Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện Điện Tử. Homepage:

Transcription

1 Môn học LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂN CAO iảng viên: PS. TS. Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Homepage: 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

2 Chương 5 ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮN 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

3 Nội dung chương 5 iới thiệu Chuẩn của tín hiệu và hệ thống Tính ổn định bền vững Chất lượng bền vững Thiết kế hệ thống điều khiển bền vững dùng phương pháp chỉnh độ lợi vòng loop-haping Thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu bền vững SV tự đọc thêm 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

4 Tài liệu tham khảo Feedback Control Theory, J.Doyle, B. Franci, and A. Tannenbaum, Macmillan Publihing Co. 99. Linear Robut Control, M. reen and D. J.N. Limebeer, Prentice Hall, 994. Robut and Optimal Control, K. Zhou, J.C. Doyle and K. lover, Prentice Hall. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

5 IỚI THIỆU 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

6 Định nghĩa điều khiển bền vững Hệ thống điều khiển bền vững là hệ thống được thiết kế ao cho tính ổn định và chất lượng điều khiển được đảm bảo khi các thành phần không chắc chắn ai ố mô hình hóa, nhiễu loạn, nằm trong một tập hợp cho trước. ut yt ut + + yt Đối tượng ĐK kinh hđiển Đối tượng ĐK bền vữngữ : mô hình danh định : thành phần không chắc chắn 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

7 Các thành phần không chắc chắn Các yếu tố không chắc chắn cóthể làm giảm chất lượng điều khiển, thậm chí có thể làm hệ thống trở nên mất ổn định. Các yếu tố không chắc chắn xuất hiện khi mô hình hóa hệ ệ thống vật ậ lý. Các yếu tố không chắc chắc có thể phân làm hai loại: Mô hình không chắc chắn Nhiễu từ môi trường bên ngoài 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

8 Mô hình không chắc chắn Mô hình không chắc chắn doự không chính xác hoặc ự xấp xỉ trong khi mô hình hóa: Nhận dạng hệ thống chỉ thu được môhìnhgần đúng: mô hình được chọn thường có bậc thấp và các thông ố không thể xác định chính xác Bỏ qua tính trễ hoặc không xác định chính xác độ trễ Bỏ qua tính phi tuyến hoặc không biết chính xác các yếu tố phi tuyến Các thành phần biến đổi theo thời gian có thể được xấp xỉ thành không biến đổi theo thời gian hoặc ự biến đổi theo thời gian không thể biết chính xác. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

9 Nhiễu loạn từ bên ngoài Các tín hiệu nhiễu xuất hiện từ môi trường bên ngoài, thí dụ như nguồn điện không ổn định nhiệt độ, độ ẩm, ma át, thay đổi nhiễu đo lường 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

10 Thí dụ: Hệ thống không bền vững ~ 3 Đối tượng thật :. Mô hình bỏ qua đặc tính tần ố cao: 3 Đối tượng thật Mô hình Biểu đồ Bode của đối tượng thật và mô hình trùng nhau ở miền tần ố thấp, ai lệch ở miền tần ố cao 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

11 Thí dụ: Hệ thống không bền vững tt rt K yt Bộ điều khiển thiết kế dựa vào mô hình K Hệ kín khi thiết kế có cực tại 3, chất lượng đáp ứng tốt. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

12 Thí dụ: Hệ thống không bền vững tt rt K ~ yt Sử dụng bộ ĐK đã thiết kế cho đối tượng thật: đặc tính động học ở miền tần ố cao đã bỏ qua khi thiết kế làm hệ thống không ổn định Hệ thống không ổn định bền vững 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

13 Thí dụ: Hệ thống có chất lượng bền vững Đối tượng thật : Mô hình danh định: Magnitude db Phae deg ~ k T Bode Diagram 3 k 5 T.5 3% - Frequency rad/ec 4.5 Mô hình h danh định h Đối tượng thật Biểu đồ Bode của mô hình danh định và mô hình thật khi thông ố thay đổi 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

14 Thí dụ: Hệ thống có chất lượng bền vững tt ut yt 5 Plant repone ample 4 Amplitude Time ec Đáp ứng của hệ hở khi tín hiệu vào là hàm nấc: bị ảnh hưởng nhiều khi thông ố của đối tượng thay đổi 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

15 Thí dụ: Hệ thống có chất lượng bền vững tt rt K ~ yt Bộ điều khiển: K 4 Đáp ứng của hệ kín: hệ thống ổn định, chất lượng thay đổi không đáng kể khi thông ố đối tượng thay đổi chất lượng bền vững Amplitude Cloed-loop repone ample Time ec 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

16 Mô phỏng HT có thông ố không chắc chắn dùng Matlab % Khâu quán tính bậc nhất với thời hằng và hệ ố khuếch đại không chắc chắn >> T = ureal't',.5,'percentage',3; % T =.5 3%, T=.5 >> k = ureal'k',4, 'range',[3 5]; % 3k5, k=4 >> = tfk,[t ] >> figure; bodeuample, % Biểu đồ Bode hệ không chắcchắn >> figure; bodetf.nominal % Biểu đồ Bode đối tượng danh định %Bộđiềukhiển >> KI = /*T.Nominal*k.Nominal; N i l >> c = tfki,[ ]; % Bộđiềukhiểnc=KI/ >> k = feedback*c, % Hàm truyềnhệkín %Môphỏng hệ hở và hệ kín >> figure3; tepuample,, title'plant repone ample' >> figure4; tepuamplek,,title'cloed-loop repone ample' 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

17 Các phương pháp thiết kế HTĐK bền vững Các phương pháp phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển bền vững: Phương pháp trong miền tần ố Phương pháp trong không gian trạng thái 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

18 Sơ lược lịch ử phát triển LTĐK bền vững 98-: Điều khiển bền vững hiện đại Đầu thập niên 98: Phân tích analyi iữa thập niên 98: Điều khiển H và các phiên bản iữa thập niên 98: Định lý Kharitonov Cuối 98 đến 99: Tối ưu lồi nâng cao, đặc biệt là tối ưu LMI Linear Matrix Inequality Thập niên 99: Các phương pháp LMI trong điều khiển 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

19 CHUẨN CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐN 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

20 Định nghĩa chuẩn của vector Cho X là không gian vector. Một hàm giá trị thực. xác định trên X được gọi là chuẩn norm trên X nếu hàm đó thỏa mãn các tín chất au: x x x ax a x, aa x y x y Ý nghĩa: chuẩn của vector là đại lượng đo độ dài của vector 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

21 Các chuẩn vector thông dụng Cho x [ x, x,..., x ] [ n T n Chuẩn bậc p: x n : p x p i i p Chuẩn bậc : x : n i x i Chuẩn bậc : x : n i x i Chuẩn vô cùng: x : max in x i 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

22 Tính chuẩn vector Thí dụ Chox [ 3 ] T Chuẩn bậc ậ : x 4 i x i 3 6 Chuẩn bậc : x 4 x i i 3 4 Ch ẩ ô ù x max Chuẩn vô cùng: max, 3,, 3 i4 x i 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

23 Định nghĩa chuẩn ma trận Chomatrận A=[a ij ]C m n. Chuẩn của matrận A là: Ax p Chuẩn bậc p: A : up p x x p m Chuẩn bậc : A : max a jn i ij tổng theo cột Chuẩn ẩ bậc : A : max A * A i A in trong đó A * là ma trận chuyển vị liên hợp của A, A * A i là các trị riêng của A * A. n Chuẩn vô cùng: A : max a im j ij tổng theo hàng 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

