UNIVERZITET U KRAGUJEVCU PRIRODNO{MATEMATIQKI FAKULTET. Numeriqka aproksimacija dvodimenzionalnih paraboliqkih problema sa delta funkcijom

Transcription

1 UNIVERZITET U KRAGUJEVCU PRIRODNO{MATEMATIQKI FAKULTET Bratislav Sredojevi Numeriqka aproksimacija dvodimenzionalnih paraboliqkih problema sa delta funkcijom doktorska disertacija KRAGUJEVAC, 16

2 ИНДЕНТИФИКАЦИОНА СТРАНИЦА ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ I Аутор Име и презиме: Братислав В. Средојевић Датум и место рођења: , Горњи Милановац II Докторска дисертација Наслов: Нумеричка апроксимација дводимензионалних параболичких проблема са делта функцијом Број страна: 86 Установа и место где је рад урађен: Природно-математички факултет Крагујевац Научна област УДК: Математика 51 Ментор:др Дејан Бојовић, ванредни професор ПМФ-а Универзитета у Крагујевцу III Оцена и одбрана Датум пријаве теме: године Број одлуке и датум прихватања докторске дисертације: -Одлука Наставно-научног већа ПМФ-а у Крагујевцу, број, од год. Комисија за оцену подобности теме и кандидата: -Одлука Наставно-научног већа ПМФ-а у Крагујевцу, број. 37/XII-3, од год. -Одлука Стручног већа за природно-математичке науке Универзитета у Крагујевцу, број 334/5, од године 1. др Бошко Јовановић, редовни професор Математичког факултета Универзитета у Београду. др Миодраг Спалевић, редовни професор Машинског факултета Универзитета у Београду 3. др Дејан Бојовић, ванредни професор ПМФ-а Универзитета у Крагујевцу 4. др Марија Станић, ванредни професор ПМФ-а Универзитета у Крагујевцу Комисија за оцену и одбрану докторске дисертације: -Одлука Наставно-научног већа ПМФ-а у Крагујевцу, број 47/XIV-1, од године. -Oдлука Већа за природно-математичке науке Универзитета у Крагујевцу, бр. од године. 1. др Миодраг Спалевић, редовни професор Машинског факултета Универзитета у Београду. др Бранислав Поповић, ванредни професор ПМФ-а Универзитета у Крагујевцу 3. др Марија Станић, ванредни професор ПМФ-а Универзитета у Крагујевцу Датум одбране докторске дисертације:. године.

3 Saetak Graniqni problemi za parcijalne diferencijalne jednaqine predstav aju matematiqke modele najraznovrsnijih pojava, kao na primer provoea toplote, mehanike fluida, procesa atomske fizike itd. Samo u retkim sluqajevima ovi zadaci se mogu rexiti klasiqnim metodama matematiqke analize, dok se u svim ostalim mora pribegavati priblinim metodama. Metoda konaqnih razlika je jedan od najqexe primeivanih metoda za numeriqko rexavae graniqnih problema za parcijalne diferencijalne jednaqine. U okviru metode konaqnih razlika, jedan od glavnih problema je dokazivae konvergencije diferencijskih shema koje aproksimiraju graniqne probleme. Od posebnog interesa su ocene brzine konvergencije saglasne sa glatkoxu koeficijenata i rexea poqetnog problema. Prilikom numeriqke aproksimacije poqetno-graniqnih paraboliqkih problema sa generalisanim rexeima jav aju se i neki dodatni problemi: koeficijenti nisu neprekidne funkcije, promen ivi koeficijenti mogu biti i vremenski zavisni, koeficijenti i rexee pripadaju nestandardnim anizotropnim prostorima Sobo eva itd. Ova disertacija se upravo bavi tim problemima. U disertaciji je razmatran dvodimenzionalni poqetno-graniqni paraboliqki problem s koncentrisanim kapacitetom, tj. problem koji sadri Dirakovu delta funkciju kao koeficijent uz izvod po vremenu. Dodatna potexkoa u sluqaju graniqnih problema sa delta funkcijom kao koeficijentom, je da rexea problema ne pripadaju standardnim prostorima Sobo eva. U radu su dokazane apriorne ocene u odgovarajuim nestandardnim normama. Uz pretpostavku da koeficijenti pripadaju anizotropnim prostorima Sobo eva, konstruisane su diferencijske sheme s usredenom desnom stranom. Dokazane su ocene brzine konvergencije, 1 1, W i W u diskretnim normama. Dobijene su ocene brzine konvergencije celobrojnog reda saglasne sa glatkoxu koeficijenata i rexea poqetnog problema.

4 Summary Boundary problems for partial differential equations represent mathematical models of the most diverse phenomena, such as heat transfer, fluid mechanics, atomic physics, etc. Only in rare cases, these tasks can be solved by classical methods of mathematical analysis, while in all other must be resort to approximate methods. Finite-difference method is one of the most commonly used methods for the numerical solution of boundary value problems for partial differential equations. In the context of finite-difference method, one of the main problems is proving convergence of difference schemes which approximating boundary problems. Of particular interest are the estimates of the rate of convergence compatible with the smoothness of the coefficients and solution. When numerical approximations parabolic initial-boundary problems with generalized solutions, there are also some additional problems: the coefficients are not continuous functions, variable coefficients can be time-dependent coefficients and the solution belong to nonstandard anisotropic Sobolev spaces, etc. This dissertation is concerned with precisely these problems. The dissertation is considered a two-dimensional parabolic initial-boundary problem with concentrated capacity, that problem contains Dirac delta function as the coefficient of the derivative by time. A further problem, in the case boundary problems with delta function as the coefficient, is that solution not in standard Sobolev spaces. The paper demonstrated a priori estimates of the corresponding non-standard norms. Assuming that the coefficients belong to anisotropic Sobolev spaces have been constructed the difference schemes with averaged right-hand side. The estimates of the rate of convergence in the special discrete W and W norms, is proved. The estimates of the rate of, 1 1, convergence compatible with the smoothness of the coefficients and solution, are obtained.

5 ZAHVALNICA Ova disertacija je raena na Prirodno-matematiqkom fakultetu, pri Institutu za matematiku i informatiku u Kragujevcu pod mentorstvom prof. dr Dejana Bojovia. Izraavam posebnu zahvalnost prof. dr Dejanu Bojoviu na pomoi u toku rada na ovoj disertaciji. Zahva ujem se dr Boxku Jovanoviu na saradi i sugestijama a takoe i qlanovima komisije dr Miodragu Spaleviu, dr Branislavu Popoviu i dr Mariji Stani na neproceivoj pomoi pruenoj prilikom izrade ove disertacije. Najveu zahvalnost dugujem svojim rodite ima i bratu na nesebiqnoj pomoi i neizmernom strp eu i motivaciji.

6 Sadraj Uvod 5 1 Matematiqki aparat Prostori Sobo eva Anizotropni prostori Sobo eva Lema Brambla-Hilberta Multiplikatori u prostorima Sobo eva Apstraktni Koxijev problem Elementi teorije diferencijskih shema 5.1 Metoda konaqnih razlika Operatori usredea Apstraktni operatorsko-diferencijski problem Konvergencija diferencijske sheme,1 u diskretnoj W normi Paraboliqki problem sa promen ivim koeficijentima Postavka problema Numeriqka aproksimacija , Konvergencija u prostoru W Q hτ Paraboliqki problem sa vremenski zavisnim koeficijentima Postavka problema i numeriqka aproksimacija ,1 3.. Konvergencija u prostoru W Q hτ Konvergencija diferencijske sheme 1, u diskretnoj W normi Postavka problema Diferencijska shema Konvergencija diferencijske sheme Literatura 8

7 Uvod Metoda konaqnih razlika je jedna od najznaqajnijih metoda za pribli- no rexavae parcijalnih diferencijalnih jednaqina. Jedan od problema koji se jav a pri korixeu ove metode je i problem konstrukcije konvergentnih diferencijskih shema. U okviru tog problema od interesa je uspostav ae veze izmeu glatkosti ulaznih podataka i brzine konvergencije diferencijskih shema. U sluqaju linearnih parcijalnih jednaqina drugog reda paraboliqkog tipa izgraena je kompletna teorija egzistencije i jedinstvenosti rexea osnovnih poqetno-graniqnih problema u anizotropnim prostorima Sobo eva W s,s/. Zato moemo za ocenu brzine konvergencije koristiti diferencijske analoge ovakvih normi. Neka je u = ux, t rexee poqetno-graniqnog problema i v rexee odgovarajue diferencijske sheme. Za ocenu brzine konvergencije paraboliqke diferencijske sheme oblika v.[16]: 1 u v W k,k/ Q hτ Ch + τ s k u W s,s/ Q, s > k, gde je h korak po prostornim promen ivim,a τ korak po vremenskoj promen ivoj, rei emo da je saglasna sa glatkoxu rexea polaznog poqetnograniqnog problema. Ako koraci h i τ zadovo avaju prirodnu relaciju: ocena 1 se svodi na oblik: k 1 h τ k h, k 1, k = const > u v W k,k/ Q hτ Chs k u W s,s/ Q, s > k. U sluqaju jednaqina sa promen ivim koeficijentima konstanta C zavisi od normi koeficijenata v.[38]. Ako koeficijenti ne zavise od t, dobijamo ocene oblika: 3 u v k,k/ W Q hτ Chs k max a ij W s 1 p Ω u, s > k. W s,s/ Q i,j

8 Uvod 6 U sluqaju da koeficijenti zavise i od t, xto je posebno razmatrano, imamo ocene oblika: 4 u v k,k/ W Q hτ Chs k max a ij u, s > k. s 1,s W p Q W s,s/ Q i,j Tehnika izvoea ovih ocena zasnovana je na lemi Brambla-Hilberta i enim generalizacijama. Jedna od interesantnijih klasa poqetno-graniqnih problema su i problemi sa koncentrisanim kapacitetom, tj. problemi koji sadre Dirakovu delta funkciju kao koeficijent uz izvod po vremenu v.[1],[6],[3]. U jednodimenzionom sluqaju takvi problemi su razmatrani u radovima Jovanovia, Vulkova, Bojovia [5],[6],[19],[],[3],[6]. Dvodimenzioni problemi razmatrani su u radovima [4] i [7]. Ci ove disertacije je nastavak i proxiree istraivaa zapoqetih u radovima [4] i [7]. Prva glava sadri osnovne pojmove i tvrea potrebne za razmatrae poqetno-graniqnih problema s generalisanim rexeima. Definisani su standardni izotropni i anizotropni prostori Sobo eva i zatim navedene odgovarajue teoreme potapaa u ovim prostorima. Data je lema Brambla-Hilberta sa generalizacijama, neophodna za oceivae funkcionala u prostorima Sobo eva. Razmatran je apstraktni Koxijev problem i dokazane su apriorne ocene u odgovarajuim normama. U drugoj glavi dati su elementi teorije diferencijskih shema. Definisane su konaqne razlike, diferencijske sheme i problemi stabilnosti i konvergencije diferencijskih shema. Da e, dati su Steklov evi operatori usredea neophodni za rad u sluqaju kada ulazni podaci nisu neprekidne funkcije. Razmatran je i i apstraktan operatorskodiferencijski problem i dokazane odgovarajue apriorne ocene. Originalni rezultati disertacije dati su u treoj i qetvrtoj glavi v.[8], [45], [46]. U treoj glavi je razmatran dvodimenzionalni paraboliqki problem sa koncentrisanim kapacitetom i promen ivim koeficijentima. Kao uvod u istraivae, u poglav u 3.1 razmatrana je jednaqina sa mexovitim izvodima i promen ivim ali ne i vremenski zavisnim koeficijentima v.[7]. Deta no su dokazane sve ocene funkcionala. U poglav u 3. razmatran je problem sa promen ivim vremenski zavisnim koeficijentima. Uz pretpostavku da koeficijenti pripadaju anizotropnim prostorima Sobo eva, dokazana je ocena brzine konvergencije diferencijske sheme u prostoru W Q hτ saglasna sa glatkoxu koeficijenata,1 i rexeem poqetnog problema v.[8]. U qetvrtoj glavi je takoe razmatran dvodimenzionalni paraboliqki

9 Uvod 7 problem sa koncentrisanim kapacitetom i vremenski zavisnim koeficijentima, ali uz pretpostavku da koeficijenti i rexee pripadaju prostorima mae glatkosti nego u prethodnom sluqaju. Dokazana je ocena 1, brzine konvergencije diferencijske sheme u prostoru W Q hτ saglasna sa glatkoxu koeficijenata i rexeem poqetnog problema v. [45].

10 1 Matematiqki aparat Prva glava sadri osnovne pojmove i tvrea potrebne za razmatra- e poqetno-graniqnih problema s generalisanim rexeima. Definisani su prostori Sobo eva, anizotropni prostori Sobo eva i navedene odgovarajue teoreme potapaa u ovim prostorima. Data je lema Brambla- Hilberta sa generalizacijama, neophodna za oceivae funkcionala u prostorima Sobo eva. Razmatran je apstraktni Koxijev problem i dokazane su apriorne ocene u odgovarajuim normama. 1.1 Prostori Sobo eva Uvedimo najpre pojmove i oznake koje emo koristiti u da em radu. Otvoren i povezan skup Ω R n nazivamo oblaxu. Neka je f : Ω R n. Nosaqem funkcije f, u oznaci suppf, nazivaemo zatvoree skupa taqaka u kojima je fx =. Parcijalne izvode oznaqavaemo na sledei naqin: D i f = f x i, D α f = D α 1 1 D α D αn n f = gde je α = α 1, α,..., α n i α = α 1 + α α n. Koristiemo sledee funkcionalne prostore: α f α 1 x1 α x α n xn, C m Ω =prostor funkcija neprekidnih u Ω, zajedno sa svim parcijalnim izvodima reda mm N { }, CΩ = C Ω, C m Ω = potprostor C m Ω koji qine funkcije s kompaktnim nosaqem u Ω,

11 1 Matematiqki aparat 9 C m Ω = prostor funkcija neprekidnih na Ω zajedno sa svim parcijalnim izvodima reda m sa normom: f C m Ω = max max D α fx, α m x Ω L p Ω = Lebegov prostor mer ivih funkcija na Ω, za koje je: f Lp Ω = 1/p fx p dx <, 1 p <, odnosno, Ω f L Ω = supess f x <. x Ω L p, loc Ω = prostor lokalno integrabilnih funkcija: Funkcija fx L p, loc Ω ako fx L p Ω za svaku ograniqenu podoblast Ω Ω. Za hiperpovrx S R n dimenzije n 1 kaemo da je klase C m, u oznaci S C m, ako se u okolini svake taqke x S moe predstaviti jednaqinom: φ x x =, pri qemu φ x C m. Za hiperpovrx S kaemo da je neprekidna po Lipxicu ako se moe podeliti na konaqno mnogo delova S j od kojih se svaki moe predstaviti jednaqinom oblika: x ij = ψ j x 1,..., x ij 1, x ij +1,..., x n, pri qemu je funkcija ψ j neprekidna po Lipxicu. Za oblast Ω kaemo da je Lipxicova ako joj je granica neprekidna po Lipxicu. U skupu funkcija C R n definixemo konvergenciju na sledei naqin. Definicija 1.1. Za niz funkcija φ j C R n kaemo da konvergira ka funkciji φ C R n ako su ispueni sledei uslovi: 1. Postoji kompaktan skup K R n takav da skup supp φ j K za svako j,. Za svaki multiindeks α, niz D α φ j uniformno konvergira ka D α φ na K, kad j. Prostor C R n snabdeven ovom topologijom nazivaemo prostorom osnovnih funkcija i oznaqavati sa D = DR n. Ako je Ω oblast u R n sa

