnoge komercijalne programske pakete. 6

73 7.2.. Teorija integrala energijske domene Općeniti izraz za J integral koji sadrži utjecaj inercije i neelastičnog ponašanja materijala je jednak [57]: u j J = lim ( W + Ek) δi σ ij nidγ x, (7.) Γ0 0 Γ 0 gdje je E k gustoća kinetičke energije, a linija Γ 0, slika 7.2, integriranja teži nuli, tj. vrhu pukotine. Pretpostavimo li elastoplastično ponašanje materijala uz kvazistatičko opterećenje (E k = 0) i toplinske deformacije, ukupna će deformacija biti: ε = ε + ε + α Θ δ = ε + ε. (7.2) uk ij e ij p ij U izrazu (7.2) α je koeficijent toplinskog rastezanja, a Θ temperatura. Eksponencijske se oznake e, p, m i t odnose na elastične, plastične, mehaničke i toplinske deformacije s tim da je mehanička deformacija zbroj elastične i plastične. Rad naprezanja W je jednak: m ε kl ij m ij t ij m W = σ d. (7.3) 0 ij ε ij Sl Linije integriranja oko vrha pukotine Jednadžbu (7.) potrebno je prilagoditi za izračun integrala i po liniji koja ne teži k nuli, tj. prema vrhu pukotine, kako bi bila primjenjiva za numeričku analizu. Postavimo li zatvorenu liniju integriranja oko vrha pukotine, slika 7.2, s vanjskom, Γ, i unutarnjom, Γ 0, linijom te linijama po gornjoj i donjoj stranici pukotine Γ + i Γ -, J integral se za 62

74 elastično ponašanje materijala i kvazistatičko opterećenje može odrediti po bilo kojoj od ovih linija. Uz naprezanje jednako nuli po stranicama pukotine, J integral za Γ * = Γ + Γ + + Γ - Γ 0 je jednak [57]: J = * Γ u j σ ij Wδi qmidγ, (7.4) x gdje je m i normala na liniju Γ *, q je proizvoljna funkcija koja je jednaka jedinici na Γ 0 i nuli na Γ, a m i = - n i na Γ 0. Uz primjenu teorema divergencije, izraz (7.4) se može pisati kao: J = * A u j W q da x σ ij δi x, (7.5) i J = u j q q u j W σ + ij Wδi da σ ij qda, (7.6) x xi * xi x x A * A gdje je A * površina obrubljena linijom Γ *. Rad naprezanja može se podijeliti na elastičnu i plastičnu komponentu: e ε kl p ε kl e p e p W = W + W = σ ijdε + S ij ijdε ij, (7.7) pri čemu je S ij devijatorsko naprezanje. Izraz (7.6) vrijedi za plastično ponašanje materijala samo kada nema rasterećenja, a općeniti izraz za J integral koji uzima u obzir plastične deformacije, unutrašnje sile i toplinske deformacije, kada je naprezanje po stranicama pukotine jednako nuli, glasi: 0 0 J = * A p u q p W Θ u j ε ij j σ ij Wδi + + F q da x σ ij ασ ii i. (7.8) xi x x x x Za slučaj elastičnog ponašanja materijala, zanemarujući unutrašnje sile u tijelu, toplinske deformacije, izraz (7.8) se svodi na: J = u j q σ ij Wδi da x, (7.9) x * A i što je istovjetno Riceovom J integralu koji je neovisan o liniji integriranja. 63

75 Analogno izvedenom integralu za dvodimenzijske probleme, može se izvesti izraz za J integral u prostoru. Slika 7.3 [57] prikazuje pukotinu u prostoru gdje za određenu poziciju ω na fronti pukotine računamo vrijednost J integrala. Sl Površine integriranja oko fronte pukotine Konstruiramo li oko pukotine dva valjka jednakih duljina L, a polumjera r 0 i r, moguće je definirati težinski prosjek vrijednosti J integrala po površinama valjaka, umjesto po linijama integriranja kao kod dvodimenzijskih problema. Analogno izrazu (7.4), za prostorni problem tako pišemo [57]: J L= * S u j σ ij Wδi qmids x, (7.20) gdje je S* = S + S + + S - S 0, slika 7.3. Isto tako, analogno izrazu (7.8), za prostornu pukotinu pišemo: J L= p u q p W Θ u j ε ij j σ ij Wδi + + F q dv x σ ij ασ ii i. (7.2) xi x x x x * V 64

76 Primjena teorije integrala energijske domene u metodi konačnih elemenata Kako bi se izložena teorija integrala energijske domene primijenila u metodi konačnih elemenata, za dvodimenzijske je probleme potrebno definirati površinu po kojoj se integracija odvija. Unutarnja linija, Γ 0, se obično poklapa s vrhom pukotine što znači da je površina A * određena linijom Γ koja se poklapa s rubovima konačnih elemenata. Za trodimenzijske probleme je potrebno umjesto površine integriranja definirati volumen integriranja. Funkcija q, navedena u izrazima (7.8) i (7.20), mora biti definirana u svim čvorovima elemenata koji tvore površinu ili volumen integriranja. Shih je dokazao da je vrijednost J integrala neovisna o obliku te funkcije, a za probleme ravninskog stanja naprezanja ili deformacije q = na Γ 0 i q = 0 na Γ. Vrijednost q unutar konačnog elementa se može interpolirati prema: n ( xi) = q N q, (7.22) gdje je n broj čvorova elementa, q I su vrijednosti q-a u čvorovima, a N I su funkcije oblika elementa. I= I I Zanemarujući unutrašnje sile u tijelu, toplinske deformacije te naprezanje na stranicama pukotine, diskretizirani oblik integrala energijske domene primjenjiv u metodi konačnih elemenata izgleda ovako: u q x J = W ω m j j σ ij δi det g, (7.23) A ili V p= x xi ξk p pri čemu m označava broj Gaussovih ili integracijskih točaka po elementu, a w g je težinski faktor. Vrijednosti navedene u izrazu (7.23) se izračunavaju u integracijskim točkama elemenata. 65

