Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
|
|
- Jacob Grant
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016.
2 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad mentorica: izv.prof.dr.sc. Mihaela Ribičić Penava Osijek, 2016.
3 Sadržaj 1. Uvod 4 2. Definicija i svojstva ortogonalnih polinoma Tročlana rekurzija i Christoffel-Darbouxova formula Još neki načini definiranja ortogonalnih polinoma Čebiševljevi polinomi prve vrste Ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste Rekurzivna relacija Čebiševljev problem Čebiševljevi polinomi druge vrste Rekurzivna relacija Laguerrovi polinomi Ortogonalnost Laguerrovih polinoma Rekurzivna relacija Laguerrovih polinoma Hermiteovi polinomi Legendreovi polinomi Primjene ortogonalnih polinoma Gaussove kvadraturne formule Zaključak Sažetak Summary Životopis 39 3
4 1. Uvod Čebiševljevi polinomi prve vrste, Čebiševljevi polinomi druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi pripadaju skupu ortogonalnih polinoma. Za dva polinoma reći ćemo da su ortogonalna ako je njihov skalarni produkt jednak nuli. Ortogonalni polinomi prvi put se pojavljuju krajem devetnaestog stoljeća kada je P. L. Chebyshev proučavao verižne razlomke. Zbog niza dobrih svojstava, imaju veliku primjenu u raznim granama numeričke matematike, npr. kod Gaussovih kvadraturnih formula koriste se ortogonalni polinomi. Upravo ovih pet tipova ortogonalnih polinoma, navedenih na početku, nazivamo klasični ortogonalni polinomi. Nastali su rješavanjem diferencijalih jednadžbi drugog reda. Definirat ćemo svaki od njih, navesti osnovna svojstva i nabrojati prvih nekoliko polinoma svake vrste. 4
5 2. Definicija i svojstva ortogonalnih polinoma Definicija 1. Za dva polinoma u i v reći ćemo da su ortogonalni na segmentu [a, b] ako je njihov skalarni produkt, u odnosu na težinsku funkciju w, w (x) 0 na [a, b], jednak nuli tj. u, v = b a w (x) u (x) v (x) dx = 0. (1) Na sličan način kažemo da je niz polinoma u 0, u 1, u 2,..., gdje je u k polinom stupnja k, k N 0, ortogonalan na segmentu [a, b] ako je u m, u n = b a w (x) u m (x) u n (x) dx = 0 (2) za svako m n, m, n N 0, gdje je w pripadna težinska funkcija. U nastavku ćemo od zadanog niza polinoma u 0, u 1,..., u n, n N 0, konstruirati ortogonalni niz polinoma, ali prvo ćemo objasniti kako se računa norma polinoma. Neka je dan otvoren interval a, b i na njemu težinska funkcija w. Normu polinoma v računamo na sljedeći način: b v = a w (x) v (x) 2 dx. (3) Neka je u 0, u 1, u 2,... niz polinoma na otvorenom intervalu a, b takav da su svi polinomi medusobno linearno nezavisni i integrabilni. Nadalje, neka je b d 0 = u 0 = u 0 (x) 2 dx a p 0 (x) = u 0(x) d 0 5
6 tako da je p 0 = 1. Neka je a 1,0 = u 1, p 0 = b P 1 (x) = u 1 (x) a 1,0 p 0 (x), b a u 1 (x) p 0 (x) dx, Tada je d 1 = P 1 = p 1 (x) = P 1(x) d 1. a P 1 (x) 2 dx, b a b a P 1 (x) p 0 (x) dx = p 1 (x)p 0 (x) dx = b a b a p 1 = 1. (u 1 (x) a 1,0 p 0 (x)) p 0 (x) dx = 0, P 1 (x) P 1 p 0(x)dx = 1 P 1 b a P 1 (x) p 0 (x) dx = 0, Općenito, neka su polinomi p 2, p 3,... uzastopno definirani na sljedeći način a n,k = u n, p k = b a n 1 P n (x) = u n (x) a n,k p k (x), k=0 b u n (x) p k (x) dx, k {0, 1,..., n 1} d n = P n = p n (x) = P n (x) d n. a P n (x) 2 dx, Metodom matematičke indukcije nije teško pokazati da je svaki polinom p n ortogonalan na polinome p 0, p 1,..., p n 1 te da je svaki polinom normaliziran 1. U ovom radu nećemo dokazivati tu tvrdnju. Polinome koji su ortogonalni i normalizirani nazivamo ortonormiranim polinomima. Opisani postupak za konstrukciju ortogonalnog niza polinoma iz danog niza polinoma poznat je pod nazivom Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. 1 Norma polinoma jednaka je jedan. 6
7 Primjer 1. Primjenom Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije, konstruirajte ortonormirani skup polinoma za skup polinoma {1, x, x 2 } na intervalu 2, 2. Neka je 2 d 0 = 1 = 1 2 dx = 2, 2 Nadalje, tako da je p 0 (x) = p 0 = (p 0 (x)) 2 dx = 2 2 a 1,0 = x, p 0 = 2 2 x 1 dx = 0, 2 ( ) 1 2 dx = 1 2 P 1 (x) = x a 1,0 p 0 (x) = x 0 p 0 (x) = x, 2 d 1 = x = x dx = 2 3, p 1 (x) = x 3 = 4 x p 1 (x) p 0 (x) dx = 0, 2 p 1 = (p 1 (x)) 2 dx = 1. 2 Još nam preostaje izračunati p 2. Neka je a 2,0 = x 2, p 0 = a 2,1 = x 2, p 1 = x 2 dx = 8 3, 3 x 2 xdx = 0, 4 P 2 (x) = x 2 a 2,0 p 0 (x) a 2,1 p 1 (x) = x 2 4 3, d 2 = x = 2 p 2 (x) = x = ( x 2 4 ) dx = , ( x 2 4 ) 3 7
