Gaussove kvadraturne formule za numeričku integraciju

Transcription

1 Sveučilište J. J. Strossmyer u Osijeku Odjel z mtemtiku Sveučilišni preddiplomski studij mtemtike Dnijel Jgnjc Gussove kvdrturne formule z numeričku integrciju Zvršni rd Osijek, 2017.

2 Sveučilište J. J. Strossmyer u Osijeku Odjel z mtemtiku Sveučilišni preddiplomski studij mtemtike Dnijel Jgnjc Gussove kvdrturne formule z numeričku integrciju Zvršni rd Voditelj: prof. dr. sc. Kristin Sbo Osijek, 2017.

3 Sdržj Uvod 1 1. Numeričke metode Trpezn formul Produljen trpezn formul Newton-Cotesove formule Simpsonov formul Generlizirn Simpsonov formul Ocjen pogreške kvdrturnih formul Gussove kvdrturne formule Opći oblik kvdrturne formule Guss-Legendreov formul Ocjen pogreške Gussove kvdrturne formule Usporedb metod 15 Litertur 17

4 Sžetk: Tem ovog zvršnog rd je numeričk integrcij. U rdu su ukrtko pojšnjene trpezn formul, Newton-Cotesove formule i Simpsonov formul te su dne njihove ocjene pogreški. Glvni dio rd je usmjeren n Gussove kvdrturne formule. Objsnit cemo ideju kojojm su nstle i izvesti njihov opci oblik. Detljnije ce biti pojšnjen Guss-Legendreov metod z koju ćemo, koristeći teoriju Penove jezgre, dti ocjenu pogreške. N krju cemo pomocu nekoliko konkretnih primjer usporediti sve nvedene metode. Ključne riječi: Numerič integrcij, Gussove kvdrturne formule, Guss-Legendreove kvdrturne formule, Penov jezgr, ocjen pogreške Abstrct: Subject of this finl pper is numericl integrtion. In order to introduce methods for numericl integrtion, we will briefly describe trpezoidl rule, Newton-Cotes formuls nd Simpson s rule, lso we will stte error bound for ech method. Min focus of the pper will be Gussin qudrture. We will explin the key ide underlying this method nd derive generl form of it. Guss-Legendre qudrture will be explined in more detil. Applying Peno kernel theory we will obtin error bounds for this method. To sum up, there will be given few exmples to compre how ech methods works. Key words: Numericl integrtion, Gussin qudrtures, Guss-Legendre qudrture, Peno kernel, error estimtes i

5 Uvod Ako je funkcij f : I R neprekidn i F : I R bilo koj primitivn funkcij funkcije f n I, ond z svki segment [, b] I vrijedi f(x)dx = F (b) F (). Nveden formul se nziv Newton- Leibnizov formul i koristi se z rčunnje Reimnovog integrl funkcije f n segmentu [, b]. U prksi se pokzlo d primjen Newton-Leibnizove formule vrlo često nije moguć. Rzlog tome je što se z veliki broj funkcij ne može odrediti primitivn funkcij n elementrn nčin ili ju je vrlo teško pronći. Ndlje, često se u primjeni funkcij f zdje u obliku tbličnih podtk ili ko rješenje diferencijlne jedndžbe. Kko bismo izrčunli integrle tkvih funkcij, dolzi do potrebe z uvodenjem numeričkih metod pomoću kojih proksimirmo vrijednosti tih integrl. U nstvku nvodimo primjere nekoliko funkcij čije integrle možemo izrčunti isključivo primjenom numeričkih metod. Primjer 0.1. U teoriji vjerojtnosti se vrlo često pojvljuju integrli koji se ne dju rješiti eksplicitno nego je potrebno koristiti neke numeričke metode. Jedn od tkvih primjer je funkcij distribucije stndrdne normlne distribucije koj se rčun ko: F (x) = 1 2π x e t2 2 dt, x R Primjer 0.2. Fresnelovi integrli, koji se oznčvju ko funkcije S(x) i C(x), primjen im je u fizici: S(x) = C(x) = x 0 x 0 sin t 2 dt cos t 2 dt Dkle, kd vrijednost integrl ne možemo egzktno izrčunti stndrdnim postupcim, koristimo numeričke metode. 1