77 7.3. Opće rješenje integracije J integrala u metodi konačnih elemenata J integral se jednostavno može izračunati integriranjem po liniji oko vrha pukotine s tim da takva linija može prolaziti kroz čvorove ili integracijske točke konačnih elemenata. Kako su vrijednosti naprezanja u integracijskim točkama točnije od onih u čvorovima elemenata, uputnije je definirati liniju integriranja kroz integracijske točke u elementu, slika 7.4. Prednost ove metode je u tome što se može primijeniti i na linearno elastično i elastoplastično ponašanje materijala. Pored toga, neovisnost o liniji integriranja omogućuje izračun J integrala i na većoj udaljenosti od vrha pukotine što kod numeričkih metoda doprinosti točnosti. Za trodimenzijske je probleme integriranje potrebno provesti po površini integriranja. Linija integriranja Γ Integracijske točke unutar elementa Vrh pukotine Sl Linija integriranja Γ za J integral koja okružuju vrh pukotine i prolazi kroz integracijske točke unutar konačnih elemenata 66

78 7.3.. Dvodimenzijski problemi Ponovimo li opći izraz za J integral (4.5): u J = Wdy T ds, Γ x (7.24) pojedine se komponente iz njega mogu zapisati kao [66]: u u v ux v W = σ x + σ xy + + σ y, 2 x y x x y (7.25) y dy= η dη, (7.26) u ( x xy 2) T = σ n + σ n + ( σ xyn + σ yn2) x x x (7.27) 2 2 x y ds = + dη, (7.28) η η pa je izraz kojim se numerički može odrediti dvodimenzijski J integral [66]: J u u v u v y = σ x + σ xy + + σ y Γ 2 x y x x y η 2 2 u x y ( σ u x y xn σ xyn2) ( xyn yn2) d x σ σ x η η η, (7.29) Izraz (7.29) se izračunava putem linije Γ: n g= ( ) J = w I ξ,η, (7.30) g g g g gdje je w g težinski faktor, n broj integracijskih točaka u konačnom elementu, a I g integrand koji se izračunava u svakoj integracijskoj ili Gaussovoj točki u konačnom elementu: I u u v u v y = σ + σ + + σ 2 x y x x y η g x xy y 2 2 u v x y ( σ xn + σ xyn2) + ( σ xyn + σ yn2) x x +. (7.3) η η g 67

79 Nakon izvršene analize naprezanja nekim od programa koji koristi metodu konačnih elemenata, dostupne su vrijednosti naprezanja u integracijskim točkama konačnih elemenata koje se mogu uvrstiti u izraz (7.3). Deformacije se mogu odrediti iz izraza (7.5): e ε= Bu, pri čemu je B matrica veze deformacija pomak: a B N N2 N x x x N N N, (7.32) y y y N N N2 N2 N8 N 8 y x y x y x 2 8 = e u vektor čvornih pomaka e-tog elementa koji se u transponiranom obliku može zapisati kao: x i η [ u v u v u v ] T e e e e u = u u2 u 8 = (7.33) y su komponente Jacobijeve matrice: η za koje je [67]: Nčv Nčv Ni N i xi yi i= ξ i= ξ J ( ξ, η) =, (7.34) Nčv Nčv Ni Ni xi yi i= η i= η N N5 N8 = ( + ξ) + η 4 2 η η N2 N5 N6 = ( ξ) + η 4 2 η η N 3 ( ) N ξ N = η 4 2 η η N4 N7 N8 = ( + ξ) + η 4 2 η η 68

80 N5 = + η 2 2 ( ξ ) N 6 = η( ξ) η N7 = η 2 2 ( ξ ) (7.35) N 8 = η( + ξ). η Trodimenzijski problemi Kada je riječ o trodimenzijskim problemima, potencijalna energija, E p, tijela izloženog površinskim naprezanjima je jednaka [67]:, (7.36) E = WdV + Tu ds p V S i i gdje je W gustoća energije deformiranja, u i označava pomake, V je volumen, a S ploha tijela. Definira li se J integral kao promjena potencijalne energije pri proširenju pukotine za a, s duljinom fronte koja odgovara debljini epruvete B, tada se može pisati: Uz T i ij j J a Ep W = = dv A B V l S ui Ti l ds, (7.37) = σ n i primjenom teorema divergencije, izraz (7.37) se može pisati kao: ui J a = W il ij nids B δ σ S l, (7.38) pri čemu je δ il Kroneckerov delta, σ ij tenzor naprezanja, a n i vektor normale. Komponente J integrala po osima x i y se tada mogu zapisati kao: J B ui Wn σ ij n ds, (7.39) x x = i S J y B Wn = 2 i S ui σ ij n ds, (7.40) y J = J + J, (7.4) 2 2 x y 69

81 Prirodne koordinate pomoću kojih su izražene integracijske točke konačnih elemenata mogu se dovesti u vezu s globalnim koordinatama (x, y, z) preko interpolacijskih funkcija N i : N čv = i= i ( ξ, η) x N x i N čv = i( ξ, η) i (7.42) i= y N y N čv = i( ξ, η) i. i= z N z Sl Površina izoparametarskog konačnog elementa s osam čvorova nad kojom će se izračunati površinski integral Za izoparametarski konačni element s osam čvorova, slika 7.5, interpolacijske su funkcije [67]: N = η ( + ξ )( + ) ( 2N N ) 5 2 N = η ( ξ )( + ) ( 2N N ) N = η ( ξ )( ) ( 2N N )

