MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Transcription

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2014 MICHAL KOVÁČIK

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Metody testování stability parametrů ekonometrických modelů v klasickém a bayesovském pojetí Diplomová práce Michal Kováčik Vedoucí práce: Ing. Daniel Němec, Ph.D. Brno 2014

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Michal Kováčik Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Metody testování stability parametrů ekonometrických modelů v klasickém a bayesovském pojetí Aplikovaná matematika Finanční matematika Ing. Daniel Němec, Ph.D. Akademický rok: 2013/2014 Počet stran: xii + 60 Klíčová slova: strukturální zlom; stabilita parametrů; volatilita; Bayes; CUSUM; GARCH; Chow; MCMC

4 Bibliografický záznam Autor: Názov práce: Študijný program: Študijný odbor: Vedúci práce: Michal Kováčik Prírodovedecká fakulta, Masarykova univerzita ÚSTAV MATEMATIKY A ŠTATISTIKY Metódy testovania stability parametrov ekonometrických modelov v klasickom a bayesovskom poňatí Aplikovaná matematika Finančná matematika Ing. Daniel Němec, Ph.D. Akademický rok: 2013/2014 Počet strán: xii + 60 Kl účové slová: štrukturálny zlom; stabilita parametrov; volatilita; Bayes; CU- SUM; GARCH; Chow; MCMC

5 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Michal Kováčik Faculty of Science, Masaryk University Department of mathematics and statistics Testing stability of the parameters in econometric models: Classical and Bayesian approaches Applied mathematics Financial mathematics Ing. Daniel Němec, Ph.D. Academic Year: 2013/2014 Number of Pages: xii + 60 Keywords: structural break; parameter stability; volatility; Bayes; CU- SUM; GARCH; Chow; MCMC

6 Abstrakt V této práci se věnujeme problematice nestability parametrů modelů časových řad. Rozebíráme možnosti odhadu strukturálních změn z dvou různých přístupů-klasického a bayesovského. Přinášíme přehled výzkumných prací v rámci obou těchto přístupů a následně některé metody aplikujeme na testování strukturálních změn na vybraných modelech finančních aktiv.

7 Abstrakt V tejto práci sa venujeme problematike nestability parametrov modelov časových radov. Rozoberáme možnosti odhadu štrukturálnych zmien z dvoch rôznych prístupovklasického a bayesovského. Prinášame prehl ad výskumných prác v rámci oboch týchto prístupov a následne niektoré metódy aplikujeme na testovanie štrukturálnych zmien na vybraných modeloch finančných aktív.

8 Abstract This paper is devoted to the issue of parameter instability in time series models. We discuss the possibility of estimating the structural changes of two different approachesclassical and Bayesian. We provide an overview of the research in the context of both approaches and then apply some of the methods to test for structural changes in selected models of financial assets.

9

10 Poděkování Na tomto mieste by som sa chcel pod akovat vedúcemu diplomovej práce Ing. Danielovi Němcovi, Ph.D. za jeho odbornú pomoc, cenné rady a trpezlivost, ktorú mal počas tvorby tejto práce. Prohlášení Čestne prehlasujem, že som diplomovú prácu písal samostatne a výhradne za použitia citovaných zdrojov. Brno 12. května Michal Kováčik

11 Obsah Úvod xii Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy O stabilite modelu obecne Štrukturálne zlomy v regresných koeficientoch Využitie umelých premenných Chowov test štrukturálneho zlomu Chowov predpovedný test Rekurzívne odhady a reziduá CUSUM a CUSUMSQ testy Štrukturálne zlomy v časových radoch Testy jednotkového koreňa ARCH a GARCH modely EGARCH a GJR-GARCH modely Nelineárne modely časových radov Ďalšie typy modelov a testov MOSUM test Neparametrické prístupy Kapitola 2. Bayesovský prístup Základné princípy bayesovského prístupu Time-varying parameter model Bayesovský GARCH Zmeny v autoregresných časových radoch Dirichletov proces ako prior Change-point model Product partition model Chibov model Multiple change point modely Markov-switching ROPE Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov Odhal ovanie zlomov v čase globálnej ekonomickej krízy x

12 3.1.1 Štrukturálne zmeny vo volatilite Štrukturálne zmeny v regresnom modeli Koncept ROPE a HDI Product partition model Chibov changepoint model Záver Zoznam použitej literatúry

13 Úvod Predpokladom k vyvodzovaniu správnych záverov pri analýze časových radov je ich stacionarita - nemennost parametrov modelu v čase, napríklad strednej hodnoty, rozptylu alebo trendu. Porušením týchto podmienok dochádza k javu, ktorý sa v ekonometrii označuje ako štrukturálna zmena alebo štrukturálny zlom. Táto zmena môže ovplyvnit ktorýkol vek z parametrov modelu. Literatúry na tému štrukturálnych zmien je neúrekom. V angličtine sa vyskytujú často rôzne označenia, medzi inými napr. structural changes, breaks, changepoints, breakdates alebo breakpoints. Počiatky prvých testov výskytu štrukturálnych zmien môžeme datovat do šest desiatych rokov dvadsiateho storočia, napr. v prácach Chow (1960), Quandt (1960), no skutočný rozvoj zaznamenáva problematika v priebehu posledných 20 rokov. Rozsiahly prehl ad prináša napr. Perron (2005), no vo svojej práci sa zameriava iba na jeden z prístupov, tzv. klasický (v niektorej literatúre označovaný ako frekventistický). Netreba však zabúdat ani na tzv. bayesovský prístup, ktorého alfou a omegou je bayesovská pravdepodobnost. Tento typ pristupovania k modelom sa zriedkavo vyskytuje v ekonometrických knihách a príručkách v kontexte testovania stability parametrov. V našej práci sa budeme snažit priniest prehl ad doterajšieho výskumu problematiky testovania časových radov na výskyt štrukturálnych zmien z oboch týchto rozdielnych prístupov. Priblížime si teda aj rôzne techniky detekcie zlomov klasickým spôsobom, pričom v tomto prípade nám pomôže hlavne vel mi rozsiahla a zrozumitel ne napísaná kniha Heij et al. (2004). Klasický prístup opisujeme v prvej časti našej práce, ktorá je tematicky rozdelená na testovanie zlomov v modeloch volatility a parametroch regresného modelu. Druhá čast práce poskytuje náhl ad do bayesovského zmýšl ania a pristupovania k testom stability parametrov. Po stručnom opise základných princípov bayesovskej pravdepodobnosti sa d alej v práci venujeme opisu konkrétnych základných a zaujímavých prístupov. Tretia a zároveň posledná čast práce sa venuje aplikácii niektorých vybraných prístupov detekcie štrukturálnych zlomov v časových radoch finančných aktív. Úlohou a ciel om v tretej časti bude stručne porovnat fungovanie rôznych metód pri odhal ovaní zlomu, ktorý nastal v období globálnej ekonomickej krízy v roku xii

14 Kapitola 1 Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 1.1 O stabilite modelu obecne Stabilita parametrov ekonometrických modelov je kmeňovým predpokladom pri modelovaní a predpovedaní v ekonometrii časových radov, ked že model, o ktorom sa chybne predpokladá, že jeho štruktúra je stabilná, môže viest k výrazným predikčným chybám a k absolútnej neschopnosti dobre popisovat reálne javy. V tejto práci sa budeme venovat problematike tzv. štrukturálnych zlomov, resp. zmien. Ak sa laik pozrie na l ubovol ný graf časového radu so štrukturálnou zmenou, ako prvé si všimne, že graf vyletel nahor, resp. rapídne spadol nadol. Hansen (2001) definuje štrukturálnu zmenu ako jav súvisiaci s parametrami, ktorý má význam iba ak sa vysvetl uje v kontexte s nejakým konkrétnym modelom. Ako príklad uvádza autoregresný model prvého rádu s predpokladom stacionarity, teda nemennosti parametrov modelu v čase. Štrukturálny zlom nastáva vtedy, ak sa aspoň jeden z týchto parametrov v čase zmení. Čas tohto zlomu budeme d alej v práci nazývat bod zlomu (v angl. literatúre breakdate, break point). Aue (2013) vysvetl uje problematiku na jednoduchom modeli Y t = µ t +ε t, kde µ t je signál a ε t je šum s nulovou strednou hodnotou a rozptylom σ 2 (t Z). Pod štrukturálnou nestabilitou potom môžeme rozumiet nekonštantnost signálu µ t, respektíve zmenu nepod- 1

15 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 2 mienenej strednej hodnoty Y t v čase. Signál môže byt vyjadrený aj pomocou viacerých koeficientov modelu lineárnej regresie β t X t. Štrukturálna stabilita potom znamená nemennost regresných koeficientov v čase, respektíve nemennost formy podmienenej strednej hodnoty v čase. O nestabilite môžeme tiež hovorit aj pri rozptyle šumu. Pri odhadovaní štrukturálnych zmien sa môžeme dostat do styku s rôznymi problémami. Eksi (2009) spomína dva hlavné, a síce, že môže byt zložité rozoznat medzi dátami, ktoré sú predmetom štrukturálnej zmeny a dátami, ktoré majú jednotkový koreň (problematika jednotkového koreňa bude prebraná d alej v práci). Ako druhý problém spomína fakt, že aj ked sa zlomové body v dátach dajú dost dobre odhadnút, neexistuje žiadna dostatočná podmienka, ktorá by popísala rozdelenie týchto odhadov. Perron (2005), ktorý priniesol komplexnejší súhrn, túto problematiku dokonca nazýva zložitá súhra (z angl. intricate play). Dôkazy v prospech výskytu jednotkového koreňa môžu tiež znamenat štrukturálnu zmenu a naopak. Základných prístupov v ekonometrii štrukturálnych zlomov je niekol ko. V jednoduchosti by sme ich mohli rozdelit na prístupy spätného overovania a prístupy odhadovania štrukturálnych zlomov. V prvom prípade máme dopredu známy počet štrukturálnych zlomov a snažíme sa odhadnút čas ich nástupu. Niekedy máme aj čas týchto zlomov a overujeme či vlastne ide o zlom. V druhom prípade ako uvádza Hansen (2001), ide hlavne o testovanie štrukturálnych zlomov pri neznámom nástupe týchto zlomov, o odhad bodov zlomu, teda časov výskytu štrukturálnych zmien alebo o testovanie, ktoré nám umožní rozoznat či ide o štrukturálny zlom alebo náhodnú prechádzku (alebo jednotkový koreň). Ďalej rozoznávame medzi dvoma hlavnými typmi prístupov k modelovaniu ako celku a to klasický (niekedy označovaný aj ako frekventistický) prístup a tzv. bayesovský. Poznatky v nasledujúcich kapitolách v rámci klasického prístupu čerpajú vo vysokej miere z vel mi prehl adnej knihy Heij et al. (2004).

16 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy Štrukturálne zlomy v regresných koeficientoch Nech máme základný model Y t = β t X t + ε t, t Z. (1.2.1) Testovanie stability tohto modelu je testovanie nulovej hypotézy o zhodnosti regresných koeficientov H 0 : β 1 =... = β n β voči alternatívnej hypotéze zmeny hodnoty aspoň jedného z týchto parametrov. Na takéto testovanie sa častokrát využívajú metódy CUSUM, o ktorých budeme hovorit neskôr v tejto časti. V CUSUM metódach sa využívajú odhady reziduí v lineárnych regresných modeloch Využitie umelých premenných V klasickom lineárnom regresnom modeli (y = Xβ + ε) dostávame deriváciou závislej premennej y podl a x j priamy vplyv regresorov x j na y, teda regresné koeficienty β j. Za platnosti predpokladu o nemennosti parametrov budú tieto vplyvy rovnaké pre všetky pozorovania. Môže sa však stat, že efekt regresorov x j sa v dátach mení. Tento jav sa modeluje viacerými spôsobmi. Jedným z nich môže byt rozdelenie vzorky dát do skupín, pričom v rámci skupiny sú parametre konštantné, no medzi danými skupinami sú rôzne. Takáto zmena parametrov sa dá modelovat pomocou umelých (dummy) premenných. Umelé premenné sú rovné 1 ak kvalitatívny jav, ktorý reprezentujú nastal, v ostatnom prípade sú rovné nule. Príkladom môžu byt sezónne pomocné premenné, kedy máme dáta pozostávajúce zo štvrt ročných pozorovaní s priemernou hodnotou rôznou pre rozdielne kvartály. Tie môžeme dostat napríklad pri modelovaní zmeny parametrov v čase:

17 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 4 y i = α 1 D 1i + α 2 D 2i + α 3 D 3i + α 4 D 4i + k β j x ji + ε i, j=2 kde D h sú umelé premenné, h = 1,2,3,4 a D hi je rovné jednej, ak i-te pozorovanie spadá do sezóny h, inak je rovné nule. Dôvodom pre vytvorenie týchto umelých premenných je potreba eliminovat zmenu (variáciu) parametrov a vytvorit tak model s parametrami konštantnými. V praxi sa často preferujú modely s úrovňovou konštantou, no násilné vloženie do rovnice by vyústilo do multikolinearity a regresia by bola nemožná. Ponechanie úrovňovej konštanty v modeli sa rieši vypustením niektorej z umelých premenných. Ak z predchádzajúceho vzt ahu vypustíme napríklad D 1, potom sa zvykne prvý kvartál označovat ako referenčný a rozdiely α s α 1, pre s = 2,3,4 znamenajú dodatočné vplyvy s-tého obdobia na obdobie prvé. Zahrnutie úrovňovej konštanty mení interpretáciu modelu s umelými premennými. Vo všeobecnosti, vypustená premenná sa stáva niečím ako základňou pre porovnávanie s ostatnými Chowov test štrukturálneho zlomu Chowov test (Chow, 1960) sa používa na porovnanie zmeny parametru alebo parametrov medzi dvoma súbormi dát. V praxi ak máme kandidáta na bod zlomu a chceli by sme testovat či sa v tomto bode parametre skutočne zmenia, rozdelíme našu množinu pozorovaní na dve časti. Jedna bude obsahovat n 1 pozorovaní uskutočnených do času t a druhá bude obsahovat zvyšok, a teda n 2 = n n 1 pozorovaní. Model môžeme formulovat maticovým zápisom nasledovne: y 1 = X 1 β 1 + ε 1, y 2 = X 2 β 2 + ε 2, (1.2.2)

