Technické rezervy v neºivotnom poistení

Transcription

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Technické rezervy v neºivotnom poistení DIPLOMOVÁ PRÁCA 2012 Bc JAROSLAVA GATIALOVÁ

2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TECHNICKÉ REZERVY V NEšIVOTNOM POISTENÍ Diplomová práca tudijný program: Ekonomická a nan ná matematika tudijný odbor: 919 Aplikovaná matematika koliace pracovisko: Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky kolite : RNDr Andrej Náther, Csc Kód Ú SR: 1114 BRATISLAVA 2012 Bc Jaroslava Gatialová

3 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a priezvisko študenta: Študijný program: Študijný odbor: Typ záverečnej práce: Jazyk záverečnej práce: Bc Jaroslava Gatialová ekonomická a finančná matematika (Jednoodborové štúdium, magisterský II st, denná forma) 919 aplikovaná matematika diplomová slovenský Názov: Cieľ: Technické rezervy v neživotnom poistení Cieľom diplomovej práce je popísať metódy výpočtu rezerv v neživotnom poistení Študentka sa bude snažiť nadviazať na svoju bakalársku prácu: Rezervy ich výpočet a význam v životnom a neživotnom poistení, nakoľko metódy výpočtu sa stále vyvíjajú a zdokonaľujú Okrem deterministického prístupu sa bude venovať hlavne stochastickému spôsobu výpočtu rezerv Taktiež aplikuje popísané postupy na konkrétny príklad a uvedené postupy porovná Vedúci: Katedra: Dátum zadania: RNDr Andrej Náther, PhD FMFIKAMŠ - Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky Dátum schválenia: prof RNDr Daniel Ševčovič, CSc garant študijného programu študent vedúci práce

4 Vyhlasujem na svoju es, ºe som diplomovú prácu Technické rezervy v neºivotnom poistení napísala samostatne a výhradne s pouºitím uvedenej literatúry a al²ích informa ných zdrojov V Bratislave d a 16 apríla 2012 Bc Jaroslava Gatialová

5 Po akovanie: Rada by som po akovala RNDr Andrejovi Nátherovi, Csc za vedenie diplomovej práce, za cenné pripomienky a odborné rady, ktoré mi poskytol a as strávený pri konzultáciách

6 Abstrakt Názov práce: Technické rezervy v neºivotnom poistení Pracovisko: Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky, FMFI UK v Bratislave Autor: Bc Jaroslava Gatialová Vedúci diplomovej práce: RNDr Andrej Náther, Csc Stupe odbornej kvalikácie: Magister Bratislava: FMFI UK 2012 K ú ové slová: rezerva, poistné plnenie, neºivotná pois ov a, re azovo-rebríková metóda, separa ná metóda, metóda Bornhuetter - Ferguson, Poissonov model, Mackov model Témou diplomovej práce je odhad technických rezerv v neºivotnom poistení Práca je rozdelená na 8 astí V prvej kapitole sme sa venovali významu a potrebe vytvárania technickej rezervy V druhej kapitole sme porovnali výhody a nevýhody stochastického a deterministického prístupu odhadu V al²ej kapitole sme uviedli ozna enia, ktoré sú pouºité v celej práci V nasledujúcej kapitole sme popísali postup odhadu rezerv deterministickým postupom Najdôleºitej²ia piata kapitola je venovaná stochastickému prístupu odhadu rezerv, ktoré dávajú rovnaké výsledky ako re azovo - rebríková metóda Pri kaºdom modeli sme uviedli predpoklady, za ktorých je moºné model pouºi Ak majú poistné plnenia aj zápornú hodnotu, tak môºeme pouºi niektoré z popísaných metód v ²iestej kapitole Rozdiel medzi odhadovanou a skuto nou hodnotou poistného plnenia ur uje chyba odhadu, ktorej sme sa venovali v siedmej kapitole V poslednej, ôsmej, kapitole boli aplikované popísané postupy odhadu rezerv na dáta dvoch pois ovní

7 Abstract Thesis title: The technical reserves in non-life insurance Department: Department of Applied Mathematics and Statistics, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University in Bratislava Author: Bc Jaroslava Gatialová Supervisor: RNDr Andrej Náther, Csc Level of professional qualication: Master Bratislava: FMFI UK 2012 Keywords: reserve, claim, non-life insurance company, Chain - Ladder method, Separation method, Bornhuetter - Ferguson method, Poisson model, Mack's model The theme of this thesis is the estimation of technical reserves in non-life insurance The thesis is divided into 8 parts In the rst chapter, we discuss the importance and necessity establishment of technical reserves We compared the advantages and disadvantages of stochastic and deterministic approach of estimation in the second chapter In the next chapter we introduced the designations used throughout the work Then we described the process of estimating of reserves by the deterministic approach The most important chapter,which is the fth in order, is devoted to stochastic approach of estimating reserves, which give the same results as a chain - ladder method For each model we introduced conditions under which it is possible model to use If claims have also a negative value, so we can use some of the methods described in chapter six The dierence between actual and estimated values of claims is determined by estimation error, which we interested in the seventh chapter In the last eighth chapter, were applied described methods for estimating reserves on data from two insurance companies

8 Predhovor Diplomová práca s názvom Technické rezervy v neºivotnom poistení nadväzuje na bakalársku prácu Rezervy - ich výpo et a význam v ºivotnom a neºivotnom poistení V bakalárskej práci nebolo dostatok priestoru pre podrobnej²í popis postupu odhadu rezerv v neºivotnom poistení, tak sme sa rozhodli tejto téme venova v celej diplomovej práci Hlavnou témou je popis metód na odhad rezerv a aplikácia postupov na dátach pois- ovne Deterministické postupy aplikujeme na dáta známe z bakalárskej práce Postup re azovo-rebríkovej metódy, Poissonovho a Mackovho modelu pouºijeme na dáta nemeckej spolo nosti Cie om práce je poskytnú itate ovi preh ad o postupoch odhadu rezerv pouºívaných pois ov ami zisti, i je vhodnej²ie pouºíva deterministický alebo stochastický prístup dokáza, ºe vybranými stochastickými postupmi dostaneme rovnaké výsledky ako v prípade re azovo - rebríkovej metódy V práci sa venujeme deterministickému prístupu odhadu rezerv, popí²eme ho viacerými metódami Najdôleºitej²ia as práce je venovaná stochastickému prístupu, ktorého postupy sú efektívnej²ie, no napriek tomu sa v praxi nevyuºíva v takej miere ako deterministický prístup Uvedieme teoretické postupy na odhad rezerv, ktoré následne aplikujeme na dáta Venujeme sa iba tým stochastickým postupom, ktoré dávajú rovnaké výsledky ako pri deterministickom prístupe re azovo - rebríkovej metódy Najvä ²ím prínosom práce je popis metód na odhad rezerv stochastickým prístupom, ktorý sa v slovenskej literatúre bu nenachádza, alebo je ve mi stru ne popísaný, ako aj aplikácia postupov v praxi Postupy deterministických metód boli aplikované na dáta v softvére Excel a postupy stochastických metód v programe R

9 Obsah Úvod 12 1 Technické rezervy v neºivotnom poistení Rozdelenie technických rezerv v neºivotnom poistení Technická rezerva na vyrovnávanie mimoriadnych rizík Technická rezerva na poistné plnenia 16 2 Úvod k deterministickému a stochastickému odhadu rezerv 17 3 Ozna enie pre deterministické a stochastické odhady 19 4 Deterministické metódy na odhad rezerv Separa ná metóda Prvý prístup odhadu rezerv separa nou metódou Metóda Bornhuetter - Ferguson Druhý prístup odhadu rezerv separa nou metódou Cape Cod metóda Re azovo - rebríková metóda 33 5 Stochastický prístup výpo tu rezerv Jednoduchý stochastický model Multiplikatívny model Poissonov model Mackov model 46 6 Záporné poistné nároky 52 7 Chyby odhadu 54 8 Aplikácia Deterministický prístup Prvý prístup separa nej metódy 58

