BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
|
|
- Jemimah Price
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača Voditelj rada: doc. dr. sc. Ante Mimica
2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana u sastavu: pred ispitnim povjerenstvom 1., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:
3 Sadržaj Sadržaj iii Uvod 1 1 Izabrane definicije i rezultati iz teorije vjerojatnosti Vjerojatnosni prostor Svojstva slučajnih varijabli Primjeri slučajnih varijabli Empirijska funkcija distribucije Brownovo gibanje Gaussovski proces Jako Markovljevo svojstvo Lévyjev zakon trojke Princip invarijantnosti Brownov most Kolmogorov-Smirnovljeva statistika Testiranje statističkih hipoteza Kolmogorov-Smirnovljev test Asimptotski rezultat Bibliografija 49 iii
4 Uvod Promatrate li kroz mikroskop čestice peludi u kapljici vode primijetit ćete neprekidno, nepravilno gibanje čestica koje ne ovisi o sastavu i gustoći čestica, o gibanju drugih čestica, o tokovima u tekućini, niti o isparavanju. Ovo su neke od činjenica koje je škotski botaničar Robert Brown prvi zabilježio u svojim znanstvenim radovima iz godine On the existence of active molecules in organic and inorganic bodies i Additional remarks on active molecules promatrajući ovaj fenomen. Slijedeći Brownove opservacije pojavilo se nekoliko teorija medu kojima je i ona Einsteinova iz godine koja je dala točno objašnjenje i smirila ondašnje diskusije o postojanju atoma. Jean Perrin je godine kombinirao Einsteinovu teoriju i eksperimentalne opservacije Brownovog gibanja kako bi potvrdio postojanje i odredio veličinu atoma. Nezavisno od Einsteina, M. von Smoluchowski došao je do jednake interpretacije Brownovog gibanja. Brownovo gibanje kao matematički objekt prvi puta rigozorno je definirao Wiener koji uvodi Wienerovu mjeru na prostoru C[0, 1] gradeći na Einsteinovom i von Smoluchowskijevom radu. Zatim slijede konstrukcije Kolmogorova, Lévya, Ciesielskija i Donskera. Povijesno gledajući, Brownovo gibanje prvi je stohastički proces u neprekidnom vremenu i kao takav utjecao je primjerice na razvoj Gaussovskih procesa, martingala i Markovljevih procesa pa bismo stoga mogli nedvojbeno reći da je Brownovo gibanje jedan od najvažnijih stohastičkih procesa. Ovaj matematički pojam našao je mnoge primjene u znanosti i financijskoj matematici, a jedna od primjena u statistici pa dalje posredno u svim aspektima primjene statistike opisana je u ovom radu koji je inspirian knjigom S. Resnicka ([9]). Cilj ovog rada jest izvod asipmtotske distribucije Kolmogorov-Smirnovljeve statistike koja služi za testiranje činjenice dolazi li slučajni uzorak iz neke populacije s neprekidnom razdiobom. Prvo poglavlje daje podlogu o teoriji vjerojatnosti. Nakon toga uvodi se pojam Brownovog mosta i dokazuje jako Markovljevo svojstvo i Lévyjev zakon trojke. Iskazan je princip invarijantnosti, definiran Brownov most i dokazano svojstvo da je Brownov most aproksimativno jednak Brownovom gibanju uvjetovanom da ima vrijednost 0 u vremenu 1. U zadnjem poglavlju nalazi se pregled osnovnih pojmova o testiranju statističke hipoteze, Kolmogorov-Smirnovljeva statistika i pripadajući test i konačno izvod asimptotske distribucije Kolmogorov-Smirnovljeve statistike. 1
5 Poglavlje 1 Izabrane definicije i rezultati iz teorije vjerojatnosti Kao što i sam naslov poglavlja sugerira, u prvom poglavlju ovog rada, pomalo i nepravedno stavljamo teoriju vjerojatnosti u okvir, odnosno uzet ćemo samo osnovne i potrebne rezultate i definicije. Smisao ovog poglavlja jest kratko ponavljanje ili uvodenje čitatelja u pojmove bez kojih je teško razumjeti ostatak rada. Nakon što uvedemo pojmove potrebne za definiranje vjerojatnosnog prostora, definiramo slučajnu varijablu i navodimo svojstva. U potpoglavlju 1.3 nalaze se primjeri slučajnih varijabli i vektora, te samo oni rezultati koji će nam koristiti u nastavku rada. Opširnije o ovoj temi možete pronaći u [11] odakle su preuzete definicije i rezultati iz ovog poglavlja. Ako nije drugačije navedeno, dokaze tvrdnji možete pronaći u toj knjizi. Dobro je znati da je najznačajniji dio ovog poglavlja za rad upravo potpoglavlje 1.4 gdje od definicije empirijske funkcije i raspisa njenih svojstava dolazimo do početne motivacije iz koje će uslijediti i konačni rezultat ovog rada. 1.1 Vjerojatnosni prostor Neka je Ω neprazan skup i F familija podskupova od Ω. Kažemo da je F σ-algebra na Ω ako vrijedi (i) F (ii) A F = A c F (iii) A i F, i N = A i F. 2
6 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 3 Dakle, F je σ-algebra ako je zatvorena na komplementiranje i prebrojive unije, a lako se pokaže da je zatvorena i na prebrojive presjeke i skupovne razlike: c A i F, i N = A i = A c i F A 1, A 2 F = A 1 \A 2 = A 1 A c 2 F. Trivijalne σ-algebre skupa Ω su {, Ω} i P(Ω). P(Ω) jest oznaka za pojam partitivnog skupa od Ω, što je po definiciji skup svih podskupova skupa Ω. σ-algebru generiranu familijom svih otvorenih skupova na R nazivamo σ-algebra Borelovih skupova i označavamo s B. Kažemo da je funkcija f : R R Borelova, odnosno izmjeriva funkcija ako vrijedi da je f 1 (B) B za svaki B B. Svaka neprekidna funkcija f : R R je Borelova funkcija. Poopćeno, B n je σ-algebra na R n generirana familijom svih otvorenih skupova na R n i analogno vrijedi tvrdnja za funkcije na R n. Izmjeriv prostor je ureden par (Ω,F ) gdje je F σ-algebra na Ω. Mjera na (Ω,F ) jest funkcija µ : F [0, + ] koja zadovoljava uvjete: (i) µ( ) = 0 ( ) (ii) Za niz medusobno disjunktnih skupova (A n ) n N iz F vrijedi µ A n = µ (A n ). n N n N Ako je µ(ω) = 1, tada se mjera µ naziva vjerojatnosnom mjerom i označavat ćemo je s P. Navedimo i neka osnovna svojstva vjerojatnosti (monotonost) A, B F i A B = P(A) P(B) (neprekidnost u odnosu na rastući/padajući niz dogadaja) A n F, n N, A 1 A 2... i A = A n = P(A) = lim P(A n ) n=1 n A n F, n N, A 1 A 2... i A = A n = P(A) = lim P(A n ) n=1 n ( ) (σ-poluaditivnost) A n F, n N = P A n P(A n ) n=1 n=1 (vjerojatnost unije dvaju dogadaja) A, B F = P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) (vjerojatnost suprotnog dogadaja) A F = P(A c ) = 1 P(A). Konačno, definirajmo osnovni objekt u teoriji vjerojatnosti. Uredena trojka (Ω, F, P) gdje je Ω skup, F σ-algebra na Ω i P vjerojatnost na (Ω, F ) naziva se vjerojatnosni prostor.
7 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 4 Elemente σ-algebre F nazivamo dogadajima, a broj P(A), za A F jest vjerojatnost dogadaja A. Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω R jest slučajna varijabla na Ω ako za svaki Borelov skup B R vrijedi X 1 (B) = {ω : X(ω) B} F. Generalizirano, funkcija X : Ω R n jest slučajni vektor (n-dimenzionalni slučajni vektor) na Ω ako vrijedi X 1 (B) F za svako B B n. Ako je X slučajni vektor i f : R n R m Borelova funkcija, tada je f X = f (X) m-dimenzionalni slučajni vektor. 1.2 Svojstva slučajnih varijabli Konvergencija slučajnih varijabli Niz slučajnih varijabli (X n ) n N na Ω konvergira gotovo sigurno (g.s.) prema X : Ω R ako je P ({ω Ω : lim X n (ω) = X(ω)}) = 1. g.s. Konvergenciju g.s od X n prema X zapisujemo lim X n = X g.s ili X n X. n po vjerojatnosti prema X : Ω R ako za svaki ɛ > 0 P( X n X > ɛ) 0, n. Konvergenciju po vjerojatnosti od X n prema X zapisujemo X n P X. po distribuciji prema X : Ω R ako vrijedi da je za svaki x u kojem je F neprekidna lim F n(x) = F(x). n Konvergenciju po distribuciji od X n prema X zapisujemo X n = X. Slučajnu varijablu X nazivamo još i asimptotska distribucija. Funkcija distribucije Definicija Neka je X slučajna varijabla na Ω. Funkcija distribucije od X jest funkcija F : R [0, 1] definirana sa F(x) = P(X 1 (, x]) = P ({ω Ω : X(ω) x}) = P(X x), x R. Ako za slučajne varijable X i Y vrijedi P(X z) = P(Y z), z R, tada kažemo da su slučajne varijable X i Y jednake po distribuciji i pišemo X d = Y.