24 Tính chất của chuẩn ma trận A, AC nn A A A. A, C, A C nn A B A B, A,B C AB A B, A,B C nn nn 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

25 Tính chuẩn ma trận Thí dụ Cho ma trậnậ Chuẩn bậc : Chuẩn bậc : A A : * : max A A i i j A max a 4 ij max j, j i 4 * j j j A A j 8 * * * A A eig A A ol det I A A A.4689, : max in Chuẩn vô cùng: i j A : max a max j, 3 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3 ij

26 Tính chuẩn ma trận Thí dụ Cho ma trận A j : j 3 A Tính chuẩn :, A, A 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 33

27 Chuẩn của tín hiệu Chuẩn của t/hiệu xt [,+] được định nghĩa là: Chuẩn l p : Chuẩn ẩ l : x t p : p x t t x t : x t t dt p dt Chuẩn l : Chuẩn l : x t : x t dt t x t : up x t t căn ă bậc của ủ năng ă lượng của tín hiệu giá trị cực đại của t/h Ý nghĩa: Chuẩn của tín hiệu làđại lượng đo độ lớn của tín hiệu 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 34

28 Tính chuẩn của tín hiệu Thí dụ Cho tín hiệu: x t / t t t Chuẩn l : t x t x t dt t dt t ln t Chuẩn l : / x t dt t x t dt t t t / / Chuẩn l x t : up x t up t t t 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 35

29 Tính chuẩn của tín hiệu Thí dụ 3t3 t Cho tín hiệu: x t e. u t Tính chuẩn l, l, l 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 36

30 Chuẩn của hệ thống Chuẩn của hệ thống Cho hệ thống tuyến tính có hàm truyền Cho hệ thống tuyến tính có hàm truyền. Chuẩn bậc : : d j j ậ : d j j Chú ý do định lý Pareval ta có: Chú ý do định lý Pareval, ta có: : dt t g d j j trong đó gt là đáp ứng xung của hệ thống. Chuẩn vô cùng: up : j j 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 37 p j j

31 Biễu diễn chuẩn vô cùng trên biểu đồ Nyquit Diagram Bode Diagram Im maginary Axi j Real Axi agnitude db M lg j -8 Frequency rad/ Chuẩn vô cùng bằng khoảng cách từ gốc tọa độ của mặt phẳng phức đến điểm xa nhất trên đường cong Nyquit của j, hoặc ặ bằng đỉnh cộng ộ hưởng trên biểu đồ Bode biên độ j 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38

32 Cách tính chuẩn bậc Nếu có bậc tử ố bậc mẫu ố : j Nếu có bậc tử ố < bậc mẫu ố và tất cả các cực đều nằm bên trái mp pphức. Ta có: j j j d d j j j j d trong đó là đường cong kín gồm trục ảo và nữa đường tròn bán kính vô hạn bao nữa tráimặt phẳng phức. Theo đ/lý thặng dư: j lim p i pi i p i là cực bên trái mặt phẳng phức của 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

33 Thí dụ tính chuẩn bậc của hệ thống Cho. Tính 3 5 iải lim p i i p i lim lim January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

34 Cách tính chuẩn vô cùng d j Cách : tìm cực đại của j d bằng cách tìm nghiệm ệ phương trình: d j d Cách : tính gần đúng dựa vào biểu đồ Bode Bode Diagram tude db Magnit - -4 lg j -6-8 Frequency rad/ 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

35 Thí dụ tính chuẩn vô cùng của hệ thống Cho. Tính 3 5 iải Cách : iải phương trình tìm cực đại SV tự làm Cách : Dùng biểu đồ Bode 5 Bode Diagram gnitude db Ma lg j Dựa ự vào biểu đồ Bode, ta có lg j. 3dB j Frequency rad/ 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43

36 Tính chuẩn dùng Matlab Chuẩn của vectorhoặc matrận: >> normx, % chuẩn bậc của vector hoặc ma trận X >> normx, % chuẩn ẩ bậc của ủ vector hoặc ặ ma trận ậ X >> normx,inf % chuẩn vô cùng của vector hoặc ma trận X Chuẩn của hệ thống: >> normh % chuẩn ẩ bậc của ủ hệ thống >> normhinf % chuẩn vô cùng của hệ thống % Chú ý: phải được khai báo bằng lệnh tf tranfer % function hoặc tate-pace model 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44

37 Quan hệ vào ra Cho hệ tuyến tính có h/truyền, đáp ứng xung là gt. Vấn đề đặt ra là xác định độ lớn của t/hiệu ra yt khi biết độ lớn của ủ t/hiệu ut vào ut yt Bảng : Chuẩn ẩ của ủ tín hiệu ra Bảng : Độ lợi của ủ hệ thống ut = t ut = int u u y y y g j y g Ứng dụng: Bảng & thường được ử dụng để đánh giá: Sai ố của hệ ệ thống khi biết tín hiệu ệ vào, hoặcặ Ảnh hưởng của nhiễu đến tín hiệu ra của hệ thống 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45

38 Thí dụ: Đánh giá ai ố rt et K dt + + yt Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị, trong đó K 4 Xét trường hợp nhiễu bằng. Tính giá trị cực đại của ai ố trong các trường hợp: a Tín hiệu ệ vào là rt=in3t b Tín hiệu vào rt bất kỳ có biên độ nhỏ hơn 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 46

39 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt iải: rt et K dt + + yt Hàm truyền tương từ rt đến et re re K 4 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 47

40 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt a Trường ờ hợp rt=in3t i 3t rt et re iá trị cực đại của aiố ố khi tín hiệu vào hình in theo bảng là: e t j re re j re j3 3 e t j3 re.3453 Bảng : Chuẩn của tín hiệu ut = t raut = int y y g j 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 48

41 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt b Trường hợp rt bất kỳ có biên độ nhỏ hơn rt re et iá trị ị cực đại i của ủ ai ố ố theo bảng là: e t g r t re t gre t L re L t 8e 8 gre t gre t dt t t dt 8e dt. 8 Bảng : Độ lợi của hệ e t g t r t.8 re u thống u y e t.8 y g 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 49

42 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu rt K dt + + yt Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị, trong đó K 4 Xét trường hợp tín hiệu vào bằng. Tính năng lượng và giá trị cực đại của tín hiệu ra trong các trường hợp: a Nhiễu dt là xung dirac b Nhiễu dt là tín hiệu ngẫu nhiên bất kỳ có năng lượng nhỏ hơn.4 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 5

43 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt iải: rt K dt + + yt Hàm truyền tương từ dt đến yt dy dy K 4 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 5

44 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt a Trường hợp dt là xung dirac dt Năng lượng của tín hiệu ra theo bảng là: y t dy dy i lim p dy y t. i p i dy dy lim iá trị cực đại của tín hiệu ra theo bảng là: dy yt. y t g t dy g yd t L t L e dy y t g t dy Bảng : Chuẩn của tín hiệu ut = t raut = int y y g j 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 5

45 Thí dụ: Khảo át ảnh hưởng của nhiễu tt b Trường hợp dt là nhiễu có d t.4 Năng lượng của tín hiệu ra theo bảng là: y t d t yd dy. dt dy xác định được dễ dàng dựa vào biểu đồ Bode dy y t d t iá trị cực đại của tín hiệu ra theo bảng là: yt y t d t dy dy.447 y t d t.447 xem cách tính ở câu a dy.4.83 Bảng : Độ lợi của hệ u thống u y y g 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 53