6 1. Numeričke metode Temeljn idej svih metod je izrčunti proksimciju integrl f(x)dx koristeći vrijednosti funkcije u točkm x i, gdje je x i [, b] z i = 0, 1,..., n. Jedn od očiglednih nčin rješvnj dnog problem je proksimirnje funkcije f s nekom jednostvnom funkcijom koj se lko integrir, njčešće interpolcijskim polinomom. Oznk z prokscimciju integrl, u ovom rdu, će biti I, općenito ju možemo zpisti ko I = w i f(x i ). Tkv zpis se nziv numeričk kvdrturn formul ili numeričk integrcijsk formul. Sljedeći bitn pojm koji se pojvljuje je pogrešk proksimcije. Oznčvti ćemo ju s E = I I. Z svku metodu će biti definirn ocjen pogreške. U ovom poglvlju će ukrtko biti objšnjeno trpezno prvilo i Newton-Coteseove formule, kko bismo ih ndlje u rdu mogli usporedivti s Gussovim kvdrturnim formulm. 1.1 Trpezn formul Nek je zdn funkcij f : [, b] R. Funkciju f ćemo zmjeniti interpolcijskim polinomom prvog stupnj p 1. Čvorovi interpolcije su krjnje točke segment x 0 =, x 1 = b. Ako točke (, f(x)) i (b, f(b)) uvrstimo u jedndžbu prvc, dobijemo sljedeće: Td je točn vrijednost integrl p 1 (x) = f() + f(b) f() (x ). b proksimcij I* = I = p 1 (x)dx = f(x)dx, (f(b) f())(b ). 2 2

7 f(b) g f() b Slik 1: Trpezno prvilo Geometrijski promtrno, vrijednost integrl I* je površin trpez ispod prvc, vrijednost integrl I je površin ispod grf funkcije f, rzlik izmedu te dvije površine je pogrešk metode. Kko bismo ocijenili pogrešku, bit će nm potrebn sljedeći teorem. Teorem 1.1 ([6]). Nek je zdn funkcij f C (n+1) ([, b]), rzdiob segment = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b i nek z svki i = 0, 1,..., n vrijedi y i = f(x i ). Nek je P n : [, b] R odgovrjući interpolcijski polinom tkv d P n (x i ) = y i z svki i = 0, 1,..., n. Ond z svki x [, b] postoji c <, b > tkv d je gdje je w(x) = (x x 0 )(x x 1 )...(x x n ). Dokz. Ako je x = x i, z neki i, ond slijedi f(x) P n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! w(x), f(x) p n (x) = f(x i ) p n (x i ) = y i y i = 0. Time smo dokzli ovj slučj. Ndlje, pretpostvimo d je x x i z svki i = 0, 1,..., n. Definirjmo funkciju g(x) = f(x) p n (x) kw(x), gdje ćemo konstntu k odrediti tko d je g(x) = 0. Uočimo kko je z svki i = 0, 1,..., n vrijedi g(x i ) = 0. Dkle funkcij g im n + 2 nultočke, prem Rolleovom teoremu g im brem n + 1 nultočku, g brem n nultočki, itd. N krju dodemo do (n + 1)-te derivcije funkcije g, koj im brem jednu nultočku, tj. brem jednu točku c <, b > tko d je g n+1 (c) = 0. Kd to uvrstimo u početnu definiciju funkcije g, dobijemo g n+1 (c) = f n+1 (c) P n+1 n (c) (kw(c)) n+1 = 0. 3