8 tako da je p 2 (x) p 0 (x) dx = 0, p 2 (x) p 1 (x) dx = 0, 2 p 2 = (p 2 (x)) 2 dx = 1. 2 Dobili smo novi ortonormirani skup { 1 3 2, 4 x, ( x 2 4 3) }. (4) Sljedeći teorem govori nam o jedinstvenosti ortonomiranog niza na proizvoljnom segmentu [a, b]. Teorem 1. Za svaki proizvoljno izabrani segment [a, b] i težinsku funkciju w, w(x) 0 na [a, b], postoji samo jedan, s točnošću do na predznak, ortonormirani niz polinoma p 0, p 1, p 2, p 3,... U dokazu ovog teorema, koji nećemo dokazivati, koristi se Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije, a zainteresirani ga mogu pogledati u [3]. U sljedećim teoremima iskazana su samo neka svojstva ortogonalnih polinoma, a detaljnije o svojstvima može se pogledati u [1], [3], [6] i [8]. Teorem 2. Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b], te neka je w, w (x) 0, pripadna težinska funkcija. Ako je f polinom stupnja m, tada vrijedi f(x) = m i=0 f, p i p i, p i p i(x). Dokaz: Neka je f proizvoljan polinom stupnja m, za neki m N 0. Budući da je skup {1, x, x 2,..., x m } (5) 8
9 baza vektorskog prostora P m 2, tada f možemo zapisati u obliku sljedeće linearne kombinacije f(x) = m b i x i. i=0 Sada ćemo, koristeći Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije i metodu matematičke indukcije, dokazati da se skup monoma (5) može prikazati pomoću ortogonalnih polinoma. Za ortogonalni polinom nultog stupnja nužno je da je konstanta različita od nule, tj. p 0 (x) = a 0,0, a 0,0 0, što znači da se prvi monom 1 može zapisati kao 1 = 1 a 0,0 p 0 (x). Za polinome stupnja jedan, iz Gram-Schmitovog postupka ortogonalizacije sustava polinoma {1, x} dobivamo tj. vrijedi p 1 (x) = a 1,1 x + a 1,0 p 0 (x), a 1,1 0, x = 1 a 1,1 [p 1 (x) a 1,0 p 0 (x)]. Nastavljajući ovaj postupak u Gram-Schmidtovom procesu na { 1, x, x 2, x 3,..., x m} dobivamo p m (x) = a m,m x m + a m,m 1 p m 1 (x) + + a m,0 p 0 (x), a m,m 0, gdje su p 0, p 1, p 2,..., p m 1 dobiveni Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije iz { 1, x, x 2,..., x m 1}, odakle slijedi x m = 1 a m,m [p m (x) a m,m 1 p m 1 (x) a m,0 p 0 (x)]. Budući da se f može prikazati kao linearna kombinacija skupa monoma (5), a pokazali smo da (5) možemo prikazati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih 2 Skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog m. 9
10 polinoma, odatle slijedi da i f možemo prikazati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma, tj. f(x) = m c i p i (x). i=0 Još nam preostaje odrediti koeficijente c i. Ako skalarno pomnožimo polinom f sa polinomom p m dobivamo f, p m = m c i p i, p m = c m p m, p m i=0 zbog ortogonalnosti polinoma p i i p m za i m. Odatle odmah slijedi da je jer je p m 2 = p m, p m > 0. c m = f, p m p m, p m Preostale koeficijente c i, i {0, 1,..., n 1}, dobijemo na analogan način ako polinom f pomnožimo sa ortogonalnim polinomom p i. Prethodni teorem daje nam jedno vrlo bitno svojstvo ortogonalnih polinoma, a to je da svaki polinom stupnja m možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma {p 0, p 1,..., p m }, za m N 0. Ako bismo razvoj polinoma f stupnja m napisali tako da suma ide do + onda bi svi dodatni koeficijenti c i, za i > m, bili jednaki nula, tj. c i = 0 za svaki i > m. To nam govori sljedeći korolar. Korolar 1. Neka je f polinom stupnja manjeg ili jednakog m 1. Tada je f, p m = 0, (6) tj. p m je okomit na f. Dakle ortogonalni polinom stupnja m, p m, je okomit na sve polinome stupnja strogo manjeg od m. 10
