GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM IN MAGNETNEM POLJU

Transcription

1 GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM IN MAGNETNEM POLJU Vsebina poglavja: električna in agnetna sila na naboj, Lorentzova sila, rotacija naboja v agnetne polju, poebne aplikacije: katodna cev, Hallov pojav, ciklotron. Equation Section 7 Gibanje nabojev v električne polju so že spoznali. Pozitivno naelektren delec se giblje v seri električnega polja, sila na naboj Q je Fe = QE. Dinaiko gibanja opišeo z enačbo... QE a = QE oziroa r = v = a =. Ker deluje pospešek v seri električnega polja, se u s potjo povečuje tudi hitrost in s te kinetična energija. Zanjšuje pa se u potencialna energija, saj se giblje v seri zanjšanja potenciala. Kako pa na gibanje naboja vpliva agnetno polje? Poznao izraz za silo na vodnik v agnetne dq dq dl polju: df = Idl B. Tok zapišeo v obliki in dobio df dl B dq B dt = dt = dt, pri čeer je d l hitrost gibanja naboja dq. Dobio df = dqv B oziroa 1 dt F = Qv B. (7.1) Sila na naboje v agnetne polju ne deluje v seri agnetnega polja teveč pravokotno na to ser. Poleg tega deluje ta sila le v prieru, če se naboj giblje (v električne polju pa deluje električna sila tudi na irujoč naboj). Sila je v skladu z enačbo (7.1) pravokotna na ser vektorja hitrosti in agnetnega polja. SLIKA: Ser vektorja agnetnega polja, hitrosti in sile. V hoogene polju bo delec rotiral po krožnici. Ser je odvisna od predzanaka naboja. 1 Velja poudariti, da je v foruli potrebno hitrost delca upoštevati kot hitrost relativno na opazovalca. 1/1

2 V prieru, da bo naelektren delec priletel v hoogeno polje, ki je pravokotno na ser leta, bo rotiral okoli centra s pospeško Q a = v B. Radij rotacije dobio z izenačenje agnetne in centrifugalne sile v QvB R = : v R = QB. (7.) Ker deluje sila na delec pravokotno na vektor hitrosti delca, se delcu v agnetne polju ne spreinja kinetična energija. Prier: Proton prileti s kinetično energijo 5 MeV v prostor hoogenega agnetnega polja velikosti 1,5 T, ki je pravokotno na ser priletelega delca. S kolikšno silo deluje nanj agnetno polje, kolikšen je radialni pospešek delca in kolikšen radij bi opisal v hoogene polju? v Izračun: Kinetična energija delca je W k = in se jo v fiziki delcev pogosto obravnava z enoto ev (elektron-volt), ki ustreza energiji 1eV = 1, J. Ker je asa protona (približno) enaka 1, W k 6 15 kg, bo hitrost delca enaka v = 31,6 10 /s. Sila bo enaka F = QvB 7,6 10 N. To je ajhna sila vendar deluje na ajhno aso, zato je kljub teu vpliv poeben: radialni pospešek F 1 je enak: 4,7 10 v a = /s. Radij kroženja je R = 10. QB Lorentzova sila. Če na naboj deluje tako električno kot agnetno polje, je potrebno zapisati silo kot vsoto električne in agnetne sile: F = QE + Qv B (7.3) Teu zapisu rečeo tudi Lorentzova sila, ki bi v principu zadoščala za obravnavo električnih in agnetnih pojavov. Poznati bi orali porazdelitev nabojev, nato pa bi računali njihovo gibanje v prostoru, preprosto z reševanje diferencialne enačbe a = QE + Qv B. V praksi je proble bolj kopleksen, saj je gibanje delcev v snovi zelo zapleteno. Je pa oenjen zapis prieren za obravnavo gibanja nabojev v vakuuu (zraku). Zopet drugače kot v električne polju, kjer delec pospešuje v seri polja in se u povečuje hitrost in s te kinetična energija. /1

