OSCILATORNOST NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA

Transcription

1 UNIVERZIE U BEOGRADU MAEMAIČKI FAKULE Jelena V. Manojlović OSCILAORNOS NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA Doktorska disertacija Beograd, 999.

2 Predgovor Ova doktorska disertacija posvećena je izučavanju Oscilatornosti nelinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda, a zasnovana je na originalnim rezultatima. Ona je rezultat nastavka istraživanja započetog na magistraskim studijama Asimptotska svojstva rešenja diferencijalnih jednačina, Magistarska teza, Univerzitet u Beogradu, 996. ). Osnovna oblast kojoj ova disertacija pripada je Kvalitativna analiza diferencijalnih jednačina. Kako su mnogi fizički problemi modelirani diferencijalnim jednačinama drugog reda, to kvalitativna analiza ovih jednačina privlači veliku pažnju autora koji se bave teorijom običnih diferencijalnih jednačina. U ranijem periodu razvoja teorije diferencijalnih jednačina preovladalo je rešavanje jednačina pomoću kvadratura. Jednačina x = ft, x) se smatrala rešenom kada se dobije opšti integral ψt, x, C) = 0. Ali radovima Lia Sophus Lie, ) završen je, uglavnom, period traženja rešenja diferencijalnih jednačina preko kvadratura, budući da je zadatak svod enja na kvadrature nerešiv za opštije tipove jednačina. Kada su ustanovljeni fundamentalni stavovi o egzistenciji i jedinstvenosti rešenja, stvoreni su uslovi za razvoj kvalitativne analize rešenja diferencijalnih jednačina, čijim se osnivačem smatra veliki francuski matematičar Poenkare Henri Poincareé, ) Do zaključaka u kvalitativnoj analizi dolazi se, u opštem slučaju na osnovu analiza funkcija koje figurišu u samoj diferencijalnoj jednačini. Kvalitativa analiza nam daje informacije o nizu osobina integralnih krivih kao što su ograničenost, broj i položaj nula i polova, asimptote, ponašanje u okolini singularnih tačaka i u beskonačnosti, oscilatornost, monotonost, itd. Drugim rečima, u najjednostavinijim slučajevima, ona nam omogućava da nacrtamo približan grafik rešenja, ne znajući analitički izraz. Ova problematika je od posebnog interesa kada jednačinu ne možemo rešiti pomoću kvadratura, a sem toga često je izraz za opšti integral toliko složen da se mora pristupiti posebnim metodama kvalitativne analiza. Oblast kvalitativne analize diferencijalnih jednačina se posebno intenzivno razvija poslednjih tridesetak godina. Za to vreme razradjeni su novi metodi ispitivanja i dobijeni važni i korisni rezultati. Ustanovljeni su kriterijumi oscilatornosti rešenja linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina, dokazane teoreme o klasifikaciji jednačina po oscilatornim svojstvima njihovih rešenja, pronadjeni uslovi za postojanje ili oustvo singularnih, pravilnih, oscilatornih, ograničenih i monotonih rešenja, date ocene pravilnih rešenja u okolini beskonačno dalekih tačaka, asimptotske formule za rešenja dosta široke klase linearnih i nelinearnih jednačina itd. Od posebnog interesa u oblasti kvalitativne analize diferencijalnih jednačina je utvrd ivanje kriterijuma oscilatornosti i neoscilatornosti linearnih i nelinearnih jednačina, o čemu svedoči i veliki broj radova iz ove oblasti. Verovatno najviše proučavana i

3 ii Predgovor diferencijalna jednačina drugog reda je linearna diferencijalna jednačina L) x t) + qt)xt) = 0 i nelinearna diferencijalna jednačina oblika EF ) x t) + qt) xt) λ sgn xt) = 0, λ, koja je u literaturi poznata kao diferencijalna jednačina Emden Fowlera. Jednačina ovog oblika je po prvi put privukla pažnju R. Emdena, krajem XIX veka, u prvim teorijama dinamike gasova u astrofizici, dok se tridesetih godina ovog veka pojavljuje u radovima E. Fermia i L.H. homasa u proučavanju distribucije elektrona u teškom atomu. Jednačina tipa Emden Fowler se takod e pojavljuje u proučavanju mehanike fluida, relativističke mehanike, nuklearne fizike, kao i u proučavanju hemiskih reakcija sistema. Kako su linearne diferencijalne jednačine drugog reda najčešći modeli oscilatornih fizičkih sistema, razvoj teorije oscilatornosti je upravo krenuo od proučavanja oscilatornosti linearnih jednačina. Šezdesetih godina, veliki broj autora je učinio napredak pokazavši da veliki broj kriterijuma oscilatornosti za linearnu diferencijalnu jednačinu važe i za jednačinu Emden-Fowlera, kao i pod odgovarajućim pretpostavkama za funkciju f za diferencijalnu jednačinu oblika GEF ) x t) + qt)fxt)) = 0, gde je q C0, ), f : R R je neprekidna funkcija na R, neprekidno diferencijabilina na R \ {0} i zadovoljava uslove xfx) > 0, f x) 0 za svako x 0. Jednačina ovog oblika se u literaturi često naziva uopštena diferencijalna jednačina Emden Fowlera. Pokazani kriterijumi oscilatornosti mogu se klasifikovati u dve grupe, prema tipu jednačine na koji se odnose. Naime, diferencijalna jednačina EF ) je sublinearna ako je γ 0, ), a superlinearna za γ >. Analogno, diferencijalna jednačina GEF ) je sublinearna ako je funkcija f takva da je 0 < ε 0+ du fu), a ako funkcija f zadovoljava uslov 0 < + ε du fu), ε 0 ε du fu) du fu) < za svako ε > 0, < za svako ε > 0. diferencijalna jednačina GEF ) je superlinearna. Oscilatorna svojstva rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina EF ) i GEF ) razmatrao je zaista impozantan broj autora, 2, 5, 6, 7, 8,, 2, 5, 6, 7, 22, 23, 24, 25, 37, 44, 48, 53, 59, 6, 66, 67, 72, 74, 76, 78, 88, 00, 0, 02, 03, 04, 9, 20, 42, 47] itd., med u kojima su najveći doprinos sasvim sigurno dali Ch.G. Philos 05], 07] 0], 2] 8], J.S.W. Wong 9], 20], 73], 77], 23] 34], 37], 38] i C.C. Yeh. 35, 36, 38, 46]. Kao prirodno uopštenje jednačine GEF ) osamdesetih godina pojavila se u literaturi nelinearna diferencijalna jednačina oblika NL) at)ψxt))x t)) + qt)fxt)) = 0,

