Mirela Nogolica Norme Završni rad
|
|
- Kathlyn Hawkins
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014.
2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Ivan Matić Osijek, 2014.
3 Sažetak U ovom završnom radu bavimo se temom norme. Navodimo u početku osnovna svojstva normi kako bi kasnije lakše razumijeli gradivo. Dotaknuti ćemo se teme ekvivalentnosti normi pa sve do vrsti normi. Obraditi ćemo Frobeniusovu i spektralnu normu te poznatu p normu. Na kraju ćemo objasniti i pojam kondicijskog broja te navesti važne rezultate vezane uz taj pojam. Ključne riječi: norma, operator, normirani prostor, skalarni produkt, nejednakost trokuta, ekvivalentnost normi, kondicijski broj Abstract In this final paper we deal with the subject of norm. In the beginning we state the basic characteristics so we could later easier understand the material. We will process everything from Equivalent norms to norm types. We ll elaborate Forbenius and spectral norm and also a famous p norm. In the end, we ll explain the term of conditional number and state an important results connected with said term. Key words: norm, operator, normed space, scalar product, inequality triangle, equivalent norms, conditional number
4 Sadržaj 1 Uvod 5 2 Norma Osnovni pojmovi Ekvivalentnost normi Omedena linearna preslikavanja Vrste normi Frobeniusova i spektralna norma p - norma Kondicijski broj Literatura 22
5 1 UVOD 5 1 Uvod Ovaj rad predstavlja moj završni rad na preddiplomskom studiju matematike Sveučilišta u Osijeku. Tema mog rada je preuzeta iz kolegija Vektorski prostori i naziva se Norme. Općenito se norme protežu kroz većinu matematičkih kolegija i važnost normi je vrlo bitna u mnogim matematičkim aspektima zato me ova tema posebno dojmila. Završni rad se sastoji od nekoliko poglavlja. Počevši sa uvodom, u drugom poglavlju nastavljamo sa normama. Uvodimo osnovne pojmove vezane uz norme i normirani prostor. Bavimo se takoder i jednakostima normi. Definiramo pojam linearnog preslikavanja i navodimo rezultate vezane uz taj pojam. U trećem poglavlju zadiremo u vrste normi počevši sa Frobeniusovom i spektralnom normom gdje ćemo naučiti definirati normu na prostoru matrica. Zatim spominjemo i poznatu p normu kao i njene rezultate. Naposljetku nam preostaje tzv. kondicijski broj koji nam govori o veličini pogreške pri računanju sustava Ax = b i o njenim posljedicama.
6 2 NORMA 6 2 Norma 2.1 Osnovni pojmovi Definicija Neka je V neprazan skup te K polje. Neka su zadane sljedeće operacije: +: V V V a, b V (a, b) a + b : K V V λ K, a V (λ, a) λ a. Uredena trojka (V, +, ) se naziva vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi sljedeće: 1) (V, +) je Abelova grupa. 2) distributivnost obzirom na zbrajanje u V : λ K, a, b V vrijedi λ(a + b) = λa + λb, 3) distributivnost obzirom na zbrajanje u K : λ, µ K, a V vrijedi (λ + µ)a = λa + µa 4) kvaziasocijativnost: λ, µ K, a V vrijedi (λµ)a = λ(µa) 5) svojstvo jedinice: 1 K, a V vrijedi 1a = a. Elemente vektorskog prostora V nazivamo vektorima, a elemente polja K skalarima. U daljnjem tekstu za K uzimamo polje R realnih brojeva ili polje C kompleksnih brojeva. Prostor X je realan ako je K = R, odnosno kompleksan ako je K = C. Takoder u daljnjem tekstu ćemo umjesto a b pisati jednostavno ab. Definicija Baza vektorskog prostora V je podskup B V za kojeg vrijedi: 1) Skup B je linearno nezavisan. 2) Skup B razapinje V tj. [B] = V. Definicija Vektorski prostor V se naziva konačnodimenzionalan prostor ukoliko postoji konačan podskup koji ga razapinje. Prostor koji nije konačnodimenzionalan, naziva se beskonačnodimenzionalan prostor.