46 MÔ HÌNH KHÔN CHẮC CHẮN 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 54

47 Mô hình không chắc chắn Mô hình h toán học không thể mô ôtả hoàn toàn chính h xác hệ thống vật lý cần quan tâm đến ảnh hưởng của aiố ố mô hình đến chất lượng điều khiển Phương pháp cơ bản để xét đến yếu tố không chắc chắn là mô hình hóa hệ thống thuộc về một tập hợp mô hình M. Hai dạng mô hình không chắc chắn: Mô hình không chắc chắn có cấu trúc còn gọi là mô hình tham ố không chắc chắn Mô hình không chắc chắn không cấu trúc 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 55

48 Mô hình không chắc chắn có cấu trúc Mô hình không chắc chắn có cấu trúc:hệ thống mô tả bởi hàm truyền hoặc PTTT trong đó một hoặc nhiều thông ố của hàm truyền hoặc ặ PTTT thay đổi trong miền xác định trước. Một ộ ố thí dụ: ụ mô hình bậc không chắc chắn như hệ xe-lò xo -giảm chấn hoặc hệ RLC 8 M : amin a a max a mô hình có trể không chắc chắn như lò nhiệt e M : min max 5 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 56

49 Thí dụ mô hình có tham ố không chắc chắn Cho hệ thống giảm ốc môtả bởi PTVPbậc : M d y t dt dy t B dt Ky t f t M: khối lượng tác động lên bánh xe, B hệệ ố ma át, K độ cứng lò xo ft: lực doốc: tín hiệu vào yt: dịch chuyển của thân xe: tín hiệu ra iả ử không biết chính xác thông ố của hệ thống, PT trên có thể biểu diễn lại dưới dạng d y t dt dy t dt m m b k y t f t b k trong đó: m, b, k là các thông ố danh định; m, b, k biểu diễn ự thay đổi của các thông ố 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 57

50 Thí dụ mô hình tham ố không chắc chắn Đặt các biến trạng thái: x t y t, x t y t t Phương trình trạng thái mô tả đối tượng: x x x k k x b b x m m y x Sơ đồ khối: m m f b b k k 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 58

51 Thí dụ mô hình tham ố không chắc chắn Biến đổi ơ đồ khối: m b b k k 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 59

52 Thí dụ mô hình tham ố không chắc chắn Thí dụ mô hình tham ố không chắc chắn Đặt các biến z z z d d d như trên ơ đồ khối Đặt các biến z, z, z 3, d, d, d 3 như trên ơ đồ khối. Phương trình trạng thái của hệ thống có thông ố không chắc chắn cóthể biểu diễn lại dưới dạng: chắn có thể biểu diễn lại dưới dạng:. f d d x b k x f m d d x m m x 3 k b f d d d x x z z z 3 3 m m b m k x x y January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 6 x

53 Thí dụ mô hình tham ố không chắc chắn Đặt M là ma trận hàm truyền của hệ thống. Sơ đồ khối hệ thống có thể biểu diễn dưới dạng: m b k 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 6

54 Mô hình không chắc chắn không cấu trúc Mô hình không chắc chắn không cấu trúc:môtả tả yếu tố không chắc chắn dùng chuẩn hệ thống. Mô hình không chắc chắn không cấu trúcthường thường dùng hơn vì lý do: Tất cả các mô hình dùng trong thiết kế hệ thống điều khiển đều chứa đựng trong đó các yếu tố không chắc chắn không cấu trúcđể bao hàm đặc tính động học không mô hình hóa, đặc biệt là ở miền tần ố cao. Sử dụng mô hình không chắc chắn không cấu trúc có thể dễ dàng hơn trong việc xây dựng các phương pháp và phân tích thiết kế HTĐK bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 6

55 Các dạng MH không chắc chắn không cấu trúc Bốn MH không chắc chắn không cấu trúcthường thường dùng: ~ M W : m Mô hình nhiễu nhân ~ M W : Mô hình nhiễu cộng M M W m ~ : W m ~ : Wm Mô hình nhiễu cộng ngược Mô hình nhiễu nhân ngược Trong đó: gọi là mô hình danh định nominal model ~ là mô hình không chắc chắn : là hàm truyền ổn định, thay đổi bất kỳ thỏa mãn dùng mô tả yếu tố không chắc chắn không cấu trúc. W m : hàm truyền ổn định, đóng vai trò là hàm trọng ố 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 63

56 Mô hình nhiễu nhân ~ W m ut + + yt Biểu thức mô hình nhiễu nhân: ~ W : Thường dùng để mô tả các yếu tố không chắc chắn: Đặc tính tần ố cao của đối tượng Zero không chắc chắn m 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 64

57 Mô hình nhiễu cộng ~ W m ut + + yt Biểu thức mô hình nhiễu cộng: ~ : ~ Thường dùng để mô tả các yếu tố không chắc chắn: W m Đặc tính tần ố cao của đối tượng Zero không chắc chắn 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 65

58 Mô hình nhiễu cộng ngược ~ W m ut + yt Biểu thức mô hình nhiễu cộng ngược: ~ : Wm Thường dùng để mô tả các yếu tố không chắc chắn: Đăc tính không chắc chắn ở miền tần ố thấp Cực không chắc chắn 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 66

59 Mô hình nhiễu nhân ngược ~ W m ut + yt Biểu thức mô hình ai ố nhân ngược: ~ : Thường dùng để mô tả các yếu tố không chắc chắn: Đặc tính không chắc chắn ở miền tần ố thấp Cực không chắc chắn W m 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 67

60 Xây dựng mô hình không chắn chắn Cách Bước :Xây dựng mô hình danh định dùng phương pháp mô hình hóa thông thường với bộ thông ố danh định của đối tượng. Bước : Xác định hàm truyền trọng ố W m, tùy theo từng mô hình, hàm truyền trọng ố cần chọn thỏa mãn đ/kiện: ~ Mô hình nhiễu nhân: W m : ~ j W m j, j ~ Mô hình nhiễu cộng: W m : ~ W j j j, W m 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 68

61 Xây dựng mô hình không chắc chắn tt ~ Mô hình h nhiễu cộng ộ ngược : Wm W m j ~, j j ~ Mô hình nhiễu nhân ngược : W m j W m j ~, j Bước 3:xác định biểu thức hàm truyền trọng ố thỏa điều kiện ở bước dựa vào biểu đồ Bode Chú ý: thông thường W m có biên độ tăng dần theo tần ố, do ở miền tần ố càng cao độ bất định càng lớn 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 69

62 Chứng minh điều kiện hàm trọng ố Chứng minh điều kiện hàm trọng ố Mô hình nhiễu nhân: Mô hình nhiễu nhân: : ~ W m ~ j ~ j W j j j W j m ~ j j W j j j j W j m ~ j j W j j j W j m, j j j W m CM theo cách tương tự cho mô hình nhiễu cộng, mô hình 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 7 CM theo cách tương tự cho mô hình nhiễu cộng, mô hình nhiễu ố cộng ngược và mô hình nhiễu nhân ngược.