82 7 ( )( ) ( ) N N N + + = η ξ ( )( ) ξ +η = N (7.43) ( )( ) η ε = N ( )( ) ξ η = N ( )( ) η +ξ = N. Jednadžbe (7.38) i (7.39) daju: N N i i, čv čv i i i i N N x x x x ξ ξ η η = = = = N N i i, čv čv i i i i N N y y y y ξ ξ η η = = = = (7.44) N N i i, čv čv i i i i N N z z z z ξ ξ η η = = = =, gdje je: ( ) ( ) + + = + + = η η ξ η ξ ξ η ξ , 2 4 N N N N N N ( ) ( ) + = + + = η η ξ η ξ ξ η ξ , 2 4 N N N N N N ( ) ( ) + = + = η η ξ η ξ ξ η ξ , 2 4 N N N N N N ( ) ( ) + + = + = η η ξ η ξ ξ η ξ , 2 4 N N N N N N ( ) ( ) , ξ η η ξ ξ + = + = N N (7.45) ( ) ( ) ξ η η η ξ = =, N 6 N ( ) ( ) , ξ η η ξ ξ = = N N

83 2 ( η ), = η( + ξ) N = 8 N 8 ξ 2 η Izrazi za vektor normale n se mogu zapisati kao:. n = y z ξ η n z y ξ η z x x z ξ η ξ η n = 2 (7.46) n x y y x ξ η ξ η n = 3, n a prirast površine ds kao: ds = y z z y ξ η ξ η 2 z x x z + ξ η ξ η 2 x y y x + ξ η ξ η 2 dξdη. (7.47) Uz navedene se jednadžbe J x i J y mogu pisati kao: J = W n + n + n + n ( σ τ τ ) u x ij x xy 2 xz 3 B ij i j xij v w + ( τ n + σ n + τ n ) + ( τ n + τ n + σ n ) w ds yx y 2 yz 3 ij zx zy 2 z 3 ij g ij xij xij, (7.48) J = W n + n + n + n ( σ τ τ ) u y ij 2 x xy 2 xz 3 B ij i j yij v w + ( τ n + σ n + τ n ) + ( τ n + τ n + σ n ) w ds yx y 2 yz 3 ij zx zy 2 z 3 ij g ij yij yij, (7.49) uz: W = ( σ xε x + σ yε y+ σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ zxγ zx). (7.50) 2 72

84 Pri tome se indeksi i i j u izrazima (7.44) i (7.45) odnose na i i j integracijske točke u konačnom elementu, dok w g predstavlja težinsku funkciju Gaussove integracije. Vrijednosti naprezanja i deformacija se mogu odrediti na način kao i poglavlju Oblikovanje mreže konačnih elemenata u mehanici loma Pri oblikovanju mreže konačnih elemenata kod numeričkog modeliranja problema mehanike loma najčešće se koriste neki od elemenata prikazanih na slici 7.6 [57]. a) b) c) d) Sl Često korišteni konačni elementi u mehanici loma. a) pravokutni serendipity kvadratni konačni element. b) pravokutni Lagrangeovi kubični konačni element. c) prizmatični serendipity konačni element drugog reda. d) prizmatični Lagrangeov konačni element višeg reda Oblikovanje dvodimenzijske mreže konačnih elemenata Pri vrhu pukotine pravokutni se elementi obično svode u trokutne te tri čvora zauzimaju istu točku u ravnini. Po istom se principu u prostoru prizmatični elementi preoblikuju u piramidalne. Ovaj se postupak provodi u problemima koji se tiču elastičnog 73

85 ponašanja materijala i tada su čvorovi koji su svedeni u istu točku međusobno vezani, a čvorovi koji leže na polovici stranica elementa pomiču se na četvrtinu duljine stranice od vrha pukotine, slika 7.7 [57]. Sl Svođenje pravokutnog konačnog elementa u trokutasti i raspored trokutnih konačnih elemenata oko vrha pukotine Na navedeni se način osigurava / r singularnost deformacije u elementu što je poželjno ponašanje konačnih elemenata pri vrhu pukotine. Slično se ponašanje može postići i gustom mrežom običnih elemenata, no takva mreža zahtijeva pomnije oblikovanje te više procesnog vremena računala. Kada je u pitanju plastično ponašanje materijala, pravokutni se elementi također svode na trokutne, međutim čvorovi koji zauzimaju istu točku u ravnini sada više nisu međusobno vezani. Osim toga, nije potrebno niti pomicati čvorove koji leže na polovici stranica elementa na četvrtinu duljine stranice od vrha pukotine. Ovakav način oblikovanja mreže osigurava /r singularnost deformacije u elementu što je poželjno ponašanje kod plastičnih problema. Također, budući da čvorovi koji zauzimaju istu točku u ravnini nisu vezani, pri deformaciji se mreže konačnih elemenata u vrhu pukotine može izračunati pomak otvaranja vrha pukotine (CTOD), slika

86 Sl Deformirana mreža konačnih elemenata pri vrhu pukotine kod plastičnog ponašanja materijala U oblikovanju mreže konačnih elemenata oko pukotine najčešće se pribjegava zrakastom širenju elemenata od vrha pukotine, slika 7.9. Takav način oblikovanja omogućuje definiranje trokutastih ili piramidalnih elemenata u prvom redu oko vrha pukotine uz stupnjevito ugušćivanje mreže prema vrhu pukotine. Tako se točnije može zabilježiti polje naprezanja i deformacija oko pukotine. Gušća mreža oko vrha pukotine potrebna je kod plastičnog ponašanja materijala budući da je to mjesto gdje dolazi do tečenja materijala. Također, računa li se J integrala oko vrha pukotine, gušća će mreža dati točnije ulazne podatke za integraciju. Sl Primjer modeliranja dvodimenzijske mreže konačnih elemenata oko vrha pukotine 75

87 Oblikovanje trodimenzijske mreže konačnih elemenata Trodimenzijska se mreža konačnih elemenata konstruira na način da se najprije definira dvodimenzijska mreža konačnih elemenata koja sadrži elemente specifične za modeliranje pukotine i koja okružuje vrh pukotine, slika 7.7. Takva se dvodimenzijska mreža zatim proširi niz liniju koja predstavlja frontu pukotine u prostoru čime se konačnim elementima opiše tijelo oblika torusa u prostoru, tj. četvrtina torusa budući da su modelirane pukotine većinom simetrične. Takav se način modeliranja naziva parametarskim [68]. Nadalje se oko tako dobivenih elemenata dodaju prizmatični konačni elementi drugog reda s 20 čvorova čime se tvori "blok" elemenata koji u sebi sadrži pukotinu, slika 7.0. Blok elemenata je modeliran na način da se može pripojiti ostatku diskretiziranog modela cijele konstrukcije te je pri simuliranju širenja pukotine dovoljno nanovo omrežiti samo navedeni blok elemenata koji sadrži pukotinu, ne i cijelu konstrukciju. Takav postupak štedi vrijeme potrebno za provedbu analize. Sl Parametarsko modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže konačnih elemenata. Osjenčano područje predstavlja površinu pukotine. 76