18 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 5 kde y 1 a y 2 sú vektory závislých premenných s dĺžkami n 1 x 1, n 2 x 1 v príslušnom poradí. X 1 a X 2 sú matice vysvetl ujúcich premenných s rozmermi n 1 x k, n 2 x k. Samozrejmost ou je nezávislost náhodných chýb a zhodnost ich rozptylu. Na testovanie hypotézy H 0 o zhodnosti koeficientov sa využíva F-test. Testujeme teda hypotézu H 0 : β 1 = β 2 oproti alternatívnej hypotéze nerovnosti totožného výrazu. F-test potom vyzerá nasledovne: F = (S 0 S 1 S 2 )/k (S 1 + S 2 )(n 1 + n 2 2k). (1.2.3) Vo výraze (1.2.3) je S 0 chyba súčtu štvorcov, ktorú získame v modeli plnej hodnosti a S 1 a S 2 sú chyby príslušných dvoch podmnožín, na ktoré dáta delíme. 2k je počet parametrov v alternatívnej hypotéze a k je počet obmedzení v nulovej hypotéze. Test z (1.2.3) sa nazýva Chowov test štrukturálneho zlomu a jeho rozdelenie je F(k,n 1 + n 2 2k). Regresné modely vykonávané v tomto teste vyžadujú, aby boli n 1 a n 2 k, a síce, aby sa počet pozorovaní v oboch podmnožinách aspoň rovnal počtu parametrov v nich Chowov predpovedný test Definícia modelu z (1.2.2) nám ako taká umožňuje výskyt štrukturálneho zlomu v parametroch, no odhliadnuc od toho, tvar modelu ostáva nezmenený. Tvar modelu v rámci alternatívy môžeme ponechat nešpecifikovaný. Nulovou hypotézou potom bude, že model y = Xβ +ε platí pre všetky pozorovania n 1 +n 2 a alternatívou k tejto hypotéze, že platí len pre prvých n 1 pozorovaní. Zvyšných n 2 pozorovaní bude generovat iný, pre nás neznámy

19 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 6 model. Túto skutočnost vieme vyjadrit : y i = x iβ + n 1 +n 2 γ j D ji + ε i, D ji = j=n , i = j 0, i j (1.2.4) Pre každé pozorovanie i > n 1, model povol uje dodatočný vplyv γ j, ktorý sa môže líšit od pozorovania k pozorovaniu. Koeficienty γ j reprezentujú všetky faktory, ktoré pod nulovou hypotézou v modeli zanedbáme. V úvode tohto odstavca sme spomenuli model so štrukturálnymi zlomami, no s konštantnou štruktúrou. Takémuto modelu zodpovedá nasledujúca nulová hypotéza: H 0 : γ j = 0, j = n 1 + 1,...,n 1 + n 2. Uvedenú hypotézu vieme testovat uskutočnením dvoch regresií, z ktorých jedna bude obsahovat lineárne obmedzenia. Ide vlastne o špeciálny prípad F-testu, ktorý nazývame Chowov predpovedný test, a ktorý vyzerá nasledovne: F = (S 0 S 1 )/n 2 S 1 /(n 1 k). Hansen (2001) uvádza ako hlavný nedostatok Chowových testov apriornú znalost výskytu zlomu. Podl a neho ostávajú dve riešenia tohto problému. Prvým je výber l ubovol ného kandidáta, pričom Chowov test potom nemusí mat žiadnu výpovednú hodnotu ak sme bod zlomu netrafili. Druhým riešením je vybrat kandidáta podl a nejakej vonkajšej subjektívnej znalosti o dátach. V tomto prípade sa stáva, že Chowov test označí za bod zlomu bod, ktorý ním nie je. Jedným z prvých pokusov ako obíst túto vlastnost je Quandtova štatistika (Quandt, 1960). Hlavnou myšlienkou je otestovat Chowovým testom každý bod, ktorý pripadá do úvahy a následne vybrat najlepšieho kandidáta.

20 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy Rekurzívne odhady a reziduá Predpokladajme, že chceme modelovat variáciu premenných, no nepoznáme presnú povahu tejto zmeny. V takom prípade nemusí byt vhodnou vol bou modelovanie za pomoci umelých premenných. Ak máme dáta zoradené nejakým prirodzeným spôsobom, napríklad to môžu byt dáta pozostávajúce z časových radov, je pre nás prirodzené tieto dáta radit podl a premennej času. Ak pracujeme s prierezovými údajmi, ktoré sú reprezentované pozorovaniami premenných týkajúcich sa jednotlivých subjektov (napr. domácnosti, firmy) v rovnakom období, je vhodné dáta usporiadat podl a hodnôt jednej z týchto vysvetl ujúcich premenných. Využitím metódy rekurzívnych najmenších štvorcov vieme v takto usporiadaných údajoch odhalit možné body zlomu (break point). Nech máme regresný model y i = x i β + ε i, kde i = 1,...,t 1, pre t v rozmedzí < k + 1;n >. Regresiou dostávame OLS odhad b t 1 s príslušnou predpoved ou ŷ t = x tb t 1 a chybou tejto predpovede f t = y t x tb t 1. (1.2.5) Odhady rekurzívnych najmenších štvorcov budú definované ako rad estimátorov b t, ktoré počítame rekurzívne: b t = b t 1 + A t x t f t, (1.2.6) A t = A t 1 1 v t A t 1 x t x ta t 1, (1.2.7) v t = 1 + x ta t 1 x t. (1.2.8) Z (1.2.6) vidíme, že vel kost diferencie b t b t 1 závisí na chybách predpovede definovaných v (1.2.5).

21 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 8 Vieme, že stredná hodnota chýb predikcie je nulová, a ked že model y t = x tβ + ε t je nezávislý na b t 1, dostávame: D( f t ) = D(y t ) + D(x tb t 1 ) = σ 2 (1 + x ta t 1 x t ) = σ 2 v t. Z toho d alej máme w t = f t vt NID(0,σ 2 ), t = k + 1,...,n. (1.2.9) Hodnoty w t nazývame rekurzívne reziduá. Pri odhal ovaní bodov zlomu sa často využívajú grafy rekurzívnych odhadov b t a rekurzívnych reziduí w t ako funkcií času. Následne z grafu vieme rozpoznat zmenu parametrov v zmene odhadov b t a po zlome sa tiež zmena prejaví vo vel kosti rekurzívnych reziduí, ktoré budú sériovo korelované CUSUM a CUSUMSQ testy Aj ked technická analýza možných variácií parametrov z grafov rekurzívnych reziduí a rekurzívnych odhadov môže byt nápomocná, nie je na škodu popri tejto metóde uskutočnit aj štatistické testovanie hypotéz o zhodnosti parametrov. V tejto časti práce si teda povieme niečo viac o tzv. CUSUM (cumulative sums) testoch, ktoré sú založené na rekurzívnych reziduách, tak ako ich máme definované v (1.2.9). CUSUM testy prvýkrát uviedli Brown, Durbin a Evans (1975). Z (1.2.9) vyplýva, že výberový rozptyl w = 1 n k n t=k+1 w t má normálne rozloženie so strednou hodnotou nula a nenulovým rozptylom rovným σ 2 n k. Nech máme nestranný odhad rozptylu σ 2 = 1 n k 1 n t=k+1 (w t w) 2 založený na rekurzívnych reziduách, potom platí:

22 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 9 n k w σ t(n k 1). Prípadnú nestabilitu regresných parametrov nám môže odhalit významný nenulový priemer rekurzívnych reziduí. Nech s 2 je OLS odhad rozptylu z regresného modelu plnej hodnosti. Pri presnom vymedzení modelu sú podiely w t /σ nezávislé so štandardizovaným normálnym rozdelením a teda: W r = r t=k+1 má približne normálne rozdelenie N(0,r k). Pri hladine významnosti 5% sa hodnota W r významne líši od nuly ak platí W r > 2 r k. Pri testoch združenej významnosti (joint significance) množín hodnôt W r, r = k + 1,...,n vieme odhalit chybnú špecifikáciu modelu, ak existuje také r, pre ktoré platí výraz W r > 0.948(1 + 2 r k n k ) n k, kde hladina významnosti je 5%. w t s V predošlej časti bolo spomenuté, že vel ké hodnoty rekurzívnych reziduí môžu znamenat zmeny v parametroch. No nie nevyhnutne. Vel ké hodnoty jedného alebo len niekol kých rekurzívnych reziduí môžu znamenat výskyt odl ahlých hodnôt alebo zmenu v rozptyle náhodných chýb. To vlastne znamená, že postupom času sa fenomén náhodnosti v pozorovaniach môže tiež menit. Na otestovanie tejto skutočnosti využívame súčty druhých mocnín rekurzívnych reziduí wt 2 / σ 2. Za predpokladu správneho vymedzenia modelu dostávame z (1.2.9), že tieto druhé mocniny majú približne χ 2 (1) rozdelenie. CUSUMSQ (cumulative sums of squares) testy vyzerajú nasledovne: S r = r t=k+1 w2 t t=k+1 n,r = k + 1,...,n. w2 t

23 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 10 Pri dostatočne vel kom výbere sa 1 n k n t=k+1 w2 t približne rovná σ 2, teda (n k)s r má približne χ 2 rozdelenie s (r k) stupňami vol nosti so strednou hodnotou (r k) a rozptylom 2(r k). Z toho vyplýva, že S r má strednú hodnotu (r k)/(n k) a rozptyl 2(r k)/(n k) 2. Hodnota S r sa nachádza v rozmedzí nula až jedna, konkrétne S k = 0 pre r = k a S n = 1 pre r = n. Testy združenej významnosti nám vedia ukázat, že model bol chybne špecifikovaný, ak existuje také r, pre ktoré platí S r r k > c. Hodnota c závisí na hladine významnosti a rozdiele (n k). n k 1.3 Štrukturálne zlomy v časových radoch V nasledujúcej kapitole budeme pojednávat o modelovaní premenných, ktoré sú pozorované v určitom časovom rámci. Analýza l ubovol ného časového radu pozostáva z niekol kých fáz. Prv než začneme s odhadom parametrov modelu, je vhodné si zvolit jeho dynamickú štruktúru. Po odhadnutí parametrov sa vykonávajú diagnostické testy, aby sa zistilo či model spĺňa základné predpoklady. Výsledky týchto diagnostických testov nám môžu ponúknut alternatívne špecifikácie daného modelu. V tejto fáze môžeme disponovat viacerými modelmi, z ktorých sa vyberie ten pre naše potreby najvhodnejší. Množstvo časových radov obsahuje trendy, ktoré hrajú dôležitú úlohu pri predpovedaní budúcich hodnôt premenných, napr. ekonomických modelov Testy jednotkového koreňa V nasledujúcej časti si ukážeme akými testami sa dá testovat druh trendu časového radu. Je totiž vhodné vediet rozlíšit deterministický trend od stochastického, ked že oba majú odlišné vlastnosti. V dlhom období sa napríklad rad s deterministickým trendom vracia k trendovej línii, efekt inovačných šokov sa v dlhom období stratí a rozptyl predpovede je konštantný. Na druhej strane, pri stochastickom trende sa rad nevracia k trendovej línii, inovačné šoky majú dlhodobý signifikantný vplyv a hodnota predpovedi rozptylu sa pre

24 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 11 väčšie obdobia zvyšuje. Povahu trendu môžeme jednoducho otestovat modelom stacionárneho trendu: y t = α + βt + φy t 1 + ε t, kde ε t je biely šum. Deterministický trend dostávame pre φ ( 1;1) a β 0, stochastický pre φ = 1 a β = 0. Prípad, ked dostávame β 0 a φ = 1 vedie ku kvadratickému trendu, ktorého výskyt v praxi je menej častý. Ku samotnému testovaniu hypotéz sa dostaneme odčítaním y t 1 od oboch strán rovnosti, kde teda s ρ = φ 1 dostávame: y t = α + βt + ρy t 1 + ε t. (1.3.1) Konkrétne hypotézy môžeme formulovat pomocou obmedzení parametrov: H 0 : ρ = 0 a β = 0 H 1 : ( 2 <)ρ < 0 a β 0 Nulová hypotéza teda ráta so stochastickým trendom a alternatívna s deterministickým. Pre úplnost ešte uved me, že φ 1 nemá žiaden relevantný praktický význam. Na testovanie pravdivosti hypotézy použijeme Dickey-Fullerovu verziu F-testu. Vzhl adom k tomu, že rovnica má n-1 pozorovaní a 3 parametre, F-štatistika vyzerá nasledovne: F = (e R e R e e)/2 e, e/(n 4) kde e e značí súčet štvorcov reziduí modelu bez obmedzení v parametroch a e R e R je súčet štvorcov reziduí v modeli so stochastickým trendom s β = ρ = 0. Kritické hodnoty pre tento test dostali Dickey a Fuller, ktorí zistili, že tieto hodnoty sú zhruba dvakrát vyššie ako kritické hodnoty klasického rozdelenia F(2,n-4) (pri hladine významnosti 5%).(Viac vid Heij et al., (2004), str. 595).