8 Derivirjući n + 1 put, polinom P n isčezv, od polinom w ostje konstnt. Tko d immo f n+1 (c) kw n+1 (c) = 0, odnosno k = f n+1 (c) (n + 1)!. Odredili smo konstntu k tko d vrijedi početn jednkost f(x) P n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! w(x). N osnovu Teorem 1.1 možemo dti ocjenu pogreške z trpeznu formulu. Teorem 1.2 ([6]). Nek je f C 2 ([, b]), td postoji c [, b] tkv d je I = f(x)dx = (b )3 f (c). 12 Dokz. Prem Teoremu 1.1 postoji c [, b] tko d je E = I I = = Integrirnjem i sredivnjem izrz dobijemo: Z ocjenu pogreške možemo uzeti f(x) p 1 (x)dx f (c) (x )(x b)dx. 2 E = I I = f (c) 12 (b )3. I I mx f (b )3 (x) x [,b] 12 (b ) 3 = M Produljen trpezn formul Nek su pretpostvke iste ko dosd, dkle, immo funkciju f definirnu n segmentu [, b]. Umjesto d funkciju proksimirmo jednim prvcem kroz krjnje točke segment, podjelimo tj segment n n dijelov i tj postupk ponovimo n svkom podsegmentu. N tj nčin ćemo dobiti produljenu trpeznu formulu. Nek je podjel ekvidistntn, s h oznčimo duljinu podsegment. Promtrmo proizvoljni segment [x i, x i ]. I i = xi h = b n. x i (y i + y i y i x i x i )(x x i )dx = h 2 (y i + y i ). 4

9 Končn proksimcij funkcij je sum svih I i I = h 2 (y 0 + y 1 ) + h 2 (y 1 + y 2 ) (y n + y n ) = h 2 (y 0 + 2y y n + y n ). Anlogno nvedenome, vrijedi d je ukupn pogrešk jednk zbroju pogrešk n svkom podintervlu, stog je 1.2 Newton-Cotesove formule E = h2 12 (b )f (c). Z ovu metodu potrebno je nprviti ekvidistntnu podjelu segment [, b] = x 0 < x 1 <... < x n = b tko d je duljin svkog dijel h = b n. Dkle, z svki i = 0,...n, vrijedi x i = + ih. Zdnu funkciju f : [, b] R interpolirti ćemo u točkm (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n )). Koristit ćemo Lgrngeov oblik interpolcijskog polinom. L n (x) = f(x i )p i (x), i=0 gdje je Td vrijedi p k (x) = n i=0,i k x x i x k x i I = = = i=0 p n (x)dx f(x i )p i (x)dx i=0 = (b ) f(x i )p i (x)dx 1 f(x i ) b i=0 p i (x)dx. Oznčimo ω i = 1 b p b i(x)dx. Dkle proksimcij integrl je I* = (b ) ω i f(x i ). Npomen 1.1. Newton-Cotesov formul u slučju n = 1 je trpezn formul. i=0 5

10 1.3 Simpsonov formul Posebn slučj Newton-Cotesove formule, kd je n = 2 se nziv Simpsonov 1 formul. Točke rzdiobe su ond x 0 =, x 1 = +b, x 2 2 = b. Polinomi ω k se izrčunju i dobiju konstnte w 0 = 1, w 6 1 = 2, w 3 2 = 1. 6 Kd uvrstimo podtke, dobijemo sljedeću formulu I = (b )( 1 6 y y y 2) = (b ) (y 0 + 4y 1 + y 2 ) Generlizirn Simpsonov formul Simpsonovo prvilo se može generlizirti tko d se segment [, b] podijeli n n jednkih dijelov, pri čemu je n prn broj. Tko dobijemo formulu I = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n + y n ). Z ocjenu pogreške kod generlizirne Simpsonove formule vrijedi E n = (b ) h 4 f (4) (c) 180 (b ) h 4 M Ocjen pogreške kvdrturnih formul Kko bi se dl ocjen z pogreške kvdrturnih formul, koriste se Penove 2 jezgre. Definirti ćemo i krtko objsniti pojm Penove jezgre. Z svku dosd nbrojnu kvdrturnu formulu se posebno rčun Penov jezgr, budući d je postupk dost složen, izostvit ćemo detlje i koristiti već izrčunte Penove jezgre. Nek je Td je grešk E(f) = I(f) I*(f). I(f) = I*(f) = f(x)dx, w i f(x i ). Teorem 1.3 ([8]). Nek je E(p)=0 p P n i nek je f C (n+2) ([, b]) td vrijedi E(f) = gdje je K Penov jezgr definirn s f (n+1) (t)k(t)dt, K(t) = 1 n! E x((x t) n +) 1 Thoms Simpson ( ), britnski mtemtičr 2 Giuseppe Peno ( ), tlijnski mtemtičr 6