8 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 5 Teorem Funkcija distribucije F slučajne varijable X zadovoljava sljedeća svojstva (i) F je rastuća funkcija (ii) F je neprekidna zdesna na R, odnosno lim y x+ F(y) = F(x) (iii) F( ) = lim F(x) = 0, F(+ ) = lim F(x) = 1. x x + Definicija Neka je X slučajna varijabla s funkcijom distribucije F. Generalizirani inverz funkcije distribucije F definiramo sa F (y) = inf {u : F(u) y}. (1.1) Propozicija Neka je F neprekidna funkcija distribucije i F pripadni generalizirani inverz. Tada vrijedi: (i) F(F (t)) t (ii) F je strogo rastuća na (0, 1) (iii) F(F (t)) = t (iv) F (y) t y F(t). Dokaz. Počnimo redom za svaku tvrdnju propozicije: (i) (ii) Neka je (y n ) niz takav da je F(y n ) t i y n F (t). Budući da je F neprekidna slijedi t lim n F(y n ) = F(F (t)). Neka su 0 < a < b < 1. Kako je F rastuća funkcija, tada vrijedi da je {u : F(u) a} {u : F(u) b}, pa je inf{u : F(u) a} inf{u : F(u) b}, odnosno F (a) F (b). Preostaje pokazati da vrijedi stroga nejednakost. Iz tvrdnje (i) slijedi F(F (b)) b. Budući da je F neprekidna, za ɛ = b a > 0 postoji δ > 0 2 takav da je F(u) b ɛ > a za svaki u (F (b) δ, F (b) + δ). Tada zbog F (a) F (b) δ slijedi F (a) < F (b). (iii) Dokazat ćemo ovu tvrdnju tako da pokažemo da je F(F (t)) t i F(F (t)) t. F(F (t)) t vrijedi prema (i). Zbog neprekidnosti od F možemo pretpostaviti da je F(a) = t. Tada je a {u : F(u) t}. Iz definicije infimuma slijedi da je F (t) a, a budući da je F rastuća i neprekidna slijedi F(F (t)) F(a) = t. (iv) Pretpostavimo prvo da vrijedi F (y) t. Budući da je F rastuća i neprekidna imamo F(F (y)) F(t) i kada iskoristimo tvrdnju pod (ii) slijedi y F(t). S druge strane, ako je y F(t), tada je t {u : F(u) y}, pa je F (y) t prema definiciji infimuma.
9 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 6 Diskretna slučajna varijabla Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor, X slučajna varijabla na Ω i F pripadna funkcija distribucije. Slučajna varijabla X jest diskretna ukoliko postoji prebrojiv skup D B(R) takav da je P (X D) = 1. Funkcija gustoće diskretne slučajne varijable X jest funkcija f : R R definirana sa f (x) = P(X = x) i prema tome za funkciju distribucije definiranu u Definiciji u diskretnom slučaju vrijedi F(x) = f (y). {y D : y x} Diskretne slučajne varijable obično zadajemo tako da zadamo skup D = {x 1, x 2,... } i brojeve p n = P(X = x n ), što zapisujemo u tablicu ( ) x1 x X 2 x n (1.2) p 1 p 2 p n koju nazivamo distribucija ili zakon razdiobe slučajne varijable X. Neka su X 1 i X 2 diskretne slučajne varijable definirane na istom vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Zajednička funkcija gustoće jest funkcija f X1,X 2 : R 2 R za koju vrijedi f X1,X 2 f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 ). naziva se i gustoćom slučajnog vektora (X 1, X 2 ). Za njihovu zajedničku funkciju distribucije (funkciju distribucije slučajnog vektora (X 1, X 2 )) F X1,X 2 : R 2 R vrijedi F X1,X 2 (x 1, x 2 ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2 ). Za slučajni vektor (X 1, X 2 ) s gustoćom razdiobe f X1,X 2 marginalna gustoća od X 1 jest f X1 (x 1 ) = f X1,X 2 (X 1, X 2 ), x 1 R. x 2 Im X 2 Ako je f X2 = P(X 2 = x 2 ) > 0, x 2 Im X 2, tada je uvjetna gustoća od X 1 uz dano X 2 = x 2 f X1 X 2 = P(X 1 = x 1 X 2 = x 2 ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) P(X 2 = x 2 ) = f X 1,X 2 (x 1, x 2 ), x 1 R. f X2 (x 2 ) Druga jednakost posljednjeg izraza jest definicija uvjetne vjerojatnosti.
10 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 7 Neprekidna slučajna varijabla Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor, X slučajna varijabla na Ω i F pripadna funkcija distribucije. Slučajna varijabla X jest neprekidna slučajna varijabla ako postoji Borelova funkcija f : R R + takva da je P(a X b) = b a f (y) dy. Funkciju f nazivamo funkcijom gustoće slučajne varijable X. Prema tome, za funkciju distribucije definiranu u Definiciji 1.2.1, u neprekidnom slučaju vrijedi F(x) = x f (y) dy. (1.3) Neka su X 1 i X 2 neprekidne slučajne varijable definirane na istom vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P). Zajednička razdioba tih slučajnih varijabli jest funkcija f X1,X 2 : R 2 R za koju vrijedi P(a X 1 b, c X 2 d) = b d a c f X1,X 2 dx 1 dx 2. f X1,X 2 naziva se i gustoćom slučajnog vektora (X 1, X 2 ). Za njihovu zajedničku funkciju distribucije (funkciju distribucije slučajnog vektora (X 1, X 2 )) F X1,X 2 : R 2 R vrijedi F X1,X 2 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 f X1,X 2 (u, v) du dv. Za slučajni vektor (X 1, X 2 ) s gustoćom razdiobe f X1,X 2 marginalna gustoća od X 1 jest f X1 (x 1 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 2, x 1 R. Ako je f X2 > 0, x 2 Im X 2, tada je uvjetna gustoća od X 1 uz dano X 2 = x 2. f X1 X 2 = f X 1,X 2 (x 1, x 2 ), x 1 R. (1.4) f X2 (x 2 ) Matematičko očekivanje i varijanca Definicija Definirajmo X + = max{x, 0}, X = max{ X, 0}. Kažemo da slučajna varijabla X = X + X ima matematičko očekivanje ukoliko je barem jedan od integrala
11 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 8 EX + := Ω X + dp, EX := Ω X dp konačan. Tada matematičko očekivanje, u oznaci EX, definiramo kao EX = EX + EX. Teorem Neka su X i Y nenegativne slučajne varijable ili neka vrijedi E X <, E Y <. Tada vrijedi E[aX + Y] = aex + EY. Ovaj važan rezultat koji će biti korišten više puta nazivamo linearnost matematičkog očekivanja,odnosno linearnost očekivanja i u nastavku rada pozivat ćemo se na njega. Ako je X diskretna slučajna varijabla, tada vrijedi EX = xp(x = x) = x i p i, (1.5) x i E[g(X)] = g(x i )p i, (1.6) gdje su jednakosti napisane korištenjem oznaka iz (1.2). Ako je X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f, tada je EX = E[g(X)] = gdje integriramo u odnosu na Lebesgueovu mjeru. Definicija Varijanca slučajne varijable X definira se s VarX = E[(X EX) 2 ] [0, ]. Ako je VarX <, onda kažemo da X ima konačnu varijancu. i x f (x)dx, (1.7) g(x) f (x)dx, (1.8) Korisno je vidjeti da zbog linearnosti matematičkog očekivanja vrijede i sljedeća dva zaključka: VarX = E[(X EX)(X EX)] = E[X 2 X EX EX X + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2 (EX) 2 + (EX) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 (1.9)
12 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 9 Var[aX + b] = E[(aX + b) 2 ] [E(aX + b)] 2 = E(a 2 X 2 + 2abX + b 2 ) (aex + b) 2 = a 2 E(X 2 ) + 2abEX + b 2 a 2 (EX) 2 2abEX b 2 = a 2 [E(X 2 ) (EX) 2 ] = a 2 VarX. (1.10) Definicija Kovarijanca slučajnih varijabli X, Y se definira s Cov(X, Y) = E[(X EX)(Y EY)]. Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nekorelirane ako vrijedi Cov(X, Y) = 0. Analogno kao i kod izvoda (1.9) slijedi Nezavisnost slučajnih varijabli Cov(X, Y) = E(XY) (EX)(EY) (1.11) Definicija Neka su X 1, X 2,..., X n slučajne varijable. Slučajne varijable X 1, X 2,..., X n su nezavisne ako za proizvoljne B 1, B 2,..., B n B vrijedi P (X 1 B 1, X 2 B 2,..., X n B n ) = n P (X i B i ). Neka je I skup indeksa. Kažemo da je {X i : i I} familija nezavisnih varijabli ako su slučajne varijable nezavisne za svaki podskup različitih indeksa iz I. Propozicija Neka je {X i : i I} familija nezavisnih slučajnih varijabli za neki skup indeksa I i neka su g i : R R, i I Borelove funkcije. Tada je {g i (X i ), i I} familija nezavisnih slučajnih varijabli. Teorem Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijable ( ) takve da su sve nenegativne ili da sve imaju konačno očekivanje. Tada postoji E X i i vrijedi n n n E X i = EX i. Teorem Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijable čije varijance postoje. Tada postoji i varijanca od n X i i vrijedi n Var X i = n VarX i.