4 Predgovor iii gde je a C 0, ); 0, )), q C0, ); R), ψ, f C R; R), xfx) > 0, f x) 0, ψx) > 0 za svako x 0. Med u velikim brojem autora koji su ispitivali oscilatornost ove jednačine treba istaći S.R. Gracea, B.S. Lallia 27] 43] i J.R. Graef, P.W. Spikes 44] 47]. Dobro je poznato da linearna diferencijalna jednačina L) i polulinearna diferencijalna jednačina at) x t) α x t) ] + qt) xt) α xt) = 0, α > 0 imaju veliki broj sličnih svojstava koja opisuju karakter oscilatornosti rešenja. Svoj doprinos u ispitivanju oscilatornosti nelinearne jednačine drugog reda ovakvog oblika dali su A. Elbert 2], H.L. Hong, W.C. Lian, C.C. Yeh 54, 58], H.B. Hsu, C.C. Yeh 57], H.B. Hsu, W.C. Lian, C.C. Yeh 58],. Kusano, A. Ogata, H. Usami 68],. Kusano, A. Ogata 69],. Kusano, N. Yoshida 70],. Kusano, J. Wang 7], H.J. Li, C.C. Yeh 80] 85], W.C. Lian, C.C. Yeh, H.J. Li 89], itd. Nelinerna diferencijalna jednačina oblika at)ψxt)) x t) α x t) ] + qt)fxt)) = 0, α > 0, se pojavila u literaturi tek nedavno 996. u radovima P.J.Y. Wong, R.P. Agarwal 39] za slučaj kada je ψx) ) i R.P. Agarwal, W.C. Lian, C.C. Yeh ]. Oscilatornost ove jednačine razmatrao je još H.L. Hong 56] uopštivši kriterijume oscilatornosti polulinearne diferencijalne jednačine koje su pokazali H.B. Hsu, C.C Yeh 57]. Diferencijalnu jednačinu ovog oblika nazvaćemo uopštena polulinearna diferencijalna jednačina. Najvažniji i najkorisniji kriterijumi oscilatornosti navedenih nelinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda podrazumevaju integralno usrednjenje koeficijenta at), qt) ovih jednačina. i kriterijumi su motivisani dobro poznatim Wintnerovim kriterijumom oscilatornosti linearne diferencijalne jednačine iz 949. godine, da je uslov lim t s 0 0 qu) du =, dovoljan za oscilatornost jednačine L). Poslednjih dvadesetak godina, od posebnog interesa je utvrd ivanje kriterijuma oscilatornosti linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju težinsko usrednjenje koeficijenata tih jednačina i koji su inspirisani kriterijumom Kameneva iz 978. za linearnu diferencijalnu jednačinu, da je uslov t β 0 t s) β qs) = za neko β >, dovoljan za oscilatornost jednačine L). Istraživanje obavljeno prilikom izrade ove disertacije je inspirisano najnovijim dostignućima iz oblasti težinskog usrednjenja. Korišćeno je težinsko usrednjenje opštom klasom parametarskih funkcija H : D = {t, s) : t s } R motivisano inicijalnim radom sa ovakovim pristupom Ch.G. Philosa ] Arch. Math. Basel), ), ]. Naime, med u velikim brojem kriterijuma oscilatornosti

5 iv Predgovor pokazanih korišćenjem težinskog usrednjenja, može se primetiti da je kao težinska funkcija najčešće korišćena pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija ϱ takva da je ϱ nenegativna i opadajuća funkcija i funkcija t s) α za α prirodan ili realan broj veći od jedinice ili proizvod ovih funkcija. Pomenutim radom Ch.G. Philosa ] o oscilatornosti linearne diferencijalne jednačine dat je pozitivan odgovor na pitanje koje se nametnulo - da li se kao težinska funkcija može koristiti šira familija funkcija? Ovakvu metodologiju ispitivanja u teoriji oscilatornosti koristili su još samo S.R. Grace 4] 992., H.J. Li, C.C. Yeh 87] 997. i pod dodatnim pretpostavkama za funkciju Ht, s) uopštili Philosov rezultat na jednačinu N L). Dakle, osnovni metod ispitivanja u ovoj disertaciji je metod težinskog usrednjenja opštom klasom parametarskih funkcija, što pretavlja novi pristup u ispitivanju oscilatornosti polulinearnih diferencijalnih jednačina i nastavak istraživanja S.R. Gracea i H.J. Lia, C.C. Yeha za nelinearnu jednačinu NL). Svi rezultati izloženi su u tri glave. U prvoj glavi, Uvodu, uvedeni su osnovni pojmovi i dati neki rezultati koji su korišćeni u daljem toku rada. Druga glava je posvećenja oscilatornosti polulinearnih diferencijalnih jednačina. Iako je veliki broj pokazanih kriterijuma oscilatornosti polulinearne diferencijalne jednačine podrazumeva integralno usrednjenje koeficijenata jednačine, ni jedan od autora nije kao težinsku funkciju u težinskom usrednjenjenju koristio parametarsku funkciju iz opšte klase funkcija Ht, s). Iz tog razloga, u Poglavlju 2.. biće pokazani kriterijumi oscilatornosti polulinearne diferencijalne jednačine, koristeći težinsko usrednjenje familijom parametarskih funkcija Ht, s). i kriterijumi su generalizacija kriterijuma oscilatornosti Lia i Yeha 87] za jednačinu N L). Kako postoji skroman broj rezultata o oscilatornosti uopštene polulinearne diferencijalne jednačine, to je u Poglavlju 2.2. učinjen značajan doprinos u pokazivanju kriterijuma oscilatornosti ovog tipa nelinearne jednačine. ako su najpre prošireni kriterijumi oscilatornosti polulinearne jednačine pokazani u Poglavlju 2.. na uopštenu polulinearnu diferencijalnu jednačinu, a zatim proširen i generalizovan dobro poznati rezultat Philosa 3] za GEF ). Sem toga, pokazani su i kvalitativno novi kriterijumi oscilatornosti za uopštenu polulinearnu diferencijalnu jednačinu, koji specijalno pretavljaju i originalne rezultate za polulinearnu jednačinu, kao i za jednačinu N L). Od posebnog interesa u teoriji oscilatornosti diferencijalnih jednačina je formulisanje komparativnih teorema koje omogućavaju da se o oscilatornim svojstvima rešenja diferencijalnih jednačina zaključi na osnovu ponašanja rešenja jednostavnijih diferencijalnih jednačina. Kako je oscilatornost polulinearne diferencijalne jednačine mnogo detaljnije proučena u odnosu na oscilatornost uopštene polulinearne diferencijalne jednačine, u Poglavlju 2.3. će biti pokazane komparativne teoreme za uopštenu polulinearnu diferencijalnu jednačinu u odnosu na odgovarajuću polulinearnu jednačinu. U Glavi 3. izučava se oscilatornost jednačine N L) koju smo nazvali generalizovana diferencijalna jednačina tipa Emden Fowlera. Uopšteni su i prošireni mnogi kriterijumi oscilatornosti uopštene diferencijalne jednačine Emden Fowlera navedeni u Poglavlju.3. Klasifikaciju rezultata izvršena je u odnosu na sublinearnost odnosno superlinearnost jednačine.

6 Predgovor v U Poglavlju 3.. ćemo posmatrati sublinearnu jednačinu N L) i pokazati da se rezultati Ch.G. Philosa 0], 5], Ch.G. Philosa, I.K. Purnaras 6], J.S.W. Wonga 34] za sublinearnu uopštenu jednačinu Emden Fowlera, pod dodatnim pretpostavkama za funkcije a, f i ψ, mogu proširiti i na jednačinu NL). Kako u svim do sada utrd enim kriterijumima oscilatornosti jednačine N L), figuriše pretpostavka da je funkcija ψ pozitivna, nameće se prirodno pitanje - da li je moguće utvrditi oscilatornost jednačine NL) i u slučajevima kada je funkcija ψ negativna ili menja znak? U drugom delu Poglavlja 3.. dat je pozitivan odgovor na to pitanje i pokazani kriterijumi oscilatornosti jednačine N L) pri sledećim pretpostavkama za funkcije f i ψ: ψx) 0, x fx) ψx) > 0, ) fx) 0, ψx) fx)ψ x) ψ 2 x) k > 0 za x 0. i kriterijumi su u Poglavlju 3.2. prošireni na jednačinu at)ψxt))x t)] + pt)x t) + qt)fxt)) = 0 bez ograničenja o znaku funkcije p, što je od takod e posebnog interesa. Diferencijalna jednačina ovog oblika naziva se diferencijalna jednačina sa prigušenjem with a damping term ). U Poglavlju 3.3. posmatrana je superlinearna jednačina N L). Generalizovani su rezultati u radovima Ch.G. Philosa 2], 3] i Ch.G. Philosa, I.K. Purnarasa 6], 7]. Kao i u prethodna dva poglavlja svi pokazani kriterijumi oscilatornosti superlinearne jednačine N L) pretavljaju, specijalno, poboljšanje navedenih kriterijuma oscilatornosti superlinearne uopštene jednačine Emden Fowlera, u smislu korišćenja težinske funkcije Ht, s). Na kraju, koristim priliku da se zahvalim svojim roditeljima Vasiliju i Ljiljani koji su bili dovoljno tolerantni prema meni i imali razumevanja za sve vreme koje sam uložila u ovaj rad. Bez njihove podrške i strpljenja, u svakom slučaju, ne bi ni bilo ovog rada. akod e želim da se zahvalim tetka Vidi na pomoći i strpljenju prilikom mnogobrojnih gostovanja u Beogradu tokom mog usavršavanja. Posebnu zahvalnost dugujem i sestri Mimi na moralnoj i finansiskoj pomoći prilikom izrade i odbrane kako magistarske teze tako i ove disertacije.