3 Kako se giblje delec, če sta tako električno kot agnetno polje userjena v isto ser? Naboj pospešuje v seri polja in rotira okoli Bja. Gibanje je torej helično. SLIKA: Gibanje delca v hoogene električne in agnetne polju: a) E v isti seri kot B, v = 0; b) E v seri v, B pravokotno; c) E in B v isti seri vendar pravokotno na v. NARAVNI POJAV: Odklanjanje delcev v agnetne polju zelje Prier heličnega gibanja je tudi gibanje nabojev v zeeljske agnetne polju, še posebno v pasovih povečanega agnetnega polja, ki je znan kot Van Allenov radiacijski pas, kjer se ionizirani delci iz vesolja ujaejo v agnetno polje zelje. Ker se to polje zgoščuje v seri proti poloa, se delci gibljejo helično z vedno večjo frekvenco proti polu vendar obene opravljajo vedno anjšo pot. Na neke delu se ustavijo in začnejo krožiti v obratni seri. Teu principu rečeo agnetno zrcalo. Delec je ujet v agnetno polje, čeur rečeo tudi agnetna steklenica. Ob povečani sončevi aktivnosti dodatno injicirani očno energetizirani elektroni in protoni v Van Allenove radiacijske SLIKA: Prier severnega sija, ki nastane kot pasu povzročijo spreebno električnega posledica vpada energijskih delcev v zeeljsko polja v področju odboja delcev, ki se atosfero kot posledica povečane sončeve aktivnosti naesto odboja userijo proti zeeljski in spiralnega kroženja nabojev v Van Allenove radijaciske pasu. površini. Pri te trkajo v atoe in olekule zraka, ki ob trkih sevajo svetlobo. Ta svetloba ustvarja sij, ki ga poznao kot severni sij (aurora borealis). Poznao tudi južni sij (aurora australis). 3/1

4 SLIKA: Gibanje delcev v Van Allenove radijacijske pasu. Poebnejši prieri odklanjanja delcev: Katodna cev. Ciklotron Masni spektrograf Fuzijski reaktor Odklanjanje delcev v agnetne polju zelje APLIKACIJA: KATODNA CEV Katodna cev je steklena cev z zanjšani tlako v notranjosti. V njen je katoda, ki je izpostavljena očneu električneu polju in je prierno segreta, da iz nje z lahkoto izhajajo elektroni. Ti potujejo v seri električnega polja, ki ga ustvario z viro visoke napetosti (več kv). V sredini anode je luknjica, ki prepušča elektrone in jih v bistvu fokusira. Elektroni nadaljujejo pot proti fluorescentneu zaslonu, ed potjo pa preletijo prečno električno in agnetno polje, ki ga ustvarjajo kondenzatorji in tuljave. Ti s svoji polje oogočajo userjanje (curka) elektronov in s te risanje slike po zaslonu. Prier: V polju z napetostjo ed anodo in katodo kv pospešio elektron do končne hitrosti. Nato prileti v sredino ed ravni plošči, kjer je v prečni seri hoogeno električno polje 10 kv/. Dolžina elektrod je L=10 c. Kolikšen je odklon elektrona na dolžini elektrod? Nariši še potrebno ser polja? Odklanjajo jih s pospeško a y = F QE =, torej bo hitrost v y = a t in pot v seri polja y 1 = a t, v seri zaslona pa x L = v t. Odklon je torej enak QEL y =. Če hitrost v seri x-a vx določio iz izenačenja kinetične in potencialne energije v x QU = QU v = in dobio x EL y =. 4U ( ) 3 10 V/ 0,1 y = =, V 4/1