13 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 10 Propozicija Neka su X 1,..., X n nezavisne slučajne varijable s gustoćom f i, 1 i n. Tada (X 1,..., X n ) ima gustoću f (x 1,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f n (x n ), (x 1,..., x n ) R n. Definicija Karakteristična funkcija slučajne varijable X čija je funkcija distribucije F jest funkcija ϕ definirana sa ϕ(t) = e itx df(x), t R. Za karakterističnu funkciju slučajne varijable X vrijediti će ϕ(t) = e itx df(x) = Ee itx, t R. Analogno definiramo i karakterističnu funkciju slučajnog vektora X = (X 1,..., X n ) i vrijedi gdje je t, X = t 1 X t n X n. ϕ(t) = Ee i t,x, t = (t 1,..., t n ) R n, Teorem Slučajne varijable X 1,..., X n su nezavisne ako i samo ako vrijedi ϕ X1,...,X n (t 1,..., t n ) = n ϕ Xk (t k ), t = (t 1,..., t n ) R n. k=1 1.3 Primjeri slučajnih varijabli Primjer Diskretna slučajna varijabla X čija je distribucija dana s ( ) 0 1 X, 0 < p < 1 1 p p naziva se Bernoullijeva slučajna varijabla. Očito je prema (1.5) EX = 0 (1 p)+1 p = p, a zbog X 2 = X i EX 2 = EX, prema (1.9) slijedi da je VarX = EX 2 (EX) 2 = p p 2 = p(1 p). Diskretna slučajna varijabla X čija je distribucija zadana pomoću ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n, n N k
14 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 11 naziva se binomna slučajna varijabla i označava sa X B (n, p). Budući da je binomna slučajna varijabla suma n nezavisnih Bernoulijevih slučajnih varijabli, zbog linearnosti očekivanja i Teorema slijedi EX = np VarX = np(1 p). Primjer Kažemo da neprekidna slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ 2 i označavamo X N (µ, σ 2 ) ako joj je funkcija gustoće f zadana sa f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R. Vrijedi da je EX = µ, VarX = σ 2. Karakteristična funkcija normalne slučajne varijable X N(µ, σ 2 ) jest ϕ X (t) = e iµt σ2 t 2 2. Neka je Y = ax + b, a 0, Tada je Y N(aµ + b, a 2 σ 2 ). Nadalje, za X 1,..., X n nezavisne slučajne varijable takve da su X i N(µ i, σ 2 i ) vrijedi da je n n n X i N µ i, σ 2 i. Neka je Z = (Z 1, Z 2,..., Z k ), k N slučajni vektor takav da su Z i N(0, 1) nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable. X T = (X 1, X 2,..., X n ) je normalni slučajni vektor ako postoje matrica A M nxk i µ R n takvi da je X = AZ + µ. Lema Linearna transformacija normalnog slučajnog vektora je normalni slučajni vektor. Za dokaz tvrdnje vidjeti [3], 29. Limit Theorems in R k, Normal Distributions in R k. Definicija Kažemo da dvije slučajne varijable X i Y imaju bivarijantnu normalnu razdiobu ako postoje dvije nezavisne normalno distribuirane slučajne varijable U, V i skalari a, b, c, d takvi da vrijedi: X = au + bv, Y = cu + dv. Lema Neka su X i Y slučajne varijable koje imaju bivarijantnu normalnu distribuciju. Pretpostavimo da X i Y nisu korelirane. Tada su one nezavisne.
15 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 12 Dokaz. Dovoljno je pokazati da tvrdnja vrijedi u slučaju kada X i Y imaju očekivanje 0. Tada vrijedi da je EU = EV = 0. Neka je Z = t 1 X + t 2 Y = (t 1 a + t 2 c)u + (t 1 b + t 2 d)v. Tada su zbog Propozicije i Primjera X, Y i Z normalne slučajne varijable. Označimo X N(0, σ 2 X ), Y N(0, σ2 Y ). Budući da prema pretpostavki X i Y nisu korelirane, vrijedi da je Cov(X, Y) = 0, odnosno ekivalentno tome je E(XY) = EXEY pa vrijedi Var(Z) = Var(t 1 X + t 2 Y) = E(t 1 X + t 2 Y) 2 [E(t 1 X + t 2 Y)] 2 = E(t 2 1 X2 + 2t 1 t 2 XY + t 2 2 Y2 ) [E(t 1 X) + E(t 2 Y)] 2 = t 2 1 EX2 + 2t 1 t 2 E(XY) + t 2 2 EY2 t 2 1 (EX)2 2t 1 t 2 EXEY t 2 2 (EY)2 = t 2 1 EX2 t 2 1 (EX)2 + t 2 2 EY2 t 2 2 (EY)2 = t 2 1 VarX + t2 2 VarY. Zbog linearnosti očekivanja je Z N(0, t 2 1 σ2 X + t2 2 σ2 Y ). Prema Primjeru i definiciji karakteristične funkcije slučajnog vektora vrijedi ϕ X,Y (t 1, t 2 ) = Ee it 1X+it 2 Y = Ee itz = e (t2 1 σ2 X +t2 2 σ2 Y ) 2. Pretpostavimo sada da su ˆX N(0, σ 2 X ), Ŷ N(0, σ2 Y ) nezavisne slučajne varijable. Vrijedi Teorem i može se pokazati da su one i nekorelirane, odnosno Cov( ˆX, Ŷ) = E( ˆXŶ) E ˆXEŶ = E ˆXEŶ E ˆXEŶ = 0. Tada za karakterističnu funkciju ( ˆX,Ŷ) vrijedi isti argument kao i za karakterističnu funkciju (X,Y). Prema teoremu jedinstvenosti slijedi da ako su karakteristične funkcije ( ˆX,Ŷ) i (X,Y) jednake, tada su im jednake i distribucije. Budući da su ˆX i Ŷ nezavisne, jednako vrijedi i za X i Y. Primjer Kažemo da neprekidna slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na segmentu [a,b], a, b R, a < b ako joj je funkcija gustoće f zadana s 1 f (x) =, a x b b a 0, x [a, b]. Prema (1.7) i (1.8) slijedi da je EX = b a pa vrijedi da je x b a dx = a + b 2 VarX = b2 + ab + a 2 3 i EX 2 = b a ( ) 2 a + b = 2 x 2 b a dx = b2 + ab + a 2, 3 (a b)2. 12
16 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 13 Propozicija Neka je X slučajna varijabla s neprekidnom funkcijom distribucije F. Tada je F(X) slučajna varijabla s uniformnom distribucijom. Dokaz. Budući da je F neprekidna tada je i Borelova, pa je kompozicija slučajne varijable i Borelove funkcije ponovno slučajna varijabla. Dakle, F(X) je slučajna varijabla. Preostaje nam pokazati da F(X) ima uniformnu distribuciju. Neka je 0 x 1. Prema Propoziciji vrijedi: Stoga slijedi F(X) x F (F(X)) F (x) X F (x). P (F(X) x) = P (X F (x)) = F(F (x)) = x. Dakle, F(X) ima uniformnu razdiobu, F(X) U(0, 1). Pretpostavimo da su X 1,..., X n nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable definirane na istom prostoru Ω sa zajedničkom funkcijom distribucije F. Ako pretpostavimo da je F neprekidna funkcija distribucije, tada se jednake realizacije medu tim slučajnim varijablama dogadaju s vjerojatnosti 0 pa ih možemo zanemariti. Definirajmo sada slučajne varijable X (1),..., X (n) na domeni Ω, za ω Ω : X (1) (ω) = min{x 1 (ω),..., X n (ω)} X (2) (ω) = drugi najmanji od {X 1 (ω),..., X n (ω)}. X (n 1) (ω) = drugi najveći od {X 1 (ω),..., X n (ω)} X (1) (ω) = max{x 1 (ω),..., X n (ω)}, pa imamo X (1) <... < X (n). Slučajne varijable X (1),..., X (n) nazivamo uredene statistike. Lema Neka su U 1,..., U n nezavisne, jednako distribuirane, uniformne slučajne varijable na [0,t] i neka vrijedi U (1) < U (2) <... < U (n). Tada je zajednička gustoća n!, 0 < u t f U(1),...,U (n) (u 1,..., u n ) = n 1 <... < u n < t 0, inače Dokaz. Neka je Π skup svih permutacija skupa {1,..., n}. Tada za π Π, (U (1),..., U (n) ) = (U π(1),..., U π(n) ) na skupu [U π(1) <... < U π(n) ]. Stoga, za bilo koju omedenu funkciju g imamo Eg(U (1),..., U (n) ) = Eg(U π(1),..., U π(n) )1 [Uπ(1) <...<U π(n) ]. π Π
17 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 14 Budući da vrijedi f Uπ(1),...,U π(n) (u 1,..., u n ) = f U1,...,U n (u 1,..., u n ) i zbog nezavisnosti slučajnih varijabli U 1,..., U n slijedi t n, (u 1,..., u n ) [0, t] n f Uπ(1),...,U π(n) (u 1,..., u n ) = 0, inače. Stoga imamo Eg(U (1),..., U (n) ) = = π Π [0<u 1 <...<u n <t] [0,t] n g(u 1,..., u n ) g(u 1,..., u n )t n du 1... du n ( ) n! t 1 n [u 1 <...<u n ](u 1,..., u n ) du 1... du n iz čega slijedi tvrdnja leme. Primjer Kažemo da slučajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima α > 0 i λ > 0 ako je strogo pozitivna i ako je njena funkcija gustoće λ α Γ(α) f (x) = xα 1 e λx, x > 0 0, x 0. gdje je Γ(α) = 0 t α 1 e t dt Γ-funkcija. Slučajnu varijablu s gama razdiobom označavamo X Γ ( α, λ) 1. Prema (1.7) i (1.8) integriranjem dobijemo EX = α, VarX = α. Karakteristična funkcija slučajne varijable λ λ 2 X Γ ( α, λ) 1 jest ( λ ) α ϕ X (t) =, t R. λ it U slučaju kada je α = 1 kažemo da X ima eksponencijalnu razdiobu. Tada pišemo X Exp(λ). Slijedi da su funkcija gustoće i funkcija distribucije ekponencijalne slučajne varijable λe λx, x > 0 f (x) = 0, x 0. 1 e λx, x > 0 F(x) = 0, x 0.