7

8 Sadržaj Uvodni pojmovi i rezultati.. Elementi teorije oscilatornosti Integralno usrednjenje u oscilatornosti diferencijalnih jednačina Oscilatornost uopštene diferencijalne jednačine Emden Fowlera Oscilatornost superlinearne uopštene jednačine Emden Fowlera Oscilatornost sublinearne uopštene jednačine Emden Fowlera ežinsko usrednjenje i oscilatornost Oscilatornost polulinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda Oscilatornost polulinearne diferencijalne jednačine Oscilatornost uopštene polulinearne diferencijalne jednačine Komparativne teoreme Oscilatornost generalizovane diferencijalne jednačine tipa Emden Fowlera Oscilatornost sublinearne diferencijalne jednačine Oscilatornost sublinearne diferencijalne jednačine sa prigušenjem Oscilatornost superlinearne diferencijalne jednačine Literatura 5 Index pojmova i oznaka 25 Preface 27 Contents 33

9 Glava Uvodni pojmovi i rezultati U ovoj glavi biće uvedeni neki osnovni pojmovi i dati neki poznati rezultati. Pojmovi kao što su neproduživo, pravilno, singularno, oscilatorno i neoscilatorno rešenje biće definisani u Poglavlju.. Kako je jedna od najefektivnijih i samim tim najzastupljenijih metoda ispitivanja nelinearnih oscilacija metoda integralnog usrednjenja, opštu šemu ove metode izložićemo u Poglavlju.2. Poslednjih dvadesetak godina, od posebnog interesa je utvrd ivanje kriterijuma oscilatornosti linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju težinsko usrednjenje koeficijenata tih jednačina. Zato ćemo osnovne principe i rezultate metode težinskog usrednjenja u ispitivanju linearnih i nelinearnih oscilacija izložiti u Poglavlju.4. U Poglavlju.3. navešćemo najznačajnije kriterijume oscilatornosti uopštene diferencijalne jednačine Emden Fowlera, nelinearne diferencijalne jednačine koja je sa aspekta kvalitativne analize, a posebno sa aspekta teorije oscilatornosti, verovatno najviše proučavana jednačina. Većina navedenih kriterijuma će biti uopštena u naredne dve glave, na širu klasu nelinearnih diferencijalnih jednačina ili su ti kriterijumi poslužili kao motivacija za dobijanje novih kriterijuma za oscilatornost rešenja posmatranih nelinearnih diferencijalnih jednačina u narednim glavama... Elementi teorije oscilatornosti Kako su mnogi fizički problemi modelirani nelinearnim diferencijalnim jednačinama drugog reda, to kvalitativna analiza ovih jednačina privlači veliku pažnju autora koji se bave teorijom običnih diferencijalnih jednačina. Posmatrajmo opštu nelinearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda nepoznate funkcije x nezavisno promenljive t oblika.) Φ t, xt), x t), x t)] = 0, gde je Φ data funkcija definisana u oblasti D R 4. Kako u fizičkim problemima nezavisno promenljiva t ima ulogu vremena, to ćemo pretpostaviti da je t 0, ). Definicija... Funkcija χt) definisana na intervalu, t ) 0, ) je rešenje jednačine.) ako za svako t, t ) važi: i) postoji χ t), ii) t, χt), χ t), χ t)) D, iii) Φ t, χt), χ t), χ t)] = 0.

10 2 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati Geometrijsko mesto tačaka { t, χt) ) : t, t )} naziva se integralna kriva rešenja χt) diferencijalne jednačine.). Da bi uopšte imalo svrhe ispitivati kvalitativna svojstva rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina, odnosno da bismo mogli rasud ivati o osobinama integralnih krivih, moramo najpre biti sigurni da one postoje. Zbog toga je potrebno formulisati teoremu egzistencije i jedinstvenosti rešenja tih jednačina. eorema... Ako su funkcije Φ, Φ x, Φ x, Φ x tačke t, x 0, x 0, x 0 ) D i Φ t, x 0, x 0, x 0] = 0, definisane i neprekidne u nekoj okolini Φ x t, x 0, x 0, x 0] 0, tada DJ.) ima jedinstveno rešenje χt), definisano i dva puta neprekidno diferencijabilno u nekoj okolini tačke t, koje zadovoljava početne uslove χt ) = x 0, χ t ) = x 0, χ t ) = x 0. Za ostale teoreme koje daju potrebne i dovoljne uslove egzistencije i egzistencije i jedinstvenosti rešenja nelinearnih jednačina upućujemo na knjige I. Kiguradze 63] i P. Hartman 5]. Može se primetiti da je eorema... lokalnog karaktera, odnosno da dokazuje egzistenciju i jedinstvenost rešenja u nekoj okolini tačke t. Zato se nameće pitanje dokle se može proširiti interval definisanosti rešenja. U tom smislu se uvodi pojam neproduživog rešenja. Definicija..2. Rešenje xt) jednačine.) definisano na intervalu, t ) 0, ) naziva se neproduživo ako je t = ili t < i xt) + x t) ) = +. t t Kako ćemo se u daljem radu baviti ispitivanjem broja nula rešenja nelinearnih jednačina, od interesa su samo rešenja koja nemaju vrednost nula počev od neke vrednosti promenljive t. U tom smislu uvodimo pojam pravilnog i singularnog rešenja. Definicija..3. Neproduživo rešenje xt) jednačine.) definisano na, ) naziva se pravilno, ako za svako t, ) važi sup{ us) : s t} > 0. Definicija..4. Netrivijalno, neproduživo rešenje xt) jednačine.) definisano na intervalu t, t 2 ) 0, ) naziva se singularno ako je t 2 < ili t 2 = i postoji t, ) tako da je ut) = 0 za svako t. eorema Uintnera nam daje uslove pod kojima nelinearna diferencijalna jednačina.2) x t) = f t, xt), x t) ) nema singularnih rešenja, odnosno pod kojima je svako rešenje te jednačine pravilno. eorema..2. eorema Uintnera ) Neka u oblasti Q = {t, x) : 0 < t <, x R 2 } važi nejednakost ft, x, x 2 ) ht)w x + x 2 ), gde je h CR), a funkcija w C0, )) pozitivna, neopadajuća i 0 dr wt) =. Neka je sem toga za svako 0, ) trivijalno rešenje jedino rešenje jednačine.2) koje zadovoljava početne uslove x ) = x ) = 0. ada je svako rešenje jednačine.2) pravilno.

11 .. Elementi teorije oscilatornosti 3 Bez daljeg naglašavanja, mi ćemo u daljem radu pod rešenjem jednačine podrazumevati neproduživo, pravilno rešenje. Pojam oscilatornog i neoscilatornog rešenja definisaćemo za opštu diferencijalnu jednačinu drugog reda, s obzirom da se ovi pojmovi u klasi linearnih i nelinearnih jednačina isto definišu. Definicija..5. Pravilno rešenje xt) diferencijalne jednačine drugog reda definisano na, ) naziva se oscilatorno ako za svako postoje t i t 2 takvi da je < t < t 2 i xt )xt 2 ) < 0. Za samu jednačinu kažemo da je oscilatorna, ako su sva njena rešenja oscilatorna. Definicija..6. Pravilno rešenje xt) diferencijalne jednačine drugog reda naziva se neoscilatorno ako postoji takvo da je xt) 0 za svako t. Ako je svako rešenje jednačine neoscilatorno, jednačinu nazivamo neoscilatornom. Kako su linearne diferencijalne jednačine drugog reda najčešći modeli oscilatornih fizičkih sistema, razvoj teorije oscilatornosti je upravo krenuo od proučavanja oscilatornosti linearnih jednačina. Jedni od najpoznatijih rezultata su Šturmove teoreme upored enja i o razdvajanju nula. eorema..3. Šturmova teorema upored enja) Neka su koeficijenti jednačina.3) p t)x ) + q t)x = 0,.4) p2 t)x ) + q2 t)x = 0, neprekidne funkcije na J =, ] i neka je.5) p t) p 2 t) > 0, q t) q 2 t), t J. Pretpostavimo da pravilno rešenje x = x t) jednačine.3) ima tačno n ) nula t = t < t 2 <... < t n za < t, a pravilno rešenje x = x 2 t) jednačine.4) zadovoljava uslov p t)x t) x t) p 2t)x 2 t), t J. x 2 t) ada rešenje x 2 t) ima na, t n ] najviše n nula. Napomenimo da ako koeficijenti jednačine.3) i.4) zadovoljavaju uslov.5), tada se jednačina.4) naziva majorantom Šturma jednačine.3), a jednačina.3) minorantom Šturma jednačine.4). eorema..4. Šturmova teorema o razdvajanju nula) Neka je jednačina.4) majoranta Šturma jednačine.3). ada se izmed u svake dve susedne nule proizvoljnog rešenja x = x t) jednačine.3) nalazi najmanje jedna nula bilo kog rešenja x = x 2 t) jednačine.4). Korišćenjem Šturmove teoreme o razdvajanju nula moguće je pokazati izvestan broj korisnih svojstava, kao na primer da ako je q neprekidna funkcija na a, b) i 0 < m qt) M, za svako t a, b), tada za ma koje dve susedne nule t < t 2 rešenja xt) jednačine.6) x + qt)x = 0 J.Ch F. Sturm, nemački matematičar,