10 812 Bornhuetter - Ferguson metóda Druhý prístup separa nej metódy Cape Code metóda Re azovo - rebríková metóda Zhrnutie výsledkov Re azovo - rebríková metóda a stochastický prístup Re azovo-rebríková metóda so zoh adneným váºeným priemerom Mackova metóda Poissonov model 67 Záver 68 Literatúra 70 Príloha 1 Príloha 2 i ii

11 Zoznam tabuliek 41 Horný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp Nekumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp Plnenia p i,j vyjadrené ako sú in po tu ²kôd, kon²tantného vyplateného podielu ²kody a vý²ky priemernej individuálnej ²kody Matica ²tandardizovaných hodnôt s i,j Nekumulovaný vývojový trojuholník predelený príslu²ným zaslúºeným poistným z i Nekumulovaný vývojový trojuholník predelený zp s vymenenými diagonálami za riadky Koecienty Separa né indexy Indexy oneskorenia Odhadnutá rezerva vypo ítaná separa nou metódou Matica individuálnych koecientov vývoja Kumulovaný vývojový trojuhlník so stochastickými premennými Nekumulovaný vývojový trojuholník s poistnými plneniami, zdroj: [13], upravené Kumulovaný vývojový trojuholník s poistnými plneniami, zdroj: [13], upravené Zaslúºené poistné a po et ²kôd, zdroj: [13], upravené Matica ²tandardizovaných hodnôt Vstupy na diagonále, priemerná ²koda a podiel ²kody Dolná odhadnutá ²tandardizovaná matica Odhad rezervy pomocou prvého prístupu separa nej metódy Koecienty pre odhad rezervy Odhad rezervy pomocou metódy Bornhuetter - Ferguson Prehodené riadky s diagonálami Zkumulovaný trojuholník s prehodenými riadkami a diagonálami 60 ii

12 812 Koecienty separa nej metódy Separa né indexy pre roky vzniku pu Indexy oneskorenia pre roky vzniku pu Odhadnutý dolný trojuholník s výplatnými rezíduami Odhadnutá rezerva pomocou druhého prístupu separa nej metódy Odhad rezervy pomocou metódy Cape Cod, zdroj: [13], upravené Dopo ítaný dolný vývojový trojuholník r - r metódou, zdroj: [13], upravené Nekumulované dáta, NEM Kumulované dáta upravené, NEM Individuálne odhady a váºený priemer, NEM Doplnený dolný trojuholník s rezervou pomocou re azovo - rebríkovej metódy, NEM Odhad rezerv pomocou Mackovej metódy, NEM Doplnený dolný vývojový trojuholník pomocou Mackovej metódy, NEM 67

13 Úvod Technické rezervy sa v neºivotnom poistení nepo ítajú, ale odhadujú, nako ko zistenie skuto nej vý²ky ²kôd môºe trva ve mi dlhé asové obdobie Správny odhad technických rezerv je z h adiska efektívneho fungovania pois ovne ve mi dôleºitý Poistné zmluvy sú zvy ajne uzatvárané na krátke asové obdobie To v²ak neznamená, ºe po ukon ení a nepred ºení zmluvy povinnosti pois ovne kon ia Naopak, mohlo sa sta, ºe z nejakého dôvodu ²kodová udalos nebola nahlásená, napriek tomu, ºe sa stala v období na ktoré bola zmluva uzavretá Alebo udalos bola nahlásená, ale nebola v tomto období vybavená Tieto dve rezervy sú vytvárané v najdôleºitej²ej rezerve neºivotného poistenia, a to v rezerve na poistné plnenia Neºivotná pois ov a okrem tejto rezervy vytvára e²te nieko ko druhov rezerv Najmä pri spomenutej technickej rezerve na poistné plnenia sa môºe sta, ºe pri opakovanom nesprávnom stanovení rezerv sa pois ov a dostane do nan ných problémov Rezervy je moºné odhadova rôznymi metódami Na niektoré sta í základná znalos matematiky a pod a postupu metódy dokáºe itate ur i rezervu V²etky tieto postupy patria medzi metódy deterministického prístupu Sú ve mi vyuºívané v praxi, ako aj popisované vo viacerých literatúrach kvôli svojej jednoduchosti Pri týchto metódach nie je potrebná znalos predpokladov pouºitia metódy Naopak výhodou deterministického prístupu je zoh adnenie vonkaj²ích vplyvov, ako sú napríklad zaslúºené poistné a inácia Medzi najznámej²ie metódy patria re azovo - rebríková metóda, separa ná metóda, metóda Bornhuetter - Ferguson a Cape Code metóda al²í spôsob odhadu rezerv je pomocou stochastického prístupu Pri kaºdom modeli je uvedených nieko ko predpokladov, ktoré musia by splnené pre správny odhad rezerv Lep²ie sa dá teda ur i, i sú dáta vhodné pre daný model odhadu rezerv V práci sme sa venovali len modelom, ktoré dávajú rovnaké výsledky ako re azovo - rebríková metóda deterministického prístupu Môºe sa zda zbyto né, komplikova si prácu chápaním predpokladov, ke deterministický prístup je jednoduchý Stochastické modely sú ve kým prínosom pre odhad rezerv a majú mnoho výhod oproti de- 12

14 terministickému prístupu Ve kou výhodou stochastických modelov je, ºe dávajú lep²ie informácie o výsledkoch Môºu slúºi na takzvanú skú²ku správnosti, i je re azovo - rebríková metóda vhodná pre daný súbor dát Medzi stochastické modely, ktoré dávajú rovnaké výsledky ako re azovo - rebríková metóda patria multiplikatívny model, Poissonov model a Mackov model 13

15 Kapitola 1 Technické rezervy v neºivotnom poistení V tejto kapitole sme pracovali s literatúrou [2, 3, 16] Technické rezervy vytvára pois ovate ako náklady, aby bolo moºné plni záväzky plynúce z pois ovacej innosti, ktorých vznik je pravdepodobný, ba aº istý, ale nie je istý as vzniku alebo jeho ve kos Komer ná pois ov a musí vytvára technické rezervy k nancovaniu svojich záväzkov, nako ko je to dané zákonom o pois ovníctve Výkaz o tvorbe a vý²ke technických rezerv musí pois ov a predloºi ministerstvu vºdy k dátumom 313, 306, 309 a 3112 beºného roku, a to v lehote do 30 dní po uvedených dátumoch Kaºdá neºivotná pois ov a má portfólio poistiek Niektoré z nich prepadnú bez toho, aby si poistenec uplatnil nárok, niektorí poistenci si uplatnia nárok aj viac ako raz V neºivotnom poistení je doba poistenia zvy ajne jeden rok Po tomto roku poistenec bu zmluvu pred ºi alebo zru²í Ak sa poistenec rozhodne zmluvu zru²i, nutne to neznamená, ºe pois ov a uº nemá vo i poistencovi záväzky V²etky záväzky, ktoré vznikli v poistnej dobe, ale z nejakého dôvodu neboli nahlásené, musí pois ovna dodrºa Na záväzky pois ovne vo i poisteným, si musí pois ov a odklada as poistného Táto as sa nazýva rezerva poits ovne 11 Rozdelenie technických rezerv v neºivotnom poistení Ak je poskytovaná poistná innos v jednom alebo viacerých poistných odvetviach, pod a zákona musí pois ov a vytvára rezervy: 14

16 rezerva na poistné plnenia rezerva na nezaslúºené poistné rezerva na prémie a z avy na poistnom vyrovnávacia rezerva rezerva poistného neºivotných poistení iné rezervy Pod pojmom iné rezervy treba rozumie moºnos pois ovní ºiada o súhlas vlády na tvorbu iných, vy²²ie neuvedených rezerv Podrobný popis rezerv sa nachádza v bakalárskej práci [13] My sa tu budeme venova vyrovnávacej rezerve v kapitole 12 a najdôleºitej²ej rezerve v neºivotnom poistení: technickej rezerve na poistné plnenia v kapitole Technická rezerva na vyrovnávanie mimoriadnych rizík V zbierke zákonov 95/2002 o pois ovníctve: o zmene a doplnení niektorých zákonov, ktorú je moºné si pre íta v [16], je denovaná tvorba a výpo et technickej rezervy na vyrovnávanie mimoriadnych rizík tieº nazývanej vyrovnávacia rezerva Táto rezerva je ur ená na vyrovnávanie výkyvov vo výplatách poistných plnení budúcich rokov a na momentálne vyrovnávanie zvý²ených nákladov v pois ovacej innosti, ktoré vzniknú kolísaním ²kodového pomeru, ktoré pois ovate nedokáºe ovplyvni kodový pomer je pomer medzi istým poistným plnením a istým zaslúºeným poistným po as sledovaného obdobia Výkyvom v pois ovacej innosti sa rozumie stav, ke ²kodový pomer prekro í za sledované obdobie hornú hranicu stanovenú vyhlá²kou Kolísanie priebehu nemusí by len náhodné, ale môºe by aj predpovedate né, ako napríklad: ekonomické cykly, klimatické zmeny, at Rezerva sa vytvára z prijatého poistného Vyrovnávacia rezerva sa ur uje metódou kvalikovaného odhadu, tj pod a objemu poistného a poistného rizika vyplývajúceho z uzavretých poistných zmlúv a spôsobu ich zaistenia 15