25 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 12 V praxi sa však na rozdiel od vyššie uvedeného F-testu, teda konkrétne obmedzení v parametroch, testuje len s obmedzením φ = 1 oproti alternatívnej hypotéze φ < 1. Tak sa konečne dostávame k testu jednotkového koreňa, v angl. unit root testu. Hypotézy potom vyzerajú nasledovne: H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ < 0 Nulovú hypotézu o stochastickom trende zamietneme, ak t-hodnota ρ, ozn. t(ρ), je výrazne menšia ako nula, tzn. ak je menšia ako daná kritická hodnota. t(ρ) nenasleduje studentovo rozdelenie ako by sa mohlo zdat, je totiž závislé na β z (1.3.1). Ak má dáta generujúci proces ρ, β = 0, potom t(ρ) z (1.3.1) sa riadi tzv. Dickey-Fuller rozdelením. Kritické hodnoty pre toto rozdelenie sú znova vyše dvakrát väčšie ako pri normálnom studentovom rozdelení (viac vid Heij et al., (2004), str. 595). Pre zaujímavost, s hodnotami ρ = 0 a β 0 má t(ρ) štandardizované normálne rozdelenie, no pri testoch na jednotkový koreň táto situácia nie je relevantná, ked že pri nulovej hypotéze by sme dostali kvadratický trend. Na tomto mieste je vhodné podotknút, že testy štrukturálnej stability nie sú robustné voči ostatným odchýlkam, ako sú napríklad procesy s dlhou pamät ou 1 alebo jednotkové korene. Výskum v oblasti rozoznávania medzi spomínanými tromi javmi stále pokračuje, napr. Aue (2013), Kim et al. (2002), Eksi (2009) a pre prehl ad vid Perron (2005) ARCH a GARCH modely Ak je rozptyl časového radu závislý na minulých hodnotách parametrov, ide o tzv. podmienený rozptyl. Ak sa táto závislost dá vyjadrit za pomoci autoregresie, dostávame tzv. ARCH model (z angl. autoregressive conditional heteroscedasticity). Pre príklad si môžeme uviest ARCH model pre biely šum (ARCH(1)): 1 stacionárny proces vykazuje dlhú pamät ak pre jeho autokovariančnú funkciu γ platí, že h Z γ(h) =

26 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 13 V uvedenom výraze značí σ 2 t v čase t 1, a síce σ 2 t y t = µ + ε t ε t Y t 1 N(0,σ 2 t ), σ 2 t = α 0 + α 1 ε 2 t 1 (1.3.2) podmienený rozptyl y t za platnosti dostupných informácií = D(y t y t 1,y t 2,...). Z nezápornosti rozptylu môžeme zaviest podmienky pre α 0 a α 1 z predchádzajúceho výrazu, ktoré budú tiež zrejme nezáporné. Navyše ak je α 1 kladná, dostávame priamu úmernost medzi σ 2 t a ε t 1. Tento fakt nám umožňuje predpovedat budúci pohyb rozptylu časového radu a rizika, ktoré je s týmto pohybom spojené. Bez dôkazu si uved me niekol ko vlastností ARCH procesov. Ak je parameter α 1 z modelu (1.3.2) menší ako 1, uvedený ARCH(1) proces je biely šum s momentami E[y t ] = µ a E[(y t µ)(y s µ)] pre t s. Pre α 1 (0;1) to bude E[(y t µ) 2 ] = α 0 /(1 α 1 ) a pre α 1 = 1 proces nemá konečný rozptyl. Rad druhých mocnín εt 2 sa riadi tzv. AR(1) procesom, čo je jednoduchý autoregresný model rádu 1 (bližšie vid Heij et al. (2004), str. 538), a síce: ε 2 t = α 0 + α 1 ε 2 t 1 + v t, kde v t = ε 2 t σ 2 t je biely šum. To znamená, že ak je α 1 kladná, dochádza k zhlukovaniu volatility (vel ké zmeny vo volatilite vedú k d alším vel kým zmenám a malé zmeny k malým). Ďalej, ε t má špicatost väčšiu ako 3 a nemá normálne rozdelenie. Teda ARCH(1) má vlastnosti finančných časových radov: je to proces bieleho šumu so zhlukovaním volatility a t ažkými chvostami (tzn. volatilita na chvostoch je vyššia ako mimo nich). V praxi však vykazuje ε 2 t znaky korelácie, ktoré sa nedajú dobre modelovat pomocou AR(1). To viedlo k tzv. všeobecnému ARCH modelu - GARCH (z angl. generalized ARCH). GARCH(1,1) je definovaný nasledovne: σ 2 t = α 0 + α 1 ε 2 t 1 + α 2 σ 2 t 1,

27 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 14 kde všetky parametre sú nezáporné. Substitúciou σ 2 t = ε 2 t v t do tejto rovnice, kde v t je definované rovnakým rozdielom ako v predchádzajúcom prípade, dostávame: ε 2 t = α 0 + (α 1 + α 2 )ε 2 t 1 + v t α 2 v t 1. Proces ε 2 t je stacionárny ak α 1 + α 2 < 1, nepodmienený rozptyl je nekonštantný v čase ak α 0 > 0. Všeobecný GARCH(p,q) označuje p oneskorení σ 2 t (z angl. lag) a q oneskorení ε 2 t v rovnici pre podmienený rozptyl σ 2 t a ε 2 t nasleduje ARMA (m, p) proces, kde m = max(p,q). Spomínané modely sú rýdzo (G)ARCH procesmi, ked že predikujeme rozptyl y t, ale úroveň nie. Tento fakt vieme zmenit formuláciou zmiešaného ARMA (G)ARCH modelu, napr. nech máme y t = α + βx t + ε t a ε t Y t 1 N(0,σt 2, kde σt 2 = α 0 + α 1 εt 1 2, potom dostávame: y t Y t 1 N(α + βx t,σ 2 t ) = N(α + βx t,α 0 + α 1 (y t 1 α βx t 1 ) 2 ). Prítomnost podmienenej heteroskedasticity v modeli vieme testovat napríklad odvodením ARMA-GARCH modelu a využitím testu pomeru vierohodností (LR) alebo F-testov združenej významnosti GARCH parametrov. Ďalším spôsobom môže byt test Lagrangeových multiplikátorov, kde najprv odvodíme ARMA model pod nulovou hypotézou, že sa v modeli podmienená heteroskedasticita nevyskytuje. Kroky pri podobnom testovaní sú teda nasledujúce: odvodíme ARMA model pomocou metódy najmenších štvorcov, následne odvodíme (G)ARCH model regresiou reziduí e 2 t z predošlého ARMA modelu na konštante a e 2 t 1,...,e2 t p. Nakoniec LM-test dostaneme ako LM=nR 2 a nulovú hypotézu zamietame pri vysokých hodnotách tohto testu. Takýmto spôsobom testujeme tiež prítomnost nelinearít alebo zhlukov volatility v modeloch. Pre kontrolu, či je zhlukovanie volatility modelované korektne definujeme štandardizované reziduá e t / ˆσ t 2, kde ˆσ t 2 je odhadnutá

28 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 15 podmienená variancia. Ak je model špecifikovaný správne, štandardizované reziduá budú nekorelované a normálne rozdelené s konštantnou podmienenou varianciou. Tento fakt vieme testovat tzv. Jarque-Bera (Jarque a Bera, 1980) testom normality a ARCH testom na absenciu heteroskedasticity v štandardizovaných reziduách EGARCH a GJR-GARCH modely Po uvedení zovšeobecnených ARCH modelov začalo vznikat množstvo jeho rozšírení, ked že GARCH modely so sebou prinášajú niekol ko nevýhod. Jednou z nich je predpoklad nezápornosti koeficientov v modeli, ktorý sa dá úplne obíst iba vytvorením počiatočných podmienok nezápornosti. Ďalšou z nevýhod GARCH modelov je, že vyžadujú symetrickú reakciu volatility na pozitívne a negatívne šoky. V praxi však môžeme pozorovat napr. jav, kedy negatívny šok na finančnom trhu spôsobí vyšší rast volatility ako pri pozitívnom šoku o rovnakej vel kosti. V takýchto prípadoch (napr. pri výnosoch z akcií) sa vznik asymetrií pripisuje tzv. pákovým efektom. V nasledujúcej časti si ukážeme dve základné, z rozšírení berúcich asymetrie do úvahy, a síce exponenciálny tvar a tzv. GJR tvar. Pre d alšie rozšírenia vid napr. Bollerslev (1992). Jedným zo spôsobov ako vyjadrit podmienený rozptyl je jeho exponenciálny tvar (napr. Nelson, 1991): ln(σt 2 ) = ω + β ln(σt 1) 2 + γ u t 1 + α σt 1 2 [ u t 1 σt 1 2 ] 2 π Jednou z výhod použitia exponenciálneho tvaru GARCH modelu je fakt, že ak by aj boli parametre modelu záporné, vd aka logaritmickému tvaru modelu ostáva podmienený rozptyl kladný, a preto nemusíme umelo vytvárat predpoklady nezápornosti parametrov pred modelovaním. EGARCH (exponential GARCH) tiež umožňuje výskyt asymetrií, ktoré sa

29 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 16 odrazia v znamienku γ. S d alším jednoduchým rozšírením GARCH modelu, ktorý sa po jeho troch autoroch nazýva aj GJR-GARCH model, prišli v práci Glosten, Jagannathan a Runkle (1993). Do klasického GARCH modelu pridali člen s indikátorovou premennou a podmienený rozptyl je tak daný rovnicou: σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1 + βσ 2 t 1 + γu 2 t 1I t 1, kde I t 1 = 1 ak u t 1 < 0. Inak je nulové. Člen γ v rovnosti odráža možné asymetrie Nelineárne modely časových radov V predošlých sekciách sme načrtli metódy, ktorými vieme modelovat zmenu v parametroch a tiež testovat prítomnost takýchto zmien v modeloch. Niektoré z nich, napríklad CUSUM testy a Chowove testy môžeme uplatnit aj na stacionárne autoregresné modely, tzv. ARMA modely. To platí takisto aj pre AR modely. TAR a STAR modely Aby sme špecifikovali zmeny v parametroch ARMA modelu, predpokladajme stacionárny AR(2) model, ktorého parametre sa v nejakom známom čase t = τ zmenili: y t = α 1 + φ 11 y t 1 + φ 21 y t 2 + D + t (τ)(α 2 + φ 12 y t 1 + φ 22 y t 2 ) + ε t, kde D t + značí umelú premennú s hodnotou 0 v čase τ > t a inak s hodnotou rovnou 1. Pre priblíženie situácie, môžeme brat ako hlavný faktor variácie premenných v modeli napríklad zmenu ekonomického režimu. V našom prípade by sme potom hovorili o náhlej zmene režimu v čase t = τ. Zmena režimu môže byt tiež výsledkom predošlých hodnôt

30 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 17 procesu y t, napríklad ak popíšeme recesiu zápornými hodnotami y t 1, budeme režim definovat konkrétnym znamienkom y t 1. Výmenou predošlej umelej premennej za umelú premennú D t (y t 1 ), ktorá je nulová pre y t 1 kladné a rovná 1 inak, dostaneme jeden z možných modelov popisujúcich zmenu režimu, a síce: y t = α 1 + φ 11 y t 1 + φ 21 y t 2 + D t (y t 1 )(α 2 + φ 12 y t 1 + φ 22 y t 2 ) + ε t. (1.3.3) Tento model nazývame TAR model (z angl. threshold autoregressive), konkrétne vyššie uvedený je TAR(2) model s prepínajúcou premennou y t 1 a prahovou hodnotou 0, teda druhý režim sa zapína pri kladnom y t 1. Zmeny v TAR modeloch sú náhle a nečakané, no tieto prechody vieme modelovat aj ak sú plynulejšie, a to pomocou tzv. STAR modelu (z angl. smooth transition autoregressive). Analogicky ako v predchádzajúcom prípade, STAR(2) model vyzerá nasledovne: y t = α 1 + φ 11 y t 1 + φ 21 y t 2 + F(y t 1 )(α 2 + φ 12 y t 1 + φ 22 y t 2 ) + ε t, (1.3.4) kde F je funkcia hladkého prechodu medzi režimami. Ako príklad si uvedieme logistický LSTAR(2) model s funkciou: F(y t 1 ) = e γ 1(y t 1 γ 2 ). (1.3.5) Parameter γ 1 označuje rýchlost zmien parametrov, ktoré sa dejú kvôli zmenám v y t 1 v okolí γ 2. Pre nekonečne vel ké hodnoty γ 1 model konverguje k TAR modelu a funkcia F sa stáva vel mi strmou. Naopak, pre relatívne malé hodnoty γ 1 sú prechody plynulejšie, špeciálne potom pre γ 1 -nulové sa parametre nezmenia vôbec. Porovnaním logaritmickej vierohodnosti nelineárneho modelu definovaného vyššie s vierohodnost ou lineárneho AR(2) modelu dostaneme test vierohodností. V nelineárnych prípadoch tiež môžeme aplikovat RESET testy (Ramsey, 1969).