12 4 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati π važi da je M t 2 t π m. Sem toga, ako je q neopadajuća nerastuća) pozitivna funkcija, tada rastojanje izmed u susednih nula proizvoljnog rešenja jednačine.6) ne raste ne opada). Od velikog praktičnog značaja je i nejednakost Ljapunova, na osnovu koje je moguće oceniti broj nula bilo kog rešenja na proizvoljnom konačnom intervalu. eorema..5. Ljapunov) Ako je funkcija q Ca, b), tada je nejednakost b a q + t) dt < 4 b a, q +t) = max{qt), 0} potreban uslov da jednačina.6) ima rešenje koje na a, b) ima dve nule. eorema..6. Neka je funkcija q C0, ]), xt) rešenje jednačine.6) i N broj njegovih nula na poluintervalu 0, ]. ada je N < /2 q + t) dt) Napomenimo da je dokaze svih navedenih teorema, kao i ostale rezultate iz teorije oscilatornosti linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda, moguće naći u knjizi P. Hartmana 5]..2. Integralno usrednjenje u oscilatornosti diferencijalnih jednačina drugog reda U proučavanju oscilatornosti linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda, mnogi kriterijumi obuhvataju uslove koji podrazumevaju integralno usrednjenje koeficijenata tih jednačina. i kriterijumi su motivisani klasičnim, dobro poznatim Wintnerovim kriterijumom oscilatornosti linearne diferencijalne jednačine iz 949. godine, da je uslov A ) lim t s 0 0 qu) du =, dovoljan za oscilatornost linearne diferencijalne jednačine L) x t) + qt)xt) = 0. Wintnerov rezultat je nešto kasnije 952. poboljšao Hartman, pokazavši da se uslov A ) može zameniti sa sledeća dva slabija uslova A 2 ) lim inf t s qτ) dτ >, A 3 ) lim inf t s qτ) dτ < t s qτ) dτ. Da bi pojasnili pojam integralnog usrednjenja u teoriji oscilatornosti diferencijalnih jednačina izložićemo najpre opštu šemu metode integralnog usrednjenja za sistem diferencijalnih

13 .2. Integralno usrednjenje u oscilatornosti DJ 5 jednačina. aj metod je razvijen početkom šezdesetih godina ovog veka i našao je široku primenu ne samo u teoriji oscilacija, već i u mnogim granama fizike, a posebno u oblasti nebeske mehanike i automatske regulacije. Osnovna ideja metode usrednjenja je da rešenje polaznog sistema aproksimiramo rešenjem sistema za koji već imamo poznate metode rešavanja ili rešenjem sistema koje možemo kvalitativno lakše analizirati. Opšta šema metode usrednjenja za sistem diferencijalnih jednačina Posmatrajmo sistem 2.) x = ε Xt, x), gde je x n-dimenzionalni vektor, ε > 0 mali parametar i funkcija Xt, s) definisana u oblasti Q = {t, x) t 0, x Q, Q R n }. Sistemu 2.) pridružujemo sistem 2.2) ξ = ε X 0 ξ) gde je 2.3) X 0 x) = lim Xt, x) dt. Sistem 2.2) se naziva odgovarajući usrednjeni sistem polaznog sistema 2.). Važi sledeća teorema o bliskosti rešenja sistema 2.) i 2.2) na konačnom intervalu: eorema.2.. Larionov, Filatov ) Ako važi: ) funkcija Xt, x) je neprekidna po t u oblasti Q i zadovoljava Lipšicov 2 uslov po promenljivoj x u toj oblasti; 2) u svakoj tački oblasti Q postoji granična vrednost 2.3); 3) rešenje ξ = ξt), ξ0) = x0) Q sistema 2.2) je definisano za svako t 0 i leži u nekoj okolini K0, δ) Q; 4) funkcija X 0 x) zadovoljava Lipšicov uslov na Q, pri čemu na svakom konačnom segmentu t, t 2 ] duž integralne krive ξt) važi nejednakost 2 X 0 ξt)) dt Mt 2 t ), M = const. t ada za svako ν > 0 i L > 0 postoji ε 0, tako da za ε < ε 0 na segmentu 0, Lε ] važi nejednakost xt) ξt) < ν. Očigledno da su ovde nad eni uslovi pod kojima je razlika izmed u tačnog rešenja i njegovog asimptotski približnog, pri dovoljno malim vrednostima parametra dovoljno mala na koliko hoćemo velikom, ali konačnom intervalu. U monografiji A.N.Filatova 26] sistematski su izložene metode usrednjenja u diferencijalnim, integro-diferencijalnim i integralnim jednačinama i naznačene su različite oblasti primene tih metoda pri izučavanju nelinearnih oscilacija, tako da ova monografija sigurno može poslužiti kao polazna osnova u razumevanju i savladavanju ove metode. Sada primećujemo da u Wintnerovom uslovu A ) izraz na levoj strani jednakosti zapravo podrazumeva integralno usrednjenje funkcije Qs) = s 0 qu) du. Problem nalaženja kriterijuma oscilatornosti nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju integralno usrednjenje koeficijenata tih jednačina, je privukao pažnu velikog broja autora. O tome 2 R.Lipschitz, nemački matematičar,

14 6 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati svedoči veliki broj radova sa ovakvom problematikom, a u šta ćemo se uveriti u narednom poglavlju za dva konkretna tipa nelinearnih jednačina. Kamenev 62] je 978. koristivši po prvi put težinsko usrednjenje, uopštio Winterov kriterijum, pokazavši da je linearna diferencijalna jednačina L) oscilatorna ako važi A 4 ) t β 0 t s) β qs) = za neko β > i taj kriterijum je kao i Wintnerov poslužio kao temelj u procesu dobijanja kriterijuma oscilatornosti raznih tipova nelinearnih diferencijalnih jednačina. Philos 06] je generalizovao taj rezultat Kameneva uvodeći težinsku funkciju ϱ C, ); 0, )) i pokazavši da je uslov t n 0 t s) n 3 t s ϱs)qs) n )ϱs) t s)ϱ s)] 2 ] =, 4 ϱs) za neki prirodan broj n 3 dovoljan za oscilatornost linearne jednačine L). usrednjenjenje ćemo detaljnije obrazložiti u Poglavlju.4. ežinsko.3. Oscilatornost uopštene diferencijalne jednačine Emden Fowlera Verovatno najviše proučavana nelinerna diferencijalna jednačina drugog reda je jednačina oblika EF ) x t) = qt) xt) λ sgn xt) gde je λ, koja je u literaturi poznata kao diferencijalna jednačina tipa Emden Fowler. Jednačina ovog oblika je po prvi put privukla pažnju R. Emdena, krajem XIX veka, u prvim teorijama dinamike gasova u astrofizici, dok se tridesetih godina ovog veka pojavljuje u radovima E. Fermia i L.H. homasa u proučavanju distribucije elektrona u teškom atomu. Jednačina tipa Emden Fowler se takod e pojavljuje u proučavanju mehanike fluida, relativističke mehanike, nuklearne fizike, kao i u proučavanju hemiskih reakcija sistema. Do sada su za jednačinu ovog oblika dokazane teoreme o egzistenciji pravilnih i singularnih rešenja, teoreme o jedinstvenosti i produživosti rešenja, ustanovljeni su brojni kriterijumi za oscilatornost i neoscilatornost pravilnih rešenja, dovoljni uslovi da sva rešenja budu ograničena, kao i uslovi koji obezbed uju da sva rešenja zadovoljavaju uslov lim xt) = 0, date su ocene rešenja u okolini beskonačno dalekih tačaka i asimptotske formule rešenja. akod e je ocenjena i brzina rasta neoscilatornih rešenja, odnosno od posebnog fizičkog interesa su rešenja koja zadovoljavaju jedan od sledeća dva uslova lim xt) = β 0, ili xt) lim = 0, t