17 13 Technická rezerva na poistné plnenia Je najdôleºitej²ia rezerva v neºivotnom poistení, nako ko od jej správneho ur enia závisí ziskovos pois ovne Podcenenie odhadu rezerv vedie k jej ve kým nan ným problémom Vý²ka rezervy musí zah a aj náklady spojené s vybavením poistnej udalosti Odhad rezervy na poistné plnenia sa pod a zákona uskuto uje dvoma spôsobmi Pri prvom spôsobe sa vý²ka technickej rezervy na poistné plnenie v neºivotnom poistení ur uje ako súhrn technických rezerv na poistné plnenia pre jednotlivé poistné udalosti Ak sa vý²ka rezervy nedá stanovi predchádzajúcim postupom, tak sa pouºijú matematicko²tatistické metódy V neºivotnom poistení to nefunguje tak, ºe hne ako vznikne poistný nárok, tak je poistencovi vyplatená poistná suma Pri poistných udalostiach môºe zistenie skuto nej vý²ky ²kody trva aj nieko ko rokov Vzniknuté, ale dosia nevybavené poistné udalosti, tzv IBNS ²kody tvoria zna ný podiel celkového objemu ²kôd a delíme ich: IBNR ²kody (z anglického Incurred But Not Reported) - vzniknuté poistné udalosti, ale e²te nenahlásené RBNS ²kody (z anglického Reported But Not Settled) - hlásené ²kody, ale zatia nezlikvidované Odhad IBNR a IBNS rezerv sa uskuto uje pomocou matematicko²tatistických metód popísaných v nasledujúcich dvoch kapitolách Ak to nie je moºné z objektívneho dôvodu, napríklad pois ov a vykonáva innos menej ako 5 rokov a nemá teda dostatok údajov na odhad rezerv matematicko²tatistickými metódami, pouºije metódu kvalikovaného odhadu Rezerva RBNS sa vä ²inou tvorí z hodnôt jednotlivých pu, ke likvidátor bu na základe svojho odhadu alebo zauºívanej praxe v pois ovni ocení predpokladanú vý²ku budúceho pp a postupom asu svoje odhady spres uje 16

18 Kapitola 2 Úvod k deterministickému a stochastickému odhadu rezerv V tejto kapitole sme erpali z literatúry [5] Stochastické modely robia predpoklady o o akávanej hodnote budúcich poistných plnení ( alej ozna ené ako pp) a o variancii budúcich pp Deterministické modely sú asto pouºívané bez ve kej znalosti predpokladov Preto ve kou výhodou pri stochastických modeloch je, ºe najprv musia by vyslovené predpoklady, neº sa za ne so samotným odhadom Stochastické modely dovo ujú testovanie rôznymi technikami Pri deterministickom prístupe sa robí bodový odhad budúcich pp v danej perióde Aktuálne pp môºu by odli²né od o akávaných pp a pri odhade rezerv deterministickým prístupom sa tomuto faktu neprikladá ºiadny význam Stochastické modely umoº ujú poistnému matematikovi skúma, ºe budúce pp klesajú s ur itou mierou spo ahlivosti a môºu by povaºované za indikátor toho, i je model pre dané dáta vhodný Nevýhodou stochastických modelov je, ºe ich výsledky bývajú predmetom kritiky, ak sú predpoklady príli² jednoduché a teda nereálne al²ou nevýhodou je, ºe poskytujú malý priestor pre za lenenie vonkaj²ích faktorov do odhadu rezerv Táto nevýhoda je ve kou výhodou pri deterministickom prístupe, nako ko kaºdá metóda tohto prístupu má svoje ²peciká a zoh ad uje napríklad ²kodový pomer, ináciu, zaslúºené poistné a iné Odhad rezerv pomocou stochastických modelov môºe by vykonaný ve mi rýchlo, ale vyºaduje sa istá znalos ²tatistiky a po íta ových softvérov Výsledky získané stochas- 17

19 tickým prístupom sú zloºitej²ie na interpretáciu a pochopenie, ke to porovnáme s niektorými jednoduchými metódami deterministického prístupu Dobrý stochastický model je ten, ktorý má dostatok parametrov na popis charakteristík dát, ale nie zas aº tak ve a, aby sa model stal zloºitým, nepreh adným a aºko pochopite ným Po et parametrov stúpa s klesajúcou silou odhadu Dobrý model udrºiava dáta neupravené, lebo malá zmena v dátach môºe vies k ve kým zmenám v parametroch modelu, o môºe vies k nepresnému odhadu rezerv Dobrý stochastický model by mal by schopný testova predpoklady Testovanie predpokladov by malo umoºni poistnému matematikovi vä ²ie pochopenie charakteristiky dát a vä ²iu kontrolu nad hodnotami Klasická re azovo - rebríková metóda bola vyvinutá ako nestochastická Bolo ale dokázané, ºe je ím alej, tým viac zaloºená na stochastickom modeli a uº sa menej vyuºíva vo svojej pôvodnej podobe Stochastický model totiº umoº uje re azovo - rebríkovej metóde ²ir²í rámec modelovania dát Tieto modely poskytujú rie²enia aj v tých prípadoch, ke deterministický prístup zlyhá Uºito nos stochastických modelov je nezanedbate ná, poskytujú viac informácií, ktoré môºu by uºito né pri odhade rezerv ako aj celkového manaºmentu pois ovní Hlavnou výhodou pri stochastických modeloch je schopnos presnej²ie odhadnú rezervy a ve ká pozornos sa kladie aj na chyby odhadu Hlavnou výhodou pri deterministickom prístupe je jednoduchos modelov, ako aj postup odhadovania rezerv 18

20 Kapitola 3 Ozna enie pre deterministické a stochastické odhady V tejto kapitole sme pracovali s literatúrou [6] V deterministickom prístupe odhadu budú hodnoty zna ené malými písmenami Kumulované pp oza ujeme c i,j a nekumulované p i,j Ak budú známe, tak sa budú ozna ova bez strie²ky Ak ich postupne vypo ítame, budú zna ené strie²kou nad malým písmenom V stochastickom prístupe budeme pouºíva ve ké písmená, ak sa jedná o náhodné premenné a malé písmená pri známych údajoch Odhady ozna íme ve kými písmenami a strie²kou 19

21 Kapitola 4 Deterministické metódy na odhad rezerv V tejto kapitole sme erpali z literatúry [1, 2, 3, 4, 13, 14] Kaºdá neºivotná pois ov a má nieko ko produktov Správne by mala odhadnú rezervu pre kaºdé odvetvie zvlá² a nakoniec tieto rezervy spo íta Správne odhadnutie rezerv je ve kým problémom, nako ko je potrebné bra do úvahy faktory, ktoré ovplyv ujú pois ov u Napríklad ochota prepláca poistné plnenia, momentálna politika neºivotnej pois ovne a administratívne postupy patria medzi vnútorné faktory Medzi vonkaj²ie faktory patria o akávané ekonomické zmeny, zmeny vyhlá²ok, zmeny predpisov a inácia Medzi najznámej²ie postupy odhadu rezerv patria: Re azovo - rebríková metóda Separa ná metóda Metóda Bornhuetter - Ferguson Metóda Cape Cod Tieto metódy vychádzajú z tzv trojuholníkovej schémy Predpokladáme, ºe pri na²om nedenovanom type poistenia je potrebných n rokov na úplnú úhradu ²kôd Roky vzniku poistnej udalosti i budú riadky v na²ej tabu ke a vývojové roky j (ko ko rokov uplynulo od vzniku ²kody po jej vyplatenie) budú st pce, pri om i, j = 1,, n V avom hornom trojuholníku sú doteraz vyplatené pp c i,j za poistné udalosti ( alej ozna ované ako pu) vzniknuté v roku i a vyplatené do konca roku j Na hlavnej diagonále 20