11 Dokaz: Prema prethodnom teoremu polinom f možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma stupnja manjeg ili jednakog m 1, tj. f(x) = m 1 i=0 c i p i (x). Množenjem prethodne jednakosti s w (x) p m (x), zatim integriranjem dobivamo f, p m = m 1 i=0 c i p i, p m = 0 jer općenito vrijedi p n, p m = 0, za sve n m. Teorem 3. Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w (x) 0 na [a, b]. Tada svaki polinom p n ima točno n različitih, jednostrukih realnih nultočaka na intervalu a, b. Dokaz teorema može se pogledati u [6]. Ortogonalni polinomi mogu se prikazati pomoću rekurzivne relacije, funkcija izvodnica 3, Rodrigueosve formule i kao rješenja diferencijalnih jednadžbi. Prvo ćemo navesti općenite oblike za sve navedeno, a kasnije ćemo točno napisati kako glase rekurzivne relacije, funkcije izvodnice, Rodriguesove formule te diferencijalne jednadžbe za svaku vrstu ortogonalnih polinoma Tročlana rekurzija i Christoffel-Darbouxova formula Neka je zadana familija ortogonalnih polinoma {p n, n N 0 }, na segmentu [a, b] i neka su prva dva koeficijenta polinoma p n jednaki p n (x) = A n x n + B n x n 1 +, A n 0. Polinom p n možemo zapisati na sljedeći način p n (x) = A n (x x n,1 ) (x x n,2 ) (x x n,3 ) (x x n,n ), 3 Za svaki niz (c n) kompleksnih brojeva možemo definirati funkciju f(z) = c 0 + c 1z + c 2z 2 + = c nz n n=0 koju nazivamo funckija izvodnica niza (c n). 11
12 gdje su x n,i, i = 1, 2,..., n, n N, nultočke ortogonalnih polinoma p n. Definiramo sljedeće konstante pri čemu je α n R i b n R +. α n = A n+1 A n, b n = p n, p n > 0, (7) Vrijedi sljedeći teorem poznat pod nazivom Tročlana rekurzija. Teorem 4. (Tročlana rekurzija) Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0 na [a, b]. Tada za n 1 vrijedi sljedeća relacija gdje su β n i γ n definirani kao Dokaz: Promotrimo polinom p n+1 (x) = (α n x + β n ) p n (x) γ n p n 1 (x), (8) β n = α n ( B n+1 B n ), γ n = A n+1a n 1 b n A n+1 A n A 2. (9) n b n 1 L(x) = p n+1 (x) α n xp n (x) = (A n+1 x n+1 + B n+1 x n + ) A n+1 x(a n x n + B n x n 1 + ) A ( n = B n+1 A ) n+1b n x n +. A n Stupanj polinoma L je manji ili jednak n. Prema Teoremu 2., polinom L možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n. Dakle, L(x) = λ n p n (x) + λ n 1 p n 1 (x) + λ 0 p 0 (x) pri čemu su λ i, i = 0, 1,..., n, konstante. Opet prema Teoremu 2., konstante λ i možemo izračunati Vrijede sljedeće dvije stvari: λ i = L, p i p i, p i = 1 b i ( p n+1, p i α n xp n, p i ). p n+1, p i = 0 za sve i n, 12
13 xp n, p i = b a w(x)p n (x)xp i (x)dx = 0, za i n 2. Prema tome možemo zaključiti da je stupanj polinoma xp i (x) manji ili jednak n 1. Uzevši u obzir ta dva rezultata, dobivamo λ i = 0 za 0 i n 2. Odatle slijedi da je L(x) = λ n p n (x) + λ n 1 p n 1 (x) p n+1 (x) = (α n x + λ n )p n (x) + λ n 1 p n 1 (x). Preostaje nam još odrediti koliki su koeficijenti λ n 1 i λ n. Ako iz prve od predhodne dvije jednakosti usporedimo vodeći koeficijent polinoma L s vodećim koeficijentom polinoma s desne strane onda dobivamo izraz kojem je jednaka konstanta λ n. Teorem 5. (Christoffel-Darbouxova formula) Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0 na [a, b]. Tada vrijedi sljedeća formula n k=0 p k (x)p k (y) b k = p n+1(x)p n (y) p n (x)p n+1 (y) α n b n (x y) (10) gdje su α n i b n definirane jednako kao u Tročlanoj rekurziji (7). Formula (10) se naziva Christoffel-Darbouxova formula. Prvi ju je izveo Christoffel samo za Legendreove polinome. Poopćenje za ortogonalne polinome sa proizvoljnom težinskom funkcijom dao je Darboux. Dokaz ovog teorema je vrlo jednostavan. Temelji se na manipulaciji Tročlane rekurzije pa ćemo ga izostaviti, a zainteresirani ga mogu pogledat u [3]. Detaljnije o Christoffel-Darbouxovoj formuli može se pogledati u [8] Još neki načini definiranja ortogonalnih polinoma Funkcije izvodnice Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s 13
14 težinskom funkcijom w, w(x) 0. Opći oblik funkcija izvodnica za ortogonalne polinome je g(x, t) = a i p i (x)t i, i=0 gdje je (a i ) niz realnih brojeva. Diferencijalna jednadžba Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0. Karakteritično za sve ortogonalne polinome je to što zadovoljavaju diferecijalnu jednadžbu g 2 (x)y + g 1 (x)y + g 0 (x)y = 0, (11) gdje su g 0, g 1 i g 2 polinomi različiti za svaku vrstu ortogonalnih polinoma. Kasnije ćemo navesti koliko iznose g 0, g 1 i g 2 za svaku vrstu ortogonalnih polinoma, tj. reći ćemo kako glasi njihova diferencijalna jednadžba. Rodriguesova formula Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0. Tada vrijedi sljedeća formula p n (x) = d n 1 e n w(x) dx {w(x)[g(x)]n }, (12) gdje su broj e n i polinom g različiti za svaku vrstu ortogonalnih polinoma. Formula (12) se naziva Rodriguesiva formula za ortogonalne polinome. Naziv je dobila po matematičaru, Olindeu Rodriguesu, koji ju je prvi dokazao. Kada budemo obradivali vrste polinoma, za svaku vrstu navest ćemo kako glasi njegova Rodriguesova formula. 14