15 .3. Oscilatornost uopštene DJ jednačine Emden Fowlera 7 tako da su utvrd eni potrebni i dovoljni uslovi da jednačina EF) ima rešenja koja zadovoljavaju jedan od ova dva uslova. Prvim uslovom su odred ena ograničena neoscilatorna rešenja, dok su drugim uslovom odred ena asimptotski linearna rešenja. Kao prirodno uopštenje jednačine Emden Fowlera, u teoriji kvalitativne analize diferencijalnih jednačina, pojavila se diferencijalna jednačina oblika GEF ) x t) + qt)fxt)) = 0, t > 0 gde je q C, ), f : R R je neprekidna funkcija na R, neprekidno diferencijabilna na R \ {0} i zadovoljava uslove xfx) > 0 i f x) 0 za svako x 0. Jednačina ovog oblika se u literaturi često naziva uopštena diferencijalna jednačina Emden Fowlera. Diferencijalna jednačina GEF ) je sublinearna ako je funkcija f : R R sublinearna tj. ako za svako ε > 0 važi 0 < ε 0+ du fu), ε 0 du fu) <. Diferencijalna jednačina GEF ) je superlinearna ako je funkcija f : R R superlinearna tj. ako za svako ε > 0 važi + du 0 < ε fu), du ε fu) <. Specijalno, jednačina EF ) je sublinearna ako je γ 0, ), a superlinearna za γ >. Osamdesetih godina, veliki broj autora je učinio napredak pokazavši da veliki broj kriterijuma oscilatornosti za jednačinu Emden Fowlera, pod dodatnim pretpostavkama za funkciju f, važi i za uopštenu jednačinu Emden Fowlera. i kriterijumi se mogu klasifikovati u dve grupe, u odnosu na sublinearnost odnosno superlinearnost jednačine..3.. Oscilatornost superlinearne uopštene jednačine Emden Fowlera Butler 6] je 980. pokazao da Wintnerova i Hartmanova teorema za linearnu diferencijalnu jednačinu važe i za superlinearnu jednačinu EF ). Kako je Kamenev 6] pokazao da se u sublinearnom slučaju jednačine EF ) uslov A ) može oslabiti sledećim uslovom A 5 ) t s qτ) dτ = t t s)qs) =, t postavio se isti problem i za superlinearnu jednačinu. Med utim, Willett 2] je pokazao da uslov A 5 ) sam nije dovoljan za oscilatornost kako linearne jednačine tako i superlinearne jednačine Emden Fowlera. Zato je Wong 25] 973. pokazao da ako se uz uslov A 5 ) pretpostavi da je A 6 ) lim inf qs) = ν >, ν > 0 superlinearna jednačina EF ) je oscilatorna. Philos je 984. ovaj rezultat uopštio na jednačinu GEF ), pokazavši da su ova dva uslova dovoljna i za oscilatornost superlinearne

16 8 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati jednačine GEF ), pod dodatnim pretpostavkama za funkciju f. On je naime pokazao sledeći kriterijum: ) i I) Philos 08]: Ako je funkcija f takva da je F ) min inf x>0 f u) fu) du < f u) du fu) x x du fu) i, inf x<0 f u) fu) du < f u) du fu) x x du fu) > 0, tada je superlinearna jednačina GEF ) oscilatorna ako su zadovoljeni uslovi A 5 ) i A 6 ). Onose 04] je pokazao da su uslovi A 5 ) i A 6 ) dovoljni za oscilatornost superlinearne jednačine GEF ) i ako funkcija f zadovoljava uslov F ) postoji pozitivna konstanta k takva da je f x) k za svako x 0. Postoje funkcije koje zadovoljavaju uslov F ), a ne zadovoljavaju uslov F ), na primer funkcija fx) = x λ sgn x, λ >. Važi i obrnuto, da se na izvesne tipove jednačine GEF ) može primeniti teorema Onosea, ali ne i kriterijum I). Dakle, ova dva kriterijuma su med usobno nezavisna. Philos je uopštio ovaj rezultat Onosea pokazavši sledeći kriterijum: II) Philos 09]: Pretpostavimo da važi F ) i neka je ϱ pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija na intervalu, ), takva da je ϱ nenegativna i opadajuća funkcija na, ). Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako A 7 ) lim inf A 8 ) t ϱs)qs) >, s ϱτ)qτ) dτ = reba naglasiti da je uslov A 6 ) stroži od uslova A 7 ) za ϱt) na R +. Wong i Yeh su pokazali da ako funkcija f zadovoljava uslov F ) važe i sledeća dva kriterijuma: i III) Wong, Yeh 35]: Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važi F ), A 7 ) A 9 ) t β gde je ϱ pozitivna, konkavna funkcija. i 0 t s) β ϱs)qs) = za neko β, IV) Wong, Yeh 35]: Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važi F ), A 4 ) A 0 ) lim inf t 0 qs) >.

17 .3. Oscilatornost uopštene DJ jednačine Emden Fowlera 9 Premetimo da su prethodna dva kriterijuma jedan vid generalizacije teoreme Kameneva za linearnu jednačinu na jednačinu GEF ), ali se ne mogu primeniti na jednačinu EF ), jer funkcija fx) = x λ sgn x, λ > ne zadovoljava uslov F ). ek je 986. Wong rešio problem uopštenja teoreme Kameneva za linearnu jednačinu na jednačinu EF ) i pokazao u 28] da uslovi A 4 ) i A 6 ) povlače oscilatornost jednačine EF ) za svako γ > 0, odnosno da su ova dva uslova dovoljna za oscilatornost kako superlinearne tako i sublinearne jednačine EF ). U 3], Philos je dao uopštenje ovog kriterijuma na jednačinu GEF ). V) Philos 3]: Ako funkcija f zadovoljava ) i { f F 2 ) min inf f u) u) } f du, inf f x>0 x fu) u) u) du > 0 x<0 x fu) tada je superlinearna jednačina GEF ) oscilatorna ako važe uslovi A 6 ) i A ) t t n t s) n qs) = za neki prirodan broj n > 2. Kako je u 08] pokazano da uslov F 2 ) povlači F ), iz kriterijuma I) i V) sledi da je superlinearna jednačina GEF) oscilatorna ako su zadovoljeni uslovi F 2 ), A 6 ) i A 2 ) t t n t s) n qs) = za neki prirodan broj n 2. reba napomenuti da su uslovi F ) i F 2 ) zadovoljeni za funkciju fx) = x λ sgn x, λ >, što njihovu formulaciju čini sasvim prirodnom. U 2] Philos je dalje proširio i poboljšao kriterijume I) i V). VI) Philos 2]: Pretpostavimo da važi F ) i neka je ϱ pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija na intervalu, ), takva da je ϱ nenegativna i opadajuća funkcija na, ). Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važi A 7 ) i ) s A 3 ) ϱτ)qτ) dτ =. ϱs) ϱs) VII) Philos 2]: Pretpostavimo da važi F 2 ). Ako funkcija ϱ zadovoljava uslove prethodnog kriterijuma i t s ) dτ t 2 ϱs) <, ϱτ) superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važe uslovi A 7 ) i A 4 ) t t n t s) n ϱs)qs) = za neki prirodan broj n > 2. Wong je 989. u 32] pokazao da je superlinearna jednačina EF ) oscilatorna ako važi A 2 ) i A 5 ) lim t s qτ) dτ ne postoji u R.