63 Xây dựng mô hình không chắn chắn Cách Chỉ áp dụng trong trường hợp hàm truyền đối tượng thật ~ chỉ có tham ố không chắc chắn, chẳng hạn: min max Bước : Đặt, trong đó: min max / / max min :Thay ~ Bước vào hàm truyền và thực hiện biến đổi để rút ra và W m từ mô hình: ~ Mô hình nhiễu nhân: W m : ~ Mô hình nhiễu cộng: : W m ~ Mô hình nhiễu cộng ngược: : W ~ Mô hình nhiễu nhân ngược: : 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 7 m W m

64 Thí dụ : Hệ thống có độ lợi không chắc chắn Bài toán: Cho HT mô tả bởi hàm truyền thực : trong đó độ lợi k nằm trong khoảng. k Xây dựng mô hình nhiễu nhân để mô tả hệ thống trên. iải: Mô hình nhiễu nhân: W : ~ m ~ k Chọn mô hình danh định: k k k k. min max January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 7

65 Thí dụ : Hệ thống có độ lợi không chắc chắn Cần chọn W m thỏa mãnđiều kiện: ~ j W m j, j k W m j,. k k k k 4.95 Wm j max W m j. 98.k k 5.5 k Kết luận: mô hình nhiễu nhân tìm được là: ~ W : 5.5 trong đó: W m. 98 m 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 73

66 Thí dụ : Hệ thống thời hằng không chắc chắn Bài toán: Cho HT có hàm truyền thực là: trong đó nằm trong khoảng. 5. ~ 8 Xây dựng MH nhiễu nhân để mô tả HT không chắc chắn trên iải: Mô hình nhiễu nhân: W : ~ 8.6 Chọn mô hình danh định: Cần chọn W m thỏa mãn điều kiện: ~ j j W m j, W, j m j.6 j Chọn W m thỏa mãn đ/kiện trên với. 5. dùng b/đồ Bode 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 74 m

67 Thí dụ : Hệ thống có thời hằng không chắc chắn tt log j W m - db T=. -5 T=.3 T=. T= rad 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 75

68 Thí dụ : Hệ thống có thời hằng không chắc chắn tt Dựa vào b/đồ Bode, có thể chọn W m có dạng: Dễ ễ thấy: T g ec lg K db T K Kết luận: mô hình nhiễu nhân tìm được là: ~ W : m W m W m K T trong đó: 8.6 W m January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 76

69 Thí dụ : Hệ thống có thời hằng không chắc chắn tt Biểu diễn mô hình nhiễu nhân dùng Matlab % Đối tượng có thời hằng không chắn chắn >> tau = ureal'tau',.6,'range',[. 5]; >> =tf8*[tau ],[ ]; %Hàm truyềncóthamố không chắn chắn >> figure >> bodeuample,,{.,} %Biểu đồ Bode của đốitượng kg chắcchắn %Môhìnhaiố nhân Multiplicative Uncertainty Model >> nom=tf8*[.6 ],[ ]; % Mô hình danh định >> Wm=tf[3.33 ],[3.33 ]; % Hàm truyềntrọng ố >> Delta = ultidyn'delta',[ ]; >> = nom*+w*delta ; % Mô hìnhh ai ốố nhân >> figure >> bodeuample,,{.,} % Biểu đồ Bode mô hình nhiễu nhân 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 77

70 Thí dụ : Hệ thống có thời hằng không chắc chắn tt Bode Diagram Bode Diagram Magn nitude db - -4 Magn nitude db Phae deg Phae deg Frequency rad/ec ~ ~ Frequency rad/ec W m : 8.6 W m Biểu đồ Bode của đối tượng Biểu đồ Bode mô có thời hằng không chắc chắn hình nhiễu nhân January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 78

71 Thí dụ 3: Hệ thống có trể không chắc chắn Bài toán: Cho h/thống mô tả bởi h/truyền thực : trong đó thời gian trể nằm trong khoảng. ~ 5e. Xây dựng MH nhiễu nhân để mô tả HT không chắc chắn trên iải: Mô hình nhiễu nhân: W : 5 Chọn mô hình danh định:. Cần chọn W m thỏa mãn điều kiện: ~ j W m j, Wm j ~ m j j e, Chọn W m thỏa mãn điều kiện trên dựa vào biểu đồ Bode 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 79

72 Thí dụ 3: Hệ thống có trể không chắc chắn tt 7 log j W m - db log e j,. blue,. green rad 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 8

73 Thí dụ 3: Hệ thống có trể không chắc chắn tt Dựa vào b/đồ Bode, có thể chọn W m có dạng: Dễ ễ thấy: T g.ec K lg 7 db K. 4 T Kết luận: mô hình nhiễu nhân tìm được là: ~ W : m W m W m K T.4. trong đó: 5. W m.4. 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 8

74 ~ Thí dụ 4: Hệ thống có cực không chắc chắn ~ 5 Bài toán: Cho h/thống mô tả bởi h/truyền thực : a trong đó thông ố a nằm trong khoảng. a.7 Xây dựng mô hình nhiễu cộng ngược để mô tả hệ thống trên iải: Có thể biểu diễn a như au: a.9. 8 Thay a vào ~ : trong đó ~ P W P 5.9 m.6 W m January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 8

75 Thí dụ 4: Hệ thống có cực không chắc chắn tt Biểu diễn mô hình nhiễu cộng ngược dùng Matlab % Đối tượng có cực không chắn chắn >> a = ureal a',.9,'range',[..7]; >> =tf5,[ a ]; %Hàm truyềncóthamố không chắn chắn >> figure >> bodeuample,,{.,} %Biểu đồ Bode của đốitượng kg chắcchắn %Môhìnhaiố cộng ngược Invere Additive Uncertainty Model >> nom=tf5,[.9 ]; % Mô hình danh định >> Wm=tf.6*[ ],[. ]; % Hàm truyềntrọng ố >> Delta = ultidyn'delta',[ ]; >> = nom/+w*delta*nom * ; % Mô hìnhh ai ốố cộngộ ngược >> figure >> bodeuample,,{.,} % Biểu đồ Bode mô hình nhiễucộng ngược 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 83

76 Thí dụ 4: Hệ thống có cực không chắc chắn tt 3 Bode Diagram 3 Bode Diagram Mag gnitude db - - Mag gnitude db Phae deg Phae deg Frequency rad/ec ~ 5 a. a ~ Frequency rad/ec / W m 5.9 :.6 W m 4 Biểu đồ Bode của đối tượng Biểu đồ Bode mô hình có cực không chắc chắn nhiễu cộng ngược 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 84

77 Cấu trúc M- Hệ thống điều khiển vòng kín bất kỳ với thành phần không chắc chắn có thể biến đổi về cấu trúc chuẩn M z w M Các bước ớ biến đổi HTĐK thành hcấu ấ trúc tú chuẩn ẩ M Xác định tín hiệu vào của M t/hiệu ra của, ký hiệu là w. Xác định tín hiệu racủa M tín hiệu vàocủa, ký hiệu làz z Tách thành phần không chắc chắn ra khỏi ơ đồ y Tìm hàm truyền M từ w đến z 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 85

78 Thí dụ: Cấu trúc M- Hãy biến đổi hệ thống dưới đây về cấu trúcchuẩn chuẩn M M W m rt K + + yt H 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 86

79 Thí dụ: Cấu trúc M- iải M z w W m rt K + + yt H Hàm truyền từ w đến z : M W K H K H m z w M 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 87

80 TÍNH ỔN ĐỊNH NỘI 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 88

81 Hệ thống điều khiển vòng kín dt rt x t ut K + + x t yt vt x 3 t H + + nt rt: tín hiệu đặt yt: tín hiệu racủađối tượng ut: tín hiệu racủa bộđiều khiển vt: tín hiệu racủa cảm biến dt: nhiễu hệ thống nt: nhiễu đo lườngờ 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 89

82 Các hàm truyền Các hàm truyền d y r K + + d u x x n H + + v x 3 H + r x H n d x x K 3 d r HK K H H HK x x 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9 n K HK x 3