12 1 Matematiqki aparat 1 DΩ DR n oznaqavaemo skup osnovnih funkcija qiji su nosaqi u Ω. Linearne neprekidne funkcionale na skupu DΩ nazivaemo distribucijama, a ihov skup oznaqavaemo sa D Ω v.[4]. Vrednost distribucije φ D Ω na osnovnoj funkciji φ DΩ oznaqavamo sa: f, φ = f, φ D Ω DΩ. Ako je fx L 1, loc R n tada je sa: φx fxφxdx R n definisan jedan linearan ograniqen funkcional na DR n. Drugim reqima, svaka lokalno integrabilna funkcija indukuje jednu distribuciju. Ovakve distribucije nazivamo regularnim. Svaku regularnu distribuciju izjednaqavaemo s lokalno integrabilnom funkcijom koja je indukuje i pisati: f, φ = fxφxdx. R n Mnoee distribucije f D Ω glatkom funkcijom a C Ω definixe se na sledei naqin: af, φ = f, aφ, φ DΩ. Diferencirae distribucije f D Ω definixe se na sledei naqin: D α f, φ = 1 α f, D α φ, φ DΩ. Primetimo da je svaka distribucija beskonaqno puta diferencijabilna. Uvedimo sada prostor Sobo eva v.[1]. Neka je k N i 1 p. Prostor Sobo eva W k p Ω definixe se na sledei naqin: W k p Ω = {f L p Ω : D α f L p Ω, α k}. Pri tome se izvodi shvataju u smislu distribucija. Specijalno, za k =, oznaqavaemo: W p Ω = L p Ω. Norma u W k p Ω uvodi se na sledei naqin: f W k p Ω = k i= f p W i pω 1 p, 1 p <,

13 1 Matematiqki aparat 11 gde je: f p = D α f p WpΩ i L p Ω, α =i 1 p odnosno: gde je: f W k Ω = max i k f W i Ω, f W i Ω = max D α f L Ω. α =i Prostor Wp k Ω je Banahov prostor. prostor sa skalarnim proizvodom: Specijalno, W k Ω je Hilbertov f, g W k Ω = D α fxd α gxdx. Za < σ < 1 oznaqimo: f W σ p Ω = Ω Ω α k Ω fx fy p dxdy x y n+σp 1 p, 1 p <, odnosno: f x f y f W σ Ω = supess. x Ω x y σ Prostor Sobo eva Wp s Ω s razlom enim pozitivnim indeksom s = [s]+σ, < σ < 1, definixe se kao skup funkcija iz W p [s] Ω, za koje je konaqna norma: gde je: odnosno: gde je: f W s p Ω = 1 f p + W p [s] Ω f p p Wp sω, 1 p <, f W s p Ω = α =[s] D α f p W s [s] p Ω f W s Ω = f W [s] Ω + f W s Ω, f W s Ω = α =[s] D α f W s [s] Ω. Zatvoree skupa DΩ u normi prostora W s p Ω predstav a potprostor W s p Ω koji emo oznaqavati sa Ẇ s p Ω. U teoriji prostora Sobo eva fundamentalnu ulogu imaju teoreme potapaa v.[1],[3],[34],[47]. 1 p,

14 1 Matematiqki aparat 1 Teorema 1.1. Neka je f W s p Ω, s > i neka je granica oblasti Ω neprekidna po Lipxicu. Tada vae sledea potapaa: a ako je sp < n tada b ako je sp = n tada W s p Ω L q Ω, p q np n sp, W s p Ω L q Ω, p q <, v ako je sp > n tada W s p Ω CΩ. Teorema 1.. Neka je t s < i 1 < p q < i s n/p t n/q. Tada vai: W s p Ω W q t Ω. Teorema 1.3. Neka f Wp s Ω, s > 1/p, s ceo broj + 1/p i neka je granica oblasti Ω dovo no glatka Γ C [s] +1. Tada postoji trag funkcije f na granici Γ koji pripada prostoru Wp s 1/p Γ i vai ocena: f C f s 1/p W p Γ Wp s Ω. Takoe nam je potreban sledei rezultat v.[35]: Lema 1.1. Za f W 1 p, 1, p > 1 i ε, 1 vai sledea ocena: f Lp,ε Cε 1/p f W 1 p,1. 1. Anizotropni prostori Sobo eva Qesto se pojav uju funkcije koje imaju razliqitu glatkost po pojedinim promen ivim, kao u sluqaju rexea paraboliqkog problema. Prostori takvih funkcija nazivaju se anizotropnim. Neka je R + skup nenegativnih realnih brojeva. U ovom ode ku elemente skupa R n + nazivaemo multiindeksima. Za α = α 1, α,..., α n T R n +

15 1 Matematiqki aparat 13 oznaqimo: [α] = [α 1 ], [α ],..., [α n ] T i [α] = [α 1 ], [α ],..., [α n ] T gde je [α i ] = najvei ceo broj α i i [α i ] = najvei ceo broj < α i. Uvedimo i konaqne razlike: i, h fx = fx + hr i fx, h R, i = 1,,..., n, gde su r 1, r,..., r n jediniqni vektori koordinatnih osa u R n. Neka je Ω oblast u R n, s granicom neprekidnom po Lipxicu. Za α R n + i 1 p < uvodimo polunormu f α, p na sledei naqin: f p α, p = f p L p Ω, za α 1 = α = = α n =, f p i,, hi fx p α, p = dh Ω Ω i x h i 1+pα i dx, za < α i < 1, α k =, k i, i f p i, hi j, hj fx p α, p = dh Ω Ω ij x h i 1+pα i hj 1+pα j i dh j dx, za < α i, α j < 1, α k =, k i, j, f p 1, h1... n, hn fx p α, p = Ω Ω 1...n x h 1 1+pα 1 hn dh 1+pα 1 dh n n dx, za < α 1, α,..., α n < 1, f p α, p = D [α] f p α [α],p, ako je neko α k 1. Ovde je oznaqeno: Ω i x = {h i : x + h i r i Ω}, Ω ij x = {h i, h j T : x + c i h i r i + c j h j r j Ω, c i, c j =, 1}, Ω 1...n x = {h 1,..., h n T : x + n c k h k r k Ω, c k =, 1}. k=1 Za p = integrali u definiciji se zameuju sa supess: f α, = f L Ω, za α 1 = α = = α n =, i, hi fx f α, = supess, za < α x Ω, h i Ω i x h i α i < 1, α k =, k i, i itd. Konaqan skup multiindeksa A R n + nazivaemo regularnim ako vai: =,,..., T A

16 1 Matematiqki aparat 14 i za svako α = α 1, α,..., α n T A postoje realni brojevi β k α k k = 1,,..., n takvi da β k r k A. Ako je A regularan skup multiindeksa uvodimo norme: 1 p f W A p Ω =, 1 p <, α A f p α, p f W A Ω = max α A f α,. Zatvoree C Ω u normi W A p Ω oznaqavaemo sa Wp A Ω. Neka je, da e, Ω oblast u R n i H proizvo an Hilbertov prostor. Prostori Sobo eva Wp s Ω, H funkcija f : Ω H definixu se analogno sa prostorima Wp s Ω, pri qemu se apsolutna vrednost zameuje sa normom prostora H. Tako je: 1 p f LpΩ, H = fx p H dx, 1 p <, f W i p Ω, H = Ω D α f p L pω, H α =i 1 p, i =, 1,,..., f W σ p Ω, H = Ω Ω fx fy p L p Ω, H dx dy x y n+σp 1 p, < σ < 1, itd. Neka je Q = Ω I, gde je Ω R n i I =, T R. Ako su s i r nenegativni realni brojevi, anizotropni prostor Sobo eva Wp s, r Q definixemo na sledei naqin v.[1]: pri qemu se norma uvodi sa: f W s, r p Q = Wp s, r Q = L p I, Wp s Ω Wp r I, L p Ω, T ft p Wp s Ω dt + f p Wp r I,L pω 1 p, 1 p <, s odgovarajuom izmenom za p =. Prostor Wp s, r Q se svodi na prostor oblika Wp A Q. Na primer, ako s N tada je: A = {α 1,..., α n, T : α i N, α α n s} {,...,, β T : β N, β < r} {,...,, r T }.

17 1 Matematiqki aparat 15 U da em radu koristiemo prostor s, s/ W Q = L I, W s Ω W s/ I, L Ω. Kod ega moemo izdvojiti najstariju polunormu stav ajui: f W s, s/ Q = T f, t W s Ω dt + f W s/ I,L Ω Anizotropni prostori takoe zadovo avaju odreene teoreme potapaa. U da em radu bie nam potrebna sledea tvrea v.[3], [31], [47]. Teorema 1.4. Neka f W s, r Q, s, r > i neka α N n i k N zadovoavaju uslov α /s + k/r 1. Tada gde je D α xd k t f W µ, ν Q, µ s = ν α r = 1 s + k, r D x i D t parcijalni izvodi po x = x 1,..., x n i t. Teorema 1.5. Ako f W s, r Q, s, r >, tada za k < r k N postoji trag k fx, W q t k r Ω, gde je q = s r k /r. 1. Teorema 1.6. a ako je sp > n + tada W s, s/ p Q CQ, b ako je 1 p q, t s < i s n + /p t n + /q tada s, s/ t, t/ Wp Q Wq Q. Uvedimo i prostor Ŵ s, s/ Q = W s,...,s,s/ Q. Vai: uz ekvivalentnost normi v.[1]. s, s/ s, s/ W Q = Ŵ Q

18 1 Matematiqki aparat Lema Brambla-Hilberta Lema Brambla-Hilberta ima fundamentalnu ulogu za oceivae linearnih funkcionala u prostorima Sobo eva v.[1], [11],[14]. Lema 1.. Neka je Ω oblast u R n s Lipxicovom granicom, s-pozitivan realan broj i P s skup polinoma od n promen ivih stepena < s. Tada postoji konstanta C = CΩ, s, p takva da je: inf P P s f P W s p Ω C f W s p Ω, f W s p Ω. Ova lema se lako prenosi na anizotropne prostore Sobo eva. Neka je A R n + regularan skup nenegativnih realnih multiindeksa. Sa κa oznaqimo konveksan omotaq skupa A u R n. Neka je κa deo granice skupa κa koji ne pripada koordinatnim hiperravnima i A = A κa. Neka je B podskup od A, takav da je B regularan skup multiindeksa, i νb = {β N n : D [α] x β, α B}. Sa P B oznaqimo skup polinoma oblika: P x = p α x α. Vai sledei rezultat v.[15], [7]: α νb Lema 1.3. Neka je Ω oblast u R n s Lipxicovom granicom i neka skupovi multiindeksa A i B zadovo avaju gore uslove. Tada postoji konstanta C = CΩ, A, B, p takva da je: inf f P W A P P p Ω f α,p, B α B f W A p Ω. Sledea tvrea su neposredna posledica Leme 1.3. Lema 1.4. Neka je ηf ograniqen linearan funkcional na W A p Ω koji se anulira kada je fx = x α, α νb. Tada postoji konstanta C = CΩ, A, B, p takva da za svako f W A p Ω vai nejednakost: ηf C α B f α, p. Lema 1.5. Neka A k, B k i Ω k u R n k k = 1,,..., m zadovo avaju iste uslove kao A, B i Ω. Neka je ηf 1, f,..., f m ograniqen polilinearan funkcional na W A 1 p 1 Ω 1 W A Ω W A m p m Ω m, koji se anulira ako je p

19 1 Matematiqki aparat 17 neki od egovih argumenata oblika f k = x α, x Ω k, α νb k. Tada postoji konstanta C = CΩ 1, A 1, B 1, p 1, Ω, A, B, p,..., Ω m, A m, B m, p m takva da za svako f 1, f,..., f m W A 1 p 1 Ω 1 W A Ω W A m p m Ω m vai nejednakost: ηf 1, f,..., f m C p m k=1 α B k f k α, pk. 1.4 Multiplikatori u prostorima Sobo eva Neka su V i W dva realna funkcionalna prostora u oblasti Ω. Za funkciju a definisanu na Ω kaemo da je multiplikator iz V u W ako za svako f V, proizvod ax fx pripada prostoru W. Skup ovakvih multiplikatora oznaqavamo sa MV W. Specijalno za V = W stav amo MV = MV V. Ograniqimo se na multiplikatore MW t pω W s p Ω, 1 p <, t s. Navedimo neke osnovne rezultate o multiplikatorima u prostorima Sobo eva v.[33]. Lema 1.6. Ako a MW t pr n W s p R n, t s, tada: a MW t s p R n L p R n, a MW t σ p R n W s σ p R n, < σ < s, D α a MWpR t n Wp s α R n, α s, D α a MWp t s+ α R n L p R n, α s. Lema 1.7. Neka je t s. Ako a MWpR t n Wp s R n tada a MWpR t n+k Wp s R n+k. Takoe a MWp t,t/ R n R Wp s,s/ R n R. Lema 1.8. Ako a α MWp s α R n Wp s k R n, s < k, za svaki multiindeks α, tada diferencijski operator: 1.1 Lu = a α xd α u, x R n α k definixe neprekidno preslikavae W s p R n W s k p R n.

20 1 Matematiqki aparat 18 Lema 1.9. Neka operator 1.1 definixe neprekidno preslikavae iz Wp s R n u Wp s k R n i neka je ps k > n, p > 1. Tada za svaki multiindeks α. a α MWp s α R n Wp s k R n Prethodni rezultati se mogu preneti i na prostore Sobo eva u oblasti. Preciznije, ako je Ω Lipxicova oblast u R n i a pripada prostoru MW t pω W s p Ω tada postoji produee ã na R n koje pripada prostoru MW t pr n W s p R n. Vai i obrnuto: suee multiplikatora a MW t pr n W s p R n na Ω pripada prostoru MW t pω W s p Ω. Lema 1.1. Neka je Ω ograniqena Lipxicova oblast u R n, s > i p > 1. Ako a W t qω, gde je: tada a MW s p Ω. q = p, t = s, kada je sp > n, odnosno q n/s, t = s + ε / N, ε >, kada je sp n, Lema Neka je Ω ograniqena Lipxicova oblast u R n, s > i p > 1. Ako a L q Ω, gde je: tada a MW s p Ω L p Ω. q = p, kada je sp > n, q > p, kada je sp = n, i q n/s, kada je sp < n, 1.5 Apstraktni Koxijev problem Neka je H realan separabilan Hilbertov prostor snabdeven skalarnim proizvodom, i normom i S neograniqen samokonjugovan pozitivno definitan linearan operator, qiji je domen DS gust u H. Lako je videti da proizvod u, v S = Su, v u, v DS zadovo ava aksiome skalarnog proizvoda. Zatvoree DS u normi u S = u, u S predstav a Hilbertov prostor H S H. Skalarni proizvod u, v se neprekidno

21 1 Matematiqki aparat 19 produava na HS H S, gde je HS = H S dualni prostor od 1 H S. Prostori H S, H i H S 1 formiraju Ge fandovu trojku H S H H S 1, u smislu potapaa. Operator S preslikava H S u HS. To garantuje postojae neograniqenog samoadjungovanog pozitivno definitnog linearnog operatora S, takvog da DS = H S i u, v S = Su, v = S u, S v. Tako- e definiximo prostore Sobo eva W s a, b; H, W a, b; H = L a, b; H, funkcija u = ut koje preslikavaju interval a, b R u H v.[3], [51]. Neka su da e A i B neograniqeni samoad jungovani pozitivno definitni linearni operatori, A = At, B Bt, u Hilbertovom prostoru H u opxtem sluqaju nekomutativni, domena DA koji je gust u H i H A H B. Razmotrimo sledei apstraktan Koxijev problem v.[51], [37]: 1. B du dt + Au = ft, < t < T ; u = u, gde je u fiksirani element prostora, ft poznata i ut nepoznata funkcija sa vrednostima u H. Pretpostavimo da je ispueno A At ca gde je c = const. > 1 i A A t je samoadjungovan pozitivan linearan operator u H. Takoe pretpostavimo da je At opadajui po promen ivoj t, odnosno neka vai: dat 1.3 u, u <, u H. dt Tada vai sledee tvree v.[6], [6]: Lema 1.1. Rexee problema 1. zadovo ava apriornu ocenu: T 1.4 Aut B + dut T 1 dt dt C u A + ft B pod uslovima u H A i f L, T ; H B 1. B 1 dt Dokaz. Iz teorije poqetno-graniqnih problema za paraboliqke jednaqine sledi da za u H B i f L, T ; H A 1 problem 1. ima jedinstveno rexee v.[37], [51] u L, T ; H A i du/dt L, T ; H BA 1 B. Pomnoimo skalarno 1. sa du/dt, i procenimo desnu stranu pomou nejednakosti Koxi-Xvarca: du dt + Au, du = f, du du dt dt dt + f B 1. B B,