18 0 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati Kako je uslov A 2 ) slabiji od A 6 ) i svaki od uslova A 5 ) i A ) povlači A 5 ), ovaj kriterijum uključuje dva prethodno spomenuta kriterijuma istog autora u 25, 28]. Philos i Purnaras su 992. u 7] proširili ovaj kriterijum na jednačinu GEF ): VIII) Philos i Purnaras 7]: Pretpostavimo da { F 3 ) min inf f du x) x>0 fu), inf f x) x<0 x x } du >. fu) Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važe uslovi A 5 ) i A 6 ) lim inf t n t s) n qs) > za neki prirodan broj n. Primetimo da uslov F 3 ) povlači F 2 ), kao i da je za superlinearnu jednačinu EF ) pretpostavka F 3 ) zadovoljena. Štaviše, uslov A 6) je zadovoljen ako važe A 6 ) ili A 2 ). Dakle, kriterijum VIII) uključuje kriterijume I) i V). Iz kriterijuma VIII) sledi da su uslovi A 5 ) i A 6 ) dovoljni za oscilatornost superlinearne jednačine GEF ). Ovaj kriterijum su 992. Philos i Purnaras poboljšali, pokazavši sledeći kriterijum: IX) Philos i Purnaras 6]: Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važe uslovi F 3 ), A 6 ) i t s ] 2 A 7 ) lim qτ) dτ =. t Zapravo, primenom Švarcove 3 nejednakosti nije teško zaključiti da A 5 ) A 7 ). Li i Yan 88] su 997. dali još jednu generalizaciju kriterijuma V), pokazavši da u uslovu A ) nije neophodno da n bude prirodan broj, dok su umesto uslova A 6 ) koristili slabiji uslov A 8 ) lim inf Konkretno, važi sledeći kriterijum: t t α t s) α qs) > za neko α. X) Li, Yan 88]: Superlinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važe uslovi F 3 ), A 4 ) i A 8 ) Oscilatornost sublinearne uopštene jednačine Emden Fowlera U sublinearnom slučaju jednačine EF ) Butler 6] je pokazao da se u Hartmanovoj teoremi uslov A 2 ) može zanemariti, odnosno da je uslov A 3 ) dovoljan za oscilatornost. Kamenev 6] je pokazao da se uslov A ) Wintnerove teoreme može oslabiti uslovom A 5 ), a Philos je 984. koristeći težinsko usrednjenje taj rezultat dalje uopštio na sublinearnu jednačinu GEF ). Zatim je u nekoliko svojih narednih radova pokazao i izvesna poboljšanja tog kriterijuma. Naime, on je u 07] definisao konstantu I f = min { inf x>0 f x)f x) + inf x>0 f x)f x), inf x<0 f x)f x) + inf x<0 f x)f x) 3 Schwarc H.A., nemački matematičar, }, 0 I f <,

19 .3. Oscilatornost uopštene DJ jednačine Emden Fowlera gde je F x) = x 0+ i pokazao sledeći kriterijum: du fu) za x > 0, F x) = x 0 du fu) za x < 0 XI) Philos 07]: Sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako postoji pozitivna, dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija ϱ na, ), takva da je ϱ 0, ϱ 0 na, ) i da zadovoljava uslov A 9 ) za β = I f. t s ϱ β τ)qτ) dτ =, Za sublinearnu jednačinu EF ) se lako zaključuje da je I f = λ, a odgovarajući kriterijum za tu jednačinu koji je uopštio Philos, pokazali su Kwong i Wong 76]. Uzimajuću u Philosovom kriterijumu ϱt) =, t ako je I f = 0 ili ϱt) = t γ/β, t, 0 γ I f ako je I f > 0, dobija se raniji rezultat Philosa u 05] za jednačinu GEF ), odnosno rezultat Kure u 67] za jednačinu EF ). Philos je zatim 99. poboljšao svoj rezultat iz 07], pokazavši sledeća dva kriterijuma: XII) Philos 5]: Sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako postoji pozitivna, dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija ϱ na, ), takva da je ϱ 0, ϱ 0 na, ) i da zadovoljava uslov A 20 ) t t n t s) n ϱ I f s)qs) = za neki prirodan broj n 2. XIII) Philos 5]: Neka je n 2 prirodan broj i ϱ pozitivna, dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija na, ) takva da za neku pozitivnu konstanu c zadovoljava uslov ϱ t)] 2 c ϱt)ϱ t) za svako t, Sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako postoji neprekidna funkcija ϕ na, ) takva da je ) ϕ 2 +s) s =, s, i A 2 ) t n t s) n ϱ I f s)qs) ϕ ) za svako. Za n = 2 iz uslova A 20 ) se dobija uslov A 9 ), odnosno kriterijum XI) je direktna posledica kriterijuma XII). akod e, iz kriterijuma XIII) za n = 2 dobija se rezultat istog autora - eorema. u 0]. U tom radu Philos je pokazao i sledeći kriterijum: XIV) Philos 0]: Neka je ϱ pozitivna, dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija na, ) takva da je ϱ > 0 i ϱ 0 na, )

20 2 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati i neka je ϕ neprekidna funkcija na, ) takva da je A 22 ) lim inf t n s ϱ I f τ)qτ) dτ ϕ ) za svako. ada je sublinearna jednačina GEF ) oscilatorna ako je A 23 ) ϱ s) ϱs) s ] ϕ 2 +s) s =. Wong i Yeh su 992. dali još jednu generalizaciju teoreme Kameneva o oscilatornosti linearne jednačine, pokazavši da u uslovu A 20 ) nije neophodno da n bude prirodan broj. Zapravo pokazan je sledeći kriterijum: XV) Wong, Yeh 36]: Sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako postoji α > i β 0, I f ] tako da je A 24 ) t t α t s) α ϱ β s)qs) =, gde je ϱ C 2, )) pozitivna, konkavna funkcija. Primetimo da, kako je Wong pokazao u 28] da uslovi A 4 ) i A 6 ) povlače oscilatornost jednačine EF ) za svako γ > 0, iz prethodnog kriterijuma se može zaključiti da je uslov A 6 ) u slučaju sublinearne jednačine suvišan. Wong je koristeći sublinearan uslov F 4 ) f x)f x) c > 0 za svako x 0 za funkciju f pokazao i sledeći kriterijum: XVI) Wong 34]: Sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako postoji pozitivna konkavna funkcija ϱ na, ) i qt) zadovoljava uslov A 2 ) A 25 ) +s) sϱ 2 ) s) s ϱ 2 s) =, gde je za svako s funkcija As) definisana sa As) = lim s s ϱ β τ)qτ) dτ dt, β = + c. Odgovarajući rezultat za jednačinu EF ) pokazali su Kwong i Wong 74]. Wong je 993. uopštio Hartmanovu teoremu na jednačinu GEF ) sa sublinearnim uslovom F 4 ) za funkciju f. XVII) Wong 38]: Uslovi F 4 ), A 2 ) i A 3 ) povlače oscilatornost sublinearne jednačine GEF ). Wong je u 33] pokazao da su uslovi A 2 ) i A 7 ) dovoljni za oscilatornost sublinearne jednačine EF ), tako da se prirodno nametnulo pitanje kada su ova dva uslova dovoljna za