15 3. Čebiševljevi polinomi prve vrste Čebiševljevi polinomi prve vrste posebna su vrsta ortogonalnih polinoma. Najčešće se označavaju s T n, n N 0. Čebiševljev polinom prve vrste n-tog stupnja, T n, jedno je rješenje Čebiševljeve diferencijalne jednadžbe (1 x 2 )y xy + n 2 y = 0. (13) Čebiševljevi polinomi prve vrste definirani su uz identitet T n (cos θ) = cos (nθ). (14) Uvodeći supstituciju x = cos θ dobivamo T n (x) = cos (n arccos(x)), (15) x [ 1, 1], što daje eksplicitnu formulu za računanje Čebiševljevih polinoma prve vrste. Izvod formule (14) dosta je dugačak i složen pa ju nećemo izvoditi u ovom radu. Zainteresirani izvod mogu vidjeti u [1]. Prvih sedam Čebiševljevih polinoma prve vrste su T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x, T 6 (x) = 32x 6 48x x 2 1. Čebiševljevi polinomi prve vrste mogu se prikazati pomoću funkcija izvodnica 1 t 2 g 1 (t, x) = 1 2xt + t 2 = T 0 (x) + 2 T n (x)t n n=1 15
16 i gdje su x 1 i t < 1. 1 xt g 2 (t, x) = 1 2xt + t 2 = T n (x)t n, n=0 Rodriguesova formula za Čebiševljeve polinome prve vrste glasi T n (x) = ( 1)n π (1 x 2 ) 2 ( d n n 1 ) n 2! dx n [ (1 x 2 ) n 3.1. Ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste Čebiševljevi polinomi prve vrste su ortogonalni na segmentu [ 1, 1] s obzirom na težinsku funkciju w (x) = 1 1 x 2, 1 ] 2. tj., 1 1 T m (x) T n (x) dx = 1 x 2 0, m n, π 2, m = n 0, π, m = n = 0. Za dokaz ove tvrdnje potrebno je izračunati gdje su m, n Z. I = π 0 cos (mt) cos (nt) dt, (16) Prvo ćemo upotrijebiti trigonometrijsku formulu za transformaciju umnoška u zbroj 4 i tada dobivamo I = 1 [ π π ] cos ((m + n) t) dt + cos ((m n) t) dt. (17) Ako pretpostavimo da je m n tada je I = 1 [ 1 1 sin((m + n)π) 2 m + n m + n sin ] 1 sin((m n)π) m n m n sin 0. 4 cos x cos y = 1 [cos (x + y) + cos (x y)] 2 16
17 Kako su m, n Z, tada su m + n i m n takoder cijeli brojevi. Osim toga, znamo da je sin kπ = 0, za svaki k Z, pa je konačno rješenje integrala (16) nula za m n. Pretpostavimo da je m = n = 0. Tada je izraz (16) I = π 0 cos 0 cos 0 dt = π 0 dt = π. Promotrimo još treći slučaj kada je m = n 0. Tada je (17) jednak I = π 0 cos (mt) cos (mt) dt = 1 2 π 0 cos (2mt) dt = π 2. Ako uvedemo supstituciju t = arccos x tada je integral (16) postaje 1 1 T m (x) T n (x) dx, 1 x 2 čime smo dokazali ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste. Prema Teoremu 3. Čebiševljevi polinomi prve vrste imaju n različitih realnih nultočki ( ) 2k 1 π x k = cos, k = 1,..., n (18) n 2 koje leže na intervalu 1, 1. Detaljnije o tome može se pogledati u [3] i [5] Rekurzivna relacija Budući da vrijedi cos (n + 1) α + cos (n 1) α = cos (nα + α) + cos (nα α) = cos nα cos α sin nα sin α + cos nα cos α + sin n sin α = 2 cos nα cos α i ako uvedemo supstituciju α = arccos x, tada dobijamo cos ((n + 1) arccos x) + cos ((n 1) arccos x) = 2 cos (n arccos x) cos (arccos x). 17
18 Prethodni izraz daje nam rekurzivnu relaciju Čebiševljevih polinoma prva vrste koji glasi T n+1 (x) 2xT n (x) + T n 1 (x) = 0, (19) uz početne uvjete T 0 (x) = 1 i T 1 (x) = x Čebiševljev problem godine Čebiševljev je postavio sljedeći problem: Odredite realne koeficijente a 1, a 2,..., a n tako da izraz bude minimalan. max 1 x 1 x n + a 1 x n a n 1 x + a n (20) Do rješenja ovog problema došao je godine. Rješenje je glasilo da je jedini polinom x n + a 1 x n a n 1 x + a n sa realnim koeficijentima za koji je izraz (20) minimalan upravo 2 n+1 T n, gdje je T n n-ti Čebiševljev polinom prve vrste. Dokaz ovog rješenja može se pronaći u [1]. 18
19 Slika 1: Prvih pet Čebiševljevih polinoma prve vrste Još detalja vezanih za [1], [3], [7], [8] i [9]. Čebiševljeve polinome prve vrste može se pronaći u 19