11 i (x t) n + = { (x t) n, z x > t 0, inče Ko što je već nvedeno, rčunnje Penovih jezgri može biti vrlo komplicirno stog ćemo nvesti smo jedn jednostvn primjer kko bismo bolje objsnili postupk. Primjer 1.1 ([5]). U cjelini 1.1. smo definirli metodu trpezne formule i dli ocjenu pogreške z nju, koj je glsil E(f) = I I = f (c) (b 12 )3. Koristeći teoriju Penovih jezgri vrijedi Ztim, E(f) = f (2) (t)k(t)dt. K(t)) = E x (x t) + = I(x t) + I (x t) +. Prisjetimo se i Iz čeg slijedi I = I = f()(b ) 2 f(x)dx + f(b)(b ). 2 I(x t) + I (x t) + = Vrtimo se u početnu jednkost (x t) + dx = 1 2 (x t)2 + b 1 α i (x i t) + i=0 b 2 ( t) + b 2 (b t) + = 1 2 ((b t)2 + ( t) 2 +) b 2 ( t) + b 2 (b t) + = 1 (b t)( t). 2 E(f) = = f (2) (t)k(t)dt f (2) (t) 1 (b t)( t)dt 2 = f (2) 12 (b )3. Uočimo kko smo dobili istu ocjenu pogreške ko i u prethodnom poglvlju. N krju nm ostje još dti ocjenu pogreške z Newton-Cotesovu metodu. 7

12 Teorem 1.4 ([4]). Nek je zdn podjel segment [, b] n n jednkih dijelov gdje je n prn broj. Nek je f C n+2 ([, b]). Td z pogrešku Newton-Cotesove formule vrijedi gdje je E(f) = K n (n + 2)! f (n+2) (c), < c < b; K n = xω(x)dx < 0. Teorem 1.5 ([4]). Nek je zdn podjel segment [, b] n n jednkih dijelov gdje je n neprn broj. Nek je f C n+1 ([, b]). Td z pogrešku Newton-Cotesove formule vrijedi E(f) = K n (n + 1)! f (n+1) (c), < c < b; gdje je K n = ω(x)dx < 0. 8

13 2. Gussove kvdrturne formule U dosdšnjim metodm smo pomoću zdnih n čvorov točno rčunli vrijednosti integrl polinom njviše n tog stupnj. Tko npr. trpezno prvilo rčun točno površinu ispod prvc, Simpsonov formul točno rčun površinu ispod grf polinom 2. stupnj. Znim ns možemo li konstruirti formule pomoću kojih točno rčunmo integrle polinom stupnj višeg od interpolcijskog polinom. Uprvo to svojstvo će imti Gussove kvdrture. 2.1 Opći oblik kvdrturne formule Gussove integrcijske formule, općenito su oblik w(x)f(x)dx = w i f(x i ), (1) gdje je w težinsk funkcij, pozitivn ili brem nenegtivn i integrbiln n [, b], w i su težinski koeficijenti, x i čvorovi integrcije. U rdu ćemo koristiti specijlni slučj, kd je w 1. Ovisno o izboru težinske funkcije, Gussov formul poprim drugčiji oblik i nziv. Tblic 1: Težinske funkcije. težinsk funkcij w intervl formul 1 [-1,1] Guss-Legendre 1 1 x 2 [-1,1] Guss-Chebyshev e t [0, Guss-Lguerre e t2, Guss-Hermit Definicij 2.1. Stupnj preciznosti kvdrturne formule je njveći broj m N tkv d je E(x k ) = 0, z svki k = 0, 1,..., m, li je E(x k + 1) 0. Vrijednost integrl I = f(x)dx proksimirmo kvdrturnom formulom koj je općenito oblik I = w i f(x i ). Želimo d je t formul stupnj preciznosti m, dkle d vrijedi x k dx w i x k i = 0, z svki k = 0, 1,..., m. Iz gornje jednkosti, dobijemo sustv s m + 1 jedndžbom, i 2n nepoznnic, nepoznnice su koeficijenti w i i čvorovi x i. Kko bi sustv imo jedinstveno rješenje, želimo d broj jedndžbi bude jednk broju nepoznnic. Ako uzmemo d je m = 2n 1, dobijemo tkv sustv. Stupnj preciznosti Gussove kvdrturne formule će biti 2n 1. Uočimo kko, rzliku od prethodnih metod, ovdje nemmo unprijed zdne čvorove, nego ih rčunmo iz sustv. 9