22 1 Matematiqki aparat Iz 1.3 sledi da je: d dt u A Au, du, u H. dt Da e, imamo: du dt Kada integralimo po t dobijamo: 1.5 T du dt B B + d dt u A du dt dt + ut A u A + B + f B 1. T ft B 1 dt. Takoe pomnoimo skalarno 1. sa B 1 Au i dobijamo Au B 1 + d dt u A Au B 1 + f B 1. Posle, integra ea po t imamo: 1.6 T Aut B 1 dt + ut A u A + Iz 1.5 i 1.6 sledi ocena 1.4. T ft B 1 dt. Lema Ako f L, T ; H A 1 i u H B onda rexee problema 1. zadovo ava apriornu ocenu 1.7 T ut A dt + T T gde je C izraqun iva konstanta. ut ut B t t dtdt C u B + T ft dt A 1 Dokaz. Iz teorije poqetno-graniqnih problema za paraboliqke jednaqine sledi da za u H B i f L, T ; H A 1 problem 1. ima jedinstveno rexee u L, T ; H A i du/dt L, T ; H BA 1 B. Pomnoimo skalarno 1. sa u, i procenimo desnu stranu pomou nejednakosti Koxi-Xvarca:,

23 1 Matematiqki aparat 1 d dt u B + u A f + u A 1 A. Integracijom po t dobijamo 1.8 T ut A dt + ut B u B + T ft dt. A 1 Sada emo izvrxiti ocenu seminormi po t. Poqiemo sa razvojem funkcije ut : [, T ] H u Furijeov red po sinusima i kosinusima: gde je Lako je proveriti da je 1.11 T ut dt = T ut = a + a j cos jπt T, ut = j=1 a j = a j [u] = T b j = b j [u] = T j=1 b j sin jπt T, T T a [u] ut cos jπt T dt, ut sin jπt T dt. + a j [u] = T j=1 b j [u]. Pomnoimo 1. sa sin kπt/t i integralimo po t u granicama od do T. Korixeem formule 1.1 B dut dt = d[but] dt i ortogonalnosti sinusa imamo = j=1 a j [Bu] jπ T kπ T a k[bu] = b k [Au] b k [f]. sin jπt T Da e mnoei skalarno ovu jednakost sa a k [u] i sumirajui po k dobijamo 1.1 π T ka k [Bu], a k [u] = k=1 b k [Au], a k [u] k=1 j=1 b k [f], a k [u]. k=1

24 1 Matematiqki aparat Da e, imamo i analogno i Dakle, iz 1.1 sledi π k a k [B u] T k=1 k=1 1 a k [Bu], a k [u] = a k [B u], a k [B u] b k [Au], a k [u] = b k [A Au], a k [A u] b k [f], a k [u] = b k [A f], a k [A u]. k=1 Da e, koristei 1.11, nalazimo 1.13 k a k [B u] 1 π k=1 Razmotrimo izraz b k [A Au] a k [A u]+ b k [A f] a k [A u] = 1 π T T T T b k [A Au] + a k [A u] + b k [A f]. T T [ + c A ut + A ft ]dt [ + c ut A + ft dt. A 1 ũt ũt τ B dτdt, τ gde smo pretpostavili da je funkcija ut periodiqno produena izvan [, T ]: ut, t [, T ]; u t, t [ T, ]; ũt = ut t, t [T, T ]; itd. Koristei periodiqnost funkcije ũt i formulu 1.9 dobijamo T = T T T T T T T ũt ũt τ B τ dτdt = ũt, ũt + τ + ũt ũt τ B dt dτ τ =

25 1 Matematiqki aparat 3 T = T = 4T T T B ũt, B ũt + τ + B ũt B ũt τdt dτ τ = a k [B ũ] k=1 Da e imamo T T sin kπτ T i dobijamo 1.14 dτ T τ = T T T T Razmotrimo produee T T sin kπτ T sin kπτ T dτ τ. dτ τ = kπ T kπ/ ũt ũt τ B τ dτdt π T T Iz 1.13 i 1.14 i nejednakosti sin θ dθ kπ θ T ut ut B t t dtdt. k a k [B ũ]. k=1 sin θ dθ = kπ θ T dobijamo T T ut ut B dtdt 1 t t T T T T ũt ũt τ B dτdt τ T T ut ut B t t dtdt π T Otuda, uzimajui u obzir 1.8, imamo 1.15 T T [ + c ut A + ft dt. A 1 ut ut T B dtdt +c π u t t B +3+c π ft dt. A 1 Iz 1.8 i 1.15 sledi apriorna ocena 1.7. Neka je da e Ẅ, T ; H B 1 prostor Sobo eva sa normom v.[5]: T u = Ẅ,T ;H B 1 T ut ut T B 1 dtdt + t t 1 t + 1 ut B 1 dt. T t

26 1 Matematiqki aparat 4 Stav ajui u 1. ft = dgt/dt imamo problem 1.16 B du dt + Au = dg dt, < t < T, u = u. Koristei sliqnu tehniku moemo dokazati sledee tvree v.[8]. Lema Ako g Ẅ, T ; H B 1 onda rexee problema 1.16 zadovoava apriornu ocenu 1.17 T ut A dt + C T T T T ut ut B t t dtdt gt gt B 1 t t dtdt + T 1 t + 1 gt B T t 1 dt.

27 Elementi teorije diferencijskih shema U drugoj glavi dati su elementi teorije diferencijskih shema. Definisane su konaqne razlike, diferencijske sheme i problemi stabilnosti i konvergencije diferencijskih shema. Da e, dati su Steklov evi operatori usredea neophodni za rad u sluqaju kada ulazni podaci nisu neprekidne funkcije. Razmatran je i i apstraktan operatorskodiferencijski problem i dokazane odgovarajue apriorne ocene..1 Metoda konaqnih razlika U ovom ode ku se uglavnom oslaamo na materijal izloen u []. Neka se u oblasti Ω promen ivih x 1, x,..., x n trai rexee u linearne parcijalne diferencijalne jednaqine:.1 Lux = fx, x = x 1, x,..., x n Ω koje na granici Γ oblasti Ω zadovo ava izvesne dodatne uslove:. lux = gx, x Γ, pri qemu l i g mogu biti vektori. Da bismo ga lakxe rexili, zadatak.1-. diskretizujemo. Pre svega oblast Ω = Ω Γ zameujemo skupom diskretnih taqaka qvorova Ω h, koji nazivamo mreom. Mreu Ω h rastav amo na skup unutraxih qvorova Ω h i skup graniqnih qvorova Γ h = Ω h \Ω h. Gustinu rasporeda qvorova karakterixemo parametrom h, koji moe biti i vektor h = h 1, h,..., h p. Vektoru h pridruujemo normu h. Ukoliko je h maa utoliko je mrea guxa. Zameujui izvode koji se jav aju u.1-.

28 Elementi teorije diferencijskih shema 6 koliqnicima razlika funkcije u qvorovima dobijamo diskretni zadatak:.3.4 L h v h x = f h x, x Ω h, l h v h x = g h x, x Γ h, koji aproksimira.1-.. Obiqno se trudimo da operatori L h i l h zadre karakteristiqne osobine operatora L i l - linearnost, samokonjugovanost itd. Zadatak.3-.4 predstav a sistem algebarskih diferencijskih jednaqina. egovo rexee v h zavisi od parametra h, odnosno od izbora mrea Ω h. Familiju zadataka.3-.4, koji zavise od h, nazivamo diferencijskom shemom zadatka.1-. v.[39]. Pri ovakvom postupku diskretizacije pojav uju se razliqiti problemi koje uglavnom moemo svrstati u dve grupe: 1. Da li diferencijska shema aproksimira polazni zadatak i da li eno rexee konvergira ka egovom pri beskonaqnom usitavau mree. Efektivno rexavae diferencijskog zadatka. Razmotrimo prvo probleme povezane s aproksimacijom. U skupove funkcija definisanih na Ω h, Ω h i Γ h uvedimo respektivno norme 1,h,,h, 3,h. Sa u h oznaqimo projekciju rexea u = ux zadatka.1-. na prostor funkcija definisanih na Ω h. Oznaqimo sa z h = v h u h grexku sheme. Ako su operatori L h i l h linearni tada z h zadovo ava uslove:.5.6 L h z h x = φ h x, x Ω h, l h z h x = ψ h x, x Γ h, gde su φ h i ψ h grexke aproksimacije diferencijalne jednaqine.1 i dodatnog uslova.. Za diferencijsku shemu.3-.4 kazaemo da aproksimira zadatak.1-. ako φ h,h i ψ h 3,h

29 Elementi teorije diferencijskih shema 7 kad h. Ako je φ h,h, ψ h 3,h = O h k kaemo da shema ima k-ti red aproksimacije. Sliqno kaemo da diferencijska shema konvergira, odnosno konvergira brzinom O h k, ako kad h, odnosno ako je v h u h 1,h v h u h 1,h = O h k. Za diferencijske sheme se takoe uvode pojmovi stabilnosti i korektnosti. Za shemu.3-.4 kaemo da je stabilna ako za dovo no malo h h eno rexee v h neprekidno zavisi od ulaznih podataka f h i g h, pri qemu je ta zavisnost ravnomerna po koraku h. Ako su L h i l h linearni tada stabilnost znaqi da postoje konstante M 1 i M, koje ne zavise od h, f h i g h, takve da je za h h :.7 v h 1,h M 1 f h,h + M g h 3,h. Nejednakosti tipa.7 nazivaju se apriornim ocenama za shemu Dobijae ovakvih ocena je jedan vaan zadatak teorije diferencijskih shema v.[1], [39]. Ako je diferencijska shema.3-.4 stabilna i za h h jednoznaqno rexiva pri proizvo nim ulaznim podacima f h i g h kaemo da je ona korektna. U da em radu uglavnom emo se sluiti ravnomernim mreama. Neka je h = h 1, h,..., h n i h i >, i = 1,,..., n. Sa R n h = {i 1 h 1, i h,..., i n h n i 1, i,..., i n =, ±1, ±,...} oznaqimo skup taqaka koji emo nazivati mreom. Kod eliptiqkih problema se najqexe koriste mree sa istim korakom u svim pravcima h 1 = h = = h n 1 = h, dok se kod paraboliqkih i hiperboliqkih problema u pravcu,,prostornih promen ivih" x 1, x,..., x n 1 koristi jedan korak h 1 = h = = h n 1 = h, a u pravcu vremenske promen ive x n = t drugi h n = τ.

30 Elementi teorije diferencijskih shema 8 Neka je Ω R n ograniqena, konveksna, jednostruko povezana oblast i Γ ena granica. Sa Ω h oznaqimo skup taqaka x R n h zajedno sa svojom okolinom koje pripadaju Ω h Ox = {x 1 + i 1 h 1,..., x n + i n h n i 1,..., i n =, ±1}, sa Γ h skup taqaka iz R n h koje pripadaju Ω h ali ne pripadaju Ω h i sa Ω h skup Ω h Γ h. Skup Ω h nazivamo skupom unutraxih taqaka qvorova, a Γ h granicom mrene oblasti ili skupom graniqnih qvorova. Mreu Ω h nazivamo povezanom ako proizvo na dva ena qvora moemo spojiti izlom enom linijom qiji su odseqci paralelni koordinatnim osama, a vrhovi pripadaju Ω h. U da em radu sluiemo se samo povezanim mre- ama. Pri naxim pretpostavkama o oblasti Ω mrea Ω h e biti povezana ako su koraci h 1, h,..., h n dovo no mali. Da e, neka je v funkcija definisana na mrei R n h. Oznaqimo v i1,i,...,i n = vi 1 h 1, i h,..., i n h n. Operatore koliqnika razlika definixemo na sledei naqin v.[39]: v xk i1,...,i k,...,x n = v i1,...,i k +1,...,i n v i1,...,i k,...,i n /h k = v xk i1,...,i k +1,...,i n, vẋk = v xk + v xk /, pri qemu v xk nazivamo razlikom unapred, v xk razlikom unazad, a vẋk centralnom razlikom. Ako sada u jednodimenzionom sluqaju sa ω h = {x i = ih i =, 1,..., N; Nh = l} oznaqimo mreu na odseqku [, l] onda je N 1 u, v = h u i v i, u = u, u, i=1 N 1 [u, v = h u i v i, [u = [u, u, u, v] = h i= N u i v i, u] = u, u]. i=1 Formuli diferenciraa proizvoda uv = u v + uv odgovaraju sledee formule s koliqnicima razlika: uv x,i = u x,i v i + u i+1 v x,i = u x,i v i+1 + u i v x,i,

31 Elementi teorije diferencijskih shema 9 uv x,i = u x,i v i + u i 1 v x,i = u x,i v i 1 + u i v x,i. Formuli parcijalne integracije l uv dx = uv l l u vdx kao u prethodnom sluqaju odgovaraju dve formule u, v x = u N v N u v 1 u x, v], u, v x = u N v N 1 u v [u x, v. Pored ovih formula navedimo jox dve nejednakosti: Lema.1. Za svaku funkciju v definisanu na mrei ω h i jednaku nuli za x = i x = l vai nejednakost.8 v C,h = max i N v i l v x ] /. Lema.. Za proizvo nu funkciju v definisanu na mrei ω h i jednaku nuli za x = i x = l vae nejednakosti.9 h v x ] v l v x ]. Razmotrimo jox diferencijske sheme za paraboliqke jednaqine. Kod paraboliqkih jednaqina promen iva t "vreme" ima drugaqiju ulogu od ostalih promen ivih x 1, x,..., x n "prostorne promen ive". Kao xto smo ve napomenuli obiqno se u pravcu osa Ox 1, Ox,..., Ox n uzima jedan korak h, dok se u pravcu ose Ot uzima drugi korak τ. Oblast Ω zameuje se skupom diskretnih taqaka Ω h, kao i u sluqaju eliptiqkih problema, dok se interval [, T ] zameuje skupom ω τ = {t j = jτ j =, 1,..., M; τ = T/M}. Tako dobijamo diskretnu oblast mreu Ω h,τ = Ω h ω τ. Funkcije definisane na mrei Ω h,τ oznaqavaemo sa v j i 1,i,...,i n = vi 1 h, i h,..., i n h; jτ. Ako to ne dovodi do dvosmislenosti, indekse emo izostav ati. Skup qvorova mree za koje je τ j = const. nazivaemo vremenski sloj.