18 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 15 Matematičko očekivanje i varijanca eksponencijalne razdiobe su tada EX = 1 λ, VarX = 1 λ 2. Karakteristična funkcija slučajne varijable X Exp(λ) jest ϕ X (t) = λ λ it, t R. Lema Neka su X 1,..., X n nezavisne slučajne varijable takve da je X i Exp(λ), za 1 i n. Tada vrijedi X X n Γ ( n, λ) 1. Dokaz. Iz karakterističnih funkcija slučajnih varijabli X i Exp(λ) i X 1 + +X n Γ ( ) n, 1 λ danih u Primjeru tvrdnja slijedi direktno prema Teoremu Propozicija Pretpostavimo da su {E n, n 1} nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable, E n Exp(1). Definirajmo Γ n = E 1 + E E n. Tada je zajednička gustoća od Γ 1,..., Γ n uz uvjet da je Γ n+1 = t jednaka gustoći uredenih statistika od n nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli koje su uniformno distribuirane na [0, t]. Dokaz. Za početak pogledajmo zajedničku gustoću slučajnih varijabli E 1,..., E n+1. Budući da su to nezavisne, eksponencijalno distribuirane slučajne varijable, iz Primjera i zbog Propozicije zajednička gustoća je jednaka n+1 f E1,...,E n+1 (x 1,..., x n+1 ) = e x i = e n+1 x i, (1.12) za x i > 0, 1 i n + 1. Iz gustoće dane sa (1.12) možemo dobiti gustoću od (Γ 1,..., Γ n+1 ) zamjenom varijabli. Za i = 1,..., n+1 definirajmo s i = i x j. Vidimo stoga da je inverzna transformacija x i = s i s i 1, za 1 i n + 1 gdje je s 0 = 0. Pripadni Jakobijan inverzne transformacije jest = Stoga vrijedi da je j=1 f Γ1,...,Γ n+1 (s 1,..., s n+1 ) = e s n+1, (1.13) gdje je 0 s 1 < s 1 <... < s n+1. Kako prema Lemi vrijedi da Γ n+1 ima gama razdiobu, iz (1.4) i (1.13) slijedi da je uvjetna zajednička gustoća jednaka f Γ1,...,Γ n Γ n+1 =t(s 1,..., s n ) = f Γ 1,...,Γ n+1 (s 1,..., s n, t) f Γn+1 (t) = e t e t t n n! = n! t n, (1.14)
19 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 16 za 0 < s 1 <... < s n < t što je prema Lemi upravo gustoća uredenih statistika od n nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli koje su uniformno distribuirane na intervalu [0,t]. 1.4 Empirijska funkcija distribucije Definicija Neka je X 1, X 2,..., X n slučajan uzorak duljine n iz distribucije F. Empirijska funkcija distribucije je slučajna funkcija ˆF n ( )(x) : R R, ω Ω definirana s ˆF n (x) = 1 n n 1 [Xi x], x R (1.15) Prema tome, za svaki fiksni x R, ˆF n (x) jest proporcija uzorka koji je manji ili jednak x. Prije nego nastavimo sa svojstvima empirijske funkcije distribucije koja će nam biti od koristi, pogledajmo nekolicinu poznatih teorema iz opće teorije vjerojatnosti koji će biti potrebni u dokazivanju svojstava empirijske funkcije distribucije. Teorem (Jaki zakon velikih brojeva) Pretpostavimo da su X 1, X 2,..., X n u parovima nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable takve da je E X i <. Neka je EX i = µ i S n = X X n. Tada S g.s. n µ kada n. n Dokaz možete pronaći u [5], 2.4 Strong Law of Large Numbers, dokaz Teorema Teorem (Centralni granični teorem) Neka su X 1, X 2,... nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable takve da je EX i = µ i VarX i = σ 2 (0, ). Ako je S n = X 1 + X X n tada S n nµ σ = χ gdje χ ima standardnu normalnu razdiobu. n Dokaz se nalazi primjerice u [5], 3.4 Central Limit Theorems, dokaz Teorema Teorem (Glivenko-Cantelli) Neka su X 1, X 2,... nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable sa zajedničkom funkcijom distribucije F i neka je ˆF n pripadna empirijska funkcija distribucije. Tada ˆF n konvergira uniformno prema F kada n, odnosno vrijedi sup ˆF n (x) F(x) x g.s. 0. Dokaz. Uzmimo fiksni x i neka je Y n = 1 [Xn x]. Kao što ćemo vidjeti detaljno u potpoglavlju Svojstva empirijske funkcije distribucije, Y n su nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable i vrijedi EY n = P(X n x) = F(x). Jaki zakon velikih brojeva, Teorem povlači ˆF n (x) = 1 n n 1 [Xi x] = 1 n n Y i g.s. F(x).
