Modern Topics in Solid-State Theory: Topological insulators and superconductors

Transcription

1 Mor Topc ol-a Thor: Topolocal ulaor uprcoucor ra P. chr Ma-Plac-Iu für örprforchu, uar Uvrä uar Jauar 6

2 Topolocal ulaor uprcoucor. Topolocal b hor - Wha opolo? - H mol polacl) - hr ulaor IQH. Topolocal ulaor w/ m-rvral mmr - Quaum p Hall a - vara D & 3D 3. Topolocal uprcoucor - Topolocal uprcoucor D & D - Topolocal uprcoucor w/ TR 4. lafcao chm opolocal m-mal - Tfol clafcao of TI - Topolocal m-mal oal uprcoucor

3 Boo rvw arcl Rvw arcl: -. Haa.L. Ka, Rv. Mo. Ph. 8, 345 ) - X.L. Q.. ha, Rv. Mo. Ph. 83, 57 ) -. Ru,. P. chr,. urua,. Luw, Nw J. Ph., 65 ) -.-K. hu, J.. Y. To,. P. chr,. Ru, arxv: Bar, ual Rvw of o. Ma. Ph. 4, 3 - J. lca, Rp. Pro. Ph. 75, 765 ) - Y. o, J. Ph. oc. Jp. 8, -. P. chr, P. R. Bro, J. Ph.: M 7, 43 5) - Y. o L. u, arxv: W, arxv: Boo: - hu-q h, Topolocal ulaor, prr r ol-a cc, Volum 74 ) - B. r Brv, "Topolocal Iulaor Topolocal uprcoucor, Prco Uvr Pr - Mo Naahara, "Gomr, Topolo Phc", Talor & rac -. Bohm,. Moafaah, H. Koum, Q. Nu, J. war, Th omrc pha quaum m, prr - ra L. Molamp, Topolocal Iulaor, omporar ocp of o Mar cc, lvr

4 Lcur O: Topolocal b hor. Irouco - Wha opolo? - Bloch horm - Topolocal b hor. Topolocal ulaor D - Brr pha - mpl ampl: Two-lvl m - Polacl u-chrffr-hr mol) - Doma wall a 3. hr ulaor IQH - Ir quaum Hall ffc - hr ulaor o quar lac - Topolocal vara

5 Wha opolo? Wha opolo? Th u of omrc propr ha ar v o mooh formao or ampl, cor wo-moal urfac hr-moal pac lo urfac ar characr b hr u # hol, Topolocal quvalc: Two urfac ar quval f h ca b cououl form o o aohr whou cu a hol. opolocal quvalc cla uh b u opolocal vara) Gau-Bo Thorm Gu ca b pr rm of a ral of h Gau curvaur ovr h urfac κ 4π ) opolocal vara

6 B hor of ol opolo Bloch horm: cor lcro wavfuco proc cral poal cral momum lcro wavfuco cral ψ r ) Bloch wavfuco ha proc of poal Bloch Hamloa H) r H r H) ) ) ) Brllou o B rucur f a mapp: Brllou o Topolocal quvalc: H) Hamloa wh r ap B rucur ar quval f h ca b cououl form o o aohr whou clo h r ap r Momum ap

7 Topolocal b hor or b rucur wh a ap: H) ) ) ) b ulaor: bw couco valc b uprcoucor: b rucur of Boolubov quaparcl Topolocal quvalc: Two b rucur ar quval f h ca b cououl form o o aohr whou clo h r ap whou bra h mmr of h b rucur. r cral momum ap. mmr o cor: parcl-hol mmr, m-rvral mmr rflco mmr, roao mmr, c.. op. quvalc cla uh b: opolocal vara.. hr o): fll a Brr curvaur

8 Topolocal b hor or b rucur wh a ap: H) ) ) ) b ulaor: bw couco valc b uprcoucor: b rucur of Boolubov quaparcl Topolocal quvalc: Two b rucur ar quval f h ca b cououl form o o aohr whou clo h r ap whou bra h mmr of h b rucur. r cral momum ap. mmr o cor: parcl-hol mmr, m-rvral mmr rflco mmr, roao mmr, c.. op. quvalc cla uh b: opolocal vara.. hr o): Bul-bouar corrpoc: # apl a or urfac a) fll a Brr curvaur

9 r, o rprph Mu hor r, u rc B opolo φ o rprph Murl o o rprph Murl o u ) ) h r, r, r, Murlo u o rprph φ ) Brr pha: U ) o rprph Murlo u κ πχ π ).)o u φ h Pha ambu of wavfuco ) ) o rprph Murl o u h o rprph Murl r, r, M j q h / U fbr bul: o ach aach fbr ) U U Bloch ) horm r, r, 4).6).6) h r r, f Brr coco: l M vcor poal) h [T R), H] ψ ) 5/6 h " j j j / q / / q / ) q / o rprph o u u Murl.) / 5) mpl ampl r r φ φ H) ) H U ) ) ) ) ur au raformao: o u ) Murl U o rprph ) h o rprph Murl ) h.3).6) ) φφ 6) ) φ ).6).6) j ) H) om mor ) ) / q / Brr pha: au vara qua) horm j Bloch mloa for a B uprcoucor a o-crommrc cral. j ) ) ) 4) r, / q / r, / q / Brr curvaur or wcha hav Murlo u pha )o ) r loop o rprph a clo T R), H] ψ ) ) r Ih [T R), H], P3 B om m. h follow {, } o h Paul ψ marc ), ) om mor mor q H) p) rampl Brllou Bloch horm µ ) ) o h µ ) mpl Brr curvaur or: au mpl ampl µ R), H] ψ ) 7) µ µ h r ) {τ, τmajoraa Paul marc h parcl-hol ra. W r r, τ } o h [T R), H] ψ ) 5), q) Tr G H) r, H 4) r r Brr curvaur Murl o: H Murl o rprph 8) o u ) or 3D: µ µ o rprph H) ) o u j 4) Hamloa 5) q, )3} 6) ) ) q, ), j {,, ral vara uprcoucor wh h r, ) ψ ) r ψ r ) r j ) ) H) 7), "j H q Topolocal, )vara,r, j {,, 3} 5) ) H) H 9) Brr curvaur H) ) ) ) 6) ) of b rucur:, ) j, r, q)v {,,G 3} ) H) ) ), q) Tr, ψ ψ ), q) Tr G, G, ) om mor " 8) $ ψ ) h) 4) ) ) ) ), ) ) ) ) Topolocal propr of ula maral om mor hr umbr H) Tr G, q)v G, ) 6) 4) 9).4), H) H) ), j hr umbr hav ). ) h : w q q ) v b : T π, j ) T hr umbr or w umbr) fll a ) ) ψ ) h H) ) ) ) φ, {,, 3} π Brllou o 7) or ) fll w hav a {,,3} ),q {, ) q,3} 7)