32 Elementi teorije diferencijskih shema 3 U da em radu, pored ve uvedenih operatora koliqnika razlika bie nam neophodni i sledei operatori v.[39] v xi x i x, t = v+i x, t vx, t + v i x, t, h vx, t + τ vx, t v t x, t = = v τ t x, t + τ, gde je x = x 1, x,..., x n, v ±i x, t = vx ± hr i, t i r i jediniqni vektor koordinatne ose x i. Eliptiqki qlan, Lu, diskretizujemo kao i u sluqaju eliptiqkih jednaqina. Da bi se aproksimirao izvod po vremenu u/ t potrebne su vrednosti funkcije u bar sa dva vremenska sloja, na primer: u = ut j + τ ut j /τ + Ot = u t j + Oτ. t t=tj Odatle sledi da diferencijski analog parcijalne jednaqine takoe sadri vrednosti traene funkcije sa dva vremenska sloja. Ovakve diferencijske sheme nazivamo dvoslojnim. Od diferencijskih shema za rexavae paraboliqkih problema takoe zahtevamo da budu korektne i da konvergiraju. Kod dokazivaa korektnosti osnovnu ulogu ima dokaz stabilnosti sheme, dok je ena jednoznaqna rexivost obiqno oqigledna ili se lako dokazuje. Stabilnost moe biti apsolutna i uslovna u zavisnosti od toga da li su koraci h i τ meusobno nezavisni ili zavisni. Usled postojaa dva koraka, h i τ, brzina konvergencije moe biti razliqita po svakom od ih.. Operatori usredea U teoriji parcijalnih diferencijalnih jednaqina s generalisanim rexeima koeficijenti jednaqine ne moraju biti neprekidne funkcije. Zato diferencijske sheme koje aproksimiraju takve probleme moraju imati usredene koeficijente. Za proizvo nu funkciju u L 1, loc R i h > definixemo linearni operator usredea Steklov ev operator sa v.[1], [49]: T h ux = 1 x+h/ uξdξ, x R. h x h/

33 Elementi teorije diferencijskih shema 31 Primetimo da je funkcija T h ux neprekidna na R. Primera radi, za Hevisajdovu funkciju { 1, x > ; Hx =, x, koja ima prekid u taqki x = potraimo T h ux. Ako je x < h/, tada je T h Hx = 1 x+h/ Hξdξ =. h Da e, za h/ x h/, imamo T h Hx = 1 h x+h/ x h/ Konaqno, za x > h/ je Sledi, Hξdξ = 1 h T h Hx = 1 h x+h/ x h/ x h/ x+h/ Hξdξ = 1 x + h. h Hξdξ = 1 h h = 1., x < h/; T h Hx = x + h/h, h/ x h/; 1, x > h/. Dakle, za funkciju Hx koja nije neprekidna funkcija, T h Hx je neprekidna deo-po-deo linearna funkcija. Takoe vai T h H H L R = 3 1 h h. Analogno, u vixedimenzionom sluqaju za funkciju u = ux 1, x, t uvedimo Steklov eve operatore sa v.[1]: T 1 ux 1, x, t = T ± 1 ux 1 h/, x, t = 1 h T ux 1, x, t = T ± ux 1, x h/, t = 1 h T 1 ux 1, x, t = T + 1 T 1 ux 1, x, t = 1 h x 1 +h x 1 h x 1 +h/ x 1 h/ x +h/ x h/ ux 1, x, tdx 1, ux 1, x, tdx, 1 x 1 x 1 ux h 1, x, t dx 1,

34 Elementi teorije diferencijskih shema 3 T ux 1, x, t = T + T ux 1, x, t = 1 h Tt ux 1, x, t = T t + ux 1, x, t τ = 1 τ x +h x h t t τ 1 x x h ux 1, x, t dt. ux 1, x, t dx, Primetimo da su ovi operatori meusobno komutativni i da preslikavaju parcijalne izvode u konaqne razlike, tj. vai: Zaista, T i u = u xi, T + u i = u xi, T u i x i x i x i = u xi x i, Tt u t = u t. T 1 u x 1, x, t = 1 x 1 h x 1 x 1 h = 1 h ux 1, x, t u x 1 x 1, x, tdx 1 x 1 x 1 h = ux 1, x, t ux 1 h, x, t h Na sliqan naqin se mogu dokazati i ostale jednakosti. = u x1..3 Apstraktni operatorsko-diferencijski problem Neka je H h konaqno dimenzionalan realan Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom, h i normom h. Za samokonjugovan linearan operator S h u H h, sa H Sh oznaqavamo prostor H Sh = H h sa skalarnim proizvodom v, w Sh = S h v, w h i normom v Sh = S h v, v h. Razmotrimo implicitnu operatorsko-diferencijsku shemu.1 B h v t + A h v = φt, t ω + τ, v = v, gde su A h = A h t i B h B h t pozitivno definitni samokonjugovani linearni operatori u H h, u opxtem sluqaju nekomutativni, v dat element

35 Elementi teorije diferencijskih shema 33 iz H h, φt je poznata i vt nepoznata mrena funkcija sa vrednostima u H h. Takoe razmotrimo i shemu.11 B h v t + A h v = ψ t, t ω + τ, v =, gde je ψt data mrena funkcija sa vrednostima u H h. Analogno sa problemom 1. pretpostavimo da je A h A h t ka h gde je k = const. > 1 i A h A h t samokonjugovan pozitivan linearan operator u H h. Vae sledei analozi Lema 1.1 i Lema Lema.3. Neka je B h pozitivno definitan samoadjungovan linearan operator u H h i neka operator A h zadovo ava sledee uslove: A h = A h + A h1, A h = A h + A h / >, A h1v h C v Ah. Tada rexee v operatorsko-diferencijske sheme.1 zadovo ava apriornu ocenu τ t ω + τ vt A h + τ t ω τ t ω τ,t t vt vt B h t t Cτ Dokaz. Mnoei skalarno jednakost.1 sa τ v dobijamo φt. A 1 h v B h v B h + v v B h + τ v A h = τφ, v h τ v A h + τ φ. A 1 h Posle sumiraa po mrei ω τ +.1 τ imamo vt A h τ t ω + τ Za funkciju vt definisanu na mrei ω τ, ω τ + razvoje vt = vt = m k= m k=1 a k [v] cos kπt τ b k a [v] + m 1 k=1 [v] sin kπt τ t τ, t ω± τ. φt. A 1 h a k [v] cos kπt τ Primenom razvoja kosinusa jednostavno dobijamo Bv t = m k= τ ili ω τ, uvedimo Furijeove + a n[v] sin kπτ T a k[b h v] sin kπ T t τ. cos nπt τ, t ω τ, Vraaem ovog razvoja u.1, mnoei sa sin jπ t τ i sumirajui po T mrei ω τ + dobijamo sin jπτ/t jπτ/t π T ja j[b h v] + b j [A hv] = b j [φ].

36 Elementi teorije diferencijskih shema 34 Da e, skalarno mnoimo sa a j [v] i sumiramo po j. Primenom relacija a j [B h v], a j [v] = a j [B h v], a j[b h v] = a j[b h v] h, b j [A hv], a j [v] = b j [A h v], a j[a h v] + b j [A h1v], a j [v], b j [φ], a j[v] = b j [A h φ], a j [A h v], Koxi-Xvarcove nejednakosti i identiteta τ vt h τ[ 1 v h + vt h + 1 vt h] = T t ω τ t ω τ τ vt h = T m b k [v] h t ω ± τ dobijamo m j=1 k=1 Primenom ekvivalencija dobijamo.13 τ t ω τ j a j [B h v] h cτ t ω τ,t t m j=1 τ t ω τ [ j a j [B h v] h, t ω τ,t t vt A h + φt A 1 h vt vt B h t t vt vt B h t t Cτ [ m ]. k= a k [v] h, vt A h + φt A 1 h ]. Lema.4. Rexee v operatorsko-diferencijske sheme.11 zadovo ava apriornu ocenu τ t ω + τ vt A h + τ t ω τ t ω τ, t t t ω τ, t t vt vt B h t t C [τ t ωτ ψt ψt B 1 h +τ t t t ω τ 1 t + τ + 1 T t + τ ψt B 1 h ].

37 Elementi teorije diferencijskih shema 35 Dokaz. Identiqno kao u prethodnom sluqaju mnoei skalarno.11 sa τv i sumirajui po mrei ω τ + dobijamo 1 vt B h + τ vt A h τ ψ t, v h. Da e, imamo τ ψ t, v h = τ t ω τ ψ t, v h + ψt, vt h, gde je ψ produee funkcije ψ izvan ωτ dato sa ψt, t ωτ ; ψ t τ, t ω τ ψt + ; = ψt t τ, T t ω τ + ; itd. Primenom razvoja imamo τ ψ t, v h = π m k=1 m k=1 k ψt = vt = m k=1 m j= b + k [ψ] sin kπ T a j [v] cos jπt T sin kπτ/t kb + k kπτ/t [B ε a k [B h + 1 vt B h + 1 ψt B 1 h 1 vt B h + C 1 ετ t ω τ + C [τ t ωτ ε t ω τ,t t + τ t ω τ 1 t + τ + 1 T t + τ t + τ, h ψ], a k [B h v] h+ψt, vt h v] h + C ε b+ k [B ψ] h t ω τ,t t h ψt ψt B 1 h t t ψt B 1 h vt vt B h t t ],

38 Elementi teorije diferencijskih shema 36 gde je ε proizvo an pozitivan broj. Iz prethodnih nejednakosti sledi.14 τ t ω τ vt A h C 1 ετ t ω τ t ω τ,t t vt vt B h t t + C [τ ε t ω τ,t t ψt ψt B 1 h t t + τ t ω τ 1 t + τ + 1 T t + τ ψt B 1 h Primenom kosinusnog razvoja za vt i ψt zamenimo v t i ψ t u.11. Mnoei dobijene relacije sa sin jπ T t τ i sumirajui po mrei ω+ τ imamo sinjπτ/t jπτ/t π T ja j[b h v] + b j [A hv] = sinjπτ/t jπτ/t ]. π T ja j[ψ]. Uzimajui skalarni proizvod ove relacije sa a j [v] i sumirajui po j, posle jednostavnih transformacija imamo.15 τ t ω τ t ω τ,t t vt vt B h t t C 3 τ t ω τ vt A h + C 4 τ t ω τ t ω τ,t t ψt ψt B 1 h t t. Iz.14 i.15 za dovo no malo ε > sledi gore navedeni rezultat. U da em radu bie nam potrebno i sledee tvree v.[1], [9]: Lema.5. Rexee problema.1, uz uslov A h t + τ A h tu, u <, zadovo ava sledeu ocenu τ A h vt + τ v B 1 t t B h h C v A h + τ A h v +τ φt, B 1 h B 1 t ω τ t ω τ + h gde smo oznaqili: wt = w t ω τ + t ω τ wt + wt.

39 3 Konvergencija diferencijske sheme,1 u diskretnoj W normi U treoj glavi je razmatran dvodimenzionalni paraboliqki problem sa koncentrisanim kapacitetom i promen ivim koeficijentima. Kao uvod u istraivae, u poglav u 3.1 razmatrana je jednaqina sa mexovitim izvodima i promen ivim ali ne i vremenski zavisnim koeficijentima. Preuzeti su delovi rada [7] i deta no su dokazane sve ocene funkcionala. U poglav u 3. razmatran je problem sa promen ivim vremenski zavisnim koeficijentima. Uz pretpostavku da koeficijenti pripadaju anizotropnim prostorima Sobo eva, dokazana je ocena brzine,1 konvergencije diferencijske sheme u prostoru W Q hτ saglasna sa glatkoxu koeficijenata i rexeem poqetnog problema. 3.1 Paraboliqki problem sa promen ivim koeficijentima Postavka problema Posmatrajmo dvodimenzionalni poqetno-graniqni problem za jednaqinu toplote sa koncentrisanim kapacitetom na pravoj x = ξ, < ξ < 1 v.[7]: kδx ξ u t u =, na Ω, T, ux, = u x, na Ω, i,j=1 x i a ij x u = f, na Q, x j

40 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 38 gde je δx Dirakova delta funkcija, k > i Ω =, 1, Q = Ω, T. Definiximo i podoblasti: Ω 1 =, 1, ξ, Ω =, 1 ξ, 1, Q 1 = Ω 1, T, Q = Ω, T, Σ = {x 1, ξ x 1, 1}. Pretpostavimo da koeficijenti a ij zadovo avaju uslov eliptiqnosti i da a ij W 3 Ω 1 W 3 Ω, f W,1 Q. Tada, uz prethodne uslove, uslove saglasnosti na granici oblasti Q i uslove konjugacije na Σ v.[1], [4]: 3. gde je [u] Σ = [ ] u a j x j j=1 Σ = k u t Σ [u] Σ = ux 1, ξ +, t ux 1, ξ, t, potraimo rexee problema 3.1, tako da u W 4, Q 1 W 4, Q W 4, Σ, T Numeriqka aproksimacija Neka je ω h { uniformna mrea sa korakom h u Ω, ω h = ω h Ω, ω 1h = ω h [, 1, 1, ω h = ω h, 1 [, 1, σ h = ω h Σ i ω τ uniformna mrea sa korakom τ u [, T ]. Ne umaujui opxtost, pretpostavimo da je ξ racionalan broj. Tada se moe izabrati korak h tako da je σ h. Smatraemo da je zadovo en uslov: c 1 h τ c h, c 1, c = const.

41 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 39 Problem 3.1 se moe aproksimirati na mrei Q hτ = ω h ω τ sledeom diferencijskom shemom sa usredenom desnom stranom: kδ h x ξv t + L h v = T 1 T T t f, na Q hτ, v =, na γ h ω + τ, vx, = u x, na ω h, gde je L h v = 1 a ij v xj xi + a ij v xj xi, i,j=1 i {, x / σh δ h x ξ = 1/h, x σ h je mrena Dirakova funkcija. Pored standardnih Steklov evih operatora T 1 +, T +, Tt definisanih u poglav u., za da i rad bie nam neophodni i sledei operatori: T fx 1, x = 1 x 1 + x x fx 1, x h h dx, T + fx 1, x = 1 h x h x +h x 1 x x fx 1, x h dx. Da e, uvedimo sledee skalarne proizvode i norme: Oznaqimo sa i uvedimo sledee norme: v, u L ω h = h x ω h vxux, v L ω h = v, v L ω h, v, u L ω ih = h x ω ih vxux, v L ω ih = v, v L ω ih. B h v = 1 + kδ h x ξv v B h = v L ω h + kh x σ h v x, v B 1 h v W,h = = h v x + h3 v x, k + h x w h \σ h x σ h v xi x j + v B 1 xi L ω h ih + v B h. i,j=1 i=1

42 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 4 ekvivalentne. Takoe uvo- Primetimo da su norme L h v B 1 i h v W,h,1 dimo diskretnu W normu na sledei naqin: v W,1 Q hτ = τ t ω τ v, t W,h + τ v t, t B h Konvergencija u prostoru W,1 Q hτ U ovom delu dokazaemo konvergenciju diferencijske sheme 3.3 u,1 prostoru W Q hτ. Vai sledee tvree: Teorema 3.1. Rexee diferencijske sheme 3.3 konvergira u prostoru W,1 Q hτ ka rexeu poqetno-graniqnog problema 3.1, i uz uslov c 1 h τ c h, vai sledea ocena: 3.4 u,1 v W Q hτ Ch max i,j a ij W 3 Ω 1 + max i,j a ij W 3 Ω + 1 u W 4, Q 1 + u W 4, Q + u W 4, Σ,T Dokaz. Neka je u rexee poqetno-graniqnog problema 3.1 i v rexee diferencijske sheme 3.3. Tada grexka zadovo ava uslove: z = u v kδ h x ξz t + L h z = φ + ψ, na Q hτ, z =, na γ h ω + τ, zx, =, na ω h, gde je φ = φ 1 + φ, pri qemu je φ 1 = u t T1 T Tt u t, φ = kδ h x ξu t T1 u t, i ψ = ψ ij, i,j=1

43 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 41 pri qemu je ψ ij = T 1 T T t u a ij 1 x i x j a iju xj xi + a ij u xj xi, i, j = 1,. Primenom Leme.5 direktno dobijamo apriornu ocenu diferencijske sheme 3.5: 3.6 z W,1 Q hτ C τ t w + τ φ, t B 1 h + ψ, t B 1 h Na taj naqin je problem ocene diferencijske sheme 3.3 sveden na ocenu desne strane nejednakosti 3.6. Ocenimo prvo izraz φ 1 za x / σ h v.[1]. Izraz φ 1 x, t je ograniqen funkcional argumenta u W 4, e, gde je e = x 1 h, x 1 + h x h, x + h t τ, t, x ξ. Osim toga φ 1 = ako je u polinom treeg stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.4 dobijamo Sumiraem po qvorovima mree ω τ h τ φ 1 x, t t ω τ + x ω h \σ h φ 1 x, t C u W 4, e. i ω h \ σ h dobijamo Ch u W 4, Q 1 + u W 4, Q. Za x σ h izvrximo dekompoziciju izraza φ 1 = φ φ 1, gde je. Da e, neka je φ + 1 φ + 1 φ 1 = 1 T t u = 1 T t = φ + 11 φ + 1, gde je Tt t T 1 T + u t T 1 T Tt u t, u t. φ + 11 = 1 T t u t T 1 T + φ + 1 = h 6 T 1 Tt u x t. Tt u t + h 6 T 1 Tt u x t,

44 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 4 Zapiximo izraz φ + 11 u integralnom obliku: φ + 11x 1, ξ +, t = 1 h τ + 1 h τ 1 h τ x 1 +h x 1 h x 1 +h x 1 h x 1 +h x 1 h ξ+h x 1 x 1 t ξ x 1 x 1 t τ ξ+h x x 1 t ξ ξ x 1 t τ ξ+h x x t ξ ξ ξ t τ k 1 x 1k x 3 u x 1 t x 1, x, t dt x 1 dx 1dx dx 1 k 1 x 1k x 3 u x 1 x t dx 1, x, t dt x 1dx dx dx 1 k 1 x 1k x 3 u x t x 1, x, t dt x dx dx dx 1, gde je i k 1 x 1 = 1 x 1 x 1 /h, k x = 1 x x /h. Primenom Koxi-Xvarcove nejednakosti i sumiraem po qvorovima mree ω τ + i σ h dobijamo: Da e je, τh 3 k + h τh3 k + h φ + 11x, t x σ h Ch u W 4, Q. φ + 1x, t Ch 4 u Ch 4 u x x σ t L Σ,T W 4, h Iz prethodnih ocena imamo: τh3 k + h φ + 1 x, t x σ h Analogno dobijamo: τh3 k + h φ 1 x, t x σ h Ch u W 4, Q. Ch u W 4, Q 1. Q.