83 Định nghĩa ổn định nội dt rt x t ut K + + x t yt vt x 3 t H + + nt Nhắc lại khái niệm ổn định BIBO: Hệ thống được gọi làổn định nếu tín hiệu vàobị chặn thì tín hiệu rabị chặn Bounded Input Bounded Output Hệ thống được gọi làổn định nội Internal Stability nếu tín hiệuệ vàobịị chặnặ thì tín hiệuệ ravàtất cả các tín hiệu bên trong hệ thống đều bị chặn. 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 9

84 Định lý ổn định nội Hệ thống ổn định h nội khi và chỉ khi hai điều kiện au đây được thỏa mãn: Hàm truyền +HK không có zero nằm bên phải mặt phẳng phức Không có triệt tiêu cực zero bên phải mặt phẳng phức khi tính tích các hàm truyền HK. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

85 Hàm truyền kín và hàm độ nhạy dt rt et ut K + + yt + + nt Hàm truyền kín: K T K Hàm độ nhạy: định lượng độ nhạy của T đối với ự thay đổi của : Chú ý: S : lim T S T T /T T / dt d. T S K T còn được gọi là hàm bù nhạy 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 93

86 ỔN ĐỊNH BỀN VỮN 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 94

87 Định nghĩa ổn định bền vững dt rt K + ~ yt + + nt Hệ thống được gọi làổn định bền vững nếu hệ thống ổn định nội với mọi đối tượng thuộc lớp môhình không chắc chắn ~ cho trước. Đánh giá tính ổn định bền vững Định lý Kharitonov Định lý độ lợi bé 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 95

88 Định Định lý lý Kharitonov Kharitonov Cho hệ thống điều khiển cóphương trình đặc trưng là: Cho hệ thống điều khiển có phương trình đặc trưng là: n n n n n n n a a a a a a a trong đó cáchệ ố của PTĐT nằm trong miền chotrước:,,...,, n i a a a i i i trong đó các hệ ố của PTĐT nằm trong miền cho trước: Định lý Kharitonov: HT ổn định bền vững với mọi nếu vàchỉ nếu bốn đa thức dưới đây đều làđa thức Hurwitz tức là đa thức có tất cả các nghiệm nằm bên trái mp phức i i i a a a tức là đa thức có tất cả các nghiệm nằm bên trái mp phức n n n n n n n a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a n n n n n n n a a a a a a a 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ n n n n n n n a a a a a a a

89 Định lý Kharitonov Thí dụ rt yt Cho hệ thống đ/khiển hồi tiếp âmvới: trong đó: m ; b 3;5 k 8; K m P 6 K P b k Đánh giá tính ổn định bền vững của hệ thống. iải: Phương trình đặc trưng: K P m b k m 3 b k K P 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 97

90 Định lý Kharitonov Thí dụ tt Xét các đa thức Kharitonov: Do 8 6 nên là đa thức Hurwitz Do 3 8 nên là đa thức Hurwitz Do 5 5 nên 3 không phải là đa thức Hurwitz. không cần xét 4 Kết luận: Theo định lý Kharitonov, hệ thống không ổn định bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 98

91 Định lý độ lợi nhỏ Small ain Theorem rt yt Định lý độ lợi nhỏ: Cho hệ hở ổn định. Hệ kín ổn định nếu j Chứng minh: Dễ dàng chứng minh dùng tiêu chuẩn ẩ ổn định Nyquit Chú ý: Định lý độ lợi nhỏ là điều kiện đủ để đánh giá ổn định Hệ thống không thỏa định lý độ lợi nhỏ vẫn cóthể ổn định j, Im j Re 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 99

92 Định lý ổn định bền vững Định lý ổn định bền vững: Cho hệ thống điều khiển vòng kín như hình vẽ, trong đó M là hàm truyền ổn định và là hàm truyền ổn định bất kỳ thỏa j. Hệ thống kín ổn định khi và chỉ khi: M j M Chứng minh: Sử dụng định lý độ lợi nhỏ Phản chứng. iả ử hệ kín không ổn định và M j j M j j M j trái giả thiết 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

93 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu nhân W m rt K + + yt Định lý: Hệ thống điều khiển mô hình nhiễu nhân ổn định bền vững với mọi nếu vàchỉ nếu hệ thống ổn định danh định, đồng thời bộ điều khiển K thỏa mãn điều kiện: W m T lg W T [ db ] W m trong đó: T L K S L K hàm độ nhạy bù 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

94 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu nhân tt Chứng minh: M W m rt K + + yt Biến đổi tương đương g hệ ệ thống về dạng ạ vòng M-, trong đó: M W m K K W T Sau đó áp dụng định lý ổn định bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ m

95 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu nhân tt Biểu diễn hìnhhọc: học: Chú ý: W m T W m j L j L j, Im W m j L j L j, Tại mọi tần ố, điểm tới hạn, j phải nằm ngoài hình tròn tâm Lj, bán kính W m jlj Lj W m L Re 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

96 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu cộng W m rt K + + yt Định lý: Hệ thống điều khiển mô hình nhiễu cộng ổn định bền vững ữ với mọi nếu ế và chỉ nếu ế hệ thống ổn định hdanh định, đồng thời bộ điều khiển K thỏa mãn điều kiện: W m KS lg KS [ db] W m trong đó: S L K hàm độ nhạy 5 January 4 H. T. Hoàng - HCMUT 4

97 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu cộng tt Chứng minh: M W m rt K + + yt Biến đổi tương đương g hệ ệ thống về dạng ạ vòng M-, trong đó: WmK M K W 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5 m KS Sau đó áp dụng định lý ổn định bền vững.

98 Điều kiện ổn định bền vững mô hình nhiễu cộng tt Biểu diễn hìnhhọc: học: Chú ý: W m KS j K j W m L j, Im W m j K j L j, Tại mọi tần ố, điểm tới hạn, j phải nằm ngoài hình tròn tâm Lj, bán kính W m jkj Lj W m K Re 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

99 Điều kiện ổn định bền vững MH nhiễu cộng/nhân ngược rt K ~ yt Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị xem hình. Nếu đối tượng ợ mô tả bởi mô hình nhiễu cộng ộ ngược: ợ ~ W thì điều kiện ổn định bền vững là: m : W m S Nếu đối tượng ợ mô tả bởi mô hình nhiễu nhân ngược: ợ ~ W m thì điều kiện ổn định bền vững là: : W m S 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

100 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ W m rt K + + yt Bài toán: Cho hệ thống điều khiển có ơ đồ khối như hình vẽ, đối tượng không chắc chắn mô tả bởi mô hình nhiễu nhân, trong đó: 3.33 W m Đánh giá tính ổn định bền vững của HT trong trường hợp: K 3.. K 3 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

101 iải: Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt Trường hợp : W m T W m T W m 4 K K Xét biểu đồ Bode Kjj và W m jtj.57 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

102 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt 5 Biểu đồ Bode Diagram Kjj Magnitude db -5 - Phae deg Frequency rad/ec Do M > và M > nên hệ danh định ổn định 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

103 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt Biểu đồ Bode biên Bode Diagram độ W m jtj - Ma agnitude db Dựa vào biểu đồ Bode biên độ W m jtj, ta xác định được: lg T.85[ db] [ db] W m W m T Do hệ thống danh định ổn định, đồng thời W m jtj <, nên hệ thống ổn định bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

104 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt Trường hợp : W m T Wm K K W m T Xét biểu đồ Bode Kjj và W m jtj 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