31 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 18 Viacrežimové modely Rozsiahlejší prehl ad o vývoji a variantách nelineárnych prahových modelov prináša napr. van Dijk et al. (2002). Z klasického STAR modelu vieme vytvorit model, ktorý by popisoval m rôznych režimov použitím logistickej prechodnej funkcie: y t = φ 1x t + (φ 2 φ 1 ) x t G 1 (s t ) (φ m φ m 1 ) x t G m 1 (s t ) + ε t, kde G j (s t ) G j (s t ;γ j,c j ), j = 1,...,m 1 sú logistické funkcie. S s t ako prechodnou premennou, vektorom x t = [1 y t 1... y t p ], vyhladzovacími parametrami γ 1,...,γ m 1 a množinou parametrov c 1,...,c m 1 upresňujúcich umiestnenie prahov medzi režimami. Ďalším rozšírením STAR modelu na prípad kedy sú režimy určené kombináciou rôznych premenných je viacrežimový STAR model - MRSTAR (bližšie vid van Dijk a Franses (1999)), ktorý vznikne zapúzdrením dvoch rôznych dvojrežimových LSTAR modelov nasledovne: y t = [φ 1x t (1 G 1 (s 1t ;γ 1,c 1 )) + φ 2x t G 1 (s 1t ;γ 1,c 1 )][1 G 2 (s 2t ;γ 2,c 2 )] + [φ 3x t (1 G 1 (s 1t ;γ 1,c 1 )) + φ 4x t G 1 (s 1t ;γ 1,c 1 )]G 2 (s 2t ;γ 2,c 2 ) + ε t. (1.3.6) Vyššie uvedený model umožňuje štyri rôzne modely, ale viacnásobným zapúzdrením to bude teoreticky až 2 m režimov. Testovanie hypotézy o linearite proti nelinearite STAR modelu je testovanie zhodnosti autoregresných parametrov dvoch režimov v STAR modeli: H 0 : φ 1 = φ 2. Napríklad pri testovaní proti alternatívnej hypotéze LSTAR modelu navrhujú Luukkonen et al. (1988) aproximáciu používanej logistickej funkcie Taylorovým rozvojom prvého stupňa, pričom

32 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 19 sa nám potom LSTAR model zmení na pomocnú regresiu: y t = β 0x t + β 1x t s t + e t, kde parametre β 0 a β 1 sú parametre STAR modelu, pričom sa testovanie uvedenej nulovej hypotézy zmení na testovanie H 0 : β 1 = 0. Takúto hypotézu vieme testovat priamo testom Lagrangeových multiplikátorov (LM), respektíve testom pridaním premenných (variable addition test). Daná testová štatistika má asymptotické χ 2 rozdelenie s p + 1 stupňami vol nosti. Viac o variable addition testoch napr. v (van Dijk et al., 2002), (Heij et al., 2004), (Luukkonen et al., 1988). Ďalšími testami, ktoré by sme mohli vykonat pred tým ako STAR model akceptujeme ako vhodný, sú napríklad testy na autokoreláciu reziduí, konštantnosti parametrov alebo nelinearity. LM testom pre sériovú závislost g-teho rádu v ε t dostaneme ako nr 2, kde R 2 je koeficient determinácie z regresie reziduí. Výsledná testovacia štatistika má asymptotické χ 2 rozdelenie s q stupňami vol nosti. Testom hypotézy γ 2 = 0 môžeme testovat konštantnost parametrov v dvojrežimovom STAR modeli proti alternatíve hladko sa meniacich parametrov. LM testovacia štatistika využíva aproximáciu Taylorovho rozvoja tretieho rádu (rovnako ako pri testoch nelinearity dvojrežimových LSTAR modelov proti STAR) a má 6(p + 1) stupňov vol nosti (bližšie van Dijk et al., 2002, str. 15). 1.4 Ďalšie typy modelov a testov MOSUM test Uvažujme teraz klasický lineárny regresný model s n regresnými koeficientami, pričom prvých k < n pozorovaní označíme ako historický interval a zvyšok n k ako monitorovací interval, v ktorom sa snažíme odhadnút výskyt štrukturálnych zmien. Modely zaoberajúce sa takýmto testovaním v rámci monitorovacieho obdobia sa snažia odvodit proces, ktorý by

33 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 20 zachytil kolísanie bud v odhadoch alebo reziduách regresného modelu a zamietol nulovú hypotézu o stabilite parametrov. Takýto proces sa potom porovná s asymptotickými hranicami, o ktorých vieme, že ich daný proces s predom danou pravdepodobnost ou prekoná. Zeileis et al. (2002) prináša stručný prehl ad o týchto tzv. fluktuačných monitorovacích testoch a delí ich na procesy založené na odhadoch a procesy založené na reziduách, pričom sa v najväčšej miere venuje procesom, ktorých základom sú reziduá v metóde najmenších štvorcov (OLS). Chu et al. (1995) rozšírili test rekurzívnych odhadov (RE test) na monitorovací prípad Y n (t) = i ( ˆσ n Q1/2 n ˆβ (i) ˆβ (n)), kde Q (n) = X T (n) X (n)/n a i = k +t(n k) pre t 0. ˆβ (i, j) označuje odhad regresných koeficientov metódou najmenších štvorcov založený na pozorovaniach i + 1,...,i + j. Ďalej tiež v tomto prípade autori navrhujú zamietnut nulovú hypotézu ak proces Y n (t) prekročí hranice ±b 1 (t),kde b 1 (t) = t(t 1) [ ( )] t λ 2 + log, t 1 v monitorovanom období 1 < t < T. λ určuje hladinu významnosti. Ďalším z testov obdobného typu je tzv. ME test (z angl. moving estimates) Z n (t h) = nh ( ˆσ n Q1/2 (n) ˆβ ( nt nh, nh ) ˆβ (n)), (t h). V tomto prípade je hranica zamietnutia nulovej hypotézy daná ±c(t), kde c(t) = λ log + t, v monitorovacej perióde 1 < t < T, kde log + t je 1 pre t e a logt inak.

34 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 21 Základnou myšlienkou postupu testovania štrukturálnych zmien, ktorú Zeileis et al. (2002) priniesol, je vypočítat koeficienty regresného modelu pomocou dát z historického intervalu a následne vd aka týmto odhadom sú vypočítané reziduá v pozorovaniach v monitorovacom intervale. Štrukturálnu zmenu indikuje systematické odchyl ovanie reziduí od ich nulovej strednej hodnoty. Monitorovacie procesy založené na OLS reziduách û (n) i, kde û (n) i = y i x T i ˆβ (n), vyzerajú nasledovne: 1. Monitorovací CUSUM proces: 2. Monitorovací MOSUM proces: B 0 n(t) = 1 nt ˆσ n i=1 û (n) i (t 0) ( ) Mn(t h) 0 = 1 nt ˆσ n û i i= ηt nh +1 (t h), kde η = (n nh )/(1 h). Hypotézu o stabilite môžeme znova zamietnut ak proces prekročí hranicu ±b 1 (t) uvedenú vyššie. Limitným procesom pre CUSUM a MOSUM je jednorozmerný prípad k- rozmerného RE a ME procesu, v tomto poradí. Jednou z výhod reziduálnych monitorovacích procesov je ich kratšia výpočtová doba, čo by mohlo byt relevantné pri monitoringu (napr. finančných dát) v reálnom čase. Podobným typom testovania ako MOSUM testy môžu byt wavelet (vlnkové) testy (Yazgan et al., 2012). Oba testy pracujú s lokálnym intervalom, no wavelet test neprirad uje rovnakú váhu každému pozorovaniu v rámci intervalu, ale používa optimalizované váhy. Waveletová transformácia rozkladá varianciu procesu na jej komponenty s nízkou a

35 Kapitola 1. Klasický prístup - obecné a modelovo podmienené testy 22 vysokou frekvenciou. Ak je nezávisle rozdelený proces dekomponovaný jedno-škálovou wavelet transformáciou, rozptyl waveletu a škálovacie koeficienty dostávajú rovnaké váhy. Pri výskyte štrukturálnej zmeny v strednej hodnote procesu absorbujú škálovacie koeficienty viac variácie, čo vyústi do rôznych váh (pre priblíženie odkazujeme čitatel a na stále prebiehajúcu prácu Yazgan et al., 2012) Neparametrické prístupy Hybridný model zložený z metódy najmenších štvorcov a neparametrických metód prinášajú Chen et al. (2005). Vo svojej práci odhadujú body zmeny vo volatilite modelov časových radov. Hlavnou výhodou ich modelu je, že nevyžadujú marginálne ani prechodné hustoty procesov a ich hybridný prístup vykazuje lepšie výsledky ako klasický neparametrický, spomínaný v literatúre. Ďalšou prácou z oblasti neparametrického modelovania je Kristensen (2012), ktorý ponúka semi-parametrický prístup odvodenia a testovania štrukturálnych zmien v regresných modeloch. Kristensen v rámci nulovej hypotézy konštantných koeficientov odvodzuje odhady komponent meniacich sa v čase i konštantných. Následne v kontexte týchto modelov vytvára F testy a Waldove testy.

36 Kapitola 2 Bayesovský prístup 2.1 Základné princípy bayesovského prístupu V súčasnosti sa ekonometria rozdel uje na dva hlavné tábory - klasický (často sa označuje aj ako frekventistický), ktorému sme venovali prvú čast tejto práce a bayesovský tábor. Táto čast práce sa bude venovat druhému spomínanému, teda bayesovskému prístupu k ekonometrickému modelovaniu a analýzam. Bayesovská ekonometria stavia na princípoch pravdepodobnosti a základným stavebným kameňom celej bayesovskej analýzy je tzv. Bayesov zákon: P(B A) = P(A B)P(B), (2.1.1) P(A) kde A, B sú náhodné veličiny, P(A) značí marginálnu pravdepodobnost javu A, P(A B) značí pravdepodobnost, že nastane jav A za podmienky, že jav B už nastal. Je vhodné pripomenút, že pre jednoduchost nerozoznávame medzi spojitými a diskrétnymi náhodnými veličinami, no bayesovo pravidlo platí pre oba typy. Základným rozdielom v bayesovskom prístupe oproti klasickému je jeho chápanie parametrov (napr. regresného modelu) ako náhodných veličín. Bayesovským prístupom sa 23

37 Kapitola 2. Bayesovský prístup 24 teda snažíme zistit informácie o neznámych parametroch modelu za predpokladu platnosti už známych udalostí, to všetko v rámci princípov podmienenej pravdepodobnosti. Označme si y - dostupné dáta (ich vektor, resp. maticu), za pomoci ktorých sa snažíme dozvediet niečo o parametroch modelu, označme ich ako θ. Bayesov zákon potom preznačíme na: P(θ y) = P(y θ)p(θ) P(y) Po vynechaní členu, ktorý nie je závislý na θ, a teda P(y), dostávame vzt ah prinášajúci informácie o parametroch θ: P(θ y) P(y θ)p(θ). (2.1.2) Tento vzt ah hovorí, že posteriorná hustota pravdepodobnosti P(θ y) je proporcionálna k vierohodnostnej funkcii P(y θ) a apriornej hustote P(θ). Posteriorná hustota prináša informácie o parametroch θ berúc do úvahy dáta y. Vierohodnostnú funkciu P(y θ) chápeme ako dáta generujúci proces a apriorná hustota, ktorá je mimochodom pre mnohých frekventistov hlavnou príčinou kontroverznosti celého bayesovského prístupu, v sebe zahŕňa tie informácie o parametroch θ, ktoré máme k dispozícii ešte predtým, než sa pozrieme na dáta. V aplikačnej sfére bayesovského prístupu by nás mohlo zaujimát budovanie modelov a ich porovnávanie využitím vyššie uvedeného Bayesovho zákona. Nech M i označuje i-ty model (kde i = 1,...,m) závislý na parametroch θ i. Funkciou tohto modelu je vysvetlit chovanie y. Po dosadení nových premenných do Bayesovho zákona (2.1.1) dostaneme: P(M i y) = P(y M i )P(M i )/P(y). (2.1.3) P(M i ) zobrazuje apriornú pravdepodobnost, ktorá je prisudzovaná modelu bez akýchkol vek znalostí o dátach, obvykle je táto pravdepodobnost rovnaká pre všetky modely.

38 Kapitola 2. Bayesovský prístup 25 Apriornú pravdepodobnost y je najlepšie získat nepriamo, pomocou posteriorného podielu šancí - PO i j - čo je vlastne podiel dvoch posteriorných pravdepodobností modelov i a j. Máme: PO i j = P(M i y) P(M j y) = P(y M i)p(m i ) P(y M j )P(M j ). (2.1.4) Ďalším užitočným nástrojom pri aplikáciách môže byt tzv. Bayesov faktor, ktorý vd aka rovnakým apriorným váham zmení posteriorný podiel šancí na podiel medzných vierohodností modelov: BF i j = P(y M i) P(y M j ). (2.1.5) Jednou z otázok, ktorá by mohla zaujímat ekonometrov je problematika predikcie, konkrétne ako môžeme predikovat chovanie neznámych hodnôt y pomocou už známych y. V tomto kontexte bude potom vhodné oboznámit sa s pojmom predikčná hustota, ktorú definujeme pomocou posteriornej hustoty: P(y y) = P(y y,θ)p(θ y)dθ. (2.1.6) Všetky spomenuté vzt ahy z tejto časti poskytujú základný stavebný kameň bayesovského modelovania. Jednou z nevýhod bayesovského modelovania môže byt jeho výpočtová náročnost. V rámci bayesovského prístupu prichádzame vel mi často do styku s integrálmi, ktoré sa nedajú riešit analyticky, čo mohlo predstavovat hlavne v časoch nástupu bayesovských metód značný problém. Nástup, rozširovanie a zdokonal ovanie informačných tehnológii však dnes poskytuje dostatočné množstvo nástrojov na počítačové modelovanie. Povedzme napríklad, že potrebujeme vypočítat strednú hodnotu posteriornej hustoty (predpokladajme, že existuje): E[g(θ) y] = g(θ)p(θ y)dθ,