45 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 43 Iz 3.7,3.8 i 3.9 sledi 3.1 τ φ 1, t B 1 h Ch u W 4, Q 1 + u W 4, Q. U taqki x / σ h imamo da je φ x, t =. Za x σ h imamo da je i vai sledea reprezentacija: φ x, t = k h τ φ x, t = kh 1 u t T 1 u t, x 1 +h x 1 t x 1 h x t τ 1 x 1 x 1k 1 x 1 3 u x 1 t x 1, ξ, t dt dx 1dx 1. Iz prethodnog razvoja direktno dobijamo: 3.11 τh3 φ x, t Ch u k + h W 4, Σ,T. x σ h Iz 3.1 i 3.11 imamo 3.1 τ t ω + τ φ, t B 1 h Ch 4 u W 4, Q 1 + u W 4, Q + u W 4, Σ,T. Da e ocenimo izraz ψ ij, i, j = 1,. U taqki x / σ h izvrximo dekompoziciju izraza ψ ij na sledei naqinv.[4]: 7 ψ ij = ψ ijk, gde je k=1 ψ ij1 = T1 T Tt u a ij T 1 T a ij x i x j ψ ij = T 1 T a ij a ij T1 T Tt u, x i x j ψ ij3 = a ij T1 T Tt u 1 x i x j u x i x j + u xi x j, ψ ij4 = T1 T Tt aij u T1 T a ij x i x j x i T 1 T a ij ψ ij5 = 1 x i ψ ij6 = 1 aij,xi + a ij, xi T1 T Tt T 1 T T t aij,xi + a ij, xi T 1 T T t ψ ij7 = 1 4 aij,xi a ij, xi u xj u xj. u x j 1 u, x i x j T1 T Tt u, x j u, x j u xj + u xj,

46 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 44 Uvedimo elementarne pravougaonike Oznaqimo E = 1, 1 1, 1, e = x 1 h, x 1 + h x h, x + h. u x, t = u x 1, x, t = ux 1 + hx 1, x + hx, t + τt, a ijx = a ijx 1, x = a ij x 1 + hx 1, x + hx. Na osnovu integralne reprezentacije izraza ψ ij1 : ψ ij1 x, t = 1 h { E E kx 1kx a ijx T t kx 1kx a ijx dx E kx 1kx T t u x, t dt dx x i x j } u x, t dt dx, x i x j gde je kx i = 1 x i, sledi da je izraz ψ ij1 ograniqen bilinearan funkcional argumenta i vai ocena a ij, T t u, t W 1 q E W 3 q/q E, q > ψ ij1, t C h a ij W 1 q E T t u, t W 3 q/q E. Osim toga, ψ ij1 = kada je a ij konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo v.[11]: 3.13 ψ ij1, t C h a ij W 1 q E T t u, t W 3 q/q E. Vraajui se na stare promen ive dobijamo: a ij W 1 q E Ch 1 /q a ij W 1 q e, T t u, t W 3 q/q E Ch 3 q /q T t u, t W 3 q/q e. Na osnovu prethodnih ocena i 3.13 jednostavno sledi: ψ ij1, t Ch a ij W 1 q e T t u, t W 3 q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω h \σ h i primenom potapaa W 3 Ω k W 1 q Ω k, W 4 Ω k W 3 q/q Ω k, k = 1,

47 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 45 imamo: h ψ ij1, t x ω h \σ h Ch a ij W 1 q Ω 1 T t u, t W 3 q/q Ω 1 + a ij W 1 q Ω T t u, t W 3 q/q Ω Ch a ij W 3 Ω 1 T t u, t W 4 Ω 1 + a ij W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ +, posle oqigledne majorizacije, imamo h τ 3.14 ψ ij1 x, t Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 x ω h \σ h + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ ij je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, T t u, t W q e W q/q e, q >. Osim toga, ψ ij = kada je a ij polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij, t Ch a ij W q e T t u, t W q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω h \σ h i primenom potapaa imamo: h ψ ij, t x ω h \σ h W 3 Ω k W q Ω k, W 4 Ω k W q/q Ω k, k = 1, Ch a ij W q Ω 1 T t u, t W q/q Ω 1 + a ij W q Ω T t u, t W q/q Ω Ch a ij W 3 Ω 1 T t u, t W 4 Ω 1 + a ij W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ +, posle oqigledne majorizacije, imamo h τ 3.15 ψ ij x, t Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 x ω h \σ h + a ij W 3 Ω u W 4, Q.

48 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 46 Izraz ψ ij3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, u CΩ k W 4, g, k = 1,, gde je g = e t τ, t. Osim toga, ψ ij3 = kada je u polinom treeg stepena po x 1 i x ili polinom prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij3 x, t C a ij CΩk u W 4, g, k = 1,. Sumiraem po qvorovima mree ω + τ imamo: h τ 3.16 ψ ij3 x, t x ω h \σ h W 3 Ω k CΩ k, k = 1, i ω h \σ h i primenom potapaa Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ ij4 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, T t u, t W q e W q/q e, q >. Osim toga, ψ ij4 = kada je a ij polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij4, t Ch a ij W q e T t u, t W q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω h \σ h i primenom potapaa W 3 Ω k W q Ω k, W 4 Ω k W q/q Ω k, k = 1, imamo: h ψ ij4, t x ω h \σ h Ch a ij W q Ω 1 T t u, t W q/q Ω 1 + a ij W q Ω T t u, t W q/q Ω Ch a ij W 3 Ω 1 T t u, t W 4 Ω 1 + a ij W 3 Ω T t u, t W 4 Ω.

49 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 47 Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ +, posle oqigledne majorizacije, imamo h τ 3.17 ψ ij4 x, t Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 x ω h \σ h + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ ij5 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, u W 3 e CQ x k, k = 1,. j Osim toga, ψ ij5 = kada je a ij polinom drugog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij5 x, t Ch a ij W 3 e u, k = 1,. x j CQk Sumiraem po qvorovima mree ω + τ i ω h \σ h i primenom potapaa imamo: h τ 3.18 ψ ij5 x, t x ω h \σ h W Q k CQ k, k = 1, Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ ij6 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, T t u, t W 1 q e W 3 q/q e, q >. Osim toga, ψ ij6 = kada je a ij konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij6, t Ch a ij W 1 q e T t u, t W 3 q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω h \σ h i primenom potapaa W 4 Ω k W 3 q/q Ω k, W 3 Ω k W 1 q Ω k, k = 1,

50 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 48 imamo: h ψ ij6, t x ω h \σ h Ch a ij W 1 q Ω 1 T t u, t W 3 q/q Ω 1 + a ij W 1 q Ω T t u, t W 3 q/q Ω Ch a ij W 3 Ω 1 T t u, t W 4 Ω 1 + a ij W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ +, posle oqigledne majorizacije, imamo h τ 3.19 ψ ij6 x, t Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 x ω h \σ h + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ ij7 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a ij, T t u, t W q e W q/q e, q >. Osim toga, ψ ij7 = kada je a ij polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ ij7, t Ch a ij W q e T t u, t W q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω h \σ h i primenom potapaa imamo: h ψ ij7, t x ω h \σ h W 4 Ω k W q/q Ω k, W 3 Ω k W q Ω k, k = 1, Ch a ij W q Ω 1 T t u, t W q/q Ω 1 + a ij W q Ω T t u, t W q/q Ω Ch a ij W 3 Ω 1 T t u, t W 4 Ω 1 + a ij W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ +, posle oqigledne majorizacije, imamo h τ 3. ψ ij7 x, t Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 x ω h \σ h + a ij W 3 Ω u W 4, Q.

51 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi Iz ocena sledi ocena h τ ψ ij x, t x ω h \σ h Ch a ij W 3 Ω 1 u W 4, Q 1 + a ij W 3 Ω u W 4, Q. Ostaje da ocenimo izraz ψ ij za x σ h. U taqki x σ h rastavimo ψ 1j na sledei naqin: gde je: ψ 1j = ψ + 1j + ψ 1j, ψ± 1j = ψ ± 1j1 = T 1 T ± Tt u a 1j x 1 x j ψ ± 1j = T1 T ± a 1j a 1j T1 T ± ψ ± 1j3 = 1 a 1j T 1 T ± Tt ψ ± 1j4 = T 1 T ± Tt a1j x 1 ψ ± 1j5 = T1 T ± a 1j 7 ψ ± 1jk, k=1 T1 T ± a 1j T1 T ± Tt Tt u, x 1 x j u 1 x 1 x j u x 1 x j + u x1 x j, u T1 T ± a 1j T1 T ± x j x 1 u, x 1 x j Tt u, x j 1 a1j,x1 + a 1j, x1 T1 T ± T u t, x 1 x j ψ ± 1j6 = 1 a1j,x1 + a 1j, x1 T1 T ± T u t 1 uxj + u xj, 4 x j ψ ± 1j7 = 1 8 a1j,x1 a 1j, x1 u xj u xj. Uvedimo elementarni pravougaonik e 1 = x 1 h, x 1 + h x, x + h. Izraz ψ + 1j1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, T t u, t W 1 q e 1 W 3 q/q e 1, q >. Osim toga, ψ + 1j1 = kada je a 1j konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 1j1, t Ch a 1j W 1 q e 1 T t u, t W 3 q/q e 1.

52 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 5 Sumiraem po qvorovima mree σ h i primenom potapaa W 3 Ω W 1 q Ω, W 4 Ω W 3 q/q Ω, q >, imamo: h 3 k + h x σ h ψ + 1j1, t Ch 4 a 1j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ + dobijamo 3. τh3 x, t Ch a 1j k + h W 3 Ω u W 4, Q. x σ h ψ + 1j1 Izraz ψ + 1j je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, T t u, t W 1 q e 1 W q/q e 1, q >. Osim toga, ψ + 1j = kada je a 1j konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 dobijamo sledeu ocenu izraza ψ 1j: + ψ + 1j, t C a 1j W 1 q e 1 Tt u, t W q/q e 1. Sumiraem po qvorovima mree σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa dobijamo: h 3 k + h W 3 Ω W q Ω, W 4 Ω W 3 q/q Ω, q > x σ h ψ + 1j, t Ch 3 a 1j W 1 q Ωh T t u, t W q/q Ωh Ch 4 a 1j W q Ω T t u, t W 3 q/q Ω Ch 4 a 1j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω, gde je Ω h =, 1 ξ, ξ + h. Iz dobijene nejednakosti, sumiraem po qvorovima mree ω τ + sledi: 3.3 τh3 k + h x σ h ψ + 1j x, t Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q.

53 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 51 Izraz ψ + 1j3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, u CΩ W g 1, gde je g 1 = e 1 t τ, t. Osim toga, ψ + 1j3 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Da e, primenom Leme 1.5 dobijamo: ψ + 1j3 x, t C h a 1j CΩ u. W 3,3/ g 1 Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, korixeem Leme 1.1 i potapaa W 3 Ω CΩ imamo: 3.4 τh3 k + h x σ h ψ + 1j3 x, t Ch 3/ a 1j CΩ u W 3,3/ Q h Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q, gde je Q h = Ω h, T. Izraz ψ + 1j4 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, T t u, t W q e 1 W q/q e 1, q >. Osim toga, ψ + 1j4 = kada je a 1j polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 1j4, t Ch a 1j W q e 1 T t u, t W q/q e 1. Sumiraem po qvorovima mree σ h i primenom potapaa imamo: h 3 k + h W 3 Ω W q Ω, W 4 Ω W q/q Ω x σ h ψ + 1j4, t Ch 4 a 1j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω + τ dobijamo: 3.5 τh3 k + h x σ h ψ + 1j4 x, t Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q.

54 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 5 Izraz ψ + 1j5 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, u W e 1 CQ x. j Da e, ψ + 1j5 = kada je a 1j polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 1j5 x, t C a 1j W u e 1. x j CQ Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h,primenom Leme 1.1 i potapaa W 3,3/ Q CQ imamo: 3.6 τh3 k + h x σ h ψ + 1j5 x, t Ch 3/ a 1j W Ω h u x j CQ Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ + 1j6 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, u CΩ W 3,3/ g 1. Da e, ψ + 1j6 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo ψ + 1j6 x, t C h a 1j CΩ u W 3,3/ g 1. Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, korixea Leme 1.1 i potapaa W 3 Ω CΩ imamo: 3.7 τh3 k + h x σ h ψ + 1j6 x, t Ch 3/ a 1j CΩ u W 3,3/ Q h Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q. Izraz ψ + 1j7 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1j, T t u, t W q e 1 W q/q e 1, q >.

55 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 53 Da e, ψ + 1j7 = kada je a 1j polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 1j7, t Ch a 1j W q e 1 T t u, t W q/q e 1. Sumiraem po qvorovima mree σ h i primenom potapaa W 3 Ω W q Ω, W 4 Ω W q/q Ω imamo: h 3 k + h x σ h ψ + 1j7, t Ch 4 a 1j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω + τ dobijamo: 3.8 τh3 k + h x σ h ψ + 1j7 x, t Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q Iz dobijamo: τh3 k + h x σ h ψ + 1j x, t Analogna ocena vai za izraz ψ 1j: τh3 k + h x σ h ψ 1j x, t Iz 3.1, 3.9 i 3.3 imamo: Ch a 1j W 3 Ω u W 4, Q. Ch a 1j W 3 Ω 1 u W 4, Q 1. τ ψ 1j, t Ch 4 a B 1 1j W 3 t ω τ + h Ω 1 u W 4, Q 1 + a 1j W 3Ω u. W 4, Q Ostaje nam jox da ocenimo izraz ψ j ψ j = η j, x, gde je u taqki x σ h. Vai da je η j = T1 T + Tt u a j 1 a j u xj + a + j x j u x j,

56 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 54 i a + x 1, x = a x 1, x + h. Vai elementarna nejednakost: h k + h ψ jx 1, ξ, t C η j x 1, ξ, t + η j x 1, ξ h, t. Rastavimo η j = η j1 + η j + η j3 + η j4, gde je η j1 = T1 T + Tt u a j T 1 T + a j x j η j = T 1 T + a j 1 a j + a + j η j3 = 1 a j + a + j T1 T + Tt η j4 = 1 4 a j a + j u+ x j u xj. T 1 T + T T1 T + Tt u t x j u 1 x j u x j + u + u, x j, x j, Izraz η j1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a j, T t u, t W 1 q e 1 W q/q e 1, q >. Osim toga, η j1 = kada je a j konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η j1, t Ch a j W 1 q e 1 T t u, t W q/q e 1. Sumiraem po qvorovima mree σ h, uz primenu Leme 1.1 i potapaa imamo: W 3 Ω W q Ω, W 4 Ω W 3 q/q Ω, q > h x σ h η j1, t Ch 3 a j W 1 q Ω h T t u, t W q/q Ωh Ch 4 a j W q Ω T t u, t W 3 q/q Ω Ch 4 a j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. Da e, sumiraem po qvorovima mree ω τ + dobijamo: τh 3.3 η j1 x, t Ch a j W 3 Ω u W 4, Q. x σ h Izraz η j je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a j, u W e 1 CQ x. j

57 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 55 Osim toga, η j = kada je a j polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η j x, t Ch a j W e 1 u. x j CQ Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W 3,3/ Q CQ imamo: 3.33 τh η j x, t x σ h Ch 3/ u a j W Ω h x j CQ Ch a j W 3 Ω u W 4, Q. Izraz η j3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a j, u CΩ W g 1. Osim toga, η j3 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: η j3 x, t C a j CΩ u. W g 1 i σ h, primenom Leme 1.1 i pota- Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + paa imamo: 3.34 τh η j3 x, t x σ h W 3 Ω CΩ Ch 3/ a j CΩ u W Q h Ch a j W 3 Ω u W 4, Q. Izraz η j4 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a j, T t u, t W 1 q e 1 W q/q e 1. Osim toga, η j4 = kada je a j konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η j4, t Ch a j W 1 q e 1 T t u, t W q/q e 1.