7 2 NORMA 7 Definicija Skalarni produkt na vektorskom prostoru V je preslikavanje ( ) : V V K koje uredenom paru (x, y) (x y) sa svojstvima: 1) pozitivnost: v V vrijedi (v v) 0, 2) definitnost: v V vrijedi (v v) = 0 v = 0, 3) linearnost u prvoj varijabli: λ, µ K, v, w, z V vrijedi (λv + µw z) = λ(v z) + µ(w z) 4) hermitska simetrija: v, w V vrijedi (v w) = (w v). Unitaran prostor (V, ( )) je ureden par vektorskog prostora i skalarnog produkta na njemu. Definicija Neka je X vektorski prostor. Norma na X je preslikavanje : X R (v v ), za koje vrijedi: 1) pozitivna semidefinitnost: v X vrijedi v 0, 2) pozitivna definitnost: v = 0 v = 0, 3) homogenost: v X, λ K vrijedi λv = λ v, 4) nejednakost trokuta: v, w X vrijedi v + w v + w. Normirani prostor (X, ) je ureden par vektorskog prostora i norme na njemu. Definicija Skup U X je otvoren ako p U δ > 0 takva da je K(p, δ) = {x : x p < δ} U, gdje sa K(p, δ) označavamo otvorenu kuglu u X radijusa δ sa središtem u p. Prema tome, skup je otvoren ako je svaka točka skupa unutarnja točka. Teorem ( Cauchy - Schwarz - Buniakowsky ) U svakom unitarnom prostoru vrijedi Cauchy - Schwarz - Buniakowsky nejednakost ( kratko ćemo nadalje pisati CSB nejednakost ): (x y) x y. 2.2 Ekvivalentnost normi Neka je X konačnodimenzionalan normiran prostor sa normom. pri čemu ćemo polje skalara označavati sa K i pri tome je ili K = R ili K = C. Neka je {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. Ako je x X, sa x i označimo i-tu komponentu od x s obzirom na danu bazu.
8 2 NORMA 8 Prema tome x = x i v i. Definicija Neka je x X i {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. normu definiramo na sljedeći način: Novu ( ) 1/2 x = x i 2 gdje je x = x i v i. Slično, neka je y Y i {w 1, w 2,..., w n } baza prostora Y te y i njegova komponenta obzirom na danu bazu, pa imamo: ( ) 1/2. y = y i 2 U dokazu sljedećeg rezultata koji će nam pomoći u dokazivanju ekvivalentnosti dviju normi,. i. koristiti ćemo sljedeći teorem. Teorem Za skup S R n sljedeće dvije tvrdnje su ekvivalentne: 1) S je zatvoren i omeden, 2) Svaki otvoren pokrivač od S ima konačan potpokrivač, odnosno S je kompaktan skup. Teorem Neka je (X,. ) konačnodimenzionalan normiran prostor i neka je. prethodno opisana norma obzirom na bazu {v 1, v 2,..., v n }. Tada za normu. postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x X vrijedi δ x x x. Dokaz: Svako od prethodno navedenih svojstava norme su očiti, osim nejednakosti trokuta. Da bismo dokazali nejednakost teorema, moramo koristiti Cauchy
9 2 NORMA 9 Schwarz Buniakowsky nejednakost. x + y 2 = x i + y i 2 x i 2 + y i 2 + 2Re x i y i ( ) 1/2 ( ) 1/2 x 2 + y x i 2 y i 2 = x 2 + y x y = ( x + y ) 2. Time je svojstvo nejednakosti trokuta dokazano. Ostaje nam još dokazati ekvivalentnost normi. Korištenjem Cauchy Schwarz Buniakowsky nejednakosti, imamo x = x i v i ( ) 1/2 x i v i x v i 2 = δ 1 x. Dokazali smo prvu polovinu nejednakosti teorema. Za dokaz druge polovine nejednakosti koristiti ćemo kontrapoziciju, odnosno pretpostaviti ćemo da druga polovina nejednakosti ne vrijedi. Prema tome postoji niz x k X takav da Definiramo Slijedi x k > k x k, k = 1, 2,... y k = xk x k. y k = 1, y k > k y k. Označavajući sa yi k komponentu niza y k obzirom na danu bazu, slijedi da je vektor ( y1, k..., yn k ) jedinični vektor u K n. Obzirom na Teorem 2.2.2, postoji niz u oznaci k takav da ( y k 1,..., y k n ) ( y 1,..., y n ).