20 4. Čebiševljevi polinomi druge vrste Rješenje diferencijalne jednadžbe (1 x 2 )y 3xy + n(n + 2)y = 0 (21) je upravo n-ti Čebiševljev polinom druge vrste, U n, za kojeg vrijedi x 1, 1 i n N 0. U n (x) = sin ((n + 1) arccos(x)), (22) sin (arccos(x)) Čebiševljevi polinomi druge vrste ortogonalni su na segmentu [ 1, 1] s težinskom funkcijom tj., 1 1 w (x) = 1 x 2, U m (x) U n (x) { 0, m n, 1 x 2 dx = (23) π 2, m = n 0. Dokaz ortogonalnosti analogan je onom za Čebiševljeve polinome prve vrste, samo se ovdje kreće od integrala I = π stoga ga nećemo napraviti u ovom radu. 0 sin (mt) sin (nt) dt, Prvih sedam Čebiševljevih polinoma druge vrste su U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U 2 (x) = 4x 2 1, U 3 (x) = 8x 3 4x, U 4 (x) = 16x 4 12x 2 + 1, U 5 (x) = 32x 5 32x 3 + 6x, U 6 (x) = 64x 6 80x x 2 1. Funkcija izvodnica za Čebiševljeve polinome druge vrste je 1 g(t, x) = 1 2xt + t 2 = U n (x)t n, n=0 20
21 za x < 1 i t < 1, a Rodriguesova formula glasi U n (x) = ( 1) n (n + 1) π 2 n+1 ( n + 1 2)! (1 x 2 ) 1 2 d n dx n [ (1 x 2 ) n+ 1 ] Rekurzivna relacija Krećemo od identiteta sin (n + 1) α + sin (n 1) α = 2 sin nα cos α. Zatim uvodimo supstituciju α = arccos x i dobivamo rekurzivnu relaciju za Čebiševljeve polinome druge vrste U n+1 (x) 2xU n (x) + U n 1 (x) = 0 (24) uz početne uvjete U 0 (x) = 1 i U 1 (x) = 2x. Slika 2: Prvih pet Čebiševljevih polinoma druge vrste 21
22 Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste povezani su sljedećim relacijama T n (x) = U n (x) xu n 1 (x), T n (x) = xu n 1 (x) U n 2 (x), T n (x) = 1 2 (U n(x) U n 2 (x)), U n 1 (x) = 1 1 x 2 [xt n(x) T n+1 (x)]. Još detalja o Čebiševljevim polinomima druge vrste može se pronaći u [1], [3], [7], [8] i [9]. 22
23 5. Laguerrovi polinomi Sljedeći na redu su Laguerrovi polinomi. Najčešće se označavaju s L n, n N 0. Laguerrovi polinomi mogu se definirati kao n ( 1) k ( ) n L n (x) = x k. (25) k! k Za njih vrijedi formula čiji se dokaz može pronaći u [1]. k=0 Prvih sedam Laguerrovih polinoma su L 0 (x) = 1, L n (x) = e x dn dx n ( x n e x), (26) L 1 (x) = x + 1, L 2 (x) = 1 ( x 2 4x + 2 ), 2 L 3 (x) = 1 ( x 3 + 9x 2 18x + 6 ), 6 L 4 (x) = 1 ( x 4 16x x 2 96x + 24 ), 24 L 5 (x) = L 6 (x) = ( x x 4 200x x 2 600x 120 ), ( x 6 36x x x x x ) Ortogonalnost Laguerrovih polinoma Laguerrovi polinomi ortogonalni su na intervalu [0, s težinskom funkcijom Promotrimo integral I = + 0 w (x) = e x. e x L m (x) L n (x) dx. (27) Pretpostavimo da je m n tada izraz (27) možemo zapisati koristeći formulu (26) kao I = + 0 L m (x) dn dx n ( x n e x) dx. (28) 23
24 U računanju ovog integrala koristit ćemo metodu parcijalne integracije 5. Neka je I = Tada je I = Izraz + 0 L m (x) dn dx n ( x n e x) dx = [L m (x) dn 1 ( x n dx n 1 e x) ] x + x=0 u = L m (x) dv = dn ( x n dx n e x) dx. + 0 dl m (x) dx d n 1 dx n 1 ( x n e x) dx. L m (x) dn 1 ( x n dx n 1 e x) = { ( ) } = ( 1) n n 1 e x L m (x) (x n ) + (x n ) + ( 1) n (x n ) (n 1) 1 teži ka nuli kada x +. Kada je x = 0 prethodni izraz takoder je jednak nuli pa je + I = 0 dl m (x) dx d n 1 dx n 1 ( x n e x) dx. Primjenimo li m 1 puta parcijalnu integraciju na posljednji izraz dobivamo da je I = ( 1) m + 0 d m L m (x) dx m d n m dx n m ( x n e x) dx. (29) Ako je m < n tada na posljednji izraz ponovo treba primjeniti metodu parcijalne integracije. Tada se dobiva I = ( 1) m [ d m L m (x) dx m ( 1) m d n m 1 dx n m 1 ( x n e x) d m+1 L m (x) dx m+1 d n m 1 ] x + x=0 + dx n m 1 ( x n e x) dx. Izraz u zagradi u predhodnom integralu jednak je nuli za x = 0 i x +. Osim toga i drugi dio tog izraza jednak je nuli jer je 5 u dv = u v v du d m+1 L m (x) dx m+1 = 0. 24
25 U slučaju da je m = n tada izraz (28) iznosi I = ( 1) n + = n! = 0 + x n e x dn Ln (x) dx n dx x n e x dx 0 [ n!e x ( x n + nx n 1 + n (n 1) x n n! ] x + x=0 = (n!) 2. Ovime smo pokazali ortogonalnost Laguerrovih polinoma na intervalu [0, + uz težinsku funkciju w (x) = e x, tj. pokazali smo da vrijedi + 0 e x L m (x) L n (x) dx = { 0, m n, (n!) 2, m = n Rekurzivna relacija Laguerrovih polinoma Laguerrovi polinomi zadovoljavaju sljedeću rekurzivnu relaciju (n + 1) L n+1 (x) ( x + 2n 1) L n (x) + nl n 1 (x) = 0 (30) uz početne uvjete L 0 (x) = 1 i L 1 = x + 1, čiji se dokaz može vidjeti u [3]. 25