21 .4. ežinsko usrednjenje i oscilatornost 3 oscilatornost sublinearne jednačine GEF ). Isti autor je par godina kasnije dao odgovor na to pitanje, pokazavši sledeće: XVIII) Wong 38]: Uslovi F 4 ), A 2 ) i A 7 ) povlače oscilatornost sublinearne jednačine GEF ). Kako uslov A 5 ) povlači uslov A 7 ), zaključujemo da su uslovi F 4 ), A 5 ) i A 2 ) dovoljni za oscilatornost jednačine GEF ). Štaviše iz dokaza Wongove teoreme u 38] može se zaključiti da rezultat važi i pod slabijom pretpostavkom t s qτ) dτ >, umesto A 2 ). Zato su Philos i Purnaras umesto pretpostavke A 2 ) koristili slabiji uslov A 26 ) t t n t s) n qs) > za neki prirodan broj n 2 i pokazali da važi sledeći kriterijum oscilatornosti: XIX) Philos i Purnaras 6]: Ako funkcija f zadovoljava uslov { x F 5 ) min inf f du x } x) x>0 0+ fu), inf f du x) > 0, x<0 0 fu) sublinearna jednačina GEF ) je oscilatorna ako važe uslovi A 7 ) i A 26 )..4. ežinsko usrednjenje i oscilatornost Poslednjih dvadesetak godina, od posebnog interesa je utvrd ivanje kriterijuma oscilatornosti linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju težinsko usrednjenje koeficijenata tih jednačina i koji su motivisani kriterijumom Kameneva za linearnu diferencijalnu jednačinu, da je uslov t β dovoljan za oscilatornost jednačine 0 t s) β qs) = za neko β > L) x t) + qt)xt) = 0, t. Med u kriterijumima oscilatornosti uopštene diferencijalne jednačine Emden Fowlera navedenim u prethodnom poglavlju, uslovi koji uključuju težinsko usrednjenje koeficijenta qt) su na primer uslovi A 4 ), A 5 ), A 8 ), A 9 ), A 2 ), A 4 ), A 9 ), A 20 ), A 24 ). Može se primetiti da je kao težinska funkcija najčešće korišćena pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija ϱ takva da je ϱ nenegativna i opadajuća funkcija i funkcija t s) β za β prirodan ili realan broj veći od jedinice ili proizvod ovih funkcija. Na primer svaka od sledećih funkcija ϱ zadovoljava navedene uslove: i) ϱt) = t β, t za β 0, ]; ii) ϱt) = log β t, t za β > 0, gde je > max{, e β }; { iii) ϱt) = t β log t, t za β 0, ), gde je > max, exp β ) } ; β

22 4 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati iv) ϱt) = t/ log t, t, gde je e 2 ; v) ϱt) = t 5 + sinlog t)], t. Nameće se pitanje da li se kao težinska funkcija može koristiti funkcija iz šire familije funkcija. Philos je 989. prvi put koristeći familiju parametarskih funkcija Ht, s) u metodi integralnog usrednjenja, pokazao sledeća tri kriterijuma za oscilatornost linearne diferencijalne jednačine: eorema.4.. Philos ] ) Neka je neprekidna funkcija koja zadovoljava uslov H : D = { t, s) t s } R, H ) Ht, t) = 0 za t, Ht, s) > 0 za t > s, i ima neprekidan i nepozitivan parcijalni izvod po promenljivoj s na D. Ako je χ : D R neprekidna funkcija odred ena sa 4.4) tada je jednačina L) oscilatorna ako H s t, s) = χt, s) Ht, s), za svako t, s) D, Ht, ) Ht, s)qs) ] 4 χ2 t, s) =. eorema.4.2. Philos ] ) Neka su funkcije H i χ odred ene kao u eoremi.4.., uz dodatne pretpostavke ] Ht, s) H 2 ) 0 < inf lim inf, s Ht, ) i t χ 2 t, s) <. Ht, ) ada je jednačina L) oscilatorna ako postoji neprekidna funkcija ϕ na, ) takva da je 4.5) i Ht, ) ϕ 2 +s) = Ht, s)qs) ] 4 χ2 t, s) ϕ ), za svako. eorema.4.3. Philos ] ) Neka su funkcije H i χ odred ene kao u eoremi.4.. i pretpostavimo da važi H 2 ). ada je jednačina L) oscilatorna ako lim inf Ht, ) Ht, s)qs) <. i postoji neprekidna funkcija ϕ na, ) koja zadovoljava uslove 4.5) i lim inf Ht, ) Ht, s)qs) ] 4 χ2 t, s) ϕ ), za svako.

23 .4. ežinsko usrednjenje i oscilatornost 5 Koristeći generalizovanu Rikatijevu 4 transformaciju linearne diferencijalne jednačine, Li 79] je dao proširenja ovih Philosovih kriterijuma na linearnu jednačinu oblika pt)x t)] + qt)xt) = 0. Pored Philosa još su samo tri autora koristila klasu parametarskih funkcija Ht, s) kao težinskih funkcija u metodi usrednjenja. o su Li i Yeh 997. u ispitivanju oscilatornosti nelinearne jednačine oblika E) at)ψxt))x t) ] + qt)fxt)) = 0, t t0 0, gde je a C, ); 0, )), q C, ); R), ψ, f C R; R), xfx) > 0 i ψx) > 0 za x 0 i Grace 992. u ispitivanju oscilatornosti odgovarajuće jednačine sa prigušenjem E p ) at)ψxt))x t) ] + pt)x t) + qt)fxt)) = 0, t 0, gde je p C, ); R). Kriterijume oscilatornosti Grace navešćemo na kraju ovog poglavlja, dok ćemo zbog konciznosti izlaganja rezultat Lia i Yeha izložiti u Poglavlju 3.. Osnovni cilj ove teze biće obogaćenje tih sadržaja kriterijumima oscilatornosti koji podrazumevaju upravo težinsko usrednjenje koeficijenata posmatranih nelinearnih diferencijalnih jednačina, klasom parametarskih funkcija. Zato ćemo ovde najpre definisati klase parametarskih funkcija sa odred enim svojstvima, koje će biti korišćene u daljem radu. Definicija.4.. Za funkciju H : D = { t, s) t s } R, koja je neprekidna i ima neprekidan parcijalni izvod po promenljivoj s i zadovoljava uslov H ), kažemo da ima svojstvo i) H + ako je Ht, s) H 3 ) ht, s) = 0, za t, s) D, s ii) H ako ima svojstvo H + i zadovoljava uslov H 2 ); iii) H ako zadovoljava uslove H 4 ) Ht, t) s = 0 za t, Ht, s) s 0 za t, s) D, H 5 ) 2 Ht, s) s 2 0 za t, s) D, H 6 ) lim inf Ht,s) s Ht, s) > za s ; iv) H u odnosu na funkciju a C, ); 0, )), u oznaci H a, ako zadovoljava uslove H 4 ), H 6 ) i H 7 ) as) H ) s s t, s) 0 za t, s) D; 4 J.F. Riccati, italijanski matematičar,

24 6 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati v) Ĥ ako ima svojstvo H i zadovoljava uslov H 6 ); vi) H ako ima svojstvo H i zadovoljava uslov H 2 ); vii) H u odnosu na funkciju a C, ); 0, )), u oznaci H a ako ima svojstvo H a i zadovoljava uslov H 2 ). Za označavanje ovako definisanih klasa parametarskih funkcija H : D R koristićemo oznake uvedene uz pomoć abele. U trećoj koloni tabele naznačeni su i uslovi koje neprekidna funkcija H i sa neprekidnim parcijalnim izvodom po promenljivoj s mora da zadovoljava da bi pripadala konkretnoj klasi. oznaka klasa parametarskih funkcija uslovi koje zadovoljavaju H : D R sa svojstvom funkcije date klase H + D) H + H ), H 3 ) HD) H H ), H 2 ), H 3 ) H D) H H ), H 4 ), H 5 ), H 6 ) HaD) H a H ), H 4 ), H 6 ), H 7 ) ĤD) Ĥ H ), H 2 ), H 3 ), H 6 ) H D) H H ), H 2 ), H 4 ), H 5 ), H 6 ) HaD) H a H ), H 2 ), H 4 ), H 6 ), H 7 ) abela. Primetimo da važe sledeće inkluzije med u definisanim klasama funkcija: H + D) HD) ĤD) H D), H + D) H ad) H ad). H + D) H D) H D), Kako funkcija Ht, s) = t s) β, β > ima svojstva H +, H, H, H, Ĥ, ovako definisane klase funkcija su prirodno uopštenje do sada korišćene klase težinskih funkcija. Navešćemo u naredna tri primera funkcije koje imaju neka od definisanih svojstava. Primer.4.. Neka je θt) pozitivna neprekidna funkcija na, ) takva da je 4.6) du θu) =, i γ > proizvoljna konstanta. ada možemo definisati funkciju Ht, s) sa ) γ du Ht, s) = za t s. θu) s