10 2 NORMA 10 To slijedi iz iterativnih metoda za linearne sustave i to je za: y = y i v i. 0 = lim y k = lim yi k v i = y i v i k k ali nisu svi y i jednaki nuli. Posljednja jednakost slijedi iz p norme o kojoj će kasnije biti detaljnije rečeno: yi k v i y i v i (yi k y i )v i yi k y i v i. Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom da je {v 1,..., v n } baza i time smo potpuno dokazali nejednakost. Definicija Neka je ( X,. ) normirani prostor i neka je {x n } n=1 niz vektora. Ovaj niz se naziva Cauchyev niz ako za ɛ > 0 postoji N takav da m, n N vrijedi x n x m < ɛ. Ovo još zapisujemo i na sljedeći načn: lim x n x m = 0. m,n Definicija Normirani prostor (X,. ) se naziva Banachov prostor ako je potpun. To znači da je svaki {x n } Cauchyev niz ako postoji jedinstveni x X takav da je lim n x x n = 0. Korolar Ako je ( X,. ) konačnodimenzionalni normirani prostor nad poljem skalara K gdje je K = R ili K = C, tada je ( X,. ) Banachov prostor.
11 2 NORMA 11 Dokaz: Neka je {x k } Cauchyev niz. Označimo komponente od x k obzirom na danu bazu sa x k 1, x k 2,..., x k n, te prema Teoremu slijedi da je (x k 1, x k 2,..., x k n), Cauchyev niz nad K n i ( x k 1, x k 2,..., x k n ) ( x 1, x 2,..., x n ) K n. Prema tome x = x i v i, iz čega slijedi jednakost dviju normi: lim k xk x = lim x k x = 0. k Korolar Pretpostavimo da je X konačnodimenzionalan prostor nad poljem skalara ili R ili C te neka su. i. dvije norme na X. Tada postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x vrijedi: δ x x x. Prema tome ove dvije norme su jednake. Dokaz: Neka je v 1,..., v n baza za X i neka je. norma obzirom na danu bazu koju smo ranije opisali. Prema Teoremu postoje pozitivne konstante δ 1, δ 2, 1, 2 takve da za svaki x vrijedi δ 2 x x 2 x, δ 1 x x 1 x. Tada δ 2 x x 1 x 1 x 1 2 x, δ 1 δ 1 δ 2 x x 2 x. 1 δ 1
12 2 NORMA Omedena linearna preslikavanja Definicija Neka su X i Y normirani prostori sa normama X i Y. Za linearno preslikavanje A sa X u Y kažemo da je omedeno ako je skup { Ax : x 1} omeden. Tada definiramo normu omedenog linearnog operatora A sa: A sup{ Ax Y : x X 1} < Vektorski prostor svih omedenih linearnih operatora s X u Y ćemo označavati s L(X, Y ). Tada je A odreden kao norma linearnog operatora A. Za dokaz idućeg rezultata potreban nam je sljedeći teorem. Teorem Neka su X i Y konačnodimenzionalni vektorski prostori dimenzije n odnosno m. Tada je dim(l(x, Y )) = n m. Teorem Neka su X i Y konačnodimenzionalni normirani vektorski prostori dimenzije n odnosno m te sa označimo normu sa X ili Y. Ako je A linearno preslikavanje sa X na Y onda je A L(X, Y ) i (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalini normirani prostor dimenzije nm pri čemu vrijedi Ax A x. Dokaz: Potrebno je dokazati da je norma definirana na linearnom preslikavanju zaista norma. Očito vrijede prvo i treće svojstvo. Preostaje nam dokazati drugo svojstvo te dokazati nejednakost: A <. Označimo sa {v 1, v 2,..., v n } bazu prostora X i ranije definirano preslikavanje obzirom na navedenu bazu. Postoje konstante δ, > 0 takve da vrijedi: δ x x x. Zatim A + B sup{ (A + B)(x) : x 1}