105 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt Biểu đồ Bode Diagram Kjj Magnitude db Phae deg Frequency rad/ec Do M > và M > nên hệ danh định ổn định 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

106 Đánh giá tính ổn định bền vững Thí dụ tt Biểu đồ Bode biên Bode Diagram độ W m jtj - Ma agnitude db Dựa vào biểu đồ Bode biên độ W m jtj, ta xác định được: lg T 8.5[ db] [ db] W m W m T Do W m jtj > nên hệ thống không ổn định bền vững 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

107 BIỂU DIỄN CHẤT LƯỢN DANH ĐỊNH DÙN HÀM ĐỘ NHẠY 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

108 Nhắc lại: Hàm truyền kín và hàm độ nhạy dt rt et ut K + + yt + + nt K Hàm truyền kín: T K Hàm độ nhạy: định lượng độ nhạy của T đi với ự thay đổi của : T /T/ T dt S : lim. S / d T K Chú ý: T S Hàm truyền tương từ rt đến et chính bằng hàm độ nhạy 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

109 Thí dụ hàm truyền kín và hàm độ nhạy dt rt et ut K + + yt + nt + 4 Đối tượng:.4. Bộ điều khiển: 6 K K 4 6 Hàm truyền kín: T K Hàm độ nhạy: S K January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

110 Thí dụ hàm truyền kín và hàm độ nhạy Magnit tude db Phae deg Biểu đồ Bode hệ hở Bode Diagram 5 C K* Frequency rad/ec Magnitude db Biểu đồ Bode hàm nhạy và hàm bù nhạy B Bode Diagram - 3 Tần ố cắt biên của hệ hở xấp ấ xỉ ỉ băng thông hệ kín C B S T 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

111 Chất lượng điều khiển rt et dt ut K + + yt Sai ố: e K r Sr + + nt Nhắc lại một ố kết luận trong môn CSTĐ: Nếu r là hàm nấc: e xl = nếu K có ít nhất khâu TPLT Nếu r là hàm dốc: e xl = nếu ế K có ít nhất khâu TPLT Chỉ tiêu chất lượng nếu r thuộc về một tập tín hiệu có chuẩn bị chặn? 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

112 Biểu diễn chất lượng danh định dùng hàm độ nhạy Trường hợp :Xét trường hợp r là tín hiệu hìnhin có tần ố bất kỳ và biên độ bằng. Yêu cầu chất lượng là biên độ ai ố nhỏ hơn. Do e r Sr K Chỉ tiêu chất lượng có thể biểu diễn như au: Đặt W p / S ut = t ut = int Chỉ tiêu chất lượng có thể viết lại dưới dạng: W p S y y g j 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

113 Biểu diễn chất lượng danh định dùng hàm độ nhạy r pf W F r r W F r pf Trường hợp :Tín hiệu vàor r có dạng trong đó r pf là tín hiệu hình in tần ố bất kỳ có biên độ bằng. Chuẩn ẩ vô cùng của ủ ai ố: ố e W F S iả ử yêu cầu chất lượng ợ là: Đặt Wp W F / e Yêu cầu chất lượng e tương ut đương = t điều ut = kiện: int y W p S y g j 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

114 Biểu diễn chất lượng danh định dùng hàm độ nhạy r pf W F r Trường hợp 3:Tín hiệu vàor r là tín hiệu r pf có năng lượng bằng đi qua một bộ lọc W F r : r W r, r Chuẩn bậc của ai ố: : iả ử yêu cầu chất lượng là: W / F e pf pf W e F S Đặt p W F u u Yêu cầu chất lượng e tương đương điều kiện: y W p S 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ y g

115 Biểu diễn chất lượng danh định dùng hàm độ nhạy Trường hợp 4:Trong một ố ứng dụng, người thiết kế dựa vào kinh nghiệm biết rằng để đạt chất lượng tốt, biểu đồ Bode biên độ của hàm độ nhạy phải nằm dưới một đường cong nào đó. Ý tưởng thiết kế này có thể viết dưới dạng: S j W, p j W p S Bode Diagram Magnitude db W p j S j January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

116 Biểu diễn chất lượng danh định dùng hàm độ nhạy Tóm lại: tùy theo ứng dụng cụ thể và tùy theo lớp tín hiệu vào, bằng cách chọn bộ lọc trọng ố chất lượng W p thích hợp, ta có thể biểu diễn chỉ tiêu chất lượng dưới dạng: W p S S W, W p 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

117 Bộ lọc trọng ố chất lượng thường dùng Hàm truyền trọng Biểu đồ Bode lg DiagramW p j ố chất lượng: W W p p B B B B Magnitude db B lg B lg W p S Ý nghĩa chỉ tiêu chất lượng danh định với trọng ố chất lượng ở trên là: Sai ố ố xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc ấ nhỏ hơn Sai ố bám theo tín hiệu hình in có biên độ bằng, tần ố bất kỳ ỳ nhỏ hơn Băng thông của hệ thống xấp xỉ B 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

118 Biểu diễn hình học chỉ tiêu chất lượng Chú ý rằng: W j W p p S, với L j K j j L j W p j L j, W p S Điều kiện để hệ thống thỏa chất lượng là đường cong Nyquit Lj của ủ hệ hở phải nằm ằ ngoài vòng tròn tâm, bán kính W p j Im Im W p Re W p Re Lj Lj 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

119 Đánh giá chất lượng danh định Thí dụ dt rt K + + yt nt + Cho hệ thống, trong đó: K 5 W p.5. Xét hàm trọng ố chất lượng: Hệ thống có thỏa mãn chất lượng danh định hay không? 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

120 iải: Đánh giá chất lượng danh định Thí dụ Hàm độ nhạy: Vẽ Biểu đồ Bode W p 5 S K W p S j S j Magnitude d db Bode Diagram lgw p j S j Dựa vào biểu đồ, ta thấy W p S vì lg W p S 6 db do đó hệ thống không thỏa mãn chất lượng danh định. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8

121 Đánh giá chất lượng danh định Thí dụ dt rt K + + yt Cho hệ thống, trong đó: 5 K 5 Xét hàm trọng ố chất lượng: W p. 5 + nt + Hệ thống có óthỏa mãn chất lượng danh định hhay không? 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9

122 iải: Đánh giá chất lượng danh định Thí dụ Hàm độ nhạy: S W p S K 3.5 Vẽ biểu đồ Bode biên độ: -5 Magnitude d db - W p j S j Bode Diagram lgw p j S j Theo b.đồ Bode, ta thấy W p S vì lg W p S.8 db do đó hệ thống thỏa mãn chất lượng danh định. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

123 CHẤT LƯỢN BỀN VỮN 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

124 Định nghĩa chất lượng bền vững dt rt K + + ~ yt + + nt Hệ thống được gọi là có chất lượng bền vững nếu hệ thống ổn định nội và thỏa mãn chỉ tiêu chất lượng mong muốn với mọi đối tượng thuộc lớp mô hình không chắc chắn ~ cho trước. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 3

125 Chất lượng bền vững mô hình nhiễu nhân W m rt K + + yt Xét hàm trọng ố chất lượng W p ~ Hàm độ nhạy của mô hình nhiễu nhân ~ S ~ K Điều kiện để đạt chất lượng bền vững: K W m W T S W T m W T m ~, WpS W S p T W m m W m, 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 33

126 Định lý chất lượng bền vững mô hình nhiễu nhân W m rt K + + yt Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển mô hình nhiễu nhân đạt chất lượng bền vững là: W p S W T m Chứng minh: Tham khảo Feedback Control Theory, trang January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 34