22 je uvedený aktuálny stav vyplatených poistných plnení ku koncu roku n kody, ktoré vznikli v roku 1 sa do roku n zlikvidujú samé, preto nie je potrebná tvorba rezervy Na²ou úlohou je odhadnú dolný trojuholník, respektíve posledný st pec tabu ky a pomocou neho dopo íta rezervy pre kaºdý rok vzniku poistnej udalosti V²etky horepopísané údaje sa nachádzajú v tabu ke 41 Rok vzniku PU Vývojový rok j i 1 2 j n 1 n 1 c 1,1 c 1,2 c 1,j c 1,n 1 c 1,n 2 c 2,1 c 2,2 c 2,j c 2,n 1 i c i,1 c i,2 c i,j n 1 c n 1,1 c n 1,2 n c n,1 Tabu ka 41: Horný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp Kaºdá metóda na odhad rezerv by mala obsahova as, ke sa vynechajú nejaké údaje, napríklad sa vynechá posledný rok a spraví sa celý postup na týchto zredukovaných dátach Nakoniec sa porovnajú výsledky so skuto ným neredukovaným stavom Týmto si overíme, i sme zvolili spávnu metódu na odhad rezerv 41 Separa ná metóda V polovici sedemdesiatych rokov 20 storo ia inácia nadobudla svoje maximá a metódy re azovo - rebríková metóda bez zoh adnenia inácie a re azovo - rebríková metóda so zoh adnenou ináciou sa stali nevýhodnými, pretoºe bolo oraz aº²ie odhadnú priebeh budúcej inácie Austrálsky aktuár G Taylor uverejnil postup separa nej metódy v roku 1975 Oproti re azovo - rebríkovým metódam mala výhodu, ºe jej sú as ou bol odhad miery inácie Vysvetlíme dva spôsoby odhadu rezerv pomocou separa nej metódy: prístup, ke poznáme po et ²kôd, vý²ku skuto nej priemernej individuálnej ²kody a vyplatený kon²tantný podiel 21

23 prístup, ke sa aplikuje re azovo - rebríková metóda na diagonály usporiadané do riadkov Druhý prístup podrobne vysvetlíme v kapitole 42, Bornhuetter - Fergusonova metóda, nako ko budeme vyuºíva tabu ky B-F metódy v postupe odhadu rezerv separa nou metódou 411 Prvý prístup odhadu rezerv separa nou metódou Predpokladáme, ºe ak by neexistovala inácia, tak v kaºdom vývojom roku j bez oh adu na rok vzniku pu i by bola z celkovej ²kody vyplatená kon²tantná as r j Túto as nazývame kon²tantný podiel ²kody Za predchádzajúceho predpokladu by sa nemenila priemerná vý²ka individuálnej ²kody c v celom pozorovanom období Skuto nú vý²ku priemernej individuálnej ²kody v roku i+j, kde i je rok vzniku PU a j po et rokov, ktoré uplynuli od vzniku prislúchajúcej pu, ozna íme λ i+j Hodnoty individuálnej ²kody sú v kon²tantnej vý²ke pre kaºdý kalendárny rok, tj hodnoty sú kon²tantné pre v²etky kombinácie i, j vtedy, ak je sú et i + j kon²tantný Z tohto nám vyplýva, ºe hodnoty λ i+j sú kon²tantné na kaºdej diagonále vývojového trojuholníka Rozdiel hodnôt vý²ky priemernej individuálnej ²kody v rôznych kalendárnych rokoch je spôsobený zmenou mier inácie Zadanie: nekumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými poistnými plneniami odhad robíme pre roky vzniku poistnej udalosti i = 1,, n a vývojové roky j = 1,, n po et ²kôd n i, ktoré boli zaznamenané v kaºdom roku vzniku PU i Postup odhadu: 1 Ak máme zadaný kumulovaný vývojový trojuholník s pp c i,j, kde i, j = 1,, n, musíme ho najprv odkumulova Nekumulovaný vývojový trojuholník 22

24 p i,j, kde i, j = 1,, n dostaneme aplikáciou vzorcov p i,1 = c i,1 (41) p i,j = c i,j c i,j 1 pre j i (42) na v²etky hodnoty v kumulovanom trojuholníku a zapí²eme výsledky do tabu ky 42 Rok vzniku PU Vývojový rok j i 1 2 j n 1 n 1 p 1,1 p 1,2 p 1,j p 1,n 1 p 1,n 2 p 2,1 p 2,2 p 2,j p 2,n 1 i p i,1 p i,2 p i,j n 1 p n 1,1 p n 1,2 n p n,1 Tabu ka 42: Nekumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp 2 Pre trojuholník poistných plnení p i,j zrejme platí p i,j = n i r j λ i+j i, j = 1,, n Pre lep²iu ilustráciu uvedieme zápis poistných plnení p i,j v tabu ke 43 Rok vzniku PU Vývojový rok j i 1 2 j n 1 n 1 n 1 r 1 λ 2 n 1 r 2 λ 3 n 1 r j λ j+1 n 1 r n 1 λ n n 1 r n λ n+1 2 n 2 r 1 λ 3 n 2 r 2 λ 4 n 2 r j λ j+2 n 2 r n 1 λ n+1 i n i r 1 λ i+1 n i r 2 λ i+2 n i r j λ i+j n 1 n n 1 r 1 λ n n n 1 r 2 λ n+1 n n n r 1 λ n+1 Tabu ka 43: Plnenia p i,j vyjadrené ako sú in po tu ²kôd, kon²tantného vyplateného podielu ²kody a vý²ky priemernej individuálnej ²kody 3 Odstránenie vplyvu po tu ²kôd n i na vý²ku vyplatených pp dosiahneme analýzou matice ²tandardizovaných hodnôt s i,j, pre ktorú platí: s i,j = p i,j n i Hodnoty s i,j zapí²eme do tabu ky 44 = n i r j λ i+j n i = r j λ i+j pre i, j 1, i + j n

25 Rok vzniku PU Vývojový rok j i 1 2 j n 1 n 1 r 1 λ 2 r 2 λ 3 r j λ j+1 r n 1 λ n r n λ n+1 2 r 1 λ 3 r 2 λ 4 r j λ j+2 r n 1 λ n+1 i r 1 λ i+1 r 2 λ i+2 r j λ i+j n 1 r 1 λ n r 2 λ n+1 n r 1 λ n+1 Tabu ka 44: Matica ²tandardizovaných hodnôt s i,j 4 Dostali sme sa k odhadu hodnôt r j pre j = 1, 2,, n a odhadu hodnôt λ i+j pre 2 i + j n + 1 Ke ºe n je maximálny po et rokov na zlikvidovanie ²kody, tak zrejme platí r 1 + r r n 1 + r n = 1 V²etky sú ty na i-tej diagonále ozna íme d i pre i = 2,, n + 1 Potom platí d n+1 = s n,1 + s n 1,2 + + s i,j + + s 2,n 1 + s 1,n = r 1 λ n+1 + r 2 λ n r n λ n+1 = λ n+1 (r r n ) = λ n+1 Odhad λ n+1 sa rovná vstupu na (n + 1)-tej diagonále: ˆλ n+1 = d n+1 (43) Jediný prvok trojuholníka obsahujúci r n v tabu ke 44 je s 1,n = r n λ n+1 Z predchádzajúceho vz ahu vyjadríme odhad ˆr n : Postup opakujeme pre sú et na n-tej diagonále: ˆr n = s 1,n ˆλ n+1 (44) d n = s n 1,1 + s n 2,2 + + s 1,n 1 = r 1 λ n + r 2 λ n + + r n 1 λ n = λ n (r 1 + r r n 1 ) = λ n (1 r n ) ˆλ n = d n 1 ˆr n 24