26 Slika 3: Prvih pet Laguerrovih polinoma Izmedu ostalog, n-ti Laguerrov polinom, L n, rješenje je diferencijalne jednadžbe xy + (1 x) y + ny = 0. (31) Laguerrove polinome možemo zapisati pomoću sljedeće funkcije izvodnice g(x, t) = e xt 1 t 1 t = 1 + ( x + 1)t + = L n (x)t n, n=0 a Rodriguesova formula glasi ( ) ( 1 2 x2 2x + 1 t x3 + 3 ) 2 x2 3x + 1 t 3 + L n (x) = ex d n ( x n n! dx n e x). Još detaljnije o svojstvima Laguerrovih polinoma može se pogledati u [1], [3], [8] i [9]. 26
27 6. Hermiteovi polinomi Hermiteovi polinomi takoder pripadaju skupu ortogonalnih polinoma. Najčešće se označavaju s H n, n N 0. Hermiteovi polinomi su ortogonalni na intervalu, + obzirom na težinsku funkciju w (x) = e x2. Za njih vrijedi + { 0, m n, e x2 H m (x) H n (x) dx = 2 n n! π, m = n. Dokaz ove ortogonalnosti vrlo je sličan onom za Laguerrove polinome tako da ga nećemo dokazivati u ovom radu, a zainteresirani ga mogu proučiti u [3]. Hermiteovi polinomi zadovoljavaju rekurzivnu relaciju H n+1 (x) 2xH n (x) + 2nH n 1 (x) = 0 (32) uz početne uvjete H 0 (x) = 1 i H 1 (x) = 2x. Prvih sedam Hermiteovih polinoma su H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x , H 5 (x) = 32x 5 160x x, H 6 (x) = 64x 6 480x x N-ti Hermiteov polinom, H n, rješenje je diferencijalne jednadžbe y 2xy + 2ny = 0. (33) Hermiteovi polinomi se takoder mogu prikazati pomoću funkcije izvodnice na sljedeći način H g(x, t) = e 2xt t2 n (x)t n =. n! n=0 27
28 Rodrigeuseova formula za Hermiteove polinome glasi H n (x) = 1 ( 1) n e x2 d n [ dx n e x2]. Bez poteškoće mogu se provjeriti relacije, H 2n (x) = ( 1) n 2 2n L 1 2 n (x 2 ) H 2n+1 (x) = ( 1) n 2 2n+1 xl 1 2 n (x 2 ), koja povezuje Hermiteove i Laguerreove polinome. Slika 4: Prvih pet Hermiteovih polinoma Detaljnije o Hermiteovim polinomima može se pogledati u [1], [3], [8] i [9]. 28
29 7. Legendreovi polinomi Posljednja vrsta ortogonalnih polinoma, u ovom diplomskom radu, su Legendreovi polinomi. Obično se označavaju s P n, n N 0. Dobili su naziv Legendrovi polinomi jer je n-ti Legendreov polinom, P n, rješenje Legendreove diferencijalne jednadžbe ( 1 x 2 ) y 2xy + n (n + 1) y = 0. (34) Legendreovi polinomi ortogonalni su na segmentu [ 1, 1] obzirom na težinsku funkciju tj. 1 1 w (x) = 1, P m (x) P n (x) dx = { 0, m n, 2 2n+1, m = n. Dokaz ortogonalnosti dosta je dugačak pa ga nećemo izvoditi u ovom radu,a može se pogledati u [3]. Oni zadovoljavaju sljedeću rekurzivnu relaciju (n + 1) P n+1 (x) (2n + 1) xp n (x) + np n 1 (x) = 0, (35) uz početne uvjete P 0 (x) = 1 i P 1 (x) = x. Prvih sedam Legendreovih polinoma su P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 ( 3x 2 1 ), 2 P 3 (x) = 1 ( 5x 3 3x ), 2 P 4 (x) = 1 ( 35x 4 30x ), 8 P 5 (x) = 1 ( 63x 5 70x x ), 8 P 6 (x) = 1 ( 231x 6 315x x 2 5 )
30 Kao svi dosad navedeni ortogonalni polinomi tako se i Legendreovi polinomi mogu zapisati pomoću funkcije izvodnice g(t, x) = ( 1 2xt + t 2) 1 2 = P n (x)t n, n=0 te i za njih vrijedi sljedeća Rodriguesova formula d n P n (x) = 1 ( x 2 2 n n! dx n 1 ) n. Slika 5: Prvih pet Legendreovih polinoma Više o Legendreovim polinomima može se vidjeti u [1], [3], [8] i [9]. 30
31 8. Primjene ortogonalnih polinoma 8.1. Gaussove kvadraturne formule Neka je dana neprekidna funkcija f : [a, b] R, te neka je F njena primitivna funkcija. Tada Riemanov integral na segmentu [a, b] možemo izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I(f) = b a f(x)dx = F (b) F (a). Kod integriranja se može dogoditi da primitivnu funkciju F nije moguće dobiti elementarnim metodama ili da je podintegralna funkcija poznata samo u konačno mnogo točaka. Dakle, jedino što nam preostaje je približno računanje takvih integrala. Osnovna ideja je izračunavanje integrala I(f) korištenjem vrijednosti funkcije f na nekom konačnom skupu točaka. Opća formula je I(f) = b a w(x)f(x)dx = n λ j f(x j ) + E (36) pri čemu su λ j težinski koeficijenti, x j čvorovi integracije i E pripadni ostatak. Formule oblika (36) nazivaju se kvadraturne formule. j=1 U ovom radu proučavat ćemo Gaussove kvadraturne formule. One se koriste kako bi se postigao maksimalan stupanj egzaknosti formule. Reći ćemo da je kvadraturna formula stupnja egzaknosti m ako je ostatak E = 0 za sve polinome stupnja manjeg ili jednakog m. Osnovna ideja je da za čvorove uzmemo nultočke ortogonalnih polinoma, a težinske koeficijente λ j računamo kao λ j = b a w(x)l j (x)dx, (37) pri čemu je l j Lagrangeov interpolacijski polinom 6. Dokaz ove formule može se pogledati u [5]. Pokazat ćemo da postoji jednostavniji način računanja težinskih koeficijenata, λ j, pomoću ortogonalnih polinoma. 6 l i = n j=1, j i x x j x i x j 31