10 o rprph /) Murl r, o u u 5) r, co/) Brr pha for wo-b mol o rprph o u µ Murl µ 6) h o rprph Murl o 5/6mpl ampl 4) u co/) 7) /) ) o rprph II Two-lvl Hamloa: H) ) r, T /) u r, 5) o rprph Murl o u o rprph co/) ) M o rprph Murlo u ) co,, co ) 8) param. b phrcal coor.: rph Murl o u Brr 6) curvaur or µ µr, co/) u wh r orh pol au) ) wo vcor 7) 4) 9) r, H) ) σ /) ˆ ) ) ) r, r, µ µ µ) U ) 5) " co/) /) o u o rprph Murl u u 6).6) Brr curvaur co/) /) Murl π) 8) Brro u vcor poal ) co,, co al wp j φol 4) ol al w /) / q /, ) ) ) ) ol al ˆ wp ou b ) o rprph au Murl o u u Brr vcor poal: p) H), or j u u ) Brr curvaur 9) co/) 5), j ) H) φ ˆ o rprph H) ) σ U ) ) Murl o u " h ph Murl o u u u /) u u µ ) ) ) 7) πo µ ) o rprph Murl.6) # o u µ o rprph Murl π u /) ) Brr u ) curvaur: au p) φ j Brr curvaur ) ) / q / ) co,, co ) 6) ) r, " ) ) r, ) h φ, Brr vcor poal ) If p ) Jacoba mar o : r, paramr ) Uj ) 8), 7), j ) # mpl co/) mor om.6) u u ampl ) co, mpl ampl: ) ) u ) 9) ) /) j u u /) / q / ˆ co/) " ol al wp ou b ) u H) 4) ) ) moopol fl) ˆ /) Bloch horm ) ) al ol al wp ou b ) /) ) σ j H) u u q, ) σ, j ˆ{,,"3} co/) 8) Brr vcor poal H) ) r )

11 Polacl u-chrffr-hr mol) u-chrffr-hr mol crb polacl [ H ] [u, chrffr, Hr 79] Hamloa: H X h )c c B )c c B h.c. Gap phoo la o Prl abl wo ra rou a: momum pac: ) ), B,, f a h) H) ) h ) ) co ) ) ) r Momum ublac mmr: H)H) r pcrum mmrc) r pcrum: p ) [ ) ] co

12 r, mol for polacal mpl wo b mol chrffr Hr Mol Polaclu u-chrffr-hr mol) mpl ampl ] N Tr [ ) ) Gap u-chrffr-hr o rprph Murl o u ) ).. H π mol c c c c h c B polacl o rprph B H ] [ crb o rprph M Murl o rprph Murl o u o u ral mmr: 5/6 achl: UT H )UT Gap 4 r, r,, a, r, H ), UT σ hol mmr: T σ B, w hav homoop h) majoraa H) ) U H )U h H ), U σ ) H ) ) r /a w hav µ µ majoraa ) ) > ) ) co a /a Prl abl νmomum # 4) > : Brr pha ψψ ψ ψ > " : P ν > ψ ψ for ψ ) whch ) h H) Brr pha Off-aoal form ) )co ) [ H ] ) $ % ) ) ) a ε ) ) or Brr curvaur 5) : U) ψ ) ψ q) H ) π [U)] 3 < : Brr pha ε ) ψ ψ W o: µ ) TrBG q µ ) Lac P< / : µ ) 4) Brr pha h) ε σ α σ h) Brr curvaur Prov mmr rqur ), h a wh > < ar opolocall c. q) q) : π ) 6) q) : h µmmr, )Whou µ ) opolocall { σ,5) δ σ)σ {, j } } ra all D b rucur ar quval. j j, ) ma fl,j 6) fl ma %, j ) " $ L /, Prov ) rqur mmr) a # # b ublac 7) µ µ ) )?wh 5.4 > < har opolocall I H ρ, ) λ c, π µ 8),,

13 Doma Wall a Polacl Doma wall bw ffr opolocal a ha opolocall proc ro-r mo ro-r a a oma wall [u, chrffr, Hr 79] [Jacw, Rbb] ffcv low-r couum hor: p arou ) m) m) Drac Hamloa wh a ma: q) p q m ublac mmr chral mmr ): {,H} or oma wall: m> ro-r a a oma wall m< a for boua: H ) R m ) Bul-bouar corrpoc: R L #romo opolocal vara characr oma wall)