88 Osim toga, trodimenzijska se mreža konačnih elemenata kojom se želi modelirati pukotinu može konstruirati i na način prikazan na slici 7.. Definirana se dvodimenzijska mreža konačnih elemenata proširi u treću dimenziju [69], a pri tome iz jednog dvodimenzijskog elementa mogu nastati dvije vrste trodimenzijskih elemenata: jedan prizmatični konačni element drugog reda ili dva tetraedarska elemenata nastala "kolapsom" osnovnih trodimenzijskih elemenata s 20 čvorova te četiri heksaedarska elementa s po 20 čvorova. Tetraedarski elementi okruženi heksaedarskim opisuju frontu pukotine u prostoru i uobičajeno se koriste u konačnoelementnoj analizi konstrukcija s pukotinom. Čvorovi koji leže na polovici stranica tetraedarskih elemenata što opisuju frontu pukotine pomiču se na četvrtinu duljine stranice od fronte pukotine kada treba opisati elastično ponašanje materijala. Sl. 7.. Modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže konačnih elemenata prema Linu [69]. Osjenčano područje predstavlja površinu pukotine. Metoda konačnih elemenata, iako moćan alat u simulaciji problema mehanike loma, ne može u potpunosti zamijeniti potrebu za eksperimentalnim ispitivanjem parametara/ značajki loma. Numerička analiza može dati dobru sliku o raspodjeli naprezanja i deformacija u tijelu s pukotinom te točne rezultate pri izračunu značajki loma poput 77

89 koeficijenta intenzivnosti naprezanja ili J integrala. Problem numeričke analize jest što njezini matematički modeli uvijek pretpostavljaju određen stupanj idealizacije realnog problema, tj. teško mogu predvidjeti realno ponašanje materijala, pogotovo kada su u pitanju uključci u strukturi, mikro pukotine i nesavršenosti koje su i glavni izvori koncentracije naprezanja oko kojih nastaju pukotine. Zato numerička analiza svoj potencijal potpunije ostvaruje samo i uz odgovarajuća provedena eksperimentalna ispitivanja. 78

90 8. Numeričko određivanje J integrala - SENB i CT epruveta J integral je jedan od najznačajnijih parametara loma kod konstrukcija kod elastoplastičnog ponašanja materijala. Koristeći se eksperimentalnim ispitivanjima mogu se pomoću epruveta s određenim početnim veličinama pukotine (a 0, a,...) dobiti jedinstvene vrijednosti J integrala koje odgovaraju kritičnim vrijednostima kod kojih može natupiti lom, J c, ili tzv. J-R krivulje otpora gdje se vrijednost J integrala stavlja u odnos sa širenjem/produljenjem pukotine. Određivanje tih otpornih J-R dijagrama eksperimentalnim putem uz korištenje laboratorijskih epruveta pomaže u određivanju strukturne cjelovitosti ispitivanih materijala. Epruvete koje se mogu koristiti u takvim ispitivanjima propisane su odgovarajućim standardima, poput ASTM E Iako se J-R dijagrami obično određuju eksperimentalno, razvoj numeričkih metoda, posebno metode konačnih elemenata, omogućio je da se takvi postupci uspješno izvedu pomoću numeričkih modela. Na taj se način može uštedjeti na izvođenju skupih eksperimenata. Međutim, često je poželjno da se prikladnost numeričkih simulacija potvrdi dostupnim eksperimentalnim rezultatima. Na taj se način, zapravo, verificira ispravnost numeričkih rezultata i otvara put njihove primjene u novim istraživanjima. 79

91 Dobar dio komercijalno dostupnih računalnih paketa koji podržavaju metodu konačnih elemenata još uvijek ne pruža u potpunosti mogućnost određivanja značajki/parametara loma kod elastoplastičnog ponašanja materijala. U ovom radu je, uz korištenje programskog paketa Matlab, razvijen programski algoritam kojim se računa vrijednost J integrala. Razvijeni algoritam koristi rezultate numeričke analize naprezanja kao ulazne podatke. Kako je cilj rada usmjeren na numeričko ispitivanje procesa širenja pukotine i određivanje značajki loma, a orjentirano uglavnom na posude pod tlakom, uporabom koda određeni su J-R dijagrami za neke materijale koji se često koriste pri izradi takvih posuda. Navedeni dijagrami su određeni uz numeričku simulaciju širenja pukotine kod CT i SENB epruveta. U nastavku poglavlja dan je opis postupka. 8.. Ispitivani materijali U obzir je uzeto nekoliko različitih materijala koji se koriste pri izradi posuda pod tlakom. Riječ je o čelicima oznaka 20MnMoNi55, 50CrMo4 te aluminijskoj slitini AA606. Čelik 20MnMoNi55 se često koristi pri izradi posuda pod visokim tlakom koje zahtijevaju iznimnu otpornost na pojavu i širenje pukotine, poput konstrukcija u reaktorima nuklearnih elektrana. Čelik poput 50CrMo4 se često koristi pri izradi vatrogasnih aparata pod tlakom, dok se aluminijska slitina AA606 rabi u proizvodnji ronilačkih boca. Tablica 8. daje kemijski sastav materijala, a tablica 8.2 vrijednosti naprezanja kod tečenja, σ 0.2, i vlačnu čvrstoću materijala σ m, te modul elastičnosti, E, i Poissonov koeficijent, ν. Tab. 8.. Kemijski sastav ispitivanih materijala (u težinskim postocima) Materijal C Mn Si S Mo Cr Ni P Zi Ti Mg Ostatak 20MnMoNi CrMo AA