58 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 56 Posle sumiraa po qvorovima mree σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa imamo: W 3 Ω W q Ω, W 4 Ω W 3 q/q Ω, q > h x σ h η j4, t Ch 3 a j W 1 q Ω h T t u, t W q/q Ωh Da e, sumiraem po qvorovima mree ω + τ τh η j4 x, t x σ h Ch 4 a j W q Ω T t u, t W 3 q/q Ω Ch 4 a j W 3 Ω T t u, t W 4 Ω. imamo: Ch a j W 3 Ω u W 4, Q. Na osnovu ocena ocena imamo ocenu izraza η j x 1, ξ, t: τh η j x 1, ξ, t x σ h Analogna je ocena izraza η j x 1, ξ h, t: τh η j x 1, ξ h, t x σ h Iz 3.1, 3.36 i 3.37 imamo Ch a j W 3 Ω u W 4, Q. Ch a j W 3 Ω 1 u W 4, Q 1. τ ψ j, t Ch a B 1 j W 3 t ω τ + h Ω 1 u W 4, Q 1 + a j W 3 Ω u W 4, Q. Konaqno, iz 3.6, 3.1, 3.31 i 3.38 sledi ocena 3.4. Napomena 1. Dobijena ocena 3.4 je saglasna sa glatkoxu koeficijenata i glatkoxu rexea diferencijalnog problema 3.1.

59 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi Paraboliqki problem sa vremenski zavisnim koeficijentima 3..1 Postavka problema i numeriqka aproksimacija Razmotrimo dvodimenzioni poqetno-graniqni problem za jednaqinu toplote sa koncentrisanim kapacitetom na pravoj x = ξ i vremenski zavisnim koeficijentima v.[8]: kδx ξ u t u =, na Ω, T, ux, = u x, na Ω, i x i a i x, t u = f, na Q, x i gde je δx Dirakova delta funkcija, k >, Ω =, 1 i Q = Ω, T. Podoblasti su definisane na isti naqin kao u poglav u 3.1. Pretpostavimo da su koeficijenti a i monotono opadajue funkcije po promen ivom t koje zadovo avaju uslov eliptiqnosti i da a i W Q 1 W Q, f W,1 Q. Tada, uz prethodne uslove, uslove saglasnosti na granici oblasti Q i uslove konjugacije na Σ 3. potraimo rexee problema 3.39, tako da u W 4, Q 1 W 4, Q W 4, Σ, T. Problem 3.39 se moe aproksimirati na mrei Q hτ = ω h ω τ sledeom diferencijskom shemom sa usredenom desnom stranom: kδ h x ξv t + L h v = T 1 T T t f, na Q hτ, v =, na γ h ω + τ, vx, = u x, na ω h, gde je L h v = 1 a i v xi xi + a i v xi xi. i=1

60 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi Konvergencija u prostoru W,1 Q hτ U ovom delu dokazaemo konvergenciju diferencijske sheme 3.4 u,1 prostoru W Q hτ. Vai sledee tvree: Teorema 3.. Rexee diferencijske sheme 3.4 konvergira u prostoru W,1 Q hτ ka rexeu poqetno-graniqnog problema 3.39 i, uz uslov c 1 h τ c h, vai sledea ocena: 3.41 u,1 v W Q hτ Ch max a i + max i W Q 1 a i + 1 i W Q u W 4, Q 1 + u W 4, Q + u W 4, Σ,T. Dokaz. Neka je u rexee poqetno-graniqnog problema 3.39 i v rexe- e diferencijske sheme 3.4. Tada grexka zadovo ava uslove: z = u v kδ h x ξz t + L h z = φ + ψ, na Q hτ, z =, na γ h ω + τ, zx, =, na ω h, gde je φ = u t T1 T Tt u t + kδ hx ξu t T1 u t, i ψ = ψ 1 + ψ, gde je ψ i = T 1 T T t u a i 1 x i x i a iu xi xi + a i u xi xi, i = 1,. Primenom Leme.5 direktno dobijamo apriornu ocenu diferencijske sheme 3.4: 3.43 z W,1 Q hτ C τ t w + τ φ, t B 1 h + ψ, t B 1 h Primetimo da apriorna ocena 3.43 nije validna u sluqaju jednaqine sa mexovitim izvodima. Na taj naqin je problem ocene diferencijske sheme 3.4, sveden na.

61 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 59 ocenu desne strane nejednakosti Za izraz φ smo ve pokazali da vai ocena v.3.1: 3.44 τ t ω + τ φ, t B 1 h Ch u W 4, Q 1 + u W 4, Q + u W 4, Σ,T. Zato sada ocenimo izraz ψ. U taqki x / σ h izvrximo dekompoziciju izraza ψ i na sledei naqin v.[4]: gde je ψ i1 = T1 T Tt ψ i = a i u x i ψ i = T 1 T T t a i a i ψ i3 = a i T1 T T u t x i ψ i4 = T1 T Tt ai u x i x i ψ i5 = ψ i6 = 1 7 ψ ik, k=1 T 1 T T t a i T1 T T u u xi x i, T1 T Tt a i 1 x i ai,xi + a i, xi T1 T Tt ψ i7 = 1 4 ai,xi a i, xi u xi u xi. t x i T 1 T T t, T1 T T u ai,xi + a i, xi T 1 T T t u x i 1 t x i, a i T1 T T u t, x i x i u, x i u xi + u xi, Izraz ψ i1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a i, u Wq e W q/q e, gde je e = x 1 h, x 1 + h x h, x + h t τ, t, q >. Osim toga, ψ i1 = kada je a i konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ i1 x, t C a i u 1, W q e W Sumiraem po qvorovima mree ω + τ W Q k Wq Q k, W 4,. q/q e i ω h \σ h i primenom potapaa 1, Q k Wq/q Q k, k = 1,

62 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 6 imamo: h τ 3.45 ψ i1 x, t x ω h \σ h Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. Izraz ψ i je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u Wq, 1 e W, 1 q/q e, q >. Osim toga, ψ i = kada je a i polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: Sumiraem po qvorovima mree ω + τ imamo: h τ 3.46 ψ i x, t x ω h \σ h ψ i x, t C a i W, 1 q e u W, 1 q/q e. i ω h \σ h i primenom potapaa W Q k Wq,1 Q k, W 4, Q k W, 1 q/q Q k, k = 1, Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. Izraz ψ i3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u CQ k W 4, e, k = 1,. Osim toga, ψ i3 = kada je u polinom treeg stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: Sumiraem po qvorovima mree ω + τ ψ i3 x, t C a i CQk u W 4, e. i ω h \σ h i primenom potapaa imamo: 3.47 W Q k CQ k, k = 1, h τ ψ i3 x, t x ω h \σ h Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q.

63 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 61 Izraz ψ i4 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u Wq,1 W, 1 q/q e, q >. Osim toga, ψ i4 = kada je a i polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ i4 x, t C a i W, 1 q e u W, 1 q/q e. Sumiraem po qvorovima mree ω + τ i ω h \σ h i primenom potapaa imamo: 3.48 W Q k Wq, 1 Q k, W 4, Q k W, 1 q/q Q k, k = 1, h τ ψ i4 x, t x ω h \σ h Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. Izraz ψ i5 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u W 3,3/ e CQ x k, k = 1,. i Osim toga, ψ i5 = kada je a i polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ i5 x, t C a i W u. e x i CQk Sumiraem po qvorovima mree ω + τ imamo: 3.49 W Q k CQ k, k = 1, h τ ψ i5 x, t x ω h \σ h i ω h \σ h i primenom potapaa Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. Izraz ψ i6 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u Wq 1, e W q/q e, q >.

64 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 6 Osim toga, ψ i6 = kada je a i konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ i6 x, t C a i u 1, W q e W Sumiraem po qvorovima mree ω + τ imamo: 3.5 W 4, Q k Wq/q Q k, W h τ ψ i6 x, t x ω h \σ h. q/q e i ω h \σ h i primenom potapaa 1, Q k Wq Q k, k = 1, Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. Izraz ψ i7 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a i, u Wq,1 e W, 1 q/q e, q >. Osim toga, ψ i7 = kada je a i polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: Sumiraem po qvorovima mree ω + τ imamo: 3.51 ψ i7 x, t C a i W, 1 q e u W, 1 q/q e. W 4, Q k W, 1 q/q Q k, h τ ψ i7 x, t x ω h \σ h i ω h \σ h i primenom potapaa W Q k Wq, 1 Q k, k = 1, Iz ocena dobijamo ocenu Ch a i W Q 1 u W 4, Q 1 + a i W Q u W 4, Q. 3.5 h τ ψ i x, t x ω h \σ h Ch a i W 3,3/ Q 1 u W 4, Q 1 + a i u 3,3/ W Q W 4, Q.

65 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 63 gde je: U taqki x σ h rastavimo ψ 11 ± = T1 T ± Tt ψ ± 1 = ψ 1 = ψ ψ 1, ψ ± 1 = a 1 u x 1 T 1 T ± T t a 1 a 1 T 1 T ± ψ 13 ± = 1 a 1 T1 T ± u Tt x 1 7 ψ ± 1k, k=1 T1 T ± Tt a 1 T1 T ± u x1 x 1, u Tt x 1, u Tt x 1 ψ 14 ± = T1 T ± Tt a1 u T1 T ± T a 1 t T1 T ± T u t, x 1 x 1 x 1 x 1 ψ 15 ± = T1 T ± Tt a 1 1 a1,x1 + a 1, x1 T1 T ± T u t, x 1 x 1 ψ 16 ± = 1 a1,x1 + a 1, x1 T1 T ± T u t 1 u x1 + u x1, 4 x 1 ψ ± 17 = 1 8 a1,x1 a 1, x1 u x1 u x1. Izraz ψ + 11 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u Wq e W q/q e, gde je e = x 1 h, x 1 + h x, x + h t τ, t, q >. Osim toga, ψ + 11 = kada je a 1 konstanta ili kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ 11x, + t C a 1 u 1, W q e W. q/q e Sumiraem po qvorovima mree σ h i primenom potapaa imamo: 3.53 τh3 k + h W 1, Q Wq Q, W 4, Q Wq/q Q, q > ψ 11x, + t x σ h, Ch a 1 W Q u W 4, Q. Izraz ψ + 1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u Wq e W, 1 q/q e, q >.

66 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 64 Osim toga, ψ + 1 = kada je a 1 konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 1x, t C h a 1 W 1, q e u W, 1 q/q e. i σ h, primenom Leme 1.1 i pota- Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + paa imamo: 3.54 τh3 k + h W Q Wq, 1 Q, W 4, ψ 1x, + t x σ h Q Wq/q Q, Ch 3/ a 1 W 1, q Q h u W, 1 q/q Qh Ch a 1 W, 1 q Q u W q/q Q Ch a 1 W Q u W 4, Q, gde je Q h =, 1 ξ, ξ + h, T. Izraz ψ + 13 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u CQ W e. Osim toga, ψ + 13 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ 13x, + t C h a 1 CQ u. W e Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W Q CQ imamo: 3.55 τh3 k + h ψ 13x, + t x σ h Ch 3/ a 1 CQ u W 3,3/ Q h Ch a 1 W Q u W 4, Q. Izraz ψ + 14 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u W, 1 q e W, 1 q/q e, q >.

67 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 65 Osim toga, ψ + 14 = kada je a 1 polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 14x, t C a 1 W, 1 q e u W, 1 q/q e. i σ h, primenom Leme 1.1 i pota- Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + paa imamo: 3.56 τh3 k + h W 4, Q W,1 q/q Q, W Q Wq,1 Q, q > ψ 14x, + t x σ h Ch a 1 W Q u W 4, Q. Izraz ψ 15 + je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u W, 1 e CQ x. 1 Osim toga, ψ 15 + = kada je a 1 polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ 15x, + t C h a 1 W, 1 u e. x 1 CQ Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W 3,3/ Q CQ imamo: 3.57 τh3 k + h ψ 15x, + t x σ h Ch 3/ u a 1 W, 1 Q h x 1 CQ Ch a 1 W Q u W 4, Q. Izraz ψ + 16 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u CQ W 3,3/ e. Osim toga, ψ + 16 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 16x, t C h a 1 CQ u W 3,3/ e.

68 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 66 Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W 3,3/ Q CQ imamo: 3.58 τh3 k + h ψ 16x, + t x σ h Ch 3/ a 1 CQ u W 3,3/ Q h Ch a 1 W Q u W 4, Q. Izraz ψ + 17 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u W, 1 q e W, 1 q/q e, q >. Osim toga, ψ + 17 = kada je a 1 polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: ψ + 17x, t C a 1 W, 1 q e u W, 1 q/q e. Posle sumiraa po qvorovima mree ω + τ i σ h, primenom potapaa W 4, Q W,1 q/q Q, W Q Wq,1 Q, imamo: 3.59 τh3 k + h ψ 17x, + t x σ h Ch a 1 W Q u W 4, Q Iz imamo: τh3 k + h ψ 1 + x, t x σ h Analogna ocena vai za izraz ψ 1 : τh3 k + h ψ1 x, t x σ h Ch a 1 W Q u W 4, Q. Ch a 1 W Q 1 u W 4, Q 1.