26 V tabu ke 44 máme dva prvky (s 1,n 1, s 2,n 1 ), ktoré obsahujú r n 1 Odhad ˆr n 1 dostaneme z rovnice: s 1,n 1 + s 2,n 1 = r n 1 λ n + r n 1 λ n+1 = r n 1 (λ n + λ n+1 ) ˆr n 1 = s 1,n 1 + s 2,n 1 ˆλ n + ˆλ n+1 Analogickým postupom získame prvky ˆλ n 1 a ˆr n 2 : ˆλ n 1 = d n 1 1 ˆr n ˆr n 1 ˆr n 2 = s 1,n 2 + s 2,n 2 + s 3,n 2 ˆλ n 1 + ˆλ n + ˆλ n+1 alej nám uº len sta í dopo íta prvky ˆλ n 2, ˆλ n 3,, ˆλ 2 a ˆr n 3,, ˆr 1 rovnakým postupom 5 Predpokladáme, ºe v al²ích rokoch bude inácia rovnaká a teda pre priemernú vý²ku skuto nej ²kody pre n + 1 < i + n 2n platí: ˆλ i+(n+1) = ˆλ (n+1) (1 + ro ná miera inácie) i 6 Dopo ítame dolný trojuholník matice ²tandardizovaných hodnôt pre n + 1 < i + j 2n: ŝ i,j = ˆr j ˆλ i+j 7 Pomocou sú inu prvkov matice ²tandardizovaných hodnôt a po tu ²kôd vypo ítame nekumulované poistné plnenia pre i = 2,, n a j n i + 2: ˆp i,j = ŝ i,j n i 8 Celkovú vý²ku rezerv dostaneme ako sú et práve vypo ítaných nekumulovaných poistných plnení: n n R = i=2 j=n i+2 ˆp i,j 25

27 42 Metóda Bornhuetter - Ferguson Slovník: kodový pomer je pomer medzi istým poistným plnením a istým zaslúºeným poistným po as sledovaného obdobia Predpísané poistné je hrubé poistné predpísané v poistnej zmluve, ktoré nie je zníºené o z avy a priráºky na poistnom Prijaté poistné je inkasované poistné, ktoré pois ov a reálne dostala po z avách a priráºkach na poistnom Zvä ²a je niº²ie ako prepísané poistné a delí sa na zaslúºené poistné a nezaslúºené poistné Zaslúºené poistné je poistné, ktoré asovo súvisí s prebiehajúcim ú tovným obdobím Nezaslúºené poistné je poistné zaplatené v prebiehajúcom ú tovnom období, ale prislúcha budúcemu obdobiu ako ú tovnému obdobiu Bornhuetter - Ferguson metóda zoh ad uje skuto nos, ºe sa ur ite bude meni ²kodový pomer z roku na rok vo vývojovom trojuholníku za dlh²ie asové obdobie Presnos metódy spo íva v stanovení správnych ²kodových pomerov Zadanie: kumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp odhad robíme pre roky vzniku poistnej udalosti i = 1,, n a vývojové roky j = 1,, n vý²ka zaslúºeného poistného pre roky 1,, n, pri om vý²ka ZP nemusí by pre v²etky roky rovnaká Postup odhadu: 26

28 1 Ak máme zadaný nekumulovaný trojuholník, tak ho musíme najprv zkumulova V²eobecný zápis pre kumulovanie prvkov z nekumulovných poistných plnení p i,j je c i,j = j p i,k (45) k=1 2 Zistíme odhady koecientov vývoja ˆm j pre j = 2,, n: ˆm j = n j+1 n j+1 c i,j c i,j 1 (46) 3 Pomocou odhadov koecientov vývoja dopo ítame kumulatívne koecienty ˆk j, kde j = 2,, n: ˆk 2 = ˆm 2 ˆk 3 = ˆm 2 ˆm 3 ˆk n 1 = ˆm 2 ˆm 3 ˆm n 1 ˆk n = ˆm 2 ˆm 3 ˆm n 1 ˆm n 4 Vypo ítame inverzné koecienty î j, kde j = 2,, n: î j = 1ˆkj 5 Od 1 odpo ítame inverzné koecienty a dostaneme doplnky inverzných koecientov î D j, kde j = 2,, n: î D j = 1 î j Inverzný koecient pre prvý rok 1 je 100, teda tj î 1 = 1, a doplnok inverzného koecientu pre rok 1 je 0, tj î D 1 = 0 6 Zadaný kumulovaný vývojový trojuholník s pp prepo ítame pomocou vzorcov (41) a (42) na nekumulovaný vývojový trojuholník Výsledok tohto kroku sa nachádza v tabu ke 42 7 Zaslúºené poistné ozna íme ako z i Horný nekumulovaný trojuholník predelíme zaslúºeným poistným pre prislúchajúci rok vzniku PU a dostaneme nekumulované ²kodové pomery, ktoré sa nachádzajú v tabu ke 45 27

29 Rok vzniku PU Vývojový rok j i 1 2 j n 1 n 1 2 i n 1 n p 1,1 z 1 p 1,2 z 1 p 2,1 p 2,2 zp 2 zp 2 p i,1 p i,1 z i z i p n 1,1 z n 1 p n,1 z n p n 1,1 z n 1 p 1,j z 1 p 2,j z 2 p i,j z i p 1,n 1 p 1,n z 1 z 1 p 2,n 1 z 2 Tabu ka 45: Nekumulovaný vývojový trojuholník predelený príslu²ným zaslúºeným poistným z i 8 Dolný trojuholník dostaneme extrapoláciou nekumulovaných ²kodových pomerov v jednotlivých st pcoch z kroku 7 Napríklad pre st pec i odhadneme budúci ²kodový pomer priemerom vypo ítaných ²kodových pomerov vývojového roku i, ktoré sme dostali v predchádzajúcom kroku (v²etky prázdne polia v st pci budú ma túto hodnotu) To, i vezmeme v²etky vypo ítané hodnoty závisí od ich ve kosti Ak majú v²etky hodnoty ²kodných pomerov v st pci porovnate nú ve kos, tak urobíme aritmetický priemer v²etkých hodnôt st pca Ak najvy²²ou doposia vypo ítanou hodnotou je hodnota posledného vypo ítaného ²kodového pomeru (pre vývojový rok j = 2 je to rok vzniku pu i = (n 1) ), a pred ním sa nachádzajú ve kos ou porovnate né hodnoty ²kodového pomeru, tak spravíme aritmetický priemer iba týchto porovnate ných hodnôt Ak najvy²²ou doposia vypo ítanou hodnotou je hodnota posledného vypo ítaného ²kodového pomeru, a pred ním sa nenachádzajú ve kos ou porovnate né hodnoty ²kodového pomeru, tak v²etky nedopo ítané ²kodové pomery v st pci sú rovnaké ako najvy²²í ²kodný pomer 9 V kaºdom riadku sa spo íta ²kodový pomer sp ˆ i, kde i = 1,, n Teda spo ítajú sa hodnoty v²etkých vývojových rokov pre kaºdý rok vzniku PU 10 Vý²ku rezerv pre jednotlivé roky vzniku PU dostaneme vynásobením zaslúºeného 28

30 poistného z i, ²kodového pomeru sp ˆ i a doplnku inverzného koecientu: Rezerva i = z i sp ˆ i î D j (47) 11 Celkovú vý²ku rezervy R zistíme spo ítaním rezerv pre jednotlivé roky: R = n Rezerva i 421 Druhý prístup odhadu rezerv separa nou metódou Zadanie: nekumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp odhad robíme pre roky vzniku poistnej udalosti i = 1,, n a vývojové roky j = 1,, n vý²ka zaslúºeného poistného pre roky 1,, n, pri om vý²ka ZP nemusí by pre v²etky roky rovnaká Postup odhadu: 1 Ak máme zadaný kumulovaný vývojový trojuholník s poistnými plneniami, odkumulujeme ho pomocou vzorcov (41) a (42) a výsledok tohto kroku sa nachádza v tabu ke 42 2 V²etky nekumulované poistné plnenia predelíme zaslúºeným poistným pre prislúchajúci rok Výsledky tohto kroku sa nachádzajú v tabu ke 45 3 Tabu ku s normovanými pp z predchádzajúceho kroku prerovnáme tak, ºe vymeníme riadky s diagonálami, ako je vidno v tabu ke 46 4 Tabu ku 46 zkumulujeme postupným s itovaním prvkov v riadkoch pomocou vz ahu (45) 5 Vypo ítame odhady koecientov vývoja ˆm 2, ˆm 3,, ˆm n pod a vz ahu (46) 29