20 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 17 Ako je ˆF n niz rastućih funkcija koje konvergiraju prema ograničenoj i neprekidnoj funkciji F, tada vrijedi tvrdnja teorema. Medutim, funkcija distribucije F može imati skokove. Ponovno, fiksirajmo x i neka je Z n = 1 [Xn <x]. Budući da su Z n nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable takve da je EZ n = P(X n < x) = F(x ) = lim F(y), Teorem y x implicira ˆ F n (x ) = 1 n n 1 [Xi <x] = 1 n n Z i g.s. F(x ). Neka je za 1 j k 1, x j,k = inf{y : F(y) j k }. Zbog konvergencije po točkama ˆF n (x) i ˆF n (x ), možemo uzeti N takav da za n N vrijedi ˆF n (x j,k ) F(x j,k ) < k 1 i ˆF n (x j,k ) F(x j,k ) < k 1, za 1 j k 1. Ako dodamo x 0,k = i x k,k =, tada zadnje dvije nejednakosti vrijede i u slučaju j = 0 i j = k. Neka je x (x j 1,k, x j,k ), 1 j k i n N. Tada zbog monotonosti od ˆF n, F i zbog F(x j,k ) F(x j 1,k ) k 1 imamo ˆF n (x) ˆF n (x j,k ) F(x j,k ) + k 1 F(x j 1,k ) + 2k 1 F(x) + 2k 1, ˆF n (x) ˆF n (x j 1,k ) F(x j 1,k ) k 1 F(x j,k ) 2k 1 F(x) 2k 1. Vrijedi dakle sup ˆF n (x) F(x) 2k 1, čime je tvrdnja dokazana. x Svojstva empirijske funkcije distribucije Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne, jednako distribuirane slučajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P). Označimo im funkciju distribucije s F. Indikatorske funkcije tih slučajnih varijabli jednake su kao i u definiciji empirijske funkcije distribucije 1, X i x 1 [Xi x] = 0, X i > x. Budući da je prema definiciji funkcije distribucije F(x) = P(X i x), tada slijedi ( ) [Xi x]. 1 F(x) F(x) Drugim riječima, slučajne varijable 1 [Xi x] imaju Bernoulijevu razdiobu. Nadalje, zbog nezavisnosti slučajnih varijabli X 1, X 2,..., X n i Propozicije slijedi da su i nezavisne. Dakle, 1 [X1 x], 1 [X2 x],..., 1 [Xn x] su nezavisne Bernoulijeve slučajne varijable, pa za njihovu sumu vrijedi
21 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 18 n 1 [Xi x] = n ˆF n B(n, F(x)). Očekivanje i varijanca binomne varijable su nam poznati iz Primjera 1.3.1, pa imamo E(n ˆF n (x)) = nf(x), Var(n ˆF n (x)) = nf(x)(1 F(x)). Iz linearnosti matematičkog očekivanja i svojstva varijance (1.10) slijedi zaključak E( ˆF n (x)) = F(x) Var ˆF n (x) = 1 F(x)(1 F(x)). n Prema jakom zakonu velikih brojeva, Teoremu 1.4.2, slijedi da za svaki fiksni x R lim n ˆF n (x) = F(x) g.s. Uniformna konvergencija vrijedi prema Glivenko-Cantellijevom Teoremu Za fiksni x R, centralni granični teorem, Teorem primijenjen na sumu nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli 1 [X x] daje nam n 1 [Xi x] nf(x) = n ( ˆF n (x) F(x) ) = N(0, 1) n F(x)(1 F(x)) n F(x)(1 F(x)) n( ˆF n (x) F(x)) = N(0, F(x)(1 F(x))) (1.16) Ovaj rezultat može se proširiti u više dimenzija. Promotrimo stoga centralni granični teorem o slučajnim vektorima čiji dokaz se nalazi u [3], 29. Limit Theorems in R k, dokaz Teorema Teorem Neka su X n = (X n1, X n2,..., X nk ) nezavisni, jednako distribuirani slučajni vektori. Pretpostavimo da je E[Xnu] 2 <. Neka je c = (c 1, c 2,..., c k ) vektor očekivanja gdje je c u = E[X nu ] i Σ = [σ ul ] kovarijacijska matrica gdje je σ ul = E [(X nu c u )(X nl c l )]. Neka je S n = X 1 + X X n. Tada vektor (S n nc) n konvergira po distribuciji k standardnoj normalnoj distribuciji s kovarijacijskom matricom Σ. Primijetimo prvo da za x 1 < x 2 vrijedi Cov(1 [Xi x 1 ], 1 [Xi x 2 ]) = E1 [Xi x 1 ]1 [Xi x 2 ] E1 [Xi x 1 ]E1 [Xi x 2 ] = F(x 1 x 2 ) F(x 1 )F(x 2 ). Stoga prema Teoremu slijedi
22 POGLAVLJE 1. IZBOR IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI 19 1 n n (( ) 1[Xi x 1 ] = N 1 [Xi x 2 ] ( 0, ( )) F(x1 ) = (( ) ˆF n n (x 1 ) F(x 2 ) ˆF n (x 2 ) ( )) F(x1 ) F(x 2 ) ( )) F(x1 )(1 F(x 1 )) F(x 1 )(1 F(x 2 )) u R F(x 1 )(1 F(x 2 )) F(x 2 )(1 F(x 2 ))) 2.
23 Poglavlje 2 Brownovo gibanje Kao što smo vidjeli u Uvodu, Brownovo gibanje jest jedan od značajnijih slučajnih procesa koji je utjecao na razvoj mnogih studija i koji je našao svoju primjenu u nekoliko sfera. Nakon definicije Brownovog gibanja glavna zadaća bit će pokazati da je Brownovo gibanje Gaussovski proces i dokazati da Brownovo gibanje zadovoljava jako Markovljevo svojstvo. Kao rezultat jakog Markovljevog svojstva vidjet ćemo princip refleksije, a potom dokazati i Lévyjev zakon trojke. Uvodimo pojam principa invarijantnosti poznatijeg kao Donskerov teorem. Brownov most definiran je u zadnjem potpoglavlju. Prikazana su svojstva Brownovog mosta, medu kojima je najznačajnija Propozicija koja će igrati ključnu ulogu u zadnjem poglavlju rada i koja nam govori da je Brownov most aproksimativno jednak Brownovom gibanju uvjetovanom da ima vrijednost 0 u vremenu 1. Na kraju poglavlja vidjet ćemo izraz koji upućuje na vezu Brownovog mosta i empirijske funkcije distrbucije. Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Slučajna varijabla na tom vjerojatnosnom prostoru neovisna je o vremenu, no mnogi procesi koji se dogadaju u vremenu će ipak zahtijevati vremensku komponentu. Dolazimo do pojma slučajnog ili stohastičkog procesa gdje za svako vrijeme t 0 imamo slučajnu varijablu koju ćemo označavati s X t ili X(t). Definicija Familija slučajnih varijabli X = {X t : t 0} na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P) naziva se slučajni ili stohastički proces. Primjetimo da slučajni proces možemo shvatiti kao funkciju dviju varijabli X : R + Ω R. Ako fiksiramo neki ω Ω preslikavanje t X(t, ω) nazivamo trajektorijom i to su realizacije procesa X tijekom vremena. Analogno, ako fiksiramo neki t 0 preslikavanje ω X(t, ω) daje nam realizacije procesa u trenutku t. 20
24 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 21 Definicija Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Slučajni proces B = {B t : t 0} jest Brownovo gibanje ako vrijedi: (B1) B 0 = 0 P-g.s. (B2) Za sve m N, 0 = t 0 < t 1 <... < t m su prirasti B t1 B t0, B t2 B t1,..., B tm B tm 1 nezavisne slučajne varijable. (B3) Za sve 0 s < t vrijedi B t B s N(0, t s). (B4) Za P-g.s ω Ω su putevi t B t (ω) R, t [0, neprekidne funkcije. B Slika 2.1: Brownovo gibanje Navedimo neka svojstva Brownovog gibanja koja slijede direktno iz definiciije. Budući da za 0 s < t vrijedi B t B s N(0, t s), vidimo da za svaki t vrijedi B t N(0, t), pa je Nadalje slijedi da je VarB t = t, pa je zbog (2.1) EB t = 0. (2.1) t = VarB t = EB 2 t (EB t ) 2 = EB 2 t. (2.2) Osvrnimo se još i na slučajni vektor (B t1 B t0, B t2 B t1,..., B tm B tm 1 ), gdje je 0 = t 0 < t 1 <,..., < t m. Vidjeli smo iz definicije da za svaki 0 s < t vrijedi B t B s N(0, t s), odnosno vrijedi B t B s t sn(0, 1). Budući da su prirasti Brownovog gibanja nezavisni, prema Primjeru vidimo da je vektor prirasta Brownovog gibanja zapravo normalni slučajni vektor.