69 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi Iz 3.5, 3.6 i 3.61 da e imamo: τ ψ 1, t B 1 t ω τ + h Ch a 1 W Q 1 u W 4, Q 1 + a 1 W Q u W 4, Q. Ostaje nam jox da ocenimo izraz ψ u taqki x σ h. Imamo da je ψ = η x, gde je η = T1 T + Tt u a 1 x Vai elementarna nejednakost: a + a + u x. h k + h ψ x 1, ξ, t C ηx 1, ξ, t + ηx 1, ξ h, t. Rastavimo η = η 1 + η + η 3, gde je η 1 = T1 T + Tt u a η = x T1 T + Tt a 1 a + a + η 3 = 1 a + a + T 1 T + T t T 1 T + T t a T 1 T + T t u u x. x T1 T + Tt u, x u, x Izraz η 1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a, u Wq e W, 1 q/q e, q >, gde je e = x 1 h, x 1 + h x, x + h t τ, t. Osim toga, η 1 = kada je a konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η 1 x, t C a W 1, q e u W, 1 q/q e. i σ h, primenom Leme 1.1 i pota- Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + paa W 4, Q Wq/q Q, W Q W, 1 q Q,

70 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 68 imamo: 3.63 τh η 1 x, t x σ h Ch 3/ a W 1, q Q h u W, 1 q/q Qh Ch a W, 1 q Q u W q/q Q Ch a W Q u W 4, Q. Izraz η je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a, u W, 1 e CQ x. Osim toga, η = kada je a polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η x, t C a W,1 u e. x CQ Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W 3,3/ Q CQ imamo: 3.64 τh η x, t x σ h Ch 3/ u a W,1 Q h x CQ Ch a W Q u W 4, Q. Izraz η 3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a, u CQ W 3,3/ e. Osim toga, η 3 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 dobijamo: η 3 x, t C a CQ u W 3,3/ e. Posle sumiraa po qvorovima mree ω τ + i σ h, primenom Leme 1.1 i potapaa W Q CQ

71 ,1 3 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 69 imamo: τh η 3 x, t x σ h Iz da e imamo: τh ηx 1, ξ, t x σ h Ch 3/ a CQ u W 3,3/ Q h Ch a W Q u W 4, Q. Ch a W Q u W 4, Q. Analogna ocena izraza ηx 1, ξ h, t je zadovo ena: τh t ω + τ ηx 1, ξ h, t x σ h Da e, iz ocena 3.66 i 3.67 sledi ocena: τh3 k + h ψ x, t x σ h Iz 3.5 i 3.68 imamo: τ ψ, t B 1 h Ch a W Q 1 u W 4, Q 1. Ch a W 3,3/ Q 1 u W 4, Q 1 + a u 3,3/ W Q W 4, Q. Ch a W Q 1 u W 4, Q 1 + a W Q u W 4, Q. Konaqno, iz 3.43, 3.44, 3.6 i 3.69 sledi ocena Napomena. Dobijena ocena 3.41 je saglasna sa glatkoxu koeficijenata i glatkoxu rexea diferencijskog problema Napomena 3. Analogna ocena konvergencije vai i u sluqaju kada u jednaqini 3.39 operator Lu zamenimo operatorom L 1 u = Lu + au, a = ax, t v.[46].

72 4 Konvergencija diferencijske sheme 1, u diskretnoj W normi U qetvrtoj glavi je takoe razmatran dvodimenzionalni paraboliqki problem sa koncentrisanim kapacitetom i vremenski zavisnim koeficijentima, ali uz pretpostavku da koeficijenti i rexee pripadaju prostorima mae glatkosti nego u prethodnom sluqaju. Dokazana je ocena 1, brzine konvergencije diferencijske sheme u prostoru W Q hτ saglasna sa glatkoxu koeficijenata i rexeem poqetnog problema. 4.1 Postavka problema Razmotrimo dvodimenzioni poqetno-graniqni problem za jednaqinu toplote sa koncentrisanim kapacitetom na pravoj x = ξ i vremenski zavisnim koeficijentima v.[45]: 1 + kδ Σ x u t a i x, t u = f, na Q, x i x i 4.1 i=1 u =, na Ω, T, ux, = u x, na Ω, gde je δ Σ x = δx ξ Dirakova delta funkcija, k >, Ω =, 1 i Q = Ω, T. Podoblasti su definisane na isti naqin kao u poglav u 3.1. Pretpostavimo da koeficijenti a i zadovo avaju uslov eliptiqnosti i da a i W +ε,1+ε/ Q 1 W +ε,1+ε/ Q, f W 1+ε,+ε/ Q,

73 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 71 gde je ε >. Tada, uz prethodne uslove, uslove saglasnosti na granici oblasti Q i uslove konjugacije na Σ 3. potraimo rexee problema 4.1, tako da u W Q 1 W Q W Σ, T. 4. Diferencijska shema Problem 4.1 se moe aproksimirati na mrei Q hτ = ω h ω τ sledeom diferencijskom shemom sa usredenom desnom stranom: kδ σh v t + L h v = T 1 T T t f, na Q hτ, v =, na γ h ω + τ, vx, = u x, na ω h. Da e uvodimo sledee diskretne norme i polunorme: v L Q hτ = τ v, t L ω h, v L σ h ω τ = τ v, t L σ h, v L ω τ ; W σ h = τ v W ω τ ; L ω h = τ t ω τ τ v W ω τ ; L σ h = τ t ω τ τ v, t W σ h, t ω τ, t t t ω τ, t =t v W ω τ ; L ω h = v W ω τ ; L ω h +τ t ω τ v W ω τ ; L σ h = v W ω τ ; L σ h +τ t ω τ v W 1, Q hτ = τ v, t v, t L ω h t t, v, t v, t L σ h, t t 1 t + τ + 1 v, t L T t + τ ω h, 1 t + τ + 1 v, t L T t + τ σ h, v, t W ω h + v W ω τ ; L ω h + v W ω τ ; L σ h.

74 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi Konvergencija diferencijske sheme U ovom ode ku emo dokazati konvergenciju diferencijske sheme 4. 1, u prostoru W Q hτ. Vai sledee tvree: Teorema 4.1. Rexee diferencijske sheme 4. konvergira u prostoru 1, W Q hτ ka rexeu diferencijskog problema 4.1 i, uz uslov c 1 h τ c h, vai sledea ocena: 4.3 u 1, v W Q hτ Ch max a i + max +ε, 1+ε/ i W Q 1 a i +ε, 1+ε/ i W Q +lh u + u + u 3,3/ W Q 1 W 3,3/ Q, W 3,3/ Σ,T gde je lh = log 1/h. Dokaz. Neka je u rexee poqetno-graniqnog problema 4.1 i v rexee diferencijskog problema 4.. Grexka zadovo ava diferencijsku shemu z = u v kδ σh z t + L h z = φ, na ω h ω + τ, z =, na γ h ω + τ, zx, =, na ω h, gde je φ = η i,xi + χ t + δ σh µ t i=1 η i = T + i T3 it t χ = u T 1 T u, µ = ku T 1 ku. u a i x i 1 a i + a +i i u xi Oznaqimo sa η 1 = η 1 + δ σh η 1, χ = χ + δ σh χ,

75 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 73 gde je [ η 1 = h 6 T 1 + Tt [ ] χ = h T1 u 6 x a 1 Σ. u + a ] 1 u x 1 x x x 1 Primenom Leme.3 i Leme.4, direktno dobijamo sledeu apriornu ocenu za rexee diferencijske sheme 4.4: [ 1, z W C η Q hτ L Q hτ + η 1 L Q hτ + η 1 + L ω τ ; W σ h ] χ W Σ, + ω τ,l ω h χ W + ω τ,l σ h µ W ω τ,l σ h Stoga, u ci u ocene brzine konvergencije diferencijske sheme 4., dovo no je oceniti desnu stranu nejednakosti 4.5. Prvo ocenimo izraz η. Izvrximo dekompoziciju izraza gde je gde je η = η 1 + η + η 3, η 1 = T 1 T + T t a u x T 1 T + T η = [T 1 T + T t a, 5a + a + η 3 =, 5a + a + T 1 T + T t ] t a T 1 T + T t T1 T + Tt u u x. x u, x u, x Izraz η 1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a, u W4 e W, 1 4 e, e = x 1 h, x 1 + h x, x + h t τ, t. Da e, η 1 = kada je a konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: η 1 x, t C a W 1, 4 e u W, 1 4 e. Posle sumiraa po qvorovima mree ω + τ W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W,1 4 Q k, k = 1, i ω h \ σ h i primene potapaa.

76 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 74 dobijamo 4.6 η 1 L Q hτ Ch a u +ε, 1+ε/ W Q 1 W Q 1 + a u. +ε, 1+ε/ W Q W Q Izraz η je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a, u Wq, 1 e Wq/q e, gde je q = + ε. Da e, η = kada je a polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u konstanta. Primenom Leme 1.5 dobijamo sledeu ocenu: η x, t C a W, 1 q e u W Posle sumiraa po qvorovima mree ω + τ. 1, q/q e i ω h \ σ h i primene potapaa dobijamo +ε, 1+ε/ W Q k Wq,1 Q k, W 1, Q k Wq/q Q k, za q = + ε, k = 1, 4.7 η L Q hτ Ch a u +ε, 1+ε/ W Q 1 W Q 1 + a u. +ε, 1+ε/ W Q W Q Izraz η 3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a, u CQ k W e, k = 1,. Da e, η 3 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 dobijamo ocenu: η 3 x, t C a CQk u. W e Posle sumiraa po qvorovima mree ω + τ i ω h \ σ h i primene potapaa dobijamo +ε, 1+ε/ W Q k CQ k, k = 1, 4.8 η 3 L Q hτ Ch a u +ε, 1+ε/ W Q 1 W Q 1 + a u. +ε, 1+ε/ W Q W Q Iz ocena imamo ocenu: 4.9 η L Q hτ Ch a u +ε, 1+ε/ W Q 1 W Q 1 + a u. +ε, 1+ε/ W Q W Q

77 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 75 Sada ocenimo izraz η 1. U taqki x / σ h vai η 1 = η 1. Izvrximo dekompoziciju izraza η 1 na sledei naqin: η 1 = η 11 + η 1 + η 13, gde je gde je η 11 = T + 1 T T t a 1 u x 1 T + 1 T T η 1 = [T + 1 T T t a 1, 5a 1 + a +1 η 13 =, 5a 1 + a +1 1 T + 1 T T t 1 ] t a 1 T + 1 T T t T 1 + T Tt u u x1. x 1 u, x 1 u, x 1 Izraz η 11 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u W4 e W, 1 4 e, e = ex, t = x 1, x 1 + h x h, x + h t τ, t. Da e, η 11 = kada je a 1 konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 imamo: 4.1 η 11 x, t C a 1 W 1, 4 e u W, 1 4 e. Izraz η 1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u Wq, 1 e Wq/q e, gde je q = + ε. Da e, η 1 = kada je a 1 polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u konstanta. Primenom Leme 1.5 dobijamo sledeu ocenu: 4.11 η 1 x, t C a 1 W, 1 q e u W. 1, q/q e Izraz η 13 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u CQ k W e, k = 1,. Da e, η 13 = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 dobijamo ocenu: 4.1 η 13 x, t C a 1 CQk u. W e Ostaje jox da ocenimo izraz η 1 za x σ h. U taqki x σ h izvrximo dekompoziciju: η 1 = 3 η 1,k + η+ 1,k, k=1

78 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 76 gde je η 1,1 ± = T 1 + T ± Tt ± h 6 ± h 6 ± h [ 6 T + 1 T t [ a1 + a +1 1 T + 1 T t [ η 1, ± = T 1 + T ± T η 1,3 ± = a 1 + a gde je u a 1 x 1 T + 1 T ± T t a 1 T + 1 T ± u x 1 ] x =ξ± Tt [ a 1 T 1 + T ± Tt u T 1 + T u t x x 1 x 1 T 1 + Tt u T 1 + T u t a 1 x 1 x x 1 x a 1 T 1 + Tt u T 1 + T a 1 u t x x 1 x x 1 a 1 + a +1 t a 1 1 h T 1 + T a 1 t 3 x [ T 1 + T ± Tt u u x1 h T 1 + Tt x 1 3 ] x =ξ± ], x =ξ± ] T 1 + T ± Tt u x 1 x Izraz η ± 1,1 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u W4 e ± 1 W, 1 4 e ± 1, e + 1 = x 1, x 1 + h ξ, ξ + h t τ, t, e 1 = x 1, x 1 + h ξ h, ξ t τ, t. u x 1, x =ξ± ]. x =ξ± Da e, η ± 1,1 = kada je a 1 konstanta ili kada je u polinom prvog stepena po x 1 i x. Primenom Leme 1.5 dobijamo 4.13 η ± 1,1x, t C a 1 W 1, 4 e ± 1 u W, 1 4 e ± 1. Izraz η ± 1, je ograniqen bilinearan funkcional argumenta 1, a 1, u Wq, 1 e ± 1 Wq/q e± 1, gde je q = + ε. Da e, η ± 1, = kada je a 1 polinom prvog stepena po x 1 i x ili kada je u konstanta. Primenom Leme 1.5 dobijamo ocenu: 4.14 η 1,x, ± t C a 1 W, 1 q e ± u 1 W. 1, q/q e± 1 Izraz η ± 1,3 je ograniqen bilinearan funkcional argumenta a 1, u CQ k W e ± 1, k = 1,.

79 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 77 Da e, η 1,3 ± = kada je u polinom drugog stepena po x 1 i x ili prvog stepena po t. Primenom Leme 1.5 imamo: 4.15 η 1,3x, ± t C a 1 CQk u. W e ± 1 Iz ocena i , posle sumiraa po qvorovima mree ω + τ i ω h \ σ h, odnosno ω + τ i σ h, i primene potapaa W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W,1 4 Q k, +ε, 1+ε/ W Q k Wq,1 Q k, W 1, Q k Wq/q Q k, za q = + ε, +ε, 1+ε/ W Q k CQ k, gde je k = 1,, dobijamo ocenu: 4.16 η 1 L Q hτ Ch a 1 u +ε, 1+ε/ W Q 1 W Q 1 + a 1 u. +ε, 1+ε/ W Q W Q Za ϕ W Σ vai sledea ocena: odakle sledi: T + 1 ϕ W σ h C ϕ W Σ C ϕ W 1 Ω k, k = 1,, η 1, t W σ h Ch T t ν, t W 1 Ω 1 + T t ν, t W 1 Ω, gde je ν = ν 1 + ν, pri qemu je Posle sumiraa imamo: u ν 1 = a 1, x 1 x ν = a 1 x u x η 1 L ω τ,w σ h Ch ν W 1, Q 1 + ν W 1, Q. Ostaje da ocenimo izraze na desnoj strani. Ocenimo prvo izraz ν 1. Po definiciji ν 1 W 1, Q k = Q k ν 1 x, t + ν 1x, t ν 1 x, t + dx dt. x 1 x

80 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 78 Ocenimo sva tri qlana na desnoj strani. Prvo, ν 1 x, t u dx dt = a 1 dx dt C a1 x 1 x Q k Primenom potapaa Q k +ε, 1+ε/ W Q k CQ k, W 3,3/ Q k W,1 Q k, k = 1, CQ k u. W, 1 Q k dobijamo 4.18 Q k ν 1 x, t dx dt C a1 +ε, 1+ε/ W Q k u. W 3,3/ Q k Da e je, Q k ν 1x, t dx dt = x 1 C Primenom potapaa a1 W 1, 4 Q k a 1 u 3 u + a 1 dx dt x 1 x 1 x x 1 x Q k u + W, 1 a1 4 Q k CQ k u. W 3,3/ Q k W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W,1 4 Q k, +ε, 1+ε/ W Q k CQ k, k = 1, imamo 4.19 Q k ν 1x, t x 1 dx dt C a1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k. Ocenimo jox trei qlan. ν 1x, t dx dt = a 1 u 3 u + a 1 x x x 1 x x 1 x dx dt Q k Q k a1 C W 1, 4 Q k u + W, 1 a1 4 Q k CQ k u. W 3,3/ Q k

81 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 79 Primenom potapaa imamo 4. Q k W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W,1 4 Q k, +ε, 1+ε/ W Q k CQ k, k = 1, ν 1x, t x dx dt C a1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k. 4.1 Konaqno iz ocena sledi ocena ν 1 W 1, Q k C a 1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k. Razmotrimo sada funkcional ν i ocenimo normu ν. Vai W 1, Q k ν x, t dx dt = a 1 u dx dt C a 1 u x x. W 1, 1 4 Q k W, 1 4 Q k Q k Primenom potapaa imamo 4. Q k Da e je, Q k C Primenom potapaa Q k W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W, 1 4 Q k, k = 1, ν x, t dx dt C a1 W +ε,1+ε/ ν x, t dx dt = x 1 Q k a1 W u, 1 W q Q k Q k u. W 3,3/ Q k a 1 u + a 1 u dx dt x 1 x x 1 x 1, q/q Q k + a1 W 1, +ε, 1+ε/ W Q k Wq,1 Q k, W 1, Q k Wq/q Q k, 4 Q k W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W, 1 4 Q k, k = 1, x 1 u W, 1 4 Q k.