14 Npomen 2.1. Iz linernosti integrl slijedi d ko formul točno rčun potencije do m tog ond će točno rčunti i njihove linerne kombincije, tj. polinome do m tog stupnj. Primjer 2.1. Nek je n = 2, n segmentu [, 1] izrčunjmo kvdrturnu formulu. Sustv je zdn s Z k = 0 immo w 1 + w 2 = 2, k = 1, w 1 x 1 + w 2 x 2 = 0, k = 2, w 1 x w 2 x 2 2 = 2 3, k = 3, w 1 x w 2 x 3 2 = 0. x k dx w 1 x k 1 w 2 x k 2 = 0, z k = 0, 1, 2, 3. Rješvnjem gornjeg sustvm dobijemo w 1 = w 2 = 1, x 1 = 1 3, x 2 = 3 Vidimo kko već z n = 2 rješvnje sustv nije trivijlno, tj. općenito sustvi neće biti linerni, stog se umjesto stndrdnog rješvnj sustv koristi idej koju je uveo C.F.Guss Guss-Legendreov formul U tblici 1 je vidljivo kko, ovisno o izboru težinske funkcije i intervl, formul poprim drugčiji oblik. Koristit ćemo fmiliju koju čine Legendreovi polinomi, definirni n segmentu [, 1]. Kko postupk općenito ne bi ovisio o području integrcije, koristit ćemo supstituciju x = b 2 t + b + 2 Iz čeg slijedi f(x)dx = b 2 f( b 2 t + b + 2 )dt. Uvest ćemo oznku φ(t) = f( b 2 t + b + 2 ). Koristeći nvedene oznke i formulu (1) vrijedi I = b 2 w i φ(t i ). Ko što smo već rekli, koeficijenti w i i čvorovi t i su nm nepoznnice. ko nultočke Legendreovih polinom. Čvorove ćemo rčunti Npomen 2.2. Skup svih neprekidnih funkcij f n segmentu [, b] čini vektorski prostor s obzirom n stndrdne opercije zbrjnj i množenj funkcij sklrom. Nek su f, g : [, b] R neprekidne, definirjmo preslikvnje koje svkom pru funkcij pridružuje sklr n sljedeći nčin (f, g) = f g = f(x) g(x)dx. Lko se provjeri kko ovko definirno preslikvnje zdovoljv sv svojstv sklrnog produkt. 3 Crl Friedrich Guss ( ), njemčki mtemtičr 10

15 Npomen 2.3. Z dvije funkcije, f, g : [, b] R, kžemo d su medusobno ortogonlne ko vrijedi f g = f(x) g(x)dx = 0. Jedn od metod konstruirnj Legendreovih polinom je Grm-Schmidtovim postupkom ortogonlizcije knonske bze 1, t, t 2,... Tko dobiveni polinomi su P 0 (t) = 1 P 1 (t) = t (t, P 0) (P 0, P 0 ) P 0(t) = t P 2 (t) = t 2 (t2, P 0 ) (P 0, P 0 ) P 0(t) (t2, P 1 ) (P 1, P 1 ) P 1(t) =... = t P 3 (t) = t 2 (t3, P 0 ) (P 0, P 0 ) P 0(t) (t3, P 1 ) (P 1, P 1 ) P 1(t) (t3, P 2 ) (P 2, P 2 ) P 2(t) =... = t 3 3t 5 Čvorove integrcije x i rčunmo ko nultočke polinom P 0 P 1 P 2 P 3 Slik 2: Grfički prikz prv četiri Legendreov polinom Primjer 2.2. Izrčunjmo čvorove integrcije z n = 3. Tržimo nultočke Legeondreovog polinom P 3. P 3 = 0 t 3 3t 5 = 0 t(t ) = 0 Nultočke, odnosno čvorovi integrcije su t 1 = 11 3, t 5 2 = 0, t 3 = 3 5.