127 Định lý chất lượng bền vững mô hình nhiễu nhân tt Biểu diễn hìnhhọc: học: Chú ý: W p S W T m W p j W m j L j L j L j, W p j W j L j L j, m Im Tại ạ mọi ọ tần ố, vòng tròn tâm, j, bán kính W p j không được cắt W p Lj vòng tròn tâm Lj, bán kính W m jlj W m L Re 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 35

128 Chất lượng bền vững mô hình nhiễu cộng W m rt K + + yt Xét hàm trọng ố chất lượng W p ~ Hàm độ nhạy của mô hình nhiễu cộng ~ S S ~ K K W W Điều kiện để đạt chất lượng bền vững: W W KS mks m ~, W ps, W S p KS 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 36 m W m m KS W m

129 Định lý chất lượng bền vững mô hình nhiễu cộng W m rt K + + yt Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển mô hình nhiễu cộng đạt chất lượng bền vững là: W p S W m KS Chứng minh: Tham khảo Feedback Control Theory. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 37

130 Đánh giá chất lượng bền vững Thí dụ W m rt K + + yt Bài toán: Cho HTĐK cóơ đồ khốinhư hình vẽ, đốitượng không chắc chắn mô tả bởi mô hình nhiễu nhân, trong đó: W m K Hàm trọng ố chấtlượng là: W p. a Hệ thống có thỏa chất lượng danh định W p S? b Hệ thống có thỏa chất lượng bền vững W S W T? 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38 p p m

131 iải: Đánh giá chất lượng bền vững Thí dụ tt Kiểm tra điều kiện chất lượng danh định W p S.5. W p. K W p S Vẽ biểu đồ: j S j W p 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 39

132 Đánh giá chất lượng bền vững Thí dụ tt - - Theo biểu đồ: - 3 W p S p.67 Hệ thống thỏa điều kiện chất lượng danh định 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

133 Đánh giá chất lượng bền vững Thí dụ tt Kiểmtrađiềukiệnchấtlượng bềnvững W m T WmK K W m T Vẽ biểu đồ: W j S j W j T j p m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

134 Đánh giá chất lượng bền vững Thí dụ tt.5-3 Theo biểu đồ: W S W T.9383 p Hệ thống thỏa điều kiện chất lượng bền vững m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

135 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮN DÙN PHƯƠN PHÁP CHỈNH ĐỘ LỢI VÒN Loophaping p 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43

136 Ý tưởng thiết kế dùng phương pháp chỉnh độ lợi vòng W m rt K + + yt Bài toán: Cho đối tượng không chắc chắn môtả bởi MH nhiễu nhân. TK bộ ĐK K ao cho hệ kín đạt chất lượng bền vững Ý tưởng thiết kế: Chỉnh độ lợi vòng Lj để thỏa đạt chất lượng bền vững: Wp W WmL ps WmT L L L j Sau đó tính hàm truyền bộ điều khiển: K j j 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44

137 Các ràng buộc Ràng buộc đối với S và T: S và T cần thỏa mãn đẳng thức: S T, Trường hợp riêng, tại tần ố bất kỳ S và T không thể đồng thời nhỏ hơn / Ràng buộc đối với W p và W m : ĐK cần để hệ thống đạt chất lượng bền vững là: min W j, W j, p m Nghĩa là tại mọi tần ố, W p hoặc W m phải nhỏ hơn Thông thường W p đơn điệu giảm để ai ố bám nhỏ trong miền tần ố thấp và W m đơn điệu tăng vì độ bất định tăng ở miền tần ố cao. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45

138 Cơ ở toán học của phương pháp chỉnh độ lợi vòng Cơ ở toán học của phương pháp chỉnh độ lợi vòng Đặt: j T j W j S j W j Đặt: j T j W j S j W j m p j L j W j W j m p j L j L j Điều kiện chất lượng bền vững tương đương với:, j Từ biểu thức định nghĩa j uy ra các bất đẳng thức: Từ biểu thức định nghĩa j, uy ra các bất đẳng thức: L L W W L L W W m p m p L L Do ràng buộc nên tại mọi tần,, min j W j W m p 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46 ố ta phải có hoặc j W p j W m

139 Cơ ở toán học của PP chỉnh độ lợi vòng tt Xét trường hợp W m W p Wp L W m Wp L W m Wp Nếu W p thì vế phải bất đ.thức trên gần bằng W m Ở miền tần ố thấp thỏa Wp W m, điều kiện để hệ thống đạt chất lượng bền vững là: L W p W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47

140 Cơ ở toán học của phương pháp chỉnh độ lợi vòng tt Xét trường hợp W p W m L L W p W m W p W m Nếu W m thì vế phải bất đ.thức trên gần bằng W W W m Ở miền tần ố cao thỏa p W m, điều kiện để hệ thống đạt chất lượng bền vững là: L W m W p 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48 p

141 Trình tự thiết kế dùng PP chỉnh độ lợi vòng W m rt K + + yt Bài toán: Cho đối tượng ĐK môtả bởi môhìnhnhiễu nhiễu nhân. Thiết kế bộ ĐK K ao cho hệ kín đạt chất lượng bền vững Bước : Vẽ hai biểu đồ Bode biên độ W p S W m Ở miền t/ố thấp thỏa Wp W m : vẽ biểu đồ W m W p Ở miền t/ố ố cao thỏa Wp W m : vẽ ẽ biểu đồ W 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49 T W p m

142 Trình tự thiết kế dùng PP chỉnh độ lợi vòng Bước :Vẽ biểu đồ Bode biên độ Lj ao cho: Ở miền tần ố thấp: Lj nằm ở phía trên biểu đồ Bode, đồng thời Lj >>. Ở miền tần ố cao: Lj nằm ở phía dưới biểu đồ Bode, đồng thời Lj <<. Ở miền tần ố rất cao, độ dốc xuống Lj của ítnhất phải bằng độ dốc của j để đảm bảo Kj hợp thức. Độ dốc của Lj thay đổi càng ít càng tốt tại tần ố cắt biên. Tốt nhất độ dốc bằng db/dec tại tần ố cắt biên. Bước 3: Viết biểu thức Lj để có biểu đồ Bode ở bước. Bước 4: Tính K j L j / j Bước 5: Kiểm tra đ.k chất lượng ợ bền vững Nếu không thỏa mãn thì trở lại bước W p S W m T 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

143 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ W m rt K + + yt Bài toán: Cho ĐTĐK mô tả bởi mô hình nhiễu nhân: W m 3. Mục tiêu điều khiển là tín hiệu ra yt bám theo tín hiệu chuẩn rt có ódạng hình h in, tần ố ố bất kỳ nằm ằ trong miền rad/ với ai ố nhỏ hơn %. Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển K ao cho hệ kín đạt chất lượng bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

144 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ iải: Chọn hàm trọng ố chất lượng: W p j 5. neáu neáu Hàm trọng ố chất lượng được chọn như trên để tín hiệu racủa đối tượng bám theo t/hiệu chuẩn hìnhin trong miền rad/ với ai ố nhỏ hơn %. Xét biểu đồ Bode biên độ: W p j và W j W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5

145 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ 4 34 Bode Diagram Magnitude db - W p W m j j Bước : Dựa vào biểu đồ Bode ở trên, ta thấy: Trong miền : Trong miền : W Vẽ biểu đồ p W m W p W m W 5 j p. Vẽ biểu đồ. W p W m W neáu m neáu W p W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53

146 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ 48.5 Magnitude db Bode Diagram -4.6 W W p W W m m p Bước : Chỉnh độ lợi vòng: Miền : : Miền : L W p W m L K T T W p W m L 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54