25 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE Gaussovski proces Definicija Kovarijacijska funkcija slučajnog procesa X = {X t : t 0} je definirana na sljedeći način Cov(X s, X t ) = E [(X s EX s )(X t EX t )]. Iz definicije kovarijacijske funkcije očito je da vrijedi Cov(X s, X t ) = E (X s X t ) EX s EX t. Definicija Slučajni proces X = {X t : t 0} je Gaussovski ako je za sve m N i 0 < t 1 < t 2 <... < t m slučajni vektor (X t1, X t2,..., X tm ) normalni slučajni vektor. Neka je X = (X 1,..., X n ) Gaussovski proces, m = (m 1,..., m n ) R n, gdje je m j = EX j i Σ = (σ jk ) j,k=1,...,n R n n kovarijacijska matrica slučajnog procesa, gdje je σ jk = Cov(X j, X k ). Karakteristična funkcija Gaussovskog procesa jest Ee i t,x = e i t,m 1 2 t,σt. (2.3) Pretpostavimo sada da je G(x), x R Gaussov proces sa očekivanjem 0 i funkcijom kovarijacije Cov(G(x 1 ), G(x 2 )) = F(x 1 )(1 F(x 2 )), x 1 < x 2. (2.4) Tada zaključak (1.16) možemo zapisati kao n( ˆF n (x) F(x)) = G(x) (2.5) u smislu konvergencije konačno dimenzionalnih distribucija. Propozicija Neka je X = {X t : t 0} Gaussovski proces s vektorom očekivanja nula i matricom kovarijacije C = (min{t j, t k }) j,k=1,...,n. Ako X = {X t : t 0} ima neprekidne trajektorije, tada je X = {X t : t 0} Brownovo gibanje. Dokaz. Primijetimo prvo da je X 0 N(0, 0), pa će prema tome svojstva definicije Brownovog gibanja (B1) i (B4) kao pretpostavka vrijediti direktno. Neka je = (X t1 X t0,..., X tn X tn 1 ) T, Γ = (X t1,..., X tn ) T. Tada vrijedi X t1 X t0 X t X t2 X t1 X t =, X tn X tn 1 X tn
26 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 23 odnosno ako donjetrokutastu matricu označimo slovom M, slijedi M = Γ. Nadalje vrijedi 1 i = M 1 Γ, gdje je M =..... Budući da je Γ Gaussovski proces i zbog (2.3) slijedi Ee i ɛ, = Ee i ɛ,m 1 Γ = Ee i (M 1 ) T ɛ,γ = e 1 2 (M 1 ) T ɛ,c(m 1 ) T ɛ = e 1 2 ɛ,m 1 C(M 1 ) T ɛ. Jednostavnim matričnim množenjem dobijemo da je t 1 t 0 t M 1 C(M 1 ) T 2 t 1 =.... t n t n 1 Stoga je Γ Gaussovski slučajni vektor s nekoreliranim, stoga nezavisnim komponentama za koje vrijedi da su normalno distribuirane N(0, t j t j 1 ). To dokazuje (B2) i (B3). Propozicija Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje Tada je B Gaussovski proces s vektorom očekivanja nula i kovarijacijskom funkcijom Cov(B s, B t ) = min{s, t}. (2.6) Dokaz. Neka je B Brownovo gibanje. Uzmimo proizvoljne 0 < t 1 < t 2 <... < t k. Kao što smo vidjeli, slučajni vektor (B t1, B t2 B t1,..., B tk B tk 1 ) je normalni slučajni vektor, a slučajni vektor (B t1, B t2,..., B tk ) možemo prikazati na sljedeći način B t1 B t B t2 B t1 B t B t3 B t2 = B t B tk B tk 1 pa je prema Lemi i (B t1, B t2,..., B tk ) normalni slučajni vektor. Dakle, prema Definiciji 2.1.2, B je Gausovski proces. Preostaje nam pokazati da vrijedi tvdnja o kovarijacijskoj funkciji. Neka je 0 < s t. Prema (1.11) i uz (2.2) slijedi B tk
27 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 24 Cov(B s, B t ) = E(B s B t ) EB s EB t = E[B s (B t B s )] + E(B s ) 2 0 = EB s E(B t B s ) + s = 0 + s = min{s, t}, gdje druga jednakost vrijedi zbog linearnosti očekivanja, a treća zbog nezavisnosti prirasta Brownovog gibanja i Teorema Lema Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje. Tada je slučajni proces B = { B t : t 0} gdje je B t = B t Brownovo gibanje. Dokaz. B je Brownovo gibanje pa je prema Propoziciji (B t1, B t2,..., B tk ) normalni slučajni vektor i Cov(B s, B t ) = s t. Neka je 0 < t 1 <... < t m. Tada zbog Leme i 1 0 B t1 ( B t1,..., B tm ) T = slijedi da je ( B t1,..., B tm ) normalni slučajni vektor, odnosno B Gaussovski proces. Nadalje, E B t = E( B t ) = EB t = 0 i zbog linearnosti očekivanja vrijedi Cov( B s, B t ) = Cov( B s, B t ) B tm = E[( B s E( B s ))( B t E( B t ))] = E[(B s EB s )(B t EB t )] = Cov(B s, B t ) = s t. Iz Propozicije slijedi da je B Brownovo gibanje. 2.2 Jako Markovljevo svojstvo Definicija Kažemo da su dva stohastička procesa {X t : t 0} i {Y t : t 0} nezavisna ako su za proizvoljne t 1, t 2,..., t n 0 i s 1, s 2,..., s m 0 slučajni vektori (X t1, X t2,..., X tn ) i (Y s1, Y s2,..., Y sm ) nezavisni.
28 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 25 Definicija Filtracija na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P) je familija {F t : t 0} σ-algebri takva da vrijedi F s F t F za svaki s < t. Stohastički proces {X t : t 0} definiran na vjerojatnosnom prostoru s filtracijom naziva se adaptiran ako je X t F t izmjeriva za proizvoljan t 0. Za slučajnu varijablu X kažemo da je F t izmjeriva ako za svaki B B vrijedi X 1 (B) F t. Propozicija Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje. Tada je za s > 0 proces W = {W t : t 0}, W t := B t+s B s za t 0 Brownovo gibanje nezavisno od procesa {B t : 0 t s}. Dokaz. Provjerimo da definirani proces zadovoljava Definiciju W 0 = B 0+s B s = 0, dakle zadovoljen je uvjet (B1). Za 0 < t 1 < t 2 <... t m vidimo da su W t1 = B t1 +s B s, W t2 W t1 = B t2 +s B t1 +s,... W tm W tm 1 = B tm +s B tm 1 +s nezavisne slučajne varijable pa je zadovoljeno i svojstvo (B2). Neka su 0 k < t. Tada je W t W k = B t+s B k+s N(0, t+s k s) N(0, t k), čime je zadovoljeno svojstvo (B3). Preostaje nam pokazati da su trajektorije slučajnog procesa W neprekidne, odnosno da je zadovoljeno svojstvo (B4). Vidimo da vrijedi t W t = B t+s B s, što je g.s neprekidno zbog neprekidnosti Brownovog gibanja B. Tvrdnja o nezavisnosti slijedit će direktno iz nezavisnosti prirasta Brownovog gibanja. Ako želimo znati kada Brownovo gibanje napušta ili ulazi u neki skup prvi put, kada dostiže svoj maksimum ili kada se vraća u 0, moramo koristiti slučajna vremena. Slučajna varijabla τ : Ω [0, ] je vrijeme zaustavljanja u odnosu na filtraciju {F t : t 0} ako je {τ t} F t, za svaki t 0. Tipičan primjer vremena zaustavljanja je vrijeme ulaska slučajnog procesa X = {X t : t 0} u skup A. Prirodna filtracija Ft X := σ(x s : s t) stohastičkog procesa X = {X t : t 0} je relativno mala i stoga za mnoga zanimljiva vremena zaustavljanja moramo promatrati nešto veću filtraciju F X t+ := u>t F X u = n 1 F X. t+ 1 n Neka je τ vrijeme zaustavljanja u odnosu na filtraciju {F t : t 0}. Definirajmo familije skupova F τ : = A F := σ F t : A {τ t} F t t 0 t 0 F τ+ : = A F := σ F t : A {τ t} F t+ t 0. t 0 Napomena Pretpostavimo da imamo Brownovo gibanje B = {B t : t 0} i prirodnu filtraciju F B t. Tada je Brownovo gibanje adaptirano na tu filtraciju i prema Propoziciji
29 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE proces W iz te propozicije jest nezavisan od Ft B. Promotrimo sada i proširenu σ- algebru Fs+ B koja je ponovno filtracija. Zbog neprekidnosti vrijedi B t+s B s = lim B sn +t n B sn, za strogo opadajući niz {s n : n N} koji konvergira prema s. Prema Propoziciji slijedi da je za proizvoljne t 1, t 2,..., t m 0 vektor (B t1 +s B s, B t2 +s B s,..., B tm +s B s ) = lim(b t1 +s j B s j, B t2 +s j B s j,..., B tm +s j B s j ) nezavisan od F B j s+, pa vrijedi i za proces W. Konačno, možemo proširiti Propoziciju i reći da je za svaki s 0 slučajni proces W nezavisan od σ-algebre Fs+. B Teorem (Jako Markovljevo svojstvo) Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje i T vrijeme zaustavljanja takvo da je T < g.s. Tada je proces Brownovo gibanje koje je nezavisno od F T+. {B T+t B T : t 0} Dokaz. Pokažimo prvo tvrdnju za vremena zaustavljanja T n koja diskretno aproksimiraju T odozgo. Definirajmo T n = m+1 m ako je T < m+1. Provjerimo da to jesu vremena 2 n 2 n 2 n zaustavljanja {T n = k2 } { k 1 = T < k } = {T < k2 } { \ T < k 1 }. n 2 n 2 n } {{ n 2 }} {{ n } F( k ) 2 n F( k 1) 2 n F( k ) 2 n Označimo s B k = {B k t : t 0} slučajni proces definiran s B k t = B t+ k 2 n B k 2 n. Prema Propoziciji to je Brownovo gibanje. Nadalje, definirajmo proces B = {B t : t 0} s B t = B t+tn B Tn. Pretpostavimo da je E F Tn +. Tada za svaki dogadaj {B A} imamo P({B A} E) = = P({B k A} E {T n = k 2 }) n k=0 P({B k A})P(E {T n = k 2 }) n k=0 = P({B A}) P(E {T n = k 2 }) n k=0 = P({B A})P(E). Druga jednakost vrijedi jer je {B k A} nezavisan od E {T n = k 2 n } F + ( k 2 n ) prema Napomeni Nadalje, prema Propoziciji P(B k A) = P(B A) ne ovisi o k pa vrijedi treća nejednakost. Dakle, vrijedi da je B Brownovo gibanje nezavisno od E,
30 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 27 pa stoga i od F Tn +. Kako T n T vrijedi da je {B s+tn B Tn nezavisno od F Tn + F T+. Stoga su prirasti : s 0} Brownovo gibanje B s+t+t B t+t = lim n B s+t+tn B t+tn procesa {B T+t B T : t 0} nezavisni, normalno distribuirani s očekivanjem nula i varijancom s. Kako je proces g.s. neprekidan, to je Brownovo gibanje. Štoviše, svi prirasti, a stoga i sam proces nezavisni su od F T+. Propozicija (Princip refleksije) Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje i neka je T a = inf{t : B t = a} prvo vrijeme kada Brownovo gibanje pogodi nivo a, za neko a > 0. Definirajmo proces B B B t, t T a t = 2a B t, t > T a. Tada je B Brownovo gibanje. Dokaz. Definirajmo sa C[0, ) skup neprekidnih funkcija na [0, ). Neka je C 0 C[0, ) takav da za svaku funkciju g C 0 vrijedi g(0) = 0. Neka su f C[0, ), g C 0, t 0 0. Definirajmo ψ : C[0, ) [0, ) C 0 C[0, ) sa f (t), t t 0 ψ( f, t 0, g) = f (t 0 ) + g(t t 0 ), t t 0. Neka je sada i definirajmo B t (ω), t T a (ω) f (t, ω) = B t Ta (ω) = a, t T a (ω), g(t, ω) = B Ta (ω)+t B Ta (ω). Tada su slučajne varijable T a i f odredene Brownovim gibanjem do vremena T a i nezavisne od g ili g. Budući da je T a < g.s. ([12], Primjer 5.9), prema Teoremu i Lemi vrijedi g d = g d = B. Stoga su ( f, T a, g) d = ( f, T a, g) kao slučajni elementi iz C[0, ) [0, ) C 0 i primjenom preslikavanja ψ dobijemo ψ( f, T a, g) d = ψ( f, T a, g).