92 Tab Naprezanje na granici plastičnosti, σ 0.2, vlačna čvrstoća, σ m, modul elastičnosti, E, Poissonov koeficijent, ν - za razmatrane materijale Materijal σ 0.2 [MPa] σ m [MPa] E [GPa] ν 20MnMoNi CrMo AA Slike 8. do 8.3 prikazuju σ ε dijagrame za razmatrane materijale. σ [MPa] ε [%] Sl. 8.. σ ε dijagram za 20MnMoNi55 [70] 8

93 Sl σ ε dijagram za 50CrMo4 [7] σ [MPa] σ [MPa] ε Sl σ ε dijagram za AA606 [72] 82

94 8.2. SENB i CT epruvete Modeliranje epruveta metodom konačnih elemenata Za određivanje lomnih značajki materijala navedenih u poglavlju 8., korišteni su numerički modeli epruveta SENB (eng. single-edge notched bend) i CT (eng. compact type), čija je geometrija definirana standardom ASTM E 820-0, slika 8.4. Navedene se epruvete inače koriste u laboratorijskim ispitivanjima lomnih značajki po navedenom standardu. a) b) Sl Dimenzije epruveta definirane prema ASTM E a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 83

95 Za modeliranje metodom konačnih elemenata korišten je programski paket Ansys.0 [73]. Zahvaljujući simetričnosti epruveta modelirana je samo jedna njihova polovica uz postavljanje odgovarajućih rubnih uvjeta uz stranice simetrije. Epruvete su modelirane kao dvodimenzijski problem uz osiguravanje uvjeta ravninskog stanja deformacije, kojeg putem svojih dimenzija moraju zadovoljavati i realne epruvete u laboratorijskim ispitivanjima. Modeli su omreženi ravninskim pravokutnim elementima s osam čvorova. Posebna je pažnja posvećena modeliranju mreže oko vrha pukotine gdje je stvorena "rozeta" konačnih elemenata koja svoje središte ima u vrhu pukotine, slika 8.5. det. A det. A a) b) Sl Mreža konačnih elemenata. a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 84

96 Prvi red elemenata čine pravokutni konačni elementi svedeni na trokutne, prema pravilima za oblikovanje mreže oko vrha pukotine iznesenim u poglavlju 7.4. Preporučljivo je prvi red elemenata oblikovati tako da ima radijus jednak osmini duljine pukotine, ili manji, za što točnije rezultate. Mreža konačnih elemenata je zgusnuta oko vrha pukotine kako bi se što točnije zabilježile vrijednosti naprezanja i deformacija koje će kasnije biti iskorištene u određivanju J integrala. Modelirane su epruvete s početnim odnosom duljine pukotine i širine epruvete, a/w, od 0.25 do 0.75 u koracima od po Kod svakog od tih omjera je početna pukotina produljena za a = 2 mm, u koracima od po 0.2 mm. Širenje pukotine je simulirano oslobađanjem čvorova mreže konačnih elemenata na liniji napredovanja pukotine. Pri tome je nužno osigurati da je veličina elemenata, tj. razmak između čvorova koji se imaju osloboditi, takva da odgovara željenom produljenju pukotine Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala Po definiranom konačnoelementnom modelu SENB i CT epruveta, provedena je numerička analiza naprezanja. Slika 8.6 prikazuje raspodjelu naprezanja na primjeru SENB i CT epruvete s veličinom pukotine a/w = 0.5, dok slika 8.7 prikazuje deformacije. 85

97 Vrh pukotine a) Vrh pukotine b) Sl Raspodjela intenziteta naprezanja. a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 86

98 Vrh pukotine a) Vrh pukotine b) Sl Raspodjela deformacija. a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 87

99 Kako bi se odredila vrijednost J integrala za pojedinu konfiguraciju epruvete, potrebno je definirati liniju integriranja. Iako se takva linija može definirati i kroz čvorove elemenata, točnije se vrijednosti J integrala dobivaju ukoliko linija integriranja prolazi kroz integracijske ili Gaussove točke unutar svakog elementa. Prema tome su i definirane linije J integrala oko vrha pukotine na načina da prolaze kroz dvije od četiri integracijske točke u svakom elementu, slika 8.8. a) Γ Γ 2 Γ 3 b) Sl a) Linije J integrala (Γ, Γ 2, Γ 3 ) koje okružuju vrh pukotine i prolaze kroz integracijske točke unutar konačnih elemenata. b) detalj jednog konačnog elementa s linijom J integrala koji prolazi kroz dvije od četiri integracijskih točaka. Pri ovome je važno zabilježiti vrijednosti numeričke analize naprezanja u integracijskim točkama budući da će one kasnije biti iskorištene u određivanju J integrala. Kako se kod numeričkog određivanja J integrala njegove vrijednosti pojavljuju razlike ovisno o tome jesu li računate po linijama u neposrednoj blizini ili na udaljenosti od vrha pukotine, definirane su tri linije integriranja te je kao konačna vrijednost J integrala uzet njihova srednja vrijednost. 88

100 8.3. Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 2D konfiguracija Izraz (7.29) je iskorišten kao osnova na kojoj je razvijen računalni algoritam u programskom paketu Matlab 200 [74]: J u u v u v y = σ x + σ xy + + σ y Γ 2 x y x x y η 2 2 u x y ( σ u x y xn σ xyn2) ( xyn yn2) d x σ σ x η η η. Algoritam kao ulazne podatke koristi rezultate numeričke analize naprezanja u integracijskim točkama konačnih elemenata na liniji integriranja. Integriranjem i zbrajanjem vrijednosti J integrala u pojedinim integracijskim točkama dobiva se ukupna vrijednost J integrala po pojedinoj liniji integriranja. Taj se postupak ponavlja za preostale linije integriranja da bi se kao konačna vrijednost J integrala uzela srednja vrijednost po svim linijama integriranja. Dijagramom na slici 8.9 prikazan je tok procesa određivanja J integrala korištenjem algoritma. 89