39 Kapitola 2. Bayesovský prístup 26 kde g(θ) je funkcia, ktorá nás zaujíma. V modernej bayesovskej ekonometrii je prevažujúcim prístupom posteriorná simulácia. Existuje množstvo (i neustále vznikajúcich nových) spôsobov simulácií a tieto sú rozšírením zákona vel kých čísel a centrálnej limitnej vety. Jednou zo základných je tzv. Monte Carlo integrácia: ĝ S = 1 S S g(θ (s) ), s=1 kde θ (s), pre s = 1,...,S je náhodný výber z P(θ y). Potom nám zákon vel kých čísel zaručí, že: S 1 lim S S g(θ (s) ) = E[g(θ) y]. s=1 Posteriornou simuláciou budeme rozumiet počítačové generovanie pseudo-náhodných výberov z posteriornej hustoty, kde θ (s) je príslušný výber (niekedy t ah ). Následným priemerovaním funkcie g(θ), môžeme aproximovat E[g(θ) y] s numerickou štandardnou chybou aproximácie (pre prípad Monte Carlo integrácie): S{ĝS E[g(θ) y]} N(0,σ 2 g ), pre S a σg 2 = D[g(θ) y]. V priebehu tejto práce sa neraz stretneme s tzv. MCMC metódou (Gilks et. al, 1996), čo je skratka pre anglické Markov Chain Monte Carlo, a je to vlastne Monte Carlo integrácia použitím Markovových ret azcov. V bayesovskom poňatí sa využíva hlavne pri integrovaní cez posteriornú distribúciu parametrov modelu. Logické usporiadanie a začlenenie súčasného množstva bayesovských prístupov môže byt rôznorodé. V tejto práci budú nasledujúce sekcie rozdelené podl a typov modelov, ktoré sa v literatúre objavujú. Jedným z nich môžu byt modely s parametrami meniacimi sa v čase (z angl. time-varying parameter model), ktoré ako vysvetl ujú Western a Kleykamp (2004), umožňujú zmenu parametrov cez autoregresný proces, v ktorom sa parametre aktualizujú

40 Kapitola 2. Bayesovský prístup 27 v každom bode časového radu. Tento typ modelov je flexibilnejší čo sa týka počtu režimov časového radu ako napr. d alší typ, tzv. model bodu zmeny (z angl. change point model). Western a Kleykamp (2004) d alej uvádzajú model, ktorého predpokladom je apriorne daný počet režimov, tzv. Markovov prepínajúci model (z angl. Markov-switching model). V takýchto modeloch býva definovaná premenná citlivosti riadená markovovými procesmi a matica prechodu medzi režimami. Ďalším typom modelov môžu byt tzv. stavové modely (z ang. state space model), označujúce sa niekedy aj ako skryté markovove modely (z angl. hidden markov model). Tieto modely opisujú pravdepodobnostnú závislost premennej v skrytom stave (latentnú premennú) a pozorovanými hodnotami. 2.2 Time-varying parameter model Bayesovský GARCH V tejto časti sa presunieme do oblasti finančných dát, ktoré tiež vel mi často zaznamenávajú štrukturálne zmeny. Nebrat do úvahy tieto zmeny môže viest k nežiadúcim vplyvom na daný finančný trh. Množstvo finančných javov, napríklad výnosy z akcií, sa v praxi modelujú GARCH procesmi. Liao (2008) vnáša bayesovský prístup do klasického GARCH modelovania. Jeho práca prináša efektívny bayesovský algoritmus, ktorý odhaduje štrukturálne zlomy v (G)ARCH modeloch a tento algoritmus sa zameriava hlavne na zahrnutie neistoty v parametroch modelu do výpočtov Value at Risk, no jeho postupy sú všeobecne aplikovatel né v širšom ekonometrickom spektre. Pozrime sa teraz ako Liao (Liao, 2008) pristupuje ku GARCH(1,1) modelu s jedným štrukturálnym zlomom: prvotným predpokladom pre ilustráciu je, že chyby nasledujú

41 Kapitola 2. Bayesovský prístup 28 štandardizované normálne rozdelenie. Ďalej nech: y t = ω 1 + α 1 yt 1 2 h t ε t, h t = + β 1h t 1, t k, (2.2.1) ω 2 + α 2 yt β 2h t 1, t > k kde t = 1,...,T a h t je podmienený rozptyl podliehajúci štrukturálnej nestabilite. Aby sme sa uistili, že je podmienený rozptyl kladný, musíme obmedzit ω i,β i na nezáporné a takisto α i na kladné (i = 1,2). Tiež je nutné, aby bolo y t kovariančne stacionárne, preto: 0 < α i + β i < 1, pre i = 1,2. Nech θ označuje vektor parametrov modelu a nech máme T pozorovaní y t, potom posteriorná hustota θ je: P(θ y) P(y θ)p(θ), kde po zvolení prioru, musíme brat do úvahy reštrikcie v parametroch a vierohodnostná funkcia sa rozpadne na dve časti: na režim pred štrukturálnym zlomom k a po ňom. Teda: P(y θ) = k t=1 (h 1 2 t ( ) )exp y2 t T 2h t t=k+1 (h 1 2 t ( ) )exp y2 t. 2h t Predpokladajme, že parametre modelu majú uniformné rozdelenie, ktoré dáva rovnakú pravdepodobnost všetkým možným hodnotám týchto parametrov. Tento typ prioru sa nazýva neinformatívny, a máme: f(ω i ) U(0, ), f(α i ), f(β i ) U(0,1), f(k 0 ) U(1,T ), pre i = 1, 2. Nasledujúcim krokom bude využitie varianty Monte Carlo integrácie nazývanej Gibbsov vzorkovač (bližšie vid napr. Congdon (2003), str. 5). Monte Carlo integrácia poskytuje odhad na základe náhodných výberov z posteriornej pravdepodobnosti, niekedy však nie je možné urobit náhodný výber priamo, ale len z podmienených posteriorných

42 Kapitola 2. Bayesovský prístup 29 hustôt, v takomto prípade využívame spomínaný Gibbsov vzorkovač. Postupným výberom každého parametra závislého na ostatných z podmienenej hustoty dostaneme Markovov ret azec θ (m), m = 1,...,M, ktorý má rovnovážne rozdelenú posteriornú hustotu. Jadrom podmienenej posteriornej hustoty P(ω 1 y,θ ω1 ), kde θ ω1 označuje všetky parametre okrem ω 1, je: kde k t=1 (h 1t (ω 1,y,θ ω1 ) 1 2 )exp(v ) T t=k+1 ( y 2 ) t V =. 2h t (ω 1,y,θ ω1 ) (h 2t (ω 1,y,θ ω1 )) 1 2 exp(v ), (2.2.2) Analogicky dostaneme jadrá podmienených posteriorných hustôt pre ω i, α i, β i pre i = 1,2. Bod zlomu k je diskrétna premenná nadobúdajúca hodnoty od 2 do T-1 a s ohl adom na uniformné rozdelenie na tomto intervale máme P(k = t) = T 2 1. Podmienená posteriorná hustota pre bod zlomu k je daná: 1 ( P(k = t y,ω τ ) = t τ=1 (h 2 τ )exp T s=2 s 1 τ=1 (h 2 τ )exp ( 2h τ ) T τ=t+1 (h τ) 1 2 exp ( y2 τ 2h τ ) T τ=s+1 (h τ) 1 2 exp y2 τ ) y2 τ 2h τ ( ) y2 τ 2h τ Tvorit výbery z takýchto komplexných foriem hustôt môže byt zložité, preto bude potreba využit variantu Gibbsovho vzorkovača, ktorú priniesli Ritter a Tanner (1992), nazývanú Griddy-Gibbsov vzorkovač. Podmienené posteriorné jadro je v tomto prípade vyhodnocované na predom špecifikovanej mriežke bodov (mriežka angl. grid), pričom sa potom použijú numerické metódy na aproximáciu kumulatívnej distribučnej funkcie, ktorá je už priamo použitel ná pri náhodných výberoch. Pre M štrukturálnych zlomov vyzerá potom vierohodnostná funkcia nasledovne: P(y θ) = [ M km m=1 (h 1 2 t t=k m 1 ( ) ] )exp y2 t. 2h t

43 Kapitola 2. Bayesovský prístup 30 Vyššie uvedený vzt ah je pre vierohodnostnú funkciu s dopredu známym počtom štrukturálnych zmien, konkrétne M. Tu potom vyvstáva otázka ako vlastne zistit počet štrukturálnych zlomov. Zaužívanou technikou je pracovat s nejakým pevným číslom a potom porovnat tento model s modelmi s rôznym počtom štrukturálnych zlomov využitím selekčných metód (napr. použitím Bayesovho faktora spomínaného v úvode tejto sekcie). Liao navrhuje spôsob, o ktorom pojednáva Bai a Perron (1998), a síce namiesto súčasného odhadovania všetkých štrukturálnych zlomov, odhadovat ich postupne po jednom. Zjednodušene ide o akési delenie intervalov. Na začiatku predpokladáme jeden zlom, ktorý odhadneme. V tomto zlome rozdelíme časový horizont na pred-zlomový režim a po-zlomový. Ďalej pre rozdelené intervaly predpokladáme jeden zlom a opakujeme celý proces, až kým už d alší zlom nenájdeme Zmeny v autoregresných časových radoch McCulloch a Tsay (1993) uvažujú zmeny v rozptyle aj zmeny úrovňové v nestacionárnych autoregresných modeloch y t = µ t + p t=1 φ t x t i + a t, kde µ t = µ t 1 +δ t β t, δ t sú také, že P(δ t = 1) = ε, {β t } je postupnost náhodných pozorovaní zo známeho rozdelenia, φ i uspokojuje podmienky stacionarity x t a a t I.I.D. N(0,σ 2 a ). Nech y = [y 1... y n ], δ = [δ p+1... δ n ], β = [β p+1... β n ] a φ = [φ 1... φ p ], apriorné rozdelenia budú φ N(φ 0,A 1 ), vλ σ 2 a χ 2 v, ε Beta(γ 1,γ 2 ), β t I.I.D. N(0,ξ 2 ). Následne Gibbsovým vzorkovačom určíme podmienené posteriorné rozdelenia pre neznáme parametre: P(φ y,δ,β,ε,σ 2 a ) N(φ,A 1 ),

44 Kapitola 2. Bayesovský prístup 31 kde ( φ xt 1 x t 1 = σ 2 a ) 1 ( xt 1 x t 1 + A ˆφ σa 2 + Aφ 0 ), A = x t 1x t 1 σ 2 a + A. Ďalej P(σ 2 a y,δ,β,φ,ε) má invertované chí-kvadrát rozdelenie, posteriorná pravdepodobnost pre funkciu δ j je = ( ε exp ( ε exp [ n t= j (z t c t j β j ) 2 ] /2σ 2 a P(δ j = 1 y,δ ( j),β,φ,σa 2,ε) = [ t= n j (z t c t j β j ) 2] ) /2σa 2 ) ([ ]), + (1 ε)exp t= n j z2 t /2σa 2 (2.2.3) kde z t = (y t µ t ) p i=1 φ i(y t i µ t i ) pre µ t = µ t, t < j a µ t = µ t δ j β j, t j, konštanta c i je rovná 1 pre i = 0, je rovná c p ak je i > p a inak je rovná 1 t j=1 φ t. Podmienené posteriorné rozdelenie β j závisí na δ j : ak je δ j = 0, potom nemáme o β j žiadnu informáciu okrem apriorného rozdelenia, teda β j N(0,ξ 2 ). Ak je δ j = 1 potom y t obsahuje informácie o β j pre všetky t j a β j N(ξ 2 G/(σa 2 +ξ 2 D), σa 2 ξ 2 /(σa 2 +Dξ 2 )), kde a G = D = j+p 1 c t j z t + (n j p + 1)c p z, t= j j+p 1 ct 2 j + (n j p + 1)c 2 p. t= j Konečne, podmienené posteriorné rozdelenie pre ε je beta(γ 1 + k,γ 2 + n p k), pre k ako počet 1 v δ. S danými posteriornými rozdeleniami môžeme implementovat Gibbsov vzorkovač takto: použijeme tieto podmienené posteriorné rozdelenia na výber postupne nezávislých realizácii parametrov, tieto realizácie budeme brat ako nové hodnoty parametrov a zopakujeme proces dostatočne vel a krát. S vhodne vybranými priormi potom pozorujeme posteriorné rozdelenia.