31 Rok vzniku PU Vývojový rok j i n 2 n 1 n n n 1 n p n,1 z n p n 1,1 z n 1 p n 2,1 z n 2 p n 1,2 z n 1 p n 2,2 z n 2 p n 3,2 z n 3 p n 2,3 z n 2 p n 3,3 z n 3 p n 4,3 z n 4 p 3,1 z 3 p 2,2 z 2 p 1,3 z 1 p 2,1 p 1,2 z 2 z 1 p 1,1 z 1 p 3,n 2 z 3 p 2,n 2 z 2 p 1,n 2 z 1 p 2,n 1 p 1,n z 2 z 1 p 1,n 1 z 1 Tabu ka 46: Nekumulovaný vývojový trojuholník predelený zp s vymenenými diagonálami za riadky 6 Následne vyrátame kumulatívne koecienty a inverzné koecienty (prevrátené hodnoty kumulatívnych koecientov) ako v B-F metóde v kroku 3 a 4 Návod na výpo et sa nachádza v tabu ke 47 Rok vzniku Odhady koecientov Kumulatívne Inverzné PU vývoja koecienty koecienty n n 1 ˆm n ˆkn = ˆm n î n = 1 k n 2 ˆm 3 ˆk3 = ˆm n ˆm n 1 ˆm 3 î 3 = 1 k 3 1 ˆm 2 ˆk2 = ˆm n ˆm n 1 ˆm 2 î 2 = 1 k 2 Tabu ka 47: Koecienty 7 Separa ný index ˆλ i má podobný význam ako vý²ka priemernej individuálnej ²kody z kapitoly 411 Je to hodnota, ktorá vznikne v poslednom st pci tabu ky po doplnení na ²tvorec Napríklad pre rok vzniku PU i = 1 získame ˆλ 1 vynásobením kumulovaného diagonálneho prvku v riadku i = 1 (ktorý nám vznikol po kroku 4) a ˆk 2 z tabu ky 47 Rovnakým postupom získame separa né indexy pre roky 2,, n a zapí²eme ich do tabu ky 48 8 Index oneskorenia ˆr j predstavuje rozdelenie pp cez jednotlivé roky vývoja Indexy sú vyrátané ako prírastky inverzných koecientov z tabu ky 47 Napríklad pre rok vývoja j = 2 index oneskorenia vypo ítame od ítaním inverzného koecientu pre rok vzniku pu 1 od inverzného koecientu pre rok vzniku pu 2 Rovnakým postupom získame index oneskorenia pre vývojové roky 1, 3,, n a zapí²eme ich do tabu ky 49 30

32 Rok vzniku PU n n 1 Separa né indexy ˆλn = c n,n ˆk n ˆλn 1 = c n 1,n 1 ˆk n 1 2 ˆλ2 = c 2,2 ˆk 3 1 ˆλ1 = c 1,1 ˆk 2 Tabu ka 48: Separa né indexy Rok vývoja PU n n 1 Index oneskorenia ˆr n = î n î n 1 ˆr n 1 = î n 1 î n 2 2 ˆr 2 = î 3 î 2 1 ˆr 1 = î 2 Tabu ka 49: Indexy oneskorenia 9 Aby sme videli súvislos tohto postupu so separa nou metódou vysvetlíme si získanie separa ných indexov a indexov oneskorenia pomocou známych vzorcov z kapitoly 411, kde je popísaný postup odhadu rezerv pomocou separa nej metódy prvým prístupom Hodnoty s prerovnanými diagonálami a riadkami z tabu ky 46 sú vlastne ²tandardizované hodnoty z tabu ky 44 Kumulované hodnoty, ktoré nám vznikli v kroku 4 sú vlastne vstupy na diagonále d 1,, d n+1 z kapitoly 411 z kroku 4 Pod a vzorcov (43) a (44) najskôr vypo ítame ˆλ n+1 pomocou d n+1 a potom ˆr n Analogicky dopo ítame separa né indexy pre v²etky roky vzniku pu a indexy oneskorenia pre v²etky vývojové roky 10 Pre lep²ie výsledky zoh adníme aj odhad budúcej ro nej inácie x% = 00x Dopo ítame dolný vývojový trojuholník, v ktorom bude zoh adnená inácia a tabu ka je opä usporiadaná do riadkov pod a rokov vzniku PU Postup doplnenia dolného trojuholníka: pre prvý rok vzniku pu a vývojový rok n 31

33 prenesieme hodnotu p 1,n z 1 z tabu ky 45 V²etky ostatné prvky v dolnom trojuholníku vypo ítame pod a vzorca ˆd i,j = ˆr j (1, 0x) b (48) kde i = rok vzniku pu, j = vývojový rok pre príslu²ný po ítaný prvok, b = ko ký prvok od hlavnej diagonály chceme doplni Na koniec tabu ky pridáme st pec, ktorý sa nazýva výplatné rezíduá a dostaneme ho s ítaním práve dopo ítaných prvkov pre jednotlivé roky vzniku pu 11 Odhad rezerv pre kaºdý rok vzniku pu dostaneme sú inom zaslúºeného poistného pre príslu²ný rok, posledného separa ného indexu a výplatného rezídua rovnako, ako je v tabu ke 410 Rok vzniku Zaslúºené Posledný separa ný Výplatné Odhadnutá PU poistné index rezíduá rezerva 1 z 1 ˆλn ˆv 1 R 1 = z 1 ˆλ n ˆv 1 2 z 2 ˆλn ˆv 2 R 2 = z 2 ˆλ n ˆv 2 n 1 z n 1 ˆλn ˆv n 1 R n 1 = z n 1 ˆλ n ˆv n 1 n z n ˆλn ˆv n R n = z n ˆλ n ˆv n Tabu ka 410: Odhadnutá rezerva vypo ítaná separa nou metódou 12 Celkovú rezervu R vypo ítame s ítaním odhadnutých rezerv pre príslu²né roky: 43 Cape Cod metóda R = n Tejto metóde sme sa venovali v bakalárskej práci [13], takºe uvedieme len skrátený postup Pojmy pouºité v tejto asti sú vysvetlené v slovníku v asti 42 R i peciká tejto metódy sú v pouºití ²kodového pomeru Ak sú riadky vývojového trojuholníku zoradené pod a roku vzniku pu, tak pouºijeme zaslúºené poistné na výpo et ²kodového pomeru Ak vezmeme do úvahy asové obdobie, na ktoré bol obchod uzavretý, tak budeme potrebova hodnoty predpísaného poistného na stanovenie ²kodového 32

34 pomeru Zadanie: nekumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými pp odhad robíme pre roky vzniku poistnej udalosti i = 1,, n a vývojové roky j = 1,, n kon²tantná vý²ka zaslúºeného poistného pre roky 1,, n Postup odhadu: 1 Vypo ítame si odhady koecientov vývoja, kumulatívne koecienty a inverzné koe- cienty ako v metóde Bornhuetter - Ferguson v asti 42 v krokoch 3 a 4 2 Pre kaºdý rok vzniku pu vynásobíme zaslúºené poistné a inverzný koecient a dostaneme upravené zaslúºené poistné 3 S ítame diagonálne prvky v kumulovanom vývojovom trojuholníku a dostaneme celkové poistné plnenie 4 kodový pomer dostaneme ako podiel celkového poistného plnenia z kroku 3 a upraveného zaslúºeného poistného z kroku 2 5 Rezervy pre jednotlivé roky vzniku pu získame vynásobením zaslúºeného poistného, ²kodového pomeru a doplnku príslu²ného inverzného koecientu 6 Celkovú rezervu získame s ítaním rezerv pre jednotlivé roky vzniku pu 44 Re azovo - rebríková metóda Re azovo - rebríková metóda patrí medzi najznámej²ie a najpouºívanej²ie metódy na odhad rezerv Je to hlavne kvôli jej jednoduchosti a logickému postupu 33