101 Definiranje: - materijala - vrste konačnih elemenata - geometrije - rubnih uvjeta - opterećenja Analiza naprezanja u konačnoelementnom programu n skupova izlaznih rezultata za n linija integriranja J integrala naprezanja u integracijskim točkama koordinate (ξ, η) integracijskih točaka lista konačnih elemenata s koordinatama (x,y ) čvorova (deformacije u integracijskim točkama) pomaci u čvorovima konačnih elemenata Pozivanje interpolacijskih funkcija N i Parcijalna derivacija interpolacijskih funkcija N i / ξ, N i / η Izračun Jacobijeve matrice, J Izračun matrice veze deformacija-pomak, B Izračun deformacija, ε u u v I u v y g = σ x + σ xy + + σ y 2 x y x x y η 2 2 u v x y ( σ xn + σ xyn2) + ( σ xyn + σ yn2) + x x η η g n i = g g g g g= ( ) J w I ξ,η n Ji n i = J = Sl Određivanje J integrala: dijagram toka. 90

102 Algoritam za određivanje J integrala je izveden pomoću Matlaba 200, matematičkog programskog paketa namijenjenog matričnom izračunavanju. Navode se neke od značajki algoritma: - korišteni su ulazni podaci dobiveni numeričkom analizom naprezanja u konačnoelementnom programu Ansys. Za ulazne se podatke koriste popis elemenata kroz koje se definira linija integriranja J integrala s koordinatama čvorova, pomaci u čvorovima konačnih elemenata, vrijednosti naprezanja i deformacije u integracijskim točkama konačnih elemenata. Navedene ulazne podatke treba organizirati u tekstualnim datotekama kako bi bili prikladni za učitavanje u Matlab. - Ulazni se podaci mogu pripremiti i u drugim konačnoelementnim programima što algoritmu osigurava širu primjenjivost. - Ansys pruža mogućnost očitavanja vrijednosti naprezanja i deformacija u integracijskim točkama konačnih elemenata što olakšava i ubrzava korištenje algoritma. Dobar dio konačnoelementnih programa nema mogućnost očitavanja deformacija u integracijskim točkama zbog čega početni dio algoritma zauzima određivanje vrijednosti deformacija preko pomaka i matrice veze deformacija - pomak. - Ovisno o unesenom ključnom izrazu za određivanje J integrala (7.29) ili (7.48) i (7.49), algoritam se može primijeniti za izračun J integrala kod dvodimenzijskih ili trodimenzijskih primjera. - Algoritam se može primijeniti na pune modele pukotine te simetrične kod kojih je modelirana samo polovica pukotine oko koje se opisuje linija J integrala. - Algoritam se može primijeniti i kod linearno elastičnog ponašanja materijala za koje je J integral također jedna od valjanih značajki loma - Izlazne se vrijednosti J integrala zajedno s pripadnim vrijednostima veličine pukotine mogu organizirati u tekstualnim datotekama što ih čini prikladnim za daljnju računalnu obradu i prikazivanje u J-R dijagramima. 9

103 8.4. Predviđene J-R krivulje za razmatrane materijale Prema opisanoj proceduri dobiveni su predviđeni (teorijski) J-R dijagrami za razmatrana materijale, 20MnMoNi55, 50CrMo4 i AA606, na dvije vrste numerički modeliranih epruveta, SENB i CT. Slike 8.0 do 8.3 prikazuju dobivene rezultate J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 a/w=0,625 a/w=0, ,5,5 2 Da [mm] a) 92

104 J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 a/w=0,625 a/w=0, ,5,5 2 Da [mm] b) Sl Čelik 20MnMoNi55. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT epruvetu J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 a/w=0,625 a/w=0, ,5,5 2 Da [mm] a) 93

105 J [N/mm] ,5,5 2 Da [mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 a/w=0,625 a/w=0,75 b) Sl. 8.. Čelik 50CrMo4. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT epruvetu J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 a/w=0,625 a/w=0, ,5,5 2 Da [mm] a) 94

106 J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,375 a/w=0,5 20 a/w=0,625 a/w=0, ,5,5 2 Da [mm] b) Sl Aluminijska slitina AA606. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT epruvetu. Usporedbom dijagrama na slikama lako je primijetiti da čelik 20MnMoNi55 ima viši parametar lomne žilavosti od čelika 50CrMo4 i aluminijske slitine AA606. Takav je rezultat bio i očekivan s obzirom na namjenu pojedinih materijala gdje se čelik 20MnMoNi55 koristi kod zahtjevnih konstrukcija, poput nuklearnih postrojenja, gdje se pojava pukotina i lomova mora minimalizirati. Usporedbom vrijednosti J integrala dobivenih za isti materijal, ali korištenjem različitih epruveta, SENB ili CT, primjećuje se da ispitivanja provedena na CT epruvetama daje nešto konzervativnije rezultate. Ovakav rezultat izvire iz geometrije CT epruvete koja je osmišljena kao što kompaktnija kako bi se uzorci takvog oblika mogli izolirati iz konstrukcija koje nemaju mogućnost odstranjivanja količine materijala potrebne za, primjerice, SENB epruvete. Kao takve, CT epruvete obično daju nešto konzervativnije rezultate [75]. 95

107 Usporedbom J-R krivulja za jednake materijale i jednake vrste epruveta dolazi se do zaključka da veća pukotina, tj. veći omjer duljine pukotine i širine epruvete a/w, daje nižu vrijednost parametra lomne žilavosti ispitivanog materijala, i obratno. Takav je rezultat logičan s obzirom da konstrukcija s većom pukotinom pruža manji otpor daljnjem širenju pukotine Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R dijagrama Iz literature su dostupne J-R krivulje za čelik 20MnMoNi55 i aluminijsku slitinu AA606, za različite veličine pukotina i vrste korištenih epruveta. Odgovarajuće J-R krivulje, u smislu navedenih parametara, uspoređene su s onima dobivenim putem ranije spomenutog algoritma. Na slici 8.3 uspoređene su numerički dobivene J-R krivulje putem SENB epruvete od čelika 20MnMoNi55 s onim dobivenim eksperimentalno [76] J [N/mm] a/w=0,25 a/w=0,5 a/w=0,75 a/w=0,25, Narasaiah a/w=0,49, Narasaiah a/w=0,76, Narasaiah ,5,5 2 Da [mm] Sl Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R krivulja za SENB epruvetu izrađenu od čelika 20MnMoNi55. 96