147 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ Bước 3:Biểu thức L log K 48.5 K 66.5 T 3 T. 33 L Bước 4: Tính hàm truyền bộ điều khiển K L K 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55

148 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ Bước 5: Kiểm tra lại ạ điều kiện ệ chất lượng ợ bền vững Vẽ biểu đồ W p S W m T Amplitude - W p S Frequency rad/ W T m max W p S W T m.9558 Kết luận: HT đã thiết kế thỏa mãn đ.kiện chất lượng bền vững 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56

149 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ W m rt K + + yt Bài toán: Cho đối tượng ĐK mô tả bởi mô hình nhiễu nhân:. W m..5 Mục tiêu điều khiển là tín hiệu ra yt bám theo tín hiệu chuẩn rt có dạng hình in, tần ố bất kỳ nằm trong miền rad/ với ai ố nhỏ hơn %. Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển K ao cho hệ kín đạt chất lượng bền vững. 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57

150 iải: Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ Để tín ai ố bám theo tín hiệu chuẩn hình in trong miền rad/ với ai ố nhỏ hơn %, chọn hàm trọng ố chất lượng là bộ lọc Butterworth có độ lợi bằng. Trong thí dụ này, ta chọn W p là bộ lọc Butterworth bậc 3: W p 3 Xét biểu đồ Bode biên độ: W p j và j W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58

151 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ 5-5 W p W m j j Bước:Dựavàobiểu đồ Bode, ta thấy: Trong miền : Trong miền 5 : W p j W j W m p j Wm j p 3 W p. W Vẽ biểu đồ Vẽ biểu đồ p W W m m.5 W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59

152 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ 7 B Magnitude d 3 - Bode diagram 4dB/dec W W p W W m m p Bước: Chỉnh độ lợi vòng: W Miền : L p W m L Miền 5 : Wp T T L W m 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6 K

153 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ Bước ớ 3: Biểu thức L log K 7 K T T. 33 L Bước 4: Tính hàm truyền bộ điều khiển K L K January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6

154 Phương pháp chỉnh độ lợi vòng Thí dụ Bước5:Kiểmtralại điềukiệnchấtlượng bềnvững Vẽ biểu đồ W p S W m T W p S W T m max W p S W T.9785 Kết luận: Hệ thống đã thiết kế thỏa mãn đ.kiện chất lượng bền vững 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6 m

155 Nhận xét phương pháp chỉnh độ lợi vòng Ưu điểm: Đơn giản, ử dụng kỹ thuật vẽ biểu đồ Bode quen thuộc ở lý thuyết điều khiển kinh điển Áp dụng tương đốidễ dàng trong trường ờ hợp hệ thống bậc thấp Khuyết điểm: Đây là phương pháp gần đúng, trong nhiềutrường hợpphảiphải chỉnh độ lợi vòng bước nhiều lần mới thỏa mãn được điều kiện chất lượng bền vững bước 5. Áp dụng khá khó khăn trong trường hợp hệ bậc cao nếu phải vẽ các biểu đồ Bode bằng tay Phương gpháp pchỉnh độ lợi ợ vòng không nêu lên được điều kiện ệ cần và đủ để tồn tại lời giải của bài toán thiết kế Lời giải tìm được không phải là lời giải tối ưu Phương pháp thiết kế tối ưu H 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 63

156 THIẾT KẾ HỆ Ệ THỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU BỀN VỮN 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 64

157 wt Cấu trúc chuẩn P-K ut Hệ hở: P K yt zt z P P w y P P u P u Ky wt: tín hiệuvàotừ bên ngoài bao gồm tín hiệu đặt, nhiễu, zt: tín hiệu ra bên ngoài ut: tín hiệu ra của bộ điều khiển yt: tín hiệu vào của bộ điều khiển Có thể biểu diễn hệ thống điều khiển dưới dạng chuẩn cấu trúc P-K: Luật điều khiển: Hệ kín: P P I KP KP w z P z y P w u P I KP KP Hàm truyền kín từ wt đến zt: T zw 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 65

158 Các bước biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Bước:Xácđịnh các vector tín hiệuvào ra củacấutrúcpk: cấu P-K: z gồm tất cả các tín hiệu dùng để đánh giá chất lượng điều khiển. w gồm ồ tất ấ cả ả các tín hiệu từ ừ bên ngoài y gồm tất cả các tín hiệu được đưa vào bộ điều khiển K u gồm tất cả các tín hiệu ra của K Bước : Tách K ra khỏi ơ đồ khối hệ thống Bước 3: Viết các biểu thức z và y theo w và u: Bước 4: Xác định ma trận P thỏa: z y P w u 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 66

159 Biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Thí dụ Hãy biểudiễnhệ thống dưới đây dướidạngdạng cấutrúcchuẩn chuẩn PK, biết rằng tín hiệu ra dùng để đánh giá chất lượng điều khiển là e F t W p e F t rt K e t iải: Bước : Tín hiệu vào ra của cấu trúc PK w r z e F y e u u u t yt w t r t z t e t P ut K y t e t F 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 67

160 Biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Thí dụ tt Bước : Tách K ra khỏiơ đồ: W p e F t rt u t e t yt Bước 3: Quan hệ vào ra: z e F W e p W p r u z W p w W p u y e r u y w u Bước ớ 4: Xác định h P: z W y p Wpw u P W p Wp w t r t z t ef t y t e t u t u t 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 68

161 Biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Thí dụ Hãy biểudiễnhệ thống dưới đây dướidạngdạng cấutrúcchuẩn chuẩn PK, biết rằng tín hiệu dùng để đánh giá chất lượng điều khiển là e F t và y F t iải: rt e t W p K e Ft Bước : Tín hiệu vào ra của cấu trúc PK T w [ r d] T z [ e F y F ] y e u u dt + + u t yt W m y Ft w t zt P K ut yt 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 69

162 Biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Thí dụ tt Bước : Tách K ra khỏiơ đồ: rt e t W p e F t + + u t dt yt W m T w [ r d ] z [ e F y F ] y e u u y F t T Bước ớ 3: Quan hệ vào ra: z e W e W r d u F p p z W w W w p p W p u z y W d u z Wm w u F m y e r d u y w w u 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

163 Biến đổi hệ thống thành cấu trúc P-K Thí dụ tt Bước4:Xácđịnh P: z z y W p Wp Wpw z P P w W W w m m y P P u u P P P P P W p Wp Wp W m Wm w t r t z Wpw Wpwz t W pu ef t z t e t y W m w u y w w uu t u t 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7

164 Bài toán thiết kế tối ưu H Cho hệ thống điều khiểnbiểudiễn dưới dạng cấu trúc P-K. Mô hình toán học của đối tượng là x t Ax t Bw t Bu t z t Cx t Du t y t Cx t Dw t wt ut A B B A B P : C D C I A C D [ ] C D P K B D yt Bài toán tối ưu H : Tìm bộ điều khiển K hợp thức ổn định nội P, đồng thời tối thiểu chuẩn H của hàm truyền T zw từ wt đến zt K opt min Tzw K tabilizing 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7 zt

165 Điều kiện tồn tại lời giải bài toán tối ưu H wt iả thíết: ut P K yt zt A B B P : C D C D. A, B ổn định được và C, A phát hiện ệ được; ; *. R D D và R * DD A j I B 3. là ma trận hạng đầy cột với mọi C D A I B 4. j là ma trận ậ hạng đầy hàng với mọi C D 5 January 4 H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 73