45 Kapitola 2. Bayesovský prístup Dirichletov proces ako prior Prác na tému modelovania odhadov bodov zlomu, ktorých počet je dopredu známy je značný počet, medzi inými napr. Chernoff a Zacks (1964), Yao (1984), Barry a Hartigan (1993) a významným bol aj nový prístup, s ktorým prišiel Chib (1998), a ktorý tvrdí, že pravdepodobnost bodu zlomu závisí od konkrétneho režimu, nie je teda konštantná ako tvrdili jeho vyššie spomenutí predchodcovia. Prácu týchto autorov d alej rozšírili, na prípad kedy dopredu nepoznáme počet bodov zlomu, Kozumi a Hasegawa (2000), ktorých prístup je založený na hierarchickom modeli s Dirichletovým procesom ako priorom. Dirichletov proces je zjednodušene pravdepodobnostné rozdelenie na priestore všetkých rozdelení (bližšie vid Ferguson, 1973). Napriek výpočetnej náročnosti, ktorá bola viac-menej odstránená rozvojom metód Monte Carlo pre markovské ret azce, poskytuje diskrétna forma Dirichletovho procesu užitočný nástroj v bayesovskom modelovaní. Nech máme základné pravdepodobnostné rozdelenie G 0 a spresňujúci parameter α, potom rozdelenie pravdepodobnosti G je Dirichletov proces, ak pre nejaký konečný rozklad B 1,...,B m priestoru parametrov, má náhodný vektor g = (G(B 1 ),...,G(B m )) Dirichletovo rozdelenie s vektorom parametrov [αg 0 (B 1 )... αg 0 (B m )], ktorého hustota je: π(g) = Γ(α) m i=1 Γ[αG 0(B i )] m i=1 G(B i ) αg 0(B i ) 1 G DP(αG 0 ). Model predložený v (Kozumi a Hasegawa, 2000), vyzerá nasledovne: y t = x tβ t + u t u t N(0,σ 2 t ), y t N(x tβ t,σ 2 t ), θ t G, G DP(αG 0 ), dg 0 = N(µ,Σ)IG(n 0 /2,τ/2), µ N(µ 0,V 0 ), Σ 1 W(v 0,Σ 0 ),

46 Kapitola 2. Bayesovský prístup 33 τ Ga(m 0 /2,τ 0 /2), α Ga(a 0,b 0 ), kde y t sú závislé premenné, x t vektor nezávislých premenných v čase t, u t sú náhodné poruchy, θ t = (β t,σ 2 t ) sú vektory parametrov modelu, ktoré podliehajú zmenám. Premenná τ je bod zlomu, IG() značí invertované gamma rozdelenie, W(v, S) značí Wishartovo rozdelenie s v stupňami vol nosti a škálovacou maticou S. Úplné podmienené rozdelenia pre µ, τ a Σ 1 po využití Gibbsovho vzorkovača, sú: µ N(µ,V ), Σ 1 W [ v 0 + k,σ 0 + k i=1 (β i µ)(βi µ) ], ( ) τ Ga (m 0 + n 0 k)/2,(τ 0 + k i=1 1 )/2, kde V 1 σi 2 = kσ 1 +V 1 0 a µ = V ( Σ 1 k i=1 β i +V 1 0 µ 0 ). Autori modelujú posteriorné stredné odhady úrovňovej konštanty β 0t a konštanty sklonu β 1t. Ďalej tiež sledujú posteriornú pravdepodobnostnú funkciu rôznych počtov režimov k. Takýmto spôsobom Kozumi a Hasegawa ilustrovali detekciu štrukturálnych zlomov na simulovaných, ale i reálnych dátach, pričom uviedli aj porovnanie fungovania CUSUM a CUSUMSQ testov a došli k záveru, že ich ponúknutý Dirichletov proces dokáže l ahšie odhalit štrukturálne zlomy. 2.3 Change-point model Model s bodom zmeny prvýkrát uviedli Chernoff a Zacks (1964) a definovali ho ako model časového radu, ktorého režimy a stavy ovplyvňujú dáta generujúci proces. Takýmito modelmi sa medzi inými zaoberajú napr. Hamilton (1989), Western a Kleykamp (2004) alebo Chib (1998). Posledný menovaný z nich rozšíril dovtedajšie jedno- až dvoj-zlomové modely na všeobecný m-zlomový model v bayesovskom prístupe. Nasledujúca kapitola sa bude venovat spomínaným modelom.

47 Kapitola 2. Bayesovský prístup Product partition model Barry a Hartigan (1993) priniesli model založený na rozklade blokov dát na súčin, ktorý je umožnený vd aka predpokladu nezávislosti pozorovaní (s N(µ i,σ 2 )) medzi rôznymi blokmi. Ďalším predpokladom je, že pravdepodobnost výskytu zmeny na i-tej pozícii je p, nezávisle v každom i. Apriorné rozdelenie strednej hodnoty µ i j bloku začínajúceho na pozícii i + 1 a končiaceho na pozícii j, je N(µ 0,σ0 2 /( j i)). Autori navrhujú hustotu tohto rozdelenia - f i j (µ). Tento prior dáva vyššiu pravdepodobnost malým odchýlkam od µ 0 vo vel kých blokoch ako dáva v menších. Čiže môžeme očakávat identifikáciu aj menších zmien ak pretrvávajú dlhšie. Hustota pozorovaní X i j v bloku i j je: f i j = ( 1 σ 2 ) 1 2 (2πσ 2 ) ( j i)/2 σ0 2 + σ exp(vi 2 j), kde V i j = j l=i+1 (X l X i j ) 2 2σ 2 ( j i)(x i j µ 0 ) 2 2(σ0 2 + σ 2, ) pre X i j = j l=i+1 X l/( j i). Pre bližšiu teoretickú špecifikáciu modelu vid (Barry a Hartigan, 1993). Úplná implementácia modelu by bola výpočtovo náročná, preto prišli Erdman a Emerson (2007,2008) s menej náročnejšou MCMC aproximáciou tohto prístupu. Ich algoritmus využíva rozklad ρ = (U 1,...,U n ), kde U i = 1 indikuje zlom na pozícii i + 1. Na začiatku stanovujú autori U i = 0, i < n a U n 1. V každom kroku Markovho ret azca, na každej pozícii i je hodnota U i simulovaná z jej podmienenej distribúcie v rámci daného bloku. Nech b je počet blokov. Pravdepodobnost prechodu p pre podmienenú pravdepodobnost bodu zmeny na pozícii i + 1 môžeme získat z: p i 1 p i = [ γ 0 pb (1 p) n b 1 dp ][ λ0 w b/2 (W 1 +B 1 w) (n 1)/2 dw [ γ 0 pb 1 (1 p) n b dp ][ λ0 w (b 1)/2 (W 0 +B 0 w) (n 1)/2 dw ] ],

48 Kapitola 2. Bayesovský prístup 35 kde W 0, B 0, W 1, B 1 sú súčty štvorcov v rámci blokov (W) a medzi blokmi (B) počítané ked U i = 0 a U i = 1, v tomto poradí. Parametre γ a λ sú ladiace parametre s hodnotou v intervale nula až jedna, vybrané tak, aby bola metóda efektívna v situáciách s menším počtom zmien (malé γ) a v prípade, že sa zmeny vyskytnú, sú rozumnej vel kosti (malé λ) (Barry a Hartigan, 1993). Po každej iterácii sú vypočítané posteriorné stredné hodnoty a aktualizované v závislosti na rozklade v danom okamihu. Priama implementácia MCMC verzie je numericky nestabilná, kvôli konvergencii integrálov k nule, alebo divergencii. Zjednodušením týchto integrálov z predchádzajúceho vzt ahu prichádzame k vyjadreniu šance bodu na pozícii i byt bodom zmeny: p i = P(U ( ) i = 1 X,U j, j i) (n b 2)/2 ( ) (b+1)/2 1 p i P(U i = 0 X,U j, j i) = W0 B0 W1 W 1 B 1 B 1 a1 0 p(b+2)/2 (1 p) (n b 3)/2 γ dp 0 pb (1 p) n b 1 (2.3.1) dp a0 0 p(b+1)/2 (1 p) (n b 2)/2 dp γ 0 pb 1 (1 p) n b dp, kde a 0 = B 0λ/W 0 1+B 0 λ/w 0 a a 1 = B 1λ/W 1 1+B 1 λ/w Chibov model Jedným zo základných prístupov k modelovaniu viacnásobných zlomov v časových radoch bol nový prístup, s ktorým prišiel Chib (1998), a ktorý rozšíril vtedajšiu literatúru o model nedávajúci rovnakú pravdepodobnost výskytu štrukturálneho zlomu pre každý bod zlomu, ale táto pravdepodobnost závisela na konkrétnom režime. Nech máme časový rad Y n = {y 1,...,y n }, pričom hustota y t pri danom Y t 1 je závislá na parametri ξ t. Hodnota tohto parametru je konštantná všade okrem neznámych časových

49 Kapitola 2. Bayesovský prístup 36 bodov ϒ m = {τ 1,...,τ m } a τ 1 > 1, τ m < n, v ktorých sa jeho hodnota mení. Ďalej nech: θ 1 pre t τ 1, θ 2 pre τ 1 < t τ 2, ξ t =. (2.3.2) θ m pre τ m 1 < t τ m, θ m+1 pre τ m < t n. Ďalšími krokmi v podobnom modelovaní je odhad vektoru parametrov Θ = [θ 1... θ m+1 ], nájdenie bodov zlomu ϒ m a porovnanie modelov s rôznymi počtami týchto bodov zlomu. Chib (1998) tiež využíva diskrétnu náhodnú premennú s t, ktorá indikuje režim konkrétneho výberu y t. Táto stavová premenná je modelovaná ako diskrétny Markovov proces s maticou prechodu: p 11 p p 22 p , p mm p mm kde p i j = P(s t = j s t 1 = i) je pravdepodobnost prechodu z režimu i v čase t 1 do režimu j v čase t. Na odvodenie posteriornej hustoty využíva Chib metódu Monte Carlo markovských ret azcov (MCMC), kde sú najprv simulované stavy S n na základe dát Y n a ostatných parametrov, a následne sú parametre simulované v závislosti od dát a S n. Algoritmus na vzorkovanie stavov pochádza z predošlej práce Chib (1996), kde je ciel om výber s t {1,2,...,m + 1} z pravdepodobnostnej funkcie p(s n Y n,θ,p). Nech S t = (s 1,...,s t )

50 Kapitola 2. Bayesovský prístup 37 označuje minulé stavy do času t a S t+1 = (s t+1,...,s n ) označuje budúce stavy od času t +1 do n. Analogicky nech sú definované aj Y t a Y t+1. Kvôli odvodeniu pravdepodobnostných funkcií píšeme združenú hustotu od budúcich hodnôt k minulým: p(s n 1 Y n,s n,θ,p)... p(s t Y n,s t+1,θ,p)... cdot p(s 1 Y n,s 2,Θ,P). Chib (1996) ukázal, že p(s t Y n,s t+1,θ,p) p(s t Y t,θ,p)p(s t+1 s t,p), druhý člen v súčine je pravdepodobnost prechodu vyššie uvedeného markovského ret azca. Na odvodenie prvého činitel a sa vyžadujú rekurzívne výpočty. Nech máme p(s t 1 = l Y t 1,Θ,P) potom: kde p(s t = k Y t,θ,p) = p(s t = k Y t 1,Θ,P) = p(s t = k Y t 1,Θ,P) P(y t Y t 1,θ k ) k l=k 1 p(s t = l Y t 1,Θ,P) P(y t Y t 1,θ l ), k p lk p(s t 1 = l Y t 1,Θ,P). l=k 1 Posteriorná informácia o bodoch zlomu môže byt založená na P(s t Y n ) = p(s t = k Y t 1,Θ,P)P(Θ,P Y n )d(θ,p). Monte Carlo odhad tohto vzt ahu môžeme dostat priemerovaním p(s t = k Y t 1,Θ,P) počas iterácií procesu. Simulačnú fázu modelovania dopĺňa odvodenie nenulových prvkov p ii prechodnej

51 Kapitola 2. Bayesovský prístup 38 matice P tým, že necháme, aby: p ii = x 1 2 j=1 x, x 1 Gamma(a + n ii,1); x 2 Gamma(b + 1,1), j kde parametre a a b sú parametre Beta rozdelenia, ktorým sa riadi p ii, a ktoré môžu byt špecifikované tak, aby súhlasili s apriornými informáciami o strednej dĺžke každého režimu. Počet jednokrokových prechodov zo stavu i do i v S n zahŕňa n ii. Pravdepodobnost p ii je simulovaná z p ii S n Beta(a + n ii,b + 1), pre i = 1,...,m. V d alšej fáze porovnávania modelov používa Chib (1998) Bayesov faktor a ponúka Monte Carlo verziu EM algoritmu na simuláciu odhadov marginálnych vierohodností, ktorá pre model M r je rovná m(y n M r ) = P(Y n M r,θ,p )P(Θ,P M r ) P(Θ,P, Y n,m r ) kde (Θ,P ) = ψ je l ubovol ný bod na danom priestore parametrov. Po dokončení všetkých simulácií dostávame logaritmickú verziu marginálnej vierohodnosti z predchádzajúceho vzt ahu: ln ˆm(Y n ) = lnp(y n ψ ) + lnp(θ ) + lnp(p ) ln ˆP(Θ Y n ) ln ˆP(P Y n,θ ). Pre bližšiu špecifikáciu vid Chib (1998) Multiple change point modely Podl a Park (2006) modely viacnásobných bodov zmien ponúkajú diagnostické prostriedky pre hl adanie neznámych bodov zmien aj pri chýbajúcich apriorných informáciách o týchto bodoch. Tieto modely tiež poskytujú parametrické metódy na odhadovanie priameho

52 Kapitola 2. Bayesovský prístup 39 vplyvu nájdených bodov zmien na závislé premenné alebo nepriamy vplyv na ostatné prediktory. Tieto modely tiež poskytujú metódy na porovnávanie nevnorených 1 modelov. Park (2006) rozširuje Chibov model použitím Monte Carlo analýzy na binárnych dátach s plným podmieneným rozdelením pre (θ Y t,s t,p) ( P(θ k Y T,S T,P) Beta 2 + T t=1 I(s t = k)y t,2 + T t=1 I(s t = k) T t=1 I(s t = k)y t ), kde I() je indikátorová premenná. Na odvodenie tohto modelu Park prirad uje rozdielne hodnoty prechodným pravdepodobnostiam α k a β k podl a počtu zlomov m v modeli. Ďalej necháva bežat MCMC simuláciu a porovnáva modely s rôznymi počtami bodov zmeny Bayesovým faktorom. 2.4 Markov-switching Zmeny parametrov, ktoré sú považované za endogénne a vracajúce sa, sú často modelované tzv. Markovovými prepínajúcimi procesmi (z angl. Markov-switching model, d alej v práci MSM ). Napr. v (Kim a Nelson, 1999) je použitý takýto postup modelovania k zisteniu, či došlo v Spojených štátoch v období po vojne k nejakému štrukturálnemu zlomu a či sa americká ekonomika následne stala viac stabilnou. Kim a Nelson v tejto práci odhadujú štrukturálne zlomy v rozptyle náhodných chýb, ale i v priemernej miere rastu reálneho produktu a to pomocou bayesovského prístupu implementovaného do MSM pre hospodárske cykly, ktorý priniesol Hamilton (1989). Nech máme MSM so štrukturálnym zlomom v parametroch apriornej hustoty: φ(l)(y t µ S t ) = e t, e t I.I.D. N(0,σ 2 t ), 1 modely s rôznymi počtami bodov zmien sú nevnorené v tom zmysle, že zavedením lineárnych obmedzení na vektor parametrov nezredukujeme jeden model na druhý (Clarke, 2001)