32 Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0, te neka su α n i b n definirani kao u Tročlanoj rekurziji (7). Ako u Christoffel-Darbouxovom identitetu (10) uvedemo supstituciju y = x j gdje je x j nultočka ortogonalnog polinoma p n, tada dobivamo n 1 k=0 p k (x)p k (x j ) b k = p n(x)p n+1 (x j ) α n b n (x x j ). (38) Zatim prethodnu jednakost pomnožimo s w(x)p 0 (x). Zbog ortogonalnosti dobivamo p 0 (x j ) b 0 b 0 = p n+1(x j ) α n b n b a w(x) p 0(x)p n (x) x x j dx. (39) Iz definicije Lagrangeovog interpolacijskog polinoma dobivamo l j (x) = p n (x) (x x j )p n(x j ). (40) Koristeći (37), (40) i činjenicu da je p 0 konstanta, (39) možemo zapisati kao Dakle, 1 = p n+1(x j ) α n b n b = p n+1(x j )p n(x j ) α n b n a = p n+1(x j )p n(x j ) λ j. α n b n λ j = a w(x) p n(x) dx x x j b w(x)l j (x)dx A n+1 b n A n p n+1 (x j )p n(x j ), (41) za j = 1, 2,..., n, što je puno lakše izračunati nego koristeći izraz (37). Ostatak E se računa kao gdje je η a, b. E = Detaljnije o formuli (42) može se pogledati u [5]. Gauss-Čebiševljeva kvadraturna formula je oblika x 2 f(x)dx = b n A 2 n(2n)! f (2n) (η), (42) n λ j f(x j ) + E, (43) j=1 32
33 gdje su x j nultočke polinoma T n, težinski koeficijenti i ostatak za η 1, 1. π λ j = T n(x j )T n+1 (x j ) E = 2π 2 2n (2n)! f (2n) (η), Gauss-Laguerrova kvadraturna formula je 0 e x f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 gdje su x j nultočke polinoma L n, težinski koeficijenti i ostatak za η 0,. λ j = (n!) 2 L n(x j )L n+1 (x j ) E = (n!)2 (2n)! f (2n) (η), Gauss-Hermiteova kvadraturna formula je + e x2 f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 gdje su x j nultočke polinoma H n, težinski koeficijenti i ostatak za η, +. λ j = 2n+1 n! π H n(x j )H n+1 (x j ) E = n! π 2 n (2n)! f (2n) (η), Gauss-Legendreova kvadraturna formula je 1 1 f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 33
34 gdje su x j nultočke polinoma P n, težinski koeficijenti i ostatak za η 1, 1. λ j = 2 (n + 1)P n+1 (x j )P n(x j ) E = 22n+1 (n!) 4 (2n + 1)[(2n)!] 3 f (2n) (η), Detaljnije o kvadraturnim formulama može se pogledati u [5]. Još o primjenama ortogonalnih polinoma može se pogledati u [4], [5], [6] i [8]. 34
35 9. Zaključak U radu smo naveli neka osnovna svojstva ortogonalnih polinoma. Pokazali smo da od zadanog skupa polinoma, pomoću Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije, možemo dobiti ortonormirani skup polinoma. Dokazali smo da se svaki polinom može zapisati kao linearna kombinacija ortogonalnih polinoma. Obradili smo pet vrsta klasičnih ortogonalnih polinoma: Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi. Navedeni polinomi mogu se zapisati pomoću rekurzivne relacije, funckija izvodnica, Rodriguesove formule i kao rješenja diferencijalnih jednadžbi. Osim toga, obradili smo primjenu ortogonalnih polinoma na Gaussove kvadraturne formule. 35
36 Literatura [1] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Function, Dover Publications, New York, [2] R. El Attar, Special Functions and Orthogonal Polynomials, Lulu Press, USA, [3] D. Ž. Doković, D. S. Mitrović, Specijalne funkcije, Gradevinska knjiga, Beograd, [4] V. I. Krylov, Approximate Calculation and Integrals, Dover Publication, INC, [5] P. Rabinowitz, A. Raltoson, A first course in numerical analysis, Dover Publications, New York, [6] M. Rogina, S. Singer, S. Singer, Numerička matematika, Sveučilište u Zagrebu, PMF-Matematički odjel, Zagreb, 2008., (javno dostupno: [7] R. Scitovski, Numerička matematika, Sveučilište u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, [8] G. Szego, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Rhoe Island, [9] The world of Matematical equations, Special Functions and Orthogonal Polynomials, (javno dostupno: 36