16 Preostlo nm je još izrčunti težinske koeficijente, w i. Nek su x i [, 1] i nek je p n,i = (x x 1)...(x x i )(x x x+1 )...(x x n ) (x i x 1 )...(x i x i )(x i x 1+1 )...(x i x n ). p n, i su polinomi koji se pojvjuju u Lgrngeovoj interpolciji, njihov stupnj je n 1, stog Gussov kvdrturn formul rčun točno njihove integrle. p n,i dx = w i p n,i. Vrijedi p n,i (x j ) = δ i,j Iz čeg slijedi p n,i dx = w i Primjer 2.3. Z n = 3 u primjeru 2.2 smo izrčunli čvorove, izrčunjmo sd težinske koeficijente prem formuli... (x x 2 )(x x 3 ) w 1 = p 2,1 dx = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) dx = 5 3 (x x)dx =... = 5 9 w 2 = w 3 = (x x 1 )(x x 3 ) 5 dx = (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) 3 (x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) dx = 5 6 (x )dx =... = (x 2 5 x)dx =... = 5 9 Npomen 2.4. Čvorovi integrcije su smješteni u simetričnim točkm s obzirom n ishodište, koeficijenti simtričnih čvorov su jednki. Lem 2.1 ([8]). Svki Legendreov polinom stupnj n ortogonln je n polinome stupnj < n. Lem 2.2 ([8]). Nek su težinski koeficijenti zdni formulom w i = p n,i dx. Td je kvdrturn formul točn z polinome stupnj n-1. 12

17 Teorem 2.1 ([8]). Nek se težinski koeficijenti kvdrturne formule rčunju po Lemi 2.2 i nek su čvorovi te formule nultočke Legendreovog polinom P n (x). Td je t formul egzktn z polinome stupnj 2n 1. Dokz. Nek je p 2n proizvoljni polinom stupnj 2n 1.Podijelimo g Legendreovim polinomom P n. Prem teoremu o dijeljenju s osttkom postoje jedinstveni polinomi q n i r n tkvi d je p 2n = q n P n + r n. Koristeći Lemu 1. vrijedi p 2n (x)dx = = q n (x)p n (x)dx + r n (x)dx. r n (x)dx (2) Kko su x i, i = 1, 2,..., n nultočke polinom P n (x) vrijedi w i p 2n (xi) = = w i P n (xi)q n (x i ) + w i r n (xi). w i r n (xi) (3) Prem jednkosti 2 vrijedi d je p 2n (x)dx = r n (x)dx. Prem Lemi(2) vrijedi d je r n (x)dx = w i r n (xi). N krju iz jednkosti 3 dokžemo tvrdnju teorem p 2n (x)dx = w i p 2n (xi). Definicij 2.2 ([8]). Kvdrturn formul iz gornjeg teorem čiji su čvorovi korijeni Legenreovog polinom P n (x), težinski koeficijenti se birju po... i koj je egzktn z polinome stupnj 2n 1, nziv se Gussovom kvdrturnom formulom. 13

18 U tblici su nvedene vrijednosti čvorov integrcije i težin z nekoliko slučjev. Tblic 2: Guss-Legendreov formul n=2 x 1 = 1 3 w 1 = 1 x 2 = 1 3 w 2 = 1 n=3 x 1 = 3 5 w 1 = 5 9 x 2 = 0 x 3 = 3 5 w 2 = 8 9 w 3 = 5 9 n=4 x 1 = w 1 = x 2 = w 2 = x 3 = w 3 = x 4 = w 4 = n=5 x 1 = w 1 = x 2 = w 1 = x 3 = 0 w 2 = x 4 = w 3 = x 5 = w 4 = Primjer 2.4. Izrčunjmo integrl funkcije f(x) = 1 + 3x n segmentu [0, 1] koristeći Guss-Legendreovu metodu u 3 točke integrcije. Rčunmo I = 1 + 3xdx. 0 Kko smo Guss-Legendreovu metodu definirli n segmentu [, 1], nprvimo supstituciju Tko d je x = b 2 t + b + 2. I = x dx = t dt 3 5 w i x i. Uvrstimo podtke iz Tblice 2 i ko rezultt dobijemo I = Točn vrijednost integrl je I =