5 POMEMBNI ODKRITJI: OBSTOJ ELEKTRONA IN DOLOČITEV NABOJA ELEKTRONA S podobni eksperiento je leta 1897 J. J. Thoson na univerzi v Cabridge(u) dokazal obstoj elektronov. Če upoštevao še silo, ki jo ustvarjao z agnetni polje, dosežeo ravnotežje sil, ko velja QE = QvB, od koder je E v =. Iz razerja sil (električne poljske jakosti in gostote B agnetnega pretoka) lahko določio hitrost delca, kar pa lahko določio tudi iz odklona. Torej lahko iz odklona delca in znanega električnega in agnetnega polja določio razerje ed aso in naboje, kar je naredil JJ Thoson: B L =. S te je uspel dognati osnovne značilnosti elektrona, osnovnega naboja, zato se ta Q ye eksperient obravnava kot odkritje elektrona. Ker ni natančno poznal ase elektrona, iz poskusa ni ogel določiti velikosti osnovnega naboja. Prvo natančnejšo vrednost za velikost osnovnega naboja je postavil Robert A. Millikan leta s svoji znaeniti poskuso s kapljicai olja v električne polju (Nobelova nagrada 193). POMEMBNO ODKRITJE: HALLOV POJAV B v xb v F U + + U H Ali se odklonijo tudi naboji v prevodniku, če je le ta izpostavljen agnetneu polju. Odgovor je pozitiven in prvi ga je dokazal Edvin H Hall leta 1879, takrat še 4 letni absolvent univerze Johns Hopkins. Elektroni v prevodniku potujejo s hitrostjo drifta, ki jo poznao iz tokovnega polja, kjer je gostota toka J = ρv.ρ je d voluska gostota naboja. Na te naboje v prečne agnetne polju deluje sila F = QvB in povzroči rotiranje in kopičenje elektronov proti eni strani prevodne ploščice. Na drugi strani hkrati nastane poanjkanje elektronov oziroa kopičenje pozitivnega naboja. Prečno na tok v vodniku se torej vzpostavi električno polje in s te napetost, ki je sicer običajno ajhna pa še vedno erljiva (velikosti µv). Ker ora nastopiti ravnovesje ed električno in agnetno silo velja QE = QvB, od 5/1

6 I J IB koder je Hallova napetost U wd H = Ew = vbw = Bw = Bw =, kjer je w širina traku, d pa ρ ρ ρd debelina. Iz Hallove napetosti lahko določio hitrost drifta nabojev ali gostoto nabojev, najpogosteje pa se Hallova napetost uporablja za erjenje gostote agnetnega pretoka. Pri te se IB običajno uporablja kar forula U H = RH, kjer se R H ienuje Hallov koeficient. Iz izraza d vidio, da je Hallova napetost inverzno proporcionalna koncentraciji prostega naboja. Zato so za realizacijo Hallovega senzorja bolj prierni polprevodniški ateriali. Običajno so nosilci naboja elektroni, tedaj dobio polariteto Hallove napetosti kot je prikazano na skici. Če pa je polprevodnik tipa p, v nje prevajajo vrzeli (poanjkanje elektronov), kar se odraža v spreebi predznaka Hallove napetosti. Hallov senzor je realiziran s polprevodniško tehnologijo, ki oogoča iniaturizacijo in natančno določitev dopiranja (dodajanja priesi) polprevodnika, točk zajea napetosti, v odernejši izvedbi pa tudi realizacijo z vgrajeni tokovni viro in ojačevalce Hallove napetosti APLIKACIJA: MERJENJE MAGNETNEGA POLJA S HALLOVIM EFEKTOM Ena najpogostejših uporab Hallovega efekta je erjenje gostote agnetnega pretoka. Pri realizaciji je poebno zagotoviti či bolj natančen tokovni vir, kar dandanes oogoča integracija Hallovega eleenta z ostalii elektronskii eleenti v čipu. Večina tokovnih klešč vsebuje Hallov senzor, najdeo ga v elektronskih kopasih, za erjenje poikov, rotacije, itd. SLIKA: Čip senzorja s teslaetro. 6/1

7 Prier: Določite Hallovo napetost, če je prečno na d = 0,5 debel bakreni trak s toko 50 A agnetno polje gostote T. Koncentracija nosilcev naboja je n = 8, Izračun: Velja ρ = Q n = 13,44 10 C/ in zato e J I /( wd) IB U H = Ew = vbw = Bw = Bw = 15µV. ρ ρ ρd * DODATNO: erjenje Hallove napetosti na isti strani lističa. Ni nujno, da erio napetost ed nasprotnia točkaa traku. Upoštevati orao, da naboji ne potujejo le pod vplivo agnetne sile, pač pa tudi zaradi vzdolžne električne sile. Vzdolžno polje je E vzdolž J I IB = =. Izraz za prečno silo so že zapisali in je enak Eprečno =, torej bo razerje σ σ dt ρdt ed prečni in vzdolžni polje E E prečno vzdolžno σ 7 = B. V prieru bakra ( σ = 5,7 10 S/ ) dobio ρ razerje enako 8, oziroa kot 0,5 stopinj. Enako Hallovo napetost bi izerili, če bi bili erilni točki na isti strani vendar zaaknjeni za ta kot. Obstajajo tudi bolj občutljivi erilniki agnetnega polja. Na prier taki, ki delujejo na principu spreinjanja upornosti pri vzpostavitvi agnetnega polja. Senzorji takega tipa se na prier uporabljajo kot tipala v diskih. ODKRITJE IN APLIKACIJA: CIKLOTRON Ciklotron je naprava za pospeševanje nabitih delcev s poočjo agnetnega polja. No, sao agnetno polje ne ore biti dovolj, saj delec v agnetne polju ne pospešuje (razen tega, da ia radialni a konstanten pospešek). Dodaten efekt pospeševanja dosežeo tako, da znotraj rotacije delec preleti kratko razdaljo v električne polju, ki delcu doda hitrost in s te kinetično energijo. v Delcu se nekoliko poveča tudi radij kroženja R =. Tako se delcu ob vsaki rotaciji nekoliko QB poveča hitrost, energija in radij kroženja do dokončnega izstopa iz polja. Poebno je, da se pri 7/1