108 Slika 8.4 prikazuje numerički i eksperimentalno dobivene [77] J-R krivulje za CT epruvetu izrađenu od aluminijske slitine AA J [N/mm] 40 a/w=0,5 a/w=0,5 MacMas ter ,5,5 2 Da [mm] Sl Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R krivulja za CT epruvetu, a/w = 0.5 izrađenu od aluminijske slitine AA606. Iz prikazanog se može primijetiti prilično dobra podudarnost numeričkih rezultata s eksperimentalnim. To daje sigurnost u korištenju numeričkog modela i jamči vjerodostojnost dobivenih J-R dijagrama za ostale veličine pukotina na epruvetama, kao i za ostale materijale za koje nisu dostupni eksperimentalni podaci. 97

109 8.5. Određivanje kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti, J Ic Iz dobivenih se predviđenih J-R krivulja, može odrediti kritična vrijednost J integrala, J Ic, koja služi kao mjera lomne žilavosti. Prema ASTM E 820-0, J Ic = J Q, ukoliko je zadovoljen uvjet: 25J Q B, b0. (8.) σ Y Pri tome se J Q definira kao vrijednost J integrala na presjecištu J-R krivulje i linije koja prolazi kroz a = 0.2 mm i ima nagib od 2σ Y, slika 8.4. Vrijednost σ Y je jednaka prosječnoj vrijednosti naprezanja pri granici tečenja i vlačne čvrstoće materijala. J Q =J Ic 0.2 mm linija Sl Određivanje J Q iz J-R krivulje. 98

110 8.5.. Usporedba kritičnih vrijednosti parametra lomne žilavosti J Ic za razmatrane materijale Služeći se prikazanim principom određivanja kritičnih vrijednosti parametara lomne žilavosti, J Ic, iz eksperimentalno dobivenih J-R krivulja, prikazane su ovdje spomenute kritične vrijednosti temeljem dijagrama na slikama I ovdje valja reći da su ovako dobivene vrijednosti u biti predvidive/proračunske vrijednosti, analogno ranije rečenom po pitanju J-R krivulja. Na slici 8.5 su prikazane te kritične vrijednosti, J Ic, za razmatrane materijale u ovisnosti od veličine pukotine, a/w, kod SENB i CT epruveta. Sl Kritične proračunske vrijednosti parametara lomne žilavosti za razmatrane materijale u ovisnosti od veličine pukotine kod epruvete. 99

111 9. Numerička aplikacija J integrala - posude pod tlakom U poglavlju 8 numeričkim su putem određene J-R krivulje te kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti J Ic za neke od materijala od kojih se često izrađuju posude pod tlakom i to: čelike 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijsku slitinu AA606. Pri tome su numerička istraživanja/određivanja spomenutog parametra izvršena nad SENB i CT epruvetama propisanim od strane ASTM E standarda. Ograničenja, koja se tiču određene razine opterećenja i propisanih dimenzija ispitivanih epruveta, predstavljaju prepreku prijenosu značajki lomne žilavosti s epruveta na stvarne konstrukcije koje se dizajniraju. To često dovodi do zamjetno konzervativnog dizajna novih konstrukcija. Zato je potrebno vrijednost lomne značajke ponekad istražiti/ispitati i na stvarnim konstrukcijama te ih usporediti s onima dobivenim putem ispitivanja epruveta. Ovaj je korak posebno važan kod optimizacije dizajna konstrukcija. Pri tom treba imati na umu da se vrijednosti parametra kritične lomne žilavosti ispitane na epruvetama označuju kao J c, dok se one ispitane na stvarnim konstrukcijama koje geometrijom i dimenzijama ne odgovaraju nadležnim standardima označavaju kao J u. Slijedom navedenog, u ovom su dijelu rada numerički ispitane lomne značajke i na stvarnim posudama pod tlakom što predstavlja nadogradnju na ispitivanja provedena i 00

112 prikazana u poglavlju 8. Izrađen je konačnoelementni model posude pod tlakom s pukotinom u stijenci aksijalno postavljenom spram uzdužne osi posude. Rezultati numeričke analize naprezanja iskorišteni su kao ulazni podaci za računalni kod napisan u programskom paketu Matlab kojem je zadaća izračunati vrijednosti J integrala kod različitih veličina pukotine. Osim toga, prikladnost je konačnoelementnog modela potvrđena i tenzometrijskim mjerenjima provedenim na stvarnoj posudi pod tlakom izrađenoj od čelika 50CrMo4, bez i sa pukotinom. 9.. Posuda pod tlakom 9... Modeliranje metodom konačnih elemenata Posuda pod tlakom, korištena u eksperimentalnim ispitivanjima kao predložak za numeričko modeliranje, definirana je geometrijom prikazanom na slici 9.. Ovakve se posude pod tlakom koriste kao vatrogasni aparati, a dimenzije su L = 385 mm, unutrašnji polumjer R i = 86 mm i debljina stijenke t = 2 mm. Na slici 9.b je prikazan i detalj pukotine u stjenci posude duljine a i otvora d. Sl. 9.. Primjer posude pod tlakom. a) geometrija i dimenzije posude i submodela. b) detalj poprečnog presjeka posude s dimenzijama pukotine. 0