31 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 28 Na lijevoj strani jednakosti imamo f (t), ψ( f, T a, g) = f (T a ) + g(t T a ), B t, = B Ta + B Ta +t T a B Ta, = B t, a na desnoj strani jednakosti f (t), ψ( f, T a, g) = f (T a ) g(t T a ), B t, = a (B Ta +t T a B Ta ), = B t. t T a t > T a t T a t > T a t T a t > T a t T a t > T a B * a B T a Slika 2.2: Princip refleksije
32 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE Lévyjev zakon trojke Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor i X slučajna varijabla takva da je E X <. Pretpostavimo da je G σ-podalgebra od F. Slučajna varijabla Y koja je G izmjeriva, E Y < i takva da za svaki G G vrijedi E(Y1 G ) = E(X1 G ) naziva se verzija uvjetnog očekivanja X od G i pišemo Y = E[X G]. Kada pišemo E[X Y] to je zapravo oznaka za E[X σ(y)], gdje je σ(y) σ-algebra generirana s Y. Definicija Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor i F = {F t Slučajni proces X = {X t : t 0} je martingal ako vrijedi (i) X t je F t izmjeriva za svaki t 0 : t 0} filtracija. (ii) E X t < za svaki t 0 (iii) E[X t F s ] = X s g.s za sve 0 s t. Provjerimo da je Brownovo gibanje martingal u odnosu na prirodnu filtraciju F = {F B t : t 0}. Očito je prvo svojstvo iz definicije zadovoljeno. Nadalje, zbog B t N(0, t) slijedi da je E B t <. Konačno, pogledajmo zašto je zadovoljeno zadnje svojstvo: E[B t F s ] = E[B t B s + B s F s ] = E[B t B s F s ] + E[B s F s ] = E(B t B s ) + B s = B s. Posljednja jednakost slijedi zbog osnovnih svojstava uvjetnog očekivanja. Naime, vrijedi E[B t B s F s ] = E(B t B s ) zato što je B t B s nezavisno od F s i E[B s F s ] = B s jer je B s F s izmjeriva. Lema Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje i τ = inf{t 0 : B t ( a, b)} vrijeme prvog ulaska u skup ( a, b) c, a, b 0. Tada vrijedi P(B τ = a) = b, P(B a+b τ = b) = a i E(τ) = ab. a+b Dokaz. Budući da je B martingal i τ vrijeme zaustavljanja, prema teoremu o opcionalnom zaustavljanju slijedi da je tada zaustavljeni proces B τ = {B t t : t 0} takoder martingal pa iz svojstva uvjetnog očekivanja vrijedi EB τ 0 = EBτ t. (2.7) Vidimo da je EB τ 0 = EB 0 = 0 i EB τ t = EB τ t EB τ kada t prema Lebesgueovom teoremu o dominiranoj konvergenciji. Sada iz (2.7) slijedi 0 = EB τ = ap(b τ = a) + bp(b τ = b).
33 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 30 Znamo da vrijedi i 1 = P(B τ = a) + P(B τ = b). Rješenje sustava dvije jednadžbe daje tvrdnju leme. Može se prema definiciji martingala, slično kao za Brownovo gibanje, provjeriti da je W t = B 2 t t martingal pa će tada i W τ biti martingal prema teoremu o opcionalnom zaustavljanju. Tada je 0 = EW τ 0 = EWτ t = EB 2 t τ E(t τ) odakle zbog Lebesgueovog teorema o dominiranoj konvergenciji za t slijedi Eτ = EB 2 τ = ( a) 2 P(B τ = a) + b 2 P(B τ = b) = ab. Uvedimo još neke oznake prije idućeg teorema: P x (B A) := P(B + x A), E x (B) := E(B + x). To znači da P x (B A) označava vjerojatnost da Brownovo gibanje započinje u trenutku t = 0 u točki x. Očito je P 0 = P i E 0 = E. Teorem Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje, τ vrijeme zaustavljanja u odnosu na filtraciju Ft B, η τ, gdje je η vrijeme zaustavljanja u odnosu na filtraciju Fτ+. B Tada za svaki ω {η < } i za svaku omedenu, izmjerivu funkciju u na R vrijedi E[u(B η ) Fτ+](ω) B = E Bτ(ω) [u(b η(ω) τ(ω) ( ))] = u(b η(ω) τ(ω (ω ))P Bτ(ω) (dω ). Dokaz. Zamjenom u(b η ) s u(b η )1 [η< ] možemo pretpostaviti da je η <. Definirajmo F σ j := ( 2 j (η τ) + 1) 2 j. Tada vrijedi da je inf σ j = η τ i σ j je očito Fτ+ B izmjeriva budući da su η i τ Fτ+ B izmjerive. j 1 Za sve F Fτ+ B znamo da je F { } σ j = k 2 F B j τ+ što znači u(b τ+σ j )dp = u(b τ+ k )dp 2 j = = k=1 k=1 k=1 F { } F σ j = k 2 j { } F σ j = k 2 j { } F σ j = k 2 j E[u(B τ+ k 2 j ) F B τ+]dp E B τ(ω) u(b k 2 j )P(dω) = E Bτ(ω) u(b σ j (ω))p(dω),
34 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 31 gdje predzadnja nejednakost slijedi zbog jakog Markovljevog svojstva. Budući da je t B t neprekidno lim B σ j = B η τ pa nam slijedi tvrdnja teorema za neprekidne, omedene j funkcije koristeći dominiranu konvergenciju. Za svaki kompaktni skup K R možemo aproksimirati 1 K s nizom neprekidnih funkcija. Stoga 1 K (B η ) dp = E Bτ(ω) 1 K (B η(ω) τ(ω) ) P(dω). F F Kako kompaktni skupovi generiraju Borelovu σ-algebru, možemo koristiti teorem o jedinstvenosti za mjere da bismo proširili ovu jednakost na sve funkcije 1 K, gdje je K B(R) i odakle će zbog Beppo-Levijevog teorema slijediti tvrdnja teorema. Teorem (Lévyjev zakon trojke) Neka je B = {B t : t 0} Brownovo gibanje i označimo sa m t = inf B s i M t = sup B s. Tada za sve t > 0 i a < 0 < b vrijedi s t s t P(m t > a, M t < b, B t dx) = dx 2πt n= (e (x+2n(b a))2 2t ) e (x 2a 2n(b a))2 2t. Dokaz. Neka je a < 0 < b i označimo s τ = inf{t 0 : B t (a, b)} prvo vrijeme izlaska iz intervala (a, b). Iz Leme slijedi da je τ konačno vrijeme zaustavljanja. Označimo još I = [c, d] (a, b). Budući da je {τ > t} = {m t > a, M t < b} vidimo da vrijedi P(m t > a, M t < b, B t I) = P(τ > t, B t I) = P(B t I) P(τ t, B t I) = P(B t I) P(B τ = a, τ t, B t I) P(B τ = b, τ t, B t I), gdje zadnji korak slijedi iz činjenice da su {B τ = a} i {B τ = b}, do na prazan skup {τ = }, disjunktna particija skupa Ω. Želimo uzastopno koristiti princip refleksije. Definirajmo prvo r a x := 2a x, r b x := 2b x, refleksije u (x, t)-ravnini u odnosu na x = a i x = b. Primjenom Teorema slijedi P(B τ = b, τ t, B t I F τ )(ω) = 1 {Bτ =b} {τ t}(ω)p B τ(ω) (B t τ(ω) I). Zbog simetrije Brownovog gibanja, Lema slijedi P b (B t τ(ω) I) = P(B t τ(ω) I b) = P(B t τ(ω) b I) = P b (B t τ(ω) r b I),
35 POGLAVLJE 2. BROWNOVO GIBANJE 32 pa stoga vidimo da vrijedi To nam daje da vrijedi P(B τ = b, τ t, B t I F τ )(ω) = 1 {Bτ =b} {τ t}(ω)p B τ(ω) (B t τ(ω) I) = P(B τ = b, τ t, B t r b I F τ )(ω). P(B τ = b, τ t, B t I) = P(B τ = b, τ t, B t r b I) = P(B τ = b, B t r b I). Daljnje primjene principa refleksije daju odnosno P(B τ = b, B t r b I) = P(B t r b I) P(B τ = a, B t r b I) = P(B t r b I) P(B τ = a, B t r a r b I) = P(B t r b I) P(B t r a r b I) + P(B τ = b, B t r a r b I), P(B τ = b, τ t, B t I) = P(B t r b I) P(B t r a r b I) + P(B t r b r a r b I) +... Konačno možemo zapisati P(m t >a, M t < b, B t I) = P(B t I) P(B t r b I) + P(B t r a r b I) P(B t r b r a r b I) +... P(B t r a I) + P(B t r b r a I) P(B t r a r b r a I) +... = P(B t I) P(r a B t r a r b I) + P(B t r a r b I) P(r a B t (r a r b ) 2 I) +... P(r a B t I) + P(B t r b r a I) P(r a B t r b r a I) +... (2.8) gdje smo u zadnjem koraku koristili činjenicu da je r a r a = id. Sve vjerojatnosti su vjerojatnosti medusobno disjunktnih dogadaja što znači da red konvergira apsolutno. Pogledajmo kako bismo to mogli zapisati. Vrijedi r a I = 2a I i r b r a I = 2b (2a I) = 2(b a) + I, pa tako za svaki n 0 Stoga, (r b r a ) n I = 2n(b a) + I (r a r b ) n I = 2n(a b) + I = 2( n)(b a) + I. P(m t >a, M t < b, B t I) = P(B t 2n(a b) + I) = n= n= I što je jednako tvrdnji teorema. (e (x 2n(a b))2 2t n= e (2a x 2n(b a))2 2t P(2a B t 2n(a b) + I) ) dx 2πt,
Neprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationFraktalno Brownovo gibanje
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationRazni načini zadavanja vjerojatnosti