53 Kapitola 2. Bayesovský prístup 40 µ S t = µ 0t (1 S t) + µ 1t S t, µ 0t < µ 1t, kde y t je miera rastu reálneho produktu, µ 0t, µ 1t sú krátkodobé odchýlky miery tohto rastu od dlhodobého trendu v období recesie a prosperity, v tomto poradí. Korene φ(l) = 0 ležia mimo komplexnej jednotkovej kružnice a S t je neznáma dvojstavová premenná MSM, ktorá sa riadi nasledujúcimi pravdepodobnost ami: P(S t = 1 S t 1 = 1) = p 11, P(S t = 0 S t 1 = 1) = 1 p 11, P(S t = 0 S t 1 = 0) = p 00, P(S t = 1 S t 1 = 0) = 1 p 00. Ďalej predpokladáme výskyt štrukturálneho zlomu v čase τ v parametroch posunu P(S t = 1 S t 1 = 1) = p 11 a taktiež v rozptyle náhodných chýb σ 2 t, čo vedie k vhodnejšej špecifikácii týchto parametrov: µ 0t = µ 0 + µ 00 D t, µ 1t = µ 1 + µ 11 D t, µ 0 < µ 0 + µ 00, µ 1 > µ 1 + µ 11, σ 2 t = (1 D t )σ D tσ 2 1, σ 2 0 > σ 2 1, kde D t = 0 pred štrukturálnym zlomom a D t = 1 po ňom a je nezávislé na S t. Kim a Nelson (1999) d alej testovali štyri rôzne modely s nulovou hypotézou o neexistencii štrukturálneho zlomu v raste reálneho produktu: Model I: Základný MSM bez štrukturálneho zlomu [ µ 00 = µ 11 = 0,σ0 2 = σ 1 2] Model II: Model so štrukturálnym zlomom v parametroch posunu [µ 00 0, µ 11 0,σ0 2 = σ 1 2 ] Model III: Model so štrukturálnym zlomom v rozptyle [µ 00 = µ 11 = 0,σ0 2 σ 1 2] Model IV: Model so štrukturálnym zlomom v rozptyle aj v parametroch posunu [µ 00 0, µ 11 0,σ0 2 σ 1 2]

54 Kapitola 2. Bayesovský prístup 41 K d alším záverom bude ešte treba špecifikovat chovanie parametra D t. Podobne ako pri S t máme: P(D t+1 = 0 D t = 0) = q 00, P(D t+1 = 1 D t = 0) = 1 q 00, P(D t+1 = 1 D t = 1) = 1, P(D t+1 = 0 D t = 1) = 0. Kim a Nelson (1999) využili na testovanie spomínaných hypotéz bayesovsky upravenú verziu testov pri neznámom bode zlomu, s ktorými pracoval napr. Hansen (1992). Hlavnou ideou je zaobchádzat s D t ako s Markovovým prepínacím procesom. Tým v parametroch umožníme výskyt štrukturálneho zlomu. Pravdepodobnost q 00 neexistuje pri nulovej hypotéze bez štrukturálneho zlomu, čo ale v bayesovskej verzii testovania nespôsobuje prekážky. Na výpočet marginálnych vierohodností je znova možné použit Gibbsov vzorkovač a s ním spojenú Monte Carlo integráciu. Pre odvodenie modelu pri daných prioroch potrebujeme marginálne posteriorné rozdelenie pre: µ = [µ 0 µ 1 µ 00 µ 11 ] ; φ = [φ 1... φ k ] ; σ 2 = [σ 2 0 σ 2 1 ] ; D T = [D 1... D T ] ; S T = [S 1... S T ] ; p = [p 00 p 11 ] a q 00, ktoré dostaneme zo združeného posteriorného rozdelenia P( µ, φ, σ 2, D T, S T, p,q 00 [y 1... y T ] ). Následne v tejto práci Kim a Nelson odvodili marginálne vierohodnosti priamym spôsobom, a to zlogaritmovaním vzt ahu pre marginálnu hustotu Y T = [y 1... y T ] : kde θ = [ µ φ p q 00 σ 2 D T m( Y T ) = f ( Y T θ)p( θ), P( θ Y T ) S T ] je vektor parametrov modelu a teda: lnm( Y T ) = ln f ( Y T θ ) + lnp( θ ) lnp( θ Y T ), pre konkrétne θ. Autori využitím bayesovského prístupu ukázali, že zmeny v spomínaných parametroch nie je vhodné zanedbat, teda preukázali výskyt štrukturálneho zlomu v priemernej miere rastu

55 Kapitola 2. Bayesovský prístup 42 reálneho produktu a následnej stabilizácie americkej ekonomiky vd aka značnému zníženiu strednej hodnoty posteriorného odhadu rozptylu náhodných chýb pred týmto zlomom (σ 2 0 ) a po ňom (σ 2 1 ). Na hypotetické príčiny zníženia tejto volatility použitím bayesovských metód sa zameriava Kim, Morley a Piger (2008). Za pomoci bayesovskej verzie štrukturálneho VAR modelu pre rast produkcie a nezamestnanost dochádzajú autori k záveru, že hypotetické zmeny v štrukturálnych šokoch, zanedbaním vplyvu propagácie týchto šokov, by mali za následok rovnakú redukciu volatility reálneho výstupu. Hlavnou ideou postupu je umožnenie štrukturálneho zlomu vo VAR modeli Y t = Π X t + e t, kde Π = [c Φ 1... Φ p ] a X t = [1 Y t 1... Y t p] (pre bližšie špecifikácie modelu vid Blanchard a Quah, 1989). 2.5 ROPE V tejto časti sa pozrieme na odlišný, no v celku intuitívny prístup k testovaniu hypotéz o zhodnosti dvoch skupín rozdelených dát, ktorý navrhuje Kruschke (2013). V jeho modeli vyzerá Bayesov zákon nasledovne: P(µ 1,σ 1, µ 2,σ 2,ν D) = P(D µ 1,σ 1, µ 2,σ 2,ν) P(µ 1,σ 1, µ 2,σ 2,ν)/P(D), kde D značí množinu všetkých pozorovaní, parametre µ i,σ i sú centrálna tendencia a variabilita i-tej skupiny, v tomto poradí. Parameter ν značí počet stupňov vol nosti t-rozdelenia, ktoré popisuje dáta. Ked že autor v práci nevykonáva klasické t-testovanie, aby nedošlo k nedorozumeniam, nazýva ν parameter normality. Čo je odlišné na klasickom testovaní nulových hypotéz a bayesovskom testovaní, ktorému sa venuje Kruschke, je fakt, že bayesovské testovanie dokáže nielen zamietnut nulovú hypotézu, ale ju aj prijat. Pre takéto prípady je definovaná tzv. oblast praktickej

56 Kapitola 2. Bayesovský prístup 43 ekvivalencie (ROPE, z angl. region of practical equivalence). Hlavnou funkciou ROPE je vytvorit interval okolo nulovej 2 hodnoty, ktorý zahŕňa iba relatívne nepatrne líšiace sa hodnoty od tejto nuly. Vel kost ROPE závisí od konkrétnych požiadaviek pri konkrétnych modeloch. V (Kruschke, 2011) sa uvádza, že hypotézu o nulovej diferencii dvoch parametrov zamietame, ak jej ROPE leží mimo 95% intervalu najvyššej hustoty (HDI 3 ). Na druhej strane, nulovú hypotézu prijímame pre praktické účely, ak daná ROPE sa celá nachádza v rámci 95% HDI. Pri zvyšovaní sa počtu pozorovaní má HDI tendenciu približovat sa nulovej hodnote, preto potom môžeme hovorit o úplnom prijatí nulovej hypotézy. Je zjavné, že tento prístup nám neodhalí zlomy autonómne, no majúc niekol ko kandidátov na štrukturálnu zmenu, môžeme súbor dát rozdelit v mieste výskytu tohto kandidáta na dve časti a testovat strednú hodnotu posteriorných odhadov pred a po. 2 nulovou hodnotou sa v tomto prípade myslí nula ako výsledok rozdielu dvoch parametrov v nulovej hypotéze 3 HDI v skratke zhŕňa rozdelenie na interval, ktorý obsahuje body rozdelenia, v ktoré máme najväčšiu dôveru, a ktoré pokrývajú väčšinu tohto rozdelenia, napr. 95%. Korektnejšia definícia napr. v Kruschke (2011)

57 Kapitola 3 Analýza vybraných finančných časových radov 3.1 Odhal ovanie zlomov v čase globálnej ekonomickej krízy V nasledujúcej časti práce sa budeme snažit porovnat úspešnost rôznych metód detekcie štrukturálnych zmien, a to na vybraných časových radoch cien finančných aktív. Ciel om bude hlavne porovnat úspešnost techník v objavení zjavného zlomu, ktorý nastal po vypuknutí globálnej ekonomickej krízy v r Tiež sa budeme snažit využit metódy k identifikácii možných zlomov v období pokrízovom. Všetky modely budú skonštruované v jazyku R vo vývojovom prostredí R Studio Štrukturálne zmeny vo volatilite V tejto sekcii si priblížime identifikáciu zmien v modeloch volatility pre ceny akciového indexu Dow Jones Industrial Average (d alej DJIA), ktorý je druhý najstarší americký tržný index, zahŕňajúci informácie 30 vel kých spoločností o ich obchodoch na akciovom trhu 44

58 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 45 (Sullivan et al, 2003). Dáta, na ktorých bol model vytvorený, zahŕňajú 522 pozorovaní týždenných priemerných cien indexu v čase od do Na Obr. 3.1, 3.2 a 3.3 môžeme vidiet vývoj ceny indexu v spomínanom období spolu s grafom výnosov a volatilitou, ktorá bola vypočítaná ako podmienený rozptyl z GARCH(1,0) modelu. Z grafov si môžeme všimnút výkyvy po roku 2008, ktoré by mohli indikovat výskyt štrukturálnej zmeny. Obr. 3.1: Graf vývoja cien indexu DJIA Obr. 3.2: Graf výnosov indexu DJIA Obr. 3.3: Graf volatility výnosov indexu DJIA

59 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 46 Pre testovanie volatility na štrukturálne zlomy budeme vychádzat z prác Smith (2008), Chevallier (2011), Zeileis et al. (2002), Zeileis et al. (2003), ktoré využívajú OLS-CUSUM a reziduálne CUSUM testy. Popri týchto metódach sa pozrieme aj na výsledky klasických F štatistík. Najprv teda testujeme stabilitu volatility odvodením kumulatívnych súčtov OLS a rekurzívnych reziduí na Obr. 3.4 a Obr. 3.5 spolu s hranicami 5% hladiny významnosti. Limitujúcim procesom pre empirický fluktuačný proces OLS reziduí je štandardný Brownov most, ktorý začína a končí v nule. Vrcholy grafu týchto reziduí, ktoré sa nachádzajú mimo hraníc by mohli znamenat štrukturálny zlom. Limitujúcim procesom rekurzívnych reziduí je štandardný Brownov pohyb a v rámci alternatívnej hypotézy s jedným štrukturálnym zlomom, budú mat rekurzívne reziduá strednú hodnotu nula až do času výskytu tohto zlomu. Oba grafy jasne vykazujú nestabilitu v okolí roku 2008, presnejšie graf OLS reziduí niekde okolo hodnoty a graf rekurzívnych reziduí okolo hodnoty 0.5. Technická analýza samozrejme na konkrétnejšie určenie dátumu nebude stačit, preto sa budeme musiet pozriet aj na číselné štatistiky. Testová štatistika pre reziduá je S = max efp(t) f (t), kde efp(t) značí empirický fluktuačný proces v čase t a f (t) závisí na tvare hraníc, napríklad pre rekurzívny CUSUM test f (t) = 1 + 2t. Ďalšími počítanými štatistikami budú F-testy, resp. Chowove testy štrukturálneho zlomu, no v pozmenenej podobe. F štatistiky sa vypočítali pre všetky body a následne boli vykreslené do grafu s hranicami takými, že asymptotická pravdepodobnost, že suprémum (pri supf) alebo stredná hodnota (pri avef) štatistík F i prekročí hranicu, bude α. Andrews (1993) a Andrews a Ploberger 1 označenie osi x je interval od 0 do 1, ktorý sa nedal zmenit v preddefinovanom balíku funkcií, no číslo 0.4 korešponduje s pozorovaním číslo 209

60 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 47 Obr. 3.4: Graf OLS reziduí Obr. 3.5: Graf rekurzívnych reziduí (1994) navrhujú možnosti ako zhrnút rady F štatistík do jednej testovej štatistiky: supf = sup F i, avef = i i i 1 i i + 1 i i=i F i, kde [i,i] je interval s potenciálnymi štrukturálnymi zlomami. Rovnaké závery o výskyte zlomov učinené vyššie môžeme vyvodit aj z grafu F štatistík na Obr. 3.6, Obr. 3.7 spolu s hranicami supf a avef testov v tomto poradí a z grafu p-hodnôt na Obr. 3.8, všetko na hladine významnosti 5%. Číselné výsledky nájdeme v tabul ke na Obr Na tomto mieste môžeme porovnat hypotézu o jednom zlome s hypotézou s možnost ou výskytu viacerých zlomov. Miesto výskytu d alších možných zlomov vypočítame pomocou

61 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 48 Obr. 3.6: Chowov test so supf štatistikou Obr. 3.7: Chowov test s avef štatistikou Obr. 3.8: Graf p-hodnôt Obr. 3.9: Tabul ka výsledkov štatistík