13 2 NORMA 13 sup{ Ax : x 1} + sup{ Bx : x 1} A + B. Sada ćemo promatrati nejednakost A <. ( ) A(x) = A x i v i x i A(v i ) Prema tome ( ) 1/2 ( ) 1/2 x A(v i ) 2 x A(v i ) 2 <. ( ) 1/2. A A(v i ) 2 Sljedeća tvrdnja koju je potrebno dokazati odnosi se na dimenziju prostora L(X, Y ). Dokaz slijedi direktno iz Teorema Prema Korolaru (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalan prostor. Za x 0 vrijedi 1 A Ax x = x A. x
14 3 VRSTE NORMI 14 3 Vrste normi 3.1 Frobeniusova i spektralna norma Definicija U prostoru matrica m n skalarni produkt definiramo na sljedeći način: (A, B) tr(ab ). Pokažimo još jedan način definiranja norme na matricama m n. Definicija Neka je A matrica m n. Spektralnu normu u oznaci A 2 definiramo s: A 2 max{λ 1/2 : λ je svojstvena vrijednost od A A}. Uočimo da su sve svojstvene vrijednosti matrice A A pozitivne ako je A Ax = λx onda je: λ(x, x) = (A Ax, x) = (Ax, Ax) 0. Korolar Neka je A L(X, X) gdje je X konačnodimenzionalan unitaran prostor. Tada su sve svojstvene vrijednost realne i za svaku svojstvenu vrijednost λ 1 λ 2... λ n od A postoji ortonormirani skup vektora {u 1, u 2,..., u n } za koji vrijedi: Au k = λ k u k. Osim toga, pri čemu je λ x inf{(ax, x) : x = 1, x X k } X k {u 1, u 2,..., u k 1 }, X 1 X. Propozicija Vrijedi sljedeća jednakost: A 2 = sup { Ax : x = 1} A. Dokaz: Uočimo da je A A hermitska matrica te prema Korolaru slijedi: A = max{(a Ax, x) 1/2 : x = 1} = max{(ax, Ax) 1/2 : x = 1} = max{ Ax : x = 1} = A.
15 3 VRSTE NORMI 15 Nadalje sa A 2 ćemo označavati normu operatora A obzirom na običnu euklidsku normu ili svojstvenu vrijednost od A, ovisno o tome što nam više odgovara. Zanimljiva primjena pojma ekvivalentnih normi na prostoru R n je pridruživanje norme na konačnom Kartezijevom produktu normiranih linearnih prostora. Definicija Neka je X i, za i = 1,..., n, normirani linearni prostor sa normom i. Za n x = (x 1, x 2,...x n ) definiramo θ : n X i R n sa X i θ(x) ( x 1 1,..., x n n ). Ako je neka norma na R n onda normu na n X i takoder označavamo sa odnosno x θx. Sljedeći teorem direktno slijedi iz Korolara Teorem Neka je X i normirani linearni prostor a i norma opisana u prethodnoj definiciji. Neka su norme na prostoru n X i norme sa R n. Tada su bilo koje dvije norme na prostoru n X i ekvivalentne. Na primjer, x 1 x i, x { x i, i = 1,..., n}, ili ( ) 1/2 x 2 = x i 2 i sve tri norme su ekvivalentne na prostoru n X i.