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Cigula ITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA Diplomski rad Zagreb, veljača, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationSTACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Daniel Stojanović STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc.siniša Slijepčević Zagreb, lipanj,
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationLIST OF FORMULAS FOR STK1100 AND STK1110
LIST OF FORMULAS FOR STK1100 AND STK1110 (Version of 11. November 2015) 1. Probability Let A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... be events, that is, subsets of a sample space Ω. a) Axioms: A probability function
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationRandom Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R
In probabilistic models, a random variable is a variable whose possible values are numerical outcomes of a random phenomenon. As a function or a map, it maps from an element (or an outcome) of a sample
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationMAS113 Introduction to Probability and Statistics. Proofs of theorems
MAS113 Introduction to Probability and Statistics Proofs of theorems Theorem 1 De Morgan s Laws) See MAS110 Theorem 2 M1 By definition, B and A \ B are disjoint, and their union is A So, because m is a
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More information1. Stochastic Processes and filtrations
1. Stochastic Processes and 1. Stoch. pr., A stochastic process (X t ) t T is a collection of random variables on (Ω, F) with values in a measurable space (S, S), i.e., for all t, In our case X t : Ω S
More information(A n + B n + 1) A n + B n
344 Problem Hints and Solutions Solution for Problem 2.10. To calculate E(M n+1 F n ), first note that M n+1 is equal to (A n +1)/(A n +B n +1) with probability M n = A n /(A n +B n ) and M n+1 equals
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationNTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationFormulas for probability theory and linear models SF2941
Formulas for probability theory and linear models SF2941 These pages + Appendix 2 of Gut) are permitted as assistance at the exam. 11 maj 2008 Selected formulae of probability Bivariate probability Transforms
More informationMATH4210 Financial Mathematics ( ) Tutorial 7
MATH40 Financial Mathematics (05-06) Tutorial 7 Review of some basic Probability: The triple (Ω, F, P) is called a probability space, where Ω denotes the sample space and F is the set of event (σ algebra
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationMA/ST 810 Mathematical-Statistical Modeling and Analysis of Complex Systems
MA/ST 810 Mathematical-Statistical Modeling and Analysis of Complex Systems Review of Basic Probability The fundamentals, random variables, probability distributions Probability mass/density functions
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationLinearno uređena topologija
Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationContinuous Random Variables
1 / 24 Continuous Random Variables Saravanan Vijayakumaran sarva@ee.iitb.ac.in Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay February 27, 2013 2 / 24 Continuous Random Variables
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationPCMI Introduction to Random Matrix Theory Handout # REVIEW OF PROBABILITY THEORY. Chapter 1 - Events and Their Probabilities
PCMI 207 - Introduction to Random Matrix Theory Handout #2 06.27.207 REVIEW OF PROBABILITY THEORY Chapter - Events and Their Probabilities.. Events as Sets Definition (σ-field). A collection F of subsets
More information5 Operations on Multiple Random Variables
EE360 Random Signal analysis Chapter 5: Operations on Multiple Random Variables 5 Operations on Multiple Random Variables Expected value of a function of r.v. s Two r.v. s: ḡ = E[g(X, Y )] = g(x, y)f X,Y
More informationBrownian motion. Samy Tindel. Purdue University. Probability Theory 2 - MA 539
Brownian motion Samy Tindel Purdue University Probability Theory 2 - MA 539 Mostly taken from Brownian Motion and Stochastic Calculus by I. Karatzas and S. Shreve Samy T. Brownian motion Probability Theory
More informationLecture 5: Expectation
Lecture 5: Expectation 1. Expectations for random variables 1.1 Expectations for simple random variables 1.2 Expectations for bounded random variables 1.3 Expectations for general random variables 1.4
More informationMAS113 Introduction to Probability and Statistics. Proofs of theorems
MAS113 Introduction to Probability and Statistics Proofs of theorems Theorem 1 De Morgan s Laws) See MAS110 Theorem 2 M1 By definition, B and A \ B are disjoint, and their union is A So, because m is a
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More information3. Probability and Statistics
FE661 - Statistical Methods for Financial Engineering 3. Probability and Statistics Jitkomut Songsiri definitions, probability measures conditional expectations correlation and covariance some important
More informationIvana Keršek Wright - Fisherov model. Diplomski rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Keršek Wright - Fisherov model Diplomski rad Mentor: prof. dr. sc. Mirta Benšić Komentor: dr. sc. Nenad Šuvak Osijek, 2011. SADRŽAJ i
More informationRandom Variables. Saravanan Vijayakumaran Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay
1 / 13 Random Variables Saravanan Vijayakumaran sarva@ee.iitb.ac.in Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay August 8, 2013 2 / 13 Random Variable Definition A real-valued
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationχ 2 -test i Kolmogorov-Smirnovljev test
7 χ 2 -test i Kolmogorov-Smirnovljev test 7.1 χ 2 -test o pripadnosti distribuciji Zadatak 7.1 Tri novčića se bacaju 250 puta i broji se broj pisama koji su pali. Dobiveni su sljedeći podaci: Broj pisama
More informationAlgorithms for Uncertainty Quantification
Algorithms for Uncertainty Quantification Tobias Neckel, Ionuț-Gabriel Farcaș Lehrstuhl Informatik V Summer Semester 2017 Lecture 2: Repetition of probability theory and statistics Example: coin flip Example
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationNekoliko kombinatornih dokaza
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet
More informationLecture 6 Basic Probability
Lecture 6: Basic Probability 1 of 17 Course: Theory of Probability I Term: Fall 2013 Instructor: Gordan Zitkovic Lecture 6 Basic Probability Probability spaces A mathematical setup behind a probabilistic
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationUC Berkeley Department of Electrical Engineering and Computer Science. EE 126: Probablity and Random Processes. Problem Set 8 Fall 2007
UC Berkeley Department of Electrical Engineering and Computer Science EE 6: Probablity and Random Processes Problem Set 8 Fall 007 Issued: Thursday, October 5, 007 Due: Friday, November, 007 Reading: Bertsekas
More informationChapter 5. Random Variables (Continuous Case) 5.1 Basic definitions
Chapter 5 andom Variables (Continuous Case) So far, we have purposely limited our consideration to random variables whose ranges are countable, or discrete. The reason for that is that distributions on
More informationFE 5204 Stochastic Differential Equations
Instructor: Jim Zhu e-mail:zhu@wmich.edu http://homepages.wmich.edu/ zhu/ January 20, 2009 Preliminaries for dealing with continuous random processes. Brownian motions. Our main reference for this lecture
More information