8 kroženju ne spreinja frekvenca kroženja, saj je v vzbujevalno električno polje. = ωr in zato ω = QB. S to frekvenco deluje tudi Za večje energije delcev (več kot 50 MeV) ciklotron ni več prieren, saj je potrebno upoštevati, da se hitrost delca približuje hitrosti svetlobe in se ne povečuje več linearno. V naene pospeševanja do večjih energij je potrebno uporabiti npr. sinhrotrone, ki so bistveno večji (radij kiloeter ali več) in sproti korigirajo ser delcev z električni in agnetni polje. SLIKA: Levo: Zgradba ciklotrona iz dveh D-jev (nasproti obrnjenih črk D). Desno: največji ciklotron na svetu: TRIUMPH (University of British Calubia, Kanada) pospeši H- ione do energije 50 MeV. Je preera 18, težek 18 ton, znotraj je polje 0,46 T, delce pa pospešuje napetostni vir 186 kv pri frekvenci 3 MHz (Wikipedia). SLIKA: Levo: slika delovanja ciklotrona iz patenta US , avtor Ernest O. Lawrence. Desno: prvi delujoči ciklotron iz University of California. 8/1

9 APLIKACIJA: MASNI SPEKTROGRAF Je naprava, ki s prido uporablja efekt odklanjanja nabitih delcev v agnetne polju. Delce z znano hitrostjo userio v področje s hoogeni polje, kjer začnejo krožiti. Na izhodu iz področja s polje je fotografski fil ali detektor, ki zazna prilet naboja. Iz znane začetne hitrosti in polera poti delca lahko določio aso delca in s te sa delec. Prier: Ion z naboje 1, C in aso 5, 10-0 kg pospešio v električne polju s potencialno razliko 1 kv, nakar vstopi v področje hoogenega agnetnega polja 80 T, ki je prečno na ser leta iona. Na kolikšni razdalji od vhodne točke v polje delec prileti v zaslon, če je zaslon od vstopne točke oddaljen za 5 c? Izračun: Hitrost delca pri vstopu v polje določio iz izenačenja kinetične in potencialne energije v = QU, od koder je hitrost delca ob vstopu v polje enaka QU v = 78,44 /s, radij kroženja pa v R = 319. Ker velja QB l R θ θ 3 o = sin = 44,9 10 in y = R R cos( θ ) 98 µ SLIKA: Odklanjanje v polju. * DODATNO: RELATIVISTIČEN POGLED NA GIBANJE DELCEV Spoznali so, da lahko gibanje nabojev opišeo z Lorentzovo silo F = QE + Qv B. Proble razuevanja te sile lahko nastane, če na ta zapis gledao iz različnih prostorov koordinatnih sisteov. Lorentz se je s tei vprašanji ubadal in prišel zelo blizu teoriji, ki je dandanes poznana 9/1