25 .4. ežinsko usrednjenje i oscilatornost 7 Jasno, Ht, t) = 0 za t, Ht, s) > 0 za t > s H γ t ) γ du t, s) = < 0, za t s, s θs) s θu) 2 H γγ ) t ) γ 2 du t, s) = s2 θ 2 > 0 za t s, s) s θu) Ht,s) s γ t ) du lim inf = >. Ht, s) θs) θu) Dakle, ovako definisana funkcija H ima svojstvo H. Od posebnog interesa je funkcija θt) = t β, β. ada je t β s β] γ β) γ, β < Ht, s) = log s) t γ, β =. Ako za funkciju a C, ); 0, )) izaberemo pozitivnu funkciju θ C, )) tako da pored 4.6) zadovoljava i uslov ) ] a t)θt) at) θ du t) + γ ) 0, θu) onda funkcija H zadovoljava i uslov H 7 ), odnosno H H ad). Primer.4.2. Neka je At) pozitivna diferencijabilna funkcija takva da je A t) = at), za datu funkciju a C, ); 0, )). ada, funkciju Ht, s) možemo definisati sa ili sa Ht, s) = At) As)] γ, za t s, γ > Ht, s) = log At) ) γ, za t s, γ >. As) U oba slučaja uslov H ) je očigledno zadovoljen. U prvom slučaju je i H γ t, s) = s as) At) As)]γ 0, as) H ) s s t, s) γγ ) = At) As)] γ 2 0, as) lim inf Ht,s) s Ht, s) = γ as) s s At) As) >. Dakle, H HaD). U drugom slučaju je H γ t, s) = log At) ) γ 0, s as)as) As) as) H ) s s t, s) γ = as)a 2 log At) ) γ 2 γ + log At) ) 0, s) As) As) Ht,s) s lim inf Ht, s) = γ log At) ) >, as)as) As).

26 8 Glava. Uvodni pojmovi i rezultati odnosno i ovako definisana funkcija H ima svojstvo H a u odnosu na zadatu funkciju a C, ); 0, )). Primer.4.3. Neka je data funkcija a C, ); 0, )). Ako označimo sa A t) = t as) <, t, uzevši u obzir da je A opadajuća funkcija, može se pokazati da funkcija Ht, s) definisana sa Ht, s) = ln A ) γ s) A s), za t s, γ >, A t) ili Ht, s) = ima svojstvo H a. A t) ) γ A 2 A s) s), za t s, γ >, Sada navedimo spomenute kriterijume oscilatornosti Grace za jednačinu E) i E p ). Pretpostavlja se pre svega da su funkcije f i ψ takve da je i da je pt) 0, t. f x) ψx) k > 0 za x 0 eorema.4.4. Grace 4]). Pretpostavimo da je funkcija f superlinearna i da postoji diferencijabilna funkcija ϱ :, ) 0, ) takva da je pt)ϱt) ) 0 za t t0 4.7) i funkcija H H + D), pri čemu je χ neprekidna funkcija odred ena sa 4.4). Ako je Ht, ) tada je jednačina E p ) oscilatorna. Ht, s)ϱs)qs) as)ϱs) 4k χt, s) ϱ s) ϱs) Ht, s) ] =, Bez pretpostavke o superlinearnosti funkcije f i uslova 4.7) teorema važi i za jednačinu E). eorema.4.5. Grace 4]). Neka su funkcije f i f/ψ superlinearne, funkcije H i χ definisane kao u eoremi.4.4. i ϱ C, )) pozitivna funkcija koja zadovoljava uslove 4.4), 4.7) i 4.8) ϱ t) 0 i at)ϱ t)) 0 za t. Jednačina E p ) je oscilatorna ako važi Ht, Ht, s)ϱs)qs) as)ϱs) ] χ 2 t, s) =. 4k Naredna tri teoreme su kriterijumi oscilatornosti jednačine E).

27 .4. ežinsko usrednjenje i oscilatornost 9 eorema.4.6. Grace 4]). Neka je H HD), χ funkcija definisana kao u eoremi.4.4. i ϱ C, )) pozitivna funkcija, pri čemu važi t as)ϱs) Ht, ) χt, s) ϱ s) ϱs) Ako postoji neprekidna funkcija Ω na, ) takva da je 4.9) i 4.0) Ht, ) χt, s) ϱ s) ϱs) Ht, s)ϱs)qs) as)ϱs) 4k Ht, s) <. Ht, s) ] Ω ) za svako, Ω 2 +s) =, as)ϱs) gde je Ω + t) = max{ωt), 0}, tada je jednačina E) oscilatorna. eorema.4.7. Grace 4]). Neka su funkcije H, χ i ϱ definisane kao u eoremi.4.6., pri čemu važi i t lim inf Ht, s)ϱs)qs) <. Ht, ) Ako postoji neprekidna funkcija Ω na, ) takva da je 4.0) i lim inf Ht, ) Ht, s)ϱs)qs) as)ϱs) 4k χt, s) ϱ s) ϱs) tada je jednačina E) oscilatorna. Ht, s) ] Ω ) za svako, eorema.4.8. Grace 4]). Neka je funkcija fx)/ψx) superlinearna, funkcije H i χ definisane kao u eoremi.4.6. i ϱ C, )) pozitivna funkcija koja zadovoljava uslov 4.8), pri čemu važi i lim inf ϱs)qs) > i =. as)ϱs) Jednačina E) je oscilatorna ako postoji neprekidna funkcija Ω na, ) takva da je 4.9) i 4.0).

28 Glava 2 Oscilatornost polulinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda U ovoj glavi biće dokazani kriterijumi oscilatornosti za nelinearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda oblika at) x t) α x t) ] + qt) xt) α xt) = 0, α > 0 i at)ψxt)) x t) α x t) ] + qt)fxt)) = 0, α > 0. Prva jednačina je poznata u literaturi kao polulinearna diferencijalna jednačina, a drugu ćemo nazvati uopštena polulinearna diferencijalna jednačina. Dobro je poznato da polulinearna diferencijalna jednačina i linearna diferencijalna jednačina oblika ) x t) + qt)xt) = 0 ili pt)x t)) + qt)xt) = 0 imaju veliki broj sličnih svojstava koja opisuju karakter oscilatornosti rešenja. Na primer, Elbert 2], Li i Yeh 82] su Šturmovu teoremu upored enja i Šturmovu teoremu o radvajanju nula za linearnu diferencijalnu jednačinu na prirodan način uopštili na polulinearnu jednačinu. ako, nule dva linearno nezavisna rešenja polulinearne jednačine med usobno se razdvajaju i svako netrivijalno rešenje polulinearne jednačine je ili oscilatorno ili neoscilatorno. Pored toga, Li i Yeh 82] su uopštili i nejednakost tipa Ljapunova, koja je potreban uslov da rešenje ima bar dve različite nule, i iz koje se dobija ocena broja nula rešenja na posmatranom segmentu realne prave. Hong, Lian i Yeh 54] su takod e pokazali da ako q ima veliki negativni deo ili je q oscilatorna funkcija, tada rastojanje izmed u uzastopnih nula polulinearne jednačine ima tendenciju rasta, a što je veća amplituda oscilovanja za q to je manja amplituda oscilovanja rešenja polulinearne jednačine. U teoriji oscilatornosti diferencijalnih jednačina je takod e dobro poznato da je svojstvo neoscilatornosti usko povezano sa egzistencijom rešenja Rikatijeve diferencijalne jednačine prvog reda. Naime, linearna diferencijalna jednačina ) je neoscilatorna ako i samo ako postoji 0 i neprekidno-diferencijabilna funkcija r :, ) R takva da je r t) + r 2 t) + qt) 0, t. 2