16 3 VRSTE NORMI p - norma Definicija Neka je x C n. Za p 1 definiramo p - normu na sljedeći način ( ) 1/p. x p x i p Sljedeća nejednakost se naziva Hölderova nejednakost. Propozicija Za x, y C n vrijedi ( ) 1/p ( x i y i x i p y i p ) 1/p. Dokaz se temelji na sljedećoj lemi. Lema Ako su a, b 0 i p definiran kao 1 p + 1 p = 1 onda je ab ap p + bp p. Dokaz Propozicije 3.2.2: Ako su x i y jednaki nul-vektoru, onda tvrdnja slijedi trivijalno. Neku su x i y različiti od nul-vektora. Neka je ( ) 1/p ( A = x i p i B = y i p ) 1/p. Korištenjem Leme dobivamo sljedeće: x i y i A B [ 1 ( xi ) p 1 ( yi ) p ] + p A p B = 1 p 1 A p Prema tome slijedi: x i p + 1 p 1 B p y i p = 1 p + 1 = 1. p ( ) 1/p ( x i y i AB = x i p y i p ) 1/p
17 3 VRSTE NORMI 17 Teorem p norma zadovoljava sve aksiome norme. Dokaz: Očito je da p norma p zadovoljava većinu aksioma norme. nije sasvim očit je nejednakost trokuta. Pisati ćemo dalje umjesto p. Vrijedi p = p 1. p Korištenjem Propozicije slijedi: = x + y p = x i + y i p x i + y i p 1 x i + x i + y i p p x i + x i + y i p 1 y i x i + y i p p y i ( ) 1/p [( ) 1/p ( ) 1/p ] x i + y i p x i p + y i p Djeljenjem sa x + y p/p ( p p p = x + y p/p ( x p + y p ). slijedi: x + y p x + y p/p = x + y x p + y p. ) ) = p (1 1p = p 1p = 1 Aksiom koji A p možemo smatrati kao normu operatora A obzirom na p. U slučaju za p = 2 dobivamo spektralnu normu. Pokažimo jednu jednostavnu ocjenu za A p u terminima od A. Teorem Vrijedi: ( ( ) q/p ) 1/q A p A jk p k pri čemu je A jk element koji se nalazi na presjeku j-tog retka i i-tog stupca matrice A. j
18 3 VRSTE NORMI 18 Dokaz: Neka je x p 1 te neka je A = (a 1, a 2,..., a n ) gdje su a k stupci od A. Slijedi: ( ) Ax = x k a k k i prema Propoziciji 3.2.2: Ax p k x k a k p k x k a k p ( ) 1/p ( x k p a k q p k k ) 1/q ( ( ) q/p ) 1/q. A jk p k j 3.3 Kondicijski broj Neka je A L(X, X) linearno preslikavanje i X konačnodimenzionalni vektorski prostor. Razmotrimo problem Ax = b te pretpostavimo da je rješenje jedinstveno. Zanima nas koliko se promjeni rješenje x ako uvedemo male promjene vrijednosti u A i b. Ovo pitanje je dosta zanimljivo jer u većini slučajeva ne znamo točnu vrijednost od A i b. Ako bi male promjene ovih vrijednosti uzrokovale velike promjene u rješenju x onda nam je jasno da nikakve promjene u vrijednostima A i b nisu poželjne. Primjena linearnog preslikavanja na odnosi se na normu operatora. Lema Neka su A, B L(X, X) i neka je X normirani vektorski prostor kao što smo prethodni naveli. Tada sa označavamo normu operatora AB A B.