10 kot teorija relativnosti. Einstein pa jo je opisal v svoje znaenite delu iz leta 1905 z naslovo»o elektrodinaiki telesa v gibanju«. Govori o te, da ora veljati relativistična invariantnost vsake teorije. Tudi elektroagnetne. Torej orajo veljati enaki zakoni v kakršne koli koordinatne sisteu. S klasični razuevanje Lorentzove sile tako lahko prideo v težave v prieru, ko se tudi koordinatni siste preika z enako hitrostjo kot naboj. Običajno je lažje razišljati na način, da se opazovalec (i) giblje obene z naboje. Glede na opazovalca naboj iruje in nanj ne ore delovati agnetna sila, saj je zanjo potrebno, da se delec giblje. Za zunanjega opazovalca, recio u O, ki pa se ne giblje in vidi gibanje naboja in prvega opazovalca (O1), pa na naboj deluje sila. Ker ne ore biti, da v ene prier na naboj deluje sila, v druge pa ne (zahteva po invariantnosti) je rešitev v t.i. Lorentzovi transofraciji, ki upošteva gibanje različnih koordinatnih sisteov. V konkretne prieru lahko zaplet rešio tako, da preikajoči opazovalec tudi opazi silo na naboj, ki pa ne bo agnetna teveč električna. Enaka bo vb, kjer je v (skupna) hitrost gibanja. Iz tega vidio, da sta električno in agnetno polje neposredno povezana. Kaj pa, če se koordinatni siste giblje z drugo hitrostjo, recio u, delec pa s hitrostjo v. Tedaj lahko pišeo,,,,,, F = QE + Q( v u) B. Z enaki razisleko kot prej dobio,, F QuB Q( v u)( B) QvB = + =. Zopet enak rezultat in potrditev invariantnosti. Torej opazovalec, ki se giblje z različno hitrostjo kot delec»vidi«dve polji, tako električno kot agnetno, ki pa se delno ed sabo izničita in rezultirata v enaki obliki kot prej. (povzeto po I Galili, D. Kaplan:»Changing approach to teaching electroagnetis in a conceptually oriented introductory physics course«, A.J.Phys 65 (7), July 1997.) ODKRITJE: Kvantni Hallov efekt. Leta 1980 je neški fizik Klaus von Klitzing odkril (Nobelova nagrada za leto 1985), da se Hallova upornost ne spreinja zvezno s spreebo agnetnega polja pač pa skokovito in da ti skoki nastopajo pri upornostih, ki niso odvisne od lastnosti aterialov pač pa od določene kobinacije osnovnih fizikalnih konstant deljenih s celi število. Ugotovil je torej, da je tudi upornost kvantizirana. Pri teh upornostih»običajna«ohska upornost izostane in aterial postane superprevoden. Hallova prevodnost je s kvantni Hallovi efekto določena z enačbo σ = n, h kjer je n celo število, Q e naboj elektrona in h Plankova konstanta (6, J s) in je izredno h natančno določena, tako, da je tudi sprejeta kot erilo za upornost ( Q ohov, e Q e je približno 5 81,8 10/1

11 SLIKA: Skokovito spreinjanje upornosti z agnetni polje. ( K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494, 1980). PPT PRIKAZ: CIKLOTRONI, SIHHROTRONI IN MASNI SPEKTROGRAFI PPT PRIKAZ: HALLOV EFEKT IN UPORABA TER DRUGI EFEKTI (GMR,...) POVZETEK: 1) Sila na naboj v električne polju je F e = QE. Gibanje delca določa enačba a = QE. Gibanje je pospešeno, v seri polja, delcu se povečuje kinetična, zanjšuje pa potencialna energija. Kinetična energija je v, potencialna pa QV. ) Sila na naboj v agnetne polju je F = Qv B. Sila deluje le na gibajoč naboj, userjena pa je pravokotno na ravnino, ki jo določata vektorja hitrosti in polja. Naboj v agnetne polju rotira, poler rotacije v hoogene polju je v R =. Ser rotacije je odvisna od QB predznaka naboja. Hitrost naboja ostaja pri rotaciji ista, zato se u ne spreinja kinetična energija. 3) V električne in agnetne polju je potrebno upoštevati obe sili, dobio F = QE + Qv B. Ta zapis ienujeo Lorentzova sila. 11/1

12 Prieri kolokvijskih in izpitnih nalog: 1. kolokvij, 11. april kolokvij, kolokvij, 4. aj kolokvij, 3. aj kolokvij, izpit, 19. januar 006 izpit, 8. aprila 00 izpit, 9. januar 007 Izpit, 0. aprila 005 1/1