35 V praxi sa pouºíva: re azovo - rebríková metóda bez zoh adnenia inácie re azovo - rebríková metóda so zoh adnenou ináciou Pri zoh ad ovaní inácie treba ma zadané hodnoty inácie pre kaºdý rok vzniku poistnej udalosti ako aj odhad budúcej hodnoty inácie Predpoklady: stabilita vývoja vyplácaných súm poistných plnení pre kaºdý rok vzniku pu stabilita inácie pre vývojové roky j = 1,, n portfólium poistiek, ktoré obsahuje podobné poistky V práci neuvedieme klasický výpo et re azovo - rebríkovej metódy Tento postup ako aj postup odhadu rezerv pomocou re azovo - rebríkovej metódy s ina ným vyrovnaním je moºné nájs v bakalárskej práci [13] Postup so zoh adnením váºeného priemeru sme si vybrali pre nadväznos so stochastickým prístupom odhadu rezerv Zadanie: kumulovaný vývojový trojuholník s doteraz vyplatenými poistnými plneniami c i,j odhad robíme pre roky vzniku poistnej udalosti i = 1,, n a vývojové roky j = 1,, n Postup odhadu: 1 Vypo ítame si individuálne odhady koecientov vývoja m i,j : m i,j = c i,j c i,j 1 pre j = 2,, n a i = 1,, n j + 1 Pôvodná matica mala dimenziu n n a matica s individuálnymi koecientami vývoja má dimenziu (n 1) (n 1) Prvý st pec si ozna íme m 2 a bude obsahova v²etky individuálne koecienty m i,2 pre i = 1,, (n 1) Zvy²né st pce si ozna íme rovnakým spôsobom a posledný bude m n Matica individuálnych faktorov sa nachádza v tabu ke

36 Rok vzniku PU Odhady koecientu vývoja m j i m 2 m 3 m j m n 1 m 1,2 m 1,3 m 1,j m 1,n 2 m 2,2 m 2,3 m 2,j i m i,2 m i,3 n 1 n m n 1,2 Tabu ka 411: Matica individuálnych koecientov vývoja 2 Pre kaºdý vývojový rok vypo ítame váºený priemer w j, ktorý prira uje najvä ²iu váhu tomu roku, kde bolo najvä ²ie pp: w j = n j+1 n j+1 c i,j 1 m i,j c i,j 1 pre j = 2,, n 3 Dolný vývojový trojuholník kumulovaných plnení dostaneme vynásobením diagonálneho prvku kumulovaného pp a váºeného priemeru: ĉ 2,n = c 2,n 1 w n ĉ 3,n 1 = c 3,n 2 w n 1 ĉ 3,n = c 3,n 2 w n 1 w n ĉ n,n = c n,1 w 2 w 3 w n 4 Ak chceme získa iba vý²ku kone ných plnení c i,n pre kaºdý rok vzniku i, tak odhadneme koecienty vývoja pre j = 2,, n: ˆm j = n j+1 c i,j n j+1 c i,j 1 a následne dopo ítame posledný st pec plnení: ĉ i,n = c i,n i+1 n j=n i+2 ˆm j (49) V odhade kone ných plnení sa vyuºíva iba diagonálny prvok zo v²etkých plnení Prvky zo skor²ích vývojových rokov nám nedávajú ºiadnu novú informáciu, nako ko sú obsiahnuté v diagonálnom prvku 35

37 5 Hodnotu rezervy pre jednotlivé roky vzniku pu získame od ítaním diagonálnych hodnôt pre roky vzniku pu i od hodnôt ĉ i,n, kde i = 1,, n Celkovú rezervu získame s ítaním týchto rezerv pre jednotlivé roky R = n (ĉ i,n c i,n i+1 ) (410) 36

38 Kapitola 5 Stochastický prístup výpo tu rezerv V tejto kapitole sme pracovali s literatúrou [6, 7, 8, 9] Re azovo - rebríková metóda má ale aj svoje slabé stránky Najdôleºitej²ou je, ºe neposkytuje údaje, ktoré by sa týkali variability výsledkov Metóda bola vylep²ená vývojom stochastických modelov, ktoré zoh ad ujú postup re azovo - rebríkovej metódy a odstra ujú jej hlavný nedostatok Takisto modely stochastického prístupu môºu by vyuºité na posúdenie, i je re azovo - rebríková metóda vhodná pre daný súbor dát Stochastický prístup je dôleºitej²í z h adiska odhadu a deterministický odhad by sa mal pouºíva, iba ak v dosahu nie je výpo tová technika Ale v praxi sa vyuºíva menej z dôvodu, ºe je zloºitej²í na pochopenie Kaºdý model je zaloºený na vlastných ako aj niektorých spolo ných predpokladoch, ktoré musia by splnené, aby sme vedeli ur i, ktorý model je najvhodnej²í Uvedieme iba stochastické metódy, ktoré dosahujú rovnaké výsledky ako pri deterministickom odhade Ide o multiplikatívny model, Poissonov model a Mackov model Jedným z na²ích cie ov je ukáza, ºe uvedené modely dávajú skuto ne rovnaké odhady ako v prípade deterministického prístupu Ve ké mnoºstvo autorov odporú a Poissonov model ako najvhodnej²í Pri Poissonovom modeli musíme pozna hustotu, kým v multiplikatívnom nám sta í pozna prvý moment a v Mackovom prvé dva momenty 37

39 51 Jednoduchý stochastický model Odvodíme si jednoduchý stochastický model, ktorý je úzko spätý s deterministickým modelom re azovo - rebríkovej metódy a dáva základ pre stochastické modely v al²ích sekciách m i,j povaºujeme za neznámy parameter Predpokladáme, ºe C i,j, kde i = 1,, n a j = 1,, n je stochastická premenná s realizáciami c i,j Rozdelením premennej C i,j sa budeme zaobera neskôr Predpoklad rozdelenia bude základným rozlí²ením pre stochastické modely Nasledujúca tabu ka 51 zobrazuje kumulovaný horný vývojový trojuholník so stochastickými premennými Rok vzniku PU Vývojvý rok j i j n 1 C 1,1 C 1,2 C 1,3 C 1,j C 1,n 2 C 2,1 C 2,2 C 2,3 C 2,j i C i,1 C i,2 C i,3 C i,j n 1 C n 1,1 C n 1,2 n C n,n Tabu ka 51: Kumulovaný vývojový trojuhlník so stochastickými premennými Predpokladáme medzi vývojovými rokmi lineárny vz ah: C i,j = C i,j 1 m i,j pre 2 j n (51) O akávaná hodnota premenných vo vzorci (51) je: E(C i,j ) = E(C i,j 1 ) m i,j (52) Na základe deterministického vz ahu (49) pre poistné plnenia vo vývojovom roku n si vyjadríme ich o akávanú hodnotu: n E(C i,n ) = E(C i,n i+1 ) m i,j (53) j=n i+2 Z predchádzajúceho vz ahu (53) vyplýva, ºe o kávania minulých pp môºeme pouºi na predpove budúcej hodoty pp Lenºe, ak sa pozrieme na vz ah (49) v deterministickej re azovo - rebríkovej metóde, tak tam sa neráta s o akávaním, ale s presnou hodnotou kumulovaného plnenia C i,n i+1 Pri re azovo - rebríkovej metóde je predpoklad, ºe 38