19 3 VRSTE NORMI 19 Dokaz: Slijedi iz uvodne definicije. Neka je x 1 te iz Teorema 2.3.3: ABx A Bx A B x A B prema tome AB sup x 1 ABx A B. Lema Neka su A, B L(X, X), A 1 L(X, X) i pretpostavimo B < 1/ A 1. Tada postoje (A + B) 1, (I + A 1 B) 1 i vrijedi: (I + A 1 B) 1 (1 A 1 B ) 1 (1) (A + B) 1 A 1 1. (2) 1 A 1 B Gornja formula ima smisla jer je A 1 B < 1. Dokaz: Prema Lemi 3.3.1: A 1 B A 1 B < A 1 1 A 1 = 1. Primjenom nejednakosti trokuta sada imamo: (I + A 1 B)x x A 1 Bx x A 1 B x = (1 A 1 B ) x. Slijedi da je I + A 1 B monomorfizam, jer ima trivijalnu jezgru. No, kako je prostor X konačnodimenzionalan, ovo preslikavanje mora biti i surjektivno, tj. ovo preslikavanje je izomorfizam vektorskih prostora pa prevodi bazu u bazu. Tada je općenito y X oblika y = (I + A 1 B)x i iz prethodno navedenog: (I + A 1 B) 1 y (1 A 1 B ) 1 y
20 3 VRSTE NORMI 20 što potvrduje (1). Prema tome, (A + B) = A(I + A 1 B) što je jednako pa Lema implicira (2). Propozicija Pretpostavimo da je matrica A invertibilna, b 0, Ax = b i (A + B)x 1 = b 1 gdje je B < 1/ A 1. Vrijedi: x 1 x x A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ). A Dokaz: Iz prethodne leme slijedi: x 1 x x = (I + A 1 B) 1 A 1 b 1 A 1 b A 1 b 1 A 1 b 1 (I + A 1 B)A 1 b 1 A 1 B A 1 b 1 A 1 (b 1 b) + A 1 BA 1 b 1 A 1 B A 1 b A 1 1 A 1 B ( b1 b A 1 b + B ) jer je A 1 b/ A 1 b jedinični vektor. Sada pomnožimo i podijelimo sa A. A 1 A ( b1 b 1 A 1 B A A 1 b + B ) A A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ) A
21 3 VRSTE NORMI 21 To nam pokazuje koliko je broj A 1 A osjetljiv obzirom na promjene u rješenju Ax = b odnosno promjene A i b. Taj broj se naziva kondicijski broj. Poželjno je da je on što manji jer u suprotnom male promjene vrijednosti od b mogu rezultirati velikim razlikama u rješenju x. Prisjetimo se recimo matrice A m n u normi A 2 = σ 1 gdje je σ 1 najveća svojstvena vrijednost. Najveća svojstvena vrijednost od A 1 je onda 1 σ n gdje je σ n najmanja svojstvena vrijednost od A. Stoga se kondicijski broj smanjuje za σ 1 σ n, omjer najveće i najmanje svojstvene vrijednosti matrice A obzirom na običnu euklidsku normu.
22 Literatura [1] H. Kraljević, Vektorski prostori, predavanja na Odjelu za matematiku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek, rujan [2] K. Kuttler, Linear Algebra, Theory And Application, December 19, 2013 [3] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: Elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990.
Nilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationNormirani prostori Zavr²ni rad
Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Osije, 2012. Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationNTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationFraktalno Brownovo gibanje
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationNekoliko kombinatornih dokaza
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationRazni načini zadavanja vjerojatnosti
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationLinearno uređena topologija
Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationA multidimensional generalization of the Steinhaus theorem
Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b
More informationLogika višeg reda i sustav Isabelle
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationKONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek KONAČNE GEOMETRIJE Predavanja Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Akademska godina 2012./2013. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Dizajni 7 3 Izomorfizam
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More information4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:
NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationIterativne metode za rješavanje linearnih sustava
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationFEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationKrive u prostoru Minkovskog
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationNIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI
UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET STUDIJSKI PROGRAM TELEKOMUNIKACIJE Vladimir Lekić NIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI magistarski rad Banja Luka, novembar 2011. Tema: NIVO-SKUP
More informationPromjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke
Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Preddiplomski studij Matematika 3. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationQUADRATIC AND SESQUILINEAR. Svetozar Kurepa, Zagreb
GLASNIK MAT. - FIZ. I ASTR. rom 20. - No. 1-2 - 1965. QUADRATIC AND SESQUILINEAR FUNCTIONALS Svetozar Kurepa, Zagreb 1. Let X = {x, Y,... } be a complex (quaternionic) veetor space and B a funetion af
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More information