62 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 49 súčtu štvorcov reziduí (RSS), tak ako to spravil napr. Chevallier (2011) (vychádzajúc z práce Bai a Perron, 2003): RSS(i 1,...,i m ) = m+1 rss(i j 1 + 1,i j ), j=1 pri danom rozklade i 1,...,i m, kde rss značí minimálny súčet štvorcov reziduí v danom segmente. Aby sme našli d alšie body zlomu î 1,...,î m musíme minimalizovat funkciu: (î 1,...,î m ) = argmin (i1,...,i m )RSS(i 1,...,i m ). A to sa dá spravit pomocou rekurzie: RSS(I m,n ) = min mnh i n n h [RSS(I m 1,i ) + rss(i + 1,n)]. Optimálna segmentácia spĺňa túto rekurziu a stačí vediet pre každý bod i optimálneho predchádzajúceho partnera, ak by i bol posledný bod zlomu v m-rozklade (Zeileis et al., 2003). Toto môžeme odvodit z trojuholníkovej matice rss(i, j), kde j i n h. Výpočet tejto matice nám zjednodušuje vzt ah rss(i, j) = rss(i, j 1) + r(i, j) 2, kde r(i, j) je rekurzívne reziduum v čase j na vzorke začínajúcej od i (Brown et al., 1975). Graf na Obr je grafom RSS a bayesovho informačného kritéria 2 (BIC) pre rôzne varianty modelov s jedným až piatimi zlomami. Z tohto grafu môžeme vidiet, že BIC 3 dáva najmenšiu hodnotu modelu s 2 štrukturálnymi zmenami, po hlbšej analýze sme zistili, že ide o pozorovania 212 a 290, čo odpovedá týždenným pozorovaniam s koncom a Následne na Obr môžeme vidiet graf cien indexu DJIA so zaznamenanými výskytmi štrukturálnych zlomov. 2 v skratke, za účelom zvýšenia vierohodnosti pridávame do modelu premenné a BIC nás za tieto zmeny penalizuje, teda čím menšie BIC tým lepšie 3 graf začínajúci na osi y s nižšou hodnotou

63 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 50 Obr. 3.10: Graf hodnôt BIC a RSS v rámci daných počtov štrukturálnych zmien Obr. 3.11: Graf vývoja hodnôt indexu DJIA so štrukturálnymi zmenami Štrukturálne zmeny v regresnom modeli Rovnakým metodickým postupom ako v predchádzajúcej kapitole sme otestovali výskyt štrukturálnych zlomov v strednej hodnote regresného modelu CAPM. CAPM model bol vytvorený pre ocenenie týždenných hodnôt akcií Apple (Obr. 3.12) v období od do , z ktorých boli neskôr vytvorené výnosy (Obr. 3.13). Ako bezriziková miera bol použitý výnos ročných štátnych pokladničných poukážok Spojených štátov s konštantnou splatnost ou a ako výnosová miera trhu poslúžila výnosnost tržného indexu S&P 500. Odhad koeficientu β v modeli bez úrovňovej konštanty je 0,9316. Na Obr môžeme vidiet fluktuačný proces OLS reziduí, ktorý prekročí hranice niekde okolo hodnoty 0,55, čo by mohlo znamenat signifikantný výkyv od priemernej hodnoty, a teda štrukturálny zlom. Na druhej strane, fluktuačný proces rekurzívnych reziduí

64 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 51 Obr. 3.12: Graf hodnôt akcií Apple Obr. 3.13: Graf výnosnosti akcií Apple (Obr. 3.16) osciluje okolo nuly až do hodnoty asi 0,3, čo môže znova indikovat štrukturálnu zmenu, no graf d alej neprekročí hranice, takže zmena nemusí byt dôležitá. Ked že tieto výsledky pre nás nie sú dost presvedčivé, vyskúšame ešte niekol ko testov. Obr. 3.14: Graf čistých výnosov akcií Apple a SP500 s regresnou priamkou Obr. 3.15: CUSUM test OLS reziduí Obr. 3.16: CUSUM test rek. reziduí Na Obr vidíme fluktuačný proces OLS reziduí MOSUM testu, čo teda znamená, že nepoužívame kumulované súčty reziduí, ale pohyblivé súčty. Výsledný empirický pro-

65 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 52 ces zahŕňa súčet pevného počtu reziduí v konkrétne špecifikovanom pohyblivom dátovom okne alebo intervale, v našom modeli je šírka pásma 0,15. Obr zobrazuje fluktuačný proces rekurzívnych reziduí v MOSUM teste. Oba procesy sú volatilné a neprekračujú svoje hranice, ani nemajú v okolí spomínaných kandidátnych hodnôt signifikantné výkyvy, no oba majú vrchol v okolí hodnoty 0,3. Nech teraz máme fluktuačné procesy definované na základe odhadov neznámych regres- Obr. 3.17: MOSUM test OLS reziduí Obr. 3.18: MOSUM test rek. reziduí ných koeficientov, vektor β je odhadnutý rekurzívne s rastúcim počtom pozorovaní alebo v pohyblivom pásme s konštantnou šírkou. Táto myšlienka vedie k RE (recursive estimates) testom a ME (moving estimates) testom. Za pravdivosti alternatívnej hypotézy o jednom štrukturálnom zlome, by mal mat RE proces vrchol v okolí tohto zlomu a ME proces značný výkyv. Výsledné grafy môžeme vidiet na Obr a Obr ME proces vykazuje značný výkyv pri hodnote 0,55 s prekročením dolnej asymptotickej hranice a RE proces sa nachádza najbližšie k dolnej hranici, niekde okolo hodnoty 0,3 a vrchol sa nachádza niekde okolo hodnoty 0,45. V podobných nejednoznačných prípadoch je dôležité neprikrášl ovat výsledky v prospech našich hypotéz alebo želaných výsledkov, preto si stále nedovolíme potvrdit, resp. zamietnut nulovú hypotézu o nevýskyte zlomu. Testové štatistiky fluktuačných procesov nájdeme v tabul ke na Obr Graf F štatistík na Obr prekračuje hranicu približne v hodnote 0,45. Bayesovo informačné kritérium na Obr favorizuje model s jedným až dvoma štrukturálnymi zlomami v pozorovaní číslo 233 a 233 a 92, čo korešponduje s bodmi

66 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 53 Obr. 3.19: Test rekurzívnych odhadov Obr. 3.20: Test pohyblivých odhadov Obr. 3.21: Tabul ka testových štatistík Obr. 3.22: Graf F štatistík zlomu v hodnotách 0,45 a 0,17795, a to sa rovná dátumom a Vykonané testovanie štrukturálnych zlomov nám nedovol uje lepšie popísat možné príčiny týchto zlomov, no náš subjektívny pohl ad mimo testovania sa prikláňa k zlomu v roku 2008, teda v čase vypuknutia globálnej ekonomickej krízy. Obr. 3.23: Graf BIC a RSS pre CAPM model akcií Apple Nakoniec sme uskutočnili štandardný Dickey-Fullerov test na logaritmické výnosnosti

67 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 54 akcií Apple pre otestovanie jednotkového koreňa. Výsledok D-F štatistiky bol -16,3449 pri zaokrúhlenej p-hodnote 0,01. Výsledky D-F testov hovoria, že čím menšia štatistika (viac zápornejšia), tým silnejšie zamietame nulovú hypotézu o výskyte jednotkového koreňa Koncept ROPE a HDI Ďalej sme sa rozhodli rozdelit dátový súbor s výnosnost ami akcií Apple na pozorovaní č. 233, teda v tom bode, ktoré predošlé testy indikovali ako možný bod zlomu a na takto rozdelených dátach testovat hypotézu o nulovej hodnote diferencie priemerných posteriorných výnosností daných dvoch častí µ 1 a µ 2. Na to sme využili koncept oblasti praktickej ekvivalencie spolu s intervalom najvyššej posteriornej hustoty. Ideou bolo skúmat aká vel ká musí byt diferencia stredných hodnôt, aby bola prakticky rovná nule. Inými slovami, aký vel ký ROPE okolo nulovej hodnoty je dostatočne vel ký na to, aby sa v ňom nachádzalo 95% HDI. MCMC metódou sme vytvorili simulácii distribúcie, pričom prvých 2000 sme zamietli ako prevenciu proti korelácii. Z Obr môžeme vidiet, že v intervale -0,0144 až 0,00266 sa nachádza 95% HDI rozdielu stredných výnosností. Otázkou je teda aký vel ký ROPE stanovit. K tomu by nám mohol pomôct Obr. 3.25, ktorý znázorňuje kol ko percent posteriornej distribúcie spadá do vnútra ROPE v závislosti od vel kosti ROPE. Môžeme si všimnút, že od ROPE ±0,015 už určite leží 95% HDI úplne vo vnútri ROPE. V našom kontexte logaritmických diferencií pri stanovenom ROPE od -0,015 do 0,015 to znamená, že rozdiel do ±1,5% v priemerných výnosoch by akceptoval nulovú hypotézu. Pri našej diferencii priemerných výnosov -0,00604 teda prijímame nulovú hypotézu. Skúsme sa na problém pozriet z inej perspektívy. Na rozhodovanie o tom aká vel ká zmena je už naozaj vel ká, by sme mali mat dodatočnú doménovú znalost. Priemerná výnosnost akcií Apple je -0,00571, teda niečo vyše pol percenta. Preto by sa v tomto kontexte mohol zdat ROPE ±1,5% dost široký. Ak by sme ROPE stanovili ako interval od -0,08 do 0,08,

68 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 55 Obr. 3.24: Histogram posteriornej hustoty Obr. 3.25: Graf posteriornej hustoty ako funkcie vel kosti ROPE tretina 95% HDI už leží mimo ROPE, teda len dve tretiny z 95% najdôveryhodnejších hodnôt sú prakticky ekvivalentné nule, čo môže evokovat, že v priemerných výnosoch dát rozdelených v období zlomu, vel ká zhoda nebude Product partition model V tejto časti implementujeme prístup z (Barry a Hartigan, 1993) s úpravami uskutočnenými v (Erdman a Emerson, 2007) tak, ako to máme opísané v práci v kapitole o product partition modeli. Po 5000 MCMC iteráciách sme vyhodili prvých 1000 a odhadli posteriorné stredné hodnoty výnosností akcií Apple. Ladiace parametre γ a λ, ktoré môžu nadobúdat hodnoty v intervale [0,1], boli v prvom prípade na Obr nastavené na hodnoty 0.2 a 0.2, ked že tieto hodnoty uvádzajú Barry a Hartigan (1993) ako optimálne. V druhom prípade sme zmenili hodnotu parametru λ na 0.01 pre vyhladenie zmien s minimálnymi amplitúdami. Grafy poukazujú na štrukturálne zmeny v oblasti pozorovaní č. 50, 200 a znova 233. Ked že doteraz žiaden test neavizoval štrukturálny zlom v okolí pozorovania č. 50 na začiatku pozorovanej periódy, mohli by sme tento skok pripísat napríklad jedinej odl ahlej hodnote. Čo však môžeme spravit, je priklonit sa znova k výskytu štrukturálneho zlomu v strednej hodnote výnosností v období

69 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 56 Obr. 3.26: Posteriorné pravdepodobnosti zmeny Obr. 3.27: Posteriorné pravdepodobnosti zmeny Chibov changepoint model Ilustráciu prístupu viacnásobných zlomov, ktorý priniesol Chib (1998) a Park (2006) sme sa rozhodli uskutočnit na CAPM modeli pre výnosnosti akcií Apple. Testovaný model mal nasledujúci tvar: y t = x tβ i + I(s t = i)ε t, i = 1,...,k kde k je počet stavov alebo režimov a I(s t = i) funguje ako indikátor konkrétneho prebiehajúceho stavu. Náhodné chyby majú Gaussovské rozdelenie v každom režime. CAPM model bol špecifikovaný rovnako ako v predchádzajúcom prípade v tejto práci. Gibbsovým vzorkovačom, pomocou iterácií a po zanedbaní prvých 1000, sme vygenerovali vzorku z posteriorného rozdelenia tohto lineárneho regresného modelu. MCMC metóda bola rovnaká ako použil Chib (1998), pričom boli d alej špecifikované marginálne vierohodnosti rovnako ako v Chib (1995): ln ˆm(y) = ln f (y θ ) + lnp(θ ) lnp(θ y). Výsledky našich simulácií môžeme vidiet na Obr. 3.28, 3.29 a Skúmané boli tri verzie modelov, a síce s 1, 2 a 3 štrukturálnymi zmenami. Obr znázorňuje posteriorné pravdepodobnosti režimov v daných časových periódach pre modely s 1, 2 a 3 bodmi zmeny. Jednotlivé krivky indikujú pravdepodobnost, že aktuálny režim je k za daných pozorovaní v danom časovom okamihu. Predikované body zmeny potom môžu byt identifikované v

70 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 57 oblastiach, kde sa krivky krížia. Môžeme teda vidiet, že všetky tri modely majú spoločný bod zmeny v oblasti 250. pozorovania, pričom model so 4 režimami má už tretí zlom posunutý bližšie ku kandidátnemu pozorovaniu č. 233 z predchádzajúcich testov. Ďalej na Obr máme vykreslené posteriorné hustoty zmeny režimu v modeli s dvoma zmenami. Obr ukazuje uskutočnené výpočty Bayesovho faktora s marginálnymi vierohodnost ami spomínanými vyššie v tejto sekcii. Vidíme, že Bayesov faktor favorizuje model s dvomi štrukturálnymi zmenami. Obr. 3.28: Posteriorné pravdepodobnosti režimov Obr. 3.29: Posteriorné hustoty pravdepodobností zmeny režimu

71 Kapitola 3. Analýza vybraných finančných časových radov 58 Obr. 3.30: Výsledky Bayesovho faktora