19 2.3 Ocjen pogreške Gussove kvdrturne formule Teorem 2.2. Nek je zdn funkcij f C 2n ([, b]). Td postoji točk c [, b] tkv d z ocjenu pogreške Guss-Legendreove metode integrcije vrijedi Primjer 2.5. Z n=3 vrijedi 3. Usporedb metod E n = (b )2n+1 (n!) 4 (2n + 1)((2n)!) 3 f 2n (c). E 3 = (b )7 (3!) 4 (7)(6!) 3 f 6 (c) = (b ) f 6 (c) Primjer 3.1 ([9]). Nek je zdn funkcij f(x) = x e 2x n segmentu [0, 4]. Primjenom Newton-Leibnizove formule, dobije se I = 4 0 x e 2x = 7 4 e Primjenit ćemo Gussovu i Newton-Cotesovu formulu, kko bismo vidjeli nkon koliko kork možemo dobiti rezultt s greškom mnjom od 1%. n Guss-Legendre Newton-Cotes Kod Gussovih kvdrturnih formul, z n=4, immo pogrešku od 0.37%, dok kod Newton- Cotesove formule se tek z n=6 postiže pogrešk od mnj od 1%, tj. 0.43% Primjer 3.2. Nek je zdn funkcij f(x) = e x 2 n segmentu [0, 4]. Funkcij f je primjer funkcije čiji se integrl ne može egzktno izrčunti. Koristeći ocjene pogreški z produljenu trpeznu i Simpsonovu formulu, izrčunjmo broj potrebnih kork z postiznje preciznosti od ε = Produljen trpezn formul: E n = h2 12 (b )f (c) h2 12 (b )M 2. 15

20 Iz čeg slijedi M2 (b ) n > (b ) = 4 12ε Njmnji n z koji se postiže tržen preciznost je n = 37. Generlizirn Simpsonov formul: Iz čeg slijedi E n = (b ) 180 h 4 f 4 (c) n > (b ) 4 M4 (b ) 180ε (b ) 180 = ε Njmnji n z koji se postiže tržen preciznost je n = 5. Guss-Legendreov formul: Z n=3 slijedi E n = (b )2n+1 (n!) 4 (2n + 1)((2n)!) 3 f 2n (c). E 3 47 (3!) 4 7(6!) 3 M h 4 M Guss-Legendreovom metodom z n=3 postižemo trženu preciznost. Vidimo kko s Guss-Legendreovom kvdrturnom formulom, u ob slučj, puno brže postižemo trženu preciznost. 16

21 Litertur [1] M. Abrmowitz, L.A. Stegun (Eds.), Hndbook of Mthemticl Functions with Formule, Grphs nd Mthemticl Tbles, Applied Mth. Series 55, Ntionl Bureu of Stndrds, 4th printing, Wshington, [2] S. Adjerid, Notes for Numericl Anlysis Mth 5466, Virgini Polytechnic Institute nd Stte University. Dosupno n: homepge/teching/s05/mth5466/ode.pdf [8. rujn 2017.] [3] Å. Björck, G. Dhlquist, Numericl Methods, Prentice-Hll, Inc., 1974., New Jersey [4] E. Iscson, H.B. Keller, Anlysis Of Numericl Methods, Dover, 1994., New York [5] J. Pečrić, N. Ujević, A representtion of the Peno kernel for some qudrture rules nd pplictions, Proceedings: Mthemticl, Physicl nd Engineering Sciences, Vol. 462, No (2006), [6] R. Scitovski, Numeričk mtemtik, Odjel z mtemtiku Sveučilišt u Osijeku, Osijek, [7] M. Schtzmn, Numericl Anlysis A mthemtic introduction, Clrendon Press, 2002., Oxford [8] N. Ujević, Uvod u numeričku mtemtiku, skript PMF-, Split, [9] Gussin Qudrtures, University of Mrylnd Institute for Advnced Computer Studies. Dostupno n: integrtion.pdf [8. rujn 2017.] 17