82 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 8 dobijamo 4.3 Q k ν x, t x 1 dx dt C a1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k. Ocenimo jox trei qlan. ν x, t dx dt = x Q k C a 1 W, 1 Primenom potapaa q Q k u W Q k a 1 x 1, q/q Q k u x 1 + a 1 x + a 1 W 1, u x 1 x dx dt 4 Q k u W, 1 4 Q k. dobijamo 4.4 Q k +ε, 1+ε/ W Q k Wq,1 Q k, W 1, Q k Wq/q Q k, W +ε,1+ε/ Q k W 1, 4 Q k, W 3,3/ Q k W, 1 4 Q k, k = 1, ν x, t x dx dt C a1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k Iz ocena dobijamo ocenu ν W 1, Q k C a 1 W +ε,1+ε/ Q k u W 3,3/ Q k, k = 1,. Da e, iz ocena 4.17, 4.1 i 4.5 dobijamo ocenu η 1 L ω τ,w σ h Ch a 1 u +ε,1+ε/ W Q 1 W 3,3/ Q 1 + a 1 u. +ε,1+ε/ W Q W 3,3/ Q Ocene izraza χ, µ i χ su dokazane u [4]: χ W ω τ,l ω h Ch log 1 h u + u, W 3,3/ Q 1 W 3,3/ Q µ W ω τ,l σ h Ch log 1 h u W 3,3/ χ W ω τ,l σ h Ch Σ,T, log 1 h u W,1 Σ,T. Konaqno iz ocena sledi ocena 4.3.

83 1, 4 Konvergencija diferencijske sheme u W normi 81 Napomena 4. Dobijena ocena 4.3 je saglasna sa glatkoxu koeficijenata i glatkoxu rexea diferencijskog problema 4.1. Napomena 5. Analogna ocena konvergencije vai i u sluqaju kada u jednaqini 4.1 operator Lu zamenimo operatorom L 1 u = Lu + au, a = ax, t.v.[46].

84 Literatura [1] R.A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, New York [] J. Bergh and J. Löfström, Interpolation Spaces, An Introduction, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 8, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, [3] O. V. Besov, V. P. Ilin, S. M. Nikolskii, Integral representations and imbedding theorems, Nauka, Moskow Russian [4] D.R. Bojović, Convergence of finite difference method for parabolic problem with variable operator, Lecture Notes in Comput. Sci [5] D.R. Bojović, B.S. Jovanović, Convergence of finite difference method for the parabolic problem with concentraced capacity and variable operator, Journal of Computational and Applied Mathematics [6] D.R. Bojović, B.S. Jovanović, Finite difference method for a parabolic problem with concentrated capacity and time-dependent operator, Approximation and Computation, Series: Springer Optimization and its Applications, [7] D.R. Bojović, B.S. Jovanović, Convergence of finite difference method for solving D parabolic interface problem, Journal of Computational and Applied Mathematics [8] D.R. Bojović, B.V. Sredojević, B.S. Jovanović, Numerical approximation of a two-dimensional parabolic time-dependent problem containing a delta function, J. Comp. Appl. Math. vol [DOl 1.116/j.cam , ISSN , IF=1.365] [9] I. Braianov, Convergence of a Crank-Nicolson difference scheme for heat equation with interface in the heat flow and concentrated heat capacity, Lecture Notes in Comput. Sci

85 Literatura 83 [1] J.H. Bramble, S.R. Hilbert, Estimation of linear functionals on Sobolev spaces with application to Fourier transform and spline interpolation, SIAM J. Numer. Anal , [11] J.H. Bramble, S.R. Hilbert, Bounds for a class of linear functionals with application to Hermite interpolation, Numer. Math , [1] P. Grisvard, Singularities in Boundary Value Problems, Research Notes in Applied Mathematics, vol., Masson, Paris, 199. [13] J. Douglas, H. Rachford, On the numerical solution of heat conduction problem in two and three space variable, Trans. Amer. Math. Soc., 8: 1956, [14] T. Dupont, R. Scott, Polynomial approximation of functions in Sobolev spaces, Math. Comput , [15] M. Dražić, Convergence rates of difference approximation to weak solution of heat transfer equation, Oxford University Computing Laboratory, Numerical Analysis Group, Report No 86/, Oxford [16] R.D. Lazarov, V.L. Makarov, A.A. Samarskii, Applications of exact difference schemes for construction and studies of difference schemes on generalized solutions, Math. Sbornik, Russian. [17] R. D. Lazarov, Convergence of difference method for parabolic equations with generalized solutions, Pliska Stud. Math. Bulgar , Russian. [18] L. D. Ivanović, B. S. Jovanović, and E. Süli, On the rate of convergence of difference schemes for the heat transfer equation on the solutions from s, s/ W, Mat. Vesnik , 6-1. [19] B. S. Jovanović, On the convergence of finite-difference schemes for parabolic equations with variable coefficients, Numer. Math [] B. S. Jovanović, Numeričke metode rešavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina, Matematički institut, Beograd 1989 [1] B.S. Jovanović, Finite difference method for boundary value problems with weak solutions, Posebna izdanja Matematičkog Instituta 16, Beograd 1993

86 Literatura 84 [] B. S. Jovanović and L. G. Vulkov, Operator approach to the problems with concentrated factors, Numerical analysis and its applications Rousse,, Lecture Notes in Comput. Sci., 1988, Springer, Berlin, 1, [3] B. S. Jovanović and L. G. Vulkov, On the convergence of difference schemes for hyperbolic problems with concentrated data, SIAM J. Numer. Anal. 41 3, [4] B.S. Jovanović, L.G. Vulkov, Finite difference approximation for some interface problems with variable coefficients, Applied Numerical Mathematics 59 9, [5] B.S. Jovanović, E. Süli, Analysis of Finite Difference Schemes, Springer Series in Computational Mathematics, 14. [6] B.S. Jovanović, L.G. Vulkov, On the convergence of finite difference schemes for the heat equation with concentrated capacity, Numer. Math. 89, No 4 1, [7] B.S. Jovanović, Jedno uopštenje leme Brambla-Hilberta, Zbornik radova PMF u Kragujevcu , [8] B.S. Jovanović, On the strong stability of operator-difference schemes in time-integral norms, Comput. Methods in Applied Mathematics, Vol.1 11, No.1, pp [9] B.S. Jovanović, P.P. Matus, On the strong stability of operator-difference schemes in time-integral norms, Comput. Methods Appl. Math., bf [3] J.L. Lions, E. Magenes, Non Homogeneous Boundary Value Problems and Applications, Springer-Verlag, Berlin and New Jork 197. [31] J.L. Lions, E. Magenes, Problemes aux limites non homogenes et applications, Dunod, Paris [3] A.V. Lukov, Heat and Mass Transfer, Nauka, Moscow 1989 Russian [33] V. G. Maz ya and T. O. Shaposhnikova, Theory of Multipliers in Spaces of Differentiable Functions, Monographs and Studies in Mathematics 3, Pitman, Boston, Mass [34] S. M. Nikol ski, Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems, Nauka, Moscow, 1977 Russian.

87 Literatura 85 [35] L.A. Oganesyan, L.A. Rukhovets, Variational-Difference Method for Solving Eliptic Equations, AN Arm. SSR 1979 Russian. [36] P.W. Peaceman, H.H. Rachford, The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, J. Soc. Industr. Appl. Math. 3, No , 8-4. [37] M. Renardy, R.C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin and New York 1993 [38] A.A. Samarskii, R.D. Lazarov, V.L. Makarov, Difference Schemes for Differential Equations with Generalized Solutions, Vysshaya Shkola, Moscow 1987 Russian. [39] A.A. Samarskii, Theory of Difference Schemes, Nauka, Moscow 1989 Russian; English edition: Pure and Appl. Math,. Vol. 4, Marcel Dekker, New York 1. [4] A. A. Samarski, B. S. Iovanovich, P. P. Matus, and V. S. Shcheglik, Finite difference schemes on adaptive time grids for parabolic equations with generalized solutions, Differ. Equ , [41] J. A. Scott and W. L. Seward, Finite difference methods for parabolic problems with nonsmooth initial data, Oxford University Computing Laboratory, Numerical Analysis Group, Technical Report 86/, Oxford, [4] L. Schwartz, Théorie des distributions I,II, Paris 195. [43] E. Süli, B. S. Jovanović, and L. D. Ivanović, Finite difference approximations of generalized solutions, Math. Comput , [44] E. Süli, B. S. Jovanović, and L. D. Ivanović, On the construction of finite difference schemes approximating generalized solutions, Publ. Inst. Math , [45] B.V. Sredojević, D.R. Bojović, Finite difference approximation for parabolic interface problem with time-dependent coefficients, Publ. Inst. Math , 67-76,[DOI 1.98/PIM161367S, ISSN 35-13, IF=.7] [46] B. V. Sredojević, Finite difference method for the D heat equation with concentrated capacity, Krag. J. Math. u pripremi

88 Literatura 86 [47] H. Triebel, Interpolation theory, function space, differential operators, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin DDR [48] H. Triebel, Theory of Function Spaces, Monographs in Mathematics, vol. 78, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart, [49] V. S. Vladimirov, Generalized Functions in Mathematical Physics, English ed., Mir Publishers, Moscow, [5] V.S. Vladimirov, Equations of the Mathematical Physics, Nauka, Moscow, 1988 Russian [51] J. Wloka, Partial Differential Equations, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1987

89 Biografija Bratislav Sredojevi roen je godine u Gorem Milanovcu, od oca Vladimira i majke Zore. Osnovnu xkolu i Gimnaziju zavrxio je u Gorem Milanovcu. Dobitnik je vixe nagrada na takmiqe- ima iz matematike, fizike i hemije. Diplomirao je na Prirodno-matematiqkom fakultetu u Kragujevcu, grupa: Matematika, smer: Teorijska matematika sa primenama, dana godine sa proseqnom ocenom u toku studija 9.1devet i 1/1. Diplomski ispit sa temom "Spektar linearnog operatora"iz predmeta Funkcionalna analiza kod prof. dr Dejana Bojovia odbranio je sa ocenom 1deset. Od 7. godine student je doktorskih studija matematike Numeriqka matematika na Prirodno-matematiqkom fakultetu u Kragujevcu. Tokom studija bio je dobitnik xkolarine u okviru jednog projekta EFG banke i Nacionalne xtedionice, stipendista Ministarstva prosvete i Ministarstva nauke i tehnoloxkog razvoja Republike Srbije i dobitnik stipendije Univerziteta u Kragujevcu za 7. godinu kao najbo i student Prirodno-matematiqkog fakulteta. Nakon zavrxenih osnovnih studija bio je zaposlen u Tehniqkoj xkoli,,sava Munan" u Beloj Crkvi. Od septembra 1. godine radi u OX,,Ivo Andri" u Praanima. Reference 1. D.R. Bojović, B.V. Sredojević, B.S. Jovanović, Numerical approximation of a two-dimensional parabolic time-dependent problem containg a delta function, J. Comp. Appl. Math. 14, vol. 59, [DOl 1.116/j.cam , ISSN , IF=1.365] M1. B.V. Sredojević, D.R. Bojović, Finite difference approximation for parabolic interface problem with time-dependent coefficients, Publ. Inst. Math.

90 , 67-76, [DOI 1.98/PIM161367S, ISSN 35-13, IF=.7] M3 3. B.V. Sredojević, Finite difference method for the D heat equation with concentrated capacity, Krag. J. Math. u pripremi 4. D.R. Bojović, B.V. Sredojević, Numerical approximation of D parabolic interface problem with variable coefficients, Methods of numerical and nonlinear analysis with applications, 1, Beograd, Srbija, Abst. p. 7 M64 5. D.R. Bojović, B.V. Sredojević, B.S. Jovanović, Numerical approximation of a D parabolic time-dependent problem with delta function, International Congress on Computational and Applied mahtematics ICCAM 1, 1, Gent, Belgija, Abst. p.15 M34

91 Author's personal copy Journal of Computational and Applied Mathematics Contents lists available at ScienceDirect Journal of Computational and Applied Mathematics journal homepage: Numerical approximation of a two-dimensional parabolic time-dependent problem containing a delta function Dejan R. Bojović a,, Bratislav V. Sredojević a, Boško S. Jovanović b a University of Kragujevac, Faculty of Science, R. Domanovića 1, 34 Kragujevac, Serbia b University of Belgrade, Faculty of Mathematics, Studentski trg 16, 11 Belgrade, Serbia a r t i c l e i n f o a b s t r a c t Article history: Received 17 September 1 Received in revised form 4 April 13 MSC: 65M1 65M15 The convergence of a difference scheme for a two-dimensional initial-boundary value problem for the heat equation with concentrated capacity and time-dependent coefficients of the space derivatives is considered. An estimate of the rate of convergence in a special discrete W,1 Sobolev norm, compatible with the smoothness of the coefficients and the solution, is proved. 13 Elsevier B.V. All rights reserved. Keywords: Interface problem Convergence Sobolev norm 1. Introduction The finite-difference method is one of the basic tools for the numerical solution of partial differential equations. In the case of problems with discontinuous coefficients and concentrated factors Dirac delta functions, free boundaries, etc., the solution has weak global regularity, and it is impossible to establish convergence of finite-difference schemes using the classical Taylor series expansion. Often, the Bramble Hilbert lemma takes the role of the Taylor formula for functions from the Sobolev spaces [1 3]. Following Lazarov et al. [3], a convergence rate estimate of the form u v W k Ch s k u W s, s > k,,h is called compatible with the smoothness regularity of the solution u of the boundary value problem. Here, v is the solution of the discrete problem, h is the spatial mesh step, W s and W k,h are Sobolev spaces of functions with continuous and discrete argument, respectively, and C is a constant which does not depend on u and h. For parabolic problems, typical estimates are of the form u v W k,k/,hτ Ch + τ s k u s,s/ W, s > k, where τ is the time step. In the case of equations with variable coefficients, the constant C in the error bounds depends on the norms of the coefficients see, for example, [,4,5]. This work was supported in part by the Serbian Ministry of Education, Science and Technological Development Projects #174 and # Corresponding author. Tel.: addresses: bojovicd@ptt.rs D.R. Bojović, bratislav3@open.telekom.rs B.V. Sredojević, bosko@matf.bg.ac.rs B.S. Jovanović /$ see front matter 13 Elsevier B.V. All rights reserved.

92 PUBLICATIONS DE L INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série, tome , DOI: 1.98/PIM161367S FINITE DIFFERENCE APPROXIMATION FOR PARABOLIC INTERFACE PROBLEM WITH TIME-DEPENDENT COEFFICIENTS Bratislav V. Sredojević and Dejan R. Bojović Abstract. The convergence of difference scheme for two-dimensional initialboundary value problem for the heat equation with concentrated capacity and time-dependent coefficients of the space derivatives, is considered. An 1, estimate of the rate of convergence in a special discrete W Sobolev norm, compatible with the smoothness of the coefficients and solution, is proved. 1. Introduction The finite-difference method is one of the basic tools for the numerical solution of partial differential equations. In the case of problems with discontinuous coefficients and concentrated factors Dirac delta functions, free boundaries, etc. the solution has a weak global regularity and it is impossible to establish convergence of finite difference schemes using the classical Taylor series expansion. Often, the Bramble Hilbert lemma takes the role of the Taylor formula for functions from the Sobolev spaces [6, 8, 1]. Following Lazarov et al. [1], a convergence rate estimate of the form u v W k,h Ch s k u W s, s > k, is called compatible with the smoothness regularity of the solution u of the boundary-value problem. Here v is the solution of the discrete problem, h is the spatial mesh step, W s and Wk,h are Sobolev spaces of functions with continuous and discrete argument, respectively, C is a constant which doesn t depend on u and h. For the parabolic case typical estimates are of the form u v W k,k/,hτ Ch+ τ s k u s,s/ W, s > k, 1 Mathematics Subject Classification: 65M1, 65M15. Key words and phrases: interface problem, convergence, Sobolev norm. Partially supported the Serbian Ministry of Education, Science and Technological Development Project 174. Communicated by Boško Jovanović. 67

93

94