113 Sl Konačnoelementni model posude pod tlakom Početni, trodimenzijski konačnoelementni model gdje je modelirana cijela posuda pod tlakom bez pukotine, iskorišten je kako bi se dobile usporedbene vrijednosti pomaka na udaljenosti dovoljno velikoj od vrha pukotine. Ustanovljeno je da su pomaci na udaljenosti c = 6l praktički jednakih vrijednosti kod posude bez pukotine i kod one s pukotinom. To vrijedi i za naprezanja [78]. Sljedeći je korak bio izrada submodela dimenzija cxc, na rubovima kojeg su postavljene vrijednosti pomaka zabilježene na modelu cijele posude pod tlakom. Princip rada sa submodelima se koristi kako bi se ostvarile uštede po pitanju računalne memorije i procesnog vremena. U daljnoj numeričkoj analizi korišteni su submodeli posude pod tlakom s različitim veličinama pukotine i za različite materijale. Na stijenku numeričkog modela posude pod tlakom zadano ("narinuto") je nekoliko veličina pukotine s omjerima a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, pri čemu je t debljina stjenke posude. Osim posude izrađene od čelika 50CrMo4 koja je podvrgnuta eksperimentalnom tenzometrijskom ispitivanju i na temelju koje je izrađen numerički model, numerički su razmatrani i sljedeći materijali: 20MnMoNi55 i AA606. Kemijski sastav i mehaničke značajke tih materijala su dane u tablicama 8. i

114 Submodeli posude pod tlakom modelirani su kao trodimenzijski problem koristeći se programskim paketom Ansys.0, a omreženi su tetraedarskim konačnim elementima s 20 čvorova, slika 9.3, služeći se parametarskim modeliranjem pukotine, poglavlje Zahvaljujući simetriji, modelirana je samo četvrtina submodela, a posebna je pozornost posvećena mreži konačnih elemenata pri vrhu pukotine. Potrebna je gušća mreža elemenata pri vrhu pukotine kako bi se dobili točniji rezultati analize naprezanja koji će kasnije biti iskorišteni za određivanje J integrala. det. A c/2 a) det. A det.c l det.b b) 03

115 det. B a c) det. C vrh pukotine d) e) Sl Mreža konačnih elemenata. a) submodela posude pod tlakom. b) pukotine. c) "odrezanog" dijela pukotine na polovici submodela. d) fronte pukotine. e) vrha pukotine Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala Analiza naprezanja provedena je za svaki razmatrani materijal te za različite početne veličine pukotine, a/t, a po analizi su zabilježene vrijednosti naprezanja, deformacija i pomaka u integracijskim točkama konačnih elemenata. To je učinjeno budući da je linija J integrala oko vrha pukotine zadana kroz integracijske točke pojedinih elemenata. Zadane su tri linije integriranja, a njihova srednja vrijednost je uzeta kao konačna. 04

116 det. A det. A Sl Raspodjela intenziteta naprezanja u submodelu posude pod tlakom 05

117 det. A det. A det. A Sl Raspodjela deformacija u submodelu posude pod tlakom 06

118 Širenje je pukotine simulirano pomicanjem fronte pukotine od vrha pukotine. Pri tome je nužno osigurati da je veličina konačnih elemenata takva da odgovara željenom povećanju pukotine, a. Na slici 9.6a prikazana je raspodjela cirkularnih i meridionalnih naprezanja po debljini stijenke za a/t = 0.5 pri p =.6 MPa dobivena po provedenoj analizi naprezanja uz korištenje metode konačnih elemenata u programu Ansys. Vidljiva je podudarnost oblika krivulje raspodjele naprezanja s teorijskom raspodjelom naprezanja, pogotovo pri vrhu pukotine gdje vrijednost naprezanja teži beskonačnosti. (x0**5) σc [Pa] (x0**-3) t [mm] a) 07

119 b) Sl a) Raspodjela numerički dobivenog cirkularnog naprezanja, σ c, po debljini stijenke posude pod tlakom za a/t = 0.5, t = 2 mm, pri p =.6 MPa. b) teorijska cirkularnih naprezanja, σ c, pri vrhu pukotine [57] Tenzometrijska mjerenja nad posudom pod tlakom Kako bi se potvrdila prikladnost konačnoelementnog modela izvedena su tenzometrijska mjerenja na stvarnoj posudi pod tlakom izrađenoj od čelika 50CrMo4. Mjerenja su izvedena uz uporabu sustava za tenzometrijska mjerenja HBM DMCplus u sklopu Laboratorija za mjerenje i analizu deformacija Tehničkog fakulteta u Rijeci. Na vanjsku je stijenku posude postavljena HBM-ova pravokutna tenzometrijska rozeta koja je bilježila deformacije posude [79]. Uz pomoć ručne vodene pumpe u posudi je postignut željeni pritisak, slika

120 Sl Posuda pod tlakom spojena s pumpom i s postavljenom tenzometrijskom rozetom Najprije je mjerenjima podvrgnuta posuda bez pukotine. Putem tenzometrijske se rozete mjere tri vrijednosti deformacije, ˆ ε a, ˆ ε ˆ b, ε c, što predstavlja očitanja deformacije na a, b i c traci rozete. Ovakva očitanja zahtijevaju korekciju budući da su trake postavljene na konstrukciji koja je izložena biaksijalnom stanju naprezanja [80]. Kako se petlje u pojedinim trakama šire dijagonalno u odnosu na izvornu orijentaciju trake, tako se javlja greška u izmjerenim vrijednostima koja zahtijeva korekciju. Korekcija se vrši preko sljedećih izraza: ε ( K ) K ˆ ( K ) ˆ ε ν ε ν ε a = K K a 0 a a c 0 c a c, (9.) ( ν K ) Kb ˆ ε a( ν 0Ka)( Kc) + ˆ ε c( ν 0Kc)( Ka) K ( K K )( K ) ˆ ε, (9.2) b 0 b b = b a c b ( K ) K ˆ ( K ) ˆ ε ν ε ν ε c = K K c 0 c c a 0 a a c, (9.3) gdje su ε a, ε b, ε c, ispravljene vrijednosti deformacije u smjeru traka a, b i c, ν 0 je Poissonov koeficijent za materijal korišten pri kalibraciji tenzometrijskih traka, a K a, K b i K c predstavljaju koeficijent dijagonalne osjetljivosti. 09