40 hodnota kumulovaného pp je viac relevantná ako jej o akávanie Na základe tohto predpokladu si prepí²eme vz ah (52): E(C i,j c i,j 1 ) = c i,j 1 m i,j (54) Model podmienených o akávaní vo vz ahu (54) je jednoduchý stochastický model re azovo - rebríkového algoritmu Po nájdení stochastického modelu by sme mali urobi predpoklady o poistných plneniach Podstatnou "vlastnos ou" plnení je ich vý²ka Ich po et samozrejme tieº berieme do úvahy Zatia sme si neuviedli, o nám vyjadrujú nekumulované pp P i,j a kumulované pp C i,j Môºu reprezentova vý²ku, rovnako ako v deterministickom prístupe, alebo po et Nech N(t) je po et poistných plnení na intervale (0, t Je to premenná s Poissonovým rozdelením a je neklesajúcou funkciou spojitého asu t Nech Y k je vý²ka plnenia s poradovým íslom k Logicky, celková vý²ka nárokov X(t) je funkciou po tu nárokov N(t) do asu t a denujeme ju: N(t) X(t) = Ak Y k sú nezávislé a rovnako rozdelené, tak X(t) má zloºené Poissonovo rozdelenie k=1 Y k Strednú hodnotu a varianciu ur íme cez zloºenú strednú hodnotu a zloºenú varianciu: [ N(t) ] E X [X(t)] = E N E X [X(t) N(t)] = E N E X Y k N(t) = E N [N(t)E Y (Y k )] = E N [N(t)]E Y (Y k ) k=1 V ar X [X(t)] = E N [V ar X [X(t) N(t)]] + V ar N [E X [X(t) N(t)]] [ [ N(t) ]] [ = E N V ar X Y k N(t) + V ar N [E N(t) ]] X Y k N(t) k=1 = E N [N(t)V ar Y (Y k )] + V ar N [N(t)E Y (Y k )] k=1 = E N [N(t)]V ar Y (Y k ) + [E Y (Y k )] 2 V ar N [N(t)] 39

41 52 Multiplikatívny model Multiplikatívny model uvádzame ako prvý, nako ko ho môºeme povaºova za základ Poissonovho a Mackovho modelu V tejto asti budeme pouºíva neznáme parametre multiplikatívneho modelu x i a y j Poznamenajme, ºe sa nejedná o realizácie premenných X(t) a Y k z predchádzajúcej sekcie 51 P i,j je stochastická premenná Predpokladáme, ºe y 1 + y y n 1 + y n = 1 Prvý moment nekumulovaných pp pre 1 i a j n je: E(P i,j ) = x i y j (55) Vz ah (55) nám hovorí, ºe o akávania nekumulovaných pp môºeme napísa ako sú in parametra x i závislého na roku vzniku pu a parametra y j závislého na vývojovom roku Vieme, ºe suma y j sa rovná jednej a teda: n E(P i,j ) = x i n j=1 j=1 E(C i,n ) = x i (56) Zo vz ahu (56) vyplýva, ºe x i sú hodnoty o akávaných kumulovaných poistných plnení pre vývojový rok n Ak by P i,j vyjadroval po et pp, tak x i by nám reprezentovalo o akávaný po et pp pre kaºdý rok 1,, n a y j by nám vyjadrovalo pravdepodobnos, ºe nároky vzniknuté v roku i budú hlásené v roku j Pri vyjadrení y j ako pravdepodobnosti, nám vzniká obmedzenie: 0 y j pre j = 1,, n y j Ak máme vývojový trojuholník kumulovaných pp, tak ho odkumulujeme pod a vz ahu P i,j = C i,j C i,j 1 Pouºitím vz ahu (53) z jednoduchého stochastického modelu a predchádzajúceho vzorca pre nekumulované pp, vieme vyjadri o akávanie nekumulovaného pp P i,j : E[P i,j ] = E[C i,j ] E[C i,j 1 ] = (m i,j+1 m i,n ) 1 E[C i,n ] (m i,j m i,n ) 1 E[C i,n ] = E[C i,n ] [(m i,j+1 m i,n ) 1 (m i,j m i,n ) 1 ] Mack preukázal nájdením vhodných kandidátov pre x i a y j, ºe vz ah (52) z jednoduchého stochastického modelu je ekvivalentný multiplikatívnemu modelu V aka tejto ekvivalencii a vz ahu E(C i,n ) = x i vieme, ºe hodnota parametra y j je (m i,j+1 m i,j+2 m i,n ) 1 (m i,j m i,j+1 m i,n ) 1 40

42 Pre vývojový rok 2 j < n parameter y j nadobúda hodnoty: y 1 = (m i,2 m i,3 m i,n ) 1 y j = (m i,j+1 m i,n ) 1 (m i,j m i,n ) 1 (57) y n = 1 (m i,n ) 1 n Nesmieme zabudnú, ºe y j nám musí sp a obmedzenia y j = 1 a 0 y j pre j = 1,, n, aby sme mohli prija hodnoty parametra y j Ak m i,j 1, tak 0 y j pre j = 1,, n S ítaním vz ahov y j pre v²etky moºné hodnoty j dostaneme vlastne iasto né sú ty, ktoré na konci dávajú pevnú hodnotu, 1 Týmto sme potvrdili vlastnos, ºe suma y j je rovná jednej Takºe vz ah (57) je správnou vo bou pre parameter y j, kde j = 1,, n n Pomocou vlastnosti y j = 1 a vz ahov (55), (56) si vyjadríme o akávania vý²ky pp j=1 vo vývojovom roku n pre i = 2,, n: E[C i,n ] = x i (y 1 + y y n ) = x i y 1 + x i y x i y n = E[P i,1 ] + E[P i,2 ] + + E[P i,n ] Vhodným výberom parametrov x i a y j je ukázaná ekvivalencia medzi jednoduchým stochastickým modelom a multiplikatívnym modelom j=1 E²te nám ostáva vyjadri odhad koecientov vývoja V aka ekvivalencii medzi jednoduchým stochastickým modelom a multiplikatívnym modelom môºeme na to vyuºi vz ah (52), a vyjadríme si z neho koecient m i,j pre 2 j n: m i,j = E[C i,n] E[C i,i 1 ] = x i (y 1 + y y j ) x i (y 1 + y y j 1 ) = y 1 + y y j y 1 + y y j 1 Odhad koecientu vývoja nemá rovnaký vzh ad ako v prípade vývojového koecientu deterministického prístupu, ale jedná sa o rovnaký koecient a dáva rovnaké výsledky 53 Poissonov model Uº sme spomínali, ºe multiplikatívny model je základom Poissonovho modelu Konkrétne, majú rovnaký prvý moment, ale Poissonov model navy²e predpokladá hustotu nekumulovaných pp P i,j Verral tvrdil, ºe pri pouºití odhadu maximálnej vierohodnosti (MVO) dostaneme Poissonovým modelom rovnaké výsledky ako v prípade 41

43 deterministického prístupu re azovo - rebríkovej metódy Rovnaké predpoklady a výsledky ako v multiplikatívnom modeli: nekumulované pp P i,j sú nezávislé premenné s Poissonovým rozdelením a strednou hodnotou E(P i,j ) = x i y j n y j = 1 a y j môºeme interpretova ako pomer nároku vo vývojovom roku j k j=1 nárokom vo vývojovom roku n x i = E(C i,n ) je o akávaná hodnota kumulovaných pp do vývojového roku n Pouºitím vy²²sie uvedených vlastností a vz ahov dostaneme nový vz ah pre prvý moment, ktorý parametrizujeme: E(P i,j ) = x i y j = E(C i,n ) y j = E(C i,n i+1) y j = n i+1 y j j=1 kde z i = E(C i,n i+1 ) a s k = k j=1 y j z i y j s n i+1 (58) Rovnicu (58) môºeme vyuºi na odhad o akávaných kumulovaných pp vo vývojovom roku n, teda E(C i,n ) Aproximáciou E(C i,n ) odhadom Ĉi,n dostaneme: Ĉ i,n = E(C i,n ) = x i = z i n i+1 k=1 y k = 1 z i n k=n i+2 y k (59) Verral tvrdí, ºe predchádzajúca rovnica (59) je ekvivalentná odhadu koecientu vývoja ˆm j Uvedieme vz ah (49) z deterministického prístupu re azovo - rebríkovej metódy: kde Ĉ n j+1,n = c n j+1,j ˆm j+1 ˆm j+2 ˆm n (510) ˆm j = n j+1 c i,j n j+1 c i,j 1 Na porovnanie ekvivalencie vz ahu (59) a vz ahu (510) je potrebné najprv zisti neznáme parametre zo vz ahu (59) Pomocou odhadu maximálnej vierohodnosti nájdeme 42