37 10. Sažetak Ortogonalni polinomi su posebna vrsta polinoma koji su otrkiveni prilikom rješavanja odredenih diferecijalnih jednadžbi. Cilj ovog diplomskog rada je dati pregled klasičnih ortogonalnih polinoma kao što su: Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi. Osim definicija, za sve ortogonalne polinome navedene su pripadne funkcije izvodnice i rekurzivne relacije. Završni dio rada posvećen je primjenama ortogonalnih polinoma kod približnog računanja odredenih integrala, odnosno kod Gaussovih kvadraturnih formula koje imaju veliku primjenu u numeričkoj matematici. Ključne riječi. Ortogonalni polinomi, Čebiševljevi polinomi prve vrste, Čebiševljevi polinomi druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi, Legendreovi polinomi, Gaussove kvadraturne formule. 37
38 11. Summary Orthogonal polynomials are special type of polynomials which are discovered by solving determinate differencial equations. As a main point of this masters thesis is to represent classical orthogonal polynomials like: Chebyshev Polynomials of the First Kind, Chebyshev Polynomials of the Second Kind, Laguerre Polynomials, Hermite Polynomials and Legendre Polynomials. For this orthogonal polynomials are listed related generating functions and recurrence relations, apart from definitions. Concluding part of this masters thesis is to dedicate application of orthogonal polynomials at approximation calculating definite integral, apropos Gaussian quadrature formulas which have big application in numerical mathematics. Key words. Orthogonal polynomials, Chebyshev Polynomials of the First Kind, Chebyshev Polynomials of the Second Kind, Hermite Polynomials, Laguerre Polynomials, Legendre Polynomials, Gaussian quadrature formulas. 38
39 12. Životopis Rodena sam 13. prosinca godine u Osijeku, Hrvatska. Godine završila sam Osnovnu školu Miroslava Krleže, Čepin. Iste godine upisala sam III. Gimnaziju Osijek (prirodoslovno-matematički program). Srednju školu završila sam godine kada sam upisala Nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku Sveučilišta u Osijeku. Osim toga, od godine aktivna sam članica Kulturno umjetničkog društva Ivan Kapistran Adamović iz Čepina. Od sam odbojkaški sudac, a godine položila sam za nacionalnog suca. 39
ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationSveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationKeywords: anticline, numerical integration, trapezoidal rule, Simpson s rule
Application of Simpson s and trapezoidal formulas for volume calculation of subsurface structures - recommendations 2 nd Croatian congress on geomathematics and geological terminology, 28 Original scientific
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski
More informationThe existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem
61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationO dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationErdös-Mordellova nejednakost
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationRazni načini zadavanja vjerojatnosti
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationREVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES
Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationFOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Osijek, 2014. SVEUČILIŠTE JOSIPA
More informationNTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationSIMBOLIČKO IZRAČUNAVANJE HANKELOVIH DETERMINANTI I GENERALISANIH INVERZA MATRICA
Univerzitet u Nišu Prirodno-Matematički fakultet Marko D. Petković SIMBOLIČKO IZRAČUNAVANJE HANKELOVIH DETERMINANTI I GENERALISANIH INVERZA MATRICA Doktorska disertacija Niš, Jun 2008 Mogućnost simboličkog
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationA COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5
Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More information4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:
NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com
More informationMostovi Kaliningrada nekad i sada
Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.
More information